View
38
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
kompleksni brojevi ludilio sta se arai diaida matematika srednja skola i to ,nien oaskghalhsl
1
Zadatak 081 (Mario, Ana, Mirjana, Mateo, srednja kola) Kompleksan broj z = 2 2 i napiite u trigonometrijskom obliku.
Rjeenje 081 Ponovimo! Kompleksan broj z = x + y i napisan u trigonometrijskom obliku glasi
( )co sin ,sz r i = +
gdje je r apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja (udaljenost kompleksnog broja od ishodita kompleksne ravnine), argument kompleksnog broja.
2 2r x y= +
y ytg arctg
x x = = ili 1tg y ytg
x x = =
Argument iznosi:
. pi = +
Ovaj kompleksan broj nalazi se u III. kvadrantu kompleksne ravnine, Gaussove ravnine, (x < 0, y < 0). Da bismo odredili njegov trigonometrijski oblik treba nai apsolutnu vrijednost r i argument :
( ) ( )2 2 , 2 , 2 2 22 22 222
z i x yr
r x ytgy
tgx
pi pi
= = = = +
= + =
== +
= +
2 24 4 4 2 2 2 2 21 1 .54
4 4
rr r r r
tg arctg pi pi pi pi pi pi pi
= = + = = = = = =
= + = = + = +
= +
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi:
5 52 2 cos sin .4 4
z ipi pi = +
Vjeba 081 Kompleksan broj z = 3 3 i napiite u trigonometrijskom obliku.
Rezultat: 5 53 2 cos sin .4 4
z ipi pi = +
Zadatak 082 (Mario, Ana, Mirjana, Mateo, srednja kola) Kompleksan broj z = 2 2 i napiite u trigonometrijskom obliku.
Rjeenje 082 Ponovimo! Kompleksan broj z = x + y i napisan u trigonometrijskom obliku glasi
( )co sin ,sz r i = +
gdje je r apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja (udaljenost kompleksnog broja od ishodita kompleksne ravnine), argument kompleksnog broja.
y
x
y i
x
r
O
- 2
- 2
y i
x
r
O
2
2 2r x y= +
y ytg arctg
x x = = ili 1tg y ytg
x x
= =
Argument iznosi:
2 . pi =
Ovaj kompleksan broj nalazi se u IV. kvadrantu kompleksne ravnine, Gaussove ravnine, (x > 0, y < 0). Da bismo odredili njegov trigonometrijski oblik treba nai apsolutnu vrijednost r i argument :
( )2 2 , 2 , 2 222 22 222
22
z i x yr
r x ytgy
tgx
pi pi
= = = = +
= + =
==
=
2 24 4 4 2 2 2 2 21 1 .74 22 2 4 42
rr r r r
tg arctg pi pi pi pi pi pi pi
= = + = = = = = =
= = = =
=
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi:
7 72 2 cos sin .4 4
z ipi pi = +
Vjeba 082 Kompleksan broj z = 3 3 i napiite u trigonometrijskom obliku.
Rezultat: 7 73 2 cos sin .4 4
z ipi pi = +
Zadatak 083 (Martina, studentica)
Odredi sve kompleksne brojeve za koje vrijedi: ( )( ) ( )1 2 22 0.1 1 1
i iz
i i+
+ = + +
Rjeenje 083 Ponovimo! Neka je z = x + y i bilo koji kompleksan broj. Sa z oznaavamo broj
z x y i= koji nazivamo kompleksno konjugiranim broju z. Mnoei z i z dobit emo:
( ) ( ) .2 2x y i x y i x y+ = +
Nai n ti korijen kompleksnog broja
( )cos sin ,z r i = +
gdje je n N i r modul kompleksnog broja, r = z, znai nai kompleksan broj
2 2cos sin , 0, 1, 2, ...., 1k kn nz r i k n
n n
pi pi+ + = + =
y
x
y i
x
r
O
2
- 2
y i
x
r
O
3
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 1 2 2 1 2 2 12 2 2 20 0 0 02 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
i i i i i i iz z z z
i ii i+ + + + +
+ = + = + = + = + +
+ + +
12 2 20 1 0 1 1 .1
/iz z i z i z i + + = + = = + = +
Da bismo nali 1 i + moramo odrediti argument i modul r kompleksnog broja 1 .z i= +
1 1 1 .1 4
ytg tg tg arctg
x
pi = = = = =
Argument iznosi:
3.
4 4pi pi pi pi = = =
Modul r iznosi:
( ) 22 2 21 1 1 1 2.r x y r r r= + = + = + =
Zadatak ima dva rjeenja:
k = 0
( )3 32 0 2 0 2
4 42 cos sin3 1 2 22 ,4
n
z ir
pi pipi pi
pi
= + +
= + = =
( ) ( )3 3
3 34 44 42 cos sin 2 cos sin .1 12 2 8 8z i z i
pi pipi pi
= + = +
k = 1
( )3 32 1 2 1 2
4 42 cos sin3 2 2 22 ,4
n
z ir
pi pipi pi
pi
= + +
= + = =
( ) ( )3 3 11 112 24 44 4 4 42 cos sin 2 cos sin2 22 2 2 2
z i z i
pi pi pi pipi pi
+ +
= + = +
( ) 11 114 2 cos sin .2 8 8z ipi pi = + Vjeba 083 Odredi sve kompleksne brojeve za koje vrijedi: ( )( ) ( )
2 3 3 22 0.1 1 1
i iz
i i+
+ =
Rezultat: ( ) ( )3 3 11 114 42 cos sin , 2 cos sin .1 28 8 8 8z i z ipi pi pi pi = + = +
Zadatak 084 (2A, TUP) Odredi realne brojeva x i y tako da vrijedi zadana jednakost:
x + y i 2 = 4 x i + 3 y + 3 i. Rjeenje 084
r
z = - 1 + ii
-1
y
x
4
Ponovimo! Dva kompleksna broja z1 = a + b i i z2 = c + d i jednaki su ako su im jednaki realni dijelovi, a = c, i jednaki imaginarni dijelovi, b = d. Piemo:
11 2
2.
z a b i a cz z
z c d i b d
= + = =
= + =
1.inaica ( ) ( )2 4 3 3 2 3 4 3 .x y i x i y i x y i y x i+ = + + + = + +
( )2x y i + ( )3 4 3y x i + + Realni dio je:
x 2 (uz njega ne stoji i)
Imaginarni dio je: y
(uz njega stoji i)
Realni dio je: 3 y
(uz njega ne stoji i)
Imaginarni dio je: 4 x + 3
(uz njega stoji i)
Uporabom definicije jednakosti kompleksnih brojeva dobije se sustav od dvije linearne jednadbe sa dvije nepoznanice:
metoda suprotnihkoefici
2 3 3 2 3 2 3 24 3 4 3 4 3 12 3jen 9ata / 3
x y x y x y x yy x x y x y x y
= = = =
= + + = + = + =
( ) ( )/: 11 111 11 1 4 1 3 4 3 3 44 3
xx x y y y
x y=
= = + = + = =
+ =
11 .
1x
yy
= =
=
2.inaica (rjeenje uenice Martine, 2A)
( ) ( )2 4 3 3 4 3 2 3 3 4 2 3x y i x i y i x y i x i y i x y y x i i+ = + + + = + + = +
metoda suprotnihkoefici
3 2 3 2 3 2 3 24 3 4 3 4 3 12 3jen 9ata / 3
x y x y x y x yy x x y x y x y
= = = =
= + = + = + =
( ) ( )/: 11 111 11 1 4 1 3 4 3 3 44 3
xx x y y y
x y=
= = + = + = =
+ =
11 .
1x
yy
= =
=
Vjeba 084 Odredi realne brojeva x i y tako da vrijedi zadana jednakost:
x + 3 + 2 y i = 8 + 4 i. Rezultat: x = 5, y = 2.
Zadatak 085 (Iva, srednja kola) ( ) 223 96Koliko je ?i i + Rjeenje 085 Ponovimo!
( ) 10, , , ,2 3 11 , 1mn n m na a i i i i i i a na
= = = = = =
( )2 2 22 .a b a a b b+ = + +
5
Izraunamo posebno svaku potenciju. Eksponent potencije dijelimo brojem 4 i gledamo ostatak (koji moe biti 0, 1, 2 ili 3).
( ) ( ) ( )323 2323 1 23 .i i i i i i i = = = = = = 23 : 43 5=
96 1.0i i= = 96 : 40
24=
Sada je:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 12 223 96 1 1 2 2 2 2 21 21 1 1
i i i ii i ii i ii
i
+ = + = + = = = = = =+ +
+ +
( )1 0.5 .2 2 1 2 22
i i i i ii
= = = = =
Vjeba 085 ( ) 223 80Koliko je ?i i + Rezultat: 0.5 .i
Zadatak 086 (Tajanstvena, gimnazija) Nai skup svih toaka kompleksne ravnine za koje je 1 .z z i= Rjeenje 086 Ponovimo!
( )22 2 2 2.2,z x y i z x y a b a a b b= + = + = +
Napiimo kompleksan broj z u standardnom ili algebarskom obliku: z = x + y i. Tada slijedi:
( ) ( )1 1 1 1z z i x y i x y i i x y i x y iz x y i
= + = + + = +
= +
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22 2 2 21 1 1/ 1x y x y x y x y + = + + = +
2 2 2 22 1 2 2 2 21 2 1 2 12x y x x yy yx y x yx + = + + + = + + ++
eksplicitni oblik jednadbe pravca10 2 2 2 0 1 .
1/: 2
implicit0 ni oblik jednadbe pravcay x
x y x yx y
= + = + = +
+ =
Vjeba 086 Nai skup svih toaka kompleksne ravnine za koje je 1 .z z= Rezultat: 1 .
2x =
Zadatak 087 (2A, TUP)
Koliki je imaginarni dio broja ( )( )
19971?19961
iz
i
+=
Rjeenje 087 Ponovimo!
( ) ( ) 20 2 21 , 1, , ,m nn m n m n n m na a a a a i i a a+ = = = = =
6
( )2 2 22 I, .m,n n
a aa b a a b b z x y i z ynb b
+ = + + = = + =
1.inaica
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )1997 1996 1996 1996 19961 1 1 1 1 11 1 11996 1996 1996 1 11 1 1
11
i i i i i iz i i i
i ii i i
ii
+ + + + + + = = = + = + = + =
+
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1996 19962 1996 199621 1 2 21 1 1 12 2 1 1 2
1 1 2
1 1 2i i i i ii i i i
+ + + + = + = + = + = + = +
+
( ) ( ) ( )1996:4 499 00
1996 1 1 1 1 1 Im 1.i i i i i i z=
= + = = + = + = + =
2.inaica
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
998 9982 21997 1996 9981 1 1 2 11 1 1 2 11996 1996 998 998 99822
1 1
11 1 21 2 11
i i i i ii i i