kompleksni brojevi

  • View
    37

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

kompleksni brojevi ludilio sta se arai diaida matematika srednja skola i to ,nien oaskghalhsl

Text of kompleksni brojevi

  • 1

    Zadatak 081 (Mario, Ana, Mirjana, Mateo, srednja kola) Kompleksan broj z = 2 2 i napiite u trigonometrijskom obliku.

    Rjeenje 081 Ponovimo! Kompleksan broj z = x + y i napisan u trigonometrijskom obliku glasi

    ( )co sin ,sz r i = +

    gdje je r apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja (udaljenost kompleksnog broja od ishodita kompleksne ravnine), argument kompleksnog broja.

    2 2r x y= +

    y ytg arctg

    x x = = ili 1tg y ytg

    x x = =

    Argument iznosi:

    . pi = +

    Ovaj kompleksan broj nalazi se u III. kvadrantu kompleksne ravnine, Gaussove ravnine, (x < 0, y < 0). Da bismo odredili njegov trigonometrijski oblik treba nai apsolutnu vrijednost r i argument :

    ( ) ( )2 2 , 2 , 2 2 22 22 222

    z i x yr

    r x ytgy

    tgx

    pi pi

    = = = = +

    = + =

    == +

    = +

    2 24 4 4 2 2 2 2 21 1 .54

    4 4

    rr r r r

    tg arctg pi pi pi pi pi pi pi

    = = + = = = = = =

    = + = = + = +

    = +

    Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi:

    5 52 2 cos sin .4 4

    z ipi pi = +

    Vjeba 081 Kompleksan broj z = 3 3 i napiite u trigonometrijskom obliku.

    Rezultat: 5 53 2 cos sin .4 4

    z ipi pi = +

    Zadatak 082 (Mario, Ana, Mirjana, Mateo, srednja kola) Kompleksan broj z = 2 2 i napiite u trigonometrijskom obliku.

    Rjeenje 082 Ponovimo! Kompleksan broj z = x + y i napisan u trigonometrijskom obliku glasi

    ( )co sin ,sz r i = +

    gdje je r apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja (udaljenost kompleksnog broja od ishodita kompleksne ravnine), argument kompleksnog broja.

    y

    x

    y i

    x

    r

    O

    - 2

    - 2

    y i

    x

    r

    O

  • 2

    2 2r x y= +

    y ytg arctg

    x x = = ili 1tg y ytg

    x x

    = =

    Argument iznosi:

    2 . pi =

    Ovaj kompleksan broj nalazi se u IV. kvadrantu kompleksne ravnine, Gaussove ravnine, (x > 0, y < 0). Da bismo odredili njegov trigonometrijski oblik treba nai apsolutnu vrijednost r i argument :

    ( )2 2 , 2 , 2 222 22 222

    22

    z i x yr

    r x ytgy

    tgx

    pi pi

    = = = = +

    = + =

    ==

    =

    2 24 4 4 2 2 2 2 21 1 .74 22 2 4 42

    rr r r r

    tg arctg pi pi pi pi pi pi pi

    = = + = = = = = =

    = = = =

    =

    Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi:

    7 72 2 cos sin .4 4

    z ipi pi = +

    Vjeba 082 Kompleksan broj z = 3 3 i napiite u trigonometrijskom obliku.

    Rezultat: 7 73 2 cos sin .4 4

    z ipi pi = +

    Zadatak 083 (Martina, studentica)

    Odredi sve kompleksne brojeve za koje vrijedi: ( )( ) ( )1 2 22 0.1 1 1

    i iz

    i i+

    + = + +

    Rjeenje 083 Ponovimo! Neka je z = x + y i bilo koji kompleksan broj. Sa z oznaavamo broj

    z x y i= koji nazivamo kompleksno konjugiranim broju z. Mnoei z i z dobit emo:

    ( ) ( ) .2 2x y i x y i x y+ = +

    Nai n ti korijen kompleksnog broja

    ( )cos sin ,z r i = +

    gdje je n N i r modul kompleksnog broja, r = z, znai nai kompleksan broj

    2 2cos sin , 0, 1, 2, ...., 1k kn nz r i k n

    n n

    pi pi+ + = + =

    y

    x

    y i

    x

    r

    O

    2

    - 2

    y i

    x

    r

    O

  • 3

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    1 2 2 1 2 2 1 2 2 12 2 2 20 0 0 02 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

    i i i i i i iz z z z

    i ii i+ + + + +

    + = + = + = + = + +

    + + +

    12 2 20 1 0 1 1 .1

    /iz z i z i z i + + = + = = + = +

    Da bismo nali 1 i + moramo odrediti argument i modul r kompleksnog broja 1 .z i= +

    1 1 1 .1 4

    ytg tg tg arctg

    x

    pi = = = = =

    Argument iznosi:

    3.

    4 4pi pi pi pi = = =

    Modul r iznosi:

    ( ) 22 2 21 1 1 1 2.r x y r r r= + = + = + =

    Zadatak ima dva rjeenja:

    k = 0

    ( )3 32 0 2 0 2

    4 42 cos sin3 1 2 22 ,4

    n

    z ir

    pi pipi pi

    pi

    = + +

    = + = =

    ( ) ( )3 3

    3 34 44 42 cos sin 2 cos sin .1 12 2 8 8z i z i

    pi pipi pi

    = + = +

    k = 1

    ( )3 32 1 2 1 2

    4 42 cos sin3 2 2 22 ,4

    n

    z ir

    pi pipi pi

    pi

    = + +

    = + = =

    ( ) ( )3 3 11 112 24 44 4 4 42 cos sin 2 cos sin2 22 2 2 2

    z i z i

    pi pi pi pipi pi

    + +

    = + = +

    ( ) 11 114 2 cos sin .2 8 8z ipi pi = + Vjeba 083 Odredi sve kompleksne brojeve za koje vrijedi: ( )( ) ( )

    2 3 3 22 0.1 1 1

    i iz

    i i+

    + =

    Rezultat: ( ) ( )3 3 11 114 42 cos sin , 2 cos sin .1 28 8 8 8z i z ipi pi pi pi = + = +

    Zadatak 084 (2A, TUP) Odredi realne brojeva x i y tako da vrijedi zadana jednakost:

    x + y i 2 = 4 x i + 3 y + 3 i. Rjeenje 084

    r

    z = - 1 + ii

    -1

    y

    x

  • 4

    Ponovimo! Dva kompleksna broja z1 = a + b i i z2 = c + d i jednaki su ako su im jednaki realni dijelovi, a = c, i jednaki imaginarni dijelovi, b = d. Piemo:

    11 2

    2.

    z a b i a cz z

    z c d i b d

    = + = =

    = + =

    1.inaica ( ) ( )2 4 3 3 2 3 4 3 .x y i x i y i x y i y x i+ = + + + = + +

    ( )2x y i + ( )3 4 3y x i + + Realni dio je:

    x 2 (uz njega ne stoji i)

    Imaginarni dio je: y

    (uz njega stoji i)

    Realni dio je: 3 y

    (uz njega ne stoji i)

    Imaginarni dio je: 4 x + 3

    (uz njega stoji i)

    Uporabom definicije jednakosti kompleksnih brojeva dobije se sustav od dvije linearne jednadbe sa dvije nepoznanice:

    metoda suprotnihkoefici

    2 3 3 2 3 2 3 24 3 4 3 4 3 12 3jen 9ata / 3

    x y x y x y x yy x x y x y x y

    = = = =

    = + + = + = + =

    ( ) ( )/: 11 111 11 1 4 1 3 4 3 3 44 3

    xx x y y y

    x y=

    = = + = + = =

    + =

    11 .

    1x

    yy

    = =

    =

    2.inaica (rjeenje uenice Martine, 2A)

    ( ) ( )2 4 3 3 4 3 2 3 3 4 2 3x y i x i y i x y i x i y i x y y x i i+ = + + + = + + = +

    metoda suprotnihkoefici

    3 2 3 2 3 2 3 24 3 4 3 4 3 12 3jen 9ata / 3

    x y x y x y x yy x x y x y x y

    = = = =

    = + = + = + =

    ( ) ( )/: 11 111 11 1 4 1 3 4 3 3 44 3

    xx x y y y

    x y=

    = = + = + = =

    + =

    11 .

    1x

    yy

    = =

    =

    Vjeba 084 Odredi realne brojeva x i y tako da vrijedi zadana jednakost:

    x + 3 + 2 y i = 8 + 4 i. Rezultat: x = 5, y = 2.

    Zadatak 085 (Iva, srednja kola) ( ) 223 96Koliko je ?i i + Rjeenje 085 Ponovimo!

    ( ) 10, , , ,2 3 11 , 1mn n m na a i i i i i i a na

    = = = = = =

    ( )2 2 22 .a b a a b b+ = + +

  • 5

    Izraunamo posebno svaku potenciju. Eksponent potencije dijelimo brojem 4 i gledamo ostatak (koji moe biti 0, 1, 2 ili 3).

    ( ) ( ) ( )323 2323 1 23 .i i i i i i i = = = = = = 23 : 43 5=

    96 1.0i i= = 96 : 40

    24=

    Sada je:

    ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 12 223 96 1 1 2 2 2 2 21 21 1 1

    i i i ii i ii i ii

    i

    + = + = + = = = = = =+ +

    + +

    ( )1 0.5 .2 2 1 2 22

    i i i i ii

    = = = = =

    Vjeba 085 ( ) 223 80Koliko je ?i i + Rezultat: 0.5 .i

    Zadatak 086 (Tajanstvena, gimnazija) Nai skup svih toaka kompleksne ravnine za koje je 1 .z z i= Rjeenje 086 Ponovimo!

    ( )22 2 2 2.2,z x y i z x y a b a a b b= + = + = +

    Napiimo kompleksan broj z u standardnom ili algebarskom obliku: z = x + y i. Tada slijedi:

    ( ) ( )1 1 1 1z z i x y i x y i i x y i x y iz x y i

    = + = + + = +

    = +

    ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22 2 2 21 1 1/ 1x y x y x y x y + = + + = +

    2 2 2 22 1 2 2 2 21 2 1 2 12x y x x yy yx y x yx + = + + + = + + ++

    eksplicitni oblik jednadbe pravca10 2 2 2 0 1 .

    1/: 2

    implicit0 ni oblik jednadbe pravcay x

    x y x yx y

    = + = + = +

    + =

    Vjeba 086 Nai skup svih toaka kompleksne ravnine za koje je 1 .z z= Rezultat: 1 .

    2x =

    Zadatak 087 (2A, TUP)

    Koliki je imaginarni dio broja ( )( )

    19971?19961

    iz

    i

    +=

    Rjeenje 087 Ponovimo!

    ( ) ( ) 20 2 21 , 1, , ,m nn m n m n n m na a a a a i i a a+ = = = = =

  • 6

    ( )2 2 22 I, .m,n n

    a aa b a a b b z x y i z ynb b

    + = + + = = + =

    1.inaica

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )1997 1996 1996 1996 19961 1 1 1 1 11 1 11996 1996 1996 1 11 1 1

    11

    i i i i i iz i i i

    i ii i i

    ii

    + + + + + + = = = + = + = + =

    +

    +

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1996 19962 1996 199621 1 2 21 1 1 12 2 1 1 2

    1 1 2

    1 1 2i i i i ii i i i

    + + + + = + = + = + = + = +

    +

    ( ) ( ) ( )1996:4 499 00

    1996 1 1 1 1 1 Im 1.i i i i i i z=

    = + = = + = + = + =

    2.inaica

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( )

    998 9982 21997 1996 9981 1 1 2 11 1 1 2 11996 1996 998 998 99822

    1 1

    11 1 21 2 11

    i i i i ii i i