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Komplexe Analysis Andreas Kriegl email:[email protected] 250006, SS 2011, Do. 11 00 -12 30 , UZA 2, HS 3

Komplexe Analysis - univie.ac.atkriegl/Skripten/2011SS.pdf · 2011-07-01 · 1. Komplexe Zahlen Um lineare Gleichungen a⋅x=bzu l osen, muˇ der Ring Z zum K orper Q erweitert werden

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Komplexe Analysis

Andreas Krieglemail:[email protected]

250006, SS 2011, Do. 1100-1230, UZA 2, HS 3

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Inhaltsverzeichnis

1. Komplexe Zahlen 1

2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 11

3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 35

4. Potenzreihen 55

Literaturverzeichnis 65

Liste einiger Symbole 67

Index 69

[email protected] © 1. Juli 2011 i

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1. Komplexe Zahlen

Um lineare Gleichungen a ⋅ x = b zu losen, muß der Ring Z zum Korper Q erweitert werden. Furquadratische Gleichungen x2 = b mit b ≥ 0 muß seinerseits Q erweitert werden, und zwar – um deninversen Funktionensatz (den Zwischenwertsatz) anzuwenden – am besten gleich zum vollstandigangeordneten Korper R.

Fur b < 0 existiert aber keine Losung von x2 = b im angeordneten Korper R, denn x2 ≥ 0 fur alle x.Kann man dennoch – wie zuvor bei Q und R – mit den virtuellen Losungen, also im einfachsten Fallder imaginaren Einheit i ∶=

√−1 (Bezeichnung von Leonhard Euler 1777), rechnen?

1.1 Quadratische Gleichung.Um die Nullstellen einer allgemeinen quadratischen Gleichung

ax2 + bx + c = 0

mit a ≠ 0 zu bestimmen dividiert man zuerst durch a und erhalt

x2 + 2px + q = 0 mit p ∶= b

2aund q ∶= c

a.

Ware p = 0, so konnte man x2 = −q sofort losen, namlich x = ±√−q. Die Idee ist also die linke Seitemoglichst als Quadrat zu schreiben und dazu drangt sich (x + p)2 = x2 + 2px + p2 auf. Die Gleichungist also aquivalent zu

(x + p)2 − p2 + q = 0und somit zu

(x + p)2 = p2 − q,d.h.

x + p = ±√p2 − q

und schließlichx = −p ±

√p2 − q.

In den ursprunglichen Koeffizienten bedeutet dies

x = − b

2a±

¿ÁÁÀ( b

2a)

2

− c

a= − b

2a±√

b2 − 4ac4a2

= −b ±√b2 − 4ac

2a.

Fur p, q ∈ R existieren nur fur p2 ≥ q die Losungen x± in R. Dies wurde schon von Abu Dscha’farMuhammad ibn Musa al-Chwarizmi, siehe , in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra erkannt.

Fur p2 < q formen wir weiter um und erhalten die beiden Losungen:

x± = −p ±√p2 − q = −p ±

√(−1)(q − p2) != −p ±

√−1

√q − p2 = −p ± i

√q − p2.

Wenn wir formal weiterrechnen als ware i und damit auch α+ iβ fur α,β ∈ R in einem Ring, so geltennach wie vor die Vieta’schen Wurzelsatze

x+ + x− = (−p + i√q − p2) + (−p − i

√q − p2) = −2p und

x+ ⋅ x− = (−p + i√q − p2) ⋅ (−p − i

√q − p2) = (−p)2 − (i

√q − p2)2

= p2 + (q − p2) = q.

Gerolamo Cardano 1545 hat in Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus erkannt, daßman mit diesen Losungen rechnen konnte, verwarf sie aber gleich wieder.

Angenommen es gibt einen Ring R der neben R auch i enthalt. Dann konnen wir die TeilmengeC ∶= {a + i b ∈ R ∶ a, b ∈ R} betrachten. Wir nennen ihre Elemente komplexe Zahlen. Offensichtlichist diese Menge unter den Ring-Operationen

(a1 + i b1) + (a2 + i b2) = (a1 + a2) + i (b1 + b2)(a1 + i b1) ⋅ (a2 + i b2) = (a1a2 − b1b2) + i (a1b2 + b1a2)

abgeschlossen also selbst ein Ring mit 1 = 1+i0 und sogar ein Korper, denn fur a+i b ≠ 0 ist a ≠ 0 oderb ≠ 0 und somit 0 < a2 + b2 = (a + i b) ⋅ (a − i b), also 1

a2+b2⋅ (a − i b) = a

a2+b2− i b

a2+b2das multiplikative

Inverse zu a + i b. Beachte, daß a + i b = 0 nur fur b = 0 und damit a = 0 gilt, denn andernfalls warei = −a

b∈ R. Es ist also R2 → C, (a, b)↦ a+ i b eine bijektive additive Abbildung, die wir zur Definition

von C verwenden konnten.

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1.2 1. Komplexe Zahlen

Konnen wir alle quadratischen Gleichungen mit Koeffizienten aus C in C losen? Dazu mussen wirwegen obiger Formel Quadratwurzeln x + i y komplexer Zahlen z = a + i b (mit b ≠ 0) bestimmen:

a + i b = (x + i y)2 = (x2 − y2) + 2xy i

⇔ a = x2 − y2 und b = 2xy

⇔ (x2)2 − x2 a − b2

4= 0 und y = b

2x(mit x ≠ 0, wegen b ≠ 0)

⇔ x2 = a2±√

a2

4+ b

2

4und y = b

2x

⇔ x = ±

¿ÁÁÀa

2+

√a2 + b2

2und y = b

2x

⇔ x = ±

¿ÁÁÀ

√a2 + b2 + a

2und y = b

±2√√

a2+b2+a2

= ±b√√

a2 + b2 − a√2b2

= ± sgn(b)

¿ÁÁÀ

√a2 + b2 − a

2

Wenn wir C mit der Topologie von R2 (der koordinatenweisen Konvergenz) versehen, so sehen wir,daß obige Formel (mit +) fur die Quadratwurzel eine stetige Funktion √ ∶ C∖{t ∈ R ∶ t < 0}→ Cdefiniert, denn im kritischen Fall b→ 0 geht y fur a ≥ 0 gegen 0. Hingegen ist fur a < 0:

limb→0±

√a + i b = lim

b→0±

¿ÁÁÀ

√a2 + b2 + a

2+ i lim

b→0±sgn(b)

¿ÁÁÀ

√a2 + b2 − a

2

=√

∣a∣ + a2

+ i limb→0±

sgn(b)√

∣a∣ − a2

= 0 ± i√

∣a∣,

also obige Funktion √ nicht stetig erweiterbar zur negativen reellen Achse.

1.2 Kubische Gleichung.Gerolamo Cardano hat 1545 in Ars magna de Regulis Algebraicis (mit Verweis auf Scipione delFerro und Nicolo Tartaglia ) als erster Formeln fur die polynomiale Gleichung 3. Ordnunggegeben.

Um die Nullstellen einer kubischen Gleichung

a3 x3 + a2 x

2 + a1 x + a0 = 0

mit a3 ≠ 0 zu bestimmen dividieren wir diese wie zuvor durch den hochsten Koeffizienten a3 underhalten

x3 + αx2 + β x + γ = 0 mit α ∶= a2

a3, β ∶= a1

a3und γ ∶= a0

a3.

Ware nun α = β = 0, so konnte man x3 = −γ sofort losen, namlich x = 3√−γ. Die Idee ist also wieder die

linke Seite moglichst als 3.te Potenz zu schreiben und dazu drangt sich (x+ α3)3 = x3+αx2+ α2

3x+ α3

33

auf. Die Gleichung ist also mit y ∶= x + α3

aquivalent zu

0 = (y − α3)

3

+ α (y − α3)

2

+ β (y − α3) + γ

= y3 − 3α

3y2 + 3

α2

32y − α

3

33+ αy2 − 2α

α

3y + αα

2

32+ β y − βα

3+ γ

= y3 − 3py − 2q mit 3p ∶= α2

3− β und 2q ∶= −2

α3

27+ αβ

3− γ.

Fur p = 0 erhalten wir sofort die Losung y = 3√

2q. Also konnen wir o.B.d.A. p ≠ 0 annehmen. Nunbrauchen wir eine neue Idee.

Diese besteht darin die Losungen in der Form y = A+B mit geeignet gewahlten A und B zu schreiben.Einsetzen in die Gleichung liefert:

A3 + 3AB(A +B) +B3 − 3p(A +B) − 2q = 0

2 [email protected] © 1. Juli 2011

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1. Komplexe Zahlen 1.2

Falls man AB = p erreichen kann, so vereinfacht sich dies nach Multiplikation mit A3 zur folgendenquadratischen Gleichung in A3

0 = A3(A3 +B3 − 2q) = (A3)2 − 2qA3 + p3

mit den LosungenA3 = q ±

√q2 − p3.

Damit ist

B3 = p3

A3= p3

q ±√q2 − p3

=p3(q ∓

√q2 − p3)

q2 − (q2 − p3)= q ∓

√q2 − p3

und somit

y = 3√q +

√q2 − p3 + 3

√q −

√q2 − p3.

Einsetzen in die kubische Gleichung zeigt, daß wir wirklich eine Losung gefunden haben:

y3 = (q +√q2 − p3) + 3

3

√(q2 −

√q2 − p3

2) ⋅ (q +

√q2 − p3)+

+ 33

√(q2 −

√q2 − p3

2) ⋅ (q −

√q2 − p3) + (q −

√q2 − p3)

= 2q + 3p ( 3√q +

√q2 − p3 + 3

√q −

√q2 − p3)

= 2q + 3py.

Damit die dabei vorkommenden (Quadrat-)Wurzeln reell ist, muß q2 − p3 ≥ 0 sein. Was besagt diesfur unser ursprungliches kubisches Polynom f(y) ∶= y3−3py−2q? Dieses ist entweder streng monoton(falls p ≤ 0) oder es existieren Extremwerte bei y mit 0 = f ′(y) = 3y2 − 3p, also y = ±√p. Diesehaben den Wert f(±√p) = −2(q ±√

p3), also liegt zwischen ihnen genau dann eine Nullstelle, wenn0 > f(√p) ⋅ f(−√p) = 4(q2 − p3) ist. Somit ist genau dann q2 − p3 ≥ 0, wenn die Gleichung f(y) = 0eine und nur eine reelle Losung besitzt.

Andernfalls (im sogenannten “casus irreducibilis”) ist

y = 3√q + i

√p3 − q2 + 3

√q − i

√p3 − q2,

also mussen wir die 3-te Wurzel der komplexen Zahlen q ± i√p3 − q2 bestimmen.

Z.B. fur y3−15 y−4 = 0, also p = 5 und q = 2, erhalten wir nach Rafael Bombelli 1572 in L’Algebra(nach [Neu03, p3])):

y =3√

2 + 11√−1 +

3√

2 − 11√−1 = 2 +

√−1 + 2 −

√−1 = 4.

Allgemein sollten wir also bei gegebenen a, b ∈ R folgende Gleichung losen:

a + i b = (x + i y)3 = (x3 − 3xy2) + i (3x2y − y3)⇒a = x3 − 3xy2 und b = 3x2y − y3

Wegen√a2 + b2 =

√(a + i b)(a − i b) =

√(x + i y)3(x − i y)3 =

√x2 + y2

3kennen wir die Lange r ∶=

∥(x, y)∥ ∶=√x2 + y2 = 3

√∥(a, b)∥ von (x, y). Damit konnen wir obiges Gleichungssystem umschreiben

zu

a = x3 − 3x(r2 − x2) = 4x3 − 3xr2 = r3(4(xr)

3

− 3x

r) und

b = 3(r2 − y2)y − y3 = 3yr2 − 4y3 = r3(3y

r− 4(y

r)

3

).

Diese Formeln erinnern uns an

cos(3ϕ) = cos(2ϕ) cos(ϕ) − sin(2ϕ) sin(ϕ) = cos(ϕ)3 − 3 sin(ϕ)2 cos(ϕ)= 4 cos(ϕ)3 − 3 cos(ϕ)

sin(3ϕ) = sin(2ϕ) cos(ϕ) + cos(2ϕ) sin(ϕ) = 3 sin(ϕ) cos(ϕ)2 − sin(ϕ)3

= 3 sin(ϕ) − 4 sin(ϕ)3

[email protected] © 1. Juli 2011 3

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1.4 1. Komplexe Zahlen

Wenn wir also den Einheitsvektor r−3(a, b) als (cosϕ, sinϕ) schreiben, dann erhalten wir eine Losung

x + i y ∶= r (cos(ϕ3) + i sin(ϕ

3)).

1.3 Gleichung 4.ter Ordnung.Gerolamo Cardano hat ebenfalls in Ars magna de Regulis Algebraicis (mit Verweis auf LodovicoFerrari ) auch die polynomiale Gleichung 4. Ordnung behandelt:

a4 x4 + a3 x

3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 mit a4 ≠ 0

Nach Division durch a4 durfen wir o.B.d.A. annehmen, daß der fuhrende Koeffizient a4 = 1 ist. Wirversuchen dieses Polynom als Produkt von 2 quadratischen Polynomen zu schreiben, d.h.

x4 + a3 x3 + a2 x

2 + a1 x + a0 == (x2 + b1 x + b0) ⋅ (x2 + c1 x + c0)

= (x2 + b1 + c12

x + b0 + c02

)2

− (b1 − c12

x + b0 − c02

)2

=∶ (x2 + d1 x + d0)2 − (e1 x + e0)2,

wegen b ⋅ c = ( b+c2

)2 − ( b−c2

)2 und mit

b1 = d1 + e1 b0 = d0 + e0 c1 = d1 − e1 c0 = d0 − e0.

Nullstellen sind also genau die 4 Losungen der beiden quadratischen Gleichungen

x2 + (d1 ∓ e1)x + (d0 ∓ e0) = 0

Ein Koeffizientenvergleich von

x4 + a3 x3 + a2 x

2 + a1 x + a0 == x4 + 2d1 x

3 + (2d0 + (d1)2)x2 + 2d0d1 x + (d0)2 − (e1)2 x2 − 2e0e1 x − (e0)2

liefert

a3 = 2d1

a2 = 2d0 + d21 − e2

1

a1 = 2d0d1 − 2e0e1

a0 = d20 − e2

0

Elimination von d1, e0 und e1 aus der 1., 2. und 4. Gleichung liefert nach Einsetzen in die 3.teGleichung

(a3d0 − a1)2 = 4(d20 − a0) ⋅ (2d0 +

14a2

3 − a2)

also die kubische Gleichung

d30 −

12a2d

20 +

14(a1a3 − 4a0)d0 −

18(a2

1 + a0(a23 − 4a2)) = 0

fur den Parameter d0. Sei d0 die (großte) Losung dieser kubischen Gleichung (damit d20 − a0 ≥ 0 ist)

dann sind die ubrigen Parameter

d1 =12a3, e0 =

√d2

0 − a0, e1 =a3d0 − a1

2e0

und es ist verbleibt nur noch die beiden obigen quadratischen Gleichungen zu losen.

1.4 Andere erfolgreiche Umwege uber das Komplexe.Betrachten wir die lineare Differentialgleichung

x′′(t) − 2x′(t) + 2x(t) = 0 mit x(0) = 2 und x′(0) = 2

In Analogie zur Losung x(t) = eλt von x′(t) = λx(t) liefert ein Ansatz der Form x(t) ∶= eλt:

λ2eλt − 2λeλt + 2eλt = 0⇒ λ2 − 2λ + 2 = 0⇒ λ = 1 ± i

⇒ x(t) = ae(1+i)t + b e(1−i)t mit a, b ∈ R.

4 [email protected] © 1. Juli 2011

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1. Komplexe Zahlen 1.5

Die Koeffizienten a und b bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:

2 = a + b und 2 = a(1 + i) + b(1 − i)⇒ a = b = 1

Was bedeutet nun aber e(1±i)t? Fur reelle Zahlen u, v ist eu+v = eu ⋅ ev. Wir sollten uns also auf eit

konzentrieren. Im reellen ist et = ∑∞

k=0tk

k!. Setzen wir nun i v anstelle von t ein, so erhalten wir die

Formel von Euler aus 1748

ei v =∞

∑k=0

(iv)k

k!=

∑k=0

i2kv2k

(2k)!+

∑k=0

i2k+1 v2k+1

(2k + 1)!

=∞

∑k=0

(−1)k v2k

(2k)!+ i

∑k=0

(−1)k v2k+1

(2k + 1)!= cos v + i sin v

und speziell die Euler’sche Identitat

eiπ = −1.

Folglich setzen wir

eu+i v ∶= eu ei v ∶= eu (cos v + i sin v)

und erhalten als Losung der Differentialgleichung

x(t) = e(1+i)t + e(1−i)t = et(cos t + i sin t + cos t − i sin t) = 2 et cos t

Wir haben somit – durch den vermeintlichen Umweg uber komplexe Zahlen – (die) reelle(n) Losungendieser Differentialgleichung mit reellen Koeffizienten gefunden.

Beachte, daß die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus die Identitat

eu+i v ⋅ eu′+i v′ = eu eu

′(cos v + i sin v) (cos v′ + i sin v′)

= eu+u′((cos v cos v′ − sin v sin v′) + i (cos v sin v′ + sin v cos v′))

= eu+u′(cos(v + v′) + i sin(v + v′))

= e(u+i v)+(u+i v′)

zur Folge hat. Wir werden uns im Abschnitt 3 nochmals ausfuhrlicher mit Potenzreihen beschaftigenund die komplexe Exponentialfunktion uber ihre Potenzreihe definieren. Inbesonders konnen wir dannleicht

ez1+z2 = ez1 ⋅ ez2 fur alle z1, z2 ∈ C

zeigen, woraus dann seinerseits die Additionstheorem fur Kosinus und Sinus folgen. Dies ist einweiteres Indiz dafur, daß der scheinbare Umweg uber das Komplexe auch reelle Resultate einfachliefern kann.

1.5 Der historische Weg zur exakten Einfuhrung.Komplexe Zahlen konnen also sogar fur reelle Fragestellungen mit reellen Antworten recht hilfreichsein, obwohl ihr geometrische Bedeutung lange unklar blieb.

Von Gottfried Leibniz stammt folgende Aussage aus 1702:

. . . imaginare Wurzeln als feine und wunderbare Zuflucht des gottlichen Geistes, beinahe einZwitterwesen zwischen Sein und Nichtsein.

Leonhard Euler schrieb 1768:

. . . dieselben ohnmogliche Zahlen sind. Der Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nachohnmoglich sind und gemeiniglich imaginare Zahlen oder eingebildete Zahlen genannt werden,weil sie bloß allein in der Einbildung statt finden.

Euler macht 1770 folgende Rechnung√−2

√−3 =

√6, die nicht stimmen kann, wie auch

−1 = i2 =√−1 ⋅

√−1 ?=

√(−1) ⋅ (−1) =

√1 = 1

[email protected] © 1. Juli 2011 5

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1.8 1. Komplexe Zahlen

zeigt. Er entratselt aber 1749 in Histoire de l’Academie de Berlin, Bd. V, Rechnungen der folgendenArt:

tan′(x) = 1cos(x)2

= 1 + tan(x)2 ⇒ arctan′(y) = 1tan′(arctan(y))

= 11 + y2

arctan(x) = ∫x

0

dt

1 + t2= 1

2i ∫x

0( 1t − i

− 1t + i

)dt = 12i

log ( i − xi + x

)⇒

π

4= arctan 1 = 1

2ilog

i − 1i + 1

= 24i

log i = 14i

log(i2)

= 28i

log(−1) = 18i

log(−1)2 = 18i

log 1 = 0⇒

π = 0

Caspar Wessel beschreibt 1799 als erster die komplexen Zahlen geometrisch, blieb aber unbeachtet.

Carl Friedrich Gauß beschreibt 1831 die komplexen Zahlen als Punkte a+i b der Ebene.

Augustin Louis Cauchy schreibt noch 1844 “Imaginare Zahlen sind Symbole die nichts bedeutenund keinen Sinn haben”:

. . . on doit continuer a se servir de ces expressions, qui, prises a la lettre et interpretees d’apresles conventions generalement etablis, ne signifient rien et n’ont pas de sens. Le signe

√−1 n’est

en quelque sort qu’on outil, un instrument de calcul, qui peut etre employe avec succes dans ungrand nombre de cas pour rendre beaucoup plus simples non seulement les formules analytiques,mais encore les methodes a l’aide desquelles on parvient a les etablir.

Er gab aber 1847 in Exercices d’analyse et de Phys. math., Bd.4, S.157 eine zusammenhangendeDarstellung der geometrischen Theorie.

1.6 Algebraische Definition von C als Faktorring.Die algebraische Konstruktion, welche hinter der Beschreibung C = {a + i b ∶ a, b ∈ R} steckt, istder Faktorring R[x]/⟨1 + x2⟩: Es ist R[x] ein Integritatsbereich, da R ein Korper ist. Das Polynom1 + x2 ist in R irreduzibel (d.h. prim), denn andernfalls zerfiele es in Linearfaktoren, also (1 + x2) =(1 − x0) ⋅ (1 − x1), d.h. x1 = −x0 und 1 = x0x1 = −x2

0. Damit ist der Faktorring R[x]/I, wobei I dasvon 1 + x2 erzeugte (Haupt-)Ideal bezeichnet ein Korper. Dieser ist offensichtlich linear isomorph zuR2.

1.7 Abstrakte algebraische Definition von C als R2.William Rowan Hamilton definiert schließlich komplexe Zahlen 1835 als Zahlenpaare (a, b) ∈ R2

mit den abstrakt gegebenen Formeln fur Summe und Produkt:

(a, b) + (a′, b′) ∶= (a + a′, b + b′)(a, b) ⋅ (a′, b′) ∶= (aa′ − b b′, a b′ + a′ b)

Beginnt man so, dann ist die Formel fur die Multiplikation nicht sehr einsichtig. Allerdings hatFrobenius 1877 gezeigt, daß es bis auf Isomorphie nur eine Multiplikation auf dem Rn mit 2 ≤ n ∈ Nso gibt, daß Rn eine kommutative Divisionsalgebra ist (d.h. eine kommutative Algebra mit 1, inwelcher jedes Element ungleich 0 ein multiplikatives Inverses besitzt).

Zwar liefern die Cardano’schen Formeln die Losungen polynomialer Gleichungen 3. und 4. Ord-nung, Gleichungen hoherer Ordnung lassen sich im Allgemeinen aber nicht mehr mittels Wurzel-ziehen auflosen, wie Niels Henrik Abel (Memoire sur les equations algebriques ou on demontrel’impossibilite de la resolution de l’equation generale du cinquieme degre, Groendahl, Christiania1824) und Evariste Galois in 3 Arbeiten aus 1830 im Bulletin des Sciences mathematiques deFerussac zeigten.

Jedoch gilt der

1.8 Fundamentalsatz der Algebra.Jedes nicht-konstante Polynom p ∈ C[x] besitzt eine Nullstelle in C. Man sagt dafur auch, C istalgebraisch abgeschlossen.

Erstmals wurde dieser von Euler formuliert 1742, fehlgeschlagene Beweise lieferten auch von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1746) und Joseph Louis Lagrange (1772), schließlich bewiesenhat ihm Gauß in seiner Dissertation 1799.

6 [email protected] © 1. Juli 2011

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1. Komplexe Zahlen 1.11

Wir werden spater nach 3.42 einen kurzen Beweis mit komplexer Analysis liefern, fur einen elemen-taren Beweis siehe z.B. [KriANA1, 3.3.10].

1.9 Folgerung. Zerlegung in linear-Faktoren.Jedes Polynom p ∶ x↦ ∑nj=0 pj x

j in C[x] laßt sich wie folgt in linear-Faktoren zerlegen:

p(x) = pn ⋅ (x − x1) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (x − xn),

wobei pn der fuhrende Koeffizient und x1, . . . , xn die (algebraisch gezahlten) Nullstellen von p sind.

Beweis. Wir machen Induktion nach n = Grad(p). Nach dem Fundamentalsatz 1.8 existiert eineNullstelle x1 von p und nach Division durch x−x1 mit Rest p(x1) = 0 erhalten wir p(x) = (x−x1) ⋅q(x)fur ein Polynom q vom Grad n−1 < n und hochsten Koeffizienten qn−1 = pn, siehe [KriANA1, 1.4.14].Nach Induktionsannahme ist q(x) = qn−1∏n−1

i=1 (x− yi), wobei yi die Nullstellen von q und somit auchwelche von p sind.

1.10 Definition von C als algebraischer Abschluß von R.Dies fuhrt zu einer kanonischeren Moglichkeit C algebraisch zu definieren, namlich C als algebrai-schen Abschluß von R. Nach Ernst Steinitz besitzt jeder Korper k einen (bis auf Isomorphieeindeutigen) algebraisch abgeschlossenen algebraischen Erweiterungskorper.

1.11 Komplexe Zahlen als Drehstreckungen.Wenn wir komplexe Zahlen z = a + i b auf C ≅ R2 durch Addition wirken lassen, so ist dies gerade dieTranslation um den Vektor (a, b).

Die Addition von komplexen Zahlen als Punkten in der Ebene entspricht somit der Addition der(Orts)vektoren. Also ist die Addition mit einer fixen komplexen Zahl a + i b die Translation um denVektor mit Koordinaten (a, b).

Ñ

a

b

b b

a’

a’

a’

b’

a’ a

b

b’

a+ib=z

z’=a’+ib’

z+z’

Wir wollen nun auch die Wirkung von z auf C durch Multiplikation geometrisch interpretieren unddamit eine vollig geometrische Beschreibung der komplexen Zahlen erhalten.

Das distributiv-Gesetz besagt, daß jedes z ∈ C durch Multiplikation additiv auf R2 wirkt und wegender Kommutativitat auch R-linear. In der Tat ist die Matrixdarstellung A der Multiplikation einerkomplexen Zahl a + i b auf R2 gegeben durch

(a −bb a

) ∶ (xy)↦ (ax − b y

bx + ay) .

Multiplikation mit i bildet (xy) auf (−y

x) =∶ (x

y)⊥ ab und ist durch die Rotationsmatrix J ∶= ( 0 −1

1 0 )gegeben. Wegen der Kommutativitat der Multiplikation kommutiert A mit J . Umgekehrt ist jede mit

[email protected] © 1. Juli 2011 7

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1.13 1. Komplexe Zahlen

J kommutierende Matrix gegeben durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl, denn sei

A = (a cb d

) mit A ○ J = J ○A,

also (c −ad −b) = (−b −d

a c) , d.h. c = −b und d = a.

Folglich ist die Abbildung C→ L(R2,R2), definiert durch z ↦ (z, z⊥), ein Ring-Isomorphismus von Cauf die Kommutante {A ∶ A ○ J = J ○A} von J .

Jede mit J vertauschende lineare Abbildung, erhalt (orientierte) rechte Winkel: Sei dazu v ⊥ w undo.B.d.A. v ≠ 0. Dann ist w = r v⊥ = r Jv fur ein r ∈ R, also

A(w) = A(r Jv) = rA(J(v)) = r (A ○ J)(v) = r (J ○A)(v) = rA(v)⊥ ⊥ A(v).insbesonders A(w) auf der gleichen Seite von A(v) wie w von v.

1.12 Lemma. Konforme lineare Abbildungen.Die Matrixdarstellung jeder rechte Winkel erhaltenden linearen Abbildung R2 → R2 ist von der Form( a ∓bb ±a ) mit a, b ∈ R.

Beweis. Es sei ( a cb d ) die Matrixdarstellung solch einer Abbildung f .

Angenommen {0} ≠ ker(f) ≠ R2. Dann existiert ein v ∈ ker(f) und ein v′ ∈ ker(f)⊥ mit ∥v∥ = 1 = ∥v′∥.Somit ist v′+v ⊥ v′−v (wegen ⟨v′+v, v′−v⟩ = ∥v′∥2−∥v∥2 = 0) und damit f(v′) = f(v′−v) ⊥ f(v′+v) =f(v′) ein Widerspruch.

Sei also ker(f) = {0}. Dann ist (ab) = f(e1) ≠ 0 und (c

d) = f(e2) ⊥ f(e1), wobei die ei die standard

Basisvektoren von R2 bezeichnet. Also ist (cd) = r (a

b)⊥ ∶= r (−b

a) fur ein r ∈ R.

Wegen ⟨e1 + e2, e1 − e2⟩ = 0 ist

0 = ⟨f(e1) + f(e2), f(e1) − f(e2)⟩ = a2 − c2 + b2 − d2 = (1 − r2)(a2 + b2),also r = ±1.

Bemerkung.Jede solche Abbildung f bewahrt dann beliebige Winkel (man sagt nach Gauß sie sei konform):Fur v = (x, y) ∈ R2 ist f(v) = (ax ∓ by, bx ± ay) und somit

∣f(v)∣2 = (ax ∓ by)2 + (bx ± ay)2 = (a2 + b2)(x2 + y2) = ∣det(f)∣ ∣v∣2,also bewahrt f auch Proportionen.

Wegen der Polarisierungsgleichung (siehe auch [KriDG, 1.1] oder [KriFA, 6.2.2])14(∣v +w∣2 − ∣v −w∣2) = 1

4(∣v∣2 + 2⟨v,w⟩ + ∣w∣2 − ∣v∣2 + 2⟨v,w⟩ − ∣w∣2) = ⟨v,w⟩

ist damit⟨f(v), f(w)⟩ = ∣det(f)∣ ⟨v,w⟩

Sei schließlich ϕ der Winkel ∢(v,w) den die beiden Vektoren v und w einschließen, also cosϕ = ⟨v,w⟩

∣v∣ ∣w∣.

Dann ist

cos(∢(f(v), f(w))) = ⟨f(v), f(w)⟩∣f(v)∣ ∣f(w)∣

= ⟨v,w⟩∣v∣ ∣w∣

= cosϕ,

also ∢(f(v), f(w)) = ±∢(v,w).

Falls f zusatzlich die Orientierung (der rechten Winkel) bewahrt, so ist 0 < det(f) = ad−bc = r(a2+b2),also r = 1.

1.13 Geometrische Definition von C.Wir konnen nun C auch als Teilmenge {( a −b

b a ) ∶ a, b ∈ R} der orientierungserhaltenden konformen(oder auch der mit J kommutierenden) linearen Abbildungen R2 → R2 definieren.

Da die Gleichung A ○ J = J ○ A linear ist, ist dies ein linearer Teilraum, und da orientierungserhal-tenden konformen Abbildung unter Komposition abgeschlossen sind eine Teilalgebra (insbesondersein Ring). Die Inverse einer invertierbaren orientierungserhaltenden konformen Abbildung hat die

8 [email protected] © 1. Juli 2011

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1. Komplexe Zahlen 1.14

selben Eigenschaften, also erhalten wir eine Divisionsalgebra. Man rechnet leicht nach, daß derartigeMatrizen miteinander kommutieren, also ist das so definierte C ein Korper.

Die Abbildung a + i b↦ ( a −bb a ) ist dann ein Korper-Isomorphismus (dessen Inverse durch A↦ A ⋅ (1

0)

gegeben ist). Dabei entspricht i der Drehung J ∶= ( 0 −11 0 ) um +90o. Die Multiplikation mit einer

komplexen Zahl z auf C ≅ R2 ist also gerade durch das Anwenden der Matrix (z ⋅ 1, z ⋅ i) = (z, z⊥)gegeben.

Man nennt a den Realteil Re(z) der komplexen Zahl z = a+i b und b den Imaginarteil Im(z). Diekonjugierte Zahl zur komplexen Zahl z ist definiert durch z ∶= a − i b. Konjugieren a + i b ↦ a − i bentspricht also der Transposition A↦ At der entsprechenden Matrizen.

Der Betrag ∣z∣ =√a2 + b2 =

√z ⋅ z komplexer Zahlen z entspricht

√detA (beachte det(A) ≥ 0), ist

also insbesonders multiplikativ, d.h. ∣z1 ⋅ z2∣ = ∣z1∣ ⋅ ∣z2∣. Es folgt die

Cauchy-Schwarz-Ungleichung: ∣⟨z1, z2⟩∣ = ∣Re(z1z2)∣ ≤ ∣z1 z2∣ = ∣z1∣ ∣z2∣

und damit auch die

Dreiecksungleichung: ∣z1 + z2∣ =√

∣z1∣2 + 2 Re(z1z2) + ∣z2∣2 ≤ ∣z1∣ + ∣z2∣.

Wenn wir (ab) in Polarkoordinaten darstellen, also (a

b) = r(cosϕ

sinϕ) mit r = ∣(a

b)∣ ≥ 0 und ϕ ∈ (−π,π] ⊆ R,

dann ist die zugehorige konforme Matrix von der Form r ( cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ ), also Zusammensetzung der

Drehung ( cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ ) um den Winkel ϕ und der Streckung um r ≥ 0. Der Betrag einer komplexen

Zahl ist somit der Streckungsanteil r. Da Drehstreckungen miteinander kommutieren erhalten wirauch so die Kommutativitat der Multiplikation.

Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl mitPolarkoordinaten (r,ϕ) ist daher gerade die Dreh-streckung um den Winkel ϕ und den Streckungs-faktor r, d.h. Ein Punkt mit Polarkoordinaten(r′, ϕ′) wird durch Multiplikation mit (r,ϕ) aufden Punkt mit Polarkoordinaten (r r′, ϕ+ϕ′) abge-bildet, d.h. in Polardarstellung werden die Radienmultipliziert und die Winkel addiert. Ñ

rj

j

r’

j’

r r’

j+j’

z

z’

z z’

Bei der Division komplexer Zahlen in Polarkoordinaten werden folglich die Radien dividiert und dieWinkel subtrahiert.

Als Spezialfall erhalten wir mittels Induktion die Formel von Abraham de Moivre aus 1722:

(r eiϕ)n = rn einϕ fur alle r,ϕ ∈ R und n ∈ N

oder nach Zerlegung in Real- und Imaginarteil:

(cos(ϕ) + i sin(ϕ))n

= cos(nϕ) + i sin(nϕ).

Damit konnen wir allgemein Wurzelziehen:

1.14 Folgerung. Wurzeln komplexer Zahlen.Fur n ∈ N∖{0} gibt es genau n verschiedene n-te Wurzeln jeder komplexen Zahl z = r(cosϕ+i sinϕ) ≠ 0namlich n

√r(cos(ϕ+2kπ

n) + i sin(ϕ+2kπ

n)) fur k = 0, . . . , n − 1.

Beweis. Die Losungen der Gleichung

r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = (r′(cos(ϕ′) + i sin(ϕ′)))n = (r′)n(cos(nϕ′) + i sin(nϕ′))

sind gerade durch r = (r′)n und ϕ − nϕ′ ∈ 2πZ gegeben, also durch r′ = n√r und ϕ′ = ϕ+2kπ

n.

[email protected] © 1. Juli 2011 9

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1.14 1. Komplexe Zahlen

Z.B. erhalt man die 3-ten Einheitswurzeln, d.h. die komplexen Zahlen z mit z3 = 1 als

z0 ∶= cos 0 + i sin 0 = 1;

z1 ∶= cos2π3+ i sin

2π3

= −12+ i

√3

2;

z2 ∶= cos4π3+ i sin

4π3

= −12− i

√3

2.

R

iR

1

i

-i

����������2 Π

3

����������2 Π

3

����������2 Π

3

zH1L

zH2L

zH0L

- ����1

2

���������������

�!!!!!3

2

- ���������������

�!!!!!3

2

10 [email protected] © 1. Juli 2011

Page 13: Komplexe Analysis - univie.ac.atkriegl/Skripten/2011SS.pdf · 2011-07-01 · 1. Komplexe Zahlen Um lineare Gleichungen a⋅x=bzu l osen, muˇ der Ring Z zum K orper Q erweitert werden

1. Komplexe Zahlen 2.1

2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

2.1 Visualisierung komplexer Funktionen.Komplexe Funktionen f ∶ C → C, wie z.B. Polynome f ∈ C[z], sind nach Definition Teilmengenvon C × C = (R × R) × (R × R) = R4 und somit schwer zu visualisieren. Eine Moglichkeit ist wohlDefinitionsbereich C und Wertebereich C getrennt zu zeichnen, und die Funkion f ∶ C → C dadurchanzudeuten, daß man gewisse Linien (wie z.B. konzentrische Kreise und Halbstrahlen durch 0) imDefinitionsbereich und deren Bilder unter f im Wertebereich einzeichnet. Fur die Funktion z ↦ z2

gibt dies z.B.

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

kartesisches Gitter @-1,1D´@-1,1D

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

Polargitter @0,1D´@-Π,ΠD um 0

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

kartesisches Gitter @-1,1D´@-1,1D

Quadratfunktion

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

Polargitter @0,1D´@-Π,ΠD um 0

Quadratfunktion

Es wird dabei die Ebene zweimal um den Nullpunkt herumgewickelt und der Abstand der Punktezum Nullpunkt quadriert.

[email protected] © 1. Juli 2011 11

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2.1 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

Polargitter @0,1D´@-Π,ΠD um 1

Quadratfunktion

Diese Darstellung wird allerdings schnell kompliziert, denn z.B. fur z ↦ z2 + z + 1 sieht sie so aus:

0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

kartesisches Gitter @-1,1D´@-1,1D

z2 + z + 1

0 1 2 3

-1

0

1

0 1 2 3

-1

0

1

Polargitter @0,1D´@-Π,ΠD um 0

z2 + z + 1

Eine andere Moglichkeit ist den Realteil z ↦ Re(f(z)) und getrennt davon den Imaginarteil z ↦Im(f(z)) als Funktionen von R2 = C → R und somit als Gebirge uber der Ebene zu zeichnen. Furx + i y = z ↦ z2 = (x2 − y2) − i x y sieht das wie folgt aus:

Wir konnen Polarkoordinaten r eiϕ auch farblich darstellen, indem wir mit r die Helligkeit para-metrisieren und mit ϕ den Farbwert (Hue). Indem wir nun jeden Punkt z des Definitionsbereichsentsprechend der Polarkoordinaten des Wertes f(z) einfarben, erhalten wir eine 2-dimensionale farb-liche Darstellung der Abbildung f .

12 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.4

2.2 Definition. Topologie und Konvergenz in C.Um Stetigkeit (und Differenzierbarkeit) von Abbildungen f ∶ C→ C zu behandeln, benotigen wir eineTopologie auf C. Mittels der Identifizierung C ≅ R2 konnen wir dazu die Euklidische Topologiedes R2 (die durch die Abstandsfunktion d(z1, z2) ∶= ∣z1 − z2∣ gegeben ist) verwenden oder aquivalentauch die vom Raum der reellen 2×2-Matrizen. Eine Folge komplexer Zahlen zn = an+ i bn konvergiertgenau dann gegen z∞ = a∞ + i b∞, wenn an → a∞ und bn → b∞.

2.3 Definition. Komplexe Differenzierbarkeit.Fur Abbildungen f ∶ C ⊇ U → C, die auf einer Umgebung U einer komplexen Zahl z ∈ C definiert sind,haben wir die Moglichkeit eine (komplexe) Ableitung f ′(z) ∈ C analog zum 1-dimensionalen reellenFall zu definieren:

f ′(z) ∶= limC∋w→0

f(z +w) − f(z)w

.

Falls diese existiert, so sagen wir f sei komplex differenzierbar oder kurz C-differenzierbarbei z. Falls dieser Limes fur alle z ∈ U existiert so nennt man f C-differenzierbar oder kurzholomorph auf U .

2.4 Beispiel: Identitat, Betrag, Inversion.

1. Die Identitat id ∶ C→ C, z ↦ z, ist holomorph mit

id′(z) = limw→0

z +w − zw

= 1.

2. Es ist f(z) ∶= ∣z∣2 = zz C-differenzierbar in 0 aber sonst nirgends, denn

f ′(0) = limw→0

f(w) − f(0)w

= limw→0

w = limw→0

w = 0,

aber fur z ≠ 0 existiert folgender Limes nicht:

f ′(z) = limw→0

f(z +w) − f(z)w

= limw→0

(z +w)(z +w) − zzw

= z + z limw→0

w

w.

3. Die Inversion f ∶ z ↦ 1z

ist holomorph auf C ∖ {0}, denn

f ′(z) = limw→0

1z+w

− 1z

w= limw→0

z − (z +w)(z +w) z w

= limw→0

−1(z +w) z

= − 1z2.

[email protected] © 1. Juli 2011 13

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2.5 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

0 1 2

-1

0

1

0 1 2

-1

0

1

kartesisches Gitter @0.1,1D´@-1,1D

Inversion

0 1 2

-1

0

1

0 1 2

-1

0

1

Polargitter @0,0.9D´@-Π,ΠD um 1

Inversion

Graphisch erhalt man wegen dem Kathetensatz die Inversion 1z= z

∣z∣2wie folgt:

0

z

����1

z�

����1

z

Die Inversion bildet Kreis auf Kreise ab:Der Kreis um a ∈ C mit Radius r > 0 ist gegeben durch die Gleichung

r2 = ∣z − a∣2 = (z − a) (z − a) = zz − az − az + aa.Sei w ∶= 1

zdann ist r2 = 1

ww− aw− aw+ aa, also

∣w∣2(∣a∣2 − r2) − aw − aw + 1 = 0.

Sei vorerst r2 ≠ ∣a∣2, d.h. der ursprungliche Kreis geht nicht durch 0. Dann ist dies die Kreisglei-chung

ww − bw − bw + bb = r2

(∣a∣2 − r2)2mit Mittelpunkt b = a

∣a∣2 − r2.

Umgekehrt liegt fur jedes w, welches diese erfullt, z ∶= 1w

am ursprunglichen Kreis.Falls andererseits r2 = ∣a∣2 > 0 gilt, dann ist

1 − aw − aw = 0

die Gleichung einer Gerade (setze a = α + i β und w = x + i y dann ist dies 2αx − 2βy = 1). JedeGerade, die nicht durch 0 geht, laßt sich so aus dem Kreis um a = α+ i β mit Radius r =

√α2 + β2

erhalten. Geraden durch den Ursprung werden unter z ↦ 1/z an der reellen Achse gespiegelt.

2.5 Vergleich mit reeller Differenzierbarkeit

Was ist nun, wenn wir f als Abbildung R2 ⊇ U → R2 auffassen, der Zusammenhang zu der reellenAbleitung an der Stelle z = x + i y, also der linearen Approximation

df(x, y) = (∂1f1 ∂2f1

∂1f2 ∂2f2)(x, y),

wobei f1(x, y) ∶= Re(f(x + i y)) und f2(x, y) ∶= Im(f(x + i y)).

14 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.7

Proposition. Reell- versus komplex-differenzierbar.Eine Abbildung f ∶ C ⊇ U → C ist bei z ∈ U genau dann (reell) differenzierbar mit C-linearer Ableitungdf(z) ∶ C → C, wenn f komplex differenzierbar bei z ist. Es gilt dann df(z)(w) = f ′(z) ⋅ w undf ′(z) = df(z)(1).

Beweis. (⇐) Es sei f ′(z) ∶= limw→0f(z+w)−f(z)

wund A(w) ∶= w ⋅ f ′(z). Dann gilt:

limw→0

∥f(z +w) − f(z) −A(w)∥∥w∥

= limw→0

∥f(z +w) − f(z)w

− f ′(z)∥ = 0,

d.h. f ist reell-differenzierbar mit Ableitung df(z) = A und f ′(z) = A(1) = df(z)(1).

(⇒) Wenn die reelle Ableitung df(z) C-linear ist, dann gilt df(z)(w) = df(z)(w ⋅ 1) = w ⋅ df(z)(1) furalle w ∈ C und somit ist

0 = limw→0

∥f(z +w) − f(z) − df(z)(w)∥∥w∥

= limw→0

∥f(z +w) − f(z)w

− df(z)(1)∥ ,

d.h. es existiert f ′(z) ∶= limw→0f(z+w)−f(z)

wdf(z)(1).

Da die reelle Ableitung an der Stelle z der C-differenzierbaren Abbildung durch Multiplikation mitder komplexen Zahl f ′(z) ∈ C gegeben ist, muß die Jacobi-Matrix

(∂1f1(z) ∂2f1(z)∂1f2(z) ∂2f2(z)

)

nach 1.11 die Gleichungen

∂1f1(z) = ∂2f2(z) und ∂1f2(z) = −∂2f1(z),

oder kurz df2(z) = df1(z)⊥, erfullen. Es gilt somit: Und umgekehrt haben diese Gleichungen dieC-Linearitat der reellen Ableitung und somit die komplexe Differenzierbarkeit zur Folge.

2.6 Folgerung. Cauchy-Riemann-Differentialgleichung(en).Eine komplex-wertige Abbildung f = f1 + i f2 ∶ C ⊇ U → C ist genau dann holomorph, wenn sie reelldifferenzierbar ist und die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen

∂1f1 = ∂2f2 und ∂2f1 = −∂1f2

erfullt sind.

Der Satz von Looman-Menchoff besagt, daß fur die Ruckrichtung die lokale Existenz der partiellenAbleitungen zusammen mit der Stetigkeit von f genugt.

Fur Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorraumen uber C (oder sogar fur komple-xe Banach-Raume) definiert man folglich C-Differenzierbarkeit als reelle Differenzierbarkeit mir C-linearer Ableitung. Wir werden in dieser Vorlesung uns im wesentlichen auf komplex 1-dimensionalenFall beschranken.

2.7 Die Exponentialfunktion.Die komplexe Exponentialfunktion ist definiert durch

exp(z) ∶= ez = ex+iy ∶= ex(cos(y) + i sin(y)).

Diese Abbildung R2 → R2 ist C∞ mit Jakobi-Matrix

d exp(z) = (ex cos(y) −ex sin(y)ex sin(y) ex cos(y) ) = ez ∈ C,

also ist die Exponentialfunktion exp ∶ C → C holomorph mit C-Ableitung exp′ = exp. Beachte, daßez = ex(cos y + i sin y) ≠ 0 fur alle z = x + i y ∈ C gilt, also f nach dem Satz uber inverse Funktionen(siehe [KriANA2, 6.2.1]) ein lokaler Diffeomorphismus ist. Andererseits ist aber f nicht injektiv, dennexp(z1) = exp(z2) ⇔ Re z1 = Re z2 und Im z1 − Im z2 ∈ 2πZ.

[email protected] © 1. Juli 2011 15

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2.11 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

kartesisches Gitter @-1,1D´@-Π,ΠD

ãz

1 2

-1

0

1

1 2

-1

0

1

Polargitter @0,1D´@-Π,ΠD um 0

ãz

2.8 Beispiel. Die Konjugation.Die durch z ↦ z gegebene (reell-lineare) Funktion konj ∶ C → C ist nirgends C-differenzierbar, denndkonj(z) = konj ist C-antilinear, d.h. konj(λ ⋅w) = λ ⋅ konj(w).

2.9 Folgerung. Operationen mit holomorphen Funktionen.Linearkombinationen, Produkte und Zusammensetzungen C-differenzierbarer Funktionen sind eben-falls C-differenzierbar und die Ableitungen konnen wir wie im reell 1-dimensionalen berechnen. Quo-tienten holomorpher Funktionen sind auf ihren Definitionsbereich holomorph. Insbesonders sind Po-lynome p ∈ C[x] auf C und rationale Funktionen p

qmit p, q ∈ C[x] auf {z ∶ q(z) ≠ 0} holomorph.

Beweis. Wegen Linearitat des reellen Differenzierens und weil die C-linearen Abbildungen einen(reell-)linearen Teilraum bilden, gilt ersteres. Wegen Produkt- und Kettenregel und weil die C-linearenAbbildungen unter Multiplikation mit komplexen Zahlen und unter Zusammensetzung abgeschlossensind, gilt der Rest. Z.B. erhalten wir fur das Produkt (siehe [KriANA2, 6.1.8]):

(f ⋅ g)′(z) = d(f ⋅ g)(z)(1) = d(µ ○ (f, g))(z)(1) = dµ((f, g)(z)) ⋅ d(f, g)(z) ⋅ 1= µ(f(z), dg(z)(1)) + µ(df(z)(1), g(z)) = f(z) ⋅ g′(z) + f ′(z) ⋅ g(z)

Fur Quotienten folgt dies aus dem Produkt und der Holomorphie der Inversion z ↦ 1z

aus 2.4.3 .

2.10 Proposition.Die C-differenzierbaren Abbildungen sind genau die R-differenzierbaren Abbildungen, welche orien-tierte Winkel erhalten.

Beweis. Komplex differenzierbare Abbildungen sind winkeltreu, denn an jeder Stelle ist die (reelle)Ableitung C-linear also konform.

Jede Winkeltreue orientierungserhaltende Abbildung ist komplex differenzierbar, denn dann ist diereelle Ableitung nach 1.12 von der Form ( a −b

b a ), also C-linear und damit f holomorph nach 2.5 .

2.11 Wirtinger Ableitungen.Der Raum L(R2,C) = L(R2,R) ⊗ C der reell-linearen Abbildungen ist ein komplexer Vektorraum(vermoge z ⋅A ∶ w ↦ z ⋅A(w) fur z ∈ C und A ∈ L(R2,C)) mit kanonischer C-Basis

Re = dx = ( 1 00 0 ) ∶ a + i b↦ a und Im = dy = ( 0 1

0 0 ) ∶ a + i b↦ b,

wobei wir wie ublich mit dx und dy die konstanten reellen Ableitungen der Koordinatenfunktionenx = pr1, y = pr2 ∶ R2 → R ⊆ C bezeichnen. Der Teilraum der C-linearen Abbildungen A ∶ C = R2 → C(also A○J = J ○A) hat als C-Basis id = dz = d(x+ i y) = dx+ i dy = ( 1 0

0 1 ). Der komplementare Teilraumder C-antilinearen Abbildungen (d.h. A○J = −J ○A) hat als C-Basis konj = dz = d(x− i y) = dx− i dy =( 1 0

0 −1 ). Die Koeffizienten einer R-linearen Abbildung A in der Basis dx und dy sind A(e1) und A(e2),

16 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.14

d.h. A = A(e1)dx + A(e2)dy. Fur df(z) sind diese Koeffizienten df(z)(e1) = ∂f∂x

(z) = ∂1f(z) unddf(z)(e2) = ∂f

∂y(z) = ∂2(f), also

df = ∂f∂x

dx + ∂f∂y

dy.

Bezeichnen wir andererseits die Koeffizienten von df in der Basis dz und dz als ∂f∂z

und ∂f∂z

, so ist

df = ∂f∂z

dz + ∂f∂z

dz = ∂f∂z

(dx + i dy) + ∂f∂z

(dx − i dy)

also∂f

∂z(z) = 1

2( ∂

∂x− i ∂∂y

) f(z) und∂f

∂z(z) = 1

2( ∂

∂x+ i ∂∂y

) f(z)

und f ist genau dann C-differenzierbar bei z, wenn der C-antilineare Teil ∂f∂z

von df bei z verschwindet,also f ′(z) = ∂f

∂z(z) ist.

2.12 Laplace Operator und harmonische Funktionen.Realteil und Imaginarteil holomorpher (C2-)Funktionen sind harmonisch, d.h. ∆(Re ○f) = 0 und∆(Im ○f) = 0, wobei der Laplace-Operator ∆ durch ∆ ∶= ( ∂

∂x)2 + ( ∂

∂y)2 gegeben ist. Beachte, daß

auf C2-Funktionen wegen des Satzes von Schwarz (siehe [KriANA2, 6.3.11]) folgendes gilt:

∂2

∂z∂z∶= ∂

∂z

∂z= 1

2( ∂∂x

− i ∂∂y

)12( ∂∂x

+ i ∂∂y

) = 14(( ∂∂x

)2

+ ( ∂∂y

)2

) = 14

∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ∂2

∂z∂z.

Wegen der Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen ist ∂1f1 = ∂2f2 und ∂1f2 = −∂2f1, wobeif1 ∶= Re ○f und f2 ∶= Im ○f . Durch nochmaliges Differenzieren erhalten wir fur C2-Abbildungen somit

(∂1)2f1 = ∂1∂2f2 = ∂2∂1f2 = ∂2(−∂2f1) = −(∂2)2f1 und

(∂1)2f2 = −∂1∂2f1 = −∂2∂1f1 = −∂2(∂2f2) = −(∂2)2f2.

Also sind f1 und f2 harmonisch, was auch kurzer aus ∆f = 4 ∂∂z

∂f∂z

= 4 ∂∂z

0 = 0 folgt. Wir werden spaterzeigen, daß holomorphe Funktionen automatisch C2 sind, diese Zusatzvoraussetzung also uberflussigist.

Umgekehrt sei u eine harmonische R-wertige Funktion, d.h. C2 und ∆u = 0. Die Cauchy-Riemann’schenDifferentialgleichungen konnen wir als totale Differentialgleichung fur v auffassen:

∂xv(x, y) = − ∂

∂yu(x, y) und

∂yv(x, y) = ∂

∂xu(x, y)

also dv(x, y) = du(x, y)⊥. Die Integrabilitatsbedingung (siehe [KriANA2, 6.5.2]) fur die Losbarkeit ist

− ∂

∂y

∂yu(x, y) = ∂

∂x

∂xu(x, y),

also die Eigenschaft von u harmonisch zu sein. Unter dieser Bedingung existiert somit (zumindestlokal) eine holomorphe Funktion f = u + i v mit Realteil u. Dabei konnen wir v (lokal) aus seinenpartiellen Ableitungen mittels Hauptsatz der Analysis berechnen:

v(x, y) = v(x0, y) + ∫x

x0

∂xv(t, y)dt = v(x0, y0) + ∫

y

y0

∂yv(x0, s)ds + ∫

x

x0

∂xv(t, y)dt.

2.13 Lemma. C-Differenzierbarkeit vererbt sich auf die Ableitung.Es sei f ∶ C ⊇ U → C holomorph und C2, dann ist f ′ ∶ U → C ebenfalls holomorph.

Wir werden spater zeigen, daß C-differenzierbare Abbildungen C∞-sind, also sind alle ihre Ableitun-gen C-differenzierbar.

Beweis. Nach 2.11 mussen wir zeigen, daß ∂∂zf ′(z) = 0 ist, dies ist aber gerade

∂zf ′(z) = ∂

∂z

∂f

∂z(z) = 1

4∆f(z) = 1

4(∆u(z) + i∆v(z)) = 0,

wobei f = u + i v.

2.14 Der Logarithmus.Die Holomorphie der Inversen invertierbarer holomorpher Abbildungen folgt nicht ohne weiteres so

[email protected] © 1. Juli 2011 17

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2.14 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

wie in 2.9 , denn fur den reellen inversen Funktionensatz (siehe [KriANA2, 6.2.1]) benotigen wir C1.Fur die holomorphe C∞-Abbildung exp ∶ C→ C ist die bijektive Einschrankung R×(−π,π)→ C∖{t ∈R ∶ t ≤ 0} nach dem Satz uber inverse Funktionen somit die Umkehrfunktion

log ∶ C ∖ {t ∈ R ∶ t ≤ 0}→ R × (−π,π) ⊆ C

holomorph mit Ableitung d log(z) = d exp(log(z))−1 = exp(log(z))−1 = z−1 = 1z. Explizit erhalten wir

log(w) durch Auflosen von

ex(cos y + i sin y) = ex+i y = ez = w =∶ a + i b = ∣w∣ ( a√a2 + b2

+ i b√a2 + b2

) ,

also

x = ln(∣w∣) = ln (√a2 + b2) , cos y = a√

a2 + b2und sin y = b√

a2 + b2⇒ tan y = b

aund cot y = a

b

Also ist z.B. log(i) = i π2

. Sei

arg(w) = arg(a + i b) ∶=

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

arctan( ba) ∈ (−π

2, π

2) fur a > 0

arccot(ab) ∈ (0, π) fur b > 0

−arccot(−ab) ∈ (−π,0) fur b < 0

dann ist

log(w) = ln(∣w∣) + i arg(w).

Eine Ausdehnung auf {t ∈ R ∶ t < 0} ist nur nach Wahl von arg(t) ∈ {±π} moglich und liefert nurentweder fur b → 0+ oder fur b → 0− eine stetige Funktion. Insbesonders ist i π = 2 log(i) = log(i2) =log(−1) nur fur das Vorzeichen + gultig und damit aber 2 log(−1) = 2π i ≠ 0 = log(−1)2, dies erklart1.5 . Allgemein erhalten wir log(w1 ⋅ w2) = log(w1) + log(w2) genau dann, wenn arg(w1 ⋅ w2) =

arg(w1) + arg(w2) gilt, also ∣arg(w1) + arg(w2)∣ < π ist. Insbesonders ist − log(z) = log(1/z) fur∣arg(z)∣ < π.

-2 -1 0

1

2

3

-2 -1 0

1

2

3

kartesisches Gitter @-1,1D´@0.1,2D

logHzL

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

Polargitter @ ����������1

2 ã,2 ãD´@- ����������

7 Π

8, ����������7 Π

8D um 0

logHzL

18 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.15

Bemerkung. Riemann’sche Flache.Geometrisch erhalten wir die Umkehrfunktion einerAbbildung f , indem wir den Graph {(x, f(x)) ∶ x}von f an der Mittellinie {(x, y) ∶ x = y} spiegeln.Falls allerdings die Funktion f nicht injektiv ist, sowird der gespiegelte Graph nicht mehr Graph einerFunktion sein, da zu manchen y zwei Werte x1, x2

existieren mit f(x1) = y = f(x2). Fur jedes z mitf ′(z) ≠ 0 ist f ein lokaler Diffeomorphismus um z undin vielen Fallen sogar eine Uberlagerungsabbildungdefiniert auf {z ∶ f ′(z) ≠ 0}. Um diese Mehrdeutigkeitbesser analysieren zu konnen, betrachtet man die Ab-bildung f ∶ C ⊇ U → Graph(f) ⊆ C×C gegeben durchx ↦ (x, f(x)), mit Umkehrabbildung pr1 ∣Graph(f) ∶Graph(f) → U . Damit ist f = pr2 ○f , und es genugtalso anstelle von f die Abbildung pr2 ∣Graph(f) zu un-tersuchen. Beachte dazu, daß Graph(z) = {(z, f(z)) ∶z ∈ U} = {(z,w) ∈ U × C ∶ f(z) = w} nach dem im-pliziten Funktionensatz eine komplexe Teilmannigfal-tigkeit von C2 ist, eine sogenannte Riemann’scheFlache.

x1 x2

y

Beachte dabei, daß pr ∶ Graph(exp) ∋ (x, y, ex sin y, ex cos y)↦ (y, ex sin y, ex cos y) injektiv ist, es alsogenugt pr(Graph(exp)) ⊆ R ×C ≅ R3 anstelle von Graph(exp) ⊆ C2 zu betrachten.

2.15 Potenz- und Wurzelfunktionen.Analoge Probleme tauchen auch beim Wurzelziehen (also der Umkehrfunktion des Potenzierens z ↦zn) auf. Fur z ∈ C ∖ {t ∈ R ∶ t ≤ 0} und w ∈ C setzen wir in Analogie zum Reellen:

zw = (elog z)w ∶= ew log(z).

Also ist z.B.

i−i = e−i log i = e−i2 π

2 =√eπ.

Allgemein ist

zw1+w2 = e(w1+w2) log(z) = ew1 log(z)+w2 log(z) = ew1 log(z) ⋅ ew2 log(z) = zw1 ⋅ zw2 ,

[email protected] © 1. Juli 2011 19

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2.16 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

also insbesonders w ∶= z1/n eine Losung von wn = z. Andererseits gilt

(z1z2)w = ew log(z1z2) = ew log(z1)+w log(z2) = ew log(z1) ⋅ ew log(z2) = zw1 ⋅ zw2nur fur arg(z1 ⋅ z2) = arg(z1) + arg(z2), also ∣arg(z1) + arg(z2)∣ < π.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

kartesisches Gitter @-1,1D´@-1,1D

z3

0

0

0

0

Polargitter @0,1D´@-Π,ΠD um 0

z3

2.16 Mobius-Transformationen.Gebrochen lineare Funktionen, d.h. rationale Funktionen der Form

f ∶ z ↦ az + bc z + d

mit a, b, c, d ∈ C und (c, d) ≠ (0,0),

nennt man Mobius-Transformationen. Diese sind nach 2.9 holomorph auf {z ∈ C ∶ c z + d ≠ 0}mit Ableitung

f ′(z) = (c z + d)a − (az + b) c(c z + d)2

= ad − bc(c z + d)2

.

Wir untersuchen zunachst inwieweit die Matrix A ∶= ( a bc d ) durch die Mobius-Transformation festgelegtist: Falls 0 = det(A) = ad − bc und d ≠ 0 ist, so ist

f(z) = az + bc z + d

= adz + bdd(c z + d)

= bc z + bdd(c z + d)

= b

d

konstant fur c z + d ≠ 0. Falls 0 = det(A) = ad − bc und c ≠ 0 ist, so folgt analog

f(z) = az + bc z + d

= ac z + bcc(c z + d)

= ac z + adc(c z + d)

= ac

Also ist f konstant falls ad−bc = 0 und (c, d) ≠ (0,0) ist. Wir konnen uns somit auf die nicht trivialenMobius-Transformationen mit det(A) ≠ 0 beschranken. Offensichtlich ist die zur Matrix A ∶= ( a bc d )gehorende Mobius-Transformation ident mit jener zur Matrix λA fur λ ∈ C ∖ {0}. Also konnen wiro.B.d.A. det(A) = 1 erreichen (wahle λ mit λ2 = 1/det(A)).Betrachten wir nun die Zusammensetzung von Mobius-Transformationen:

z ↦ a1 z + b1c1 z + d1

↦a2

a1 z+b1c1 z+d1

+ b2c2

a1 z+bc1 z+d1

+ d2

= a2 (a1 z + b1) + (c1 z + d1) b2c2 (a1 z + b1) + (c1 z + d1)d2

⋅ c1 z + d1

c1 z + d1

!= (a2 a1 + b2 c1) z + (a2 b1 + b2 d1)(c2 a1 + d2 c1) z + (c2 b1 + d2 d1)

Diese Formel beschreibt wieder eine Mobius-Transformation mit dem Produkt der Matrizen als Ma-trix. Aber Achtung, der Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion ist kleiner als jener derMobiustransformation, welche durch die Formel der rechten Seite gegeben ist:

Dom(f2 ○ f1) = Dom(f1) ∩ f−11 (Dom(f2)) = {z ∈ Dom(f1) ∶ c2 f1(z) + d2 ≠ 0}

= {z ∶ c1z + d ≠ 0 und c2(a1z + b1) + d2(c1z + d1) ≠ 0}.

Darum erweitern wir die Mobius-Transformationen zu Abbildungen auf die Einpunktkompaktifi-zierung C∞ ∶= C∪ {∞}, wobei die Konvergenz gegen ∞ in C∞ durch zn →∞⇔ ∣zn∣→ +∞ definiert

20 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.18

ist, d.h. die Umgebungen von ∞ in C∞ sind gerade die Komplemente der beschrankten Mengen inC. Beachte dazu, daß zwar f ∶ z ↦ az+b

c z+dfur z = −d

cnicht definiert ist, aber

limz→− dc

f(z) = limz→− dc

az + bc z + d

= limw→0

a (w − dc) + b

cw= ac− limw→0

ad − bcc2w

=∞.

Andererseits ist

limz→∞

f(z) = limz→∞

az + bc z + d

= limz→∞

a + b/zc + d/z

= ac

Zusammengefaßt ist somit f durch f(−b/c) ∶=∞ und f(∞) = a/c eindeutig zu einer stetigen AbbildungC∞ → C∞ erweiterbar.

Diese Abbildung ist invertierbar mit Inverser z ↦ dz−b−c z+a

, denn die Zusammensetzung ist die Mobius-Transformation z ↦ z+0

0⋅z+1= z, die durch das Produkt der Matrizen

(a bc d

) ⋅ ( d −b−c a

) = (ad − bc)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

=1

⋅(1 00 1)

gegeben ist.

2.17 Lemma.Die Gruppe der Mobius-Transformationen wird von Drehstreckungen z ↦ az, Translationen z ↦ z + bund der Inversion z ↦ 1/z erzeugt.

Beweis. Offensichtlich sind die angegebenen Funktionen Mobius-Transformationen. Sei umgekehrteine Mobius-Transformation f ∶ z ↦ (az + b)/(cz +d) mit ad− bc ≠ 0 gegeben. Falls f(∞) =∞ ist, d.h.c = 0 und damit d ≠ 0, so ist f die Zusammensetzung z ↦ a

dz ↦ a

dz+ b

d. Ist c ≠ 0 und damit f(∞) = a/c ∈

C, so ist die Zusammensetzung z ↦ f(z)↦ f(z)−f(∞)↦ 1f(z)−f(∞)

eine Mobius-Transformation mit∞↦∞, also nach dem ersten Teil eine Zusammensetzung einer Drehstreckung und einer Translationund damit f die weitere Zusammensetzung mit der Inversion und der Translation z ↦ z + f(∞).

Fur eine nette Visualisierung von Mobius-Transformationen siehe W 3.

2.18 Die projektive komplexe Gerade.Wir wollen besser verstehen, warum Mobius-Transformationen und ihre die Komposition gut mittelsMatrizen beschrieben werden kann. Dazu mussen wir offensichtlich die Division (z1, z2) ↦ z1

z2und

damit insbesonders ihre Niveaulinien studieren, d.h. wir betrachten Paare (z1, z2) ≠ (0,0) mit glei-chen Quotienten, definieren also (z1, z2) ∼ (w1,w2) ∶⇔ ∃λ ∈ C ∖ {0} mit (w1,w2) = λ(z1, z2). DieAquivalenzklassen sind also die komplexe Geraden durch (0,0) ohne ihren 0-Punkt. Die Menge dieserAquivalenzklassen heißt projektive komplexe Gerade

P1C ∶= (C2 ∖ {(0,0)})/ ∼

Fur die Aquivalenzklasse [(z1, z2)]∼ schreibt man auch [z1 ∶ z2]. Beachte, daß wir fur alle komple-xe Geraden mit Ausnahme von C × {0} einen Reprasentanten in der Form (z,1) wahlen konnen.Andererseits konnen wir fur diese Ausnahmegerade – als auch fur alle anderen Geraden ungleich{0} ×C – Reprasentaten der Form (1, z) wahlen. Diese definiert uns zwei injektive Parametrisierun-gen ϕ0, ϕ1 ∶ C→ P1

C gegeben durch ϕ0 ∶ z ↦ [z ∶ 1] und ϕ1 ∶ z ↦ [1 ∶ z]. Der Parameterwechsel ϕ−11 ○ϕ0

ist dann die Inversion C∖{0}→ C∖{0}, z ↦ 1z, also holomorph und somit P1

C eine komplexe Mannig-faltigkeit der (komplexen) Dimension 1, eine sogenannte Riemann’sche Flache. Dabei versteht manunter einer Mannigfaltigkeit (einer gewissen Differentiationsklasse) eine Menge M zusammen miteiner Familie A (genannt Atlas) injektiver Abbildungen ϕ (genannt Karten) von offenen Teilmen-gen U ⊆ Rm nach M , deren Bilder M uberdecken und fur welche alle Kartenwechsel ϕ−1

1 ○ϕ0 mitϕ1, ϕ0 ∈ A offenen Definitionsbereich haben und dort differenzierbar von der entsprechenden Klassesind. (fur dies und mehr siehe [KriDG, 16.2])

[email protected] © 1. Juli 2011 21

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2.18 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

Ψ-1ëj

j Ψ

Man nennt eine Folge xn gegen x∞ in M konvergent, wenn fur eine (jede) Karte ϕ mit x∞ imBild die Folge xn schließlich im Bild von ϕ liegt und ϕ−1(xn)→ ϕ−1(x∞) konvergiert. Die zugehorigeTopologie ist die finale Topologie bzgl aller Karten des Atlases, also U ⊆M genau dann offen, wennϕ−1(U) offen fur alle ϕ ∈ A ist.

Abbildungen f ∶ M → N zwischen solchen Mannigfaltigkeiten nennt man differenzierbar vonder entsprechenden Klasse, wenn fur jeden Punkt x im Definitionsbereich eine Karte ϕ von M exi-stiert, welche x im Bild enthalt, sowie eine Karte ψ von N welche f(x) im Bild enthalt und dieKartendarstellung ψ−1 ○ f ○ϕ auf einer offenen Umgebung von ϕ−1(x) definiert und in diesem Punktdifferenzierbar ist (fur dies und mehr siehe [KriDG, 16.8]).

Ψ-1ëfëj

j Ψ

f

Die Mobius-Transformationen f ∶ z ↦ az + b induzieren holomorphe Diffeomorphismen f ∶ P1C → P1

Cgegeben durch [z1 ∶ z2] ↦ [az1 + b z2 ∶ z2], denn fur [z1 ∶ z2] ∈ ϕ0(C), also [z1 ∶ z2] = [z ∶ 1] fur einz ∈ C, ist ϕ−1

0 ○ f ○ϕ0 ∶ z ↦ [z ∶ 1]↦ [az+b1 ∶ 1]↦ az+b und fur [z1 ∶ z2] ∈ ϕ1(C), also [z1 ∶ z2] = [1 ∶ z]fur ein z ∈ C, ist ϕ−1

1 ○ f ○ ϕ1 ∶ z ↦ [1 ∶ z] ↦ [a1 + b z ∶ z] = [1 ∶ za+b z

] ↦ za+b z

ebenfalls holomorph undzwar auf {z ∈ C ∶ a + b z ≠ 0}.

Gleiches gilt auch fur die Inversion z ↦ 1z, die [z1 ∶ z2] ↦ [z2 ∶ z1] als Abbildung inv ∶ P1

C → P1C

induziert (betrachte dazu ϕ−11 ○ inv○ϕ0 und ϕ−1

0 ○ inv○ϕ1) Die Inversion ist also C-differenzierbar auchan der Stelle 0 mit Wert 1

0∶=∞ ∶= [1 ∶ 0]. Nach 2.17 induzieren somit alle Mobius-Transformationen

z ↦ az+bc z+d

mit ad − bc = 1 holomorphe Diffeomorphismen P1C → P1

C.

Die Parametrisierung ϕ0 ∶ C → P1C erweitert sich eindeutig zu einer stetigen Abbildung ϕ0 ∶ C∞ → P1

Cmit ϕ0(∞) ∶= [1 ∶ 0] = ϕ1(0), denn fur z → ∞ konvergiert ϕ−1

1 (ϕ0(z)) = 1z→ 0. Diese ist ein

Homoomorphismus C∞ ≅ P1C, denn fur z → 0 konvergiert umgekehrt ϕ−1

0 (ϕ1(z)) = 1z→∞ in C∞.

Jede C-lineare invertierbare Abbildung (also komplexe 2 × 2-Matrix) A ∶ C2 → C2 (mit det(A) ≠ 0)ist vertraglich mit obiger Aquivalenzrelation ∼ (d.h. bildet Geraden durch 0 wieder auf solche ab undnur 0 auf 0) und faktorisiert somit zu einer Abbildung A ∶ P1

C → P1C. Die Kartendarstellung dieser

22 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.19

Abbildung bzgl. ϕ0 ist dann die Mobius-Transformation z ↦ az+bc z+d

, denn

[z ∶ 1] A // [az + b1 ∶ c z + d1]

ϕ−10��

z

ϕ0

OO

// az+bc z+d

Somit ist A holomorph auf P1C ∖ {[1 ∶ 0], [−d ∶ c]}. Aber A ist auch bei [1 ∶ 0] holomorph, denn dazu

betrachten wir die Kartendarstellung bzgl. ϕ1:

ϕ−10 ○ A ○ ϕ1 ∶ z ↦ [1 ∶ z]↦ [a + b z ∶ c + d z]↦ a + b z

c + d z.

Gleiches gilt auch bei [−d ∶ c], denn

ϕ−11 ○ A ○ ϕ0 ∶ z ↦ [z ∶ 1]↦ [az + b ∶ c z + d]↦ c z + d

az + bund a −d

c+ b = −ad−b c

c≠ 0.

Der Komposition der Mobius-Transformationen entspricht schließlich klarerweise die Multiplikationder entsprechenden Matrizen.

2.19 Stereographische Projektion.Nachdem die Beschreibung von P1

C als Quotient eines reell 4-dimensionalen Raums schwer zu visuali-sieren ist, wollen wir nun eine weitere geben. Dazu betrachten wir die stereographische Projek-tion : Man projiziert von einem Punkt (o.B.d.A. dem Nordpol) der Sphare S2 ∶= {x ∈ R3 ∶ ∥x∥ = 1}auf die Tangentialebene im antipodalen Punkt. Dabei werden Kugelkoordinaten (ϕ, δ) der Sphare(also geographische Lange und Breite) auf Polarkoordinaten (ϕ, s) (also Winkel und Radius) wiefolgt abgebildet:

Β

Β

s

Es ist 2β + (π2− δ) = π⇒ β = π

4+ δ

2und somit ist

s

2= tanβ = tan(π

4+ δ

2) = 1 + tan(δ/2)

1 − tan(δ/2).

Wir konnen die stereographische Projektion aber auch koordinatenfrei beschreiben und dabei spieltes keine Rolle, ob wir die S2 oder allgemeiner die n-dimensionale Sphare (oder kurz n-Sphare)Sn ∶= {x ∈ Rn+1 ∶ ∥x∥ = 1} behandeln. Wir beschreiben die stereographische Projektion (aber diesmalauf die Aquatorialebene, was einen Faktor 1/2 bzgl. der gerade Besprochenen ergibt), d.h. wir suchenzu x ∈ Sn ein y = p + λ(x − p) ∈ Rn = p⊥ ⊂ Rn+1, wobei p ∈ Sn der gewahlte Pol und λ ∈ R ist, d.h.

0 = ⟨p, p + λ(x − p)⟩ = ∣p∣2 − λ⟨p, p − x⟩⇒ λ = 1⟨p, p − x⟩

= 11 − ⟨p, x⟩

⇒ y = (1 − λ)p + λx = 11 − ⟨p, x⟩

(x − ⟨p, x⟩p).

Fur p = ±(0,0,1) ist das C ×R ⊃ S2 ∋ (z, t)↦ z1∓t

∈ C.

[email protected] © 1. Juli 2011 23

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2.20 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

Die Umkehrabbildung erhalten wir aus:

x = p + µ(y − p) mit ∣x∣ = 1

⇒ 1 = ⟨x,x⟩ = ⟨p + µ(y − p), p + µ(y − p)⟩ = 1 + 2⟨p,µ(y − p)⟩ + µ2⟨y − p, y − p⟩

⇒ 0 = µ2∣y − p∣2 + 2µ⟨p, y − p⟩ = µ(µ∣y − p∣2 − 2⟨p, p − y⟩).

Es liefert µ = 0 die uninteressante Losung x = p. Die gesuchte ist somit

µ = 2(1 − ⟨p, y⟩)∣y∣2 − 2 ⟨y, p⟩

²0

+1= 2

∣y∣2 + 1und damit x = 1

∣y∣2 + 1(2y + (∣y∣2 − 1)p)

Fur p = ±(0,0,1) ist das C ∋ z ↦ 1∣z∣2+1

(2z,±(∣z∣2 − 1)) ∈ S2 ⊆ C ×R.

Die n-Sphare ist eine n-dimensionale C∞-Teilmannigfaltigkeit des Rn+1 nach dem Satz uber impliziteFunktionen, da sie durch die regulare Gleichung ∥x∥2 = 1 gegeben ist.

2.20 Lemma. Konformitat der stereographischen Projektion.Die stereographische Projektion Sn → Rn ist winkelerhaltend, d.h. ihre Ableitung ist an jeder Stel-le konform, und sie ist eine Kreisverwandtschaft, d.h. Kreise in S2 ∖ {p} werden auf Kreiseabgebildet.

Beweis. Fur die Konformitat genugt es dies fur die Umkehrabbildung

y ↦ x(y) = 1∣y∣2 + 1

(2y + (∣y∣2 − 1)p)

der stereographischen Projektion zu zeigen, wobei p den Pol bezeichnet, von dem aus projiziert wird.Es ist dann

dx ∶p⊥ → L(p⊥,Rn+1)

y ↦ dx(y) = (v ↦

2(∣y∣2 + 1)v + 4⟨y, v⟩(p − y)³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ(∣y∣2 + 1)(2v + 2⟨y, v⟩p) − 2⟨y, v⟩(2y + (∣y∣2 − 1)p)

(∣y∣2 + 1)2)

und fur y, v ∈ p⊥ folgt

∥dx(y)v∥2 =∥2(∣y∣2 + 1)v + 4⟨y, v⟩(p − y)∥

2

(∣y∣2 + 1)4

= 4(∣y∣2 + 1)2∣v∣2 + 4(∣y∣2 + 1)⟨v, p − y⟩⟨y, v⟩ + 4⟨y, v⟩2∥p − y∥2

(∣y∣2 + 1)4

= 4(∣y∣2 + 1)2

∣v∣2

24 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.22

Geometrisch sieht man die Konformitat auch wie folgt.Es sei wieder p der Pol, x ∈ Sn und y ∈ p⊥ das Bildunter der stereographischen Projektion. Sei ε die vonp, x und damit auch y erzeugte Ebene durch 0. Wirbetrachten zwei Geraden gi ∶ t ↦ y + twi in p⊥ mitGeschwindigkeitsvektoren wi. Seien ci die Bildkurvenunter der inversen stereographischen Projektion in Sn.Dann ist vi ∶= c′i(0) ⊥ x = ci(0). Seien hi ∶ t ↦ x + t vidie erzeugten Geraden, die Tangenten an ci im Punktx. Wir mussen zeigen, daß der Winkel der Geradengi gleich jenen der Geraden hi ist. Sei ` = (x + x⊥) ∩p⊥ die Schnittgerade der beruhrenden Ebene x + x⊥und der Projektionsebene p⊥. Es steht ` normal auf ε,denn offensichtlich ist x + x⊥ ⊥ ⟨{0, p, x}⟩ = ε und p⊥ ⊥⟨{0, p, x}⟩ = ε. Eine einfache Zeichnung in der Ebeneε zeigt, daß x und y gleichen Abstand von ` haben.Die beiden Geraden gi und hi schneiden sich in einemPunkt pi ∈ `, denn ci liegt in der Ebene die von gi undp erzeugt ist und damit gilt Gleiches auch fur hi, alsohi∩` ⊆ ⟨{p, gi}⟩∩p⊥ ⊆ gi. Somit sind die beiden Dreiecke⟨{x, p1, p2}⟩ und ⟨{y, p1, p2}⟩ kongruent (gleiche Basis,gleichen Hohenfußpunkt∈ g∩ε und gleich großer Hohe),also sind die Winkel zwischen g1 und g2 und zwischenh1 und h2 ident.

p

x

y

s1

s2

g1

g2

h1

h2

Um die Kreisverwandtschaft geometrisch nachzuweisen, betrachten wir die Spitze s des Beruhrkegelsan einen Kreis k auf der Sphare und die stereographische Projektion von p auf die Ebene normalauf p durch s. Sei x ∈ k und y der Bildpunkt in dieser Ebene. Betrachte den Schnittpunkt a′ desKegel-Erzeugers durch x mit der Tangentialebene in p. Dann ist ∆pxx′ ein gleichschenkeliges Dreieckund ahnlich zu ∆yxs also auch dieses gleichschenkelig. Also ist die Distanz von y zu s gleich derkonstanten Distanz

√∣s∣2 − 1 von x zu s, d.h. das Bild von k liegt in einem Kreis um s mit Radius√

∣s∣2 − 1.

x

p

s

s’

y

W 3

2.21 Folgerung.Mobius-Transformationen sind Kreisverwandtschaften.

In [Car37] wurde gezeigt, daß die Mobius-Transformationen die einzigen orientierungserhaltendenKreisverwandtschaften sind. Dabei ist eine Kreisverwandtschaften eine Abbildung f ∶ C ⊇ U → C,welche Kreisbogen und Geradenstucke wieder auf solche abbildet.

Beweis. Dies folgt daraus, daß Translationen, Drehstreckungen und z ↦ 1/z solche sind. Fur die In-version benutze 2.4 oder die offensichtliche Tatsache, daß diese auf der Sphare die Zusammensetzungder Spiegelung an der x-y-Ebene und an der x-z-Ebene induziert, siehe 2.22 .

2.22 Riemann’sche Zahlensphare

Um nun S2 als komplexe Mannigfaltigkeit zu erkennen, benotigen wir genugend viele Parametri-sierungen deren Bilder die Sphare uberdecken und deren Kartenwechsel holomorph sind. Da die

[email protected] © 1. Juli 2011 25

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2.24 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

stereographische Projektion S2 ∖ {p} → C nur im Pol p ∈ S2 nicht definiert ist, genugt es die zweiParametrisierungen ψp und ψ−p zu betrachten, die als Umkehrfunktionen der stereographischen Pro-jektionen mit Pol p ∶= (0,0,1) und −p = (0,0,−1) gegeben sind.

Deren Kartenwechsel ψ−1−p ○ ψp ∶ C ∖ {0}→ C ∖ {0} ist nach 2.19 durch

z ↦ 1∣z∣2 + 1

(2z, ∣z∣2 − 1)↦2z

∣z∣2+1

1 + ∣z∣2−1∣z∣2+1

= 2z2∣z∣2

= 1z

gegeben.

Dies erhalt man auch aus elementaren geometrischen Uberlegungen: Es seien v und v∗ die Bilder vonx unter ψ−1

p und ψ−1−p. Die Dreiecke (p, x,−p) und (p,0, v) haben zwei gleiche Winkel, je einen rechten

und jenen bei p, also sind sie ahnlich. Die Dreiecke (0, v∗,−p) und (p, x,−p) sind aus entsprechendenGrunden ebenfalls ahnlich.

z

xy

Β

Β Π�2-Β

Β

Β Π�2-Β

p

-p

x

vv*

Aus dem Strahlensatz erhalt man:∣v∣1

= 1∣v∗∣

⇒ (ψ−1−p ○ ψp)(v) = v∗ =

1∣v∣2

v = 1v.

Dieser Kartenwechsel ist zwar ein Diffeomorphismus aber antiholomoph, also sollten wir eine derbeiden stereographischen Projektionen, sagen wir ψ−p noch mit der Konjugation zusammensetzen.Dann ist der Kartenwechsel v ↦ v

∣v∣2= vvv

= 1v

ident mit jedem von P1C, also S2 eine Riemann’sche

Flache und biholomorph (d.h. es existiert eine holomorphe Bijektion mit holomorpher inverserAbbildung) zu P1

C.

2.23 Definition. Doppelverhaltnis.Fur paarweise verschiedene komplexe Zahlen z1, z2, z3, z4 ∈ C sei deren Doppelverhaltnis definiertdurch

D(z1, z2, z3, z4) ∶=z1 − z4

z1 − z3∶ z2 − z4

z2 − z3.

Bezeichnet man diesen Wert mit λ so liefern die 24 = 4! Permutationen der 4 Zahlen die 6 Werteλ, 1

λ,1 − λ, 1

1−λ, λλ−1

und λ−1λ

und zwar jeweils viermal.

2.24 Lemma. Invarianz des Doppelverhaltnisses.Mobius-Transformationen f erhalten das Doppelverhaltnis, d.h.

D(f(z1), f(z2), f(z3), f(z4)) =D(z1, z2, z3, z4) fur alle paarweise verschiedenen zi ∈ C

Beweis. Es ist

f(zk) − f(zj)zk − zj

==azk+bc zk+d

− azj+b

c zj+d

zk − zj= ad − bc

(czk + d)(czj + d)

⇒ f(z1) − f(z4)z1 − z4

⋅ f(z2) − f(z3)z2 − z3

= ad − bc(cz1 + d)(cz4 + d)

⋅ ad − bc(cz2 + d)(cz3 + d)

undf(z1) − f(z3)

z1 − z3⋅ f(z2) − f(z4)

z2 − z4= ad − bc

(cz1 + d)(cz3 + d)⋅ ad − bc(cz2 + d)(cz4 + d)

⇒ D(f(z1), f(z2), f(z3), f(z4))D(z1, z2, z3, z4)

= 1

26 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.27

2.25 Lemma. Fixpunkte der Mobius-Transformationen.Mobius-Transformationen f ≠ id haben genau einen oder zwei Fixpunkte in C∞.

-1 0 1 2

-2

-1

0

1

-1 0 1 2

-2

-1

0

1

kartesisches Gitter @-2,2D´@-2,2D

����������������������������������z + H1 + äL

H1 + äL z + 1

-1 0 1 2

-2

-1

0

1

-1 0 1 2

-2

-1

0

1

Polargitter @ ����1

2,2D´@-Π,ΠD um - ����

1

2+ ����

ä

2

����������������������������������z + H1 + äL

H1 + äL z + 1

Beweis. Es sei f ∶ z ↦ az+bc z+d

mit ad − bc = 1. Dann ist z = ∞ genau dann ein Fixpunkt, wenn∞ = f(∞) = a

c, d.h. c = 0 (und somit a ≠ 0) ist. Die Mobius-Transformationen die ∞ (oder aquivalent

C = C∞ ∖ {∞}) invariant lassen, sind also genau die Abbildungen x ↦ ax + b mit a, b ∈ C und a ≠ 0.Und falls diese nicht die Identitat (a = 1 und b = 0) beschreiben, so haben sie in C hochstens einenFixpunkt namlich z = b

a−1.

Ist andererseits c ≠ 0 (also ∞ kein Fixpunkt), dann ist z ∈ C genau dann ein Fixpunkt, wenn z = f(z),d.h. c z2 + (d − a) z − b = 0 ist, also

z = a − d2c

±

¿ÁÁÀ(a − d

2c)

2

+ bc.

Es gibt dann also einen Fixpunkt oder 2 Fixpunkte je nachdem ob

(a − d2c

)2

+ bc= a

2 + 4bc + d2 − 2ad4c2

= (a + d)2 − 44c2

0 ist oder nicht.

2.26 Folgerung. Dreifachtransitivitat der Mobius-Transformationen.Zu zwei Tripeln (z1, z2, z3) und (w1,w2,w3) jeweils paarweise verschiedener Zahlen existiert genaueine Mobius-Transformation f mit f(zi) = wi fur alle i ∈ {1,2,3}.

Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus 2.25 . Es genugt die Existenz fur (0,∞,1) als zweiters Tripelzu zeigen. Die durch z ↦ D(z1, z2, z3, z) = z1−z

z1−z3∶ z2−zz2−z3

gegebene Mobiustransformation leistet dasGewunschte.

2.27 Proposition. Isometrien der Sphare.Die Mobius-Transformationen, die Isometrien auf S2 induzieren, sind genau jene der Form z ↦ az−b

b z+a

mit a, b ∈ C und ∣a∣2 + ∣b∣2 = 1.

Beweis. Betrachte wir dazu vorerst Punkte z, z′ ∈ C die stereographische Projektion von antipodalenPunkten auf der Sphare sind, d.h.

− 1∣z∣2 + 1

(2z, ∣z∣2 − 1) = 1∣z′∣2 + 1

(2z′, ∣z′∣2 − 1),

[email protected] © 1. Juli 2011 27

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2.28 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

also

∣z∣ ∣z′∣ = 1 und somit z′ = −z ( 1∣z∣2

+ 1) 1∣z∣2 + 1

= −1z.

Isometrien mussen insbesonders antipodale (also maximal voneinander entfernte) Punkte aufeinanderabbilden, d.h. aus z′z = −1 muß w′w = −1 folgen. Antipodalitat-erhaltende Mobiustransformationenz ↦ az+b

c z+dsind genau jene mit

0 = 1 +w′w = 1 +a −1

z+ b

c −1z+ d

⋅ a z + bc z + d

= −ab − cd + (−∣a∣2 + ∣b∣2 − ∣c∣2 + ∣d∣2)z + (ba + dc)z2

(−c + dz)(d + cz)⇔ − ∣a∣2 + ∣b∣2 − ∣c∣2 + ∣d∣2 = 0 und ba + dc = 0

⇒ ∣a∣2 = ∣d∣2 und w = dd

a z + bc z + d

= da

a z + b−b z + a

= αz + β−β z + α

,

wobei α ∶= λa und β ∶= λb mit λ2 = da, also ∣λ∣ = ∣d∣

∣a∣= 1 und somit λ2 = λ/λ.

Sei z0 ∈ C, dann betrachten wir die Mobius-Transformation, welche auf der Sphare der Drehung des zuz0 = r eiϕ korrespondierenden Punktes nach (0,0,−1) entlang des Meridians entspricht. Konjugationmit der Drehung z ↦ eiϕz liefert eine Antipodalitat-erhaltende Abbildung, die R (und i) invariantlaßt und r ∈ R also auf 0 abbildet, d.h. diese ist von der Form z ↦ az−b

b z+amit ar−b

b r+a= 0 (also b = a r)

und i = a(i−r)a(ir+1)

(d.h. aa= 1). Die ursprungliche Mobius-Transformation fz0 ist folglich gegeben durch

z ↦ e−iϕ z ↦ e−iϕ z − rr e−iϕ z + 1

↦ eiϕe−iϕ z − rr e−iϕ z + 1

= z − z0

z0 z + 1.

Sei schließlich f eine Mobius-Transformation, die antipodale Punkte auf solche abbildet und z0 einnach 2.25 existierender Fixpunkt von f . Konjugiert mit der eben beschriebenen Abbildung fz0 ∶z ↦ z−z0

z0 z+1erhalten wir eine Mobius-Transformation mit Fixpunkt 0. Da diese ebenfalls antipodale

Punkte erhalt, ist auch ∞ ein Fixpunkt und diese Zusammensetzung somit von der Form z ↦ az + bmit b = 0. Nur fur ∣a∣ = 1 erhalt diese Antipodalitat, d.h. f ist Zusammensetzung von Isometrien aufS2 und somit selbst eine Isometrie.

Bemerkung. Spharische Distanz.Es gibt zwei naheliegende Methoden den Abstand von Punkten auf der Sphare zu definieren: Einerseitsder euklidische Abstand im umgebenden R3 und andererseits als Lange des kurzeren Bogens desGroßkreises durch die beiden Punkte, die sogenannte spharische Distanz. Fur y0 ∶= 0 und y1 ∈ Cist diese Distanz auf Grund der Zeichnung in 2.19 gegeben durch d(y0, y1) = δ+ π

2= 2β− π

2+ π

2= 2β =

2 arctan(∣y1∣), wobei δ die geographische Breite des zu y1 korrespondierenden Punktes in S2 und βden Winkel zwischen Projektionsstrahl und −p bezeichnet. Fur beliebige Punkte z0, z1 ∈ C betrachtenwir die isometrische Mobiustransformation fz0 ∶ z ↦ z−z0

z0 z+1, die z0 nach 0 abbildet. Dann ist

d(z0, z1) = d(f(z0), f(z1)) = 2 arctan(∣f(z1)∣) = 2 arctan ∣ z1 − z0

z0 z1 + 1∣ .

2.28 Proposition. Mobius-Transformationen der Einheitsscheibe.Die Mobius-Transformationen die D ∶= {z ∈ C ∶ ∣z∣ < 1} auf sich abbilden sind genau jene der Formf ∶ z ↦ αz+β

β z+αmit α,β ∈ C und ∣α∣2 − ∣β∣2 = 1.

Beweis.Es sei w ∶= αz+β

β z+α. Dann ist

1 −ww = 1 − αz + ββ z + α

⋅ α z + ββ z + α

= 1 − zz∣βz + α∣2

,

also 1 − zz > 0 ⇔ 1 −ww > 0, d.h. f(D) = D.

Umgekehrt sei f eine Mobius-Transformation mit f(D) = D. Es sei z0 ∶= f(0). Dann ist

z ↦ f(z)↦ f(z) − z0

−z0f(z) + 1

28 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.30

eine Mobius-Transformation die 0 invariant laßt, D auf D und somit S1 = ∂D auf S1 abbildet. DieGeraden durch 0 werden damit nach 2.21 auf Kreise oder Geraden durch 0, die S1 nach 2.10orthogonal schneiden, abgebildet. Als Bilder kommen Kreise aber nicht in Frage, den solche wurdennicht durch 0 gehen. Somit wird auch ∞ als zweiter Schnittpunkt aller dieser Geraden wieder auf sichabgebildet und damit ist diese Zusammensetzung wie im Beweis von 2.25 von der Form z ↦ az mit∣a∣ = 1, also f(z)−z0

−z0f(z)+1= az und somit f(z) = az+z0

a z0 z+1= αz+β

β z+αmit α2 ∶= a und β ∶= αz0 .

2.29 Hyperbolische Metrik auf der Einheitscheibe.

Wir wollen versuchen eine stetige Metrik d zu finden, fur welche alle Mobiustransformationen von DIsometrien sind, also

d(z0, z1) = d(αz0 + ββ z0 + α

,α z1 + ββ z1 + α

)

fur alle α,β ∈ C mit ∣α∣2−∣β∣2 = 1. Fur ∣z0∣ < 1 wahlen wir β ∶= −αz0 mit ∣α∣2(1−∣z0∣2) = 1, so ist αz0+β

β z0+α=

0 und wir konnen arg(α) noch so wahlen, daß αz1+β

β z1+α> 0 ist. Es genugt also δ(r) ∶= d(0, r) fur r ≥ 0

mit δ(0) = 0 zu kennen. Damit dadurch eine Metrik definiert ist, muß d(z0, z2) ≤ d(z0, z1) + d(z1, z2)gelten, also insbesonders fur z0 ∶= 0 < z1 =∶ t < z2 =∶ s < 1, d.h.

δ(s) ≤ δ(t) + δ(∣ α (s − t)α (s t − 1)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶=s−t1−st

)

Versuchen wir sogar Gleichheit zu erreichen. Falls δ sogar differenzierbar ware, dann wurde

δ′(t) = lims→t

δ(s) − δ(t)s − t

= lims→t

δ( s−t1−st

) − δ(0)s−t1−st

⋅ 11 − st

= δ′(0) 11 − t2

folgen und somit ware

δ(t) = ∫t

0δ′(0) 1

1 − s2ds = δ′(0) artanh(t) = δ′(0)

2²=∶c

ln1 + t1 − t±=∶ex

,

also t = ex−1ex+1

= tanh(x/2) und

cx = c ln(ex) = δ(t) = δ (tanhx

2)

Fur beliebiges δ betrachten wir folglich

h(x) ∶= δ (tanhx

2) .

Dann lautet mit tanh y2= s und tanh z

2= r ∶= s−t

1−st= tanh y−x

2die obige Funkionalgleichung

h(y) = δ(s) = δ(t) + δ(r) = h(x) + h(z)wobei

z = 2 artanh(tanhy − x

2) = y − x.

Somit ist h linear (da stetig), also h(x) = cx fur ein c ∈ R und folglich

δ(t) = h(x) = cx = 2c artanh(t).Die gesuchte hyperbolische Metrik ist schließlich

d(z1, z2) = δ(∣z2 − z1

1 − z2z1∣) = 2cartanh ∣ z2 − z1

1 − z2z1∣ .

Vergleiche dies mit der spharischen Distanz, die durch

d(z1, z2) ∶= 2 arctan ∣ z2 − z1

1 + z2z1∣

geben ist.

2.30 Lemma. Mobius-Transformationen von H ∶= {z ∈ C ∶ Im z > 0}.Die Mobius-Transformationen die H invariant lassen sind genau jene der Form z ↦ az+b

c z+dmit a, b, c, d ∈

R.

[email protected] © 1. Juli 2011 29

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2.31 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

Beweis. Wir betrachten die Mobius-Transformation µ ∶ z ↦ (az + b)/(cz + d), die folgende speziellenWerte hat:

0↦ −i, i↦ 0, ±1↦ ±1, ∞↦ i.

Aus diesen Gleichungen erhalten wir: d = ib, b = −ia, c = −ia und wegen 1 = ad − bc = 2a2 schließlicha = d = 1/

√2 und b = c = −i/

√2, oder (wenn wir mit i

√2 erweitern)

z ↦ iz + 1z + i

.

0

i

+1-1 ΜH0L

ΜHiL

ΜH¥L

ΜH+1LΜH-1L

Sie bildet die obere Halbebene auf die Einheitsscheibe ab. Ihre Umkehrfunktion ist durch w ↦ (iw −1)/(−w+ i) gegeben. Konjugieren wir die allgemeine Mobius-Transformation z ↦ αz+β

βz+αaus 2.28 mit

dieser, so erhalten wir

z ↦ (Reα − i (β −Reβ)) z − i (α −Reα) +Reβ(i (α −Reα) +Reβ) z +Reα + i (β −Reβ)

= az + bc z + d

mit

a ∶= Reα + Imβ, b ∶= Imα +Reβ, c ∶= − Imα +Reβ, d ∶= Reα − Imβ ∈ R

und umkehrt ist jedes reelle Quadrupel von dieser Form mit

α ∶= a + d2

+ i b − c2

und β ∶= b + c2

+ i a − d2

.

2.31 Trigonometrische Funktionen.Wegen e±iy = cos(±y) + i sin(±y) = cos y ± i sin y folgt

cos(y) = ei y + e−i y

2und sin(y) = e

i y − e−i y

2i

fur alle y ∈ R. Da die rechten Seiten aber auch fur y ∈ C wohldefiniert und in y holomorph sind,konnen wir durch diese Formeln sin und cos zu holomorphen Funktionen C → C erweitern. Genausokonnen wir auch fur

cosh(y) ∶= ey + e−y

2= cos(i y) und sinh(y) ∶= e

y − e−y

2= −i sin(i y)

vorgehen.

30 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.31

0 1 2 3

-1

0

1

0 1 2 3

-1

0

1

kartesisches Gitter @0.1,1D´@-1,1D

z + ����1

z

-2 -1 0 1 2

0

1

2-2 -1 0 1 2

0

1

2

Polargitter @0.8,1D´@-Π,ΠD um 0.3 + 0.3 ä

z + ����1

z

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

kartesisches Gitter @- ����������3 Π

4, ����������3 Π

4D´@-2,2D

sin

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Polargitter @0, ����������5 Π

8D´@-Π,ΠD um 0

sin

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

kartesisches Gitter @0,ΠD´@-1,1D

cosHzL

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

Polargitter @0, �����Π

2D´@-Π,ΠD um �����

Π

2

cosHzL

Somit ist auch in C

cos(z1 + z2) =ei (z1+z2) + e−i (z1+z2)

2

= ei (z1+z2) + e−i (z1+z2)

4+ e

i (z2−z1) + ei (z1−z2)

4+ e

i (z1+z2) + e−i (z1+z2)

4− e

i (z1−z2) + ei (z2−z1)

4

= ei z1 + e−i z1

2ei z2 + e−i z2

2− e

i z1 − e−i z12i

ei z2 − e−i z22i

= cos(z1) cos(z2) − sin(z1) sin(z2)

und analog fur den Sinus:

sin(z1 + z2) = sin(z1) cos(z2) + cos(z1) sin(z2).

Insbesonders ist

sin (π2± z) = cos (π

2) sin(±z) + sin (π

2) cos(±z) = cos(z),

sin(x + i y) = sin(x) cos(i y) + cos(x) sin(i y) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y),cos(x + i y) = cos(x) cos(i y) − sin(x) sin(i y) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y).

[email protected] © 1. Juli 2011 31

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2.31 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

Damit ist

∣ cos z∣2 = cos(x)2 cosh(y)2 + sin(x)2 sinh(y)2

= cos(x)2(1 + sinh(y)2) + sin(x)2 sinh(y)2 = cos(x)2 + sinh(y)2

und somit cos z = 0 ⇔ z ∈ π/2 + πZ.

Analog ist ∣ sin z∣2 = sin(x)2 + sinh(y)2 und somit sin z = 0 ⇔ z ∈ πZ.

Bei festen y ≠ 0 durchlauft x↦ sin(x±i y) auf jedem Intervall der Lange 2π die Ellipse in Hauptlage mitHalbachsenlangen cosh(y) ≥ 1 und sinh(y) ∈ R. Also ist der Sinus auf (−π,π)+i{y ∈ R ∶ y > 0} injektiv.Diese Menge enhalt aber nicht den reellen Injektivitatsbereich (−π

2, π

2) (als offene Teilmenge), darum

verwenden wir statt dessen (−π/2, π/2) + iR als Injektivitatsbereich (fur z daraus mit Im(z) ≷ 0ist Im(sin(z)) ≷ 0). Darauf hat der Sinus Werte in C ∖ {t ∈ R ∶ ∣t∣ ≥ 1} und wegen sin (±π

2+ z) =

± cos(z) + 0 = sin (±π2− z) laßt sich dieser Injektivitatsbereich nicht uber den Rand fortsetzen. Die

Injektivitat ergibt sich auch algebraisch aus:

0 = sin(z1) − sin(z2) = 2 sin(z1 − z2

2) cos(z1 + z2

2)

und somit z1 − z2 ∈ 2πZ oder z1 + z2 ∈ π + 2πZ und analog fur

0 = cos(z1) − cos(z2) = −2 sin(z1 − z2

2) sin(z1 + z2

2) .

Folglich ist arcsin,arccos ∶ C∖ {t ∈ R ∶ ∣t∣ ≥ 1}→ C wohldefiniert und holomorph. Ein explizite Formelfur arcsin ergibt sich aus der Losung von

w ∶= sin(z) = ei z − e−i z

2i⇒ (ei z)2 − 2iw eiz − 1 = 0 ⇒ ei z = iw ±

√1 −w2 ⇒

arcsin(w) = z = −i log(iw +√

1 −w2)

-3 -2 -1 0

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0

-2

-1

0

1

2

kartesisches Gitter @-1,1D´@-2,2D

z -"###############

z2 + 1

-3 -2 -1 0

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0

-2

-1

0

1

2

Polargitter @0.1,1.5D´@-Π,ΠD um 0

z -"###############

z2 + 1

Beachte hierbei, daß z ↦ z+√

1 + z2 Werte in {z ∶ Re z ≥ 0} hat wohingegen z ↦ z−√

1 + z2 = − 1

z+√

1+z2

Werte in {z ∶ Re z ≤ 0} hat, denn, da Re√z ≤ Re

√z′ aus Re z ≤ Re z′ und Im z = Im z′ folgt, ist

Re(z +√

1 + z2) = Re(z) +Re√

1 + z2 ≥ Re(z) +Re√z2 = Re(z) + ∣Re(z)∣ ≥ 0

und somit

Re(−i log(z +√

1 + z2)) = Im(log(z +√

1 + z2)) = arg(z +√

1 + z2) ∈ [−π2, π

2]

32 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 2.31

Analog erhalt man

arccos(w) = −i log(w + i√

1 −w2) = π2− arcsin(w)

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

-1 0 1

-2

-1

0

1

2

kartesisches Gitter @-Π,ΠD´@-2,2D

sin-1HzL

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

Polargitter @0,2D´@-Π,ΠD um 0

sin-1HzL

Fur sinh und cosh sowie deren Umkehrfunktionen arsinh und arcosh folgt entsprechendes.

Nun zu tanh und artanh. Wir definieren den Tangens hyperbolikus wie im Reellen fur cosh(z) ≠ 0 als

tanh(z) ∶= sinh(z)cosh(z)

= ez − e−z

ez + e−z

Dieser ist injektiv auf R+ i (−π2, π

2). Seine Umkehrfunktion artanh erhalten wir dann aus tanh(z) = w.

Setzen wir dazu v ∶= eiz, dann ist

w = tanh(z) = ez − e−z

ez + e−z= e

2z − 1e2z + 1

also

e2z = 1 +w1 −w

= 1 + tanh(z)1 − tanh(z)

fur w ≠ 1,

d.h.

artanh(w) = z = 12

log (1 +w1 −w

) .

Analog definieren wir:

tan(z) ∶= sin(z)cos(z)

= 1i

sinh(i z)cosh(i z)

= 1i

tanh(i z)

und erhalten somit fur die Umkehrfunktion

arctan(w) = 1i

artanh(iw) = 12i

log (1 + iw1 − iw

) .

[email protected] © 1. Juli 2011 33

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2.31 2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

kartesisches Gitter @- �����Π

3, �����

Π

3D´@- �����

Π

3, �����

Π

3D

tanHzL

-1 0 1

0

-1 0 1

0

Polargitter @0, �����Π

3D´@-Π,ΠD um 0

tanHzL

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

kartesisches Gitter @-2,2D´@-2,2D

tan-1HzL

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

Polargitter @0,2D´@-Π,ΠD um 0

tan-1HzL

34 [email protected] © 1. Juli 2011

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2. Komplexe Differenzierbarkeit – Holomorphie 3.2

3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

Nachdem wir das Differenzieren komplexer Funktionen behandelt haben, wollen wir uns nun der in-versen Operation zuwenden. In der 1-dimensionalen reellen Analysis ist dies die Integration nach demHauptsatz, siehe z.B. [KriANA2, 5.2.2]. Auch im mehrdimensionalen konnen wir aus der Ableitungf ′ ∶ E ⊇ U → L(E,F ) einer C1-Abbildung f ∶ E ⊇ U → F (mit E und F endlich dimensionaleVektorraume oder sogar Banach-Raume) diese (lokal) bis auf eine additive Konstante rekonstruieren,denn um f(x) mit f(x0) zu vergleichen, genugt es f langs der Geraden c ∶ t↦ x0+t (x−x0) zu betrach-ten. Dann ist nach dem 1-dimensionalen (vektorwertigen) Hauptsatz der Analysis [KriANA2, 5.5.18]und der Kettenregel [KriANA2, 6.1.9]

f(x) − f(x0) = (f ○ c)(1) − (f ○ c)(0) = ∫1

0(f ○ c)′(t)dt = ∫

1

0f ′(c(t)) ⋅ c′(t)dt.

Beachte dabei, daß dasselbe fur jede C1-Kurve c ∶ [0,1]→ U mit c(0) = x0 und c(1) = x funktioniert,dieses Integral also vom gewahlten Weg c unabhangig ist, d.h. nur von dessen Endpunkten abhangt.

3.1 Proposition. Stammfunktion via Kurvenintegral.Es sei f ∶ E ⊇ U → F C1. Dann ist

∫cf ′ ∶= ∫

b

a(f ′ ○ c) ⋅ c′ = f(c(b)) − f(c(a)) fur alle C1-Kurven c ∶ [a, b]→ U.

Fur die Umkehrung zum Differenzieren sollten wir also fur abstrakt gegebene stetige Abbildungeng ∶ E ⊇ U → L(E,F ) versuchen eine Stammfunktion f durch

f(x) ∶= f(x0) + ∫1

0g(c(t)) c′(t)dt

zu definieren, wobei c eine C1-Kurve sei, die x0 mit x verbindet, also z.B. c = cx0,x ∶ t↦ x0+ t (x−x0),das Geradensegment von x0 nach x. Dazu folgende

3.2 Definition. 1-Form.Unter einer 1-Form versteht man eine Abbildung g ∶ E ⊇ U → L(E,F ). Ausfuhrlicher spricht manauch von einer F -wertigen Differentialform der Ordnung 1 auf U .

Sie heißt exakt, falls sie eine Stammfunktion auf ganz U besitzt, d.h. eine differenzierbare Abbildungf ∶ U → F , mit df = g.

Fur E = Rn und die lineare Koordinatenprojektion pri ∶ x = (x1, . . . , xn)↦ xi erhalt man insbesondersdie exakte 1-Form dpri, fur die man ublicherweise dxi schreibt, und die an jeder Stelle durch v =(v1, . . . , vn)↦ vi gegeben ist. Eine allgemeine 1-Form f ∶ E ⊇ U → L(E,F ) kann fur E = Rn nun bzgl.der Standardbasis (ei)ni=1 des Rn wie folgt geschrieben werden:

f(x)(v) = f(x)(n

∑i=1

vi ei) =n

∑i=1

vi®

dxi(x)(v)

⋅ f(x)(ei)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

=∶fi(x)

=n

∑i=1

dxi(x)(v) ⋅ fi(x) =n

∑i=1

fi(x) ⋅ dxi(x)(v) = (n

∑i=1

fi(x) ⋅ dxi(x))(v),

also

f(x) =n

∑i=1

fi(x) ⋅ dxi(x) = (n

∑i=1

fi ⋅ dxi)(x), oder kurz f =n

∑i=1

fi dxi.

D.h. f wird vollstandig durch die Komponenten fi ∶ E ⊇ U → F fur i = 1, . . . , n mit fi(x) ∶= f(x)(ei)beschrieben.

Fur F = R haben wir also so etwas wie eine Basis dx1, . . . , dxn des Raums aller skalar-wertigen 1-Formen Rn ⊇ U → L(Rn,R) gefunden. Die Komponenten f1, . . . , fn einer beliebigen 1-Form f sindallerdings nicht Zahlen sondern Funktionen. Eine Abel’sche Gruppe (wie z.B. die Menge der 1-Formenmit punktweiser Addition) zusammen mit einer Multiplikation mit Elementen eines Rings R (hierder Menge aller reell-wertigen Funktionen) welche die ublichen Vektorraum-Axiome erfullt (abgesehendavon, daß R kein Korper zu sein braucht) heißt R-Modul.

[email protected] © 1. Juli 2011 35

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3.5 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

Ist f = dg, dann ist fi(x) = dg(x)(ei) = ∂ig(x) = ∂g(x)∂xi

, also gerade die i-te partielle Ableitung von g

und

dg(x) =∑i

∂g(x)∂xi

dxi, oder kurz dg =∑i

∂ig ⋅ dxi.

3.3 Definition. Kurvenintegral langs C1-Kurven.Es sei c ∶ [a, b]→ E C1 und g ∶ E ⊇ c([a, b])→ L(E,F ) eine stetige 1-Form. Dann ist das Kurvenin-tegral ∫c g wie folgt durch ein Riemann-Integral definiert:

∫cg ∶= ∫

b

a(g ○ c) ⋅ c′ = ∫

b

ag(c(t)) ⋅ c′(t) dt.

Ist insbesonders g ∶ C ⊇ U → C eine C-wertige Funktion, so betrachten wir die 1-Form z ↦ g(z)dzund definieren das Kurvenintegral von g als

∫cg ∶= ∫

cg(z)dz = ∫

b

ag(c(t)) c′(t)dt.

3.4. Komplexwertige Funktionen als 1-Formen.Fur holomorphe Funktionen f ∶ C ⊇ U → C hat die reelle Ableitung df ∶ C ⊇ U → L(R2,R2) nach2.5 Werte in C ≅ LC(C,C) ⊆ L(R2,R2) und ist gegeben durch df(z) = f ′(z)dz. Als mogliche reelle

Ableitungen holomorpher Funktionen kommen also nicht beliebige 1-Formen g1(z)dx+g2(z)dy bzw.g1(z)dz + g2(z)dz in Frage, sondern nur solche der Form g(z) = g1(z)dz wie wir in 2.11 gesehenhaben.

Fur allgemeine C-wertige Funktionen g ∶ C ⊇ X → C betrachten wir die 1-Form z ↦ g(z)dz. Wennwir g in Real- und Imaginarteil als g(z) = u(z) + i v(z) zerlegen, so ist

g(z) = g(z) ⋅ dz = (u(z) + i v(z)) ⋅ (dx + i dy) = (u(z)dx − v(z)dy) + i(v(z)dx + u(z)dy),

oder kurz,g = (udx − v dy) + i(v dx + udy).

3.5 Lemma und Definition fur das komplexe Kurvenintegral.Es sei c ∶ [a, b] → C eine C1-Kurve und g ∶ C ⊇ c([a, b]) → C stetig. Dann existiert das komplexeKurvenintegral

∫cg ∶= ∫

cg(z)dz ∶= ∫

b

ag(c(t)) c′(t)dt.

Ist g = u+ i v die Zerlegung in Real- und Imaginarteil, so ist die Zerlegung in Real- und Imaginarteilgegeben durch

∫cg = ∫

c(udx − v dy) + i∫

c(v dx + udy).

Weiters ist∣∫cg∣ ≤ L(c) ⋅ ∥g∥∞,

wobei

L(c) ∶= ∫b

a∣c′(t)∣dt

die Lange der Kurve und ∥g∥∞ ∶= sup{∣g(x)∣ ∶ x ∈ c([a, b])} die Supremums-Norm von g bezeichnet.

Beweis. Die Existenz folgt aus 3.3 .

Fur g = u + i v ist nach 3.4 und g(z) ⋅ dz = (udx − v dy) + i (v dx + udy) und somit

∫cg(z)dz = ∫

c((udx − v dy) + i (v dx + udy)) = ∫

c(udx − v dy) + i ∫

c(v dx + udy).

Die Betragsabschatzung erhalten wir aus Dreiecksungleichung [KriANA2, 5.5.17.4] fur das Riemann-Integral wie folgt:

∣∫cg∣ =∣∫

b

ag(c(t)) (c′(t))dt∣ ≤ ∫

b

a∣c′(t)∣dt ⋅ sup{∣g(c(t))∣ ∶ t ∈ [a, b]} = L(c) ⋅ ∥g ○ c∥∞ ≤ L(c) ⋅ ∥g∥∞.

36 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.7

3.6 Beispiel. Kurvenintegral der Potenzfunktionen.Fur g(z) ∶= (z − z0)m mit m ∈ Z und jede geschlossene C1-Kurve in C ∖ {z0} ist

∫cg = 0 falls m ≠ −1,

denn fur solche m ist g = f ′, wobei f ∶ z ↦ 1m+1

(z − z0)m+1 holomorph auf C∖{z0} ist, also ist ∫c g = 0nach 3.1 . Fur den wichtigesten Fall, wo c(t) ∶= z0 + r eit fur t ∈ [0,2π] den Kreis mit Radius r undMittelpunkt z0 parametrisiert, kann man dies auch leicht direkt zeigen:

∫cf = ∫

0(r eit)m r i eit dt

= ∫2π

0rm+1 i eit(1+m) dt = ∫

0rm+1 i (cos(t(m + 1)) + i sin(t(m + 1)))dt

= irm+1 ∫2π(m+1)

0

cos(s)m + 1

ds − rm+1 ∫2π(m+1)

0

sin(s)m + 1

ds = 0.

Wir wollen nun klaren, was im Fall m = −1 passiert.

3.7 Lemma. Kurvenintegral der Inversion ist wegabhangig.Es sei g ∶ z ↦ 1

zund eine Parametrisierung des Kreises um 0 mit Radius r > 0 gegeben durch

c ∶ t↦ r eit fur t ∈ [0,2π]. Dann ist

∫cg = ∫

c

1zdz = 2π i.

Insbesonders ist das Kurvenintegral dieser 1-Form nicht wegunabhangig, obwohl g auf C ∖ {0} nach2.4.3 holomorph ist.

Beweis.

∫cg = ∫

0

1c(t)

c′(t)dt = ∫2π

0

1r eit

i r eit dt = ∫2π

0i dt = 2π i.

Die Wegabhangigkeit des Kurvenintegrals von g ergibt sich daraus, daß fur die beiden Halbbogenc1 ∶= c∣[0,π] und

c2 ∶= c∣[π,2π] folgendes gilt

2π i = ∫cg = ∫

c1(←c2g = ∫

c1g − ∫

c2g.

Bemerkung. Kurvenintegral der Inversion liefert Logarithmus.Zerlegung in Real- und Imaginarteil der 1-Form 1

zdz liefert

1zdz = 1

x + i yd(x + i y) = x − i y

x2 + y2(dx + i dy) = xdx + y dy

x2 + y2+ i x dy − y dx

x2 + y2.

Der Realteil ist eine exakte 1-Form auf R2 ∖ {0}, denn eine Stammfunktion ist durch (x, y) ↦ln(

√x2 + y2) gegeben. Der Imaginarteil erfullt auch die Integrabilitatsbedingung, denn

∂x( x

x2 + y2) = y2 − x2

(x2 + y2)2= ∂

∂y( −yx2 + y2

) .

Auf sternformigen Mengen U ⊆ R2 ∖ {0} ist dieser also exakt nach [KriANA2, 6.5.4]. Dabei nenntman eine Menge U ⊆ E sternformig, wenn ein x0 ∈ U existiert, s.d. fur alle x ∈ U die Streckex0x ∶= {x0 + t(x − x0) ∶ t ∈ [0,1]} in U liegt. Beachte, daß konvexe Mengen U (d.h. x0, x1 ∈ U⇒ x0x1 ∶= {x0 + t(x1 − x0) ∶ 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ U) sternformig bzgl. jedes ihrer Punkte sind, also diesinsbesonders fur (offene) Scheiben {z ∶ ∣z − z0∣ < r} gilt.

x0

x

U

[email protected] © 1. Juli 2011 37

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3.9 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

Eine Stammfunktion ist fur x ≠ 0 z.B. durch (x, y)↦ arctan( yx) und fur y ≠ 0 durch (x, y)↦ arccot(x

y)

gegeben, denn∂

∂x(arctan(y

x)) = 1

1 + ( yx)2

(− y

x2) = − y

x2 + y2

∂y(arctan(y

x)) = 1

1 + ( yx)2

1x= x

x2 + y2.

Wenn wir Real- und Imaginarteil kombinieren, so erhalten wir als lokale Stammfunktion die Um-kehrfunktion log der Exponentialfunktion exp ∶ C → C. Da das Kurvenintegral von 1

zdz langs des

Einheitskreises gerade 2π i ist, ist es nicht egal, ob wir den Wert der Stammfunktion an der Stelle−1 durch Integration langs des oberen Halbkreises oder des unteren berechnen. Um Wohldefiniertheitder Umkehrfunktion zu erreichen, verwendeten wir in 2.14 folglich als Definitionsbereich von log diegeschlitzte Ebene C ∖ {t ∈ R ∶ t ≤ 0}.

3.8 Lemma. Liften langs der Exponentialfunktion.Es sei c ∶ [a, b] → C ∖ {0} eine C1-Kurve und exp(z0) = c(a). Dann ist c ∶ t ↦ z0 + ∫c∣[a,t]

dzz

dereindeutige stetige Lift langs exp ∶ C→ C ∖ {0} von c mit Anfangswert c(a) = z0.

Siehe dazu auch 2.14 .

Beweis. Die Eindeutigkeit des Lifts c langs exp folgt, da die Menge {t ∈ [a, b] ∶ exp(c(t)) = c(t)}abgeschlossen ist, a enthalt und, da exp ein lokaler Diffeomorphismus ist, auch offen ist.

Die Inversion z ↦ 1z

besitzt auf der geschlitzten Ebene U ∶= C ∖ {t ∈ R ∶ t ≤ 0} den Logarithmus alsStammfunktion. Falls ca ∶ s↦ c(s)

c(a)nur Werte in U hat, so gilt

logc(s)c(a)

= log(ca(s)) = ∫ca∣[a,s]

dz

z= ∫

s

a

c′a(s)ca(s)

ds = ∫s

a

c′(s)c(s)

ds = ∫c∣[a,s]

dz

z

Damit ist das Kurvenintegral ein Lift von c fur beliebige c ∶ [a, b] → C ∖ {0}, denn die Menge dert ∈ [a, b], fur welche die stetigen Kurven t ↦ exp(∫c∣[a,t]

dzz) und t ↦ c(t)

c(a)ubereinstimmen, ist abge-

schlossen und auch offen, denn sei t0 so ein Punkt, dann ist fur t nahe t0

exp(∫c∣[a,t]

dz

z) =

3.11========= exp(∫

c∣[a,t0]

dz

z+ ∫

c∣[t0,t]

dz

z) = c(t0)

c(a)⋅ exp(log

c(t)c(t0)

) = c(t)c(a)

.

3.9 Proposition. Reparametrisierungsinvarianz des Kurvenintegrals.Das Kurvenintegral ist Reparametrisierungs-invariant, d.h. fur C1-Kurven c ∶ [a, b] → E und C1-Parameterwechsel h ∶ [a, b] → [a, b] mit h(a) = a und h(b) = b ist fur alle stetigen 1-Formen g ∶ E ⊇c([a, b])→ L(E,F ):

∫cg = ∫

c○hg.

Weiters ist

∫←cg = −∫

cg,

wobei←

c ∶ t↦ c(a + b − t) die umgekehrt durchlaufene Kurve c bezeichnet.

Wir konnen uns also immer darauf beschranken Kurven zu betrachten, die am Einheitsintervall I ∶=[0,1] definiert sind.

Beweis.

∫c○h

g = ∫b

ag((c ○ h)(t)) ⋅ (c ○ h)′(t) dt = ∫

b

ag(c(h(t))) ⋅ c′(h(t)) h′(t)dt = ∫

h(b)

h(a)g(c(s)) ⋅ c′(s) ds.

Fur die umgekehrt durchlaufene Kurve←

c ∶= c1 ○ h mit h(t) ∶= a + b − t erhalten wir wie zuvor

∫←cg = ∫

c○hg = ∫

b

a(g ○ c)(h(t)) c′(h(t))h′(t)dt = ∫

h(b)

h(a)(g ○ c)(s) c′(s)ds

= ∫a

b(g ○ c)(s) c′(s)ds = −∫

b

a(g ○ c)(t) c′(t)dt = −∫

cg.

38 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.11

3.10 Definition. Aneinanderhangen von Kurven.Wenn ci ∶ [ti−1, ti] → E Kurven sind, die an den Endpunkten ubereinstimmen (d.h. ci(ti) = ci+1(ti)),so definieren wir die Kurve c ∶= c1( . . .( cn ∶ [t0, tn] → E durch c∣[ti−1,ti] ∶= ci. Falls allgemeiner dieDefinitionsbereiche [ai, bi] der ci ∶ [ai, bi]→ E nicht zusammenpassen (d.h. bi ≠ ai+1 ist) aber dennochci(bi) = ci+1(ai+1) gilt, so parametrisieren wir die ci zuerst affin um. Ein Polygonzug ist c1( ⋯( cn,wobei die ci ∶ [0,1]→ E die affinen Verbindungsstucke t↦ xi−1 + t(xi − xi−1) der Ecken xi sind.

Die Segmente xi−1, xi des Polygonzugs werden durch ci C∞-parametrisiert.

Die Ableitungen an der Ecken xi stimmen aber nicht uberein, also liefertdas so definierte c1( . . .( cn keine differenzierbare Parametrisierung. Aberwir konnen allgemeine Kurven ci ∶ [0,1] → E vermoge h ∶ [0,1] → [0,1],h(t) = t2(3 − 2t) umparametrisieren. Wegen h(0) = 0 und h(1) = 1 konnenwir c ∶= (c1 ○ h)( . . .( (cn ○ h) bilden. Und c ist C1, denn wegen h′(0) =0 = h′(1) verschwindet (ci ○ h)′ an den Randpunkten. Also ist c eine C1-Parametrisierung von c1( . . .( cn. Wenn wir h so wahlen, daß alle Ableitungenam Rand des Intervall verschwinden, dann ist das so definierte c sogar C∞. 0 1

1

Mittels 3.9 macht also das Kurvenintegral langs stuckweiser C1-Kurven einen Sinn, indem wir die-ses als Summe der Kurvenintegrale uber die C1-Teile definieren oder die stuckweise differenzierbareKurve so umparametrisieren, daß sie C1 wird, wie das folgende Lemma zeigt.

3.11 Lemma. Stuckweise Berechnung des Kurvenintegrals.Das Kurvenintegral ist additiv in der Kurve, d.h. sei g ∶ E ⊇ U → L(E,F ) eine stetige 1-Formund seien cj ∶ I → U C1-Kurven mit c1(1) = c2(0) und c1( c2 die Aneinanderhangung der Kurven(C1-parametrisiert). Dann ist

∫c1( c2

g = ∫c1g + ∫

c2g.

Beweis. O.B.d.A. seien die cj so (um-)parametrisiert, daß c′1(1) = c′2(0) gilt. Dann ist

c ∶ t↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

c1(t) fur t ≤ 1c2(t − 1) fur t ≥ 1

eine C1-Parametrisierung fur c1( c2 und somit

∫c1( c2

g = ∫2

0g(c(t)) c′(t)dt = ∫

1

0g(c(t)) c′(t)dt + ∫

2

1g(c(t)) c′(t)dt

= ∫1

0g(c1(t)) c′1(t)dt + ∫

1

0g(c2(t)) c′2(t)dt = ∫

c1g + ∫

c2g.

Wir konnen also z.B. uber den Rand ∂∆ eines Dreiecks ∆ ∶= {∑3j=1 tjzj ∶ ∑

3j=1 tj = 1, tj ≥ 0} mit Ecken

z0, z1, z2 (d.h. der konvexen Hulle von {z0, z1, z2}) integrieren indem wir Summe der Kurvenintegraleuber seine einheitlich orientierten Seiten cz0,z1 , cz1,z2 , cz2,z0 bestimmen.

z0 z1

z2

Ht0z0+t1z1L�Ht0+t1L

Ht1z1+t2z2L�Ht1+t2L

Ht2z2+t0z0L�Ht2+t0L

t0z0+t1z1+t2z2

[email protected] © 1. Juli 2011 39

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3.13 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

3.12 Stammfunktion via Kurvenintegral.Fur die Umkehrung der Differentiation konnen wir nun wie geplant versuchen eine Stammfunktion fzu einer stetigen 1-Form g ∶ E ⊇ U → L(E,F ) durch

f(x) ∶= f(x0) + ∫cx0,x

g = f(x0) + ∫1

0g(cx0,x(t)) c′x0,x(t)dt

zu definieren, wobei cx0,x ∶ [0,1]→ E gegeben ist durch t↦ x0 + t (x − x0).Um von f die Ableitung an der Stelle x in Richtung v zu bestimmen, betrachten wir

f(x + s v) − f(x) = ∫cx0,x+sv

g − ∫cx0,x

g

Wenn wir voraussetzen, daß das Integral

∫∂∆

g = ∫cx0,x+sv

g + ∫cx+sv,x

g + ∫cx,x0

g = f(x + s v) − ∫cx,x+sv

g − f(x)

uber den Rand ∂D des Dreiecks ∆ mit Ecken x0, x, x + s v gleich 0 ist, dann erhalten wir

f(x + s v) − f(x)s

= 1s∫cx,x+sv

g = 1s∫

1

0g(x + t s v)(s v)dt→ ∫

1

0g(x)(v)dt = g(x)(v).

Wir benotigen dazu allerdings, daß diese Integrationsbereiche in U liegen, d.h. mit x auch x+ s v fur∣s∣ klein und weiters x0 + t(s v + x − x0) fur t ∈ [0,1].

x0

x

x+s v

v

cx0 ,x

cx0 ,x+s v

cx,x+s vx0

x

U

Fur sternformige offene Mengen U ist dies jedenfalls erfullt.

Da fur die Differenzierbarkeit einer Abbildung f die Existenz der Richtungsableitung zusammen mitihrer Stetigkeit genugt (siehe [KriANA2, 6.1.21]), haben wir somit folgendes gezeigt:

Proposition.Sei U ⊆ E offen und sternformig bzgl. x0, weiters g ∶ E ⊇ U → L(E,F ) stetig und ∫∂∆ g = 0 fur jedesDreieck ∆ ⊆ U . Dann ist f ∶ x↦ ∫cx0,x g eine Stammfunktion von g auf U .

Dieses Resultat ist nicht vollig befriedigend, denn die Sternformigkeit von U scheint eine zu restriktiveBedingung zu sein. Es sollte doch genugen, wenn wir von x0 ∈ U zu einem beliebigen x ∈ U zwar nichtlangs einer Gerade in U gelangen konnen aber doch zumindest langs einer Kurve c in U .

3.13 Theorem. Exaktheit via Wegunabhangigkeit.Es sei g ∶ E ⊇ U → L(E,F ) eine stetige 1-Form auf einer offenen Menge U . Dann besitzt g genaudann eine Stammfunktion auf U , wenn ihr Kurvenintegral wegunabhangig ist.Auf Zusammenhangskomponenten von U konnen wir eine Stammfunktion f durch f(z) ∶= ∫cz g defi-nieren, wobei cz ∶ [0,1]→ U eine beliebige C1-Kurve von einem fixen Punktes z0 in der Komponentenach z ist. Weiters ist die Stammfunktion auf Zusammenhangskomponenten bis auf eine additiveKonstante eindeutig.

Zusammen mit 3.12 zeigt dies, daß fur sternformige offene U und stetige g ∶ E ⊇ U → L(E,F ) dasKurvenintegral ∫c g genau dann wegunabhangig ist, wenn ∫∂∆ g = 0 fur jedes Dreieck ∆ ⊆ U .

Definition. Zusammenhangende Menge.Eine offene Menge U ⊆ E heißt zusammenhangend ∶⇔ zu je zwei Punkten z0, z1 ∈ U existiert einPolygonzug (oder aquivalent eine stetige Kurve), welcher die beiden Punkte verbindet. Sei namlichc so eine Kurve, dann ist ihr Bild kompakt und somit existiert nach dem Uberdeckungssatz vonLebesgue (siehe [KriANA2, 5.1.5] oder [KriTOP, 3.3.3]) ein 0 ≠ n ∈ N so, daß je zwei Punkte c(t1)und c(t2) mit Distanz hochstens 1

nin einem in U enthaltenen offenen Ball enthalten sind. Inbesonders

40 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.14

ist die Strecke von c( kn) nach c(k+1

n) in U (oder auch der achsenparallele Polygonzug zwischen diesen

Punkten).

z0

z

c

U

Die Relation z0 ∼ z1 ∶⇔ ∃c ∶ [0,1] → U mit c(0) = z0 und c(1) = z1 ist offensichtlich eine Aquivalenz-relation. Ihre Aquivalenzklassen nennt man Zusammenhangskomponenten.

Beweis von 3.13 . (⇒) Wenn g = df fur ein f ∶ U → F ist, so ist das Kurvenintegral wegunabhangignach 3.1 .

Eindeutigkeit: Es seien fi fur i ∈ {0,1} zwei Stammfunktionen. Dann ist die Differenz f = f1 − f0

differenzierbar mit Ableitung df = 0. Sei x0 und x1 in U beliebig und c ∶ [a, b] → U eine C1-Kurvein U , die x0 mit x1 verbindet. Dann ist f(x1) − f(x0) = ∫

ba df(c(t))(c

′(t))dt = 0 nach 3.1 , also fkonstant auf den Zusammenhangskomponenten.

(⇐) Es genugt eine Stammfunktion auf jeder Zusammenhangskomponente von U zu finden. Sei alsoo.B.d.A. U zusammenhangend und x0 ∈ U fix gewahlt. Fur x ∈ U definieren wir f(x) ∶= ∫cx g, wobeicx ∶ [0,1] → U eine C1-Kurve ist, die x0 mit x verbindet. Da das Kurvenintegral als wegunabhangigvorausgesetzt ist, hangt diese Definition nicht von der Wahl der Kurve ab und fur alle x in einersternformigen Umgebung von x ist

f(x) = ∫cxg = ∫

cxg + ∫

cx,xg,

wobei cx,x wie in 3.1 die orientierte Strecke xx parametrisiert. Nach 3.12 ist x ↦ ∫cx,x g eineStammfunktion von g auf dieser Umgebung, also f eine von g auf ganz U .

3.14 Folgerung. Stammfunktion komplexer Funktionen via Kurvenintegral.Es sei g ∶ C ⊇ U → C stetig auf einer offenen Menge U . Dann besitzt g genau dann eine holomorpheStammfunktion auf U , wenn ihr Kurvenintegral wegunabhangig ist.

Auf Zusammenhangskomponenten von U konnen wir eine Stammfunktion f durch f(z) ∶= ∫cz g defi-nieren, wobei cz ∶ [0,1] → U eine beliebige C1-Kurve von einem fixen Punktes z0 in der Komponentenach z ist. Weiters ist die Stammfunktion auf Zusammenhangskomponenten bis auf eine additiveKonstante eindeutig.

z0

z

c

Beweis. Nach 3.13 ist das Kurvenintegral der 1-Form z ↦ g(z)dz genau dann wegunabhangig, wenneine Funktion f ∶ U → C existiert mit df(z) = g(z)dz fur alle z ∈ U . Nach 2.5 ist dies gleichbedeutenddamit, daß f eine holomorphe Stammfunktion ist.

Ebenfalls nach 3.13 kann so ein f auf Zusammenhangskomponenten durch das Kurvenintegral be-rechnet werden und ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

[email protected] © 1. Juli 2011 41

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3.16 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

3.15 Bemerkung. Wegunabhangigkeit des Kurvenintegrals via Integrabilitatsbedingung.Da die Bedingung uber das Kurvenintegral nicht sehr handlich ist, versucht man diese durch einfa-cher handhabbare Bedingungen zu ersetzen. Sei dazu wieder vorausgesetzt, daß g = df die (reelle)Ableitung einer Abbildung f ∶ U → F sei. Falls f sogar C2 ist, dann besagt der Satz von Schwarz(siehe [KriANA2, 6.3.11]), daß die zweite Ableitung f (2)(x) symmetrisch ist, d.h. f (2)(x)(v,w) ∶=d(df)(x)(v)(w) = dg(x)(v)(w) muß symmetrisch in v,w sein. Es werden in der reellen Analysismehrere Satze bewiesen, von denen jeder zeigt, daß auch die Umkehrung gilt und man diese Symme-triebedingung folglich auch Integrabilitatsbedingung nennt:

● Satz von Frobenius uber totale Differentialgleichungen (siehe [KriANA2, 6.5.1]),

● Integralsatz von Stokes fur Ketten (siehe [KriANA3, 8.7.3]), bzw. der Spezialfall: Gauß’scherIntegralsatz in der Ebene (siehe [KriANA3, 8.1.2]).

● Poincare Lemma fur die Kohomologie (siehe [KriDG, 44.5.6] oder Aufgabe [KriANA3PS,8.5.2]), bzw. der Spezialfall fur 1-Formen (siehe [KriANA2, 6.5.4]).

● Satz uber Gradientenfelder (siehe [KriANA2, 6.5.16]).

Was bedeutet dies nun fur holomorphe Funktionen f ∶ C ⊇ U → C ?Deren reelle Ableitung df ∶ U → L(C,C) ist nach 2.5 durch df(x)(v) = f ′(x) ⋅ v gegeben und erfullt(so f C2 ist) die Integrabilitatsbedingung.Falls nun umgekehrt g ∶ E ⊇ U → C eine holomorphe Funktion ist, dann ist die Integrabilitatsbedingungfur die 1-Form g ∶ z ↦ g(z)dz ∈ L(R2,R2) erfullt, denn

dg(z)(v)(w) = d

dt∣t=0(g(z + t v)dz)(w) = d

dt∣t=0g(z + t v) ⋅w = dg(z)(v) ⋅w = g′(z) ⋅ v ⋅w

ist symmetrisch in (v,w) (siehe auch 2.12 ). Wenn wir nun die Stetigkeit von dg wußten, so konntenwir obige Satze anwenden um eine Stammfunktion zu erhalten.

Wir wollen dies aber nun direkt ohne Verwendung dieser Satze aus der reellen Analysis zeigen, undzwar unter der insofern schwacheren Voraussetzung, daß wir nicht C1 fur g verlangen.

3.16 Integrallemma von Goursat.Es sei ∆ ein abgeschlossenes Dreieck und ∂∆ sein (positiv durchlaufener) Rand. Sei g ∶ U → C eineauf einer offenen Umgebung U von ∆ holomorphe Funktion. Dann ist

∫∂∆

g(z)dz = 0

Beweis. Es seien a, b, c die Ecken von ∆ und a′ ∶= b+c2

, b′ ∶= c+a2

, c′ ∶= a+b2

die Halbierungspunkteseiner Seiten. Damit ist

∫∂∆

g(z)dz = ∫∂∆ac′b′

g(z)dz + ∫∂∆ba′c′

g(z)dz + ∫∂∆cb′a′

g(z)dz + ∫∂∆a′b′c′

g(z)dz

Sei ∆′ jenes dieser 4 Dreiecke, fur welches ∣∫∂∆′ g(z)dz∣ maximal ist.Dann gilt:

∣∫∂∆

g(z)dz∣ ≤ 4∣∫∂∆′

g(z)dz∣.

Wir iterieren diesen Prozess und erhalten Dreiecke ∆(k) ⊆ ∆ mitUmfang U(∆(k)) = L(∂∆(k)) = 2−k U(∆), Durchmesser (=langsteSeite) d(∆(k)) = 2−k d(∆), und

∣∫∂∆

g(z)dz∣ ≤ 4k∣∫∂∆(k)

g(z)dz∣.a b

c

a’b’

c’

Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung (siehe [KriTOP, 3.1.4]) oder der endlichen Durchschnitts-eigenschaft kompakter Raume (siehe [KriTOP, 2.1.3]) ist ⋂∞k=1 ∆(k) = {z0} fur ein z0 ∈ C. Sei ε > 0beliebig. Da g C-differenzierbar bei z0 ist, existiert ein δ > 0 mit ∣r(z)∣ < ε fur alle z mit ∣z−z0∣ < δ gilt,wobei r(z) ∶= g′(z0)− g(z)−g(z0)z−z0

fur z ≠ z0 und r(z0) ∶= 0. Wahlen wir nun k so groß, daß ∆(k) ⊆ Uδ(z0).

42 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.19

Damit ist

∫∂∆(k)

g(z)dz = ∫∂∆(k)

g(z0) + (z − z0) g′(z0) + (z − z0) r(z)dz

= g(z0) ∫∂∆(k)

dz + g′(z0) ∫∂∆(k)

(z − z0)dz + ∫∂∆(k)

(z − z0) r(z)dz

=3.6======= ∫

∂∆(k)(z − z0) r(z)dz

und somit

∣∫∂∆

g(z)dz∣ ≤ 4k ∣∫∂∆(k)

g(z)dz∣ = 4k ∣∫∂∆(k)

(z − z0) r(z)dz∣

≤ 4k U(∆(k)) ⋅ d(∆(k)) ε = 4k 2−k U(∆)2−k d(∆) ε = U(∆)d(∆) ε

fur alle ε > 0, also ∫∂∆ g(z)dz = 0.

3.17 Folgerung. Holomorphe Stammfunktion.Es sei g ∶ C ⊇ U → F holomorph auf einer sternformigen offenen Menge U , dann existiert eineholomorphe Stammfunktion f von g.

Beweis. Da g holomorph ist, folgt aus dem Integrallemma 3.16 von Goursat, daß ∫∂∆ g = 0 undnach 3.12 hat g eine Stammfunktion.

3.18 Cauchy’scher Integralsatz.Es sei g holomorph auf einer sternformigen offenen Menge U ⊆ C. Dann ist das Kurvenintegral vong wegunabhangig, oder anders ausgedruckt, falls c eine geschlossene C1-Kurve ist, so ist ∫c g = 0.

Unter einer geschlossenen Kurve c verstehen wir eine C1-Kurve c ∶ [a, b] → C mit c(a) = c(b).Damit sie auch am Rand gut zusammenpaßt verlangt man besser noch c′(a) = c′(b). Durch Umpara-metrisieren konnen wir wie in 3.10 immer c′(a) = 0 = c′(b) erreichen.

Beweis. Nach 3.17 hat g eine Stammfunktion und wegen 3.14 ist ∫c g somit wegunabhangig.

Ist c ∶ [a, b]→ U geschlossen, so hat c und die konstante Kurve t↦ c(a) = c(b) die gleichen Endpunkte,also ist ∫c g = ∫konst g = ∫

10 g(c(a))0dt = 0.

Wie wir in 3.7 gesehen haben, genugt es bei nicht-sternformigen Mengen U nicht zu fordern, daß∫∂∆ g = 0 fur alle Dreiecke ∆ ⊆ U gilt, um die Existenz einer Stammfunktion auf ganz U bzw. dieWegunabhangigkeit des Kurvenintegrals zu erhalten. Wir wollen genauer herausfinden inwieweit dasKurvenintegral dennoch wegunabhangig ist. Wenn das Kurvenintegral uber Dreiecke 0 ist, so auchjenes uber Rechtecke, den dazu zerlege man diese in zwei Dreiecke und beachte, daß das Kurvenintegraluber die in beide Richtungen durchlaufene Diagonale sich weg hebt. Um dies zu verallgemeinern gebenwir folgendes

3.19 Lemma. Kurvenintegral uber krumme Rechtecke.Es sei das Kurvenintegral von g ∶ E ⊇ U → L(E,F ) lokal wegunabhangig und H ∶ [0,1] × [a, b] → UC1. Mit Hs(t) ∶=H(s, t) und Ht(s) ∶=H(s, t) ist dann

∫H1

g − ∫H0

g = ∫Hbg − ∫

Hag

0 1 sa

b

t

Ha

Hb

H0

H1

H

Dabei heißt eine stetige Abbildung H ∶ [0,1] × [a, b] → U die C1 (zumindestens) am Rand ∂([0,1] ×[a, b]) ist Homotopie zwischen H0 und H1 in U . Sie heißt Homotopie relativ Endpunkte, fallsHa und Hb konstant sind. Zwei Kurven cj ∶ [a, b] → U fur j ∈ {0,1} heißen homotop (relativ

[email protected] © 1. Juli 2011 43

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3.21 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

Endpunkte), wenn eine Homotopie H (relativ Endpunkte) existiert mit Hj = cj fur j ∈ {0,1}. Furgeschlossene Kurven verlangt man von der Homotopie H zusatzlich, daß Ha =Hb ist.

0 1 sa

b

t

Ha

Hb

H0H1

H

Somit besagt das Lemma, daß das Integral uber Kurven, die homotop relativ Endpunkte sind, undauch uber homotope geschlossene Kurven ident ist.

Beweis. Da das Kurvenintegral von g nach Voraussetzung lokal wegunabhangig ist konnen wir nachdem Uberdeckungssatz von Lebesgue (siehe [KriANA2, 5.1.5] oder [KriTOP, 3.3.3]) [0,1] × [a, b] soProdukt-zerlegen, daß g auf den Teilrechtecken R eine Stammfunktion fR besitzt. Damit ist

∫Ha

g + ∫H1

g − ∫Hbg − ∫

H0

g =∑R∫H ∣∂R

g =∑R∫H ∣∂R

f ′R = 0,

denn die inneren Seitenkanten werden dabei jeweils in beide Richtungen genau einmal durchlaufen.

Das folgende Lemma zeigt, daß es genugt in 3.19 zu verlangen, daß H stetig auf [0,1] × [a, b] undC1 am Rand ∂([0,1] × [a, b]) ist.

3.20 Lemma. Stetig homotop impliziert C1-homotop.Falls eine stetige Homotopie H ∶ [0,1] × [a, b]→ U ⊆ C zwischen zwei C1-Kurven [a, b]→ U existiert,fur welche Ha und Hb ebenfalls C1 sind, so existiert auch eine C1-Homotopie H ∶ [0,1]× [a, b]→ U ⊆C, welche am Rand ∂([0,1] × [a, b]) mit H ubereinstimmt.

Beweis. Es sei K ∶= [0,1] × [a, b] und ε ∶= d(H(K),C ∖ U). Da K kompakt ist, ist ε > 0. Wiruberdecken K mit 9 Rechtecken und zwar kleinen Quadraten R1, R2, R3 und R4 um die 4 Ecken, sowie4 Rechtecken R5, R6, R7 und R8 um die 4 offenen Seitenkanten welche die Ecken nicht enthalten undschließlich dem Inneren R0 von [0,1]× [a, b]. Auf den Rechteck Rj mit j ∈ {5, . . . ,8} setzen wir H ∣∂Kkonstant in die orthogonale Richtung zu einer C1-Abbildung Hj fort. Auf den Quadraten Rj mit j ∈{1, . . . ,4} mit Ecke (t0, s0) setzen wir H ∣∂K durch Hj(t, s) ∶=H(t, s0)+H(t0, s)−H(t0, s0) zu einer C1-Abbildung fort. Auf R0 approximieren wir H schließlich durch eine C1-Abbildung H0 mit ∥H−H0∥∞ <ε (siehe dafur z.B. [KriANA3, 7.6.5]: Wahle endliche Uberdeckung mit U s.d. ∣H(x)−H(xU)∣ < ε furalle x ∈ U . Sei (fU)U eine zugehorige glatte Partition der 1. Dann ist H0 ∶= ∑U H(xU) gU die gesuchteglatte Funktion). Wir verkleinern nun die Rechtecke R1, . . . ,R9 so daß ∥(H −Hj)∣Rj∥∞ < ε auch furj ∈ {1, . . . ,8} ist. Sei f0, . . . , f8 eine C1-Partition der 1 mit Trg(fi) ⊆ Ri (siehe z.B. [KriANA3, 7.6.2]:Eine Bump-Funktion fa,b fur das Intervall [a, b] ist e−

1x−a ⋅e− 1

b−x . Eine fur das Rechteck [a1, b1]×[a2, b2]ist (t, s)↦ fa1,b1(t)⋅fa2,b2(s). Eine Partition der 1 fur endliche Uberdeckungen durch Rechtecke erhaltman durch Dividieren der Bump-Funktionen durch ihre Summe ). Dann ist

H ∶=8

∑j=0

fj ⋅Hj

eine C1-Funktion, die auf ∂K mit H ubereinstimmt und

∣(H −H)(t, s)∣ ≤8

∑j=0

fj(t, s) ∥Hj −H ∣Rj∥∞ < ε∑j

fj(t, s) = ε

erfullt. Also hat H auf Grund der Definition von ε nur Werte in U .

3.21 Beispiele von Homotopien.

1. Es sei U sternformig bzgl. z0, dann ist jede (geschlossene) C1-Kurve c ∶ [a, b] → U mit End-punkten z0 homotop relativ Endpunkte zur konstanten Kurve vermoge

H(s, t) ∶= z0 + s ⋅ (c(t) − z0).

44 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.22

2. Es sei U konvex, dann sind je zwei C1-Kurven cj ∶ [a, b] → U (mit gleichen Endpunkten)homotop (relativ Endpunkte) vermoge

H(s, t) ∶= c0(t) + s ⋅ (c1(t) − c0(t)).

3. Sei c ∶ [a, b] → U eine C1-Kurve und h ∶ [a, b] → [a, b] ein C1-Parameterwechsel mit h(a) = aund h(b) = b. Dann ist c homotop zu c ○ h relativ Endpunkte vermoge

H(s, t) ∶= c(t + s ⋅ (h(t) − t))

4. Homotop (relativ Endpunkte) zu sein ist eine Aquivalenzrelation.Seien namlich H und K Homotopien mit H1 = K0, danndefiniert

(t, s)↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H(h(2t), s) fur t ∈ [0, 12]

K(h(2t − 1), s) fur t ∈ [ 12,1]

eine Homotopie zwischen H0 und K1, wobei h wie in 3.10gewahlt wird, damit diese Homotopie am Rand I×{a, b} C1

wird.

H0 K1H1 K0H K

H1 K1

H0 K0

5. Falls c0 homotop relativ Endpunkte zu c1 ist und ebenso d0 zu d1 mit c0(1) = d0(0) undc1(1) = d1(0), so ist c0( d0 homotop relativ Endpunkte zu c1( d1.

Seien namlich H und K die geforderten Homotopien, dannist

(t, s)↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

H(t, h(2s)) fur s ∈ [0, 12]

K(t, h(2s − 1)) fur s ∈ [ 12,1]

die gesuchte Homotopie. Wir haben dabei vorausgesetzt,daß c0( d0 und c1( d1 beide C1-parametrisiert sind.

H0

K1

H1

K0

c0

d1

c1

d0

H

K

H1

K1

H0

K0

3.22 Lemma und Definition. Einfach zusammenhangend.Eine Menge U ⊆ C (allgemeiner ein topologischer Raum U) heißt einfach zusammenhangend wennfolgende aquivalente Bedingungen erfullt sind:

1. Jede zwei Kurven mit gleichen Endpunkten sind homotop relativ Endpunkte;

2. Jede geschlossene Kurve ist homotop relativ Endpunkte zu der konstanten Kurve;

3. Jede geschlossene Kurve ist 0-homotop, d.h. homotop zu einer konstanten Kurve

einfach zusammenhangend nicht einfach zusammenhangend

Beweis. (1⇒2) Dies ist klar, da jede geschlossene Kurve c ∶ [0,1] → U die selben Endpunkte c(0) =c(1) hat wie die konstante Kurve t↦ c(0).

(2⇒3) Ist offensichtlich.

[email protected] © 1. Juli 2011 45

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3.26 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

(3⇒1) Seien cj ∶ [0,1] → U fur j ∈ {0,1} zwei Kurven mitgleichen Endpunkten. Dann ist c ∶= c0(

c1 eine geschlosseneKurve und somit existiert eine Homotopie H ∶ [0,1] × [0,1] →U mit H0 = c und H1 konstant. Betrachte nun die Zerlegungdes Quadrats [0,1]2 in zwei Trapeze und zwei Dreiecke unddefiniere eine Homotopie H darauf, indem man auf den beidenTrapezen jeweils eine Halfte von H verwendet und diese auf denDreiecken langs der horizontalen Geraden konstant fortsetzt.

c0 c1

c0H0L=c1H0L

c0H1L=c1H1L

H1

H1�2 H1�2

H0 H1

3.23 Verallgemeinerter Cauchy’scher Integralssatz.Es sei g holomorph auf einer einfach zusammenhangenden offenen Menge U ⊆ C. Dann ist dasKurvenintegral von g wegunabhangig und jenes uber geschlossene Kurven gleich 0.

Beweis. Nach dem Cauchy’schen Integralsatz 3.18 ist ∫c g lokal wegunabhangig und somit fur Kur-ven mit den gleichen Endpunkten, die nach 3.22 homotop relativ Endpunkte sind, das Kurvenintegralnach 3.19 gleich.

3.24 Lemma und Definition des Index einer Kurve.Es sei c eine geschlossene C1-Kurve in C. Der Index (oder auch die sogenannte Umlaufzahl oderWindungszahl) von c bzgl. z0 ∉ Bild(c) ist definiert durch

indc(z0) ∶=1

2π i ∫c1

z − z0dz.

Es ist indc(z0) ∈ Z.

Beweis. Nach Lemma 3.8 ist c ∶ t↦ ∫ c−z0c(0)−z0 ∣[0,t]

dzz

der Lift von t↦ c(t)−z0c(0)−z0

langs exp mit Anfangswert

c(0) = 0. Wegen c(1) = c(0) ist also

1 = c(1) − z0

c(0) − z0= exp(c(1)) = exp(∫

1

0( c(t) − z0

c(0) − z0)−1

⋅ c′(t)c(0) − z0

dt) = exp(∫1

0

c′(t)c(t) − z0

dt)

= exp(∫c

dz

z − z0)

und damit 12π i ∫c

dzz−z0

∈ Z. Der Index indc(z0) besagt also um wieviel sich die Endwerte der geliftetenKurve unterscheiden.

3.25 Lemma. Index ist Homotopie-invariant.Es sei U ⊆ C offen z0 ∈ U und c0 und c1 homotope geschlossene C1-Kurven in U ∖ {z0}. Dann istindc0(z0) = indc1(z0).

Beweis. Es sei H eine Homotopie in U ∖{z0} zwischen c0 und c1, also Ha =Hb. Dann ist nach 3.18

indc0(z0) =1

2π i ∫c01

z − z0dz = 1

2π i ∫H0

1z − z0

dz =3.19========= 1

2π i ∫H1

1z − z0

dz = ⋅ ⋅ ⋅ = indc1(z0).

3.26 Lemma. Index ist lokal konstant.Es ist z ↦ indc(z) konstant auf Zusammenhangskomponenten von C∖Bild(c). Inbesonders ist indc(z) =0 fur z in der unbeschrankten Zusammenhangskomponente.

+2+10

-1 -1

+1

0

46 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.27

Beweis. Seien z0 und z1 in der gleichen Zusammenhangskomponente. Dann existiert eine C1-Kurved ∶ [0,1]→ C∖Bild(c) mit d(j) = zj fur j ∈ {0,1}. Es ist H ∶ (t, s)↦ c(s)−d(t) eine Homotopie relativEndpunkte zwischen den geschlossenen Kurven c − z0 und c − z1, also ist nach 3.19

indc(z0) =1

2π i ∫c1

z − z0dz = 1

2π i ∫c−z01zdz = 1

2π i ∫H0

1zdz =

3.19========= 1

2π i ∫H1

1zdz = ⋅ ⋅ ⋅ = indc(z1).

Fur z in der unbeschrankten Zusammenhangskomponente betrachten wir den Limes der konstantenFunktion

limz0→∞

indc(z0) = limz0→∞

12π i ∫c

1z − z0

dz = 12π i ∫c

limz0→∞

1z − z0

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶=0

dz = 0.

3.27 Satz. Bestimmung des Index durch Abzahlen.Sei v ∈ S1 und c eine geschlossene C1-Kurve in C ∖ {0}, welche den von v erzeugten HalbstrahlH ∶= {rv ∶ r > 0} nur transversal schneidet, d.h. c(t) ∈H hat die lineare Unabhangigkeit von c′(t) undv zur Folge. Dann gilt:

indc(0) = ∑t∈c−1(H)

sgn(det(v, c′(t))).

Man kann also die Index berechnen, indem man zahlt wie oft und in welcher Richtung die Kurve aneinem Halbstrahl vorbeikommt. Aus dem Satz von Sard (siehe [KriDG, 21.17]) folgt, daß die Kurvefast alle Halbstrahlen transversal schneidet, siehe [BG87, 9.2.7].

Beweis. Die Menge c−1(H) ist endlich, denn andernfalls wurde nach dem Satz von Bolzano-Weierstraßein Haufungspunkt t ∈ c−1(H) existieren, wegen der Transversalitat ist c(t′) ∉H fur t′ ≠ t nahe t, einWiderspruch.

Falls c−1(H) = ∅ ist, dann ist 0 in der unbeschrankten Zusammenhangskomponente, also indc(0) = 0nach 3.26 und somit der Satz wahr.

Andernfalls sei {t1 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn} ∶= {t ∈ (0,1] ∶ c(t) ∈ H}. Wir bezeichnen mit c ∶ R → C ∖ {0} nun auchdie periodische Fortsetzung der geschlossenen Kurve [0,1] → C ∖ {0}. Dann ist [t0 ∶= tn − 1, tn] einPeriodizitatsintervall. Sei weiters c der Imaginarteil eines Lifts von c langs exp ∶ C → C ∖ {0}, dannist 2πi indc(0) = c(tn) − c(t0). Es sei v =∶ −eiϕ. Fur tk−1 < t < tk liegt c(t) nicht auf H und somit c(t)in einem Intervall ]ϕk − π,ϕk + π[ mit einem ϕk ∈ ϕ + 2πZ und

c(tk) = limt↗tk

c(t) = ϕk +⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

+π falls (c(t) < c(tk) fur t < tk)−π falls (c(t) > c(tk) fur t < tk)

Es gilt c(t) < c(tk) fur t < tk genau dann, wenn c(t) von 0 aus gesehen links von c(tk) liegt fur t nahetk, oder aquivalent falls det(v, c′(tk)) > 0. Somit ist c(tk) = ϕk + sgn(det(v, c′(tk)))π und analog fur

[email protected] © 1. Juli 2011 47

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3.29 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

die untere Grenze c(tk−1) = ϕk − sgn(det(v, c′(tk−1)))π. Damit gilt:

2π indc(0) = c(tn) − c(t0) =n

∑k=1

(c(tk) − c(tk−1))

= πn

∑k=1

( sgn(det(v, c′(tk))) + sgn(det(v, c′(tk−1)))) = 2πn

∑k=1

sgn(det(v, c′(tk))).

3.28 Cauchy’sche Integralformel.Es sei U ⊆ C offen und g ∶ U → C holomorph. Dann ist

indc(z0) ⋅ g(z0) =1

2π i ∫cg(z)z − z0

dz

fur alle 0-homotopen geschlossenen C1-Kurven c in U und z0 ∈ U ∖Bild(c).

Beachte, daß indc(z0) = 1 fur den positiv orientieren Rand c von Kreisscheiben K ⊆ U und z0 imInneren von K.

Beweis. Fur fixes z0 ∈ U ist

f ∶ z ↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

g(z)−g(z0)z−z0

fur z ≠ z0

g′(z0) fur z = z0

stetig auf U und holomorph auf U ∖ {z0}. Damit ist nach dem Goursat’schen Integrallemma 3.16∫∂∆ f(z)dz = 0 fur jedes Dreieck ∆ ⊆ U ∖ {z0} und damit aber auch fur alle Dreiecke ∆ ⊆ U , dennfalls z0 eine Ecke von ∆ ist, so folgt dies aus der stetigen Abhangigkeit des Kurven-Integrals von derC1-Kurve. Ist z0 ∈ ∆ keine Ecke, so konnen wir das Dreieck in 2–3 Dreiecke mit zusatzlicher Ecke z0

zerlegen.

Nach 3.12 und 3.13 ist das Kurvenintegral lokal wegunabhangig und somit

0 = ∫konst

f(z)dz =3.19========= ∫

cf(z)dz = ∫

c

g(z) − g(z0)z − z0

dz =3.7======= ∫

c

g(z)z − z0

dz − 2π i g(z0) indc(z0).

3.29 Beispiel fur Anwendung der Cauchy’schen Integralformel.Wir wollen als Anwendung von 3.28 das reelle uneigentliche Integral ∫

0sinxxdx berechnen.

Dazu betrachten wir die geschlossene Kurve c, die durch den positiv durchlaufenen Randes des halbenKreisrings {z ∈ C ∶ r ≤ ∣z∣ ≤ R, Im(z) ≥ 0} gegeben ist, und aus den beiden Halbbogen {z ∶ ∣z∣ =R, Im(z) ≥ 0} und {z ∶ ∣z∣ = r, Im(z) ≥ 0} sowie den Abschnitten {x ∈ R ∶ r ≤ x ≤ R} und {x ∈ R ∶ −R ≤x ≤ −r} besteht.

0 R-R r-r

cr

cR

Die Funktion g ∶ z ↦ ei z

zist holomorph auf C ∖ {0} und somit ist

0 = ∫cg = ∫

−r

−Rg − ∫

crg + ∫

R

rg + ∫

cRg

mit cρ ∶ t↦ ρ ei t fur t ∈ [0, π] und ρ > 0. Dabei ist

∫−r

−Rg = ∫

−r

−R

ei x

xdx = ∫

r

R

ei (−t)

−t(−1)dt = −∫

R

r

e−i t

tdt

und somit

2i ∫R

r

sinxx

dx = ∫R

r

ei x − e−i x

xdx = ∫

R

rg + ∫

−r

−Rg = ∫

crg − ∫

cRg.

48 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.30

Weiters ist

∫cρg = ∫

π

0

ei ρ (cos t+i sin t)

ρ (cos t + i sin t)ρ (− sin t + i cos t)dt

= ∫π

0

ei ρ (cos t+i sin t)

cos t + i sin ti (cos t + i sin t)dt = i ∫

π

0ei ρ (cos t+i sin t) dt

Fur ρ ∶= R zerlegen wir dieses Integral uber die Teile [0, ε], [ε, π − ε] und [π − ε, π]. Dabei ist

∣∫ε

0eR (− sin t+i cos t) dt∣ ≤ ∫

ε

0e−R sin t dt ≤ ∫

ε

0dt = ε

und ebenso

∣∫π

π−εeR (− sin t+i cos t) dt∣ ≤ ε.

Schließlich ist

∣∫π−ε

εeR (− sin t+i cos t) dt∣ ≤ ∫

π−ε

εe−R sin t dt ≤ ∫

π−ε

εe−R sin ε dt ≤ (π − 2ε)e−R sin ε

Dies kann fur R → +∞ ebenfalls kleiner als ε gemacht werden.

Da er (− sinϕ+i cosϕ) → 1 fur r → 0 gleichmaßig fur ϕ ∈ R konvergiert gilt:

∫crg = i ∫

π

0er (− sin t+i cos t) dt→ i ∫

π

0dt = i π fur r → 0 + .

Zusammengefaßt erhalten wir

∫∞

0

sinxx

dx = 12 i

limR→+∞r→0+

(∫crg − ∫

cRg) = lim

r→0+

12 i ∫cr

g − limR→+∞

12 i ∫cR

g = 12 i

(i π − 0) = π2.

3.30 Cauchy’sche Ableitungsformeln. Holomorphe Funktionen sind ∞-oft C-differenzierbar.

Es sei f ∶ C ⊇ U → C holomorph. Dann ist f beliebig oft C-differenzierbar auf U und fur n ∈ N,jede 0-homotope C1-Kurve c in U und z0 ∈ U ∖Bild(c) gilt

indc(z0) ⋅ f (n)(z0) =n!

2πi ∫cf(z)

(z − z0)n+1dz.

Beweis. Nach der Cauchy’schen Integralformel 3.28 ist

indc(z0) ⋅ f(z0) =1

2πi ∫cf(ζ)ζ − z0

dζ.

Da nach [KriANA2, 6.1.25] Differenzieren und Integrieren von C1-Funktionen vertauscht werden kannund z ↦ indc(z) nach 3.26 lokal konstant ist, ist

indc(z) ⋅ f ′(z) =∂

∂z(indc(z) f(z)) =

12πi ∫c

∂z

f(ζ)ζ − z

dζ = 12πi ∫c

f(ζ)(ζ − z)2

dζ.

Wenden wir dieses Argument iterativ fur den positiv orientierten Rand ∂K einer Kreisscheibe um zin U an , so erhalten wir

f (n)(z) = ( ∂∂z

)n 1

2πi ∫∂Kf(ζ)ζ − z

dζ =[KriANA2, 6.1.25]=========================== 12πi ∫∂K

( ∂∂z

)n f(ζ)ζ − z

dζ = n!2πi ∫∂K

f(ζ)(ζ − z)n+1

dζ.

und genauso allgemeiner fur 0-homotope C1-Kurven c in U ∖ {z}

indc(z) ⋅ f (n)(z) = n!2πi ∫c

f(ζ)(ζ − z)n+1

dζ.

[email protected] © 1. Juli 2011 49

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3.33 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

3.31 Holomorphe Erganzung.

Im Beweis der Cauchy’schen Integralformel 3.28 haben wir gezeigt, daß eine stetige Funktion f ∶ C ⊇U → C die fur ein z0 ∈ U auf U ∖ {z0} holomorph ist schon auf ganz U holomorph ist. Der folgendeSatz ist eine Verallgemeinerung davon.

Riemann’scher Hebbarkeitssatz.Es sei U ⊆ C offen, z0 ∈ U und f ∶ U ∖ {z0} → C holomorph und beschrankt. Dann existiert eineeindeutige holomorphe Erweiterung von f auf U . Man spricht in diesem Fall von einer hebbarenSingularitat von f .

Beweis. Betrachte

g ∶ U ∋ z ↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(z − z0) f(z) fur z0 ≠ z ∈ U0 fur z = z0

Dann ist g holomorph auf U ∖ {z0} und stetig bei z0 wegen der Beschranktheit von f . Somit ist

∫∂∆ g(z)dz = 0 fur alle ∆ ⊆ U wie im Beweis von 3.28 , also besitzt g lokal eine holomorphe Stamm-funktion nach 3.12 und 3.14 und ist somit nach 3.30 selbst holomorph. Also existiert

g′(z0) ∶= limz→z0

g(z) − g(z0)z − z0

= limz→z0

f(z).

Damit ist f stetig bei z0 und wieder wie im Beweis von 3.28 somit f holomorph auf U .

3.32 Beispiel.Die Funktion f ∶ z ↦ z

ez−1ist holomorph auf C ∖ 2πiZ. Im Reellen sehen wir mittels der Regel von

L’Hospital, daß

limt→0

t

et − 1= limt→0

1et

= 1

ist. Wir wollen nun zeigen, daß sich f eindeutig zu einer lokal um 0 holomorphen Funktion erweiternlaßt. Um leichter rechnen zu konnen betrachten wir den Kehrwert:

ex+i y − 1x + i y

= ((ex cos(y) − 1)xx2 + y2

+ exy sin(y)x2 + y2

) + i ((1 − ex cos(y))yx2 + y2

+ exx sin(y)x2 + y2

)

=ex−1xx2 cos(y) + xy cos(y)−1

y+ exy2 sin(y)

y

x2 + y2+ i

1−ex

xxy cos(y) + ex y2 1−cos(y)

y+ exxy sin(y)

y

x2 + y2

Nun beachte, daß neben limt→0ex−1x

= 1 auch 2 limt→01−cos tt2

= limt→0sin tt

= 1 gilt und sowohl x2

x2+y2 ≤ 1

als auch ∣xy∣x2+y2 ≤ 1

2beschrankt sind, also ist z ↦ 1

f(z)nach 3.31 zu einer ganzen Funktion eindeutig

erweiterbar mit Funktionswert

limz→0

ez − 1z

= limR∋t→0

et − 1t

= 1.

Folglich existiert der Kehrwert lokal um 0 und ist dort holomorph, d.h. f zu einer lokal um 0 holo-morphen Funktion erweiterbar.

Wir hatten das allerdings auch kurzer sehen konnen:

limz→0

z

ez − 1= 1

limz→0ez−e0

z

= 1exp′(0)

= 1

3.33 Satz von Morera. Umkehrung des Cauchy’schen Integralsatzes.Ist f auf einer offenen Menge U ⊆ C stetig mit wegunabhangigen Kurvenintegral oder auch nur dasIntegral uber den Rand jedes Dreiecks in U gleich 0, so ist f holomorph.

Beweis. Da holomorph zu sein eine lokale Eigenschaft ist, durfen wir o.B.d.A. U als sternformigvoraussetzen. Nach 3.12 existiert somit eine reell-differenzierbare Funktion g ∶ U → C mit dg(z) =f(z)dz. Nach 2.5 ist g holomorph und nach 3.30 auch f = g′.

50 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.35

3.34 Poisson’sche Integralformel fur holomorphe Funktionen.Sei f = u+ i v ∶ C ⊇ U → C holomorph und die Kreisscheibe K ∶= {z ∈ C ∶ ∣z∣ ≤ r} mit r > 0 enthalten inder offenen Menge U . Dann ist

f(z) = 12π ∫

0f(r ei t) r2 − ∣z∣2

∣rei t − z∣2dt = 1

2π ∫2π

0u(r ei t) r e

i t + zr ei t − z

dt + i v(0) fur alle ∣z∣ < r.

Beweis. Fur ∣z∣ < r ist nach der Cauchy’schen Integralformel

f(z) =3.28========= 1

2πi ∫∂Kf(ζ)ζ − z

dζ = 12πi ∫

0

f(r ei t)r ei t − z

i r ei t dt = 12π ∫

0f(r ei t) r ei t

r ei t − zdt

und wegen ∣r2/z∣ > r2/r = r ebenso

0 =3.28========= 1

2πi ∫∂Kf(ζ)

ζ − r2/zdζ = 1

2πi ∫2π

0

f(r ei t)r ei t − r2/z

i r ei t dt = 12π ∫

0f(r ei t) r ei t

r ei t − r2/zdt

= 12π ∫

0f(r ei t) z

z − r e−i tdt.

Die Differenz ist somit

f(z) = 12π ∫

0f(r ei t) ( r ei t

r ei t − z+ z

r e−i t − z) dt = 1

2π ∫2π

0f(r ei t) r2 − ∣z∣2

∣r ei t − z∣2dt.

Subtrahiert man andererseits vom ersten Integral das Konjugierte des zweiten, so erhalt man

f(z) = 12π ∫

0(f(r ei t) r ei t + f(r ei t) z) 1

r ei t − zdt

= 12π ∫

0(u(r ei t) (r ei t + z) + i v(r ei t)(r ei t − z)) 1

r ei t − zdt

= 12π ∫

0u(r ei t) r e

i t + zr ei t − z

dt + i 12π ∫

0v(r ei t)dt.

Setzt man in dieser Zerlegung in Real- und Imaginarteil z = 0, so erhalten wir

v(0) = 12π ∫

0v(r ei t)dt.

3.35 Geometrische Interpretation der Poisson’schen Integralformel.Fur den Mittelpunkt z = 0 der Kreisscheibe K ist

f(0) = 12π ∫

0f(r ei t)dt

der Mittelwert uber den Rand.

Fur beliebige Punkte z im Inneren von K betrach-ten wir die Abbildung σ ∶ ∂K → ∂K die ζ ∈ ∂K denanderen Schnittpunkt der Sekante durch ζ und zzuordnet. Es sei a ∶= ∣ζ − z∣ und b ∶= ∣σ(ζ)− z∣. Nachdem Sehnensatz ist ab konstant gleich

ab = (r + ∣z∣)(r − ∣z∣) = r2 − ∣z∣2.Vergleichen wir nun die skalare Geschwindigkeitenva von t↦ r ei t und vb von t↦ σ(r ei t), dann ist

vbva

= vb cosφva cosφ

= b

a= b2

ab= ∣σ(ζ) − z∣2

r2 − ∣z∣2

und, da ddtr ei t = i r ei t und ebenso d

dtσ(r ei t) ⊥

σ(r ei t) ist, folgt

d

dtσ(r ei t) = vb

va⋅i σ(r ei t) = ∣σ(r ei t) − z∣2

r2 − ∣z∣2i σ(r ei t).

z

Ζ

ΣHΖL

a

b

ÈzÈ

r

r

Φ

Φ

va

cosHΦLva

vb

cosHΦLvb

[email protected] © 1. Juli 2011 51

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3.40 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

Wenn wir f ○σ uber den Kreis ∂K integrieren, so erhalten wir durch Substitution r ei s ∶= σ(r ei t) mit

i r ei sds

dt= d

dtσ(r ei t) = ∣σ(r ei t) − z∣2

r2 − ∣z∣2i σ(r ei t) = ∣r ei s − z∣2

r2 − ∣z∣2i r ei s

folglich1

2π ∫2π

0f(σ(r ei t))dt = 1

2π ∫2π

0f(r ei s) r2 − ∣z∣2

∣r ei s − z∣2ds =

3.34========= f(z)

3.36 Folgerung. Poisson’sche Integralformel fur harmonische Funktionen.Sei u ∶ C ⊇ U → R harmonisch und die Kreisscheibe K ∶= {z ∈ C ∶ ∣z∣ ≤ r} mit r > 0 enthalten in U .Dann ist

u(z) = 12π ∫

0u(r ei t) r2 − ∣z∣2

∣rei t − z∣2dt fur alle ∣z∣ < r.

Beweis. Erganze u zu einer holomorphen Funktion f = u+ i v auf einer Umgebung von K und wende3.34 darauf an.

3.37 Folgerung. Mittelwertsatz fur harmonische Funktionen.Sei u ∶ C ⊇ U → R harmonisch, a ∈ U und die Kreisscheibe K ∶= {z ∈ C ∶ ∣z − a∣ ≤ r} mit r > 0 enthaltenin U . Dann ist

u(a) = 12π ∫

0u(a + r ei t)dt fur alle ∣z∣ < r.

Beweis. Wende 3.36 auf ζ ↦ u(ζ + a) und z = 0 an.

3.38 Folgerung. Maximumprinzip fur harmonische Funktionen.Sei u ∶ C ⊇ U → R harmonisch und U zusammenhangend. Falls u sein Maximum auf U annimmt, soist u konstant.

Beweis. Falls u sein Maximum umax im Punkt a ∈ U annimmt, so ist nach 3.37 u = umax am Randjeder Kreisscheibe in U um a. Damit ist {z ∶ u(z) = umax} offen und offensichtlich abgeschlossen undnicht leer, also ganz U .

3.39 Folgerung. Eindeutigkeit des Dirichlet-Problems.Es sei U ⊆ C offen und zusammenhangend mit kompaktem Abschluß U . Falls uj ∶ U → R fur j ∈ {0,1}stetige und auf U harmonische Funktionen sind und u0∣∂U = u1∣∂U gilt, so ist u0 = u1.

Beweis. Die stetige Funktion u ∶= u1 −u2 ∶ U → R verschwindet am Rand ∂U und ist harmonisch aufU . Sie hat ein Maximum auf der kompakten Menge U . Falls dieses in einem Punkt in U angenommenwird, so ist u∣U konstant nach 3.38 und somit u = 0. Nimmt aber u sein Maximum (= 0) auf ∂U an,so ist u ≤ 0 und analog fur −u, also ebenfalls u = 0.

3.40 Folgerung. Losbarkeit des Dirichlet-Problems fur die Kreisscheibe.Es sei K ∶= {z ∶ ∣z∣ ≤ r} die kompakte Kreisscheibe mit Radius r > 0 und u0 ∶ ∂K → R stuckweisestetig. Dann ist

u ∶ z ↦ 12π ∫

0u0(r ei t)

r2 − ∣z∣2

∣rei t − z∣2dt

harmonisch auf {z ∶ ∣z∣ < r} und fur Stetigkeitspunkte z0 von u0 ist limz→z0 u(z) = u0(z0).

Beweis. Es sei

Pu0(z) ∶=1

2π ∫2π

0u0(r ei t)

r2 − ∣z∣2

∣rei t − z∣2dt = Re( 1

2π ∫2π

0u0(r ei t)

r ei t + zr ei t − z

dt)

Als Realteil des Parameterintegrals einer holomorphen Funktion ist Pu0 harmonisch auf {z ∶ ∣z∣ < r}nach 2.12 . Bleibt die Stetigkeit bei den Randpunkten z0 mit ∣z0∣ = r nachzuweisen.

Wenn u0 konstant c ist, so gilt gleiches fur Pu0 nach 3.35 . Sei nun z0 = r ei t0 ein Stetigkeitspunktvon u0 und o.B.d.A. u0(z0) = 0 (andernfalls ersetze u0 durch u0 − u0(z0)). Sei ε > 0 beliebig. Wir

52 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 3.42

wahlen ein δ > 0 mit ∣u0(r eit)∣ ≤ ε fur ∣t − t0∣ ≤ δ. Nun betrachten wir an statt von u0 die stuckweisestetige Funktion

u1 ∶ r ei t ↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u0(r ei t) fur ∣t − t0∣ ≤ δ0 sonst

Dann ist ∣Pu1(z)∣ ≤ ∣Pε(z)∣ = ε fur alle ∣z∣ ≤ r, da u0 ↦ Pu0 offensichtlich monoton ist. Fur u2 ∶= u0−u1

ist

Pu2 ∶ z ↦1

2π ∫t0+2π−δ

t0+δu2(r ei t)

r2 − ∣z∣2

∣rei t − z∣2dt

eine stetige Funktion auf dem Komplement des Kreisegments {r ei t ∶ t0 + δ ≤ t ≤ t0 + 2π − δ}, also giltlimz→z0 Pu2(z) = Pu2(z0) = 0. Somit existiert ein δ′ > 0 mit ∣Pu2(z)∣ ≤ ε fur alle z mit ∣z − z0∣ < δ′ undsomit

∣Pu0(z) − u0(z0)∣ = ∣Pu0(z)∣ = ∣Pu1(z) + Pu2(z)∣ ≤ 2ε.

3.41 Maximumprinzip holomorpher Funktionen. Diese haben ihr Maximum am Rand.Es sei f auf einer zusammenhangenden offenen Menge holomorph und nicht konstant, dann besitzt∣f ∣ kein Maximum.

Beweis. Sei indirekt f ∶ C ⊇ U → C eine nicht-konstante holomorphe Funktion, die ein Maximum z0

besitzt. Sei also ∣f(z)∣ ≤ ∣f(z0)∣ fur alle z ∈ U .

Wir zeigen zuerst, daß ∣f(z)∣ = ∣f(z0)∣. Dazu nehmen wir indirekt an, daß ein z1 existiert mit ∣f(z1)∣ <∣f(z0)∣. Wir verbinden z0 und z1 mit einem Polygonzug c, und nehmen t0 maximal, s.d. ∣f(c(t0))∣ =∣f(z0)∣. Sei z2 ∶= c(t0) Dann existiert beliebig nahe ein z3 mit ε ∶= ∣f(z2)∣ − ∣f(z3)∣ > 0. Sei K ⊆ U derKreis mit Mittelpunkt z2 und Radius r ∶= ∣z3 − z2∣. Dann ist ∣f(z)∣ < ∣f(z2)∣ − ε/2 fur z nahe z3 (aufeinem Bogen der Lange δ > 0) und somit ist nach der Cauchy’schen Integralformel 3.28

∣f(z2)∣ =1

2π∣∫∂K

f(ζ)ζ − z2

dζ∣ ≤ 12πr

(δ(∣f(z2)∣ − ε/2) + (2πr − δ)∣f(z0)∣) = ∣f(z0)∣ −δε

4πr< ∣f(z0)∣,

ein Widerspruch.

z0

z1

c

z3

z2

Da f nicht konstant (gleich 0) ist, ist c ∶= ∣f(z0)∣ > 0. Sei f = u+ i v und somit c2 ∶= ∣f(z0)∣2 = ∣f(z)∣2 =u(z)2 + v(z)2 > 0. Dann ist

∂1u ⋅ u + ∂1v ⋅ v = ∂1c2 = 0

∂2u ⋅ u + ∂2v ⋅ v = ∂2c2 = 0

Da f nicht konstant ist gibt es nach 3.1 ein z1 mit f ′(z1) ≠ 0 und somit

0 ≠ detdf(z1) = ∂1u(z1) ⋅ ∂2v(z1) − ∂2u(z1) ⋅ ∂1v(z1).Folglich hatte obiges lineares Gleichungssystem an der Stelle z1 die eindeutige Losung u(z1) = 0 =v(z1). Wegen u(z1)2 + v(z1)2 = c > 0 ist dies unmoglich.

3.42 Satz von Liouville. Beschrankte ganze Funktionen sind konstant.Jede beschrankte auf ganz C holomorphe Funktion ist konstant.

Auf ganz C holomorphe Funktionen werden klassisch auch als ganze Funktionen bezeichnet.

Beweis. Aus ∥f∥∞ <∞ und der Cauchy’schen Formel 3.30 fur einen Kreis um z mit Radius r folgt∣f ′(z)∣ ≤ 2πr

2π∥f∥∞r2

= ∥f∥∞r

. Mit r →∞ folgt f ′ = 0 und somit ist f nach 3.1 konstant.

Als weitere Folgerung konnen wir einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra liefern:

[email protected] © 1. Juli 2011 53

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3.45 3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz

Beweis von 1.8 . Es sei p ein nicht-konstantes Polynom. Angenommen p hat keine Nullstelle. Dannist 1

p∶ C → C holomorph und lim∣z∣→∞

1p(z)

= 0 (siehe z.B. [KriANA1, 3.3.7]), also ist 1p

beschrankt

und nach 3.42 konstant, ein Widerspruch.

3.43 Schwarz’sches Lemma. Die Endomorphismen von D sind nicht expandierend.Es sei f ∶ D → D holomorph mit Fixpunkt 0 = f(0). Dann ist ∣f(z)∣ ≤ ∣z∣ fur alle z ∈ D und ∣f ′(0)∣ ≤ 1und zwar entweder

1. ∣f ′(0)∣ < 1 und ∣f(z)∣ < ∣z∣ fur alle z ≠ 0, oder2. ∣f ′(0)∣ = 1 und f(z) = f ′(0) ⋅ z.

Beweis. Falls f konstant (und somit f = f(0) = 0) ist, so gilt 1 . Andernfalls betrachten wir

h ∶ z ↦⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(z)z

fur z ≠ 0f ′(0) fur z = 0

Es ist h holomorph auf D∖ {0} und stetig bei 0, also nach Riemann’schen Hebbarkeitssatz 3.31 aufganz D holomorph. Wegen dem Maximumsprinzip 3.41 ist ∣h(z)∣ ≤ max{∣ f(z)

z∣ ∶ ∣z∣ = r} < 1

rfur alle

∣z∣ ≤ r. Mit r → 1− folgt ∣h(z)∣ ≤ limr→1−1r= 1. Also ist ∣f(z)∣ ≤ ∣z∣ und damit ∣f ′(0)∣ ≤ 1.

Ist ∣h(z)∣ < 1 fur alle z ∈ D, so ist ∣f(z)∣ < ∣z∣ fur alle 0 ≠ z ∈ D und ∣f ′(0)∣ = ∣h(0)∣ < 1.

Andernfalls existiert ein z0 ∈ D mit h(z0) = eiϕ fur ein ϕ ∈ R und wegen dem Maximumprinzip 3.41ist h konstant eiϕ und somit f(z) = eiϕ z fur alle z ∈ D und f ′(0) = h(0) = eiϕ.

3.44 Folgerung. Die Automorphismen von D sind Mobiustransformationen.Die holomorphen Diffeomorphismen von D sind genau die Mobiustransformationen z ↦ az+b

bz+amit

∣a∣2 − ∣b∣2 = 1.

Beweis. Die Richtung (⇐) haben wir in 2.28 gezeigt.

Sei nun umgekehrt f ∶ D → D ein holomorpher Diffeomorphismus. Wir nehmen vorerst an, daß 0 einFixpunkt von f sei. Nach dem Schwarz’schen Lemma 3.43 ist ∣f ′(0)∣ ≤ 1 und da f ein Diffeomor-phismus ist auch fur die Umkehrfunktion ∣(f−1)′(0)∣ ≤ 1. Es ist

1 = id′(0) = (f−1 ○ f)′(0) = (f−1)′(0) ⋅ f ′(0)und somit ist ∣f ′(0)∣ = 1, also f(z) = f ′(0) z eine Mobius-Transformation der gewunschten Art (mitb = 0 und a

a= f ′(0)).

Ist c ∶= f(0) ≠ 0, so betrachten wir die Zusammensetzung h ○ f wobei h die Mobiustransformationz ↦ z−c

1−czist, welche D invariant laßt und c auf 0 abbildet. Also ist h ○ f Multiplikation mit einer

komplexen Zahl vom Betrag 1 nach dem zuvor gezeigten und somit f eine Mobiustransformation dergewunschten Art.

3.45 Variante von Pick des Schwarz’schen Lemmas. Die Endomorphismen von D sindKontraktionen.Es sei f ∶ D→ D holomorph. Dann gilt fur die hyperbolische Distanz d aus 2.29 :

d(f(z1), f(z2)) ≤ d(z1, z2) fur alle z1, z2 ∈ D.und zwar entweder

1. d(f(z1), f(z2)) < d(z1, z2) fur alle z1 ≠ z2 ∈ D, oder2. f ist eine hyperbolische Bewegung, also d(f(z1), f(z2)) = d(z1, z2) fur alle z1, z2 ∈ D

Beweis. Es sei z1 ∈ D und µ und ν hyperbolische Bewegungen mit µ(0) = z1 und ν(f(z1)) = 0.Dann ist g ∶= ν ○ f ○ µ ∶ D → D holomorph mit Fixpunkt 0 also nach Schwarz’schen Lemma entweder∣g(z)∣ < ∣z∣ fur alle z ≠ 0 oder g(z) = g′(0) z mit ∣g′(0)∣ = 1. Im ersten Fall ist

d(g(z), g(0)) = d(g(z),0) = 2 artanh(∣g(z)∣) < 2 artanh(∣z∣) = d(z,0)und mit z = µ−1(z2) somit

d(f(z2), f(z1)) = d(f(µ(z)), f(µ(0))) = d(g(z), g(0)) < d(z,0) = d(µ(z), µ(0)) = d(z2, z1),da µ und ν Isometrien sind.Im zweiten Fall ist g eine hyperbolische Bewegung und damit auch f = ν−1 ○ g ○ µ−1.

54 [email protected] © 1. Juli 2011

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3. Kurvenintegrale – Cauchy’scher Integralsatz 4.2

4. Potenzreihen

Wir erinnern uns an den Begriff Potenzreihe aus der Analysis (siehe [KriANA1, 4.2]), also Reihender Form

∑k

akzk mit Koeffizienten ak ∈ C und Variable z ∈ C.

Die Summenfunktion

z ↦∞

∑k=0

akzk

der Potenzreihe ist definiert fur alle z ∈ C fur welche die Reihe konvergiert.

4.1 Entwicklungssatz.Es sei f ∶ C ⊇ U → C holomorph und z0 ∈ U , dann ist f am Inneren der großten Kreisscheibe K in Uum z0 in eine Potenzreihe (die sogenannte Taylor-Reihe) entwickelbar:

f(z0 + z) =∞

∑k=0

f (k)(z0)k!

zk.

Beweis. Sei z0 ∈ U und K = {ζ ∶ ∣ζ − z0∣ ≤ R} ⊆ U . Fur fixes z mit ∣z − z0∣ = r < r folgt aus der stetigenAbhangigkeit des Kurvenintegrals von der C1-Kurve wegen der gleichmaßigen Konvergenz von

1ζ − z

= 1(ζ − z0) − (z − z0)

= 1

(ζ − z0) (1 − z−z0ζ−z0

)= 1ζ − z0

∑k=0

(z − z0

ζ − z0)k

auf {ζ ∶ ∣ζ − z0∣ = r} und der Cauchy’schen Integralformel 3.28 folgende Darstellung als konvergentePotenzreihe:

f(z) =3.28========= 1

2πi ∫∂Kf(ζ)ζ − z

dζ = 12πi ∫∂K

∑k=0

f(ζ)(ζ − z0)k+1

(z − z0)k dζ

=∞

∑k=0

(z − z0)k1

2πi ∫∂Kf(ζ)

(ζ − z0)k+1dζ =

3.30=========

∑k=0

(z − z0)kf (k)(z0)

k!

Konvergenz von Folgen und Reihen.Erinnern wir uns weiter an einige Sachverhalte uber Konvergenz:

● Es ist C ≅ R2 ein vollstandig metrischer Raum, d.h. Cauchy-Folgen sind konvergent (siehe[KriANA1, 2.4.6]).

● Die Folgeglieder konvergenter Reihen konvergieren gegen 0 (wegen der Cauchy-Bedingung)(siehe [KriANA1, 2.4.6]).

● Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent (wegen der Dreiecksungleichung gilt dieCauchy-Bedingung) (siehe [KriANA1, 2.5.8]).

● Die geometrische Reihe ∑k zk konvergiert fur ∣z∣ < 1 mit Summe∞

∑k=0

zk = 11 − z

.

● Es gelten der Vergleichs- (siehe [KriANA1, 2.5.9]), der Wurzel- (siehe [KriANA1, 2.5.10]),der Quotienten- (siehe [KriANA1, 2.5.11]) und der Raabe-Test (siehe [KriANA1, 2.5.15])fur Reihen.

4.2 Proposition. Konvergenzkreis.Eine Potenzreihe ∑k akzk mit Koeffizienten ak ∈ C konvergiert fur alle z ∈ C mit ∣z∣ < r und divergiertfalls ∣z∣ > r, wobei r ∶= 1/limn

n√

∣an∣ Konvergenzradius der Reihe heißt. Entsprechend heißt {z ∈C ∶ ∣z∣ = r} Konvergenzkreis der Reihe.

Auf Kreisscheiben um 0 mit Radius r′ < r ist die Konvergenz gleichmaßig und absolut.

Beweis. Nach dem Wurzeltest (siehe [KriANA1, 2.5.10]) genugt es den Ausdruck

limn

n√

∣anz∣n = ∣z∣ limn

n√

∣an∣

zu betrachten.

[email protected] © 1. Juli 2011 55

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4.7 4. Potenzreihen

Fur ∣z∣ ≤ r′ < r′′ < r istn+m

∑k=n

∣akzk ∣ ≤n+m

∑k=n

∣ak(r′′)k ∣ (r′

r′′)k

,

dabei ist ∑k ak(r′′) konvergent und somit {ak(r′′)k ∶ k ∈ N} beschrankt und die geometrische Reihe∑k( r

′r′′ )

k absolut konvergent, alson+m

∑k=n

∣akzk ∣→ 0 fur n→∞ gleichmaßig in m ∈ N und ∣z∣ ≤ r′.

Ist andererseits ∣z∣ > r, also n

√limn ∣an zn∣ = limn ∣z∣ n

√∣an∣ > 1 und somit limn→∞ an z

n nicht 0, alsodie Reihe nicht konvergent.

4.3 Weierstraß’scher Konvergenzsatz.Es seien fn ∶ C ⊇ U → C holomorphe Funktionen welche auf den kompakten Teilmengen von Ugleichmaßig gegen eine Funktion f∞ ∶ U → C konvergieren. Dann ist f∞ ebenfalls holomorph und furjedes k ∈ N konvergiert die Ableitung f (k)

n ebenso gegen f(k)∞ .

Beweis. Als lokal gleichmaßiger Limes stetiger Funktionen ist f∞ stetig (siehe [KriANA1, 3]). FurC1-Kurven c ∶ [a, b] → U konvergiert ∫c fn → ∫c f∞ und somit ist auch ∫c f∞ wegunabhangig, also f∞holomorph nach 3.12 oder 3.14 . Wegen der Cauchy’schen Ableitungsformeln 3.30 konvergiert

f (k)n (z) = k!

2πi ∫∂Kfn(z)

(z − z0)k+1dz → k!

2πi ∫∂Kf∞(z)

(z − z0)k+1dz = f (k)

∞(z)

fur Kreisscheiben K ⊆ U mit z ∈K.

4.4 Folgerung.Es sei ∑k ak zk eine fur ∣z∣ < r konvergente Potenzreihe. Dann ist ihre Summenfunktion f ∶ z ↦∑∞

k=0 ak zk holomorph auf {z ∶ ∣z∣ < r} und die Ableitung kann gliedweise berechnet werden.

Beweis. Es ist z ↦ akzk holomorph und die Reihe konvergiert nach 4.2 lokal gleichmaßig.

4.5 Folgerung.Konvergente Potenzreihen konnen

1. gliedweise addiert,2. multipliziert,3. zusammengesetzt,4. dividiert (falls fur den Nenner a0 ≠ 0),5. invertiert (falls a0 = 0 und a1 ≠ 0),6. gliedweise “integriert”

werden. Die Glieder der erhaltenen Reihen konnen rekursiv aus jenen der ursprunglichen Reihenberechnet werden.

Beweis. Dies folgt mittels 4.1 und 4.4 unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften holo-morpher Funktionen.

4.6 Lemma. Prinzip des Koeffizientenvergleichs.Es sei f(z) = ∑∞

k=0 fkzk die Summenfunktion einer Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Falls

eine Folge zn → 0 existiert mit f(zn) = 0, so ist f = 0.

Beweis. Wir zeigen mittels Induktion nach n, daß fn = 0 ist. Aus der Stetigkeit von f folgt 0 = f(zn)→f(0) = f0, also ist f0 = 0. Sei nun bereits f0 = ⋅ ⋅ ⋅ = fn = 0 und g(z) ∶= f(z)

zn+1 = ∑∞

k=0 fn+1+k zk, also

ebenfalls eine konvergente Potenzreihe, die bei allen zj verschwindet. Somit ist auch fn+1+0 = 0.

4.7 Identitatssatz fur komplex-differenzierbare Funktionen.Falls zwei auf einer zusammenhangenden Menge holomorphe Funktionen auf einer in der Mengekonvergenten Folge ubereinstimmen, so sind sie ident.

56 [email protected] © 1. Juli 2011

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4. Potenzreihen 4.8

Beweis. Es sei zn → z∞ in U mit f(zn) = g(zn) fur alle n. Angenommen es gabe ein z ∈ U mitf(z) ≠ g(z). Wir wahlen eine C1-Kurve c ∶ [0,1] → U mit c(0) = z∞ und c(1) = z. Dann ist A ∶={t ∈ [0,1] ∶ f(c(t)) ≠ g(c(t))} ≠ ∅ nach unten beschrankt. Sei α ∶= inf(A). Es ist α > 0, denn nach4.1 und 4.6 ist f = g lokal um z∞ also f(c(t)) = g(c(t)) fur alle t nahe 0. Fur alle t < α istf(c(t)) = g(c(t)) und somit wieder nach 4.1 und 4.6 f(c(t)) = g(c(t)) fur alle t nahe α, einWiderspruch zur Konstruktion von α.

4.8 Beispiele von Taylor-Reihen.

1. Die Funktion exp ∶ z ↦ ez ist holo-morph auf ganz C mit Ableitungenexp(n) = exp. Somit gilt nach 4.1

ez =∞

∑k=0

zk

k!fur alle z ∈ C.

Das Cauchy-Produkt von ex mitey fur x, y ∈ C ist

ex ⋅ ey =∞

∑n=0

∑j+k=n

xj

j!⋅ y

k

k!

=∞

∑n=0

1n!

n

∑j=0

(nj)xjyn−j

=∞

∑n=0

(x + y)n

n!

= ex+y

0

ex

1 + x +x2���������2 +

x3���������6

1

2

3

2. Wegen cosh(z) = ez+e−z2

und sinh(z) = ez−e−z2

erhalten wir aus 1 mittels 4.5.1 fur alle z ∈ C:

cosh(z) =∞

∑k=0

z2k

(2k)!

sinh(z) =∞

∑k=0

z2k+1

(2k + 1)!

3. Wegen cos(z) = cosh(i z) und sin(z) = 1i

sinh(i z) erhalten wir aus 2 fur alle z ∈ C:

cos(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k

(2k)!

sin(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k+1

(2k + 1)!

0

sin

x -x3���������6 +

x5��������������120 -

x7�����������������5040

1

2

3

[email protected] © 1. Juli 2011 57

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4.8 4. Potenzreihen

4. Die Funktion f ∶ z ↦ 1/z ist genauauf C∖{0} holomorph. Wir konnensie somit nicht um z = 0 wohl aberum z = 1 entwickeln:

11 + z

=∞

∑k=0

f (k)(1)k!

zk fur ∣z∣ < 1.

Nach der Summenformel fur diegeometrische Reihe ist∞

∑k=0

(−z)k = 11 − (−z)

= 11 + z

fur ∣z∣ < 1.

Wegen 4.6 ist somit

f (k)(1) = (−1)kk!.

5. Allgemeiner sei f(z) ∶= zα mit α ∈C fur z ∈ C ∖ {t ∶ t ≤ 0}. Dann ist

f (k)(z) = α⋅(α−1)⋅⋅ ⋅ ⋅⋅(α−k+1) zα−k,also ist die Taylor-Entwicklungvon f bei 1:

(1 + z)α =∑k

(α)kk!

zk =∑k

(αk) zk

1

1����������������1 + x

1 - x + x2 - x3

1

2

3

6. Es sei f(z) ∶= 1z2−3z+2

. Partialbruchzerlegung (siehe [KriANA2, 5.2.7]) liefert

1z2 − 3z + 2

= −1z − 1

+ 1z − 2

= 11 − z

− 12 − z

Die Taylor-Reihen der beiden Summanden sind nach 4

11 − z

=∞

∑k=0

zk fur ∣z∣ < 1

12 − z

= 12

11 − z

2

= 12

∑k=0

(z2)k

=∞

∑k=0

12k+1

zk fur ∣z∣ < 2

Subtraktion liefert mittels 4.5.1 somit fur ∣z∣ < min{1,2} = 1

1z2 − 3z + 2

= 11 − z

− 12 − z

=∞

∑k=0

zk −∞

∑k=0

12k+1

zk =∞

∑k=0

(1 − 12k+1

) zk.

7. Es sei f(z) ∶= log(1 + z). Dann ist f ′(z) = 11+z

= ∑∞

k=0(−1)kzk nach 4 und somit erhalten wir

fur die Stammfunktion f(z) = C +∑∞

k=0(−1)k

k+1zk+1. Wegen log(1) = 0 ist C = 0, d.h.

log(1 + z) =∞

∑j=1

(−1)j−1

jzj fur ∣z∣ < 1.

8. Auf ganz ahnliche Weise wie in 7 erhalten wir aus der Binomialreihe aus 5 durch Bildungder Stammfunktion f folgende fur ∣z∣ < 1 konvergente Taylor-Reihen

Artanh′(z) = 11 − z2

= (1 − z2)−1 =∞

∑k=0

(z2)k

⇒ Artanh(z) +C =∞

∑k=0

z2k+1

2k + 1

arctan′(z) = 11 + z2

= (1 + z2)−1 =∞

∑k=0

(−z2)k

⇒ arctan(z) +C =∞

∑k=0

(−1)k z2k+1

2k + 1

58 [email protected] © 1. Juli 2011

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4. Potenzreihen 4.9

Arsinh′(z) = 1√1 + z2

= (1 + z2)−1/2 =∞

∑k=0

(−1/2k

)(z2)k

⇒ Arsinh(z) +C =∞

∑k=0

(−1/2k

) z2k+1

2k + 1

arcsin′(z) = 1√1 − z2

= (1 − z2)−1/2 =∞

∑k=0

(−1/2k

)(−z2)k

⇒ arcsin(z) +C =∞

∑k=0

(−1)k(−1/2k

) z2k+1

2k + 1

wobei die Konstante C wegen f(0) = 0 in allen 4 Fallen 0 ist.

4.9 Taylor-Reihe fur Tangens.Es ist

sin(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k+1

(2k + 1)!= z − z

3

3!+ z

5

5!− + . . .

cos(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k

(2k)!= 1 − z

2

2!+ z

4

4!− + . . .

Da nach 4.5.4 auch der Quotient tan = sincos

sich in eine konvergente Potenzreihe ∑k ckzk entwickelnlaßt, konnen wir nach Lemma 4.6 Koeffizientenvergleich machen und erhalten aus

(c0 + c1z + c2z2 + c3z3 + c4z4 + c5z5 + . . . ) ⋅ (1 − 12z2 + 1

24z4 − + . . . ) = z − 1

6z3 + 1

120z5 − + . . .

rekursive die Koeffizienten ck, siehe Aufgabe 48.

Wir wollen diese Koeffizienten nun explizit bestimmen. Die Potenzreihe ez = ∑∞

k=0zk

k!besitzt offen-

sichtlich als multiplikative Inverse 1ez

= e−z = ∑∞

k=0(−1)k zk

k!und diese ist fur alle z ∈ C konvergent.

Wenn wir nun ez − 1 = ∑∞

k=1zk

k!betrachten, so verschwindet diese an der Stelle 0, und wir konnen

somit den Kehrwert 1ez−1

nicht in eine Potenzreihe um 0 entwickeln, wohl aber wenn wir die stetige

Erweiterung von ez−1z

= ∑∞

k=0zk

(k+1)!betrachten, d.h.

z

ez − 1=

∑k=0

Bkk!

zk fur alle hinreichend kleinen z

mit gewissen Koeffizienten Bk, den sogenannten Bernoulli-Zahlen. Durch Koeffizientenvergleichvon

1 = ez − 1z

⋅ z

ez − 1=

∑j=0

zj

(j + 1)!⋅∞

∑k=0

Bkk!

zk =∞

∑n=0

znn

∑k=0

Bk(n − k + 1)!k!

,

d.h. B0 = 1 und ∑nk=0 (n+1k

)Bk = 0 fur n ≥ 1, konnen wir die Bernoulli-Zahlen Bk rekursiv berechnen.Z.B. ist B1 = − 1

2, B2 = 1

6, B3 = 0, B4 = − 1

30, B5 = 0, B6 = 1

42, B7 = 0, B8 = − 1

30, B9 = 0, B10 = 5

66, . . . .

Diese Funktion ist eng verwandt mit coth, denn

z coth(z) = z ez + e−z

ez − e−z= z e

2z + 1e2z − 1

= z (1 + 2e2z − 1

) = z + 2ze2z − 1

= z +∞

∑k=0

Bkk!

(2z)k.

Da coth ungerade und somit z ↦ z coth(z) gerade ist, muß Bk = 0 sein fur alle ungeraden k > 1 undwir erhalten

z coth(z) = z +∞

∑k=0

Bkk!

(2z)k = (1 + 2B1) z +∞

∑k=0

B2k

(2k)!(2z)2k =

∑k=0

22kB2k

(2k)!z2k

und damit ist

z cot(z) = z i coth(iz) =∞

∑k=0

22kB2k

(2k)!(i z)2k =

∑k=0

(−1)k 22kB2k

(2k)!z2k.

[email protected] © 1. Juli 2011 59

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4.9 4. Potenzreihen

Wegen

cot(2z) = cos(2z)sin(2z)

= cos(z)2 − sin(z)2

2 sin(z) cos(z)= cot(z) − tan(z)

2

ist schließlich

tan(z) = cot(z) − 2 cot(2z) =∞

∑k=1

(−1)k−1 22k(22k − 1)B2k

(2k)!z2k−1.

Weiters istn

∑k=0

ekz =n

∑k=0

(ez)k = e(n+1)z − 1ez − 1

= e(n+1)z − 1

z

z

ez − 1

und Entwicklung in Potenzreihen liefert einerseits

n

∑k=0

ekz =n

∑k=0

∑p=0

(kz)p

p!=

∑p=0

( 1p!

n

∑k=0

kp)zp

und andererseits

(n + 1) e(n+1)z − 1(n + 1)z

z

ez − 1=

∑k=0

(n + 1)k+1

(k + 1)!zk ⋅

∑j=0

Bj

j!zj

=∞

∑p=0

(p

∑k=0

(n + 1)k+1

(k + 1)!Bp−k

(p − k)!) zp

also mittels Koeffizientenvergleich fur alle p ∈ N:

n

∑k=0

kp = p!p

∑k=0

(n + 1)k+1

(k + 1)!Bp−k

(p − k)!= 1p + 1

p

∑k=0

(p + 1k + 1

)(n + 1)k+1Bp−k.

Zusammenfassung der Beispiele von Taylor-Reihen.

ez =∞

∑k=0

1k!zk fur alle z, 4.8.1

sinh(z) =∞

∑k=0

z2k+1

(2k + 1)!fur alle z, 4.8.2

cosh(z) =∞

∑k=0

z2k

(2k)!fur alle z, 4.8.2

sin(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k+1

(2k + 1)!fur alle z, 4.8.3

cos(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k

(2k)!fur alle z, 4.8.3

11 − z

=∞

∑k=0

zk fur ∣z∣ < 1, 4.8.4

(1 + z)a =∞

∑k=0

(ak) zk fur ∣z∣ < 1, 4.8.5

z

ez − 1=

∑k=0

Bkk!

zk fur ∣z∣ < 2π, 4.9

log(1 + z) =∞

∑k=1

(−1)k−1

kzk fur ∣z∣ < 1, 4.8.7

60 [email protected] © 1. Juli 2011

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4. Potenzreihen 4.11

tan(z) =∞

∑k=1

(−1)k−1 22k(22k − 1)B2k

(2k)!z2k−1 fur ∣z∣ < π

2, 4.9

z cot(z) =∞

∑k=0

(−1)k 22kB2k

(2k)!z2k fur ∣z∣ < π, 4.9

arcsin(z) =∞

∑k=0

(−1)k(−1/2k

) z2k+1

2k + 1fur ∣z∣ < 1, 4.8.8

arctan(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k+1

2k + 1fur ∣z∣ < 1, 4.8.8

tanh(z) =∞

∑k=1

22k(22k − 1)B2k

(2k)!z2k−1 fur ∣z∣ < π

2, 4.9

z coth(z) =∞

∑k=0

22kB2k

(2k)!z2k fur ∣z∣ < π, 4.9

arsinh(z) =∞

∑k=0

(−1/2k

) z2k+1

2k + 1fur ∣z∣ < 1, 4.8.8

artanh(z) =∞

∑k=0

z2k+1

2k + 1fur ∣z∣ < 1, 4.8.8

Konvergenzverhalten am Rand:

4.10 Sekantensatz.Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt P , so ist das Produkt der Ab-schnittslangen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante aufbeiden Sekanten gleich groß.

Beweis.

Die Dreiecke △OBA′ und △OB′A sind ahnlich,denn der Winkel ϕ im Punkt 0 ist beiden Dreieckengemeinsam und die Umfangswinkel uber der SehneAA′ sind nach dem Peripheriewinkelsatz von Tha-les (siehe [KriBMG, 9.2]) gleich groß, also β = β′.Folglich ist AO ∶ A′O = B′O ∶ BO und somitAO ⋅BO = A′O ⋅B′O.

O

AB

A’

B’

4.11 Abelscher Grenzwertsatz.Wenn eine Potenzreihe in einem Punkt z0 des Konvergenzkreises konvergiert, so ist ihre Summen-funktion auf jedem abgeschlossenen Dreieck, welches als weitere Ecken zwei Punkte aus dem Innerenhat, stetig.

Beweis. Es sei f(z) = ∑∞

k=0 akzk mit Konvergenzradius r > 0. Es genugt die Stetigkeit bei z0 zu

zeigen. Durch Substitution z ∶= z0w durfen wir o.B.d.A. annehmen, daß z0 = 1 und r = 1 ist. DasDreieck konnen wir dann als symmetrisch bzgl. der x-Achse voraussetzen. O.B.d.A. durfen wir auchf(1) = 0 annehmen (ersetze a0 durch a0 − f(1)).

Mit sn ∶= ∑nk=0 ak ist

n

∑k=0

akzk = s0 +

n

∑k=1

(sk − sk−1)zk =n−1

∑k=0

sk(zk − zk+1) + snzn.

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4.13 4. Potenzreihen

Wegen limn→∞ sn = f(1) = 0 ist fur z im Konvergenzbereich (also notwendigerweise ∣z∣ ≤ 1)

f(z) =∞

∑k=0

akzk =

∑k=0

sk(zk − zk+1) = (1 − z)∞

∑k=0

skzk.

Der Konvergenzradius der rechts stehenden Reihe ist ebenfalls mindestens 1, denn auch 11−z

hat diesenRadius.

Sei m ∈ N so groß gewahlt, daß ∣sn∣ < ε fur alle n >m gilt. Damit ist

∣f(z)∣ = ∣(1 − z)m

∑k=0

skzk + (1 − z)

∑k=m+1

skzk∣ ≤ ∣1 − z∣ ∣

m

∑k=0

skzk∣ + ε ∣1 − z∣

1 − ∣z∣∣z∣m+1

Die erste endliche Summe kann man furz → 1 offensichtlich klein(er als ε) ma-chen.Fur eine entsprechende Abschatzung derzweiten Summe sei O ∶= 1, F ∶= −1 und Eeine weitere Ecke des Dreiecks. Sei z einPunkt im Inneren des Dreiecks, welchernicht im Inneren des Kreises durch dieEcke E liegt. Wir betrachten den Kreis γdurch A ∶= z und den Strahl ` von O ∶= 1durch z. Sei B dessen zweiter Schnitt-punkt mit γ und D und C die Schnitt-punkte der x-Achse mit γ. Dann gilt nachdem Sekantensatz 4.10 OA ⋅OB = OC ⋅OD, also ist ∣1−z∣

1−∣z∣= OAOC

= ODOB

≤ OFOE

be-schrankt.

Γ

{

OA

B

F

E

CD

4.12 Beispiel.

1. Wegen dem Leibniz’schen Test [KriANA1, 2.5.12] konvergiert die Reihe

log(1 + z) =∞

∑j=1

(−1)j−1

jzj

auch fur z = 1. Also ist nach dem Abel’schen Grenzwertsatzes 4.11 und 4.8.7

1 − 12+ 1

3− 1

4+ 1

5− + ⋅ ⋅ ⋅ =

∑n=0

(−1)n 1n + 1

= limx→1−

ln(1 + x) = ln(2).

2. Nach 4.8.8 gilt

arctan(z) =∞

∑k=0

(−1)k z2k+1

2k + 1fur ∣z∣ < 1.

Wegen dem Leibniz’schen Test konvergiert diese Reihe auch fur z = ±1 also nach dem Abel’schenGrenzwertsatz 4.11 gegen arctan(±1). Somit ist

1 − 13+ 1

5− 1

7+ − ⋅ ⋅ ⋅ = arctan(1) = π

4.

4.13 Bemerkung.Es gilt

√1 + z = ∑∞

k=0 (1/2k)zk fur alle ∣z∣ ≤ 1, denn nach 4.8.5 ist allgemeiner

(1 + z)a =∞

∑k=0

(ak)zk fur ∣z∣ < 1

und fur a > 0 ist

∣an+1

an∣ =

RRRRRRRRRRR

( an+1

)(an)

RRRRRRRRRRR= ∣a − nn + 1

∣ = 1 − a + 1n + 1

< 1 − β

n + 1falls a + 1 > β > 1

und nach dem Test von Raabe (siehe [KriANA1, 2.5.15]) konvergiert die Reihe somit absolut.

62 [email protected] © 1. Juli 2011

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4. Potenzreihen 4.13

Hingegen ist die Reihe ∑∞

k=0 zk = 1

1−zoder allgemeiner

(1 + z)a =∞

∑k=0

(ak)zk mit a ≤ −1

fur kein einziges z mit ∣z∣ = 1 konvergent, denn sonst ware limk→∞ (ak) zk = 0, aber fur a =∶ −1 − t mit

t ≥ 0 ist

∣(−1 − tk

)∣ =k

∏j=1

j + tj

=k

∏j=1

(1 + t

j) ≥ 1.

Insbesonders folgt aus der Holomorphie der Summenfunktion nahe z nicht die Konvergenz der Po-tenzreihe bei z (das ware eine Umkehrung zum Abelschen Grenzwertsatz).

Beachte, daß im letzten Beispiel z ↦ 11−z

die Potenzreihe zwar in keinem Randpunkt des Konver-genzbereichs konvergiert, aber die Summenfunktion kann mit Ausnahme von z = 1 uber alle z mit∣z∣ = 1 hinweg holomorph fortgesetzt werden kann. Jede konvergente Potenzreihe hat mindestens einesolche Singulariat am Konvergenzkreis, d.h. einen Punkt uber welchen die Summenfunktion nichtlokal holomorph fortgesetzt werden. Andernfalls wurden die lokalen Erweiterungen wegen 4.7 eineholomorphe Erweiterung auf einen großeren Kreis als den Konvergenzkreis liefern, ein Widerspruchzu 4.2 .

Es gibt auch konvergente Potenzreihen, wo jeder Punkt des Konvergenzkreises eine Singularitat ist,z.B. f(z) ∶= ∑∞

k=0 z2k : Deren Konvergenzradius ist 1 und somit existiert nach dem eben Gesagten min-

destens eine Singularitat z0 mit ∣z0∣ = 1. Fur n ∈ N ist dann z1 ∶= e2π i2−nz0 ebenfalls eine Singularitat,denn fur z nahe z1 mit ∣z∣ < 1 ist w ∶= z

e2π i2−n nahe z1e2π i2−n = z0 mit ∣w∣ < 1 und somit

f(z) −n

∑k=0

z2k =∞

∑k=n+1

z2k =∞

∑k=n+1

w2k e2π i2k−n =∞

∑k=n+1

w2k = f(w) −n

∑k=0

w2k .

Ware also f lokal um z1 holomorph erweiterbar, so auch lokal um z0, ein Widerspruch. Folglich liegendie Singularitaten dicht am Einheitskreis und damit ist jeder Punkt eine Singularitat, denn die Mengeder regularen (d.h. nicht singularen) Punkte ist klarerweise offen.

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Liste einiger Symbole

√ Quadratwurzelfunktion, 2J Rotation um +π

2, 7

z⊥ Normalvektor zu z ∈ R2, 8Re Realteil einer komplexen Zahl, 9Im Imaginarteilteil einer komplexen Zahl, 9z konjugierte der komplexen Zahl z, 9f ′(z) Komplexe Ableitung von f bei z, 13df reelle Ableitung der Funktion f , 14f ′(z) komplexe Ableitung von f an der Stelle z, 15exp Exponentialfunktion, 15∂∂z

Wirtinger-Ableitung, 17∂∂z

Wirtinger-Ableitung, 17∆ Laplace-Operator, 17log Logarithmusfunktion, 18z ↦ zw komplexe Potenzfunktion fur z,w ∈ C, 19z ↦ az+b

c z+dMobius-Transformation, 20

C∞ Einpunktkompaktifizierung von C, 20P1

C projektive komplexe Gerade, 21S2 Einheitssphare im R3, 23Sn Einheitssphare im Rn+1, 23D(z1, z2, z3, z4) Doppelverhaltnis vier komplexer Zahlen, 26D offene Einheitsscheibe in C, 28H Poincare’sche Halbebene, 29cos Kosinusfunktion, 30sin Sinusfunktion, 30cosh Kosinushyperbolikusfunktion, 30sinh Sinushyperbolikusfunktion, 30arccos Arkuskosinusfunktion, 32arcsin Arkussinusfunktion, 32arsinh Areasinushyperbolikusfunktion, 33arcosh Areakosinushyperbolikusfunktion, 33tanh Tangenshyperbolikusfunktion, 33artanh Areatangenshyperbolikusfunktion, 33tan Tangensfunktion, 33arctan Arkustangensfunktion, 33dxi Ableitung der i-ten Koordinatenprojektion, 35∫c f Kurvenintegral von f langs c, 36∫c g = ∫c g(z)dz komplexes Kurvenintegral, 36L(c) Lange der Kurve c ∶ [a, b]→ C, 36z0z1 Strecke von z0 nach z1, 37←

c Kurve c umgekehrt durchlaufen, 38c1( . . .( cn Aneinanderhangung von Kurven, 39∂∆ Rand des Dreiecks ∆ ⊆ C, 39Hs partielle Funktion gebildet aus H mit festgehaltener erster Variable s, 43Ht partielle Funktion gebildet aus H mit festgehaltener zweiter Variable t, 43indc(z) Umlaufzahl der geschlossenen Kurve c um den Punkt z, 46

[email protected] © 1. Juli 2011 67

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Index

C-antilinear, 16

C-differenzierbar, 13

n-Sphare, 23

n-dimensionale Sphare, 23

0-homotop, 45

1-Form, 35

exakte, 35

vektorwertige, 35

Abelscher Grenzwertsatz, 61

algebraisch abgeschlossen, 6

algebraischen Abschluß, 7

Atlas einer Mannigfaltigkeit, 21

Bernoulli-Zahlen, 59

biholomorph, 26

C-differenzierbare Funktion, 13

Cauchy’sche Ableitungsformeln, 49

Cauchy’sche Integralformel, 48

Cauchy’scher Integralsatz, 43

Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen, 15

Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 9

Differentialform

exakte, 35

Differentialform der Ordnung 1

vektorwertige, 35

differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkei-

ten, 22

Divisionsalgebra, 6

Doppelverhaltnis, 26

Drehstreckung, 9

Drehstreckungen, 7

Dreiecksungleichung, 9

Dreifachtransitivitat, 27

Eindeutigkeit des Dirichlet-Problems, 52

einfach zusammenhangend, 45

Einheitsscheibe, 28

Einheitswurzeln, 10

Einpunktkompaktifizierung, 20

Entwicklungssatz, 55

exakte 1-Form, 35

Exponentialfunktion, 15

Faktorring, 6

Fixpunkt, 27

Fundamentalsatz der Algebra, 6

ganze Funktionen, 53

geometrische Reihe, 55

geschlossenen Kurve, 43

Gleichung 4.ter Ordnung, 4

harmonische Funktionen, 17

hebbaren Singularitat, 50

holomorph, 13

homotop (relativ Endpunkte), 44

Homotopie, 43

Homotopie relativ Endpunkte, 43

Homotopie-invariant, 46

Hyperbolische Metrik, 29

hyperbolische Metrik, 29

Identitat, 13

Identitatssatz fur komplex-differenzierbare Funktionen,56

imaginaren Einheit, 1

Imaginarteil, 9

Index, 46

Integrabilitatsbedingung, 42

Integral

Kurven-, 36

Integrallemma von Goursat, 42

Inversion, 13

Isometrien, 27

Karten einer Mannigfaltigkeit, 21

Kartenwechsel, 21

komplex differenzierbar, 13

komplexe Kurvenintegral, 36

komplexe Zahlen, 1

konforme Abbildung, 8

Konjugation, 16

konjugierte Zahl, 9

konvergente Folge in einer Mannigfaltigkeit, 22

Konvergenzkreis, 55

Konvergenzradius, 55

Kreisverwandtschaft, 24

Kubische Gleichung, 2

Kurvenintegral, 36

Losbarkeit des Dirichlet-Problems, 52

Laplace-Operator, 17

Lift, 38

Logarithmus, 17

Mobius-Transformationen, 20

Mannigfaltigkeit, 21

Maximumprinzip fur harmonische Funktionen, 52

Maximumprinzip holomorpher Funktionen, 53

Mittelwertsatz fur harmonische Funktionen, 52

Modul, 35

Moivre’sche Formel, 9

Pick’sce Variante des Schwarz’schen Lemmas, 54

Poisson’sche Integralformel fur harmonische Funktio-

nen, 52

Poisson’sche Integralformel fur holomorphe Funktio-

nen, 51

Polarisierungsgleichung, 8

Polygonzug, 39

Potenzfunktionen, 19

Potenzreihe, 55

Prinzip des Koeffizientenvergleichs, 56

projektive komplexe Gerade, 21

Quadratische Gleichung, 1

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Page 72: Komplexe Analysis - univie.ac.atkriegl/Skripten/2011SS.pdf · 2011-07-01 · 1. Komplexe Zahlen Um lineare Gleichungen a⋅x=bzu l osen, muˇ der Ring Z zum K orper Q erweitert werden

Quadratwurzel, 2Quotienten-Test, 55

R-Modul, 35Raabe-Test, 55

Realteil, 9

Reparametrisierungsinvarianz, 38Riemann’sche Flache, 19

Riemann’sche Zahlensphare, 25Riemann’scher Hebbarkeitssatz, 50

Satz von Liouville, 53

Satz von Morera., 50Schwarz’sches Lemma, 54

Sekantensatz, 61

Singulariat, 63spharische Distanz, 28

stereographische Projektion, 23sternformig, 37

Taylor-Reihe, 55

Topologie auf C, 13Trigonometrische Funktionen, 30

umgekehrt durchlaufene Kurve, 38Umlaufzahl, 46

vektorwertige 1-Form, 35vektorwertige Differentialform der Ordnung 1, 35

Verallgemeinerter Cauchy’scher Integralssatz, 46

Vergleichs-Test, 55

Weierstraß’scher Konvergenzsatz, 56

Windungszahl, 46Wirtinger Ableitungen, 16

Wurzel-Test, 55

Wurzelfunktionen, 19Wurzeln komplexer Zahlen, 9

Zerlegung in linear-Faktoren, 7zusammenhangende Menge, 40

Zusammenhangskomponenten, 41

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