Konsumgüternachfrage, Slutsky Gleichung · Konsumgüternachfrage Slutsky Gleichung Veränderung des Preises wobei wir die Preise aller anderen Güter, sowie das Einkommen als gegeben

KonsumgüternachfrageSlutsky Gleichung

Konsumgüternachfrage, Slutsky Gleichung

12.April 2019

Konsumgüternachfrage, Slutsky Gleichung


Veränderung des Nominaleinkommens wobei wir den Preisvektor alsgegeben annehmen, d.h. p = p

Einkommenskonsumkurve bzw. Einkommensexpansionspfad (incomeconsumption curve, income expansion path, wealth expansion path):Verbindung der nutzenmaximierenden Konsumgüterkombinationen(x1 (p, y) , x2 (p, y)) für unterschiedliche Einkommen y.

Engelkurven:Zusammenhang zwischen dem Nominaleinkommen y und dergewöhnlichen Nachfrage nach dem i-ten Gut.

Bei der verallgemeinerten Cobb-Douglas Nutzenfunktion sind dieEinkommenskonsumkurven durch einen Strahl aus dem Ursprunggegeben!

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Robert Pindyck und Daniel Rubinfeld

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normales Gut: ∂xi(p, y)/∂y > 0

inferiores Gut: ∂xi(p, y)/∂y < 0

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Veränderung des Preises wobei wir die Preise aller anderen Güter,sowie das Einkommen als gegeben annehmen, d.h. im 2-dimensionalenFall gilt: p2 = p, y = y und p1 wird variiert.

Preis-Konsum-Kurve (price consumption curve bzw. offer curve):Verbindung der nutzenmaximierenden Konsumgüterkombinationen(x1 (p1, p2, y) , x2 (p1, p2, y)) für unterschiedliche Preise p1.

Nachfragekurve:Zusammenhang zwischen dem Preis p1 und der gewöhnlichen Nachfragenach dem i-ten Gut wenn p2 und y konstant gehalten werden.

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Jehle und Reny

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GIFFEN Gut: ∂xi(p, y)/∂pi > 0

Inferior ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für einGiffen Gut!

Beispiel: Kartoffel- und Fleischnachfrage

↓p1↓x1 +

0p2↑x2 =

0y

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Zerlegung eines ceteris paribus Sinken des Preis p1 auf dieKonsumgüternachfrage (beobachtbarer Effekt) in 2 unbeobachtbareEffekte:

SubstitutionseffektEinkommenseffekt

Wenn der Preis des ersten Gutes p1 sinkt sosinkt der relative Preis p1/p2, d.h. Gut 1 wird relativ billiger.Das relativ teurer gewordene Gut 2 wird durch das relativ billigergewordene Gut 1 ersetzt (substituiert).Obwohl das Nominaleinkommen y unverändert geblieben ist, ergibtsich ein höheres Realeinkommen.

Um den Substitutionseffekt zu bestimmen wird folgende Frage gestellt:Wie hätte sich die Konsumentin verhalten, wenn es zu einer Veränderungdes Preisvektors gekommen wäre, das Realeinkommen aber unverändertgeblieben wäre?

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Substitutionseffekt nach Hicks: Wie hätte die Güternachfragereagiert, wenn die tatsächliche Veränderung des Preisvektors voneiner Hicksschen Einkommenskompensation begeleitet wordenwäre, sodaß die Wohlfahrt der Konsumentin unverändert gebliebenwäre? (hypothetische Frage)

Einkommenseffekt nach Hicks ergibt sich als Differenz vonGesamteffekt und Substitutionseffekt.

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Jehle und Reny: Sustitutions- und Einkommenseffekt nach Hicks

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Ausgangssituation:(p0

1, p02),(x0

1, x02), u0.

Preisänderung p11 < p0

1, p12 = p0

2:(p1

1, p12),(x1

1, x12), u1 > u0.

Hickssche Einkommenskompensation impliziert: (xs1, xs

2)

GE SE EE

x11 − x0

1 =(xs

1 − x01)

+(x1

1 − xs1)

x12 − x0

2 =(xs

2 − x02)

+(x1

2 − xs2)

SE ist immer eindeutig! Es wird mehr von x1 und weniger von x2nachgefragt:

xs1 − x0

1 > 0 und xs2 − x0

2 < 0

EE ist abhängig ob es normale oder inferiore Güter sind.14 / 22


beide Güter sind normale Güter: EE positiv für beide Güterx1 normal: positiver SE + positiver EEx2 normal: negativer SE + positiver EE

Gesamteffekt für x1 durch normale Nachfragefunktion x1(p1, p0

2, y)

bestimmt.Substitutionseffekt für x1 durch Hickssche Nachfragefunktionh1

(p1, p0

2, u0) bestimmt.

Anmerkung:Gut 1 normal, so verläuft die gewöhnliche Nachfragefunktion für das Gut1 flacher als die entsprechende Hickssche Nachfragefunktion.In Abbildung 1.20 sind beide Güter normal.

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Nachfrage Nachfragenach Gut 1 nach Gut 2

SE + −

EE-1/-2/-3 +/− /+ +/+ /−

GE-1/-2/-3 +/?/+ ?/?/−

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Dph (p, u) =

∂h1 (p, u)

∂p1· · · ∂h1 (p, u)

∂pn... . . . ...∂hn (p, u)

∂p1· · · ∂hn (p, u)

∂pn

D2pe (p, u) =

∂2e (p, u)

∂p21

· · · ∂2e (p, u)∂pn∂p1

... . . . ...∂2e (p, u)∂p1∂pn

· · · ∂2e (p, u)∂p2

n

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Satz (Proposition 3.G.2 aus MCWG (1995, S. 69)): Die auf derKonsummenge X = Rn

+ definierte Präferenzrelation % weise dieEigenschaft der lokalen Nichtsättigung auf und sie sei streng konvex.u(·) sei eine stetige Nutzenfunktion, welche diese Präferenzrelationrepräsentiert. Die Hickssche Nachfragefunktion h(p, u) sei stetigdifferenzierbar in Bezug auf alle Komponenten des Preisvektors p. Danngilt:

1 Dph(p, u) = D2pe(p, u),

2 Dph(p, u) ist eine negativ semidefinite Matrix,3 Dph(p, u) ist eine symmetrische Matrix,4 Dph(p, u)p = 0.

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Dph(p, u) negativ semidefinite Matrix → kompensierten Eigenpreiseffektenicht-positiv:

∂hi(p, u)∂pi

≤ 0, i = 1, . . . , n.

compensated law of demand

GILT nicht für gewöhnliche Nachfragefunktion! z.B. Giffen Gut

Dph(p, u) symmetrische Matrix →

∂hj(p, u)∂pk

=∂hk(p, u)

∂pj, j, k = 1, . . . , n.

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Hicks-Substitute:∂hj(p, u)

∂pk=

∂hk(p, u)∂pj

> 0

Hicks-Komplemente:∂hj(p, u)

∂pk=

∂hk(p, u)∂pj

< 0

wenn n = 2, dann können die beiden Güter keine Hicks-Komplemente sein.

aus Dph(p, u)p = 0, folgt für n = 2:

∂h1(p, u)∂p1

p1 +∂h1(p, u)

∂p2p2 = 0,

∂h2(p, u)∂p1

p1 +∂h2(p, u)

∂p2p2 = 0.

da p ≫ 0 und∂hi(p, u)

∂pi≤ 0, i = 1, 2,

gilt somit:∂h1(p, u)

∂p2=

∂h2(p, u)∂p1

≥ 0.

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Bruttosubstitute:∂xj(p, y)∂pk

> 0.

Bruttokomplemente:∂xj(p, y)∂pk

< 0.

Es kann folgender Fall eintreten:

∂xj(p, y)∂pk

> 0 und ∂xk(p, y)∂pj

< 0

da Dpx(p, y) in der Regel nicht symmetrisch ist.

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Slutsky Gleichung (Proposition 3.G.3, MCWG (1995, S. 71)): Die auf derKonsummenge X = Rn

+ definierte Präferenzrelation % weise dieEigenschaft der lokalen Nichtsättigung auf und sie sei streng konvex.u(·) sei eine stetige Nutzenfunktion, welche diese Präferenzrelationrepräsentiert. Dann gilt für alle (p, y) , dass

∂hi (p, u)∂pk

=∂xi (p, y)

∂pk+

∂xi (p, y)∂y xk (p, y) i, k = 1, . . . , n.

Umformung:

∂xi (p, y)∂pk︸︷︷︸ =

∂hi (p, u)∂pk︸︷︷︸ −∂xi (p, y)

∂y xk (p, y)︸︷︷︸GE SE EE

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