Kõrgem Matemaatika (Matemaatiline analüüs)

Matemaatikud LM-1 Kordamisküsimused kõrgema matemaatika (MMA6001) eksamiks. 2009/10 sügissemester

1 Funktsiooni mõiste.2 Funktsiooni esitusviise. 3 Fun-ide liike. 4 Elementaarfunktsioonid.5 Pöördfunktsioon ja liitfunktsioon.6 Funktsiooni esitamine parameetrilisel kujul. 7 Fun-i piirväärtus. Piirväärtuse definitsioonid ja omadused. Ühepoolsed piirväärtused.8 Piirväärtuse arvutamine erinevate määramatuste korral.9 Piirväärtus sinx/x, kui x->0. Arv e piirväärtusena. T

10 Fun-i pidevus.Teoreemid pidevuse kohta.11 Fun-i katkevuspunktid.12 Fun-i kald- ja püstasümptoodid. P13 Fun-i tuletise mõiste.Tuletise füüsikaline tähendus.14 Seos fun-i tuletise ja pidevuse vahel.15 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. T16 Pöördfunktsiooni ja liitfunktsiooni tuletis.17 Diferentseerimise põhivalemite tuletamine (tuletiste tabel).18 Logaritmiline diferentseerimine.19 Fun-i tuletise geomeetriline tähendus. P20 Joone puutuja ja normaali võrrandid.21 Fun-i kõrgemat järku tuletised. Teise tuletise füüsikaline tähendus.22 Fun-i diferentsiaal. Diferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes.23 Fun-i diferentsiaali geomeetriline tähendus. P24 Rolle'i keskväärtusteoreem, selle geomeetriline tõlgendus.25 Lagrange keskväärtusteoreem, selle geomeetriline tõlgendus. Lagrange valem. T26 L’Hospitali reegel. L'H reegli kasutamine erinevate määramatuste korral.27 Fun-i monotoonsuspiirkonnad. Teoreem fun-i monotoonsuse kohta, selle geomeetriline tõlgendus.28 Fun-i lokaalsed ekstreemumi tarvilik tingimus (teoreem 1). T29 Fun-i lokaalsed ekstreemumi piisav tingimus (teoreem 2). T30 Fun-i kumerus - ja nõgususpiirkonnad (teoreem), käänupunktid. Geomeetriline tõlgendus. T31 Fun-i globaalsed ekstreemumid. 32 Funktsiooni uurimine.33 Algfunktsioon ja määramata integraal.34 Integreerimise põhivalemid.35 Tehetega seotud integreerimisreeglid. Omadused lihtsamate funktsioonide integreerimiseks. T36 Määramata integraali arvutamine muutujate vahetusega. T37 Määramata integraali arvutamine ositi. T38 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Osamurdudeks lahutamine.39 Määratud integraal kui pindala. Newton Leibnizi valem. P40 Määratud integraali omadused.41 Tasandilise kujundi pindala arvutamine.42 Joone kaare pikkus. 43 Pöördkeha ruumala. P44 Kera ja koonuse ruumala valemi tuletamine.45 Määratud integraali ligikaudne arvutamine (ristkülik- ja trapetsvalem). P

T tõestusegaP põhjendusega

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni mõiste ja määramisviise.

1

1. Funktsioonid.

§ 1.1. Funktsiooni mõiste ja määramisviise. Näide 1. Vaatame naturaalarvude hulka 1; 2; ...; n; ... ja tähistame selle hulga tähega N. Koostame vastavuse, et iga naturaalarvule vastab tema ruut ehk

11 → ; 42 → ; 93 → ; ... . Saame arvuhulga 1; 4; 9; ...; n2 ; ... . Kui x tähistab arvu antud hulgast N, siis talle vastab arv y ehk x2teisest hulgast. Seega võiksime kirjutada 2xy = . Näide 2. Vaatame naturaalarvude hulka 1; 2; ...; n; ... ja tähistame selle hulga tähega N. Koostame vastavuse, et iga naturaalarvule n vastab korrutis n⋅⋅⋅⋅ ...321 . Seega

11 → ; 212 ⋅→ ; 3213 ⋅⋅→ ; ... . Arvule x esimest hulgast N vastab arv y teisest hulgast. Seega võiksime kirjutada xy ⋅⋅⋅⋅= ...321 ehk kui arvestada faktoriaali mõistet, siis

!xy = .

Definitsioon. Öeldakse, et muutuja y on muutuja x funktsioon, kui igale elemendile x hulgast X on kindla eeskirja f järgi vastavusse seatud täpselt üks element y hulgast Y . Funktsiooni võib esitatakse enamasti seose )(xfy = abil, kuid mõnikord ka )(xyy = . Muutujat x nimetatakse argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ning muutujat y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks. Funktsiooni määramispiirkond hulk X koosneb elementidest, mille korral on võimalik leida funktsiooni väärtusi. Funktsiooni väärtuste hulk Y koosneb funktsiooni väärtustest. Funktsioon on antud, kui on teada: 1) funktsiooni määramispiirkond, 2) eeskiri, mis seab elemendile x vastavusse elemendi y. Näide 3. Olgu antud ringi raadius r ja pindala S. Esitame pindala raadiuse funktsioonina )(rfS = ehk 2rS π= , mille määramispiirkond ] [+∞∈ ;0r ja muutumispiirkond ] [+∞∈ ;0S . Näide 4. Olgu antud ruudu külg a ja ümbermõõt P. Saame funktsiooni )(afP = ehk aP 4= , mille määramispiirkond ] [+∞∈ ;0a ja muutumispiirkond ] [+∞∈ ;0P .


2

Näide 5. Olgu antud funktsiooni määramispiirkond [ [+∞∈ ;0X ning funktsiooniks )(xfy = olgu

ruutfunktsioon 2xy = . Antud funktsiooni muutumispiirkond on [ [+∞∈ ;0Y . Kui määramispiirkonda pole ette antud, siis on määramispiirkonnaks funktsiooni loomulik määramispiirkond. Funktsiooni loomuliku määramispiirkond on kõigi selliste x-de hulk, mille korral on võimalik funktsiooni väärtusi leida. Kui näites 5 ei oleks määramispiirkonda ette antud, siis loomulikuks määramispiirkonnaks oleks reaalarvude hulk R. Näide 6.

Olgu antud funktsioon 92 −= xy . Leiame funktsiooni loomuliku määramispiirkonna.

Lahendame võrratuse 092 ≥−x , millest ( )( ) 033 ≥+− xx . Saame määramispiirkonnaks ] ] [ [+∞∪−∞−∈ ,33;X . Funktsioonide esitusviise. 1) Analüütiline esitus ehk esitus valemi abil. Funktsioon esitatakse valemi )(xfy = abil. Valemist selgub, milliseid tehteid ja mis järjekorras tuleb argumendiga sooritada, et saada funktsiooni väärtusi.

Esitame näitena järgnevad funktsioonid xy x −+= 32 , 3xy = , 75

+−=

xx

y .

Vaatleme veel kahte järgnevat funktsiooni, mille esitus on keerulisem Signumfunktsioon (signum- ladina keeles märk) xy sgn= defineeritakse järgnevalt

<−=>

=0 ,10 0,0 ,1

sgnx

x

x

x .

Dirichlet (1805 –1859) funktsioon

∈∈

=Ixx

QxxxD

alarvirratsionaon kui 0, arvratsionaalon kui ,1

)( .

Viimasel funktsioonil on ka palju keerulisem kuju )!(coslimlim)( 2 xmxD n

nmπ

∞→∞→= .

2) Graafiline esitus ehk esitus graafiku abil. Funktsiooni graafikuks on tasandi punktide

))(,( xfx hulk, kus Xx ∈ Funktsiooni )(xfy = graafikuks on joon AB määramispiirkonnaga [ ]baX ;= ning muutumispiirkonnaga [ ]dcY ;= Esitame ka signumfunktsiooni graafiku.

A

a

B

b

c

y = f(x)

d

. y =sgnx


3

Põhimõtteliselt võib iga funktsiooni graafiliselt kujutada, kuid alati ei ole võimalik graafikut küllaltki tõetruult esitada. Näitkeks võiks olla Dirichlet funktsioon, võime märkida graafikule küll mõningaid punkte kuid ei saa joonestada graafikut ennast. Joonestame täisosa funktsiooni [ ]xy = graafiku.[ ]x on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x.

Näiteks [ ] 157,0 −=− , [ ] 07,0 = , [ ] 12 = , [ ] 3=π ja [ ] 22 −=− .

y = [x]

3) Tabelina esitus. Olgu antud funktsioon tabelina x x1 x2 x3 ... xn

y y1 y2 y3 ... yn

Tabelina esitatavate funktsioonide näiteks on trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse tabelid ja logaritmide tabelid. Nähtuse katselise uurimise tulemusena võime saada tabeli, mis kirjeldab mingit funktsiooni. Näiteks järgmine tabel esitab funktsiooni )(tfT = , kus temperatuur T on aja t funktsioon t 1 2 3 4 5 T 0 -1 1 3 6 Dirichlet funktsiooni on lihtne esitada tabelina. x ratsionaalarv irratsionaalarv y 1 0

Sageli kasutatakse tabelit ka funktsiooni graafiku konstrueerimisel, kui graafiku geomeetriline kuju pole teada.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsioonide liike

1

§ 1.2. Funktsioonide liike. 1) Paaris- ja paaritud funktsioonid. Definitsioon. Funktsiooni )(xfy = nimetatakse paarisfunktsiooniks kui ( ) ( )f x f x− = iga Xx ∈ korral. Definitsioon. Funktsiooni )(xfy = nimetatakse paarituks funktsiooniks kui ( ) ( )f x f x− = − iga Xx ∈ korral. Näide 1. Vaatame funktsiooni 2xy = . Arvutame

)()()( 22 xfxxxf ==−=− , seega funktsioon on definitsiooni järgi paarisfunktsioon. Joonestame funktsiooni graafiku. Jooniselt näeme, et paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Näide 2. Vaatame funktsiooni 3xy = . Arvutame

)()()( 33 xfxxxf −=−=−=− , seega funktsioon on definitsiooni järgi paaritu funktsioon. Joonestame funktsiooni graafiku.

Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.

Seega on võimalik funktsiooni graafiku järgi otsustada kas funktsioon on paaris või paaritu. Üldiselt kui funktsiooni graafik ei ole teada on graafiku joonestamise asemel mõistlik kontrollida definitsioonides toodud tingimusi. Näide 3.

Selgitame kas funktsioon xx

xf+−=

44

log)( on paaris

või paaritu.

Arvutame )(44

log44

log44

log)(1

xfxx

xx

xx

xf −=+−−=�

�

��

�

+−=

−+=−

−

. Funktsioon on paaritu.

y = x3

y = x2


2

2) Perioodilised funktsioonid.

Definitsioon. Funktsiooni )(xfy = nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv T, et )()( xfTxf =+ iga Xx ∈ korral. Vähimat T positiivset väärtust, mille korral definitsioonis toodud võrdus kehtib nimetatakse funktsiooni

)(xfy = perioodiks. Näide 4. Selgitame funktsiooni xy sin= perioodilisust ja joonestame graafiku.

y = sinx

Siinusfunktsiooni korral xnx sin)2sin( =⋅+ π , seega periood 2π . Enamasti on perioodilisteks funktsioonideks trigonomeetrilised funktsioonid, kuid esineb ka erandeid. Viimast kinnitab järgmine näide. Näide 5. Vaatame funktsiooni [ ]xxy −= graafikut. Funktsiooni periood on üks.

y = x – [x]

Näide 6.

Leida funktsiooni )15

cos(3)( ++= xxf periood.

Definitsiooni järgi saame

)15

cos(3)15

cos(3 ++=+++ xTx,


3

)15

cos(3)5

15

cos(3 ++=+++ xTx

Lihtsustades ja tähistades 15

+= xu saame u

Tu cos)

5cos( =+ .

Kuna koosinusfunktsiooni periood on 2π , siis π25

=T ja π10=T .

3) Monotoonsed funktsioonid. Definitsioon. Funktsiooni )(xfy = nimetatakse kasvavaks piirkonnas X kui suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus iga Xx ∈ korral. Kasvava funktsiooni tingimus 21 xx < � )()( 21 xfxf < iga Xxx ∈21, Definitsioon. Funktsiooni )(xfy = nimetatakse kahanevaks piirkonnas X kui suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus iga Xx ∈ korral. Kahaneva funktsiooni tingimus 21 xx < � )()( 21 xfxf > iga Xxx ∈21, Kui funktsioon on monotoonselt kasvav ehk mittekahanev, siis

21 xx < � )()( 21 xfxf ≤ iga Xxx ∈21, . Kui funktsioon on monotoonselt kahanev ehk mittekasvav, siis

21 xx < � )()( 21 xfxf ≥ iga Xxx ∈21, . Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse ka rangelt monotoonseteks funktsioonideks.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Liitfunktsioon

1

§ 1. 3. Liitfunktsioon. Olgu antud funktsioon )(ufy = määramispiirkonnaga U ja funktsioon )(xgu = määramispiirkonnaga X. Moodustame liitfunktsiooni funktsioonides f ja g, kusjuures yux →→ ehk tegemist on kahekordse vastavusega. Saame funktsiooni ))(( xgfy = , mille määramispiirkonnaks on kas funktsiooni )(xg määramispiirkond X või piirkonna X selline osa, mille korral funktsiooni f väärtusi on võimalik leida. Funktsiooni )(xg nimetatakse sisemiseks ja

)(uf välimiseks funktsiooniks. Näide 1.

Vaatame liitfunktsiooni 32 += xy , kus uuf =)(

määramispiirkonnaga [ [∞= ;0U ja 32 += xu määramispiirkonnaga RX = . Siin liitfunktsiooni määramispiirkond ühtib sisemise funktsiooni määramispiirkonnaga ehk RX = . Näide 2. Vaatame liitfunktsiooni 3−= xy , kus uuf =)( määramispiirkonnaga [ [+∞= ;0U ja 3−= xu määramispiirkonnaga RX = . Siin liitfunktsiooni määramispiirkond on sisemise funktsiooni määramispiirkonnaga osa [ [+∞= ;3X . Liitfunktsioon võib koosneda ka rohkem kui kahest komponendist. Vaatame järgmist näidet. Näide 3.

Olgu antud liitfunktsioon 5 2 3tanln xy = , mis koosneb

5 komponendist, kusjuures 5)( uuf = , tu ln= , 2zt = , mz tan= , xm 3= .

Näide 4. Olgu antud funktsioon xxxf −= 2)( . Koostame funktsiooni

xxxxxxxxff +−=−−−= 34222 2)()())(( .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Pöördfunktsioon

1

§ 1. 4. Pöördfunktsioon. Olgu antud funktsioon )(xfy = määramispiirkonnaga X ja muutumispiirkonnaga Y. Definitsioon. Öeldakse, kui igale elemendile y hulgast Y on kindla eeskirja ϕ järgi vastavusse seatud täpselt üks element x hulgast X , siis ühese funktsiooni )(xfy = pöördfunktsiooniks on funktsioon

)(yx ϕ= . Pöördfunktsiooni )(yx ϕ= argumendiks on muutuja y ja funktsiooni väärtuseks x. Pöördfunktsiooni tähistatakse mõnikord ka sümboliga ( )1y f x−= . Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on esialgse funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks esialgse funktsiooni määramispiirkond. Seega funktsiooni ja pöördfunktsiooni korral vahetavad määramispiirkond ja muutumispiirkond kohad. Näide 1. Vaatame funktsiooni xy 4log= , ] [+∞= ;0X ja RY = . Funktsiooni xy 4log= pöördfunktsiooniks on

yx 4= . Kui pöördfunktsioon on leitud vahetatakse sageli muutujad, kuna x tähistab funktsiooni korral enamasti argumenti ja y funktsiooni väärtust. Seega pöördfunktsioon on xy 4= , kusjuures määramispiirkond on RX = ja muutumispiirkond ] [+∞= ;0Y . Joonestama ka mõlema funktsiooni graafiku.

Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised nurgapoolitaja y x= suhtes: Näide 2.

y = log4x

y = 4x

y = x

y = arcsinx

y = sinx

y = x

Kõrgem matemaatika MMA6001 Pöördfunktsioon

2

Vaatame funktsiooni xy sin= , [ ]22 ; ππ−=X ja [ ]1;1−=Y . Kuna funktsioon peab olema ühene, siis

kitsendasime siinusfunktsiooni määramispiirkonda. Pöördfunktsiooniks on xy arcsin= , kusjuures [ ]1;1−=X ja [ ]22 ; ππ−=Y .

Kui funktsioon puhul näiteks 111 )( yxfx =→ ja 122 )( yxfx =→ ehk erinevatele argumendi väärtustele vastab üks ja sama funktsiooni väärtus, siis pöördfunktsioon ei ole ühene, vaid mitmene funktsioon. Näide 3. Vaatame funktsiooni 2xy = , RX = ja [ [+∞= ;0Y . Selle funktsiooni pöördfunktsiooniks on kahene

funktsioon xy ±= [ [+∞= ;0X ja RY = . Pöördfunktsioon koosneb kahes harust xy = ja

xy −= .

y = x0,5

y = -x0,5

y = x2

Ühese pöördfunktsiooni oleksime saanud juhul kui oleks esialgse funktsiooni 2xy = määramispiirkonnaks võtnud [ [+∞= ;0X .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Elementaarfunktsioonid

1

§ 1. 5. Elementaarfunktsioonid.

Põhilised elementaarfunktsioonid on 1) Konstantne funktsioon y c=

y = c

2) Astmefunktsioon:

ny x= RX = .

y = x2

y=x4

y = x8

y = x3

y = x5

3) Eksponentfunktsioon xy a= ( )0 1a a> ∧ ≠ , graafikul on asümptoot 0y = . RX = . ( )∞= ;0Y


2

y = ax a >1 y = ax

0 < a < 1

4) Logaritmfunktsioon

logay x= ( )0 1a a> ∧ ≠ , graafikul on asümptoot 0x = . ( )0 ;X = ∞ . RY =

y = logax a > 1

y = logax 0 < a < 1

1

5) Siinusfunktsioon

siny x= , graafikuks on sinusoid, paaritu funktsioon, periood on 2π . RX = , [ ]1;1−=Y .

y = sinx

6) Koosinusfunktsioon


3

cosy x= , graafikuks on sinusoid, paarisfunktsioon, periood on 2π . RX = , [ ]1;1−=Y

y = cosx

7) Tangensfunktsioon

tany x= , graafikuks on tangensoid, paaritufunktsioon, periood on π .

,2

X x x n nπ π = ≠ + ∈

� , RY =

y = tanx

8) Kootangensfunktsioon

xy cot= , graafikuks on kootangensoid, paaritufunktsioon, periood on π . { } ZnnxxX ∈≠= , π ,

RY =


4

y = cotx

9) Arkussiinusfunktsioon

arcsiny x= , paaritu funktsioon. [ ]1 ; 1X = − , ;2 2

Yπ π = −

.

y = arcsinx

10) Arkuskoosinusfunktsioon

arccosy x= . [ ]1 ; 1X = − , [ ]0 ;Y π= .


5

y =arccosx

11) Arkustangensfunktsioon

arctany x= , paaritu funktsioon. RX = , ;2 2

Yπ π = −

.

y =arctanx

12) Arkustangensfunktsioon xarcy cot= RX = , ( )π;0=Y Funktsioone, mis moodustatakse põhielementaarfunktsioonides lõpliku arvu artmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel nimetatakse elementaarfunktsioonideks.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni parameetriline kuju.

1

§ 1. 5. Funktsiooni parameetriline kuju. Olgu antud funktsioon parameetriliste võrranditega

==

)()(

tyy

txx, (1)

kusjuures parameeter [ ]bat ;∈ . Andes parameetrile t mingi väärtuse 0tt = saame seosest (1) arvutada )( 00 txx = ja )( 00 tyy = . Saame mingi punkti );( 00 yxP xy tasandil. Igale parameetri [ ]bat ;∈ väärtusele vastab mingi punkt tasandil. Saadud punktid esitavad seose (1) abil xy tasandil mingi joone.

t b

t0 a

P(x0; y0)

A

B

Näide 1. Olgu d ringjoone diameeter ja C ringjoone pikkus, siis võime diameetri esitada ringjoone pikkuse funktsioonina dC π= . Koostame selle funktsiooni parameetrilised võrrandid, kasutades parameetrina ringjoone raadiust r.

Saame

==

rC

rd

π22

, kusjuures 0>r .

Näide 2.

Olgu antud funktsioon parameetrilisel kujul

+=+=

ty

tx

423

.

Koostame parameetrile t väärtusi andes tabeli.

t 0 1 -4 -2 x 3 5 -5 -1 y 4 5 0 2

Teeme joonis, kandes saadud punktid graafikule. Antud võrrandid esitavad sirget võrrandiga

052 =+− yx .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni parameetriline kuju.

2

Näide 3. Vaatame ringjoont raadiusega r. Märgime ringjoonele punkti

);( yxM , tõmmates telgedega paralleelsed lõigud saame täisnurkse kolmnurga kaatetitega x ja y ning hüpotenuusiga r. Kasutades täisnurkse kolmnurga trigonomeetriat saame

ry

t =sin ja rx

t =cos .

Viimastest seostest saame ringjoone parameetrilised võrrandid

==

try

trx

sincos

, kusjuures [ ]π2;0∈t

t

y r

x

M(x; y)

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni piirväärtus

1

2. Piirväärtus ja pidevus.

§ 2.1. Funktsiooni piirväärtus. Näide 1. Leida funktsiooni )(tfT = , kus t on aeg ja T temperatuur. Ajahetkel kui t0 = 0, siis temperatuur

0100=T . Kui ∞→t , siis 020→T .

1000

200

Definitsioon. Funktsiooni ( )xf piirväärtuseks nimetatakse arvu A, kui argumendi x lähenemisel arvule a funktsiooni väärtused lähenevad arvule A.

Piirväärtust tähistatakse Axfax

=→

)(lim .

Seega näite 1. korral võiksime kirjutada 20)(lim =∞→

tft

.

Definitsioon. Funktsiooni ( )xf piirväärtuseks kohal a nimetatakse arvu A, kui punkti A iga ümbruse U puhul leidub niisugune punkti a ümbrus u, et argumendi x muutumisel ümbruses u funktsiooni ( )xf väärtused muutuvad ümbruses U.

Funktsiooni piirväärtusel on järgmised omadused Kui ( ) Axf

ax=

→lim ja ( ) Bxg

ax=

→lim , siis

1) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

± = ± = ±� �� ;

2) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

⋅ = ⋅ = ⋅� �� ;


2

3) ( )( )

( )( )

limlim = , kui 0

limx a

x ax a

f xf x AB

g x g x B→

→→

= ≠ ;

4) ( ) ( )lim limx a x a

cf x c f x cA→ →

= =� �� .

Piirväärtuse omadused kehtivad ka juhul, kui ∞→x .

Eksisteerivad ka ühepoolsed piirväärtused: Vasakpoolne piirväärtus )(lim xf

ax −→ ja parempoolne piirväärtus )(lim xf

ax +→.

Selleks, et leiduks kahepoolne piirväärtus, peavad leiduma mõlemad ühepoolsed piirväärtused ja nad peavad olema võrdsed ehk

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax −→+→→

== .

Näide 2. Leida funktsiooni xy ln= piirväärtus kui 0→x . Leiame jooniselt ühepoolsed piirväärtused −∞=

+→x

xlnlim

0, x

xlnlim

0−→ puudub. Seega puudub ka

kahepoolne piirväärtus.

Näide 3.

Leida funktsiooni xy tan= piirväärtus kui 2π→x .

Leiame jooniselt ühepoolsed piirväärtused −∞=+

→

xx

tanlim

2π

, +∞=−

→

xx

tanlim

2π

. Kuna ühepoolsed

piirväärtused on erinevad puudub kahepoolne piirväärtus.


3

Näide 4. Leida funktsiooni xy sin= piirväärtus kui +∞→x . Jooniselt selgub, et funktsioon võngub –1 ja 1 vahel ehk on tõkestatud, kuid ühelegi kindlale suurusele ta ei lähene, seega piirväärtust ei leidu.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Kaks olulist piirväärtust.

1

§ 2.2. Kaks olulist piirväärtust. Matemaatilise analüüsi kaks tähtsat piirväärtust:

( ) exx

x=+

→

1

01lim ehk

1lim 1 2,7182...

x

xe

x→∞

+ = = (1)

0

sinlim 1 sin , kui 0x

xx x x

x→= ⇒ →� . (2)

Arvutades x

xx

sinlim

0→ saame määramatuse

00

.

Põhjendame valemi (2) kehtivust.

Vaatame funktsiooni x

xxf

sin)( = , mis on paarisfunktsioon, seega võtame

20

π<< x .

Olgu xBD sin= , xAC tan= ja x – nurk radiaanides. Kehtib võrratus

OACOABOAB SSS ∆≤≤∆ . (3)

Arvestame sektori pindala valemiga 2

2 α⋅= RS , kus R on

raadius ja α nurk radiaanides. Valemist (3) saame

222ACOAxDBOA ⋅≤≤⋅

.

Asendades

sinx2

2

tan22

sin ⋅≤≤ xxx,

cos

1sin

1xx

x ≤≤ ,

xx

xcos

sin1 ≥≥ .

Kuna 11lim0

=→x

ja 1coslim0

=→

xx

, siis

1sin

lim10

≥≥→ x

xx

,

1sin

lim0

=→ x

xx

.

x

C

B

A D O

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni pidevus.

1

§ 2.3. Funktsiooni pidevus.

Näide 1.

Vaatame funktsiooni x

xy

sin= punkti 0=x ümbruses. Vaatame joonist.

y = sinx

x

Leidub piirväärtus 1sin

lim0

=→ x

xx

, kuid ei leidu funktsiooni väärtust )0(f .

Kui 1)0( =f , siis )0(sin

lim0

fx

xx

=→

. Viimane tingimus annabki pidevuse tunnuse.

Definitsioon. Funktsiooni nimetatakse pidevaks kohal a kui kehtivad järgmised tingimused: 1) funktsioon on määratud kohal a ehk )(af∃ , 2) funktsioonil leidub kohal a lõplik piirväärtus ehk )(lim xf

ax→∃ ,

3) funktsiooni väärtus võrdub piirväärtusega )()(lim afxfax

=→

.

Tingimused 1) – 3) võib kokku võtta järgmise valemiga )()(lim afxf

ax=

→. (1)

Definitsioon. Funktsiooni nimetatakse pidevaks piirkonnas X , kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Näide 2.

Selgitame funktsiooni x

y1= pidevust kohal 0=x ja 2=x .

)0(f väärtus puudub, järelikult tingimus 1) ei kehti kohal 0=x funktsioon ei ole pidev.

21

)2( =f ; 211

lim2

=→ xx

, seega )2(1

lim2

fxx

=→

ning funktsioon on pidev kohal 2=x .

Anname nüüd valemile (1) teise kuju, mille abil on lihtsam pidevust kontrollida. Valemist (1) saame [ ] 0)()(lim =−

→afxf

ax.

Võttes xax ∆+= , siis 0→∆x ja ax → , seega [ ] 0)()(lim

0=−∆+

→∆afxaf

x.

Tähistame )()( afxafy −∆+=∆ ning saame

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni pidevus.

2

0lim0

=∆→∆

yx

, (2)

kus x∆ on argumendi muut ja y∆ on funktsiooni muut. Tingimuse (2) saame sõnastada järgmise teoreemina. Teoreem 1. Funktsioon )(xfy = on pidev parajasti siis, kui argumendi muut lähenemisel nullile funktsiooni muut läheneb nullile. Näide 2. Kontrollime kas funktsioon xy sin= on pidev. Kasutame tingimust (2), moodustades funktsiooni muudu axaxaaxay sinsincoscossinsin)sin( −∆+∆=−∆+=∆ . Arvutame piirväärtuse 0)sinsincoscos(sinlimlim

00=−∆+∆=∆

→∆→∆axaxay

xx, sest 1cos =∆x ja

0sin =∆x . Teoreem 2. Kui funktsioonid )(xfy = ja )(xgy = on pidevad kohal a, siis on pidevad ka funktsioonid: 1) )()( xgxf ± 2) )()( xgxf ⋅

3) )()(

xgxf

, kui 0)( ≠xg

on pidev parajasti siis, kui argumendi muut lähenemisel nullile funktsiooni muut läheneb nullile. Teoreem 3. Liitfunktsioon ))(( xgfy = on pidev kui tema koostisosad on pidevad. Teoreem 4. Elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni katkevuspunktid

1

§ 2.4. Funktsiooni katkevuspunktid Definitsioon. Funktsiooni nimetatakse katkevaks kohal a kui ta ei ole pidev kohal a. Seega on funktsioon katkev, kui pole täidetud vähemalt üks kolmest pidevuse tingimusest. 1) Ei leidu funktsiooni väärtust )(af . 2) Ei leidu funktsiooni piirväärtust )(lim xf

ax→.

3) Funktsiooni väärtus ei võrdu piirväärtusega )()(lim afxfax

≠→

.

Olgu funktsioonil y = f(x) kohal x = a katkevuspunkt. Katkevuspunkti liigi selgitamiseks on vajalik arvutada ühepoolsed piirväärtused

Axfax

=+→

)(lim (1)

ja Bxf

ax=

−→)(lim (2).

Kui leiduvad lõplikud piirväärtused (1) ja (2), siis kohal x = a on funktsioonil esimest liiki katkevuspunkt. Esimest liiki katkevuspunkt omakorda jaguneb kaheks: 1) kõrvaldatava katkevusega katkevuspunkt, kui A = B; 2) hüppekoht, kui BA ≠ .

Kui vähemalt üks piirväärtustest (1) ja (2) ei eksisteeri või nad on lõpmatud siis kohal x = a on funktsioonil teist liiki katkevuspunkt. Teist liiki katkevuspunkit tingimused ±∞=

+→)(lim xf

ax või ±∞=

−→)(lim xf

ax.

Näide 1.

Leida funktsiooni 8

4−

=x

y katkevuspunktid

ja selgitada nende liik. Teha joonis. Funktsiooni katkevuspunktiks on 8=x . Selgitame katkevuse liigi arvutades ühepoolsed piirväärtused

+∞=−+→ 84

lim8 xx

ja −∞=−−→ 84

lim8 xx

.

Funktsioonil on kohal 8=x teist liiki katkevuspunkt.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni asümptoodid

1

§ 2.5. Funktsiooni asümptoodid.

Funktsiooni asümptoodid on üheks piirväärtuse rakenduseks. Definitsioon. Sirget nimetatakse joone )(xfy = asümptoodiks kui joone punkti P lähenemisel lõpmatusse punkti P kaugus sirgest läheneb nullile. Funktsioonil võib olla kahte liiki asümptoote. 1) Kaldasümptoodid. Kaldasümptoodi võrrand on bkxy += ja kui asümptoot on risti x – teljega siis by = . Kuidas leida kaldasümptoodi võrrandis tõusu k ja algordinaati b? Kuna definitsiooni järgi joone punkti P kaugus asümptoodist hakkab lähenema nullile kui ∞→P , siis saame 0lim =

∞→PQ

P, millest 0lim =

∞→PA

x.

Arvestades, et )()( bkxxfPA +−= saame 0))((lim =−−

∞→bkxxf

x (1)

0))(

(lim =−−∞→ x

bk

xxf

x

xxf

kx

)(lim

∞→= . (2)

Valemist (1) saame avaldada algordinaadi ))((lim kxxfb

x−=

∞→ (3)

Võrrand bkxy += esitab funktsiooni kaldasümptooti, kui (2) ja (3) on lõplikud piirväärtused. Kuna asümptoot võib eksisteerida ka punkti −∞→P , siis k ja b arvutamisel tuleb arvestada ka protsessiga −∞→x . Juhul kui tõus 0=k on tegemist horisontaal ehk rõhtasümptoodiga, mis on paralleelne y teljega. 2) Püst- ehk vertikaalasümptoodid. Püstasümptoot saab funktsioonil olla vaid siis kui tal eksisteerib katkevuspunkte. Definitsiooni järgi kui ∞→P siis 0→PQ . Saame tingimuse ±∞=

+→)(lim xf

ax või ±∞=

−→)(lim xf

ax

Q P

x = a y = f(x)

y = f(x)

y = kx + b P

Q A

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni tuletise mõiste. Tuletise füüsikaline tähendus

1

3. Tuletis ja diferentsiaal.

§ 3.1. Funktsiooni tuletise mõiste. Tuletise füüsikaline tähendus.

Olgu antud funktsioon ( )xfy = . Anname argumendile x muudu x∆ . Saame uue argumendi väärtuse xx ∆+ ning funktsiooni muut avaldub kujul ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ . �x

y = f(x)

f(x)

f(x + �x) – f(x)

x + �x x

�x

�y

Definitsioon. Funktsiooni ( )xfy = tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu y∆ ja argumendi muudu

x∆ suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. Et funktsiooni muut ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ , siis

( ) ( ) ( )x

xfxxfxy

xfxx ∆

−∆+=∆∆=′

→∆→∆ 00limlim .

Funktsiooni tuletise tähised on ( ), , , x

dyy f x y

dx′ ′ ′ .

Diferentsiaalarvutuse rajasid täiesti sõltumatult inglise matemaatik ja füüsik I.Newton (1643-1727) ja saksa matemaatik G.W. Leibniz (1646-1716). Kaasaegse tuletise sümboolika ( )xf ′ võttis kastusele prantsuse matemaatik Lagrange (1736-1813),

kusjuures Leibnizi kasutas järgmist sümboolikat dx

xdfdxdy )(= .

Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Kui funktsioonil leidub tuletis, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv. Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus. Olgu antud teepikkuse funktsioon, mis sõltub ajast )(tss = . Olgu t∆ ajamuut ja )()( tsttss −∆+=∆ teepikkuse muut.

Keskmise kiiruse saame kui ts

v∆∆=∆ . Kui liikumine on ühtlane, siis viimane tulemus iseloomustab ka

hetkkiirust.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni tuletise mõiste. Tuletise füüsikaline tähendus

2

Mitte ühtlase liikumise korral saame hetkkiiruse kui läheneme ajamuuduga nullile, ehk ts

vt ∆

∆=→∆ 0

lim .

Arvestades tuletise definitsiooni saame )(lim0

tsts

vt

′=∆∆=

→∆.

Seega )(tsv ′= ehk hetkkiirus on teepikkuse tuletis aja järgi. Siit saame olulise tunnuse tuletise jaoks üldiselt, nimelt funktsiooni tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirust.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tuletise ja pidevuse vahekord

1

§ 3.2. Tuletise ja pidevuse vahekord.

Olgu funktsioon )(xfy = , mis on diferentseeruv s.t tal leidub tuletis.

Tuletise definitsiooni järgi siis kehtib seos yxy

x′=

∆∆

→∆ 0lim .

Selgitame kas funktsioon )(xfy = on pidev. Kontrollime pidevuse tingimust 0lim

0=∆

→∆y

x.

Saame

=∆⋅∆∆=∆⋅

∆∆=∆

→∆→∆→∆→∆x

xy

xxy

yxxxx 0000limlimlimlim (kasutame siin piirväärtuse tehetega seotud omadusi),

00limlim00

=⋅′=∆⋅∆∆=

→∆→∆yx

xy

xx (kasutame tuletise definitsiooni).

Saime tulemuseks, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Teoreem. Kui funktsioonil )(xfy = leidub mingis punktis lõplik tuletis, siis funktsioon on pidev selles punktis. Antud teoreemi pöördteoreem ei kehti. Kui funktsioon )(xfy = on pidev, siis sellest ei järeldu, et funktsioonil leiduks lõplik tuletis. Vaatame mõningaid näiteid Näide 1. Olgu antud funktsioon 3xy = . Arvutades funktsiooni muudu

3223322333 3333)( xxxxxxxxxxxxxxxy ∆+∆+∆=−∆+∆+∆+=−∆+=∆ . Kas tuletis eksisteerib?

( ) 222

003

33limlim x

xxxxxx

xy

yxx

=∆

∆+∆+∆=∆∆=′

→∆→∆, seega funktsioonil leidub lõplik tuletis.

Seega nüüd funktsioon peaks olema ka pidev. Tõepoolest 0lim

0=∆

→∆y

x ning funktsioon 3xy = on pidev.

Näide 2.

Olgu antud funktsioon 3 2xy = . Kontrollime pidevust kohal 0=x , arvutades funktsiooni muudu

3 20

3 23 2)( xxxxy x ∆=−∆+=∆ = .

Seega 0lim0

=∆→∆

yx

ja funktsioon on pidev.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tuletise ja pidevuse vahekord

2

Arvutame tuletise kohal 0=x

∞=∆

=∆∆=

∆−∆+

=∆∆=′

→∆→∆→∆→∆ 30

3 2

0

3 23 2

00

1limlim

0)0(limlim

xxx

x

x

xy

yxxxx

.

Lõpliku tuletist ei leidu, kuigi funktsioon oli pidev. Näide 3.

Olgu antud funktsioon [ ]( ]

∈−∈

=2;1 kui ,121;0 kui ,

)(xx

xxxf .

Arvutame tuletise kohal 1=x . 1) Olgu 0<∆x , siis

111

lim)1()1(

limlim000

=∆

−∆+=∆

−∆+=∆∆=′

→∆→∆→∆ xx

xfxf

xy

yxxx

1) Olgu 0>∆x , siis

2)12(122

lim)1()1(

limlim000

=∆

−−−∆+=∆

−∆+=∆∆=′

→∆→∆→∆ xx

xfxf

xy

yxxx

Kuna ühepoolsed piirväärtused on erinevad, siis kahepoolset piirväärtust ei leida, samuti ei leidu ka tuletist kohal 1=x . Funktsioon on pidev, sest kui 1) 0<∆x , siis xy ∆=∆ 2 , 2) 0>∆x , siis xy ∆=∆ . Pidevuse tunnuse põhjal mõlemal juhul 0lim

0=∆

→∆y

x ja funktsioon on pidev.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tuletise tehetega seotud omadused.

1

§ 3.3. Tuletise tehetega seotud omadused.. Olgu antud funktsioonid )(xuu = ja )(xvv = . Funktsioonide muudud avalduvad järgmiselt )()( xuxxuu −∆+=∆ ja )()( xvxxvv −∆+=∆ . Avaldame järgmised suurused

uuxxu ∆+=∆+ )( ja vvxxv ∆+=∆+ )( . Lihtsuse mõttes tähistame funktsioone lühidalt tähtedega u ja v.

Teoreem 1. Kui funktsioonidel u ja v leiduvad lõplikud tuletised u′ ja v′ , siis leidub ka tuletis nende summast )( ′+ vu , kusjuures kehtib valem vuvu ′+′=′+ )( . Teoreem 2. Kui funktsioonidel u ja v leiduvad lõplikud tuletised u′ ja v′ , siis leidub ka tuletis nende korrutisest )( ′⋅ vu , kusjuures kehtib valem vuvuvu ′⋅+⋅′=′⋅ )( .

Järeldus 1. Konstantse teguri võib tuua tuletise märgi ette ehk ( ) ucuc ′⋅=′⋅ . Järeldus 2. Kui funktsioonidel u ja v leiduvad lõplikud tuletised u′ ja v′ , siis leidub ka tuletis nende vahest )( ′− vu , kusjuures kehtib valem vuvu ′−′=′− )( . Teoreem 3. Kui funktsioonidel u ja v leiduvad lõplikud tuletised u′ ja v′ ja 0≠′v , siis leidub ka

tuletis nende jagatisest ′

vu

, kusjuures kehtib valem 2v

vuvuvu ′⋅−⋅′=

′

.

Järeldus 3. Kui funktsioonil v leidub lõplik tuletis 0≠′v siis leidub ka tuletis ′

v1

kusjuures kehtib

valem 2

1v

vv

′−=

′

.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis

1

§ 3.4. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis.

Olgu antud funktsioonid )(ufy = ja )(xgu = . Saame liitfunktsiooni ))(( xgfy = . Teoreem 1. Kui funktsioonidel )(xg ja )(uf leiduvad lõplikud tuletised kohtadel x ja )(xg , siis liitfunktsioonil ))(( xgfy = leidub lõplik tuletis kohal x, kusjuures

[ ] )())(())(( xgxgfxgfy ′⋅′=′=′ . Märkus. Teoreem 2 kehtib ka siis kui liitfunktsioon koosneb rohkem kui kahest komponendist. Näide 1. Arvutame funktsiooni 3 tan xy = tuletise.

Olgu 3 uy = , kus xu tan= , seega

23 2232

32

32

31

)(cos)(tan

131

)(cos1

)(tan31

)(tan31

31

xxxxxuuuuy =⋅=′⋅=′⋅=

′

=′

−−−

Näide 2. Arvutame funktsiooni 22 )(sin xy = tuletise.

Olgu 2uy = , kus tu sin= , kus 2xt = .

Arvutame tuletise =⋅⋅=′⋅⋅=′⋅′⋅=′⋅=′ xtuxtuttuuuy 2cos2)(cos2)(sin22 2 222222 2sin2cossin42cossin22cossin2 xxxxxxxxxxt =⋅=⋅⋅=⋅⋅= .

Olgu antud funktsioon )(xfy = ja tema pöördfunktsiooni )(yx ϕ= . Teoreem 2. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil )(xf on kohal x nullist erinev tuletis )(xf ′ , siis pöördfunktsioonil )(yϕ on kohal y tuletis )(yϕ′ , mis avaldub kujul

)(1

)(xf

y′

=′ϕ .

Näide 3. Arvutame funktsiooni 2xy = pöördfunktsiooni yx = tuletise, määramispiirkonnaga ] [+∞= ;0X .

( )yxx

y2

121

)(12

==′

=′

.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Elementaarfunktsioonide tuletised

1

§ 3.5. Elementaarfunktsioonide tuletised. Esitame põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised

0c′ =

( ) 1x xα αα −′ =

( ) 12

xx

′ =

2

1 1x x

′ = −

( ) lnx xa a a′ =

( )x xe e′ =

( ) 1log

lna xx a

′ =

( ) 1ln x

x′ =

( )sin cosx x′ =

( )cos sinx x′ = −

( ) 2

1tan

cosx

x′ =

( ) 2

1cot

sinx

x′ = −

( )2

1arcsin

1x

x′ =

−

( )2

1arccos

1x

x′ = −

−

( ) 2

1arctan

1x

x′ =

+

21

1)cot(

xxarc

+−=′

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tuletise geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrandid.

1

§ 3.6. Tuletise geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrandid.

Näide 1. Tuletame koolimatemaatikast meelde ringjoone puutuja mõistet.

Ringjoone puutujaks on sirge, millel on ringjoonega üks ühine punkt.

Näide 2. Vaatame funktsiooni xy sin= graafikut.

� �

y = 1 2 x = �

Sirgel 2π=x on funktsiooniga xy sin= üks ühine punkt, kuid ta ei ole funktsioonile puutujaks.

Seevastu sirgel 1=y on funktsiooniga xy sin= lõpmata palju ühiseid punkte, kuid ta on ometi puutujaks.

Seetõttu vajaksime uut puutuja definitsiooni. Joone puutuja defineerimisel kasutame piirväärtust. Võtame joonele kaks punkti P ja Q ning saame lõikaja.

P

Q

Definitsioon. Joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja PQ piirseisu , kui punkt Q läheneb piiramatult mööda joont punktile P.


2

�x

�y y

x x + �x

y + �y

��

��

��

Q

P

Tähistame );( yxP ja );( yyxxQ ∆+∆+ .

Täisnurkse kolmnurga trigonomeetrias saame xy

∆∆=αtan .

Kui PQ → , siis 0→∆x ja βα =→∆ 0

limx

.

)(limtanlimtan00

xfxy

xx′=

∆∆==

→∆→∆αβ ,

)(tan xf ′=β , et βtan=k , siis )(xfk ′= .

Funktsiooni tuletis kohal x on võrdne funktsiooni graafiku puutuja tõusuga antud kohal.

Funktsioonil on puuutja antud punktis, kui funktsioonil leidub selles punktis tuletis.

Kui funktsioonil ei ole lõpliku tuletist ehk tuletis on lõpmatu, siis funktsiooni puutuja on paralleelne

y-teljega.

Joonele ( )xfy = punktis ( )00 ; yxM tõmmatud puutuja võrrand on

( )00 xxkyy −⋅=− ,

kus puutuja tõus ( )0 tank f x α′= = .

Seega saame puutuja võrrandiks ( )00 )( xxxfyy −′=− . Definitsioon. Joone normaaliks antud punktis nimetatakse sirget, mis läbib seda punkti ja on risti puutujaga selles punktis. Olgu normaali tõus 1k . Kuna normaal on puuutjaga risti, siis 11 −=⋅ kk , avaldades normaali tõusu

kk

11

−= .


3

Normaali võrrand on ( )00 )(1

xxxf

yy −′

−=− .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Kõrgemat järku tuletised. Teise tuletise füüsikaline tähendus

1

§ 3.7. Kõrgemat järku tuletised. Teise tuletise füüsikaline tähendus.

Olgu funktsioonil )(xfy = lõplik tuletis )(xf ′ , siis )(xf ′ on samuti argumendi x funktsioon. Diferentseerides seda funktsiooni )(xf ′ saamegi funktsiooni teise tuletise. Definitsioon 1. Funktsioonil )(xfy = teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse funktsiooni tuletise tuletist. Teist järku tuletist ja tähistatakse y ′′ või )(xf ′′ . Seega )()( xfyy ′′=′′=′′ . Definitsioon 2. Funktsioonil )(xfy = kolmandat järku tuletiseks ehk kolmandaks tuletiseks nimetatakse funktsiooni teise tuletise tuletist. Tähistatakse )()( xfyy ′′′=′′′=′′′ . Definitsioon 3. Funktsioonil )(xfy = n järku tuletiseks nimetatakse funktsiooni 1−n järku tuletise tuletist. Tähistatakse )()( )()1()( xfyy nnn =′= − . Seega kõrgemat järku tuletise märkimisel tuleb astmenäitaja panna sulgudesse. Märkus. Selleks, et funktsioonil leiduks n järku tuletis, peavad eksisteerima kõik madalamat järku tuletised. Näide 1. Arvutame funktsiooni 6xy = kümnenda tuletise. Selleks arvutame kõik madalamat järku tuletised

56xy =′ , 430xy =′′ , 3120xy =′′′ , 2)4( 360xy = , xy 720)5( = , 720)6( =y , 0... )10()7( === yy . Teise tuletise füüsikaline tähendus. Olgu antud teepikkuse funktsioon, mis sõltub ajast )(tss = . Esimese tuletise füüsikalisest tähendusest teame, et )(tsv ′= . Olgu t∆ ajamuut ja )()( tsttsv ′−∆+′=∆ kiiruse muut.

Keskmine kiirendus avaldub järgmiselt t

tsttstv

a∆

′−∆+′=

∆∆=∆ )()(

.

Kui liikumine on ühtlane, siis tv

∆∆

iseloomustab ka hetkkiirendust.

Mitte ühtlase liikumise korral saame hetkkiirenduse kui läheneme ajamuuduga nullile, ehk

ttstts

tv

att ∆

′−∆+′=

∆∆=

→∆→∆

)()(limlim

00.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Kõrgemat järku tuletised. Teise tuletise füüsikaline tähendus

2

Arvestades tuletise definitsiooni saame )()(lim0

tstvtv

at

′′=′=∆∆=

→∆.

Seega )(tsa ′′= ehk hetkkiirendus on funktsiooni teise tuletise füüsikaline tähendus.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni diferentsiaal.

1

§ 3.8. Funktsiooni diferentsiaal. Olgu antud funktsioon )(xfy = . Kui funktsioonil )(xfy = leidub tuletis, siis

( )xfxy

x′=

∆∆

→∆ 0lim . (1)

( )xfxy ′→

∆∆

, kui 0→∆x , seega

( ) α+′=∆∆

xfxy

(2)

ehk ( )xf ′ erineb mingi lõpmata väikese suuruse α poolest. Järelikult 0→α , kui 0→∆x , saame

( ) xxxfx ∆⋅+∆⋅′=∆ α . (3) Definitsioon. Avaldist ( ) xxf ∆⋅′ nimetatakse funktsiooni )(xfy = diferentsiaaliks ja tähistatakse

( ) xxfdy ∆⋅′= . (4) Kui xy = , siis xdxdy ∆⋅== 1 . Seega võime argumendi muudu lugeda võrdseks argumendi diferentsiaaliga xdx ∆= . Asendades viimase tulemuse valemisse (4) saame

( ) dxxfdy ⋅′= . (5) Funktsiooni diferentsiaal on võrdne funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutisega. Näide 1. Arvutame funktsiooni xy 3tan= diferentsiaali.

dxx

dy3cos

32

=

Arvestades valemiga (3) saame uue seose

dyy ≈∆ , (6) mille põhjal funktsiooni muut on ligikaudselt võrdne funktsiooni diferentsiaaliga. Näide 2. Leida funktsiooni dy ja y∆ , kui 2xy = ning 1,0=∆x ,

10=x . Arvutame 22)()( xxxxfxxfy ∆+⋅∆=−∆+=∆ ja xxdy ∆⋅= 2 . Asendame arvulised väärtused

01,21,01,0102 2 =+⋅⋅=∆y ja 21,0102 =⋅⋅=dy . Seega 01,0=−∆ dyy . Antud näidet illustreerib hästi ka joonis.

x2 x

x �x

�x x�x

x�x

�x2

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni diferentsiaal.

2

Arvestades, et funktsiooni muut avaldub järgmiselt )()( xfxxfy −∆+=∆ , saame kasutades valemid (5) ja (6), et

xxfxfxxf ∆′≈−∆+ )()()( , millest xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()()( .

Võttes 0xx = saame xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()()( 000 . (7)

Valemit (7) kasutatakse ligikaudses arvutustes. Näide 3. Arvutada diferentsiaali abil ligikaudu avaldise 96,15 väärtus.

Funktsioon mida kasutame on xy = . Antud funktsiooni väärtust on hea leida kui 160 =x , siis

04,0−=∆x . Arvutame funktsiooni tuletise x

y2

1=′ .

Kasutame valemit (7) 995,3005,0416204,0

1696,15 =−=−≈ .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Diferentsiaali geomeetriline tähendus.

1

§ 3.9. Diferentsiaali geomeetriline tähendus. Olgu antud funktsioon )(xfy = .

��

��

C

dy

B

A

y = f(x)

P

�y

�x

x + �x x Funktsiooni )(xfy = diferentsiaali avaldub järgmiselt ( ) xxfdy ∆⋅′= . (1) Eespoolt teame, et

( ) αtan==′ kxf . (2) Jooniselt

APAB=αtan , (3)

millest APAB ⋅= αtan . (4)

Kuna xAP ∆= , siis valemist (4) seose (2) põhjal saame xxfAB ∆⋅′= )( . (5)

Valemitest (1) ja (6) saame, et dyAB = , seega funktsiooni diferentsiaalile dy vastab lõigu AB pikkus ehk puutuja ordinaadi muut. Geomeetriliselt kujutab funktsiooni diferentsiaal funktsiooni puutuja ordinaadi muutu. Jooniselt on näha, et mida väiksem on x∆ , seda vähem erinevad y∆ ja dy . Seega peab paika ligikaudne võrdus dyy ≈∆ .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Keskväärtusteoreemid

1

4. Tuletise rakendusi.

§ 4.1. Keskväärtusteoreemid.

Teoreem 1 (Rolleí teoreem). Täitku funktsioon y = f(x) järgmisi tingimusi: 1) funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [ ]ba;

2) funktsioon y = f(x) on diferentseeruv vahemikus ( )ba; 3) funktsiooni väärtused otspunktides f(a) ja f(b) on võrdsed.

Sellisel juhul leidub vähemalt üks ( )ba;∈ξ nii, et ( ) 0=′ ξf . Vaatame Rolleì teoreemi geomeetrilist tähendust. Joonestame funktsiooni, mis täidab meie teoreemi eeldusi. Seega olgu meie funktsioon pidev lõigus [ ]3;1 ja diferentseeruv vahemikus ( )3;1 . Samuti olgu f(1) = f(3) = 0. Teoreemi põhjal leidub siis selline ( )3;1∈ξ nii, et ( ) 0=′ ξf . Kuna ( )xf ′ annab meile joone puutuja tõusu kohal x, siis järelikult leidub selline väärtus ξ kus ( ) 0=′ ξf . Viimane aga tähendab, et funktsiooni graafiku puutuja tõus selles punktis ξ on null ehk puutuja on paralleelne x teljega. Meie joonisel 5,1=ξ . Näide 1.

Olgu antud funktsioon 3 21 xy −= lõigul [ ]1;1− . Kontrollime Rolleí teoreemi eeldusi. Funktsioon on pidev lõigul [ ]1;1− . Arvutame funktsiooni tuletise

33

2

xy −=′ .

Tuletist ei leidu, kui x = 0, seega funktsioon ei ole vahemikus ( )1;1− diferentseeruv. Kolmas tingimus, et f(-1) = f(1) = 0 on täidetud. Kuna teine tingimus ei ole täidetud, siis vahemikus ( )1;1− ei leidu sellist ξ väärtust, kus funktsioonil leiduks x-teljega paralleelne puutuja. See on arusaadav ka kui vaadata jooniselt funktsiooni graafikut. Teoreem 2 (Lagrange teoreem). Täitku funktsioon y = f(x) järgmisi tingimusi:

1) funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [ ]ba;

2) funktsioon y = f(x) on diferentseeruv vahemikus ( )ba; . Sellisel juhul leidub vähemalt üks ( )ba;∈ξ nii, et

( )ab

afbff

−−=′ )()(ξ . (1)

Valemit (1) nimetame Lagrange valemiks.

f´(�)=0

�

Kõrgem matemaatika MMA6001 Keskväärtusteoreemid

2

Vaatame Lagrange teoreemi geomeetrilist tähendust. Olgu antud lõigus [ ]ba; funktsioon y = f(x). Olgu ( ))(; afaA ja ( ))(; bfbB .

Kõõlu AB tõus avaldub ab

afbfk

−−== )()(

tanα .

Kuna teoreemi eeldused on täidetud leidub punkt ( )ba;∈ξ , milles funktsioonile tõmmatud puutuja

tõus on sama kui kõõlul AB. Seega lõigu otspunktide A ja B vaheline kõõl on paralleelne joonele punktis ξ tõmmatud puutujaga. Näitame, et Lagrange valem (1) on seotud diferentsiaaliga. Olgu ( )ba;∈ξ , siis ba << ξ , ehk aba −<−ξ . Viimane võrratus muutub võrduseks kui valida selline ( )1;0∈θ . Saame ( )aba −=− θξ ehk ( )aba −+= θξ , kus

( )1;0∈θ . Asendame nüüd viimase tulemuse Lagrange valemisse (1)

( )( )abafab

afbf −+′=−− θ)()(

,

( )( )( )ababafafbf −−+′=− θ)()( , ( )( )( )ababafafbf −−+′+= θ)()( .

Võttes nüüd xxb ∆+= ja xa = saame ( )( )( )xxxxxxxfxfxxf −∆+−∆++′+=∆+ θ)()( ,

( ) xxxfxfxxf ∆∆⋅+′+=∆+ θ)()( , kus ( )1;0∈θ . Tuletame meelde, et ligikaudseks arvutamiseks oli meil valem

( ) xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()( .

f(b)

�

B

b - a A

f(b) - f(a)

b a

f(a)

f(b) f´(�)

Kõrgem matemaatika MMA6001 L`Hospitali reegel

1

§ 4.3. L`Hospitali reegel. Piirväärtuse leidmine mõningatel juhtudel on suhteliselt komplitseeritud ja aeganõudev. Siinkohal me tutvume uue piirväärtuse arvutamise meetodiga, mis kannab L´Hospitali reegli nime. Reegel võimaldab oluliselt lihtsustada siiani arvutatud piirväärtusi ja annab hõlpsast tulemusi ka nendele piirväärtustele mida muidu oleks keeruline arvutada.

L´Hospitali reegel kehtib määramatuste 00

ja ∞∞

kohta ning tema

arutamisel kasutame tuletist. Kuidas täpselt selle reegli järgi toimida seda ütleb järgmine teoreem. Teoreem. Kui 0)(lim =

→xf

ax ja 0)(lim =

→xg

ax või ( ∞=

→)(lim xf

ax ja

∞=→

)(lim xgax

) ning leidub )()(

limxgxf

ax→ ja

)()(

limxgxf

ax ′′

→, siis kehtib valem

)()(

lim)()(

limxgxf

xgxf

axax ′′

=→→

.

Märkus. Kui funktsioonid )(xf ′ ja )(xg ′ täidavad samu eeldusi, mis funktsioonid )(xf ja )(xg , siis võib neile omakorda rakendada L´Hospitali reeglit. Seega vajadusel võib kasutada L´Hospitali reeglit mitu korda järjest

)()(

lim)()(

limxgxf

xgxf

axax ′′′′

=′′

→→.

Näide 1.

61

6cos

lim6

sinlim

3

cos1lim

sinlim

0

´

000

´

0020

´

0030

===−=−→→→→

xxx

x

x

x

xxx

HL

x

HL

x

HL

x.

L´Hospitali reeglit saab kasutada ka teiste määramatuste korral, kui teisendada enne määramatused sobivale kujul, nii nagu nõudis meie teoreem. Vaatame kuidas erinevad määramatused teisenevad 1) Määramatuse "0" ∞⋅ teisendamine.

Olgu yz ⋅lim , kus 0→z ja ∞→y , siis

∞∞===⋅

zy

yzyz

1001

limlimlim .

Näide 2.


2

0limlimln

limlnlim0

´

00

21

1

0

´

1000

=−=−

==+→+→

∞∞+→∞⋅+→

xx

xxx

HL

x

x

x

HL

xxx.

2) Määramatuse "" ∞−∞ teisendamine. Olgu ( )yz −lim , kus ∞→z ja ∞→y , siis

( )0011

11

11lim

11limlim =

��

�

�

��

�

�

⋅

−=

��

�

�

��

�

�

−=−∞−∞∞−∞

yz

zy

yz

yz .

Märgime, et praktilistes arvutustes määramatus "" ∞−∞ teiseneb oluliselt lihtsamalt. Näide 3.

0sincos

limcos

sin1lim

cossin

cos1

limtancos

1lim

2

´

00

222

=−=��

��

� −=��

��

� −=��

��

� −→→∞−∞→∞−∞→ x

xx

xxx

xx

x x

HL

xxx ππππ

.

3) Määramatuste "1" ∞ , "0" 0 ja "" 0∞ teisendamine.

Vaatame avaldisi kujul yz , siis yy zz lnln = ,

zyz y lnln = , zyy ez ln= .

Arvutades mõlemast poolest piirväärtuse saame, eksponentfunktsiooni pidevus tõttu

zyy ez lnlimlim = , zyy ez lnlimlim = .

Seega teisenevad määramatused järgmiselt: "0""1" ⋅∞�∞ ,

"0""0" 0 ∞⋅� ja "0""" 0 ∞⋅�∞ . Määramatuse "0" ∞⋅ teisendamist aga vaatlesime juba eespool. Näide 4.

( )∞→=

1

23

02coslim

x

xx e-6

Arvutame piirväärtuse


3

( ) ( ) ( )=

⋅−⋅==⋅

→→⋅∞→ x

xx

xx

xx

HL

xxx

2

22sin2cos

1

lim32cosln3

lim2coslnlim0

´

2000 00

23

61

22cos

1

lim32tan

lim32

0

´

0 00

−=⋅−

=−=→→

xx

xx

HL

x

Piirväärtuse vastus on e-6.

Märkus. Kui ei leidu piirväärtust )()(

limxgxf

ax ′′

→ , siis see ei tähenda, et ei

leidu piirväärtust )()(

limxgxf

ax→.

Mõnikord ei võimalda L´Hospitali reegli kasutamine leida piirväärtust, kui näiteks tuletiste arvutamisel saame tagasi esialgse avaldise, või ta hakkab teatud sammu tagant korduma. Siis on mõistlik piirväärus arvutada teiste meetoditega. Viimast kinnitab ka järgmine näide. Näide 5.

22

22

22´

tanlimcos2

sin2lim

cos1cos1

limsinsin

lim x

xx

x

xx

HL

x xx

xxxx

∞→∞→∞→∞∞∞→

==+−=

+−

.

Viimasest tulemusest piirväärtust ei leidu. Arvutades antud näidet teisiti saame

1sin

1

sin1

lim)

sin1(

)sin

1(lim

sinsin

lim =+

−=

+

−=

+−

∞→∞→∞∞∞→

xx

xx

xx

x

xx

x

xxxx

xxx.

Märkus. Kasutades L´Hospitali reeglit, ei tohi tuletise võtmisel arvutada murrust jagatise tuletist.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni monotoonsuspiirkonnad

1

§ 4.3. Funktsiooni monotoonsuspiirkonnad. Tuletame meelde funktsiooni monotoonsuse tingimusi. Funktsioon y = f(x) on monotoonselt kasvav kui argumendi väärtuste suurenemisel funktsiooni väärtused suurenevad.

21 xx < � ( ) ( )21 xfxf ≤ Funktsioon y = f(x) on monotoonselt kahanev kui argumendi väärtuste suuremisel funktsiooni väärtused vähenevad.

21 xx < � ( ) ( )21 xfxf ≥ Teoreem. Piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x) on monotoonselt kasvav (kahanev) parajasti siis, kui 0)( 1 ≥′ xf ( 0)( 1 ≤′ xf ). Vaatame esitatud teoreemi geomeetrilist tõlgendust. Joonisel on esitatud kasvav funktsioon, mille puutujad moodustavad x-telje positiivse suunaga teravnurga �. Teravnurga tangens on aga positiivne. Seega 0tan >α ja )(tan xf ′=α . Kokkuvõttes kasvava funktsiooni korral 0)( >′ xf .

P1

P2 P3

1α3α 2α

Samuti saab näidata, et kahaneva funktsiooni korral puutujad moodustavad x-teljega nürinurga ning seetõttu 0)(tan <′= xfα Näide 1.

Leida funktsiooni xxey −= monotoonsuspiirkonnad.

Arvutame funktsiooni tuletise )1()1(1 xeexey xxx −=−⋅+⋅=′ −−− .

Kasvamispiirkonna jaoks saame 0>′y ehk 0)1( >−− xe x . Eksponentfunktsiooni positiivsuse tõttu 01 >− x ehk 1<x . Kuna funktsiooni määramispiirkond on reaalarvude hulk, siis ] [1;∞−↑=X ja ] [+∞↓= ;1X .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid

1

§ 4.4. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid.

Definitsioon. Funktsioonil y = f(x) on kohal a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub selline ümbrus ( )δδ +− aa ; , kus ( ) ( )afxf ≤ ( ( ) ( )afxf ≥ ). Funktsiooni lokaalset maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. Definitsioon. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni y = f(x) statsionaarseks punktiks kui

0)( =′ af . Funktsiooni y = f(x) statsionaarses punktis on funktsiooni graafiku puutuja paralleelne x teljega. Teoreem 1. Kui diferentseeruval funktsioonil y = f(x) on kohal x1 ekstreemum, siis selles punktis on funktsioonil statsionaarne punkt ehk 0)( 1 =′ xf . Tõestus. Oletame, et punktis x1 on funktsioonil maksimum, siis

)()( 11 xfxxf ≤∆+ , 0)()( 11 ≤−∆+ xfxxf .

Vaatame suhet

xxfxxf

xy

∆−∆+

=∆∆ )()( 11 . (1)

Suhte (1) märgi määrab x∆ märk,

kui x∆ < 0, siis 0≥∆∆

xy

,

kui x∆ > 0, siis 0≤∆∆

xy

,

Tuletise definitsiooni arvestades saame seosest (1)

)()()(

limlim 111

00xf

xxfxxf

xy

xx′=

∆−∆+

=∆∆

→∆→∆.

Viimase võrduse jaoks ei ole oluline, kas x∆ on positiivne või negatiivne. Seega

0)( 1 ≥′ xf , (2) kui x∆ < 0 ja

0)( 1 ≤′ xf , (3) kui x∆ > 0. Et )( 1xf ′ on kindel arv, ega sõltu x∆ märgist, siis seostest (2) ja (3) saame 0)( 1 =′ xf . Seega oleme tõestanud teoreemi. Analoogselt saab teoreemi tõestada ka miinimumi kohta. Teoreemi 1 pöördteoreem aga ei kehti. Kui 0)( =′ xf , siis kohal x alati ei tarvitse olla ekstreemumit. Seda kinnitab ka järgmine näide.


2

Näide 1.

Vaatame funktsiooni 3xy = .

Funktsiooni tuletis on 23xy =′ ja statsionaarne punkt kohal x = 0. Antud kohal funktsioonil aga

ekstreemumit ei ole sest, sest kui 0<x , siis 03 <x

ja 0>x , siis 03 >x . Viimased tulemused on aga vastuolus lokaalse ekstreemumi definitsiooniga. Kas funktsioonil võib ekstreemum olla punktides, kus tuletis ei eksisteeri? Vaatame kahte näidet. Näide 2. Olgu antud funktsioon

3 21 xy −= . Funktsiooni tuletis on

33

2

xy −=′ .

Statsionaarseid punkte funktsioonil ei ole, sest tuletis ei võrdu nulliga mitte ühegi

Rx ∈ korral. Kohal x = 0 funktsioonil tuletist ei eksisteeri, kuid ometi on selles punktis lokaalne maksimum, sest 1)( <xf kui x on nullist erinev. Näide 3. Vaatame funktsiooni 3 xy = .

Funktsiooni tuletis on 3 23

1

xy =′ .

Kohal x = 0 funktsioonil tuletist ei eksisteeri ja selles punktis ei ole funktsioonil ka lokaalset ekstreemumit, sest 0<x , siis 0)( <xf ja 0>x , siis

0)( >xf .


3

Definitsioon. Funktsiooni kriitiliseks punktiks nimetatakse punkti, kus funktsioonil on statsionaarne punkt või punkti, kus funktsioonil tuletist ei leidu. Seega kui funktsioonil on punktis ekstreemum, siis see punkt on ühtlasi ka kriitiline punkt. Nüüd on küsimus, millal funktsioon kriitilises punktis omandab ekstreemumi ja millal mitte. Näidetest 2 ja 3 see ei selgunud. Vastuse küsimusele annab järgimine teoreem. Teoreem 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev kriitilises punktis x0, kusjuures x0 vasakpoolses ümbruses

0)( >′ xf ( 0)( <′ xf ), parempoolses ümbruses aga 0)( <′ xf ( 0)( >′ xf ), siis funktsioonil on kohal x0 maksimum (miinimum). Teoreemist selgub, et kui funktsiooni tuletis kriitilise punkti läbimisel muudab märki, siis funktsioonil selles punktis leidub ekstreemum. Tõestus. Oletame, et tuletise märk muutub plussist miinuseks, kui funktsiooni graafik läbib punkti x0. Vaatame x0 vasakpoolset ümbrust );( 00 xxx δ−∈ . Kasutame lõigus [ ]0; xx Lagrange teoreemi,

))(()()( 00 xxfxfxf −′=− ξ , kus );( 0xx∈ξ . (1) Kuna vahemikus );( 00 xx δ− 0)( >′ xf , siis ka 0)( >′ ξf ning 00 >− xx seega seosest (1) saame

0)()( 0 >− xfxf . (2) Vaatame x0 parempoolset ümbrust );( 00 δ+∈ xxx . Kasutame lõigus [ ]xx ;0 Lagrange teoreemi,

))(()()( 00 xxfxfxf −′=− ξ , kus );( 0 xx∈ξ . (3) Kuna vahemikus );( 00 δ+xx 0)( <′ xf , siis ka 0)( <′ ξf ning 00 >− xx seega seosest (3) saame

0)()( 0 <− xfxf (4) Tulemused (2) ja (4) on samad ja seega kui 0xx ≠ , saame et kohal x0 on funktsioonil maksimum. Analoogselt saab näidata, et funktsioonil on kohal x0 miinimum.

Näide 4.

Leida funktsiooni ( ) ( )32 12 −+= xxy lokaalsed ekstreemumid. Arvutame funktsiooni tuletise

( )( ) ( ) ( )223 123122 −++−+=′ xxxxy

( )( ) ( ) ( )[ ]231212 2 ++−−+=′ xxxxy

( )( ) ( )4512 2 +−+=′ xxxy

21 −=x , 12 =x , 54

3 −=x

Arvutame tuletise väärtused kriitilise punkti ümbrustes 0)2( >′f 0)0( >′f 0)1( <−′f


4

0)3( >−′f Seega 21 −=x on maksimum koht,

12 =x ei ole ekstreemum koht,

54

3 −=x on miinimum koht.

Mõnikord on )(xf ′ märgi määramine funktsiooni kuju tõttu kriitilise punkti ümbruses raskendatud ja osutub, et lihtsam on kasutada järgmist teoreemi. Teoreem 3. Funktsioon y = f(x) on statsionaarses punktis x0 lokaalne maksimum kui 0)( 0 <′′ xf ja lokaalne miinimum kui 0)( 0 >′′ xf . Märkus. Viimane teoreem ei võimalda otsustada funktsiooni y = f(x) ekstreemumi küsimust punktis x0 kui

0)( 0 =′′ xf . Sellisel juhul annavad vastuse ekstreemumi olemasolu kohta kõrgemat järku tuletised.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni kumerus ja nõgusus piirkonnad. Käänupunktid.

1

§ 4.5. Funktsiooni kumerus ja nõgusus piirkonnad. Käänupunktid.

Vaatame funktsioone xy ln= ja xey = . Joonestame nende graafikud ja tõmbame puutujad.

Funktsiooni xy ln= puutuja kulgeb igas punktis ülevalpool funktsiooni graafikut ja funktsiooni

xey = puutuja kulgeb omakorda allpool graafikut.

Definitsioon. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer (nõgus) piirkonnas X, kui joone puutuja igas punktis kulgeb ülapool (allpool) seda joont. Näide 1.

Vaatame ruutfunktsiooni cbxaxy ++= 2 . Arvutame funktsiooni esimese tuletise baxy +=′ 2 ja teise tuletise ay 2=′′ .


2

Kui a > 0, siis ka 0>′′y ning ruutfunktsiooni graafik avaneb ülespoole ja on seega nõgus. Kui a < 0, siis ka 0<′′y ning ruutfunktsiooni graafik avaneb allapoole ja on seega kumer.

Teoreem 1. Kui iga Xx ∈ funktsiooni y = f(x) teine tuletis on negatiivne (positiivne), siis funktsioon on selles piirkonnas X kumer (nõgus). Tõestus. Tõestame teoreemi juhul kui funktsioon on kumer. Peame näitama, et kõik joone punktid on puutujast allpool. Võtame x = x0 ja koostame selles punktis puutuja funktsioonile

y = f(x) . (1) Puutuja võrrand on

))(()( 000 xxxfxfy −′+= (2) Lahutame seosest (1) seose (2)

))(()()( 000 xxxfxfxfyy −′−−=− (3) Kasutame vahe )()( 0xfxf − jaoks Lagrange teoreemi, mille põhjal leidub ( )xx ;0∈ξ nii, et

))(()()( 00 xxfxfxf −′=− ξ (4) Asendame seose (4) seosesse (3)

))(())(( 000 xxxfxxfyy −′−−′=− ξ (5) [ ] )()()( 00 xxxffyy −′−′=− ξ (6)

Vahe )()( 0xff ′−′ ξ jaoks kasutame uuesti Lagrange teoreemi, mille põhjal leidub ( )ξξ ;01 x∈ nii, et ))(()()( 010 xfxff −′′=′−′ ξξξ (7)

Asendame seose (7) seosesse (6) ))()(( 001 xxxfyy −−′′=− ξξ (8)

Vaatame juhtumit, kus x > x0 ja xx << ξ0 . Et 00 >− xξ ja 00 >− xx ning teoreemi eelduse tõttu 0)( 1 <′′ ξf , siis seosest (8) saame

0<− yy (9) Vaatame juhtumit, kus x < x0 ja 0xx << ξ . Et 00 <− xξ ja 00 <− xx ning teoreemi eelduse tõttu

0)( 1 <′′ ξf , siis seosest (8) saame 0<− yy (10)

Tulemustest (9) ja (10) saame yy < ehk millised ka x ja x0 ei oleks, funktsiooni väärtused asuvad allpool puutujat. Seega funktsioon on kumer. Samamoodi saab näidata, et funktsioon on nõgus.


3

Vaatame teoreemi geomeetrilist tõlgendust.

P1

P2 P3

1α3α 2α

P1

P2

P3

1α 3α2α

Et αtan)( =′ xf ja 0)( <′′ xf , siis funktsioon )(xf ′ kahaneb. Seega kahaneb ka αtan ning omakorda väheneb α (vt joonis 321 ααα >> ). Kui aga tõusnurk α väheneb, siis puutuja saab asuda ainult ülevalpool joont ja seega funktsioon on kumer. Samamoodi 0)( >′′ xf , siis funktsioon )(xf ′ kasvab ning kasvavad ka αtan väärtused, millest omakorda järeldub tõusnurga α suurenemine (vt joonis 321 ααα << ). Seetõttu on funktsioon nõgus. Definitsioon. Funktsiooni y = f(x) käänupunktiks nimetatakse punkti a, kus funktsioonil on olemas puutuja ja leiduvad sellised punkti a ümbrused ( )aa ;δ− ja ( )δ+aa; , et ühes neist on funktsioon kumer ja teises nõgus.

Näide 2. Leiame funktsiooni 23 3)( xxxf −= kumeruse- ja nõgususepiirkonnad ning käänupunktid.

Arvutame tuletised xxxf 63)( 2 −=′ ja 66)( −=′′ xxf . Saame, et käänupunktiks on K(1;-2) ja

] [+∞=∪ ;1X , ] [1;∞−=∩X .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni globaalsed ekstreemumid

Funktsiooni globaalsed ekstreemumid. Olgu funktsioon y = f(x) pidev lõigul [a; b], siis omandab ta sellel lõigul oma suurima ja

vähima väärtuse. Saadud väärtusi nimetatakse funktsiooni globaalseteks ekstreemumiteks. Suurima ja vähima väärtuse võib funktsioon omandada punktis, kus tal on lokaalne ekstreemum või lõigu otspunktides. Vaatame joonist, lõigul [1; 4] omandab funktsioon y = f(x) lõigu otspunktis x = 1 globaalse maksimumi 5 ja globaalse miinimumi 1 kohal x = 3.

Seega on funktsiooni globaalsete ekstreemumite leidmise eeskiri järgmine: 1) Leiame funktsiooni kõik kriitilised punktid x1, x2, …, xm ja eraldame need, mis kuuluvad lõiku [a; b]. 2) Arvutame funktsiooni väärtused lõiku [a; b] kuuluvates kriitilistes punktides ning lõigu otspunktides. 3) Saadud väärtustest moodustame hulga H = {f(a); f(b); f(x1) , …, f(xm)}. 4) Leiame hulga H minimaalse ja maksimaalse elemendi. Näide 1. Leida funktsiooni 155 345 ++−= xxxy globaalsed ekstreemumid, kui [ ]2;1−∈x . Arvutame funktsiooni tuletise

234 15205 xxxy +−=′ . Leiame statsionaarsed punktid

015205 234 =+− xxx , 0)34(5 22 =+− xxx ,

millest 01 =x , [ ]2;132 −∉=x , 13 =x . Leiame funktsiooni väärtused saadud punktides f(0) = 1, f(1) = 2 ja lõigu otspunktides f(-1) = – 10, f(2) = -7. Saame hulga H = {-10; -7; 1 ; 2}. Vastus:

[ ]2)(max

2;1=

−∈xxf , mille funktsioon omandab punktis 1=x ja

[ ]10)(min

2;1−=

−∈xxf , mille funktsioon

omandab punktis 1−=x .

Näide 2. Leida funktsiooni 2100 xy −= globaalsed ekstreemumid, kui [ ]8;6−∈x . Arvutame funktsiooni tuletise

2100 x

xy

−−=′ .

Funktsiooni statsionaarseks punktiks on 01 =x . Punktid kus tuletist ei eksisteeri on [ ]8;6102 −∉−=x ja [ ]8;6103 −∉=x . Leiame funktsiooni väärtuse saadud punktis f(0) = 10 ja lõigu otspunktides f(-6) = 8, f(8) = 6. Moodustame hulga H = { 6; 8 ; 10}. Vastus:

[ ]10)(max

8;6=

−∈xxf , mille funktsioon omandab punktis 0=x ja

[ ]6)(min

8;6=

−∈xxf , mille funktsioon

omandab punktis 8=x .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Ekstreemumülesanded

1

Ekstreemumülesanded. Ekstreemumülesannete korral on tegemist tekstülesannetega, kus tuleb leida mingi suuruse

maksimum või miinimum. Ülesande tingimuste kohaselt selgub, et otsitav suurus, mille ekstreemumit leiame, sõltub kas kahest või enamast muutujast. Näiteks muutujatest x ja t. Nende abil paneme kirja funktsiooni, mille ekstreemumit otsime );( txfy = . Ülesande tingimustes esineb alati ka konstantne suurus, mis on seotud muutujatega x ja t. Sellest seosest avaldame ühe muutuja teise kaudu. Näiteks avaldub )(xt ϕ= , mille asendame otsitava funktsiooni avaldisse. Saame ühe muutuja funktsiooni

))(;( xxfy ϕ= , mille ekstreemumit asume leidma. Märkus! Sageli tuleb mõned statsionaarsed punktid välja jätta, kuna nad ei sobi konkreetse ülesande algtingimustega.

Näide 1.

Missugune positiivne arv liidetuna tema pöördväärtusega annab minimaalse summa.

Olgu otsitav arv x, siis tema pöördväärtus on x1

. Moodustame saadud arvude summa, mis avaldub

funktsioonina x

xy1+= . Leiame saadud funktsiooni miinimumi.

Arvutame tuletise 2

11

xy −=′ .

Võrdsustame tuletise nulliga

01

2

2

=−x

x.

Kriitiline punkt 01 =x ei sobi ülesande tekstiga. Statsionaarsed punktid 12 −=x ei sobi ülesande tekstiga ja 13 =x .

Seega ainus võimalus 13 =x . Kontrollime ekstreemumi olemasolu teise tuletise abil 3

2x

y =′′ . Et

0)1( >′′f , siis funktsioonil on antud kohal miinimum. Seega arvu 1 ja tema pöördväärtuse summa annab minimaalse tulemuse 2. Näide 2.

Inglismaale saadetavate postipakkide mõõtmed on piiratud Inglise postimäärusega, mille järgi paki pikkuse ja vöö pikkuse summa ei tohi ületada 6 jalga. Missugused mõõtmed on ruudukujulise läbilõikega suurimal karbil, mida veel saab saata Inglismaale, eelmist määrust silmas pidades?

Olgu postipaki pikkus a, kõrgus ja laius b jalga. Kuna paki pikkuse ja vöö pikkuse summa ei tohi ületada 6 jalga, siis maksimaalsel juhul

a + 4b = 6 ehk a = 6 – 4b. Samas postipaki ruumala on

V = ab2.

b

ba

Kõrgem matemaatika MMA6001 Ekstreemumülesanded

2

Seega

32 46 bbV −= . Leiame tuletise

21212' bbV −= . Võrdsustades tuletise nulliga saame b = 1 (b = 0 ei sobi ülesande tekstiga). Arvutame kontrolliks teise tuletise

bV 2412 −=′′ . Kuna 012)1( <−=′′V , siis funktsioonil on kohal b = 1 maksimum. Suurima postipaki mõõtmed mida võib saata Inglismaale on a = 2 ja b = 1 jalga. Näide 3.

Soovitakse ehitada silindrikujulist boilerit mahtuvusega 1000 liitrit. Külje materjal maksab üks kroon dm2, otste materjal kaks krooni dm2. Missuguste mõõtmete puhul on boileri materjalikulud minimaalsed?

Ehitatava silindrikujulise boileri ruumala on V = 1000 liitrit. Seega

πr2h = 1000, millest

10002r

hπ

=

Arvestades seda, et otste materjal hind on 2 korda kallim boileri külje materjali hinnast võime antud silindri täispindala esitada kujul

St = 4Sp + Sk = 4πr2 + 2πrh ehk

r

rS t2000

4 2 += π .

Leiame täispindala St tuletise

2

2000 8'

rrS t −= π ,

Võrdsustades tuletise nulliga saame

314

10

π=r .

Tuletis ei eksisteeri kui 02 =r , mis aga ei sobi ülesande tekstiga. Arvutame teise tuletise

3

4000 8''

rS t += π .

Kuna

03 410'' >

��

�

�

��

�

�

πtS ,

siis mõõtmete 3 4

10

π=r ja

ππ3 2220=h korral on boileri materjalikulu minimaalne.

h r

Kõrgem matemaatika MMA6001 Funktsiooni uurimine

1

§ 4.8. Funktsiooni uurimine.

Keerulisemate funktsioonide graafikute joonestamiseks ei piisa graafiku üksikute punktide teadmisest. Seetõttu on vaja täiendavaid andmeid funktsiooni graafiku kulgemise kohta. Siinkohal on abiks funktsiooni esimene ja teine tuletis, mis võimaldavad selgitada funktsiooni monotoonsust, kumerust ja nõgusust.

Funktsiooni uurimise üldine skeem on järgmine: 1) leiame funktsiooni määramispiirkonna ning katkevuspunktid ja selgitame kas funktsiooni pole paaris-, paaritu või perioodiline funktsioon; 2) leiame funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonna; 3) leiame funktsiooni esimese tuletise, mille abil selgitame monotoonsuspiirkonnad ja ekstreemumid; 4) leiame funktsiooni teise tuletise, mille abil selgitame kumeruse-, nõgususepiirkonnad ja käänupunktid; 5) leiame funktsiooni kaldasümptoodid ja püstasümptoodid; 6) vajaduse korral võib leida funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega või arvutada veel mõningad funktsiooni väärused.

Näide 1.

Uurida funktsiooni 112

−+=

xx

y ja skitseerida funktsiooni graafik.

1) Funktsioon on määratud kõikide reaalarvude korral, välja arvatud x = 1. Antud kohal funktsioon katkeb. Katkevuse liigi selgitame hiljem koos asümptootide leidmisega. Funktsioon ei ole paaris, paaritu ega ka perioodiline. 2) Funktsioonil puuduvad nullkohad, sest lugeja 12 +x on iga Xx ∈ positiivne. Funktsioon on positiivne kui x > 1 ja negatiivne kui x < 1. 3) Arvutame funktsiooni tuletise

( ) ( ) ( )2

2

2

22

2

2

1

12

1

122

1

)1()1(2

−−−=

−−−−=

−+−−=′

x

xx

x

xxx

x

xxxy .

Leiame tuletise nullkohad 0122 =−− xx ,

211 −=x ja 212 +=x .

Funktsioon kasvab vahemikes )21;( −−∞ , );21( +∞+ ja kahaneb )1;21( − , )21;1( + . Seega

omandab funktsioon kohal 211 −=x maksimumi ( ) 22221 −=−f ja kohal miinimumi

212 +=x ( ) 22221 +=+f . 4) Arvutame funktsiooni teise tuletise

( ) ( )( )

[ ]( ) ( )34

22

4

22

1

4

1

1212)1(2

1

12)12(1)22(

−=

−++−+−−=

−−−−−−−=′′

xx

xxxxx

x

xxxxxy .

Funktsioon on nõgus kui x > 1 ja kumer kui x < 1. Kuna x = 1 ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda, siis käänupunktid puuduvad. 5) Et funktsioon katkeb kohal x = 1, siis selgitame katkevuse liigi arvutades ühepoolsed piirväärused

+∞=−+

+→ 11

lim2

1 xx

x ja −∞=

−+

−→ 11

lim2

1 xx

x.


2

Kuna piirväärused ei ole lõplikud, siis on tegemist teist liiki katkevusega ning sirge x = 1 funktsiooni püstasümptoodiks. Leiame kaldasümptoodi bkxy += ,

( )( )( ) 1

1

1lim

1

1lim

11

lim1

1

12

122

=−+

=−

+=

−+=

+∞→+∞→+∞→x

x

xx

x

xx x

x

xxx

k ,

( )( ) 1

1

1lim

1

1lim

11

lim11

lim1

1

1

12

=−+

=−+

=−+=��

�

��

�−

−+=

+∞→+∞→+∞→+∞→x

x

xx

x

xxx x

x

xx

xx

xb .

Funktsioonil on kaldasümptoot võrrandiga 1+= xy . Esitame andmed teostatud uurimise kohta:

( ) ( )+∞∞−= ;11; �X ,

( )+∞=+ ;1X ,

( )1;∞−=−X , { }∅=0X ,

=↑X )21;( −−∞ , =↑X );21( +∞+ ,

=↓X )1;21( − , =↓X )21;1( + ,

( )222;21max −−E ,

( )222;21min ++E ,

( )+∞=∪ ;1X ,

( )1;∞−=∩X , asümptoodid x = 1 ja 1+= xy . Skitseerime saadud andmete põhjal funktsiooni graafiku. Näide 2.

Uurida funktsiooni 3 31 xy −= ja skitseerida funktsiooni graafik. 1) Funktsioon on määratud kõikide reaalarvude korral, seega katkevuspunktid puuduvad. Funktsioon ei ole paaris, paaritu ega ka perioodiline. 2) Funktsioonil nullkohaks on 1=x . Funktsioon on positiivne kui x < 1 ja negatiivne kui x > 1. 3) Arvutame funktsiooni tuletise

( )3 23

2

1 x

xy

−

−=′ .

Funktsiooni kriitilised punktid on 01 =x ja 12 =x . Et tuletis on mittepositiivne (välja arvatud 1=x ) siis ekstreemumid puuduvad ja funktsioon kahaneb oma määramispiirkonnas. 4) Arvutame funktsiooni teise tuletise


3

( ) ( )( )

( )( ) ( )3 533 53

43

3 43

3 3

223 23

1

2

1

212

1

13

)3(212

x

x

x

xxx

x

x

xxxx

y−

−=−

−−⋅−=−

−⋅

−⋅+−⋅−

=′′ .

Funktsioon on nõgus )0;(−∞ , );1( +∞ ja kumer )1;0( . Käänupunktid on K1(0;1) ja K2(1;0). 5) Et funktsioonil katkevuspunktid puuduvad, siis püstasümptoote ei ole. Leiame kaldasümptoodi bkxy += ,

11

lim1

lim3 3

13 3

−=−

=−=+∞→+∞→ x

x

xx

k x

xx,

( ) ( ) ( )( )

=��

��

� +−−−

��

��

� +−−−+−=+−=

+∞→+∞→ 23 33 23

23 33 233 3

3 3

11

111lim1lim

xxxx

xxxxxxxxb

xx

( )0

11

1lim

23 33 23=

��

��

� +−−−=

+∞→xxxx

x.

Funktsioonil on kaldasümptoot võrrandiga xy −= . Esitame andmed teostatud uurimise kohta:

( )+∞∞−= ;X ,

( )1;∞−=+X ,

( )+∞=− ;1X , { }10 =X ,

∅=↑X XX =↓

Ekstreemumid puuduvad =∪X )0;(−∞ , =∪X );1( +∞

( )1;0=∩X Käänupunktid on K1(0;1) ja K2(1;0). asümptoot xy −= . Skitseerime saadud andmete põhjal funktsiooni graafiku.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Algfunktsioon ja määramata integraal

1

5. Määramata integraal.

§ 5.1. Algfunktsioon ja määramata integraal.

Olgu antud funktsioon y = f(x). Leiame F(x) nii, et )()( xfxF =′ . Seega on meil teada funktsiooni tuletis ning otsitavaks on funktsioon ise. Näide 1

Olgu 2)( xxf = , siis 3

)(3x

xF = , sest )(3

33

)( 223

xfxxx

xF ===′

=′

Definitsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui kehtib võrdus )()( xfxF =′ piirkonnas X. Kas funktsioonil võib olla mitu algfunktsiooni? Vaatame seda küsimust järgmises näites. Näide 2 Olgu antud funktsioon xxf sin)( = , algfunktsiooniks on siis xxF cos)( −= , sest

( ) )(sincos)( xfxxxF ==′−=′ . Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks ka funktsioon 2cos)( +−= xxF . Kuid, et konstandi tuletis on võrdne nulliga, siis on f(x) algfunktsiooniks funktsioon

CxxF +−= cos)( . Definitsioon. Avaldist F(x) + C nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks, kui )()( xfxF =′ piirkonnas X . Avaldise F(x) + C leidmist nimetatakse funktsiooni f(x) integreerimiseks. Integreerimise juures kasutatakse järgmist sümboolikat ∫ += CxFdxxf )()( , kusjuures )()( xfxF =′ . Vaatame nüüd kas funktsioonil võib olla kaks täiesti erinevat algfunktsiooni. Olgu funktsioonil f(x) kaks algfunktsiooni )(xF ja )(xG , siis )()( xfxF =′ ja )()( xfxG =′ . Arvutame algfunktsiooni tuletiste vahe

0)()()()( =−=′−′ xfxfxGxF (1) Tähistame

)()()( xxGxF ϕ=− , (2) siis

)()()( xxGxF ϕ′=′−′ . (3) Kasutades seost (1) saame seose (3) põhjal, et 0)( =′ xϕ . Järelikult Cx =)(ϕ ja

CxGxF =− )()( ehk

CxGxF += )()( .


2

Seega saime, et algfunktsioonid erinevad konstandi poolest.


3

Näide 3 Joonestame funktsiooni xxf sin)( = algfunktsioonid CxxF +−= cos)( . Graafiliselt algfunktsioon esitab teatavat joonte parve ehk integraalkõveraid. Anname konstandile C väärtusi ja skitseerime mõned algfunktsioonid.

Näide 4

Vaatame funktsiooni 3)( xxf = , siis algfunktsiooniks on

Cx

xF +=4

)(4

. Joonestame mõned neljanda astme

paraboolid.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Integreerimise põhivalemid

1

§ 5.2. Integreerimise põhivalemid. Arvestades ∫ += CxFdxxf )()( , kui )()( xfxF =′ . Teades elementaarfunktsioonide tuletisi saame leida ka põhilised integreerimise valemid. Kui CxF =)( , siis 0)()( ==′ xfxF , saame ∫ = Cdx0 . Kui xxF =)( , siis 1)()( ==′ xfxF , saame ∫ += Cxdx . Niimoodi saame integraalide tabeli 1) ∫ = Cdx0 2) ∫ += Cxdx

3) ∫ += Cxdx x2

2

4) ∫ +=++

Cdxxn

xn n

1

1 Rn ∈ , 1−≠n

5) ∫ += Cxdxx

ln1

6) ∫ +−= Cdxxx

121

7) ∫ += Cxdxx

21

8 ) ∫ += Cedxe xx

9) ∫ += Cdxaa

xaxln

0>a , 1−≠a

10) ∫ +−= Cxxdx cossin 11) ∫ += Cxxdx sincos

12) ∫ += Cxdxx

tan2cos

1

13) ∫ +−= Cxdxx

cot2sin

1

14) CxarcCxdxx

+−=+=∫+

cotarctan21

1

15) CxCxdxx

+−=+=∫−

arccosarcsin21

1

Naga näha, ei ole siin valemeid mõningate elementaarfunktsioonide integreerimiseks. Puuduvad näiteks xtan , xln , samuti arkusfunktsioonid. Need integraalid on küll olemas, aga nad avalduvad veidi keerukamalt kui antud tabelis olevad integraalid. Kuidas neid funktsioone integreerida, selgub järgmistes loengutes.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tehetega seotud integreerimisreeglid

1

§ 5.3. Tehetega seotud integreerimisreeglid. Vaatame integraali tehetega seotud omadusi Omadus 1. Kui on olemas integraal ∫ dxxf )( , siis on olemas ka integraal ∫ dxxaf )( ja kehtib seos

∫∫ = dxxfadxxaf )()( . Omadus tähendab, et konstandi võib tuua integraali märgi ette. Omadus 2. Kui on olemas integraalid ∫ dxxf )( ja ∫ dxxg )( , siis on olemas ka integraal [ ]∫ ± dxxgxf )()( ja kehtib seos [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . Omadus tähendab, et summa (vahe) integraal võrdub liidetavate integraalide summaga. Omadus 3. Kui on olemas integraalid ∫ dxxf )( ja ∫ dxxg )( , siis konstantide a ja b korral on olemas ka integraal

[ ]∫ ± dxxbgxaf )()( ja kehtib seos [ ] ∫∫∫ ±=± dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()()( . Põhjendame omaduse 3. kehtivust.

)(xF on )(xf algfunktsioon ja )(xG on )(xg algfunktsioon. Algfunktsiooni definitsiooni tõttu )()( xfxF =′ ja )()( xgxG =′ . (1)

Arvutame tuletise

[ ] [ ] [ ] )()()()()()()()()1(

xbgxafxGbxFaxbGxaFxbGxaF ±=′±′=′±′=′± Kasutades viimase tulemuse kohta algfunktsiooni definitsiooni saame

[ ] [ ] [ ]=+±+=+±=±∫ 21 )()()()()()( CxGbCxFaCxbGxaFdxxbgxaf

∫ ∫±= dxxgbdxxfa )()( Näide 1

Cxx

Cxx

dxxdxxdxx

x ++=++=+=+∫∫∫

−−

1415

351 15 145 3

1514

1514

53

53

151

52

5 2

3

Näide 2

=

−=−= ∫∫ ∫ xd

xx

x

xx

xdx

xx

xx

xx

xdx22

2

22

2

22

22

22 cossin

sin

cossin

cos

cossin

sincos

cossin

2cos

Cxxxdxx

+−−=

−= ∫ tancot

cos

1

sin

122

Omadus 4.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tehetega seotud integreerimisreeglid

2

Kui ∫ += CxFdxxf )()( , siis ∫ += CaxFa

dxaxf )(1

)( .

Omadus 5.

Kui ∫ += CxFdxxf )()( , siis ∫ ++=+ CbaxFa

dxbaxf )(1

)( .

Omadus 6. Kui ∫ += CxFdxxf )()( , siis ∫ ++=+ CbxFdxbxf )()( .

Omadused 4-6. võimaldav lihtsamini arvutada integraali liitfunktsioonidest, mille sisemiseks komponendiks on lineaarfunktsioon. Näide 3

Cedxe xx +=∫ 5551

Näide 4

Cxdxx

++=+∫ 12ln

21

121

Näide 5

( )C

xdx

x+

−=

−∫ )31(3

1

31

12

Kõrgem matemaatika MMA6001 Muutujate vahetus määramata integraalis

1

§ 5.4. Muutujate vahetus määramata integraalis. Olgu F(x) algfunktsiooniks funktsioonile )(xf piirkonnas X. Seege kehtib )()( xfxF =′ ehk CxFdxxf +=∫ )()( . Olgu antud ka funktsioon )(tx ϕ= , mis on diferentseeruv piirkonnas T ja funktsiooni )(tx ϕ= väärtused kuuluvad piirkonda X. Seega ))(( tF ϕ on diferentseeruv piirkonnas T . Arvutame tuletise saadud funktsioonist

[ ] )())(()())(())(( ttfttFtF ϕϕϕϕϕ ′⋅=′⋅′=′ Et algfunktsiooni definitsiooni järgi on ))(( tF ϕ funktsioonile )())(( ttf ϕϕ ′⋅ algfunktsiooniks piirkonnas T, siis

CxFCtFdtttf +=+=′⋅∫ )())(()())(( ϕϕϕ . Saame

∫∫ ′⋅= dtttfdxxf )())(()( ϕϕ . (1) Nüüd oleme tõestanud järgmise teoreemi. Teoreem. Kui funktsioonil )(xf on piirkonnas X algfunktsioon )(xF ja )(tx ϕ= on diferentseeruv piirkonnas T ning funktsioonil )(tx ϕ= väärtused kuuluvad piirkonda X , siis kehtib valem (1). Valemit (1) nimetatakse muutujate vahetuse valemiks. ∫∫ ′⋅= dtttfdxxf )())(()( ϕϕ , kusjuures )(tx ϕ= , dttdx )(ϕ′= Praktilistes arvutustes tehakse enamasti asendus )(xft = Näide 1

Cx

Ct

tdtdxxx +=+==∫ ∫ 2

ln2

ln 22

xt ln= , dxx

dt1=

Näide 2

CxCttdt

dxxx

xdx +−=+−=−==∫ ∫∫ coslnlncossin

tan

xt cos= , xdxdt sin−= Näide 3

CxaxCtt

dx

ax

dx +++=+==+

∫∫ 2222

lnln

xaxt ++= 22 , dxax

axxdx

ax

xdt

22

22

221

2

2

+

++=

+

+=

tdt

axx

dt

ax

dx =++

=+ 2222

Kõrgem matemaatika MMA6001 Ositi integreerimine

1

§ 5.5. Ositi integreerimine. Olgu antud piirkonnas X diferentseeruvad funktsioonid )(xuu = ja )(xvv = . Diferentseerime nende funktsioonide korrutist

udvvduuvd +=)( . Avaldame

vduuvdudv −= )( . Integreerides viimast tulemust

∫∫∫ −= vduuvdudv )( , ∫∫ −= vduuvudv (1)

Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi. Teoreem. Kui on eksisteeriv integraal ∫ vdu , kus u ja v on diferentseeruvad funktsioonid, siis on olemas ka integraal ∫udv , kusjuures kehtib valem (1). Valem (1) on ositi integreerimise valem. Näide 1

cxxxdxx

xxxxdx +−=⋅−= ∫∫ ln1

lnln

Valime osad

xu ln= dxx

du1=

dxdv = xdxv == ∫ Näide 2

=+−=−=+

−= ∫∫∫ ctxxtdt

xxdxx

xxxxdx lnarctanarctan

1arctanarctan

21

21

2

Valime osad Teeme muutuja vahetuse

xu arctan= dxx

du21

1

+= 21 xt +=

dxdv = xdxv == ∫ 2

2dt

xdxxdxdt =⇒=

cxxx ++−= 221 1lnarctan .

Näide 3

∫∫∫ =

−−

−=

−

−=− dxxa

x

xa

adx

xa

xadxxa

22

2

22

2

22

2222

Arvutame mõlemad integraalid eraldi. Esimest integraalist saame

Kõrgem matemaatika MMA6001 Ositi integreerimine

2

axadx

ax

aa

adx

xa

aarcsin

1

22

22

22

2=

−

=−

∫∫

Teisest integraalist saame

∫∫ −+−−=−

dxxaxaxdxxa

x 222222

2

Valime osad xu = dxdu =

dxxa

xdv

22 −= 22

21

21

222 xat

t

dtdx

xa

xv −−=⋅−=−=

−= ∫∫

Teeme muutuja vahetuse 22 xat −= 2

2dt

xdxxdxdt −=⇒−=

Nüüd saame, et

∫∫ −−−+=− dxxaxaxadxxaax 2222222 arcsin .

Vaadates viimast tulemust kui võrrandit saame 22222 arcsin2 xaxadxxa

ax −+=−∫

ehk

Cxaxadxxaax +

−+=−∫ 222

2122 arcsin

Kõrgem matemaatika MMA6001 Määratud integraal kui pindala

1

6. Määratud integraal ja tema rakendused.

§ 6.1. Määratud integraal kui pindala. Olgu antud funktsioon )(xfy = , kus 0)( >xf . Teeme joonise.

P0 P

M0

P1 �x

M1

M Q

N

f(x)

x

f(x��x)

y= f(x)

S(x)

�S

Kujundi 00MPPM pindala sõltub x-st, tähistame selle pindala )(xSS = . Andes argumendi väärtusele x juurde muudu xPP ∆=1 , siis pindala )(xS saab juurdekasvu S∆ , mis on võrdne kõverjoonelise kujundi PPMM 11 pindalaga. Pindala S∆ jääb kahe ristküliku vahele, väiksem ristkülik on PMQP1 ja suurem PPNM 11 . Seega ilmselt kehtib võrratus

PPNMPMQP SSS111

≤∆≤

Arvestades, et )(xfMP = , )(11 xxfPM ∆+= ja xPP ∆=1 , saame xxxfSxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()(

)()( xxfxS

xf ∆+≤∆∆≤

Kui 0→∆x siis, saame

)(lim0

xfxS

x=

∆∆

→∆.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Määratud integraal kui pindala

2

Arvestades tuletise definitsiooni

)(xfdxdS = ,

dxxfdS )(= . Integreerides

∫∫ = dxxfdS )(

∫=+ dxxfCS )(1 Arvestades algfunktsiooni definitsiooniga

21 )( CxFCS +=+ , CxFS += )( , (1)

kus 12 CCC −= . Võttes nüüd ax = saame seosest (1)

CaF += )(0 , )(aFC −= .

Asendades viimase tulemuse seosesse (1) saame )()( aFxFS −= (2)

Võttes bx = saame seosest (2) )()( aFbFS −= .

Definitsioon. Vahet )()( aFbF − , kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse

funktsiooni f(x) määratud integraaliks ja tähistatakse )()()( aFbFdxxfb

a−=∫ .

Seega määratud integraali arvutamiseks leiame funktsiooni algfunktsiooni ja seejärel asendame rajad.

)()()( )( aFbFdxxfb

a

b

axF −==∫ (3)

Valemit (3) nimetatakse Newton-Leibnizi valemiks.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Määratud integraali omadused

1

§ 6.2. Määratud integraali omadused. Olgu funktsioonid )(xfy = ja )(xgy = integreeruvad lõigus [ ]ba; . Sellisel juhul kehtivad järgmised omadused. Omadus 1.

[ ] �� ±=±b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Omadus 2.

�� =b

a

b

adxxfcdxxcf )()(

Omadus 3.

0)( =�a

adxxf

Omadus 4.

�� −=a

b

b

adxxfdxxf )()(

Omadus 5.

Kui )(xfy = on paarisfunktsioon, siis �� =−

aa

adxxfdxxf

0)(2)(

Omadus 6.

Kui )(xfy = on paaritufunktsioon, siis 0)( =�−

a

adxxf

Omadus 7.

�� +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

Eespooltoodud omadusi on lihtne põhjendada, kasutades algfunktsiooni definitsiooni. Näide 1

( ) ( ) ( ) ( ) 36927111333123 23233

1

233

1

2 =+=++−++=++=++� xxxdxxx .

Näide 2

222

22

440

4

0

2

0

2 10coscoscossinsin2 −=+−=+−=−== �� ππ

ππ

ttdtdxxx

Kõrgem matemaatika MMA6001 Määratud integraali omadused

2

Teeme muutuja vahetuse 2xt = xdxdt 2= , arvutame rajad kui 0=x , siis 0=t . Kui 2π=x , siis

2π=t .

Määratud integraali korral, kui kasutame muutja vahetuse võtet, siis tagasiasendust vanale muutjale enam ei tehta. Näide 3

2222

1

22

1

2

1

2

122 eeeeeeeedxexedxxe xxxx =+−−=−−=−= ��

xu = dxdu = dxedv x= � == xx edxev

Kõrgem matemaatika MMA6001 Tasandilise kujundi pindala

1

§ 6.3. Tasandilise kujundi pindala.

Funktsiooni ( )y f x= korral on ( ) 0f x ≥ , siis integraal ( )b

a

f x dx� on arvuliselt võrdne joone

( )y f x= , sirgete x a= ja x b= ning x-teljega piiratud kujundi pindalga. Seda kujundit nimetatakse

kõvertrapetsks. Kõvertrapetsi pindala valem on

( )b

a

S f x dx= � .

Kui ( ) 0f x ≤ , siis ( )b

a

S f x dx= � .

Kui funktsioonid ( )f x ja ( )g x täidavad lõigul [ ];a b tingimust ( ) ( )f x g x≥ , siis joontega

( )y f x= , ( )y g x= , x a= , x b= piiratud kujundi

pindala avaldub

( ) ( )b

a

S f x g x dx= −� �� .

Näide 1.

Leida joontega 2

21

xy = ja xy −= 4 piiratud kujundi

pindala. Leiame rajad 2)4(2 xx =− ,

0822 =−+ xx , millest

21 =x ja 42 −=x . Arvutame integraali

18)3

32816(

68

28)62

4()2

4(2

4

322

4

2

=+−−−−−=−−=−−−−

�xx

xdxx

x .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Joone kaare pikkus

1

§ 6.4. Joone kaare pikkus.

A

C

dx = �x

D

B

dx = �x x + �x x

y = f(x)

�y

dy

Esitagu funktsiooni )(xfy = mingi joone kaart AD. Teeme joonis, tähistame kaare AD diferentsiaali dsAC = , kus ds on kaare AD punktis A tõmmatud puutuja lõik. Tuletades meelde diferentsiaali geomeetrilist tähendust saame dyCB = . Täisnurksest kolmnurgast ABC saame

222 dydxds += , 22 dydxds += ,

22

1 dxdxdy

ds��

�

��

��

�

�+= ,

[ ] dxxfds 2)(1 ′+= ,

[ ] dxxfABsb

a ′+= 2)(1)( .

Näide 1

Arvutada poolkuup parabooli 3)( xxf = kaare pikkus kui [ ]5;0∈x .

Leiame kõigepealt funktsiooni tuletise 21

23

23

)( xxxf =′

��

�

�=′ . Arvutame tuletise ruudu [ ] xxf

49

)( 2 =′ .

Asendame saadud tulemuse kaare pikkuse valemisse

Kõrgem matemaatika MMA6001 Joone kaare pikkus

2

27335

49

132

94

49

1)(

5

0

23

5

0=�

�

�

� +⋅=+= xdxxABs .

Näide 2

Leida parabooli 2

2xy = kaare pikkus, kui [ ]1;0∈x .

Leiame kõigepealt funktsiooni tuletise xxf =′ )( . Arvutame tuletise ruudu [ ] 22)( xxf =′ . Asendame saadud tulemuse kaare pikkuse valemisse

( )( ) ( )( )21ln221

1ln121

1)(1

0

221

0

2 ++=++++=+= xxxxdxxABs .

Integraali arvutamisel kasutame valmis kujul valemit.

Kõrgem matemaatika MMA6001 Pöördkeha ruumala

1

§ 6.5. Pöördkeha ruumala. Olgu antud funktsioon )(xfy = , kusjuures 0)( >xf . Pannes funktsiooni pöörlema ümber x – telje tekib pöördkeha. Joonestame selle pöördkeha ristlõike.

a x x + �x �x

f(x) f(x+�x)

�x

�x

Tähistame abstsisside a ja x vahelise keha ruumala V. Kuna see ruumala sõltub x-st, siis )(xVV = ehk on muutuja x funktsioon. Anname abstsissile x muudu x∆ , siis uueks väärtuseks on xx ∆+ , millele vastav funktsiooni väärtus )( xxf ∆+ ning ruumala uueks väärtuseks on VV ∆+ . Valime argumendi muudu x∆ nii väikese, et vahemikus x ja x∆ vahel funktsioon )(xfy = muutub kas kogu aeg kasvades või kahanedes. Meie joonisel funktsioon selles vahemikus on kasvav. Ruumala juurdekasv V∆ jääb kahe silindri vahele. Väiksema silindri kõrgus on x∆ ja raadius on

)(xf , suurema silindri kõrgus on x∆ ja raadius on )( xxf ∆+ . Arvestades, et silindri ruumala avaldub

hrhSV rp π== saame

xxxfVxxf ∆∆+<∆<∆ )()( 22 ππ . Jagame viimase tulemuse x∆ -ga

)()( 22 xxfxV

xf ∆+<∆∆< ππ .

Kui nüüd 0→∆x , siis

)(2

0lim xf

xV

xπ=

∆∆

→∆.

Arvestades tuletise definitsiooni


2

)(2 xfdxdV π= ,

dxxfdV )(2π= . Integreerides

�=b

adxxfV )(2π .

Näide 1 Kujund on piiratud x-telje ja joontega xy 42 = , 4=x . Leida pöördkeha ruumala, mis tekib kui kujund pöörleb ümber x-telje.

πππ 32244

0

24

0=== � xxdxV

y2 = 4x

Kui kujund, mis pöörleb on piiratud kahe joonega siis ruumala avaldub järgmiselt

[ ]� −=b

adxxgxfV )()( 22π .

Kui kujund pöörleb ümber y-telje, siis funktsioonina argumenti ning ruumala valem on järgmine

[ ]� −=d

cdyymyhV )()( 22π

Näide 2 Kujund on piiratud x-telje ja joontega 2xy = , 1=x . Leida pöördkeha ruumala, mis tekib kui kujund pöörleb: a) ümber x-telje; b) ümber x-telje.

a) 55

1

0

51

0

4 πππ === �x

dxxV b) 22

1

0

21

0

πππ === �y

dyyV


3

y = x2

Näide 3 Tuletada koonuse ruumala valem. Tähistame hOP = ja rAP = . Koonus tekib, kui sirglõik OA pöörleb ümber x-telje. Koostame OA võrrandi. Kuna OA läbib koordinaatide alguspunkti, siis tema võrrand on ( )xkxy αtan== .

Täisnurksest kolmnurgast OAP saame hr

OPAP ==αtan .

Asendades viimase tulemuse sirge võrrandisse saame xhr

y = .

Arvutame ruumala 333

23

2

2

0

3

2

2

0

22

2

0

2 hrh

h

rx

h

rdxx

h

rdxx

hr

Vh

hh πππππ ====��

��

�= �� .


4

A

P O

h �

r

Näide 4 Tuletada kera ruumala valem. Vaatame ringjoont võrrandiga 222 Ryx =+ . Kera tekib kui ringjoon pöörleb x-telje. Arvutuse lihtsustamiseks arvutame poole kera ruumalast ja korrutame kahega.

34

)3

(2)3

(2)(233

3

0

322

0

2 RRR

xxRdxxRV

RR ππππ =−=−=−= �

R

R -R

-R

x2 + y2 = R2

Kõrgem matemaatika MMA6001 Päratud integraalid

1

§ 6.6. Päratud integraalid. Vaatame selliseid integraale, mille rajadeks võivad olla lõpmatused. Olgu funktsioon )(xfy = määratud [ [+∞;a .

Definitsioon. Funktsiooni )(xf päratuks integraaliks �+∞

adxxf )( nimetatakse piirväärtust

�+∞→

M

aMdxxf )(lim .

Kehtib valem

��+∞→

+∞=

M

aMadxxfdxxf )()( lim . (1)

Kui funktsioon )(xfy = on määratud ] ]a;∞− , siis saab defineerida päratu integraali, mille alumiseks rajaks on miinus lõpmatus.

��−∞→∞−

=a

MM

adxxfdxxf )()( lim . (2)

Kui valemites (1) ja (2) eksisteerib lõplik piirväärtus, siis päratu integraal koondub vastasel korral päratu integraal hajub. Kui funktsioon )(xfy = on määratud ] [+∞∞− ; , siis kehtib valem

��+∞

∞−

+∞

∞−+=

c

cdxxfdxxfdxxf )()()( . (3)

Võrduse (3) paremal pool olevad kaks integraali arvutatakse valemite (1) ja (2) abil. Kui vähemalt üks integraalidest hajub, siis hajub ka integraal (3). Näide 1

=−

===−

+∞→

−

+∞→+∞→

∞+

��

M

M

M

M

M

M

xdxx

x

dx

x

dx

3

2

3

3

33

33 2

limlimlim

181

911

211

21

23

2 limlim =��

��

� −−=−=+∞→+∞→ Mx M

M

M.

Päratu integraal koondub arvuks 181

.

Näide 2

=−==+∞→+∞→

+∞

��M

M

M

Mxxxdxxdx

222

)1(lnlnln limlim

( ) +∞=−−−=

+∞→)22(ln2)1(lnlim MM

M.

3

Kõrgem matemaatika MMA6001 Päratud integraalid

2

Päratu integraal hajub. Näide 3

=+

++

=+

��+∞→−∞→

+∞

∞−

M

cM

c

MM x

dx

x

dx

x

dx

111 222 limlim

=+=+∞→−∞→

M

cM

c

MM

xx arctanarctan limlim

( )+−=−∞→

McM

arctanarctanlim

( ) =−++∞→

cMM

arctanarctanlim

πππ =−++= cc arctan22

arctan .

Päratu integraal koondub arvuks π .

Kõrgem matemaatika MMA6001 Määratud integraali ligikaudne arvutamine

1

§ 6.7. Määratud integraali ligikaudne arvutamine.

Newton-Leibnizi valemi abil saame leida määratud integraali �b

adxxf )( juhul, kui integreeritav

funktsioon f(x) on pidev lõigul [a; b] ja me teame funktsiooni f(x) algfunktsiooni F(x) sellel lõigul. Sageli aga puutume kokku ülesannetega, kus algfunktsiooni ei avaldu elementaarfunktsioonina ning Newton-Leibnizi valem ei ole rakendatav. Sellisel juhul on võimalik määratud integraali väärtust arvutada ligikaudselt. Vaatame kahte meetodit määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks. Arvestame määratud integraali kui summa piirväärtuse mõistet. 1) Ristkülikvalem.

Olgu funktsioon y = f(x) pidev lõigul [a; b]. On vaja arvutada integraal �b

adxxf )( .

Jaotame lõigu [a; b] punktidega a = x0, x1, x2, …, xn – 1, xn = b n võrdseks osaks pikkusega x∆ ehk

nab

x−=∆ . (1)

Funktsiooni f(x) väärtusi punktides x0, x1, x2, … , xn – 1, xn tähistame vastavalt y0, y1, y2, …, yn – 1, yn .

b a

B

A

xi – 1 xi

yi yi – 1

x

y

x1 x2 xn – 1

y2 y1

yn – 1

y0 y3

yn

Koostame summad

y0 x∆ + y1 x∆ + y2 x∆ + … + yn – 1 x∆ = x∆ ( y0 + y1 + y2+ … + yn – 1), (2) y1 x∆ + y2 x∆ + y3 x∆ + … + yn x∆ = x∆ ( y1 + y2 + y3+ … + yn ). (3)

Summa (2) annab allapoole joont jäävate ristkülikute summa, mis on ligikaudselt võrdne määratud integraaliga

( )1210 ...)( −++++−≈� n

b

ayyyy

nab

dxxf . (4)

Summa (3) annab ülespoole joont jäävate ristkülikute summa, mis on ligikaudselt võrdne määratud integraaliga


2

( )n

b

ayyyy

nab

dxxf ++++−≈� ..)( 321 . (5)

Valemeid (4) ja (5) nimetatakse ristkülikvalemiteks. 2) Trapetsvalem.

Loomulikult saame määratud integraalile �b

adxxf )( täpsema väärtuse, kui f(x) ei asenda treppjoonega,

nagu seda tegime ristkülikvalemis, vaid kõõlmurdjoonega. Siis kõvertrapetsi abBA pindala asendub harilike, ülalt kõõludega AP1, P1P2, P2P3,... , Pn - 1B piiratud täisnurksete trapetsite pindalade summaga.

b a

B

A

xi – 1 xi x

y

x1 x2 xn – 1

y1 yn – 1

x3

y3 y0 y2 yi yn yi – 1

P3

P1

P2 Pi – 1

Pn - 1

Pi

Väikeste trapetsite pindalad avalduvad järgmiselt

xyy

∆+2

10 , xyy

∆+2

21 , xyy

∆+2

32 , ... , xyy nn ∆

+−

21 .

Koostame summa

xyy

∆+2

10 + xyy

∆+2

21 + xyy

∆+2

32 + ... + xyy nn ∆

+−

21 ,

mis on ligikaudu võrdne määratud integraaliga

��

��

� +++

++

++

+∆≈ −

� 2...

222)( 1322110 nn

b

a

yyyyyyyyxdxxf ,

��

��

� +++++++++∆≈ −−� 222

...222222

)( 11322110 nnnb

a

yyyyyyyyyxdxxf ,

��

��

� ++++++−≈ −� 1321

0 ...2

)( nn

b

ayyyy

yyn

abdxxf . (6)

Valemit (6) nimetatakse trapetsvalemiteks. Mida suurem on valemites (4), (5) ja (6) n ehk mida väiksem on x∆ , seda suurem on ka integraali täpsus. Määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks on veel teisigi valemeid (Simpsoni valem).


3

Näide 1 Arvutame integraali dxe x�1

0

2 ristkülik- ja trapetsvalemiga.

Kasutame ristkülikvalemit. Jaotame lõigu [0;1] viieks osaks ehk n = 5, siis 2,0=∆x . Seega

( ) ≈++++⋅≈��

�� ++++⋅≈�

64,036,016,004,0028,026,024,022,001

0

22,02,0 eeeeeeeeeedxe x

( ) 308,1896,1433,1174,1041,112,0 ≈++++⋅≈ . Kasutame trapetsvalemit. Jaotame lõigu [0;1] viieks osaks ehk n = 5, siis 2,0=∆x . Seega

≈��

��

� +++++⋅≈��

��

�+++++⋅≈�

64,036,016,004,028,026,024,022,0101

0

2

21

2,02

2,0 eeeee

eeeeee

dxe x

( ) 481,1896,1433,1174,1041,1859,12,0 ≈++++⋅≈ . Kasutame trapetsvalemit juhul kui n = 10

≈��

��

�++++++++++⋅≈�

29,028,027,026,025,024,023,022,021,0101

0

2

21,0 eeeeeeeee

eedxe x

( ) 467,1248,2896,1632,1433,1284,1174,1094,1041,101,1859,11,0 ≈+++++++++⋅≈ .

Documents

Kõrgem Matemaatika (Matemaatiline analüüs)