22
Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 1 Voved Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekt (to~ki, linii, ramnini i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so pomo{ na metodite na algebrata. Prv najva`en ~ekor na analita~kata geometrija e napraven so voveduvaweto na koordinatniot sistem i opredeluvawe na polo`bata na koja bilo to~ka vo ramninata (prostorot) so pomo{ na broevi - nare~eni koordinati na taa to~ka. Na ovoj na~in ima mo`nost da so broevi i brojni izrazi da se izrazuvaat i poslo`eni geometriski objekti. Vakviot na~in e nare~en metod na analiti~kata geometrija ili metod na koodinati. Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i, toa se: 1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo ramninata ili prostorot, {to e opredelena so svoite svojstva, i 2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena so nejzinata ravenka. Da go razgledame pra{aweto na sostavuvawe na ravenki na nekoi krivi linii poznati kako krivi od vtor red ili konusni preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola. Ovie krivi, kako {to se gleda od crt. 1 se dobivaat vo presekot na ispravena konusna povr{ina so ramnina vo razli~na polo`ba, pa ottamu i imeto konusni preseci. Crt. 1 Ravenkite na ovie krivi se ravenki od vtor stepen po promenlivite h i u ( koordinati na to~kite) t.e. ravenki od vidot: 0 2 2 F Ey Dx Cy Bxy Ax kade {to A,B,C,D,E,F se realni broevi , barem eden od koeficientite A,B,C e razli~en od nula. Zatoa ovie krivi se poznati u{te i kako krivi od vtor red. Zabele{ka : Krivite od vtor red bile izu~uvani u{te od starogr~kite matemati~ari (Arhimed, Evklid, Apolonij i dr.) i tie glavno girazgleduvale kako presek na konus so ramnina. Apolonioj od Perga vo svoeto delo "Konusni preseci" vo osum knigi, ja razviva teorijata na krivite od vtor red, strogo i sistematski, so tolkava celosnost , taka {to dva mileniuma nemalo {to da i se dodade ili odzeme. Toj gi razgleduval krivite od vtor red kako preseci na k onus so ramnina, a voedno toj gi dal i aktuelnite imiwa na tie preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola. . Interesot za nivno detalno izu~uvawe osobeno se zgolemil po otkritieto deka planetite se dvi`at po krivi (traektorii) {to pretstavuvaat elipsi ( vo po~etokot na XVII vek), i ottoga{ po~nalo izu~uvaweto na krivite od vtor red so metodite na analiti~kata geometrija. Kru`nica. Ravenka na kru`nica Definicija: Kru`nica e mno`estvo na site to~ki M (x,y) vo ramninata xOy koi se na ednakvo rastojanie r od dadena to~ka S( p,q) vo taa ramnina. So drugi zborovi, kru`nica K e mno`estvoto r SM y x M K | ) , ( …………………..……………….... (1) To~kata S ja vikame centar, a rastojanieto r radius na kru`nicata. Sega }e vidime kako se nao|a ravenkata na kru`nicata. Od definicijata sleduva deka za koja bilo to~ka M(x,y) K va`i: r SM odnosno 2 2 r SM . Koristej}i ja formulata za rastojanie me|u dve to~ki t. e. 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 ) ( ) ( y y x x ) ,M d(M M M rastojanieto SM go izrazuvame so koordinatite na to~kite M(x,y) i S(p,q) i ravenstvoto (1) go zapi{uvame vo vidot: 2 2 2 r q) (y p) (x ……………………………………………………………………....……………….(2) y x r M(x,y) S(p,q) Crt.1

Krivi od vtor red

  • Upload
    reshat

  • View
    342

  • Download
    15

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Citation preview

Page 1: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 1

Voved

Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekt (to~ki, linii,

ramnini i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so pomo{ na metodite na algebrata.

Prv najva`en ~ekor na analita~kata geometrija e napraven so voveduvaweto na koordinatniot

sistem i opredeluvawe na polo`bata na koja bilo to~ka vo ramninata (prostorot) so pomo{ na broevi -

nare~eni koordinati na taa to~ka. Na ovoj na~in ima mo`nost da so broevi i brojni izrazi da se

izrazuvaat i poslo`eni geometriski objekti. Vakviot na~in e nare~en metod na analiti~kata geometrija

ili metod na koodinati.

Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i, toa se:

1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo ramninata ili

prostorot, {to e opredelena so svoite svojstva, i

2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena

so nejzinata ravenka.

Da go razgledame pra{aweto na sostavuvawe na ravenki na nekoi krivi linii poznati kako

krivi od vtor red ili konusni preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola.

Ovie krivi, kako {to se gleda od crt. 1 se dobivaat vo presekot na ispravena konusna povr{ina

so ramnina vo razli~na polo`ba, pa ottamu i imeto konusni preseci.

Crt. 1

Ravenkite na ovie krivi se ravenki od vtor stepen po promenlivite h i u ( koordinati na

to~kite) t.e. ravenki od vidot:

022 FEyDxCyBxyAx

kade {to A,B,C,D,E,F se realni broevi , barem eden od koeficientite A,B,C e razli~en od nula. Zatoa

ovie krivi se poznati u{te i kako krivi od vtor red.

Zabele{ka : Krivite od vtor red bile izu~uvani u{te od starogr~kite matemati~ari (Arhimed,

Evklid, Apolonij i dr.) i tie glavno girazgleduvale kako presek na konus so ramnina.

Apolonioj od Perga vo svoeto delo "Konusni preseci" vo osum knigi, ja razviva teorijata na

krivite od vtor red, strogo i sistematski, so tolkava celosnost , taka {to dva mileniuma nemalo {to

da i se dodade ili odzeme. Toj gi razgleduval krivite od vtor red kako preseci na k onus so ramnina, a

voedno toj gi dal i aktuelnite imiwa na tie preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola. .

Interesot za nivno detalno izu~uvawe osobeno se zgolemil po otkritieto deka planetite se

dvi`at po krivi (traektorii) {to pretstavuvaat elipsi ( vo po~etokot na XVII vek), i ottoga{ po~nalo

izu~uvaweto na krivite od vtor red so metodite na analiti~kata geometrija.

Kru`nica. Ravenka na kru`nica

Definicija: Kru`nica e mno`estvo na site to~ki M (x,y) vo

ramninata xOy koi se na ednakvo rastojanie r od dadena to~ka S( p,q) vo

taa ramnina.

So drugi zborovi, kru`nica K e mno`estvoto

rSMyxMK |),( …………………..……………….... (1)

To~kata S ja vikame centar, a rastojanieto r radius na kru`nicata.

Sega }e vidime kako se nao|a ravenkata na kru`nicata. Od

definicijata sleduva deka za koja bilo to~ka M(x,y) K va`i:

rSM odnosno 22

rSM . Koristej}i ja formulata za rastojanie me|u

dve to~ki t. e.

212

2122121 )()( yyxx),Md(MMM rastojanieto SM go izrazuvame so koordinatite na to~kite

M(x,y) i S(p,q) i ravenstvoto (1) go zapi{uvame vo vidot:

222 rq)(yp)(x ……………………………………………………………………....……………….(2)

y

x

r

M(x,y)

S(p,q)

Crt.1

Page 2: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 2

Ravenkata (2) pretstavuva ravenka na kru`nica so centar vo to~kata S(p,q) i radius r vo normalen

vid. Ako centarot na kru`nicata se sovpa|aa so koordinatniot po~etok O, toga{ p=q=0 i ravenkata

(2) na kru`nicata go dobiva vidot:

222 ryx …………………..………………………..………………………………….(3)

i se narekuva centralna ravenka na kru`nicata.

Primer 1: Da ja sostaveme ravenkata na kru`nicata so radius r

=5 i centar vo S (2,-4).

Re{enie: Ako vo ravenkata (2) zamenime r=5, p=2, q=-4, dobivame

25)4()2( 22 yx

Primer 2: Ravenkata na kru`nicata so centar vo koordinatniot

po~etok i radius 7 }e glasi: 4922 yx

Sega }e poka`eme deka, ravenkata na kru`nicata e specijalen

slu~aj na op{tata ravenka od vtor stepen

0FEyDxCyBxyAx 22 ……………………..………...………………..(4)

Navistina, ako vo ravenkata na kru`nicata (2) gi razvieme

kvadratite na binomite, dobivame:

022 22222 rqpqypxyx ……………………….………..…………………….(5)

Sporeduvaj}i gi ravenkite (4) i (5) zaklu~uvame deka, ravenkata (4) mo`ebi }e pretstavuva

ravenka na kru`nica ako se ispolneti relaciite: 0,0 BCA pri koi taa ima vid :

0FEyDxAyAx 22 ………………………….………………………………………….…………(6)

ili ako dvete strani gi podeleme so A dobivame:

0A

Fy

A

Ex

A

Dyx 22 ………………………….…………….……..…..………………….(7)

Sporeduvaj}i ravenkite (5) i (6) sleduva deka:

A

Fqpr

A

Frqp

A

Eq

A

Eq

A

Dp

A

Dp

222222

22

22

………………………...…………………………….…..…………..(8)

od kade {to sleduva:

AFEDAA

AFED

A

F

A

E

A

D

A

Fqpr 4

2

1

4

4

44

22

2

22

2

2

2

222

………..….....…(9)

Zna~i, (4) pri uslov ravenkata 0,0 BCA , geometriski mo`e da pretstavuva:

1. kru`nica-ako AFED 422 >0;

2. to~ka-ako AFED 422 =0

3. prazno mno`estvo(ni{to)- ako AFED 422 <0.

Ravenkata na kru`nicata vo oblikot (6) ja vikame op{t vid ravenka na kru`nica.

Primer 3: Da gi opredeleme centarot i radiusot na kru`nicata.

09128044 22 yxyx

Re{enie: Prvo da proverime dali e ispolnet uslovot dadenata ravenka da pretstavuva

kru`nica. Za koeficientite na dadenata kru`nica imame: A=C=4, B=0, D=80, E=12, F=9, {to zna~i

prviot uslov (6) e zadovolen.

Bidej}i ,014401446400940412804 2222 AFED zadovolen e i vtoriot uslov, pa sleduva

deka dadenata ravenka e ravenka na kru`nica. Ako koeficientite A,D E i F gi zamenime vo relaciite

(9) dobivame: ,1042

80

p ,

2

3

42

12

q ,100

4

9

4

91002 r a potoa niv gi zamenuvame so

ravenkata (2) i ja zapi{uvame ravenkata na kru`nicata vo normalen vid: 100)2

3()10( 22 yx .

Zabele{ka : Vo praktikata, naj~esto op{tiot vid na ravenkata na kru`nicata go sveduvame vo normalen

vid taka {to kvadratniot i liniarniot ~len po x i y gi nadopolnuvame do poln kvadrat . Taka za

dadenata ravenka imame:

09128044 22 xxyx 04

932022 xxyx

22

2 20

2

20

2

20xx +

22 3

2

3yy

2

2

30

4

9

x

r

M(x,y)

SO

Crt.2

Page 3: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 3

2)10(x 0100

2

2

3y t. e. 2)10(x 0100

2

2

3y

Primer 4: Da ja najdeme ravenkata na kru`nicata {to gi dopira dvete koordinantni oski i minuva

niz to~kata A (2,1).

Re{enie: Vo ovoj slu~aj o~igledno e deka p=q=r, pa so zamena na x,y so koordinatite na to~kata A

vo ravenkata na kru`nicata (2) dobivame:

222 )1()2( rrr 222 2144 rrrrr

0562 rr t. e. 11 r i .52 r

Spored toa, dobivame dve kru`nici koi gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata. Nivnite ravenki se:

1)1()1( 22 yx i 25)5()5( 22 yx

Primer 5: Da ja najdeme ravenkata na kru`nicata koja minuva niz to~kite A(-1,2) i B (6,9), a

centarot i e na x-oskata.

Re{enie: Bidej}i centarot S le`i na x -oskata, negovite koordinati se p i q=0, t. e. S(p,0), pa

ravenkata na kru`nicata }e bide:222 )0()( rypx t. e.

222)( rypx . So ogled na toa deka

kru`nicata minuva niz to~kite A i B, nivnite koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na kru`nicata, pa

imame:

222 2)1( rp i 222 9)6( rp , od kade 811236221 22 pppp , 11214 p

8p .

Ako vrednosta 8p ja zamenime vo edna od prethodnite ravenki go dobivame radiusot na

kru`nicata r, t. e. 854812)81( 22 r . Ravenkata na baranata kru`ni ca e .85)8( 22 yx

Primer 6: Da ja opredeleme ravenkata na kru`nicata {to minuva niz to~kite A(2,3) i B(-1,1), a

centarot i le`i na pravata l : 0113 yx .

Re{enie: Da ja ozna~ime so K baranata kru`nica. Bidej}i centarot S (p,q) le`i na dadenata prava

imame: .0113 qp Od uslovot KA ,)3()2( 222 rqp a od KB .)1()1( 222 rqp

Zna~i, za opredeluvawe p,q i r dobivame sistem od tri ravenki so tri nepoznati:

222

222

222

1364

113

rqpqp

rqpqp

qp

222 222

1146

113

rqpqp

qp

qp

.

2

652

52

7

2

r

q

p

Sleduva, ravenkata na baranata kru`nica e:

2

65)

2

5()

2

7( 22 yx

2. Zaemna polo`ba na prava i kru`nica

Od dosega{noto izu~uvawe na geometrijata poznato ti e deka dadena prava l i kru`nica K mo`e da

imaat edna od slednive tri zaemni polo`bi:

1. pravata i kru`nicata imaat dve zaedni~ki to~ki, odnosno pravata ja se~e kru`nicata,

2. pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka, odnosno pravata ja dopira kru`nicata ,

3. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Ako pravata i kru`nicata se zadadeni so nivnite ravenki, toga{ postapkata za utvarduvawe na

ovie odnosi se sveduva na re{avawe sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka

022 FEyDxAyAx

nkxy

Imeno, vidovme deka sistemot mo`e da ima: dve realni re{enija (pravata ja se~e kru`nicata); edno

re{enie (pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka) i nema re{enie (pravata i kru`nicata

nemaat zaedni~ki to~ki).

Sega }e ja razgledame zaemnata polo`ba na p rava i kru`nica koristej}i go aparatot na

analiti~kata geometrija . Neka se dadeni kru`nicata i pravata 222 )()(: rqypxK ili

nkxyl : - vo ekspliciten vid, 0 nykx - vo op{t vid.

Ako so d go ozna~ime rastojanieto na centarot S (p,q ) na kru`nicata K do pravata l mo`ni se

slednite tri slu~ai:

a) ako d > r, toga{ Kl , t. e. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki (crt. 1);

b) ako d = r, toga{ TKl , t. e. pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka (dopirna)

to~ka T, odnosno pravata l e tangentana kru`nicata K (crt.2);

Page 4: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 4

v) ako d < r, toga{ NMKl , , pravata i kru`nicata imaat dve zaedni~ki to~ki, t. e.

pravata ja se~e kru`nicata K, i vikame l e sekanta na kru`nicata K (crt.3).

y

x

d>r

l

S

O

k Crt.1

y

d=rl

S

O

k

T

Crt.2

y

d<r

lS

O

k

M

N

Crt.3

Spored formulate za rastojanie od to~ka do prava, za rastojanieto d od centarot S (p,q) na

kru`nicata K do pravata l imame:

1

||

2

k

nqkpd ………………………………………………………………………………………………...…(1)

pa pogore iska`anite uslovi za zaemnata polo`ba na pravata i kru`nicata ja dobivaat slednava

analiti~ka forma:

a) ako d > r 1|| 2 krnqkp , odnosno ),1()( 222 krnqkp pravata l i kru`nicata K

nemaat zaedni~ki to~ki;

b) ako d = r 1|| 2 krnqkp , odnosno ),1()( 222 krnqkp pravata l }e ja dopira

kru`nicata K, i toga{ relacijata

)1()( 222 krnqkp …...………………………………………………………………………………(2)

}e pretstavuva uslov za dopir na prava l i kru`nica K,

v) ako d < r 1|| 2 krnqkp , odnosno ),1()( 222 krnqkp pravata l i kru`nicata K imaat

dve zaedni~ki to~ki.

Specijalno, ako kru`nicata K e so centar vo koordinatniot po~etok, toga{ p=q=0 , pa gornite

uslovi vo ovoj slu~aj glasat:

a) ako d > r )1( 222 krn , pravata l i kru`nicata K nemaat zaedni~ki to~ki;

b) ako d = r )1( 222 krn , pravata l ja dopira kru`nicata K i relacijata

222 )1( nkr ………………………………………..…………………………………………………..………(3)

pretstavuva uslov za dopir na pravata l i centralna kru`nica K;

v) ako d < r )1( 222 krn , pravata l i kru`nicata K imaat zaedni~ki to~ki.

Primer 1: Da ja ispitame zaemnata polo`ba na pravata 05: yxl i kru`nicata

25)2()1(: 22 yxK .

Re{enie: Kru`nicata e so centar vo to~kata S (1,2) i radius r=5. Rastojanieto d od centarot S (1,2)

do pravata e:

242

8

11

|521|

22

d 322 d

Bidej}i 22 2532 rd sleduva d > r, t. e. pravata l i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Zabele{ka : Do istiot zaklu~ok }e dojdeme i ako go razgledame re{enieto na sistemot ravenki:

025)2()1(

0522 yx

yx

025)25()1(

522 xx

xy

025122

52 xx

xy

Diskriminatata D na kvadratnata ravenka e: 056200144 D , pa sleduva deka sistemot nema

realni re{enija, t. e. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Primer 2: Da ja ispitame zaemnata polo`ba na pravata 02: yxl i kru`nicata

.0282: 22 yxyxK

Re{enie: Koordinatite na centarot i radiusot na kru`nicata se:

.15,4,1 2 rqp Za rastojanieto od centarot do dadenata prava imame: .2

1

11

|241|

d

Page 5: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 5

Sleduva: ,152

1 22 rd t. e. rd , {to zna~i pravata ja se~e kru`nicata. Neka

NMKl , . Da gi opredelime koordinatite na prese~nite to~ki M i N. Imame:

0282

222 yxyx

xy

02)2(82)2(

222 xxxx

xy

053

22 xx

xy

2

293

2

2,1x

xy

Sleduva, prese~nite to~ki na pravata i kru`nicata )2

297,

2

293(

M i )

2

297,

2

293(

N

Primer 3: Za pravata kxyl : da gi opredeleme verdnostitena parametarot k taka {to taa:

a) ja presekuva kru`nicata ;01610: 22 xyxK

b) ja dopira kru`nicata;

v) nema zaedni~ka to~ka so taa kru`nica.

Re{enie: Koordinatite na centarot na kru`nicata se ,5p

0q i .92 r Rastojanieto d od centarot na kru`nicata do pravata e:

1

|5|

)1(

|0)5(|

222

k

k

k

kd ili .

1

252

22

k

kd

a) Uslovot d < r ,odnosno 22 rd e ispolnet ako 9

1

252

2

k

k

9925 22 kk 916 2 k

4

3|| k . Zna~i, pravata ja presekuva

kru`nicata za site vrednosti na k takvi {to: .4

3

4

3 k

b) Sli~no kako pod a), od uslovot d = r, dobivame .4

3k Zna~i, imame dve pravi {to ja dopiraat

kru`nicata; xyl4

3:1 i .

4

3:2 xyl Dopirnite to~ki KlTKlT 2211 , }e gi najdeme kako

re{enija na sistemite:

01610

4

3

22 xyx

xy i

01610

4

3

22 xyx

xy

soodvetno, od kade dobivame: )5

12,

5

16(1 T i )

5

12,

5

16(2 T (crt. 4).

v) Za

4

3|| k , t. e.

4

3k ili ,

4

3k pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Primer 4: Da ja opredelime zaemnata polo`ba na pravata 010: yxl i kru`nicata

.1: 22 yxK

Re{enie: Da go re{ime sistemot ravenki:

1

01022 yx

yx

099202

102 xx

xy

Bidej}i diskriminanta na kvadratnata ravenka 099202 2 xx e ,0392 D zaklu~uvame deka

pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Primer 5: Da ja opredelime ordinatata q na centarot S na kru`nicata ,20)()5(:)( 22 qyxk

taka {to kru`nicata ja dopira pravata 012:)( yxl .

Re{enie: ]e go koristime uslovot (2) za dopir na prava i kru`nica. Od ravenkite na pravata i

kru`nicata nao|ame: ;2

1,

2

1 nk centarot na kru`nicata e vo to~kata S (5,q) i .202 r Sega, od uslovot

za dopir imame: )14

1(20)

2

1

2

5( 2 q ,25)3( 2 q od kade dobivame 81 q i .22 q Zna~i, postojat

dve kru`nici koi go ispolnuvaat dadenipt uslov: 20)8()5(: 221 yxK i .20)2()5(: 22

2 yxK

3.Ravenka na tangenta i normala vo to~ka od kru`nicata

y

x

l1

S O

k

T1

T2

l2Crt.4

Page 6: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 6

Vo prethodnata to~ka go razgledavme slu~ajot koga pravata l dopira dadena kru`nica K vo

edna nejzina to~ka M, koja ja narekuvame dopirna to~ka. Od geometrijata znaeme deka tangentata mt

vo dadena to~ka M od kru`nicata e normalna na pravata {to minuva niz centarot S na kru`nicata i

to~kata M, t. e. mt SM (crt. 1). Vrz osnova na ovie fakti }e ja odredime ravenkata na tangentata vo

dadena to~ka M od kru`nicata.

Neka se dadeni kru`nicata K so ravenka vo normalen vid

222 )()(: rqypxK ………………………….…………..…………….………………………(1)

i to~kata .),( 11 KyxM Pravata niz centarot na kru`nicata S (p,q) i

),( 11 yxM ima ravenka: ).(: 11

11 xx

px

qyyySM

Od uslovot

mt SM ,

go nao|ame koeficientot na pravecot na tangentata ,tk t. e.

qy

px

px

qykt

1

1

1

1

1 pa ravenkata na tangentata glasi:

mt )(: 11

11 xx

qy

pxyy

ili

0))(())(( 1111 yyqyxxpx ……………………………………………..…….…….……………(2)

]e ja transformirame ravenkata (2) vo vod pogoden za pamtewe i primena. Bidej}i ,),( 11 KyxM va`i:

221

21 )()( rqypx ………………………………………………………….….………………………….(3)

Ako gi sobereme ravenkite (2) i (3), po sreduvawe, dobivame:

221

211111 )()())(())(( rqypxyyqyxxpx

2111111 )()( rqyyyqypxxxpx

211 ))(())(( rqyqypxpx ………………………..…………….……..……………………….(4)

Ravenkata(4) e ravenka na tangenta na kru`nica vo to~kata .),( 11 KyxM

Specijalno, ako K e centralna kru`nica, t. e. ,: 222 ryxK toga{ ,0 qp pa ravenkata na

tangentata (4) dobiva vid:

211 ryyxx ………………………………………..……………………………………..….(5)

Primer 1: Da napi{eme ravenka na tangenta na kru`nicata ,0192: 22 xyxK vo to~kata

).)(0,1( KTyT

Re{enie: Prvo ja opredeluvame ordinatata na to~kata T od uslovot 019121: 22 yKT

.4y Poradi uslovot ,0y go zemame samo re{enieto ,4y pa sleduva dopirnata to~ka da e

).4,1(T Sega ravenkata na kru`nicata K ja sveduvame normalen vid ,20)1( 22 yx od koj, soglasno so

ravenkata (4), ja dobivame ravenkata na baranata tangenta:

20)4)(04()1)(11( yx ili 0172: yxtt .

Primer 2: Vo presekot na pravata 0257: yxl i kru`nicata 2522 yx se konstruirani tangenti.

Da gi napi{eme nivnite ravenki.

Re{enie: Prese~nite to~ki na pravata i kru`nicata se re{enijata na sistemio ravenki:

25

025722 yx

yx

4,3

3,4

21

21

yy

xx. Sleduva, prese~nite to~ki na pravata i

kru`nicata se: ),4,3(),3,4( 21 TT pa ravenkite na tangentite }e

bidat 02534:1 yxt i .02543:2 yxt

Primer 3: Od to~kata M (1,6) se konstruirani tangenti na

kru`nicata .019222 xyx Da gi najdeme ravenkite na tangentite.

Re{enie: Poznato e deka od edna nadvore{na to~ka M na kru`nicata K

mo`e da se konstruiraat dve tangenti (crt. 2). So dopolnuvawe do poln

kvadrat ja zapi{uvame kru`nicata vo normalen vid ,20)1(: 22 yxK

za koja )0,1(S i .202 r Neka ravenkata na tangentata e

.: nkxyt ……………………………………………………………….(1)

vo koja treba da gi opredelime koeficijentite k i n. Bidej}i tM nejzinite koordinati ja

zadovoluvaat ravenkata (1), t. e . imame:

nk 6 ……………………………………………..………………………….……….(2)

y

d=rtM

S

O

k

T

Crt.1

y

S O

M

T1

rr

T2

Crt.2

Page 7: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 7

Uslovot za dopir na pravata (1) i kru`nicata K vo dadeniov slu~aj e

),1(20)0)1(( 22 knk odnosno 2020)( 22 knk ili

.020219 22 nknk …………………………….……………………..…....(3)

Zna~i, za opredeluvawe na k i n go imame sistemot ravenki:

020219

622 nknk

nk..................................................................(4)

~ii re{enija se: 2,2

121 kk i .8,

2

1121 nn So zamena vo (1) gi dobivame tangentite:

0112:1 yxt i 082:2 yxt

Pred da go re{ime sledniot primer da se potsetime na defenicijata za normala na

kru`nica:normala na kru`nicata vo dadena to~ka od nea e pravata {to e normalna na tangentata vo

dadenata to~ka.

Primer 4: Niz to~kata N (2,3), da povle~eme normala na kru`nicata 0142: 22 yxyxK .

Re{enie: Prvo da proverime dali to~kata N (2,3) pripa|a na kru`nicata. Bidej}i

0201342232 22

Sleduva deka to~kata N ne e na kru`nicata. Od definicijata za normala na kru`nica sleduva deka

normalata mora da minuva niz centarot na kru`nicata. Ravenkata na kru`nicata K vo normalen vid e

6)2()1( 22 yx od kade nao|ame .6),2,1( 2 rS Ravenkata na normalata n }e ja opredelime kako

ravenka na prava niz dve to~ki N i S )2,1(,3,2( SN . Sleduva )1(12

232:

xyn t. e. 075 yx

Primer 5: Da opredelime pod koj agol se gleda kru`nicata 13)1()2(: 22 yxK od to~kata M

(3,6)?

Re{enie: Baraniot agol e agolot me|u tangentite konstruirani od to~kata KM do kru`nicata

K .Neka ravenkata na tangentata e .: nkxyl Od uslovot lM , dobivame 6=3k + n, a od uslovot za

dopir na pravata l i kru`nicata K imame: ).1(13)12( 22 knk Zna~i za da gi opredelime k i n, go

dobivame sistemot

.

)1(13)12(

6322 knk

nk Otkako }e go re{ime gorniot sistem gi nao|ame tangentite:

01232:1 yxt i .02123:2 yxt Koeficientite na pravci na tangentite 1t i

2t se

3

21 k i

2

32 k soodvetno. Bidej}i ,121 kk sleduva .21 tt Zna~i, od to~kata M kru`nicata se gleda pod

prav agol.

4. Elipsa. Centralna ravenka na elipsa

1. Poimot elipsa ti e poznat od geometrijata, geografijata, fizikata i dr. Ovaa kriva e od golema

prakti~na va`nost vo mnogu oblasti, od umetnosta do astronomijata. Na primer, kru`en objekt gledan od

persperktiva prestsvuva elipsa, prirodnite i ve{ta~kite sateliti se dvi`at po elipti~ni pateki.

Ottamu proizleguva i potrebata za nejzino detalno prou~uvawe.

Geometriskata definicija na elipsata e slednata.

Definicija: Elipsa e mno`estvo so site to~ki M ( x,y ) vo ramninata takvi {to zbirot od

rastojanijata do dve fiksni to~ki 1F i 2F od istata ramninae konstanten.

To~kite 1F i 2F se vikaat fokusni to~ki ili fokusi na elipsata, a sredi{nata to~ka S na

otse~kata 1F 2F - centar na elipsata. Zna~ki, elipsa e mno`estvoto

aFMFMyxME 2),( 21

Ovaa definicija za elipsata mo`eme da ja potvrdime nagledno so edna mnogu ednostavna

prakti~na postapka, ilustrirana na crt. 1. Izbirame dve fiksni to~ki 1F i 2F i okolu niv zavitkuvame

jamka od konec so dol`ina l, taka {to konecot da ne e optegnat, odnosno

.2 21FFl So vrvot na moliv go optegnuvame konecot do to~kata M, a

potoa go vle~eme po ramninata dr`ej}i go konecot optegnat. Na ovoj

na~in }e iscrtame elipsa (crt. 1), pri {to za proizvolna to~ka M va`i:

lFFFMFM 2121 ili .2121 FFlFMFM

Zna~i, ako to~kata M se dvi`i po elipsata zbirot 21 FMFM sekoga{

ila konsntantna vrednost .21FFl

M

F1 F2

Crt.1

Page 8: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 8

Za da ja ispitame elipsata i da ja opredelime nejzinata

ravenka vo poednostaven vid, najpogodno e da ja razgleduvame

vo izbran pravoagolen koordinaten sistem za koj

koordinatniot po~etok e vo centarot S na elipsata, a x-

oskata minuva niz fokusite 1F i

2F (crt. 2). Ako

rastojanieto od centarot O do edniot i drugiot fokus e s ,

toga{ )0,(1 cF i ).0,(2 cF Prese~nite to~ki na elipsata so

koordinatnite oski se temiwa na elipsata: 21, AA so x-

oskata i 21, BB so y- oskata. Otse~kata

21 AA se vika golema

oska, a otse~kata 21BB mala oska za elipsata. Zabele`uvame

deka, spored gornite opredeluvawa, elipsata e simetri~na

kako vo odnos na golemata, taka i vo odnos na malata oska.

Neka dol`inata na golemata oska e ),(2 caa a dol`inata na malata oska b2 t. e.

.2,2 2121 bBBaAA

Brojot a go vikame golema poluoska, a b mala poluoska za elipsata.

Rastojaniata na to~kata EM do fokusite, 11 rFM i ,22 rFM gi narekuvame fokusni radiusi

za to~kata M (crt. 3). ]e poka`eme deka za proizvolna

to~ka ,),( EyxM va`i

aMFMF 221 ….……………………………………….(1)

Navistina, ako to~kata M se dvi`i po elipsata,

spored definicijata, sumata 21 MFMF ne se menuva {to

zna~i deka taa e ista i za to~kite 1A i

1B t. e. va`i:

11FA 211121 FBFBFA ………..…...…………(2)

Poradi simitri~nosta 1F i

2F vo odnos na S

imame

2111 FBFB …………………………………………………………………………...…(3)

pa so zamena vo (2) nao|ame:

212111 2 FBFAFA …………..………..….…..……………………………………………(4)

No, isto taka (poradi simetrija) va`i

2221 `FAFA pa toga{ od (4) dobivame:

aAAFAFAFAFAFB 22 211211211121

od kade sleduva:

aFB 21 …………………………………………….………(5)

Sega, primenuvaj}i ja Pitagorovata za triagolnikot

21CFB nao|ame:

222 cba …………………………………………………....(6)

1. Da ja najdeme ravenkata na elipsata. Od seto gore

ka`ano sleduva deka za proizvolna to~ka ),( yxM od

elipsata va`i:

aMFMF 221 ………………………………………………………………………(7)

Koristej}i ja formulate za rastojanie me|u dve to~ki poslednoto ravenstvo go zapi{uvame vo vid:

aycxycx 2)()( 2222 …………………………………….…………(8)

Ravenkata (8) e ravenka na elipsa vo izbraniot koordinaten sistem, no toj oblik ne e pogoden za

prakti~na primena, pa zatoa ravenkata (2) }e ja dovedeme do oblik popogoden za primena. Za ta a cel,

najnapred ravenkata (2) mo`eme da ja zapi{ime vo ekvivalenten oblik:

2222 )(2)( ycxaycx

Po kvadrirawe na dvete strain i po sreduvawe dobivame:

,)( 222 ycxacxa

a so povtorno kvadrirawe i sreduvawe, dobivame:

a x

y

b

c

a

c

A2A1

B2

B1 M

O

F1 F2

Crt.2

x

y

r1

A2A1

B2

B1 M

O

F1 F2

r1 r2r2

Crt.3

a

x

y

b

c A2A1

B2

B1

O

F1 F2

a

Crt.4

Page 9: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 9

).()( 22222222 caayaxca

Bidej}i ,222 bca odnosno ,222 bca poslednoto ravenstvo go dobiva oblikot

222222 bayaxb …………………………………………………………………….….……….(9)

Ako dvete strain na ravenkata (9) gi podelime so ,022 ba ja dobivame ravenkata:

12

2

2

2

b

y

a

x ……………………………………..………………………………………………(10)

Ravenkata (9), odnosno (10), e najednostaven vid ravenka na elipsa ja narekuvame centralna ili

kanoni~na ravenka na elipsata.

Bidej}i dvete promenlivi se stepenuvani samo na paren stepen, od ravenkata na elipsata (10)

neposredno sleduva nejzinata simetrija vo odnos na koordinatniot po~etok i koordinatnite oski.

Taka, ako to~kata ,),( EyxM sleduva deka to~kite ),(),,( 21 yxMyxM i ),(3 yxM isto taka

pripa|aat na elipsata E.

Na primer, to~kata )2,3(M le`i na elipsata ,144188: 22 yxE bidej}i

,14441898 od kade vedna{ sleduva deka i to~kite

)2,3(),2,3(),2,3( 321 MMM isto taka le`at na elipsata. Bidej}i temiwata na

elipsata se prese~nite to~ki na elipsata so koordinatnite oski, nivnite

koordinati gi dobivame kako re{enija na sistemite ravenki:

22222 0,0 baaxby 22 ax ,ax pa );0,(),0,( 21 aAaA isto taka, za

22222 0,0 baxabx 22 by ,by pa )0,(1 bB i ).0,(2 bB

Zabele{ka : Za broevite a i b vo ravenkata (10), jasno e deka, spored (6),

va`i a > b. Ako fokusite na elipsata se na y-oskata, toga{ }e va`i b > a(crt.

5).

Ako od ravenkite na elipsata (9) ili (10) go izrazime y preku x, dobivame:

.22 xaa

by ……………..……………………………..…………………….(11)

Od ravenkata (11) sleduva uslovot ,022 xa odnosno 22 ax t. e. .axa Zna~i .,aax

Sleduva deka to~kite na elipsata se nao|aat vo pravoagolnik ograni~en so pravite: ax i .by

Primer 1: Da gi opredelime oskite, temiwata i fokusite na elipsata .164: 22 yxE

Re{enie: Ravenkata na elipsata E ja sveduvame vo normalen vid, t. e. ,1416

22

yx

od kade 162 a i

,42 b zna~i golemata oska e ,82 a a malata oska e ,42 b temiwata se vo to~kite:

)2,0(),0,4(),0,4( 121 BAA i ).2,0(2 B Koordinatite na fokusite gi nao|ame od uslovot: 222 bca

,22 bac od kade dobivame: 32416 c , pa )0,32(1 F i .0,32(2F

Primer 2: Da sostavime ravenka na elipsa ako se dadeni poluoskata 5a i rastojanieto na

fokusite do centarot na elipsata 3c .

Re{enie: Potrebno e da ja opredelime poluoskata b . Bidej}i 16925222 cab ravenkata na

elipsata glasi: 11625

22

yx

Primer 3: Da sostavime ravenka na elipsa, ako se doznae deka 25ba i .5c

Re{enie: Treba da gi opredelime poluoskite a i b. Od sistemot

5

2522 ba

ba

25

2522 ba

ba

dobivame ,12,13 ba pa ravenkata na elipsata e: 1144169

22

yx

Primer 4: Na elipsata ,100254: 22 yxE da opredelime to~ka ~ija apscisa e -3.

Re{enie: So direkna zamena vo ravenkata na elipsata, dobivame:

10025)3(4 22 y ,25

642 y t. e. .5

8y

Zna~i, dobivame dve to~ki )5

8,3(1 M i ),

5

8,3(2 M koi se simetri~ini vo odnos na x- oskata.

Zabele{ka : Koli~nikot od fokusnoto rastojanie 2s i golemata oska 2a, se vika numeri~ki (broen)

ekscentricitet t. e.

a

c

a

c

2

2 i bidej}i c < a, sleduva .1 ,0 toga{ ,0c pa ,ab i vo toj

O

F

F

B1

B2

y

A1 A2

Crt.5

Page 10: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 10

slu~aj ravenkata (4) preminuva vo

2

2

2

2

a

y

a

x =1 ili

222 ayx {to pretstavuva ravenka na

kru`nica. Zna~i, kru`nicata e specijalen slu~aj na elipsa so numeri~ki ekscentricitet nula, t. e.

.ba

Primer 5: Dadena e ravenkata na elipsata .324369: 22 yxE Da ja opredelime dol`inata na

tetivata {to minuva niz fokusot )0,(2 cF i e paralelna so orbinatnata oska.

Re{enie: Tetivata {to minuva niz ),0,(2 cF ja se~e elipsata vo

to~kite ),( 01 ycP i ),( 02 ycP (crt. 6). Ordinatata 0y }e ja odredime

od ravenkata: .: 22 xaa

byE To~kite

1P i 2P le`at na

elipsata, pa zatoa .2

220

a

bb

a

bca

a

by

Toga{ baranite krajni to~ki na tetivata se:

),,(),,(2

2

2

1a

bcP

a

bcP a dol`inata na otse~kata e ,221 pPP t. e.

.2

22

a

bp Ovaa dol`ina se vika parameter na elipsata, a

a

bp

2

e poluparametar.

Za dadenata elipsa dobivame 1936

22

yx

i .2

3

6

9p

5. Zaemna polo`ba na prava i elipsa

Polo`bata na pravata nkxyl : vo odnos na elipsata 222222: bayaxbE se odreduva vo

zavisnost od re{enijata od sistemot ravenki:

222222 bayaxb

nkxy

0)(2)( 22222222 bnaknxaxbka

nkxy……………………….…….(1)

Diskriminatata na kvadratnata ravenka e )(4 222222 nbkabaD i od nea zavisi kakvi se

re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1) . Pritoa se mo`ni slednive tri

slu~aji: 0,0 DD i .0D Bidrj}i ,04 22 ba znakot na D zavidi zamo od znakot na izrazot

,2222 nbka ………………………………………………..…………………..….(2)

pa sleduva:

1. ako 0D t . e. ,2222 nbka kvadratnata ravenka ima

dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e elipsata vo dve to~ki,

t. e.

., 21 MMEl

2. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i

elipsata E imaat edna zaedni~ka to~ka, t . e. ,TEl a

relacijata

2222 nbka ………………………………………..(3)

pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i elipsata E;

3. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i

elipsata e nemaat zaedni~ka to~ka, t. e. .Kl

Primer 1: Dadeni se pravata 023: yxl i elipsata .64164: 22 yxE Kakva e nivnata zaemna

polo`ba?

Re{enie: Ravenkata na elipsata ja sveduvame vo oblik ,1416

22

yx

od kade ,2,4 ba a od

ravenkata na pravata 23 xy imame 2,3 nk i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame

,44916 zna~i pravata l ja prese~kuva elipsata e vo dve to~ki t. e. ., 21 MMEl Koordinatite na

1M i 2M gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki:

OF1 F2

P1

P2

x

y

Crt.6

O

M1

M2

x

y

T

l

Crt.1

l

l

Page 11: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 11

64164

02322 yx

yx

644837

232 xx

xy .

37

48,0

37

70,2

21

21

xx

yy Zna~i )2,0(1M i )

37

70,

37

48(2 M

Primer 2:Dadena e pravata 0:)( nyxl i elipsata .144169: 22 yxE Da go opredelime n taka

{to pravata l da ja dopira elipsata E.

Re{enie: Od ravenkata na elipsata E dobivame deka ,9,16 22 ba a od ravenkata na pravata l

imame ,1k pa toga{ so zamena na ravenstvoto (3) dobivame

22 9)1(16 n t. e. .5n

Ravenkata na pravata e 05 yx

Primer 3: Za koi vrednosti na koeficientot k pravata ,011: ykxl i elipsata

,197: 22 yxE nemaat zaedni~ki to~ki?

Re{enie: Eksplicitniot vid na ravenkata na pravata (l) e ,11 kxy od kade ,11n a ravenkata na

elipsata vo kanoni~en vid e ,1

9

1

7

1

22

yx

od kade nao|ame

7

12 a i .9

12 b

Toga{, od uslovot 2222 nbka imame 119

3

8k t. e. 199

3

8,119

3

8k

Primer 4: Od to~kata )7,2(M povle~eni se tagentite na elipsata .1004: 22 yxE Kako glasat

nivnite ravenki?

Re{enie: Od edna to~ka {to ne le`i na elipsata, mo`at da se povle~at dve tagenti do nea

(analogno kako na kru`nica). Neka baranata ravenka na tagentata e .:)( nkxyl Od ravenkata na

elipsata 1004 22 yx imame 1002 a i .252 b To~kata ,lM pa zatoa .27 nx So re{avawe na

sistemot ravenki

,

25100

7222 nk

nxdobivame .

4

25,

3

25,

8

3,

3

22121 nnkk Sleduva, ravenkite na tagentite se:

02532:1 yxt i 050832 yxt

Primer 5: Kako glasi ravenkata na elipsata E, ako se dadeni ravenkite na dve njzini tagenti:

02583:1 yxt i 02564:2 yxt ?

Re{enie: Bidej}i elipsata gi dopira dvete pravi, so zamena na

8

25,

8

311 nk i

6

25,

3

222 nk vo ravenstvoto (3), go dobivame sistemot na ravenkite: ,

36

625

9

4

64

625

64

9

22

22

ba

ba

~ie re{enie e

252 a i ,4

252 b pa ravenkata na elipsata e: 1

25

4

25:

22

yx

E

6. Ravenka na tangenta i normala vo to~ka na elipsata

Neka se dadeni elipsata E so ravenkata

222222: bayaxbE

i to~kata ),( 11 yxT od elipsata. Treba da ja opredelime ravenkata na tagentata t na elipsata vo to~kata

T (crt .1).

Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid

nkxyt : ………………………………………………………………(1)

Koeficientite k i n }e gi opredelime od uslovot praveta i

elipsata da imaat edna zaedni~ka (dopirna) to~ka, odnosno

sistemot ravenki

222222 bayaxb

nkxy…………………………………………..…..(2)

da ima edno edninstveno re{enie.

Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja

dobivame ravenkata 02)( 222222222 banaknxaxbka

O

x

y

Tt

n

Crt.1

Page 12: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 12

~ii re{enija se ,

222

22222

2,1bka

nbkaabknax

……………………….………………………..…………….…..…….(3)

Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata ,nkxy dobivame

.222

22222

2,1bka

nbkaabknby

……………..…………………………………………………..….(4)

Od uslovot, pravata e tangenta na elipsata, imame

02222 nbkaD t. e. 2222. nbka ..………………………………..…………….(5)

Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se ,2

1n

kax ,

2

1n

by od kade ,

2

1

a

nkk

,1

2

y

bn odnosno ,

12

12

ya

xbk

1

2

y

bn …………………………………………………..…………………………………….………………….(6)

Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:

,1

2

12

12

y

bx

ya

xby ……………………………………………………………..………..…………..(7)

,221

21

2 bayyaxxb ………………..………………………………………….……..……….(8)

ili

12

1

2

1 b

yy

a

xx………………………………………………………………………….(9)

Ravenkata (7) e ravenka na tangentata na elipsata vo eksplicitrn vid, ravenkata (8) e ravenka na

tangentata vo op{t vid, a (9) e nejziniot segmenten vid.

Normalata na elipsata vo to~kata ),( 11 yxT e pravata {to e normalna na tagentata na elipsata vo

to~ka ta T, pa nejzinata ravenka e:

)( 1

12

12

1 xxxb

yayy …………………………………………………………….…………(10)

Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(8,3) od elipsata .1004: 22 yxE

Re{enie: Od ravenkata na elipsata imame ,25,100 22 ba a koordinatite na dopirna to~ka se

.3,8 11 yx Ako ovi vrednosti gi zamenime vo (6) dobivame: ,251003100825 yx odnosno

02532: yxt

Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata )0,2( yT od elipsata

.1682:)( 22 yxE

Re{enie: Bidej}i ET ,16822 22 y od kade .1y Od uslovot 0y sleduva deka dopirnata

to~ka e ).1,2( T Toga{ ravenkata na tagentata e: .042: yxt

Normalata na elipsata vo to~kata T ima ravenka ),2(21: xyn odnosno .032 yx

Primer 3: Da gi napi{ime ravenkite na tanentata na elipsata ,12032: 22 yxE koi od

koordinatnite oski otsekuvaat ednakvi otse~ki.

Re{enie: Pravata koja otsekuva ednakvi otse~ki na koordinatnite oski ima ravenka: ,1m

y

m

xodnosno

,0 myx od kade dobivame deka koeficientite na pravecote ,1k a otse~okot na y-oskata

e .mn Od ravenkata na elipsata dobivame 602 a i .402 b Ako najdenite golemini gi zamenime vo

uslovot za dopir na prava i elipsa ),( 2222 nbka dobivame ,4)1(60 22 m .10m

Zna~i imame dve tangenti koi go zadovoluvaat uslovot na zada~ata. Nivnite ravenki se:

010:1 yxt i 010:2 yxt

Primer 4: Da ja sostavime ravenkata na tangentite vo prese~nite to~ki na pravata 072: yxl i

elipsata .254: 22 yxE

Re{enie: Koordinatite na prese~nite to~ki se repenija ma sistemot ravenki

Page 13: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 13

254

7222 yx

yx

254)27(

2722 yy

yx

.

2

3,2

4,3

21

21

yy

xx Zna~i, prese~nite to~ki se

)2,3(1M i ),2

3,4(2M pa ravenkite na tangentite se 02583:1 yxt i 02564:2 yxt

7. Hiperbola. Ravenka na hiperbola

Za razlika od kru`nicata i elipsata , vo dosega{noto izu~uvawe na matamatikata hiperbolata

kako kriva od vtor red e spomnuvana mnogu malku. No, toa ne zna~i deka taa e od pomala prakti~na

va`nost. Izu~uvaweto na hiperbata e osobeno zna~ajno za astronomijata, radio navigaciskite sistemi,

i dr. Geometriskata definicija za hiperbolata e slednata.

Definicija: Neka 1F i 2F se dve fikasni to~ki vo ramninata i neka e 1F 2F .2c Hiperbola e

mno`estvo od site to~ki M (x,y) vo ramninata takvi {to

apsolutnosta golemina na razlikata od rastojanijata od M do

1F i 2F e konstantna i ednakva na 2a (a < c).d istata ramninae

konstanten.

Zna~i, niperbolata e mno`estvo

aFMFMyxMH 2),( 21

To~kite 1F i 2F se vikaat fokusi na hiperbolata, a

rastojanieto me|u fokusite 21FF se vika fokusno rastojanie.

Sredi{nata to~ka O za otse~ka 1F 2F se vika centar na hiperbolata. Analogno kako kaj elipsata, za da ja

opredeleme ravenkata na hiperbolata, koordinatniot

sistem xOy go izberime taka {to fokusite da le`at na x-oskata, y-oskata e simetrala na fokusnoto

rastojanie 1F 2F , a koordinatniot po~etok e vo centarot C na hiperbolata.Toga{ fokusite imaaat

koordinati )0,(1 cF i ).0,(2 cF To~kite 1A i 2A vo koi hiperbolata ja se~e x-oskata, se temiwa na

hiperbolata.

]e poka`eme deka rastojanieto .221 aAA Navistina, spored definicijata, za proizvolna to~ka

M od edna granka na hiperbolata, na primer od desnata, razlikata 21 MFMF ima konstantni

vrednosti 2a. No, toa treba da va`i i koga namesto M }e ja zememe to~kata 2A , a toga{ imame:

.22111122212 aAAFAFAFAFA

Sleduva koordinatite temiwa se )0,(1 aA i ).0,(2 aA

Rastojanijata 11 rFM i 22 rFM si vikame fokusni radiusi za to~kata M. Od definicijata na

hiperbolata imame:

aMFMF 221 t. e. )0(221 aarr ……………….………………………………………….(1)

no, za stranite na triagolnikot 1F 2F M va`i neravenstvoto ,221 crr pa sleduva .22 ca t. e.

.ca Sega, soglasno so formulate za rastojanie me|u dve to~ki, od relacijata (1) ja dobivame ravenkata

aycxycx 2)()( 2222 ………………………………..………….…………………….(2)

Ravenkata (2) pretstsvuva ravenka na hiperbola. No, oblikot (2) ne e pogolem za prakti~na primena,

pa zatoa ravenkata (2) }e ja transformirame do poednostaven oblik.

Najnapred, ravenkata (2) ja zapi{uvame vo vid:

aycxycx 2)()( 2222

odnosno

.)(2)( 2222 ycxaycx

Po kvadrirawe na dvete straini i po sreduvawe dobivame

222 )( ycxaacx

So povtorno kvadirawe i sreduvawe ja dobivame ravenkata

).()( 22222222 acayaxac

Bidej}i c > a sleduva ,022 ac pa stavaj}i 222 bac poslednata ravenka go dobiva vidot:

222222 bayaxb …………………………………..…………..………………………….(3)

12

2

2

2

b

y

a

x………………………………………………..……………………………………..(4)

F2(c,0)F1(-c,0)

y

x

A1 A2

O

Crt.1

Page 14: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 14

Ravenkata (3) odnosno (4) ja vikame kanoni~na (centralna) ravenkana hiperbola.

Bidej}i vo ravenkata (3) i dvete promenlivi x i y se javuvaat samo na paren stepen (kvadrat),

sleduva deka hiperbolata N e simetri~na vo odnos i na koordinatnite oski i na koordinatniot

po~etok. Imeno, ako ,),( HyxM sleduva deka i to~kite ),(),,( 21 yxMyxM i ),(3 yxM isto taka

pripa|aat na hiperbolata.

Na primer, to~kata ),2,23(M le`i na hiperbolata

,149

22

yx

bidej}i ,1124

4

9

18

4

2

9

)23( 22

no i to~kite )2,23(),2,23( 21 MM i

)2,23(3 M isto taka le`at na hiperbolata .

Ako ravenkata na hiperbolata (3) ja re{ime y,

dobivame:

.22 axa

by ……

………………………………………………………………..………..(5)

Od ovaa ravenka mo`e da zaklu~ime deka hiperbolata

e definirana za 022 ax ,ax t. e. za ax ili

,ax [to zna~i deka nejzinite to~ki vo desno od .ax

Zna~i, hiperbolata e kriva od vtor red koja se sostoi od dve granki, {to ne be{e slu~aj so kru`nicata i

elipsata. Prese~ni to~ki na hiperbolata so x-oskata se to~kite )0,(1 aA i ),0,(2 aA temiwa na

hiperbolata. Dol`inata aAA 221 ja vikame realna oska, a dol`inata ,221 bBB kade ),,0(1 bB ),0(2 bB

i 222 acb ja vikame imaginarna oska (bidej}i taa ne sodar`i to~ki od hiperbolata)(crt. 2).

Zabele{ka: Koli~nikot od fokusnoto rastojanie cFF 221 i dol`inata na realnata poluoska se

vika numeri~ki ( broen) ekscentricitet t. e.

.2

2

a

c

a

c ……………………………………………….……………....(6)

Bidej}i za hiperbolata imame c > a, sleduva .1 Isto taka,

bidej}i ,222 bac t. e. 22 bac , va`i

.12

222

a

b

a

ba

a

c

………………………………….(7)

Numeri~kiot ekscentricitet za hiperbolata ja opredeluva

otvorenosta na grankite na hiperbolata. Imeno, ako pri

fiksirana poluoska a se zgolemuva ekscentricitet, toga{ se

zgolemuva odnosot

a

b (odnosno b), a so toa se zgolemuva

otvorenosta na hiperbolata(crt. 3).

Primer 1: Dadeni se realnata poluoska a=4 i i imagiarnata poluoska b=3. Da ja najdeme ravenkata

na hiperbolata, koordinatite na fokusite i brojniot ekscentricitet.

Re{enie: ravenkata na hiperbolata }e bide 1916

22

yx

ili ,5916 c pa fokusite se

)0,5(1 F i )0,5(2F , a numeri~kiot ekscentricitet

4

5

Hiperbolata ima u{te edno svojstvo, koi dosega izu~enite krivi od vtor red go nemaat. Imeno, koga

apscistite na to~kite na hiperbolata neograni~no rastat po apsolutna vrednost soodvetnite ordinate

se dobli`uvaat do ordinatitena pravite xa

by i ,x

a

by a toa se pravite {to gi sodr`at

dijagonalite na paralelogramot PQRS se strain 2a i 2b (crt. 4). Zna~i, ako to~kata ),( yxM se dvi`i po

hiperbolata stremej}i se kon beskone~nost, toga{ taa se dobli`uva do edna od pravite xa

by ili

xa

by . Pravite koi go imaat ovaa svojstvo se vikaat asimptoti na hiperbolata. Sleduva, pravite

xa

by i x

a

by se asimptoti za hiperbolata zadadena so ravenkata

.12

2

2

2

b

y

a

x

F2(c,0)F1(-c,0)

y

x

A1 A2

O

B1

B2

a a

cccb

Crt.2

y

x

A1 A2

O a

b1 b2

Crt.3

Page 15: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 15

Primer 2: Dadena e hiperbolata .3694 22 yx Da gi opredelime poluoskite, koordinatite na

fokusite i ravenkite na asimptotite, a potoa da ja nacrtame hiperbolata.

Re{enie: Ja zapi{uvame hiperbolata vo kanoni~en vid ,149

22

yx

od kade gi opredeluvame

poluoskite a=3, b=2, i ,1349 c pa fokusite se )0,13(1 F i ).0,13(2F Ravenkite na

asimptotite se xa

by i x

a

by .

Primer 3: Dadena e niperbola so ravenkata .124: 22 yxH Da ja opredelime dol`inata na

tetivata {to minuva niz eden od fokusite na hiperbolata i e paralelna so y-oskata.

Re{enie: Analogno kako kaj elipsata i ode dol`inata na baranata tetiva se narekuva parameter na

hiperbolata N, koj se ozna~uva so 2r i za nego va`i ,2

22

2bp dodeka

a

bp

2

se vika poluparametar na

hiperbolata N. Od ravenkata na hiperbolata 1312

22

yx

imame ,3,12 22 ba pa dobivame ,32

3p ili

.2

3p

Primer 4: da napi{eme ravenka na hiperbola N, ako se dadeni ravenkite na najzinite asimptoti

xy3

4 i fokusnoto rastojanie 2s=20.

Re{enie: Bidej}i 2s=20 s=10 , a .10022 ba Potoa od ravenkata na asimptotite xy3

4 imame

.3

4

a

bOd sistemot ravenki

ab

ba

43

10022

dobivame .64,36 22 ba Sleduva, ravenkata na hiperbolata

e 16436

22

yx

Primer 5: Da ja napi{ime ravenkata na hiperbolata {to minuva noz to~kite )1,2(1M i ).7,10(2M

Re{enie: Od uslovot deka to~kite 1M i

2M pripa|aat na hiperbolata sleduva deka nivnite

koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na hiperbolata ,222222 bayaxb t. e. go dobivame sistemot

ravenki:

,49100

42222

2222

baab

baab~ie re{enie e ,1,2 22 ba pa ravenkata na hiperbolata e 22 22 yx

Primer 6: Da ja opredelime ravrnkata na ramnostrana

hipermola {to minuva niz to~kata M(3,-1).

Re{enie: Ramnostrana hiperbla e onaa hiperbla za koja

realnata i imaginalnata oska se ednakvi me|u sebe t. e.

.22 ba Zna~i nejzinata ravenka e .1:2

2

2

2

b

y

a

xH Bidej}i

HM 11922

aa ,82 a pa ravenkata na hiperbolata N

}e bide: 188

22

yx

ili .822 yx

Zabele{ka: Ako fokusite na hiperbolata se na y-oskata, t. e. vo to~kite ),,0(),0( 21 cFcF realna

poluoska e a, a imaginarnata oska e b , toga{ ravenkata na hiperbolata glasi

222222 baybxa ili .1

2

2

2

2

a

y

b

x

Vo ovoj slu~aj asimptoti se pravite: ,xb

ay ekscentricitetot povtorno e .

a

c grafikot e kako na

(crt. 4).

8. Zaemna polo`ba na prava i hiperlbola

Analogno kako kaj elipsata, me|usebnata polo`ba na pravata nkxyl : i hiperbolata

222222: bayaxbH }e ja odredime so diskusija na re{enijata od sistemot ravenki:

1

y

x

a

b

F (-c,0)

2F (c,0)

O

Crt.4

Page 16: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 16

222222 bayaxb

nkxy

0)(2)( 22222222 nbaknxaxkab

nkxy…….………………………..………….…….(1)

I. Neka 0222 kab .Diskriminatata na kvadratnata ravenka e )(4 222222 kanbbaD i od nea

zavisi kakvi se re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se

mo`ni slednive tri slu~aji: 0,0 DD i .0D Bidej}i ,04 22 ba znakot na D zavisi samo od znakot

na izrazot

,2222 nkab ……………………………………….………….………………..…………………..….(2)

pa sleduva:

1. ako 0D t . e. ,2222 nbka kvadratnata ravenka ima dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e

hiprbolata vo dve to~ki, t. e. ., 21 MMEl (Crt.1)

2. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i hiperbolata N imaat edna zaedni~ka to~ka, t

. e. ,THl a relacijata 2222 nbka …………………………..……………………………………………….………………………..(3)

pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i hiperbolata N. (Crt.2)

3. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i hiperbolata nemaat zaedni~ka to~ka, t. e.

.Hl (Crt.3)

y

xO

M1

M2

l

Crt.1

y

xO

l

P

l

T

Crt.2

y

xO

l

Crt.3

II. Neka 0222 kab ., kvadratnata ravenka vo sistemot (1) preminuva vo linearna ravenka i ima

edinstveno rte{enie, pa pravata i hiperbolata imaat edna zaedni~ka to~ka , a toa e slu~ajot koga

a

bk , t.e. koga pravata l e paralelna so edna od asimtotite(Crt.2).

Primer 1: Dadeni se opredeli zaemnata polo`ba na pravata 012: yxl i hiperbolata

.33: 22 yxH

Re{enie: Ravenkata na hiperbolta ja sveduvame vo oblik 131

22

yx

od kade 3,1 22 ba a od

ravenkata na pravata 12 xy imame 1,2 nk i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame

0)2(113 2 zna~i pravata l ja dopira hiperbolata N. Koordinatite na dopirnata to~ka gi nao|ame

kako re{rnija na sistemot ravenki:

33

01222 yx

yx ~ie re{enie e .

2

3

x

y Zna~i dopirnta to~ka e )3,2( T , a pravata e tangenta na

hiperbolata.

Primer 2: Dadeni se opredeli zaemnata polo`ba na pravata 0102: yxl i hiperbolata

204: 22 yxH

Re{enie: Ravenkata na hiperbolta ja sveduvame vo oblik 1520

22

yx

od kade 5,20 22 ba , a od

ravenkata na pravata 102 xy imame 10,2 nk i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame

00252201005 2 Dt.e , {to zna~i pravata l ja se~e hiperbolata N. Koordinatite na

Prese~nite to~ki gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki:

204

010222 yx

yx

084323

1022 xx

xy ~ie re{enie e

2,63

2,3

21

21

xx

yy .Zna~i )2,6(1M i )

3

2,3(2 M

Page 17: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 17

Primer 3: Za koi vrednosti na koeficientot k pravata

2

9: kxyl ja dopira hiperbolata

364: 22 yxH ?

Re{enie: Od ravenkata na pravata sleduva deka

2

9n , a za da pravata ja dopira hiperbolata

1369

22

yx

treba da bide ispolnet uslovot za dopir 2222 nbka t.e.

4

81369 2 k od kade

2

5k .

Zna~i , pri dadeniot uslov postojat dve pravi:

2

9

2

5 xy koi se tangenti na hiperbolata

Primer 4: Od to~kata )9,5(M povle~eni se tagentite na hiperbolata 33: 22 yxH Kako glasat

nivnite ravenki?

Re{enie: Od edna to~ka {to ne le`i na hiperbolata mo`at da se povle~at dve tagenti do nea .

Neka baranata ravenka na tagentata e .:)( nkxyt Od ravenkata na hiperbolata 33: 22 yxH imame

12 a i 32 b . Od uslovot za dopir na pravata i hiperbolata sleduva deka 322 nk , a toa {to to~kata

tM sleduva .59 nk So re{avawe na sistemot ravenki

3

9522 nk

nkdobivame .

4

1,1,

4

7,2 2121 nnkk Sleduva, ravenkite na tagentite se: 012:1 yxt

i 0147:2 yxt

Primer 5: Kako glasi ravenkata na hiperbolata N, ako se dadeni ravenkite na dve njzini tagenti:

012:1 yxt i 0147:2 yxt ?

Re{enie: Bidej}i hiperbolata gi dopira dvete pravi, so zamena na 1,2 11 nk i

4

1,

4

722 nk vo ravenstvoto (3), go dobivame sistemot na ravenkite:

16

1

16

49

1

22

22

ba

ba ~ie re{enie e

12 a i ,32 b pa ravenkata na hiperbolata e : 131

:22

yx

H

9. Ravenka na tangenta i normala vo to~a od hiperlbolata

Neka se dadeni hiperbolata N so ravenkata

222222: bayaxbH

i to~kata ),( 11 yxT od hiperbolata. Treba da ja opredelime ravenkata na tagentata t na hiperbolata vo

to~kata T (crt .1).

Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid

nkxyt : …………………………………………………………………………..……………………………(1)

Koeficientite

a

bk i n }e gi opredelime od uslovot

praveta i elipsata da imaat edna zaedni~ka (dopirna)

to~ka, odnosno sistemot ravenki

222222 bayaxb

nkxy………………………………………….…………………..…..(2)

da ima edno edninstveno re{enie.

Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po

sreduvawe ja dobivame ravenkata

02)( 222222222 banaknxaxkab

~ii re{enija se ,222

22222

2,1kab

nkababknax

………………………….………………………..…………….…..…….(3)

Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata ,nkxy dobivame

.222

22222

2,1kab

nbkaabknby

……………………………………………………..…………..….(4)

Od uslovot, pravata e tangenta na hiperbolata, imame

02222 nkabD t. e. 2222 nbka ..…………………………..……………………….(5)

y

xO

n

t

T(x1,y1)

Crt.1

Page 18: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 18

Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se ,

2

1n

kax ,

2

1n

by od kade

,2

1

a

nxk ,

1

2

y

bn odnosno

,

12

12

ya

xbk

1

2

y

bn …….....…………………………………………..…….….………………….(6)

Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:

,1

2

12

12

y

bx

ya

xby ………………………………….………………..………….…..………..…………..(7)

,221

21

2 bayyaxxb ………………………………………………..……………….……..……….(8)

ili

12

1

2

1 b

yy

a

xx……………………………………………………………….

…………………….(9)

Ravenkata (7) e ravenka na tangentata na hiperbolata vo eksplicitrn vid, ravenkata (8) e ravenka

na tangentata vo op{t vid, a (9) e nejziniot segmenten vid.

Normalata na hiperbolata vo to~kata ),( 11 yxT e pravata {to e normalna na tagentata na

hiperbolata vo to~ka ta T, pa nejzinata ravenka e:

)( 1

12

12

1 xxxb

yayy ………………………………………………………….…………(10)

Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(5,-4) od hiperbolata

.2054: 22 yxH

Re{enie: Od ravenkata na hiperbolata imame 4,5 22 ba a koordinatite na dopirna to~ka se

4,5 11 yx Ako ovi vrednosti gi zamenime vo (8) dobivame: 202020 yx odnosno 01: yxt

Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata )0,4( yT od

hiperbolata .1243: 22 yxH

Re{enie: Bidej}i HT sleduva 12443 22 y od kade 3y . Od uslovot 0y sleduva deka

dopirnata to~ka e )3,4( T Toga{ ravenkata na tagentata e: .01: yxt

Normalata na hiperbolata vo to~kata T ima ravenka )4(13: xyn odnosno .07 yx

Primer 3: Vo to~kata R na hiperbolata 144169: 22 yxH vo prviot kvadrant, ~ija ordinata e

ednakva na poluparametarot na hiperbolata, e povle~ena tangenta na hiperbolata. Da se najde

ravenkata na tangentata.

Re{enie: Spored uslovot na zada~ata dopirnata to~ka e R(s,r) , ~ija apcisa se sovpa|a so apcisata

na fokusot na desnata granka na hiperbolata i ja opredeluvame od uslovot: 222 bac . Od ravenkata

na hiperbolata dobivame 162 a i 92 b . Pa

4

9,5916

2

a

bpc . Zna~i, dopirnata to~ka e

)4

9,5(P , pa ravenkata na tangentata e 01645: yxt .

Primer 4: Da se odredi agolot me|u tangentite {to se povle~eni vo prese~nite to~ki na pravata

0102: yxl i hiperbolata .1243: 22 yxH

Re{enie: Koordinatite na prese~nite to~ki se re{enija na sistemot ravenki

1243

10222 yx

yx

124)210(

21022 yy

yx

3,12

4,14

21

21

yy

xx Zna~i, prese~nite to~ki se

)12,14(1 M i ),3,4(2M pa ravenkite na tangentite se 0287:1 yxt i 01:2 yxt . Koeficientite

na pravecot na tangentite se 1,8

721 kk , pa od formulate za agol me|u dve pravi dobivame:

1515

8

71

8

71

arctgtg

.

Page 19: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 19

10. Parabola.Ravenka na parabola

Krivata parabola e poznata kako grafik na kvadratnata funkcija. Sega }e dademe

geometriska definicija na parabolata.

Definicija: Parabola e mno`estvo od site M (x,y) vo ramninata koi se na ednakvo rastojanie od

dadena prava d doi od dadena to~ka F , takva {to dF .

Zna~i, parabolata e mno`estvoto MPMFyxMP |),(

Pravata d se vika direktrisa, to~kata F se vika fokus na parabolata.

Rastojanieto r od fokusot do direktrisata d se vika parametar na

parabolata. (Crt.1 ). Neka D e prese~nata to~ka na normala povle~ena od

to~kata F do pravata d. Toga{, soglasno definicijata, za srednata to~ka A

na otse~kata DF va`i:: AFAD , pa seleduva deka A e to~ka od parabolata.

Ova to~ka ja vikame teme na parabolata. (Crt.1)

Za da najdeme ravenkata na parabolata so parameter r vo {to e mo`no

poednostaven vid, koordinatniot sistem vo ramninata go izbirame taka {to

h-oskata da minuva niz fokusot F i e normalan a na direktrisata d, a koordinatniot po~etok vo

sredi{nata to~ka A me|u fokusot i direktrisata (crt.2).

Toga{, od definicijata na parabolata imame

2

pODOF , pa sleduva

deka fokusot e vo to~kata )0,2

(p

F , a ravenkata na direktrisata e

2

px .Ako M e proizvolna to~ka od parabolata , ortogonalnata

proekcija na M vrz direktrisata e to~kata ),2

( yp

P , pa od definicijata

na parabola imame:

MFMP …….................................................……………….(1)

Sega, soglasno so formulate za rastojanie me|u dve to~ki, dobivame ravenkata

22)

2( y

pxMF i

2

pxMP

pa ravenstvoto (1) vo kordinatna forma glasi:

22)2

( yp

x2

px …………………..(2)

Po kvadrirawe na dvete straini i po sreduvawe dobivame:

pxy 22 ………………………….………..………………………….(3)

Ravenkata (3) ja vikame kanoni~na (temena) ravenka na parabola.

Ako pak fokusot na parabolata e na negativniot del na h-

oskata(Crt.3) toga{ kanoni~nata ravenka }e glasi:

pxy 22 ……………………………..………………………….(4)

Bidej}i vo ravenkata pxy 22 promenlivata y se javuvaat samo

na paren stepen (kvadrat), sleduva deka parabolite se simetri~ni vo

odnos na h-oskata, koja oska se vika oska na simetrija . Toa zna~i deka ako

,),( PyxM sleduva deka i to~kata ),(1 yxM pripa|a na parabolata.

Ako go izberime kordinatniot sistem taka {to fokusot F na

parabolata pripa|a na u-oskata, toga{ kanoni~nata ravenka na parabolata

}e glasi:

pyx 22 ili

p

xy

2

2

…………………….…………….............…….(5)

Ako F le`i na pozitivniot del od u-oskata (Crt.4), i

pyx 22 ili

p

xy

2

2

………………………………….…….(6)

Ako F le`i na negativniott del od u-oskata (Crt.5).

Primer 1: Da se opredelat koordinatite na fokusot, parametarot i ravenkata na direk trisata na

parabolata xyP2

1: 2

F

d

xD

MP

Crt.1

F

d

xOD

M

y

P

2

p

2

p

Crt.2

d

xO D

M

y

F

2

p

2

p

P

Crt.3

d

xOD

M y

F

2

p

2

p

P Crt.4

Page 20: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 20

Re{enie: Od ravenkata na parabolata pxy 22 imame

4

1,

2

12 pp ,

pa fokusot e )0,8

1(F , aravenkata na direktrisata e

8

1x .

Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata ako se znae

nejziniot parameter r=8.

Re{enie: So direktna zamena vo ravenkata na parabolata

pxy 22 dobivame deka xy 162

Primer 3: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata ako se znae

nejziniot nejziniot fokus )0,9(F

Re{enie: Fokusot na parabolata pxy 22 ima koordinati )0,2

9(F od kade {to sleduva deka r=18, pa

ravenkata na parabolata e xy 362 .

Primer 4: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata {to minuva niz to~kata )2,3(M ~ij fokus e na

h-oskata.

Re{enie: Kanoni~nata ravenka na parabolata e pxy 22 . Od uslovot deka to~kata M le`i na

parabolata, sleduva 3222 p od kade

4

9p , pa ravenkata na parabolata }e bide xy

2

92 .

Primer 5: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata {to minuva niz to~kata )3,2( M ~ij fokus e

na h-oskata.

Re{enie: Vo ovoj slu~aj kanoni~nata ravenka na parabolata e pxy 22 , zatoa {to za da minuva niz

dadenata to~ka taa treba da se nao|a levo od u-oskata.. Od uslovot deka to~kata M le`i na parabolata,

sleduva )2(2)3( 2 p od kade

3

2p , pa ravenkata na parabolata }e bide xy

3

42 .

Primer 6: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata, ~ija direktrisa e 052 x .

Re{enie: Od 052 x sleduva deka

2

5x , a znaej}i deka ravenkata na direktrisata e

2

px

pxy 22 , sleduva deka r=5. Pa zatoa ravenkata na parabolata od pxy 22 }e bide xy 102 .

11. Zaemna polo`ba na prava i parabola

Kako i kaj drugite krivi od vtor red me|usebnata polo`ba na pravata nkxyl : i parabolata

pxyP 2: 2 }e ja odredime so diskusija na re{enijata od sistemot ravenki:

pxy

nkxy

22 ……….……………………………………………………….……….….………….…….(1)

So zamena na promenlivata u od linernata ravenka vo kvadratnata ravenka se dobiva rav enkata

0)(2 222 nxpknxk ……………………………………….…………….………………….…..….(2)

~ija diskriminanta e:

)2(44)(4 2222 knppnkpknD …

…………….……………..…..….…………….…..….(3)

I. Neka 0k . Vo zavisnost od znakot na diskriminatata na

kvadratnata ravenka, zavisat i re{enijata na kvadratnata ravenka, a

so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se mo`ni slednive tri

slu~aji: 0,0 DD i .0D

1. ako 0D t . e. 022 knpp kvadratnata ravenka ima dve

re{rnija, zna~i pravata l ja se~e parabolatavo dve to~ki, t. e.

., 21 MMPl (Crt.1)

2. ako 0D t. e. 022 knpp toga{ pravata l i parabolata R imaat edna zaedni~ka to~ka, t . e.

,TPl a relacijata 022 knpp ili knp 2 ………………………………………………………………….………………………..(4)

pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i parabolata R. (Crt.1)

3.ako 0D t. e. 022 knpp toga{ pravata l i parabolata nemaat zaedni~ka to~ka, t. e.

.Pl (Crt.1)

II. Ako k=0, ravenkata (2) e linearna i ima edinstveno re{enie t.e. pravata i parabolata imaat edna

zaedni~ka to~ka . Vo ovoj slu~aj pravata l ima ravenka y=n, t.e. e paralelna so h-oskata. (Crt.1)

xO

M1

y

lt

s

M2

T

Py=n

Crt.1

d

x

O

D

M

y

F

2

p

2

p

P

Crt.5

Page 21: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 21

Primer 1: Dadeni se pravata 0522: yxl i parabolata xyP 10: 2 Kakva e nivnata zaemna

polo`ba?

Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e

2

5 xy od kade

2

5,1 nk i r=5 . So

zamena na ovie vrednosti vo relacijata (3) dobivame 05052

5)1(22522 knpp od kade {to

sleduva deka pravata l i parabolata imaat dve zaedni~ki to~ki.

Primer 2: Da se opredeli vrednosta na parametarot m, taka {to pravata 073: mymxl ja dopira

parabolata xyP 8: 2 .

Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e

3

7

3

mx

my od kade

3

7,

3

mn

mk , a od

parabolata r=4 . So zamena na ovie vrednosti vo uslovot za dopir knp 2 dobivame

3

7

324

mm

ili

01872 mm od kade dobivame 9,2 21 mm .

Primer 3: Dadena e pravata 082: yxl koja ja dopira parabolata pxyP 2: 2 . Da se opredeli

ravenkata na parabolata.

Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e 42

1 xy od kade 4,

2

1 nk . So zamena na

ovie vrednosti vo uslovot za dopir knp 2 dobivame 442

12 p pa ravenkata na parabolata }e

bide xy 82 .

12. Ravenka na tangenta i normala vo to~ka od parabolata

Neka se dadeni parabolata

pxyP 2: 2

i to~kata ),( 11 yxT od parabola.Da ja opredelime ravenkata na tagentata t na hiperbolata vo to~kata T

(crt .1).

Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid

nkxyt : ………………………………………………………….……………..…….……………(1)

Koeficientite k i n }e gi opredelime od uslovot praveta i parbolata da imaat edna zaedni~ka

(dopirna) to~ka, odnosno sistemot ravenki

pxy

nkxy

22 ………………………………………………..……………….…....(2)

da ima edno edninstveno re{enie.

Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja

dobivame ravenkata 0)(2 222 nxpknxk

~ii re{enija se

,2

2

2

2,1k

knppknpx

.........…………………………..…..…….(3)

Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata ,nkxy dobivame

.22

2,1k

knpppy

…………………………………………..….(4)

Od uslovot, pravata e tangenta na hiperbolata, imame

022 knpp ..……………………………………….……………..………….(5)

Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se ,21

k

knpx

,1

k

py od kade ,

1y

pk

,1

1

y

pxn odnosno ,

1y

pk ,

1

1

y

pxn …….....……………………………………………….………….(6)

Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:

)( 11 xxpyy ………………………….……………………..……………..………..…………..(7)

Normalata na parabolata vo to~kata ),( 11 yxT e pravata {to e normalna na tagentata na parabolata

vo to~ka T, pa nejzinata ravenka e:

xO

yt

T

n

Crt.1

Page 22: Krivi od vtor red

Krivi od vtor red

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 22

)( 11

1 xxp

yyy

……………….…………………………………………….…………(8)

ili

0)()( 111 xxyyyp …………………………………………………………..………(9)

Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(3,6) od parabolata xyP 12: 2

Re{enie: Od ravenkata na parabolata xyP 12: 2 sleduva deka r=6. So zamena na koordinatite na

dopirna to~ka se 6,3 11 yx i r=6 vo ravenkata )( 11 xxpyy dobivame: )3(66 xy odnosno

03: yxt

Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata )5,4

25(T od parabolata

xyP 4: 2 .

Re{enie: So zamena na koordinatite na to~kata 5,4

2511 yx i r=6 vo ravenkata na tangentata

)( 11 xxpyy dobivame: )4

25(25 xy odnosno 025104: yxt i vo ravenkata na normalata

0)()( 111 xxyyyp dobivame: 0)4

25(5)5(2 xy odnosno 0165820: yxn

Primer 3: Da se sostavat ravenkite na tangentite vo prese~nite to~ki na pravata 54: xyl i

parabolata xyP 10: 2 .

Re{enie: So re{avawe na sistemot ravenki

xy

xy

10

542 , gi dobivame prese~nite to~ki na

pravata i parabolata: )5,2

5(1M i ),

2

5,

8

5(2 M pa so zamena vo ravenkata na tangentata )( 11 xxpyy

gi dobivame ravenkite na baranite tangenti: 0522:1 yxt i 0548:2 yxt

Primer 4: Dadeni se parabolata xyP3

20: 2 i elipsata 1

2045:

22

yx

E Da se opredelat ravenkite

na zaedni~kite tangenti.

Re{enie: Neka ravenkite na tangentite se od vidot nkxy . So koristewe na uslovot za dopir na

prava i parabola knp 2 , odnosno na prava i elipsa 2222 nbka go dobivame sistemot ravenki:

2222

2

nbka

knp

22 2045

3

102

nk

kn~ii re{enija se 5,

3

1 nk . Zaedni~kite tangenti se pravite

0153:1 yxt i 0153:2 yxt .