Kuidas matemaatikud ennustavad ?

Tallinna Ülikooli Õpilasakadeemia

4. detsember 2010

prof Andi Kivinukk

Tallinna Ülikooli matemaatika osakond

Teemad

Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil

• Arvandmete tõlgendamine: aegrea muutumise kiirus, diferentsid, diferentssuhted

• Arvandmete esitamine funktsioonina, vähimruutude meetodil ennustamine

Ennustame maailma rahvastiku arvu

• 1. Maailma rahvaarvu aegrida (Eesti Entsüklopeedia andmed, pisut ümardatud)

• Aeg t (a.) 1850 1930 1960 1975 1987 1999

• Rahvaarv N (miljardid)

• 1 2 3 4 5 6

• Aja diferentsid: 80 30 15 12 12

• Tinglik aeg: 0 80 110 125 137 149

Rahvaarvu tabel graafiliselt

Milline funktsioon võiks esitada tabeli andmeid?

• See ei saa olla väga konkreetne, selle kujus peaks olema parameeter, mida saaks sobivalt valida. Näiteks

• N = N(t) = a t 2 + 1

• see sobib vähemalt 1850. a, sest N(0) = 1. Probleem, kuidas leida a, et pakutud funktsioon sobiks kuidagi antud andmetega.

Muutumise kiirus (tuletis) on võrdeline olemasoleva suurusega

• Nii toimub muutumine elusolendite koloonia suuruses või ka pangaarve seisus. S.t kehtib diferentsiaalvõrrand N’(t) = a N(t) või ka

• diferentsvõrrand N(t+1) - N(t) = a N(t), t = 0, 1, … • Neid võrrandeid rahuldavad eksponentfunkts-d:

1) N(t) = e a t ja 2) N(t) = (1 + a) t , t = 0, 1, … • Kuidas parameetrit a määrata antud tabeli põhjal?

Wikipedia (http://en.wikipedia.org/) artiklite arvu muutumine

Vähimruutude meetod

On antud arvupaarid (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), … (x n , y n ) ja soovime, et need sobiksid võimalikult hästi valemiga

y = f(x , a), kus a on mingi parameeter.

Arvupaar (x1 , y1 ) sobib ideaalselt, kui y1 = f(x1 , a). Kuid kõiki arvupaare ei saa sobima panna, sest toodud võrrand määrab parameetri a üheselt ja teiste arvupaaridega tuleksid mingid teised parameetri a väärtused. Seepärast nõutakse, et erinevuste ruutude summa (sõltub a - st)

( y 1 - f(x 1 , a))2 +( y 2 - f(x 2 , a))2 +…+ ( y n - f(x n , a))2 oleks minimaalne (ideaalsel juhul on miinimum 0).

Rahvaarv 2011

• Kui leida vähimruutude meetodil rahvaarvu mudelis N(t) = e a t parameeter a, siis saadakse N(t) = e 0.012 t , mis annab 2011. a., s.t 161 aastat peale 1850.a.,

• N(161) = e 0.012*161 = 6.9

Lihtne näide

Kukutades Pisa tornist raudkuule alla, leidis G. Galilei, et 1 sekundiga langes kuul 5m,

2 sekundiga 10m ja 3 sekundiga 45m.

Oletades, et langemise kõrgus s on ajast t sõltuv valemiga s = a t 2 , leiame vähimruutude meetodil, mitu meetrit langeks kuul 4 sekundiga?

Pisa torn, kõrgus ca 57m

Galileo Galilei (1564 - 1642) (2009. a oli kuulutatud Galilei aastaks seoses tema tähtsate vaatlustega teleskoobi abil 400

aastat tagasi)

Lahendus

Erinevuste ruutude summa funktsioon on S(a)=(5 - a ) 2+ (10 - 4a) 2+ (45 - 9a) 2

= 98a 2 - 900 a + 2150 .Selle miinimum a järgi (ruutkolmliige a

suhtes!) on juhul a = 900/(2* 98) = 4.6, seega langemise

seadus on s = 4.6 t 2 ning 4 sekundiga langeb kuul s = 4.6*4 2 = 4.6*16= 74m.