Kleine Mitteilungen 31 1 Rand 12, Heft 5 0 kt nbe r 1!W+

KLEINE MITTEILUNGEN Kurre Bemerkungen zur BuReren Balli=

rtik. (Graphische Restimmung des Abgangsfehler- winkels bei beliebigen Erhohungswinkelri eines Ge- scliiitzes. - VorsiclitsmaBregeln beim Gebrauch der Tabellen von F a s e 11 a fur kleine Werte von 2 .

1. SchieBt man aus einem Geschutz unter einem gegebenen Erhohungawinkel h (Abb. I), und legt man einzelne Punkte der so erhaltenen Flugbahn

" 1

,7

Abb. 1.

in ilirer Lage im Raum (Abszisse G, Ordinate ,!/, Wirikel t der Visierlinie zu dem l'unkte mit dem Horizont E = arctg -- photograrnnietrisch fest, SO

kann man die Aufsatzwinkel h - t als Funktion der Abszisse x in einem kartesischen Koordinaten- system darstellen (Abb. 2 Punkt 1, 2, 3, 4, . . .) und die so erlialtenen Punkte mit Hilfe eines Kurven-

y l 2

Abb. 2.

holzes durch eirie Kurve verbinden. Iler Winkel h - E stellt, genauer gesagt, die Projektion des Winkels zwischen Visierlinie und Seelenachse ltuf die Vertikalebene durch die Seelenachse in derjenigen Lage, in welcher sie sich vor dem ScliuB befand, dar. Der Winkel a (Abb. 1) zwischen der Projektion der Visierlinie auf die Vertikalebene durch die Anfangstangente T der Flugbahn und dieser Anfangstangente ist bekanritlich um den unbekannten Abgangsfehlerwinkel 6 grhBer. Zur Entfernung c = 0 gehort aber ein Winkel a = 0. somit mu8 die Kurve I1 in Abb. 2 die Ordinaten- achse z = 0 in der unbekannten Ordinate h - E = - b schneiden.

Nun entnimmt man aber einer Bemerkutig in C: r a n z , Ballistik 1, 5 . Aufl., S. 531, daW die Kurve I1

fur x = 0 einen vom Luftwiderstand unabhlngigen Neigungswinkel gegen die Abszissenachse besitzt.

dessen tangens = ist. (Wenn h - E in Gratl- 9 2 vu,,2

ma& x in meter aufgetragen ist, ist der Neigungs- winkel

Aus dieser Bedingung ergibt sich die Moglich- keit einer sehr genauen Bestimmung des Abgangs- fehlerwinkels 6, wenn die Flugbahnpunkte mit der iiblichen Genauigkeit aufgenommen und vom Wind- einflul3 befreit sindl).

Man lege namlich (Abb. 2) ein biegsames Kurven- holz durch die Punkte 1, 2, 3, 4 UBW. (Kurvenlage I), schiebe dann von unten her ein Dreieck, dessen Seite P Q unter 2t2 gegen die x-Achse ge- neigt ist, parallel mit sick gegen das Kurvenholz liin und driicke das Kurvenholz elastisch nach oben, bis der Beruhrungspunkt zwischen Kurven- holz und Dreieck in die Ordinatenachse fallt (Kurven- lage 11). Die Lage des Beriihrungspunktes auf der Ordinatenachse ergibt den Abgangsfehler- winkel 6.

2. Die Beziehung ---* wird gewohnlich aus der Gleichung der Flugbahnparabel mit gleicher h n - fangsgeschwindigkeit v, im luftleeren Raum her- geleitet, mit welcher die ballistische Kurve in ihrem Anfangspunkt drei unendlich nahe I'unkte gemein- Sam hat. Wir wollen hier diese Beziehung aus einem Grunde, welcher im nachfolgenden klar werden wird, aus den S i a c c i scben Flugbahnfor- melri herleiten. Diese Formeln lauten bekanntlich (vgl. z. B. C r a n z I, 5. Aufl., S. 187)

3l

Y 2 vo

und

babei ist

f ( u ) ist der Verziigerung durch den Luftwiderstarid proportional und g= 9.8047 die den Tafeln zugrunde gelegte mittlere Schwerebeschleunigung.

Aus (1) und (2) folgt zunachst

und mit = tg E = = tg (T - a )

5 . ~~ ~

1) Eiitstariinien die Punktc 1 , 2, :I, . . . vrrsc~hicdenell Schiissen, so miisseri sie vor ihror Airft ragling auf glcriche 1'" uud auf gleiches Luftgcwicht rcdrtziert werden.

312 Kleine Mitteilungen Ztschr.f. angew. Math. und Mech.

Fiir kleine Q ist

t g ( p - a ) = t g p - a COS2rp

und aus

wird in der Grerize

Da der rechtsstehende Grenzwert fur u = vo zunachst die Form - annimmt, differenzieren wir Zaliler und Nenner nach u. Mit den oben ange- fulirten Werten der Integrale A, J und D folgt

0 0

Also noch immer

Abermalige Differentiation nach u ergibt

Somit ist

= f , (vu;";.c. X

X hat dagegen fur = O den Wert 0.

Vergleicht man das Anwachsen von f und

( 3 X von f i fur kleine - so findet man, dal3 f, v,,- c' ' nahezu linear wachst, die zweiten Differenzen wer- den so klein, dal3 sie die letzte Stelle des linear interpolierten Funktionswertes bei genauerer Inter- polation unter Zuhilfenahme der hiiheren Differenzen nicht mehr beeinflussen. Bei f w u , - begeht man

aber bei linearer Interpolation fur < 100 unzu- lassig groBe Fehler, weil die zweiten Differenzen betrlclitliche Werte annehmen. Man erhl l t also

f (v, , ?) fiir < 100 vie1 genauer , wenn man

f , (vo, :) in bisher gewohnter Weise berechnet,

und dieses mit -< multipliziert. als menn man direkt

in die Tafel fur f vu7 eingeht. Undgeradebeim Rechnen in Teilbogen kommt man iifters in die Lage, Werte fur ~ < 100 anfschlagen zu mussen.

( 3 2

2 X

2

C

( 3 2

C'

Urn iiber die GroDe des Fehlers, welchen es hier zu vermeiden gilt, AufschluB zu bekommen, be- zeichnen wir -? mit a; f, (wo, 0) mit a ; f, (v,, 100) mit b. Die zweiten Differenzen sind bei f,, wie man sieh leicht uberzeugen kann, YO klein, dal3 man, ohne einen Fehler in der Ietzten Stelle zu be- gehen, linear interpolieren darf, also setzen darf:

2

c L o o

Da nun

ist, wird somit praktisch genau:

/ (au, = 100 i. [a + i. (b - a)] .

In der bisherigen Weise arbeitend wiirde man daregen direkt in die Tafel fur f go,-- eingehen und dort finden f (?lo, 0) = 0 ; f (v,, 100) = 100 b und setzen: f tio,- =lOOil.b. Der Fehler, den man begeht, ist also 100 1 b - [ 100 1 ( a f 1 (0 - a ) ) ] = 100 (0 - a ) 1. (1 --a). Der relative Fehler wird

( 3 ( 3

loo ( b - a ) a . (1 - a) - ( b - a ) (1 - I,) 100 a [ a + a (0 - a) ] - a + a ( b - uT. __._____ ~

X c

E r wird am groDten fur kleirie A, also fur - - 0 und wschst, wie man aus Zahlenwerten fur a und b entnehmen kann, auf iiber 3"/,.

Band I % , Heft 5 Kleine Mitteilungen 313 Oktohrr l!W

Bei 5 > 100 bleibt der Fehler schon unter ' 1 3 "/lo,

kann also vernachlabigt werden. Beispielsweise findet man in F a s e 11 a bei linearer

Interpolation f (600,35) = 0,000 975. Unter Zu- hilfenahme der boheren Differenzen wurde man f (600. 35) = 0,000 961 finden.

Dagegen ist f, (600, 35) = 0,0000 2746 bei linearer Interpolation und f , - 35 = 0,000 961. (Die hoheren Differenzen bei f, lndern das Resultat 0,000961 nicht mehr ab.) Den gleichen Erfolg erzielt man auch, wenn man nicht mit Formel (l), sondern mit Formel ( la) rechnet, die ja auch

geschrieben werden kann. 4. Wir haben oben G1. (4)

bestimmt. Demnach ist

Nun ist J (u) - J (v,) gleich der F a s e l 1 a funktion f, (vu, -zr) und auch f , wachst fur kleine 7 keines- X

C

so firidet man, dab die zweiten Differenzen vie1 f (v 01 2 g kleiner bleiben, walirend'L = - enau defi- 0 va2

C' _.

niert ist. Man wird deshalb auch bei der F a s e l l a s c h e n

Tafel \'I genauer arbeiten, wenn man uber die Funktionsaerte f, (wo, 0) = 0 die Werte - ein fur allemal anschreibt, zwischen diesen Werten und denjenigen fur = 100 interpoliert und das Inter.

polationsresultat mit multipliiiert.

200 g VU

X

C 2

C L o o

~~ 200'9'8047 = 0,00545 angeschrieben und interpoliert

Z. B. ist in bisheriger Weise linear interpoliert

f, (600,35) = 0,00197.

Hat man dagegen uber f4(6OO,0)=O den Wert

6002 zwischen diesem und f, (600,100) = 0,00564, so er- halt man fur -; = 35 als Interpolationsresultat 0,00552 und dieses mit 0,35 multipliziert ergibt 0,00193. Der relative Fehler kann bei f, bei der bisherigen Methode bis zu 3,8 O/, anwachsen.

5. Auch die F a s e l l a sche Gleichung fur die Flugzeit

2:

C' t=- cos 9, i 3 ( v 0 , 3

'I:

C schreibt man fur kleine 4 besser

f, ist aber das S i a c c i s c h e T(u)-T(u , ) . nach ist,

Dem-

C'

J%- mit T (u) = -

Aucti hier wird

oder differenziert

1

somit A x

v, c o s 9 A t - - - .

f 3 (V". c;) 2

Da auch -___- linearer zunimmt als f, X

~

C' 100

tut man gut, uber f, (vo, 0) = 0 die Werte von -

anzuschreiben, und fur - ' 100 zwischen diesen c' ... Werten und f3(vu, 100) z u interpolieren. Das Inter-

polationsresultat mit multipliziert ergibt

den genaueren Wert fur f3 vo,- . Hei dem Ver-

100 . gleich der Werte fur - mit f,(v,,lOO) wird man

VU oft finden, daB letztere Werte bei F a s e l l a urn eine Stelle zu wenig genau sind. Es empfiehlt sich deshalb, gelegentlich noch - f, (v,,, 200) und

1 ~ f, (wu, 300) zu bilden. Ein Blick auf den Verlauf 3 dieser Werte von = 0 bis = 300 zeigt dann

wie f, (w,,, 100) z u berichtigen ist.

Im allgemeinen empfiehlt es sich, s ta t t der stark abgerundeten f3-Werte auf die eigentliche S i a c c i - tabelle zuruckzugreifen, bei nelcher allerdings zweckmaBig auch die u-Werte u m eine Stelle er- ganzt werden.

6. Mit Rucksicht auf die Betrachtungen unter Ziffer 3 erscheint es empfehlenswert, in dem Aufsatz des Verfassers (Zeitschr. f . angew. Math. u. Rfech., August 1931, Heft 4, S. 254) die ohnehin mit einem Druckfehler behaftete Formel ( 5 ) , die richtig lauten mub

X

5

c / l o o

( 3

1 2

X X C

z u ersetzen durch die ohne weiteres aus ihr folgende

also mit f , stat t mit f zu arbeiten und aueh das Rechenschema entsprechend abzuhdern .

0. v. E b e r h a r d in Essen-Bredeney. 283