LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN … · 3. IL TEOREMA DEL RESTO E IL TEOREMA DI RUFFINI Il teorema del resto Consideriamo ancora la divisione già esaminata (3x2 -

La risposta a pag. 13

LA DIVISIONE FRA POLINOMI E

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

1CAPITO

LO

[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]

1729 Salire su un taxi numero 1729 lascerebbe indifferente la maggior parte delle persone. Ma per il matematico indiano Srinivasa Ramanujan un episodio apparentemente banale fu l’occasione di una celebre scoperta…

Éche cosa ha di speciale un numero cos“?

CAPITOLO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORITEORIA

2

1. LA DIVISIONE FRA POLINOMINell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un mul-tiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore.

Procediamo in modo analogo per i polinomi, fornendo prima la definizione di divisibilità e poi il procedimento di calcolo.

La divisione di un polinomio per un monomio

Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.

ESEMPIO

Il polinomio 4ab 2 - 6a 2b è divisibile per il monomio 2ab.Infatti, esiste il polinomio

2b - 3atale che

(2b - 3a)2ab = 4ab 2 - 6a 2b.In questo caso, per eseguire la divisione, possiamo applicare la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione.

(4ab 2 - 6a 2b) ; 2ab = (4ab 2 ; 2ab) - (6a 2b ; 2ab) = 2b - 3a.

Un polinomio è divisibile per un monomio se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.

Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.

ESEMPIO

( ) :a a a a a a a5 6 2 2 25 36 4 3 2 4 2- + = - + ;

:a b a b b b a b a37

21 5 3

721 53 2 2 3 2+ - = -+b l .

Ci sono casi in cui un polinomio non è divisibile per un monomio.

ESEMPIO

a 2 + a + 1 non è divisibile per a 3.

La divisione esatta fra due polinomiDEFINIZIONE

Divisibilità fra polinomiUn polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.

A ; B = Q se e solo se B $ Q = A.

● 6 è divisibile per 3perché 3 $ 2 dà come pro-dotto 6.

● Quando vogliamo indi-care un polinomio generico, senza precisare le variabili, utilizziamo lettere maiu-scole (P, Q, A, B, R , …).

TEORIA

3

A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.

ESEMPIO

Il polinomioA = 2x 7 + x 5 - 6x 3 + 8x 2 - 3x + 4

è divisibile per il polinomioB = 2x 2 + 1.

Infatti, esiste il polinomioQ = x 5 - 3x + 4

tale che(2x 2 + 1)(x 5 - 3x + 4) = 2x 7 - 6x 3 + 8x 2 + x 5 - 3x + 4.

Il grado del polinomio quozienteSappiamo che il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori: dunque, poiché B $ Q = A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n - p, con n $ p.

Nell’esempio precedente, il grado di A è 7, il grado di B è 2, il grado del polinomio quoziente Q è 5, cioè 7 - 2.

La divisione con resto fra due polinomiAnalogamente a quanto succede nell’insieme dei numeri naturali, possiamo ese-guire la divisione fra due polinomi anche se uno non è divisibile per l’altro.

Dati due polinomi A e B nella variabile x , con il grado di B minore o uguale al grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q e R tali che: A = B $ Q + R ,dove Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.

Il grado di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado di B.

Nel caso particolare in cui R = 0, si ha A = B $ Q , ossia A è divisibile per B.

Vediamo ora con un esempio qual è la tecnica per eseguire la divisione tra due polinomi.

ESEMPIO

Dividiamo il polinomio di terzo gradoA = 13x 2 + 6x 3 + 6 + 5x

per il polinomio di secondo gradoB = 2 - x + 3x 2.

Per eseguire la divisione bisogna ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile:

(6x 3 + 13x 2 + 5x + 6) ; (3x 2 - x + 2).Il quoziente sarà un polinomio di primo grado.La figura 1 mostra i passaggi della divisione.

● Il grado di B $ Q è la somma del grado di B e del grado di Q.

● Nei numeri naturali, per esempio, abbiamo: 14 4 2 3

14 3 4 2$= + .

● dividendo

A B divisore

R Q

resto quoziente

PARAGRAFO 1. LA DIVISIONE FRA POLINOMI

B $ Q + R

B $ Q + R


4

VerificaLa definizione di divisione con resto, in base alla quale si ha A = B $ Q + R, permette di verificare l’esattezza del risultato.Calcoliamo:

B $ Q + R = (3x 2 - x + 2)(2x + 5) + (6x - 4) =

= 6x 3 + 15x 2 - 2x 2 - 5x + 4x + 10 + 6x - 4 =

= 6x 3 + 13x 2 + 5x + 6.

Il risultato ottenuto coincide con il dividendo:

A = 6x 3 + 13x 2 + 5x + 6.

6x3 + 13x2 + 5x + 6

A

3x2 − x + 2

B

2x

a. Dividiamo 6x3 per 3x2 e scriviamoil quoziente 2x, che rappresentail quoziente parziale Q1.

Q1 − Q1 ? B

2x

b. Moltiplichiamo 2x per ognitermine di B e scriviamo con il segnocambiato i risultati al di sotto di A,incolonnati, rispetto al grado,con i termini di A.

4x

6x3 + 13x2 5x 6+ +− 6x3 + 2x2 −

3x2 − x + 2

3x2 − x + 22x

c. Sommiamo in colonna i termini,ottenendo un primo restoparziale, R1. Questo resto è taleche A = B ? Q1 + R1.

4x

R1

6x3 + 13x2 5x 6+ +− 6x3 + 2x2 −” 15x2 + x + 6

d. Ripetiamo il procedimentoconsiderando R1. Dividiamo 15x2

per 3x2, ottenendo 5 come secondoquoziente parziale Q2.

Q26

66x3 + 13x2 5x+ +− 6x3 + 2x2 − 4x

” 15x2 + x +

23x2 − x +2x + 5

6

15x2

− Q2 ? B

e. Moltiplichiamo 5 per tuttii termini di B e scriviamo i prodotti,con il segno cambiato, in colonnasotto R1.

6x3 + 13x2 + 5x + 3x2 − x + 22x + 5− 6x3 + 2x2 − 4x

” + x + 6

− 15x2 + 5x 10−

+4x6

10

R

f. Eseguiamo l’addizione dei terminiin colonna e otteniamo il resto 6x − 4.Poiché il grado di 6x − 4 è minore delgrado di B, la divisione è terminata e6x − 4 è il resto R.

4

Q

A = B ? Q + R.

6x3 + 13x2 5x 6+ +− 6x3 −+ 2x2

” 15x2 + x +− 15x2 + 5x −

” 6x −

3x2 2− +x2x 5

c Figura 1

TEORIA

5

PARAGRAFO 2. LA REGOLA DI RUFFINI

2. LA REGOLA DI RUFFINIQuando il polinomio divisore è un binomio del tipo x - a, dove a è un numero reale qualunque, per determinare il quoziente Q e il resto R possiamo utilizzare un procedimento rapido, detto regola di Ruffini.

ESEMPIO

Eseguiamo la divisione (- 10x - 9 + 3x 2) ; (x - 4).La regola di RuffiniScriviamo i polinomi ordinati in senso decrescente:

(3x 2 - 10x - 9) ; (x - 4).La figura 2 illustra come si applica la regola di Ruffini.

● La regola e il teorema di Ruffini prendono il nome dal matematico Paolo Ruffini. Nato nei pressi di Roma nel 1765, nei primi anni dell’infanzia si trasferì con il padre a Modena, dove restò fino alla morte, avve-nuta nel 1822.

Scrittura del quozienteI coefficienti del polinomio quoziente sono 3 e 2. Tenendo conto che il dividen-do ha grado 2 e il divisore ha grado 1, il quoziente deve avere grado 1. Quindi possiamo scrivere:

Q = 3x + 2; R = - 1.VerificaPer verificare che il risultato è esatto, possiamo controllare che sia valida l’uguaglianza A = B $ Q + R:

3x 2 - 10x - 9 = (x - 4)(3x + 2) + (- 1).Se il divisore è del tipo x + a, osserviamo che: x + a = x - (- a).

● Dividendo un polinomio A(x) di grado n per il binomio x - a , di primo grado, otteniamo per quo-ziente un polinomio Q(x) di grado n - 1.

m Figura 2m Fi 2

a. Scriviamo su una riga, nell’ordine, icoefficienti dei termini del polinomiodividendo, + 3 e − 10, e il terminenoto − 9. Tracciamo due linee verticali,una a sinistra del primo coefficiente euna fra l’ultimo e il termine noto.Lasciamo una riga vuota e tracciamouna linea orizzontale.

b. A sinistra della prima linea verticale,sulla seconda riga, scriviamo + 4, ossial’opposto del termine noto delpolinomio divisore x − 4. Abbassiamo+ 3, ossia il primo coefficientedel dividendo: esso è anche il primocoefficiente del quoziente.

c. Moltiplichiamo + 3 per + 4 escriviamo il risultato nella colonnasuccessiva a + 3, ossia sotto − 10.

+12

+3 −10

+3

−9+3 −10

+4

+3

−9+3 −10 −9

coefficientidel dividendo

terminenoto del

dividendo

oppostodel terminenoto del divisore

+4

d. Sommiamo − 10 e + 12 e scriviamoil risultato nella stessa colonna, sottola linea orizzontale. + 2 è il secondocoefficiente del quoziente.

e. Ripetiamo il procedimento,moltiplicando + 2 per + 4 e scrivendoil risultato nella colonna a destradi + 2, sopra la riga orizzontale.

f. Sommiamo − 9 e + 8 e scriviamoil risultato nella stessa colonna, sottola linea orizzontale: − 1 è il resto.

coefficientidel quoziente

+12

+3 −10

+4

+3

−9

+ 2 −1

resto

+12

+3 −10

+4

+3

−9

+8+12

+3 −10

+4

+3

−9

+ 2

+8

+ 2


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3. IL TEOREMA DEL RESTO E IL TEOREMA DI RUFFINI

Il teorema del restoConsideriamo ancora la divisione già esaminata

(3x 2 - 10x - 9) ; (x - 4), che ha quoziente 3x + 2 e resto - 1.

Calcoliamo il valore che assume il polinomio dividendo 3x 2 - 10x - 9 per x = 4, cioè per x uguale all’opposto del termine noto del divisore:

3(4)2 - 10 $ 4 - 9 = - 1.Il resto della divisione coincide con il valore assunto dal polinomio per x = 4, cioè, nella formula generale, per x = a.In generale, vale il seguente teorema.

TEOREMA

Teorema del restoData la divisione tra polinomi A(x) ; (x - a), il resto è dato dal valore che assume A(x) quando alla variabile x si sostituisce il valore a: R = A(a).

● Se il divisore è x - 3, il valore di a da sostituire a x è 3; se il divisore è x + 2, allora a = - 2.

DIMOSTRAZIONE

Data la divisione A(x) ; (x - a), possiamo scrivere:

A(x) = (x - a)Q(x) + R.

Sostituendo a x il valore a, otteniamo:

A(a) = (a - a)Q(a) + R.

Essendo a - a = 0, il prodotto (a - a)Q(a) si annulla, quindi:

A(a) = R.

ESEMPIO

Calcoliamo il resto della divisione (- x 4 + 3x 2 - 5) ; (x + 2).

Poiché x + 2 = x - (- 2), possiamo sostituire il valore -2 a x. Abbiamo quindi R = A(- 2):

R = - (- 2) 4 + 3(- 2) 2 - 5 = - 9.

Il teorema di RuffiniEsaminiamo ora il seguente ragionamento.

Se il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5, allora la divi-sione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) ; (x + 5) dà resto 0; quindi, per il teorema del resto, A(- 5) = 0.

Il ragionamento è invertibile.Dato il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10, se A(- 5) = 0, allora la divisio-ne (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) ; (x + 5) dà resto 0, per il teorema del resto; quindi il polinomio x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5.

● Illustriamo la dimostra-zione con il seguente esempio.Data la divisione

(3x 3 - 2x 2

- 5) ; (x - 2),

(3x 3 - 2x 2 - 5) =

= (x - 2) $ Q(x) + R;

3 $ 2 3 - 2 $ 2 2 - 5 =

= (2 - 2) $ Q(2) + R;

3 $ 8 - 2 $ 4 - 5 = R;

R = 11.

TEORIA

7

PARAGRAFO 4. LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

In generale, vale il seguente teorema.

TEOREMA

Teorema di RuffiniUn polinomio A(x) è divisibile per un binomio x - a se e soltanto se A(a) è uguale a 0.

A(x)è divisibileper x – a

A(a) = 0se e solo se

ESEMPIO

Il polinomio A(x) = 2x 3 + x 2 - 5x + 2 è divisibile sia per x - 1 sia perx + 2; infatti:

A(1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0;A(- 2) = 2(- 8) + 4 - 5(- 2) + 2 = - 16 + 4 + 10 + 2 = 0.

4. LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore.

ESEMPIO

x 4 - 1 = (x 2 - 1)(x 2 + 1).

(x 2 - 1) può essere scomposto ulteriormente in (x + 1)(x - 1). Quindi:

x 4 - 1 = (x + 1)(x - 1)(x 2 + 1).

Invece, x 2 + 1 non è scomponibile. Puoi verificarlo applicando il teorema di Ruffini.

DEFINIZIONE

Polinomio riducibile, polinomio irriducibileUn polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scom-posto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore.

Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.

● x 4 - 1, scomponibile in fattori, è riducibile, mentre (x + 1), (x - 1), (x 2 + 1) sono irriducibili.

ESEMPIO

Il polinomio x 2 - 2x + 1 è riducibile. Infatti:

x 2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)2.

Sono irriducibili i polinomi: x 2 + 25, x + 4, 2x 2 + 5.

Il raccoglimento a fattore comuneSe in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, lo mettiamo in evidenza con un raccoglimento a fattore comune.

ESEMPIO

( )a a a a a a4 8 2 2 2 4 16 5 4 4 2- + = - + ,5( 2) ( 2) ( 2)(5 )x x x x x2 2+ - + = + - .

● Riprendiamo in questo paragrafo e in quello suc-cessivo alcuni concetti già esaminati nel volume 1 di Matematica.azzurro, com-pletando l’argomento.

● Possiamo fare un’analo-gia fra i polinomi irriduci-bili e i numeri primi. Come la scomposizione di un numero naturale in fattori primi è unica (a meno dell’ordine), così anche la scomposizione di un poli-nomio in polinomi irriduci-bili è unica (a meno dell’or-dine).

● Il raccoglimento a fattore comune si basa sulla proprie-tà distributiva della moltipli-cazione rispetto all’addi-zione.


8

Il raccoglimento parzialeNel raccoglimento parziale, prima si raccolgono fattori comuni soltanto a parti del polinomio, poi si raccoglie un fattore comune alle diverse parti.

ESEMPIO

x 2 + 3xy + 2x + 6y = x(x + 3y) + 2(x + 3y) = (x + 3y)(x + 2).

La scomposizione riconducibile a prodotti notevoli

Ognuna delle seguenti uguaglianze si verifica calcolando il prodotto che si trova nel secondo membro e fornisce una regola di scomposizione in fattori.

A2 - B2 = (A + B)(A - B);

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2;

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2;

A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2;

A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3;

A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3;

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2);

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).

ESEMPIO

25a 2 - b6 = (5a)2 - (b3)2 = (5a + b3)(5a - b3).9x 4 - 6x 2y + y 2 = (3x 2)2 - 2 $ 3x 2 $ y + y 2 = (3x 2 - y)2.a 3 - 1 = a 3 - 13 = (a - 1)(a 2 + a + 1).

La scomposizione di particolari trinomi di secondo grado

Un trinomio di secondo grado del tipo x 2 + sx + p è scomponibile nel prodotto (x + a)(x + b) se s = a + b e p = ab:

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).

ESEMPIO

y 2 - 3 y - 10 = (y - 5)(y + 2).

s = - 5 + 2 p = ( - 5)( + 2)

La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini

Il teorema di Ruffini permette spesso di scomporre in fattori un polinomio. Sap-piamo infatti che se un polinomio A(x) assume il valore 0 quando alla variabile x si sostituisce un valore a, allora il polinomio è divisibile per x - a.

● Il metodo che appli-chiamo percorre in verso contrario i passaggi che uti-lizziamo nella moltiplica-zione di due polinomi.

● s è l’iniziale di «somma», p di «prodotto».

TEORIA

9

PARAGRAFO 4. LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

Eseguendo la divisione A(x) � (x - a), otteniamo il polinomio quoziente Q(x) e, poiché il resto è zero, scriviamo A(x) come prodotto di due fattori:

A(x) = (x - a) Q(x).

ESEMPIO

2x3 - 5x2 + 5x - 6

assume il valore 0 per x = 2, quindi è divisibile per x - 2.Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.

" Q(x) = 2x2 - x + 3.

(2x 3 - 5x 2 + 5x - 6) : (x - 2) = 2x 2 - x + 3.

Quindi: 2x 3 - 5x 2 + 5x - 6 = (x - 2)(2x 2 - x + 3).

Dunque, se troviamo uno zero a di un polinomio A(x), cioè un valore a tale che A(a) = 0, sappiamo anche scomporre il polinomio di partenza nel prodotto di due fattori.Ma come trovare gli zeri di un polinomio? Per farlo può essere utile considerare la seguente regola.

REGOLA

Zeri interi di un polinomioSe un numero intero annulla un polinomio a coefficienti interi, allora esso è divisore del termine noto.

Dalla regola possiamo dedurre un metodo per la ricerca degli zeri interi di un polinomio: se esistono, essi sono fra i divisori del termine noto.

ESEMPIO

Dato il polinomio

A(x) = 5x 2 - x - 4,

i divisori di - 4 sono: 1, 2, 4, - 1, - 2, - 4.Sostituendo a x il valore 1, otteniamo

A(1) = 5 - 1 - 4 = 0,

quindi 1 è uno zero di A(x), perciò il polinomio è divisibile per x - 1.

Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.

5 - 1 - 4 1 5 4 " Q(x) = 5x + 4.

5 4 0

Pertanto, 5x 2 - x - 4 = (x - 1)(5x + 4).

● 2 è uno zero del polino-mio iniziale.

2 - 5 5 - 6 2 4 - 2 6

2 - 1 3 0

● Il polinomio iniziale è stato scomposto nel pro-dotto di due fattori.

● Non è vero che tutti i divisori del termine noto sono zeri del polinomio. Per esempio:

A(2) = 5 $ 4 - 2 - 4 =

= 20 - 6 = 14 ! 0.


10

Più in generale si ha la seguente regola.

REGOLA

Zeri razionali di un polinomioTutti gli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi sono tra le frazio-

ni nm

! , dove m è divisore del termine noto e n è divisore del coefficiente

del termine di grado massimo.

5. APPLICAZIONI DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

Il M.C.D. e il m.c.m. fra polinomi

DEFINIZIONE

M.C.D. e m.c.m. fra polinomiSi dice massimo comune divisore (M.C.D.) fra due o più polinomi il poli-nomio di grado massimo che è divisore di tutti i polinomi dati.Si dice minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più polinomi il polino-mio di grado minimo che è divisibile per tutti i polinomi dati.

Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra poli-nomi, utilizziamo il procedimento già illustrato per i numeri naturali e per i monomi.Scomponiamo innanzitutto i polinomi in fattori irriducibili, raccogliendo anche gli eventuali coefficienti numerici in comune.

Il calcolo del M.C.D.Il M.C.D. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni, presi una sola volta, con l’esponente minore.

ESEMPIO

Determiniamo il M.C.D. fra i seguenti polinomi:

x 2y - xy, x 2y - y, x 3y - 3x 2y + 3xy - y.

Scomponiamo in fattori:

x 2y - xy = xy(x - 1);x 2y - y = y(x 2 - 1) = y(x + 1)(x - 1);x 3y - 3x 2y + 3xy - y = y(x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = y(x - 1)3.

Mettiamo in colonna i fattori.

x y x - 1y x - 1 x + 1y (x - 1)3

● Nell’esempio precedente tutti i possibili casi sono:

, ,51

52

54

! ! ! ,

, ,11

12

14

! ! ! .

TEORIA

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PARAGRAFO 5. APPLICAZIONI DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

I fattori comuni sono y e (x - 1). Prendiamo (x - 1) con l’esponente minore:

M.C.D. = y(x - 1).

Il calcolo del m.c.m.Il m.c.m. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.

ESEMPIO

Determiniamo il m.c.m. fra i tre polinomi dell’esempio precedente.Dopo avere incolonnato i fattori, scegliamo quelli comuni e non comuni, cia-scuno preso con l’esponente maggiore.

x y x - 1y x - 1 x + 1y (x - 1)3

Pertanto:

m.c.m. = xy(x - 1)3(x + 1).

Le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche

DEFINIZIONE

Frazione algebricaDati i polinomi A e B, con B diverso dal polinomio nullo, la frazione

BA viene detta frazione algebrica.

Ogni monomio o polinomio può essere considerato una frazione algebrica il cui denominatore è il monomio 1. Dunque l’insieme delle frazioni algebriche include l’insieme dei polinomi.

ESEMPIO

a3 + 2 si identifica con la frazione algebrica 2a1

3+ .

Una frazione algebrica assume valori che dipendono da quelli assegnati alle lettere che vi compaiono, quindi è una funzione rispetto alle variabili contenute nei suoi polinomi.

Essa può perdere significato per particolari valori dati alle lettere. Per esempio, la frazione

xx

23

-

-

non ha significato per x = 2, poiché non può avere denominatore nullo.

Una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che annullano il denominatore.

frazion

i algebriche

5x2 + 2x––––––

polinomi

monomi

2

3x2

x2+ 3

m Figura 3 L’insieme delle frazioni algebriche è un ampliamento dell’insieme dei polinomi.


12

Chiamiamo condizioni di esistenza di una frazione algebrica tutte le disugua-glianze che le variabili devono verificare affinché il denominatore non sia nullo.

ESEMPIO

La frazione

x xx

92

3-

+ ,

scomponendo in fattori il denominatore, si può scrivere nella forma:

( )( )x x xx3 3

2- +

+

quindi perde significato quando x = 0, x = 3 e x = - 3. Scriviamo:

C.E.: x ! 0 / x ! 3 / x ! - 3.

Il calcolo con le frazioni algebrichePer semplificare espressioni contenenti frazioni algebriche, dove valgono regole analoghe a quelle che applichiamo per espressioni con frazioni numeriche, utiliz-ziamo la scomposizione in fattori dei polinomi.

● Indichiamo con C.E. le condizioni di esistenza.

ESEMPIO

Frazioni numeriche Frazioni algebriche

Semplifichiamo l’espressione: 45

1158

61

493

$+ -b la aa

a aa

a a aa3 2 15 14

12 2 2$-

+-

+

-+

+ -

+b l

Nell’addizione, scomponiamo in fattori i denominato-ri e poniamo le C.E.:

3 51

3 58

2 31

493

2 $ $ $$+ -b l ( ) ( )a a

aa aa

a a aa

13

12 1

5 141

2$-

+-

+

-+

+ -

+; E: a a a0 1 1C.E. / /! ! !-

Riduciamo allo stes-so denominatore (m.c.m. dei denominatori):

2 3 52 8 2 3 3 5

493

2$ $

$ $ $$

+ -

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

a a aa a a a a a

a aa

1 13 1 2 1 1 1

5 141

2$- +

+ + - - - + - +

+ -

+

Eseguiamo i calcoli a numeratore: 2 3 5

249348 15

2$ $$

+ -

( )( )a a aa a a a

a aaa a a

1 13

5 1413 2 2 122

2

2$

- +

+ + + -

+ -

++ + - + -

Calcoliamo la somma algebricaa numeratore:

2 3 55 33

492$ $$ ( )( )a a a

aa aa a1 1

175 14

2

2$- +

++

+ -

Scomponiamo in fattori i numeratori e i denominatori e poniamo le C.E. per la seconda frazione algebrica:

572 3 5

372 2$ $

$$ ( )( )

( )( )( )a a a

aa aa a1 1

172 7$

- +

++

- +

: a a 72C.E. /! !-

Semplifichiamo:5

7 5 32 3 72 2$ $

$$ ( 1)( )

( )( )( )a a a

a aa a

a1

72 7

1$

- +

+

- +

+

Calcoliamo il prodotto: 2 3 7

1421

$ $= ( )( )a a a a1 2 3 2

1 12- -

=- +

TEORIA

13

RISPOSTA AL QUESITO

1729…che cosa ha di speciale un numero così?

Si tratta di trovare due numeri natu-rali x e y tali che: (x + y) sia uguale a 7, 13 o 19 e (x 2 - xy + y 2) al pro-dotto dei due numeri rimanenti. Le possibili scelte di x e y tali che il primo fattore (x + y) sia uguale al numero 7 sono: (6 + 1), (5 + 2),(4 + 3). Nessuna di queste coppie dà come somma di cubi 1729. Passiamo al numero 13. Le possibilità di esprimere il 13 come somma di due numeri naturali sono: (12 + 1), (11 + 2), (10 + 3), (9 + 4), (8 + 5), (7 + 6). Elevando al cubo e sommando i termini, si può vedere che solo per la coppia 12 e 1 la somma dei cubi è 1729. Ecco la prima solu-zione. Analogamente si procede per il numero 19, scoprendo, dopo un po’ di calcoli, che 9 e 10 sono la seconda soluzione del problema. Ma Ramanujan ha detto qualcosa in più: 1729 è il più piccolo numero intero esprimibile come somma di

due cubi positivi in due modi diversi. Esiste una dimostrazione di questa affermazione, ma è decisamente labo-riosa. E probabilmente il giovane matematico non ne era a conoscenza. Era, infatti, praticamente privo di formazione universitaria. Nato in un piccolo villaggio indiano nel 1887 da una famiglia molto povera, aveva dimostrato fin da bambino uno stra-ordinario talento per i numeri ed era arrivato a «intuire» da autodidatta risultati complessi, pur non posse-dendo il formalismo per dimostrarli.Grazie all’interessamento del mate-matico Hardy, che riconobbe le sue intrinseche abilità, Ramanujan riuscì a ottenere la laurea all’Università di Cambridge senza dare alcun esame. La scoperta delle proprietà del numero 1729 è solo un esempio delle sue ecce-zionali capacità di calcolo. Purtroppo morì molto giovane, stroncato dalla tubercolosi a soli 32 anni.

Il numero 1729 è al centro di un aneddoto che vide protagonisti due matematici del secolo scorso, l’in-diano Srinivasa Ramanujan e l’inglese Godfrey Hardy. Un giorno del 1917 Hardy fece visita all’amico, ricoverato per malattia all’ospedale londinese di Putney. Gli raccontò di aver preso il taxi 1729, un numero che suonava piuttosto insulso alle sue orecchie. Era forse di cattivo augurio? Rama-nujan tranquillizzò il collega, repli-cando: «Ma no, Hardy! È un numero molto interessante. È il più piccolo numero intero esprimibile in due modi diversi come somma di due cubi positivi». Ramanujan faceva rife-rimento alla seguente uguaglianza:

1729 = 13 + 123 = 93 + 103.Non sappiamo come il matematico l’abbia scoperta, ma noi, al suo posto, avremmo potuto utilizzare la scom-posizione della somma di due cubi: x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2).Sapendo che gli unici fattori di 1729 sono 7, 13, 19 (ovvero: 1729 = 7 $ 13 $ 19), il problema si tra-duce in: 1729 = x3 + y3 = = (x + y)(x2 - xy + y2) = = 7 $ 13 $ 19.

Citazioni famoseIl numero 1729 compare in diversi episodi della serie televisiva Futurama, ideata da Matt Groening, padre dei Simpson. In un episodio, per esempio, 1729 è il numero della navicella spaziale Nimbus; in un altro, il messaggio di una cartolina natalizia inviata al robot Bender. Un riferimento al numero 1729 è presente anche nel film Proof, dove Anthony Hopkins interpreta la parte di un genio matematico ai limiti della follia.

b Srinivasa Rama-nujan (al centro) e G.H. Hardy (all’estrema de-stra), con altri colleghi, al Trinity College, Cambridge.

Il quesito completo a pag. 1


14

ESERCITAZIONE GUIDATA

Con Derive determiniamo la somma delle frazioni algebriche:

a a aa3 2

13 2- +

+ e a a 2

32 --

.

Per verifica sostituiamo il valore 23

- alla lettera a nelle due frazioni e nella somma, operiamo le sem-

plificazioni e confrontiamo i risultati.

• Attiviamo Derive, assegniamo un nome alle due frazioni e le immettiamo nella zona algebrica (figu-ra 1).• Impostiamo ed eseguiamo la loro somma.• Determiniamo i valori della prima frazione e della seconda frazione per a 2

3=-

(figura 2).• Operiamo la somma di tali valori.• Nella frazione somma che si trova in #4 sostituiamo 2

3- ad a e semplifichiamo,

ottenendo il medesimo risultato.

LABORATORIO DI MATEMATICALE FRAZIONI ALGEBRICHE CON DERIVE

EsercitazioniAssegna un nome alle seguenti frazioni algebriche, effettua su di esse le operazioni indicate, svolgi una verifica con una sostituzione numerica scelta da te. Determina quali condizioni devono soddisfare i nu meri da sostituire alle lettere affinchŽ le frazioni esistano.

b Figura 1

Nel sito: c Altre esercitazioni

aa2-, a a a

a3 2

33 2- +

- .

a) Somma il quadrato della prima con la seconda.

b) Sottrai dal cubo della prima il quoziente della seconda per la prima.

c) Somma il cubo della prima con la reciproca della seconda.

kk k k

41

2

3 2

-

- + - , k kk

41

4 2

3

-

- , kk 2- .

a) Somma i quozienti della prima per la secon-da e della prima per la terza.

b) Sottrai al prodotto della prima per la seconda il quadrato della terza.

c) Dividi la somma della seconda e della terza per la prima.

1 2

m Figura 2

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