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LA THERMODYNAMIQUE. pour madame et monsieur Toutlemonde. Le 7 juin 2014. Denis Chadebec. Remarque: dans tout cet exposé, il sera fait un usage répété d’une des plus belles théories mathématiques de tous les temps :. le Calcul Différentiel & Intégral. - PowerPoint PPT Presentation
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1
LA THERMODYNAMIQUE
pour madame et monsieur Toutlemonde
Denis Chadebec Le 7 juin 2014
2
le Calcul Diffeacuterentiel amp
Inteacutegral
initieacutee au moyen acircge puis eacutenonceacutee par Newton amp Leibnitz au XVIIe siegravecle
Remarque dans tout cet exposeacute il sera fait un usage reacutepeacuteteacute drsquoune des plus belles theacuteories matheacutematiques de tous les temps
3
Pas de panique
on va tout deacutetailler
Pas de panique
on va tout deacutetailler
4
PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT
13 chapitres reacutepartis en 5 grands chapitres vont ecirctre commenteacutes lrsquoun apregraves lrsquoautre
DE LA FORCE A LrsquoENERGIE fig 022
GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES fig 005
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE fig 038
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
fig 051
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute fig 058
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE fig 067
LE CORPS ET SON MILIEU fig 082
RENDEMENT OPTIMAL DrsquoUN MOTEUR fig 092
LES GAZ PARFAITS fig 095
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION fig 100
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES fig 114
LrsquoENTROPIE ET LE DEacuteSORDRE COUPUSCULAIRE fig 108
5
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
6
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Grandeur x
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
2
le Calcul Diffeacuterentiel amp
Inteacutegral
initieacutee au moyen acircge puis eacutenonceacutee par Newton amp Leibnitz au XVIIe siegravecle
Remarque dans tout cet exposeacute il sera fait un usage reacutepeacuteteacute drsquoune des plus belles theacuteories matheacutematiques de tous les temps
3
Pas de panique
on va tout deacutetailler
Pas de panique
on va tout deacutetailler
4
PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT
13 chapitres reacutepartis en 5 grands chapitres vont ecirctre commenteacutes lrsquoun apregraves lrsquoautre
DE LA FORCE A LrsquoENERGIE fig 022
GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES fig 005
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE fig 038
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
fig 051
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute fig 058
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE fig 067
LE CORPS ET SON MILIEU fig 082
RENDEMENT OPTIMAL DrsquoUN MOTEUR fig 092
LES GAZ PARFAITS fig 095
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION fig 100
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES fig 114
LrsquoENTROPIE ET LE DEacuteSORDRE COUPUSCULAIRE fig 108
5
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
6
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Grandeur x
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
3
Pas de panique
on va tout deacutetailler
Pas de panique
on va tout deacutetailler
4
PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT
13 chapitres reacutepartis en 5 grands chapitres vont ecirctre commenteacutes lrsquoun apregraves lrsquoautre
DE LA FORCE A LrsquoENERGIE fig 022
GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES fig 005
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE fig 038
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
fig 051
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute fig 058
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE fig 067
LE CORPS ET SON MILIEU fig 082
RENDEMENT OPTIMAL DrsquoUN MOTEUR fig 092
LES GAZ PARFAITS fig 095
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION fig 100
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES fig 114
LrsquoENTROPIE ET LE DEacuteSORDRE COUPUSCULAIRE fig 108
5
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
6
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Grandeur x
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
4
PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT
13 chapitres reacutepartis en 5 grands chapitres vont ecirctre commenteacutes lrsquoun apregraves lrsquoautre
DE LA FORCE A LrsquoENERGIE fig 022
GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES fig 005
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE fig 038
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
fig 051
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute fig 058
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE fig 067
LE CORPS ET SON MILIEU fig 082
RENDEMENT OPTIMAL DrsquoUN MOTEUR fig 092
LES GAZ PARFAITS fig 095
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION fig 100
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES fig 114
LrsquoENTROPIE ET LE DEacuteSORDRE COUPUSCULAIRE fig 108
5
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
6
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Grandeur x
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
5
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
6
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Grandeur x
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
6
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Grandeur x
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
7
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δfAire =
Regardons δf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
8
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
Aire plus grande que la variation δf de f
Elle vautmax(f rsquo ) δxleδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
9
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
δf max(f rsquo ) δxle
Aire plus petite que la variation δf de f
Elle vaut
min(f rsquo ) δx le
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
10
Aire = grandeur f
Grandeur f rsquo
Valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
Grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
Divisons partout par δx
δx δxδxlele
δfAire =
δf
et simplifions
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
11
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
Variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquoδf
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
12
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
max(f rsquo ) δxlemin(f rsquo ) δx le
δx δxδxlele
δfAire =
min f rsquo max f rsquo
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zeacutero
δf
devient
f rsquo lele
devient
f rsquo
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
limite
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
13
Aire = grandeur f
grandeur f rsquo
valeur initiale xo
variation δx de la grandeur x
grandeur x
δfAire =
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Quand δx est suffisamment petitles grandeurs δf et δx sont
consideacutereacutees comme proportionnelles
δf = f rsquo(x) δx
Vocabulaire on dit que f est diffeacuterentiable par rapport agrave x
et que frsquo est la deacuteriveacutee de f par rapport agrave x
Comparons deux variations de grandeurs dont lrsquoune f deacutepend de lrsquoautre x
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
14
Grandeur f
grandeur x
grandeur f rsquo
Variation δx de la grandeur x
Variation δf de la grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
δx δf
Aire = f
valeur initiale xo
Courbe repreacutesentative de f
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
15
Δf =δfδx
dx
Tangente
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Seacutecante
grandeur f
grandeur x
Variation δx de la grandeur x
Variation dx de la grandeur x
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)
Variation δf de la grandeur f
Variation nommeacutee ΔfVariation
nommeacutee df
En suivant la seacutecante
Abscisse Ordonneacutee
δx δf
dx Δf
df = f rsquo(x) dx
Retenons cette eacutequation de la tangente
df f rsquo(x)= dx
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
16
Crsquoest pourquoi ces deux eacutecritures seront utiliseacutees agrave tour de rocircle selon les
besoins du moment
TangenteGrandeur f
Grandeur x
nous adoptons une deacutemarche intellectuelle tregraves freacutequente en physique quand une grandeur f
limite (quand δf tend vers 0) de δf
δx= f rsquo(x)limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx= f rsquo(x)
df = f rsquo(x) dx
parce que nous admettons que
nous admettons que si la taille de la variation δx est en-dessous drsquoun seuil δmax x
seuil δmaxx
la variation δf de f peut ecirctre assimileacutee agrave df δf
δf = f rsquo(x) δx
deacutepend drsquoune autre grandeur x
δx
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
17
Aire = grandeur f
δf = f rsquo(x) δx
Point de contact
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
grandeur x
Δx
m
Tangente
grandeur f rsquo
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
18
Tangente
δf = f rsquo(x) δx
seacutecante
Point de contact
grandeur x
m
δx
δfδf
Segments eacutegaux
Segments eacutegaux
grandeur f
Δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
parallegravele agrave la tangente
δf = f rsquo(m) δx
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
19
δf = f rsquo(m) δx
grandeur x
mδf = f rsquo(x) + δf rsquo δx
δf = f rsquorsquo(x) Δxf rsquo(x) + δx
On deacuteveloppe
Tangente
seacutecante
Point de contact
δx
grandeur y
δy parallegravele
Δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
f rsquo(m) = f rsquo(x) + δf rsquo
δf rsquo = f rsquorsquo(x) ΔxNous lrsquoappliquons agrave la deacuteriveacutee elle-mecircme
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit
Note si δx est neacutegatif alors δx est aussi neacutegatif
Δx et δx sont de mecircme signe
Substituons frsquo(x)
Substituons δf rsquo
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
20
La mecircme chose que la force
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
est un pouvoir de deacuteplacer les corpset qui se consomme quand elle agit
qui ne se consomme pas quand elle agit
Non Parce que
Lrsquoeacutenergie
Qursquoest-ce que crsquoest
La thermodynamique traite des eacutechanges drsquoeacutenergie entre les systegravemes physiques Mais sait-on vraiment ce qursquoest cette
grandeur
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
21
DE LA FORCE Agrave LrsquoEacuteNERGIE
Sous-chapitres - La vitesse- Lrsquoacceacuteleacuteration- La force- Lrsquoeacutenergie
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
22
La vitesse
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
23
Au commencement eacutetait une ideacutee tregraves ancienne
si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Temps
vx
dt
Vitesse
Aire = dx
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
24
Lrsquoacceacuteleacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
25
mais une distance qui varie avec le tempsle corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps hellip
alors le tableau
nous donne lrsquoeacutequation (eacutegaliteacute des produits croiseacutes) dx = vx dt
Cette formule nous donne la geacuteomeacutetrie ci-contre
Temps Espace
dt dx
1 vx
Tempsdt
Vitesse
vx
Si maintenant la vitesse est variable hellip
Aire = dx
t
mais lrsquoaire de la surface jaune est toujours eacutegale agrave la distance hellip
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
26
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves hellip
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
t
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
dvx = ax dt
vx
Deacutefinition le nombre ax est lrsquoabscisse de lrsquoacceacuteleacuteration
Aire = dx
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
27
La vitesse drsquoun corps augmente proportionnellement au temps
alors nous pouvons appliquer la geacuteomeacutetrie de Thalegraves
Cas particulier bien utile
Tempsdt
Vitesse
dvx
Temps Vitesse
dt dvx
1 ax
Aire jaune = aire verte Aire totale =
vxo
longueur x largeur
vxo
Conclusion si pendant le temps dt lrsquoacceacuteleacuteration est constante alors la distance parcourue est donneacutee par la formule
vx
= dt (vxo + vx)
dvx = vx ndash vxo
Aire jaune12
= dt (vxo + vx)
dx = dt (vxo + vx)12
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
28
La force dvx = ax dt
De la diapositive
26 vient
(cette ideacutee est venue au moyen acircge de la pratique de lrsquoeacutepure des architectes antiques)
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
29
Comment Newton a deacutefini la force
Etudions les trois deacutefinitions suivantes
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Nous voyons bien que les reacutesultats des deux expeacuteriences de penseacutee preacuteceacutedentes sont respecteacutes
bull Expeacuterience de penseacutee 2 ndash Si agrave ce deuxiegraveme corps lrsquoacceacuteleacuteration est doubleacutee
bull Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une acceacuteleacuteration
bull Expeacuterience de penseacutee 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double et si on lui imprime la mecircme acceacuteleacuteration alors
nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doubleacutee
alors nous admettrons que la force qursquoil subit est encore doubleacutee
Faisons quelques expeacuteriences de penseacutee
Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter
cette deacutefinition de la force
Note Trois coordonneacutees font drsquoune force une Grandeur
orienteacutee
Drsquoabord en trois dimensions nous avons trois eacutequations au lieu drsquoune dvx = ax dt dvy = ay dt et dvz = az dt
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
30
Lrsquoeacutenergie
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
31
Multiplions la force par le deacuteplacementFx dx = m ax dx Fy dy = m ay dy Fz dz = m az dz
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
Substituons le deacuteplacement par sa formule de calcul
Fx dx = m ax
12
(vx + vxo) dt =12
m ax dt (vx + vxo)
=12
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=12
m vx2 ndash
12
m vxo2 = d
12
m vx2
Fx dx = d12
m vx2
Vu lrsquoidentiteacute remarquable (p ndash q) (p + q) = p2 ndash q2
=12
m (vx2 ndash vxo
2)Fx dx
dx = dt (vxo + vx)12
=12
m dx (vx + vxo)
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
32
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
df + dg + dh =
= f ndash fo + g ndash go + h ndash ho
= f + g + h ndash fo ndash go ndash ho = (f + g + h) ndash (fo + go + ho)
d(f + g + h)
sachant la regravegle
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2)
df + dg + dh = (f ndash fo) + (g ndash go) + ( h ndash ho)parce que
= d(f + g + h)
Petites justifications matheacutematiques
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
33
vz
vx
vx
vx
vz
vy
v
Ce triangle est rectangle
vy
vy
Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy
2
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy
2 + vz2
v vx vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
on applique le theacuteoregraveme de Pythagore
comme si la vitesse restait figeacutee
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
34
Fx dx = d12
m vx2
Fy dy = d12
m vy2
Fz dz = d12
m vz2
Additionnons membre agrave membre
et sachant que les laquo un demi raquo et la masse sont facteurs communs
d(f + g + h)
sachant la regravegle
df + dg + dh =
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v 2
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
35
Aire = travail
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
Travail de la force du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
cas drsquoune force constante
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
36
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
Force Fx
Position x
dx
Aire = travail
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
cas drsquoune force non constante
Et si la force nrsquoest pas constante
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
37
Ce theacuteoregraveme est connu comme celui de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
= d12
m (vx2 + vy
2 + vz2) = d
12
m v2
du grec rsquorsquoen ergosrsquorsquo (= rsquorsquode mouvementrsquorsquo) vint rsquorsquo eacutenergiersquorsquo
δ W
(de lrsquoanglais work = travail)
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
38
La loi de conservation de lrsquoeacutenergie
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
39
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m v2 ndash m v02
12
12
W( de agrave ) =D (deacutepart)
A (arriveacutee)
Un classement essentiel des forces
Question
W(de D agrave A) est toujours deacutecomposable en
W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA 2 ndash m vD2
12
12
W( de agrave ) =W(de D agrave Ref) + W(de Ref agrave A)
Choisissons un lieu nrsquoimporte ougrave dans lrsquoespace hellip et nommeacute Ref(il nous servira de lieu de reacutefeacuterence)
Le reacutesultat deacutepend-t-il du choix du lieu de
reacutefeacuterence
La force est non conservativeSi oui
Si non La force est conservativeW(de M agrave Ref) est renommeacute UM
= m vA 2 ndash m vD21
212
=UD ndash UA
pour nrsquoimporte quelle force
seulement pour les forces conservatives
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
40
Et si plusieurs forces agissent simultaneacutement
On additionne
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
Fx (x ndash x0) + Fy (y ndash y0) + Fz (z ndash z0) = m vA2 ndash m vD
212
12
W( de agrave ) = UD ndash UA
Donc on additionne les travaux conserveacutes et les travaux non conserveacutes
seulement pour les forces conservatives
Pour lrsquoensemble des forces
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
41
Et si le systegraveme est composeacute de plusieurs corps
On additionne
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
) = m vA2 ndash m vD
212
12
=somme des UD ndash UA + somme des W autres forces (de D agrave A)
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
42
LA LOI DE CONSERVATION DE LrsquoENERGIE
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
43
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Les corpuscules (microscopiques) Le corps (macroscopique)
Leur vitesse est vx
Mais la somme des carreacutes vx2 de ces vitesses
nrsquoest pas zeacutero Sa vitesse Vx est nulle
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si le corps est au repos
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques 12 m v2
Raisonnons drsquoabord sur une seule coordonneacutee lrsquoabscisse par exemple
est la chaleur du corps
lrsquoaddition de toutes ces vitesses est zeacuteroagrave cause du deacutesordre de leurs mouvements
donc la somme des v2 est non nulle
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
44
Leur vitesse est vx + Vx
La somme des carreacutes (vx + Vx)2 de ces vitesses
Sa vitesse Vx est non nulle
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
Si on nomme M la masse du corpsalors la somme des m est M
facteur commun12 m vx
2somme des
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12Additionnons sur les trois
coordonneacutees (abscisse ordonneacutee et cote)
12 m V
x2somme des
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 ++
est Σ vx 2 + Σ Vx
2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
45
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Si un corps est en mouvement
La somme de ces eacutenergies cineacutetiques est
Les petits (microscopiques) Le gros (macroscopique)
crsquoest la chaleur du corps crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique du corpsQ=
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
Et si un corps est composeacute de plusieurs corpuscules (atomes)
+ QA + QD
V V
=12 M V
x2somme des
12 m vx
2 +
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
46
somme (tous les corps) des UD ndash UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
somme (tous les corps) des m vA2 ndash somme (tous les corps) des m vD
2=12
12
Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
+ QA + QD
V V
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) = somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
212
12
+ QA + QD
Soustrayons les eacutenergies potentielles
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
47Loi de conservation de lrsquoeacutenergie
puis regroupons les eacutenergies cineacutetiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
+ somme (tous les corps) des m VA2 ndash somme (tous les corps) des m VD
2
=
12
12
somme (tous les corps) des ndash UD + UA
+ QA + QD
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A) =
12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
12
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
48
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Le systegraveme physique reccediloit
ou perd de lrsquoeacutenergie sous
forme de travail des forces non conservatives
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie
potentielle de ses parties macroscopiques
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD
Il en perd ou reccediloit sous forme drsquoeacutenergie cineacutetique de ses parties macroscopiques
12
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
49
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
Regroupons agrave gauche les forces non conservatrices
Il en perd ou reccediloit sous forme de chaleur
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
La discipline qui se preacuteoccupe de ces eacutechanges est la thermodynamique
Renommeacutes UA et UD par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer Ce sera Upot A et Upot D
Nom donneacute par les thermodynamiciens
eacutenergie interne
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
50
LrsquoENERGIE OU LES ENERGIES
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
51
degreacutes C
masse drsquoeau (g)
calories
1 1 1
θ θ1
θ m θm
par deacutefinition
par hypothegravese
par hypothegravese
Lrsquoancienne uniteacute de quantiteacute de chaleur LA CALORIE
agrave une eacutepoque ougrave on ignorait la nature de
la chaleur
Variation de la tempeacuterature de lrsquoeau liquide
Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondante
Deacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
Deacutefinition de lrsquouniteacute de quantiteacute de chaleur la calorie
Et si la matiegravere nrsquoest pas de lrsquoeau
C
C θ
m C θ
Masse
C est nommeacute chaleur massique
(la pression est fixeacutee agrave 1 atmosphegravere soit 101 325 Pascals)
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
52
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
53
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Si je double I alors je pense que ce travail va doubler
Si je double U alors je pense que ce travail va doubler
Mais expeacuterimentalement il est impossible de reacutegler seacutepareacutement
les deux
Horloge
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
54
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
Moteur
Charge
Elle monte drsquoune hauteur h
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Ce nrsquoest pas gecircnant si je double I et U alors je
mrsquoattend agrave ce que ce travail soit quadrupleacute
Par ailleurs si en plus je double le temps de
lrsquoexpeacuterience alors ce travail va ecirctre multiplieacute par huit
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
venant de lrsquoeacutelectriciteacute
soit m g h
Horloge
On a testeacute directement U I t
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
55
Pas drsquoeacuteleacutevation des tempeacuteratures
Vitesses initiales et finales nulles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
soit m g h
Mesure de la tension
eacutelectrique U
Joule et les machine eacutelectriques
Geacuteneacuterateur(pile ou machine eacutelectromagneacutetique)
A
Mesure de lrsquointensiteacute I du courant
V
Calorimegravetre
eau
Conducteur eacutelectrique
Thermomegravetre
On a testeacute directement U I t
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
56
Joule et les machine eacutelectriques
Calorimegravetre
Thermomegravetre
Tambour
Masse m tombant drsquoune hauteur h
Eleacutevation de la tempeacuteratureθA ndash θD
Geacuteneacuteralisation tout travail est convertible en chaleur(premier principe de la thermodynamique)
Pour assurer lrsquoeacutegaliteacute lrsquouniteacute de I avait eacuteteacute deacutefinitivement adopteacutee
lrsquoAmpegravere
Lrsquouniteacute de U avait eacuteteacute deacutefinie en comparant avec le pouvoir eacutelectrique drsquoun eacuteleacutement de pile de Volta le Volt
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Le poids est une force conservative
Zeacutero
Avant et apregraves lrsquoessai rien ne bouge
Chaleur prise par lrsquoeau = m (θA ndash θD)
soit m g h
eacutegal agrave U I t
Jusqursquoagrave ce jour aucun fait expeacuterimental nouveau nrsquoest venu
contredire cette theacuteorie
m (θA ndash θD)
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
57
LrsquoIRREacuteVERSIBILITEacute
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D agrave A)
=12somme (tous les corps) des + QA
+ QDm VA2 + UA ndash m VD
2 + UD12
Pas de travailPas de mouvement
En bref 0 = QA ndash QD
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = QA ndash QD
0 = somme (corps et milieu) des QA ndash QD
0 = QA corps ndash QD corps + QA milieu ndash QD milieu
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
Divisons par la tempeacuterature chaude
0 =dQfroid
Tchaude
+dQchaud
Tchaude
et remplaccedilons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la tempeacuterature froide histoire de rendre la formule physiquement coheacuterente
0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
En effet on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit Tfroide donc le quotient augmente
donc le signe laquo eacutegal agrave raquo est agrave remplacer par un signe laquo plus petit que raquo
0 = dQfroid + dQchaud
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchaud0 ltdQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Drsquoougrave lrsquointeacuterecirct de nommer cette grandeur
ou plutocirct de consideacuterer cette formule comme le calcul de la variation dS drsquoune grandeur alors inconnue S hellip
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
62
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
Tchaude
Nous avons donc cette loi expeacuterimentale exprimant lrsquoirreacuteversibiliteacute de lrsquoeacutechange spontaneacute de chaleur dS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamiqueque nous devons agrave Clausius
Vocabulaire Si pour une grandeur pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties alors la grandeur est dite extensive Dans le cas contraire la grandeur est intensive
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
0 = dQfroid + dQchauddS =dQfroid
Tfroide
+dQchaud
TchaudedS gt 0
Telle fut lrsquoorigine du second principe de la
thermodynamique
Geacuteneacuteralisation naturelle pour un systegraveme de plusieurs corps nrsquoeacutechangeant pas drsquoeacutenergie avec son environnement
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
64
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
hellip lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
se retourner et aller spontaneacutement du chaud
vers le froid
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
dS gt 0Quel nom fut donneacute agrave S
en grec έυτροπή (entropegrave) veut dire rsquorsquoaction de se retournerrsquorsquo La grandeur S sera nommeacutee entropie
(Clausius)
Si un eacutevegravenement (un feu un frottement par exemple) a rompu lrsquouniformiteacute des tempeacuteratures la chaleur a eacuteteacute contrainte agrave se concentrer sur une partie du systegraveme hellip
(second principe de la thermodynamique)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ T gt 0
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
65
LrsquoIDENTITEacute FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
66
x
x
Soit un systegraveme physique soumis dont la condition drsquoexistence est caracteacuteriseacutee par un paramegravetre x et consideacuterons un de ces petits sauts
Temps
Tant que x ne varie pas le systegraveme est comme isoleacuteSon entropie est donc croissanteSoit un saut de x helliphellip si soudain et si petit que lrsquoentropie nrsquoa pas eu le temps de reacuteagir hellip
suivie aussitocirct de la stabilisation de x
alors lrsquoentropie est agrave nouveau croissante
sautEntropie
Temps
sautEntropie
Les physiciens se sont convaincus que lrsquoeacutevolution de la condition drsquoexistence des systegravemes se fait par une succession de tregraves nombreux sauts brusques et petits en raison de lrsquoagitation microscopique et deacutesordonneacutee des particules qui les composent
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante δx de x et celle δS de lrsquoentropie
Cela est bien illustreacute par lrsquoexpeacuterience du mouvement brownien
Conclusion que δx soit positive ou neacutegative δS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
67
Servons-nous de la formule de la diapositive ndeg 16 δS = Srsquo(x) δx + Srsquorsquo(x) Δx δx
δS = Srsquo(x) + Srsquorsquo(x) Δx δxFactorisons δx
δf = f rsquo(x) δx + f rsquorsquo(x) Δx δx
et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit
Δx et δx de mecircme signeavec
On est ameneacutes alors agrave comparer sur une succession drsquoun grand nombre de sauts la variation reacutesultante Δx de x et celle ΔS de lrsquoentropie Conclusion que Δx soit positive ou neacutegative ΔS est toujours positiveVoyons ce qui se passe si δx est petite (bien qursquoelle soit la reacutesultante drsquoun grand nombre de petits sauts)
Si δx est assez faible
δS = Srsquo(x) δxdonc de la formule preacuteceacutedente il reste
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositiveparce que drsquoapregraves la formule preacuteceacutedentesi on inverse le signe de δx δS devrait devenir neacutegative La seule solution est drsquoadmettre que Srsquo(x) est nulledonc il nous reste de la formule δS = Srsquorsquo(x) Δx δxformule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de mecircme signe
lt Srsquorsquo(x) δx2
En conseacutequence Δx δx est positif et plus petit que le carreacute de δx donc
le terme Srsquorsquo(x) Δx est neacutegligeable devant Srsquo(x)
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
68
un faible changement de x rend donc δS quasi nulSoit une grandeur physique quelconque caracteacuterisant lrsquoeacutetat drsquoun systegraveme(exemple la chaleur qursquoil possegravede et qursquoon nomme eacutenergie interne U)et deacutependant drsquoun certain nombre de grandeurs comme xet qui varient de δxalors la variation de U due agrave celle de x peut ecirctre eacutecrite
(diapositive ndeg 10)δU(x) = Ursquo(x) δxla variation δU(x) se faisant agrave entropie constante
δx
paraboley = δx2
δS Srsquorsquo(x)ouS(x)
Courbe repreacutesentant δS δx2
Dans cette zone S ne varie pratiquement pas
δS = Srsquorsquo(x) Δx δx lt Srsquorsquo(x) δx2
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
69
Σn
δU = + Xn δxnT δS
Il existe donc un coefficient de proportionnaliteacute Ursquo(x) qursquoon va nommer X entre le petit δx et la variation correspondante δU(x) renommeacutee δU
δU = X δx
Mais si lrsquoamplitude de δx est trop grande
alors lrsquoentropie va commencer agrave varier et agrave faire sentir les effets de cette variationet nous devons corriger la formule δU = X δxdrsquoun nouveau terme inspireacute par lrsquoexpression de Clausius T δSδU = T δS + X δx
Supposons maintenant que U deacutepende de plusieurs paramegravetres comme x les xn on cumule des effets sur U chaque xn eacutetant associeacute agrave son coefficient Xn
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
δU(x) = Ursquo(x) δx
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
70
Aires volumes pression
travail de la pression
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Σn
δU = + Xn δxnT δS
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
71
La pression fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FPrsquo(A) de cette formule
Soit une surface de contact drsquoaire δA entre deux corpsLa force de contact est (diapositive ndeg10 δf = f rsquo(x) δx) exprimeacutee par
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Corps ndeg 2
Corps ndeg 1
Surface de contact drsquoaire δA
Perpendiculaire agrave la surface
Force exerceacutee par le corps ndeg 2 sur le corps ndeg 1
F Plan deacutefini par la force et cette perpendiculaire
composante cisaillanteFC
composante pressanteFP
δFP ou C = FPrsquo(A) ou FCrsquo (A) x δA
Le cisaillement fut deacutefinie comme le coefficient multiplicateur FCrsquo(A) de cette formule
Lrsquoun des plus importants paramegravetre xn est la pression que le corps subit agrave sa surface hellip
Note FP rsquo(A) ou FC rsquo(A) sont les longueurs des flegraveches des vecteurs FP ou FC
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
72
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
Volume = δA h
hauteur = hLe prisme droit est devenu un paralleacuteleacutepipegravede quelconque
Glissement de la face supeacuterieure sur elle-mecircme
Ceci est un paralleacuteleacutepipegravede rectangle
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
73
Histoire de volume hellip
Aire de la base = δA
hauteur = h
Volume perdu
Volume = δA h
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
74
Volume gagneacute
Volume perdu
hauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
75
Volume perdu
Volume gagneacute
Ils sont eacutegauxhauteur = h
Aire de la base = δA
Volume = δA h
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
76
Volume = δA h
Ces deux volumes sont donc eacutegaux
Ce triangle est rectangle
angle α
hypoteacutenuse = H
hauteur = h
Son cosinus est h H
Aire de la base = δA
Volume = δA H cos α
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
77
angle α
hypoteacutenuse = H
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Aire de la base = δA
= deacuteplacement de la surface de contact
hauteur = hVolume = δA H cos α
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
78
angle α
Composante pressante (diapositive ndeg 65)Sa copie
FC = P δA
Volume = δA H cos α
Corps ndeg 2
Surface de contact
Corps ndeg 1 son volume diminueLe corps 1 eacutetant comprimeacute
lrsquoexpeacuterience montre que le corps 1 devient plus chauddonc que son eacutenergie interne augmente
Travail de la composante pressanteFC h = P δA H cos α = P δV δW =
En Pascals
En NewtonsEn m2
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
Σn
δU = + Xn δxnT δSLa formule (diapositive ndeg 63) est deacutetailleacutee ainsi
Si le corps 2 compresse le corps 1
drsquoougrave un signe moins
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
79
Nous avons justifieacute lrsquoune des formules les plus fondamentales de la thermodynamique
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
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Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
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Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
80
LE CORPS ET SON MILIEU
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
81
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
82
Attention Cette proposition nrsquoest pas vraie en geacuteneacuteral
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu
Parce qursquoentre les particules drsquoun systegraveme existent des forces mutuelles dont le travail est conserveacute donc est constamment eacutechangeacute contre de lrsquoeacutenergie cineacutetique microscopiqueDans le cas de deux corps les forces inter corpusculaires sont de trois espegraveces
- entre particules de lrsquoun- entre particules de lrsquoautre- entre particules de lrsquoun et particules de lrsquoautreLa formule ci-dessous devrait ecirctre compleacuteteacutee ainsi δU = δU corps + δU milieu + δUcorps amp milieu
Mais le troisiegraveme terme ne concerne en geacuteneacuteral que la frontiegravere entre le corps et le milieuet lrsquoaire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compactesi bien que δUcorps amp milieu
peut ecirctre neacutegligeacute la plus part du temps
Cependant les particules de la surface frontiegravere jouent un rocircle essentiel ce sont elles qui sont responsables des eacutechanges eacutenergeacutetiques entre le corps et le milieu par conduction
Il y a aussi les ondes creacuteeacutees dans un des deux systegravemes et excitant les particules de lrsquoautre (rayonnements)
Mais heureusement tregraves souvent les eacutemetteurs de ces ondes sont fort dilueacutes dans la matiegravere
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
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Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
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LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
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Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
83
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de cette quantiteacute de chaleur
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
δU = + autres Xn δxnT δS Σn
ndash P δV
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
84
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul donne
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps ndash P milieu δV milieu)
0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant 0 = δVcorps + δVmilieu
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P milieu δV corps)
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
T milieu δS milieu = ndash (δU corps + P corps δV corps)
Hypothegravese la pression est constante
T milieu δS milieu = ndash δ(U corps + P corps V corps)
Deacutefinition comme έυθαλπω veut dire reacutechauffer
H = U + P V est lrsquoenthalpie drsquoun systegraveme
(enthalpegrave)
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
85
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc
Moi lrsquousager je me sers drsquoune partie de ce travail
δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
86
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est maximale donc ne peut que rester stable 0 = δS corps + δS milieu
0 = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
0 = δU corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu
Hypothegravese la tempeacuterature est constante
0 = δ(U corps ndash T corps S corps) ndash P milieu δV milieu
Deacutefinition F = U ndash T S est lrsquoeacutenergie libre du systegraveme
P milieu δV milieu = δ(U corps ndash T corps S corps)
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
87
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Ougrave sommes-nous les usagers de la thermodynamique
ici Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
Question pratique la loi de croissance de lrsquoentropie concerne agrave la fois le corps et le milieu crsquoest-agrave-dire nous ce nrsquoest pas simple
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scegravene que les grandeurs du corps seul
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
88
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
Lrsquoeacutenergie interne est la somme des deux eacutenergies internes
δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
doncS = S corps + S milieuδS = δS corps + δS milieu
Deacutefinition la reacuteunion du corps et du milieu est isoleacutee si le bilan de ses eacutechanges drsquoeacutenergie interne est nul 0 = δU corps + T milieu δS milieu ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS ndash δS corps) ndash P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
ndash T milieu δS = δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu
La reacuteunion du corps et du milieu eacutetant isoleacutee son entropie ne peut que croicirctre donc
δU corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu est neacutegatif
Lrsquoentropie de la reacuteunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
89
Le corps et son milieu
Milieu
Corps
δ(U corps ndash T milieu δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les tempeacuteratures dans le corps et le milieu sont les mecircmes
Hypothegravese la tempeacuterature et la pression sont constantes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P milieu δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese les pressions dans le corps et le milieu sont les mecircmes
δ(U corps ndash T corps δS corps ndash P corps δV milieu) est neacutegatif
Hypothegravese le volume de la reacuteunion du corps et du milieu est constant
δ(U corps ndash T corps δS corps + P corps δV corps) est neacutegatif
Deacutefinition G = U ndash T S + P V est lrsquoenthalpie libre du systegraveme
Cette addition justifie le mot laquo enthalpie raquo
Cette soustraction justifie le mot
laquo libre raquo
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
90
Rendement optimal drsquoun moteur
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
91
Rendement optimal drsquoun moteur
Machine
Ensemble isoleacute
nulle car la machine ne fait que transmettre lrsquoeacutenergie qursquoelle reccediloit
dU + dUc + dUf + dUm= 0
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
dUm = Tm dSm ndash Pm dVm
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dWCrsquoest le travail que lrsquousager attend de la machine
Second principe dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problegraveme il reste dW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0dSc + dSf est positif
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
92
Rendement optimal
Machine
Ensemble isoleacute
Usage
dUc = Tc dSc ndash Pc dVc
dUf = Tf dSf ndash Pf dVf
Systegraveme chaud
systegraveme froid
dU = dW
Travail maximal toute lrsquoeacutenergie chaude est convertie en travail
Du problegraveme il reste dStout = dSc + dSf est positifdW + Tc dSc ndash Pc dVc + Tf dSf ndash Pf dVf = 0
dWmax + Tc dSc ndash Pc dVc = 0Cycle de Carnot apregraves un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0dWmax + Tc dSc = 0
Introduction de lrsquoentropie du toutdW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
dW + Tc dSc ndash Tf dSc lt 0dW lt ndash (Tc ndash Tf) dSc
dWdWmax
ltTc ndash Tf
Tc
Suppression de lrsquoentropie du tout
dWmax = ndash Tc dSc (positif)
On peut diviser les deux membres par Wmax ou ndash Tc dSc qui sont positifs
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
93
LES GAZ PARFAITS
Il existe donc une rsquorsquocausersquorsquo mysteacuterieuse qui gouverne le sens des eacutechanges drsquoeacutenergie entre systegravemes et qursquoon nomme entropie hellip
hellip mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matiegravere et agrave leur comportement meacutecanique
Un sujet drsquoeacutetude va nous donner la cleacute
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
94
Ceci est un cube mentalement deacutecoupeacute dans un gaz hellip
hellip et cela est une piegravece de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant
Dans ce cube existent des milliards de moleacutecules du gaz seacutepareacutees les unes des autres par du vide
Opinion commune agrave tous les physiciens du XIXe siegravecle
Mais lrsquoopinion suivante nrsquoeacutetait soutenue que par les Britanniques (Dewar Graham Brown etc)Le mouvement des moleacutecules est complegravetement deacutesordonneacute
Conseacutequence logique la pression drsquoun gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs eacutelastiques des moleacutecules
Conseacutequence logique degraves qursquoune moleacutecule sort du cube une autre y entre presque au mecircme endroit
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
95
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroi
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroi
Soit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
Avant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
96
Conseacutequence logique statistiquement la moitieacute des moleacutecules de ce cube se dirigent vers la paroiSoit dt une dureacutee En moyenne une moleacutecule parcoure la distance Vx dt pendant cette dureacuteeSi donc la longueur de lrsquoarecircte du cube est justement Vx dt la moitieacute de toutes les moleacutecules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes
abscissendash Vx + Vx
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube alors crsquoest la masse M 2 qui va rebondir sur la paroiAvant les chocs la quantiteacute de mouvement des moleacutecules est ndash M Vx 2
Apregraves les chocs elle devient + M Vx 2 Diffeacuterence = 2 fois M Vx 2 = M Vx
Mais la masse se calcule agrave partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arecircte)3
Diviseacutee par le temps dt cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droiteF pression = M Vx dt Diviseacutee par lrsquoaire de la face de contact du cube sur la paroicela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arecircte)2 = M Vx dt
donc P x (arecircte)2 = μ (arecircte)3 Vx dt soit apregraves simplification P = μ x arecircte x Vx dt donc par substitution de lrsquoarecircte P = μ Vx dt Vx dt
P = μ Vx2
Note La fluctuation moyenne de lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement est donc M Vx N ougrave N est le nombre des moleacutecules du gaz
Mais M N est la masse m drsquoune moleacutecule donc lrsquointervalle dans lequel fluctue lrsquoabscisse de la quantiteacute de mouvement drsquoune moleacutecule est m Vx
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
97
abscissendash Vx + Vx
Multiplions par le volume P volume = μ x volume Vx2 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
P x volume = M Vx2
Conseacutequence pratique et theacuteorique on peut expeacuterimentalement mesurer la vitesse moyenne des moleacutecules Un manomegravetre donne Pon peut mesurer ou calculer le volumeon peut peser le gaz
et une algegravebre permet le calcul de la vitesse
P x volume = M Vx2
P x volumeM
= Vx2
P x volumeM
= Vx
Le deacutesordre moleacuteculaire eacutetant total la moyenne des vitesse le long drsquoun axe est la mecircme quelque soit cet axe Vx
2 = Vy2 = Vz
2 = V 2
P x volume = M V 2 3
P = μ Vx2
Or on deacutemontre que V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2
donc Vx2 = V
2 3 donc
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
98
LrsquoEXPEacuteRIMENTATION
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
99
Remarque 1 la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante helliphellip agrave condition de ne pas changer la masse enfermeacutee ni la vitesse des moleacutecules
Expeacuterimentation
Vanne ouverteVanne fermeacutee
Le mateacuteriel
Thermomegravetre
Etalonnage Deacutefinition du zeacutero degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de lrsquoeau autour de la glace fondanteDeacutefinition du cent degreacutes Crsquoest la tempeacuterature de la vapeur au-dessus de lrsquoeau bouillante
P x volume = M V 2 3
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
100
Expeacuterience teacutemoin
Vanne ouverte Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Air inteacuterieur il pousse le piston vers la droiteAir exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Le piston eacutetant immobile ces deux pousseacutees sont eacutegales
Mais celle-ci est eacutegale agrave P Sougrave S est lrsquoaire de la face du piston
Donc cette pousseacutee lagrave est aussi eacutegale agrave P S
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
101
Vanne ouverte
Mesure de la pression atmospheacuterique
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
102
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Vanne fermeacutee
Vide
Mesure de la pression atmospheacuterique
rien ne pousse le piston vers la droite
Force de traction F(mesureacutee avec un dynamomegravetre)
avec une force eacutegale agrave P A ougrave A est lrsquoaire du piston A = π R2 ougrave R est le rayon de sa face interne
Lrsquoimmobilisation du piston montre que les deux forces sont opposeacutees
F = P π R2 donne P = F
π R2Reacutesultats P = environ 100 000 Pascals
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
103
Expeacuteriences et mesures
Vanne fermeacutee Thermomegravetre
Mesure de la pression atmospheacuterique
Gaz inteacuterieur il pousse le piston vers la droite
Air exteacuterieur il pousse le piston vers la gauche
Force exteacuterieure elle pousse ou tire le piston
(signe +) (signe ndash)
= + ou ndash FP gaz S P air Sndash
P gaz S ndash P air S
Bilan
Quantiteacute = n moles
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
104
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)
Zone expeacuterimentalement accessibleExtrapolation
Deacutecouverte du rsquorsquozeacutero absolursquorsquo
Zeacutero
Exploitation des mesures
eacutetabli agrave ndash 27315 degC
en hiver en eacuteteacuteθmin θmax
(P V) max
Abscisse ordonneacutee
T max(P V) max
T P V
Regravegle des produits croiseacutes
Deacutefinition de la tempeacuterature absolue TT = θ + 27315
T max
P V =(P V) max
T maxT
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
105
Reacutesultats fondamentaux (Gay-Lussac Boyle Charles)
P V
θ (degreacutes centigrades)Zeacutero
P V =(P V) max
T maxT
27315 Kelvins
T (Kelvins)
P V = n R T
Soit Av le nombre drsquoAvogadro (deacutefini comme le nombre drsquouniteacutes dans une mole)
= n AvAvR
T
Nombre de moleacutecules
Constante de Boltzmann kB
Zeacutero Kelvins
nommeacute R(constante des gaz parfaits)
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
106
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
107
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
P x volume = M V 2 3
Diapositive ndeg 88
masse du gaz = N m
masse drsquoune moleacutecule
= N m V 2 3
double drsquoune eacutenergie cineacutetique
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
12
m V 2et = = 32
m Vx2
(diapositive ndeg 88)
kB T = m Vx2
donc
V 2 = Vx2 + Vy
2 + Vz2 = 3 Vx
2
nombre de moles
Nombre drsquoAvogadro
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Nombre de moleacutecules = N
2 Ec 3 = N kB Tdonne Ec = 3 N kB T 2
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
108
P V = n R T = n AvAvR
T
Constante de Boltzmann kB
= N 2 Ec 3
Eacutenergie cineacutetique drsquoune moleacutecule = 32
kB T
kB T = m Vx2
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
somme des eacutenergies cineacutetiques moleacuteculaires= chaleur Q
Q = N 32
kB T
Q = N m Vx23
2
Variation dQ = N m d(Vx2)
= 3 N m Vx dVx
dQT =
Drsquoapregraves Clausius (diapositive ndeg 56) dS est deacutefinie selon
dVx
Vx
= 3 N kB
32
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
d(m Vx)m Vx
3 N kB=kB
dQkB T
= kB
3 N m Vx dVx
m Vx2
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
109
dQT = 3 N kB d ln (m Vx)
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
dS = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
Or m Vx est la longueur de lrsquointervalle de variation continuelle drsquoune coordonneacutee (ici lrsquoabscisse) de la quantiteacute de mouvement m vx (diapositive ndeg 88)
(m Vx) 3 NΔΩp =
qui nous donne une entropie eacutegale agrave S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesCette cloison est brusquement ocircteacutee
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
110
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp
Cette formule nrsquoest pas complegravete Consideacuterons cette expeacuterience de Gibbs
Gaz Vide
Cloison amovible
Gaz
Avant ApregravesElle manifeste une nouvelle espegravece drsquoirreacuteversibiliteacute donc une nouvelle espegravece drsquoentropie
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N
(m Vx) 3 NΔΩp =
S = kB ln ΔΩp
(m Vx) 3 Net ΔΩp =
ougrave Δ(m Vx) est remplaceacute par lrsquointervalle Δx de fluctuation de la coordonneacutee de la moleacutecule
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
111
Lrsquoentropie et le deacutesordre corpusculaire
Reacutecapitulons
Nommons Δpx Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees de la quantiteacute de mouvement corpusculaireNommons Δx Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonneacutees des corpuscules
Alors lrsquoentropie du systegraveme est deacutefinie par
S = kB ln Πparticules
= kB ln ΔΩΔpx Δpy Δpz Δx Δy Δz
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = Πparticules
Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Πparticules
Δx Δy Δz
112
Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
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Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
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Mise agrave jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
115
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
116
Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
113
EacuteQUILIBRE DES TEMPEacuteRATURES
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Lrsquoexpeacuterience montre que la chaleur va toujours
spontaneacutement du chaud vers le froid
Milieu chaud
Corps froid
hellip et nous en avons deacuteduit la loi de croissance de lrsquoentropieObjectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
δU = + Xn δxnT δS
114
IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
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Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
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Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
117
La thermodynamiqueet
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remercient Madame et Monsieur Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable coopeacuteration
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IRREacuteVERSIBILITEacute ET EacuteCART DE TEMPEacuteRATURE
(Voir diapositive ndeg52)
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif partir de la loi de croissance de lrsquoentropie dSc + dSf gt 0
- Deacutefinir la variation de lrsquoentropie par dS = dQ T (diapositive ndeg 56)
- supposer lrsquoeacutenergie interne additive (diapositive ndeg 75) dUc + dUf = dUtout - supposer la reacuteunion des deux systegravemes isoleacutee dUtout = 0
- supposer lrsquoabsence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls)et de toute autre cause de variation de lrsquoeacutenergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) hellip
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidMoyens
hellip et bien entendu se servir de lrsquoidentiteacute fondamentale de la thermodynamique
Σn
dU = + Xn dxnT dS
dUc = Tc dScdUf = Tf dSfTc dSc + Tf dSf = 0
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Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
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Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
cette formulemontre qursquoil nrsquoest possible que si les tempeacuteratures sont eacutegales
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Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid
Tc dSc + Tf dSf = 0
Tc dSc + Tf (dStout ndash dSc) = 0Eacutetant donneacutee que lrsquoentropie est extensive (additive voir diapositive ndeg 56)
Tc dSc + Tf dStout ndash Tf dSc = 0
Eacutetant donneacutee la loi de croissance de lrsquoentropie Tf dStout est positif donc(Tc ndash Tf) dSc = ndash Tf dStout
(Tc ndash Tf) dSc est neacutegatif Comme Tc gt Tf on a dSc lt 0 donc dQc = Tc dSc est neacutegatif
donc dQf = Tf dSf est positif
qui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0
Irreacuteversibiliteacute et eacutecart de tempeacuterature
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Eacutequilibre des tempeacuteratures
Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
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Milieu froid
Corps chaud
Milieu chaud
Corps froid
Objectif et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froidqui est atteint
(Tc ndash Tf) dSc + Tf dStout = 0De plus en cas drsquoeacutequilibre thermodynamique deacutefini par dStout = 0
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