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    UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

    (Universidad del Per, Decana de Amrica)

    I. INTRODUCCION

    Este laboratorio se realiza con el fin de conocer cmo funciona aquel objeto que

    se encuentra suspendido de un punto fijo y que oscila de un punto A un punto B y

    analizar el comportamiento de ste ante la variacin de la longitud de la cuerda y

    de la masa del objeto suspendido, teniendo en cuenta que el periodo depende de

    estas longitudes. Para ello se registra el perodo en varias ocasiones, midiendo el

    n!mero de oscilaciones en un determinado tiempo. "eg!n los datos obtenidos, se

    desea realizar un an#lisis gr#fico donde muestre la variacin del periodo con

    respecto a la longitud de la cuerda.

    Este objeto suspendido de un punto fijo se llama $pndulo%, de modo que puede

    oscilar. Es muy f#cil construir un pndulo y con l se puede estudiar las

    propiedades que le pertenecen.

    En este captulo nos &a tocado estudiar y demostrar que el periodo de un pndulo

    simple solo depende de la longitud de la cuerda de masa despreciable mas no de

    su amplitud ni de la masa del objeto que dibuja el arco del pndulo con su

    trayectoria para ello &aremos uso de nuestro conocimiento y e'periencia obtenidos

    en las clases pasadas tales como el uso de mnimos cuadrados, an#lisisde gr#ficas, error porcentual y de m#s temas que iremos viendo en el transcurso

    del informe.

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    II. OBJETIVOS

    (. Establecer una ley mediante el movimiento de un pndulo simple.

    ). *edir tiempos de eventos con una precisin determinada.

    +. alcular la aceleracin de la gravedad -g en /ima.

    III. MATERIALES

    "oporte universal

    Prensas

    0arilla de )1cm

    lamps uerdas

    ronometro

    2egla mtrica

    3uego de pesas peque4as5 (11g, 61g, )1g, (1g.

    7ojas de papel milimetrado.

    7ojas de papel logartmico.

    8ransportador circular

    Instrumentos de medicin:

    Cronmetro:

    El cronmetro es un reloj o una funcin de reloj utilizada para medir fracciones

    temporales, normalmente breves y precisas. El funcionamiento usual de un

    cronmetro, consiste en empezar a contar desde cero al pulsarse el mismo botn

    que lo detiene. Adem#s &abitualmente pueden medirse varios tiempos con el

    mismo comienzo y distinto final. Para ello se congela los sucesivos tiempos con un

    botn distinto, normalmente con el de reinicio, mientras sigue contando en

    segundo plano &asta que se pulsa el botn de comienzo. Para mostrar el segundo

    tiempo o el tiempo acumulado, se pulsa reset o reinicio.

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    Re!" r"du"d":

    /a regla graduada es un instrumento de medicin con forma de planc&a delgada y

    rectangular que incluye una escala graduada dividida en unidades de longitud, por

    ejemplo centmetros o pulgadas9 es un instrumento !til para trazar segmentos

    rectilneos con la ayuda de un bolgrafoo l#piz, y puede ser rgido, semirgido ofle'ible, construido de madera, metal, material pl#stico,etc. "u longitud total rara

    vez supera el metro de longitud. "uelen venir con graduaciones de diversas

    unidades de medida, como milmetros, centmetros, y decmetros, aunque tambin

    las &ay con graduacin en pulgadas o en ambas unidades.

    Tr"ns#ort"dor:

    :n transportador es un instrumento de medicin de #ngulos en grados que viene

    en dos presentaciones b#sicas5

    8ransportador con forma semicircular graduado en (;1< -grados

    se'agesimales o )11g -grados centesimales. Es m#s com!n que el

    circular, pero tiene la limitacin de que al medir #ngulos cncavos -de m#s

    de (;1< y menos de +=1

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    al de las manecillas del reloj, la medida que tiene, prolongando en caso de ser

    necesario los brazos del #ngulo por tener mejor visibilidad.

    IV. $UNDAMENTO TE%RICO

    &ENDULO SIM&LE

    :n pndulo simple se define como una partcula de masa msuspendida del punto? por un &ilo ine'tensible de longitud ly de masa despreciable.

    "i la partcula se desplaza a una posicin q0 -#ngulo que &ace el &ilo con lavertical y luego se suelta, el pndulo comienza a oscilar.

    El pndulo describe una trayectoria circular,un arco de una circunferencia de radio l.Estudiaremos su movimiento en la direccintangencial y en la direccin normal.

    /as fuerzas que act!an sobre la partcula demasa mson dos

    el peso mg

    /a tensin Tdel &ilo

    @escomponemos el peso en la accin simult#nea de dos componentes, mgsenqen la direccin tangencial y mgcosqen la direccin radial.

    Ecuacin del movimiento en la direccin radial

    /a aceleracin de la partcula es an=v2/ldirigida radialmente &acia el centro de su

    trayectoria circular.

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    http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Grad_protractor.png
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    /a segunda ley de eCton se escribe

    man=T-mgcosq

    onocido el valor de la velocidad ven la posicin angular q podemos determinar

    la tensin Tdel &ilo.

    /a tensin Tdel &ilo es m#'ima, cuando el pndulo pasa por la posicin deequilibrio, T=mg+mv2/l

    Es mnima, en los e'tremos de su trayectoria cuando la velocidad escero,T=mgcosq0

    Principio de conservacin de la energa

    En la posicin D0el pndulo solamente tiene energa potencial, que se

    transforma en energa cintica cuando el pndulo pasa por la posicin deequilibrio.

    omparemos dos posiciones del pndulo5

    En la posicin e'trema D0, la energa essolamente potencial.

    E=mg(llcos0)

    En la posicin , la energa del pndulo es

    parte cintica y la otra parte potencial

    /a energa se conserva

    v2=)gl(cos-cos0)

    /a tensin de la cuerda es

    TDmg(+cos-)cos0)

    /a tensin de la cuerda no es constante, sino que vara con la posicinangular . "u valor m#'imo se alcanza cuando =0, el pndulo pasa por laposicin de equilibrio -la velocidad es m#'ima. "u valor mnimo, cuando =0-lavelocidad es nula.

    Ecuacin del movimiento en la direccin tangencial

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    /a aceleracin de la partcula es at=dv/dt.

    /a segunda ley de eCton se escribe

    mat=-mgsenq

    /a relacin entre la aceleracin tangencial aty la aceleracin angular aes at=a l./a ecuacin del movimiento se escribe en forma de ecuacin diferencial

    Elementos y caractersticas del pndulo simple

    a LON'ITUD (L) : /ongitud de la cuerda desde el punto desuspensin &asta el centro de gravedad del objeto suspendido.

    b OSCILACI%N : Es el arco recorrido por el pndulo desde susposiciones e'tremas &asta la otra, m#s su regreso a su posicin inicial.

    c &ERIODO (T) :8iempo que emplea en realizar una oscilacin.

    d AM&LITUD ( ) : Es el #ngulo formado por la cuerda delpndulo con una de sus posiciones e'tremas y la vertical. -/as leyes del

    pndulo se cumplen slo cuando * (1

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    V. &ROCEDIMIENTO

    &rimer" #"rte:

    ,-?bserve el cronometro y analice sus caractersticas. Aprenda su manejo

    /Cu0! es e! 1"!or m2nimo en !" esc"!"3 1,11( seg.

    /Cu0! es e! error instrument"! " consider"r3 Fa que el valor mnimo en la

    escala es 1,11( seg. El error instrumental se obtendr# dividiendo esta cantidad

    entre dos lo cual nos da 1.1116 seg. /o que viene a ser el error instrumental.

    4-@isponga un pndulo de masa mD 61g y de longitud /D(11cm.

    5-Aleje ligeramente la masa a una posicin cerca de la posicin de equilibrioformando un #ngulo menor igual que () grados.

    6-"uelte la masa y mida con el cronometro el tiempo t que se tarda en realizar (1

    oscilaciones completas.

    7-uando el pndulo se mueva con una / igual a (11cm, que por efecto de ser

    desplazado a una amplitud de () grados de la posicin de equilibrio, inicia un

    movimiento de vaivn &acia el otro e'tremo equidistante de esta posicin, y

    continua este movimiento oscilatorio de )1 segundos que corresponden

    apro'imadamente a (1 oscilaciones completas9 numero y tiempo optimo para

    mediar el tiempo 8 de una oscilacin completa.

    8-@eterminar el periodo 8 de una oscilacin completa e'perimental de acuerdo a

    la siguiente relacin5 T donde es el n!mero de oscilaciones completas.

    9-A continuacin revisar la medida $/% del pndulo que &izo oscilar , ?bserve si la

    cuerda tiene el comportamiento de cuerda ine'tensible o &ay una variacin en su

    medidaG oloque la nueva medida como / final en la 8abla H (.

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    - 7acer mediciones para (1 oscilaciones completas para cada mediada de /,

    revisando las /i como el paso I9 colocar los 8 i medidos en la tabla H( as como los

    nuevos valores /i.

    T";!" N< ,

    Lonitud "ntes=cm-

    t de ,>osci!"cionescom#!et"s =s-=e?#eriment"!-

    T #eriodo =S-=e?#eriment"!-

    T4

    =s4-=e?#eriment"!-

    ,>> (J.I6 (.JI6 +.J1

    > (;.1= (.;1= +.)=

    8> (=.=1 (.==1 ).I6

    7> (>.(; (.>(; ).1(

    6> (+.=1 (.+=1 (.J6

    5> (1.;I (.1;I (.(;

    4> ;.J6 1.;J6 1.;1

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    ,> =.(1 1.=(1 1.+I

    @- En el papel milimetrado grafique 8 versus /K y /K versus 8. /u r0+ic"so;tiene3 /Cu0! es m0s +0ci! reconocer sen sus estudios3

    Al representar gr#ficamente los valores de 8 versus /K en papel milimetrado se

    obtiene una recta, la cual sera similar a esta grafica adjunta

    ,>- En el mismo papel milimetrado, grafique 8)versus /K. /u ti#o de r"+ic"o;tiene usted "or"3

    Al representar gr#ficamente los valores de 8)versus /K en papel milimetrado seobtiene una recta, la cual sera similar a esta grafica adjunta. y en la que

    observamos que 8)versus /K son directamente proporcionales.

    ,,- /Se est";!ece un" #ro#orcion"!id"d direct" entre T4F LG3use la pendientepara e'presar la formula e'perimental.

    Seund" #"rte:

    ,4-2ealice mediciones para pndulos de 61 cm de longitud y diferentes valoresde masas. onsidere una amplitud angular de (1 9> > @> ,>>t -s (>.;> (>,;; (6.(+ (>.=J (>.;( (>.I6T -s (.>;> (.>;; (.6(+ (.>=J (.>;( (.>I6

    ,5- 2ealice mediciones en un pndulo de =1 cm de longitud y la masa de 61 gpara diferentes amplitudes angulares .omplete la tabla L+.

    T";!" N

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    H=- 4 6 8 ,> ,4 5> 67t=s- (=.>> (=.>( (=.+6 (=.6= (=.=; (=.6I (I.;( (I.>IT=s- (.=>> (.=>( (.=+6 (.=6= (.==; (.=6I (.I;( (.I>I

    VI. CUESTIONARIO:

    4.E?#!ic"r cmo se "n minimiK"do !os errores sistem0ticos.

    Rs#t:Para poder evitar el mnimo error al momento de la e'perimentacin, tratamos de

    llevar constante el eui!i;rio inici"! de! #ndu!o. @esde el punto en que este se

    encontraba perpendicularmente al sujetador del soporte universal &asta el punto

    en cual le asign#bamos un valor fijo a la amplitud del pndulo. ?tro aspecto a

    considerar fue la de la 1"ri"cin de !" !onitud de !" cuerd" 9 esto ocurra al

    momento en el que se realizaban los cambios de medida en la cuerda y cuando

    dej#bamos en reposo la masa esfrica, la tensin producida generaba un ligero

    estiramiento sobre la cuerda. Por ello realizamos nuevas mediciones, las cuales

    bamos registrando, despus de establecer el equilibrio de nuestro pndulo en

    cada ensayo.

    As tambin, se trato de m"ntener una!ine"!id"dal observar la forma en la que

    oscilaba el pndulo desde que este era soltado. Minalmente por estar en un

    ambiente cerrado libre de fuertes vientos, radiacin entre otras cosas, no &ubo

    cualidades relevantes que dificulten el proceso de e'perimentacin.

    5.Mencion"r otros errores sistem0ticos #"r" c"d" un" de !"s tres t";!"s.

    Rs#t:

    En el primer caso, de la )da parte del ensayo, solo &ubo problemas al momento

    de probar los distintos valores de masa. En el instante en que solt#bamos nuestra

    masa -con longitud de cuerda y amplitud constante, realizaba una ligera

    tr"Fectori" irreu!"r presente en cada situacin. Esto se daba por la forma de

    nuestra masa, porque al momento de soltarla el e+ecto de! "ire&acia rotar nuestro

    pndulo a la vez que se trasladaba. @e modo que, al presentarse casos de

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    trayectorias ciertamente fuera de plano, optamos por realizar la e'periencia

    nuevamente &asta obtener situaciones que cumplan nuestros par#metros.

    *ientras que en el segundo caso -con longitud de cuerda y masa constante,

    ocurra algo similar. E! e+ecto de! "ire se &aca notar aun m#s a medida que

    bamos incrementando la amplitud de nuestro pndulo. uando mayor se &acia el

    valor de la amplitud, nuestra masa -del mismo material y forma utilizado en el caso

    anterior , desde el instante en que descendia, generaba rotaciones y trayectorias

    fuera de plano. Por lo que tuvimos que ser muy estrictos al momento de registrar

    los diferentes tiempos arrojados luego de cada e'periencia.

    8. Con !os d"tos de !" t";!" N4 r"+iue T=s- 1s. m=- en #"#e! mi!imetr"do./A u conc!usin !!e" o;ser1"ndo !" r0+ic"3

    m-g 7> 8> 9> > @> ,>>t -s (>.;> (>,;; (6.(+ (>.=J (>.;( (>.I6T -s (.>;> (.>;; (.6(+ (.>=J (.>;( (.>I6

    R#t". "e verifica que el perodo de un pndulo simple no depende de lamasa, pues a masas diferentes, mientras la longitud de la cuerda sea la

    misma, el perodo casi no vara.

    9. 'r"+iue T=s- 1s. =r"dos- en #"#e! mi!imetr"do. Determine !os #"resorden"dos de !" t";!" N5. /E?iste "!un" de#endenci" entre e! #eriodo Tcon res#ecto " !" "m#!itud "nu!"r 3 Si este +uere "s2 /cmo ser2" est"de#endenci"3

    T";!" N ,4 5> 67t=s- (=.>> (=.>( (=.+6 (=.6= (=.=; (=.6I (I.;( (I.>IT=s- (.=>> (.=>( (.=+6 (.=6= (.==; (.=6I (.I;( (.I>I

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    R#t": Al graficar 8-s vs. N -grados observamos puntos dispersos o sin una

    tendencia propiamente dic&a. o e'iste dependencia entre el periodo y el

    #ngulo. Adem#s como informacin adicional podemos se4alar que el periodo

    no guarda relacin alguna con la masa y es slo dependiente de la longitud y

    de la gravedad del sistema empleado.

    . /"st" u 1"!or de! 0nu!o e! #eriodo cum#!ir0 con !"s condiciones deun #ndu!o sim#!e3

    R#t":El valor que toma el perodo para que cumpla las condiciones de un

    pndulo simple es apro'imadamente (6

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    @. /Com#ro; !" de#endenci" T 1s. L3 /Cmo e?#!ic" !" construccin dere!oes de #ndu!o de distintos t"m"os3

    "e podra pensar que al &acer relojes m#s grandes esta tendra diferencia de

    tiempo por el peso o por el tama4o de la longitud, pero a lo largo de la e'periencia

    &emos comprobado que el tiempo de oscilaciones que realiza el pndulo no

    depende del peso, mas solo depende de la longitud y de la gravedad del medio en

    el que est#9 por lo tanto al ver que los relojes de pndulo, su longitudes sea m#s

    grande, diremos que su #ngulo de recorrido de este es m#s grande que el de

    menor longitud para as compensar la diferencia.

    ,,.E?#!iu e! sini+ic"do de !" "+irm"cin (#ndu!o ue 1"te e! seundo)

    &ndu!o ue 1"te e! seundo:@e la e'presin5

    -8iempo de oscilacin simple resulta que el tiempo de oscilacin depende de la

    longitud y de la aceleracin de la gravedad."i en determinado lugar -g5 conocida deseamos construir un pndulo cuyotiempo de oscilacin sea un segundo, tendremos que modificar su longitud.

    Ello se logra aplicando la e'presin5

    luego5

    y

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    @e este modo para tD( seg. se logra un pndulo que $vate el segundo%. Porello decimos5

    Pndulo que vate el segundo es aquel que cumple una oscilacinsimple en un segundo.

    Para el lugar cuya aceleracin de la gravedad es normal -gDJ,;1= la longituddel pndulo que vate el segundo es 1,JJ+= m, mientras que para el quecumple una oscilacin doble en un segundo ser# lD )>,;> cm.

    ,4. /&or u es neces"rio ue !" "m#!itud de osci!"cin #"r" c"d" !onitudes siem#re un dcimo de !" !onitud us"d"3

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    So!ucin:

    Aplicando el teorema de Pit#goras en el grafico

    @educimos que5

    8omando un #ngulo igual o menor que ()L, la Amplitud de oscilacin -A siempreser# menor que la longitud del pndulo usada -/.

    Ya que a mayor longitud de !ndulo mayor "er# la $urvatura de la o"$ila$i%n y orlo tanto menor "er# la $antidad de o"$ila$ione" en un intervalo de tiemo,enton$e" la longitud del !ndulo determina el eriodo, "iemre y $uando el ar$ode o"$ila$i%n "ea menor de &2' ara que el eriodo no deenda del #ngulo.

    dem#" orque la ma"a e" de"re$iale, en nue"tro" en nue"tro" e*erimento"o"ervamo" que ara ma"a" dierente" el eriodo no $amia notoriamente.

    ,5. /En u #untos de su osci!"cin e! #ndu!o tiene !" m"For 1e!ocid"d F!" m"For "ce!er"cin3

    So!ucin:

    El pndulo tendr# mayor velocidad, cuando pase por el puntode equilibrio, es decir, cuando la amplitud de arco del sistemasea igual a cero.

    En otras palabras la tendr# la mayor velocidad en el puntom#s bajo de sui recorrido.

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    Por otro lado la aceleracin tendr# su mayor valor en el punto m#s alto de sutrayectoria, pues a& posee la mayor una mayor fuerza de empuje para realizar elvaivn.

    VII. CONCLUSIONES

    - El movimiento pendular es un movimiento armnico simple confrecuencia y periodo definido. El periodo depende de la longitud delpndulo para nada de la masa.

    - Al investigar este fenmeno de la naturaleza, tomando en cuentadiferentes variables como5 el tama4o de la cuerda que sostiene la masadel pndulo, la misma masa del pndulo y controlando los posibleserrores, tanto estadsticos como sistem#ticos, conoceremos las causasdel movimiento oscilatorio que se produce en el pndulo por eldesequilibrio entre la fuerza centrpeta y el peso de la masa colocada,ya que ninguna otra fuerza act!a en nuestro fenmeno fsico.

    - En el movimiento del pndulo simple, solo con observarlo nosencontramos con un movimiento circular, cuyo radio es la cuerda atadaa nuestro soporte universal9 pero con la diferencia que el movimiento delpndulo es oscilatorio9 es decir, que llega a un punto m#'imo en sutrayectoria y regresa al punto de donde fue soltado por el observador.

    - Analizando el movimiento del pndulo simple fsicamente y &aciendo eldiagrama del cuerpo libre en las diferentes posiciones en las que sedesplaza, obtenemos que en el punto inicial solo act!an el peso de lamasa y la tensin de la cuerda, tendremos cuidado en el momento desoltar la masa de no imprimir nosotros alguna fuerza e'terna que altereel desequilibrio inicial.

    - En el punto m#s bajo del movimiento el peso de la masa y la fuerzacentrpeta son iguales. En el punto final o de regreso obtenemos que laenerga cintica es nula y que la masa regresa a su punto inicial graciasa la energa potencial.

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    - El tama4o de la masa no influye en el numero de periodos y tambinconcluimos que entre m#s larga sea la cuerda menos periodos cumple.

    VIII. BIBLIO'RA$A

    &ttp5QQes.CiRipedia.orgQCiRiQPO+OAJndulo

    &ttp5QQCCC.sc.e&u.esQsbCebQfisicaQdinamicaQtrabajoQpenduloQpendulo.&tm

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    Enciclopedia tem#tica de Msica.

    A. P. Maiztegui - J. A. Sabato Introduccin a la fsica !ditorial "a#elus

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    http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulohttp://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo