Laiko eilučių modeliaiLaiko eilutės išskaidymas, glodinimas ir

filtravimas 2014-09-11

Turinys

1. Laiko eilutės samprata

2. Laiko eilutės klasikinis išskaidymas

3. Laiko eilutės eksponentinis glodinimas

4. Laiko eilutės filtrai

5. Prognozių tikslumo matai

1.Laiko eilutės samprata

• Laiko eilutė (laiko seka) – periodiškų reiškinio stebėjimų visuma, kurių duomenys tai tam tikrais laiko momentais fiksuoti stebėjimų dydžiai, arba

per periodą stebimų dydžių suma. • Laiko eilutės gali būti suformuotos iš įvairaus dažnumo, tačiau vienodo periodiškumo duomenų:

valandinių, kasdienių, savaitinių, mėnesinių, metinių ir pan.

Laiko eilutės samprata

Laiko eilučių tipai:• Momentinės• Intervalinės

Laiko eilučių duomenų tipai:

• Absoliutūs (Yt)

• Absoliutūs pokyčiai/prieaugiai (ΔYt= Yt- Yt-1)

• Augimo tempas (T= Yt./ Yt-1)

• Pokyčių tempas (Tpokyčių= ΔYt/Yt-1 ~ ln(Yt)

3.Laiko eilutės išskaidymas slenkančių vidurkiu metodu

Laiko eilutės (Yt ) komponentai:– trendas (T)– cikliniai svyravimai (C) – sezoniniai svyravimai (S), – atsitiktiniai svyravimai (A).

Yt= f(Tt; Ct; St; At)

Laiko eilutės išskaidymas

Du laiko eilutės išskaidymo būdai:– Sumos :– Sandaugos

Yt= Tt + Ct + St+ At

Yt= Tt ٠ Ct ٠ St ٠ At

Laiko eilutės išskaidymasIšskaidymo būdo pasirinkimas

Yt= Tt + Ct + St+ At

Yt= Tt ٠ Ct ٠ St ٠ At

02000400060008000

10000120001400016000

0

5000

10000

15000

20000

25000

1995.I

1995.III

1996.I

1996.III

1997.I

1997.III

1998.I

1998.III

1999.I

1999.III

Laiko eilutės išskaidymas Slenkančių vidurkių metodu

Slenkančių vidurkių rūšys– Paprastas– Svertinis – Centruotas

Slenkančių vidurkių rūšysPaprastas

• Suteikia vienodą svorį visiems slenkantį vidurkį sudarantiems n stebėjimams

MAt= 1/n yt-n+i =1/n (yt+yt-1 +…+yt-n+1)

Slenkančių vidurkių rūšysSvertinis

• Stebėjimų svoriai yra skirtingi. Svorių priskyrimo schemos gali būti įvairios. Pavyzdyje pateikiamas variantas, kai vėlesniam stebėjimui priskiriamas vis mažesnis svoris.

WMAt= (i*yt-n+i)/i = [nyt+(n-1)yt-1+…+1yt-n+1]/ [n+(n-1)+…+1]

Slenkančių vidurkių rūšysCentruotas

• CMAt= 1/n yi = 1/n [yt+(n-1)/2 + yt+(n-1)/2-1+…+ yt-(n-1)/2 ]

• Išlyginimas realizuojamas pakeičiant pirminės laiko eilutės reikšmes vidurkiu, suformuotu iš vienodo skaičiaus prieš stebėjimą ir po stebėjimo esančių stebėjimų. – Šio slenkančio vidurkio trūkumas - vėliausiems periodams

slenkantys vidurkiai nėra apskaičiuojami. – Slenkančio vidurkio dėmenų skaičius (n) turi būti nelyginis.

Laiko eilutės išskaidymasSezoniškumo indeksų nustatymas slenkančių

vidurkių metodu1. Slenkančių vidurkių metodu išlyginami

pirminiai stebėjimai (Yt). Išlygintoje eilutėje:

• (Tt ٠Ct) arba (Tt+Ct) lieka• (St ٠ At) arba (St + At) eliminuojama• Slenkantį vidurkį reikia papildomai centruoti, kai

slenkančio vidurkio dėmenų skaičius yra lyginis t.y. iš slenkančio vidurkio reikšmių apskaičiuoti dviejų dėmenų (n=2) slenkančius vidurkius,

DU_priv pradiniai duomenys ir išlyginta eilutė slenk. vidurkiais

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

DU_PRIVSL_CENT_VID_PRIV_DUSL_VID_DU_PRIV

Laiko eilutės išskaidymas Sezoniškumo indeksų nustatymas

2. Sezoniškumo komponentės išskyrimas• Iš faktinių Yt reikšmių eliminuojant trendo

ir ciklinių svyravimų bendrą komponentą, nustatomas bendras sezoniškumo ir atsitiktinumo komponentų dydis: – St+At = Yt - ( Tt + Ct.)

– St٠At = Yt / Tt ٠ Ct

Laiko eilutės išskaidymas Sezoniškumo indeksų nustatymas

3. Sezoniškumo komponentę išskiriame apskaičiuodami

atitinkamų periodų (visų laiko eilutės atitinkamų

ketvirčių, pvz., I ketvirčio) (St+At) arba (St ٠ At)

reikšmių virdurkį.

•Apskaičiuotas vidurkis yra atitinkamo periodo

sezoniškumo indeksas - St

Darbo užmokesčio sezoniškumo indeksai

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

Q1 Q2 Q3 Q4

Means by Season

DU_PRIV by SeasonDate: 09/10/13 Time: 10:09Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Difference from Moving AverageOriginal Series: DU_PRIVAdjusted Series: DU_PRIVSA

Scaling Factors:

1 -15.74700 2 -5.236579 3 10.21294 4 10.77063

Date: 09/10/13 Time: 10:11Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Ratio to Moving AverageOriginal Series: DU_PRIVAdjusted Series: DU_PRIVSA

Scaling Factors:

1 0.985407 2 0.996610 3 1.009240 4 1.008939

Užimtumo sezoniškumo indeksai

400,000

450,000

500,000

550,000

600,000

650,000

700,000

Q1 Q2 Q3 Q4

Means by Season

UZ_PRIV by Season

Date: 09/10/13 Time: 11:45Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Ratio to Moving AverageOriginal Series: UZ_PRIVAdjusted Series: UZ_PRIVSA

Scaling Factors:

1 0.992218 2 1.008364 3 1.013349 4 0.986318

Date: 09/10/13 Time: 11:46Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Difference from Moving AverageOriginal Series: UZ_PRIVAdjusted Series: UZ_PRIVSA

Scaling Factors:

1 -3904.499 2 4613.033 3 7037.733 4 -7746.267

Laiko eilutės išskaidymasDuomenų desezonizavimas

3. Nustačius sezoniškumo komponentę, iš laiko eilučių pirminių duomenų eliminuojama jo įtaka:

• Tt+Ct+At = Yt – St

• Tt٠ Ct٠ At = Yt / St

Laiko eilutės išskaidymasTrendo nustatymas

4. Eliminavus sezoniškumą, galima nustatyti esminę laiko eilutės kitimo tendenciją-trendą

• Trendas dažniausiai nustatomas MKM

Laiko eilutės išskaidymasTrendo nustatymas

Dažniausiai naudojamos trendo funkcijos

PavadinimasPirminė išraiška Į tiesinę formą

transformuota išraiška

Tiesinė Yt=a+bt

Eksponentinė Yt=a*ebt lnYt=lna+b*t

Hiperbolinė Yt=a+b/t Yt=a+bT, kur T=1/t

Logaritminė Yt=a+b*lnt Yt=a+bT, kur T=lnt

Rodiklinė Yt=a*tb lnYt=lna+b*lnt

Cikliniai svyravimai

5. Cikliniai svyravimai nustatomi eliminavus trendo komponentę iš išlygintos eilutės

• Ct = (Tt+Ct )- Tt

• Ct = Tt٠ Ct / Tt

Išskaidyta du_priv laiko eilutė

-400

0

400

800

1,200

1,600

2,000

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

CIKLAS_DU_PRIV SL_VID_CENT_DU_PRIVSL_VID_DU_PRIV TREND_DU_PRIVDU_PRIVSA

Laiko eilutės išskaidymo privalumai ir ribotumai:

• Privalumai:– Suprasti laiko eilutės sandarą ir kitimo aspektus– Naudinga preliminari priemonė prognozavimo

metodams parinkti

• Ribotumai:– Retai kada naudojama prognozavimui dėl ciklo ir

atsitiktiniės komponenčių neprognozuojamumo

4. Laiko eilutės eksponentinis glodinimas (EG)

• Tai dar vienas būdas analizuoti ir prognozuoti laiko eilutes

• EG būdai:– Paprastas– Dvigubas– Trigubas

Eksponentinis glodinimasPaprastas

• S1= Y1

• S2= α Y2+(1- α) S1

• Bendru atveju • St= α Yt+(1- α) St-1,

•St= α[Yt+(1- α)Yt-1+(1- α)

2Yt-2+…]+ (1- α)

t-1Y1

Eksponentinis glodinimasPaprastas

• Faktoriaus α ypatumai– 0 <α <1 – Yt labai stipri atsitiktinių svyravimų įtaka:

– Yt - labai inertiškas procesas t.y.stipriai priklauso nuo Yt-1

– .

α 0

α 1

Faktoriaus α nustatymo būdai:

–analitiko nuožiūra parenkamas α išlyginimo faktorius

–MKM nustatomas α toks, kuris minimizuoja paklaidų kvadratų sumą.

Eksponentinis glodinimasDvigubas (Holt’o tiesinis)

• Jeigu laiko eilutė turi trendą, taikomas dvigubas eksponentinio išlyginimo metodas.

Eksponentinis glodinimasDvigubas (Holt’o tiesinis)

• St= αYt+(1- α)(St-1+bt-1) Suglodinta stebėjimo reikšmė

• bt=β(St-St-1)+(1- β)bt-1 Suglodinta trendo reikšmė

• Ft+m=St+btm Prognozės reikšmė

• α ir β glodinimo koeficientai • St – suglodinta t stebėjimo reikšmė

• bt –trendo suglodinta t reikšmė

• Ft+m prognozės reikšmės m- periodų į priekį

Eksponentinis glodinimasDvigubas (Holt’o tiesinis)

• b0 glodinimo koeficiento nustatymo būdai:– b0 prilyginti 0 (tinka, kai eilutė yra ilga)

– MKM apskaičiuoti pirmų penkių laiko eilutės narių trendo lygtį Yt =a+bt ir b0 =b

Eksponentinis glodinimasTrigubas (Holt’o Winterio) glodinimas

• Trigubas arba Holt‘o Winterio sezoninis glodinimas taikomas tuomet, kai laiko eilutei būdingas trendas ir sezoniniai svyravimai.

• Sezoniškumas gali būti adityvus arba multiplikatyvus

Eksponentinis glodinimasTrigubas (Holt’o Winterio) glodinimas

))(1( 11

ttLt

tt bS

c

YS

11 )1()( tttt bSSb

Ltt

tt c

S

Yc )1(

Lmtttmt cmbSF )(

•α ir β ir γ glodinimo koeficientai

•St – suglodinta t stebėjimo reikšmė

•bt –trendo suglodinta t reikšmė

•ct –sezoniškumo įtakos faktorius

•Ft+m prognozės reikšmės m- periodų į priekį

•L-periodų skaičius metuose (pvz. ketvirtiniuose duom. L=4,

mėnesiniams L=12)

Eksponentinis glodinimastrigubas (Holt’o Winterio sezoninis)

• b0 ir c 1-L glodinimo koeficiento nustatymo būdai:– β0 prilyginti 0, o sezoniškumo indeksus c1-L =1

– MKM apskaičiuoti pirmų penkių laiko eilutės narių trendo lygtį Yt =a+bt ir β0 =b

Eksponentinis glodinimas DU

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

DU_PRISM_DVIGUB DU_PRIVDU_PRISM_PAPRAS DU_PRISM_TRGUB

Eksponentinis glodinimas DU

Date: 09/10/13 Time: 13:37Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Method: Single ExponentialOriginal Series: DU_PRIVForecast Series: DU_PRISM_PAPRAS

Parameters: Alpha 0.9990Sum of Squared Residuals 121369.7Root Mean Squared Error 47.40873

End of Period Levels: Mean 1698.986

1698.9861698.9861698.9861698.9861698.9861698.986

Date: 09/10/13 Time: 13:43Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Method: Holt-Winters No SeasonalOriginal Series: DU_PRIVForecast Series: DU_PRISM_DVIGUB

Parameters: Alpha 1.0000Beta 0.4100

Sum of Squared Residuals 70805.95Root Mean Squared Error 36.21079

End of Period Levels: Mean 1699.000Trend 17.75019

1734.500383...1752.250574...1770.000766...1787.750957...1805.501149...

Date: 09/10/13 Time: 13:49Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Method: Holt-Winters Additive SeasonalOriginal Series: DU_PRIVForecast Series: DU_PRISM_TRGUB

Parameters: Alpha 1.0000Beta 0.5200Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 52964.31Root Mean Squared Error 31.31805

End of Period Levels: Mean 1703.227Trend 17.56155Seasonals... 2012Q3 9.496394

2012Q4 9.9122602013Q1 -15.181492013Q2 -4.227163

1730.285110...1748.262528...1740.730331...1769.246211...1800.531321...1818.508740...

Paprastas EGDvigubas EG

Trigubas EG

Prognozė Prognozė

Prognozė

Eksponentinis glodinimas UŽ

400,000

440,000

480,000

520,000

560,000

600,000

640,000

680,000

720,000

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

UZ_PRIV UZ_PRISM_TRIGUBUZ_PRISM_PAPRAS UZ_PRISM_DVIGUB

Eksponentinis glodinimas UŽ

Date: 09/10/13 Time: 14:00Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Method: Single ExponentialOriginal Series: UZ_PRIVForecast Series: UZ_PRISM_PAPRAS

Parameters: Alpha 0.9990Sum of Squared Residuals 2.45E+10Root Mean Squared Error 21278.62

End of Period Levels: Mean 625244.0

625244.0286...625244.0286...625244.0286...625244.0286...625244.0286...625244.0286...

Date: 09/10/13 Time: 14:03Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Method: Holt-Winters No SeasonalOriginal Series: UZ_PRIVForecast Series: UZ_PRISM_DVIGUB

Parameters: Alpha 1.0000Beta 0.4400

Sum of Squared Residuals 1.33E+10Root Mean Squared Error 15669.90

End of Period Levels: Mean 625265.0Trend 10134.56

2013Q3 635399.62013Q4 645534.12014Q1 655668.72014Q2 665803.32014Q3 675937.82014Q4 686072.4

Date: 09/10/13 Time: 14:05Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54Method: Holt-Winters Additive SeasonalOriginal Series: UZ_PRIVForecast Series: UZ_PRISM_TRIGUB

Parameters: Alpha 1.0000Beta 0.7600Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 6.05E+09Root Mean Squared Error 10588.40

End of Period Levels: Mean 620586.4Trend 9200.707Seasonals... 2012Q3 6994.545

2012Q4 -7777.2492013Q1 -3895.9432013Q2 4678.647

2013Q3 636781.62013Q4 631210.52014Q1 644292.52014Q2 662067.82014Q3 673584.42014Q4 668013.3

Paprastas EG

Tribubas EG

PrognozėPrognozė

Prognozė

Eksponentinis išlyginimasApibendrinimas

• Kada kokį metodą taikyti

Sezoniškumas

Trendas

Nėra sezoniškumo Adityvus sezoniškumas

Multiplikatyvus sezoniškumas

Nėra trendo Paprastas EG HW aditive HWmultiplikative

Tiesinis trendas Dvigubas išlyginimas

HW aditive HWmultiplikative

Netiesinis trendas HW no seasons HW aditive HWmultiplikative

Eksponentinis išlyginimasApibendrinimas

• Kada kokį metodą taikyti Sezoniškumas

Trendas

Nėra sezoniškumo Adityvus sezoniškumas

Multiplikatyvus sezoniškumas

Nėra trendo

Tiesinis (Adityvus) trendas

Multiplikatyvus trendas

5 Laiko eilučių filtrai

• Filtrų tipai:– Hodrick- Prescott filtras– Dažnių filtras (magisratūroje)

Hodrick-Prescott filtras

• Pagrindinė idėja:– laiko eilutė išskaidoma į trendo ir ciklo

komponentes

Laiko seka Trendas Ciklas

Hodrick-Prescot filtras

• Filtro nustatymo procedūra– Nustatomas ilgalaikis trendas τ– Randama ciklo kreivė ζ, atimant trendo

reikšmes τ iš laiko eilutės Y duomenų,

Hodrick-Prescott filtras

• Trendo nustatymo metodas

Minimizuojami trendo nuokrypiai =

maksimizuojamas trendo atitikimas

duom. sekai Y

Minimizuojami trendo

šuoliai =

maksimizuojamas trendo

tolygumas

Hodrick-Prescott filtras

λ - filtro suglodinimo (išlyginimo parametras)

– kuo λ didesnis tuo labiau suglodinama trendo kreivė.

– kai λ• Hodrick-Prescot siūlomos λ reikšmės

100 - metiniai duomenys

λ= 1600 ketvirtiniai duomenys

14400 mėnesiniai duomenys

Hodrick-Prescott filtras Trendo nustatymo formulė

τ = I –vienetinė TxT matavimų matrica

K tai stačiakampė (T-2)xT matavimų matrica, kurios elementai [yra lygūs:

1 , i=j arba i=j+2

-2 , kai i=j+1

0 kitais atvejais

Hodrick-Prescott filtras 1 -2 1 0 0 0 …0 0 0

0 1 -2 1 0 0… 0 0 0

K= … …. …

0 0 0 0 0 1 -2 1

Hodrick-Prescott filtras Pvz. 1 -2 1 0 0

K= 0 1 -2 1 0

0 0 1 -2 1

1+λ -2λ λ 0 0

I+λK’K= -2λ 1+5λ -4λ λ 0

λ -4λ 1+6λ -4λ λ

0 λ -4λ 1+5λ -2λ

0 0 λ -2λ 1+ λ

Hodrick-Prescott filtras Pvz.

1+λ -2λ λ 0 0

-2λ 1+5λ -4λ λ 0

= λ -4λ 1+6λ -4λ λ

0 λ -4λ 1+5λ -2λ

0 0 λ -2λ 1+ λ

Tarkime turime metinius duomenis λ=100

Y = (2,4, 4, 5,3,1 )

Hodrick-Prescott filtras Pvz.

101 -200 100 0 0 2

-200 501 -400 100 0 4

= 100 -400 601 -400 100

0 100 -400 501 -200 5

0 0 100 -200 101 3

Tarkime turime metinius duomenis λ=100

Y = (2,4, 4, 5,3 )

Hodrick-Prescott filtras Pvz.

0,603559 0,398019 0,196444 -0,00118 -0,19684

0,398019 0,30169 0,20138 0,100093 -0,00118

0,196444 0,20138 0,204351 0,20138 0,196444

-0,00118 0,100093 0,20138 0,30169 0,398019

-0,19684 -0,00118 0,196444 0,398019 0,603559

2

4

4

5

3

=

Hodrick-Prescott filtras Pvz.

=

2,99

3,31

3,61

3,91

4,19

TRENDAS

-0,99

0,69

0,39

1,09

-1,19

CIKLAS=

Hodrick-Prescott filtras

• Įžvalgos– Hodrick Prescott filtras , nepriklauso nuo laiko

eilutės reikšmių, o priklauso nuo stebėjimų skaičiaus T ir λ

Hodrick-Prescott filtras

– Privalumai

– Kritika

Du_priv Hodrick Prescott filtras

-200

-100

0

100

200

300

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

DU_PRIV Trend Cycle

Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)

Uz_priv Hodrick Prescott filtras

-120,000

-80,000

-40,000

0

40,000

80,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

UZ_PRIV Trend Cycle

Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)

5 Laiko eilučių prognozės tikslumas

• Prognozių tikslumas– Teisingo metodo parinkimas– Duomenų pakankamumas– Prognozės horizonto parinkimas– Prognozuojamo proceso pastovumas

5. Prognozių tikslumo matai

• RSS– prognozės paklaidų kvadratų suma: • MSE – vidutinė kvadratinė paklaida:

• RMSE – šaknis iš vidutinės kvadratinės paklaidos:

•

kT

YYMSE t

pt

2)(

t- stebėjimų, k – modelio parametrų skaičius.

kT

YYRMSE t

pt

2)(

5. Prognozių tikslumo matai

• MAE – vidutinė absoliutinė paklaida

• MAPEvidutinė absoliuti procentinė paklaida• :

kT

YYMAE

tp

t

1001

t

tp

t

Y

YY

TMAPE

5. Prognozių tikslumo matai

• AIC – Akaike’s informacijos kriterijus:• BIC (SBC) – Schwarz kriterijus• Determinacijos koeficientas• Maksimalaus tikėtinumo kriterijus

5. Prognozių tikslumo matai

• Maksimalaus tikėtinumo kriterijus

(Log likelihood)

l=

5. Prognozių tikslumo matai

• AIC – Akaike’s informacijos kriterijus:

)• (SC) – Schwarz kriterijus

SC