L’algebra e la scomposizione

Breve introduzione storica sull’algebra; la scomposizione dei polinomi.

I simboli dell’algebra ed il modo che oggi utilizziamo e che con un po' di allenamento, ci possono apparire ovvi e naturali sono in realtà frutto di un lavoro di rielaborazione per molti secoli. I Babilonesi, (secondo millennio a.C.) che sotto molti aspetti sono considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure risolutive di vari problemi. Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a opera di un matematico di Alessandria, Diofanto, che per primo elaborò un sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la variabile, alcune sue potenze, la sua inversa, qualche operazione. Con Diofanto ebbe inizio l'algebra sincopata , una specie di stenografia che sta tra il linguaggio naturale e il simbolismo moderno.

Tipico esempio di scrittura algebrica sincopata, dall'Algebra di R Bombelli (1526-1572), pubblicata a Bologna nel 1579

Gli albori dell’algebra

Ulteriori sviluppi dell’algebraIl passaggio dall'algebra sincopata all’algebra simbolica, nella quale il calcolo con i numeri viene sostituito dal calcolo con le lettere, ha richiesto un lungo cammino e il contributo di numerosi matematici. Notevoli passi avanti vennero fatti molti secoli dopo da due matematici italiani, Luca Pacioli (XV secolo) e Raffaele Bombelli (XVI secolo). Questo cammino si concluse nella seconda metà del Cinquecento con il francese Francois Viète, il "padre dell' algebra". Viète ebbe per primo l'intuizione di "operazione astratta", ne codificò la notazione simbolica e arrivò a formulare il cosiddetto calcolo letterale attuale.

Ritratto di Francois Viète (1540-1603) in una stampa conservata nella Biblioteca Nazionale di Parigi. Vìète si occupò di matematica per diletto, fece stampare le sue opere a proprie spese e le comunicò agli studiosi di tutta Europa.

La scomposizione

Una pietra miliare dell’algebra è rappresentata dalla scomposizione dei polinomi;

Si definisce irriducibile qualsiasi polinomio che non può essere scomposto;

Scomporre un polinomio vuol dire ridurlo a prodotti di polinomi che sono irriducibili;

Per scomporre un polinomio ci si regola in base al numero dei termini del polinomio stesso.

Metodo pratico di scomposizioneQualunque sia il numero dei termini va verificata la possibilità di

effettuare il raccoglimento totale;

Binomio

Differenze di quadrati, differenze di cubi o differenze di potenze simili

Somme di potenze simili con esponente dispari

TrinomioQuadrati di binomio

Trinomi del tipo x2+(a+b)x+ab

Quadrinomio

Cubi di binomi

Raccoglimento a fattor comune parziale

Differenza tra quadrato del binomio e quadrato monomio e viceversa

Trinomi, quadrinomi etc. possono essere scomposti tramite la regola di Ruffini

Raccoglimento a fattor comune

Scomponiamo in fattori il polinomio:

a 3 -½ a2b + 3 a4 - 5a.

Mettendo in evidenza il fattore a avremo:

a( a 2 - ½ ab + 3a 3 –5)

Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori, questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, venir raccolti (o messi in evidenza). Il polinomio risulterà

allora scomposto nel prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori comuni (cioè il monomio M.C.D. dei termini del polinomio) ed il

polinomio quoziente tra il polinomio dato ed monomio raccolto. In altri casi si può mettere in evidenza un polinomio.

Scomponiamo in fattori il polinomio:

5a (a + b) + 3b (a + b) – a2 (a + b).

Mettendo in evidenza il fattore polinomiale

(a + b), comune a tutti i termini del polinomio, avremo:

(a +b) (5a + 3b -a 2)

Esempi

Scomposizione

BinomioUn binomio può presentarsi come differenza di due quadrati

Ricordando il prodotto notevole

(a+b)(a-b)=a2-b2

Da questa eguaglianza letta inversamente si ottiene:

a2-b2=(a+b)(a-b)

Se un binomio si presenta come la differenza di due quadrati può essere scomposto nel prodotto della somma delle loro basi per la

differenza delle stesse. Esempi

4x 2 –25y2

si può vedere come

(2x)2-(5y) 2

(2x+5y)(2x-5y)

16a4-1si può vedere come

(4a2)2-(1) 2

(4a2 +1)(4a 2 -1)

Che si può ancora scomporre in

(4a2 +1)(2a -1)(2a+1)

ApprofondimentoGuida agli errori da evitare

2X2-9y2=(2x+3y2)(2x-3y2)Errato, il primo coefficiente non è

un quadrato perfetto

4a2+25b2=(2a+5b)(2a-5b)Errato, la somma dei quadrati non è

scomponibile

49s2t4-16r2=(49st2+16r)(49st2-16r) Errato, si sono

scomposte le lettere e non i numeri

4t2-9s4=(2t-3s2) 2 Errato, si è scambiata la differenza di quadrati con il quadrato del binomio

BinomioUn binomio può presentarsi come differenza o somma di due cubi,

ricordando i prodotti notevoli

(a+b)(a2-a b+b2) = a3+b3 e (a-b)(a2+a b+b2) = a3-b3

Da questa eguaglianza letta inversamente si ottiene:

a3+b3 = (a+b)(a2-a b+b2) e a3-b3 = (a-b)(a2+a b+b2)

Se un binomio si presenta come la differenza o somma di due cubi può essere scomposto nel prodotto della differenza o somma delle loro basi per un trinomio composto dal quadrato della prima base la somma

o differenza delle due basi ed il quadrato della seconda base. Esempi

8x 3 –27y3

si può vedere come

(2x)3-(3y)3

(2x-3y)(4x2+6xy+9y2)

125a3+1si può vedere come

(5a)3+(1) 3

(5a+1)(25a 2 -5a+1)Scomposizione

La scomposizione di un

TRINOMIO di 2°

4x2 + 20x + 25 =

(+2x)2

2(+2x)(+5)

(+5)2

(2x+5)2

Un trinomio di 2° grado ordinato e completo si può scomporre nel quadrato di binomio se ha le caratteristiche sopra esposte

La scomposizione di un

TRINOMIO di 2° del tipo

x2+(a+b)x+ab

x2 + 5x + 6 =(x + 2)(x + 3)

6 = 1*6

6 = 2*35=2+3

Un trinomio di 2° grado si chiama “caratteristico” quando il termine noto non è un quadrato ed inoltre il termine di 1° grado non è un doppio prodotto

Scomposizione

QuadrinomiUn quadrinomio può essere visto come lo sviluppo del

cubo del binomio se si presenta nella forma:

a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b) 3 oppure a3-3a2b+3ab2-b3 = (a-b)3

Esempi

a3+6a2b+12ab2+8b3

Si può vedere come

(a)3+3(a)2(2b)+3(a)(2b)2+(2b)3

(a+2b)3

1-9a+27a2 –27a3

Si può vedere come

(1)3+3(1)2(-3a)+3(1)(-3a)2+(-3a)3

(1-3a)3

Differenza tra quadrato del binomio e quadrato monomio e viceversa

Se il polinomio si presenta nella forma

a2+2ab+b2-c2

Si può vedere come

(a+b)2-c2= [(a+b)+c][(a+b)-c]

Esempio

4x2+4x+1-25y4= (2x+1+5y2)(2x+1-5y2)

(2x)22(2x)1 12 (5y)2

(2x+1)2Scomposizione

La scomposizione di un

QUADRINOMIO del tipo

ac + ad + bc + bd

ax2 + ay2 – bx2 – by2=

Un quadrinomio o un polinomio con una quantità di elementi pari, può essere scomposto con il RACCOGLIMENTO PARZIALE se esistono coppie di monomi che hanno un fattore comune

(x2 + y2)-a b (x2 + y2)=

=(a – b)

(x2 + y2)

Scomposizione

Regola di Ruffini

1 -2 4 -3

1

1 -1 3 //

3-11

Partiamo da un esempio, dobbiamo scomporre il polinomio P(x) = x3-2x2+4x-3.

Se alla variabile sostituiamo il valore numerico 1, il polinomio assume il valore 0

(13-2*12+4*1-3=0).

Dalla regola del resto di Ruffini deduciamo che il polinomio è divisibile per il binomio

x-1.

Eseguiamo la divisione con la regola di Ruffini e quindi possiamo scrivere che

x3-2x2+4x-3 = (x-1)(x2-x+3)

Si cambia di segno la radice

Coefficienti del polinomio quoziente

Coefficienti del polinomio da scomporre

Scomposizione

Autori dell’opera.Quest’opera è stata realizzata nell’ambito di

da Arturo Levato

Insegnante di matematica presso l’I.T.I.S. “Galileo

Galilei” di Gioia del Colle – Ba –

E-mail: itismaster@katamail.com

Lucia Giglio

Insegnante di matematica presso l’I.T.I.S. “Vittorio Emanuele

III” di Palermo

E-mail: gmat51@katamail.com