סריג של שלמים )ממימד - ( d.

בחלק הזה נסתכל על נקודות בסריג השייכות בעלות קורדינטות שלמות. ל

מושגים יסודיים

dZ

dR

2R

תחום קמור, חסום נניח וסימטרי סביב הראשית ומתקיים

מכיל לפחות נקודה אחת Cאזי . 0מהסריג ששונה מ

dRC

dCvol 2)(

טענה עזר:

כך ש 0קיים וקטור שונה מ .

זאת אומרת, והזזה של בוקטור נחתכים.

dZv0)'(' vCC

'C 'C

}:2

1{

2

1' CxxCC

הוכחה: נסתכל על הקבוצה

דוגמא לשימוש במשפט

m26

0.16S

0.16

שימוש נוסף בתורת המספרים:קירוב מספרים אי רציונאליים ע"י

שברים

:טענה

מספר טבעי. קיימים זוג N מספר ממשי, כך ש m,nמספרים טבעיים

ומתקיים:

)1,0(

nNn

m 1

Nn

General lattices

וקטורים לינארים בלתי תלויים ב dיהיו ,

לאו דווקא שלמים.

נגדיר סריג בעל בסיס להיות כלהקומבינציות הלינאריות עם מקדמים שלמים :

dzzz ,...,, 21dR

dzzz ,...,, 21

ji

}),....,(|...{),...,,( 11121d

dddd Ziizizizzz

בעלת עמודות dXd בגודל Zנגדיר מטריצה ,

דטרמיננטה של סריג מוגדרת להיות .

היא נפח של המקבילון detמבחינה גיאומטרית, ה הנוצר ע"י :

dzzz ,...,, 21

Zdetdet

),...,,( 21 dzzz

}1]1,0[|...{ 11 dmizizi mdd

ו תחום סריג ב נניח קמור וסימטרי סביב הראשית

ומתקיים

מכיל לפחות נקודה אחת Cאזי . 0מהסריג ששונה מ

dRC dR

det2)( dCvol

תיאורית מינקובסקי :

discrete subgroup

כך שלכל גם

והמרחק בין כל שתי נקודות

הוא לפחות עבור ממשי כלשהו.

yx, dR yx

0

yx,

discrete subgroup

משפט:

של discrete subgroupנניח

שפורשת את כל . אזי ל יש בסיס,

וקטורים בל"ת dז"א קיימים

כך ש .

dRdR

dd Rzzz ,...,, 21

),...,,( 21 dzzz

שימוש נוסף בתורת המספרים:

:טענה

כל מספר ראשוני ניתן לכתיבה כסכום של

שני ריבועים כך ש: . 4mod1P

22 baP Zba ,

יהיF שדה מודולו P.

P . נקרא שארית ריבועית מודולו

אם קיים כך ש .

.P, אינו שארית ריבועית מודולו aאחרת

:למה

- הוא שארית ריבועית1 ראשוני אז Pאם

. Pמודולו

}0{\* FF *F*Fx

4mod1P

Pax mod2

הוכחת המשפט:

),0(

),1(

),(

2

1

21

pZ

qZ

zz

לפי הלמה קייםq . כך ש :נסתכל על

Pq mod2 1

לכל , וסריג ב קיים אלגוריתם שמחשב בזמן פולינומיאלי וקטור

ש"אורכו" לכל היותר פעמים "אורך" הוקטור הקצר ביותר .

מחשב לא רק את הוקטור LLLאלגוריתם הקצר ביותר אלא את כל הבסיס הקצר

ביותר שפורש את הסריג.

The LLL algorithm

0dR

d)1(

v0

לשם פשטות נסתכל על פולינומים עם ב )p(x. )1מקדמים שלמים ומקדם מוביל

(Z[x] נניח שרוצים למצוא פולינום מינימלי שנותן את

.)q(x נסמנו )p(x ) של aאותו השורש ) q(x( הוא בעל דרגה מינימלית כך ש q(a(=0.q(x( מחלק את p(x(. והוא לא ניתן לצמצום

אפליקציה של האלגוריתם עבור פולינומים

The LLL algorithm על שם ממציאיו LLLלאלגוריתם

((L.Lovasz, A.Lenstra & H.Lenstraקיימים יישומים רבים בתורת המספרים

ובקריפטוגרפיה. ומאפשר לפרק 1982הוא התגלה ב

לגורמים פולינומים מעל השלמים בצורה יעילה.

מערכות הצפנה רבות נפרצו ע"י שימוש באלגוריתם בפרט כאלה שמבוססות על

בעיית התרמיל.

-1864קצת על הרמן מינקובסקי )1909(

-1864קצת על הרמן מינקובסקי )1909(

נולד בליטא למשפחה יהודית תרומתו העיקרית למדע המתמטיקה היתה

בתורת המספרים , ייסד את התחום שנקרא גיאומטריה של מספרים. המציא את גיאומטרית

נהגי המוניות. בפיסיקה תרם להבנת תורת היחסות , תרם

בתחום האלקטרומגנטיות. עזר לאיינשטיין בייסוד תורת היחסות.