Laurent-Reihen und isolierte Singularit£¤ Wir beginnen zun£¤chst mit der allgemeinen De¯¬¾nition einer

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  • Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten

    Seminar Analysis III (SoSe 2013)

    Pascal Niehus

    - Vortrag vom 27.05.2013 -

    Kontaktdaten:

    Name: Pascal Niehus

    Studiengang: BfP

    Fächer: Mathematik, Physik

    E-Mail: pascal.niehus@tu-dortmund.de

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Laurent-Reihen 4

    2 Isolierte Singularitäten 16

    2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 Hebbare Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.4 Wesentliche Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    Literatur 23

    2

  • Kurzfassung

    Der Inhalt dieser Seminararbeit beschäftigt sich mit dem Themengebiet der Laurent-Reihen

    und isolierten Singularitäten. Dabei wird im ersten Teil zunächst die Laurent-Reihe als Verall-

    gemeinerung der gewöhnlichen Potenzreihe eingeführt und definiert. Darüber hinaus werden

    wesentliche Eigenschaften, sowie die Eindeutigkeit und Existenz diskutiert und bewiesen. Im

    zweiten Teil werden isolierte Singularitäten von Funktionen näher untersucht und charak-

    terisiert. Dabei werden anhand einiger Beispiele die drei unterschiedlichen Typen erörtert.

    Außerdem wird der Zusammenhang zwischen der Charakterisierung von isolierte Singulari-

    täten durch Laurent-Reihen und der Eigenschaften der entsprechenden Funktion ausführlich

    diskutiert und hergeleitet.

    Abstract

    The content of this paper deals with the topic of Laurent series and isolated singularities. In the

    first part the Laurent series is introduced and defined as a generalization of the ordinary power

    series. There are essential characteristics, as well as the uniqueness and existence discussed

    and demonstrated. In the second part isolated singularities of functions are examined and

    characterized. The three different types are discussed by some examples. In addition, the

    relationship between the characterization of isolated singularities by Laurent series and the

    properties of the corresponding function is derived and discussed in detail.

    3

  • 1 Laurent-Reihen

    Die Laurent-Reihe ist eine wichtige Verallgemeinerung der bekannten Potenzreihe und spielt

    bei dem Studium und bei der Charakterisierung der isolierten Singularitäten von Funktionen

    eine wichtige Rolle. Jede reguläre Funktion f kann in der Umgebung eines Regularitätspunktes

    z0 durch eine Potenzreihe dargestellt werden. Ist die Funktion f in dem Punkt z0 jedoch nicht

    regulär (oder nicht einmal definiert), so ist eine Potenzreihenentwicklung nicht möglich. In

    diesem Fall bietet die Laurent-Reihen-Entwicklung eine ersatzweise Darstellung.

    Wir beginnen zunächst mit der allgemeinen Definition einer Laurent-Reihe. Anschließend

    diskutieren wir wesentliche Eigenschaften und beweisen die Eindeutigkeit und Existenz der

    Laurent-Reihen-Entwicklung.

    Definition 1.1. (Laurent-Reihe)

    Ist {an}∞n=−∞ = {an} ∞ n=0 ∪ {a−n}

    ∞ n=1 ein Folge komplexer Zahlen und z0 ∈ C, so heißt die

    unendliche Reihe der Form

    L(z) :=

    +∞∑ n=−∞

    an (z − z0)n = ∞∑ n=0

    an (z − z0)n + ∞∑ n=1

    a−n (z − z0)−n (1)

    eine Laurent-Reihe mit dem Entwicklungspunkt z0. Wir unterteilen die Laurent-Reihe in die

    Summe aus zwei unendlichen Reihen und nennen die gewöhnliche Potenzreihe

    N(z) := ∞∑ n=0

    an (z − z0)n (2)

    Nebenteil und die Reihe

    H(z) :=

    ∞∑ n=1

    a−n (z − z0)−n (3)

    Hauptteil der Laurent-Reihe.

    Bemerkung 1.2. Die Laurent-Reihe ist an z = z0 und z =∞ nicht definiert.

    Wir wollen zunächst das Konvergenzgebiet einer solchen Laurent-Reihe näher beschreiben

    und untersuchen. Man sagt, dass eine Laurent-Reihe genau dann im Punkt z ∈ C konvergiert, wenn sowohl ihr Hauptteil als auch ihr Nebenteil in diesem Punkt konvergieren. Dabei werden

    wir uns im wesentlichen auf das Konvergenzkriterium für gewöhnliche Potenzreihen beziehen,

    was an dieser Stelle kurz in Erinnerung gerufen werden soll.

    4

  • Wiederholung 1. (Konvergenzkriterium für Potenzreihen)

    Zu jeder Potenzreihe ∑∞

    n=0 an(z− z0)n mit an ∈ C existiert eine eindeutig bestimmte Zahl ρ, 0 ≤ ρ ≤ ∞ der sogenannter Konvergenzradius, mit folgender Eigenschaft:

    Die Potenzreihe ist absolut konvergent für jedes z ∈ C mit |z − z0| < ρ

    Die Potenzreihe ist divergent für jedes z ∈ C mit |z − z0| > ρ

    Insbesondere gilt:

    Ist ρ = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für z = z0

    Ist ρ =∞, so konvergiert die Potenzreihe für jedes z ∈ C absolut

    Wir setzten

    α := lim sup k→∞

    k √ |ak|, so gilt ρ =

     1

    α , falls 0 < α 0, so ist die Potenzreihe auf der kompakten Menge |z − z0| ≤ r mit 0 < r < ρ sogar gleichmäßig konvergent. Wir sprechen dann von kompakter Konvergenz der Reihe.

    Eine Potenzreihe ∑∞

    n=0 an(z − z0)n mit dem Konvergenzradius 0 < ρ ≤ ∞, ist also auf Uρ(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < ρ} kompakt konvergent, das heißt lokal gleichmäßig auf kompak- ten Teilmengen.

    Unter Verwendung, des bekannten Konvergenzkriterium der Potenzreihen, ergibt sich für die

    Konvergenz der Laurent-Reihe damit der folgende Satz.

    Satz 1.3. (Konvergenzverhalten von Laurent-Reihen)

    Eine Laurent-Reihe ∑+∞

    n=−∞ an (z − z0) n konvergiert entweder

    1. nirgends, oder

    2. auf Teilen einer Kreislinie um z0, oder

    3. absolut und kompakt auf einem Ringgebiet um z0.

    5

  • Beweis.

    Wir betrachten zunächst die Konvergenz des Nebenteils ∑∞

    n=0 an (z − z0) n der Laurent-Reihe.

    Zu dieser gewöhnlichen Potenzreihe existiert nach dem Konvergenzkriterium für Potenzreihen

    eine eindeutig bestimmte Zahl R2 mit 0 ≤ R2 ≤ ∞, sodass die Reihe für jedes z ∈ Z mit |z − z0| < R2 absolut konvergiert und für |z − z0| > R2 divergiert.

    z0

    R2

    divergent

    konvergent

    Abbildung 1: Konvergenzverhalten des Nebenteils

    Der Nebenteil der Laurent-Reihe konvergiert also absolut auf der offenen Kreisscheibe

    UR2(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < R2}. Für kompakte Teilmengen der Kreisscheibe konvergiert der Nebenteil sogar gleichmäßig.

    Als nächstes betrachten wir den Hauptteil ∑∞

    n=1 a−n (z − z0) −n der Laurent-Reihe und schrei-

    ben ∞∑ n=1

    a−n (z − z0)−n = ∞∑ n=1

    a−n · ω(z)n mit ω(z) = 1

    z − z0 . (4)

    Auch für diese Potenzreihe gibt es nach dem Konvergenzkriterium eine eindeutig bestimmte

    Zahl ρ mit 0 ≤ ρ ≤ ∞, sodass die Reihe für jedes z ∈ Z mit |ω(z)| < ρ konvergiert und für |ω(z)| > ρ divergiert. Konvergenz des Hauptteils ergibt sich also für

    |ω(z)| < ρ

    ⇔ 1 |z − z0|

    < ρ ⇔ |z − z0| > 1

    ρ ⇔ |z − z0| > R1 mit R1 =

    1

    ρ .

    6

  • z0

    R1

    divergent

    konvergent

    Abbildung 2: Konvergenzverhalten des Hauptteils

    Der Hauptteil der Laurent-Reihe konvergiert also absolut auf dem Außengebiet einer Kreis-

    scheibe UR1(z0) = {z ∈ C : |z − z0| > R1}. Auch hier gilt, für kompakte Teilmengen des Au- ßengebietes konvergiert der Hauptteil sogar gleichmäßig.

    Für das Konvergenzverhalten der Laurent-Reihe ergeben sich daraus die folgenden Fälle:

    1. IstR2 = 0, so konvergiert der Nebenteil nur an z0 und ist sonst divergent, dann divergiert

    die Laurent-Reihe überall, da die Reihe an z = z0 nicht definiert ist.

    2. Ist R1 = ∞, so divergiert der Hauptteil für alle z ∈ C und damit divergiert auch die Laurent-Reihe überall.

    3. Ist 0 ≤ R1 R2, so existiert kein z, für das beide Teilreihen zugleich konvergieren. Die

    Laurent-Reihe divergiert entsprechend überall.

    (b) R1 = R2, so kann die Konvergenz beider Teilreihen höchstens an gewissen Punkten

    der Kreislinie KR1 = {z ∈ C : |z − z0| = R1} vorliegen, für die dann auch die Lau- rent-Reihe entsprechend konvergiert.

    (c) R1 < R2, so konvergieren beide Teilreihen auf dem Ringgebiet RR1,R2(z0) um z0.

    RR1,R2(z0) := {z ∈ C : R1 < |z − z0| < R2} mit 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞ (5)

    Der Nebenteil konvergiert auf der Menge {z : |z − z0| < R2}, der Hauptteil kon- vergiert auf {z : |z − z0| > R1}. Auf dem Durchschnitt dieser beiden Mengen, dem Ringgebiet RR1,R2(z0), konvergieren also beide Teilreihen und damit die Laurent-

    Reihe.

    7

  • Wählten wir eine kompakte Teilmenge des Ringgebietes zu

    R̄R̃1,R̃2(z0) := { z ∈ C : |z − z0| ≥ R̃1

    } ∩ { z ∈ C : |z − z0| ≤ R̃2

    } (6)

    mit R̃1 > R1 und R̃2 < R2, wobei R̃1 < R̃2,

    dann konvergiert die Laurent-Reihe sogar gleichmäßig auf R̄R̃1,R̃2(z0), da dann

    auch die beiden Teilreihen gleichmäßig konvergieren. Auf RR1,R2(z0) konvergiert

    die Laurent-Reihe also kompakt.

    z0

    R2 R1

    divergent

    konvergent

    RR1,R2(z0)

    Abbildung 3: Konvergenzv