Lavoslav Čaklović

Matematičko modeliranje

Poglavlje:Osnove Teorije grafova

http://www.math.hr/~caklovic/modeliranje/

Email:caklovic@math.hr

1Distribucija dopuštena isljkučivo u PDF-formatu

Grafovi

1. Usmjereni grafovi

Definicija 1.1. Usmjereni graf je uređen par G = (V,A) skupa vrhovaV i relacije A na V koja ima svojstvo da (v, w) ∈ A ⇒ (w, v) /∈ A. Elementeod V nazivamo vrhovima ili čvorovima grafa.

Vrhove grafa predstavljati ćemo kao točke u ravnini ili prostoru. Element(v, w) ∈ A zamišljati ćemo kao usmjerenu spojnicu koja izlazi iz v i ulazi uw. Takvu spojnicu nazivamo lukom. Za luk α = (v, w) kažemo da izlazi izv i ulazi u w. Ako nije bitno da li je čvor v ulazni ili izlazni čvor za luk α,dovoljno je reći da su α i v incidentni.

Primjer grafa

Čvorove smo označili zaokruženim ©1 , ©2 , ©3 , ©4 , a lukove s 1, 2, 3, 4, 5. Uprimjeru je luk 2 = (©2 ,©3 ).

Ako drugačije nije rečeno, skup vrhova grafa G označavati ćemo s V (G),a skup lukova s A(G). Nadalje, ako je V ′ neki podskup skupa vrhova V (G)onda ćemo s A(V ′) označiti podskup svih lukova iz A(G) koji su incidentnis nekim vrhom iz V ′.

Definicija 1.2. Za graf G′ = (V ′,A′) reći ćemo da je podgraf grafaG = (V,A) ako je V ′ ⊆ V i A′ ⊆ A. U slučaju da je A′ = A(V ′) tada ćemopodgraf G′ zvati punim podgrafom od G.

Ako je G′ podgraf od G onda još kažemo da je G′ uložen u G i pišemoG′ ↪→ G.

Zadatak 1. Za zadani graf G, ulaganje je relacija parcijalnog uređajana skupu svih podgrafova od G.

2

3. POTENCIJAL I TOK 3

2. Matrica incidencije grafa

Ako označimo m := card(A) i n := card(V ) tada je graf u potpunostiodređen njegovom matricom incidencije. To je matrica tipa m×n čiji sustupci indeksirani vrhovima, a reci su indeksirani lukovima. Drugim riječima,svakom stupcu matrice incidencije odgovara vrh (i obratno) i svakom njenomretku odgovara luk grafa (i obratno). Ovdje pretpostavljamo da smo skupvrhova V i skup lukova A potpuno uredili. To znači da znademo koji jeelement prvi, koji drugi. . .

Elemente matrice incidencije odredimo ovako: Ako je α ∈ A luk, tadatom luku, sada indeksu retka, pridružujemo redak matrice incidencije kojina mjestu v sadrži −1 ako luk α izlazi iz vrha v, a na mjestu w sadrži 1 akoluk α ulazi u vrh w. Na preostalim mjestima u retku pišemo nulu.

A = α→

v · · · w· · · −1 · · · 1 · · ·

Dakle,

aαv =

−1, ako je α = (v, w) za neko w ∈ V

1, ako je α = (w, v) za neko w ∈ V

0, inače .

Matrica incidencije grafa iz primjera je−1 1 0 0

0 −1 1 00 0 1 −1−1 0 1 0

0 1 0 −1

Primijetite da je suma svih stupaca od A jednaka nul vektoru. Zaključite daje to istina za svaku matricu incidencije i da je rang r(A) ≤ n− 1. Takođerprimjetite da je α1 + α2 − α4 = 0 i da je α2 − α3 − α5 = 0. Posljednjedvije relacije izražavaju činjenicu da postoje ciklusi u grafu. To su ciklusiα1α2(−α4) i α2(−α3)α5. Nađite još neki ciklus i pripadnu trivijalnu linearnukombinaciju lukova. O ciklusima će detaljnije biti govora u poglavlju 3.1.

Neusmjereni graf možemo intuitivno shvatiti kao graf u kojem je za-boravljena orijentacija lukova. Preciznije, relacija na A skupu vrhova jesimetrična što znači da (v, w) ∈ A =⇒ (w, v) ∈ A.

3. Potencijal i tok

Definicija 1.3. Potencijalom nazivamo svaku realnu funkciju X : V →R, definiranu na skupu vrhova V .

Ako graf predstavlja strujni krug s otporima na svakom luku onda jeelektrični potencijal čvora potencijal u našem smislu. Ono što se pokazujevažnim za primjenu nije sam potencijal nego razlika potencijala. Na primjer,razlika potencijala u čvorovima strujnog kruga je ta koja uzrokuje gibanjeelektrona u žici. Dakle, ako su dva čvora povezena žicom onda ćemo tu

4 1. GRAFOVI

spojnicu usmjeriti (orijentirati) i dobiti luk. Struja je proporcionalna razlicipotencijala i obrnuto je proporcionalna otporu R žice (Ohmov zakon). Dakle

yα =Xw −Xv

Rα

gdje je α = (u, w), yα jakost struje, Rα otpor luka, a X potencijal.Skup svih potencijala je vektorski prostor, dimenzije n = card(V ), i mi

ćemo ga identificirati s vektorskim prostorom jednostupičastih matrica du-ljine n, u našoj oznaci Rn. Bazu tog vektorskog prostora čine karakterističnefunkcije svakog jednočlanog skupa {v}, v ∈ V . Tim funkcijama, u našojidentifikaciji, odgovara kanonska baza u Rn. Uz takvo shvaćanje potenci-jala, razlika potencijala nije ništa drugo nego produkt matrice incidencije Ai vektora stupca X tj.

α→

v · · · w· · · −1 · · · 1 · · ·

...Xv...

Xw...

=

...

Xw −Xv...

← α

Vektorski prostor svih razlika potencijala generiran je stupcima matriceA. To je prostor stupaca matrice A i označiti ćemo ga s R(A). Dakle,

R(A) = {B ∈ Rm | B =n∑

i=1

xiai}

gdje su a1, .., an stupci matrice A. Lako se vidi da je potencijal 1 = [1 . . . 1]τ ,čije su sve komponente jedinice, u jezgri matrice A tj. A1 = 0. Posljedicate činjenice jest da je rang, r(A) ≤ n− 1. Kasnije ćemo dokazati da je rangmatrice incidencije povezanog grafa upravo jednak n− 1 (v. lema 1.6).

Definicija 1.4. Svaku realnu funkciju F : A −→ R definiranu na skupulukova nazivamo tokom.

U skladu s definicijom razlika potencijala je tok. Kao što smo vektorskiprostor svih potencijala identificirali s Rn tako ćemo vektorski prostor svihtokova identificirati s Rm. Na taj način svaki luk α ∈ A je tok jer gamožemo identificirati s karakterističnom funkcijom jednočlanog skupa {α}na A, odnosno s kanonskim vektorom baze koja ima jedinicu na mjestu α.

Ako je α luk grafa, −α to nije, ali je −α element vektorskog prostoraRm. Na taj način lukove možemo zbrajati i oduzimati, općenito s njimamožemo raditi linearne kombinacije. Linearna kombinacija dva luka nemaneki naročiti fizikalni smisao, ali ako su svi lukovi u linearnoj kombinacijiincidentni s istim čvorom v i Fα predstavlja protok tekućine lukom α onda∑

Fαα

gdje se sumira po svim lukovima koji su incidentni s vrhom v predstavljadotok tekućine u taj čvor. To je ujedno skalarni produkt između toka F istupca matrice incidencije koji odgovara vrhu v. Ako je Fi jakost struje ondata linearna kombinacija predstavlja ukupnu količinu naboja koji u jedinicivremena stigne u čvor.

3. POTENCIJAL I TOK 5

Dotok u čvoru

U primjenama su posebno važni ‘putevi’ i ‘ciklusi’ u grafu, pojmovi kojećemo sada definirati, jer je ponekad važno znati koliko je tekućine stiglo izjednog čvora u neki drugi zadanim putem. Ciklusi su pak interesantni uelektričnim mrežama jer je pad napona duž ciklusa jednak nuli (Kirchoffovzakon). Da bi prethodne rečenice dobile matematički smisao potrebno jedefinirati put i ciklus kao matematičke objekte.

3.1. Putevi i ciklusi. Neka su v i w vrhovi grafa. Put s početkom vi krajem w je konačan niz vrhova i lukova

v = v0α0v1α1 · · · vk−1αk−1vk = w

sa sljedećim svojstvima:- Niz započinje s v.- Niz završava s w.- Između svaka dva vrha stoji luk (ili luk s negativnim predznakom)

koji ih povezuje (susjedni čvorovi). Dakle, αi = (vi, vi+1) ∈ A ili−αi = (vi, vi+1) ∈ A ; i = 1, . . . , n− 1.

- Između svaka dva luka stoji čvor koji je s njima incidentan (susjednilukovi).

- U nizu nema ponavljanja, osim eventualno na početku i kraju.Put nazivamo zatvorenim ako je v = w. Zatvoren put nazivamo još i

ciklusom. Primjetimo da je put također određen i s podnizom koji uključujesamo vrhove ili s podnizom koji uključuje samo lukove. U slučaju ciklusa,ulogu početka i kraja može preuzeti bilo koji vrh. Tada bilo koja cikličkazamjena elemenata u podnizu vrhova (ili podnizu lukova) određuje isti cik-lus. Mi ćemo put prezentirati podnizom lukova. Na taj način put takođerpostaje tok, tj. element prostora Rm. Ako je α ∈ A onda put-vektor imaα-komponentu jednaku 1 ako je luk α uključen u put (s pozitivnom orijen-tacijom), −1 ako je −α uključen u put i 0 ako α nije uključen u put.

Još jedan važan pojam je povezanost grafa.

Definicija 1.5. Kažemo da je graf povezan ako za svaka dva čvora grafapostoji put s početkom u jednom i krajem u drugom čvoru.

Jednostavan test za povezanost grafa je sljedeća lema.

6 1. GRAFOVI

Lema 1.6. Rang matrice incidencije grafa jednak je n − 1 ako i samoako je graf povezan.

Dokaz. Pretpostavimo da je graf povezan. Za dokaz r(A) = n − 1dovoljno je dokazati da je dim N(A) = 1. Drugim riječima, ako je AX = 0treba dokazati da je X = λ1, gdje je 1 vektor čije su sve komponente jednakejedan. Redak sistema jednadžbi AX = 0 je oblika Xk − Xj = 0 ako sučvorovi k i j povezani lukom, tj. susjedni. Ako čvorovi k i j nisu susjednionda, zbog povezanosti, postoji put u grafu koji ih povezuje. Svaka dvasusjedna čvora u tom putu imaju isti potencijal, prema prethodnom, pa jezbog tranzitivnosti jednakosti to istina i za k-ti i j-ti čvor. Dokaz nužnostiostavljamo čitaocu. �

Ciklusi čine posebno važnu klasu puteva i u sljedećoj lemi se nazire nji-hova algebarska karakterizacija.

Lema 1.7. Ako je y ciklus onda je yτA = 0.

Dokaz. Neka je y ciklus. Fiksirajmo i-ti čvor i promatrajmo njemuodgovarajući stupac ai matrice incidencije A. Dovoljno je dokazati

yτai = 0, ∀i = 1, . . . , n,

jer je yτA linearna kombinacija redaka od A s koeficijentima y1, . . . , ym, tadaje i-ta komponenta te linearne kombinacije jednaka nuli.

Pretpostavimo prvo da je taj vrh uključen u ciklus. Od lukova u ciklusutočno su dva koja su incidentna s njim. Neka su to k-ti i l-ti luk.

Bez obzira na to da li su ti lukovi uključeni s pozitivnom ili negativnomorijentacijom u ciklus, lukovi1 ykαk i ylαl su takvi da jedan ulazi, a drugiizlazi iz i-tog čvora. Iskazano preciznije, u prostoru redaka matrice A je tada

(ykαk)i + (ylαl)i = 0.

Ako i-ti vrh nije uključen u ciklus, onda za svaki luk iz ciklusa odgovarajućiredak matrice A ima nulu na i-tom mjestu. �

Obrat leme nije istinit, jer npr. tok F = 2y, gdje je y ciklus, zadovoljavaF τA = 0 iako nije ciklus. Ciklus smije imati komponente čije su vrijednosti−1, 1 ili 0.

Zadatak 2. Nađite algoritam koji za zadani vektor y ∈ N(Aτ ) provje-rava da li je ciklus ili ne.

1Ovdje ykαk ne mora biti luk u grafu, tj. element od A, ali je element prostora lukovaRm.

4. GENERIRAJUĆE STABLO 7

4. Generirajuće stablo

Definicija 1.8. Graf je stablo ako je povezan i nema ciklusa.

Tipični primjeri stabla su:

• linearna struktura (rast u duljinu)• lepezasta struktura (rast u širinu)

Linearna struktura

Lepezasta struktura

Drugi tip stabla simbolizira npr. hijerarhijsku strukturu podataka u raču-nalu. Čvor “na vrhu” strukture obično se naziva korijen (root) ili predak.Ostali čvorovi su njegovi listovi ili djeca.

Lema 1.9. Povezan graf je stablo ako i samo ako ima n− 1 luk.

Dokaz. Zbog povezanosti grafa je r(A) = n − 1, što znači da je brojlukova m u grafu veći ili jednak n − 1. Tvrdnja leme slijedi direktno izdekompozicije

R(A)⊕N(Aτ ) = Rm,

i pripadne jednakosti među dimenzijama

(n− 1) + dim N(Aτ ) = m.

Dakle, m ≥ n ako i samo ako je N(Aτ ) 6= {0}, odnosno, ako i samo ako ugrafu postoji ciklus, prema lemi 2.3. Ekvivalentno, m ≤ n − 1 ako i samoako ne postoji ciklus što smo i htjeli dokazati. �

Zadatak 3. Dokažite lemu 1.9 indukcijom po broju čvorova.

Definicija 1.10. Neka je G = (V,A) graf. Graf T = (V,A′) nazivamogenerirajuće stablo od G ako je A′ ⊆ A i T je stablo. Element α ∈ A\A′nazivamo tetivom stabla T .

Primjer 1.11. Graf na slici ima četiri čvora i šest bridova. Punim lini-jama označeni su lukovi generirajućeg stabla, a iscrtkanim tetive.

8 1. GRAFOVI

Generirajuće stablo i tetive

4.1. Računanje s podgrafovima. Komponente povezanosti. Spodgrafovima zadanog grafa G = (V,A) možemo vršiti operacije unije ipresjeka kao i sa podskupovima nekog zadanog skupa. Osim toga ovdje jemoguće definirati i pojam upotpunjenja podgrafa.

Definicija 1.12. Neka su G′, G1, G2 podgrafovi od G = (V,A).- Upotpunjenje podgrafa G′ = (V ′,A′) je podgraf od G, s istim

skupom vrhova i skupom lukova A(V ′).- Supremum (unija) G1 i G2, u oznaci sup{G1, G2}, je takav podgraf

daG1 ↪→ HG2 ↪→ H

}=⇒ sup{G1, G2} ↪→ H.

- Infimum (presjek) G1 i G2, u oznaci inf{G1, G2}, je takav podgrafda

H ↪→ G1

H ↪→ G2

}=⇒ H ↪→ inf{G1, G2}.

Slobodnije rečeno, supremum dva podgrafa ja najmanji podgraf u koji su oniuloženi, dok je infimum najveći podgraf koji je uložen u svaku podgraf.

Zadatak 4. Dokažite egzistenciju supremuma (infimuma) za podgrafovezadanog grafa. Uputa. Promatrajte podgraf sa skupom vrhova koji je unijaV (G1) ∪ V (G2) i skupom lukova koji je unija A(G1) ∪ A(G2).

Posebno su interesantne neke familije podgrafova, jedna od njih je fami-lija povezanih podgrafova.

Definicija 1.13. Komponenta povezanosti C grafa G je maksimalanpovezan podgraf od G u odnosu na relaciju ulaganja.

Pri tome je podgraf G maksimalan u zadanoj familiji podgrafova, ovdjese radi o familiji povezanih podgrafova, ako za svaki podgraf G iz familijevrijedi da G ↪→ G implicira G = G.

Dvije međusobno različite komponente povezanosti istog grafa imaju pra-zan presjek. To je direktna posljedica definicije komponente jer bi u suprot-nom njihov supremum bio povezan podgraf nadređen svakoj komponenti.Nadalje, svaki vrh se nalazi bar u jednoj, zbog prethodnog, točno u jed-noj komponenti povezanosti. Važnost komponenata povezanosti vidi se usljedećem teoremu, poopćenju leme 1.6, koji je njezina trivijalna posljedica.

5. ZADACI I NADOPUNE 9

Teorem 1.14. Rang matrice incidencije grafa jednak je n− k gdje je kbroj komponenata povezanosti grafa.

5. Zadaci i nadopune

U našoj definiciji grafa nisu dozvoljeni lukovi kao na slici

Paralelni lukovi

ali to ne umanjuje mogućnost primjene teorije. Tako se na primjer, realnasituacija

Paralelni otpori

tretira tako da umjesto luka koji spaja vrhove v i w promatra jedan luk čijije otpor R, izračunat kao 1

R = 1R1

+ 1R2

+ 1R3

.

Zadatak 5. Napišite matrice incidencije za sljedeće grafove:

10 1. GRAFOVI

Za koju desnu stranu jednadžba Ax = b ima rješenje? Odredite stupceu jezgri od Aτ .

Uputa. (za primjer 2.) Matrica ima n − 1 (5 − 1) linearno nezavisnihredaka; kojih? Također postoji m − n + 1 (6 − 5 + 1) linearno nezavisnihstupaca u jezgri od Aτ ; koji su to?

Zadatak 6. Dokažite teorem:Ako je A matrica incidencije grafa onda je jednadžba

Ax = b (za potencijal)

rješiva ako i samo ako je

yτ b = 0

za svaki ciklus y.Jednadžba

yτA = f τ (za struju)je rješiva ako i samo ako je

f1 + f2 + . . . + fm = 0.

Zadatak 7. Ako je matrica incidencije slična blokdijagonalnoj matricionda je graf nepovezan.

Zadatak 8. Odredite sve grafove s 9 vrhova i 10 lukova te rang matriceincidencije.

Općenito, za graf s n vrhova, m lukova i p komponenti povezanosti nađitebroj nezavisnih rješenja jednadžbi Ax = 0 i yτA = 0.

Postoji mnogo načina da se definira stablo što se vidi iz slijedećeg te-orema. Dokažite ga.

Teorem 1.15. Neka je G graf s više od jednog vrha. Tada je ekviva-lentno:

(i) G je stablo;(ii) Svaki par vrhova je povezan s točno jednim putem;(iii) G je povezan i ako uklonimo jednu spojnicu nastali graf je nepove-

zan;(iv) G je bez ciklusa i ako mu dodamo jednu spojnicu nastali graf ima

točno jedan ciklus.

5. ZADACI I NADOPUNE 11

Zadatak 9. Dokažite da u stablu postoji bar jedan vrh stupnja 1.

Zadatak 10. Dokažite da u stablu postoje bar dva vrha stupnja 1.

Zadatak 11. Dokažite da vrhove stabla možemo obojati s dvije bojetako da vrhovi iste boje nisu susjedni.

Zadatak 12. Lema 1.7 ekvivalentna je sljedećoj tvrdnji: Reci od A kojiformiraju ciklus su linearno zavisni.

Zadatak 13. Dodavanje novog luka postojećem grafu na način da za-tvara ciklus ne povećava rang matrice incidencije.

Zadatak 14. Ako stupanj svakog čvora grafa barem dva u grafu postojiciklus.

Rješenje. Promatrajmo jednu komponentu povezanosti grafa s n vrhova im lukova. Suma svih stupnjava čvorova jednaka je dvostrukom broju lukova,∑

v∈V d(v) = 2m. Ako je d(v) ≥ 2 za svaki čvor v onda je 2m ≥ 2n ikomponenta nije stablo pa posjeduje netrivijalni cilkus.

Zadatak 15. Neka je C komponenta povezanosti grafa G i G′ povezanpodgraf od G sa svojstvom da je V (C) ∩ V (G′) 6= ∅. Tada je G′ ↪→ C.Dokažite tvrdnju.

Zadatak 16. Dokažite da je komponenta povezanosti od G puni podgrafod G.

5.1. Uređena stabla. Promatrajmo algebarski izraz:

(2x + y)(5a− b)3

Taj ćemo algebarski izraz zapisati kao stablo na slijedeći način. Uvedimooznake: ∗ – za množenje, ↑ – za potenciranje i zapišimo redosljed izvršavanjaalgebarskih operacija u izrazu.

Čvorovi stabla su varijable u izrazu i sve algebarske operacije. Primje-timo da su algebarske operacije čvorovi ’grananja’, a varijable su ’lišće’ tihčvorova. Algebarsku operaciju izmedju dva broja zapisati ćemo tako da ćemoprvo zapisati operaciju, a zatim brojeve. Tako na primjer produkt izmedju2 i x zapisujemo kao ∗2x.

12 1. GRAFOVI

Stablo algebarskog izraza

Sada algebarski izraz možemo zapisati kao:

∗+ ∗2xy ↑ − ∗ 5ab3

gdje algebarske operacije zapisujemo od korijena redom prema nižim točkamagrananja i to prvo u lijevoj grani, zatim varijable u lijevoj grani, a zatim toisto u desnoj grani.

Oznaka ∗2x ekvivalentna je oznaci ∗(2, x) s tim da smo izbacili zarez izagrade. Gornje stablo je primjer za uređeno korijenito stablo. Svakomvrhu takvog stabla pridružena je njegova adresa. Adresa korijena je 0, gdjeje korijen jedan vrh kojeg smatramo prvim u tom uredjaju. Vrhove spojene skorijenom adresiramo redom 0.1, 0.2, 0.3, . . .. Preostale vrhove adresiramo nasljedeći način: ako je a adresa vrha v tada neadresirane vrhove koji su s njimspojeni adresiramo s a.1, a.2,. . . . Ovakvo adresiranje definira totalni uređajvrhova stabla koji zovemo leksikografskim uređajem. Za dvije adrese ai b reći ćemo da je a < b ako je a početni segment od b tj. b = a.c ili akopostoje prirodni brojevi m i n tako da je m < n i a = r.m.s i b = r.n.t

Zadatak 17. Izračunajte ∗ ↑ − ∗ 2212 ↑ −323.

5.2. Matrica susjedstva. Matrica susjedstva B neorijentiranog grafaima na mjestu bij = 1 ako su vrhovi i i j susjedni; inače je bij = 0. Pri tomese uzima da je vrh susjed samom sebi.

a) Interpretirajte B2. Što znači da je ij-ti element od B2 pozitivan?b) Evo još jednog testa povezanosti. Svi elementi od Bn−1 moraju biti

različiti od nule. Da li je test dobar?

Matrični element od Bk na mjestu ij kaže koliko postoji puteva s k bridovaod i-tog do j-tog čvora.

5. ZADACI I NADOPUNE 13

Zadatak 18. Da li je rang od Bn−1 jednak n ako je graf povezan?Rješenje. Ne. U slučaju

1 1 1 11 0 0 01 0 0 01 0 0 0

je r(B3) = 2. Inače je r(Bn−1) ≤ r(B).

Kirchoffovi tokovi

Definicija 2.1. Za tok F reći ćemo da je Kirchoffov u i-tom čvoru,ako je algebarska suma njegovih komponenti incidentnih s i-tim čvorom jed-naka nuli. Ako je to istina za svaki čvor onda tok nazivamo Kirchoffovim.Ako je ai i-ti stupac matrice incidencije onda je Kirchoffovost toka u i-tomčvoru izražena s

F τai = 0,

dok je kirchoffovost ekvivalentna s

F τA = 0.

Evidentno je skup svih Kirchoffovih tokova vektorski prostor i to jezgraN(Aτ ) transponirane matrice A. Prema lemi 1.7 je svaki ciklus Kirchoffovtok. Naš je cilj dokazati da je prostor Kirchoffovih tokova generiran ciklu-sima i pronaći tehniku za jednostavno generiranje baze u tom prostoru. Započetak izračunajmo dimenziju tog prostora.

Teorem 2.2. Neka je A matrica incidencije povezanog usmjerenog grafa.Tada je

dim N(Aτ ) = m− n + 1,

gdje je n broj čvorova, a m broj lukova grafa.

Dokaz.

dim N(Aτ ) = m− dim R(Aτ )

= m− dim R(A)= m− n + 1

�

Tvrdnju da je prostor Kirchoffovih tokova generiran ciklusima možemo, uprincipu, dokazati na dva načina. Direktno, tako da Kirchoffov tok rastavimokao linearnu kombinaciju ciklusa, ili indirektno, tako da pronadjemo m−n+1linearno nezavisnih ciklusa. Mi ćemo učiniti i jedno i drugo.

Da bismo razumjeli konstrukciju baze u prostoru Kirchoffovih tokovapotrebno je nešto više znanja o grafovima i njihovim generirajućim stablima.U ovom trenutku, najviše što možemo dokazati jest

Lema 2.3. Na grafu G postoji netrivijalan Kirchoffov tok ako i samo akou G postoji ciklus.

Dokaz. Ako postoji ciklus, tada je on Kirchoffov tok jer je yτA = 0 zasvaki ciklus y prema lemi 1.7.

Za dokaz obrata potrebno je uvesti pojam stupnja čvora v ∈ V kaolukova koji su s njim incidentni.

14

1. MATRICA BAZNIH CIKLUSA 15

Neka je sada F 6= 0 netrivijalan Kirchoffov tok. Uočimo sve netrivijalnekomponente od F , njima odgovarajuće lukove i sve čvorove koji su incidentnis tim lukovima. Svaki taj čvor ima stupanj najmanje dva, jer bi inače unjemu bila narušena kirchoffovost . Izdvojeni skup vrhova i spojnica činigraf u kojem je stupanj svakog čvora barem dva. Nije teško ustanoviti da utakvom grafu postoji ciklus što je posljedica formule∑

v∈V

d(v) = 2m.

Kako je d(v) ≥ 2 za svaki vrh v to je 2m ≥ 2n. Kako je G povezan graf ibroj lukova je veći ili jednak od broja vrhova to nužno postoji culkus. Timeje lema u potpunosti dokazana. �

1. Matrica baznih ciklusa

Nije teško vidjeti da za svaku tetivu α postoji put u generirajućem stablukoji tetiva α nadopunjuje do ciklusa. Štoviše, taj je put jedinstven jer bi usuprotnom u stablu T postojao ciklus, što je nemoguće jer je stablo acikličkigraf. Svakoj tetivi grafa pridružit ćemo jedan ciklus kojeg ona generira.Orijentacija ciklusa neka je određena orijentacijom tetive. To znači da jeciklus pozitivno orijentiran ako uključuje tetivu s pozitivnom orijentacijom.Ako je m broj lukova grafa, onda lukova u stablu ima n − 1, a tetiva m −n + 1. Neka su lukovi numerirani tako da su 1, . . . , n − 1 lukovi stabla, an, n + 1, . . . ,m tetive. Cikluse pridružene tetivama označimo s cn, . . . , cm.Prvih n−1 komponenti od ck može imati vrijednost 0, 1 ili −1 što je označenokao ∗ u donjem matričnom prikazu.

ck =

∗0...1...0

tj.

(ck)j = δkj , k, j ∈ {n, n + 1, . . . ,m}.Ako cikluse ck, n ≤ k ≤ m shvatimo kao stupce matrice

C =[cn . . . ck . . . cm

],

onda je ta matrica blok-matrica oblika C−

Im−n+1

gdje je C− matrica tipa (n− 1)× (m− n + 1), a Im−n+1 jedinična matricareda m − n + 1. Matrica C očigledno je ranga m − n + 1 i njeni stupci sulinearno nezavisni. Nazivamo je matricom baznih ciklusa.

Teorem 2.4. Stupci matrice baznih ciklusa tvore bazu u prostoru Kirc-hoffovih tokova.

16 2. KIRCHOFFOVI TOKOVI

Dokaz. slijedi direktno iz činjenice da su ciklusi Kirchoffovi tokovi,linearno su nezavisni i ima ih upravo toliko kolika je dimenzija prostoraKirchoffovih tokova. �

Drugi dokaz. gornjeg teorema zasniva se na činjenici da na stablu nepostoje netrivijalni Kirchoffovi tokovi (v. lemu 2.3). Kako je broj stupacamatrice baznih ciklusa C jednak dimenziji prostora Kirchoffovih tokova, zadokaz da čine bazu dovoljno je dokazati da generiraju cijeli prostor N(Aτ ).

Neka je, dakle, F ∈ Rm Kirchoffov tok i F (j) =: Fj , j = 1, . . . ,mnjegova vrijednost na luku j. Definirajmo

F ′ =m∑

j=n

Fjcj ,

gdje je cj j = 1, . . . ,m ciklus pridružen tetivi j. Tok F ′ je Kirchoffov jerje linearna kombinacija ciklusa. Nadalje, razlika F − F ′ se poništava natetivama jer je

F ′(k) =m∑

j=n

Fjcj(k) =m∑

j=1

Fjδjk = Fk = F (k), ∀k = n, . . . ,m.

Stoga je restrikcija od F−F ′ na lukove stabla T Kirchoffov tok na tom stablu,pa nužno mora biti trivijalan prema lemi 2.3. Dakle, F ′(k) = F (k), ∀k =1, . . . ,m, što smo i trebali dokazati. �

Bazni cikusi za graf iz primjera su:

c4 =

0−1−1

100

, c5 =

110010

, c6 =

111001

,

a matrica baznih ciklusa je

C =

0 1 1

−1 1 1

−1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, C− =

0 1 1−1 1 1−1 0 1

.

2. Matrica baznih prereza

Pod prerezom u grafu podrazumijevamo uređen par (S, T ) podskupovaskupa vrhova takvih da je S ∪ T = V, S ∩ T = ∅.

Kako je particija S, T jednoznačno određena karakterističnom funkcijomχT skupa T , znači da prerez možemo shvatiti kao potencijal. Ako vrhove

2. MATRICA BAZNIH PREREZA 17

iz V numeriramo tako da prvo dolaze oni iz S, a zatim oni iz T , onda jematrična reprezentacija prereza dana stupcem

X =

0...0

1...1

S

T

Tok B = AX je razlika potencijala, i njegova

Prerez definiran lukom α

komponenta na luku α ∈ A je

B(α) =

0, ako je α ∈ A(S) ili α ∈ A(T );1, ako α izlazi iz S i ulazi u T ;−1, ako α izlazi iz T i ulazi u S.

Oznaka A(S) označava skup svih lukova iz A koji povezuju vrhove iz S. Toje relacija na S × S, koja je presjek relacije A i skupa S × S (analogno zaskup T ili bilo koji podskup od V ).

U ovom poglavlju cilj nam je konstruirati bazu (Bi)i=1,...,n−1, prostoraR(A), oblika Bi = AXi za specijalni izbor potencijala Xi. Kao i kodkonstrukcije matrice baznih ciklusa, lukove u A ćemo označiti tako da su1, . . . , n− 1 lukovi generirajućeg stabla, a n, . . . ,m tetive. Svaki luk j gene-rirajućeg stabla inducira prerez u G na slijedeći način: isključimo li taj lukiz skupa lukova generalizirajućeg stabla to se stablo raspada u dvije kompo-nente povezanosti. Skup vrhova jedne i druge komponente

Bazni prerez

18 2. KIRCHOFFOVI TOKOVI

čine particiju od V . Sa Sj označimo vrhove one komponente u kojoj ležiizlazni čvor od j, a s Tj njegov komplement. Neka je Xj karakterističnafunkcija skupa Tj . Tada je k-ta komponenta razlike potencijala Bj = AXj

Bj(k) = akXj ,

gdje je ak k-ti redak matrice incidencije A. Tri su slučaja moguća:

Bj(k) =

0, k ∈ A(Sj) ili k ∈ A(Tj)1, k izlazi iz Sj i ulazi u Tj

−1, k izlazi iz Tj i ulazi u Sj

.

Specijalno, za 1 ≤ j ≤ n− 1 stupci Bj formiraju matricu

B =[B1 . . . Bj . . . Bn−1

],

koju možemo zapisati kao blok-matricu

B =

In−1

B−

.

Matrica B− je tipa (m−n+1)×(n−1), a In−1 jedinična matrica reda n−1.Evidentno je da su stupci od B linearno nezavisni. Matricu B nazivamomatricom baznih prereza. Za graf iz primjera je

X2 =

0011

, B2 =

0101−1−1

,

a matrica baznih prereza je

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

−1 −1 0

−1 −1 −1

.

Teorem 2.5. Stupci matrice baznih prereza generiraju prostor R(A) itvore njegovu bazu.

Dokaz. je posljedica činjenice da su ti stupci linearno nezavisni i imaih ukupno toliko kolika je dimenzija od R(A). �

Dati ćemo još jedan dokaz teorema, koji je više “u duhu potencijala”.Kako su B1, . . . , Bn−1 elementi od R(A) i ima ih toliko kolika je dimenzijatog prostora, za dokaz da tvore bazu dovoljno je dokazati da generiraju

2. MATRICA BAZNIH PREREZA 19

R(A). U tu svrhu odaberimo proizvoljan B ∈ R(A); B je oblika B = AX.Definirajmo

B′ =n−1∑j=1

B(j)Bj ,

X ′ =n−1∑j=1

B(j)Xj .

Tada je B′ = AX ′. Mi želimo dokazati B = B′. U tu svrhu dovoljno jedokazati da je X − X ′ = const. · 1, gdje je 1 jedinični potencijal na V , tj.1(v) = 1, ∀v ∈ V .

Neka su v, w ∈ V i k = (v, w) luk stabla koji ih povezuje. Tada je

X(w)−X(v) = akX = B(k) = B′(k) = akX ′ = X ′(w)−X ′(v),

odnosnoX(w)−X ′(w) = X(v)−X ′(v).

Prethodna jednakost vrijedi ne samo za susjedne vrhove, nego (po tranzi-tivnosti jednakosti) na cijeloj komponenti povezanosti grafa. Kako je grafpovezan, to dokazuje tvrdnju.

Propozicija 2.6. Neka je T generirajuće stablo grafa, a B i C matricebaznih ciklusa i matrica baznih prereza dobivenih pomoću T . Tada je

CτB = 0.

Dokaz. Dovoljno je dokazati CτBi = 0, gdje su Bi bazni prerezi, od-nosno CτAXi = 0, i = 1, . . . , n. Posljednja jednakost je posljedica činjeniceda su stupci od C, a to su ciklusi, okomiti na R(A). �

Posljedica 2.7. C−τ + B− = 0.

Dokaz. Zbog C−

I

τ I

B−

= 0,

odnosno, [Cτ− I

] I

B−

= 0,

slijedi C−τ + B− = 0. �

Za graf iz primjera vidjeli smo da je

B− =

0 1 1−1 −1 0−1 −1 −1

, C− =

0 1 1−1 1 1−1 0 1

,

pa je relacija C−τ + B− = 0 ispunjena.

20 2. KIRCHOFFOVI TOKOVI

3. Zadaci i nadopune

Zadatak 19. Dokažite da usmjeren graf u kojem svaki vrh ima prethod-nika ima nenegativan ciklus.

Uputa. Za svaki čvor definirajte skup S(A) kao skup svih njegovih pre-daka. Problem se svodi na rješivost inkluzije a ∈ S(a). Koristite konačnostskupa vrhova.

Bibliografija

[1] N. Antonić and M. Vrdoljak. Mjera i intregral. PMF–Matematički odjel, Zagreb, 2001.[2] H. Brezis. Analyse fonctionnelle, Théorie et application. Collection Mathématiques

appliquées pur la maîtrise (Sous la direction de P. G. Ciarlet et J. L. Lions). Masson,Paris, 1983.

[3] F. Hitchcook. The distribution of a produce from several sources to numerous localities.Journal of Mathematical Physics, 20:224–230, 1941.

[4] S. Kurepa. Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene. Tehnička knjiga, Za-greb, 1967.

[5] S. Kurepa. Matematička analiza. Drugi dio. Funkcije jedne varijable. Tehnička knjiga,Zagreb, 1971.

[6] L. Lovász and M. D. Plummer. Matching Theory, volume 29 of Annals of DiscreteMathematics. North–Holland, 1986.

[7] A. Rapoport. Decision Theory and Decision Behaviour, Normative and DescriptiveApproaches, volume 15 of Series B: Mathematical and Statistical Methods. Kluwer,Dordrecht, The Netherlands, 1989.

[8] L. Čaklović. Zbirka zadataka iz linearne algebre. Školska knjiga, Zagreb, 1989.

115