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Le modèle de Black Litterman
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
L’optimisation moyenne-variance Inputs : rendements volatilités corrélations calcul de la frontière des
portefeuilles efficients résultat : sélection du portefeuille
optimal sur la frontière
Conséquences Conséquence de la structure des modèles des prévisions sont nécessaires sur les
rendements moyens, les volatilités, les corrélations futurs.
en général, les optimisateurs utilisent soit les variables historiques, soit permettent de créer ses propres prévisions.
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
Les valeurs historiques comme prévisions Justification : stationnarité
(présumée) des rendements littérature sur la marche aléatoire des rendements et des prix
Avantage : simplicité Inconvénient : la structure des
portefeuilles efficients
Un exemple Source : Zephyr Allocation Advisor Données 1986-1995
Leçons des simulations sur données historiques :
les portefeuilles sont très concentrés;
les allocations sont très sensibles aux prévisions.
Les alternatives Les méthodes de resampling
(rééchantillonages) Les approches bayésiennes dont Le modèle de Black & Litterman
(1992) est un cas particulier.
Le resampling Une technique Monte Carlo pour
estimer les inputs de l’optimisation moyenne variance et éventuellement la frontière.
Elle conduit à des portefeuilles diversifiés.
Elle est une technique brevetée par Richard Michaud depuis 1999.
La procédure Estimation du rendement, des écart-
types et des corrélations. Nouvelles simulations calibrées sur les
statistiques précédentes conduisant à de nouvelles estimations.
Estimations des portefeuilles efficients correspondants à ces nouvelles estimations et pour différents niveaux de volatilité.
La procédure (suite) Répétition de 2 et 3 (>1000 simulations) Calcul de l’allocation moyenne ainsi obtenu
et estimation du rendement moyen pour chaque niveau de volatilité.
Détermination de la « frontière rééchantillonnée » à l’aide du portefeuille moyen et des statistiques initiales.
Critique du resampling Critiques de Scherer (2002): les portefeuilles obtenus subissent les
erreurs d’estimation initiales. L’absence de théorie – pourquoi choisir
les « portefeuilles rééchantillonnées ». la frontière obtenue peut comporter
des parties croissantes.
Critique du resampling (2) En l’absence d’opinions, le resampling
conduit à des écarts par rapport au benchmark et donc à une gestion active – mais pourquoi prendre un pari sans avoir de raisons ou d’opinions?
A la différence de B&L et des approches bayésiennes, il n’existe pas de cadre théorique permettant de mixer opinions et données
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
Le resampling peut conduire à de fortes variations aucours du temps.
Le modèle de B&L L’objectif : un cadre permettant de
mixer les informations issues des données et les opinions.
Les rendements implicites Un point de départ de Black &
Litterman : les rendements implicites (ou d’équilibre, du CAPM, le
consensus, etc.)
Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing
expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72
Deux approches pour déterminer le rendement implicite
le CAPM le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta
l’optimisation inverse (Sharpe (1974))
L’optimisation inverse Les conditions marginales (avec
actif sans risque)
Où est le portefeuille de marché
mktw mktw
L’optimisation inverse (suite)
Le coefficient d’aversion au risque
2B
fB rR
US Bonds $8,360,741,000,000 20.16%Global Bonds xUSD $11,583,275,710,000 27.93%World Equity xUS $9,212,460,000,000 22.21%Emerging Equity $964,647,000,000 2.33%
US Large Cap Growth $5,217,844,438,500 12.58%US Large Cap Value $5,217,844,438,500 12.58%
US Small Cap Growth $459,897,061,500 1.11%US Small Cap Value $459,897,061,500 1.11%
Total $41,476,606,710,000 100.00%
Le portefeuille de marché
Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient.
Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.
Le modèle de Black & Litterman
Fischer Black & Robert Litterman « Global Portfolio Optimization », Financial Analysts Journal, September / October 1992, pp. 28-43
Robert Litterman and the Quantitative Resources Group, GS Asset Management Modern Investment Management : an equilibrium approach, John Wiley & Sons, 2003
Le problème de la prise en compte d’opinions différentes du consensus.
La solution de B&L : la combinaison des opinions et du consensus
Le mécanisme de B&L Évaluation des « rendements du
marché » par l’optimisation inverse Prise en compte des opinions : opinion absolue : « l’actif A aura un
rendement de x% » opinion relative : « l’actif A sur-
performera l’actif B par x points de % »
La formule de B&L La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé
au rendement d’équilibreP la matrice des opinions (KxJ)
définissant les actifs impliqués dans chaque opinion
la matrice de covariance des erreurs dans les opinions
Q le vecteur des opinions (Kx1)
La formule de B&L
PP
QPT
T
RE 11
11
)(
)(][
Un exemple (Idzorek)ImpliedEquilibriumReturn
Asset Class Historical CAPM GSMI Portfolio VectorUS Bonds 3.15% 0.02% 0.08% 0.08%Int’l Bonds 1.75% 0.18% 0.67% 0.67%US Large Growth -6.39% 5.57% 6.41% 6.41%US Large Value -2.86% 3.39% 4.08% 4.08%US Small Growth -6.75% 6.59% 7.43% 7.43%US Small Value -0.54% 3.16% 3.70% 3.70%Int’l Dev. Equity -6.75% 3.92% 4.80% 4.80%Int’l Emerg. Equity -5.26% 5.60% 6.60% 6.60%
Weighted Average -1.97% 2.41% 3.00% 3.00%Standard Deviation 3.73% 2.28% 2.53% 2.53%
High 3.15% 6.59% 7.43% 7.43%Low -6.75% 0.02% 0.08% 0.08%
CAPM
WeightBased on
Weight ImpliedWeight Based on Equilibrium MarketBased on CAPM GSMI Return Capitalization
Asset Class Historical wGSMI Vector WeightUS Bonds 1144.32% 21.33% 19.34% 19.34%Int’l Bonds -104.59% 5.19% 26.13% 26.13%US Large Growth 54.99% 10.80% 12.09% 12.09%US Large Value -5.29% 10.82% 12.09% 12.09%US Small Growth -60.52% 3.73% 1.34% 1.34%US Small Value 81.47% -0.49% 1.34% 1.34%Int’l Dev. Equity -104.36% 17.10% 24.18% 24.18%Int’l Emerg. Equity 14.59% 2.14% 3.49% 3.49%
High 1144.32% 21.33% 26.13% 26.13%Low -104.59% -0.49% 1.34% 1.34%
Un exemple 3 opinions : Intern’ Developped Equity va avoir un
rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%)
Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%)
US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)
Mise en oeuvre
321
225,025,5
Q
32
1
000000
La matrice de covariance des erreurs des opinions
La matrice de « participation »
Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)
P0 0 0 0 0 0 1 0
-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,5 -0,5 0,5 -0,5 0 0
Idzorek
0 0 0 0 0 0 1 0-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,9 -0,9 0,1 -0,1 0 0
Variances des « individual portfolio view »
%836,211 pp
%563,022 pp
%462,333 pp
et ? La solution de He & Litterman
(1999)
kkk pp /
Numériquement :
025,0
000866,0000000141,0000000709,0
New ImpliedCombined Equilibrium Difference MarketReturn Return New Capitalization Difference
Asset Class Vector Vector Weight WeightUS Bonds 0.07% 0.08% -0.02% 29.88% 19.34% 10.54%Int’l Bonds 0.50% 0.67% -0.17% 15.59% 26.13% -10.54%US Large Growth 6.50% 6.41% 0.08% 9.35% 12.09% -2.73%US Large Value 4.32% 4.08% 0.24% 14.82% 12.09% 2.73%US Small Growth 7.59% 7.43% 0.16% 1.04% 1.34% -0.30%US Small Value 3.94% 3.70% 0.23% 1.65% 1.34% 0.30%Int’l Dev. Equity 4.93% 4.80% 0.13% 27.81% 24.18% 3.63%Int’l Emerg. Equity 6.84% 6.60% 0.24% 3.49% 3.49% 0.00%
Sum 103.63% 100.00% 3.63%
Propriété de BL:La déformation du portefeuille induit
par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite)
Exemple de l’opinion 3
ImpliedEquilibrium
Market Return WeightedCapitalizationRelative Vector Excess
Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Growth $5,174 90.00% 6.41% 5.77%US Small Growth $575 10.00% 7.43% 0.74%
$5,749 100.00% Total 6.52%
Opinon 3 : actifs sur-performants
ImpliedEquilibrium
Market Return WeightedCapitalization Relative Vector Excess
Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Value $5,174 90.00% 4.08% 3.67%US Small Value $575 10.00% 3.70% 0.37%
$5,749 100.00% Total 4.04%
Opinon 3 : actifs sur-performants
Un exemple Mêmes données que
précédemment L’opinion : US Equity sur-
performera World Equity par 150 pts
Avec une confiance de 75%
