Lerch & Grossman

Universidad de Santiago de ChileFacultad de IngenieríaDepartamento de Ingeniería en Minas

“Diseño pit final mediante algoritmo:

Lerchs & Grossman”

Diseño y Planeamiento Minero Santiago, 5 de Marzo de 2011

Integrantes: Daniel Núñez Z.Miguel Vásquez Z.

Profesor: Eduardo Contreras

Diseño y Planeamiento Minero

Índice- Algoritmo Lerchs & Grossman

(2D).

- Algoritmo 2 ½D (Johnson & Sharp).

- Ventajas y Desventajas.

- Ejemplos prácticos.


Algoritmo Lerchs & GrossmanAlgoritmo de programación dinámica que

permite determinar la configuración óptima de bloques, previamente valorizados en una sección transversal.

El algoritmo trabaja con un modelo de bloques de un cuerpo mineralizado y de sus alrededores, y determina qué bloques deberían ser extraídos para obtener el máximo valor económico del rajo. De esta forma, este conjunto de bloques extraídos define el diseño óptimo del rajo final.


Ejemplo Práctico

i/j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

2 -1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1

3 -1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1

4 -1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2

5 -2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1

Paso1:

A partir de un modelo de bloques entregado, se representan secciones transversales con los beneficios económicos (Bij) que reportará cada bloque al explotarlo.


Paso 2:

Se construye la matriz de beneficios acumulados sumando los valores por columna y de arriba hacia abajo. Cada valor acumulado es designado por Mij.

1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

-1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1

-1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2

-2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1

0

-1

-2

-4


1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

-1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1

-1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2

-2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1

1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

0 -3 -2 0 -3 11 -2 -2 7 -2

-1 -4 4 -4 4 9 -5 -3 6 -3

-2 -5 3 -16 2 17 -6 -4 5 -5

-4 -6 1 -19 15 16 -9 -5 3 -6


Paso 3:

A continuación: Pij = Max ( pr, j-1) + Mij

Donde:

Pij = Corresponde al valor del coeficiente (i,j) de la nueva matriz.

Max (Pr , j-1 ) = con r = -1, 0, 1 representa el máximo valor entre los coeficientes a la izquierda arriba, a la izquierda y a la izquierda abajo del coeficiente (i,j) de Lerchs & Grossman que se evalúa.

Mij = Corresponde al coeficiente (i,j) de Lerch & Grossman que se está evaluando.


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

0 0 -3 -2 0 -3 11 -2 -2 7 -2

0 -1 -4 4 -4 4 9 -5 -3 6 -3

0 -2 -5 3 -16 2 17 -6 -4 5 -5

0 -4 -6 1 -19 15 16 -9 -5 3 -6

-1

-6

Se agrega una columna y una fila con valores 0, para poder aplicar el algoritmo.


0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -1 0 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

0 0 -2 -3 0 -3 11 -2 -2 7 -2

0 -1 -4 2 -4 4 9 -5 -3 6 -3

0 -2 -6 -1 -16 2 17 -6 -4 5 -5

0 -4 -8 -5 -19 15 16 -9 -5 3 -6

Los números en azul, son los bloques antes del paso n°4.

-2


Paso 4: Se construye la nueva matriz con las flechas

correspondientes.

0 0 1 1 1 3 3 3 16 16 20

0 1 -1 0 3 1 2 16 15 20 22

0 0 -2 -3 2 0 17 15 16 23 21

0 -1 -4 2 -2 6 15 18 15 22 20

0 -2 -6 -1 -14 0 23 17 14 20 17

0 -4 -8 -5 -20 1 17 14 12 17 14


Paso 5:

Busque el valor máximo de la última columna . Este es el beneficio máximo del pit óptimo.

0 0 1 1 1 3 3 3 16 16 20

0 1 -1 0 3 1 2 16 15 20 22

0 0 -2 -3 2 0 17 15 16 23 21

0 -1 -4 2 -2 6 15 18 15 22 20

0 -2 -6 -1 -14 0 23 17 14 20 17

0 -4 -8 -5 -20 1 17 14 12 17 14


Aplicando al modelo inicial.

1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1

-1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1

-1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2

-2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1

Beneficio: 1 – 2 – 1 – 1 + 6 + 2 – 2 – 2 – 1 + 7 – 1 + 12 – 2 + 8 – 1 – 1 – 3 – 1 – 1 + 4 + 3 – 1 = 22


VentajasEl método elimina el proceso de prueba

y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones.

La metodología es fácil de programar y es confiable en lo que hace.

Es matemáticamente exacto.El método entrega un óptimo

garantizado, es decir, no existe otra combinación de bloques que entregue mayor beneficio.


DesventajasSu mayor problema es la complejidad para

suavizar el fondo de la explotación.Trabaja solo en 2 dimensiones (sección

transversal).Como el método trabaja en 2 dimensiones de

forma independiente, no hay ninguna seguridad de que una sección presente un diseño compatible, geométricamente, con la siguiente.

Dificultad para incorporar cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque.

El ángulo de talud utilizado es de 45°, supone bloques iguales en altura y ancho.


Evolución del método

-Helmut Lerchs e Año 1965

Ingo F. Grossman Optimización de rajos.Trabaja en una sección simple a la vez.

-Johnson, Sharp. Año 1971 Trabaja a lo largo de las secciones como a través de éstas en un intento por unirlas.

-Koenigsberg Año 1982

Trabaja en ambas direcciones al mismo tiempo.


Lerchs and Grossman 2 ½ D

Es una mejora del método en 2D y fue propuesto por Johnson y Sharp en 1971.

Añade “parcialmente” una tridimensionalidad.

El algoritmo utiliza el concepto de bloque, para modelar el yacimiento.


Lerchs and Grossman 2 ½ D

Se debe dividir en distintas secciones o tajadas el bloque a analizar.

Cada una de estos colores representa una sección de análisis.

Secciones


Ejemplo Práctico

Secciones

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5

-9 -9 3 4 3 -9 -9

-8 -8 5 5 5 -9 -9

-9 -9 -9 4 4 -9 -9

-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5

-7

-7

-9

-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9

-4

-1

-1

-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9

-8

-7

-2


Ejemplo Práctico PIT2 -3 1 -7

-1

0

3

-10

-2

-5

5

7

-1

0

-7

-13

-1

-5

-19

-44

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5

-9 -9 3 4 3 -9 -9

-8 -8 5 5 5 -9 -9

-9 -9 -9 4 4 -9 -9

-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5

-8 -2 4 5 4 -3 -7

-9 -9 3 12 7 -7 -7

-9 -9 -9 7 7 5 -9

-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9

-6 -5 1 5 1 -5 -4

-9 -9 4 5 9 -2 -1

-4 -1 -2 9 3 -2 -1

-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9

-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8

-9 -5 1 3 1 -7 -7

-2 2 1 1 2 1 -2

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5

-9 -9 3 4 3 -9 -9

-8 -8 5 5 5 -9 -9

-9 -9 -9 4 4 -9 -9

-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5

-8 -2 4 5 4 -3 -7

-9 -9 3 12 7 -7 -7

-9 -9 -9 7 7 5 -9

-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9

-6 -5 1 5 1 -5 -4

-9 -9 4 5 9 -2 -1

-4 -1 -2 9 3 -2 -1

-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9

-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8

-9 -5 1 3 1 -7 -7

-2 2 1 1 2 1 -2

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5

-9 -9 3 4 3 -9 -9

-8 -8 5 5 5 -9 -9

-9 -9 -9 4 4 -9 -9

-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5

-8 -2 4 5 4 -3 -7

-9 -9 3 12 7 -7 -7

-9 -9 -9 7 7 5 -9

-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9

-6 -5 1 5 1 -5 -4

-9 -9 4 5 9 -2 -1

-4 -1 -2 9 3 -2 -1

-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9

-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8

-9 -5 1 3 1 -7 -7

-2 2 1 1 2 1 -2

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5

-9 -9 3 4 3 -9 -9

-8 -8 5 5 5 -9 -9

-9 -9 -9 4 4 -9 -9

-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5

-8 -2 4 5 4 -3 -7

-9 -9 3 12 7 -7 -7

-9 -9 -9 7 7 5 -9

-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9

-6 -5 1 5 1 -5 -4

-9 -9 4 5 9 -2 -1

-4 -1 -2 9 3 -2 -1

-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9

-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8

-9 -5 1 3 1 -7 -7

-2 2 1 1 2 1 -2


Ejemplo Práctico

2

-3

1

-7

-1

0

3

-10

-2

-5

5

7

-1

0

-7

-13

-1

-5

-19

-44

Sección 1

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9

-3 -4 -2 1 1 -6 -9

-6 -8 -1 -3 3 -5 -9

-8 -8 6 12 6 -9 -9

-8 -8 -8 5 3 -9 -9


Ejemplo Práctico

2 -1 -2 -1 -1-3 0 -5 0 -51 3 5 -7 -19-7 -10 7 -13 -44

El valor neto se obtiene sumando los valores de bloque presentes a lo largo

del contorno final.Valor de la corta = 2 + 0 + 5 + 0 + (-

1) = 6


Ejemplo Práctico

-1 -1-2-2

-5

12

5 44

-5 -4 -2 -4 -5

4

-2 -1 -11 1

1 1-2

-8

12

44

-5 -5


VentajasEs matemáticamente exacto.Algoritmo “relativamente” fácil

de programar.Fácil de aplicar y rápido

procesamiento, dependiendo de la cantidad de bloques y capacidad computacional.


DesventajasDificultad para incorporar

cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque, incluso cuando los bloques son cúbicos no siempre se obtienen ángulos de 45°

Notable esfuerzo para suavizar el fondo de la explotación

No entrega el resultado más “óptimo”.


GRACIAS…

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