LEZIONE 36

36.1. La definizione di superficie.In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti

ad esse naturalmente associati.Come gia fatto per le curve, considereremo lo spazio S3 con un fissato sistema di

riferimento O~ı~~k e la sua usuale identificazione con R3.

Definizione 36.1.1. Sia D ⊆ R2 un aperto. Ogni funzione f :D → R3 viene dettasuperficie parametrizzata.

Un insieme di punti S ⊆ R3 si dice superficie se e l’immagine di una superficie para-metrizzata (cioe di una funzione) continua f :D → R3. La funzione f e anche dettarappresentazione parametrica o parametrizzazione di S.

Si noti che una parametrizzazione di una superficie C puo essere visto come un modoper definire un “sistema di coordinate” sulla superficie. Infatti si considerino per ogni(u0, v0) ∈ D le porzioni di rette xu0 = { (u0, y) ∈ D } e yv0 = { (x, v0) ∈ D }. Abbiamoallora due famiglie di curve parametrizzate su S le curve parametrizzate

f|xu0:xu0 −→ Xu0 ⊆ S ⊆ R3

t −→ f|xu0(t) = f(u0, t),

f|yv0: yv0 −→ Yv0 ⊆ S ⊆ R3

t −→ f|xv0(t) = f(t, v0).

Le curve Xu0 e Yv0 ricoprono completamente la superficie S nel senso che per ogni suopunto passa una curva di ognuno dei due tipi: chiameremo tali curve curve coordinate.

Si noti, pero, che tali curve potrebbero non essere uniche: cio accade, per esempio, sela parametrizzazione di S non e iniettiva. Anche per questo (ma non solo) si introduce ladefinizione di superficie regolare.

Definizione 36.1.2. Una superficie parametrizzata f :D → R3 si dice regolare se einiettiva, f ∈ C1(D,R3) e se

rk(Jf(u0,v0)) = 2

per ogni (u0, v0) ∈ D.Una superficie S ⊆ R3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare.

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1

2 36.2. IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E)

Si ricordi che, indicate con fx, fy, fz le funzioni componenti di f , si ha

Jf(u0,v0) =

∂fx

∂u (u0, v0) ∂fx

∂v (u0, v0)∂fy

∂u (u0, v0) ∂fy

∂v (u0, v0)∂fy

∂u (u0, v0) ∂fy

∂v (u0, v0)

.

Si noti inoltre che

df|xu0

dt(v0) =

∂f

∂v(u0, v0),

df|yu0

dt(u0) =

∂f

∂u(u0, v0).

Sia g = (gu, gv): I → D ⊆ R2 una curva parametrizzata di classe C1 tale che g(t0) =(u0, v0). Allora F = f ◦g: I → C ⊆ R3 e una curva parametrizzata contenuta in S e risulta

dF

dt(t0) =

∂f

∂u(u0, v0)

dgu

dt(t0) +

∂f

∂v(u0, v0)

dgv

dt(t0).

Se sia g che f sono regolari, allora tale risulta F : infatti ∂f∂u (u0, v0) e ∂f

∂v (u0, v0) sonolinearmente indipendenti, dunque

dF

dt(t0) =

∂f

∂u(u0, v0)

dgu

dt(t0) +

∂f

∂v(u0, v0)

dgv

dt(t0) 6= 0.

Ritorneremo sulla nozione di superficie regolare e, in particolare, sul significato dellacondizione sul rango della jacobiana nelle prossime lezioni

36.2. Il piano e la sfera come primi esempi di superfici(e).I primi esempi di superfici parametrizzate sono il piano e la sfera che descriveremo in

questo paragrafo.

36.2.1. Il piano. Sia α ⊆ R3 un piano. Tale piano e sempre parallelo ad un’unicopiano passante per l’origine α′ e rimane completamente individuata da essa e da un puntoqualsiasi A ∈ α.

x

y

z

O

α'

α

A

q

p

Figura 36.1

LEZIONE 36 3

Quindi per descrivere α e necessario descrivere α′. Siano ~p e ~q due vettori contenuti inα′ e non paralleli: allora la Proposizione 6.3.10 assicura che P ′ ∈ α′ se e solo se esistonou, v ∈ R tali che ~OP ′ = u~q + v ~w.

Sia ora P ∈ α. Allora per definizione P−A = ~OP− ~OA: segue che ~OP = ~OA+(P−A).Poiche P − A e parallelo al segmento PA, dunque a α, esso e contenuto in α′, quindiesistono, per quanto osservato sopra, u, v ∈ R tali che P −A = u~p+ v~q. Mettendo assiemequanto visto segue che P ∈ S3 giace su α se e solo se

(36.2.1.2) ~OP = ~OA+ u~p+ v~q,

per un qualche u, v ∈ R (si veda Figura 36.2).

x

y

z

O

α'

α

A

q

p

P

P-A

Figura 36.2

Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in R3. Allora A = (xA, yA, zA), sicche ~OA =xA~ı + yA~ + zA

~k , ~p = px~ı + py~ + pz~k , ~q = qx~ı + qy~ + qz~k : indicando con (x, y, z) le

coordinate del punto generico P ∈ R3 si ha ~OP = x~ı +y~ +z~k , dunque l’Equazione (8.2.2)diviene

x~ı + y~ + z~k = xA~ı + yA~ + zA~k + u(px~ı + py~ + pz

~k ) + v(qx~ı + qy~ + qz~k ), u, v ∈ R

o, eguagliando le componenti dei due vettori lungo gli assi coordinati,

(36.2.1.4)

x = xA + pxu+ qxv

y = yA + pyu+ qyv

z = zA + pzu+ qzv.

Le Equazioni (8.2.4) vengono spesso chiamate equazioni parametriche del piano α passante

per A = (xA, yA, zA) e parallelo ai vettori ~p = px~ı + py~ + pz~k , ~q = qx~ı + qy~ + qz~k .

In particolare il piano α e immagine della funzione

f : R2 −→ R3

(u, v) −→ (xA + pxu+ qxv, yA + pyu+ qyv, zA + pzu+ qzv).

4 36.2. IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E)

Si verifichi, per esercizio, che tale funzione e iniettiva (questo dipende dal fatto che ~p 6 ‖~q).Inoltre e evidente che f ∈ C1(R2,R3). Infine

Jf(u0,v0) =

px qxpy qypz qz

che ha rango 2 (sempre perche ~p 6 ‖~q). Abbiamo percio verificato che ogni piano in R3 euna superficie regolare.

Esempio 36.2.1.5. Siano dati il punto A = (1, 2, 3) ed i vettori ~p = 2~ı−3~k , ~q =~ı+~+~k .I vettori ~p e ~q non sono paralleli, quindi i dati individuano un piano α le cui equazioniparametriche sono date da

(36.2.1.5.1)

x = 1 + 2u+ v

y = 2 + v

z = 3− 3u+ v.

Si noti che la retta r di equazioni parametrichex = 1 + 2ty = 2z = 3− 3t,

e contenuta in α: infatti i suoi punti si ottengono ponendo u = t e v = 0 nelle Equazioni(36.2.1.5.1)

Viceversa dati numeri reali fissati xA, yA, zA, px, py, pz, qx, qy, qz, si considerino il luogoα dei punti P = (x, y, z) dello spazio le cui coordinate sono della forma

x = xA + pxu+ qxv

y = yA + pyu+ qyv

z = zA + pzu+ qzv.

al variare di u, v ∈ R. Allora, procedendo come nel caso della retta, e facile verificareche tale luogo e il piano α passante per il punto A = (xA, yA, zA) e parallelo ai vettori~p = px~ı + py~ + pz

~k , ~q = qx~ı + qy~ + qz~k .E noto dalla geometria euclidea che un altro modo per descrivere un piano α e quello

di dare tre suoi punti A, B e C non allineati. In tal caso ci si puo ricondurre al casoprecedente. Infatti un punto, per esempio A, l’abbiamo: per costruire due vettori parallelia α basta considerare B − A e C − A. Se, rispetto al sistema di riferimento O~ı~~k fissatoin S3, A = (xA, yA, zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) allora B − A = (xB −xA)~ı + (yB − yA)~ + (zB − zA)~k e C − A = (xC − xA)~ı + (yC − yA)~ + (zC − zA)~k

LEZIONE 36 5

sicche sostituendo nell’Equazione (8.2.4) otteniamo le equazioni parametriche del piano αpassante per A = (xA, yA, zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC)

(36.2.1.6)

x = xA + (xB − xA)u+ (xC − xA)vy = yA + (yB − yA)u+ (yC − yA)vz = zA + (zB − zA)u+ (zC − zA)v.

o anche x = (1− u− v)xA + uxB + vxC

y = (1− u− v)yA + uyB + vyC

z = (1− u− v)zA + uzB + vzC

(talvolta si scrive sinteticamente P = (1− u− v)A+ uB + vC).Se poi vogliamo descrivere le coordinate dei punti del triangolo ∆ABC e sufficiente che

ci limitiamo a considerare i punti le cui coordinate si possono esprimere tramite la Formula(8.2.6) con u, v ∈ [0, 1] e u+ v ≤ 1, cioe P = (x, y, z) ∈ ∆ABC se e solo se

x = (1− u− v)xA + uxB + vxC

y = (1− u− v)yA + uyB + vyC

z = (1− u− v)zA + uzB + vzC

u, v, u+ v ∈ [0, 1],

o, equivalentemente, sex = λxA + µxB + νxC

y = λyA + µyB + νyC

z = λzA + µzB + νzC

λ, µ, ν ≥ 0, λ+ µ+ ν = 1.

Esempio 36.2.1.7. Siano dati i puntiA = (1, 2,−3), B = (2, 1, 1), C = (2, 2, 2): chia-ramente A 6= B, quindi esiste unico un piano α contenente A, Be C le cui equazioniparametriche si ottengono utilizzando la Formula 36.2.1.6

x = 1 + u+ v

y = 2− uz = −3 + 4u+ 5v.

36.2.2. La sfera. Sia S ⊆ R3 la sfera di centro l’origine O = (0, 0, 0) e raggio % >0. Allora sappiamo che i punti P = (x, y, z) ∈ S sono tutti e soli quelli soddisfacentil’equazione

x2 + y2 + z2 = %2.

Sia Pxy la proiezione ortogonale del punto P sul piano xy. Indichiamo con v l’angoloformato dai vettori ~OP e ~OPxy (quindi π/2 − v e l’angolo fra ~OP e ~k ) e con u l’angoloformato da ~ı e ~OPxy.

6 36.2. IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E)

O y

z

S

x

Pρ

u

v

Pxy

Figura 36.3

ChiaramenteP = (% cosu cos v, % sinu cos v, % sin v).

In particolare S e immagine dell’applicazione

f : R2 −→ R3

(u, v) −→ (% cosu cos v, % sinu cos v, % sin v).

Se pensiamo alla sfera come superficie di un pianeta che ruota intorno all’asse z, allora iparametri u e v rappresentano rispettivamente la longitudine (distanza dal meridiano diriferimento) e la latitudine (distanza dal piano equatoriale cioe dal piano xy) del punto P .

Tale funzione e C1 e

Jf(u0,v0) = %

− sinu0 cos v0 − cosu0 sin v0cosu0 cos v0 − sinu0 sin v0

0 cos v0

.

Chiaramente, se v0 6= π/2 + kπ, k ∈ Z, tale matrice ha rango 2. Se, invece v0 6= π/2 + kπ,k ∈ Z, risulta rk(Jf(u0,v0)) = 1. Ovviamente f non e iniettiva. Siano

D = { (u, v) ∈ R2 | u ∈]0, 2π[, v ∈]− π/2, π/2[ }.

Allora e facile vedere che la restrizione di f a D e iniettiva, ma non suriettiva: infatti i puntiche si possono ottenere in questo modo sono tutti e soli quelli che non giacciono nel piano xz(cioe quelli del meridiano di riferimento G = { (u, v) ∈ R2 | u = 0, 2π, v ∈]− π/2, π/2 }).

Deduciamo, da quanto visto, che S e una superficie regolare in tutti i punti di S \{ y =0 }. In realta, cambiando la parametrizzazione (per esempio considerando u ∈] − π, π[)e facile vedere che anche i punti di S ∩ { y = 0 } possono essere considerati regolari adeccezione di (0, 0, 1) e (0, 0,−1) (cioe dei poli, ovvero dei punti intersezione dell’asse dirotazione della sfera con la sfera stessa). Per tener conto anche di questi punti bisognacambiare ancora parametrizzazione (per esempio scegliendo v ∈]0, π[ o v ∈]− π, 0[).

LEZIONE 36 7

Osservazione 36.2.2.1. Si consideri ora l’ellissoide S di semiassi a, b, c > 0. Tale ellissoidee il luogo dei punti P = (x, y, z) soddisfacenti l’equazione

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Ragionando in maniera analoga a quanto fatto nell’esempio precedente osserviamo che Se immagine dell’applicazione

f : R2 −→ R3

(u, v) −→ (a cosu cos v, b sinu cos v, c sin v).