Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen

Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen

Beispiel 1Beispiel 1Ein Angestellter kostet 7.500 Euro Lohn/MonatWie hoch sind die Lohnkosten für 5 Angestellte? ==> 5 · 7.500 Euro = 37.500 Euro

Lineare Zusammenhänge sind in der Wirtschaft sehr häufig anzutreffen.


Beispiel 2Beispiel 2Für die Produktion eines Bauteiles muß eine Maschine 36 Sekunden laufen.Wie lange ist die Laufzeit bei der Produktion von 1000 Bauteilen?==> 1.000 · 36 Sekunden = 36.000 Sekunden = 10 StundenOder - etwas komplizierter:Wieviel Bauteile können auf 10 Maschinen in 8 Arbeitsstunden produziert werden? 10 (Maschinen)·8 (Stunden/Maschine)· 3600 (Sekunden/Stunde)

36 (Sekunden/Bauteil)

= 8000 (Bauteile)

Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenMatrizen: Einführendes Beispiel

Gegeben sei der folgende Sachverhalt:

Ein Betrieb produziert 3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2. Produkt P1 muss 1 h auf Maschine M1 und 2 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P2 muss 3 h auf Maschine M1 und 1 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P3 muss 1,5 h auf Maschine M1 und nicht auf Maschine M2 laufen.

Aufgabe: Schreiben Sie diesen Sachverhalt übersichtlich auf!


Ein Betrieb produziert3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2.

Die Laufzeiten (in Stunden) entnehme man folgender Tabelle:

Maschine 1 Maschine 2Produkt 1 1 2Produkt 2 3 1Produkt 3 1,5 0


Die Maschinenlaufzeiten sind also in einer Tabelle zusam-mengefasst. Entfernt man die Beschriftung, so sieht die Tabelle wie folgt aus:

1 23 1

1,5 0Ein solches, rechteckiges Zahlenschema nennen wir in der Mathematik eine Matrix. Es wird dabei etwas anders hingeschrieben.

05,1

13

21


Wenn wir mit Matrizen in der Anwendung hantieren, dürfen wir die Herkunft (die “Beschriftung”) nicht vergessen, da sie uns angibt, was die Zahlen in der Matrix zu bedeuten haben.

05,1

13

21

Eine Matrix ohne Interpretation ist nichtssagend!


05,1

13

21

Jeder Spalte stehtfür eine Maschine!(Es gibt 2 Maschinen)

Jeder Zeile stehtfür ein Produkt!(Es gibt 3 Produkte)

Die Einträge geben dieMaschinenlaufzeitender Produkte an!

Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenWichtige Eigenschaften einer Matrix

05,1

13

21

Spaltenanzahl (hier 2)

Zeilenanzahl(hier 3)

Wertebereich der Einträge(auch Koeffizienten genannt)(hier: nicht-negative Zahlen)

Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenDefinition einer Matrix

Das rechteckige Zahlenschema

heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten, oder m × n Matrix (Mehrzahl: Matrizen)Die Zahlen in dem Schema heißen Einträge, Elemente oder Koeffizienten der Matrix.

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenBeispiele für Matrizen

12307

02002

33041ist eine 3 ×5 Matrix mit nicht-negativen, ganzen Zahlen

6538 ist eine 1 × 4 Matrixmit positiven, ganzen Zahlen

42 ist eine 1 × 1 Matrix

Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenSpezielle Matrizen: Vektoren

Definition: Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte wird auch Vektor genannt.

ist ein Zeilenvektor mit 5 Komponenten

3

2

0

1

ist ein Spaltenvektor mit 4 Komponenten

(0,5 3 2 1,1 -2)


Beispiele

Beispiel 1Beispiel 1Die folgende Matrix gebe für 2 Abteilungen einer Firma an, wieviel Arbeiter, Angestellte und Manager dort beschäftigt sind:

Abteilung 1

Abteilung 2

31435

21220

Arbeiter Angestellte Manager

Die Einträge der Matrix müssen positive, ganze Zahlen sein! Es gibt weder halbe, noch negative Arbeiter!

Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden!


Beispiele

Beispiel 2Beispiel 2Die folgende Matrix gebe für 2 Produkte einer Firma an, wie diese prozentual aus 3 Rohstoffen zusammengesetzt sind

5%85%10%

20%30%50%Produkt 1

Produkt 2

Rohstoff 1 Rohstoff 2 Rohstoff 3

Die Einträge der Matrix müssen Prozentwerte zwischen 0% und 100% sein! Ein Produkt kann nicht aus 150% eines Rohstoffs bestehen.


Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenBeispiele

Beispiel 3Beispiel 3Die folgende Matrix gebe für 2 Firmen, wieviel Gewinn oder Verlust sie in drei Geschäftsjahren gemacht haben (in Mio. DM):

Firma 1

Firma 2

18,622,920,8

1,248,811,5

1994 1995 1996

Die Einträge der Matrix sind beliebige reelle Zahlen, positiv oder negativ! Verluste/Gewinne können beliebige Werte annehmen!



Besondere Matrizen

Definition 3Definition 3Eine quadratische Matrix, in der alle Einträge auf der Hauptdiagonale Eins sind und alle anderen Einträge Null, heißt Einheitsmatrix

1000

0100

0010

0001

Die Einheitsmatrix


Besondere Matrizen

Definition 4Definition 4Eine Matrix, in der alle Einträge außer der Hauptdiagonale Null sind, heißt Diagonalmatrix

Die Diagonalmatrix

0000

8000

0700

0060

0004


Besondere Matrizen

Definition 5Definition 5Eine Matrix, in der alle Einträge Null sind, heißt Nullmatrix.

Die Nullmatrix

0000

0000

0000

0000

0000


Besondere Matrizen

Drei Automobilfirmen werden von 6 Zulieferern mit Bauteilen beliefert. Die folgende Matrix gibt an, wieviel die Autofirmen an die Zulieferer pro Quartal zahlen:

12003004468652310031005

75224010235702315002350

352120598881238001234Autofirma 1

Autofirma 2

Autofirma 3

Zulieferer1

Zulieferer2

Zulieferer3

Zulieferer4

Zulieferer5

Zulieferer6

Frage: Wie sieht die Matrix aus, die beschreibt, wieviel die Zulieferfirmen von den Autofirmen erhalten?

“Autofirma 1 zahlt pro Quartal 120 TDM an Zulieferer 5”“Zulieferer 5 erhält pro Quartal 120 TDM von Autofirma 1”


Besondere Matrizen

Die Matrix aus Sicht der Autofirmen(“Wieviel zahlen wir an die Zulieferer?”)

12003004468652310031005

75224010235702315002350

352120598881238001234Autofirma 1

Autofirma 2

Autofirma 3

Zulieferer1

Zulieferer2

Zulieferer3

Zulieferer4

Zulieferer5

Zulieferer6


Besondere Matrizen

Die Matrix aus Sicht der Zulieferer(“Wieviel bekommen wir von den Autofirmen?”)

Zulieferer 1

Zulieferer 2

Zulieferer 3

Zulieferer 4

Zulieferer 5

Zulieferer 6

Autofirma1

Autofirma2

Autofirma3

1200752352

300240120

4468102355988

652370238123

10031500800

100523501234


Besondere Matrizen

12003004468652310031005

75224010235702315002350

352120598881238001234Autofirma 1

Autofirma 2

Autofirma 3

Zulieferer1

Zulieferer2

Zulieferer3

Zulieferer4

Zulieferer5

Zulieferer6

Die Matrix wird durch “Kippen” zu folgender Matrix:


Besondere Matrizen

Zulieferer 1

Zulieferer 2

Zulieferer 3

Zulieferer 4

Zulieferer 5

Zulieferer 6

Autofirma1

Autofirma2

Autofirma3

1200752352

300240120

4468102355988

652370238123

10031500800

100523501234

“Aus Zeilen werden Spalten, aus Spalten werden Zeilen.”


Besondere Matrizen

Definition Definition Die Matrix, die entsteht, wenn wir in einer gegebenen Matrix A die Zeilen als Spalten (bzw. die Spalten als Zeilen) schreiben, heißt die transponierte Matrix AT.

Die transponierte Matrix

Beispiel Beispiel Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus?

87

65

43

21

A

8642

7531A T


Besondere Matrizen Die transponierte Matrix

87

65

43

21

A

8642

7531A

T

Frage: Was erhält man, wenn man AT transponiert?

(A ) T T

87

65

43

21

AFeststellung Feststellung Für alle Matrizen A gilt:(AT)T = A

(Zweifaches Transponieren liefert die Ausgangsmatrix)


Besondere Matrizen Die transponierte Matrix

Frage: Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus?

873

720

301

A

873

720

301

TA

Man sieht: Es gilt A = AT

Definition Definition Ist eine Matrix A gleich ihrer transponierten Matrix AT , so heißt A eine symmetrische Matrix

Feststellung Feststellung Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein.


Erste Zusammenfassung

Um Zusammenhänge zwischen Komponenten übersichtlich aufzuschreiben, eignen sich Tabellen besonders gut.Beispiele dafür sind:- Laufzeiten von Produkten auf Maschinen- Lieferkosten von Anbietern zu Abnehmern- Entfernungen zwischen Produktionsstätten- Zusammensetzung von Produkten aus Rohstoffen- Kosten für verschiedene Posten in Abteilungen- usw.



Produkte setzen sich auf Rohstoffen zusammen:Eine Firma stellt 3 Produkte her: Gummibärchen, Schokolade und Hustenbonbons. In der folgenden Tabelle ist angegeben, wie sich die Produkte prozentual aus den Rohstoffen Zucker, Fett, Gelatine und Zusatzstoffen zusammensetzen:

Zucker Fett Gelatine ZusätzeGummibären 40% 5% 50% 5%Schokolade 40% 50% 0% 10%Hustenbonbons 90% 0% 5% 5%



•Die mathematische “Modellierung” einer Tabelle ist die Matrix (Plural: Matrizen)•Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, die Zahlen in der Matrix heißen Einträge•Matrizen werden beschrieben durch: - Anzahl Zeilen - Anzahl Spalten - Art der Einträge (reelle Zahlen, ganze Zahlen, positive Zahlen, etc.)

•Matrizen mit nur einer Zeile bzw. Spalte heißen auch Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren.



•Die Einträge werden durch ihre Zeilen- und Spaltennummer identifiziert (auch Zeilen- und Spaltenindex genannt)•Die Einträge mit gleichen Zeilen- und Spaltenindex bilden die Hauptdiagonale einer Matrix•Spezielle Matrizenformen sind: - Quadratische Matrizen - Diagonalmatrizen - Einheitsmatrix - Nullmatrizen


Rechnen mit Matrizen

3 Betriebe beliefern 4 Abnehmer mit jeweils dem gleichen Produkt. Die Lieferungen im ersten Halbjahr (in t) seien in der folgenden Matrix L1 gegeben:

100100700800

900650650500

4002001000

1L

Die Lieferungen im zweiten Halbjahr seien in der Matrix L2 gegeben:

200200700800

300250250400

300300200100

2L

Addieren und Subtrahieren



Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr?


100100700800

900650650500

4002001000

L1

200200700800

300250250400

300003200100

L 2

Lieferungen im 1. Halbjahr Lieferungen im 2. Halbjahr

+

L

? ? 500 ?

? ? ? ?

? ? ? ?G





100100700800

900650650500

4002001000

L1

200200700800

300250250400

300300200100

L2

Lieferungen im 1. Halbjahr Lieferungen im 2. Halbjahr

30030014001600

1200900900900

700500300100

LG

Lieferungen im ganzen Jahr!





30030014001600

1200900900900

700500300100

LG

Lieferungen im ganzen Jahr!

Die Matrix LG, die die Lieferungen für das ganze Jahr beschreibt, ist genauso groß, wie die Matrizen L1 und L2, die die Halbjahres-lieferungen beschreiben (alles 3 x 4 Matrizen).Die Einträge von LG ergeben sich als Summen der entsprechenden Einträge in L1 und L2.


Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren

2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben:

180025002000

100015001000MA

Der Lagerbestand am Ende des Monats sei durch ME gegeben:

500110200

1500120ME

Frage: Wieviel wurde im Laufe des Monats von den Lagerstätten ausgeliefert?



180025002000

100015001000MA

500110200

1500120M

E

???

850??ML

Bestand am Monatsanfang Bestand am Monatsende

Im Monat ausgelieferter Bestand?



180025002000

100015001000MA

500110200

1500120M

E

Bestand am MonatsanfangBestand am Monatsende

130023901800

8501500880ML

Die Matrix ML ist genauso groß, wie die Matrizen MA und ME (alles 2 x 3 Matrizen). Die Einträge von ML ergeben sich als Differenzen der entsprechenden Einträge in MA und ME.

Man schreibt: ML = MA - ME

Im Monat ausge-lieferter Bestand



2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben:

180025002000

100015001000MA

Der Lagerbestand für die Produkte 1 und 2 am Ende des Monats sei durch ME gegeben:

110200

0120ME



Frage: Können wir berechnen, wieviel von den Lagerstätten im Laufe des Monats ausgeliefert wurde?

Genauer: Können wir berechnen, wieviel Lagerstätte 1 von Produkt 3 ausgeliefert hat?

==> Nein!Frage: Warum nicht?

Antwort: In Matrix ME fehlen die Angaben für das Produkt 3 !

Allgemeiner: Die Matrizen MA und ME sind nicht gleich groß!

MA ist eine 2 x 3 Matrix, ME ist eine 2 x 2 Matrix!

Feststellung Feststellung Matrizen unterschiedlicher Größe können nicht addiert oder subtrahiert werden!



Definition 1Definition 1 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten:

nm,m,2m,1

n2,2,22,1

n1,1,21,1

aaa

aaa

aaa

A

nm,m,2m,1

n2,2,22,1

n1,1,21,1

bab

bbb

bbb

B

nm,nm,m,2m,2m,1m,1

n2,n2,2,22,22,12,1

n1,n1,1,21,21,11,1

bababa

bababa

bababa

:BA

Dann definiert sich die Summe A+B von A und B als



Definition 2Definition 2 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten:

nm,m,2m,1

n2,2,22,1

n1,1,21,1

aaa

aaa

aaa

A

nm,m,2m,1

n2,2,22,1

n1,1,21,1

bab

bbb

bbb

B

Dann definiert sich die Differenz A-B von A und B als

nm,nm,m,2m,2m,1m,1

n2,n2,2,22,22,12,1

n1,n1,1,21,21,11,1

bababa

bababa

bababa

:BA


Zusammenfassung Rechnen mit Matrizen

• Matrizen gleicher Größe (mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl) können addiert werden.• Man addiert Matrizen, indem man die Einträge komponentenweise addiert.• Für die Matrizenaddition gilt das Kommutativgesetz: A + B = B + A (Summanden dürfen vertauscht werden)• Für die Matrizenaddition gilt das Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) (Klammerung darf vertauscht werden)•Addition der Nullmatrix N verändert eine Matrix nicht: A + N = N + A = A (Die Nullmatrix ist „neutral“.)• Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition


Rechnen mit Matrizen Multipliaktion einer Matrix mit einer Zahl

Die folgende Matrix M gebe die monatlichen Budgets zweier Tochter-firmen für die Posten Personal, Sachmittel und Verbrauch (in TDM) an:

0,250,842,58

0,10,520,12M

Aufgabe: Wie hoch sind die Budgets pro Quartal?

Lösung: Das Quartal hat 3 Monate, also sind die Quartalsbudgets dreimal so hoch, wie die monatlichen Budgets. (Klar!)

0,2530,8342,583

0,130,5320,123MQuart

0,752,4127,74

0,31,560,36

= 3 ·M = 3 M


Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl

Sei A eine beliebige mxn Matrix und sei x eine beliebige Zahl.

n]A[m,A[m,2]A[m,1]

n]A[2,A[2,2]A[2,1]

n]A[1,A[1,2]A[1,1]

A

Werden alle Einträge von A mit x multipliziert, so sprechen wir von der Multiplikation der Matrix A mit dem Skalar x.Wir schreiben dafür xA:

n]A[m,xA[m,2]xA[m,1]x

n]A[2,xA[2,2]xA[2,1]x

n]A[1,xA[1,2]xA[1,1]x

Ax


Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl

Feststellung 1Feststellung 1Jede Matrix kann - unabhängig von ihrer Größe - mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden.

Feststellung 2Feststellung 2Bei der Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl) ist es egal, ob von links oder von rechts multipliziert wird. Für eine Matrix A und eine Zahl x gilt stets:

x A = A x (Kommutativgesetz)


Zusammenfassung Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalar)

• Eine Matrix A beliebiger Größe kann stets mit einer Zahl x (einem Skalar) multipliziert werden. Man schreibt x A• Man multipliziert Matrizen mit einem Skalar, indem man die Einträge komponentenweise mit dem Skalar multipliziert.• Es gilt das Kommutativgesetz: x A = A x (Matrix und Skalar dürfen vertauscht werden)• Es gilt das Assoziativgesetz: (x y) A = x (y A) (Klammerung darf vertauscht werden)• Es gilt das Distributivgesetz: x (A+B) = xA+ xB (Man darf ausmultiplizieren/ ausklammern)• Multiplikation mit 0 ergibt die Nullmatrix• Multiplikation mit 1 ergibt die Ausgangsmatrix: 1 A = A• Multiplikation mit -1 negiert die Einträge: (-1 A) = -A (Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition)


Multiplikation von Matrizen

Regalsystem

001

633

210

111

A

Modell

Korpus

Türen

Einlegeböden

Schubladensätze

2A 4A 6A

Modellmatrix

Ein Auftrag zur Lieferung der verschiedenen Schrankmodelle ist zu bearbeiten

Modell 2A 20 Stück

Modell 4A 40 Stück

Modell 6A 70 StückAufgabe: Berechnen Sie, wie viele Schrankelemente jeweils hergestellt werden müssen



RegalsystemModell 2A 20 Stück

Modell 4A 40 Stück

Modell 6A 70 StückKorpus 1*20+1*40+1*70 = 130Türen 0*20+1*40+2*70 = 180Einlegeböden 3*20+3*40+6*70 = 600Schubladensätze 1*20+0*40+0*60 = 20

20

600

180

130

70

40

20

001

633

210

111

bA

Beachte: Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Koordinaten von übereinstimmt

b

b



Regalsystem

001

633

210

111

A

Unter Verwendung der Modellmatrix A sollen folgende Kundenaufträge bearbeitet werden.

Kunde X Kunde Y

Modell 2A 10 40

Modell 4A 40 20

Modell 6A 50 10

Modellmatrix

1050

2040

4010

B

Auftragsmatrix

10*020*040*150*040*010*1

10*620*340*350*640*310*3

10*220*140*020*240*110*0

10*120*140*150*140*110*1

C

4010

240450

4080

70100



Definition: Ist A = (aij) eine l x m – Matrix und B = (bjk) eine m x n – Matrix, so ist das Produkt A B = C = (cik) eine l x n – Matrix.

Jedes Element cik der Produktmatrix C = (cik) berechnet man als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektor der Matrix B.

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

bbbb

bbbb

bbbb

lml3l2l1

2m232221

1m131211

aaaa

aaaa

aaaa

lnl3l2l1

2n232221

1n131211

cccc

cccc

cccc

B m x n-Matrix

A l x m -Matrix

c23 = a21b13+a22b23+..+a2mbm3

Die Produktmatrix C = A B Ist eine l x n Matrix



Achtung:

Man kann zu zwei Matrizen A und B nur das Produkt A B bilden, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A mit der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors B übereinstimmt.

Zur Durchführung der Multiplikation lese man die Matrix A zeilenweise und die Matrix B spaltenweise. Die Elemente des Produkts erhält man als Skalarprodukt der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B.


Matrizen in Mathematica

Matrizen werden in Mathematica als Listen dargestellt:

Matrix1={{1,3,4},{4,5,7},{3,4,5}}Matrix2={{4,2,3},{1,2,0},{1,9,4}}Dieses stellt jeweils eine 3x3 – Matrix dar.Um zwei Matrizen zu addieren, gibt man folgenden Befehl ein:Matrix1+Matrix2Man erhält als Darstellung wieder die Listendarstellung.Möchte man das Ergebnis in der gewohnten Matrixschreibweise erhalten, so genügt folgender Zusatz:Matrix1+Matrix2//MatrixForm



Um zwei Matrizen zu multiziplizieren, gibt man folgenden Befehl ein:Matrix1.Matrix2 (Dieses ist der einfache Punkt)Man erhält als Darstellung wieder die Listendarstellung.Möchte man das Ergebnis in der gewohnten Matrixschreibweise erhalten, so genügt folgender Zusatz:Matrix1.Matrix2//MatrixForm



Um die inverse Matriz zu bestimmen, gibt es den Befehl:

Inverse[Matrix1]//MatrixForm


Die Basis eines Vektorraumes

Wir betrachten den zweidimensionalen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen.

Jeder Vektor kann als Linearkombination zweier sog. Basisvektoren dargestellt werden.Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein. Die Anzahl der Basisvektoren hängt von der Dimension ab. Im zweidimensionalen Vektorraum benötigt man 2 Vektoren, im dreidimensionalen sind es dagegen 3.

Die Menge der Basisvektoren nennt man Basis

Besonders einfache Basisvektoren sind im R2 die folgenden:

,1

0,

0

1bb 21

Diese Basis nennt man auch die kanonische Basis.


Die Basis eines Vektorraumes

Wie sieht nun die Basisdarstellung eines bestimmten Vektors bzgl. der kanonischen Basis aus?

Folgender Vektor liegt vor:

Die Linearkombination bzgl. der kanonischen Basis sieht dann wie folgt aus:

5

7x

1

05

0

17x

y

xx

1

0y

0

1xx

Wie man jetzt leicht nachvollziehen kann, sieht die Darstellung eines beliebigen Vektors bzgl. der kanonischen Basis wie folgt aus


Lineare Abbildungen

Definition: f sei eine Abbildung von Vektoren, dann

heißt diese Abbildung linear, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1.

2.

)yf()xf()yxf(

)xf(λ)xf(λ


Lineare Abbildungen

Spiegelung an der x-Achse

P(4/3) P‘(4/-3)

oder allgemein

P(x/y) P‘(x/-y)

10

01Mx

Die Matrix dazu lautet:


Lineare Abbildungen

Spiegelung an der x-Achse

P(4/3) P‘(4/-3)

oder allgemein

P(x/y) P‘(x/-y)

10

01Mx



Lineare Abbildungen

Spiegelung an der y-Achse

P(4/3) P‘(-4/3)

oder allgemein

P(x/y) P‘(-x/y)


10

01-My


Lineare Abbildungen

Spiegelung an der y-Achse

P(4/3) P‘(-4/3)

oder allgemein

P(x/y) P‘(-x/y)


10

01-My


Lineare Abbildungen

Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

P(4/2) P‘(2/4)

oder allgemein

P(x/y) P‘(y/x)


01

10M1.Wh


Lineare Abbildungen

Drehung um 90o

P(3/2) P‘(-2/3)

oder allgemein

P(x/y) P‘(-y/x)


01

1-0M90


Lineare Abbildungen

Drehung um 180o

P(3/2) P‘(-3/-2)

oder allgemein

P(x/y) P‘(-x/-y)


1-0

01-M180


Lineare Abbildungen

Drehung um einen beliebigen Winkel

P(x/y) P‘(x‘/y‘)

Um die Rechnung zu vereinfachen, bezeichnet man den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor zum Punkt P mit , sei der Winkel zwischen dem Vektor p und p‘. Weiterhin bezeichnen wir die Abstände der Punkte P und P‘ vom Ursprung mit r.

Man erhält dann für die Koor-dinaten x und y des Punktes P:

x = r cos und y = r sin

Für die Koordinaten x‘ und y‘ des Punktes P‘:x‘ = r cos ( + ) undy‘ = r sin ( + )


Lineare Abbildungen

x = r cos und y = r sin x‘ = r cos ( + ) undy‘ = r sin ( + )

Mit Hilfe der Additionstheoreme für sin und cos kann man die Beziehungen für x‘ und y‘ vereinfachen. Dieses sind:

1.cos (+) = cos cos - sin sin

2.sin (+) = cos sin + sin cos

x‘ = r cos( + ) = r cos cos - r sin sin = x cos - y sin

y‘ = r sin( + ) = r cos sin + r sin cos = x sin + y cos


Lineare Abbildungen

Drehung um einen beliebigen Winkel alpha

P(x/y) P‘(x‘/y‘)

Damit ergibt sich die folgende Rotationsmatrix (Drehung um den Ursprung mit einem beliebigen Winkel)

CosSin

Sin- CosM

x‘ = r cos( + ) = r cos cos - r sin sin = x cos - y sin

y‘ = r sin( + ) = r cos sin + r sin cos = x sin + y cos


Lineare Abbildungen


P(x/y) P‘(x‘/y‘)

CosSin

Sin- CosM

Wie man jetzt leicht nachvollziehen kann, sieht die Darstellung eines beliebigen Vektors bzgl. der kanonischen Basis wie folgt aus

y

xx

1

0y

0

1xx


Lineare Abbildungen


P(x/y) P‘(x‘/y‘)


CosSin

Sin- CosM


Lineare Abbildungen

Scherung

Unter einer Scherung versteht man eine Abbildung, bei der der Flächeninhalt erhalten bleibt. Bei einer Scherung bleibt eine Gerade der Ebene fix (unverändert), das heißt, jeder Punkt dieser Geraden wird auf sich abgebildet. Alle anderen Punkte der Ebene werden parallel zur Achse verschoben

Bei einer Scherung bleibt also der Abstand jedes Punktes zur Achse unverändert. Damit werden Rechtecke und Dreiecke, bei denen eine Seite parallel zur Achse ist, auf Parallelogramme bzw. Dreiecke abgebildet, die (auf diese Seite) eine gleich lange Höhe haben


Lineare Abbildungen

Scherung

Bei einer Scherung muss berücksichtigt werden, dass die Scherachse festgelegt werden muss. In der rechten Abbildung ist es die x-Achse. Man sieht, dass die Achse des Dreiecks, die mit der x-Achse zusammenfällt, nicht verändert wird.

Matrix zur Scherung an der x-Achse

10

0,61Scherung Achse-x


Lineare Abbildungen

Scherung an der x-Achse

Eine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Bei der Scherung bleibt diese Seite parallel zur ursprün-glichen Dreiecksseite, ist aber nach rechts verscho-ben.


10


Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

1

6,1

1

1

10

0,61


Lineare Abbildungen


Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Man sieht, dass der Punkt auf der Scherachse bei der Abbildung erhalten bleibt. Die anderen Punkte haben weiterhin denselben Abstand von der Scherachse.


10



Lineare Abbildungen


Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse.


10



0

6

0

6

10

0,61


Lineare Abbildungen


Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse.


10



2

2,2

2

1

10

0,61


Lineare Abbildungen

Scherung an der y-Achse

Eine Dreiecksseite liegt auf der y-Achse. Ergebnisse entsprechend zur Scherung an der x-Achse

Matrix zur Scherung an der y-Achse

10,6

01Scherung Achse-y


8,5

3

4

3

10,6

01


Lineare Abbildungen

Scherung an der y-Achse

Matrix zur Scherung an der y-Achse

10,6

01Scherung Achse-y

Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur y-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse. Die Eckpunkt haben denselben Abstand zur y-Achse.


8,2

3

1

3

10,6

01


Lineare Abbildungen

Scherung an der x- u. y-Achse

Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3)

Die beiden Scherungen sind:

10,9

01Scherung Achse-y

10


Es ist ein Unterschied, ob erst die y-Scherung und dann die x-Scherung oder erst die x-Scherung und dann die y-Scherung durchgeführt wird.

Die Matrizenmultiplikation ist i. Allg. nicht kommutativ.

10,9

0,61,54

10

0,61

10,9

01

1,540,9

0,61

10,9

01

10

0,61


Lineare Abbildungen

Scherung an der x- u. y-Achse


Lila: Ausgangsdreieck

Rot: Erst die x- dann die y-Scherung

Grün. Erst die y- dann die x-Scherung

10,9

0,61,54

10

0,61

10,9

01

1,540,9

0,61

10,9

01

10

0,61


Lineare Abbildungen

Skalierung

Sy0

0SxSkalierung

Bei der Skalierung werden die Abmessungen des Objekts (geo-metrische Transformation) bzw. die Skaleneinteilung der Koordina-tenachsen (Koordinatentransformation) vergrößert (Skalierungsfak-toren größer als 1) bzw. verkleinert. Die Skalierung bezieht sich immer auf einen zu definierenden Punkt, der dann selbst seine Lage nicht, während alle anderen Punkte ihren Abstand vom Bezugspunkt vergrößern oder verkleinern. Bei der geometrischen Skalierung bezüglich des Nullpunktes mit den Skalierungsfaktoren Sx und Sy (jeweils in Richtung der Koordinatenachsen) berechnet sich die Lage des neuen Punktes mit Hilfe der Matrix


Lineare Abbildungen

Skalierung in x-Richtung

10

02.5xSkalierung


2

5,12

2

5

10

02.5


Lineare Abbildungen

Skalierung in y-Richtung

20

01ySkalierung


4

5

2

5

20

01


Lineare Abbildungen

Skalierung in x- und y-Richtung

20

02.5Skalierung


4

5,12

2

5

20

02.5


Lineare Abbildungen

Verschiebung in x- und y-Richtung

Berechnung der neuen Koor-dinaten des Bildpunktes A

9

4

4

3

5

1


Das Dreieck soll in x-Rich-tung um 3 Einheiten und in y-Richtung um 4 Einheiten verschoben werden


Lineare Abbildungen im R3

Spiegelung an der xz-Ebene


100

010

001

M Ebenexz



Spiegelung an der yz-Ebene


100

010

001-

M Ebeneyz



Spiegelung an der xy-Ebene


1-00

010

001

M Ebenexy



Spiegelungen an den Koordinaten-Ebenen

1-00

010

001

M Ebenexy

100

010

001-

M Ebeneyz

100

010

001

M Ebenexz



Drehung um die x-Achse

Cos Sin0

Sin- Cos0

001

M Achsex




Drehung um die y-Achse

Cos0 Sin-

010

Sin0 Cos

M Achsey




Drehung um die z-Achse

100

0 Cos Sin

0Sin- Cos

M Achsez




Drehungen um die Koordinaten-Achsen

100

0 Cos Sin

0Sin- Cos

M Achsez

Cos Sin0

Sin- Cos0

001

M Achsex

Cos0 Sin-

010

Sin0 Cos

M Achsey



Skalierung


1.500

020

002.5

MSkalierung

In x-Richtung: Faktor 2.5In y-Richtung: Faktor 2In z-Richtung: Faktor 1.5



Scherung in x-Richtung


100

010.5

001

MScherungxR



Scherung in y-Richtung


100

010

00.51

MScherungyR


Homogene Koordinaten

Transformationen

Problem: Keine einheitliche Beschreibung der Transformationen

Wie sieht die Hintereinanderausführung der Transformationen aus?

Alle Operationen lassen sich durch 4x4-Matrizen (bzw. 3x3-Matrizen) darstellen.

Erweiterung des Vektorraumes. 3D 4D (bzw. 2D 3D)



Übersicht über die Transformationen

Verschiebung

Skalierung

Spiegelung

Rotation

Scherung

Vektoraddition

Skalare Multipliaktion

Matrixoperation



Verschiebung

Alle Transformationen bis auf die Verschiebung können mit Hilfe einer 2x2-Matrix durchgeführt werden. Bei der Verschiebung erfüllt die Abbildung eine 2x1-Matrix (bzw. ein Spaltenvektor) und diese wird noch addiert.

Beispiel: Der Punkt P(2/3)soll um 3-Einheiten in x-Richtung verschoben werden. Dies erfüllt folgende Rechnung:

3

5

3

2

0

3 Der neue Punkt hat also die Koordinaten: P‘(5/3)



Verschiebung

Um alle Transformationen mit derselben Rechenoperation durchführen zu können, müsste die Methode, mit der man die Translation einbindet, geändert werden. Die Translation müsste also durch eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten wie die anderen Transformationsmatrizen dargestellt werden.

Ein Ausweg bzw. Lösung sind die sog. homogenen Koordinaten. In der Tat lassen sich nun die Translationen gleichwertig mit allen anderen affinen Abb. als Produkte "Matrix mal Vektor„ berechnen.



Einbettung des 2D in homogene Koordinaten

y

x

1

y

x

100

10

01

Vy

Vx

V

Mit Hilfe dieser Matrix kann ein Punkt sowohl in x-Richtung (Vx) als auch in y-Richtung(Vy) verschoben werden




100

10

01

Vy

Vx

VBeispiel: Der Punkt P(2/3) soll um 3 Einheiten in x- und 4 Ein-heiten in y-Richtung verschoben werden. Die Verschiebungsmatrix ergibt sich zu:

100

410

301

V

Die Rechnung sieht dann wie folgt aus:

1

7

5

1

3

2

100

410

301

Der Punkt ist demnach: P‘(5/7)




100

10

01

Vy

Vx

V

Verschiebungsmatrix

100

00

00

y

x

S

S

S

Skalierungsmatrix

100

0cossin

0sincos

R

Rotationsmatrix




z

y

x

1

z

y

x


Verschiebung

Verschiebung in x- und y-Richtung

1000

0100

1.5010

2001

M ngVerschiebu


Verschiebungsmatrix

Ein Punkt kann durch Matrixmultiplikation verschoben werden

1000

zR100

yR010

xR001

M ngVerschiebu


Verknüpfung von linearen Abbildungen

Verschiebung dann Rotation

Rot -> Blau -> Grün



Rotation dann Verschiebung

Rot -> Blau -> Grün



Da die Matrixmulti-plikation nicht kommutativ ist, ist die Reihenfolge der Transformationen wichtig


Zusammenfassung – affine Transformationen

Geradlinigkeit,Parallelität,Teileverhältnis bleiben erhalten

Orientierung bleibt erhalten

Längentreu Winkeltreu

Translation Ja Ja Ja ja

Rotation Ja Ja Ja ja

Spiegelung Ja Nein Ja ja

Skalierung Ja Ja Nein ja

Scherung Ja Ja Nein nein


Aufgabe

Dreieck mit A(1/1), B(3/2), C(2/4)

1.Drehung um 90o

2.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung

1.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung2.Drehung um 90o

Führen Sie die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Koordinaten-kreuzen hintereinander aus

Wie lautet jeweils die Transformationsmatrix für beide Abbildungen?


Aufgabe

Dreieck mit A(1/1/-1), B(3/2/1), C(2/4/-2)

1.Drehung um 90o um die z-Achse2.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung und 3 EH in z-Richtung

1.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung und 3 EH in z-Richtung2.Drehung um 90o um die z-Achse

Führen Sie die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Koordinaten-kreuzen hintereinander aus

Wie lautet jeweils die Transformationsmatrix für beide Abbildungen?


Aufgabe

Dreieck mit A(1/1/0), B(3/2/0), C(2/4/0)


Spiegelung an der Geraden y= a x

1. Betrachte die Gerade y = a x als x‘-Achse eines neuen rechtwinkligen Koordinatensystems (x‘,y‘), das gegenüber (x,y) um den Winkel gedreht ist.2. Spiegelung an der x‘-Achse des neuen Koordinatensystems.3. Darstellung des gespiegelten Punktes im alten Koordinatensystem (x,y).

Wir benötigen also drei Matrizen zur Darstellung der einzelnen linearen Abbildungen.

1.Drehung um T

2. Spiegelung Ts

3. Drehung zurück um - T -

Insgesamt also: T = T Ts T -


Spiegelung an der Geraden y= a x

T =

=

αCosαSin

αSinαCosTα

αCosαSin-

αSinαCosT α-

1-0

01Ts

αCosαSin

αSinαCos

1-0

01

αCosαSin-

αSinαCos

α) Sin-α(Cos-α CosαSin2

α CosαSin2αSin-αCos22

22


Hausaufgabe 1

Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = 1/2 x

0.6-0.8

0.80.6M

Mit Hilfe dieser Matrix ergeben sich folgende Bildpunkte

A(3;1) A‘(2.6 ; 1.8)

B(5/2) B‘(4.6 ; 2.8)

C(4/3) B‘(4.8 ; 1.4)


Hausaufgabe 1

Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = 1/2 x


Hausaufgabe 2

Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = -2 x

5

3

5

45

4

5

3

M

Mit Hilfe dieser Matrix ergeben sich folgende Bildpunkte

A(3;1) A‘(-13/5 ; -9/5)

B(5/2) B‘(-23/5 ; -14/5)

C(4/3) B‘(-24/5 ; -7/5)


Hausaufgabe 2

Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = -2 x


Spiegelung an der Geraden y= m x

T =

=

αCosαSin

αSinαCosTα

αCosαSin-

αSinαCosT α-

1-0

01Ts

αCosαSin

αSinαCos

1-0

01

αCosαSin-

αSinαCos

α) Sin-α(Cos-α CosαSin2

α CosαSin2αSin-αCos22

22


Spiegelung an der Geraden y= m x

Bezug zur Steigung m der Geraden y = m x (es gilt: tan = m )

22

222

22

22

1

2cossin2

1

1sincos

1tan1

tansin

1

1

tan1

1cos

m

mund

m

m

m

m

undm

Damit ergibt sich für die Matrix:

)1(2

21

1

12

2

2 mm

mm

mT


Spiegelung an einer Geradendurch den Ursprung mit der Gleichung

v

ux

Die Matrix lautet:

22

22

22 2

21

uvvu

vuvu

vuS



w

v

u

x

Die Matrix lautet:

222

222

222

222

22

22

221

wvuwvwu

wvwvuvu

wuvuwvu

wvuS



3

2

1

m

m

m

x

Die Matrix lautet:

23

22

213231

3223

22

2121

312123

22

21

23

22

21 22

22

221

mmmmmmm

mmmmmmm

mmmmmmm

mmmS


Spiegelung an einer Ebene durch den Ursprung mit der Gleichung

00

zcybxa

c

b

a

z

y

x

Die Matrix lautet:

222

222

222

222

22

22

221

cbacbca

cbcbaba

cabacba

cbaT


Die Zentralprojektion

Der Effekt bei der Zentralprojektion ist dem des menschlichen Auges sehr ähnlich. Abgebildete Objekte werden proportional zu ihrer Entfernung von der Bildebene verkleinert, d.h. entfernt liegende Körper erscheinen kleiner als näherliegende.

EigenschaftenParallele Geraden werden, falls sie nicht parallel zur Bildebene verlaufen, nicht auf parallele Geraden abgebildet, sondern laufen in einem Fluchtpunkt zusammen.Winkel zwischen zwei Geraden werden nur dann beibehalten, wenn die durch die Geraden definierte Ebene parallel zur Bildebene liegt.Entfernungen zwischen verschiedenen Punkten werden in der Abbildung unterschiedlich verzerrt.



Beispiel:Zentralprojektion eines achsenparallelen Würfels der Kantenlänge 2, zentriert um die z-Achse im Abstand 4 vom Ursprung auf eine Bildebene im Abstand d = 2.

A(-1/-1/-4)B(1/-1/-4)C(1/1/-4)D(-1/1/-4)

E(-1/-1/-6)F(1/-1/-6)G(1/1/-6)H(-1/1/-6)

000

0100

0010

0001

M

2

1-

ZentralPro





Tabellen – Trigonometrische Funktionen

0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0 1

Cos 1 0

Tan 0 1

2

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

3

33


90o 120o 135o 150o 180o

Sin 1 0

Cos 0 -1

Tan -1 0

2

1

2

22

3

2

1

2

2

2

3

3

33


180o 210o 225o 240o 270o

Sin 0 -1

Cos -1 0

Tan 0 1

2

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

3

3 3


270o 300o 315o 330o 360o

Sin -1 0

Cos 0 1

Tan -1

2

1

2

22

3

2

1

2

2

2

3

3

33

AufgabenMatrizenmultiplikation

M

m m m m

m m m m

m m m m

m m m m

1,1 1,2 1,3 1,4

2,1 2,2 2,3 2,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

N

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

1,1 1,2 1,3 1,4

2,1 2,2 2,3 2,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

Wir fragen uns, wieviel Arbeit das Multiplizieren von Matrizen macht. Betrachten Sie die beiden 4x4 Matrizen M und N.

a)Wieviel Multiplikationen und wieviel Additionen von Zahlen muss man durchführen, um einen Zeilenvektor von M mit einem Spaltenvektor von N zu multiplizieren?b)Wieviel Produkte aus Zeilen- und Spaltenvektor muss man durchführen, um das Matrixprodukt aus M und N zu berechnen?c)Schließen Sie aus (a) und (b), wieviel elementare Rechenoperationen (also Additionen und Multiplikationen von Zahlen) man benötigt, um das Matrixprodukt aus M und N zu berechnen!d)Überlegen Sie sich in der gleichen Weise, wieviel Rechenoperationen man benötigt, um das Produkt von zwei 5x5 Matrizen und zwei 100x100 Matrizen zu berechnen. e)Überschlagen Sie, wieviel Rechenoperationen man benötigt, um das Produkt von zwei nxn Matrizen zu berechnen.Jemand kündigt an, zwei 100x100 Matrizen von Hand miteinander multiplizieren zu wollen. Als flinker Kopfrechner benötigt er 2 Sekunden pro Rechenoperation. Wie lange braucht er in etwa für diese Aufgabe, wenn man annimmt, daß er täglich 10 Stunden arbeiten kann?

AufgabenMatrizenmultiplikation - Lösung

M

m m m m

m m m m

m m m m

m m m m

1,1 1,2 1,3 1,4

2,1 2,2 2,3 2,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

N

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

1,1 1,2 1,3 1,4

2,1 2,2 2,3 2,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

a) Es sind jeweils 4 Additonen und 4 Multiplikationenb)c)16*4 = 64 Additionen und 16*4=64 Multiplikationend) 5x5-Matrix: 25*5=125 Additionen und 25*5=125 Multiplikationen100x100-Matrix: 100*100*100 = 1 000 000 Additionen und 1 000 000 Multipliaktionene) Es sind n3 Additionen bzw. Multiplikationen Die Zeit beträgt: 2*1 000 000 000/2 = 1 000 000 s 277 h.Die Person benötigt ungefähr 277 h, das ergibt ca. 28 Tage.


Seien A und E die 4x4 Einheitsmatrix gegeben.a)Berechnen Sie die Matrixprodukte AE und EAb)Sei E24 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die zweite und vierte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE24 und E24A.c)Sei E23 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die zweite und dritte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE23 und E23A.d)Sei E14 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die erste und vierte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE14 und E14A.e)Fassen Sie Ihre Berechnungen aus (a)-(e) in einer Vermutung zusammen.

A

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16


A

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

b)1 4 3 25 8 7 69 12 11 1013 16 15 14

1 2 3 413 14 15 169 10 11 125 6 7 8

c)1 3 2 45 7 6 89 11 10 1213 15 14 16

1 2 3 49 10 11 125 6 7 813 14 15 16

d)4 2 3 18 6 7 512 10 11 916 14 15 13

13 14 15 165 6 7 89 10 11 121 2 3 4


Ein Landwirt düngt seine 3 Felder viermal im Jahr mit 4 verschiedenen Düngemitteln. Im ersten Quartal gibt er von Düngemittel A 10dz auf Feld 1, 20dz auf Feld 2 und 5dz auf Feld 3. Im zweiten Quartal gibt er von Düngemittel B 8dz auf Feld 1, 12dz auf Feld 2 und 2dz auf Feld 3. Im dritten Quartal gibt er von Düngemittel C 2dz auf Feld 1, 4dz auf Feld 2 und 0dz auf Feld 3. Im vierten Quartal gibt er von Düngemittel D 6dz auf Feld 1, 0dz auf Feld 2 und 1dz auf Feld 3. (Bemerkung: dz = 1 Doppelzentner = 100kg)

Die Düngemittel des Landwirts bestehen aus den Wirkstoffen Phosphor (P), Kalium (K) und Stickstoff (N). Die Düngemittel seien dabei wie folgt zusammengesetzt: Mittel A besteht aus 30% P, 20% K und 50% N, Mittel B besteht aus 10% P, 20% K und 70% N, Mittel C besteht aus 40% P, 10% K und 50% N und Mittel D besteht aus 30% P, 30% K und 40% N.


a)Schreiben Sie den obigen Sachverhalt mit Hilfe von Matrizen übersichtlich auf. Vergessen Sie dabei nicht, anzugeben, wofür Zeilen, Spalten und Einträge der Matrizen stehenb)Aus Umweltschutzgründen darf der Landwirt pro Jahr nur eine bestimmte Menge an Stickstoff auf seine Felder geben. c)Überlegen Sie sich, wie man berechnen kann, wieviel Stickstoff im ganzen Jahr jeweils auf die 3 Felder gegeben wurde. Berechnen Sie für jedes Feld, wieviel dz jedes Wirkstoffs im ganzen Jahr auf das Feld gegeben wurden. Benutzen Sie dabei Ihr Wissen über Produktionsmatrizen!


A B C D

Feld 1 10 8 2 6

Feld 2 20 12 4 0

Feld 3 5 2 0 1

P K N

A 30% 20% 50%

B 10% 20% 70%

C 40% 10% 50%

D 30% 30% 40%


b) Man berechnet:

35*50%+22*70%+6*50%+7*40% = 46 dz

c) Die Zeilen stehen für die unterschiedlichen Felder, die Spalten für P, K und N.

Also: Auf Feld 1 wurden 6,4 dz Phosphor aufgebracht

6.4 5.6 14.8.8 6.8 20.42. 1.7 4.3

AufgabenAbbildungen durch Matrizen

1.Aufgabe: ( Seite 204 A.6) Gegeben ist die Ebene E mit 1*x – 2*y + 0*z = 0.a) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebene E mit der xy-Ebene.b) Bestimmen Sie die zur Spiegelung an E gehörende Abbildungsmatrix.c) Bestimmen Sie die 3x3-Matrix, die die Spiegelung an g in der xy-Ebene beschreibt.d) Bestimmen Sie die 2x2-Matrix, die die Spiegelung an g in der xy-Ebene beschreibt. Vergleichen Sie mit den Matrizen aus den Teilaufgaben b) und c).

a) Die Schnittgerade lautet:

0

1

2

x

b)

35

45

0

45

35

0

0 0 1

35

45

0

45

35

0

0 0 1

c)

AufgabenAbbildungen durch Matrizen

5.Aufgabe: Gegeben ist die Abbildungsmatrix

a) Bestimmen Sie die Bildpunkte der Punkte A(3/3/0), B(3/-6/3), C(3/3/-3).

a) A‘(-3/-3/0) B‘(5/-2/5) C‘(-5/-1/1)

b) Geben Sie zur Spiegelung an der Geraden g: gehörende

Abbildungsmatrix T2 an, und bestimmen Sie die zur Verkettung (zunächst die zu T1 gehörenden Abbildung und anschließend die Spiegelung an der Geraden g) gehörende Abbildungsmatrix V.

b)

122

212

221

3

11T

0

0

1

x

13

23

23

23

13

23

23

23

13

Übungen zur 1.Klausur2.Aufgabe: ( Seite 205 A.13) Gegeben sind die Punkte A(0/0/0), B(-1/-1/4) und C(-1/-4/1)a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.b) Zeigen Sie, dass mit D(-4/-1/1) die Figur ABCD ein regelmäßiges Tetraeder ist, d.h. eine Figur, die von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird.d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix T derjenigen Abbildung, die B auf C, C auf D, D auf B abbildet. Bestimmen Sie die Fixpunkte dieser Abbildung.

Lösung: a)Mit Hilfe der Abstandsbeziehung

erhält man: d =

c)Die Abbildungsmatrix lautet:

212

212

212 )()()( zzyyxxd

32b)Zusätzlich müssen noch die anderen Dreiecke auf Gleichseitigkeit überprüft werden, nämlich: ABD BCD und CAD0 1 0

0 0 11 0 0

Übungen zur 1.Klausur

8.Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(-2/-5/-5), B(1/-2/7), C(1/7/-2).a) Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine Normalenform der durch A, B und C festgelegten Ebene E an.b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist, und bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC.c)Bestimmen Sie alle Punkte D so, dass A, B, C, D die Eckpunkt eines regelmäßigen Tetraeders bilden.d)Zeigen Sie, dass die durch die Matrix

vermittelte Abbildung jeden Punkt der Geraden g:

auf sich abbildet. Wie bildet die zu T gehörige Abbildung das Dreieck ABC ab?

474

841

148

9

1T

1

1

5

x


Lösung:Die Gleichseitigkeit wird mit Hilfe der Abstandformel

berechnet. Es ergibt sich:

d)

212

212

212 )()()( zzyyxxd 92

In[6]:=

89

49

19

19

49

89

49

79

49

.5,1,1MatrixForm

Out[6]//MatrixForm=511Man sieht, dass man wieder den Vektor (-5,1,1) erhält.


Lösung:d) Für die Bilder der Punkte A, B und C erhält man:A(-2/-5/-5) A‘(1/-2/7)B(1/-2/7) B‘(1/7/-2)C(1/7/-2) C‘(-2/-5/-5)

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Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen