Lista 01 - Estatística Descritiva

Estatstica para Bacen

Prof Vtor Menezes lista 01

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Lista 01

1. Conceitos iniciais, grficos, tipos de frequncia ............................................................................ 2

2. Medidas de posio...................................................................................................................... 10

3. Medidas de disperso .................................................................................................................. 63

4. BOX-PLOT ................................................................................................................................... 112

5. Noes de assimetria ................................................................................................................. 121




1. Conceitos iniciais, grficos, tipos de frequncia

Questo 1 MS ADM 2009 [CESPE]

A figura acima apresenta os totais anuais de casos de febre hemorrgica da dengue, de 1988 a 2008, em Fortaleza, cidade em que a doena foi confirmada pela primeira vez em 1994. A partir de 1998, verifica-se a ocorrncia anual da enfermidade, iniciando em um patamar de baixa incidncia (1998 a 2000) e seguindo para um patamar elevado que varia de 44 a 254 casos, com exceo de 2004.

Secretaria Municipal da Sade de Fortaleza. Plano de contingncia para o controle da dengue no municpio de Fortaleza em 2009, (com adaptaes).

Com base nas informaes acima, considerando que a varivel X representa o total anual de casos de febre hemorrgica da dengue em Fortaleza, julgue os itens a seguir.

55 A figura apresentada um histograma da varivel X.

Resoluo.

Note que cada coluna est relacionada a um valor nico, e no a uma classe de valores. O histograma s utilizado para representar dados em classe.

Exemplo: em 1994, foram 21 casos de febre hemorrgica da dengue. Ou seja, a frequncia 21 se relaciona ao valor 1994 (e no a uma classe, como por exemplo 1992 1996).

Gabarito: errado

Questo 2 TCU 2008 [CESPE]

Uma agncia de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela a seguir, acerca dos nmeros de imveis ofertados e vendidos em determinado municpio, nos anos de 2005 a 2007.




Considerando as informaes do texto, julgue os itens subseqentes.

A varivel X forma uma srie estatstica denominada srie temporal.

Resoluo:

Segundo Gilberto de Andrade Martins e Denis Donaire, no livro "Princpios de Estatstica", estatsticas so as tabelas nas quais existe um critrio distinto que as especifica e diferencia. Por este critrio, as sries podem ser:

cronolgicas

geogrficas

especficas

conjugadas

Segundo os mesmos autores, a srie temporal, tambm denominada srie cronolgica, tem como caracterstica o fato de o tempo ser varivel, enquanto que o local e o fato permanecem fixos. Como exemplo, citam uma pesquisa que traz a quantidade de unidades escolares de ensino de 1 grau (mesmo fato), no Brasil (mesmo local), ao longo dos anos de 1971 a 1974.

No caso desta questo temos exatamente isso: o fato o mesmo (nmero de imveis ofertados), em determinado municpio (mesmo local), e variamos apenas os instantes de tempo (anos de 2005 a 2006). Trata-se de uma srie cronolgica ou temporal.

Gabarito: correto.


Uma agncia de desenvolvimento urbano divulgou os dados apresentados na tabela a seguir, acerca dos nmeros de imveis ofertados e vendidos em determinado municpio, nos anos de 2005 a 2007.




Com respeito ao texto, considere que cada imvel ofertado em determinado ano seja classificado como vendido ou no-vendido, e, a um imvel e classificado como vendido seja atribudo um valor = 1, e, ao imvel classificado como no-vendido, seja atribudo um valor = 0. Supondo-se que as classificaes dos imveis como vendido ou no-vendido em um dado ano possam ser consideradas como sendo realizaes de uma amostragem aleatria simples, julgue os itens a seguir.

A varivel classificada como varivel qualitativa nominal, pois representa o atributo do imvel como vendido ou no-vendido.

A varivel uma varivel dicotmica. Interessante observar que as variveis dicotmicas so utilizadas para permitir que variveis qualitativas sejam analisadas como se fossem quantitativas.

A varivel que assume os valores "vendido" e "no-vendido" nominal. No entanto, quando atribumos a cada uma dessas realizaes um valor numrico (0 ou 1), obtemos nmeros e podemos passar a tratar tal varivel como quantitativa. Isso pode ser feito porque a atribuio de valores numricos foi feita de modo a fornecer algo passvel de interpretao. No caso, esse tipo de varivel d origem a distribuies discretas de probabilidade muito utilizadas: a de Bernoulli e a Binomial.

A cada imvel analisado, temos sucesso ou fracasso (se = 1 ou 0) e, somando todos os valores de , temos, na verdade, a contagem de quantos imveis em uma dada amostra foram vendidos.

Assim, a varivel quantitativa. Nesse ponto, citamos o livro "Anlise multivariada de dados", dos autores Hair, Black, Babin, Anderson e Taham:

"Uma varivel dicotmica aquela que foi convertida para uma distribuio mtrica e representa uma categoria de uma varivel independente no-mtrica."

HAIR, J, et al, Anlise multivariada de dados. Traduo Adonai Schlup Sant'Anna - 6 edio. Porto Alegre: Bookman, 2009

Item errado.




No entanto, pertinente registrar a opinio de Bussab e Morettin, segundo os quais, apesar de a varivel dicotmica apresentar realizaes representadas por nmeros (0 e 1), ela no deixa de ser qualitativa:

"Existe um tipo de varivel qualitativa para a qual essa quantificao muito til: a chamada varivel dicotmica. Para essa varivel s podem ocorrer duas realizaes, usualmente chamadas de sucesso e fracasso."

BUSSAB, W. e MORETTIN, P. Estatstica Bsica. 5 edio. So Paulo: Saraiva, 2002.


Considerando a tabela acima, que apresenta a distribuio do quadro de colaboradores da CAIXA, em mil pessoas, no final dos anos de 2006 e 2007, julgue os itens seguintes.

Se uma varivel registra a classificao de cada pessoa do quadro como funcionria, estagiria ou prestadora de servio, ento uma varivel qualitativa.

De fato, as possveis realizaes de no so nmeros, so atributos. Temos uma varivel qualitativa.

Questo 5 POLICIA FEDERAL 2004 [CESPE]

Nos ltimos oito anos, a populao carcerria em uma unidade da Federao cresceu de 1.200 presos (1996) para 4.000 presos (2003). Essa populao carcerria formada por presos nas casas penais, seccionais e delegacias. Por causa desse crescimento, foram construdas novas cadeias pblicas, penitencirias e novos blocos carcerrios. Mesmo assim, no foi possvel resolver o problema de superlotao. Em 1996, a capacidade total de




lotao das casas penais, seccionais e delegacias era de apenas 800 vagas. Aps a inaugurao das novas instalaes em 2003, o nmero de vagas aumentou para 3.200, o que resulta em deficit de 800 vagas. O grfico acima apresenta a evoluo temporal da populao carcerria (linha contnua) e do nmero de vagas (linha pontilhada) de 1996 a 2003.

Com base na situao hipottica e no grfico apresentados ao lado, julgue o item a seguir.

A capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e delegacias (nmero de vagas) em 2000 uma varivel aleatria contnua.

A capacidade total de lotao no pode assumir qualquer valor em um intervalo real. Ela assume apenas valores inteiros, como: 1, 2, 3, 4, .... Logo, uma varivel discreta.

Alm disso, se tomarmos seu valor exclusivamente no ano de 2000, temos uma observao, algo fixo, constante, que no varia. Ou seja, seu valor para o ano 2000 uma constante, e no varivel.

Gabarito: errado

Questo 6 TRE ES 2011 [CESPE]

Internet: (com adaptaes).

Com base na tabela acima, referente s eleies de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da Repblica, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justia eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue o item a seguir.

A varivel "cargo" classifica-se como uma varivel qualitativa ordinal.

De fato uma varivel qualitativa, pois suas realizaes so atributos, e no nmeros.




Alm disso, podemos ordenar estas variveis segundo, por exemplo, o nmero de cargos disponveis. exatamente o que fez a tabela dada no enunciado, iniciando por presidente (um nico cargo disponvel), depois indo para governador (27 cargos) e assim por diante.

Logo, uma varivel qualitativa e ordinal.

Gabarito: certo


A tabela acima apresenta uma distribuio hipottica das quantidades de eleitores que no votaram no segundo turno da eleio para presidente da Repblica bem como os nmeros de municpios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue o item segunite, relativo anlise exploratria de dados.

Na tabela de frequncias, o uso de intervalos de classe permite concluir que a varivel em questo contnua.

Resoluo:

A quantidade de eleitores discreta, pois assume valores num conjunto enumervel de pontos da reta real: 0, 1, 2, 3, 4...

Apenas agrupamos os dados em faixas, dando origem s classes. Isso, no entanto, no altera a natureza da varivel, no a torna contnua.

Gabarito: errado






Com base na tabela acima, referente s eleies de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da Repblica, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos considerados aptos pela justia eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue o item a seguir.

O histograma a representao grfica ideal para a distribuio de frequncias do nmero de candidatos aptos segundo o cargo pretendido.

Resoluo:

O histograma aplicvel quando estamos representando uma distribuio de frequncias para dados em classe, o que no ocorre no presente caso. Portanto, no adequada a utilizao do histograma.

Gabarito: errado.



Com base na tabela acima, referente s eleies de 2010, que apresenta a quantidade de candidatos para os cargos de presidente da Repblica, governador de estado, senador, deputado federal e deputado estadual/distrital, bem como a quantidade de candidatos




considerados aptos pela justia eleitoral e o total de eleitos para cada cargo pretendido, julgue o item a seguir.

Considerando-se a representao das quantidades de eleitos para cada cargo em um grfico de pizza, a fatia desse grfico correspondente ao cargo de deputado federal ter ngulo superior a 120o.

Resoluo:

Vamos dividir 120 por 360, que corresponde circunferncia inteira: 120360 = 13 Assim, para que uma das categorias corresponda a um tero da pizza, ela deve ter um tero da frequncia total.

A categoria "deputado federal eleito" tem frequncia 513. Multiplicando este valor por 3 obtemos:

513 3 = 1539 Obtivemos um resultado menor que 1658, que o total das frequncias.

Com isso conclumos que 513 menor que 1/3 de 1658. Logo, a fatia de pizza correspondente tem ngulo menor que 120.

Gabarito: errado


A tabela acima apresenta uma distribuio hipottica das quantidades de eleitores que no votaram no segundo turno da eleio para presidente da Repblica bem como os nmeros de municpios em que essas quantidades ocorreram. Com base nessa tabela, julgue o item segunite, relativo anlise exploratria de dados.

Quartis, mnimo e mximo so estatsticas de ordem que podem ser representadas em um diagrama conhecido como esquema dos cinco nmeros.




Perfeito! exatamente para isso que serve o esquema dos cinco nmeros. Os cinco nmero representados so: a mediana, o primeiro e o terceiro quartis, e os valores extremos (mnimo e mximo).

possvel tambm incorporar ao diagrama o tamanho da amostra.

Gabarito: certo

2. Medidas de posio





51. A mdia aritmtica de X no trinio 2001-2003 foi igual a 75% da mdia aritmtica de X no trinio 2005-2007.

Resoluo.

A mdia do trinio 2001 2003 fica: 60 + 44 + 1663 = 90 A mdia do trinio 2005-207 fica: 119 + 123 + 1183 = 120 Temos:




90120 = 75% A primeira mdia 75% da segunda mdia.

Gabarito: certo

Questo 12 TCU 2009 [CESPE] Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores (xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados:

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

96. A mdia amostral dos valores x1, x2, ..., x10 13% maior do que a mdia amostral dos valores y1, y2, ..., y10.

98. A mdia aritmtica da distribuio x1 y1, x2 y2, ..., x10 y10 maior que 43.

Resoluo:

Item 96.

Temos:

+ = 130 + = + =130 equaoI

Sabemos tambm que:

= 10 = =10 equaoII

Somando as duas equaes:

+ + =130 + 10 2 = 140 = 70

Voltando na equao I:




=10 70 + = 10 = 60

Mdia dos valores de x:

= $ = 7010 = 7 Mdia dos valores de y:

% = $ = 6010 = 6 A mdia de x vale 7. A mdia de y vale 6. 76 = 1,1666 A mdia de x 16,6% maior que a de y.

Item errado.

Item 98.

Temos:

+ ( = 1.790 ( + ( + 2 = 1.790

( +( +2 = 1.790equaoI

Alm disso:

( = 26 ( + ( 2 = 26

( +( 2 = 26equaoII Fazendo a subtrao entre I e II:

( +( +2 *( +( 2+ = 1.790 26 2 +2 = 1.764 2 + 2 = 1.764




4 = 1.764 = 441

Logo, a mdia do produto fica: 10 = 44110 = 44,1 Item certo

Gabarito: errado, certo

Questo 13 FINEP 2009 [CESPE]

Considere a obteno de trs medidas de dimetro, em milmetros, de furos que tenham ocorrido em chapas de ao, em uma linha de produo: 2, 4 e 8. Nesse caso, a mdia geomtrica dessas medidas , em milmetros quadrados,

A maior que 1,5 e menor que 2,5.

B maior que 2,5 e menor que 3,5.

C maior que 3,5 e menor que 4,5.

D maior quer 4,5 e menor que 5,5.

E maior que 5,5.

Resoluo.

, = 2 4 8. = /20 2( 21. = /22. = 2( = 4 Gabarito: C


Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores (xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados:


99. A mdia harmnica dos valores x1, x2, ..., x10 menor que 8.




Resoluo.

J vimos na Questo 12 que a mdia aritmtica de x 7.

Como a varivel x representa valores de itens de consumo, ento s assume valores maiores que zero.

Logo, a mdia aritmtica maior ou igual s demais mdias, harmnica e geomtrica.

Conclumos que a mdia harmnica menor ou igual a 7. Portanto, certamente menor que 8.

Gabarito: certo

Questo 15 SEFAZ/MT 2004 [CESPE]

Um rgo do governo recebeu pela Internet denncias de sonegao de impostos estaduais contra 600 pequenas empresas. Denncias contra outras 200 pequenas empresas foram encaminhadas pessoalmente para esse rgo. Para apurao das denncias, foram realizadas auditorias nas 800 empresas denunciadas. Como resultado dessas auditorias, foi elaborada a tabela abaixo, que apresenta um quadro das empresas denunciadas e os correspondentes dbitos fiscais ao governo. Das empresas denunciadas, observou-se que apenas 430 tinham dbitos fiscais.

Valor do dbito fiscal (VDF), em R$ mil, apurado aps auditoria na empresa denunciada

Forma de recebimento da denuncia 0




36042060070,0 =

Item errado

Segundo item.

J sabemos que 360 empresas denunciadas pela internet no apresentaram dbitos.

Das empresas denunciadas pessoalmente, 10 no apresentaram dbitos.

Assim, de um total de 370 empresas sem dbitos, 360 foram denunciadas pela internet. O item afirma que 360 corresponde a mais de 95% de 370, o que verdadeiro.

=37095,0 351,5 360<

Logo, 360 realmente representa mais que 95% de 370.

Item certo

Terceiro item.

A tabela fornecida foi:

Dbito (em mil reais) nmero de empresas

0




Podemos construir a seguinte tabela:

Classes de VDF Frequncia absoluta simples

VDF = 0 360

0




Classes de VDF Pontos mdios

)(X Frequncia absoluta

simples

VDF = 0 0 10

0




Resoluo.

Primeiro item.

Pede-se a mdia de V. Como os dados esto em classes, para calcular a mdia consideramos que todas as observaes correspondem aos pontos mdios das classes.

Classe Ponto mdio (X) frequncia (f)

V = 0 0 80

0 < V 10 5 50

10 < V 20 15 35

20 < V 30 25 25

30 < V 50 40 10

Para facilitar as contas, podemos criar uma varivel auxiliar, obtendo nmeros menores.

Assim, a partir da varivel X, obtemos uma outra varivel (vou chamar de varivel d).

Podemos usar somas, subtraes, multiplicaes e divises. A ideia chegarmos em nmeros menores, para facilitar as contas.

No existe regra fixa para realizar esta transformao. Qualquer procedimento que envolva apenas as quatro operaes permitido.

Atingido o objetivo de chegarmos em nmeros menores, pronto, o procedimento vlido.

Como exemplo, vamos dividir todos os valores por 5.

5

Xd =

Como todas as frequncias so mltiplas de 5, tambm podemos dividi-las por 5. Dividir ou multiplicar as frequncias por uma constante no altera a mdia.

5'

ff =

Ficamos com:

Classe Ponto mdio (X)

d frequncia (f) frequncia modificada f

V = 0 0 0 80 16

0 < V 10 5 1 50 10

10 < V 20 15 3 35 7

20 < V 30 25 5 25 5

30 < V 50 40 8 10 2

Agora calculamos a mdia de d:

d frequncia modificada f

'fd

0 16 0

1 10 10

3 7 21




5 5 25

8 2 16

total 40 72

A mdia dos valores de d dada por:

40

72=d

E para achar a mdia de X ns fazemos o seguinte. Primeiro isolamos X. Depois usamos as propriedades da mdia.

5

Xd = dX 5=

Quando multiplicamos uma varivel por uma constante, a mdia fica multiplicada pela mesma constante.

dX = 5

Substituindo o valor:

940

725 ==X

Pergunta: Vtor, e se eu no tivesse feito nenhuma simplificao? O resultado seria o mesmo?

Resposta: sim, o resultado seria o mesmo. Apenas teramos contas com nmeros maiores. Ficaria assim:

Classe Ponto mdio (X) frequncia (f) fX V = 0 0 80 0

0 < V 10 5 50 250

10 < V 20 15 35 525

20 < V 30 25 25 625

30 < V 50 40 10 400

total 200 1800 E ficaramos com:

9200

1800==X

Realmente a mdia est entre 5,5 e 12,50. O item est correto.

Item Certo

Segundo item.

Sabemos que 80 imveis no sofreram aumento no valor venal. Como so 200 imveis ao todo, o percentual de imveis com 0=V dado por:

%40100

40

200

80 ==

O percentual procurado de 40% (e no de 80%, como afirmou o item).




Item errado

Gabarito: Certo, Errado

Questo 17 Paran Previdncia 2002 [CESPE]

Em estudos previdencirios, importante avaliar estatisticamente o tempo de sobrevida dos beneficirios. O tempo de sobrevida, em geral, depende do perfil do beneficirio, que abrange um conjunto de caractersticas como idade, espcie de benefcios (aposentadoria por idade, invalidez etc.), tipo de clientela (urbana/rural) etc. Para um estudo realizado acerca do tempo de sobrevida de beneficirios com um certo perfil, foram obtidos os resultados apresentados na tabela abaixo.

Tempo de sobrevida T em anos

0 T < 5 5 T < 10 10T< 20 20T< 40 Total

Frequncia de beneficirios falecidos (%)

20 40 30 10 100

Com base nos estudos obtidos para o estudo apresentado no texto II, julgue o item que se segue.

1. O tempo mdio de sobrevida dos beneficirios participantes do estudo foi inferior a 10 anos.

Resoluo

Para clculo da mdia para dados em classes, associamos cada frequncia ao ponto mdio da classe.

Classe Ponto mdio (X) frequncia (f)

[0; 5) 2,5 20

[5; 10) 7,5 40

[10; 20) 15 30

[20; 40) 30 10

Para facilitar as contas, vamos trabalhar com uma varivel auxiliar.

5,2

5,7= Xd

Classe Ponto mdio (X) d frequncia (f) fd [0; 5) 2,5 - 2 20 - 40

[5; 10) 7,5 0 40 0

[10; 20) 15 3 30 90

[20; 40) 30 9 10 90

total 100 140

Logo:

4,1100

140 ==d




A mdia de X fica:

5,75,2 += dX 5,75,25,74,15,2 +>+=X

10>X

A mdia maior que 10.

Gabarito: Errado

Questo 18 SERPRO 2010 [CESPE]

Certa empresa, em determinado ms, realizou levantamento acerca da quantidade diria de acessos simultneos ao seu sistema, cujo resultado mostrado na figura acima. A partir das informaes apresentadas nesta figura, e considerando que a distribuio da quantidade diria de acessos simultneos representada pela varivel X, julgue os itens a seguir.

26. A quantidade de 6 mil acessos simultneos por dia representa a moda de X.

27. O ms em que este levantamento foi realizado possui mais de 30 dias.

Resoluo.

Item 26.

A maior frequncia corresponde a 3 mil acessos simultneos por dia.

3 = 3.000 Item errado.

Item 27.

Somando todas as frequncias, teremos o total de dias:

5 + 6 + 10 + 6 + 3 + 1 = 31 Realmente o ms possui mais de trinta dias. Item certo.









52. Considerando o perodo de 1988 a 2008, a moda da varivel X foi igual a 254.

Resoluo.

O conjunto em questo pode ser assim representado:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 21, 0, 0, 0, 4, 1, 2, 60, 44, 166, 6, 119,123, 118, 254

O termo que mais se repete 0.

3 = 0 Gabarito: errado

Questo 20 Prefeitura Municipal de Vila 2008 [CESPE]

Um estudo foi realizado por uma prefeitura acerca da qualidade do atendimento no hospital municipal da cidade. Com base em uma amostra de 100 dias, foram produzidas as seguintes estatsticas referentes ao nmero dirio de pacientes atendidos.

mdia = 30

varincia amostral = 100




mnimo = 0

primeiro quartil = 10

segundo quartil = 25

terceiro quartil = 40

mximo = 60.

Com base nas informaes apresentadas no texto, julgue os itens subsequentes.

1. correto estimar que a moda da distribuio do nmero dirio de pacientes atendidos inferior a 10.

Resoluo:

Primeiro item:

A partir das medidas separatrizes fornecidas na questo, possvel construir a seguinte tabela:

Classe frequncias acumulada

0 10 25%

10 - 25 50%

25 40 75%

40 60 100%

Com isso, os quartis esto todos conforme o comando da questo. Alm disso, o valor mnimo zero e o valor mximo 60.

A partir da tabela acima, podemos achar as frequncias simples

Classe Frequncias simples Frequncias acumuladas

0 10 25% 25%

10 - 25 25% 50%

25 40 25% 75%

40 60 25% 100%

E agora vamos achar a moda. O primeiro passo encontrar a classe modal.

Quando estudamos a moda de Czuber no comentamos um importante detalhe: ela s serve para clculo de moda quando as classes tm a mesma amplitude.

Quando as classes tm amplitudes diferentes, algumas alteraes precisam ser feitas. A classe modal no ser mais aquela com maior frequncia. A classe modal ser a classe com a maior densidade de frequncia.

Quando organizamos os dados para montar uma tabela de valores agrupados em classes, comum que o faamos de forma que todas as classes tenham a mesma amplitude.

Caso as classes no tenham a mesma amplitude, as frmulas vistas para a moda perdem um pouco o sentido. Precisam ser adaptadas.




Para ilustrar o problema, trago um caso exagerado, em que as amplitudes de classes so muito diferentes. Imaginem a seguinte tabela:

Classes Frequncia absoluta simples

1 2 10

2 10 16

10 11 8

11 12 6

12 13 4

Olha que tabela pouco usual.

Se fssemos achar a moda, do jeito que vimos na aula terica, diramos que a classe modal a 2 10, porque tem a maior frequncia.

Mas ser que mesmo adequado considerar que a moda est nesta classe? Esta classe muito maior que as demais. Muito mesmo. Tem uma amplitude de 8.

No, no razovel supor que a moda esteja esta classe. mais razovel supor que a moda esteja na classe 1 2, que, tendo uma amplitude de apenas 1, contm 10 observaes.

Talvez a tabela abaixo permita visualizar melhor o porqu disso:

Classes Frequncia absoluta simples ( f )

Amplitude de classe ( h) hf

1 2 10 1 10

2 10 16 8 2

10 11 8 1 8

11 12 6 1 6

12 13 4 1 4

Num caso assim, mais adequado supor que a moda est na classe com maior valor de hf

. Este valor denominado densidade de frequncia. Assim, quando as classes no tm a mesma amplitude, a determinao da moda leva em conta no as frequncias das classes; sim as densidades de frequncia.

E, para encontrar a moda, podemos usar o conceito de moda bruta (considerando que a moda corresponde ao ponto mdio da classe 1-2).

Ou ento, poderamos modificar as frmulas de Czuber e King, trocando todas as

frequncias ( f ) pelo respectivo valor de ( hf ).

Ok, voltemos para a questo do CESPE. Vamos encontrar as densidades de frequncia:

Classe amplitude de classe (h) Frequncias simples

0 10 10 25%

10 - 25 15 25%

25 40 15 25%

40 60 20 25%

Se todas as classes tm frequncia de 25%, ento a classe com maior densidade de frequncia ser aquela com menor amplitude. Ou seja, a primeira classe a classe modal.




Apenas para deixar claro, seguem as contas:

Classe amplitude de classe (h) Frequncias simples (%) hf / (%)

0 10 10 25 2,5

10 25 15 25 1,66

25 40 15 25 1,66

40 60 20 25 1,25

Assim, a moda est no intervalo entre 0 e 10. Portanto, realmente a moda inferior a 10.

Gabarito: Certo.

Questo 21 SEFAZ/MT 2004 [CESPE]







Questo 22 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2008 [CESPE]

Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 200 imveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a seguir:

Valor V (R$/m2) Nmero de imveis

V = 0 80

0 < V 10 50

10 < V 20 35

20 < V 30 25

30 < V 50 10

Total 200


1. A moda da distribuio dos valores V calculada pelo mtodo de Czuber igual moda dessa mesma distribuio calculada pelo mtodo de King.

Resoluo:

Primeiro item.

A moda cobrada em 99% das questes de concursos a de Czuber.

Alm da moda de Czuber, h a moda de King, a de Pearson e a Moda bruta.

Como temos perda de informao, o clculo da moda depende de consideraes a serem feitas. Cada frmula mencionada acima parte de uma considerao diferente o que, em geral, conduz a resultados diferentes.

Agora vem um grande detalhe. Na tabela dada, no temos apenas classes. Na primeira linha temos um valor nico. Sabemos que as 80 observaes da primeira linha so exatamente iguais a zero.

E esta justamente a linha com a maior frequncia. Ou seja, a maior frequncia no est associada a uma classe e sim a um valor nico. Deste modo, com certeza a moda igual a zero. Isso no considerao, no chute. certeza. Natural esperar, portanto, que qualquer frmula empregada para clculo de moda resulte no valor zero. Assim, realmente, a moda calculada pela frmula de Czuber igual calculada pela frmula de King.

A frmula de Czuber :

)()( postMantM

antMM ffff

ffhlM

+

+=

A classe modal formada por um valor nico. a classe que vai de zero at zero. uma classe de amplitude zero:

)()(0

postMantM

antMM ffff

fflM

+

+=

0== MlM

A frmula da moda de King :




postant

postM ff

fhlM

++=

Aplicando a frmula:

postant

postM ff

flM

++= 0

0== MlM

Gabarito: Certo

Questo 23 MEC 2009 [CESPE]

Os dados abaixo correspondem s quantidades dirias de merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas:

200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.

Com base nessas informaes, julgue os prximos itens.

111 A mediana da distribuio do nmero dirio de merendas escolares igual a 225.

Resoluo:

Fazendo o rol:

150, 150, 200, 200, 200, 200, 250, 250, 250, 300

Os dois termos centrais so: 200 e 200.

A mediana igual mdia dos termos centrais.

4 = 200 + 2002 = 200 Gabarito: errado


A figura acima apresenta os totais anuais de casos de febre hemorrgica da dengue, de 1988 a 2008, em Fortaleza, cidade em que a doena foi confirmada pela primeira vez em 1994. A




partir de 1998, verifica-se a ocorrncia anual da enfermidade, iniciando em um patamar de baixa incidncia (1998 a 2000) e seguindo para um patamar elevado que varia de 44 a 254 casos, com exceo de 2004.



53 De 1988 a 2008, a mediana amostral de X foi superior a 3.

Resoluo.

Os dados so os seguintes:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 21, 0, 0, 0, 4, 1, 2, 60, 44, 166, 6, 119,123, 118, 254

Fazendo o rol:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 6, 21, 44, 60, 118, 119, 123, 166, 254

So 21 termos. O do meio o 11.

4 = 2 Gabarito: errado

Questo 25 FINEP 2009 [CESPE]

Um levantamento efetuado entre os 100 jovens inscritos em um projeto de incluso social desenvolvido por uma instituio mostra a seguinte distribuio etria.

Com base nessas informaes, assinale a opo incorreta.

A A mediana da distribuio etria igual a 17,5 anos.

B A varivel X apresentada na tabela de frequncias uma varivel discreta.

C A mdia das idades dos jovens observados no levantamento igual a 17 anos.

D A moda da distribuio etria igual a 16 anos.

E Dos jovens inscritos no referido projeto de incluso social, 30% possuem idades maiores ou iguais a 18 anos.

Resoluo:




Vamos iniciar pelas alternativas mais rpidas de serem checadas.

Letra D: a moda da distribuio 16 (maior frequncia). Alternativa correta.

Letra B: a varivel discreta. A idade em anos s assume valores naturais de 16 a 19. Se a varivel fosse contnua, ela assumiria qualquer valor em um dado intervalo real. Alternativa correta.

Letra E: O nmero de jovens com idade maior ou igual a 18 30 (=20 + 10). O total de jovens inscritos 100. 30100 = 30% Realmente o percentual procurado 30%. Alternativa correta.

Vamos determinar a mediana. Para tanto, podemos fazer a tabela de frequncias acumuladas.

X frequncia simples frequncia acumulada

16 40 40

17 30 70

18 20 90

19 10 100

A mediana a mdia dos termos centrais.

56 = 78 = 17 4 = 56 + 782 = 17

A mediana no igual a 17,5. Item errado.

Gabarito: A

Questo 26 ABIN 2010 [CESPE]

89. O primeiro quartil e o terceiro quartil so, respectivamente, 34 e 46 anos de idade.

90. A mediana das idades dos servidores igual a 39,5 anos.

Resoluo:

Este diagrama corresponde ao seguinte conjunto:

21, 23, 22, 26, 34, 33, 35, 38, 37, 46, 42, 41, 49, 46, 54, 52, 50, 55

Fazendo o rol:

21, 22, 23, 26, 33, 34, 35, 37, 38, 41, 42, 46, 46, 49, 50, 52, 54, 55




So 18 termos. A mediana corresponde mdia dos termos centrais: 38 + 412 = 39,5 O item 90 est certo.

A mediana divide o conjunto em duas partes com 9 elementos:

21, 22, 23, 26, 33, 34, 35, 37, 38 41, 42, 46, 46, 49, 50, 52, 54, 55

Cada parte tem 9 elementos.

Dentro de cada parte determinamos a mediana.

21, 22, 23, 26, 33, 34, 35, 37, 38 41, 42, 46, 46, 49, 50, 52, 54, 55

A mediana da primeira parte o primeiro quartil. A mediana da segunda parte o terceiro quartil.

90 = 33;91 = 49 O item 89 est errado.


Questo 27 SAD PE 2009 [CESPE]

Uma amostra dos registros de dezoito empresas mostrou os seguintes nmeros de acidentes de trabalho no ltimo ms:

1 0 1 2 1 3 1 1 0 0 0 0 1 1 2 4 0 0

Com base nas informaes apresentadas acima, correto afirmar que

A o intervalo interquartil foi inferior a 1,2.

B a mediana do nmero de acidentes de trabalho no ltimo ms foi igual a zero.

C a moda da amostra foi igual ou superior a 2.

D a amplitude dos valores observados na amostra foi igual ou inferior a 3.

E o nmero mdio de acidentes de trabalho no ltimo ms foi inferior a 0,8.

Resoluo.

Agrupando os dados por valor:

Valor Frequncia

0 7

1 7

2 2

3 1

4 1

Temos duas modas: 0 e 1. O conjunto bimodal. A alternativa C est errada.




A mdia fica:

Valor Frequncia Valor vezes frequencia

0 7 0

1 7 7

2 2 4

3 1 3

4 1 4

Total 18 18

% = 1818 = 1 A alternativa e est errada.

A letra d fala sobre amplitude, que uma medida de disperso. A amplitude dada pela diferena entre o maior e o menor valor.

; = 4 0 = 4 A amplitude no menor ou igual a 3.

A alternativa e est errada.

Sobraram as alternativas a e b, que dizem respeito s medidas separatrizes.

Valor Frequncia Frequencia acumulada

0 7 7

1 7 14

2 2 16

3 1 17

4 1 18

So 18 termos. Os termos centrais so o 9 e o 10.

Da tabela acima, sabemos que < = 6 = 08 = = 05 = 1 Logo, a mediana igual a:

4 = 6 + 082 = 1 A alternativa b est errada.

Por excluso, marcamos a alternativa a.

Para treinarmos, vamos calcular o intervalo interquartil.

A mediana divide o conjunto de dados em duas partes com 9 elementos cada.

O termo do meio da primeira parte 7 = 0. O termo do meio da segunda parte 05 = 1 O intervalo interquartil fica:

91 90 = 1 0 = 1 Este nmero, de fato, menor que 1,2.




Gabarito: A

Questo 28 SERPRO 2010 [CESPE]

Certa empresa, em determinado ms, realizou levantamento acerca da quantidade diria de acessos simultneos ao seu sistema, cujo resultado mostrado na figura acima. A partir das informaes apresentadas nesta figura, e considerando que a distribuio da quantidade diria de acessos simultneos representada pela varivel X, julgue os itens a seguir.

28. A quantidade de 2.000 acessos simultneos dirios representa o primeiro quartil da distribuio X.

30. A mediana amostral de X igual a 3.500

Resoluo.

Podemos representar os dados pela seguinte tabela de frequncias acumuladas:

Valor Frequncia Frequncia acumulada

1 5 5

2 6 11

3 10 21

4 6 27

5 3 30

6 1 31

So 31 termos. O termo do meio dcimo sexto 02, que corresponde frequncia acumulada 16.

Da tabela acima, temos que 0( = 01 = 05 = 07 = 02 = = (0 = 3 A mediana vale 3 (mil acessos). O item 30 est errado.




A mediana divide o conjunto de dados em duas partes, com 15 elementos cada.

A mediana da primeira parte, que coincide com o primeiro quartil, o oitavo elemento = < = 00 = 2 O primeiro quartil igual a 2 (mil acessos).

O item 28 est certo.

Gabarito: certo, errado

Questo 29 INMETRO 2010 [CESPE]

As massas corporais (em kg) de 35 crianas de uma escola esto representadas no diagrama de ramos e folhas a seguir.

A partir dessas informaes, correto afirmar que o peso correspondente ao 25. percentil igual a

A 27.

B 29.

C 35.

D 38.

E 39.

Resoluo

Vamos fazer a contagem diretamente no diagrama.

So 35 elementos (informao dada no incio do texto). A mediana corresponde ao termo do meio 0




Classes de VDF frequncia simples frequncia acumulada

0




0




Com base na situao hipottica acima descrita, julgues os itens abaixo

1. A mediana da distribuio dos salrios mensais brutos dos empregados dessa rede de supermercados est entre R$ 700,00 e R$ 1.100,00.

2. Estima-se que 125 empregados recebam um salrio mensal bruto de at R$ 900,00.

Resoluo.

Primeiro item.

Para no continuar escrevendo caixa/vendedor/atendimento ao cliente, vou designar esses profissionais apenas por caixa.

Podemos montar a seguinte tabela:

Cargo faixa salarial frequncia simples freq. acumulada

caixa I 500,00 S < 700,00 50 50

caixa II 700,00 S < 1.100,00 150 200

caixa III 1.100,00 S < 1.300,00 100 300

Tc-adm mdio ? 100 400

Tc-adm superior ? 90 490

Gerncia ? 10 500

Supondo que nenhum tcnico administrativo de nvel mdio ganhe menos que 1.300, ento as frequncias das trs primeiras classes so as indicadas na tabela acima.

A mediana corresponde frequncia acumulada 250 (=50% de 500). Logo, a mediana estaria na terceira classe, entre 1.100 e 1.300 e o item estaria errado.

O grande problema que podemos ter tcnicos de nvel mdio com salrios inferiores a 1300.

Para que o item fosse correto, deveramos ter, pelo menos, 50 tcnicos de nvel mdio com salrios inferiores a 1.100, o que faria com que a frequncia acumulada da segunda classe fosse maior ou igual a 250 e, consequentemente, a mediana estivesse entre 700 e 1.100.

So 100 tcnicos de nvel mdio. razovel esperar que aproximadamente 50 deles tenham salrios superiores a 1.500 (que a mdia deste grupo) e que 50 tenham salrios inferiores a 1.500.

Se aproximadamente 50 tm salrios inferiores a 1.500, muito improvvel que nenhum desses 50 tenha salrios entre 1.300 e 1.500, o que torna razovel afirmar que a mediana esteja na terceira classe.

Item errado.

Sinceramente, no sei se o intuito da banca era que o candidato trabalhasse com tantas hipteses. Talvez a pretenso fosse mais simples. Talvez devssemos simplesmente supor que os tcnicos de nvel mdio ganham salrios superiores a 1.300,00, o que tornaria o item bem mais tranquilo. Ns, inclusive, faremos isso no prximo item.

Terceiro item.




Trabalhando com a hiptese simplificadora que comentamos acima (ou seja, a de que os tcnicos de nvel mdio ganham salrios superiores a 1.300,00), as classes iniciais incluiriam apenas os caixas:

Cargo faixa salarial freq. acumulada

caixa I 500,00 S < 700,00 50

caixa II 700,00 S < 1.100,00 200

caixa III 1.100,00 S < 1.300,00 300

Temos:

700 50 700 corresponde a 50

900 Z 900 corresponde a quem?

1.100 200 1.100 corresponde a 200

Como 900 est bem no meio entre 700 e 1.100, ento Z est bem no meio entre 50 e 200. Logo, 125=Z .

Assim, realmente a estimativa do nmero de empregados com salrios inferiores a 900 de 125.

Item certo.



Uma prefeitura registrou o aumento do valor venal V (em R$ por metro quadrado) de 200 imveis localizados em certo bairro residencial, conforme apresentado na tabela a seguir:

Valor V (R$/m2) Nmero de imveis

V = 0 80

0 < V 10 50

10 < V 20 35

20 < V 30 25

30 < V 50 10

Total 200


5. O terceiro quartil da distribuio de V inferior a R$ 20,00/m2.

6. A mediana, que igual a R$ 25,00/m2, o valor que divide os 50% valores mais baixos dos 50% mais altos.

Quinto item:

Terceiro quartil o valor que no superado por 75% das observaes.

Sempre que calculamos medidas separatrizes, precisamos trabalhar com freqncias acumuladas.




Classe freqncia

simples

freqncia acumulada memria de clculo

V = 0 80 80 80= 0 < V 10 50 130 5080+=

10 < V 20 35 265 35130+= 20 < V 30 25 290 25265+= 30 < V 50 10 300 10290+=

75% de 300 igual a 225.

Assim, a pergunta : qual valor corresponde freqncia acumulada de 225.

Sabemos que o valor 20 no superado por 265 observaes.

Sabemos que o valor 10 no superado por 130 observaes.


Z = ? 225 Quem corresponde a 225?


225 est entre 130 e 265.

O nmero procurado, portanto, est entre 10 e 20. Logo, realmente ele inferior a 20, como foi afirmado no item.

Gabarito: Certo.

Sexto item:

A mediana realmente divide a seqncia de dados em duas partes com o mesmo nmero de observaes (50% para cada lado). Esta parte do enunciado est correta. S nos resta saber se a mediana, de fato, igual a 25.

Classe freqncia acumulada

V = 0 80

0 < V 10 130

10 < V 20 265

20 < V 30 290

30 < V 50 300

50% de 300 150.


Z = ? 150 Quem corresponde a 150?


A mediana est entre 10 e 20. Logo, ela no pode ser igual a 25. O item est errado.

Gabarito: Errado





Considerando a tabela acima, que apresenta a distribuio do quadro de colaboradores da CAIXA, em mil pessoas, no final dos anos de 2006 e 2007, julgue os itens seguintes.

Se as mdias das idades dos funcionrios, estagirios e prestadores de servio em 2007 foram, respectivamente, iguais a 40 anos, 20 anos e 35 anos, ento a mdia das idades dos colaboradores em 2007 foi inferior a 35 anos.

A mdia geral uma mdia ponderada das mdias de cada grupo. Os pesos de ponderao so as quantidades de observaes em cada grupo.

% = 74 40 + 16 20 + 10 3574 + 16 + 10

% = 2960 + 320 + 350100 % = 36,3 Gabarito: errado

Questo 34 PAPILOSCOPISTA 2004 [CESPE]

O ser humano tem impressos nos dedos das mos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padres conhecidos como tipos fundamentais de impresses digitais. H raras excees a essa regra de classificao. Por isso, essa regra utilizada para a identificao de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores direitos de 200 indivduos, obteve a seguinte distribuio dos tipos fundamentais, segundo o gnero (homem/mulher).

No estudo desse perito, foram associados valores , e? para cada indivduo, da seguinte maneira: = 1, caso o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for verticilo e = 0, caso contrrio; = 1 se o tipo fundamental da impresso digital do




indivduo for arco e = 0, caso contrrio; ? = 1 se o indivduo for mulher e ? = 0 se for homem. Como resultado desse procedimento, formam-se trs sries estatsticas, respectivamente, , e, cada uma com duzentas observaes.

A partir dessas informaes, julgue o item a seguir.

A mdia da soma + igual a 1.

Resoluo:

Os tipos fundamentais so mutuamente excludentes. Ou seja, as 30 pessoas que possuem arco so diferentes das 70 pessoas que possuem verticilo.

Primeiro contamos as pessoas que tm presilha (interna ou externa):

15 + 10 + 35 + 40 = 100

Essas 100 pessoas no apresentaram nem arco nem verticilo. Ento apresentam = 0 e = 0. H ainda 30 pessoas que apresentam arco e no apresentam verticilo = 1e = 0. Outras 70 pessoas apresentam verticilo e no apresentam arco = 1e = 0. Com isso podemos montar a seguinte tabela de frequncias:

Frequncia @ 0 0 100 0 1 30 1 0 70 1 1 0

Agora podemos estudar o comportamento da varivel soma:

A = + Frequcia @ A @ 0 0 0 100 0 0 1 1 30 30 1 0 1 70 70 1 1 2 0 0

Total 200 100

Acima chamei a varivel soma de "W".

Ficamos com:

AB = 100200 = 0,5 A mdia da soma diferente de 1.

Gabarito: errado





De acordo com um levantamento estatstico, a mdia das idades de um grupo de presidirios igual a 31 anos de idade. Nesse levantamento, os presidirios foram classificados como A ou B, dependendo da sua condio psicossocial. Constatou-se que a mdia das idades dos presidirios classificados como A menor que a mdia das idades dos presidirios classificados como B. A tabela acima apresenta algumas medidas estatsticas obtidas por meio desse levantamento.

A partir das informaes acima, julgue o item que se segue.

O nmero de presidirios classificados como A igual ao dobro do nmero de presidirios classificados como B.

Resoluo:

Vamos fazer um diagrama representando a mdia de A, de B, e a mdia geral:

Quanto menor a distncia entre a mdia de A e a mdia geral, mais pessoas temos no grupo A. Isso ocorre porque, quanto maior a proporo de pessoas em A, mais esse grupo consegue "puxar" a mdia geral para o seu lado. Consequentemente, menos pessoas temos em B.

Ou seja, a distncia entre a mdia de A e a mdia geral tem relao direta com a quantidade de pessoas em B.

Analogamente, a distncia entre a mdia de B e a mdia geral tem relao direta com a quantidade de pessoas em A.

Vejam que:

a distncia entre a mdia de A e a geral 1 31 30 = 1;




a distncia entre a mdia de B e a geral 2 33 31 = 2; Uma distncia o dobro da outra. Logo, um grupo tem o dobro de pessoas do outro grupo.

O grupo com mais gente o grupo A, pois est mais prximo da mdia geral. Logo, o grupo A tem o dobro de pessoas do grupo B.

Gabarito: certo

Questo 36 SEFAZ ES 2010 [CESPE]

Considere que, a fim de avaliar despesas com salrios do pessoal lotado em rgos do Poder Executivo, determinada secretaria de fazenda decidiu fazer um levantamento em quatro rgos em relao ao ms de agosto de 2009. Os dados observados esto apresentados na tabela acima.

Com base nessas informaes, julgue o prximo item.

Em agosto de 2009, os salrios mdios do pessoal nesses rgos foram superiores a C$4.500,00.

Resoluo:

Lembrando que os gastos com pessoal esto em C$10.000,00. A mdia para o rgo "A" dada pela diviso entre o gasto total com pessoal 100 10.000 = 1.000.000 e a quantidade total de cargos 40 + 180 = 220. A mdia fica:

%E = 1.000.000220 4.545

A mdia para o rgo "B" certamente maior que a mdia de "A". Isso porque o gasto total foi 20% maior que em "A" (no clculo da mdia, aumentamos o numerador) e a quantidade de funcionrios praticamente no se alterou.

%G > %E Logo, a mdia em "B" tambm maior que 4.500,00.




Em "C" a mdia tambm maior que em "A". Isso porque, em relao a "A", o gasto total aumentou 50% (de 100 para 150). E o nmero de funcionrios aumentou menos de 50%. Ou seja, estamos, proporcionalmente, aumentando o numerador mais que o denominador. Isso aumenta a frao, logo, aumenta a mdia.

Em "D" a mdia tambm maior que em "A". Isso porque o gasto total aumentou 80%. E a quantidade de funcionrios aumentou menos de 80%. Cabem, portanto, os mesmos comentrios que fizemos para o rgo "C".

Assim, certo afirmar que as mdias so todas maiores que 4.500,00.

Gabarito: certo

Questo 37 MDIC 2001 [CESPE]

A tabela seguinte mostra as cotaes, em reais, do dlar norte-americano para compra, para 10 dias do ms de dezembro de 2000.

Com base nas informaes acima, julgue o item que se segue.

A cotao mdia para os dias considerados foi de R$ 2,08.

Resoluo

Para facilitar as contas, vamos criar a varivel auxiliar "d":

I = 2 100 Com isso, na prtica, estamos considerando s os centavos:

5, 5, 6, 6, 4, 6, 8, 13, 13, 14

A mdia dada pela soma de todos os valores, dividida pela quantidade de observaes:

I = 5 + 5 + 6 + 6 + 4 + 6 + 8 + 13 + 13 + 1410 I = 8010 = 8

Agora podemos achar a mdia de :




= I100 + 2 = I100 + 2

= 0,08 + 2 = 2,08 Gabarito: certo

Questo 38 BACEN 2000 [CESPE] Cliente paga at 10,70% no cheque especial

Uma pesquisa mensal de taxas de juros bancrios, feita entre 11 e 12 de janeiro de 2000 pela Fundao PROCON / SP, detectou que a maior taxa mensal do cheque especial chegou a 10,70%, nos bancos Real e Bandeirantes. No caso de emprstimo pessoal, a maior taxa atingiu os 5,50% ao ms, no Ita e BCN. Nos quatorze bancos pesquisados, a taxa mdia mensal do cheque especial foi de 9,66% (inferior aos 9,69% de dezembro de 1999), enquanto a do emprstimo pessoal ficou nos 4,85% (em dezembro de 1999, ela foi de 4,98%).

No caso do cheque especial, verificou-se que a menor taxa de juros mensal foi praticada pela Caixa Econmica Federal e, quanto ao emprstimo pessoal, a pesquisa detectou que a menor taxa mensal (4,20%) foi praticada pelo BANESPA.

"Economia". In: Hoje em dia. 20/1/2000 (com adaptaes).

Com base nas informaes do texto, julgue o item seguinte.

No perodo da pesquisa, a taxa de juros mensal do cheque especial praticada pela Caixa Econmica Federal foi inferior a 9.5% ao ms.

Resoluo:

Nesta resoluo, todas as taxas vo se referir a cheque especial, ok? Alm disso, vou omitir os smbolos de porcentagem.

J sabemos que a mdia foi de 9,66, que os dois maiores valores foram 10,7 e que a menor taxa a da Caixa, desconhecida.

Vamos chamar essa taxa desconhecida de "z".

Se a menor taxa a da Caixa, ento ela, no mximo, igual mdia geral (9,66). Isso ocorreria se todas as observaes fossem exatamente iguais mdia.

Contudo, se tivermos observaes um pouco maiores que a mdia (como o caso das taxas de 10,7), ento necessariamente h valores menores que a mdia.




Considerando o melhor caso possvel, tentando maximizar o valor de "z", vamos fazer o seguinte. Vamos supor que, tirando Real e Bandeirantes (taxa de 10,7), todos os demais bancos tm taxa igual a "z".

Da ficamos com:

= 05J014 9,66 = 10,7 + 10,7 + 12 ?14 14 9,66 = 21,4 + 12? 135,24 = 21,4 + 12?

12? = 135,24 21,4 = 113,84 ? = 113,84 12 9,48

Ou seja, no melhor caso possvel, em que tentamos maximizar a taxa da Caixa, ela foi igual a 9,48%. Logo, com certeza podemos afirmar que menor que 9,5%.

Gabarito: certo


Um analista estudou a relao entre o montante de mil reais disponveis para investimentos nas localidades e a respectiva quantia de mil reais indevidamente utilizados pelos gestores pblicos responsveis. Foram consideradas as seguintes estatsticas descritivas acerca dessas variveis.

O modelo considerado tem a forma = L8 + L0 + M e foi ajustado pelo mtodo de mnimos quadrados ordinrios. Aqui, L8 e L0 so os coeficientes do modelo e M representa o erro aleatrio. A correlao de Pearson entre e foi igual a 0,6936 e a estatstica do teste F referente ao modelo em questo foi igual a 9,27.

Com base nessas informaes, julgue o prximo item, relativo a correlao, regresso e distribuies conjuntas.

Ao se efetuar a operao = 1.000 , a estimativa da mdia de Z ser superior a R$ 360 milhes e inferior a R$ 380 milhes.




Resoluo:

Aplicando as propriedades da mdia, temos:

= 1.000 % % = 1.000 415.583,33 41.590,33

= 1.000 373.993

A mdia de Z de aproximadamente 374 milhes de reais. Gabarito: certo

Observao: no ficou claro se os valores apresentados no quadro, referentes s mdias de X e Y, j esto em mil reais ou no. Caso estejam, ento, na verdade, a mdia de Z seria de aproximadamente 374 bilhes de reais, e o item estaria errado.

Questo 40 CAMARA DOS DEPUTADOS 2012 [CESPE]

Para avaliar os gastos com transporte de determinada diretoria, um analista coletou amostras de despesas com transportes (em R$) registradas por servidores dos setores1 e 2. Para cada setor, a amostra constituda por 50 registros. Essas amostras foram organizadas graficamente, e os resultados so mostrados na figura acima. Nesta figura, as frequncias absolutas esto indicadas nos histogramas correspondentes. Os dados foram os seguintes:




Setor 1

308,73 311,80 358,33 359,89 371,53 379,82

383,76 388,66 391,53 394,65 414,60 416,38

418,34 419,42 427,85 428,58 432,06 436,61

442,49 450,53 450,98 452,35 471,70 473,11

476,76 481,46 484,89 490,07 499,87 500,52

502,06 513,80 514,39 521,96 522,18 526,42

528,76 531,53 547,91 572,66 591,43 596,99

609,44 632,15 639,71 677,48 683,76 688,76

723,79 767,53

Setor 2

488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49

572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25

624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56

663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98

693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84

735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80

762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97

807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09

943,10 963,25

Considerando essas informaes, julgue o item.

A despesa mdia com transporte dos servidores do setor 1 superior a R$ 500,00.

Resoluo

Apesar de termos acesso a todas as observaes, seria muito trabalhoso somar todas elas e dividir por 50. Ento, vamos calcular a mdia considerando apenas as frequncias de cada classe. Para tanto, convertemos o histograma em uma tabela:

Classes Ponto mdio (X) Frequncias simples

300 - 400 350 10

400 - 500 450 19




500 - 600 550 13

600 - 700 650 6

700 - 800 750 2

Para facilitar as contas, trabalhamos com a varivel auxiliar "d":

I = 450100 Pegamos a varivel original, subtramos 450 (ponto de maior frequncia) e dividimos por 100 (amplitude de classe).

Isso d origem seguinte tabela:

(X) d Frequncias (f) d x f

350 -1 10 -10

450 0 19 0

550 1 13 13

650 2 6 12

750 3 2 6

TOTAL 50 21

A mdia de "d" fica:

I = 2150 Agora podemos calcular a mdia de X:

I = 450100 = 100I + 450 % = 100I + 450

% = 100 2150 + 450 % = 42 + 450 = 492 A mdia no maior que 500.

Gabarito: errado

Questo 41 TCE ES 2012 [CESPE]

Uma instituio possui 15 empregados: 2 da referncia A, 4 da B e 9 da referncia C. O salrio mensal de cada empregado da referncia C igual a R$ 2.000,00; o de cada empregado da referncia B, R$ 3.500,00; e o salrio mensal de cada empregado da referncia A igual a R$ 5.000,00.





Se 6 empregados dessa instituio so do sexo masculino, ento o salrio mdio dos homens que nela trabalham est entre R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00.

Resoluo:

A menor mdia possvel para o salrio dos homens ocorrer se todos eles forem da referncia C. Neste caso, todos eles ganharo R$ 2.000,00 e, consequentemente, a mdia masculina ser de R$ 2.000,00.

A maior mdia possvel ocorrer se esses 6 homens forem todos das referncias A e B. Neste caso, a soma dos salrios ser:

5.000 + 5.000 + 3.500 + 3.500 + 3.500 + 3.500 = 24.000

A mdia dada pela diviso entre a soma dos dados e o nmero de observaes:

24.0006 = 4.000

Portanto, o salrio mdio realmente assume valores entre 2.000 e 4.000.

Gabarito: certo

Questo 42 PRF 2003 [CESPE]

O grfico acima ilustra o nmero de acidentes de trnsito nos estados do Acre, Mato Grosso do Sul, Amazonas, Esprito Santo e Minas Gerais, no ano de 2001.




Se, no ano de 2004, com relao ao ano de 2001, o nmero de acidentes de trnsito no Acre crescesse 10%, o do Mato Grosso do Sul diminusse 20%, o do Amazonas aumentasse 15% e os demais permanecessem inalterados, ento a mdia aritmtica da srie numrica formada pelo nmero de acidentes de trnsito em cada estado, em 2004, seria maior que a mediana dessa mesma srie.

Resoluo

Acre: a quantidade aumenta 10%. Aumentar algo em 10% o mesmo que multiplicar por (1 + 10 %) = 1,1.

O nmero de acidentes passa a:

2.100 1,1 = 2.310 Mato Grosso do Sul: a quantidade diminui 20%. Diminuir algo em 20% o mesmo que multiplicar por (1 - 20%) = 0,8.

6.400 0,8 = 5.120

Amazonas: aumenta 15%. Aumentar algo em 15% o mesmo que multiplicar por 1,15.

4.100 1,15 = 4.715 As demais quantidades permanecem: 10.300 e 13.100.

Agora, a soma de todas as quantidade fica:

2.310 + 5120 + 4715 + 10.300 + 13.100 = 35.545

Temos um total de 35.545 acidentes, distribudos em 5 estados. A mdia de: 35.5455 = 7.109 Para determinarmos a mediana, primeiro colocamos os dados em ordem crescente:

2.310, 4.715, 5.120, 10.300, 13.100

A mediana corresponde ao termo do meio (5.120).

Realmente a mdia maior que a mediana.

Gabarito: certo


pessoas diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padres conhecidos como tipos fundamentais de impresses digitais. H raras excees a essa regra de classificao. Por isso, essa regra utilizada para a identificao de uma pessoa. Um




perito, observando os dedos indicadores direitos de 200 indivduos, obteve a seguinte distribuio dos tipos fundamentais, segundo o gnero (homem/mulher).

No estudo desse perito, foram associados valores , e? para cada indivduo, da seguinte maneira: = 1, caso o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for verticilo e = 0, caso contrrio; = 1 se o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for arco e = 0, caso contrrio; ? = 1 se o indivduo for mulher e ? = 0 se for homem. Como resultado desse procedimento, formam-se trs sries estatsticas, respectivamente,, e, cada uma com duzentas observaes.


A mediana de superior a 0,8.

Resoluo

30 pessoas tm verticilo (=15 homens + 15 mulheres) e 170 no tem.

A tabela de frequncias da distribuio de X fica:

Frequncia simples Frequncia acumulada 0 170 170 1 30 200

So 200 termos. A mediana 4 corresponde mdia dos termos centrais 088e080. Da tabela acima temos que os 170 primeiros termos valem 0.

Logo:

088 = 080 = 0 4 = 0 Gabarito: errado





O ser humano tem impressos nos dedos das mos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padres conhecidos como tipos fundamentais de impresses digitais. H raras excees a essa regra de classificao. Por isso, essa regra utilizada para a identificao de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores direitos de 200 indivduos, obteve a seguinte distribuio dos tipos fundamentais, segundo o gnero (homem/mulher).

No estudo desse perito, foram associados valores , e? para cada indivduo, da seguinte maneira: = 1, caso o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for verticilo e = 0, caso contrrio; = 1 se o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for arco e = 0, caso contrrio; ? = 1 se o indivduo for mulher e ? = 0 se for homem. Como resultado desse procedimento, formam-se trs sries estatsticas, respectivamente, , eZ, cada uma com duzentas observaes.


A mediana do produto menor que 0,025.

Resoluo

Seja "P" a varivel produto de por . H 35 mulheres que apresentam verticilo = 1e = 1.Nesses casos:

P = 1 1 = 1 Todas as demais pessoas ou so homens = 0, ou no tm verticilo = 0, de modo que P = 0. Podemos montar a seguinte distribuio de frequncia:

P Frequncia @ 0 165

1 35

Total 200

So 200 elementos. A mediana 4 a mdia dos termos centrais. Ou seja, a mdia entre o centsimo e o centsimo primeiro valores de P. Da tabela acima, vemos que todos os 165 primeiros valores de P so iguais a 0. Logo:

P088 = P080 = 0 Assim:




4 = 0 + 02 = 0

Gabarito: certo

Questo 45 MPU 2010 [CESPE]

Considere que um perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto X , em meses, por empresas notificadas para quitar suas pendncias com a Previdncia Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendncias foi selecionada de um banco de dados da Previdncia. A partir dessa amostra, o perito fez uma anlise exploratria da varivel X, cujos resultados so apresentados a seguir.

Estatsticas Descritivas:

tempo mnimo = 2 meses

tempo mximo = 128 meses

17J0

= 1027;(17J0

= 66317; 135 Q17J0

R(= 30135,11

Grfico 1

Grfico 2




Nesse estudo, o perito efetuou avaliaes acerca do nmero de irregularidades Y que geraram pendncias em funo do porte das empresas: com menos de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os seguintes.

Com base nessas informaes, julgue o item.

O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuio de X assimtrica. Portanto, o nmero de observaes acima do segundo quartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao nmero de observaes abaixo de Q2.

Resoluo

O segundo quartil a mediana. Ela divide o conjunto de dados em duas partes com mesmo nmero de elementos. Ou seja, o nmero de observaes maiores que a mediana igual ao nmero de observaes menores que a mediana. Por isso o item est errado.

Gabarito: errado

Questo 46 MPU 2010 [CESPE]

Considere que um perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto X , em meses, por empresas notificadas para quitar suas pendncias com a Previdncia Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendncias foi selecionada de um banco de dados da Previdncia. A partir dessa amostra, o perito fez uma anlise exploratria da varivel X, cujos resultados so apresentados a seguir.

Estatsticas Descritivas:




tempo mnimo = 2 meses

tempo mximo = 128 meses

17J0

= 1027;(17J0

= 66317; 135 Q17J0

R(= 30135,11

Grfico 1

Grfico 2

Nesse estudo, o perito efetuou avaliaes acerca do nmero de irregularidades Y que geraram pendncias em funo do porte das empresas: com menos de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os seguintes.

Com base nessas informaes, julgue o item.




O diagrama apresentado a seguir o resumo dos 5 nmeros para a distribuio de X.

Resoluo

O esquema dos cinco nmeros traz:

o valor mnimo

o valor mximo

os quartis

Deste modo:

A partir do diagrama de ramos e folhas podemos obter todas essas informaes.

Aqui vale lembrar que o diagrama acima divide um nmero em duas partes. De um lado as unidades (as folhas), do outro lado o restante do nmero (ramos). As folhas se prendem aos ramos, para formar os nmeros. Ento "12" - espao - "8", significa 128. Analogamente, "9", espao, "2", significa 92. E assim por diante.

O diagrama dos cinco nmeros indica corretamente os valores mnimo e mximo (2 e 128).

O segundo quartil (Q2) a mediana, o termo que ocupa a posio central. So 35 elementos. O do meio o dcimo oitavo. Destacamos tal termo abaixo (basta ir contando, at chegar em 18):




A mediana vale 17. O diagrama dos 5 nmeros indica corretamente o Q2 valendo 17.

A mediana divide o conjunto em duas partes: os primeiros 17 elementos e os ltimos 17 elementos.

A mediana da primeira parte o primeiro quartil (Q1). No caso, entre os primeiros 17 elementos, o nono quem ocupa a posio central.

2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 11, 12, 12, 14, 15, 17

Portanto Q1 o nono elemento, que corresponde a 6. O diagrama dos cinco nmeros indicou corretamente tal quantia.

A mediana da segunda parte o terceiro quartil (Q3). A segunda parte :

17, 20, 20, 23, 25, 25, 27, 34, 35, 49, 57, 62, 68, 88, 92, 110, 128

O terceiro quartil 35. O diagrama de cinco nmeros indicou incorretamente este valor (34,5).

Deste modo, eu marcaria "errado". O item foi dado como "correto" pela banca.

Gabarito: certo

Questo 47 CAMARA DOS DEPUTADOS 2012 [CESPE]




Para avaliar os gastos com transporte de determinada diretoria, um analista coletou amostras de despesas com transportes (em R$) registradas por servidores dos setores1 e 2. Para cada setor, a amostra constituda por 50 registros. Essas amostras foram organizadas graficamente, e os resultados so mostrados na figura acima. Nesta figura, as frequncias absolutas esto indicadas nos histogramas correspondentes. Os dados foram os seguintes:

Setor 1

308,73 311,80 358,33 359,89 371,53 379,82

383,76 388,66 391,53 394,65 414,60 416,38

418,34 419,42 427,85 428,58 432,06 436,61

442,49 450,53 450,98 452,35 471,70 473,11

476,76 481,46 484,89 490,07 499,87 500,52

502,06 513,80 514,39 521,96 522,18 526,42

528,76 531,53 547,91 572,66 591,43 596,99

609,44 632,15 639,71 677,48 683,76 688,76

723,79 767,53

Setor 2




488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49

572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25

624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56

663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98

693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84

735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80

762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97

807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09

943,10 963,25

Considerando essas informaes, julgue o item.

A mediana das despesas registradas pelos servidores do setor 2 igual a R$ 693,35.

Resoluo

A mediana a mdia aritmtica dos valores centrais. No caso, os valores centrais so o 25 e o 26, abaixo destacados:

488,37 493,73 547,72 552,66 567,94 571,49

572,26 582,00 583,63 594,77 598,46 619,25

624,20 631,03 634,51 637,21 655,70 657,56

663,81 670,12 671,90 673,78 684,69 685,98

693,35 698,58 708,78 719,80 721,16 734,84

735,94 746,34 754,83 756,10 756,96 760,80

762,29 766,24 770,11 797,73 804,06 805,97

807,29 832,83 844,00 866,77 878,27 897,09

943,10 963,25

A mediana est entre 693,35 e 698,58. Logo, maior que 693,35. Item errado.

Gabarito: errado


Uma instituio possui 15 empregados: 2 da referncia A, 4 da B e 9 da referncia C. O salrio mensal de cada empregado da referncia C igual a R$ 2.000,00; o de cada empregado da referncia B, R$ 3.500,00; e o salrio mensal de cada empregado da referncia A igual a R$ 5.000,00.





O salrio mediano dos 15 empregados dessa instituio igual a R$ 2.800,00.

Resoluo

Na tabela abaixo relacionamos as quantidades de funcionrios para cada referncia:

Referncia Salrio frequncia simples frequncia acumulada

C 2.000 9 9

B 3.500 4 13

A 5.000 2 15

So 15 termos. A mediana o termo central, ou seja, o que ocupa a oitava posio.

Da tabela acima, conclumos que os 9 primeiros elementos so iguais a 2.000,00. Logo, o oitavo termo vale R$ 2.000,00.

Mediana = 2.000

Gabarito: errado.

Questo 49 INSS 2008 [CESPE]

Segundo uma associao de indstrias de chocolate, em 2008 sero produzidos 100 milhes de ovos de Pscoa. A tabela acima apresenta a distribuio dos ovos segundo a massa de cada ovo e as quantidades produzidas nos anos anteriores.

Correio Braziliense, 17/2/2008, p. 26 (com adaptaes).

Com base nessas informaes, julgue o item subseqente.

A moda da distribuio T superior a 49,9 g e inferior a 200,1 g.

Resoluo




Vejam que as classes tm amplitudes diferentes. Quando isso ocorre, a classe modal aquela que tem maior densidade de frequncia.

Lembrando, a densidade de frequncia igual diviso entre a frequncia relativa e a amplitude de classe.

Classe @S% I@S 50 V 200 48 150 0,32 200 < V 300 36 100 0,36 300 < V 500 12 200 0,06 500 < V 1000 4 500 0,08

Na tabela acima, temos:

fr a frequncia relativa, que est expressa em porcentagem

"h" a amplitude de classe (diferena entre limite superior e limite inferior de cada classe)

dfr a densidade de frequncia relativa, tambm expressa em porcentagem.

Vejam que a maior densidade de frequncia ocorre na segunda classe. Logo, a moda est entre 200 e 300.

Gabarito: errado


Em pesquisa realizada para se estimar o salrio mdio dos empregados de uma empresa, selecionou-se, aleatoriamente, uma amostra de nove empregados entre todos os empregados da empresa. Os dados de tempo de servio, em anos, e salrio, em quantidade de salrios mnimos, dos indivduos dessa amostra esto dispostos na tabela abaixo.

A partir dos dados da tabela, julgue o item seguinte.

Excluindo-se da amostra um empregado qualquer, nem o menor salrio nem a moda amostral sofreriam alteraes com relao aos valores observados na amostra completa.

Resoluo




O menor salrio de 5 mnimos. H duas pessoas com este salrio. Mesmo que uma delas seja excluda da amostra, a outra pessoa que ganha 5 salrios mnimos ir permanecer, mantendo a menor observao inalterada.

Quanto moda, lembre-se que se trata do valor que mais se repete (ou seja, o valor com maior frequncia).

A moda amostral para os salrios 6. So quatro pessoas com este salrio. Mesmo que uma delas seja excluda da amostra, restariam trs pessoas com 6 salrios. Ainda seria o valor com maior frequncia.

Portanto, correto afirmar que o salrio modal e o menor salrio no seriam afetados pela excluso de uma observao da amostra.

Gabarito: certo

3. Medidas de disperso


Um estudo foi realizado por uma prefeitura acerca da qualidade do atendimento no hospital municipal da cidade. Com base em uma amostra de 100 dias, foram produzidas as seguintes estatsticas referentes ao nmero dirio de pacientes atendidos.

mdia = 30

varincia amostral = 100

mnimo = 0

primeiro quartil = 10

segundo quartil = 25

terceiro quartil = 40

mximo = 60.

Resoluo:

Com base nas informaes apresentadas no texto, julgue os itens subseqentes.

3. Em pelo menos metade dos dias observados no estudo foram registradas contagens inferiores a 11 pacientes ou superiores a 39 pacientes.

4. O intervalo interquartil, que uma medida alternativa ao desvio padro, inferior a 25.




Terceiro item:

Classe freqncias acumulada

0 10 25%

10 - 25 50%

25 40 75%

40 60 100%

Sabemos que 25% das observaes so menores ou iguais a 10.

Sabemos que 75% das observaes so menores ou iguais a 40. Logo, 25% das observaes so maiores que 40.

Logo, pelo menos metade das observaes so menores ou iguais a 10 e maiores que 40.

O intervalo pedido pelo enunciado (observaes menores que 11 ou maiores que 39) um intervalo ainda maior, que pode abranger, portanto, um percentual ainda maior de valores.

Assim, pelo menos metade das observaes so menores que 11 ou maiores que 39.

Gabarito: Certo.

Quarto item:

Intervalo interquartil a diferena entre o terceiro e o primeiro quartil. Para esta questo, temos:

intervalo_inter_quartil 301040 ==

O intervalo interquartil no inferior a 25. O item est errado.

Gabarito: Errado

Questo 52 INMETRO 2009 [CESPE]

A tabela a seguir mostra dados de medies do dimetro externo de microfones. Na tabela xi, representa o valor do dimetro, em polegadas, e , a mdia, tambm em polegadas.




Nesse caso, a mdia dos dimetros, em polegadas, e a varincia, em polegada2 so, respectivamente, iguais a

A 0,249 e 0,000004.

B 0,250 e 0,000004.

C 0,250 e 0,000005.

D 0,251 e 0,0005.

E 0,251 e 0,05.

Resoluo.

Vamos nos concentrar na ltima linha da tabela.

O maior valor obtido para x foi 0,253. Quando subtramos este valor da mdia, obtemos 0,003.

Logo:

0,253 = 0,003 = 0,253 0,003 = 0,25

A mdia 0,25.

Para achar a varincia, precisamos calcular a mdia dos quadrados dos desvios.

Os quadrados dos desvios j esto indicados na ltima coluna da tabela. S temos que fazer a mdia entre eles.

Para facilitar, vamos multiplicar todos os valores ali indicados por 1.000.000. Com isso, os quadrados dos desvios ficam:

9, 1, 0, 0, 1, 9

Fazendo a mdia:




9 + 1 + 0 + 0 + 1 + 96 1 = 205 = 4 Como multiplicamos todos os dados por 1.000.000, a mdia tambm foi multiplicada por 1.000.000.

Precisamos dividir este resultado por 1.000.000, para achar a correta mdia dos quadra

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Lista 01 - Estatística Descritiva