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  • Lo imposibleen matemticas

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    A lo largo de la historia, los matemticos se han encontradocon nmeros, ecuaciones, geometras y clculos imposibles.

    En qu consisten y cules son los lmites de estas imposibilidades, es lo que Carlos Prieto de Castro explica en esta obra. A travs de

    los ojos de Sotero, Julio, Isabel, doa Teresa y don Ral, una familia de aficionados a las matemticas, podemos conocer y comprender

    aquellos acertijos sin respuesta, al tiempo que se abreante nuestros ojos un mundo de nuevos problemas y soluciones.Este libro permite viajar en el tiempo de las matemticas de la

    Antigedad clsica a las de nuestros das, presenta la viday obra de los grandes personajes que forjaron las matemticas como las conocemos hoy y muestra una faceta de esta ciencia que resulta

    comprensible, entretenida y disfrutable.

    Carlos Prieto de Castro es matemtico por la unam y por la Universidadde Heidelberg, Alemania. Labora como investigador del Instituto de

    Matemticas de la unam y es miembro de la Sociedad Matemtica Mexicana,

    la cual presidi. Su investigacin abarca la topologa algebraica

    y los mtodos topolgicos en anlisis no lineal.

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    M A T E M T I C A S

    L AC I E N C I A

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    Primera edicin 2017/Forro rstico 13.5 x 21 cm/ 224pp/ lomo 1.2 cm cm/ interiores papel cultural 75 grs / Diseo: Teresa Guzmn /Tamao del documento 28.2 cm x 21 cm

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  • LO IMPOSIBLE EN MATEMTICAS

  • La Ciencia para Todos

    En 1984 el Fondo de Cultura Econmica concibi el proyecto editorial La Ciencia desde Mxico con el propsito de divulgar el conocimiento cientfi co en espaol a travs de libros breves, con carcter introductorio y un lenguaje claro, accesible y ame-no; el objetivo era despertar el inters en la ciencia en un pbli-co amplio y, en especial, entre los jvenes.

    Los primeros ttulos aparecieron en 1986, y si en un princi-pio la coleccin se conform por obras que daban a conocer los trabajos de investigacin de cientfi cos radicados en Mxi-co, diez aos ms tarde la convocatoria se ampli a todos los pases hispanoamericanos y cambi su nombre por el de La Cien-cia para Todos.

    Con el desarrollo de la coleccin, el Fondo de Cultura Eco-nmica estableci dos certmenes: el concurso de lectoescritu-ra Leamos La Ciencia para Todos, que busca promover la lec-tura de la coleccin y el surgimiento de vocaciones entre los estudiantes de educacin media, y el Premio Internacional de Divulgacin de la Ciencia Ruy Prez Tamayo, cuyo propsito es incentivar la produccin de textos de cientfi cos, periodistas, divulgadores y escritores en general cuyos ttulos puedan in-corporarse al catlogo de la coleccin.

    Hoy, La Ciencia para Todos y los dos concursos bienales se mantienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, con un objetivo an ms ambicioso: hacer de la ciencia parte funda-mental de la cultura general de los pueblos hispanoameri canos.

  • Comit de seleccin de obras

    Dr. Antonio AlonsoDr. Francisco Bolvar ZapataDr. Javier BrachoDr. Juan Luis CifuentesDra. Rosalinda ContrerasDra. Julieta FierroDr. Jorge Flores ValdsDr. Juan Ramn de la FuenteDr. Leopoldo Garca-Coln Scherer ()Dr. Adolfo Guzmn ArenasDr. Gonzalo Halfft erDr. Jaime MartuscelliDra. Isaura MezaDr. Jos Luis Morn LpezDr. Hctor Nava JaimesDr. Manuel PeimbertDr. Jos Antonio de la PeaDr. Ruy Prez TamayoDr. Julio Rubio OcaDr. Jos SarukhnDr. Guillermo SobernDr. Elas Trabulse

  • Carlos Prieto de Castro

    LO IMPOSIBLE EN MATEMTICAS

    laciencia/249

    para todos

  • Primera edicin, 2017Primera edicin electrnica (pdf), 2017

    Prieto de Castro, CarlosLo imposible en matemticas / Carlos Prieto de Castro. Mxico : FCE,

    SEP, Conacyt, 2017224 p. : ilus. ; 21 14 cm (Colec. La Ciencia para Todos ; 249) Texto para nivel medio y medio superior ISBN 978-607-16-5256-0 (impreso)ISBN 978-607-16-5400-7 (pdf)

    1. Matemticas Historia 2. Matemticas 3. Divulgacin cientfi ca I. Ser. II. t.

    LC QA 39 P75 Dewey 508.02 C569 V. 249

    La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Econmica, al que pertenecen tambin sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretara de Educacin Pblica y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa.

    Diseo de portada: Teresa Guzmn Romero

    D. R. 2017, Fondo de Cultura EconmicaCarretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Ciudad de Mxicowww.fondodeculturaeconomica.comComentarios: editorial@fondodeculturaeconomica.comTel. (55) 5227-4672

    Se prohbe la reproduccin total o parcial de esta obra, sea cual fuere el medio, sin la anuencia por escrito del titular de los derechos.

    ISBN 978-607-16-5256-0 (impreso)ISBN 978-607-16-5400-7 (pdf)

    Hecho en Mxico Made in Mexico

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    NDICE

    Prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    I. Nmeros imposibles de alcanzar y otras imposibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    El encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 El nmero ms grande . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Sotero Prieto Rodrguez . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    II. Nmeros imposibles de calcular y otras imposibilidades 29 Aos despus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 La irracionalidad de

    2 . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    Potencias consecutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pitgoras de Samos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Hipaso de Metaponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Gersnides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Eugne Charles Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Preda Mihilescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    III. Lo imposible en geometra . . . . . . . . . . . . . . . 47 Duplicar el cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Trisecar un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Construccin de polgonos regulares . . . . . . . . 59

  • 8

    Cuadrar el crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ms polgonos construibles . . . . . . . . . . . . . . 70 El pentgono y la proporcin urea . . . . . . . . . 76 Arqumedes de Siracusa . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Platn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Carl-Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    IV. Embaldosados imposibles . . . . . . . . . . . . . . . 94 Embaldosados planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Embaldosados esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Los poliedros platnicos . . . . . . . . . . . . . . . . 112 La demostracin de la frmula de Euler . . . . . . . 119 Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Evgraf Fedorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    V. Lo imposible en lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Dios cre los nmeros naturales . . . . . . . . . . . 127 Los nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Los nmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Extensiones de campo: los nmeros algebraicos . . 130 Nmeros trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Teorema fundamental del lgebra . . . . . . . . . . 140 Los cuaterniones y los nmeros de Cayley . . . . . 142 Carl Louis Ferdinand von Lindemann . . . . . . . . 145 Adolf Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Johann Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 John Frank Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    VI. Geometras imposibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Imposibilidad de demostrar . . . . . . . . . . . . . . 153 El mtodo axiomtico . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Los cinco postulados de Euclides . . . . . . . . . . . 159 Intentos de demostrar el quinto postulado . . . . . 160

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    En busca de una contradiccin . . . . . . . . . . . 162 Pensar lo nuevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Uno de los modelos de Beltrami . . . . . . . . . . . 169 Los cinco postulados en el modelo . . . . . . . . . 175 Interpretacin del modelo . . . . . . . . . . . . . . 182 El inicio de Los elementos de Euclides . . . . . . . . 183 Euclides de Alejandra . . . . . . . . . . . .