Lösung der elastischen Wellengleichung auf Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gittereinem variablen FD-Gitter

Daniel Köhn und Thomas BohlenDaniel Köhn und Thomas Bohlen

Graz, den 24. Januar 2005Graz, den 24. Januar 2005

Einführung in die adaptive FD-Modellierung

Kantenlänge LKantenlänge L

L/2L/2

Vs1

Vs2 >> Vs1

FD-Diskretisierung auf einem homogenen Gitter

Vs1

Beachte Gitterdispersion:dh 1/nmit1=Vs1/fmax

n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung)

Vs2>> Vs1

L/2L/2

„ oversampled “

FD-Diskretisierung auf einem adaptiven Gitter

Vs1

Beachte Gitterdispersion:dh 1/nmit1=Vs1/fmax

n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung)

Vs2>> Vs1

L/2L/2

Rechenzeitersparnis

Rechenzeit 2D: 1/25

Rechenzeit 3D: 1/125

Implementierung des adaptiven FD-Codes

Nach Jastram (1992)

Testproblem:homogener Raum (1x1 m), umgeben von Luft

100x100 Gitterpunktedt = 3e-6 sRechenzeit: 40000 Zeitschritte

Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes

Verwendeter FD-Code: - Velocity-Stress Formulierung der elastischen Wellengleichung- Standard Staggered Grid (SSG)- FD-Operatoren 2.Ordnung

=> zu interpolierende Variablen: syy , vx

Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes

Analyse der Instabilität

Definition des Instabilitätszeitpunktes

Einfluss unterschiedlicher Interpolationsverfahren auf den Instabilitätszeitpunkt

Hypothese: Addition der Interpolationsfehler führt zur Instabilität ?

Interpolationsverfahren Instabilität nach L1-Norm [Zeitschritte]

gesamte Rechenzeit [s]

homogenes Gitter 8 332.1nearest neighbor 4233 368.1trigonometrisch 16277 401.03

linear 17600 247.6kubisch 19000 249.4

kubische Hermite Polynome 19789 355.1kubische Splines 20011 420.3

Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gauss’schen Noise

Syy(j,i) = Syy(j,i) (1+) vx(j,i) = vx(j,i) (1+ wobei, [-0.02, 0.02]

Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gauss’schen Noise

=> Instabilität ist nicht allein auf Interpolationsfehler zurückzuführen.

Entwicklung der L1-Norm (vx, multiplikativer Noise)

Analyse des Wellenzahl-Spektrums im Übergangsbereich zwischen groben und feinem

Gitter

Wellenzahl-Spektrum und L1-Norm als Funktion der Zeit

Der Einfluß des groben Gitters

Nyquist-Wellenzahl feines Gitter

Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter

Quellsignal

„Coarse Grid Nyquist Peaks“

Stabilisierung des adaptiven FD-Codes

Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der “Coarse Grid Nyquist Peaks”“Coarse Grid Nyquist Peaks”

Nyquist-Wellenzahl feines Gitter

Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter

Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-FilterungUnterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung

Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-FilterungUnterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung

Rechenzeitersparnis: TestproblemRechenzeitersparnis: Testproblem

Homogenes Gitter ... 433.09 sAdaptives Gitter ... 293.77 s

Relative Rechenzeit adaptiv/homogen ... 67 %Theoretisch maximal möglich ... 63 %

Zusammenfassung

Die Amplitude des Interpolationsfehlers (multiplikativer Noise) wächst während der Rechnung stetig an.

Das Auftreten der „Coarse Grid Nyquist Peaks“ führt aufgrund der Verletzung des Nyquist-Kriteriums des groben Gitters zur Entstehung einer numerischen Instabilität.

Diese wächst exponentiell mit der Zeit an.

Eine Tiefpassfilterung des k-Bereichs unterhalb der Nyquist-Wellenzahl des groben Gitters führt zu einer Stabilisierung des adaptiven FD-Codes.

Ausblick

Implementierug einer Filterung im Orts-Bereich (Parallelisierung).

Genauigkeitstest anhand geologischer Beispiele:

- Probleme mit hohen Vp/Vs-Verhältnissen - Auflösung kleinskaliger Strukturen

3D-Parallelisierung