Lösungen der Übungen a - Springer978-3-322-92897-9/1.pdf · Lösungen der Übungen Die moderne Feldvorstellung mit einer örtlichen Feldstärke E, die auf eine am Ort befindliche

350

Lösungen der Übungen

a a) Leitervolumen

V = A · l = 10 mm2 · 1 m = 10 cm3

Gesamtmenge der freien Elektronen m emem Leiter (Elektronengas):

N _ . V_ 1023 Elektronen .J 0 3 ges- n - 3 cm

cm·

N ges = 1024 Elektronen

b) Überschussmenge an Elektronen durch die negative Ladung:

Q -0,16-10-6 As N =- = ---'-------,."----

e -1,062 ·10-19 As

N = 1012 Elektronen

Verhältnis:

N 101 2 Elektronen

N ges I 024 Elektronen 1012 1 Bilion

Ergebnis: Die Bildung des Minuspols in einer Anschlussleitung beruht auf einer verschwindend kleinen Überschussmenge an Elektronen im Verhältnis zur Gesamtzahl der im Leiter vorhandenen freien Elektronen (Elektronengas).

Aus diesem Zahlenvergleich wird gelegentlich zur Veranschaulichung der Elektronenströmung die Vorstellung von einem Elektronengas als eine nicht komprimierbare "Flüssigkeit" verwendet.

~ 1.2

Q = 0,8 · Qges = 0,8 · 600 mAh = 480 mAh

N = Q = - 480 mAh 0,480 · 3 600 As

e -1,602 ·10-19 As 1,602-10-19 As

N = 1,08 · 1022 = 10800000000 Billionen

Man erkennt an der Unvorstellbarkeit dieser Zahl, dass die quantitative Elektronenbetrachtung zur Erfassung von Ladungsmengen ungeeignet ist. Es wird die Einheitsladung (1 C = 1 As) verwendet.

• 1.3

Die bestückte Leiterplatte wird in einer wiederverschließbaren Verpackungstasche mit erhaben eingearbeiteter statischer Abschirmung (Gitternetz) ausgeliefert und auf den elektrostatisch empfindlichen Inhalt hingewiesen, der bei Handhabungen Vorsichtsmaßnahmen fordert.

Integrierte Schaltungen sind elektrostatisch gefährdete Bauelemente, die zwar durch integrierte Schutzschaltungen gegen statische Elektrizität gesichert sind, aber durch niederohmige elektrostatische Entladungen zerstört werden können. Mögliche Entladungsquellen sind vor allem durch Reibung von Kleidungsstücken aufgeladene Bedienpersonen. Handgelenkbänder müssen eng an der Haut anliegen und über einen Ableitwiderstand von ca. I 00 kühm geerdet sein.

• 1.4

a) F

F 4n ·1· o 885 . 1 o-1 1 _m_

' Vm

(10·10-9 As) 2

(2 -10- 2 m) 2

V·As F = 2,25 · 10-3 --= 2,25 mN

m b) Feldstärke E 1 um Q1 bei anzunehmender

Kugeloberfläche von 411: · r 2

I Ql El=--·--

c:, ·Eo 411:· r 2

V E1 = 224 795-

m

Die Ladung Q2 ist der Feldstärke E 1 ausgesetzt und erfährt die Kraft F:

V F = Q2 · E1 = 10 · 10-9 As · 224 795-

m F=2,25 mN


Die moderne Feldvorstellung mit einer örtlichen Feldstärke E, die auf eine am Ort befindliche Ladung Q eine Kraft F ausübt, ersetzt die ältere Femkräfte-Vorstellung des Coulomb-Gesetzes. Heide Lösungswege führen zum selben Ergebnis.

II ß 2.1

a) W= Q· U

Q = W = lOkWh =83 33Ah U l20V '

b) Bei l00%iger Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme im Verbraucher werden zur Erzeugung von 1 000 Joule Wärmeenergie genau 1000 Ws elektrische Energie benötigt.

ß 2.2

Zu Erzeugung von 1000 Ws elektrischer Energie im Generator ist bei 75 %igem Wirkungsgrad eine mechanische Energie von 1000 Ws : 0,75 = 1333,33 Nm erforderlich.

a) + 10 V= 1PJ.- (+ 2 V) 1Pi = + 12 V

b) + 10 V=+ 6 V -t]2

1P2 =-4 V c) U12 = (-5 V)-(-15 V)=+ 10 V

MB = 10 V; VZ: + d) -lOV =+2V-t]2

1J2 =+12V e) -10V=1PJ.-(+6V)

1Pi =-4 V; VZ:-f) U12 =(-15V)-(-5V)=-10V

Betrag = 10 V; VZ:-

ß 2.3

a) f/JA = 1k + 10 V=(- 2 V)+ 10 V=+ 8 V ~ = 1AJ + 4,5 V = + 4,5 V 1Jt:=1AJ-2V=-2V

b)UBA =~-(/JA =+4,5 V-(+ 8 V) =-3,5 V

ß 2.4

a)U =3V· 12 Skt=12V AB 30Skt '

b) ~ = IJt:+ U=OV + (-10 V) =-lOV (/JA=~+ U AB=- 10 V+ 1,2 V=- 8,8 V

ß 2.5

a) f/JA = 1k + 10 V = + 10 V ~=1Jt:+8V=+8V

b) U AB= f/JA- ~ = 10 V- (8 V)=+ 2 V UBc = ~ - IJt:= + 8 V- 0 V = + 8 V U AC= f/JA- IJt:= + 10 V- 0 V=+ 10 V

ß 2.6

(/JA= 0 V ~ = f/JA- U1 = 0 V-(+ 2 V)=- 2 V

UBA = ~ - f/JA =- 2 V- 0 V =- 2 V

ß 2.7

U2 =~-~Jt:=-2V-(+7V)=-9V

U3 =1Jt:-11-b=+7V-(+l V)=+6V U4 = U2 + U3 =- 9 V+ 6 V=- 3 V

~ = 1AJ + U = + 1,5 V 1Pi = IAJ- U =- 1,5 V (/JA = 1PJ. + U = 0 V

351

U AB = f/JA - ~ = (0 V) - ( + 1 ,5 V) = - 1 ,5 V

• 2.8

Die linke und rechte Schaltungsseite haben keinen Bezug zueinander. Masseverbindung fehlt.

ß 2.9

a) E=_Q_= 500mV =Ol~ f'o.s 5m 'm

b) E = (/J3 - fPl 0,3 V - 0,2 V = O,l ~ f'o.s lm m

c) E = (/J3- fPl = (0,2 V)- (- 0,3 V) = O,l ~ f'o.s lm m

U= 500 mV

'Ps <p4 'tJ <p2 'P, 'Pa o-! I I I I 1---o

Lls=1m

352

L1 2.10

a) W =+Q(IP2-tf'J) W1 = 100 mAs · 0,5 V= 50 mWs

W2 = 200 mAs · 0,5 V= 100 mWs W3 = 2 As · 0,5 V = 1 Ws

b) Die Größe heißt Spannung:

U=!._=50mWs=IOOmWs lWs=O,SV Q 0,1 As 0,2 As 2 As

L1 2.11

V a) F = Q · E = 6 mAs · 0,2- = I ,2 mN

m

WAs= F · s = 1,2 mN · 2,4 m = 2,88 mWs

b) V _ WAB _ 2,88 mWs 0,48 V AB- Q - 6mAs

V c) UA8 =E·s=0,2-·2,4m=0,48V

m

• 2.12

W aus Batterie

t U • ~ = konst a t u E= 5

t F=OE

W= F·s

Wdrme

[WJ = 1 Ws

[U/·1W5 ·1V As

[E/=1 _t As

As.V fF/=1 fi/=1Nm

[W} = 1 N 1m= 1 Nm

fWJ = 11


II L1 3.1

Man erhält den zeitlichen Verlauf der Ströme durch Berechnung einiger charakteristischer Momentanwerte: Für die Zeitpunkte 0 s; 0,1 s; 0,2 s; 0,3 s; 0,4 s wird die Tangente gezeichnet und deren Steigung errechnet.

Für Bild 3.3.a):

. dq to=-=0

dt +6A

il = dq ~ 0,6C =6A dt 0,1 s

i2 = 2 A (s. Beispiel)

i3 = dq ~ 0,36 C ~ 0,9 A dt 0,4 s

i4 = dq ~ 0,2 C ~ 0,5 A dt 0,4 s

Für Bild 3.3.b):

io = dq = o dt

il = dq ~ -ü,6C =-6A dt 0,1 s

i2 =- 2 A (s. Beispiel) . dq -ü,36C 13 =- ~---

dt 0,4 s -6A

i3 ~-0,9 A

0 0, 1s

a)

O,ls

i4 = dq ~ -0,2 c b) dt 0,4 s

i4 ~- 0,5 A

L1 3.2

Aus der grafischen Darstellung i = f (t) wird mit

der Methode des Flächenauszählens Q = fi · dt

ermittelt:

Q= 6,37 mAs

I= L1Q = 6,37 mAs = 0 637 A L1t lOms '


Ll 3.3

Ll 3.4

Io-9 - ,iQ = + 180 ,uc + 20 mA - Llt 9ms

- ,iQ = - 360 ,uC = -180 mA - L1t 2 ms

,iQ /ll-20 =-;;; + 180 11c _ + 20 mA

9ms

I

+20mA r===-=4--t===:::;:---- t 9 11 20ms 0

-180mA

a) Q=I1 ·M1 +lz·ilt2 = 5 A·2,5 h + 1 A·2,5 h Q= 15 Ah

b) ilW=U·l·Llt

Ll 3.5

LlWI 2•6 V+ 2 V ·5A·2,5h=28,75Wh 2

Ll w2 = 2• 7 V+ 2•6 V . 1 A . 2,5 h = 6,63 Wh 2

W = L1W1 + L1W2 = 35,38 Wh

a) i = dq = 0 dt

. dq ilQ _ - 0,2 C- ( +0,1 C) b) z=ctt~Tt- 17s-2s

Ll 3.6

i"'-20mA

50ms Wert Q= J i ·dt ~x FE·FE

0

25mA·5ms Q ~ 35 FE · --1-FE--

Q"'4,4mAs

353

II Ll 4.1

0,5 I= ..J!!.}{_ = 1, 4 7 mA 6,8kQ I

0

.. 4.2

1. t :;~ I 100

80

60

40

20

0

I !f

2 4 6 8 V 10

u-

........ Y

/ 1"'-" p

0o 20 40 60 80 100 120 140V160 u-

2. R = '!..._ = 80 V = I ,07 kQ I 75mA

3. r = !W = 80 V = 8 kQ M lOmA

ilU 10 V 4. M=-=--=1,25mA

r 8kQ

Ll 4.3

Rcu Ycu ·Acu

Ycu ·Acu YA!"AAI

A _Ycu·Acu Al-

YAI

AAl= l,56Acu

354

l1 4.4

l1 4.5

l1 4.6

• 4.7

2 2 A = d 1t = (0,4 mm) · 3,14 0,126 mm2

4 4

R=-1-= 280m r·A 56Sm/mm2 ·0,126 mm2

R~40Q

!=!!_= 12V =03A R 40Q '

U 2V R=-=--=364Q

1 o,ss n '

R=-1-=>A =-1-y·A y·R

A 96m =0,47mm2 56 Sm/mm2 ·3,64 n

J=!_= 0,55A 1,17Nmm2 A 0,47 mm2

R =~=6,3V =07Q 20 / 1 9 A '

R = !:!..1_ = 7,2 V = 0 8 Q 1'1 / 2 9A '

M O,lQ ßt~ =-- = 35,7 K

a·R2o 0,004 K-1 ·0,7 Q

1} = 1}20 + !11} = 20 oc + 35,7 K = 55,7 oc

1. Richtig, wenn es sich um den Widerstand von Materialien handelt z.B. Bauelemente, Leitungen.

2. Richtig; diese Definition ist allgemeingültig und unabhängig von der Ursache des Widerstandes.

3. Richtig, dar= U 2 -U 1 * !:!..1_- U 2 12 -1 2 12 / 1

4. Ohmmeter messen den Gleichstromwiderstand von Bauelementen bei kleiner Spannung. Der angezeigte Wert ist nur dann spannungsunabhängig, wenn Widerstände mit linearer U-/-Kennlinie vorliegen.


• 4.8

Der differenzielle Widerstand nennt den Widerstandswert, den ein Bauelement einer Stromän

derung M als Folge einer Spannungsänderung

ßU entgegensetzt: ßU

r=--M

• 4.9

Die Begriffe haben unterschiedliche Bedeutungen:

Der Gleichstromwiderstand als Verhältnis von Gleichspannung und Gleichstrom kann linear (= konst.) oder nichtlinear (= arbeitspunktabhängig) sein.

Der lineare Widerstand ist gleich dem ohmseben Widerstand, solange es sich um Gleichstromkreise handelt. (Bei Wechselstroms. Kapitel 19-21 sind Xe und XL lineare aber keine ohmseben Widerstände, da sie eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom erzeugen.)

l1 4.10

a) Der größte Wert des Schiebewiderstandes beträgt 120 n. Unabhängig vom eingestellten Widerstand darf ein Strom von maximal 1 ,5 A fließen.

b)t0·!0~ I o,4 zoSi

R~' O,Z

o~~r--+--r-~~--+--o 10 20 30 40 50V60

u-l1 4.11

a) Der Spannungsmesser zeigt die Spannung UsA = + 1 V an. Der Strom fließt somit im Stromkreis im Uhrzeigersinn. q:n = +, (/JA=-

b) (/JA = ~ - UBA = - 0,5 V - ( + 1 V) = - 1 ,5 V q:n = (/JA+ Uoen =- 1,5 V+ 5 V=+ 3,5 V

c) I =UBA =~=6,67mA R1 150Q

R _ (/Je - (/Js _ 0 V- ( -0,5 V) 75 Q 2 ---~-- 6,67 mA

R3 = f/Jo -(/Je = + 3,5 V- 0 V) = 525 Q I 6,67 mA


~ 4.12

l=Usc = -2V =-4mA R2 0,5 kQ

Der Strom fließt im Widerstand Rz vom Punkt C zum Punkt B).

qt = fPB- U8 c = (- 5 V)-(- 2 V)=- 3 V ~=qt=-3V

(Strom im Widerstand R3 ist null, also auch kein Spannungsabfall an R3).

(/JA= lps- UsA = (- 5 V)- (4 mA · 1,5 ill)

(/JA=- 11 V

R4 = rPF_ -(/Je = 0 V- (- 3 V) = 750 Q I 4mA

• 4.13

a) I= 40 mA laut I-U-Kennlinie

b) r = ~U = 6 V- 5 V = 12 5 Q M 80mA-O '

A, = ~u = ± 35 mV 2 8 ßl ± , mA r 12,5 Q

Die Gleichstromquelle "sieht" den Gleichstromwiderstand:

R=!!__= 5•5 V = 137 5 Q I 40mA '

Die Wechselstromquelle "sieht" den differenziellen Widerstand:

r=~u =125Q M '

II 4 5.1

1. Ual = /1 ·Ra I = 10 mA · 1 kQ = 10 V

Ua2= lz · Ra2 = 4,8 mA · 10 kQ = 48 V

2. Ri =~ui =-~ua =~=7,3lkn M M 5,2mA

3. Uq = Ua +I· Ri

Uq = 10 V+ 10 mA · 7,31 kQ = 83,1 V

U q = 40 V + 4,8 mA · 7,31 kQ = 83,1 V

4. I ~ 83•1 V =5,89mA Ra+ Ri 6,8 kQ + 7,31 kQ

5. Ua =I· Ra= 5,89 mA · 6,8 kQ = 40 V

355

~ 5.2

R =UL =~=90Q I I k 0,1 A

U = U ~ = 9 V· 330 Q = 7 07 V a qR 3 +R, 330Q+90Q '

~ 5.3

& = 0,97; Ra I = 97 . 5 Q ~ 161,7 Q; Ri 0,03 3

97 R.2 ~- · 50kQ = 1617 kQ

3

• 5.4

a) Belastung der Spannungsquelle mit zwei verschiedenen Lastwiderständen, dabei Messen der Klemmenspannung Ua und des Stroms/.

R- ~ua- ~ui i--M-M b) Messen der Leerlaufspannung UL. Dann Be

lastung der Spannungsquelle mit Ra unter Messung der Klemmenspannung.

Bei Ua = Y2 UL ist Ra= Ri·

• 5.5

Konstantspannungsquellen liefern belastungsunabhängig eine konstant bleibende Klemmenspannung und verfügen innerhalb technischer Grenzen über eine beliebige, d.h. lastwiderstandsabhängige Stromergiebigkeit Die widerstandsmäßige Voraussetzung für ein solches Verhalten heißt: Ri => 0.

Bei Ri < Ra ist die Stromstärke I umgekehrt proportional zum Lastwiderstand R3 •

• 5.6

Konstantstromquellen liefern belastungsunabhängig eine konstant bleibende Stromstärke an den Verbraucher, dessen Widerstandswert sich jedoch nur in den Grenzen 0 bis Rmax ändern darf. Die widerstandsmäßige Voraussetzung für ein solches Verhalten heißt: Ri >Ra·

Die Klemmenspannung ist Ua = I· Ra. Bei konstantem Strom ist die Klemmenspannung proportional zum Lastwiderstand Ra.

356

11 5.7

Bei n-facher Messbereichserweiterung ist:

R 1=(n-I)Ri

Ri = Messwerkswiderstand bei 20 oc

Gesamtwiderstand der Messbereichserweiterung:

R = R 1 + Ri = (n- I) Ri + Ri +Mi

~ ~reinfluss

R = (n- I) Ri + Ri + Ri · <Xzo ·MI

R = n · Ri + Ri · a 20 · MI

Vergleich mit temperaturabhängigem Widerstand der Größen· Ri und TK-Wert lX,;

li R = n · Ri + n · Ri ·<Xx · /11'}

liefert

11 5.8

11 5.9

lXzo = n · fXx, also das Ergebnis:

<X20 4%/K a..=-=--

n n

R 1 =2R2 =2kQ

I =~=~=25mA R 1 2kQ

U2 =I· R 2 = 2,5 mA · I kQ = 2,5 V U3 = U- U1 - U2 = 9 V- 5 V- 2,5 V u3 = I,s v

R3 =~=~=600!.1 I 2,5 mA

U 16V I =---=--=0,5mA

R1 +R2 32k!.1

U 1 = I · R 1 = 0,5 mA · 22 k!.1 = 11 V U2 =I· R2 = 0,5 mA · 10 kQ = 5 V

IPA = llb + U1 = 0 V+ 11 V=+ 11 V <A3 = llb- u2 = 0 V- ( + 5 V) =- 5 V


11 5.10

I = ~ = 30 V = 0,577 mA R 52kQ

U1 =I· R 1 = 0,577 mA · 10 kQ = 5,77 V

U2 =I· R2 = 0,577 mA · 27 k!.1 = 15,58 V U3 =I· R3 = 0,577 mA · 15 kQ = 8,65 V

<7-B = lA::- U2 = 0 V- 15,58 V=- 15,58 V IPA = <J-B-U1 =-15,58V-5,77V=-21,35 V

IPD = IPA + U =- 21,35 V+ 30 V=+ 8,65 V

11 5.11

I= U = IOV =0,2mA R 1 + R 2 + R 3 50 kQ

UAmax=U-I·R1

U A max = 10 V - 0,2 mA · 20 kQ = 6 V

U Amin =I. R3 = 0,2 mA · 20 k!.1 = 4 V

11 5.12

UAmax 6V

u U Amin 4 V R3

li --- = -- = -----''----u 10V R1 +10k!.1+R3

6 R 1 + 60 k!.1 + 6 R3 = 100 kQ + 10 R3

li 4R1 +40k!.1+4R3=10R3 6R1-4R3=40kQ

li 4R1-6R3=-40kQ

R 1 =R3 = 20 kQ

11 5.13

R 2 ·R3 4,7k!.1·6,8k!.1 R23=---=

R 2 +R3 11,5k!.1

R23 = 2,78 k!.1 3 mA · R 1 = 7 mA · R23

R 1 7 mA · 2,78 kQ = 6,48 kQ 3mA

U = R 1 • 3 mA = 6,48 k!.1 · 3 mA U=19,44V


5.13, Fortsetzung

I I I I -=-+-+R R1 R2 R3

I 1 1 I -=---+--+--=0514mS R 6,48 kQ 4,7 kQ 6,8 kQ '

R = 1,944 kQ

R =~= 19•44 V= 1,944 kQ I lOmA

ß 5.14

ß

ß

10 20 30 V

U1 ~ 9,4V

Uz = 20.6V

I = 0,63mA

40

u--

5.15

t 25 mA

I 20

15 ,, 10 U · 325 V

11• 18mA

5 lz- 7mA

0 u

0 100 200 300 1,{)0 V 500 u

5.16

U=lq. Ri ·Ra Ri ·Ra

U=5mA 50kf!·1,8 kQ

8,7 V 51,8kQ

I=!!__= 8•7 V =4 83 mA Ra 1,8kQ '

II ß 6.1

• 6.2

p = 12. R

l=Jf= 0•25 W = 11,8 mA

1,8 ·103 Q

Alle Darstellungen sind richtig.

a) 1- u., wenn Ra= konst.

Pa - Ui, wenn Ra = konst.

357

b) Alle Ströme I bei beliebigen Widerständen Ra liegen auf der Ri-Kenn1inie und berechnen sich aus:

I= U q -U =~-_!_.u Ri Ri Ri

Die Leistungsabgabe an den Verbraucher mit einstellbarem Widerstand Ra:

u q 1 2 Pa=-·U --·U

Ri Ri Herleitung der Leistungsanpassungs-Bedingung Ra =Ri:

I 2 U q P=--·U +-·U

Ri Ri ist eine quadratische Gleichung, die eine Parabel darstellt, mit positivem Scheitelwert und nach unten offen.

Die Nullstellen der Parabel finden sich durch Setzen P = 0:

1 2 u q --·U +-·U =0

Ri Ri

( 1 u qJ U --·U+- =0 Ri Ri

1. Lösung:

U = 0 ( 1. Nullstelle)

2. Lösung:

1 uq --·U +-=0

Ri Ri

_ _!__u =-~ Ri Ri

U = U q (2. Nullstelle)

358

6.2, Fortsetzung

Da die Parabel symmetrisch ist, liegt ihr Maximum in der Mitte zwischen den Nullstellen:

l U= 2 Uq

Daraus folgt:

Ra=R;

~ 6.3

Leistungsanpassung Ra = R; = 25 Q

Ua=~ =~IOW·25Q =15,8 V

UL = Uq = 2 · 15,8 V= 31,6 V

• 6.4

Lösung 1:

uR =~P ·Ra = ~0,5 w ·1 ooon = 22,4 v URv = 35 V - 22,4 V = 12,6 V

I = - 1- = 0•5 W = 22 4 mA UR 22,4 V '

Rv = U Rv = 12,6 V = 563 Q I 22,4 mA

oder mit GI. (23)

Rv = U Rv · R = 12,6 V ·1 kil 563 Q UR 22,4 V

Lösung 2:

35 V -7 V

50 mA-0 mA 560Q

so .--.~,---.--r--.--,---r~

mA

40 ~-+--~~~-+--+-_,~

10 30 V 40 u

I. Leistungshyperbel für P = 0,5 W einzeichnen.

2. /-V-Kennlinie für Rv = I kQ eintragen.

3. Widerstandsgerade Rv konstruieren und aus Steigung den Widerstandswert berechnen.


~ 6.5

Alle Widerstände liegen parallel:

150Q Rges = ---- = 50 Q

3

~ 6.6

~ 6.7

~ 6.8

160mA /R2 = /R3 = ----- = 80 mA

2

Pges = 3 · (80 mA)2 · 150 Q = 2,88 W

PNutz =?zu · Tf= 15 kW · 0,85 = 12,75 kW

~rt = lt2- lt1 = 60 oc- 12 oc = 48 K

Qw = m · c · ~t}

Qw = 70 kg · 4186-1- · 48 K = 14 065 kJ kg K

PNutz · t = Qw <=> I 1 = I Ws

t=~= 14065000Ws = 18 4 min ?Nutz 12 750 W '

/=~=~=78mA Ra +R; 1,28 kil '

P = 12 ·Ra= (7,8 mA)2 · 1,2 kQ

P =73 mW

Pq = P + P; = Uq ·I

Pq = 10 V· 7,8 mA = 78 mW

Stellung 1 (AUS):

P=O

Stellung 2 (R~o R2 parallel):

R = 45 n. 90 n = 30 n 1'2 135 n

p = !!...}__ = (230 V)2 = l 763 W R 30Q

Stellung 3 (R1 alleine):

2 P = (230 V) = I 176 W

45Q

Stellung 4 (R~o R2 in Reihe):

2 p = (230 V) = 392 W

135Q


II ~ 7.1

~ 7.2

R = [(R 1 +R2 +R4]11R3]+[R5 11R6] = 12,5 kQ

I =~=~=02mA R 12,5 kQ '

13 · R3 =I· [(R 1 + R2 + R4]11 R3]

/3 0,2 A·7,5 kQ =0 15 mA IOkQ '

/1 =I- /3 = 0,05 mA rp1 = 1A:J (_l) + U = + 2,5 V

(/J)_ =<PI- /3 · R3 = + I V (/}4 =<Pi- h · R1 = + 2 V (/JJ =<Pi -/1 · (R 1 +R2) =+ 1,5 V UA=(/JJ-IA:J=+1 ,5V

/1 · I kQ + lz · 3 kQ- 12 V= 0 II /2 · 3 kQ- 2 mA · R3 = 0

111 /1- lz- 2 mA = 0 111 in I 12 · 1 kQ + 2 V+ 12 · 3 kQ- 12 V= 0

IV /2 · 4 kQ = 10 V V /2 = 2,5 mA

V in II 7,5 V- 2 mA · R3 = 0 R3 = 3,75 kQ

oder über Ersatz-Spannungsquelle:

Uq=9V

U 12V . /k =-=--= 12 mA bei R3 = 0

R1 1kQ

Ri = Uq =~=0,75 kQ IK 12mA

U= Uq -I · Ri

U=9V -2mA · 0,75 ill=7,5 V

R3=~= 7•5 V =3,75kQ ! 3 2mA

359

~ 7.3

1., 2. Der Widerstand mit der linearen /-V-Kennlinie ist in diesem Fall der Innenwiderstand des Generators Ri = 125 Q. Der reziproke Wert der Steigung der Ri-Kennlinie entspricht dem Wert 125 Q und geht durch den Punkt U = I 00 V.

Ergebnis: I= 0,32 A, URi = 40 V, URa = 60 V.

i\ Ir--

/ r-' \. 0,2 / \.

J \ i\~, '-- r--I ~

0.1

~ 7.4

IJ ~ r----

20 40 60 80 100 V 120

R2·R3

!J:... = R2 + R3 = __!!]___ I R2 R2+R3

/2 -- 3 mA ·5,6 kQ 1,95mA

3 kQ+5,6 kQ

u---

/3 = I -lz = 3 mA - 1,95 mA = 1,05 mA

R1 bewirkt nur einen Spannungsabfall in der Schaltung, hat aber keinen Einfluss auf die Stromteilung.

~ 7.5

Schalterstellung 1:

10V R1 + Ri =--= 10 kQ =:> R1 = 9,9 kQ

lmA

Schalterstellung 2: 30V

R2 +R1 +Ri=--=30ill=:>R2 =20kQ 1mA

Schalterstellung 3:

100V R3 +R2 +R1 +Ri =--= IOOkQ

lmA

360

~ 7.6

R2 a) U A = U · ---, da UR3 = 0 (Leerlauf) Rl +R2

U A = 10 V 1'8 ill 6,43 V 1 ill + 1,8 ill

b) R - R2(R3 +RL) 2,3,L- R

2+(R3+RL)

R _ 1,8 kQ (2,2 kQ + 2,2 kQ) 2,3,L - 6,2 kQ 1,28 ill

R UR2 = u . 2,3,L R1 +R2,3,L

U = 10 V . 1,28 ill R2 2,28 ill

UR2 =5,61 V

• RL 2,2 ill UA=UR2·---=5,61 V·--

R3 +RL 4,4 kQ

U,.\ =2,8 V

~ 7.7

R 1,2,3.4 = R 1 = 1 ill, da Leistungsanpassung; an Ri fallt die Hälfte der Quellenspannung ab.

R - R + R3 (R2 + R4) 1,2,3.4- I R3 +(R2 +R4)

1 ill =RI + 2RI (RI +1kQ) 2R1+(R1 +lill)

(1 ill-R1) (3RI + 1 kQ) = 2Ry+2ill· R1 + s Rr = + o illP

R1 = 447 Q = R2laut Bedingung R3 = 2 R1 = 894 Q laut Bedingung

R2,3,4 = Rl,2,3,4- R1 = 1 ill- 447 Q =553 n

R2,3.4 UR2,3,4 = Uq , __ ..::::ccc....__

Ri +R1 +R2,3.4

= 20 V · 553 Q = 5 53 V 20000 ,

UR3 = UR2,3.4 = 5,53 V

U4 =UR3"~=5,53V· lkQ R2 + R4 1,447 kQ

U4 = 3,82 v

• 7.8

UA =JR3"R3

UE /Rl ·R1


Da /R3 "#/Rh kann nicht gekürzt werden.

Dagegen: U A = /R3 ·R3 ~ UE IR3(R2+R3) R2+R3

~ 7.9

R2 R4 UA=---UE----UE

R1 +R2 R3 +R4

R+xR R-xR UA R -xR +R +xR UE- R +xR +R -xR UE

U _R+xR-R+xR UE=x·UE A- 2R

U A = 0,002 · 1 V = 2 m V

• 7.10

I= S4 · ~ + S3 · ~ + S2 ·~+SI·!!_ R 4 R 3 R2 R1

Sx = 0 Schalter offen Sx = 1 Schalter geschlossen

Für den kleinsten Strom I= 1 mA:

S4 = S3 = S2 = 0 SI= 1

20V 1 mA=0+0+0+ 1·-

RI

R1 =20ill

Für den Strom I= 2 mA:

S4 = S3 =SI= 0 S2= 1

20V 2mA=0+0+ 1·--+0

R2 R2 = lOkQ


S4= S2= SI= 0 S3 = 1

20V 4mA=0+ 1·--+0+0

R3


7.10, Fortsetzung


S3 = S2 = Sl = 0 S4 =I

20V 8mA= 1·--+0+0+0

R4

R4= 2,5 kQ

Andere Schalterkombinationen:


S3 = Sl = 0 S4 = S2 = 1


S2 =0 S4=S3=Sl=l


Sl =0 S4 = S3 = S2 =I


S4 = S3 = S2 = S 1 = 1

Ll 7.11

Schalterstellung 1: Ii · Ri = (11 -Ii) (R3 +R2 +R1)

1 mA · 100 Q = (h - I mA) 50 Q. 11 = 3 mA

Schalterstellung II: Ii (Ri + R1) = (12 - Ii) (R3 + R2) 1 mA · 135 Q = (12 - 1 mA) 15 Q lz= !OmA

Schalterstellung III: Ii (Ri +R1 +R2) = (lj -Ii) R3

1 mA · 145 Q = (13 - 1 mA) 5 Q ! 3 = 30 mA

Ll 7.12

t :::tfW1 I 100

50 --9

00 1 2 3V 4

u-

UR= 3,2 V Uv1 = 0,8 V

I = 80 mA

II Ll 8.1

1PI = lfb + Uql = 0 V+ 5 V=+ 5 V

(/)}. = lfb + Uqii = 0 V+ 5 V=+ 5 V

361

<fJ3 = IPI - 0,333 A · 3 Q = 5 V- 1 V=+ 4 V

IPJ=(/J}.-0,166A·6Q=5V-1 V=+4V

<fJ3 = lfb + 0,5 A · 8 Q = 0 V + 4 V = + 4 V

Ll 8.2

1. Schritt: V q2 = 0 gesetzt

R ·R-2 12Q-7 Q R=Ril + a 1 =5 Q+ =9,42Q

Ra+Ri2 12Q+7Q

I =~=~=1485 A (~) 1 R 9,42 Q '

Ra ·Ri2

R +R-z lz=l1· a 1 =0,546A (--t)

Ra

!3 = h - 12 = 0,939 A ( --t)

2. Schritt: V q 1 = 0 gesetzt

R ·R-1 12Q-5Q R=Riz+ a 1 =7 Q+ = 10,53Q

Ra+Ril 12Q+5Q

I= Uqz =~=133A (~) 3 R 10,53Q '

Ra. Ril

lz=l3·Ra+Ri1 =0,391A (--t) Ra

I 1=1]-I2 =0,939A (--t)

3. Schritt: Überlagerung

!1 = 1,485 A- 0,939 A = 0,546 A (~)

12 = 0,546 A + 0,391 A = 0,937 A

!3 = 1,33 A- 0,939 A = 0,391 A

V Ra = l2 ·Ra= 0,937 A · 12 Q = 11,25 V

Potenzialkontrolle:

Hl (H

IPI = lfb-/1 · Ril = 0 V -0,546 A · 5 Q =- 2,75 V

(/)}. = IPI + Uql =- 2,75 V+ 14 V=+ 11,25 V

<fJ3 = !fb-13 ·7 Q = 0 V -0,391 A ·7Q =-2,75 V

(/)}. = <fJ3 + Uq2 =-2,75 V+ 14 V= 11,25 V

362 Lösungen der Übungen

~ 8.3

8 8 angenommen

+ 2 Q · Ia- 8 V+ 6 Q · Ia + 4 Q Ua +lb) = 0

II + 8 Q · lb- 12 V+ 4 QUa +lb) = 0

+ 12 Q · Ia + 4Q · /b- 8 V

II +4Q·la+12Q-/b-12V

la - 36 Q · Ia- 12 Q · /b + 24 V

Ili = Ia + II - 32 Q · Ia + 12 V

IV

V =IV in I + 12 Q · 0,375 A + 4 Q · /b- 8 V

= 0 erweitert mit Faktor (- 3)

=0

=0

=0

la = + 0,375 A

=0

Ib = + 0,875 A

I=+ 0,375 A + 0,875 A = 1,25 A ( -1. im 4 Q-Widerstand)

Potenzialkontrolle:

Y'1 = (/lJ- la · 2 Q =- 0,75 V 1P3 = (/)},- la · 6 Q = + 5 V 9'4 = ({lJ- lb · 8 Q =- 7 V 1P3 = 9'4 + 12 V=+ 5 V (/)}, = Y'1 + 8 V=+ 7,25 V 1P3 = ({lJ + Ua + Ib)4 Q = + 5 V

~ 8.4

I

II

/A·IOQ+(/A+/8 )20Q-10V =0

/ 8 · 30 n +(JA+ /8 ) 20 n + /8 · 5 n = 0

JA· 30 Q + /8 · 20 Q- 10 V = 0

Gesuchte Ströme:

/Rl = /A = 0,44 A (~)

_11 ____ 1-'-'A_· _20_Q_+_l...=B'--·_5_5_Q ______ =_0 I · (- I ,5)

lR2 =JA+ / 8 = 0,28 A (-!.)

IR3 = /R4 = ls = 0,16 A (-!.)

lla -/A·300-/g·82,5Q =0

I+ Ha -/8 ·62,5Q-10V =0

Ili /8 =- 0,16 A

III in II I A · 20 Q - 8,8 V = 0

/A=0,44A

~ 8.5

I. Schritt: V2 = 0 R=R 1 + (R2 11RA) = 6,9 kQ

I' =~=~=145mA 1 R 6,9 kQ '

, , 6kQ 1 /A=/l·--=0,75mA (-1-)

11,6 kQ

2. Schritt: V1 = 0 R = R2 + (R1 II RA)= 8,33 kQ

I''=~=~=12mA 2 R 8,33 kQ '

" " 4kQ i I A = I 2 · -- = 0,5 mA ( ) 9,6 kQ

3. Schritt: Überlagerung VA=!A ·RA=(IÄ.-IÄ)RA VA= 0,25 mA · 5,6kQ = 1,4 V(-!.)

Lösungen der Übungen 363

l1 8.6

8 8 8 angenommen

5 Q · la -6,75 V+ I QUa+ /b) = 0 II III

2 Q · /b + 10 V+ 10 QUa+ lc)- 6,75 V+ I il (/3 + /b) = 0 2,5 Q · lc + 10 V+ 10 Q (lb + lc) = 0

6 Q · /3 +I Q ·/b- 6,75 V = 0 erweitert mit Faktor(- 13) II lil·la+13il·/b+10il·lc+3,25V =0 III + 10 Q. /b + 12,5 Q ·lc + 10 V = 0 erweitert mit Faktor(- 1,3) Ia -78 Q · / 3 - 13 Q ·lb + 87,75 V = 0 lila - 13 Q · /b- 16,25 Q · lc- 13 V = 0

IV= Ia + II - 77 Q · / 3 + 10 Q · lc + 91 V = 0 V= lila+ II + I Q ·I -6,25 Q ·I -9,75 V = 0 erweitert mit Faktor (77)

Va +77il·I.-481,25il·lc-750,75V =0 VI=IV+Va -471,25il·lc-659,75V =0

VIII lc =- 1,4 A VII in IV -77 Q · /3 - 14 V + 91 V = 0

VII in I 6V

888 I,=I3 +lb =1,75A(t) h=lb = 0,75 A (i) /3 = lc -/b = 0,65 A ( ~) l4=lc =1,4A(f-) ls = la = I A (i)

l1 8.7

8 8 gewählte Kreisströme

I - 10 V+ /AR!+ (IA + la) R3 = 0 II IOV+/8 Rz+{IA+/8 )R3 =0 I /A · 3 kil + /8 · 2 kQ- 10 V = 0 II /A · 2 kil + Ia · 5 kil + 10 V = 0 n. -I A · 3 kil -Is · 7,5 kil - 15 v = o I+ n. -/8 · 5,5 kil- 25 V = o III Ia = - 4,55 mA IIIinl /A·3kil-9,1 V-10V

/1 =lA /1 = ls li=IA-la

lA = 6,36 mA = 6,36 mA (>) = 4,55 mA (<.) = 1,81 mA (oi)

=0

VIII -6,75 V

IX

la =+I A =0

/b = + 0,75 A

tatsächliche Kreisstromrichtung

• 8.8

a) I - 10 V + (I A + ls) · 10 Q + 6 V + I A · 30 Q = 0 II ls · RL + (IA + ls) · 10 il + 6 V = 0

mit Bedingung /A + Ia =I= 0,1 A -IOV+(O,IA·IOil)+6V+/A·30Q =0

3V JA=-- =0,1 A => ls =0 => RL =oo

30Q

b)l -10V +(JA +/8 ) · 10il+6 V +/A · 30il=0 II /8 ·10il+(/A+/8 )·10il+6V =0

- 4 V + I A · 40 il + /8 · I 0 Q = 0 II + 6 V+ JA· 10 il + Ia · 20 Q = 0 11 -3 v-IA. 5 n -/8 . 10 n = o I+ II -7 V+ JA· 35 Q = 0

III in II

7V III /A=--=+0,2A

35Q

-3 V- I V -/8 · 10 Q = 0 4V

Ia=-lon=-0,4A

I = IA + Ia =- 0,2 A

364

II • 9.1

Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle sind Modelle. Der Geltungsbereich dieser Modelle erstreckt sich auf alle Fragen nach Klemmenspannung und Strom des Lastwiderstandes. Fragestellung über die innere Funktion der Quellen können nicht beantwortet werden. Deshalb ist der Schluss, dass bei der Ersatzstromquelle im Leerlauffall ein ständiger Leistungsumsatz am Innenwiderstand auftritt, unzulässig und falsch. Die Autobatterie kann sowohl als Ersatzspannungs- als auch als Ersatzstromquelle betrachtet werden.

ö 9.2

Die Leerlaufspannung VL ist wegen der Stromlosigkeit von R3 gleich dem Spannungsabfall an R2!

ö 9.3

2kQ Vq = VL = VR2 = 30V ·---= 25,75 V

2,33 kQ

Ri=R3+ R,·R2 =3283Q R1 +R 2

25,75 V

3,283 kQ 7,84mA

Kennwerte der Ersatzstromquelle

Iq = 7,84 mA, Ri = 3283 Q b) Kurzschluss der Ausgangsklemmen in Bild

9.15.

Dortiger Strom:

IK =Iq

Rz ·R3 R=R 1 +---= 1,53kQ

R2 +R3

I=~=196mA 1,53 kQ ,

IK · 3 kQ = 19,6 mA · (R2 II R3)

IK = 19,6 mA · 1•2 kQ = 7,84 mA 3kQ


ö 9.4

a) Brücke abgeglichen:

R2=R4·RI =600Q R3

b) Brücke verstimmt

ö 9.5

a)

Ersatzspannungsquelle der Wheatstone'schen Brücke Ohne Brückeninstrument:

fPA =V ·~=6V· 600Q R1 +R2 300Q+600Q

fPA = + 4 V

R4 1500Q 91! =V. R 3 +R4 = 6 V· 750Q+1500Q

91! = 4 V bei Abgleich

R~ =800Q

rp' =V . __!!_j__ = 6 V . 1 500 Q B R~+R4 800Q+1500Q

rp'8 = + 3,913 V bei Verstimmung

VL = fPA- rpg = 87 mV = Vq

R; = R,·R2 + R~·R4 =200Q+522Q R1 +R2 R~+R4

R; = 722Q

Strom im Brückenzweig:

I=~= 87mV =106J1A R; +Ra 722il+100Q

II

IL · 16 Q + 3 V- I;· 5 Q

2 A-I; -IL

Ha I,=2A-IL

=0 =0

Ha in I IL · 16 Q + 3 V- (2 A- Id 5 Q = 0

h · 16 Q + 3 V- 10 V+ IL · 5 Q = 0

7 V 1 IL=--=-A

21Q 3

b) Vq = Iq · Ri = 2 A · 5 Q = 10 V

Vq-3V 7V 1 /L= =--=-A

R; +RL 21Q 3


• 9.6

Bezüglich des Leerlauf- und Kurzschlussfalls müssen beide Schaltungen gleich sein.

I. Leerlauffall:

Interner Strom Ii in der Netzmasche:

- U1 + Ii · R1 + Ii · R2 + U2 = 0

I- u,-u2 ~- Rl+R2

Leerlaufspannung der gegebenen Schaltung:

UL = Ii · R2 + U2 Il

I und II eingesetzt ergibt:

U _(U,-U2)·R2 U L- + 2

R1 +R2

(U 1 -U 2)·R2 +U 2 ·(R1 +R2) UL=--~~~-=--~--~--=-

R, +R2

U _U 1 -R 2 +U 2 ·R1 L-

Rl +R2

Die Leerlaufspannung der Ersatzschaltung muss gleich der berechneten Leerlaufspannung der gegebenen Schaltung sein. Damit ist auch die gesuchte Quellenspannung ermittelt:

U U,·R2+U2·R, F I' I . h' q onne ISt a so nc tlg

R1 +R2

2. Kurzschlussfall:

Für die gegebene Schaltung berechnet sich der Kurzschlussstrom aus:

IK=~+U2 R1 R2

IK u,-R2+U2-RI R1 ·R 2

Der gleiche Kurzschlussstrom muss auch für die Ersatzschaltung gelten. Somit errechnet sich der Innenwiderstand der Ersatzschaltung aus:

U 1 ·R2 +U 2 ·R1

Ri=~= R, +R2 IK U,·R2+U 2 ·R1

R1 ·R2

Ri= R1 -R2 , Formelistalso ebenfallsrichtig R1 +R2

ß 10.1

a) U 20 = R2 UR! R1

R2 = 10 kQ · 12 V = 6,7 kQ 18 V

b) R = R1 + (R2 II RL) = 15,9 kQ

I =~=~=189mA R 15,9kQ '

U2L=U-l·R1 U 2L = 30 V - I ,89 mA · 10 kQ = II, I V

ß 10.2

kQ Ri =30 V ·40-=1,2 MQ

V

365

R2 .- R2 ·Ri 1 MQ·l,2MQ =0,545 MQ r R2 +Ri I Mi1+1,2MQ

U2L =U· R 2.i =30V- 0'545 MQ=10,6V R1 + R2,i 1,545 MQ

• 10.3

R _ßU 12,6V-12V =0 2 kQ ,- M 3mA-O '

Ri= RI-R2 =0,2kQ R1 +R2

__.!!_z_ = 12,6 V => R2 = 2,33 R, R1 +R2 18 V

200 Q R, · 2,33 R1

R1 +2,33R1

R1 = 286 Q; R2 =667 Q

ß 10.4

a) Iq = m · /L = 10 · 7 mA = 70 mA

Uq 3V Rq =R2=-=--=43Q

Iq ?OmA

15 V -3 V

70mA+7 mA 156Q

366

Rz b) V20 = V·---

Rl +Rz

43Q V20 = 15 V·--= 3,24 V

199Q

.A 10.5

a) Spannungsteiler A:

I kQ V20 =!0 V·--= 5 V

2kQ

I' V

----- = 6,67 mA R1 +(R2 11 Rd

V2L =V- I'· R1 = 3,33 V

Spannungsteiler B:

IOOQ V20 =10V·--=5V

200Q

I'

V2L =V- I' · R1 = 4,76 V

b) Spannungsteiler A:

Vq = V20 = 5 V

Ri =R1 11 R 2 = 500 Q . R

m1tR 1 =R2 =-2

I=~ Ri +RL

I SV =3 33 mA 0,5 kQ+l kQ ,

V= Vq -I· Ri

V= 5 V- 3,33 mA · 500 Q

V=3,33 V

Spannungsteiler B:

Vq = V20 =5 V

Ri = R1 II R2 =50 Q

I= SV 476mA 50Q+IOOOQ '

V= 5 V- 4,76 mA ·50 Q

V=4,76V

Beim niederohmigen Spannungsteiler ist die Ausgangsspannung VzL belastungsfester.


Ll 10.6

V = 12 V. I kQ + 3 kQ a) 20 max 2 kQ +I kQ + 3 kQ

Vzomax= 8 V 3kQ

V20 · =12V·--mm 6kQ

Vzomin = 6 V

b) V =12V· (R4+R)IIRL 2Lmax RI+(R4+R)IIRL

VzL max= 6,3 V

V . = 12 V . R4 II RL ZLmm R1 +R +(R4IIRd

VzL min = 4,6 V

Ll 10.7

Ersatzspannungsquelle für den Spannungsteiler:

V = 20 V· 400 Q = 16 V q 500Q

100 Q. 400 Q = 80 Q 500Q

V = Vq -IL · Ri

V = 16 V- 20 mA · 80 Q = 14,4 V

RL =!!__ = 14,4 V = 720 Q IL 20mA

Ll 10.8

a) Lösung über Ersatzspannungsquelle:

Ri = Rl·Rz =720Q Rl +Rz

I =V ZL = ~ = 1,39 mA RL 3,6 kQ

Vq =I(Ri +RL)

Vq = 1,39 mA (0,72 kQ + 3,6 kQ)

Vq = 6 V => V20 = 6 V

b) .!!____= Rl +Rz Vzo Rz

V=6V· 3 kQ =IOV 1,8kQ

Lösungen der Übungen 367

• 10.9

a) U20 = k · 20 V- lO V b) k 0 0,25 0,5 0,75 Für

U2o -10 -5 0 +5 + 10 V k=O => U2o =-10 V Ri =R1 /IR2 0 187,5 250 187,5 0 n k= 0,25 => U2o =-5 V

/L = -...!!.1&._ k=0,5 => U2o=O V -10 -4,2 0 + 4,2 + 10 mA

k = 0,75 => U2o= + 5 V Ri +RL

k = 1 => U2o=+ lOV U2L = U2o- IL·Ri -10 -4,2 0 + 4,2 +10 V

t +10

V Uzo

.«-· Un u

+5 ~ V .

0 0 0,75

k-

-5

-10

m • 11.1

a) Die Kapazität sinkt auf die Hälfte bzw. auf ein Viertel bei Verdopplung bzw. Vervierfachung des Plattenabstandes.

b)

t [

c ·Eo ·A C= r mitd= s

d Die Spannung nimmt linear mit dem Plattenabstand bei konstanter Ladung zu, da sich die Kapazität gleichzeitig verringert:

U=g__= Q ·d mitd=s C E, ·Eo ·A

Die Feldstärke bleibt konstant, da sich auch die Spannung linear mit dem Plattenabstand vergrößert:

E =!!__ s

Die Energie steigt nur linear mit dem Plattenabstand wegen des quadratischen Einflusses der Spannung und der Abstandsvergrößerung:

W = ..!._, C · U 2 = Er . co . A · U 2 mit d = s 2 d

t w

0 s-- 0 s-- 0 s--

368

ß 11.2

2C ·C Cges =---= 68 nF

2C +C

C=3·68nF 2

C""100nF

ß 11.3

c2 ·C3 Cges=C1 +--

C2 +C3

24,2 nF = 22 nF + C 2 · 6'8 nF C2 +6,8 nF

C2 = 3,3 nF

ß 11.4

a) Parallelschaltung

e ·eo ·A C = C1 + C2 = 2 · _r,__"---

dt

I· 0,885 ·10-11 As ·50 ·10-4m2 c = 2 ·--'-------::------

1·10-3 m Vm

C =88,5 pF

1·0,885 ·10-11 As· 50·10-4 m2 b) C1 = _..:...._ __ ---::------

0,9·10-3mVm

C1 =49,2pF

1·0 885·10-11 As·50·10-4 m2 c ---~'---~-----2- 1,1·10-3 m Vm

C1 = 40,2 pF

C = C1 + C2 = 89,4 pF

Bei symmetrischer Montage der Mittelplatte ergibt sich das Kapazitätsminimum.

ß 11.5

a) e ·eo·l ·b Co = -!...r ---"'-----

d

I· 0 885 ·10-11 As ·Im· 0 05 m c- ' ' 0 - 4 ·10-3 m Vm

Co= 110,6pF


2·110,6·10-12 AsN ·4·10-3m

h'= 0,885·10-11 As/Vm·0,05m 5-l

h'=0,25 m

Füllstand:

h = h' + 2 cm = 27 cm

ß 11.6

!·Im

Es liegt ein geschichteter Kondensator mit den Dielektrika Luft-Papier-Luft vor, der als Reihenschaltung von drei Kondensatoren behandelt werden kann:

I I I I --=--+-+--cges Cu Cp CL2

_1_ = _d_1 +_d_2 + __ x __

Cges eo ·A er ·eo ·A

Mit x = 0,45 mm und

d1 + d2 = 1 mm-0,45 mm = 0,55 mm ergibt sich:

0,55·10-3m

Cges 0,885·10-llAsNm·1,5 m ·0,1 m

0,45·10-3m +-----~~--------

2,2·0,885 ·10-ll AsNm·1,5 m·0,1 m

Cges = 1,76 nF

unabhängig von der Lage der Papierbahn zwischen den Kondensatorplatten.


• 11.7

D = g_ mit A = 27t · r · l A

E=_!!_= Q Er · E'Q 21! ·Er · EQ ·l r

Ja +Q a 1PJ = E1 ·dr = ·1n-

2JC·E,·Eo·l r

Ja -Q a ({>]. = E2 · dr = ·In-

21!· Er· Eo ·l r r

Vc=IPJ-({>].= 2Q ·In!:. 21! · E, · Eo · l r

Kapazität der Paralleldrahtleitung:

C _ _ Q _ _ _ JC_·_E,,_·_E..e.o_· _l

Vc In~

C = JC· 2,5 · 0,885-10-11 AsNm ·Im

In 7mm 0,5mm

C= 26,3 pF

~ 11.8

a) Cges = C1 + C2 = 10 ~-tF +50 ~-tF

Cges = 60 ~-tF

Cges · V= C1 · V1 + C2 · V2

V= CI-VI +C2 ·V2

C ges

V 10 ~-tF·40 V +50 ~-tF·IO V

60~-tF

V= !SV

I 2 I 2 b) W=-·C1 ·V1 +-·C2 ·V 2

2 2

(236)

w = L I 0 ~-tF . ( 40 V)2 + L 50 ~-tF . ( 10 V)2 2 2

W = 10,5 mWs (SchalterS= auf)

369

- I 2 W--· Cges ·V 2

I 2 W=2 ·60~-tF·(l5V)

W = 6,75 mWs (SchalterS= zu)

Durch Schließen des Schalters S wird ein Umladevorgang in Form einer Schwingung ausgelöst, bei dem Energie abgestrahlt wird.

~ 11.9

Wel = Wmagn

..!.__ C · uc2 = l_. L. /L2 = 0 25 mWs 2 max 2 '

~ Ucmax = v---c =

Ucmax = 70,7 V

~ 11.10

2 · 0,25 ·10-3 Ws

0,1· w-6 F

C = Er · E'Q · A => d = Er · EQ · A

d c I· 0 885 .J0-11 As · v-l · m-1 · 016 m2

d ' ' 200-10-12 As · v-1

d=7,08 mm

F Er · EQ · A 2 . Ec EQ · A --'----"-."...2 - · V mit C = --'----"--

2-d d

F=_5_·V2= 200·10-12F ·(10000V)2 2·d 2·7,08·10-3 m

F=1,41N

~ 11.11

Feldstärke im Zylinderkondensator:

E=-vr ·In !_a_

'i

Für r = ri = 1 mm 1000 V

Ei = 1 mm ·In ( 3 mm I l1mm)

910 V /mm

Die Feldstärke Ei an der Leiteroberfläche ist kleiner als die Durchschlagsfestigkeit der Luft.

370

II Ll 12.1

A f rt . U !0 V n angswe l CO =- = -- = 10 mA der Stromstärke R I kQ

T= R · C = 1000 Q · 0,1 · I0-6 F = 0,1 ms

q:>1 und {jJ]. springen im Zeitpunkt t 1 der Schalteröffnung auf + I V. Dann nimmt q:>1 nach einer e-Funktion zu und {jJ]. ab:

1PJ. = + U- ic · R2

Durch Einsetzen verschiedener Zeitwerte t ergeben sich Tabellenwerte für q:>1 und (j}J.:

t = 0 T

t =I T

t = 3 T

t = 5 T

t= 0 T

t =I T

t= 3 T

t= 5 T

10 V -9 V=+ I V 10 V- 3,31 V=+ 6,69 V 10 V -0,45 V= +9,55 V I 0 V - 0,063 V ~ + 10 V

+IV +0,368 V + 0,05 V +0,007 V

Ll


12.2

a) •'PI

-12V -cpl

.cp I +12V

21

I I

uc I +12V I

~ I

-UJ -12Vv--

b) t = 5 't

~5 ·R1 · c

t--

t-t--

~ 5 . 10 . 103 n . 22 . 10-9 F

t~ 5 · 0,22ms = 1,1 ms

c) ic =- U co . e r

Rl t

12 V --0,25 mA=---·e r

!OkQ

12mA

0,25 mA

I +-

e r

In 4,8 = !_ · In e T

t = 1,57 · 0,22 ms = 345).ls

• 12.3

a) Kondensator wird mit Konstantstrom geladen und umgeladen.

b) I= C. LlU = 0 J.J0-6 As. 10 V = 0 5 mA LlC ' V 2 ms '

1q1 ...___, c)~ ~ uc~+[


• 12.4

q

120 J1[ 160

120 p[

160

uc 80

40

5 10

5 10

15 20 f

15 5 20 , __ 6.4 ·------------- ------------------

3

2

3.6 -----------------------

0 -~~~~---+-----r--~

0 5 10 15 5 20 , _____

L'i 12.5

r= R · C = 47 kQ · 10 J..LF = 0,47 s

><c =U{-,-~l

±vou{-< 0,5 = e 7

In 0,5 = - !_ In e '(

t =- r · In 0,5 = 0,326 s

371

• 12.6

Beim Widerstand ist der Strom proportional zur Spannung, wenn sein Wert konstant ist. Der Kondensatorstrom ist dagegen proportional zur Änderungsgeschwindigkeit der Kondensatorspannung, wenn die Kapazität konstant ist.

Der Kondensator ist ein Energiespeicher, während der Widerstand die Energie in Wärme umwandelt.

111 L'i 13.1

BFe = 0,25 T gemessen

HFe = 80 Alm aus Bild 13.10

ß=HFe 'ZF 8 = 80 Alm · 0,2 m = 16 A

I= e = 16 A =16mA N 1000

tP= B · A = 0,25 T · 4 · 1o-4m2

tP= 0,1 mVs

L = N · 8 = 1 000 · 0,1· 10-3 V s = 6 25 H I 16·10-3 A '

L'i 13.2

2·4.1l'·10-7 Vs·1000N Bt. =

20·10-4 m2 ·Am

Bt. = 1,12 T = BFe

B Ht. = ___1._ = 892000 Alm

J.lo

HFe= 300 Alm aus Bild 13.10

8 = HFe . [Fe + Ht. . lt. 8=300A/m. 0,15 m + 892000A/m. 2. w-3m

8 =45A+l784A=l829A

I = e = 1829 A = 1 83 A N 1000 '

372

<"> 13.3

Definition für Induktivität einer Spule:

L =N·8 I

Bekannt sind N, I und BLaus Aufgabe 13.2.

(]J = B · A = 1,12 T · 10 ·10-4m2

(jJ = 1,12 mVs

N·8 1000 1,12 · 10-3 Vs L =--= ------

1,83 A

L = 0,61 H

<"> 13.4

Die Energie ist überwiegend im Luftspalt gespeichert:

I B 2 Wmagn(L) =-·~ · VL Index L =Luft

2 J..lo

VL =AL ·/L = 10 cm2 ·2 ·I mm = 2 ·10-6 m3

I (1,12 T)2 2 ·10-6 m3 Wmagn(L) =- · ...:....:.--'---;:;----

2 4Jr -10-7 Vs

Wmagn(L) =I Ws

Kontrolle: Berechnung der magnetischen Energie der stromdurchflossenen Spule (s. GI. 90)

1 2 I 2 Wmagn =2·L·/L=2·0,61 H · (1,83 A) =I Ws

<"> 13.5

F=B·q·v

F= 0,01 Vs/m2 · 1,6 · I0-19 As · 107 m/s

F = 0,16 · 10-13 N

Das Elektron beschreibt im Magnetfeld eine Kreisbahn mit der Zentrifugalkraft:

m ·V2 F=--

r r= Radius

m · V 2 0,9ll · I0-30 kg·(I07 m/s)2 r = --= -'-----:::...._7-::-----'--

F 0,16·I0-13 N

r= 5,7 mm


<"> 13.6

Der Betrag der Kraft ist in beiden Fällen gleich:

F=B·l·l

F = 0,1 T · I · w-3 A · 3 · I0-2 m = 3 JlN

Die Kraftrichtung steht senkrecht auf der Magnetfeld- und Stromrichtung :

Zur Berechnung des Drehmomentes muss die Kraftkomponente, die senkrecht auf den Hebelarm steht, verwendet werden:

M 1 = 2 · F · r · cos 30°

M 1 = 7,8 · I0-8 Nm

<"> 13.7

F=J..Ir·J..Io·l_ 1 z 2.7r ·a

Mz =2 · F · r

Mz = 9 · I0-8 Nm

1· 4.7r·10-7 Vs·70m 3 2 F ·(40·10 ·A)

2.7r · 0,45 m · A · m

F=50 kN

<"> 13.8

Stromrichtung ist entgegen der Elektronenstromrich-

F Feldschwächung

tung. Strahlablen- S .... 8.....----t-ee-t---N kung nach oben.

<"> 13.9

Ff!ldverstärkung

Der Strom verursacht im lnnem der Wicklung ein magnetisches Feld. Dadurch werden die Stahlzungen magnetisiert und ziehen sich an (Verkürzung der Feldlinien).


Ll 13.10

a) Nach links

b) F=B·N·l·l F = 0,2 T · 1000 · I · 10-3 A · I . 10-2 m

F=2mN

Ll 13.11

a) Magnetisierungsarbeit BF~ f-- ""7"+ 1 0,7T

W1z=VFe" fHFe·dB 0

Wt2"" I . w-3 m3 . 17 FE . 0,1 T. 50 A FE·m

W12 "" + 85 mWs

b) Energierückgewinnung: BFe 1----o::.-+l 0,42T

W = VFe· fHFe ·dB 0,7T

W "" I . 10-3 m3 . 8 FE . 0,1 T. 50 A FE·m

W z40mWs

Magnetisierungsarbeit: OT

W = V Fe· fH Fe· dB 0.7T

W = I . w-3 m3 . 7 5 FE . 0,1 T . 50 A ' FE · m

W = 37,5 mWs

W23 =-2,5mWs

Energieaufwand für das Ummagnetisieren von 1 über 2 nach 3:

ilW = 85 mWs - 2,5 mWs

ilW = 82,5 mWs

m • 14.1

Abstonung

Anziehung

Ll 14.2

U=-B·l·v=-10mV

373

["-" ~ S)Jlinkswendige Umlaufspannung

R = 2 · 10 mf.l · s mit s = v · t m

rnQ m R=20-·0,1-· t

m sec mn

R=2-·t sec

U - lOmV I l=-=---=-5As·-

R 2 mQ ·t t sec

Ll 14.3

Beim Eintauchen des Rähmchens in das homogene Magnetfeld entsteht eine linkswendig gerichtete Induktionsspannung während des Zeitraums ft.

lVI = B · b · v = 0,1 T · 0,2 m · 1,5 m/s = 30 mV

a O,lm f[ =-=---=0,667 s

v 1,5 m/s

Beim V erlassen des homogenen Magnetfeldes ist die Umlaufspannung rechtswendig gerichtet.

374

• 14.4

Flächenänderung M ~ Flussänderung

B · M = ll<P~ Induktionsspannung

ll<P d k. . U =---~In u t10nsstrom (Wirbelstrom) llt

~Wärme (Energieabgabe des Systems):

Bremsung

ll 14.5

ll<P Uq=+N·

llt

T - - .,.--, I I I

_L_ _ _, _ ...J

Für den Zeitraum 5-10 sec:

U =1000·25mVs-O SV q 10s-5s

Für den Zeitraum I 5-20 sec:

U =IOOO·IOmVs -25mVs _ 3 V q 20s-15s

Für den Zeitraum 25-27,5 s:

U = IOOO · -IOmVs-(+IOmVs) _ 8 V q 27,5 s- 25 s

In allen anderen Zeiträumen ist Uq = 0, da keine Flussänderung.

Uq

8 V 4

-4

-8

0

• 14.6

30 t

a) Der magnetische Fluss kann hier nur als Flussänderung gemessen werden: Ein- und Ausschalten des Stromes.

b) L=N·<P I


ll 14.7

a) Für den Zeitraum 4 ... 12 J.ls: ML 0,2A

UL = L ·--= IOOJ.lH·--=+ 2,5 V llt 8 J.lS

Für den Zeitraum 12 ... !6J.ls: ML -0,2A

UL= L ·-=IOOJ.lH·---=-5 V !J.t 4J.lS

Ut

4 V 2

gleiche Spannungs-Zeiffi<Jrhen

o~~f---........ - ----t---.H --+---

-2 20 f.l S t

-6

b) Gleiche Lösung wie für a), da für das Entstehen der Selbstinduktionsspannung nur die Stromänderungen maßgebend sind.

ll 14.8

a) Für den Zeitraum 4 ... 8 J.ls: . UL 20V

L'ltL=-· llt =---· 4J.lS = 0,8 A L lOOJ.lH

Für den Zeitraum 8 ... l6J.ls: UL -10 V

ML=-·L'lt=--·8J..IS=-0,8 A L 100 J.lH

iL 0,8

A 0,4

0 ~~~~--+-~-~--~

-0,4 20 {LS f

-0,8

b) Die positive Spannungs-Zeitfläche bedeutet eine Magnetfluss-Zunahme. Entsprechend stellt die negative Spannungs-Zeitfläche eine Magnetfluss-Abnahme dar. Einheit: Vs


II L'1 15.1

L'1 15.2

L 2,1 H T=-=--=7ms

R 300Q

I = !!__ = 24 V = 80 mA R 300Q

i = e = 200 A = 40 mA LN 5000

t 40mA ----=1-e 7

SOmA

05 =-1-· ' t '

+e r

t +-2 =e 7

In 2 =!_·In e T

t = T · In 2 = 7 ms · 0,693 t = 4,85 ms

V 6V a) l=-=--=50mA

RL 120Q

R = 160 V = 3 2 kQ a 50mA '

b) T= L = ____!2_!:!_ = 0 452 ms RL +Ra 3,32 kQ '

c) Bei Verwendung einer Freilaufdiode wird die Induktionsspannung an den Spulenklemmen auf etwa 0,7 V begrenzt. Es wird jedoch die Abschalt-Zeitkonstante wegen des geringen Durchlasswiderstandes der Diode erheblich vergrößert und damit auch die Abfallzeit des Relais.

L'1 15.3

a) Dauer-Durchflutung:

V /9n=l·N=-·N

R

l9n = 12 V ·3 600=360 A 120Q

Ansprech-Durchflutung lt. Angabe:

8A = 205 A (~ 57 %)

b) Anker angezogen:

L=N2 ·AL L=36002 ·15·I0-8 H=1,94H

Anker abgefallen:

L = 36002 · 8 · I0-8 H = 1,04 H

Luftspaltänderung ~ Flussänderung ~

N·tl> Induktivitätsänderung L = --

/

c) Berechnung der Ansprechzeit unter der Annahme L = I ,5 H = konst.:

T=!::_ = 1•5 H = 12 5 ms R !20Q '

Ansprech-Stromstärke:

i = eA = 205 A =57 mA N 3600

Endwert (Gleichstrom):

I=!!_= 12 V =IOOmA R 120Q

Schaltvorgang (EIN):

t

0,57 =1-e r

t

e r = 0,43

_!..._In e =In 0,43 T

tel=- T· In 0,43 = 10,5 ms

Gesamte Ansprechzeit:

t = tel + tmech = II ,5 ms

375

376

~ 15.4

a) I= IO V = 0 5 A :::::;, I = I O V = 0 0833 A 20Q ' 120Q '

Der Strom nimmt von 500 mA entlang einer eFunktion bis auf 83,3 mA ab.

b) t=5 <=5 _!:..._ R

t = 5 · 0•5 H = 20,8 ms 120Q

c) fP3 = + 10 V:::::;, 1P3 = + 10 V

(/)]_ = 0 V -=> (/)]_ = 1P3 - 0,5 A · RL = 0 V

ql1 = 0 V -=> 1PI = 0,5 A · 100 Q = + 50 V

d) UL =- Umax · e r =-50 V · e r

e) us +50 V

+B,JV

• 15.5

5 ~zu 5 ~auf

Die Spannung us über dem geschlossenen Schalter ist null. Im Moment der Schalteröffnung wird der Strom im Drahtwiderstand unterbrochen und es entsteht eine Induktionsspannung auf Grund der vorhandenen parasitären Induktivität. Die Spannungsspitze addiert sich zur Batteriespannung von 24 V. Nach Abklingen der Schwingung steht am geöffneten Schalter die Batteriespannung von 24 V an.


~ 16.1

0,8 A = 1,41 A · sin wt . 0,8A

Sill ( OJt) = --= 0,567 1,41 A

(wt)] = + 34,6" ~ 0,603 (Bogenmaß) (Wth = 180"- 34,6" = 145,4" ~ 2,54

0,603 t1 =---1 = 1,92 ms

2rc ·50-s

2,54 tz = ---1 = 8,08 ms

2rc ·50-s

~ 16.2

I I J=-= =400Hz

T 2,5 · 10~3 s

1 1 w = 2rc · f = 2rc · 400- = 2 512 -

s s

(dU) , 1 V - = w· u = 2512- · 5 V= 12560-dt max

~ 16.3

I I

'<I: I E1 ""·I ~I II I ·-I

1 OJt = 2rc. 1 . 103 -. 0,4. 10~3 s = 0,8rc ~ 144"

s i = 100 mA · sin 144" i = 58,8 mA

~ 16.4

!=!!...= 3000Umdr. = 50Hz t 60s

u=N·(d<P) =N·tP·w dt max

a = 1000 · 1 mVs · 2rc ·50 s~ 1 = 314 V


... 16.5

Maximale Anstiegsgeschwindigkeit des Signals 5 V/50kHz:

( !:iu) =OJ·u=3,14·105 .!..5v /:;.t max S

- =1,57·106 -=1,57-( !:iu) V V /:;.t max S I!S

Die maximale Anstiegsgeschwindigkeit der Verstärker-Ausgangsspannung 0,5 V/~-ts reicht nicht.

Der Verstärker kann das Sinussignal nicht kurvenformgetreu verstärken. Der Verstärkungsfaktor von 500fach (10 mV · 500 = 5 V) ist zu groß. Eine Signalverstärkung von nur 160fach (I 0 m V · 160 = 1,6 V) wäre gerade noch zulässig.

/:;. 16.6

a) u = 6 V · sin OJt b) T = 25 ms => f = 40 Hz

• 16.7

a) OJ= 27t · f= 6280 s-1

b) Sinus c) Umrechnung der Zeitabhängigkeit eines si

nusförmigen Vorgangs in eine Winkelabhängigkeit a = OJt.

Berechnung der maximalen Änderungsgeschwindigkeit einer sinusförmigen Größe:

( du) , z.B. - =OJ·u dt max

/:;. 16.8

a) T=_!_=-'-= 20 ms f 50Hz

OJ= 27t · f= 21t ·50 Hz= 314 s-1

b) u = a. sin OJt

sin OJt = ~ = + 1 a Zeitpunkt positiver Scheitelwert:

1t OJt =- =>

2

1t

t=--2-=5ms 314 s -I

Zeitpunkt negativer Scheitelwert: 37t

37t 2 OJt=-; t =---=15ms

2 314 s-1

c) sin OJt=~=+0,5 u

1t

1t OJt=- ~ t=--6-=167ms

314s-1 ' 6

5 OJt =-1t ~

6

57t

t=--6-=8 33ms 314s-1 '

377

d) Anstelle von u = a · sin OJt kann auch u = a · cos ( wt- 90°) gesetzt werden. An den Ergebnissen von a) bis c) ändert sich nichts.

II /:;. 17.1

a) Arithmetischer Mittelwert:

ü=f· Ju ·dt

ü=+· Ju·sinwt·dt=O

Gleichrichtwert:

- 1 f lul=y-· lul·dt

7r

~ = ..!._ Jl a I · sin wt · dwt 1t 0

- a n I u I=-· [- cos OJt ]0

1t

(Definition)

(Definition)

!;,;! = 2U = 2. 325 V = 206,9 V 1t 1t

Effektivwert:

U=~f· Ju 2 ·dt (Definition)

27!

u = _!__ · J (u · sin wt)2 · dwt 27t

0

U = .!!_ = 325 V = 230 V ..fi. 1,414

378

b) Scheitelfaktor ( Crestfaktor):

CF=.E_ u

CF= 325 V = .J2 230V

Formfaktor:

F= U Iu I

F= 230 V = II! 206,9 V '

~ 17.2

u =f· Ju ·dt

(Definition)

(Definition)

T Dreiecksflächen-Z ·10 V~ berechnung

u=---'2=-----T

~ 17.3

2,5V

- ii u =- (Einweg-Gleichrichtung)

7t

ii = 1t · 11,8 V= 37,1 V

~ 17.4

a) U

u

1 t+T

T Ju2 ·dt t

[(1,5 V)2 ·10 ms + (0,5 V)2 ·10 ms]

20ms

U = 1,12 V

1 t+T

b) U_ =T Ju ·dt t

I U_ =-- [1,5 V· 10 ms + 0,5 V· 10 ms]

20ms

U_ = 1 V (Effektivwert)

U- = 0,5 V (Effektivwert)

U =~U ~ +U! = 1,12 V (Gesamt-Eff.)

~ 17.5

I T

a) U = T Ju 2 · dt 0


V= ~-1 -·(5V) 2 ·3 5ms=2,74V V 50 ms

1 T

b) u=-:rfu·dt 0

I u = -- [2 · 5 V · 5 ms) - (I · 5 V · 5 ms] 50ms

u = 0,5 V

~ 17.6

1 n 2 U= -·2.>i

n i=!

10

tOStichproben

2.>i2 = [02 + 42 + 82 + 122 + 162 + 202 i=l

+ 162 + 122 + 82 + 42] V2 = 1360 V2

U=~J_·I360V2 =11,66V 10

exakt:

U = _!!___ = 20 V = 11 5 V f3 f3 '

~ 17.7

Effektivwert der Dreieckspannung:

U = _!!___ = 15 V = 8,66 V f3 f3

Amplitude der Sinusspannung des gleichen Effektivwertes:

ii = .J2 · U = .J2 · 8,66 V= 12,25 V


• 17.8

P_=P-P_

V~ V 2 V~ -=---R R R

V_=~V2 -V~ =~(5,6V)2 -(3,9V)2

V_=4,02 V

d 17.9

1 1 T=-=--=20ms

f 50Hz

tEin = 2 · T = 40 ms

lAus= 40 ms

Effektivwert einer Sinusschwingung:

V=_E_= 230V .J2

Effektivwert Veff des Impulspaktes aus einem Leistungsansatz:

P ·40ms+0·40ms Pges =---------

80 ms

v2 v2 -·40ms ~=--'-'R~--

R 80ms

Vetf = ~ = ~(230 V) 2 = 162,6 V

• 17.10

Zeitkonstante des RC-Giiedes:

T= R · C = 0,1 s

Periodendauer der Schwingung:

T = 4 cm · 2 ms = 8 ms cm

r> T => Kondensator lädt sich auf den Gleichanteil der Sinushalbwellen auf.

_ u 3cm·5V u =-= 4,77 V

1t 7t·cm

Zur Schirmbildanzeige gelangt nur der Wechselanteil der Mischspannung: Das Bild rutscht um 4,77 V herunter.

• 17.11

1 T

a) V= T Ju 2 ·dt 0

1 T

b) V= T Ju 2 ·dt 0

379

Funktion der Sägezahnspannung analog y = mx:

a u=-·t

ti

V= _!_Tr( ~-tJ2 ·dt T 6lti

V=

1 a 2 t 3 _,_,_!_

T ti2 3 V= f·~i: t:I V -· HFi -U·-

3T

8 17.12

u = Amplitude Effektivwert aus Leistungsüberlegung:

1 a Veff="4P und V= .J2

v;tt =.!__~=-· u2

R 4 R 4 2·R

V - (i2 _ __E_ eff- Vs- 2,83

Scheitelfaktor (Crestfaktor):

CF= a =-a-=283 v a 12,83 '

380

~ 18.1

Ir 2.

Ui U=400V

Uz

U+Uz-U1=0

U=U1-U2

I 2 · 2 • 3. V=..;(U 1) +(V 2 ) +2U 1 ·U 2 ·cos60o

V=400V

4. 230 V/400 V

ll 18.2

I = ~ (1 2 + I 1 · cos 60°) 2 + (1 3 + I 1 · sin 60°) 2

I= ~(6 A +8 A ·0,5)2 + (3 A +8 A ·0,866) 2

I=~IOOA 2 +98,6A2 =14,1A

ll 18.3

u = 19 mV · cos ( OJt- :0) -7 mV = 19 mV · cos ( OJt- 1~)

cos ( OJt- 1~) =- 0,3684


a) ( 0Jt1- 1~) = 180°-68,4° = 111,6°

OJt = 116,6 + 18° = 129,6°

t1 21t·129,6°

360°·27t · 77,3 .J0+3 Hz

t1 = 4,56 JlS

b) ( 0Jt2- 1~) = 180° + 68,4° = 248,4°

0Jt2 = 248,4° + 18° = 266,4° 27t. 266,4°

t2 360°·27t · 77,3 .J0+3 Hz

!2 = 9,58 JlS

ll 18.4

~ ~ u!J Uz

a} 3

b}

t u

c} I:u=O I:u=O I:u=O

ll 18.5

a1 =26,5V·cos41°=20V

u2 = 26,5 V· sin 41° = 17,4 V

u = 26,5 V· sin (OJt + 41°)

u = 20 V · sin OJt + 17,4 V · sin ( OJt + 90°)


ß 19.1

a) I= i_ = 50 mA = 35 4 mA .fi .fi '

p = / 2 . R = (35,4 mAP . 100 n P=0,125W

b) Maximalwert:

p (t) = (50 mA)2 . 100 n = 0,25 w Minimal wert:

p (t) = 0

c) f = 2 · 500 Hz = 1 kHz

• 19.2

Ohmscher Widerstand

Hat ein Schaltelement eine lineare /-V-Kennlinie, dann gilt für die Kennlinie: uli = konst. Kennzeichen eines ohmschen Widerstandes ist die strenge Proportionalität von Strom und Spannung am Schaltelement einschließlich der Bedingung, dass keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt (DIN 40 110).

Gleichstromwiderstand

Der Gleichstromwiderstand ist das Verhältnis von Gleichspannung und Gleichstrom am Schaltelement. Der Gleichstromwiderstand kann linear (= konst.) oder nichtlinear (= arbeitspunktabhängig) sein.

Wirkwiderstand

Der Wirkwiderstand ist zunächst ein energiemäßiger Widerstandsbegriff: Der Wirkwiderstand eines beliebigen Schaltelements ist der aus dessen Wirkleistung berechnete Widerstandswert.

Der Wirkwiderstand ist ferner ein die Phasenlage von Wechselspannung und Wechselstrom des Schaltelements kennzeichnender Widerstandsbegriff: Hat ein Schaltelement einen reinen Wirkwiderstand, dann ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Wechselspannung und Wechselstrom am Widerstand null. Damit ist der Wirkwiderstand jedoch nicht gleich dem ohmsehen Widerstand, da der Wirkwiderstand keine lineare I-V-Kennlinie haben muss.

Der Wirkwiderstand ist bei höheren Frequenzen größer als der Gleichstromwiderstand (Stromverdrängungseffekt).

ß 19.3

V=~= 325 V =230V .fi .fi

2 P=!!_= (230V) =2,3kW

R 23!1

ß 19.4

P=W =l0Wh=600W t __!__h

60

V~ (230 V)2 R=-= 88,2!1

P 600W

ß 19.5

I=i_= 0•4 mA =0,2828A .fi .fi

R = .!._ = 50 w = 625 n I 2 (0,2828 A)2

ß 19.6

R=.!_= 65 W =14057!1 I 2 (0,68 A)2 '

ß 20.1

1. Cges = C1 + Cz = 17 J..LF

381

1 1 Xe=--= =187!1

OJ·C 314s-1 ·17·10-6 F

l = !!..!;;_ = 230 V = 1 23 A c x c 187 n ·

'·,,L Uc

3. Qc = Vc · Ic = 230 V· 1,23 A = 283 var (W)

382

Ll 20.2

f

Hz 100 200 400 600 800

1000

Ll 20.3

c

JlF 0,1 0,2 0,3 0,4

3

2

0

I Xe=

2Jr·f·C

n 159 79,5 39,75 26,5 19,9 15,9

I Xe=

2Jr·f·C

n 1990

+ 20~ I 16oo

Xe 1200

800

400

995 664 497

1 - Ve e--Xe

mA 18,8 37,6 75,2

113 150,4 188

Ie = !!_s;_ Xe

mA 1.51 3,02 4,53 6,04

0 _1__--t--+---+-----i

0 0,1 0,2 0,3 0,4 f.J.F c-


Ll 20.4

X V e 30 V 7,07 kQ e=Ic= .fi.·3mA

1 {=---. 2n·C·Xe 2n·O,l·10-6 F·7,07·103 Q

!=225Hz

• 20.5

Das Zeigerbild zeigt, dass die Behauptung falsch ist.

• 20.6

Der kapazitive Widerstand des Kondensators und der Wirkwiderstand des Schaltwiderstandes bestimmen den Strom bei gegebener Spannung:

UR Ue IR=-, Ie=-

R Xe

Bei UR= Ue und R =Xe wird IR= Ie

Aber 4 IR, UR = 0°, bei Wirkwiderstand reine Wirkleistung

Ll 20.7

4 Ie, Ue = 90°, bei Blindwiderstand reine Blindleistung

a) X =V e = 230 V = 319 4 Q e Ie 0,72 A '

1 Xe=--

OJ·C

c 1

<O·X e 10 JlF

314 s-1 • 319,4 n 1 1

b) Xe = = ---,----::--2nf ·C 2n·60s-1 ·10·10-6 F

Xe= 265,3 n Ie =!!_s;_ = 120 V = 0 452 A

Xe 265,3Q '


d 20.8

1 1 1 I a) --=-+-+

Cges c, Cz C3

1 1 1 1 --=---+--+--c ges 0,471JF 11JF 100 nF

Cges = 76,18 nF

1 Xe, =--=--~--

OJ·C, 314s-1 ·0,471JF

XCI = 6773 0 Xcz = 3183 0

Xc1 =318300

Xcges 1

Xcges = 41 784 0

Uc 230V Ic =--= 5,5mA

Xcges 417480

b) Der Kondensator mit der kleinsten Kapazität muss die höchste Spannungsfestigkeit aufweisen, da er den größten kapazitiven Widerstand hat, an dem auch die größte Spannung auftritt.

c) Uc3 =Ic ·Xe3 =5,5 mA · 318300= 175 V Als Nennspannung für Kondensator 100 nF ist 400 V zu wählen.

BI • 21.1

Li = X LI = 500 0 = 26,5 mH 2rtf 2rt·3·103 s-1

=UL2 =~=11000 IL !OmA

Lz = x L2 = 1100 o = 58,3 mH 2rtf 2rt·3·I03 s-1

383

3. Das Einfügen eines Luftspaltes in den Eisenkern einer Spule führt zu einer gescherten Magnetisierungskurve. Der Anfangsbereich der Magnetisierungskurve B = f(H) wird linearisiert. Dadurch bleibt für einen weiten Bereich der magnetischen Feldstärke die Permeabilitätszahl Pr konstant. 11r geht in den Kernfaktor der Spule ein, der ihre Induktivität mitbestimmt: L = N2 ·AL (s. GI. (104)).

4. QL =I[· (Xu + XLz) QL = (10 mA)2 • (5oo o + I1000) QL = O,I6 var (W)

d 21.2

L = N2 ·AL = 302 · I JlH = 0,9 mH

XL=OJ·L=2rt·80·I03Hz·0,9·10-3 H

XL=4520

I =~=~=1ImA L XL 4520

UL = 7,07 V· sin OJt

iL = 15,6 mA · sin (wt- 90°)

d 21.3

f

kHz 1,5 4,5 9

XL= 2rt ·f· L IL=~ XL

o mA 942 3,18

2826 I,06 5652 0,53

\ ""-...

~1H--2

-0 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9

kHz ,_

384

8 21.4

XL= OJ · L = 2n · 200Hz · 48 · w-3 H = 60,3 Q

UL = IL ·XL= 50 mA · 60,3 Q = 3,01 V

QL =I[ ·XL= (50 · 10-3 A)2 · 60,3 Q

QL=0,151 var 2 2

QL =~ = (3,01 V) XL 60,3 Q

QL=0,151 var

QL = UL · IL = 3,01 V· 50 mA

QL = 0,151 var

• 21.5

Sinusförmiger Verlauf

• 21.6

Bei Einprägung eines sinusförmigen Stromes wird die Feldstärke ebenfalls zeitlich sinusförmig verlaufen. Wegen der gekrümmten Magnetisierungskurve wird B = f(t) nichtsinusförmig und damit weicht die Selbstinduktionsspannung ebenfalls von der Sinusform ab. Nur bei sehr kleiner Stromamplitude kann die Spule als ideal angesehen werden. Die ideale Spule muss außerdem einen gegenüber dem Blindwiderstand vernachlässigbar geringen Wirkwiderstand aufweisen.

• 21.7

a) Nein, denn die Leistungsmessung zeigt, dass die Drosselspule eine Wirkleistung von 12 W aufnimmt. Eine ideale Spule hat keine Wirkleistung (P = 0).

b) Induktiver Blindwiderstand

XL= QL = 160 var 327 Q I C (0,7 A)2

Induktivität

L=~= 327 Q =104H 2n-f 314s-1 '

8 22.1

uz P=

R


u2 (230 VJ 2 R =-= 1058Q=konst.

R 50W

UR=~ =~25 W ·1058 Q =162,5 V

Ue =~U2 -U~ -~(230 V) 2 -(162,5 V)2

Ue = 162,5 V

I =UR= 162,5V =Ol 54 A R 1058 Q '

X = U e = 162,5 V = 1058 Q e I 0,154A

C=-1-= l 3J.!F OJ·Xe 314s-1 ·1058Q

8 22.2

Y = !__ = 0'8 A = 6 67 mS U 120V '

G =_!_=-1-=5mS R 200Q

cos tp =G =~=0,75 Y 6,67 mS

tp = 41,4° P =U·I·costp=120V·0,8A·cos41,4° P = 72 W oder einfach

2 2 p =!!____ = (120 V) = 72 W

R 200Q

Be=~ =4,4mS

C =Be = 14 JlF OJ

8 22.3

Ie =~I 2 -I~ =~(100mA)2 -(80mA)2

Ie =60mA

Xe =~=~=200Q Ie 60mA

C=-1-= l 1,32J.!F m·Xe 2n·600s-1 ·200Q


d 22.4

P 50W S = --=--=83,3VA

cos rp 0,6

I = !._ = 83•3 VA = 0 362 A U 230V '

R = .!.__= 50W 381Q I 2 (0,362 A)2

z = !!_ = 230 v = 635 n I 0,362A

XL = ~ Z 2 - R 2 = ~r-(6_3_5 -il-)2,_--(-38_1_Q_)-c:-2

XL= 508Q

L = .!..!,_ = 508 Q = 1 62 H OJ 314 s-1 '

d 22.5

R = U _ = 12 V = 8 Q I 1,5A

1 XL= OJ·L=314-·0,1H=31,4Q

s

Z = ~r-R-2 _+_X_L_2 = ~(8 il)2 + (31,4 il)2

z = 32.4 n I = !!._=~=037 A z 32,4!2 ,

d 22.6

IR = {P =P8 w =06A V"R son · IL = ~I 2 -I~ = ~r(0-,7-5_A_)_2 ---(0-,6-A-)...,...2

IL = 0,45 A Up = IR · R = 0,6 A · 50 Q = 30 V

X = Up = 30V =667Q L h 0,45A '

L = .!..!,_= 66•7 Q =0212H OJ 314 s-1 '

d 22.7

XL = OJ· L=21t · 10,7 · 106 Hz· 200 · 10--6 H XL= 13,44kil

Q = .!..!,_ = 13 440 n 336 RL 40Q

385

d 22.8

1 Xe = --= ----,-------"--

OJ·C 2rc·20·103 Hz·0,1·10--6 F

Xe =79,6!2

Re=~= 79•6 n =26,54kil tan 8 0,003

O,tp.F

26,54k52

II d 23.1

U=~= 45,25V = 32 V

./2 ./2 !1 = 32 V · e-i 20•2"

!1 = 32 V (cos 20,2°- j 20,2°)

!1=30V-j 11 V

d 23.2

jlm

-j11 V

U =32V

% =-20,2°

U = ~r-(3_0_V-)2::-+-(_ll_V_)-,-2 = 32 V

tan m = - 11 V =-0365 TU +30V ,

% =-20,2° !1 = 32 V · e-i 20•2"

Re

386

ß 23.3

Be = OJ· CP = 27t · 36,2 · 103 s-1 · 22 · 10-9 F Be =5 mS fp=10mS+j5mS

ZR 1 =80il-j40il 10mS+ j5 mS

ß 23.4

R = 8on

c =-1-= 1 OJ·X e 27t·36,2-103 Hz·40Q

C = 0,11 JlF

1 G =-=4,55mS

R

Be = w · C = 27t · 36,2 · 103 s-1 · 47 · 10-9 F Be = 10,7 mS

1 ZR=------ 4,55mS+j10,7mS

ZR = 33,7 n- j 79,1 n

ß 23.5

R =33,7il

1 C =--=55,6nF

OJ·X e

L

39,2Q

XL= OJ· L = 314 s-1 · 32,5 · I0-3 H = 10,21 Q

1 1 Yp=--+--- 39,2 n j 10.21 n

fp = 25,5 mS- j 97,9 mS

1 ZR=4,7il+------ 25,5 mS- j 97,9 mS

ZR = 4,7 il+ 25,5 mS+ j97,9 mS 10 235 (mS)2

ZR= 4,7 n + 2,49 n + j 9,56 n

ZR= 7,19 n + j 9,56 n


ZR = ZR · e+ i ffJ

mit z = ~(7,19il)2 +(9,56il)2 z12il

+9,56il tan rp = =+1,33 ~ rp=+53,1"

+7,19il

I= 30 V =25A 12il ,

• 23.6

1 2. Xe=--= =15,9il

OJ·C 314s-1 ·200·10-6 F

XL= OJ· L = 314 s-1 · 0,1 H = 31,4 il

Yp=-1-+--1-SOmS- j31,8 mS - 20il j31,4il

Umrechnung in Exponentialform mit Taschenrechner:

fp = 59,3 mS · e-i 32•5o

1 j 15,9 n

50 mS- j 31,8 mS

50mS+ j31,8mS jl5,9il

3510(mS)2

= 14,25 il+ j 9,06il-j 15,9il

z: = 14,25 n- j 6,84 n

Umrechnung in Exponentialform mit Taschenrechner:

z = 15,8 n. e-i 25•60

ll = l· Zc = 0,1 A · ei oo · (- j 15,9 Q) lle = 1,59 V. e-i 900

I 0,1 A · ei 00 Up =~ =--.:..._,,...---""'""= - [p 59,3·10-3 S-e-i 32•50

llP = 1,685 V · e+ i 32•50

ll =l· Z=0,1 A · eiO' · 15,8 n · e-i 25•60

ll = 1,58 V· e-i 25•6o

U 1685A·e+i 32•5o lR = -P =-''-----

~R 20Q

lR = 84,3 mA . e+ j 32,50

U 1,685 A · e+i 32•50 fL =-P

~L + j31,4Q

lL = 53,6 mA. e-i 57,50


1., 3.

• 23.7

ZR =1il+j2Q

y - 1 -R -1Q+j2Q

Ip =__!__+1il-j2Q R2 5!22

10 mm=JO mA 10 mm = 1,5V

_ 5 n 2 + (1 n- j 2 Q) R2 Ip - 2

5Q -R2

Y __ 5il+R2 . 2 -P J-

5il·R2 5Q

2 5Q

tan (- 45") = 5 Q = -1 (Iist nacheilend) +R2

5il·R2

2 = 5il+R2 5Q 5il·R2

... 23.8

I= 12 V =120mA 100!2

R2 =5il

10 mm = 30 mA 10 mm = 10 V

U2 = Viv+ U§p + 2 URv · Usp · cos fP2 (Kosinussatz)

2 2 2 U -URv -Usp

2URv ·Usp cos rt>2

(26,5 V)2 -(12 V)2 -(17 V)2

COS(/>2 = 2·12V·17V

cos rt>2 = 0,66

rt>2 = 48,7°

387

URL = Usp · cos rt>2 = 17 V· 0,66 = 11,2 V

UL = Usp · sin fP2 = 17 V· 0,751 = 12,77 V

R = U RL = 11,2 V = 93,3 Q L I 120mA

X =~=12,77V =1064!2 L I 120 mA '

L =~= 106•4 Q =0339H m 314 s-1 '

... 23.9

L ~ 300Q =0,0796H m 3 770 s-1

C =-1-= 0,53!1F m·Xc 3770s-1 -500Q

ZRL = R1 + j roL . 1

Z:Rc = R2- J--m·C

Berechnung des komplexen Leitwertes:

388

Imaginärteil gleich null setzen:

m·C

R'} +(-1-)2 OJ·C

1 2 2 [ 2 ( 1 )2

] --[R1 +(m·L) ] = m·L R2 + --m·C m·C

2 2 _!l_+ (m·L) =R'f.m·L +~ m·C m·C (m·C)2

2 2 2 L R 1 +(mL) =R2 ·mL·m·C+-

oJ.L2 -oJ·L·C.R}=!:__-R? c

oJ · (L2- L · C · R}) =.!:___- R? c

C

L 2 --R,

m2 = --=--"c'-----------=-L2 -L ·C ·R'f

OJ= 6,59 · 103 s-1

J= 1,05 kHz

Berechnung der Ströme:

ZRL =ZOO Q + j Zn· 1,05 · 103 s-1 · 0,0796 H

ZRL = zoo Q + j 5Z5 Q

ZRc = 300 Q-j 1 - Zn·1,05 ·10-3 s-1 ·0,53·10-6F

ZRc = 300 n - j Z86 n

l1 3 V ·ei 0"

ZOOQ+ j5Z5Q

l1 3 V (ZOO Q- j 5Z5 Q)

315 6Z5 n2

l1 =1,9mA-j5mA

lz 3 V· ei O"

300Q- j Z86Q

l2 3 V (300 Q + j Z86 Q)

171796Q2

l2 = 5,Z4 mA + j 5 mA l =[1+l2=7,14mA·eiO"

!}_ =3 V· ei 0" =:> rp= oo


8 23.10

I I lp = 180 Q + -jZ50Q 5,55mA+j4mS

1 Z =R1 +Zp=R1 +-----

- 5,55 mS + j 4 mS

5,55 mS- j 4 mS Z = R1 + ----'--:-

46,8 (mS) 2

Z = R1 + 118,5 Q- j 85,5 Q bei (/Jz =-zoo

tan - zoo = - 85•5 Q =- 0 364 R1 +118,5 Q '

-0,364 R1- 0,364 · 118,5 Q =- 85,5 Q

R =85,5Q-43,13Q= 1164 Q I 0,364 ,

Äquivalente Reihenschaltung:

R = 116,4 Q + 118,5 Q = Z34,9 Q Xe= 85,5 n

.. 23.11

lc =IR

/L = .fi. ·IR

UL = .fi. · IR · XL

8 24.1

OJ = Zn · f = Zn · 1 kHz = 6Z83 s-1

~=__!__ 1

U e 10 ~1+(m·R ·C)2


100 = 1+(w·R ·C)2

(W·R·C)2 =99

R · C = .J99 1,58 ·10-3 s 6283s-1

! - 1 100Hz g- 2rc·R ·C

Bei Grenzfrequenz beträgt die Ausgangsspannung noch 70,7 % der Eingangsspannung.

~ 24.2

w= 2rc · f= 2rc · 800Hz= 5026 s-1

- 30 dB = 20 lg ~ => - I ,5 = lg ~ Ue Ue

u a = w-1•5 = 0 0316 u , e

~= 0 0316 =---r===== Ue , ~l+(w·R·C)2

I

1000 I+(W·R ·C) 2

(w · R · C)2 = 999

R · C= .J999 =6 29·10-3 s 5026s-1 '

C= 6,29·10-3 s = 134 F 47kQ , J.1

~ 24.3

- 6 dB = 20 lg U a

Ue

u. => -0,3 = Ig-Ue

~= w-0•3 = o s Ue ,

1 =0,5 ==> _1_=J3

1+(-1-)2 W·R·C W·R·C

I rp ( w) = arctan --- => rp ( w) = 60°

W·R·C

389

~ 24.4

a) RC-Hochpass

b) ~ = 0,95 = ---r===== U e ~ I 1+ 2

(w·R ·C)

1 0,9025 =---~--

1+ 2 (w·R ·C)

0 9025 + 0•9025 = I , (w·R ·C)2

(W· R. C)2 = 0,9025 =9 256 0,0975 ,

~9,256 ----'------.,.-1 = 0,484 ms 6 283 s-

R·C

1 f - 329Hz

g-2rc·R·C

c) C = 0,484 ms = 0 24 F 2000Q , J.1

.A 24.5

1 a) !g = 2rc·R ·C ------=59 Hz

2rc · 27 kQ · 0,1 J.lF

Ua = 0,707 · Ue = 7,07 V

R1 ·R2 b) RErs =---= 21,3 kQ R1 +R2

, I fg = = 74,8 Hz

2rc · RErs ·C

R2 Uq =U0 ·---

R1 +R2

U = 10 V· 100 kQ = 7 78 V q 127 kQ ,

U~ = 0,707 · Uq = 5,57 V

390

• 24.6

!La !Le __I?_- j Xe + 1

R·(-j Xe)

R+(-j Xe)

1

(R - j Xe )(R - j Xe) + l R·(-jXe)

R 2 - j 2R · X e - X ~ ~-----=--~+1

- jR ·Xe

1

. R 2 . Xe l +]-+ -]-+ Xe R

3 ·[R Xe) +] ---Xe R

V. 1 F ( {))) = -a = ---"---"""""'" - V ( 1 ) -e 3+ j {))·T---

m· r

1 -;======== (Amplitudengang)

~ 32 + ( {)). T- {))] T r 1

W·T---

(j) ( m) = - arctan m · T (Phasengang) 3

b) Imaginärteil gleich nun setzen:

j(m·r--1 )=o {)). T

m T= 1 mit T= R · C

1 fo==---

2n·R ·C

~32 +( W·T- m]r r '---v-----'

0

~=..!_ (Maximum) V e 3


BI • 25.1

a) Da eine periodische Schwingung entsteht, kann die Spule keine reine Induktivität sein. Die technische Spule hat neben der Induktivität L noch eine Kapazität C (Wicklungskapazität) und wirkt deshalb wie ein Schwingkreis.

b) Die abnehmende Amplitude (gedämpfte Schwingung) weist auf einen Verlustwiderstand Rv (Wirkwiderstand) der Spule hin.

t

c) u = V o · e r · cos m t I

u =50 V · e 8 ms · cos (2Tt · 250 s-1 · t)

Ll 25.2

1 a) % =--

..[L.C 1

%=-,======= ~150·10-6 H-250·10-12 F

% = 0,516. 107 s

fo =Wo =0,82·106 Hz 2rt

Q =!....!2_=m0 ·L Rv Rv

Q 0,516-107 s-150·10-6 H

8,4Q 92

b _fo _ 0,82·106 Hz 0,7 -Q- 92 8,91 kHz

b) Veo = Q · V= 92 · 10 mV = 0,92 V

Ll 25.3

(Vernachlässigung von Rv), da hier Rv <XL)

c m2 . L

C = 2,4 nF

L

1

50·10-6 H ----::--- = 6,95 kQ 2,4 -I0-9 F. 3 n


% ·L 27t·460 kHz·50 jlH 48 b) Q =--= = R 3Q

b _fo _ 460000Hz 9,6 kHz 0,7 -Q- 48

Bandbreite bedeutet:

bo,? = fob- fu Obere Grenzfrequenz:

bo? b0 b =fo+-' =464,8 kHz

2

Unter Grenzfrequenz:

bo? fu =fo--' =455,2kHz

2

c) Lp ""L =50 JlH

CP ""C = 2,4 nF

Rp = Zo = 6,95 k.Q

• 25.4

a) Komplexe Widerstände (Leitwerte):

z-1 =R1 + j XL

y 1 -I R1 + j XL

Z'2 = R2- j Xe

1

b) Komplexer Gesamtleitwert:

fp=I1 +I2 R1 -jXL R2 +jXc

Yp = + ----".,........:'---:::'-- R?+X[ R}+X~

Imaginärteil = 0 setzen und nach lib auflösen:

mo·L + mo·c =O

R?+(0Jo·L)2 2 ( 1 J2 R2+ --

aJo·C

_!!{_+ (llJo ·L)2 =Rf.tno ·L + % ·L 2 OJo·C OJo·C (OJo·C)

L R? +(OJo ·L)2 =R} ·wJ ·L ·C +

C

L 2 --RI c

Sonderfall R2 = 0:

c) Resonanzwiderstand

391

In komplexer Leitwertgleichung fp den Imaginärteil = 0 setzen und Realanteil auswerten:

R1 R2 ~ + 2

R?+(0Jo·L)2 2 ( I J

R2+ --aJo·C

1 Lösung: Zo =-

Yo

Sonderfall für R2 = 0:

R 2 +(llJo ·L)2 llJo ·L ·llJo ·L Zo I = R I + --"'----"--R1 R1

Bei Resonanz kann gesetzt werden:

L Zo =R1 +-- vergl. GI. 218 C·R1

392

1'1 25.5

Bei Resonanzfrequenz heben sich die Blindwiderstände XL und Xe auf; es fließt ein Resonanzstrom I, der am 22 Q-Widerstand den Spannungsabfall I ,2 V entstehen lässt. Diese Spannung wird 10fach verstärkt ~ 12 V (Glühlämpchen brennt hell):

1 fo = ~z1000Hz

2rc·vL ·C Bei höheren und tieferen Frequenzen als der Resonanzfrequenz fo brennt das Glühlämpchen dunkler bzw. gar nicht. Bandbreite (~ Helligkeitsbereich):

bo,? 1000Hz

2rc · 1 000 Hz · 0,1 H 22Q

bo,? = 1000Hz = 35 Hz 28,5

1'1 25.6

Umgekehrtes Verhalten wie beim Reihenresonanzkreis in Übung 25.5: Bei Resonanzfrequenz und in deren unmittelbarer Umgebung ist das Glühlämpchen dunkel ~ Z0 = oo. Bei höheren und tieferen Frequenzen als der Resonanzfrequenzfo = I kHz brennt das Glühlämpchen hell.

• 25.7

a) Resonanzfrequenz:

XL =Xe 1 1

ILb ---- ~===:========:== - .JLZ- ~10 ·10-3 H · 2,5 ·10-9 F

ILb = 200 ks-1

fo = wo = 31,83 kQ 2rc

b) Ersatzstromquelle: Ri unverändert, jedoch in Parallelschaltung zum Resonanzkreis.

Uq lq=

Rj

c) Komplexe Leitwertgleichung:

1 1 . c . 1 fp =-+-+ JW· - J-- Ri RP w·L


Bedingung für obere Grenzfrequenz Wob• bei I .

der Wob · C > --- 1st: Wob . L

1 1 I -+-=Wob ·C ----Ri RP Wob · L '-----.r------'

I

RErs

w.;b · L · C - I

R Ers Wob · L

Wob· L 2 --- = Wob · L · C -I

RErs

2 L I 1 Wob ---·--·Wob---= 0

RErs L ·C L ·C

2 w{;-L 2 Wob - --· Wob - Wo = 0

RErs

. 2 1 mltllJö =-

L·C

2 wo 2 Wob - Q · Wob - ~ = 0

.......... b a

R mitGüteQ=~

w0 ·L

Quadratische Gleichung:

Lösung für obere Grenzfrequenz (positiver Wert):

vernachlässigbar

Wob = + Wo · (1 + - 1-J 2·Q

Bedingung für unter Grenzfrequenz UJu, bei der 1

--> Wu · C ist, führt zur Lösung: Wu·L

lOu = + wo · (1 --1 J 2·Q


d) Bandbreite des Resonanzkreises.

In den Formeln zur Berechnung der oberen und unteren Grenzfrequenz ist die resultierende Güte des durch den GeneratorInnenwiderstand beeinflussten Resonanzkreises enthalten:

Rp·Ri

RErs RP +Ri Q=--=--

Wo·L w0 ·L

Bandbreite bei Bedämpfung mit Ri = I 00 kQ:

I I I I I --=-+- = ---+--- =0,02 mS RErs Ri RP 100 kQ 100 kQ

RErs =50 kQ

Q __ s--,o ,-kn __ = 25 200 ks-1 ·10 mH

Wo _1 200 ks- 1 Wob =Wo +- = 200 k + ---

2Q 2·25

Wob = 204 ks-1

% =w0 -~=200k-1

% = 196 ks-1

200 ks - 1

2·25

bo.7 8 000 s-1

27t 1273Hz

Bandbreite bei Bedämpfung mit Ri = 25 kQ:

I I 1 I I --=-+- = --+--- =0,02 mS RErs Ri RP 25 kQ 100 kQ

RErs = 20 kQ

Q 20kQ

10 200 ks-1 ·10 mH

w0 200 k-t _20_0_ks_-_1 Wob =Wo+-= +

2Q 2 ·10

Wob = 204 ks-1

% =w0 - Wo =200k-1 2Q

200 ks-1

2 ·10

% = 190 ks-1

b -Wob- Wu 0.7 - 21t

20 000 s-1

27t 3183Hz

Je kleiner der den Resonanzkreis bedämpfende Innenwiderstand Ri des Generators ist, desto geringer wird die resultierende Kreisgüte verbunden mit einer größerer werdenden Bandbreite (geringere Resonanzschärfe).

393

t. 26.1

ftN = StN =30A, u = Uk· U1N =2kV u1N k IOO%

COSipk = _Jl __ = 0,25 ~ ipk = 75,S0 Uk · ftN

zk =~= 20oov =66,7Q ftN 30A

Rk =Zk ·COS ipk =16,7 Q

Xk = Zk · sin 1Pk = 64,5 Q

t. 26.2

W· tP 314 s-1 ·1,42 T · 0,0011 m2

Nt =663 Wdg.

t. 26.3

ü =!:iL=2 N2

u1 u2 =-=125 v ü

h =~=lA R2

L1h =Nt ·AL =4002 · 25 · 10-6 H = 4 H

l __ ___!:l_ 250 V

-Jl jw·L1h jl256Q - j 0,2 A

I lt = d + [Jl = 0,5 A - j 0,2 A

ü

Betrag des Primärstromes:

ft = ~(0,5 A) 2 + (0,2 A) 2 = 0,539 A

• 26.4

Die konstante Primärspannung erzwingt einen magnetischen Fluss tP im Eisen. Verursacht wird dieser Fluss im Leerlauf des Trafos durch den Magnetisierungsstrom Iw

Ein Sekundärstrom h würde mit seinem Fluss ~ den Hauptfluss schwächen. Dieser Einfluss wird durch einen zusätzlichen Primärstrom / 1 kompensiert.

ß

394

26.5

a) 'o '~"

I

u1t L1h RFe

b) Nennstrom:

-SN - 50kVA -833A /IN-------- • U 1N 6kV

Leerlaufstrom:

10 = 0,08 ·/IN= 0,667 A

Leerlauf-Scheinleistung:

So= U1N · Io = 6 kV · 0,667 A = 4 kV A Gemessene Leerlauf-Leistungsaufnahme P 0

460 W ::::::> Erwärmung des Eisens

Eisenverluststrom:

I =_lj]_ = 460 W = 0 0767 A Fe U 6 kV ' IN

Phasenverschiebungswinkel tfb = 4 (ll,, lo):

P. cos tfb = _Q_

s 0,46kW 0115 4kVA '

tfb = 83,4"

Magnetisierungsstrom:

I!!= Io · sin tfb = 0,667 A · 0,993 = 0,662 A

c) In der Ersatzschaltung ist der Kupferverlustwiderstand R1 vernachlässigt worden. Er kann aus dem Kurzschlussversuch bei entsprechend verringerter Spannung bestimmt werden.

Pk =I~· Rk mit Rk = R1 und /k =/IN

Pk = IJ 00 W "' 16 .Q (8,33 A)2


Unter der Annahme, dass im Leerlauffall der halbe Kupferverlustwiderstand (Primärwicklung) wirksam ist, ergibt sich mit dem Leerlaufstrom in Rk/2 die Verlustleitung:

2 Rk Pcu.o =I o · 2 = (0,667 A)2 · 8 .Q = 3,6 W

Die Vernachlässigung der Kupfer-Leerlaufverluste von 3,6 W gegenüber den Gesamt-Leerlaufverlusten von 460 W bedeuten einen Fehler von< 1%.

ß 26.6

Nennstrom: _SN _ IOOkVA _ 5 /1N---- - A

U 1N 20kV

Kupferverlustwiderstand bei 20 "C:

R _ Ii. 20 _I 750 W _ 70 ,. k 20- - - ,. . I?N (5 A) 2

Kupferverlustwiderstand bei 90 "C:

Rk,90=Rk.20(! + a· ßt})

Rk, 90 = 70 Q · (1 + 0,004 ~ · 70 K) Rk, 9o = 89,6 n

Kupferverluste bei Nennbetrieb und 90 "C:

Pk. 90 =I ?N · Rk, 90 = (5 A)2 · 89,6 Q

Pk, 90 = 2240 W

ß 27.1

1. 400/230 V

P IOOW 2. I=lst=-=--=0,435A

Ust 230 V

3. P=.J3 ·U ·I· cos rp= 1,73 · 400V · 0,435 A ·I

P=300W

4. Pst = Ust ·I= 230 V · 0,435 A = 100 W


d 27.2

1. lN = l1 + lz + h 230V 230V·e-jlzo•

=--+----:--:-::--lkf.l - j636f.l

230 V· e-jz40• +....:::..;:___ __ _ 100f.l+ j314f.l

fN = 0,23 A + 0,362 A · e - j 300 +0,7 A-e-i312,3•

lN = 1,02 A + j 0,34 A = 1,07 A · e + j 18·3•

2. p 1 = u1 • h = 230 V · 0,23 A = 52,9 W

P3 =I~· RL = (0,7 A)2 · 100 f.l = 49 W

Pges = 101,9 W

3.

Qc = U2 · lz = 230 V · 0,362 A = 83,3 var (kapazitiv)

QL =I~· XL= (0,7 A)2 · 314 f.l = 153,9 var (induktiv)

!!tN

/1: 0.1 A; 0,5 cm

d 27.3

1. Drehstromnetz 230/133 V, bei diesem Netz ist die Spannung zwischen den Außenleitern 230 V und damit gleich der Strangspannung des Motors in Dreieckschaltung. Wird der Motor beim Anlassen in Stern geschaltet, so liegt an jedem Wicklungsstrang nur noch die Spannung:

230V = 133 V

./3

2. S8 =.f3·U·I=1,73·230V·4,55A

S8 = 1,81 kVA

Pauf = Sll· cos rp= 1,81 kVA · 0,81

Pauf = 1,47 kW

17 = Pab = 1,1 kW = 0,75 Pauf 1,47 kW

395

3. Q = s8 . sin rp= 1,81 kVA · 0,586= 1,06 kvar (induktiv)

4. Induktiver Blindstrom in den Außenleitern: IL =I· sin (/J= 4,55 A · 0,586 = 2,67 A Ic = IL = 2,67 A

U, =.!!._= 230 V= 133 V c ./3 1,73

Xe =Uc = 133V =49,8f.l Ic 2,67 A

Cy =64JlF

IL • 2,67 A

L2--~~~~~~ .. ~~ LJ--~~--~--~--~

I[ • 2,67 A

5. Ic = !..b_ = 2•67 A = 1,54 A ./3 1,73

X = 230V =149,4f.l c 1,54A

c8 = 21,3 JlF

I[· 2,67 A

L2--~~4---.-~ .. ~~

LJ--~--+-~------~

d 27.4

1. Wirkleistungsaufnahme: Pzu = 3 · Ps1 = 3 · 650 W = 1950 W

2. Leistungsabgabe an der Welle: Pab = M · m= 10,2 Nm· 147,5 s-1 = 1505 W (=Drehmoment x Winkelgeschwindigkeit)

. 1 1 410 -1 23 5 -1 mitn = 1410mm- =--s = , s 60

m = 27t. n = 6,28 · 23,5 s-1 = 147,5 s-1

396

Wirkungsgrad:

TJ=Pab =1505W =0,7? Pzu 1950W

3. Scheinleistung:

S = J3 · U ·I oder S = 3 · Us1 ·Ist

S = J3 · 400 V· 3,7 A = 3 · 230 V· 3,7 A

S= 2560 VA

Leistungsfaktor:

P20 1950W cos rp=s = 2 56o w 0,762

• 27.5

1. Scheinleistung in Phase L3:

S = U · I= 230 V · 2,6 A = 598 VA

a) Spannungspfad zwischen L3-N:

Wirkleistung in Phase L3

P = 60 W (richtig gemessen)

Phasenverschiebungswinkel

P 60W cos rp = S = 598 VA = O,l

(Der im Typenschild angegebene cos rp gilt für Nennlast.)

rp= 4 (U3, /) = 84° (induktiv)

Falsche Anzeigen:

b) Spannungspfad zwischen L2-N:

P= Us1 ·I· cos rp=230V · 2,6A · cos 156°

P=-546W

c) Spannungspfad zwischen Ll-N:

P = Us1 ·I· cos rp= 230 V· 2,6 A · cos 36°

P=483,8 W

2. p = 3 ° 60 w = 180 w


• 27.6

a) Nachweis

Die Addition der drei Momentanleistungen p 1,

P2· P3 ergibt in jedem Augenblick die Momentan-Gesamtleistung Pges:

Pges =PI + P2 + P3

Pges = UJ2 . il2 + U3J . i31 + u23 . i23 GI. I

Die Ströme in den drei Knotenpunkten:

il - il2 + i31 = 0 i2 + il2- i23 = 0 i3 + i23- i31 = 0

Die von den Leistungsmessern ermittelte Mornentan-Gesamtleistung berechnet sich aus:

Pges =PLI + PL3 = u12 · i1 + u32 · i3 GI. II

Es muss nachgewiesen werden, dass beide Ansätze für die Momentan-Gesamtleistung gleich sind. Dazu werden die beiden Außenleiterströme in GI. II durch Zweigströme ersetzt:

Pges = UJ2 · U12- i31) + U32 · (i31- i23)

Durch Ausmultiplizieren erhält man:

Pges = UJ2 • i12- UJ2 • i31 + U32 • i31 - U32 · i23 ~

Strom ausklammern

ersetzen

Bilden von L:u = 0 im Dreileiternetz ergibt:

U]2- U32 + U3] = 0 ::::> (UJ2- U32) =- u 31

Durch Einsetzen ergibt sich:

Pges = UJ2 · i12 + U31 • i31 - u32 · i23

Mit u32 = - u23 erhält man wieder GI. 1:

Pges = UJ2 · i12 + U31 · i31 + U23 · i23

Die Beweisführung zeigt, dass sich durch eine Leistungsmessung mit nur 2 Leistungsmessern die Gesamtleistung der 3 Stränge ermitteln lässt.

Wichtig dabei ist, dass die Spannungsspulen der Leistungsmesser mit einer Klemme an der Stromspule des betreffenden Leiters liegen und mit der anderen Klemme am dritten Leiter angeschlossen sind, in dem kein Leistungsmesser liegt!


b) Ströme

Strang ströme:

U 325V·e-i 60" I _-12- 1A·e-j60" -' 2 - R, - 325 .Q

[ 12 = 1 A(cos 60°-j sin 60°) = 0,5 A- j 0,866A

U 325V·e-J 180" l23 = -23 = = - 2,5 A

R2 130.Q

U 325V·e+i 60" I --31 - 5A·e+i 60" -31 - R3 - 65 .Q

[)1 = 5 A ( cos 60° + j sin 60°) = 2,5 A + j 4,33 A

Außenleiterströme:

lJ = l!2 -l3i [1 = (0,5 A - j 0,866 A) - (2,5 A + j 4,33 A)

l1 =- 2 A- j 5,2 A = 5,57 A . e- i !11"

l2 =b -L12

lz = (- 2,5 A)- (0,5 A- j 0,866 A)

l2 =- 3A + j 0,866 A = 3,12 A. e+i 163,9"

l3 =lJJ -b l3 = (2,5 A + j 4,33 A)- (- 2,5 A)

l3 = 5 A + j 4,33 A = 6,61 A. e + i 40,9"

Kontrolle mit IJ = 0:

lJ +lz+l3 =(-2A-j 5,2 A) + (- 3 A + j 0,866 A) + (5 A + j 4,33 A) = 0

c) Leistungen

397

1 T P = T · Ju · i · dt

0

Der Leistungsmesser in Ll ermittelt eine Wirkleistung aus der Spannung im Spannungspfad und dem Strom im Strompfad unter Berücksichtigung des Phasenverschiebungswinkels zwischen diesen beiden Größen:

Pu = u 12 . I 1 · cos 4 (1112, [1)

Pu= 325 V ·5,57 A · cos [(-60°)-(-111°)]

Pu= 1139 W

Der Leistungsmesser in L3 ermittelt eine Wirkleistung aus der Spannung im Spannungspfad und dem Strom im Strompfad unter Berücksichtigung des Phasenverschiebungswinkels zwischen diesen beiden Größen. Zu beachten ist, dass der Spannungspfad an der Spannung u32 liegt, die gegenphasig zu u23 ist.

Pu = U32 · I3 · cos 4 <L!J2, l3)

Pu= 325 V· 6,61 A · cos [(0°)- (+ 40,9°)]

Pu= 1624 W

Die Gesamtleistung erhält man einfach durch Addition der beiden Leistungsanzeigen. Allerdings kann aus den beiden Leistungsanzeigen nicht auf die wirkliche Leistungszuordnung zu den 3 Verbrauchern geschlossen werden.

Pges =Pu+ Pu= 1139W + 1624 W = 2763 W

Strangleistungen: Zeigerdiagramme:

2 2 P, = u,2 = (325 V) 325 W

R1 325 .Q

2 2 P2=U23 = (325V) =813W

R 2 130 .Q

2 2 P3 = u3, = (325 V) =1625 w

R 3 65 .Q

Gesamtleistung aus Summe der Einzelleistungen ergibt:

Pges= 325 W + 812,5 W + 1625 W = 2763 W

Leistungsmesseranzeigen:

Leistungsmesser zeigen den Mittelwert von Momentanleistung an:

Memory

Auf den nachfolgend farbigen Seiten finden Sie eine Zusammenstellung des Kernwissens der Elektrotechnik geordnet nach den Kapiteln des Lehrbuches und ergänzt mit einer Übersicht über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen sowie eine Kurzfassung der wichtigsten Vorzeichen- und Richtungsregeln (Zählpfeile) zur Schaltungsberechnung.

399

400 Memory

Die gesetzlichen Einheiten im Messwesen

Die Grundlage der "Gesetzlichen Einheiten" bildet das Internationale Einheitensystem (Systeme International d'Unites), kurz "SI" genannt. Das SI baut auf sechs Basisgrößen mit definierten gesetzlichen Basiseinheiten auf, aus denen durch Formelverknüpfung die Abgeleiteten Einheiten gebildet werden. Diese Verknüpfungsformeln sind reine Größengleichungen.

Basisgrößen und Basiseinheiten

Basisgröße Basiseinheit

Name Formel- Name Einheiten-zeichen zeichen

Länge l das Meter m Masse m das Kilogramm kg Zeit t die Sekunde s elektrische Strom- I das Ampere A stärke Temperatur T das Kelvin K (thermodynamisch) Lichtstärke Iv die Candela cd

Mechanische Einheiten

Größe Verknüpfungs- Einheit formel SI oder Abk. Benennung

Geschwindigkeit ds 1m v=-dt s

Beschleunigung dv 1~ a=-dt s2

Kraft F=m·a 1 kg·m=1N s2

N (Newton)

Arbeit, Energie W= fF·ds 1N·m=1J J (Joule)

Leistung P=dW 1 N·m=1W W (Watt) dt s

Umrechnungsbeziehung zwischen Einheiten für Energie und Arbeit:

1Nm=1 Ws=lJ

Memory 401

Elektrische Einheiten

Größe Verknüpfungs- Einheit formel SI oder Abk. Benennung

Ladungsmenge Q=fi·dt 1As=1C C (Coulomb)

w 1 Ws =1 V Potenzial rp=- V (Volt)

Q As

Spannung p w

V (Volt) U=- l-=1V I A

Widerstand R=!!_ V 1-=111 Q(Ohm)

I A

Feldstärke E= drp 1v ds m

Verschiebungs- D=Q 1~ flossdichte A m2

Kapazität C=Q 1 As =1F F (Farad) u V

Elektromagnetische Einheiten

Größe Verknüpfungs- Einheit forme! SI oder Abk. Benennung_

Durchflutung 8=I·N 1A

Feldstärke e

H=- 1A s m

Fluss t/J= Ju·dt 1 Vs = 1 Wb Wb (Weber)

Flussdichte B=t/J 1 Vs =1 T T (Tesla) A m2

Induktivität N·t/J 1 Vs =1H H (Henry) L=--

I A

Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten

Zehnerpotenz Vorsatz Vorsatzzeichen 1Q+6 Mega M 1Q+3 Kilo k lQ-3 Milli m lQ-6 Mikro fl w-9 Nano n lQ-12 Piko p

402

Vorzeichen- und Richtungsregeln (Zählpfeile)

Beispiel

Strom-Zählpfeile

rL__ /z f - -Spannungs-Zählpfeile

Strom- und SpannungsZählpfeile beim Widerstand

Kondensator

Spule

Fluss- und Strom-Zählpfeile

Schreibweise des zugehörigen elektrischen Gesetzes

n

1. Kirchhoffscher Satz ~) i = 0 i=l

n

2. Kirchhoffscher Satz LU i = 0 i=l

Grundgesetz der Bauelemente

Ohm'sches Gesetz:

a) U=l· R

Ohne Namen:

a) i= C ·du dt

Ohne Namen:

di a)u=L·

dt

Induktionsgesetz bei

a) rechtswendiger

b)U=-l·R

b)i=-C· du dt

di b)u=-L·

dt

b) linkswendiger

ZuordtiUng von i und f/1

i · R =- N · df/1 ges dt

i · R =N · df/1 ges dt

Memory

Memory

Memory zu Kapitell: Elektrische Ladung

---- Ladungsmenf als elektrische Größe ----

Formelzeichen Einheitenzeichen Einheitsladung Q von Quantum C von Coulomb 1 C = 1 As

Quantelung in Elementarladungen ± e = 1,6 · I0-19 As

Elektrische Ladungsträger sind unter elektrischem Feldelnßuss bewegliche Objekte Metalle Kohle stromleitende Isolatoren

Flüssigkeiten Gase freie Elektronen X X - X -positive Ionen (der Metalle - - X X -und Wasserstoff negative Ionen (der anderen - - X X -Nichtmetalle)

Energieaufwendige Ladungstrennung verursacht elektrische Quellenfelder

~ I ----Deutungder Überschussladung: pos. Ladung ~ Elektronenmangel neg. Ladung ~ Elektronenüberschuss

Beschreibung der Feldstruktur: Quelle ( +) = Feldlinien

anfang Senke (-) = Feldlinien

ende

Richtung der Kraftwirkung: Anziehung bei ungleichnamigen Ladungen, Abstoßung bei gleichnamigen Ladungen

Elektrisches Feld als Energieraum ----- ----selbstständig existent in Isolatoren selbstständig nicht existent in elektrischen wegen fehlender Ausgleichsmög- Leitern, da infolge vorhandener Leitfähig-lichkeit (Leitfähigkeit) für die feld- keit ein selbstständiger Ausgleich der Über-verursachenden Überschussladungen. Schussladungen erfolgt. Nur unter fortlau

fendem Energieaufwand in elektrischen Leitern aufrecht erhaltbar (-+Stromkreis).

VonrtellungsbUderzurLadUßiHDenge

--- I ---statisches: Ladungsmenge als angehäufte pos./neg. Überschussladung, felderzeugend.

dynamisches: atomistisches: Ladungsmenge als Durch- Elektrische Ladung ist eine flussmenge-bewegter La- Eigenschaft von Materieteil-dungsträger, Objekt eines eben, positive Ionen entstehen elektrischen Feldes. durch Ionisation von Atomen

(Abtrennung von Elektronen), negative Ionen entstehen durch Anlagerung von Elektronen an Atome.

403

404 Memory

Memory zu Kapitel 2: Elektrische Spannung

Stromkreis als elektrisches System

----/ ~ ----- .. System Elemente Struktur Ene,eeinheitrn-Aquivlalente

Mittel zur Generator und Geschlossener mechan. elektr. therm. Zweckerfüllung: Verbraucher als Wirkungskreis- Energie Energie Energie Energie- Energieumform- lauf, kein Ver- 1 Nm = 1 Ws = 1 J Übertragung orte, widerstands- brauch an

lose Verbindungs- elektrischen Ieitungen Ladungen

Umformort für nichtelektrische in elektrische Energie

Umformort für elektrische in nichtelektrische Energie

Messen von Potenzialen und Spannungen -------- ~ Potenziale tp Spannungen U /EigenschafteV n~gerätes

Messung gegenüber Messung zwischen 118 festgelegtem Bezugs- beliebigen ~

punkt (.l) Schaltungspunkten 1-+ ;1.

Ideale Spannungs- 0 messer haben einen Eingangswiderstand (Innen widerstand)

Betrags- und Polaritäts-anzeige rpy > 9t => "+" rpy < 9t => "-"

Memory

Energie, Potenzial, elektrische Spannung als GrundbegrUfe des elektrischen Feldes

Darstellung

Zustandsgröße des elektrischen Feldes

Spannungsbegriff ersetzt in den Feldmodellen

Spannungsbegriff als Globalgröße des elektrischen Feldes

generatorseitig:

verbraucherseitig:

Ladungstransport wird verursacht

Feldstärkefeld Feldlinien

F Feldstärke: E =

+Q

ein Feldstärkewegprodukt U21 =E · s21

Potenzialfeld Äquipotenziallinien

wpot Potenzial rp= -

+Q

eine Potenzialdifferenz

U21 = 'Pl- fPI

beschreibt die Änderung der elektrischen = potenziellen Energie einer Ladung + Q bei einer Bewegung zwischen zwei Punkten im Stromkreis.

Q ll Erhöhung der pot Energie der Ladung ue enspannung =

Ladungsmenge

.iWpot >0 Uq=

+Q

Abnahme der pot Energie der Ladung Spannungsabfall= _____ ...__ __ -=------"" Ladungsmenge

U= .iWpot <0 +Q

durch elektrische Feldstärke E I durch Potenzialgefälle .irp &

E= .irp &

405

406

Memory zu Kapitel 3: Elektrische Strömung

Elektrische Feldstärke als Antriebsursache der elektrischen Strömung

!!_=E =_!___ I +Q

I

Memory

1 A = Querschnittsfläche I = Leiterlänge a

Leitfähigkeit J r=-E

elektrischer Leiter r DrahtJ

~ Strom ist geordnete Ladungs- Technische Stromrichtung trägerbewegung unter dem Ein- ist Fließrichtung der positiven fluss eines elektrischen Feldes. Ladungsträger.

--------- ----Stromstärke Fließgeschwindigkeit

i = dq (allgemein) dt

von Ladungsträgem bei Gleichstrom

I= ßQ (Gleichstrom) v =-I __ !_ D.t n ·e A

I~ Ladungsmenge, die durch den Strom in der Zeit ßt = t2 - t 1 transportiert wird

12

ßQ = fi · dt (allgemein) ,,

ßQ =I· D.t (Gleichstrom)

Ideale Strommesser haben einen Durchgangswiderstand (lnnenwiderstand):

Stromdichte im Leitungsquerschnitt

l=!_ ---------' A

Betrags- und Polaritätsanzeige: Stromeintritt in Buchse A => "+"

~'LLDR,·o I :.mm7o~ .. -" ,ro 1 EWz

Ri=O

Memory

Memory zu Kapitel 4: Elektrischer Widerstand

Widerstandsbegriff

----------~ Elektrische Größe

u R=-

1

Bauelement ----------Baufonn Verwendungszweck z.B. Schiebewiderstand z.B. Vorwiderstand

/ --------Lineare Widerstände haben eine lineare I-U-Kennlinie:

u -=R=konst I

Ohm'sches Gesetz

U=l·R

Das Ohm'sche Gesetz gilt auch für Momentanwerte von Strom und Spannung:

u=i·R

Leitungswiderstand bei 20°C

p·l l R2o=--=--

A r·A

Spezifischer Widerstand p nennt den Widerstandswert eines Leiters von 1 m Länge, 1 mm2 Querschnittsfläche bei 20°C

Leiträhigkeit r nennt die Länge eines Leiters von 1 n Widerstand und 1 mm2 Querschnittsfläche bei 20 °C.

Nichtlineare Widerstände haben eine nichtlineare I-U-Kennlinie:

~

u - =R:t:konst. I

~ Gleichstromwider- DifferenzleDer stand

R=!!_ I

Widerstand

b.U r=--

M

Widerstandswert, den das Bauelement einem Strom I entgegengesetzt.

Widerstands wert, den das Bauelement einer Stromänderung M entgegengesetzt.

Temperaturanhängigkelt des Widerstandes als ein möglicher Grund für die Nichtlinearität

M=~o·~·R2o R-6=Rw+M

Temperatnrkoefflzient ~o nennt die prozentuale Widerstandsänderung für eine Temperaturänderung von 1 Kelvin.

407

408 Memory

Memory zu Kapitel 5: Grundstromkreise

Allgemeine Stromkreisgesetze

------- I -----obm'sches Gesetz 1. Kirchhoff'sches Gesetz 2. Kirchhoff'sches Gesetz

U=l·R

gilt für jeden einzelnen Widerstand und den ganzen Stromkreis.

i=l

Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist gleich null.

i=l

Die Summe aller Spannungen in einer Netzmasche (Stromkreis) ist gleich null.

---Reihenschalt~n

Gesamtwiderstand Spannungsteilung

i=l

In der Reihenschaltung werden die Widerstände addiert.

Die Teilspannung verhält sich zur Gesamtspannung wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand.

-----Parallelschaltun~

Gesamtwiderstand Stromteilung

R = _!._ !1. = .!i.

mit

G I ~

i=l

Die Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom umgekehrt proportional wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand.

In der Parallelschaltung werden die Leitwerte addiert.

Grundstromkreise ----- ----Belastete Spannungsquelle Belastete Stromquelle

Ri

Memory

Memory zu Kapitel 6: Energieumsetzung im Verbraucher

Arbeit = Vorgang der Energieumwandlung

- elektrische Arbeit

W=U·l·t

- Joule'sches Gesetz

Energieumwandlung

1----=---------Wirkungsgrad = Qualität der Energieumwandlung

- Geräte-Wirkungsgrad

PNutz 1/=--Pzu

- EnergieübertragungsWirkungsgrad

p Ra 1/=-=--

Pzu Ra +Ri

Leistung = Geschwindigkeit der Energieumwandlung

- Definition

P=dW &

- elektrische Leistung

P=U·l P=P·R

uz P=

R

- Leistungshyperbel = gratisehe Darstellung eines Leistungsbetrags in einem I-U-Diagramm

Anpassung eines Verbrauchers R8 an eine SpannungsqueUe mit Innenwiderstand R1

Spannungsanpassung Ra>Ri

Spannungsmaximum

R;

Leistungsanpassung Ra=Ri

Leistungsmaximum uz

p =-q max 4Ri

Stromanpassung

Ra<Ri

Strommaximum

Uq lmax=-

Ri

409

410 Memory

Memory zu Kapitel 7: Verzweigte Stromkreise

AUgemeine Stromkreisgesetze

Kirchhoff'sche Regeln Ohm'sches Gesetz Ersatzwiderstand Teilungsgesetze

U=I·R n

R.S: Rges = LRi i=l

n

P.S: Gges = L Gi i=l

~=~ U Rges

Ii Rges -=--1 R1

Berechnung verzweigter Stromkreise mit nur einer SpannungsqueUe

~ ----=-bei bekannten Widerstandswerten bei unbekannten Widerstandswerten ~ ~

Lösungsmethodik:

1. Ersatzwiderstand 2. Gesamtstrom 3. Teilströme 4. Tellspannungen 5. Potenzialkontrolle

Lösungsmethodik:

1. Gleichungen für Bedingungen I, ll, ... aufstellen

2. Gleichungssystem lösen 3. Potenzialkontrolle

Stromkreise mit nichtlinearen Widerständen ---- ----Berechnung ist möglich, ausgehend von Nennwerten des nichtlinearen Widerstandes.

Berechnung ist nicht möglich, ausgehend von angelegter Spannung (bei Reihenschaltung) bzw. eingespeister Stromstärke (bei Parallelschaltung).

Grafisches Lösungsverfahren mit bekannter I-U-Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes.

Wheatstone'sche Brücke ----Abgleichbrücke

~ -------Abgleichbedingung Eingangsspannungs-R1 R3 änderung ist R2 = R4 ohne Einfluss.

~ Anwendung als SchleifdrahtMessbrücke zur Messung von Rx

Rx=~·-li_ L-11

----~~cke Ausgangsspannung Anwendung: bei kleiner relativer Messen nichtelektriWiderstandsände- scher Größen durch rung eines Brücken- Umsetzung physika-widerstandes: lischer Größen in

1 eine Widerstands-U A "'4 UE . X änderung.

AR x=-

R

Memory

Memory zu Kapitel 8: Netzwerke

Netzwerk

Zusammenschaltung mehrerer Bauelemente (Spannungsquellen und Widerstände)

Allgemeine BegritTe und Gesetzmäßigkelten

----- / ---=---Knoten Zweig Masche Verzweigungspunkt im Netz mit zu- und abfließenden Strömen

A:/A+h -lz=O B:/a-h -h=O C: Ic + h + /3 = 0

Stromzweig zwischen zwei Knotenpunkten

I U=fW I UAc=h ·Rz Uca=-h ·R3 UaA=h ·R,-Uq

geschlossener Umlauf in einem Netzwerk, bestehend aus Stromzweigen

I t.u•=•l UAc + Uca + UaA = 0

Berechnungsverfahren

------- ----Überlagerungsmethode Kreisstromverfahren Durchrechnen der Schaltung mit nur jeweils einer Spannungsquelle. Wiederholung mit anderen Spannungsquellen. Gesuchte Zweigströme durch Addition der Teilströme unter Beachtung der Vorzeichen berechnen.

Annahme von sog. Kreisströmen. Bilden von 'i:.U = 0 für jede Netzmasche. Alle Schaltungsteile müssen von wenigstens einem Kreisstrom durchflossen werden.

Potenzialkontrolle Annahme eines beliebigen Bezugspunktes 1Jb = 0 V im Netzwerk. Bestimmung der Potenziale aller anderen Schaltungspunkte, ausgehend vom Bezugspunkt durch Addition der Spannungsabfalle bzw. Quellenspannungen. Die Lösung der Netzwerksberechnung ist richtig, wenn sich das Potenzial eines jeden Schaltungspunktes auf beliebigem Rechenweg mit dem gleichen Ergebnis ermitteln lässt.

411

412 Memory

Memory zu Kapitel 9: Ersatzquellen

Ersatzquellen als Rechenmethoden

für Netzwerke mit von einander unabhängigen Quellen und linearen Schaltelementen, bei denen der Strom in einem quellenfreien Zweipol gesucht wird. Man ersetzt das gesamte Netzwerk bis auf den quellenfreien Zweipol durch eine Ersatzquelle.

Netzwerk Ra

2 ~------------------ ----Ersatzspannungsquene Ersatzstromquelle

R;

2

~ ~ ~ durch Berechnung der durch Berechnung durch Berechnung des Leerlaufspannung der Widerstandsschaltung Kurzschlussstromes des Netzwerkes des Netzwerkes ohne seine des Netzwerkes L_____ Spannungsquellen ______-J

Umrechnungsbeziehung

Uq=lq·Ri

ErsatzqueRen als elektrische Nachbildungen

von I-U-Kennlinien nichtlinearer Widerstände ( -r;t:J--)

!Lf Typ li

~ ,,q

LlU => R;• Lll

IJlU ~Uq Uq u-- u--

Memory

Memory zu KapitellO: Eigenschaften und Bemessung des Spannungsteilers

aJ

Der Spannungsteller und seJne ErsatDpannungsqueDe

I Uzo f UzL

1. Leerlauf u20 = u -~ Rt +R2

Die Teilspannung des Spannungsteilers nimmt bei Belastung ab.

2. Belastung U2L = U. R2 II RL Rt+(R211Rd

(RL bekannt)

u2L = u20 -IL . R; (IL bekannt)

Der Spannungsrückgang I!U ist umso geringer, je kleiner der SpannungsteilerInnenwiderstand R;, gegenüber dem Lastwiderstand RL ist.

b} 2

Ausgangsspannung des Spannungstellers in Abhängigkeit von der SchleifersteDung

aJ

b}

Ff%J = _K_. 100 K+ RL

R

1. Leerlauf U20 = k · U mit k = R2 R

Ausgangsspannung ist proportional zur SchleifersteDung.

2 Belastung U -U - RL . 2L- 20-RL+k(l-k)R

Ausgangsspannung ist nicht proportional zur SchleifersteDung (Durchhangkurve).

Dimensionie~ des Spannungsteilers für nichtkonstante Belastung

~ ----Rechenweg über Ersatzspannungsquelle Rechenweg über Querstromfaktor

Uq= U2o m=~ R·-Rt·R2 /L

1 - R1 + R2 m"' 10

413

414

Memory zu Kapitelll: Elektrostatisches Feld Kapazität

~c~~~ Plattenkondensator

E ·Eo·A C = _,_r --"--d

Zylinderkondensator ~ . --.....___

Durchführungs- Koaxial-kondensator kabel

21t·E ·Eo ·l C= r

1 ra n-

'l

Paralleldrahtleitung füra >ro

1t·E ·Eo ·l C= r

In~ ro

Memory

E=!!._ d

u E=--

r ·In ra ri

u E= 2ln~(_!_+-1 -)

r0 r1 a-r1

I d I oJ r---t b}

Schaltung von Kondensatoren

---- I

I· '"7 --1

~---!$-1-- a -I

c}

Parallelschaltung Reihenschaltung

i=l

1 n 1

c=f.:tq

C= CI ·Cz CI+Cz

~=Cz Uz CI

allgemein

speziell für zwei Kondensatoren

kapazitiver Spannungsteiler

Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes

.---- I ----Energieinhalt Kraft auf freie Ladung Kraft zwischen parallelen Platten

W=Lc.ue F=Q·E F 1 ·Q2 2 2·Er ·Eo ·A

1 W=TQ·Uc

1 Q2 W=-·-

2 c

F =Er ·Eo ·A ·U2 2d2 c

------·_J bei positiven Ladungsträgem Vergrößerung der Kapazität in Feldrichtung der Anordnung

Memory

Memory zu Kapitel12: Ladungsvorgänge bei Kondensatoren

Aufladung des Kondensators mit

~ ~ Konstantstromquelle I= konst. Spannungquelle U über Vorwiderstand R

- zeitproportionaler Spannungsanstieg

I uc=-·t c

- Ladestrom wird durch Konstantstromquelle eingestellt.

- Spannungsanstieg nach e-Funktion

- Ladestrom beginnt mit Höchstwert und fallt auf null.

. u 'c=-·e r

R Anfangsstromstärke

Allgemeines Strom-Spannungs-Gesetz des Kondensators

. c duc 'c= 'dl

- Kondensatorspannung kann sich nicht sprunghaft ändern (Speicherverhalten des elektrischen Feldes).

- Kondensatorstrom fließt nur, wenn sich die Kondensatorspannung ändert.

Zeitkonstante des RC-Gliedes

t:=R · C

- Zeit, in welcher der Kondensator mit der Kapazität C über den VorwiderstandRauf 63% der angelegten Spannung aufgeladen wird.

- Zeit, in welcher sich der Kondensator mit der Kapazität C über den VorwiderstandRum 63% auf 37% der Anfangsspannung entlädt.

Entladung des Kondensators über Widerstand R

Spannungsabnahme nach e-Funktion

I

uc=Uc·e T

Entladestrom beginnt mit Höchstwert und fallt auf null.

415

416

Memory zu Kapitel13: Magnetisches Feld

Koaxialkabel

L=Poololnra 21t

Induktivität L = N ° tP I

Paralleldrahtleitung

L=p0010 ln~ 1t ro

·~ Flussdichte

B=tP A

B=JJroJJooH

Penneabilitäten - relative

1 B J.Lr=-o-

Po H - effektive

J.1e = Pr /L 1+pro-lpe

Spule

W=.!_LoP (L=konst.) 2

Tragkraft des Magneten

1 B2 F = _ __!,_ 0 AL

2 Po

Br ·Remanenz He -~erzitiv

feldstarke

Magnetische Energie Luftspalt Eisen

B

W = Vpe I HFe 0 dBp.,

0

Kraftwirkung Elektromagnetische Kraft von Strömen - stromdurchflossene Leiter im

Magnetfeld F=Boio/osina

- zwischen stromdurchflosse-nen Leitern

F ProPool I I - 0 A 0 B

21toa

Zylinderspule 2

L = N2 0 .:....P""-o _o1t_o _D_ 41

cJ

Durchflutungsgesetz n

8=IoN=LHioli i=l

Memory

Bedeutung der Kurven: - Magnetisierungs

kurve (Linie 1-2) - Teil der Hysterese

kurve (Linie 2-3)

Hystereseverluste

Wuy = Vpe I HFe o dBpe

A

Lorentzkraft F=BoQovosina

F

Memory

Memory zu Kapite114: Induktion

Quellenspannung

Umlaufspannung

Uq=-U(EMK)

/ durch Flussdichteänderung

o dB U=-A·-

dt ~

Ruheinduktion

Induktionsgesetz Induktionsspannung

0 d(l) U=-N·-

dt Entstehungsursache

,,Flussänderung"

Zählpfeilefestlegung gemä.ßBild

""' durch Flächenänderung 0 dA U=-B·-

dt

U=B·l·v vl.B

Bewegungsinduktion

__..-- Lenz'sche Regel ---.___

Induktionsstrom ist seiner Ent- Magnetisches System will seinen magne-stehungsursache (!14') entgegen- tischenZustand (<I>) aufrecht erhalten~ gerichtet.

Wechselspannungserzeugung ---- "-._ Prinzip

Rotierende Leiterschleife im homogenen und zeitlich konstanten Magnetfeld

Selbstinduktion

Formeln

4> (t) = <~>max · COS OJt

u (t) = Umax • sin OJt

Umax = N · <~>max • OJ

OJ = 27t • n LDrehzahl

---- I ----Induktivität Induktive Spannung Zählpfeilefestlegung N·<l> wL

L=-~- UL=L·dt iL

L = N2 • AL Entstehungsursache uL 111L "Stromänderung" t

417

418

Memory zu KapitellS: Schaltvorgänge bei Spulen

Einschaltvorgang ---- ------verzögerter Stromanstieg Selbstinduktionsspannung

. Usat [ _!_] 1

IL = R. 1-e T UL = Usat . e T

Ausschaltvorgang

/ ~ 1) verzögerter Stromabfall im FreilautKreis unterdrückte Selbstinduktionsspannung

t .U T ==C> IL=R·e

2) abrupte Stromunterbrechung

iL~o ==C>

durch Freilaufdiode

uL"' 0,7 V (Schleusenspannung)

hohe Selbstinduktionsspannung t

UL=-Umax ·e T /------

Memory

Auswirkungen bestimmt sich aus folgenden Bedingungen:

1. Zerstörung elektronischer Schalter infolge Überspannung

2. Lichtbogenbildung (eventuell nur kurzfristig) mit Materialwanderung und Abbrand an Kontakten

Zeitkonstante

L r=-

R

1. Stromkontinuität im Abschaltmoment i ( + 0) = i (- 0) = /, d.h. Strom ist träge

2. Widerstand R im Abschaltstromkreis Umax =I· R

- Zeitraum, in dem der Spulenstrom auf 63% des Endwertes ansteigt oder auf 37% des Anfangswertes abfällt.

- Zeitraum für den gesamten Schaltvorgang dauert t "' 5 -r.

Memory

Memory zu Kapitel16: Sinusförmige Änderung elektrischer Größen

Funktionsgleichung der sinusfonnigen Wechselspannung

I u(fl i 6

......"

I

- Periodendauer T - Frequenz/

1 f=

T

u(t) = a sin OJt ........... '--v--'

I 1 I

Spannung u Amplitude Zeitfunktion (Momentan wert)

-

y

I ~ Yf(m) ~

I u \ X(~)

H-'V~ I

- 0 J I( ' I

X J

I I ~(t) II 1\. .,1

f-~ T

Kennwerte

- Kreisfrequenz

21t OJ=- = 21t-!

T

- Maximale Anstiegsgeschwindigkeit der sinusformigen Wechselspannung im Nulldurchgang

(~)max =OJ·tl

Beschreibungsmittel

---- I ----uniendiagramm Funktionsgleichung Zeigerdiagramm

- zeitbezogen t~

- drehwinkelbezogen OJt~

Bezugslinie

419

420 Memory

Memory zu Kapitel17: Mittelwerte periodischer Größen u

Arithmetischer Mittelwert Gleichrichtwert Quadratischer Mittelwert (Effektivwert)

- 1 t+T

u=y:· Ju·dt t

- 1 n u=-·rui

n i=l

u

Arithmetischer Mittelwert

u=O

Formfaktor = Effektivwert Gleichrichtwert

F = 1,11 (Sinus)

1 t+T

j';'j=y:· Jlul·dt t

Gleichrichtwert _ 1 t+T

I u I=-. fl U· I· dt T J' •

- 2 lul=-·tl

1t

t

1 t+T

U= y:·Ju 2 ·dt t

1 n u= -·ru?

n i=l

Effektivwert

U=~ J2

Scheitelfaktor I) = Scheitelwert Effektivwert

S = .fi (Sinus)

Jede Mischgröße besteht aus einen Gleich- und Wechselanteil.

P=P_+P_

U=~U3:+U3: }

1=~13: +I: geometrische Addition der Effektivwerte

I) Der ScheitelfaktorS wird auch Crestfaktor CF genannt.

Memory

Memory zu KapitellS: Addition frequenzgleicher Wechselgrößen

Zeiger- und Liniendiagramm

Momentanwertgleichungen

u1 = u1 • sin (WJ. t + 9'J) u2 = a2. sin (tozt + 'Pl.)

Phasenverschiebungswinkel

Vorzeichen von 9'1 und fP1. "+": Einfachpfeil zeigt nach rechts. "-": Einfachpfeil zeigt nach links.

rp= fP1.- 9'1 Der Phasenverschiebungswinkel zwischen zwei Wechselgrößen ist gleich der Differenz der NullphasenwinkeL

Addition

Im Zeigerdiagramm werden sinusförmige Wechselgrößen addiert, indem ihre Zeiger geometrisch addiert werden.

a = ~ af + a~ + 2 a1 . a2 · cos rp

t.l2 · sin rp2 + u1 · sin rp1 1AJ =arctan --"----'--"---.!.---'-~ a2 · cos rp2 + a1 . cos 9'1

Subtraktion

Die Subtraktion einer Wechselspannung u1 von einer Wechselspannung u2 erfolgt im Zeigerdiagramm als Addition der zu u1 gegenphasigen Wechselspannung u{ mit u2.

u, mit rp= 'Pl.- 9'1

u' ,

u=u2-u1

Bz.L.

421

422 Memory

Memory zu Kapitel19: Idealer Wirkwiderstand im Wechselstromkreis

Ohm'sches Gesetz

Für den Wirkwiderstand an Wechselspannung gilt das Ohrn'sche Gesetz, geschrieben mit Effektivwerten von Strom und Spannung.

UR=IR ·R IR R

--c:J-

Wirkleistung

ist gleich dem arithmetischen Mittelwert der Momentanleistungen.

1 T

P=T fp(t)·dt 0

Die Wirkleistung des Widerstandes kann mit den Effektivwerten von Strom und Spannung berechnet werden.

P= UR· IR EinheitlV·lA=lW

Wirkarbeit

Wirkwiderstand

Ein Widerstand ist dann ein reiner Wirkwiderstand, wenn bei ihm kein Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung besteht.

~ = 4 (iR, uR) = 0"

In einfachen Fällen ist der Wirkwiderstand eines Verbrauchers gleich dem durch eine Gleichstrommessung ermittelten Gleichstromwiderstand.

R=RG!

Allgemein ist der Wirkwiderstand ein aus der Wirkleistung und dem Effektivwert des Stromes berechneter Ersatzwiderstand.

bezeichnet den Vorgang der vollständigen Umwandlung und Abgabe der zugeführten elektrischen Energie und berechnet sich aus Wirkleistung mal Zeit.

W=P·t

Memory

Memory zu Kapitel 20: Idealer Kondensator im Wechselstromkreis

Ohm'sches Gesetz

Für den idealen Kondensator an sinusformiger Wechselspannung gilt das Ohm'sche Gesetz geschrieben mit Effektivwerten von Strom und Spannung.

Uc=lc·Xc

lc •

c

II ---Blindleistung

Die Wirkleistung des idealen Kondensators ist null.

P=O Seine Blindleistung errechnet sich aus den Effektivwerten von Strom und Spannung.

Qc= Uc ·lc Einheit 1 V · 1 A = 1 var (1 W)

Die kapazitive Blindleistung ist das Maß für den Auf- und Abbau von Feldenergie im Kondensator.

Kapazitive Blindleistung kann induktive Blindleistung kompensieren.

Kapazitiver Blindwiderstand

Ein Kondensator ist dann ein reiner Blindwiderstand, wenn bei ihm der Strom um 90" voreilend gegenüber der Spannung ist.

Qt: = 4 (ic. Uc) = + 90"

Der Betrag des kapazitiven Blindwiderstandes ist frequenz- und kapazitätsabhängig.

Uc 1 -=Xc=-Ic (J)C

Blindarbeit

f

Der Kondensator ist ein Energiespeicher, der die bei der Aufladung verrichtete elektrische Arbeit als elektrische Feldenergie speichert und diese bei der Entladung wieder abgibt. Den Vorgang der reversiblen Energieumwandlung nennt man Blindarbeit

423

424 Memory

Memory zu Kapitel21: Ideale Spule im Wechselstromkreis

Ohm'sches Gesetz

Für die ideale Spule an Wechselspannung gilt das Ohm'sche Gesetz geschrieben mit Effektivwerten von Strom und Spannung.

UL=/L ·XL

h L -

Blindleistung

Die Wirkleistung der idealen Spule ist null.

P=O Ihre Blindleistung errechnet sich aus den Effektivwerten von Spannung und Strom.

QL= UL ·/L Einheit I V· 1 A = 1 var (1 W)

Die induktive Blindleistung ist das Maß für den Auf- und Abbau von Feldenergie im Magnetfeld der Spule.

Induktive Blindleistung kann durch kapazitive Blindleistung kompensiert werden.

Induktiver Blindwiderstand

Die Spule ist dann ein reiner Blindwiderstand, wenn bei ihr der Strom um 90" nacheilend gegenüber der Spannung ist.

tJt = 4 (iL, uL) = - 90°

Der Betrag des induktiven Blindwiderstandes ist frequenz- und induktivitätsabhängig.

u _!,_=XL =OJ·L /L

f

Blindarbeit

Die ideale Spule ist ein Energiespeicher, der die beim Aufbau des magnetischen Feldes verrichtete elektrische Arbeit als Feldenergie speichert und diese beim Abbau des Feldes wieder abgibt. Den Vorgang der reversiblen Energieumwandlung nennt man Blindarbeit

Mem

ory

zu K

apit

el22

: G

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426 Memory

Memory zu Kapitel 23: Einführung der komplexen Rechnung

- Formen der komplexen Zahl:

~=R+jX

~ = Z · (cos ~+ j sin ~)

mit Z = ~ R2 + X 2

(Im) tan~=-

(Re)

~=Z·ei9'

- Widerstands-Operatoren

~R=R Zr_=j wL

k=-j-l-{QC

- Leitwert-Operatoren

XR=G

~ . I .!.L =- J w L

Ic=jwC

- Komplexer Widerstand

~ = ~~ + ~ (Reihenschaltung) z .z z = - 1 - 2 (Parallelschaltung)

- ~I +~2

- Komplexer Stromteiler l.,=~ I ~I +~2

- konjugiert-komplexe Zahl

z*=R-jX

Standard-Problemstellungen der komplexen Reclmung

I. äquivalente Schaltungen, 2. komplexer Widerstand von Schaltungen, 3. komplexer Spannungsteiler, 4. komplexer Stromteiler, 5. Schaltungen mit besonderen Phasenbedin

gungen, 6. Schaltungsanalyse mit Hilfe von Zeiger

diagrammen .

- Komplexer Spannungsteiler

rl.,=~ U ~I +~2

- Ortskurven zeigen die Abhängigkeit der komplexen Größe (Widerstand, Leitwert, Strom, Spannung) nach Betrag und Phasenwinkel von einer stetig veränderlichen Größe, deren reelle Zahlenwerte die Ortskurve beziffern.

- Die Ortskurven von Grundschaltungen gehören zum Geradentyp oder Kreistyp. - Die Inversion einer Ortskurve vom Geradentyp, die nicht durch den Achsenursprung

geht, ergibt eine Ortskurve vom Kreistyp und umgekehrt.

Einheitenhinweis <DIN 40110>: Das Zerlegen der Größen in Wirk- und Blindanteile kann man durch rechtwinklige Dreiekke veranschaulichen. Einheit für alle Ströme ist das Ampere (A), für alle Spannungen das Volt (V), für alle Widerstände das Ohm (Q), für alle Leitwerte das Siemens (S) und für alle Leistungen, auch für die Scheinleistung und die Blindleistung, das Watt (W). Die Einheit Watt wird bei Scheinleistungen auch Volt-Ampere (Einheitenzeichen VA), bei Blindleistungen auch Volt-Ampere-reaktiv (Einheitenzeichen var) genannt.

Memory

Memory zu Kapitel 24: Frequenzgang von RC-Giiedem

Tiefpass Hochpass [

0 I t-----.---o

Ye~

Als Frequenzgang bezeichnet man das Verhältnis von Ausgangsspannung Ila zu Eingangsspannung ll.e bei sinusförmigen Spannungen I Strömen.

u 1 u F(m) =.::!.. = F(m) =.::!.. = --..,...--- Y.e 1+ jOJRC - Y.e 1+_1_

jmRC Der Frequenzgang kann nach Betrag und Phase zerlegt werden. Der Betragsanteil des Frequenzgangs heißt Amplitudengang.

IF(m)l= Ua = 1 - Ue ~1+(mRC)2

I E:(OJ) I= -~-ae =,..-...... ==

1+ 1 (OJRC)2

Die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangsgröße in Abhängigkeit von der Frequenz wird als Phasengang bezeichnet.

tp(m) = 4 (Ila,ll.e) =- arctan mRC ~( OJ) = 4 (Ila,ll.e) = arctan - 1 -OJRC

Der Tiefpass lässt Gleichstrom und Wechselstrom niedriger Frequenz durch und sperrt Wechselstrom höherer Frequenz.

Der Hochpass sperrt Gleichstrom und Wechselstrom niedriger Frequenz und lässt Wechselstrom höherer Frequenz durch.

Die Grenzfrequenz, die den Durchlass- und Sperrbereich trennt, ist definiert durch die Gleichheit von Blind- und Wirkwiderstand.

Xc=R 1

/g= 2x·R·C

Die Dämpfung im Durchlassbereich ist idealerweise null.

a = 0 dB im Durchlassbereich

Die Sperrdämpfung beträgt je Frequenzdekade 20 dB (Dezibel).

a=20~ Dekade

Bei Grenzfrequenz beträgt die Ausgangsspannung Ua = 70,7% von der Eingangsspannung Ue, das entspricht einer Dämpfung a = 3 dB. Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Ausgangs- und Eingangsgröße ist dann 45°.

427

428 Memory

Memory zu Kapitel 25: Schwingkreis, Resonanzkreis

Freie Schwingung, Schwingkreise

Prinzip: Ein auf die Gleichspannung Uo aufgeladener Kondensator wird über eine Spule entladen.

_;_.;;-- ~ Ungedämpfte Schwingung Gedämpfte Schwingung

u = U0 · cos at~t - Ladespannung U0 des Kondensators

vor Beginn der Schwingung - Eigenfrequenzlo

1 lo -= -2x-[i:C---:=L=· c=

t

u = U0 · e ~ · cos mt - Abkling-Zeitkonstante T= 2 LI R - Eigenfrequenz I <lo

Erzwungene Schwingung, Resonanzkreise

Resonanzbedingung: 4 (Q, D = 0 D.h.: In der komplexen Widerstands- und Leitwertgleichung wird der Imaginäranteil gleich null gesetzt und aus diesem Ausdruck die Resonanzfrequenz lo oder die zur Einstellung der Resonanz erforderliche Induktivität L bzw. Kapazität C errechnet.

Reihen-Resonanzkreis

- Resonanzfrequenz

fi 1 0 2n·JL·C

- Resonanzwiderstand erreicht Minimum

Parallel-Resonanzkreis Rv L

......r-"""' ---l=konst. II

- Resonanzfrequenz

lo =....!.... _1_- (!!:i_)2 2rt L·C L

- Resonanzwiderstand erreicht Maximum

Zo",_L_ C·Rv

- Resonanzüberhöhung der Blindspannungen - Resonanzüberhöhung der Blinströme

UL = Uc = Q · U IL = lc = Q · I L Anregungsspannung L Anregungsstrom

- Kreisdämpfung

d =...!!:L_ Cßo·L

- Kreisgüte

1 Q=-d

- Bandbreite bo,7 =lob-Iu

bo,7 = ~

Reihen- und Parallel-Resonanzkreise können in geeigneten Schaltungen zur Hervorhebung oder Unterdrückung bestimmter Freuenzbereiche verwendet werden.

Memory

Memory zu Kapitel 26: Transformatoren

Gesetze des idealen Transformators

------ I I ----

Realer Transformator

Ersat7schaltung R1 L111 12

• •

], J12 Spannungsverhalten (vereinfachte Ersatzschaltung)

l1 RK XK !2

Für Kapp'sches Dreieck

- Wirkspannung

UR =.!L } /IN

~ Spannungsänderung bei Belastung:

- Streuspannung

Ux=~Uf -U~ u · !lUz = UR · cos fP2 + Ux · sin fP2

J. Ausgangsspannung bei Belastung:

U1N -ü·!lUz Uz=~:..:._--~

ü

Primärstrom

Iz It =Io +ü

TransformatorHauptgleichung

U1 =4,44 ·!· NrB ·Ap0

Kurzschlussversuch

liefert

- Nennkurzschlussspannung

uk uk=--·100%

UIN

- Wicklungsverluste Pk

(Näherungsformel)

Index N = Nenn

429

430

Memory zu Kapitel 27: Dreiphasensystem

L1 fdtN

L2

YzN YJt

~YJN L3

N

Sternschaltung mit N-Leiter

L1

lz L2

L3

N JN

U= J3 · Ust

!=Ist

Vierleiter-Dreiphasennetz

L1

Ytz

J/zJ

Dreieckschaltung

L1 lt

lz L2

L3

N

U= Ust

I= J3 · Ist (bei symmetrischer Last)

Ausgleichsstrom im Neutralleiter bei unsymmetrischer Last

Drehstromleistung

Memory

Bei symmetrischer Last:

Bei unsymmetrischer Last:

P = 3 Pst oder P = J3 · U ·I· cos rp mit rp= 4 illst, lst)

P = Psu + Pst2 + Pst3

Drehfeld

Ein magnetisches Drehfeld entsteht durch Überlagerung von zwei um 90° bzw. drei um 120° phasenverschobenen und räumlich versetzten magnetischen Wechselfeldern oder durch ein umlaufendes Polrad mit Gleichstromerregung (entspricht Drehung eines Dauermagneten).

Sachwortverzeichnis

A Abgleich, Wheatstone' sehe Brücke 84 ff Abschirmung, -, elektrische Felder 132 -, magnetische Felder 182 Addition frequenzgleicher Wechselgrößen -, geometrische 231 f AL-Wert von Spulen 194 Allpass (Phasendrehbrücke) 307 Ampere (Einheit) 20 Amperesekunde (Einheit) 2 Amplitude 208 Amplitudengang 299 - RC-Bandpass 306 - RC-Hochpass 302 - RC-Tiefpass 302 Änderungsgeschwindigkeit sinusförmiger

Größen 214 Anpassung 68 f Äquipotenzialflächen II Äquipotenziallinien II Äquivalente Schaltung 276 f Arbeit -, elektrische 58 - Wirkarbeit 239 Arbeitspunkt 30 f Arbeitszähler 61 Arithmetischer Mittelwert 217 f Atommodell 2 Aufladung des Kondensators - mit Konstantspannung über Vorwiderstand

144 ff - mit Konstantstrom 143 Augenblickswert

s. Momentanwert Ausgleichsstrom im Vierleiter-Drehstromnetz

bei unsymmetrischer Belastung 342 f Ausgleichsvorgang beim Schalten von Gleich-

stromkreisen 206 f Abschaltvorgang - Kondensator über Vorwiderstand 150 f - Spule 202 ff

B Bandbreite von Resonanzkreisen 322 Bandpass, RC 305 ff Bewegungsinduktion 185 ff Bezugspunkt (Masse) der Schaltung 14 f Bifilare Wicklung 155 f

Blindleistung - Kondensator 244 - Spule 250 Blindleitwert -, induktiver 251 -, kapazitiver 245 Blindspannung 263 Blindstrom 254 - -kompensation 284 ff Blindwiderstand -, induktiver 251 f -, kapazitiver 245 f Bode-Diagramm 299 - Hochpass, RC 302 - Tiefpass, RC 302 Bogenmaß 209 Bohr'sches Atommodell 2 Brückenschaltung 84 ff - Abgleichbrücke 85 f - Ausschlagsbrücke 86 f

c cos <p 261 f Coulomb (Einheit) 2 Coulomb'sches Gesetz 6 Crestfaktor 223 f

D Dämpfung - Schwingkreis 313

431

- Sperrdämpfung bei Hochpass, Tiefpass 299, 303

Dauermagnet - Haltekraft 273 Dehnungsmessstreifen (DMS) 86 f Dezibel (Einheit) 299 Diamagnetismus 165 Dielektrikum 120 Dielektrische Verluste des Kondensators 257 Dielektrizitätskonstante 124 Dielektrizitätszahl 123 Differenzialquotient in elektrotechnischen

Formeln 22 Differenzieller Widerstand 30 f Dreheiseninstrument 220 Drehfeld 34 7 Drehrichtung - Zeiger 211 Drehspulinstrument 217

432

Drehstrom - -generator 337 - -system 337 ff Drehstromleistung 345 f Drehstromverbraucher -, symmetrische Belastung 341, 344 -, unsymmetrische Belastung 341, 344 Drehwinkel -, zeitabhängiger 190

s.a. Phasenwinkel Dreieckschaltung 339, 344 Dreiphasensystem 337 ff Drei-Spannungsmesser-Methode, Induktivitäts-

bestimmung 297 Durchflutung 157 Durchflutungssatz 158 Durchschlagsfestigkeit 127

E Effektivwert 220 ff e-Funktion 146f Eigenfrequenz - Schwingkreis 312 Einheitsladung 6 Einschaltvorgang - Kondensator über Vorwiderstand 144 ff, - Spule 198 ff Eisen - hartmagnetisches 164, 165, 172 - -verluste, Transformator 331

s.a. Leerlaufverluste - weichmagnetisches 164, 165, 172 Eisenverluststrom, Transformator 331 Elektrische Arbeit 58 Elektrische Energie 7 Elektrische Feldstärke 3 f Elektrische Ladung I f Elektrischer Leitwert 29 Elektrische Leistung - Abhängigkeit von U und I 61f - B Iindleistung

s. induktive und kapazitive Blindleistung - Definition 60 - Scheinleistung 261, 266 - Wirkleistung 237, 260, 266 Elektrische Spannung 9, 12, Elektrische Verschiebungsflussdichte 122 f Elektrischer Strom 20 f Elektrischer Verschiebungsfluss 123 Elektrischer Widerstand - Begriff 28 - Definition 29 - Leitungswiderstand 33

Sachwortverzeichnis

Elektrisches Feld - Begriff 2 f, 7f, 120 - Darstellung im Feldlinienmodell 3 f, 11 - Darstellung im Potenzialflächenmodell II - Energieinhalt 134 - Feldstärke 4, 124 - Kondensator 120 Elektrisches Potenzial 1 0 f Elektrizitätsmenge

s. Ladungsmenge Elektroblech 164 Elektrodynamische Kraft 174 Elektrolyte 5 Elektromagnet 173 Elektro-Motorische-Kraft (EMK) 185 Elektron - Ablenkung im elektrischen Feld 135 ff - Ablenkung im magnetischen Feld 177, 179 Elektronengas 5, 20 Elektronengeschwindigkeit in elektrischen

Leitern 26 Elektronenleitung 5, 177 Elektronenstromrichtung 20 Elektrostatisches Feld 120 ff Elementarladung 2 Energie - äquivalente 58 - -bilanz des Schwingkreises 310 - -bilanz im Stromkreis 64 - -erhaltung 59 - gespeicherte im Kondensator 134 - gespeicherte in der Spule 167 - -Übertragung im Stromkreis 7f, 65 f Energieumwandlung - im Kondensator 244 - im Widerstand 59, 237 - in der Spule 253 - zwischen Generator und komplexen

V erbraueher 261 f Entladung des Kondensators 149 ff Ersatzkapazität - bei Parallelschaltung von Kondensatoren

128 - bei Reihenschaltung von Kondensatoren 129 Ersatzleitwert parallel geschalteter Widerstände

47 Ersatzschaltung - einer Spannungsquelle 59 f - einer verlustbehafteten Spule 290 - eines nichtlinearen Widerstandes 104 ff - eines verlustbehafteten Kondensators 257 Ersatzspannungsquelle 99 f Ersatzstromquelle I 02 f

Sachwortverzeichnis

Ersatzwiderstand - Parallelschaltung 47 - Reihenschaltung 44 Euler'sche Formel 271 Exponentialform der komplexen Zahl 272

F Farad (Einheit) 121 Faraday'scher Käfig 133 Feld -, elektrisches 2 f, 7 f, 120 -, homogenes 4, 11 -, magnetisches 154 f Feldenergie -, elektrische 133 f -, magnetische 167 f Feldkonstante -, elektrische 124 -, magnetische 164 Feldlinie -, elektrische 3 -, magnetische 154 Feldstärke -, elektrische 4 -, magnetische 157 Ferromagnetismus 165 Filter, RC - Bandpass 305 ff - Hochpass 303 ff - Tiefpass 299 ff Flächenauszählmethode 24 Flussänderung -, magnetische 182 Flussdichte -, elektrische 124 -, magnetische 159 Fluxmeter 197 Formfaktor 226 Freilaufdiode 203 Frequenz 213 Frequenzgang 298 Frequenz-Kennlinien 299, 302

G Gegenphasigkeit 230 Gegenspannung -, induzierte 192 Generatorprinzip 188 ff Geschwindigkeit von Ladungsträgern im elektri-

schen Feld 136 Gleichphasigkeit 230 Gleichrichtwert 219 f Gleichstrom 20

Gleichstromwiderstand 29,40 Grenzfrequenz 299 - RC-Schaltung 301, 304 -, Resonanzkreis 322 Güte - Resonanzkreis 318, 322 - Spule 266

H Halbleiter - Eigenleitung 5 - Störstellenleitung 5 Halleffekt 177 Hartmagnetisches Eisen 164, 165, 172 Hauptleiter Ll, L2, L3 339 Heißleiter 38 f Henry (Einheit) 155 Hertz (Einheit) 213 Hochpass, RC 303 ff - Amplitudengang 302 - Phasengang 302 Hystereseschleife 171 Hystereseverluste 171 f

I Imaginäranteil der komplexen Zahl 270 Imaginärfreimachen eines Nenners 277 Imaginäre Zahl 273 Induktion -, elektrische (Vorgang) 181 ff -, magnetische (Größe) 159 - Richtungsregel 181 Induktionsgesetz - Aussage 181 - Schreibweisen 184, 185 - Verbindung zum Ohm'schen Gesetz 183 Induktionsspule 187 ff Induktive Blindleistung 250 Induktive Spannung 194 Induktiver Widerstand 251 Induktivität - Berechnung 156 ff - Definition 155 - von Koaxialleitung 161 - von Paralleldrahtleitung 162 - von Spulen 161 Influenz 131 Innenwiderstand - von Ersatzquellen 100, 103 - von Spannungsmessern 14 - von Strommessern 24 - von Spannungsquellen 59 f - von Stromquellen 53

433

434

Integral in elektrotechnischen Formeln 24 Inversion von Ortskurven 293 f Ion 2 Ionenleitung 5 Ionisation 2 Isolator 5 I-U-Kennlinie 28 -, lineare 30 - nichtlineare 31

J Joule (Einheit) 59 Joule'sches Gesetz 59

K Kaltleiter 38 f Kapazität - Akkumulator 6 - Kondensator, Bauformabhängigkeit 125 - Definition 121 - Ersatzkapazität bei Parallelschaltung 128 - Ersatzkapazität bei Reihenschaltung 129 Kapazitive Blindleistung 244 Kapazitiver Widerstand 245 Kapp'sches Dreieck 333 f Kennlinie - /-V-Kennlinie des Widerstandes Ra 30, 71 - /-V-Kennlinie des Innenwiderstandes Ri 59,

71 -, lineare 29f -, nichtlineare 30f Kennwiderstand eines Schwingkreises 311 Kernfaktor einer Spule 194 Kirchhoff'sche Gesetze 42, 73 Klemmenspannung 51 Knotenpunktregel

s. erstes Kirchhoffsches Gesetz Koaxialkabel - Induktivität 161 - Kapazität 126 Koerzitivfeldstärke 163 Kompensation - Blindstrom 288 f Komplexe Spannungsgleichung - Entstehung 268 f - Exponentialform 272 - Normalform 271 -, trigonometrische Form 271 Komplexe Zahlenebene 270 Komplexer Spannungsteiler 279 Komplexer Stromteiler 280 Komplexer Widerstand 275 Kondensator

Sachwortverzeichnis

- Aufbau 120 - Aufladung mit Konstantspannung über Vor-

widerstand 144 - Aufladung mit Konstantstrom 143 - Eigenschaften 121 f - Entladung über Widerstand 149 f - Strom-Spannungs-Beziehung 144 - Verluste 257 Konjugiert-komplexe Erweiterung 277 Konstantan 33, 38 Konstantspannungsquelle 55 f Konstantstromquelle 55 f Kopplung von Stromkreisen -, induktiv 196, 325 -, kapazitiv 131 f Kraftwirkungen in elektrischen und magneti

schen Feldern - Dauermagnet 173 - elektrisches Feld auf elektrische Ladung

135 f - Elektromagnet 173 -, elektrostatische durch Reibung -, elektrostatische zwischen Kondensatorplatten

139 -, magnetisches Feld auf bewegte elektrische

Ladung 176 -, magnetisches Feld auf stromdurchflossene

Leiter 174 f - zwischen stromdurchflossenen Leitern 178 Kreisfrequenz 213 Kreisstromverfahren 94 Kupferverluste, Spule, Transformator 288, 331,

336 Kurzschlussstrom 51 Kurzschlussversuch, Transformator 334

L Ladestrom des Kondensators 143 f Ladungsmenge 9, 23, 121 Ladungsträger 5 Ladungsträgergeschwindigkeit in Metallen 26 Ladungstransport 23 f Ladungstrennung 8 Leerlaufspannung 50 Leerlaufverluste, Transformator 336 Leistung, elektrische - Blindleistung des Kondensators 247 - Blindleistung der Spule 250 - Definition 60 - Drehstrom 345 - Scheinleistung 346 - Wirkleistung 237 Leistungsanpassung 68 f

Sachwortverzeichnis

Leistungsfaktor Leistungshyperbel Leistungsmessung 61 Leiter, elektrischer 7 f Leiter - Außenleiter 338 f - Neutralleiter 338 - -schleife, bei Induktionsvorgängen 181 - stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld

174 Leitf<ihigkeit 33 Leitwert - Definition 29 - -dreieck 256 -, induktiver 251 - kapazitiver 245 - komplexer 256 - -operator 273 f - -ortskurve 292, 295 Leitungswiderstand 32 Lenz'sche Regel 181 Liehtbogen-Grenzkurven 204 Linearer Widerstand 29, 246, 255 Linearitätsfehler, Spannungsteiler 113 f -, absoluter 114 -, prozentualer 114 Liniendiagramm 208, 210 Lorentzkraft 177 Luftspalt im Eisenkern 165

M Magnet - Berechnung der Haltekraft eines Dauer-

magneten, Elektromagneten 173 Magnetische Energie 167, 169 Magnetische Feldstärke 157 Magnetische Flussdichte 159 Magnetische Sättigung des Eisens 163 Magnetischer Fluss 155, 159 Magnetischer Kreis 166 f Magnetisches Feld - Darstellung 154, 156, 162 - Energie 169 - Kräfte 172 ff - zeitlich veränderliches, Induktion 181 ff Magnetisierungskurve - Elektroblech 164 - Grauguss 164 Magnetisierungsstrom 329 f Magnetwerkstoffe - hartmagnetisch 164,165, 172 - Übersicht 165 - weichmagnetisch 164, 165, 172

Magnetnadel 154 Manganin 33, 38 Maschenregel

s. zweites Kirchhoff'sches Gesetz Masse (Bezugspunkt) 14 Materialwiderstand

435

s. Leitungswiderstand Messbereichserweiterung, Drehspulinstrument - Spannungsmesser 91 - Strommesser 78 Messbrücke 84 f Messwiderstand für indirekte Strommessung 34 Mittelpunktleiter

s. Neutralleiter Mittelpunktverschiebung im Vierleiter-Dreh-

stromnetz 342 f Mittelwert - arithmetischer 217 - der Beträge 219 -, quadratischer 220 f Mischgröße 222 f Momentanwert 22, 208

N Nennleistung 63 Nennspannung 63 Netzmasche 42 Netzwerk 93 Neukurve, Eisen 163 Neutralleiter 339 Newton (Einheit) 4 Nichtleiter 5 Nichtlinearer Widerstand 30 f Nordpol, Spule 156 Normalform der komplexen Zahl 271 NTC-Widerstand 39 Nullphasenwinkel 268 f Nullsetzen des Imaginäranteils 281 Nutzleistung 66

0 Ohm (Einheit) 30 Ohm' sches Gesetz - allgemein 32 - Wechselstrom 239, 245, 251 Ohmscher Widerstand 34, 41, 241 Operator - Leitwert 273 f - Widerstand 273 f Ortskurve - Geradentyp 291,295 - Grundschaltungen 295 - Inversion 293

436

- Kreistyp 291, 295 Oszilloskop 34

p Paralleldrahtleitung 162 Parallelresonanzkreis 319 f Parallelschaltung - Kondensatoren 128 f - Widerstand 42 ff, 45 ff Paramagnetische Werkstoffe 165 Periodendauer 208 Permeabilitätskonstante 159 Permeabilitätszahl 159, 165 Phase Phasengang 299 - Bandpass, RC 306 - Hochpass, RC 302 - Tiefpass, RC 302 Phasendrehbrücke - Allpass 307 - einfacher RC-Phasenschieber 284 Phasenschieberschaltung

s. Phasendrehbrücke Phasenverschiebungswinkel - Definition 229 - Kondensator 242 - Spule 248 - Widerstand 236 Phasenwinkel 21 0 Plattenkondensator 125 Polarisation 123 Pole, magnetische der Spule 156 Positiver Umlaufsinn von Zeigern 211 Potenzial - -diagramm, Drehstromsystem 340 f - -differenz, Spannung 12 - -gefälle, el. Feldstärke 13 - -kontrolle, bei Netzwerksberechnung 97 - -messung 14 f Potenziometer 110 Proton 2 PTC-Widerstand 39

Q Quadratischer Mittelwert 220 f Quellenspannung 50 Quellenstrom 53 Querstromfaktor, Spannungsteiler 117

R Realanteil einer komplexen Zahl 270 Rechtsschraubenregel 181 Reihenschaltung

Sachwortverzeichnis

- Kondensatoren 128 f - Widerstände 43 f Reihenresonanzkreis 314 f Relais 205 Remanenz 163 Resonanzfrequenz - Parallelkreis 319 - Reihenkreis 315 Resonanzkurve - Parallelkreis 323 f - Reihenkreis 315, 317 Resonanzüberhöhung - Spannung 317 - Strom 321 Resonanzwiderstand - Parallelkreis 319 - Reihenkreis 316 Ringfeld, induziertes elektrisches 182 Rotierender Zeiger 211, 269 Ruhender Zeiger 270, 271 Ruheinduktion 184 R/2R-Netzwerk 74f

s Sättigung, magnetische 163 Schaltvorgang, Gleichstromkreise - allgemein 206 - RC-Glied 207 - RL-Glied 207 Scheinleistung 261, 266 Scheinleitwert 256 Scheinwiderstand 264 Scheitelfaktor 223 f Scheitelwert 208 Schleifdraht-Messbrücke 84 Schwingkreis 309 f Schwingung - freie 311 -, gedämpfte 313 -, ungedämpfte 310 Selbstinduktion 193 ff Siemens (Einheit) 29 SI-Einheiten 400 f Sinusfunktion - Entstehung im Generator 189 f - Entstehung im Schwingkreis 311 - Darstellung durch drehenden Zeiger 211 Skalare Größe 11 Spannung -, elektrische 9 Spannungsabfall 10, 32 Spannungsanpassung 66 Spannungsmessung 15f

Sachwortverzeichnis

Spannungsquelle mit Innenwiderstand 49 ff Spannungsresonanz 317 Spannungsteiler -, belasteter 111 f - Dimensionierung 116 f - Linearitätsfehler bei Belastung 113 -, unbelasteter 109 Spannungsteilung 44 Spezifischer Widerstand 33 Spule - Abschaltvorgang 202 f - Einschaltvorgang 198 f - Ersatzschaltungen 265, 288 - Feldbild !56, 160 - Induktivität 161 - Güte 166 - Strom-Spannungs-Beziehung 194 - Verluste 165 - Zeigerbild 290 Sternschaltung 341 f Sternpunktverschiebung 342 f Strangspannung 339 Strangstrom 341, 344 Streuinduktivität, Transformator 333 Strom - und sein Magnetfeld 154 Stromdichte 25 Stromkreisgesetze 73 Strommessung 25 Stromquelle mit Innenwiderstand 52 f Stromresonanz 321 Stromstärke - Definition 20, 22 Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld 17 4 Strom-Spannungs-Kennlinie 28 Stromrichtung 20 Stromteilung 47 f Strömungsgeschwindigkeit der Ladungsträger

26 Subtraktion frequenzgleicher Wechselspannung -, geometrische 233 f Südpol, Spule 156 Symmetrische Belastung bei Drehstrom 344 Synchronmaschine 337

T Tangentenmethode 22 Technische Stromrichtung 20 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes 35 ff Temperaturkoeffizient 37 Tesla (Einheit) 159 Tiefpass, RC 299ff - Amplitudengang 302

- Phasengang 302 TK-Wert 36 Tragkraft eines Magneten 173 Transformator - Aufbau 325 - Ausgangsspannung bei Belastung 333 f - Ersatzschaltungen 330 f

437

- Gesetze des idealen Transformators 325 f - Hauptfluss 330 - Hauptgleichung 328 - Kurzschlussspannung 333 - Magnetisierungsstrom 331 - Streufluss 330 - Streuspannung 333 - Wirkspannung 333 - Wirkungsweise 328 f - Zeigerbild 332 Trigonometrische Form der komplexen Zahl

271

u Überanpassung 70 Übersetzungsverhältnis, Transformator 325 Übergangsverhalten - Schaltvorgänge RC- und RL-Glieder 206 f Überlagerungsmethode 96 Umlaufender Zeiger 269 Umlaufspannung -, induzierte 182 Ummagnetisierung 163, 171 Unsymmetrische Belastung bei Drehstrom

341 ff Unteranpassung 70

V Vektor 4 Verkettung 338 Verluste -, dielektrische, beim Kondensator 257 - im Transformator 331 - Hystereseverluste im Eisenkern 171 - Wirbelstromverluste im Eisenkern 196 Verlustfaktor - Kondensator 257 - Spule 265 Verlustwiderstände - Kondensator 257 - Spule 265 - Transformator 331 Verlustwinkel - Kondensator 257 - Spule 265 Verschiebungsfluss 123

438

Verschiebungsflussdichte 123 Vierpol 301 Volt (Einheit) 9 Volt-Ampere (Einheit) 261, 266 Volt-Ampere-reaktiv (Einheit) 244, 250 Vorwiderstand 81

w Watt (Einheit) 61 Wattsekunde (Einheit) 58 Weber (Einheit) 155 Wechselgröße - geometrische Addition, Subtraktion 231,

233 - Begriff 208, 218 - sinusförmige 190, 208 - Zerlegung einer Wechselgröße mit Nullpha-

senwinkel 268 f Wechselstromwiderstand

s. Wirk-, Blind-, Schein- und komplexer Widerstand

Weichmagnetisches Eisen 164, 165, 172 Weiß' sehe Bezirke 163 Wheatstone'sche Brücke - Abgleich 85 - Ausschlag 86 - Verstimmung 86 Wicklung -, bifilare 155 f Widerstand, elektrischer - Änderung durch Temperatureinfluss 35 ff - Änderung durch Dehnung 86 - arbeitspunktabhängiger 31 - Definition 28 - differenzieller 30 - frequenzabhängige 245, 251 - induktiver 251 - kapazitiver 245 - komplexer 275 - linearer 29 - materialabhängiger 33 - nichtlinearer 31 - ohmscher 241 - spezifischer 33

Sachwortverzeichnis

Widerstandsdreieck 264 Widerstandsgerade 70, 81, 84, 105, 106 Widerstandslegierungen 33 Widerstandsoperatoren 273 Widerstandsortskurven 291, 295 Wienglied-Schaltung 308 Windungszahl bei Spule 155, 159, 194 Winkelgeschwindigkeit 189, 191 Wirbelstrom 196 Wirkarbeit 239 Wirkleistung 237 Wirkspannung, Kapp'sches Dreieck 333 Wirkwiderstand 239 Wirkungsgrad 65

z Zahl -, imaginäre 270 - komplexe 270 - konjugiert-komplexe 270, 277 - reelle 270 Zählpfeile bei - Induktion 182 - Kondensator 149 - Spule 195 - Schwingkreis 311 - Transformator 333 - Widerstand 32 Zeiger -, rotierende 269 -, ruhende 270, 271 Zeigerdiagramm - eisengefüllte Spule 290 - Phasendrehbrücke 284 - Regeln 211 - Transformator 332 Zeitfunktionen von Wechselgrößen 209 Zeitkonstante - RC-Schaltung 146, 207 - RL-Schaltung 198, 207 Zweiwattmeter-Schaltung, Aron 349 Zylinderkondensator - Kapazität 127

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Lösungen der Übungen a - Springer978-3-322-92897-9/1.pdf · Lösungen der Übungen Die moderne Feldvorstellung mit einer örtlichen Feldstärke E, die auf eine am Ort befindliche