١

توابع نمایی و لگاریتم : جلسه اول

به را a که اگر مبنا یعنی b عددیست مانند a در مبنای xلگاریتم ھر عدد مانند : این مطلب را اینطور می نویسیم . بدست می آید xعدد برسانیم b توان

x blog b a xa

8 :مثال 3

2l og 3 2 8 4 و یا 22l og 2 2 4

27 33l og 3 3 27 16 یا و 8

2l og 8 ( 2) 16

81 3 93

l og 9 ( 3) 81 3 یاو 1

2255

1l og 2 525

: پس . عددھای منفی و صفر لگاریتم ندارند :نکته

0 تعریف نشده 8l og 8 تعریف نشده

4l og 100تعریف نشده8l og

ریتم یـک در ھـر او لگـ . ریتم ھر عدد در مبنای خودش برابر یک اسـت الگ : نکته

: پس . مبنایی برابر صفر است 1

al og 0 و aal og 1 5 و

5l og 1 1 و7l og 0

10ربه این معنی است که مبنـای آن برابـ . ریتم بدون مبنا بود ااگر یک لگ : نکته

.است

a a10l og l og 7 و 7

10l og l og و x x10l og l og

اگر این قسمت. در این قسمت به این مطالب باید خوب دقت کنید . وجه نشوید را مت

.ا آخر این مبحث را با مشکل مواجه خواھید شد ت . پس مطالب زیر خیلی مھم ھستند

٢

nm n ma a

34 3 42 2 ,

35 3 54 4 ,

122 2

m mma b a b 3 332 7 2 7 , 4 445 6 5 6

2 3 1 2 3100 10 1000 10 0/1 10 0/01 10, , 0/00, 1, 1 0

1 1aa

1 2525

, 12

12

1 1 22 2

,

43

43 43

2 2 2 55 5

: با استناد به مطالب گفته شده می توان نوشت 1210 10l og l og ,

2100 10l og l og , 3

4 3 410 10l og l og

. را بدست آورید x در ھر یک از مسایل زیر مقدار :١تمرین

32x 3 x 92 xl og

x3 2

4 4 4(3 2) x 3l og (4 2) x x 324

:توضیح 41 44

22 22 2 2 2 4

3 23x

232 x 2 xl og 2 می رسانیم ٣طرفین به توان

32 x x 8

x81 x 43 3 8l og 3 41 x3x

2

3(

32 33x

221)

32 3 (xl og 1 ( 13 ) 2 3 x )

2 224 x 1 x 25 x 5

٣

1x25 21

2

x

x 25

2( 5) 25 1l og x x 22

5 5 5 5 x 4

38

331

3x 93x 9 81 3x 9 81l og 3x 43 72 x 2

. را از عبارتھای زیر بدست آورید x مقدار :٢تمرین

x2 3 4l og l og l og 0

2l یعنی ((ریتم شروع کنیم ابرای حل این نمونه از تمرینھا باید از اولین لگ og ((

و فرض کنیم آنھا یک عدد ثابت ھستند ریتم ھا کاری نداشته باشیم الگو به بقیه .ریتم ھای جلویی حرکت کنیم اسپس مرحله به مرحله به سمت لگ.

xl og l og l og 02 3 4

02 l og l og l og l og3 4 3 4

1

1

1 x 3

43 l og 4 x x 64

(2 x)3 2l og l og 1

(2 x) 1 (2 x) 33 2 2l og l og 1 3 l og 2 2 x x 8 2 6

2 (1 x )3 5

(1 x)2 3 5l og 3 l og 2 l og 2 2 3 l og 2 l og

(1 x) 1 (1 x)3 5 54 3 l og 2 l og 3 2 l og

(1 x) 153 2 l og 5 1 x x 4

٤

x x x 42 2

x x2 22 l og l3l og 4 og 4 l og 4 x 22l og 3 2 11 6

2x x5 55

xl og 3l og 2 3 9 8l og02

x 15

x 25

l og 1 5 xl og 2 5 x x 25

. برای حل این تمرین از روش حل معادله درجه دوم کمک گرفتیم :توضیح

قضایای لگاریتمقوانین و

قانون اول N.M N Ml og l og l oga a a

15 : مثال (5 3) 5 3l og l og l og l og

قانون دوم

NN MMl og l og l oga a a

: مثال

22 33l og l og l og

قانون سومna al og nl ogb b

: مثال 216 4 4

3x xl og 3l og l og l g og, o 2l

تغییر مبنا در لگاریتم قانون چھارم

Nl ogN al ogb bl oga

و یا

Nl ogNl ogb bl og

٥

: مثال

2

3

1

100 10 10

1008 8 2 22

l og l og 2l og 2l ogl og 3l og 3l ogl og

قانون پنجمa bb al og l og 1 طرفین وسطینa

b ba

1l ogl og

قانون ششمm

na a

bb

ml og l ogn

: مثال

3

4

1

8 2 216 22

3 3l og l og l og4 4

قانون ھفتم

xal og

a x

: مثال x7l og

7 x در اکثر تمرینھا اگر عددی در لگاریتم ضرب شده بود این عدد باید تـوان :نکته مھم

وان لگاریتم بود این عدد را بایـد بـه یعنی اگر عددی ت : لگاریتم قرار گیرد و بالعکس قانون سوم و ششم را مجددا ((. پشت لگاریتم و بعنوان ضریب لگاریتم قرار دھیم

))مطالعه کنید

: معادالت زیر را حل کنید :تمرین 8 1l og(x )9 6

2l og 28 1l og(x ) l og( )9 6

: یعنی . م را از طرفین تساوی فوق حذف کنیم می توانیم لگاریت

l og 8(x ) l og9

21( )6

28 1 8 1 1 8 33 11(x ) ( ) x x9 6 9 36 36 9 36 12

هر عدد در مبنای لگاریتم است١خودش برابر

که ضریب لگاریتم بود توان لگاریتم شد٢عدد

٦

2l og(x 9) l og 2x 1 2

2l og(x 9) l og( 2x 1) 2

l og(x 9) l og(2x 1) 2 ق قانون اولمطاب

l og(x 9)(2x 1) 2 2(x 9)(2x 1) 10

2 22x 19x 9 100 2x 19x 91 0 x 13

مثال. گاھی در معادالت لگاریتمی می خواھند سر ما را گول بمالند چـون ھمـه معادلـه زیـر بـر . حواسـمان جمـع باشـد در تمرین زیر باید

. را ھم به لگاریتم تبدیل کنیم 1لذا باید عدد . حسب لگاریتم نوشته شده است چـون در معادلـه زیـر . اسـت 1می دانیم لگاریتم ھر عدد در مبنـای خـودش برابـر

10: می توانیم بنویسیم 1 است پس بجای عدد 10اھا برابر ھمه مبن10l og 1

l og x 5 l og 2x 3 1 l og30

1010l og x 5 l og 2x 3 l og l og30 طبق قانون اول

l og ( x 5)( 2x 3)(10) l og30 تم را از طرفین حذف می کنیمیرالگ

l og ( x 5)( 2x 3)(10) l og 30 ( x 5)( 2x 3)(10) 30

2 210 2x 13x 15 30 2x 13x 15 3 می رسانیم٢طرفین به توان

2 22x 13x 15 9 2x 13x 6 0 x 6 تنھا جواب قابل قبول

. نامعادله زیر را حل کنید :تمرین x 2l og 1

5

پس الزم 1در اینجا یک طرف نامساوی لگاریتم داریم و طرف دیگر نامساوی عدد ــیم ــی دانــــ ــود مــــ ــدیل شــــ ــاریتم تبــــ ــه لگــــ ــدد بــــ ــن عــــ ــت ایــــ : اســــ

٧

1

11l og l og10 1l 1

11og 0

0

1 پــس در ایــن تمــرین بایــد بجــای عــدد

مساویش یعنی 1l og 1

10 را قرار دھیم .

l og x 2 l og5

1 x 2 1

10 5 10

ضرب ١٠طرفین این نامساوی را در

می کنیمx 2 1 310 10 2x 4 1 2x 3 x

5 10 2

l ھرگاه تمرین نمونه og2 125باشد مقدار

4l og را برحسب بدست آوریـد

. lھر زمان در مساله ای og2 ابتدا شما باید . داده شدl og5 را از روی آن

:به این صورتی که نوشتم. حساب کنید 1

10l og l og10 l og22

l og5 1

: ویسیم حاال می توانیم بن

3

2125 5 54 22

l og53 3 3 1 3(1 )l og l og l og2 2 l og2 2 2

.عبارت زیر را به ساده ترین صورت تبدیل کنید تمرین نمونه11 490 7l og l og 2l og15 297 9

A

A l og11 l og15 l og490 l og297 2 l og7 l og9

2 2A l og11 l og(5 3) l og(7 5 2) l og(11 3 ) 2l og7 2l og9

11A log 5log 3 2 7 5 log log log 2 11 log log 22 3 2 7 2 3

4 3

log log lo

log

g A l og2

))تغییر مبنا(( مطابق قانون چهارم

٨

xمعادله لگاریتمی تمرین نمونه 3a al og 1 2l og را حل کنید .

را ھـم 1 در این تمرین ھمه عبارت بر حسب لگاریتم نوشته شده پس باید عـدد می باشد پس aته شده در مبنای چون ھمه لگاریتم ھای نوش . لگاریتمی کنیم

a باید 1بجای عدد al og بگذاریم .

2

9

3 3 91 29

a ax x a xa a a a

log

a a aalog log log log log log log x

3 در عبارت :توضیح a2l og رت را بصورت توانی برای لگاریتم نوشتیم تا بـصو ٢ عدد

: زیر در آمد 23 3

a a2l og l og

. یادتان باشد ھمیشه ضریب ، توان لگاریتم قرار می گیرد x)معادله تمرین نمونه 1) (x 1)

5 5l og l og 1 را حل کنید .

را به لگاریتم 1زم است که عددپس ال. در اینجا ھم دو تا لگاریتم داریم و یک عدد پس . است 5 چون در اینجا مبنای ھر دو تا لگاریتم عدد. تبدیل کنیم

55l og 1

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 55 5 5 5 5l og l og 1 l og l og l og l og (x 1)(x 1) l og

5

52 2(x 1)(x 1) 5 x 1 5 x 6 x 6

6xدقت کنید فقط جواب چـون در دامنـه تعریـف ایـن . قابل قبـول اسـتو اعدادی که لگاریتم را منفی می کنند در دامنه لگاریتم . لگاریتم واقع شده است

. قرار ندارند

٩

ــه ــرین نمونــ ــیم تمــ ــته باشــ ــاه داشــ ــر گــ l ھــ og2 0/ 3 و l og3 0/ 4 و

l og7 0/ 8

: مطلو ب است محاسبه ھر یک از مقادیر زیر 312 7l og

25

3 3 2 3 2l og(12 7 ) l og25 l og12 l og7 l og25 l og(2 3) l og7 l og5 2 3 2l og2 l og3 l og7 l og5 2l og2 l og3 3l og7 2l og5

را پیدا ۵باید لگاریتم . را ھم داریم ٣ را داریم و مقدار لگاریتم ٢چون مقدار لگاریتم :می دانیم. کنیم

10l og5 l og l og10 l og2 1 0/ 3 0/ 72

2l og2 l og3 3l og7 2l og5 2(0/ 3) 0/ 4 3(0/ 8) 2(0/ 7) 2

l og0/ 75

23l og0/ 75 l og l og3 l og4 l og3 l og2 l og3 2l og24

0/ 4 2(0/ 3) 0/ 2

١٠

رسم توابع نمائی xyتوابع نمائی توابعی ھستند که بتوان آنھا را به شکل a دامنه . نوشت

,0)توابع نمائی مجموعه اعداد حقیقی و برد این توابع ) می باشد .

xست به برای رسم توابع نمایی کافی , y مقادیر دلخواه بـدھیم و ایـن مقـادیر را

مـی دھـیم کـه xمعمـوال مقـادیری را بـه . روی محورھای اعـداد مـشخص کنـیم . مقادیر رند و مشخصی را بدست آوریم yبتوانیم برای

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4

( 0 ; 1 ) ( 2 ; 4)

(1 ; 2 )

y = 2x -1 ; 1

2

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4y = 2x + 1

( 0 ; 2 )

(-1 ; 1)

(1 ; 4)

x 1 0 1 2

1y 1 2 42

x 1 0 1y 1 2 4

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4

(-3 ; 1) y = 2x + 3

(-2 ; 2)

(-1 ; 4 )

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4

y = 5x + 1

( 0 ; 2 )

-1 ; 6

5

-2 ; 26

25

(1 ; 6)

x 3 2 1y 1 2 4

x 2 1 0 126 6y 2 625 5

١١

سواالت امتحانی مرحله دوم l معادله :١ og(x 2) l og8 l og(x 5) را حل کنید .

2y با توجه به نمودار :٢ l og x 2 نمودار تابعy l og (x 1) و نمودار تابع

. معکوس آن را رسم کنید

bین لگاریتم ھا ثابت کنید با استفاده از قوان:٣ b1l og l og xx

2 معادله لگاریتمی :۴ 2l og (x 2) l og (x 2) 1 را حل کنید .

7 معادله لگاریتمی :۵ 7 7l og 24 l og (x 5) l og 8 را حل کنید .

xy با استفاده از روش نقطه یابی تابع :۶ 3 و با استفاده از را رسم کرده

xyانتقال؛ھر یک از توابع 3 1 و x 1y 3 را رسم کنید . l اگر :٧ og2 0/ 3 باشد حاصل l og5 چه مقدار است ؟

l اگر :٨ og2 0/ 3 و l og3 0/ 4 باشد حاصل l og72 چه مقدار است ؟

حاصل :٩3

3 3

l og 16

l og 2 l og 4 . را بدست آورید

y منحنی :١٠ l og x را رسم کنید .

١٢

: داریم :١حل l og(x 2) l og8 l og(x 5) l og(x 2) l og(x 5) l og8

l og (x 2)(x 5) l og 8 (x 2)(x 5) 8

22 2 7 7 4(1)(2) 7 41x 7x 10 8 x 7x 2 0 x

2(1) 2

جواب 7 41x

2

در . چون در دامنه تابع لگاریتمی نیست . قابل قبول نیست

در معادله اصلی بگذاریم با کمی دقت متوجه می xحقیقت اگر این عدد را بجای از قبل گفتیم که اعداد . منفی را حساب کنیم شویم که باید لگاریتم یک عدد

. منفی لگاریتم ندارند 2y : داریم :٢حل l og x کافیست به x , y اعدادی بدھیم که بتوانیم

یتم آنھا را حساب به راحتی به ازای مقادیر مختلفی که به آنھا می دھیم لگارxمثال من به . کنیم 1در ھر 1 می دھم برای اینکه می دانم لگاریتم عدد

2x: پس . است صفرمبنایی برابر 1 y l og 1 y 0 اولین نقطه

xمن به . خواھد شد 22 در مبنای 2 یرا می دانم لگاریتم عدد می دھم ز 2x: لذا داریم . برابر یک است 2 y l og 2 y 1 دومین نقطه خواھد

xمن به . شد 4می دانم می دھم زیرا : 2

2 2 2l og 4 l og 2 2l og 2 2 1 2 پس نقطه بعدیx 4 y 2

2),(1,0)حاال با داشتن این نقاط . خواھد شد ,1),(4 , به راحتی نمودار را رسم (2

xخواھیم نمودار تابع معکوس را رسم کنیم کافیست جای باگر . می کنیم , y

2),(1,2),(0,1)وس باید از نقاط نقاط داده شده را عوض کنیم یعنی تابع معک , 4)

.عبور کند

x-10 -5 5 10

y

5

10

y = x

y = logx

x = logy

b :٣حل b b b b1l og l og 1 l og x 0 l og x l og xx

١٣

:۴حل

2 2 2l og (x 2) l og (x 2) 1 l og (x 2)(x 2) 1

2l og 2(x 2)(x 2) l og 2 (x 2)(x 2) 2

2 2x 4 2 x 6 x 6

xجواب 6 زیرا در دامنه تعریف لگاریتم قرار ندارد . قابل قبول نیست .

:۵حل

7 7 7 7l og 24 l og (x 5) l og 8 l og 724 l og

x 5

8

24 8 8x 40 24 8x 16 x 2x 5

: ۶حل

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4y = 3x – 1

y = 3xy = 3x + 1

x 0 1 1 2

1y 1 3 93

xy 3

:٧حل 10l og5 l og l og10 l og2 1 0/ 3 0/ 72

١٤

: مـی دانـیم . را به حاصل ضرب اعداد اول تجزیـه کنـیم ٧٢ ابتدا باید :٨حل

72 236 218 29 33 31 1

: پس داریم 3 272 2 2 2 3 3 1 2 3

3 2 3 2l og72 l og(2 3 ) l og2 l og3 3l og2 2l og3 3(0/ 3) 2(0/ 4) 0/ 9 0/ 8 1/ 7

:٩حل

43 3 3

23 3 3 33 3

l og 16 l og 2 4l og 2

l og 2 l og 4 l og 2 2l og 2l og 2 l og 2

3

33

3 3

l og 23

4l og 24l og 2

l og 2 l og1 2 2

33 l og 2

43

: ١٠حل

x-4 -2 2 4

y

-4

-2

2

4

yبرای رسم l og x ھم به x اعـداد مثبـت مـی تـوانیم بـدھیم و ھـم اعـداد

اعـداد xلـذا اگـر بـه . زیرا قدرمطلق عدد منفی یک عدد مثبت می شود . منفی ثبت بدھیم نمودار سمت راست جواب است و اگـر اعـداد منفـی بـدھیم نمـودار م

. سمت چپ جواب خواھد بود

))پایان جلسه اول ((

١٥

دنباله حسابی :جلسه دوم

1,2اگر از شما سوال شود در مجموعه اعداد , 3 , ?

عددی باید نوشته شود ؟ ھمه شما به راحتی می گویید ای عالمت سوال چبج ۴عدد

,1اگر از شما سوال شـود در مجموعـه اعـداد 3 , 5 , بجـای عالمـت سـوال چـه ?

٧ ؟ ھمه شما به راحتی جواب می دھیدعددی قرار می گیردھمه دنباله ھا . به این مجموعه اعدادی که در باال مثال زدیم یک دنباله می گوییم

و اگـر غیـر از ایـن بـود شـما نمـی توانـستید . از یک قانون خاص پیروی مـی کننـد ھـا داشـتن قـانون و نظـم در دنبالـه . جمالت بعدی این دنبالـه ھـا را حـدس بزنیـد

ــود . الزامـــی اســـت ــان مـــی شـ ــکل بیـ ــن شـ ــه ایـ ــه بـ ــک دنبالـ ــانون یـ ــثال قـ مـ.na 2n 1 n N, در این قانون n N پس ما باید به n اعدادی از مجموعـه

: اعداد طبیعی یعنی N 1,2 , 3 , 4 , ... ا می کنیم ھمین کار ر. بدھیم :

1 1n 1 a 2(1) 1 t 3 جمله اول

2 2n 2 a 2(2) 1 t 5 جمله دوم

3 1n 3 a 2(3) 1 t 7 جمله سوم

1 1n 4 a 2(4) 1 t 9 جمله چھارم

3پس جمالت این دنباله بصورت , 5 , 7 ,9, خواھد بود از روی این دنباله شما ...

حتمـا ھمـه شـما مـی گوییـد . به راحتی می توانید جمالت بعدی را حدس بزنیـد اما اگر از شما سوال کنم جمله . این حرف درست است . است 11جمله بعدی

3بیستم این دنباله چیست ؟ شما اگر بخواھیـد در دنبالـه , 5 , 7 ,9, جمـالت را ...

اما بـا داشـتن . ادامه دھیدتا به جمله بیستم برسد با مشکل مواجه خواھید شد مـی . قانون یک دنباله شما به راحتی می توانیـد بگوییـد جملـه بیـستم چیـست

:پرسید

ونه ؟گــــــــچ

20aجمله بیستم یعنی n 20 پس در دنباله na 2n 1 n N, داریم :

20 2020 2(20 ) 1 41n a a

١٦

ا م شما سریع باید بنویسید nھر وقت گفتم جمله :: پس تا اینجا یاد گرفتید که

na 5 وھر وقت گفتم جمله پنجم شما باید سریع بنویـسیدa بگیریـد کـه و نتیجـه

n 5 4 و یا ھر وقـت گفـتم جملـه چھـارم شـما بایـد سـریع بنویـسیدa و نتیجـه

nبگیرید که 4 n چھار جمله اول دنباله :١تمرین

na ( 1) (2n 1) را بنویسید .

n 1n 1 1a ( 1) (2n 1) a ( 1) 2(1) 1 a 3

n 2n 2 2a ( 1) (2n 1) a ( 1) 2(2) 1 a 5

n 3n 3 3a ( 1) (2n 1) a ( 1) 2(3) 1 a 7

n 4n 4 4a ( 1) (2n 1) a ( 1) 2(4) 1 a 9

2 جمله عمومی دنباله ای بصورت :٢تمرین na 2n 1 جمله سـوم . می باشد

. و جمله پنجم این دنباله را بنویسید n پس 3aجمله سوم یعنی 3 می باشد .

2 2n 3a 2n 1 a 2(3) 1 17

n پس 5aجمله پنجم یعنی 5می باشد .2 2

n 5a 2n 1 a 2(5) 1 49

و یـک عـدد ثابـت در یک دنباله اگر ھر جمله را از جمله قبلی اش کم کنیم و مقـدار . این دنباله را یک دنباله حسابی می گـوییم . برای کل دنباله بدست آید

. ثابت را قدر نسبت دنباله حسابی می گوییم ,2مثال در دنباله 5 , 8 ,11,14 , اگر ھر جمله را از جمله قبلی اش کم کنیم ...

5. ست می آید بد 3عدد ثابت 32 8 و 35 11 و 38 و 14 311

ھـر قدر نـسبت . قدر نسبت این دنباله حسابی گفته می شود 3 به عدد ثابت dدر مثال باال . نشان می دھیم dتصاعد حسابی را با 3

نـشان d و قدر نـسبت را بـا aدر ھر دنباله حسابی جمله اول را با : یادتان باشد . می دھیم

. حسابی زیر را بنویسید چھار جمله اول ھر یک از دنباله ھای :٣تمرین a 2 3, d , ,2 5 8 1,1

,a 70 d 5 , ,70 65 60 5, 5

,a 15 d 1 , ,15 14 13 2, 1

١٧

5, , 8 11 , 43 , 1a 5 d

x 4x, , 1 7x 2 1a x d 31 0x,3x ,

, ,5x5xa 5x

5x 10, x5x2

,d22 2

شرط اینکه سه عدد یا سه جمله تشکیل یک دنباله حسابی بدھند . این است که مجموع جمله اول و سوم دوبرابر جمله دوم باشد

یل می دھند ؟ ـــــــــــــ کدام دسته از اعداد زیر تصاعد عددی تشک:۴تمرین

1, 3 , 8 1 8 2 3 . تشکیل دنباله حسابی نمی دھند

1, 4 , 7 1 7 2 4 . تشکیل دنباله حسابی می دھند

3 ,9,27 3 27 2 9 .تشکیل دنباله حسابی نمی دھند

m 3m 6 2 (2m 3) 4m m 6 4m, 2m 3 , 3m 66

.پس تشکیل دنباله حسابی می دھند بالـه حـسابی را تـشکیل را چنان تعیین کنید تا سه جمله زیر یک دن m : ۵تمرین . دھند

3m 1 8m, 3 13, 3m

(3m 1) (3m 13) 2 (8m 3)

6m 14 16m 6 10m 20 m 2

را چنان تعیین کنید تا سه جمله زیر یک دنبالـه حـسابی را تـشکیل m :۶تمرین . دھند

2m 1 m, 3 m 1, 2

(2m 1) (2m 1) 2 (m 3) 4m 2m 6 2m 6 m 3

چھـار عبـارت زیـر یـک دنبالـه را چنان تعیین کنید تـا m,n اعداد تمرین نمونـه

. حسابی تشکیل بدھند m n 2m 3m 4 m, 8, ,

١٨

برای حل این تمرین یکبار سه جمله اول را در نظر می گیریم و تصاعد را می . سه جمله دوم را در نظر می گیریم نویسیم و یکبار

2 3, , ,4 8 m n m m m داریم:

(m n) (3m 4) 2 (2m) 4m n 4 4m n 4

2این بار 3 4 8, , ,

m n m m m را در نظر می گیریم : 2m (m 8) 2(3m 4) 3m 8 6m 8 m 0

چھار عبارت زیر یک دنباله حسابی عیین کنید تارا چنان ت m,n اعداد تمرین نمونه

.تشکیل بدھند m n 2m n 3n 2m 2 5m n 1, , ,

یک بار سه جمله اول را در نظر می گیریم و بار دوم باید سه جملـه دوم را در نظـر . بگیریم

(m n) (3n 2m 2) 2 (2m n)

3m 4n 2 4m 2n m 2n 2 0 رابطه اول

: داریم . را در نظر می گیریم حاال سه جمله دوم(2m n) (5m n 1) 2 (3n 2m 2)

7m 2n 1 6n 4m 4 3m 4n 5 0 رابطه دوم

,: اگر رابطه اول و دوم را در یک دستگاه حل کنیم داریم 1m 1 n2

aیادتان باشد جمله دوم یک دنباله حسابی را با d جمله پنجم و

aآن را با 4d و جمله دھم آن را با a 9dه پانزدھم ــ و جمل

aآن را با 14d و جمله عمومی که ھمان جمله n ام می باشد با

na a (n 1)d ی دھیمنشان م.

ھر زمان در مساله ای دو جمله از یک دنباله حـسابی داده شـود و بـه مـا بـا )) یعنـی جمـالت ایـن دنبالـه را بنویـسید ((گفتند که دنبالـه را مـشخص کنیـد

ھر یک از جمله ھا را بصورت گفته . استفاده از آنچه که درون کادر باال توضیح دادم . را در یک دستگاه حل می کنیم شده می نویسیم و بعد آنھا

١٩

مـی 8و جملـه دھـم برابـر 6 در یک دنباله حسابی جملـه پـنجم برابـر :٧تمرین . این دنباله را مشخص نمایید . باشد

ال اسـتفاده چون دو تا جمله از ایـن دنبالـه را داده انـد بایـد از رابطـه بـا :راھنمایی . کنیم

aجمله پنجم یعنی 4d اسـت پـس 6 در مـساله گفتـه انـد جملـه پـنجم برابـر a 4d 6

aھمچنین در مساله گفتـه شـده جملـه دھـم یعنـی 9d اسـت لـذا 8 برابـر :a 9d 8

: اگر این دو معادله را در یک دستگاه حل کنیم داریم 2da 4d 6 5

a 9d 8 22a5

22 24 26 2, 8, ...5 5 5 5

, ,

آن و جملـه دوازدھـم 17اگر جمله پـنجم یـک دنبالـه حـسابی تمرین نمونه

. جمله عمومی این دنباله را بدست آورید . باشد 52 چون دو جمله از دنبالـه داده شـده اسـت بایـد از رابطـه بـاال اسـتفاده :راھنمایی

. کنیم aجمله پنجم یعنی 4d است پس 17 که این جمله برابر :a 4d 17

aجمله دوازدھم یعنی 11dاست پس 52ر که این جمله براب :a 11d 52 . حاال باید این دو معادله را در یک دستگاه حل کنیم

a 4d 17 a 3a 11d 52 d 5

اگر زاویه ھای مثلثی را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم تـا یـک دنبالـه تمرين نمونه درجـه 60که یکـی از زاویـه ھـای ایـن مثلـث نشان دھید . حسابی تشکیل شود

. است . درجـه اسـت 180جموع زاویه ھای یـک مثلـث برابـر می دانیم که م:راھنمایی

: یعنی ˆˆ ˆA B C 180 رابطه اول

: از طرفی چون این سه زاویه یک دنباله حسابی تشکیل می دھند پس باید ˆˆ ˆA C 2B در رابطه اول قرار می دھیم

ˆ2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ180 3 180 60

B

A C B B B

٢٠

حسابی ھر گاه در مساله ای مجموع و حاصلضرب سه عدد را که دنباله تشکیل می دھند را بدھند و از ما بخواھند که این دنباله را مشخص کنیم راه حل این است که سه جمله این دنباله را به شکل زیر در نظر بگیریم

(a d) , a , (a d)

و 21اله حسابی تشکیل می دھنـد برابـر مجموع سه عدد که یک دنب :٨تمرین دنبالـه صـعودی . (( این سه عدد را بدست آوریـد . می باشد 168حاصلضرب آنھا

))است (a d) a (a d) 21 3a 21 a 7

2 2 a 7 2(a d) a (a d) 168 a(a d ) 168 7(49 d ) 168

2 2 21 6 87 (4 9 d ) 1 6 8 (4 9 d ) (4 9 d ) 2 4 d 57

aبا داشتن , d ایـن دنبالـه ھـا را فقـط بـرای (( : این سه عدد را مـی نویـسیم

))حالت صعودی می نویسمa 7,d 5

(a d),a,(a d) 2,7,12

و 33له حسابی تشکیل می دھند برابـر مجموع سه عدد که یک دنبا : :٩تمرین دنباله صـعودی . (( این سه عدد را بدست آورید . می باشد 792حاصلضرب آنھا

))است (a d) a (a d) 33 3a 33 a 11

a 112 2 2(a d) a (a d) 792 a(a d ) 792 11(121 d ) 792

2 2 279211(121 d ) 792 (121 d ) 121 d 72 d 711

4 سه عدد خواسته شده به شرط صعودی بودن دنباله 11,18,

و حاصلضربـشان برابـر 15له حـسابی سه جمله اول یک دنبا مجموع :١٠تمرین ))دنباله صعودی است . (( جمله دھم این دنباله را مشخص نمایید . است 80

(a d) a (a d) 15 3a 15 a 5

a 52 2 2(a d) a (a d) 80 a(a d ) 80 5(25 d ) 80

2 2 2805(25 d ) 80 (25 d ) 16 25 d 16 d 35

2, 5 , 8 سه عدد خواسته شده به شرط صعودی بودن دنباله

n 10a a (n 1)d a 2 (10 1)(3) 29

٢١

ایـن بـه چـه معنـی . در مسایل باال قید شده که دنباله صعودی است :دقت کنید است

2d داشتیم ٨در تمرین شماره 25 که اگر از طرفین جذر بگیریم داریم :d 5 dاگر با 5 در نظر بگیریم دنباله ای که بدست می آید صعودی است و اگر با

d 5 در تمرین . جمالت دنباله را بنویسم دنباله ای نزولی خواھم داشت2d: به ھمین ترتیب برای قدر نسبت داشتیم ٩شماره 49 d 7 که با

عالمت مثبت دنباله ای صعودی و با عالمت منفی دنباله ای نزولی خواھیم 2d. نیز به ھمین ترتیب عمل می کنیم ١٠در تمرین . داشت 9 d 3

دنباله ھندسی

ھر گاه در یک دنباله ھر جمله را به جمله قبـل از خـود تقـسیم کنـیم و ایـن عمـل

دنباله مزبـور دنبالـه ای ھندسـی . برای ھمه دنباله یک جواب یکسان به ما بدھد . مثال به دنباله زیر توجه کنید . است

, , ,3 6 12 24 , ... : اگر ھر جمله را به جمله ماقبل خود تقسیم کنیم داریم

6 12 24, ,3 6

2 2 212

نـشان مـی qو بـا . قدر نسبت این دنبالـه ھندسـی مـی گـوییم 2 تبه عدد ثاب . دھیم

در تصاعد ھندسی اگر ھر جمله را در قدر نسبت ضرب کنیم جمله بعـدی بدسـت . می آید

ضرب کنیم جمله بعدی 2را در قدر نسبت یعنی عدد 3مثال در دنباله باال اگر عدد را در قدر نسبت ضرب کنیم جمله بعدی یعنی 6اگر عدد . بدست می آید 6 یعنی

6 2 12 جملـه . نـیم را در قدرنـسبت ضـرب ک 12و اگـر عـدد . بدست مـی آیـد12بعدی یعنی 2 24 بدست می آید .

. چھار جمله بعدی ھر یک از دنباله ھای زیر را بنویسید :١١تمرین 3 ,a 6 , 12 ,3 , 22 4q

1 13 , 11a 3 , q , ,93 3

3 , 6 , 12 ,2 24a 3 , q

٢٢

این است که مربع جملهشرط اینکه چند عدد تشکیل دنباله ھندسی بدھند یعنی در یک دنباله ھندسی . وسط برابر حاصلضرب دو جمله طرفین باشد

حاصلضرب جمله اول در جمله سوم مساوی مربع جمله دوم می باشد و .حاصلضرب جمله اول در جمله پنجم مساوی مربع جمله سوم می باشد

باله ھندسی تشکیل می دھند کدام دسته از اعداد زیر دن :١٢تمرین

212 6 16 ,12, 8 1418 4 108 دنباله ھندسی تشکیل نمی دھند

218 6 56 ,18 , 4 3254 4 324 دنباله ھندسی تشکیل می دھند

21 2 2 1 22 , 1 , 2 دنباله ھندسی تشکیل نمی

دھندرا چنان تعیین کنید تا عبارت زیر یک دنباله ھندسی تشکیل دھد m : ١٣تمرین

. m 3 m 9, 21, m

2 2(m 3)(m 21) (m 9) m 224m 63 m 18m 81

6m 18 m 3

باله را طوری تعیین کنید تا این دنباله یک دنxدر دنباله زیر عدد : ١۴تمرین . ھندسی شود

1 x x, x, 1

2 2 2 2 2 1 2(1 x)(1 x) x 1 x x 2x 1 0 x x2 2

.پس مساله دو جواب دارد

nجمله عمومی یک دنباله حسابی بصورت 1na aq نمایش داده

. می شود

٢٣

2 جمله پنجم دنباله ھندسی :١۵تمرین 4 8, , , . ید را بدست آور...

n پس 5a جمله پنجم یعنی :راھنمایی 5 و ھمچنین داریم :

2 22

, 4a q

n 1 5 1n 5a aq a 2 2 2 16 32

2 جمله نھم دنباله ھندسی :١۶تمرین 6 18, , , . را بدست آورید ...

n پس 9aمله نھم یعنی ج:راھنمایی 9 و ھمچنین داریم :

2 32

, 6a q

n 1 9 1n 9a aq a 2 3 13122

5 جمله ششم دنباله ھندسی :١٧تمرین 10 ., , .. را مشخص نمایید .

ــایی ــی :راھنمــ ــشم یعنــ ــه شــ ــس 6a جملــ n پــ 6 ــم ــین داریــ : و ھمچنــ

05 2, 1a q5

n 1 6 1n 6a aq a 5 ( 2) 160

ھر گاه دو جمله از یک دنباله ھندسی داده شود و از ما بخواھند که دنباله

یادتان. یم را مشخص کنیم باید دو جمله داده شده را بر ھم تقسیم نمای 5aq و جمله ھفتم یعنی در دنباله ھندسی جمله ششم یعنی : باشد

6aq8 و جمله نھم یعنیaq و جمله n ام یعنی n 1aq

. باشـد 8 و جملـه ھفـتم آن 1 اگر جمله چھارم یک دنبالـه ھندسـی :١٨تمرین . جمله عمومی این دنباله را بنویسید

3aq: است یعنی 1 این جمله برابر که3aq جمله چھارم یعنی :راھنمایی 1

6aq: است یعنی 8 که این جمله برابر 6aqجمله ھفتم یعنی 8

٢٤

ده شده است لذا بایـد دو جملـه چون در این مساله دو جمله از دنباله ھندسی دا .را بر ھم تقسیم کنیم

6aq

3aq38 q 8 q 2

1

3aqمثال اگر در رابطه . را پیدا کرد aبا داشتن قدرنسبت می توان 1 بجـای q

ــدد ــی عــــــــ ــساویش یعنــــــــ ــم 2مــــــــ ــیم داریــــــــ ــرار دھــــــــ : را قــــــــ

q3 32 1aq 1 a(2) 1 8a 1 a8

می دانیم جملـه : حاال می توانیم جمله عمومی این دنباله را به راحتی بنویسیم ــه بــــصورت nعمــــومی دنبالــ 1

na aq ــته مــــی شــــود ــم . نوشــ ــذا داریــ : لــ

n 1n 1

n n1 2a (2) a8 8

))پایان جلسه دوم ((

٢٥

ریشه گیری و توان رسانی :جلسه سوم گیری از اعداد آشنا شـده در سالھای قبل شما با مفھوم رادیکال و جذر و ریشه

:است که شما خوب یاد بگیرید این ه من می خواھم ھمهاما چیزی را ک.اید یعنی اگـر یـک رادیکـال فرجـه . تمام ھویت یک رادیکال به فرجه این رادیکال است

.خود را از دست بدھد نابود می شود و از بین می رود ؟ یک رادیکال چگونه می تواند فرجه خود را از دست بدھد

3اگر به عبارت . اسـت 3می بینـیم کـه فرجـه ایـن رادیکـال عـدد . دقت کنید 8یعنی رادیکال را نابود کنیم می . برای اینکه بتوانم فرجه این رادیکال را از بین ببرم

: د شوم توانم از دو راه اساسی وار

با استفاده از رابطه :الف n

m n ma a داریم :1

3 38 8 می بینـیم کـه رادیکـال از . بین رفت

38می دانیم کـه :ب 2 33 لـذا 8 2 3 2 یعنـی تـوان زیـر رادیکـال بـا فرجـه می بینیم به محض اینکه یـک رادیکـال . خط بخورد و ساده شود رادیکال می تواند

نـابود شـده و از بـین مـی رود وعـدد زیـر )) خط خـورد (( فرجه خود را از دست داد . رادیکال از زیر رادیکال آزاد می شود

: به مثالھای زیر دقت کنید 33 125 5 3 5

24 9 3 4 2 3 3 55 32 2 5 2

17 75 5

37 3 74 4

. امید وارم تا اینجای درس را خوب یاد گرفته باشید

دانیـد کـه در ضـرب و مـي . کم و بیش با قوانین توانھا آشنا ھستید شما وشـته و نماھـا را بـا ھـم توانھا ھر گاه پایه ھا مساوی باشند یکی از پایـه ھـا را ن

و ھر گاه نماھا با ھم مساوی باشند باید یکی از نماھا را نوشته . جمع می کنیم . و پایه ھا را در ھم ضرب کنیم

3مثال فرض کنید بخواھیم مقدار 32 5 با توجه به اینکه توان . را حساب کنیم. سیم و پایه ھا را در ھم ضرب می کنیم ھا مساویند یکی از توانھا را می نوی

3 3(2 5) 10

٢٦

. حاصل ھر یک از عبارات زیر را بدست آورید :تمرین

4 4

4

4(2 3)(2 3) (4 3) 1(2 3) (2 3)

1 1 12 225 5 5 1 2 25 25 1

2 1 2 1( 3 2) ( 3 2) خواھنـد سـر مـا را حرافـی وجـود دارد و مـی ن ا در این تمرین یک نکته . دقت کنید

ھمه ما می دانیم که اگر عبارت . گول بمالند 12 1

: را گویا کنیم داریم

1 1 2 1 2 1 2 12 12 1 2 1 2 1

پس در سوال باال می تونیم بجای 12 1

2 مـساویش یعنـی 1 را قـرار دھـیم

: پس 1

2 1 2 1 2 1 2 1( ( 33 2) ( 3 2) ( 3 22) )

2 1

2 1( 3 2)( 3 2) (3 2) 1

: قانون مھم در رادیکالھا

mnppm n a a 413 4 2161 26 12 3 2

4 11 44

8 24

8 84 4 4 4 4 24

5 64 3 60 04 4120 4 2

663 646 24

6 2

٢٧

: انون مھم در رادیکالھا ق

44 44

3 2 333 5 50 55 22 0

3 5 3 5 155 5 1 63 5 4 4 44 4 4

4 3 4 3 13 3 3 44 5 5 5 55 5 12 3 5

: قانون مھم در رادیکالھا

n n

ھ nمرتب

2 2 1a a a..... a a

4 42 162 1 1533 3 3 33

5 532

322 2 1

32

312 22 22 2 2

32

312

باید طرفین این معادله را به توان . تی که توان آنھا رادیکالی است برای حل معادال

ھمین رادیکال برسانیم تا رادیکال از بین بود

2x را به گونه ای تعیین کنید تا x مقدار :مثال 2 گردد .

: داریم . می رسانیم 2طرفین را به توان

ھ رب میش وان ض وان در ت 2ت2 2 2 22 2x x x2 2 2 x 2

2: می دانیم :توضیح 2 4 2 و ھمچنین ھر وقت از طرفین یک تساوی ــت ــک عالم ــد ی ــریم بای ــی گی ــذر م ــذاریم ج ــشت آن بگ ــت . پ ــین عل ــه ھم : ب

2 2 2x 2 x 2

))وم سیان جلسه پا((

m mma b a b