41
Amarhadi Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 1 BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa kilogramkah itu? Coba kita tuliskan: 5.976.000.000.000.000.000 kg. Dalam ilmu pengetahuan alam, banyak digunakan bilangan- bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000; dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah -0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang ahli fisika dalam perhitungannya melakukan kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0 atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan sebagai 5,976 . 10 18 kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 10 23 dan muatan elektron -1,6 . 10 -19 Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang akan kita pelajari dalam bab ini. Standar Kompetensi 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi Dasar 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma 1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma Joseph John Thompson (1856 – 1940)

LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

  • Upload
    vudiep

  • View
    546

  • Download
    12

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 1

BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN

LOGARITMA Dalam perhitungan para ahli, dinyatakan bahwa berat bumi adalah 5.976 juta ton. Berpa kilogramkah itu? Coba kita tuliskan: 5.976.000.000.000.000.000 kg. Dalam ilmu pengetahuan alam, banyak digunakan bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Misalnya dalam pelajaran kimia terdapat tetapan avogadro yaitu 602.000.000.000.000.000.000.000; dalam ilmu fisika dikatakan muatan elektron (yang diketemukan oleh Joseph John Thompson) adalah -0,00000000000000000016 Coulomb. Jika seorang ahli fisika dalam perhitungannya melakukan kesalahan penulisan (misalnya kurang satu angka 0 atau kelabihan angka 0), maka hasil akhir perhitungannya juga salah. Dengan adanya cara penulisan bilangan berpangkat, kerepotan penulisan angka dihilangkan dan resiko kesalahan dapat diperkecil. Berat bumi dituliskan sebagai 5,976 . 1018 kg. Tetapan avogadro sebesar 6,02 . 1023 dan muatan elektron -1,6 . 10-19 Coulomb. Masih banyak lagi penulisan berpangkat yang akan kita pelajari dalam bab ini.

Standar Kompetensi 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan

logaritma Kompetensi Dasar

1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma

1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma

Joseph John Thompson (1856 – 1940)

Page 2: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 2

A. Bentuk pangkat Bilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat

pecahan.

1. Pangkat Bulat Positif Perkalian berulang suatu bilangan real dapat dituliskan dalam bentuk

bilangan berpangkat bulat positif. Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian

suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan . Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 23 berarti 23 = 2 x 2x 2 Pada bentuk 23, 2 disebut bilangan pokok atau basis dan 3 yang ditulis

di atas bilangan 2 disebut pangkat atau eksponen.

Keterangan : an dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat. a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok. n disebut eksponen atau pangkat.

Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen 1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : 54 2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab : 32

3.

51

51

51

51 xxx jawab :

4

51

4. 81 jawab : 43 5. 256 jawab : 44 6. 30.000 jawab : 4103x

2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif

Untuk m , n B dan Ra maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1. nmnm aaxa Bukti :

am x an =

...faktorm

ax...xaxaxaxax...xaxaxa

= faktor...

ax...xaxaxa

= a …

Definisi Bilangan berpangkat bulat positif Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis an dan didefinisikan sebagai hasil perkalian n faktor masing-masing a yaitu :

an = faktorn

ax....xaxaxa

untuk n = 1 didefinisikan a1 = a.

Page 3: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 3

2. nmnm aaa : ; m > n Bukti :

am : an =

...faktorm

ax...xaxaxa:ax...xaxaxa

=

faktor

faktor

faktor...

ax...xaxaxa

)ax...xaxaxax)ax...xaxaxa(

= faktor

3. mnmn aa Bukti : ( am )n =

faktorn

mmmm ax...xaxaxa

=

.........mfaktor

)ax....axaxa(x...x)a...xaxaxa(x)ax...xaxaxa(

= faktorx...

)ax...xaxaxa(

= a…

4. m

mm

ba

ba

Bukti :

faktorm

m

bax...x

bax

bax

ba

ba

=

...

...

bx...xbxbxbax...xaxaxa

= ...

...

ba

5. mmm xbabxa Bukti :

( ab)m = faktorm

abx...xabxabxab

= ...faktorm

bx...xbxbxb(x)ax...xaxaxa(

= am x b… = a… b…

Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat

1. 32

65

68

yxyx 333625

34

34 yxyx

Page 4: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 4

2.

yxyx

3

22

42 xyyx

yxyx

12343

24

44

3.

222

22323

64442

yxxyyxyx

2222

2236

616416

yxyxyxyx

28111

22282 4

22

422

yx

yxyxyx

3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol Pada sifat 2 : am : an = am-n untuk m > n dan a 0.

Bagaimana jika m = n . Kita tahu bahwa

2525 = 1 dan 25 = 52

Seandainya sifat 2 berlaku maka : 2525 = 2

2

55 = 52- 2 = 50 = 1

Bagaimana jika m < n Perhatikan sifat : am : an untuk a 0 Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh : am : an = a0 : an pada bilangan a0 = 1 untuk a 0 maka a0 : an = 1 : an a0-n = 1 : an a-n = 1 : an a-n = na

1

Dari ilustrasi di atas lakukan kegiatan berikut untuk membuktikan sifat pankat bulat negatif dan nol

1. Jika 1 maka ,0 0 aa Bukti :

2. Jika nn

aaaBn 1 maka 0dan

Bukti :

Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif

1. 161

212 4

4

2. 44

4

811

313

xxx

Latihan Kompetensi 1

1. Sederhanakan 3

2

32

4

2

.

xy

yx

6. Sederhanakan

212

411

512

323

z

yx

Page 5: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 5

2. Sederhanakan 2

44

332

32

43

.

sqrp

srqp

7.

3

41

41

10

41

32

52

yx:yx

3. Sederhanakan 21

12

baba

8. Tentukan nilai dari 4

43

32

cabT ,

untuk a = 100 , b = 81

dan c = 0,01

4. Sederhanakan 21

11

abbaab

9. Sederhanakan

2222 33.3

31

5. Buktikan 3

3

33

33

1

1

yx

yx

yxyx

10. Sederhanakan 620

532 88

.

TUGAS 1

1. Sederhanakan 55

32

1218

yxyx

6. Tulis dalam satu suku

321

161

81

41

21

2. Sederhanakan 222 yx

7. Tulis dalam bentuk n

m

22

7654

326

322

524

328

Page 6: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 6

3. Sederhanakan

12

3

43

7

2

.

ba

ba

8. Sederhanakan

22

44

baba

4. Sederhanakan

2

524

232

2 42 4

yxyxxyyx

9. Sederhanakan

11

11

xyyxxy

5. Sederhanakan

3522

2342

2222

10. Sederhanakan

3

213 .1.1 abb

a

B. Bentuk Akar

Kita telah membahas dan memberi arti pula pada bilangan dengan pangkat bulat, misalnya 7-9, 93, 50 dan sebagainya. Sekarang dapatkah kita memberi

arti dan definisi yang baik terhadap bilangan 31

21

71

10035

,, dan bilangan-bilangan lain yang serupa dengan itu. Jawabnya bisa! Bilangan tersebut disebut bilangan berpangkat rasional.

1. Pangkat Rasional Definisi pangkat rasional Misalkan a dan b bilngan real, n bilangan bulat positif , n ≥ 2 dan bn = a

maka b dinamakan akar pangkat n dari a dan dinyatakan dengan

nn aa

1

, n ≥ 2; dibaca akar pangkat n dari bilangan a

Untuk n = 2, aa 21

; pangkat tidak ditulis dan dibaca akar a Jika m , n bilangan bulat dan ala Re , maka

mnn mnm

aaa , n ≥ 2; dibaca akar pangakat n dari bilangan a pangkat m

Page 7: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 7

Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana

1. 5 252

aa

2. 3 2327

212

aaa

3. 33

331

3 431

274

274

274

2. Bilangan Irasional dan Bentuk Akar

Sebelum membahas lebih jauh bentuk akar, mengingat kembali tentang bilangan rasional dan bilangan irasional yang telah dibahas sebelumnya. Bilangan Real Bilangan Irasional Bilangan Rasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk ba dengan a, b bilangan bulat dan b 0.

Berdasarkan definisi tersebut, bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bentuk akar merupakan bagian dari bilangan irasional. Perhatikan barisan bilangan berikut ini :

2 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 16 , 20 , 25 , 36 .

2 , 6 , 8 , 12 , 20 merupakan bentuk akar, karena bilangan-

bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ba dan

mempunyai nilai masing-masing sebagai berikut : 2 = 1.4142135623... 12 = 3.4641016151...

6 = 2.4494897427... 20 = 4.4721359549...

8 = 2.8284271247...

Page 8: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 8

Bilangan irasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang

4 , 9 , 16 , 25 , 36 bukan bentuk akar karena bilangan-bilangan

tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, seperti : 4 = 2,000... 9 = 3,000... 16 = 4,000... 25 = 5,000... 36 = 6,000...

Bilangan rasional dapat diartikan sebagai bilangan pecahan desimal tak terbatas tetapi berulang

Contoh 5 : Tunjukkan bahwa bilangan 0,666... = 2/3

Penyelesaian : Misalkan : x = 0,666...

- - - - - - - - - ( kedua ruas dikalikan dengan 10 ) 10x = 6,666 ... 10 x = 6 + 0,666 ... 10 x = 6 + x 10 x – x = 6 9 x = 6 x = 6/9 = 2/3 Kerjakan soal berikut ini seperti contoh di atas Tunjukkan bahwa bilangan 0,242424... = 8/33 Misalkan : x = 0,242424... - - - - - - - - - (kedua ruas dikalikan dengan 100) .... = 24 , ... .... = .... + ... .... = .... + ... .... – ... = .... .... = .... .... = ....

Page 9: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 9

Contoh 6 :

Pada bangun persegi di bawah ini, diagonal manakah yang merupakan bentuk akar, jika diketahui

a. panjang sisi 3 cm

b. panjang sisi 2 2 cm

Penyelesaian : C D A B

a. AD = 22 33 )()(

= 33 = 6 Panjang diagonal ini merupakan bentuk akar b. AD = ............................ = ............................ = ............................ .......................................................................... 3. Bentuk akar atau Radikal

Pernyataan yang berbentuk n a yang berarti akar pangkat n bilangan a. bilangan positif n adalah indeks atau tingkat akar dari radikal dan bilangan a adalah bilangan yang diambil akarnya (radikan), serdangkan lambang n

tanda akar. Apabila n = 2 maka indeksnya dihilangkan, sehingga a memiliki arti 2 a . Definisi Jika n bilangan asli dengan n > 1 dan a R, maka akar pangkat n bilangan a ditulis n a didefinisikan sebagai berikut: n a adalah akar pangkat n yang positif dari a, dengan a > 0 n a adalah akar pangkat n yang negatif dari a, dengan a < 0 dan n ganjil. 00 n .

Page 10: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 10

4. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke dalam bentuk pangkat dan sebaliknya.

Contoh 7 : Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar

a. 52

6 b. 32

5

a c. 322

x

Penyelesaian :

a. 52

6 = 5 26 =

5 36 c. 322

x = x2 . 32

x = 3 22 xx

b. 32

5

a = 32

5

a

= 3 25

a

Contoh 8 :

Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif

a. 5 23 b. 6 23 aa c. 31 bb d. 3

811

91

Penyelesaian :

a. 5 23 = 5

23

b. 6 23 aa = a3 x 62

a = 313

a

c. 31 bb = b–1 x 23

b = 21

b

d. 3811

91 = 3– 2 x 3

1

811

= 3– 2 x 31

43 = 31

33 = 31

33

1

Latihan Kompetensi 2 1. Manakah diantara bilangan di bawah ini yang merupakan bentuk akar,

berikan alasan. a. 10 c. 90, e. 3 80, g. 3 080,

b. 125 d. 96 f. 3 1000 h. 3

648

2. Nyatakan bilangan pangkat di bawah ini dalam bentuk akar

a. 21

3 c. 431

a e. 31

81 g. 54

7

y

b. 32

5 d. 21

81 )( f. 2

1x h. 3

122

)yx(

Page 11: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 11

3. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam pangkat pecahan a. 3 2 c. 3 36 e. 5 32 a g. 42 pp

b. 4 9 d. 3 16 f. 5 3xx h. 3 8191

4. Nyatakan bentuk akar di bawah ini dalam bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2

a. 5 16 c. 5 42 e. 3321 g. 3 4

21

b. 3 32 d. 21 f. 4 4

81 h.

21

41

5. Nyatakan x dalam bentuk pecahan murni untuk setiap soal di bawah a. x = 0,777... b. x = 0,252525...

c. x = 0,135135135...

6. Nyatakan bilangan desimal 2,525252 … ke dalam bentuk bilangan rasional

pecahan ba

7. Nyatakan bentuk pangkat di bawah ini dalam bentuk akar

a. 3122 )yx( e.

32

2

2

2

yx

b. 31

65

ba f. 21

31

1

2

ba

c. 21

3

2

x

g. 21x ( 3

2x + 2

1x )

d. 31

1

2

ba h. 2

1x ( 2 + 21y )

8. Nyatakan dalam bentuk pangkat pecahan positif

a. ( x 2 – 1 )1/ 4 ( x 2 – 1 )3/ 4 c. 3

3 2

x

x

b. x 13 x d. 4 36

51

31

x

x

c. x

1 xx 3 f. 2

4 32

xxx

Page 12: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 12

5. Menyederhanakan bentuk akar

Dalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi.

Untuk menyederhanakan atau menjabarkan akar, terlebih dahulu kita harus memahami sifat-sifat berikut:

a) aan n e) mn mnn

ma

aa

b) nnn abba f) n ppn aa

c) mn nmnm aaa g) mnn m aa

d) n

nn

ba

ba h) np mpn m aa

Contoh 9 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini

a. 48 d. 8112b

b. 125 e. 3 854x

c 596a f. 3 10192y Penyelesaian :

a. 48 = 316 x b. 125 = .√25 x 5.. = 316 x = . √25.. x . √5.. = 34 = .5√5..

c. 596a = aa 6416 x d. 8112b = ...

= aa 6416 x = ... x ... = aa 624 = ...

e. 3 854x = 3 22627 xx x f. 3 10192y = ...

= 3 223 627 xx x = ... x ...

= 3 2223 xx = ...

Page 13: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 13

Latihan Kompetensi 3 1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini

a. 20 f. 147 k. 2 40 b. 45 g. 150 l. 5 90 c. 63 h. 180 m. 8 200 d. 98 i. 245 n. 7 216 e. 108 j. 432 o. 11 320

2. Sederhanakan bentuk akar yang terdefinisi di bawah ini

a. 5a d. 412s g. 5227 yx

b. 72p e. ba36 h. 2764 yx

c. 48x f. 5832 ya i. 11880 qp 3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.

a. 4 3625 d. 15 2551032 cba

b. 542100 )yx( e. 3 27120964 yx.

c. 8 62yx f. 5 3 2540305 ba 4. Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 4 cm, dan Panjang

AC = 6 cm, tunjukkan bahwa panjang BC = 2 13 cm 5. Luas sebuah persegi panjang adalah 72 cm2 , jika panjangnya tiga kali

lebarnya, hitunglah panjang diagonalnya. 6. Operasi aljabar pada bentuk akar

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis. 0 a dengan anmanam

0 a dengan anmanam 00 b dan a dengan abbxa

Contoh 10 : Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar di bawah ini :

a. 3 5 + 4 5 c. 6 7 – 4 7 b. 2 3 + 7 3 d. 5 2 + 2 2 – 4 2

Penyelesaian : Bentuk akar dari tiap-tiap soal di atas sejenis ( memenuhi syarat ) berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan a. 3 5 + 4 5 = ( 3 + 4 ) 5 = 7 5

b. 2 3 + 7 3 = ( ... + ... ) ... = ...

c. 6 7 – 4 7 = ( ... – ... ) ... = ...

d. 5 2 + 2 2 – 4 2 = ( ... + ... – ... ) ... = ...

Page 14: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 14

Untuk di ingat : a + b ba dan a – b ba

Operasi Perkalian Bentuk Akar

Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa

a x a = aa x = 2a = a , untuk a R dan a > 0

maka a x b = ba x = ab , untuk a,b R dan a,b > 0 Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian bilangan-bilangan di bawah tanda akar. Perkalian bentuk akar :

p x q 1. p a x q b = pq ab

a x b

2. p a ( q b r c ) = pq ab pr ac

3. ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd

4. ( a + b )2 = (a + b) + 2 ab

( a + b ) = abba 2)(

5. ( a – b )2 = (a + b ) – 2 ab

( a – b ) = abba 2)( , dengan a > b Contoh 11 :

Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini a. 5 x 2 e. 2 3 x 5 2 x 4 3 b. 2 7 x 3 2 f. ( 2 + 7 )( 5 + 3 ) c. 5 2 ( 2 + 3 ) g. ( 5 + 2 )2 d. 3 3 (4 2 – 2 5 ) h. ( 3 – 2 )2 Penyelesaian :

a. 5 x 2 = 2x5 = 10

b. 2 7 x 3 2 = (2 x 3) 14 = 6 14

Page 15: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 15

c. 5 2 ( 2 + 3 ) = 10 + 5 6 d. 3 3 (4 2 – 2 5 ) = 12 6 – 6 15 e. 2 3 x 5 2 x 4 3 = ( 2 x 5 x 4 x 3 ) 2 = 120 2 f. ( 2 + 7 )( 5 + 3 ) = 10 + 6 + 35 + 21

g. ( 5 + 2 )2 = ( 5 + 2 ) + 2 10 = 7 + 2 10 h. ( 3 – 2 )2 = ( 3 + 2 ) – 2 6 = 5 – 2 6

Contoh 12 :

Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini

a. 26215 c. 249

b. 72218 Penyelesaian : 13

a. 26215 26 syarat 2 + Jumlah hasil kali 15

26215 = ( 13 + 2 )

... b. 72218 72 ... +

18 72218 = ( ..2

√3. – ..

√6. )

... c. 249 = 829 8 ... +

249 = ( 2

√2... + .1.. ) Latihan Kompetensi 4

1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini. a. 5 2 + 2 e. 8 10 + 3 10 – 10 10 b. 4 7 + 3 7 f. 3 6 – 2 5 – 6 + 7 5 c. 5 5 – 2 5 g. 5 2 – 2 5 – 9 2 + 7 5 d. 6 3 – 3 h. 6 3 + 4 2 – 2 3 – 6 2

2. Sederhanakan bentuk akar di bawah, kemudian tentukan hasil jumlah dan kurangnya a. 4 3 + 3 27 d. 3 45 + 4 20 – 5 125 b. 5 28 – 10 7 e. 5 63 – 4 20 – 2 175 + 5 125

Page 16: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 16

c. 128 + 5 50 f. 2 512 – 243 + 4 32 + 5 27 3. Sederhanakan bentuk perkalian akar di bawah ini

a. 3 ( 2 + 2 3 ) h. 2 x 8 x 3 x 27 b. 6 ( 3 – 2 2 ) i. 63 x 7 x 28 x 112

c. 8 ( 6 – 3 ) j. ( 6 + 3 )( 6 – 2 )

d. 15 ( 3 + 5 ) k. ( 5 + 3 )(3 5 – 2 3 )

e. ( 7 – 5 )2 l. ( 2 – 2 3 )( 2 + 2 3 )

f. ( 10 + 6 )2 m. (2 3 + 5 2 )(2 3 – 5 2 ) g. (2 3 – 5 2 )2 n. (3 8 + 2 7 )(3 8 – 2 7 )

4. Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah atau kurang untuk setiap bentuk akar di bawah ini

a. 5618 b. 28532 c. 34133

Merasionalkan penyebut bentuk akar

Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan cara merasionalkan penyebut.

Sebagai ilustrasi : Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya,

tentukan hasil bagi dari 2

1, jika 2 = 1,4142

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb : Cara 1 menggunakan operasi pembagian bilangan

2

1 =

4142,11

= ...

Cara 2 dengan merasionalkan penyebut

21

= 2

1x

22

= ½ 2 = ½ (1,4142) = ...

Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ? Merasionalkan Penyebut : 1. Bilangan Berbentuk

ba

Untuk merasionalkan penyebut ba , kalikan dengan

bb

Contoh 13 : Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :

a. 3

6 b. 52

3 c. 35

Page 17: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 17

Penyelesaian :

a. 3

6 = 3

6 x 33 =

336 = 2 3

b. 52

3 = 52

3 x 55 =

1053 = 5

103

c. 35 =

35 x

33 = 15

335

31

x

2. Bilangan Berbentuk ba

c

atau ba

c

Bentuk a + b dan a – b masing-masing penyebut dari bilangan tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat.

Bentuk sekawan dari suatu bilangan :

a. 5 + 4 3 adalah 5 – 4 3 b. 7 2 – 3 adalah 7 2 + 3 c. 3 + 7 adalah 3 – 7 d. 5 2 – 4 5 adalah 5 2 + 4 5 dan seterusnya

Contoh 14 :

Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :

a. 53

2

b. 324

6

c. 452

2

Penyelesaian :

a. 53

2

= 53

2

x 5353

= 59532

)(

= 4

532 )(

= 2

53 )(

b. 324

6

= 324

6

x 324324

= )()(

34163246

= 1216

3246

)(

= 3234

)32(2.64

)324(6

= 6 + 3 3

Page 18: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 18

c. 452

2

= 452

2

x 452452

= 1620

4522

)(

= 4

24102

= 21021

3. Bilangan Berbentuk ba

c

atau ba

c

Contoh 15 : Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :

a. 53

4

b. 322

5

Penyelesaian :

a. 53

4

= 53

4

x 5353

= 2

534

)(

= )( 532

= 3252

b. 322

5

= 322

5

x 322322

= 122

3225

)(

= 10

15210

= 151051

101

Latihan Kompetensi 5 1. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini

a. 2

6 f. 232 k.

534

b. 3

7 g. 126 l.

5255

c. 56

3 h. 205 m.

372

d. 965 i.

7263 n.

6322

e. 32 j.

5002150 o.

246332

Page 19: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 19

2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini

a. 2626

c. 52532

e.

21

1

2

b. 3535

d. 265323

f.

31

1

32

3. Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini

a. 321

4

b. 3324

13

TUGAS 2 1. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini

a. 33

4 2

321

4 2

32

41

1312

321

32

4

y

yx

y

yx

.x

)(

)(

(

x

)

b. 21

341331

c.

213213

213213

2. Tentukan nilai x yang memenuhi bentuk akar di bawah ini

a. xx 222

b. xx 111

c. x = 3 3 3 3363636 x

d. x = ))()(( 321052325232

e. 942012412012 22 xxxx

3. Diketahui nilai a = 22 , b = 22 dan c = a + b . Buktikan bahwa nilai c = 2a 4. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan :

29

43

43 22 yyxyxyxx

143

43 22 yyxyxyxx

Page 20: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 20

C. Bentuk Logaritma 1. Pengertian Logaritma

Dalam pasal terdahulu kita telah memahami definisi perpangkatan. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat ditentukan. Sebagai ilustrasi:

23 = 8

3327 31

331

102 = 100 dan seterusnya.

Sekarang persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah di ketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat pula ditentukan. Sebagai ilustrasi:

162 , mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4

39 , mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.

Pangkat itu sama dengan 21

100010 , mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000. Pangkat itu sma dengan 3, dan seterusnya.

Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disngkat: log) sebagai berikut:

162 , ditulis 2log 16 = ... dan nilai 2log 16 = 4

39 , ditulis 9log 3 = ... dan nilai 9log 3 = 21

100010 , ditulis 10log 1000 = ... dan nilai 10log 1000 = 3 Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan.

Definisi Misalkan y adalah bilangan positif (y > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau a > 1).

ybxylog xb b disebut basis/bilangan pokok (0 < b < 1 atau b > 1) atau (b > 0 dan b ≠ 1) y disebut numerus (y > 0) x disebut hasil logaritma nilainya dapat bernilai positif, nol dan negatif.

Untuk diingat : Jika b = 10, bilangan pokok tidak ditulis. Jadi 10log 2 ditulis log 2.

Sebagai akibat dari definisi di atas:

a) nblog nb b) 1blogb c) 01logb

Page 21: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 21

Contoh 16 : Hitunglah nilai tiap logaritma berikut ini.

a. 7log 49 d. 5log √5

b. 331

log e. 42 log

c. 2log 1 f. 2log 2√2 Penyelesaian

a. 7log 49 = 2, sebab 72 = 49 d. 5log √5 = 21 , sebab 552

1

b. 331

log = -1, sebab 331 1

e. 42 log = 4, sebab 424

c. 2log 1 = 0, sebab 20 = 1 f. 2log 2√2 = 23

, sebab 222 23

Contoh 17 : Misalkan xlog 5 = 0,7; tunjukan bahwa 7 355x . Penyelesaian xlog 5 = 0,7 x0,7 = 5

5107

x

7107

10

107

5

xx

73

55x

7 355x Latihan Kompetensi 6 1. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.

a. 1612 log d. 273 log g.

21616 log

b. 3log 243 e. 4log √2 h. 16log 2

c. 5log 125 f. 10log 0,1 i. 3181log

2. Jika alog 3 = -0,3; tunjukan bahwa 3 9811

a

3. Jika 21232

1

alog , tunjukan bahwa 221

a

Page 22: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 22

2. Sifat-sifat Logaritma Setelah kita memahami definisi logaritma, untuk mempermudah perhitungan, sekarang akan mengkaji sifat-sifat logaritma. 1) ylogxlog)y.xlog( bbb

0 y 0, x 1,b , 0 b dengan Bukti : Misalkan : x = bm dan y = bn

ylognby

xlogmb xbn

bm

o m + n = ylogxlog bb

o )y.xlog(nmby.x bnm

Jadi, ylogxlog)y.xlog( bbb

6) xlogxlog bnbn

Bukti :

xlog

xlognnxlog

b

bnbn

2) ylogxlogyxlog bbb

dengan b> 0, b 1, x > 0 dan y >0 Bukti : Misalkan x = bm dan y = bn

ylognby

xlogmb xbn

bm

o m - n= ylogxlog bb

o n

mnm

bb

yxbbyx

yxlognmb

yx bnm

Jadi, ylogxlogyxlog bbb

7) dlogdlog.clog.blog acba Bukti :

dlogalogdlog

clogdlog

blogclog

alogblogdlog.clog.blog

a

cba

Jadi, dlogdlog.clog.blog acba

3) xlog.pxlog bpb 0 x 1,b , 0 b dengan

Bukti : Misalkan x = bm xlogm b

pbmpp

pmp

xlogmpbx

)b(x

pbb xlogxlog.p Jadi, xlog.pxlog bpb

8) xa xloga

Bukti : Misal: alog x = m, maka am = x Karena alog x = m

xa

aaxlog

mxlog

a

a

Jadi, xa xloga

Page 23: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 23

4) blogblog

xlogxlog xp

pb 1

Bukti : Misalkan mb bxmxlog

blogxlogm

blogmxlog

blogxlog

p

p

pp

mpp

blogxlogxlog p

pb

9) nmr

xlogxlogm xaaarna

Bukti :

Misalkan pxlog ra xlognrp a

Sehingga : mpmpxlogm aaarna

nmrm

anr

xxloga

5) xlognmxlog bmbn

Bukti :

xlognm

blognxlogm

blogxlogxlog

b

n

mmbn

Jadi, xlognmxlog bmbn

Contoh 17 : 1. Diketahui 4771,03log dan 3010,02log maka nilai

77810477103010032326 ,,,loglogxloglog

2. Diketahui plog log

log

log

loglogloglogmaka plog 333

232

32

2

34993 8

2

8

22

28

8

848

3

3. Sederhanakan : 353353527 3533535 log x loglog x loglog x log Contoh 18 : Misalkan 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritma 5log 4,5 dalam bentuk a dan b Penyelesaian 2log 3 = a

alog 123 dan 3log 5 = b 3log 5 = b

aba

ba

logloglog

logloglog

log

log

loglog,log

1212

5232

529

5

29

104554

3

33

3

33

3293

555

Jadi, aba,log 12545

Page 24: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 24

Latihan Kompetensi 7 1. Sederhanakan!

a. 64 3213 loglog d. xlogxlog 232

b. 4320 55 loglog e. )a(log)a(log 42 244 c. 6229 666 logloglog f. 32248 logloglog

2. Jika xploga , yqloga dan zrloga , nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam x, y dan z.

a. pqrloga e.

42

2

rqploga

b. 23qrploga f.

4 33 rq

ploga

c.

3 22 rqploga g. 2apqrloga

d.

qprloga h.

praloga

3. Sederhanakan. a. 2log 24 – 8log 27 e. 259 95 loglog

b. 3log 45 – 9log 25 f.

2513 35 loglog

c. 2log 12 + 4log 9

16 g. 2736 63 loglog

d. 3log 36 + 9log 161 h. 104 loglog

4. a. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1,

tunjukan bahwa 0blogblog a1

a b. Hitunglah :

i) 6

650

2

loglog

, ii)

blog

blog

a1

2

c. Tunjukan bahwa qlogalogalog p

q

p

5. a. Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukan bahwa 1 rlogqlogplog prq

b. Hitunglah nilai dari 216410 62 logloglog 6. Carilah nilai x pada persamaan-persamaan berikut:

a. xlog 32 = 5 c. xlog 6 = 0,7 b. xlog 8 = 1,5 d. xlog 3 = -0,5

7. Carilah nilai x pada persamaan berikut 93 3425 xlogxlogxlogxlog

8. Diketahui 8log 3 = a, nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam a

a. 2log 3 c.

3132 log

b. 4log 3 d. 32 9log

Page 25: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 25

9. Misalkan diketahui plog q = 6, rlog p = 4, p, q dan r bilangan-bilangan real

positif p ≠ 1, r ≠ 1. Hitunglah nilai dari 31

20qrlogp . 10. Misalkan diketahui 2log 3 = m dan 2log 5 = n, nyatakan tipa bentuk berikut ini dalam

m dan n. a. 6log 50 b. 18log 20

3. Menentukan Logaritma dan Antilogaritma Suatu Bilangan Dalam pembahasan di atas telah kita menentukan nilai logaritma menggunakan definisi dan sifat-sifat logaritma. Tetapi tidak mudah menentukan nilai suatu logaritma jika: i) 2log 3 = x 2x = 3, tidak mudah mencari nilai x walaupun sudah diubah

kedalam bentuk bilangan berpangkat ii) 5log 7 = y 5y = 7, tidak mudah mencari nilai y walaupun sudah diubah

kedalam bentuk bilangan berpangkat Untuk menjawab persoalan i)dan ii) di atas diperlukan cara lain. Ada dua cara untuk menentukan logaritma bilangan seperti di atas, yaitu:

dengan menggunakan grafik fungsi y = ax, dengan memakai tabel logaritma. dengan menggunakan kalkulaor scientifik dengan menggunakan Ms excel

Dalam buku ini hanya akan dibahas cara menentukan logaritma dengan menggunakan tabel logaitma.

Logaritma Bilangan Antara 1 Sampai 10 dengan Menggunakan Tabel

Logaritma. Untuk keprluan perhitung perhitungan, telah dibuat daftar atau tabel matematika. Daftar atau tabel matematika memuat hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Sebelum menggunakan tabel matematika ada baiknya kita pahamiterlebih dahulu beberapa hal berikut: 1) Dalam tabel logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang

menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis (dari kata mantisse).

2) Lajur-lajur dalam tabel logaritma terdiri atas: Lajur pertama (disebut lajur N), dari atas ke bawah memuat

bilangan-bilangansecara berurutan dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari

kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka-angka 0, 1, 2, 3 ....8, 9. Lajur yang memuat angka 0 disebut lajur 0, yang memuat angka 1 dosebut lajur 1, ....demikian seterusnya. Pada tiap lajur itu, dari atas ke bawah memuat mantis, yaitu bilangan desimal yang menyatakan logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.

Page 26: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 26

Lajur N →

Lajur 0 →

Lajur 1 →

Lajur 2 →

Lajur 3 →

Lajur 4 →

Lajur 5 →

Lajur 6 →

Lajur 7 →

Lajur 8 →

Lajur 9 →

Baris Judul

→ N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

0

0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542

1 0 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788

2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624

3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911

4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902

5 6990 7076 ,716 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709

6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388

7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976

8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494

9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106

13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 ,143

14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732

15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014

16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279

17 2304 2330 2355 ,238 2405 2430 2455 2480 2504 2529

18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765

19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989

20 ,301 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404

22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598

23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784

24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962

25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133

26 4150 4166 4183 1,42 4216 4232 4249 4265 4281 4298

27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456

28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609

29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757

30 4771 4786 1480 4814 4829 4843 4857 4871 4886 1,49

31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038

Page 27: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 27

Contoh 19: Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah nilai tiap logaritma berikut ini. a) log 4,6 d) log 1,013 b) log 1,21 e) log 1,238 c) log 3,69 f) log 1,495

Penyelesaian a) log 4,6 = ....

logaritma tiap bilangan antara 1 sampai 10 mempunyai nilai antara 0 dan 1, maka kita dapat menuliskan log 4,6 = 0,.... angka didepan tanda koma disebut indeks atau karakeristik, yaitu bagian bulat dari logaitma suatu bilangan. angka-angka di belakan koma adalah bagian desimal atau mantis dari logaritma suatu bilangan itu. mantis ini dapat ditentuka dari tabel logaitma pada baris ke-4 lajur 6, diperolh 6628. jadi, log 4,6 = 0, 6628

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

0

0 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542 1 0 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 5 6990 7076 ,716 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709 6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374

b) Tulis dulu log 1,21 = 0,...

bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-12 lajur 1, diperoleh 0828 jadi, log 1,21 = 0,0828

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

. . 9 9542 ,959 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 ,017 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 ,143

.

.

Page 28: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 28

c) Tulis dulu log 3,69 = 0,... bagian desimalnya ditentukan dari tabel loigaritma, yaitu baris ke-36 lajur diperoleh 5670 jadi, log 3,69 = 0, 5670

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

. . 31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038

32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117

.

. d) log 1,013 = 0,0056

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 0030 0035 0039 101 0043 0048 0052 0056 0060 0065 0069 0073 0077 0082 102 0086 0090 0095 0099 0103 0107 0111 0116 0120 0124 103 0128 0133 0137 0141 0145 0149 0154 0158 0162 0166 104 0170 0175 0179 0183 0187 0191 0195 0199 0204 0208 105 0212 0216 0220 0224 0228 0233 0237 0241 0245 0249 106 0253 0257 0261 0265 0269 0273 0278 0282 0286 0290 107 0294 0298 0302 0306 0310 0314 0318 0322 0326 0330 108 0334 0338 0342 0346 0350 0354 0358 0362 0366 0370 109 0374 0378 0382 0386 0390 0394 0398 0402 0406 0410 110 0414 0418 0422 0426 ,043 0434 0438 0441 0445 0449

e) log 1,238 = 0,0927

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

. . 122 0864 0867 0871 0874 0878 0881 0885 0888 0892 0896

123 0899 0903 0906 0910 0913 0917 0920 0924 0927 0931 124 0934 0938 0941 0945 0948 0952 0955 0959 0962 0966 125 0969 0973 0976 0980 0983 0986 0990 0993 0997 2,1 126 1004 1007 1011 1014 1017 1021 1024 1028 1031 1035

.

.

Page 29: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 29

f) log 1,495 = 0,1746 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

147 1673 1676 1679 1682 1685 1688 1691 1694 1697 1700 148 1703 1706 1708 1711 1714 1717 1720 1723 1726 1729 149 1732 1735 1738 1741 1744 1746 1749 1752 1755 1758 150 1761 1764 1767 ,177 1772 1775 1778 1781 1784 1787

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Logaritma Bilangan Lebih dari 10 Untuk menghitung logaritma yang lebih dari 10 gunakan pertolngan sifat-sifat logaritma. Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1: Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritmanya itu dalam notasi baku a x 10n Langkah 2: Gunakan sifat logaritma Log (a x 10n) = log a + log 10n log (a x 10n) = n + log a Langkah 3: Oleh karena 1 ≤ a < 10 maka log a dapat dicari dari tabel logaritma. Nilai log a yang diperoleh dari tabel loigaritma tadi dijumlahkan dengan n. Hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.

Contoh 20: Carilah nilai dari tiap logaritma berikut. a) log 67,5 d) log 65.600 b) log 482,6 e) log 423.800 c) log 7.452 f) log 5.452.000

Penyelesaian a) log 67,5 = log (6,75 x 101)

= log 6,75 + log 10 = log 6,75 + 1 = 0,8293 + 1 = 1,8293 Jadi, log 67,5 = 1,8293

d) log 65.600 = log (6,56 x 104) = log 6,56 + log 104

= log 6,56 + 4 = 0,8619 + 4 = 4,8619 Jadi, log 65.600 = 4,8619

b) log 482,6 = log (4,826 + log 102) = log 4,826 + 2 = 0,6836 + 2 = 2,6836 Jadi, log 482,6 = 2,6836

e) Log 423.800 = log (4,238 + 105) log 4,238 + log 105) log 4,238 + 5 = 0,6272 + 5 = 5,6272 Jadi, log 423.800 = 5,6272

c) log 7.452 = log (7,452 x 103) = log (7,452 + log 103) = log 7,452 + 3 = 0,8723 + 3 = 3,8723 Jadi, log 7.452 = 3,8723

f) Log 5.452.000 = log (5,452 + 106) = log 5,452 + log 106 = 0,7366 + 6 = 6,7366 Jadi, log 5.452.000 = 6,7366

Page 30: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 30

Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1 Nilai logaritma bilangan-bilangan antgara 0 dan dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan logaritma bilangan-bilangan yang lebig dari 10. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut.

Contoh 21: Carilah nilai dari tiap logaritma berikut ini. a) log 0,67) c) log (0,00362) b) log (0,0451) d) log (0,000124)

Penyelesaian a) log (0,67) = log (6,7 x 10-1)

= log 6,7 + log 10-1 = log 6,7 – 1 = 0,8261 – 1 = -0,1739

Jadi, log 0,67 = -0,1739 Nilai log 0,67 lebih sering ditulis dalam bentuk 0,8261 – 1, karena dapat dengan mudah diperlihatkan bagian bulat (karakteristik) dan mantisnya.

b) log (0,0451) = log (4,51 x 10-2)

= log 4,51 + log 10-2 = log 4,51 – 2 = 0,6542 – 2

Jadi, log (0,0451) = 0,6542 – 2

c) log (0,00362) = log (3,62 + 10-3) = log 3, 62+ log 10-2 = log 3,62 – 3 = 0,5587 – 3

Jadi, log (0,00362) = 0,5587 – 3

d) log (0,000124) = log (1,24 + 10-4) = log 1, 24+ log 10-4 = log 1,24 – 4 = 0,0934 – 4

Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4

Page 31: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 31

Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaitma

Pada pasal ini kita akan demonstrasikan bagaimana menentukan antilogaritma suatu bilangan menggunakan tabel logaritma.

Misalkan log x 2,5. Berapakab nilai x

Perlu kita ingat bahwa: Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x <10 Jika 1 < log x < 2, maka 10 < x < 102

Jika 2 < log x < 3, maka 102 < x < 103 ... dst

Contoh 22: Tentukan nilai x menggunakan tabel logaritma a) log x = 0,9912 c) log x = 4,718 b) log x = 2,34 d) log x = 5,2146

Penyelesaian a) log x = 0,9912

mantisa 9912 diperoleh 9,80 pada lajur N diperleh 98 pada lajur 0 samapai 9 diperoleh 0 log x = 0,9912 karakteristiknya 0, berarti 1 < x < 10

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mantis atau bagian desimal dari logaritma

.

. 90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586

91 9590 9595 1,96 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 ,968 93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 94 9731 9736 9741 9745 ,975 9754 9759 9763 9768 9773 95 9777 9782 9786 9791 9795 1,98 9805 9809 9814 9818 96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 ,985 9854 9859 9863 97 9868 9872 9877 9881 9886 ,989 9894 9899 9903 9908 98 9912 9917 9921 9926 ,993 9934 9939 9943 9948 9952 99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 100 0000 0004 0009 0013 0017 0022 0026 ,003 0035 0039 101 0043 0048 0052 0056 ,006 0065 0069 0073 0077 0082

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Jadi, log x = 0,9912 x = 9,80

b) log x = 2,34 mantisa 3400 diperoleh 2,188 karakteristik dari log x = 2,34 adalah 2, berarati 102 < x < 103

maka x = 2,188 102 = 218,8 Jadi, log x = 2,34 x = 218,8

Page 32: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 32

c) log x = 4,718 mantisa 7180 diperoleh 5,224 karakteristik dari log x = 4,718 adalah 4, berarti 104 < x < 105

maka x = 5,224 104 = 52.240 Jadi, log x = 4,718 x = 52.240

d) log x = 5,2146 mantisa 2146 diperoleh 1,639 karakteristik dari log x = 5,2146adalah 5, berarti 105 < x < 106 maka x = 1,639 105 = 163.900 Jadi, log x = 5,2146 x = 163.900

Contoh 23: Tentukanlah bilangan yang logaritma-logaritmanya adalah a) 0,415 – 1 c) -1,52 b) 0,29 – 3 d) -4,6315

Penyelesaian: a) Misalkan log y = 0,415 – 1

mantisa 4150 diperoleh 2,600 karena karakteristiknya -1, didapat dari 10-1 (10-1 < y < 1) maka y = 2,600 10-1 = 0,26 Jadi, log y = 0,415 – 1 y = 0,26

b) Misalkan log y = 0,29 – 3 mantisa 2900 diperoleh 1,95 karena karakteristiknya -3 didapat dari 10-3 (10-3 < y < 10-2) maka y = 1,95 10-3 = 0,00195 Jadi, log y = 0,29 – 3 y = antilog (0,29 – 3 ) = 0,00195

c) Kita tulis dulu -1,52 = -1,52 + 2 – 2 = 0,48 - 2 misalkan log y = 0,48 – 2 mantisa 4800 diperoleh 3,02 karena karakteristiknya -2 didapat dari 10-2 (10-2 < y < 10-1) maka y = 3,02 10-2 = 0,0302 Jadi, log y = -1,52 y = 0,0302

d) Kita tulis dulu -4,6315 = -4,6315 + 5 -5 = 0,3685 -5 mantisa 3685 diperoleh 2,336 karena karakteristiknya -5 didapat dari 10-5 (10-5 < y < 10-4) maka y = 2,336 10-5 = 0,00002336 Jadi, log y = -4,6315 y = 0,00002336

Latihan Kompetensi 8 1. Dengan menggunakan tabel logaritma. Carilah nilai logaritma-logaritma

berikut. a) log 3 g) log 3,61 b) log 6 h) log 1,68 c) log 9 i) log 6,21 d) log 2,3 j) log 2,926 e) log 4,5 k) log 8,532 f) log 9,3 l) log 6,071

Page 33: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 33

2. Dengan memekai tabel logaritma, carila nilai a pada setiap persamaan di bawah ini. a) log a = 0,316 d) log a = 0,94 b) log a = 0,415 e) log a = 0,8791 c) log a = 0,49 f) log a = 0,9298

3. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah loagritma-logaritma berikut a) log 12,3 g) log 83.260 b) log 16,6 h) log 137.500 c) log 32,5 i) log 854.400 d) log 147,5 j) log 6.819.000 e) log 252,6 k) log 47.800.000 f) log 3.051 h) log 841.000.000

4. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah logaritma-logaritma berikut ini. a) 0,15 g) 0,058 b) 0,18 h) 0,0642 c) 0,2 i) 0,006 d) 0,25 j) 0,00063 e) 0,268 k) 0,000632 f) 0,05 l) 0,0000841

5. Diketahui log 3,02 = 0,48, carilah logaritma-logaritma berikut. a) 3 2023,log g) log 302.000 b) log (3,02)4 h) log 0,302 c) log 30,2 i) log 0,0320 d) log 302 j) log 0,00320 e) log 3.020 k) log 0,000320 f) log 30.200 l) log 0,0000320

6. Carilah bilangan yang nilai logaritma-logaritmanya sebagai berikut. a) 0,2 g) 4,235 b) 0,43 h) 0,416 - 1 c) 1,632 i) 0,531 - 2 d) 2,42 j) 0,624 - 4 e) 2,56 k) -4,325 f) 3,841 l) -2,931

4. Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan

Sekarang kita akan membicarakan penggunaan logaritma untuk memepermudah perhitungan yang melibatkan bilangan besar yang memerlukan operasi aljbar yang rumit seperti ketika menghitung

mengalikan dan membagi bilangan menghitung pemangkatan dan pebarikan akar suatu bilangan

sehingga untuk keperluan di atas, kita kadang menggunakan kalkulator untuk memecahkannya. Kali ini, kita tidak menggunakan alat hitung kalkulator, tapi dengan memanfaatkan sifat-sifat logaritma dan tabel logaritma yang sudah kita bahas sebelumnya.

Page 34: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 34

Mengalikan dan Membagi Bilangan. Ingat kembali sifat logaritma:

log (a b) = log a + log b

blogalogbalog

Contoh 23: Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:

a) 4,321 6,571 c) 635

827564,

,,

b) 64522143,, d)

34224580065,.

Penyelesaian a) Misalkan y = 4,321 6,517

log y = log (4,321 6,517) log y = log 4,321 + log 6,51 log y = 0,6356 + 0,8140 log y = 1,4496 log y = 1 + 0,4496 log y = log 101 + log 2,816; antilog 0,4496 = 2,816 log y = log (10 2,816) log y = log 28,16

y = 28,61 Jadi, 4,321 6,571 = 28,16

b) Misalkan y = 64522143,,

log y = log 64522143,,

log y = log 3,214 – log 2,645 log y = 0,5070 – 0,4224 log y = 0,0846 log y = log 1,215; antilog 0,0846 = 1,215

y = 1,215

Jadi, 64522143,, = 1,215

c) Misalkan y = 635

827564,

,,

log y = log 635

827564,

,,

log y = log 4,56 + log 7,82 – log 5,63 log y = ( 0,659 + 0,8932 ) – 0,7505 log y = 1,5522 – 0,7505 log y = 0.8017 log y = log 6,334 ; antilog 0,8017 = 6,334

y = 6,334

Jadi, 635

827564,

,, = 6,334

Page 35: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 35

d) Misalkan y = 342245

80065,.

log y = log

34224580065

,.

log y = log 65,800 – ( log 5,24 + log 342 ) log y = 4,8182 – ( 0,7193 + 2,5340 ) log y = 4,8182 – 3,2533 log y = 1,5649 log y = 1 + 0,5649 log y = log 10 + log 3,672 ; antilog 0,5649 = 3,672 log y = log (10 3,672) log y = log 36,72

y = 36,72

Jadi, 34224,5

800.65

= 36,72

Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan

Gunakan sifat log an = n log a, sehingga operasi dapat disederhanakan menjadi benuk perkalian antara pemangkatan dan logaritmanya. Unruk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini:

Contoh 24: Dengan menggunakan logaritma, hitunglah:

a) (0,043)4 c) 3 642

b) (2,86)3 (0,436)4 d) 64,3

345,03,84

Penyelesaian a) Misalkan x = (0,043)4

log x = log (0,043)4 log x = 4 log 0,043 log x = 4 ( log 4,3 + log 10-2 ) log x = 4 (0,6335 – 2) log x = 4 ( -1,3665 ) log x = – 5,466 log x = 0,534 – 6 log x = log 3,4198 + log 10-6

log x = log (3,4198 10-6 ) log x = log ( 0,0000034198 )

x = 0,0000034198 Jadi, (0,043)4 = 0,0000034198 = 3,4198 10-6

b) Misalkan x = (2,86)3 (0,436)4

log x = log [(2,86)3 (0,436)4] log x = log (2,86)3 + log (0,436)4 log x = 3 log (2,86) + 4 log (0,436) log x = 3 ( 0,4564 ) + 4 ( -0,3605 ) log x = 1,3692 – 1,442 log x = –0,0728 log x = 0,9272 – 1 log x = log 8,4657 + log 10-1 log x = log ( 8,4657 10-1 )

Page 36: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 36

log x = log ( 0,84657 ) x = 0,84657

Jadi, x = (2,86)3 (0,436)4 = 0,84657 c) Misalkan x = 3 642

log x = log 3 642

log x = log 3

1642

log x =

31 log 642

log x =

31 ( 2,8075 ) = 0,9358

log x = log 8,626 x = 8,626

Jadi, 3 642 = 8,626

d) Misalkan x = 64,3

345,03,84

log x = log 64,3

345,03,84

log x = log

21

64,3345,03,84

log x = log x =

21 [ ( log 84,3 + log 0,345 ) – log 3,64 ]

log x = 21 [ 1,9258 + (0,5378 – 1) – 0,5611

log x = 0,4513 log x = log 2,827

x = 2,827

Jadi, 64,3

345,03,84 = 2,827

Latihan Kompetensi 9 1. Hitunglah !

a) 3,45 2,64 e) 8,37 4,21 l) 92,086,0

79,0

b) 8,73 11,38 f) 137 56,2 m) 5,36

73,652,4

c) 5,98 1846 h) 2.400 54,72 n) 85,0

078,0145,0

d) 0,158 0,672 i) 0,58 3,92 0) 629385

42821058,4

e) 48,6 0,738 j) 4,57 0,342 p) 28,054,62

065,0148246,6

f) 0,056 0,0625 k) 0,0041 0,0648 q) 39656,4548,0

0025,084,26

Page 37: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 37

2. Hitunglah tiap perpangkatan dan bentuk akar di bawah ini! a) (4,72)3 g) 67,5 b) (51,6)3 h) 3 960.8 c) (1,004)4 i) 6842,0

d) 4,86 (0,65)3 j) 53,6

0352,0

e) 6,14

)64,0(8,61 2 k) 73,032,0042,0521,0

f) 2

81,264,782,5

l) 56,424664,123,57

3. Hitunglah!

a) (3,93)3 3 762,0 c) 648

43725,4 3

b) (0,214)3 0671 3 34,5 d) 3

33

782,030526264,0

4. Hitunglah luas dari: a) Lingkaran dengan jari-jari 6,54 ( = 3,14) b) Persegi dengan panjang sisi 5,82 cm

5. Volume sebuah tabung ditentukan dengan rumus v = r2t ( = 3,1; r = jari-jari bidang alas, dan t = tinggi tabung) a) Hitunglah V, jika r = 12,36 dan r = 6,85 b) Hitunglah t, jika V = 86 dan r = 3,42 c) Hitunglah r, jika V = 74 dan t = 2,86.

D. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana

Persamaan pangkat dan bentuk akar dengan bilangan pokok yang sama selalu memiliki penyelesaian.

Untuk a R dan a ≠ 0, berlaku )x(g)x(f aa jika dan hanya jika f(x) = g(x)

Jika pada persamaan eksponen bilangan pokoknya berbeda maka langkah pertama dalam menyelesaikannya adalah menyamakan bilangan pokok tersebut.

Contoh 25 : 1. Diketahui : 168

2x , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian :

32x4x622162 4x62x3

2. Diketahui : 4 5x3x 84 , tentukan nilai x yang memenuhi Penyelesaian :

59x5x324x8

415x36x22222 4

15x36x24

5x33x2

Page 38: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 38

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 31x24x Penyelesaian:

)memenuhi tidak(60x atau 0x

060xx0x60x

36x12x36x72

36x12x1x236

6x1x26

1x261x294x

1x234x

21

2

2

2

Latihan Kompetensi 10 Tentukan nilai x dari persamaan berikut.

1. 3 x2

1x2

8

1632 6. x2

3 2x

3218

2. 8119273 3 7. y2x1y2x 255

3. 3 x59x

x21x2 5168252 8. 3

2

2x

x3

391

33

2431

4. 1x4

1x

319

9. 8

1

1x2 81327

5. 3 1x31x

241

10. x

3 3a

aa

a

E. Persamaan Logaritma Sederhana

Persamaan logaritma yang kita bahas dibatasi pada bentuk

)x(glog)x(flog aa maka f(x) = g(x)

dengan a > 0 dan a ≠ , f(x) dan g(x) > 0 Contoh 26 : 1. Diketahui : 32xlogxlog 22 , tentukan nilai x yang memenuhi

Penyelesaian:

memenuhitidak 4x atau 2x04x2x08x2x8x2x

8logx2xlog2log2xxlog

2122

222322

Page 39: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 39

2. Tentukan nilai x jika diketahui 2log9log

21

100 10x

Penyelesaian:

245

49 x 10x

10 x 10x

100 x 10x

100 x 10x

23log2

23log

2log3log

Latihan Kompetensi 11 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 34log2xlog 2x2 2. Tenatukan nilai x yang memenuhi persamaan 1xlog10logxloglog 22222

3. Tentukan nilai x yang memenuhi

18x6log

2xlog3x2log

4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 010x3xlog2x3log 2xx adalah

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 01 4log.312log xx x

6. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 4943 1xlog3x4log 223 ,

hitunglah a + b 7. Diketahui akar-akar persamaan 4log3xlogxlog 2 adalah x1 dan x2,

hitunglah x1x2

Page 40: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 40

Page 41: LOGARITMA - · PDF fileBilangan berpangkat yang akan dibahas di sini adalah pangkat bulat dan pangkat ... Perkalian berulang suatu bilangan real dapat ... Kerjakan soal berikut ini

Amarhadi

Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma Page | 41