logiica simbolica

5/11/2018 logiica simbolica - slidepdf.com

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-1 ¿Qué es la lógica simbólica?

Todos estamos familiarizados con la lógica y con la ideade que algunas personas poseen una "mentalidad lógica"

mientras que otras no. ¿Cómo podemos entonces llegara ser lógicos? No siempre resulta sencillo seguirrazonamientos o argumentos extensos para obtenerconclusiones válidas. El propósito de la lógica simbólicaconsiste en establecer un lenguaje simbólico artificial quese pueda utilizar para simplificar los argumentos lógicoscomplicados El gran matemático alemán Gottfried Leibniz(1646-1716) fue el primero en concebir esteplanteamiento cuando a la edad de 14 años intentó

reformar la lógica clásica. Leibniz llamó a la lógicasimbólicacaracterística universal y escribió en 1666 quedeseaba crear

un método general en el cual todas las verdades de larazón serían reducidas a una especie de cálculos Almismo tiempo, esto constituiría un tipo de lenguaje oescritura universal, pero infinitamente distinto de todoslos proyectados hasta ahora, ya que los símbolos, eincluso las palabras contenidas en él, dirigirían la razón;y los errores, excepto los de facto, serían merasequivocaciones en los cálculos. Sería muy difícil formar oinventar este lenguaje o característica, pero muy fácil deentenderlo sin necesidad de diccionarios.

Este sueño no se realizó hasta que el matemático inglésGeorge Boole (1815-1864) separó los símbolos de lasoperaciones matemáticas de los conceptos sobre loscuales operaban y estableció un sistema factible ysencillo de lógica simbólica. En 1859, Boole expuso susideas en su obra An invest¿gat¡on of the Laws of Thought (Investigación de las leyes del pensamiento).Desgraciadamente, este trabajo no recibió buenaaceptación. y no fue hasta que Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North White-head (186l-1947)utilizaron la



lógica simbólica en su obra Principia Matemática que elmundo de la matemática dio importancia a las ideaspropuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250años antes.

En este libro se tratará de responder a la pregunta,''¿Cómo podemos llegar a ser más lógicos?''. Se pretendeaplicar la lógica no solamente en el trabajo formalordinario sino también en la vida diaria. Es necesariopoder comunicarse de manera inteligente con los demás;se requiere adquirir capacidad para analizar losargumentos de nuestros legisladores y dirigentes;necesitamos ser consumidores inteligentes para analizar

las afirmaciones de los anunciantes. Bien sea que nosagrade o no, la lógica es una parte importante delmundo que nos rodea, y en este libro sentaremos lasbases que nos ayudarán a ser más "lógicos".

PROPOSICIÓN Una proposición es una oración que esverdadera o falsa, pero no verdadera y falsa a la vez.

Si la oración es una pregunta o una orden, o si esdemasiado imprecisa (o carece de sentido), entonces nose puede clasificar como verdadera o falsa, así que no sellamaría proposición.

EJEMPLO 1

1. Neil Armstrong caminó sobre la luna.2. 3 + 2 7.

3. El Pato Donald es presidente.Todas estas oraciones son proposiciones, ya que sonverdaderas o falsas. Por otro lado, consideremos lasexpresiones

4. ¡Márchate!



5. 3 + x = 7.6. ¿Qué estás haciendo?

Estas no son proposiciones en virtud de la definición

dada, ya que no se pueden clasificar satisfactoriamentecomo verdaderas o falsas.

Pueden surgir dificultades al simplificar argumentosdebido a su extensión, a la imprecisión de las palabrasque se utilizan, al estilo literario, o al posible impactoemocional de las palabras de que constan. Consideremoslos dos argumentos siguientes.

1.-Si George Washintong fue asesinado, está muerto.

Por lo tanto,si está muerto, fue asesinado.

2.- Si consumes heroína, primeramente consumistemarihuana.

Por lo tanto, si primero consumiste marihuana,consumes heroína.

Lógicamente, estos dos argumentos son exactamenteiguales, y ambos son formas no válidas de razonamiento.Casi todo mundo admitiría que el primer argumento esabsurdo, pero muchos aceptan el segundo argumentodebido al aspecto emocional de las palabras empleadasen él.

Para evitar estas dificultades y ayudar a la simplificaciónde los argumentos lógicos complicados, puedeestablecerse el lenguaje simbólico artificial a que nosreferimos anteriormente. El lenguaje que se inventa aquí es necesariamente más simple que cualquier lenguajenatural; es una especie de taquigrafía notacional. Sedenotan las proposiciones simples con literales, talescomo p, q, r, s,..., y luego se definen ciertos conectivos.



Nuestra meta, en la medida en que sea posible, consisteen

1. traducir las proposiciones del lenguaje ordinario

a la forma simbólica 2. simplificar la forma simbólica.

3. traducir la forma simplificada de nuevo aproposiciones del lenguaje ordinario.

Para los fines de este libro, se supondrá que latraducción en un sentido y en otro entre el lenguajeordinario y el simbólico se puede efectuar de manera

sencilla. En realidad, no siempre sucede así,desafortunadamente. El lenguaje ordinario puede tenerrelaciones sutiles que sobrepasan el significado exacto delas palabras de una oración simple. Se deben tenerpresentes las interpretaciones que se dan a los símbolosde un problema particular. Al traducir, debemospreguntarnos qué significa la oración en el lenguajenatural, y luego se debe tratar de encontrar unaproposición en lenguaje simbólico que tenga, hasta

donde sea posible, el mismo significado.

Se puede evitar el problema de la extensiónconsiderando solamente proposiciones simples unidaspor ciertos conectivos bien definidos, talescomo no, y, o, ni... ni, si... entonces, a menos que,debido a que, y así sucesivamente.

Una proposición compuesta se forma combinando

proposiciones simples con operadores, o conectivos. Dela definición básica de proposición, vemos que el valor deverdad de cualquier proposición puede ser o verdadero(T) o falso (F).

VALOR DE El valor de verdad de una proposiciónsimple puede ser verdadero (T) o bien falso (F).



1.3 Conjunción

Si p y q representan dos proposiciones simples, entoncesla proposición compuesta "p y q" utiliza el operadorllamado conjunción. La palabra y se simboliza con .

Por ejemplo, la proposiciónTengo una moneda de l000 pesos en mi bolsillo y tengouna moneda de5000 pesos en mi bolsillo.

es una proposición compuesta. ¿Cuándo será verdaderaesta proposición? Existen cuatro posibilidades concretas:

1. Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo.Tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

2. Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo. Notengo una moneda de 5000pesos en mi bolsillo.

3. No tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo.Tengo una moneda de 5000pesos en mi bolsillo.

4. No tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo.No tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

Representemos con p y q las proposiciones simples, demanera que:

p: Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo.

q: Tengo una moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.



Estas cuatro posibilidades se pueden resumir comosigue:

p q

T T

T F

F T

F F

Vemos que la única ocasión en que la proposiciónoriginal.

Tengo una moneda de 1000 pesos en mi bolsillo, y tengouna moneda de 5000 pesos en mi bolsillo.

resulta verdadera es cuando p y q son ambasverdaderas; de lo contrario, resulta falsa Así quedefinimos q según la Tabla 1.

Tabla 1 DEFINICIÓN

DE

CONJUNCIÓN

p q p q

T T T

T F F

F T F

F F F

Es importante notar que no se requiere que las

proposiciones p y q estén relacionadas. Por ejemplo,Los peces nadan y Neil Armstrong caminó sobre laluna es una proposición compuesta verdadera.

1.4 Disyunción



El operador o, denotado por V, se llama disyunción. Elsignificado de esta palabra es ambiguo cuando se lautiliza en el lenguaje cotidiano, como puede verseconsiderando los ejemplos siguientes. Sean

p: Juan tiene una moneda de 1000 pesos en su bolsillo.

q: Juan tiene una moneda de 5000 pesos en su bolsillo.

r: Juan está en Rusia.

s: Juan está en España.

Ahora Juan formula las dos proposiciones:

I. Tengo una moneda de 1000 pesos o una de 5000 enmi bolsillo.

II. Estoy en Rusia o en España.

Consideraremos la intención de estas proposiciones.

En la proposición I, Juan parece afirmar que por lomenos una de las proposiciones es verdadera, pero

quizás ambas sean verdaderas. Por otro lado, laintención de la proposición II es que una y sólo una delas proposiciones es verdadera. Juan no tendría laintención de decir que se encuentra a la vez en Rusia yen España.

La proposición 1 ilustra uno de los usos delconectivo o que se llama o incluyente y se denota por V.Si p y q son dos proposiciones, a p V q se le

llama disyunción; y para determinar su veracidad ofalsedad, debe considerarse la veracidad o falsedadde p y q. Por lo tanto, consideremos de nuevo las cuatroposibilidades para determinar si Juan dijo la verdad ensu afirmación



Tengo una moneda de 1000 pesos o una de 5000 en mi bolsillo

Caso 1 (" es T; q es T): Juan tiene una moneda de 1000

pesos en su bolsillo.Juan tiene una moneda de 5000 pesos en su bolsillo.

En estas condiciones no diríamos que Juan es mentiroso,así que decimos que la proposición compuesta tambiénes verdadera.

Caso 2 ("es T; q es F): Juan tiene una moneda de 1000pesos en su bolsillo.

Juan no tiene una moneda de 5000 pesos en su bolsillo.

Caso 3 ("es F; q es T): Juan no tiene una moneda de1000 pesos en su bolsillo.

Juan tiene una moneda de 5000 pesos en su bolsillo.

En los casos 2 y 3 no diríamos que Juan está mintiendo,así que se expresa que la proposición compuestatambién es verdadera.

Caso 4 ("es F; q es F): Juan no tiene una moneda de1000 pesos en su bolsillo.

Juan no tiene una moneda de 5000 pesos en su bolsillo.

En este caso diríamos que Juan ha mentido y decimosque su afirmación es falsa.

Así que definimos p V q según la tabla 2.

Definición de disyunción



Una disyunción es falsa sólo si ambas de susproposiciones componentes son falsas.

La proposición II ilustra uno de los usos delconectivo o que se llama o excluyente.

Consideremos ahora si Juan dice la verdad al formular laaserción

Estoy en Rusia o en España.

Obviamente no es posible que Juan se encuentre en

ambos lugares al mismo tiempo. Si Juan está en Rusia,entonces no puede estar en España; si está en España,no puede estar en Rusia. Por lo tanto la intención de laproposición II es

Estoy o en Rusia o en España.

y la proposición es verdadera si una y sólo una de lascomponentes separadas es verdadera. La tabla de

verdad en este caso es la siguiente:r s r o s

T T F

T T T

F F T

F F F

En este libro utilizaremos la disyunción indicada con la oincluyente. Si la intención de la proposición requiere la oexcluyente, se enunciará la proposición empleando elconectivo o…o. Recuérdese: la oincluyentesignifica cualquiera de las dos o ambas,



mientras que la o excluyente significa cualquiera de lasdos pero no ambas.

1.5 Negación

La negativa de cualquier proposición p sellama negación y se simboliza mediante ~p. La Tabla 3proporciona una definición clara de la negación.

Tabla 3

DEFINICIÓN

DE

LA NEGACIÓN

p ~p

T F

F T

EJEMPLO 2 Si t : Octavio está diciendo la verdad,entonces

~ t: Octavio no está diciendo la verdad.

También se puede traducir ~ t como "no ocurre queOctavio está diciendo la verdad", o bien, "no es ciertoque Octavio está diciendo la verdad".

Cualquier proposición puede ser negada, pero serequiere tener cuidado con la manera en que se forme lanegación de una proposición compuesta. La negación de

Tengo una moneda de 1000 pesos y una de 5000 en mi bolsillo.



se simboliza mediante ( p q) y se traduce como

No es cierto que tengo una moneda de 1000 pesos y unade 5000 en mi bolsillo.

La negación no se forma denegando cada una de lasproposiciones simples. Al negar una proposición, no sedebe alterar dicha proposición. Por ejemplo, sean

b: El carro de Juan es azul.

c: El carro de Juan es rojo.

La proposición c no es la negación de la

proposición b, aunque no pueda ser que ambas seanverdaderas. La negación de b es

~ b: El carro de Juan no es azul.

y la negación de c es la proposición

~ c: El carro de Juan no es rojo.

Se debe tener cuidado al negar proposiciones que

contienen las palabras todos, ninguno, o algunos.

EJEMPLO 3 Escribir la negación de

Todos los estudiantes tienen lápices.

Solución Veamos si son respuestas correctas lasproposiciones "Ningún estudiante tiene lápices", o bien"Todos los estudiantes carecen de lápices". Recuérdese

que si una proposición es falsa, entonces su negacióndebe ser verdadera. La negación correcta es

No todos los estudiantes tienen lápices.

o bien



Por lo menos un estudiante no tiene lápiz.

o bien

Algunos estudiantes no tienen lápices.

En matemáticas, la palabra algunos se emplea en elsentido de "por lo menos unos". La Tabla 4 proporcionaalgunas de las negaciones comunes.

1.6 Traducción y combinación de conectivos El trabajar con los argumentos lógicos requiere la aptitudde traducirlos del lenguaje ordinario al simbólico y delsimbólico de nuevo al lenguaje ordinario. Por ejemplo, laproposición

Bertha y Claudia son atractivas.

se puede traducir como sigue. Sean

b: Bertha es atractiva.

c: Claudia es atractiva.

Entonces tenemos que



b c Bertha es atractiva y Claudia es atractiva. así que b c es la proposición simbólica.

EJEMPLO 5 Traducir la proposición compuesta

O Bertha es atractiva o Claudia es atractiva.

a la forma simbólica.

Solución Vemos que el conectivo o... o se traduce comola o excluyente. La oración se puede reescribir como

Bertha es atractiva o Claudia es atractiva, pero noambas.

La proposición se traduce en la forma

(b V c) [~(b c)].

Obsérvese que en este ejemplo se emplean losparéntesis exactamente como en álgebra: para indicar elorden de las operaciones. Porconsiguiente, (b c) significa la negación de laproposición b y c.

No solamente se requiere traducir del lenguaje ordinarioa los símbolos lógicos, sino que también de los símboloslógicos al lenguaje ordinario.

EJEMPLO 6 Supongamos que:

p: Como espinacas.

q: Estoy fuerte.Se desea traducir las siguientes proposiciones allenguaje ordinario:

a. p q d. p v q.



b. ~ p e.(~q)

c.~ (p V p) f . p q

Solución Traducciones serían las siguientes:

a. Como espinacas y estoy fuerte.

b. No como espinacas.

c. No es cierto que como espinacas o que estoy fuerte.

d. No como espinacas, o estoy fuerte.

e. No es cierto que no estoy fuerte [lo que significa,desde luego, que estoy fuerte].

f. Como espinacas y no estoy fuerte.

TABLA DE

VERDAD

CORRESPONDIENTE

p q p q p V q ~ p ~q

T T T T F F

T F F T F T



A LOS

CONECTIVOS

FUNDAMENTALES

F T F T T F

F F F F T T

EJEMPLO 1 Construir la tabla de verdad de laproposición compuesta:

Alfredo no vino anoche y no recogió su dinero.

Solución Sea p: Alfredo vino anoche.

q: Alfredo recogió su dinero.

Entonces la proposición se puede escribir (~ p) (~ q).Para empezar, se enumeran todas las combinacionesposibles de valores de verdad de las proposicionessimples p y q.

p q

T T

T F F T

F F

Luego se incluyen los valores de verdad de ~ p y ~ q.

p q ~

p

~

q T T F F

T F F T

F T T F

F F T T



Por último, se anotan los valores de verdad de(~ p) (~ q). Para realizar esto, se marca una columna"(~ p) (~ q)" en la parte superior, y luego secomparan las columnas ~ p y ~ q según la definición de

conjunción para encontrar los valores de verdad de(~ p) (~ q), como se indica mediante las flechas:

Conjunción p q ~ p ~ q ( ~ p) ( ~ q) T T F F FT F F T F

F T T F FF F T T T

Comparar estos valores con la definición

de conjunción para obtener los valores de

que consta la última columna.

EJEMPLO 2 Construir la tabla de verdad de ~ ( ~ p )Solución Empezamos con p:

P TF

En seguida se anotan los valores de p de acuerdo con la

definición de la negación:

p ~p

T F



F T

Por último, se anotan los valores de ~ ( ~ p). Las flechasmuestran cómo se obtienen los elementos de esta

columna.

negación

p ~p

~ (~ p)

T F T

F T F

t t~(T;P)

Examínese esta columna. Úsese la definición

de negación para todos los valores de verdad

de dicha columna.

Nótese que ~ ( ~ p) y p tienen los mismos valores deverdad. Si dos proposiciones tienen los mismos valoresde verdad, una puede reemplazar a la otra en cualquierexpresión lógica. Esto significa que la doble negación deuna proposición es igual a la proposición original



LEY DE LA DOBLE

NEGACIÓN

~ ( ~ p) se puede reemplazar por p en cualquierexpresión lógica.

EJEMPLO 3 Construir una tabla de verdad paradeterminar cuándo es verdadera la siguiente

proposición:

~ (p q) [(p V q) q]

Solución Se empieza como antes y se hace un recorridode izquierda a derecha, fijando la atención solamente endos columnas a la vez (véase en la Tabla 5 cómo obtenerlos valores correctos).

Paso 1. Primeramente se tienen en cuenta los paréntesis.Se examinan las columnas A y B que se indican acontinuación, junto con la definición de conjunción, paraanotar los valores de la columna C.

Paso 2. Se utiliza la columna C y la definición denegación para anotar los valores de la columna D.



Paso 3. Se utilizan las columnas A y B y la definición dedisyunción para anotar los valores de la columna E.

Paso 4. Se emplean las columnas E y B y la definición de

conjunción para anotar los valores de la columna F.Paso 5. Se utilizan las columnas D y F, que son laspartes izquierda y derecha de la operación final, y [adefinición de conjunción para obtener los valores de lacolumna G

A B C D E F G

p q p q ~(p q) p q ( p V

q) q

~ p q) [ ~

p V q ) q ] T T T F T T FT F F T T F FF T T T T T TF F F F F F F

LA CONDICIONAL

3.1 Si – Entonces

La proposición "si p, entonces q" se llama condicional. Sesimboliza por medio de p q; p se llama hipótesis oantecedente, y q se denomina conclusión o consecuente.La situación de la condicional es semejante a la que seencontró en el caso de la palabra o. Esto es, en ellenguaje común utilizamos el conectivo si-entonces en

varias formas. Considérese el ejemplo siguiente queilustra los diferentes sentidos de la condicional.

1. Se puede utilizar si-entonces para indicar unarelación lógica, es decir, una en la que el consecuente sededuce lógicamente del antecedente:



Si ~(~ p) tiene el mismo valor de verdad que p,entonces p puede reemplazar a ~ (~ p)

2. Se puede emplear si-entonces para indicar una

relación de causa:Si Juan deja caer esa piedra, entonces me golpeará el

pie.

3. Se puede usar si-entonces para comunicar unadecisión de parte de la persona que habla:

Si Juan me lanza esa piedra, entonces lo golpearé.

4. Se puede utilizar si-entonces cuando el consecuentese deduce del antecedente por la propia definición de laspalabras empleadas:

Si Juan conduce un Oldsmobile, entonces Juan guía unautomóvil.

5. Por último, se puede emplear si-entonces paraefectuar una implicación material A veces la condicional

se usa cuando no hay una relación lógica; de causa o dedefinición, entre el antecedente y el consecuente. Amenudo se utiliza en forma humorística o enfática:

Si Juan obtuvo la máxima nota en ese examen, entoncesyo soy tío de un mono.

El consecuente es obviamente falso y la persona quehabla desea poner énfasis en que el antecedentetambién es falso.

Nuestra tarea consiste en tratar de idear una definiciónde la condicional que se aplique en todos estos tipos deproposiciones de la forma si-entonces. Plantearemos elproblema preguntando en qué circunstancias unacondicional dada sería falsa. Consideremos otro ejemplo.



Supongamos que una persona le hace una promesa aotra. "Si gano el concurso, entonces te daré 10 000pesos." Si cumple su promesa, decimos que laproposición es verdadera; si la incumple, decimos que es

falsa. Sean p: Gana el concurso.

q: Te dará 10 000 pesos.

La promesa se simboliza con p q. Hay cuatroposibilidades:

p q

Caso 1 T T Gana el concurso; dará 10 000 pesos.

Caso 2: T F Gana concurso; no dará 10 000 pesos.

Caso 3: F T No gana el concurso; dará 10 000 pesos.

Caso 4: F F No gana el concurso; no dará 10 000 pesos

¿Cuándo se habrá quebrantado la promesa?

La única ocasión en que se puede decir que ello haocurrido es en el caso 2. La prueba de una condicionalconsiste en determinar cuándo es falsa. En símbolos,

p q es falsa siempre que p ( ~ q) seaverdadera. Esto proviene del caso 2.

O bien

p q es verdadera siempre que p (q) sea falsa

Esto equivale a decir que

p q es verdadera siempre que ~ [ p ( ~ q)] esverdadera.



Construyamos una tabla de verdad para ~ [ p (~ q)].

p q ~ q ~ p (~ q) [ p ( ~ p)]

T T F F T

T F T T F

F T F F T

F F T F T

Usamos esta tabla de verdad para definir lacondicional q, como se muestra en la Tabla 7.

Tabla 7

DEFINICIÓN

DE LA CONDICIONAL

p q p q

T T T

T F F

F T T

F F T

Los ejemplos siguientes ilustran la definición de lacondicional dada en la Tabla 7.

EJEMPLO 1 Caso 1: T T

Si 7 < 14, entonces 7 + 2 < 14 + 2.

Esta es una proposición verdadera, ya que ambascomponentes son también verdaderas.

EJEMPLO 2 Caso 2: T F

Si 7 + 5 = 12, entonces 7 + 10 = 15.



Esta es una proposición falsa, puesto que el antecedentees verdadero pero el consecuente es falso.

EJEMPLO 3 Caso 3: F T

Si tú tienes seis piernas, entonces George Washintongfue presidente

Verdadera, ya que el consecuente es verdadero (y si elconsecuente es verdadero, la implicación completa esverdadera, sea o no verdadero el antecedente).

El ejemplo 3 muestra que la condicional, enmatemáticas, no implica ninguna relación causa – efecto.

Dos proposiciones cualesquiera se pueden unir por mediodel conectivo condicional, y el resultado debe ser T o F.

EJEMPLO 4 Caso 4: F F

Si 16 = 8, entonces 8 = 4.

Esta es una proposición verdadera, ya que ambascomponentes son falsas.

No es necesario enunciar primero la parte si de unaimplicación. Todas las proposiciones siguientes tienenel mismo significado:

1. Si gana el concurso, entonces dará 10 000 pesos.2. Que gane el concurso implica que dará 10 000

pesos.3. Dará 10 000 pesos si gana el concurso.4. Gana el concurso sólo si dará 10 000 pesos.5. Para que dé 10 000 pesos, es suficiente que gane el

concurso.6. Que gane el concurso hace necesario que dé. 10

000 pesos.7. Dará 10 000 pesos con la condición de que gane el

concurso



8. Dará 10 000 pesos cuando gane el concurso.9. Daré 10 000 pesos siempre que gane el concurso.

Podemos ahora formular estas nueve proposiciones

equivalentes en forma simbólica como sigue:1. si p, entonces q

p q

q si p

p sólo si q

p es suficiente para q q es necesario para p

q con la condición de que p

q cuando p

q siempre que p

Algunas proposiciones que no estén escritasoriginalmente como condicionales, se pueden expresaren la forma si-entonces. Por ejemplo, "Todos los patosson aves" se puede reexpresar como "Si es un pato,entonces es un ave". Así que agregamos una formaadicional a la lista:

10. todos los p son a Traducción: Todos los patos sonaves.

EJEMPLO 5 Traducir la siguiente oración, tomada deuna forma fiscal, al lenguaje simbólico.



Si no especifica deducciones en la lista A y tienedonativos deducibles, entonces complete la hoja detrabajo de la página 14y declare la partida autorizada enel renglón 34b.

Solución Paso 1. Se separan las proposiciones simples yse les asignan variables. Sean

d: Especifica deducciones en la lista A.

c: Tiene donativos deducibles.

w: Completa la hoja de trabajo de la página 14.

b: Declara la partida autorizada en el renglón 34b.Paso 2. Se rescribe la oración, efectuando sustitucionescon las variables.

Si ~ d c, entonces (w b)

Paso 3. Se completa la traducción al lenguaje simbólico.

~ (d c ) (w b)

La proposición si-entonces puede tener variossignificados, pero la tiene solamente uno, el que sedefinió en la Tabla 7. Lo que la proposición p psignifica es ~ [p ( ~ q )]. No obstante, en la prácticaempleamos p para representar proposiciones dellenguaje ordinario de la forma si-entonces o deimplicación. ¿Cómo se puede justificar lo anterior? Comohemos visto, parte de la dificultad de traducir del

lenguaje ordinario al simbólico radica en eliminar laambigüedad del lenguaje ordinario. Sin embargo,se preserva la validez de todos los argumentos válidosdel tipo si entonces empleados en este libro, incluso si seignoran los significados adicionales de la condicional.Posteriormente analizaremos este punto con más detalle,



cuando se consideren los conceptos de validez yargumentos válidos. Por ahora traduciremos todas lasdiversas formas si entonces de acuerdo con laproposición p q definida en la Tabla 7.

3.2 Recíproca, inversa y contrarecíproca

Existen otras proposiciones relacionadas con laimplicación p q, las cuales se definen a continuación.

VARIACIONES DE LA CONDICIONAL Dada lacondicional p q, se definen:

1. La p

2. ~ q3. ~

p

EJEMPLO 6 Sean p: Este animal es un ave. Este animaltiene alas.

Dada p q, escribir su recíproca, su inversa y sucontrarrecíproca.

Solución PROPOSICIÓN: Si este animal es un ave,entonces tiene alas.

RECÍPROCA: Si este animal tiene alas, entonces es unave.

INVERSA: Si este animal no es un ave, entonces no tienealas.

CONTRARRECÍPROCA Si este animal no tiene alas,entonces no es un ave.

No es necesario que la proposición original sea de laforma p q, y el antecedente o el consecuente pueden sercualquier proposición. Cuando se escribe la recíproca, lainversa, o la contrarrecíproca, puede resultar una doble



negación. En este caso esta última se debe reemplazarpor la proposición original, utilizando la ley de la doblenegación.

EJEMPLO 7 Dada ~ w , escribir su recíproca, suinversa y su contrarrecíproca

Solución RECÍPROCA: ~ q p

INVERSA: ~ p q

CONTRARRECÍPROCA: (~ p)

EJEMPLO 8 Dada ~ p q, escribir su recíproca, su

inversa y su contrarrecíproca.Solución RECÍPROCA: ~ (~ p)

INVERSA: p q

CONTRARRECÍPROCA: p

No todas estas proposiciones son equivalentes ensignificado, como se puede ver considerando el Ejemplo

9.

EJEMPLO 9 Escribir la recíproca, la inversa y lacontrarrecíproca de la proposición: Si es un Oldsmobile,entonces es un automóvil.

Solución Sean p: Es un Oldsmobile.

q: Es un automóvil.

Entonces la proposición dada se escribe p q

RECÍPROCA: q p: Si es un automóvil, entonces es unOldsmobile.



INVERSA: ~ p (~ q): Si no es un Oldsmobile, entoncesno es un automóvil.

CONTRARRECÍPROCA: ~ (~ p): Si no es un

automóvil, entonces no es un Oldsmobile. Esta es unaproposición verdadera, siempre que la proposiciónoriginal sea verdadera

El Ejemplo 9 ilustra que la recíproca de una proposiciónverdadera no es necesariamente verdadera. Puede serlo,pero no es necesario que lo sea. Obsérvese en la Tabla 8que la contrarrecíproca y la proposición directa siempretienen el mismo valor de verdad, tal como sucede con larecíproca y la inversa. Por consiguiente una implicaciónpuede ser siempre reemplazada por su contrarrecíproca,sin afectar su veracidad o falsedad.

Tabla 8

p q ~ p

~q

Proposición

p q

Recíproca

q p

Inverssa

~ p (~ q)

Contrarecípr

~ q (~ p )

T T T T T T

T F F T T F

F T T F F T

F F T T T T



OPERADORES ADICIONALES

4.1. La Bicondicional

En el Cap. 3 se tuvo especial cuidado en señalar que unaproposición q y su recíproca q p no tienen los

mismos valores de verdad. Sin embargo, puede sucederque p q y también q p. En este caso se escribe

p q



y al conectivo se le llama bicondicional. Para determinarlos valores de verdad de la proposición bicondicional, sedebe construir la tabla de verdad de (p q) (q p).

p q p q q p ( p q) ( q p) T T T T TT F F T FF T T F FF F T T T

Esto lleva a definir la bicondicional de manera que seaverdadera sólo cuando ambas p y q sean verdaderas, ocuando ambas p y q sean falsas (esto es, siempre quetengan valores de verdad iguales). Lo anterior se ilustraen la Tabla 9.

Tabla 9

DEFINICIÓN DE LA BICONDICIONAL

p q p q

T T TT F FF T FF F T

En matemáticas, p q se traduce de varias maneras,todas las cuales tienen el mismo significado:

TRADUCCIONES DE LA BICONDICIONAL

1. p sí y sólo si q 2. q sí y sólo si p 3. Si p, entonces q, y recíprocamente



4. Si q, entonces p, y recíprocamente5. p es una condición necesaria y suficiente para q 6. p es una condición necesaria y suficiente para p

EJEMPLO 1 Reexpresar lo siguiente en una solaproposición

1. Si un polígono tiene tres lados, entonces es untriángulo.

2. Si un polígono es un triángulo, entonces tiene treslados.

Solución Un polígono es un triángulo sí y sólo si tienetres lados.

Existe otra forma de denotar la bicondicional. Si dosproposiciones tienen iguales valores de verdad, decimosque son equivalentes. Nótese que p q es verdaderasiempre que ambas p y q tengan valores de verdadiguales. De manera que agregamos a la lista otra formade escribir la bicondicional:

EQUIVALENCIA Si p y q tiene valores de verdad

iguales, se dice que p es equivalente a q y se escribep q.

EJEMPLO 2 Demostrar que p q es equivalente a ~ pV q.

Solución Para establecer la equivalencia, se debedemostrar que ( p q) ( ~ p V q) es siempreverdadera.

p q q ~ p

~ pV q

(p q) ( ~ pV q)

T T T F T TT F F F F TF T T T T T



F F T T T T

Puesto que el resultado muestra que todos los valoresobtenidos son T (verdaderos), se expresa que las dos

proposiciones son equivalentes.

TAUTOLOGÍAS

5.1 Definición Muchas proposiciones en lógica simbólica son siempreverdaderas. Por ejemplo, la proposición compuesta

p V (~ p )

es siempre verdadera, sin importar el valor de verdad dep. Las proposiciones que son siempre verdaderas sellaman tautologías.

TAUTOLOGÍA Una tautología es una proposición quees verdadera en todos los casos de su tabla de verdad.

Para probar que una proposición dada es una tautologíase construye su tabla de verdad y se verifica que laúltima columna (que representa a la proposición dada)consta solamente de valores T o verdaderos. Si apareceaunque sea un valor F, no se trata de una tautología. Si

todos los valores de la última columna son F, laproposición dada se llama contradicción.

EJEMPLO 1 Demostrar que (p q) V [p (~ q)] esuna tautología.

Solución Se construye la tabla de verdad.



p q p q ~q

p ~q

(p q) V [p ( ~ q)]

T T T F F TT F F T T T

F T F F T TF F F T T T

De esta manera, la proposición es una tautología, ya quees verdadera en todos los

casos de su tabla de verdad.

EJEMPLO 2 Es (p V q) ( ~ q p) es una tautología ?


p q p V q

~q

~ p

(p V q) (~q p )

T T T F T TT F T T T TF T T F T T

F F F T F TAsí que sí es una tautología.

5.2 Implicación

Si una condicional es tautología, como en el Ejemplo 2,entonces se llama implicación y se simboliza por .Esto es, el Ejemplo 2 se puede escribir

(p V q) (~ q p)

El símbolo de implicación p q sepronuncia "p implica q". Una proposiciónbicondicional, p q que es también tautología sellama equivalencia lógica, se escribe p q y selee "p es lógicamente equivalente a q".



EJEMPLO 3 Demostrar que (p q) [ p (~ q)].


p q p q ~q p (~q)

~[ (~q) ]

( p q ) [~ p ( ~q)]

T T T F F T TT F F T T F TF T T F F T TF F T T F T T

Puesto que todas las posibilidades son verdaderas, esuna equivalencia lógica y se escribe

(p q) [ p (~ q)].

Nótese la diferencia entre los símbolos y , lo mismoque entre y ) y la bicondicional

) se usan como conectivos lógicos, y el valor deverdad para estos casos puede ser verdadero o falso. Si,

como consecuencia de las proposiciones que seconectan, las tablas de verdad proporcionan solamentevalores verdaderos, entonces se emplean lossímbolos y en vez de y , y se les llamaimp ),respectivamente.

5.7 Razonamiento directo, [ (p q ) p] q Este razonamiento se conoce también con el nombrede modus ponens, con el de ley deseparación, o razonamiento de suposición del antecedente. Dado que esta tautología a es un poco más



complicada, comenzaremos por considerar el ejemplosiguiente:

p q Si Álvaro obtiene la máxima calificación en el

examen final, entonces pasará el curso

p Álvaro obtiene la máxima calificación en el examenfinal

p Por lo tanto Álvaro pasa el curso.

Recuérdese de la geometría que:. es un antiguo símbolo

que se emplea para representar la frase por lo tanto. El argumento anterior consta de dos premisas, ohipótesis, y una conclusión. El argumento es válido si

[ (p q ) p] q

es una tautología. Por medio de la Tabla 12, se puedever que el argumento resulta válido.

Tabla 12

DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE RAZONAMIENTODIRECTO

p q p q (p q

) p [ (p q

) p] q T T T T TT F F F T

F T T F TF F T F T

El modelo del razonamiento directo es muy importante yse debe memorizar. Se ilustra como sigue.

RAZONAMIENTO DIRECTO Premisa mayor: p q



Premisa menor: p

Conclusión: ... p

EJEMPLO 6

Si Víctor juega ajedrez, entonces es inteligente.

Víctor juega ajedrez.

Por lo tanto, Víctor es inteligente.Si Judith es una persona lógica, entonces entenderá esteejemplo.

Judith es una persona lógica.

Por lo tanto, Judith entiende este ejemplo.

Decimos que estos argumentos son válidos, puesto quese identifican como ejemplos de razonamiento directo.

5.8 Razonamiento indirecto, [(p q) ( ~ q)] ( ~ p)

Este razonamiento también se llama modus tollenso razonamiento de negación del consecuente. El ejemploque sigue ilustra lo que llamamos razonamientoindirecto.

Si Álvaro obtiene la máxima calificación en el examen

q final, entonces pasa el curso.

~ q Álvaro no pasa el curso.



… ~ p Por lo tanto, Álvaro no obtiene la máximacalificación en el examen final.

Se puede razonar como sigue: ~ p debe ser verdadera,

ya que si fuera falsa, entonces p sería verdadera; perosip es verdadera, entonces q es verdadera; esto esimposible debido a la premisa menor. La forma simbólicadel argumento debe ser memorizada.

RAZONAMIENTO Premisa mayor: p q

INDIRECTO Premisa menor: ~ p

Conclusión: … ~ p

Se puede probar la tautología considerando la tabla deverdad (véase la Tabla 13).

Tabla 13

DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE RAZONAMIENTOINDIRECTO

p q p q (p q ) p

[ (p q ) p] q

T T T T TT F F F TF T T F TF F T F T

EJEMPLO 7

Si el gato atrapa al ratón, entonces el ratón toma elqueso.

El ratón no toma el queso.



Por lo tanto, el gato no atrapa al ratón.

Si Álvaro obtiene la máxima calificación en ese examen,entonces yo soy Napoleón.

Yo no soy Napoleón.

Por lo tanto, Álvaro no obtiene la máxima calificación enese examen.

LÓGICA SIMBÓLICA PARA TODOS

Juan Manuel Campos Benítez*

Son muchos los textos de lógica disponibles para losestudiantes, la mayoría de los cuales incluyen la lógicaproposicional y la lógica de predicados, especialmenteaquellos libros de texto escritos por lógicos dentro de latradición analítica. Baste mencionar los de Irving Copi,Benson Mates, Patrick Suppes, escritos en inglés; enespañol los textos de Garrido, Deaño, Ferrater Mora yManuel Sacristán entre otros. Libros un poco antiguosson los de Márquez Muro, Gutiérrez Sáenz, Elí de Gortariy otros, y que no pertenecen a la tradición analítica.Entre los primeros hay algunos que abordan, aunque sinahondar en el tema, alguno de los desarrollos de lasllamadas lógicas modales, y que incluyen lógica modal,

http://www.ldiogenes.buap.mx/revistas/3/a2la3ar3.htm#_ftn1





lógica epistémica, lógica temporal y lógica deóntica. Eninglés es posible encontrar algún texto que trate todasestas lógicas, pero en español no contábamos con unlibro que las abarcara.

Walter Redmond, quien ha enseñado lógica enPerú, México y Estados Unidos, ha escrito su Lógicasimbólica para todos, publicada el año 2000 por laUniversidad Veracruzana. Walter Redmond ha estudiadola lógica y la historia de la lógica, con especial atención ala lógica novohispana, aquella desarrollada en el Méxicoy Perú coloniales. Baste mencionar su La lógica en el virreinato del Perú (Lima, F.C.E., 1998) y varias obrasescritas en colaboración con Mauricio Beuchot publicadaspor la UNAM: La lógica mexicana en el Siglo de Oro, Lateoría de la argumentación en el Méxicocolonial , Pensamiento y realidad en Fray Alonso de laVeracruz , además de varios artículos sobre AntonioRubio y Alonso de la Veracruz en diferentes revistas(Crítica, Diánoia, Saber Novohispano, Vivarium, entreotras). Muchos de sus artículos en inglés, alemán,

español y latín usan la lógica y el simbolismo en suexposición y tratamiento de los temas estudiados; bastemencionar algunos títulos: “Lógica, deber, virtud”,

“Santo Tomás sobre la inexistencia de Dios. Una notalógico-metafísica”, “Lógica y utopía”, “Dios y modalidad”.

La lógica simbólica tiene un parecido con lasmatemáticas, no sólo en el uso de símbolos cuasimatemáticos sino también en la presentación de la lógica

a la manera de un cálculo y la formulación de reglas a lamanera de operaciones; estas reglas rigen el uso de lasconectivas, los cuantificadores y demás operadores. Elcálculo puede presentarse de manera axiomática, esdecir, partiendo de un número finito de axiomas oesquemas de axiomas, reglas de formación y reglas de



transformación, además del vocabulario básico; tambiénpuede presentarse de acuerdo a otro método diferentedel método axiomático, el llamado método de deducciónnatural, cuyo punto de partida son oraciones básicas,

conectivas y reglas para las conectivas. Cuando lasoraciones se cuantifican, tenemos reglas para loscuantificadores, y el sistema de estas reglas abarca,como un caso particular, toda la silogística aristotélica; siañadimos reglas de la identidad tenemos el sistema delógica elemental. La lógica elemental comienza con elestudio de las conectivas y podemos preguntarnos quéunen esas conectivas; pues bien, pueden unir varias

cosas. El sistema de las reglas genera un cálculo quepuede interpretarse de varias maneras. Un cálculo sininterpretar constituye un sistema formal, un sistemasintáctico que ofrece reglas para manipular, combinar ygenerar símbolos a partir del vocabulario básico y lasreglas. Podemos interpretar esos símbolos como circuitoseléctricos, por ejemplo, y entonces ese sistema tiene suaplicación en la electrónica y la computación. Puedeninterpretarse también como oraciones, juicios,

proposiciones, enunciados, y esto abre nuevasposibilidades de aplicación. En efecto, puede aplicarseentonces a diversos segmentos de la realidad: apensamientos o entidades psicológicas, oraciones oentidades lingüísticas, proposiciones o entidadesabstractas, a enunciados que hablen acerca de eventos oacontecimientos. Pero la decisión respecto a cómointerpretar esos signos o símbolos no corresponde a la

lógica sino a la filosofía de la lógica. Hay cierto consensoen que la lógica trata con oraciones, pues constituye unlenguaje acerca de algo, pero también se ha mantenidoque trata de juicios o entidades psicológicas; hay dehecho toda una tradición que dice que la lógica es cienciadel razonamiento correcto. Pero también hay acuerdo enque el pensamiento es pensamiento de algo, y este algo



puede ser extramental: situaciones, eventos, estados decosas. Por eso es fundamental la noción de verdad en lalógica y con ella abordamos un aspecto importante: lasemántica. Así, la lógica estudia por una parte el aspecto

sintáctico, las reglas para formar oraciones ycombinarlas; por otra, estudia las condiciones de verdadde las oraciones, el aspecto semántico. Pero hay todavíaotro aspecto: el pragmático, aquel que estudia lasrelaciones entre el lenguaje de la lógica y sus usos. Unuso tradicional ha sido la argumentación, el ofrecerargumentos para defender o refutar una tesis. Esto noslleva al contexto dialógico, a las relaciones entre

personas que quieren convencer de algo a alguien. Eneste sentido la lógica se acerca a la retórica, a lapersuasión o convencimiento, pero teniendo controlsobre aquello que se debate, control plasmadoprecisamente en el uso correcto de las reglas queproporciona la lógica.

Una queja perenne de los estudiantes ha sidoque aprenden con dificultad la lógica y luego esta

herramienta no se aplica en los demás cursos, lo quehace parecer inútil a la lógica e inútil el tiempo invertidoen aprenderla. Quizá una de las razones sea que hayargumentos, especialmente dentro de la filosofía, querebasan el ámbito de la lógica elemental. Podemosencontrar argumentos metafísicos donde ocurrentérminos como “necesario”, “posible”, “contingente”;argumentos epistémicos donde ocurren términos como

“saber”, “creer”, “opinar”; argumentos deónticos dondeocurren términos como “obligatorio”, “permisible”;argumentos temporales donde ocurren términos como

“siempre”, “nunca”, “a veces”. Y en todos ellos la lógicaaprendida parece que no tiene aplicación. No la tienehasta cierto punto, y es que la lógica elemental noincluye el estudio de esas expresiones, pero puede



expandirse de tal manera que las incluya. El estudio delas lógicas modales abarca esas expresiones y las reglaspara su comportamiento lógico. Pero no es fácilencontrar un texto accesible que trate de todas ellas.

El libro de Walter Redmond las trata siguiendo elmétodo de deducción natural, comienza con la lógicaelemental para continuar después con las extensiones dela lógica: modal, epistémica, deóntica y temporal. Comobuen manual, ofrece ejercicios a ser realizados por losestudiantes y que van creciendo en grado decomplejidad conforme se avanza; el libro puede serusado como libro de texto por los profesores de lógicapero también puede usarse de manera autodidacta; lasreglas están expuestas claramente, de manera que conatención y disciplina se puede alcanzar el fruto, pues lalógica no se aprende sin ejercicio. Es importantedestacar dos aspectos de la lógica que en el texto soncomplementarios: la lógica como ciencia y la lógica comoarte, la parte teórica y la parte práctica de la lógica, lalógica docens y la lógica utens, como la llamaban los

escolásticos. Porque la lógica como ciencia tiene suobjeto, aunque ese objeto tenga entidad mínima, no tanpalpable como los objetos de otras ciencias, y tiene susprincipios que rigen esos objetos, sus leyes y suordenación de conceptos, su estrategia de investigación.La lógica como arte tiene preceptos, reglas a seguir,ejercicios a realizar, indica cómo hacer bien ciertascosas: argumentar, razonar, discutir. Estos aspectos seintegran en el libro, y nos muestra, además susaplicaciones.

Es en el ámbito filosófico donde más se apreciaesto. En efecto, las lógicas modales nos llevan altratamiento de problemas recurrentes de la filosofía: laexistencia de un ser necesario, los aspectos del ser real y



posible, las condiciones del saber y la creencia, laobligación y la permisión, el tiempo lineal y tiemposramificados. Todos estos son problemas que hanacuciado las mentes de los grandes filósofos y el texto

nos proporciona una herramienta para su cabaltratamiento. Esta herramienta incluye, además deltratamiento sintáctico de las nociones modales, elaspecto semántico. Es la semántica de los mundosposibles la que logra una exposición clara y al alcance dequien haya seguido a fondo el texto y realizado losejercicios. Nos permite también un acercamiento a lafilosofía de la religión, de la ciencia, de la literatura, del

conocimiento. Y este acercamiento a los problemas de lafilosofía está hecho de tal manera que nos remite a losautores que en la historia han tocado el mismo punto,sin que importe el que sean autores olvidados,superados, fuera de moda; lo que importa son susargumentos, su verdad o falsedad, su corrección o suserrores. Esto muestra a la filosofía como algo vivo y enconstante diálogo, una muestra de lo que debe ser lafilosofía.

El estudiante, no sólo el de filosofía sino tambiénel de otras disciplinas, puede sacar provecho de estelibro. En efecto, la lógica como arte se aplica encualquier situación donde haya que ofrecer argumentospara aprobar o rechazar una tesis, para averiguar laverdad o falsedad de una oración, la corrección de unargumento o sus fallas. Puede aprender algo acerca dealgo, a saber, la lógica; puede también adquirir ciertascapacidades y aptitudes que le habilitan para mejorar suforma de pensar y, en este sentido, relacionarse mejorcon sus semejantes. El libro es moderado: no espere ellector un tratamiento de la metalógica con susmetateoremas y sus tesis sobre la completitud eindependencia de sus axiomas o teoremas; tampoco



espere un tratamiento exhaustivo de los ámbitos deaplicación y situaciones propios de los textos de lógicainformal que ya empiezan a abundar en nuestrosmedios. Espere, eso sí, saber algo acerca de una ciencia

y aprender, previa realización de los ejercicios, la lógicaelemental y sus extensiones. No se trata de un libro paraleer solamente; es también un manual y dainstrucciones, proporciona una herramienta que, bienmirada, no es tan sólo una herramienta sino una parteconstitutiva del ser humano, aquella que ha hechoposible definirlo precisamente como racional.

Una palabra final. La lógica ha sido malentendiday quizá por eso ha tenido varios detractores. Estamoslejos ya de los días en que Étienne Gilson decía que losproblemas metafísicos habían de respondersemetafísicamente y no lógicamente; de hecho Gilsonaprecia en poco los desarrollos de la lógica después delsiglo XIII y debido principalmente a autoresnominalistas. Esta frase ha sido repetida y se haentendido como si la lógica fuera ajena e independiente

de la ontología, y ha sido poco estudiada por lostomistas, aunque haya sus grandes excepciones(Bochenski por ejemplo, quien es un gran conocedor dela historia de la lógica). En varias universidadeslatinoamericanas, cuando el marxismo imperaba, seasociaba a la lógica con la ideología burguesa y era pocoestudiada, cuando no despreciada; aunque debemosdecir que hubo textos acordes con los lineamientosmarxistas, como lo hubo a su vez algún texto de lógicaproveniente de la fenomenología. En nuestros días lalógica informal en sus varias vertientes acude muy pocoal simbolismo y la formalización; en algunos medios sehabla de aprendizaje “significativo”, pero a veces quedauno con la impresión de que “significativo” quiere decircasi aprender jugando y cuyo contenido deba no ser



abstracto y lograrse con mínima disciplina; y eldesencanto y escepticismo posmodernos casi excluye ala lógica tratando de sustituirla por alguna “poética” oalgo parecido. Si bien el texto de Walter Redmond

recoge los aportes escolásticos y analíticos, tambiénreconoce los aportes griegos (estoicos y aristotélicos) ymedievales. En este sentido recupera las aportacioneslogradas en la historia del pensamiento, presenta unaformulación de la lógica sin más. Su aprendizaje no esfácil, como no lo ha sido en sus diferentes momentos;requiere del esfuerzo y la disciplina del estudiante y delprofesor, y constituye una buena aproximación a la

enseñanza de la filosofía y de otras áreas. El texto estáal alcance del lector y yo le invito a zambullirse en él,pues le lleva de la mano hacia la enseñanza de la lógicay sus aplicaciones en filosofía, por eso constituye unabuena introducción a la misma. El texto está en susmanos.

Lógica simbólica11. Introducción1.1 Definición de Lógica simbólicaLa lógica simbólica es un sistema formal queanaliza los signos y lo que designan.El positivismo lógicoentiende que el significado es la relación que existe entre



laspalabras y las cosas, y su estudio tieneun fundamento empírico: puesto queellenguaje, idealmente, es un reflejo de larealidad, sus signos se vinculan concosas y hechos.

Ahora bien, la lógica simbólica usa una notaciónmatemática paraestablecer lo que designan los signos, ylo hace de forma más precisa y clara quela lenguatambién constituye por sí misma un lenguaje, concretamente unmetalenguaje(lenguaje técnico formal) que se emplea parahablar de la lenguacomo si de otro objeto se tratara: lalengua es objetode un determinado estudiosemántico. Una de las figuras

más destacadas del Círculode Viena, el filósofoalemán Rudolf Carnap, realizó su másimportante contribución a la semánticafilosófica cuandodesarrolló la lógica simbólica.

.2 El objeto de estudio de la lógicaLa lógica es una ciencia y su objeto de estudio loconstituyen las formas,estructuras o esquemas delpensamiento. Si comparamos los siguientes ejemplosde

pensamientos, encontraremos que pueden referirse acosas muy diferentes (esdecir, su contenido es variable),y sin embargo tienen estructuras comunes:1.7 es un número primo y 4 es par.2. La gasolina es inflamable y la potasa es cáustica.3.Venus es un planeta y Sirio es una estrella.4.Marzo tiene 30 días o marzo tiene 31 días.5. El hombre hace su historia o la historia haceal hombre.

6.4 es impar o 4 es par.7. Si el hombre hace suhistoria, entonces el destino es un mito.8. Si 4 es par, entonces 4" también es par.9. Si el tabaco produce cáncer,entonces los cigarros son un medio de suicidio.



Pese a tener diferente contenido,estos ejemplos pueden ser agrupados en tres clases,de acuerdo con las expresiones "Y", "O","si...entonces", que relacionan entre sí a

pensamientos como "4 es impar", a los que se llamaproposiciones.La lógica proposicional es la parte de la lógica queestudia las formas en que se relacionan unasproposiciones con otras y, sobretodo, la relación que seda entre las proposiciones que componen unrazonamiento.

.3 Lenguaje natural y lenguaje simbólicoEl lenguaje es un medio, un instrumento por el cual setrasmite información. Los libros, folletos, periódicos, etc.,son buenos ejemplos de lenguaje escrito, utilizado paratrasmitir información.No todos los lenguajes son hechos por el hombre;las abejas, por ejemplo, informan asus compañeras de panal sobre la localización de polen,haciendo cierto tipo de movimientos que parecen una

danza. El desarrollo de un embrión de cualquier especieestá guiado por la información trasmitida por los genesde las células germinales.En los lenguajes hechos por el hombre, la información setrasmite por medio de signos, que pueden ser señas,gritos, palabras, volutas de humo, combinacióndecolores, etc. En realidad, los lenguajes humanosson sistemas de signos, que representan algo,ya sea utilizando cada signo individualmente, o

combinándolos de alguna manera.En el lenguaje natural, que aprendemosen forma espontánea empleamos en nuestravida cotidiana, los signos utilizados son palabras,habladas o escritas, lascuales tienen un determinado significado. Sin embargo,es un hecho que una misma palabra puede tener o



usarse con dos o más significados distintos,dependiendo de las circunstancias (como "diablito", quese utiliza para nombrar lo mismo a un niño travieso quea cierto tipo de conexión eléctrica) ; también es

común que dos o más palabras tenganel mismo significado o se les utilice en elmismo sentido (como "alumno?' y "estudiante?').Gracias a estas imprecisiones del lenguaje natural seproducen muchos chistes (sobre todo los de doblesentido) y muchas expresiones cómicas. Pero también seoriginan confusiones y errores, que si bien en lavida diaria no es del todo necesario evitar, en algunasactividades, como la científica, sí es preciso eliminaren lo

posible. Es por ello que en las ciencias nosencontramos un lenguaje preciso, técnico y llenode símbolos, que son signos de signos, es decir, signoselegidos cuidadosa y conscientemente para representar aotros signos.Por ser producto de unaelección, los símbolos tienen carácter convencional, perodentro de un lenguaje determinado poseen siempreel mismo significado, sin que varíe

de acuerdo con las circunstancias; por ejemplo, dentrodel lenguaje de la geometría plana, el símbolo "p i” significa siempre la relación cuantitativa que existe entreel diámetro y la circunferencia de un círculo cualquiera(3.14159). El símbolo puede variar de significado, perono dentro del mismo lenguaje.Existen varios lenguajes científicos: tantos comociencias particulares; entre los más conocidosestán el de las matemáticas, el de la química y el de la

lógica, que es el que vamos a examinar en seguida.

1.4 La simbolización del lenguaje lógicoAl simbolizar un lenguaje lo que se persigue es,básicamente, sencillez, claridad y exactitud. Es más sencillo ytambién resulta más claro y exacto representar las cosas por



medio de símbolos. Por ello, la simbolización del lenguajelógico nos permite examinar más fácilmente las formas delpensamiento y sus leyes, las cuales es preciso seguir siqueremos que nuestro pensamiento sea correcto.

En la lógica proposicional se examinanlas posibles relaciones entre proposiciones, sin atender a sucontenido. En esto es particularmente útil simbolizarlas proposiciones con simples literales ylas expresiones mediante las cuales son relacionadas (como"Y", "O", "si. . . entonces"), por medio de signos cuyosignificado sea constante. De esta manera es más fácil, comose verá más adelante, decidir si, porejemplo, un razonamiento es correcto o no, lo cual no

siempre resulta sencillo como en el siguiente caso:"Si en la Luna hay vida, entonces en la Luna hay agua."

"No ocurre que en la Luna hay vida."

"Luego, no es cierto que en la Luna hay agua."

2. De la lógica clásica a la lógica simbólicaLa lógica no siempre ha recibido el mismo nombre. Platónhablaba de la

“dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entrelas ideas. Platón pensaba que cualquier contenido de la menteexistía tal cual en la realidad, en el mundode las Ideas separadas, el cosmos no etós. Contraestas ideas separadas reaccionó Aristóteles, quien en su Ogano n o colección de obras lógicas, emplea la palabra

“analítica” para referirse a la lógica. ParaAristóteles las ideas existen sólo en la mente humana, pero secorresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimientode la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica(ciencia de la realidad o del ser y sus principios másprofundos) y la lógica (ciencia de las ideas y procesos de lamente), que Platón identificaba.Por lógica clásica puede entenderse a veces la lógicasimbólica moderna estándar, esto es, cálculos como



los de Principia Mathematica y sistemas afines, queincluirían la lógica de enunciados, la lógicade predicados de primer orden(incluida la lógicade relaciones) y la lógica de predicados de orden superior.

Esto se opondría a las lógicas no clásicas, esto es,aquellas que, o bien no comparten algún presupuestofundamental de la lógica clásica, obien constituyen desarrollos complementarios de la lógicaclásica (como la lógica modal), o bien constituyen de algúnmodo concepciones alternativas a la lógica clásica (como lalógica intuicionista). Pero puede entenderse también y másfrecuentemente por “lógica clásica) la lógica aristotélicacon sus complementos medievales que permaneció

con apenas alguna variación hasta Frege.

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