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Lois de comportement simples Algorithmes 5 6 décembre 2006 Philippe Mestat (LCPC) Session de formation continue ENPC

Lois Comportements

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  • Lois de comportement simples

    Algorithmes

    5 6 dcembre 2006

    Philippe Mestat (LCPC)

    Session de formation continue ENPC

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Le problme mcanique

    Lquilibre final dun ouvrage dpend :

    de lquilibre naturel initial ;

    des discontinuits ventuelles ;

    des lois de comportement des matriaux ;

    des phases dexcution des travaux ;

    des conditions dutilisation de louvrage.

  • Lois de comportement des sols

    Comportement des massifs : lois de comportement simples

    (lastoplasticit parfaite) ;

    lois de comportement avances

    (lastoplasticit avec crouissage).

    Comportement des interfaces :

    lois dinterface simples.

  • Comportement non linaire

    Les sols prsentent une relation contraintes dformations qui est non linaire et irrversible

    partir dun certain seuil.

    Le comportement non linaire apparat sous deux aspects :

    - volution des proprits du matriau ; - changements de la gomtrie.

  • Excavation Fondation Pieu

    Linaire

    Non linaire

    Comportement rel et modlisation non linaire

  • Dveloppement dune loi de comportement

    Le dveloppement thorique sappuie sur :

    des tudes exprimentales essais en place et en laboratoire ;

    des schmas de calcul a priori lasticit (linaire et non linaire)

    plasticit (irrversibilit et rupture)

    viscosit (effet du temps)

    et leurs combinaisons.

  • Dveloppement dune loi de comportement

    Quelques problmes : prlvement dchantillons intacts

    taille des prouvettes

    ralisation des essais (dure)

    types dappareillage et types dessai

    interprtation des rsultats (choix des variables)

    anisotropie et effet du temps

    mise en quations

    extrapolation au comportement 3D ?

  • Essais de laboratoire et mesures

    Appareils triaxiaux : prouvette cylindrique pleine ;

    prouvette cubique (presses 3D).

    Appareils pour cylindre creux

    Appareils en dformation plane

    Appareil de cisaillement direct

    Appareil de cisaillement annulaire

  • Loi de comportement (1)

    0t,dt

    d,

    dt

    d, rsmnkl,ij

    t;)( klij

  • laboration dune loi de comportement

  • Loi de comportement (2)

    klrsmnijklij dd,Dd

    klrsmnijklij dd,Ed

    Les formes usuelles sont :

    et inversement :

    Il faut ensuite quantifier les fonctions.

  • Essais suivant

    diffrents

    chemins de

    contraintes

  • Rupture

    Dchargement

    Domaine lastique Module initial

    Domaine lastique ?

    tat caractristique

    Dilatance la rupture

    Coefficient de Poisson initial

  • Lois de comportement simples :

    lasticit linaire ;

    lasticit non linaire ;

    lastoplasticit parfaite.

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Le comportement d'un matriau est lastique lorsque

    l'histoire des sollicitations n'intervient pas et qu' un tat de

    contraintes correspond un tat de dformations et un seul.

    La plupart des solides prsentent un comportement

    rversible, au moins sous des sollicitations suffisamment

    faibles. Cela correspond des dformations de l'ordre de :

    0,1 % pour les mtaux ;

    0,01 % pour les sols (voire moins) ;

    600 % pour le caoutchouc.

    Au-del, des irrversibilits apparaissent.

    Comportement lastique (rversible)

  • Les modles lastiques

    lasticit linaire isotrope :

    E et n constant ;

    E(z), n constant.

    lasticit linaire anisotrope (orthotrope) :

    Ei et ni constants ;

    Ei(z), ni constant (par exemple : Ev(z), Eh(z), G(z) )

    lasticit non linaire : E(skl)

    Hyperlasticit : skl = W(emn) / ekl

    Hypolasticit : dskl = Eklmn demn

  • lasticit isotrope linaire

    yz

    xz

    xy

    zz

    yy

    xx

    2

    2100000

    02

    210000

    002

    21000

    0001

    0001

    0001

    )21)(1(

    1

    yz

    xz

    xy

    zz

    yy

    xx

    dterminer : E et n et ltat initial des contraintes (K0 ?)

  • Module dYoung et coefficient de Poisson

    Problme de la dfinition du domaine dlasticit

  • Facteurs influant sur le module E

    Niveau de dformations Trs petites dformations ( < 0,001%)

    Petites dformations (< 0,001% 1%)

    Grandes dformations (> 1%)

    Niveau de contraintes

    Chemins de sollicitations

    Il est souhaitable de dterminer le module dYoung pour des dformations infrieures 0,1%.

  • volution du module avec lamplitude

    des dformations (Hicher, 1985)

  • Atkinson et Sallfors (1991)

  • Exemples

    dlasticit

    non linaire

  • Caractrisation de lanisotropie

  • Essais triaxiaux sur des sols anisotropes

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Principes de llastoplasticit

  • lastoplasticit avec crouissage

    crouissage positif

    Sans crouissage

    crouissage ngatif

  • Principes de llastoplasticit parfaite

  • Le comportement lastoplastique s'appuie sur trois

    concepts :

    - la partition des dformations (lastiques et plastiques) ;

    - le critre de plasticit, qui gnralise la notion de seuil

    de plasticit mise en vidence dans les expriences de

    laboratoire ;

    - la rgle d'coulement plastique, qui dfinit la manire

    dont voluent les dformations plastiques.

    Ce schma de comportement exclut tout effet de

    vieillissement et de viscosit du matriau.

  • Aux seuils de plasticit (initial et actuels), correspondent alors des domaines dans l'espace des contraintes, appels domaines d'lasticit.

    Ces domaines sont dfinis par une fonction scalaire F des tenseurs des contraintes et des dformations plastiques :

    0),(F pklij : domaine d'lasticit

    : frontire du domaine d'lasticit ou critre de plasticit.

    0),(F pklij

    La fonction F est appele surface de charge.

  • Relations contraintes-dformations en lastoplasticit

    Soit (sij, ep

    ij) un tat de contraintes et de dformations plastiques

    correspondant une tape de chargement donne :

    si F(sij, ep

    ij) < 0 alors deij = deeij ;

    si F(sij, ep

    ij) = 0 , il faut distinguer selon l'tat de charge ou de

    dcharge

  • F dFij ijp

    ij ij

    p( , ) ( , )s e s e 0

    ss

    Fd

    ij

    ij 0

    d d dij ije

    ij

    pe e e

    F ij ijp( , )s e 0

    Il y a chargement Il y a dchargement

    si et seulement si si et seulement si

    ss

    Fd

    ij

    ij 0

    d dij ijee e

  • Rgle d'coulement plastique

    Pour quantifier le tenseur des dformations plastiques, il

    est ncessaire d'introduire des quations complmentaires.

    On postule l'existence d'un potentiel plastique G tel que

    dl est appel multiplicateur de plasticit et est strictement

    positif.

    Si G=F, la rgle d'coulement est dite associe et non

    associe dans le cas contraire.

    d dG

    ij

    p

    ij

    e l

    s

  • Un module d'crouissage est galement dfini :

    L'ensemble des relations prcdentes permettent de calculer la

    relation de comportement entre un accroissement du tenseur de

    dformations et un accroissement du tenseur des contraintes.

    Le calcul utilise les relations suivantes dans le domaine

    plastique :

    H dF

    dij

    ijl

    ss

    d E dij ijkl kles e d D dij

    e

    ijkl kle s

    dFF

    dF

    dij

    ij

    ij

    p ij

    p

    ss

    ee 0 H d

    Fd

    ij

    ijl

    ss

  • kl

    klij

    ijklij dFG

    H

    1Dd s

    s

    s

    e

    d E

    EG F

    E

    HF

    EG

    dij ijkl

    ijkl

    kl ij

    ijkl

    ij

    ijkl

    kl

    kls

    s

    s

    s

    s

    e

    d

    FE d

    HF

    EG

    ij

    ijkl kl

    ij

    ijkl

    kl

    l

    se

    s

    s

    Relations de

    comportement

    lastoplastique

  • Les modles lastoplastiques parfaits

    lasticit linaire ou non

    + critre de rupture

    + loi dcoulement

    Lois de comportement simples :

    Mohr-Coulomb (Tresca) ;

    Drucker-Prager (Von Miss) ;

    Loi parabolique.

  • Les critres de rupture

    Les critres usuels :

    Mohr-Coulomb (Tresca) ;

    Drucker-Prager (Von Miss) ;

    Loi parabolique.

    Les critres avancs :

    Matsuoka-Nakai (1974) ;

    Lade (1975, 1977) ;

  • Exemples de

    critres de

    rupture

  • Facteurs influant sur la valeur de j

    Indice des vides

    Forme des particules et rugosit de surface

    Distribution granulomtrique

    Prsence deau

    Surconsolidation

    Contrainte principale intermdiaire

    (chemin de contraintes suivi au cours de lessai)

  • Modle de Mohr-Coulomb

  • Paramtres pour les calculs

    tat initial des contraintes : g, K0

    Hydraulique des sols : kh, kv, u0(x, y, z)

    Dformabilit des sols : Eu , E, n, y

    Rsistance au cisaillement : cu, c, j

    Comportement dinterface : ca, da et Rt

  • Mohr-Coulomb : un modle simple ?

    F(sij) = |s1-s3| - (s1 + s3) sin j -2 c cos j

    Rgime dartes. Calculs des drives partielles ?

    Troncature en traction

    Modlisation numrique :

    jdef. plane = jtriaxial - x degrs ;

    gestion des tractions pour une cohsion faible ;

    convergence lente et difficile pour (j - y) grand ;

    si c 0, z tel que : [|1-K0|-(1+K0)sin j ] g z = 2 c cos j ;

    cohsion nulle et problmes numriques ;

    zone lastique tendue dans le maillage.

  • Drucker-Prager : un modle simple

    F(sij) = q - a p - k

    Surface lisse sans artes

    Domaine lastique limit en extension

    Modlisation numrique :

    dfinition des paramtres et liens avec c et j ;

    section circulaire inscrite ou exinscrite dans la section hexagonale

    du critre de Mohr-Coulomb ;

    zone lastique tendue dans le maillage ;

    convergence difficile pour k faible ;

    modle plus souple que le modle de Mohr-Coulomb.

  • Nature du sol

    Comportement

    Modle de calcul

    Sols indurs et

    roches tendres (argiles raides, marnes,

    calcaires, craies, etc)

    Dformations faibles,

    linaires, fonction du

    temps (permabilit et

    viscosit). Rupture

    souvent fragile.

    Milieu continu lastique

    linaire ou non linaire.

    Consolidation et fluage.

    Sols mous et sols

    organiques (argiles molles, vases,

    tourbes, etc.)

    Dformations importantes,

    fortement non linaires,

    fonction du temps

    (permabilit et viscosit)

    Milieu continu lasto-

    plastique.

    Consolidation et fluage.

    Sols grenus (sables, graviers, etc.)

    Dformations

    instantanes, dpendant de

    la densit initiale

    (dilatance ou

    contractance)

    Milieu continu lasto-

    plastique (non associ) et

    lasticit non linaire.

  • Essais in situ et valeurs des paramtres

    Essais de pntration

    pntromtre, etc.

    estimation de la rsistance du sol

    Essais de dformabilit

    pressiomtre, dilatomtre

    Linterprtation des rsultats en terme de loi de comportement est difficile, car les essais ne sont pas homognes et ltat des contraintes nest pas

    connu.

  • Cas de la dformation plane

    Lessai triaxial classique est un essai en dformation axisymtrique.

    Il peut convenir dans le cas dun grand remblai ou dune excavation cylindrique (rservoir, puits, silo, etc.)

    Pour des calculs plans, il faudrait pouvoir raliser des essais en dformation plane; mais cet essai est compliqu.

    Problme. Comment raliser un calcul plan avec des valeurs de paramtres dtermines sur des essais axisymtriques ?

  • Lois de comportement avances :

    lastoplasticit avec crouissage ;

    lastoplasticit avec plusieurs mcanismes ;

    lastoplasticit gnralise ;

    hypoplasticit ;

    lois incrmentalement non linaire.

  • Quelques lois de comportement avances :

    modles Cam-Clay (1968, etc.) ;

    modle de Lade (1975, etc.) ;

    modle de Darve (1978, etc.) ;

    modle de Hujeux (1979, etc.) ;

    modle de Nova (1982, etc.) ;

    modle de Vermeer (1982) ;

    modle de Cambou-Jafari-Sidoroff (1988, etc.) ;

    modle Soft Soil (PLAXIS).

  • Choix de la loi de comportement

    Quand une loi de comportement simple est-

    elle suffisante ?

    Quand une loi de comportement avance

    peut-elle tre utilise ? Quand est-elle

    ncessaire ?

  • Usage dune loi de comportement simple

    lorsque les dformations du massif restent lastiques ;

    lorsque le facteur de scurit global est suffisamment lev

    ou lorque le chargement nest pas trs important ;

    lorsque les ruptures locales ne contrlent pas le

    comportement dans la rgion tudie ;

    lorsque lon dispose de peu dinformations ;

    lorsque le comportement aux interfaces des matriaux est

    prdominant.

  • Usage dune loi de comportement avance

    lorsquune loi simple ne permet pas de dcrire un aspect essentiel du comportement de louvrage et de son environnement (interactions, dilatance, rupture, etc.) ;

    lorque le calcul doit fournir une estimation raliste des contraintes et des dplacements au voisinage de la rupture (critres en dplacements pour les sites urbains, expertises, problmes inverses, etc.) ;

    lorsque le calcul doit fournir une estimation raliste de lvolution des pressions interstitielles ;

    lorsque lon dispose de suffisamment dinformations pour dterminer les valeurs des paramtres des modles, et des informations sur ltat initial, sur le degr dhtrognit des terrains et sur leffet dchelle.

  • 010

    20

    30

    40

    1960 1970 1980 1990 2000

    Anne

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    m

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    s

    volution des lois de comportement pour les sols

  • Lois de comportement avances

    Quelques difficults

    Manque de validations et dtudes paramtriques.

    Dure de calcul importante.

    Elles sont peu disponibles dans les logiciels du commerce.

    Manque de donnes pour estimer les valeurs des paramtres.

    Peu de correspondance entre ces paramtres et les paramtres traditionnels de la mcanique des sols.

    Les lois de comportement avances sont rarement considres, ou seulement pour des tudes a posteriori.

  • Pratique de la modlisation numrique

    Plutt des modles complexes par leur gomtrie que par les lois de comportement utilises pour dcrire les massifs de sol.

    Les ingnieurs privilgient les analyses en lasticit linaire ou lasto-plasticit parfaite.

    Si les lois de comportement sont trop simples, il faut en tenir compte dans linterprtation et lutilisation des rsultats.

    Nimporte quelle loi de comportement ne peut tre considre comme une approximation acceptable de nimporte quel comportement rel, mme aprs avoir cal des valeurs de paramtres.

    Attention la validit des tudes paramtriques pour des lois de comportement simples.

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Systme algbrique

    Le principe de recherche du minimum de l'nergie

    potentielle conduit au systme d'quations algbriques :

    FUK

    o F est le vecteur des forces nodales ;

    U, le vecteur des inconnues aux nuds ;

    K, la matrice de rigidit de l'assemblage.

    Linversion est alors directe.

  • Cas du comportement non linaire

    L'criture du principe variationnel fournit l'quation d'quilibre :

    quel que soit le champ cinmatiquement admissible.

    Si B est la matrice des drives des fonctions

    d'interpolation telle que : eij = B U.

    s eij ij i i i iS

    d f u d t u dS~ ~ ~

    0

    B d Ft ij exts

    L'quilibre s'crit encore :

  • Dans le cas de l'lastoplasticit, il faut intgrer les relations

    diffrentielles en utilisant des schmas d'intgration. On

    obtient alors des relations du type

    o (Eijkl) est le tenseur lastoplastique (non linaire et

    irrversible) et Dekl, l'accroissement des dformations

    totales (connu). Si l'accroissement correspond au passage

    entre deux tats d'quilibre, on aura

    UBEEEE pijklijklklpijklijklij

    K U U Fext( ) D D

    B E E B d U Ft p ext( )

    D D

    soit

  • Pour obtenir le champ de dplacements, solution du

    problme, il faut rsoudre le systme d'quations non

    linaires :

    Le vecteur F(U) est appel vecteur-rsidu.

    La rsolution directe est le plus souvent impossible. Un processus itratif est alors ncessaire.

    Le principe consiste linariser les quations non linaires autour d'un tat d'quilibre.

    F( ) ( )U F R uext 0

  • Si U1 et U2 sont deux champs de dplacements des

    instants de sollicitations diffrents, on cherche une matrice

    K telle que :

    Il est quasiment impossible de trouver l'expression de la matrice K, mais on peut l'approcher, par exemple l'aide d'un dveloppement limit :

    Le tout est de calculer ou d'approcher ces quantits.

    F F( ) ( ) .( )U U K U U2 1 2 1

    F D FF

    D( ) ( ) .U U UU

    U

    F D F D

    ( ) ( ) .U U U BU

    d Utij

    s

    soit encore :

  • Supposons la matrice K connue, et soit U0 une solution approche de F(U0). On recherche alors la solution sous la forme d'une variation autour de U0 :

    F(U0 + DU) = 0.

    La linarisation conduit la relation : DU = - K-1. F(U0)

    On construit ainsi un processus itratif. Pour une itration i donne, Ki et F(Ui) sont calculs, puis Ui+1 est dtermin, si la matrice Ki est inversible, par la relation :

    DUi = Ui+1 - Ui = - Ki-1. F(Ui)

    Si la suite des dplacements converge, on a : F(U) = 0.

  • Calcul de Ki

    Ui+1 = Ui - Ki-1. F(Ui)

    Calcul des contraintes si+1

    Calcul de F(Ui+1)

    Initialisations

    Tests de convergence ?

    i = i+1

  • Critre de

    convergence

    Expression Tolrance fournir

    sur les

    vecteurs-

    rsidus

    Tolrance conseille 0,1%, la

    rigueur 1%, pour le premier test

    qui devient svre lorsque DF

    est faible. Pour le second test,

    tolrance conseille 0,1%.

    sur les

    dplacements

    Tolrance conseille 0,1%.

    sur le travail au

    cours dune

    itration

    Tolrance conseille 10-9.

    FF

    )U(ou

    F

    )U(

    0

    ii

    i

    i1i

    U

    UU

    1

    i1ii

    U.F

    )UU).(U(

  • Remarque

    S'ils sont satisfaits, les tests de convergence ne prouvent pas

    que la suite (Ui) ou la srie (DUi) de dplacements converge.

    Ces tests peuvent simplement prouver que la suite des

    accroissements (DUi) tend vers zro. C'est une condition

    ncessaire mais non suffisante.

    C'est comme l'exemple bien connu de la suite (1/i) qui tend

    vers zro, mais dont la srie associe diverge.

  • Notion de taux de convergence

    Les tests traditionnels ne fournissent qu'une prsomption

    de convergence. Il convient d'tre prudent avant de

    conclure et il est fortement conseill d'analyser la suite des

    taux de convergence (qi) :

    S'il est possible de dmontrer numriquement que la suite

    des taux de convergence est strictement monotone

    dcroissante et possde une limite strictement infrieure

    1, alors la srie (DUi) est absolument convergente.

    qU

    Ui

    i

    i

    D

    D 1

  • D DU q Ui i i 1 D D DU q U q Ui k i j ij

    k

    i

    k

    i

    1

    U U

    q q

    qUi k i

    i i

    k

    i

    i

    1

    1

    1

    D

    U Uq

    qUi k i

    i

    i

    i 1

    D

    donc U U U q Ui k i i j ij

    j

    k

    j

    k

    i

    D D11

    alors

    et finalement

    Ce qui prouve labsolue convergence de la suite. CQFD.

  • De plus, si on fait tendre k vers l'infini, on obtient une estimation de l'erreur commise en arrtant le processus

    l'itration i :

    L'tude de la dcroissance de la suite des taux (qi) permet

    de s'assurer de la convergence de la suite.

    L'exprience montre que les taux de convergence se

    stabilisent souvent pour des valeurs suprieures 0,8 et

    parfois proches de 0,99. En revanche, ds que qi > 1 pour

    plusieurs itrations successives, on peut conclure la

    divergence.

    U Uq

    qUi

    i

    i

    i 1

    D

  • Diagnostic Rsultats des tests de convergence

    Convergence Les tests de convergence sont satisfaits ; la suite (qi) est monotone dcroissante et tend vers

    une limite infrieure 1. Trs souvent, la suite

    se stabilise autour de valeurs comprises entre

    0,8 et 0,99 ; ce qui suffit assurer l'absolue

    convergence de la srie.

    Non-convergence La norme des forces rsiduelles dcrot trs lentement, le nombre d'itrations devient trs

    important ou la suite des taux oscille autour de

    la valeur unit. Il est alors difficile de conclure

    et il vaut mieux recommencer le calcul avec un

    incrment de chargement plus faible.

    Divergence La norme des vecteurs-rsidus ne tend pas vers zro.

  • Un dveloppement du vecteur-rsidu conduit la relation :

    Ki est appele matrice de rigidit tangente et la mthode

    de rsolution, nomme Mthode de Newton-Raphson.

    Le calcul exact est le plus souvent impossible. On fait alors

    lapproximation suivante :

    K B B dit i

    i

    s

    e

    s

    e

    i

    i

    epEi

    ep

    i dEd avec

  • Les difficults thoriques et le cot de calcul d'une matrice (assemblage, triangularisation) chaque itration sont

    l'origine des Mthodes de Newton Raphson modifies et de

    recherches sur des acclrateurs de convergence, qui visent

    rduire la dure des calculs sans nuire la qualit des rsultats.

    Une ide simple consiste fixer la matrice tangente partir

    d'un certain nombre d'itrations p :

    l'extrme, on peut conserver la mme matrice pendant tout le

    processus de rsolution : c'est la Mthode des contraintes

    initiales.

    i p KU

    i

    U Up

    ,F

  • La mthode des contraintes initiales prsente linconvnient

    dentraner un grand nombre ditrations ds que la non-linarit

    devient importante.

  • Calcul du vecteur-rsidu

    Le vecteur rsidu dpend du champ de contraintes, donc de la

    loi de comportement et du schma d'intgration des quations

    diffrentielles qui la dfinissent :

    Malgr la performance des schmas, le champ de contraintes

    calcul ne vrifie gnralement que d'une manire approche les

    quations de comportement. On peut donc cumuler des erreurs

    chaque itration et converger vers une mauvaise solution.

    Ce risque peut tre diminu en procdant au chargement de

    faon incrmentale.

    i

    t

    exti dBF)U(

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Incrmentation du chargement

    Le chargement F est divis en un nombre fini d'accroissements dont

    la dfinition est lie, si possible, des tapes relles de la

    construction d'un ouvrage ou du chargement d'une structure.

  • Remarque

    Les rsultats d'une itration n'ont pas de sens physique,

    car ils ne vrifient pas simultanment les quations de

    comportement et celles de l'quilibre.

    L'incrment de chargement seul a un sens physique.

    Les rsultats convergs pour une tolrance suffisamment

    faible vrifient de manire approche l'quilibre (en

    moyenne) et la loi de comportement (localement).

  • Schma dintgration des lois

    Selon la mthode de rsolution adopte, l'effet du comportement non linaire apparat dans le calcul du

    vecteur-rsidu, mais aussi dans celui de la matrice de

    rigidit.

    Il convient donc de bien calculer le champ de contraintes et

    les autres quantits non linaires (dformations plastiques).

    Pour cela, il faut intgrer des quations diffrentielles.

    Dans le cas de llastoplasticit, il sagit dintgrer la rgle

    dcoulement ou la relation contraintes-dformations.

  • Passage dune itration une autre

    Supposons que l'on se trouve l'itration i de l'incrment n+1.

    Les quantits connues sont les tats de contraintes, de dformations totales, de dformations plastiques et d'autres quantits non linaires l'incrment converg n, ainsi que l'tat de dformations totales l'itration i de l'incrment n+1 :

    sn , en , ep

    n et en+1

    Les inconnues sont les nouveaux tats de contraintes, de dformations plastiques et de certaines quantits non linaires :

    sn+1 , ep

    n+1

  • L'intgration est fonde sur le thorme de la moyenne :

    Par consquent, il existe des valeurs de l et de l'tat de

    contraintes telles que

    Le problme est alors d'estimer la quantit intgre ou

    directement l'tat de contraintes sp.

    Deux options simples peuvent tre considres.

    f x dx b a f ca

    b

    ( ) ( ) ( ) c [a, b] telle que

    sl l l

    ss

    l

    l Gd

    G

    n

    n

    n n

    p

    1

    1( ) ( )

  • Intgration trapzodale :

    Intgration au point milieu :

    pour a [0, 1] :

    ss a

    ss a

    ss

    G G Gpn n

    i( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

    pour a [0, 1] :

    ss

    sa s as

    G Gpn n

    i( ) ( ) 1 1

    On a alors : s a s asp n ni ( )1 1

    Si a = 0, le schma est explicite. Si a ]0, 1] , le schma

    est implicite. Il est souvent conseill de prendre a = 0,5.

  • Schma dintgration trapzodale

  • Schma dintgration au point milieu

  • Par exemple, la seconde technique conduit au systme suivant :

    Le scalaire Dl est alors dtermin par la condition de surface de charge : F = 0.

    Cette seconde technique peut tre prfrable la premire.

    )(E)(E pni,p

    1nn

    i

    1nn

    i

    1n

    i 1nnpni,p 1n )1(

    G

    0),(F i,p 1ni

    1n

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Spcifications pour le comportement non linaire

    Discrtisations et convergences

    Calculs aux points dintgration

    Maillage et comportement (densit des lments)

    Chargements et comportement : choix des incrments de chargement.

    Donnes numriques : tolrance sur les tests de convergence ;

    nombre ditrations maximum ;

    schmas dintgration.

    Les choix de lutilisateur ont un impact direct sur le temps des calculs et donc sur la dure de ltude.

  • Maillages et lois de comportement

    Un maillage qui a fourni de bons rsultats pour

    une loi de comportement nest pas forcment bien

    adapt pour une autre loi de comportement.

    Exemple : lasticit isotrope et anisotrope.

    Il en est de mme pour le dcoupage en

    incrments de chargement.

  • Maillages et lois de comportement

  • Maillages et lois de comportement

  • Maillages et lois de comportement

  • Calculs aux points dintgration

    En comportement non linaire, le calcul des dformations et des contraintes est effectu aux points d'intgration, internes aux lments finis :

    - points de Gauss ;

    - points de Hammer ;

    - points de Newton-Cotes.

    Ce sont parfois les mmes que ceux qui servent pour l'intgration de la matrice de rigidit.

  • Convergence et mthodes numriques

    Quatre processus de discrtisation simultans :

    - discrtisation spatiale du domaine gomtrique reprsentatif

    de l'ouvrage et de son environnement (maillage) ;

    - discrtisation du chargement. Celui-ci est appliqu en

    accroissements successifs, appels incrments ;

    - processus de rsolution incrmental et itratif si les lois de

    comportement des matriaux sont non linaires ;

    - schma d'intgration locale si les lois de comportement sont

    dfinies sous une forme diffrentielle ou implicite.

  • Convergence au sens du maillage Elle est assure par le choix et la formulation mathmatique des lments

    finis. Lorsque le maillage devient de plus en plus fin, la solution numrique

    tend vers une limite trs proche de la solution exacte du problme.

    Convergence au sens du processus de rsolution

    incrmental et itratif

    Elle permet d'obtenir la solution en dplacements et en contraintes pour un

    maillage et un schma d'intgration des lois de comportement donns.

    Convergence au sens du schma d'intgration locale

    Elle permet le calcul des contraintes et des quantits non linaires

    (dformation plastique, crouissage) vrifiant la loi de comportement.

    Trois notions de convergence

  • Plan

    Lois de comportement

    Elasticit

    Elastoplasticit

    Algorithmes (Mthode des lments finis)

    Incrments et itrations

    Quelques remarques

    Exemples dapplication

  • Maillage grossier Maillage fin

  • Un calcul incrmental par lments finis de type

    dplacements permet d'tudier la stabilit des ouvrages et

    de dceler l'amorce d'un mcanisme de rupture.

    En pratique, la stabilit d'un ouvrage est analyse l'aide

    d'une des quatre approches suivantes :

    - forces ou pressions imposes ;

    - dplacements ou rotations imposs ;

    - rduction des paramtres de rsistance ;

    - activation de couches de sol (remblaiement) ou

    dsactivation (excavation).

    Calculs numriques et stabilit des ouvrages

  • L'exploitation des rsultats suivants constituent des indicateurs annonciateurs de la formation d'une zone de rupture dans le maillage :

    - l'analyse de courbes de type chargement-tassement, qui constitue la mthode la plus convaincante pour mettre en vidence l'amorce de la rupture du massif de sol et estimer une charge limite ;

    - les difficults de convergence du processus itratif (augmentation soudaine du nombre d'itrations, dcroissance lente de la norme des forces rsiduelles). Il en est de mme a fortiori pour la divergence du processus ;

    - les mouvements excessifs dans certaines zones du massif de sol sans augmentation significative des contraintes ;

    - le dveloppement soudain des zones plastiques dans le maillage ;

    - la visualisation des isovaleurs de dformations plastiques ou de dformations de cisaillement. Une comparaison avec les dformations la rupture dduites des essais triaxiaux permet d'estimer les zones rellement en rupture. Les dformations triaxiales au dbut du palier d'coulement varient entre 0,5 et 10% pour les sables, et entre 1 et 20% pour les argiles ;

    - les efforts de traction mobiliss dans les renforcements qui, compars avec les seuils de rsistance, indiquent ou non une cassure.

  • L'exploitation des rsultats suivants constituent des indicateurs annonciateurs d'une zone de rupture dans le maillage :

    - l'analyse de courbes de type chargement-tassement ;

    - les difficults de convergence du processus itratif ;

    - les mouvements excessifs dans certaines zones du massif de sol sans augmentation significative des contraintes ;

    - le dveloppement soudain des zones plastiques dans le maillage ;

    - la visualisation des isovaleurs de dformations plastiques ou de dformations de cisaillement ;

    - les efforts de traction mobiliss dans les renforcements qui, compars avec les seuils de rsistance, indiquent ou non une cassure.

  • L'ensemble des points dpassant les seuils en dformations

    constitue une zone de rupture, qui s'tend au cours du

    calcul jusqu' ce que le processus itratif ne converge plus

    pour un certain chargement. Cette zone fournit une

    indication sur la forme du mcanisme de rupture.

    Lorsque la non-convergence ou la divergence apparat

    nettement, le chargement appliqu n'est plus supportable

    par le milieu tudi.

    Cette approche a conduit de bons rsultats pour des

    problmes dont des solutions thoriques sont connues

    (expansion d'une cavit, capacit portante des fondations

    ou stabilit des fouilles verticales) et les formes de

    mcanismes obtenues sont proches des surfaces de

    glissement thoriques.

  • En revanche, pour certains types d'ouvrages, des difficults peuvent apparatre et compliquer l'analyse de la stabilit et

    la mise en vidence d'une surface de glissement.

    Ainsi, il n'est pas toujours ais de slectionner des points

    reprsentatifs lorsque plusieurs mcanismes se

    manifestent.

    C'est le cas de certains ouvrages en sol renforc ou de

    massifs de sols trs htrognes.

  • Paramtre Hypothses non justifies pour

    rduire la dure des calculs

    Angle de dilatance y y = j ou 20 < y < j. L'angle de dilatance est alors trop important par

    rapport la ralit exprimentale et les

    variations de volume ne seront pas bien

    reprsentes dans le calcul.

    Cohsion effective des

    sols granulaires

    1 kPa < c < 10 kPa. Une cohsion non

    nulle est souvent adopte pour les sols

    granulaires afin d'viter des problmes de

    traction prs de la surface et rduire le

    nombre des itrations. Une cohsion trop

    forte peut perturber grandement les

    rsultats.

    Loi de chargement Simulation d'un remblaiement par un accroissement du poids volumique et non

    par un calcul en plusieurs tapes.

  • Vrification des rsultats dun calcul

    Indicateurs sur le droulement des calculs : contrle du processus itratif (tests de convergence) ;

    estimateurs d erreurs a posteriori

    Analyse visuelle de la dforme globale : respect des conditions aux limites ;

    signe des forces appliques ;

    cohrence globale de la cinmatique visualise.

    tude du champ de contraintes : loin des ouvrages et des sollicitations, on doit retrouver le

    champ de contraintes initiales ;

    aux points d application des forces, on peut vrifier l quilibre avec le vecteur contraintes.

  • Quelques conclusions

    Limitations de loutil de calcul :

    les lois de comportement ;

    les couplages dvelopper interaction sol-structures en prsence deau

    Limitations pour lutilisateur :

    donnes peu nombreuses ?

    donnes trop nombreuses ?

    mthodologies insuffisantes ?

  • Ce que lon sait faire :

    problmes de massifs sans interaction.

    Ce que lon sait peu prs faire :

    remblais, tunnels, fondations superficielles.

    Ce que lon ne sait pas bien faire :

    interactions / interfaces (inclusions) ;

    sols renforcs ;

    localisation des dformations ;

    formation dune surface de glissement.

    Ce que lon ne saura jamais faire :

    conditions dexcution des travaux ;

    histoire des matriaux en place.

  • FIN