Los algoritmos y la resolucion automtica de problemas Boris Avraamovich Trajtenbrot
Gentileza de Rafael Jos Rodrguez 1 Preparado por Patricio Barros
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Resea
Este libro, que es una introduccin elemental a la teora de los algoritmos, est
dedicado a la explicacin de uno de los conceptos esenciales de las matemticas, al
del algoritmo. En el libro se examinan cuestiones limtrofes de la lgica matemtica
y la teora de las mquinas automticas de tratamiento de la informacin.
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ndice
Prefacio
Introduccin
1. Algoritmos numricos
2. Algoritmos para la resolucin de problemas lgicos
3. El problema de las palabras
4. Mquina de calcular con mando automtico
5. Programas (los algoritmos de mquina)
6. La necesidad de precisar el concepto de algoritmo
7. La mquina de Turing
8. Realizacin de algoritmos en la mquina de Turing
9. Hiptesis bsica de la teora de los algoritmos
10. La mquina universal de Turing
11. Problemas algortmicamente insolubles
Observaciones finales
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Este libro, que es una introduccin elemental a la teora de los algoritmos, est
dedicado a la explicacin de uno de los conceptos esenciales de las matemticas, al
del algoritmo. En el libro se examinan cuestiones limtrofes de la lgica matemtica
y la teora de las mquinas automticas de tratamiento de la informacin.
El libro fue escrito a base de las conferencias de divulgacin y los informes
generales que dio el autor en la ciudad de Penza desde el ao 1951 ante diferentes
auditorios y del artculo del mismo nombre publicado en la revista "
" (Las matemticas en la escuela) (Nos 4 y 5, 1956).
A aquellos que deseen estudiar con ms profundidad estas cuestiones se les puede
recomendar el libro de Boris Avraamovich Trajtenbrot: "
, sovitskoye , ,
1974", Los algoritmos y los autmatas de cmputo, editorial Sovitskoye Radio,
Mosc, 1974).
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Introduccin
En los aos de postguerra las computadoras de alta velocidad han tenido un
considerable desarrollo. Hoy en da se emplean para la resolucin de los ms
variados problemas matemticos y lgicos. La caracterstica peculiar de estas
computadoras, la que las distingue de las mquinas de calcular anteriores, consiste
en que, al cumplir sus funciones, ellas, desde el momento en que se introducen los
datos iniciales y el programa hasta que se imprime el resultado final, trabajan sin
ninguna intervencin del hombre. La productividad de las computadoras
electrnicas modernas es enorme: ellas realizan cientos de miles de operaciones
aritmticas en un segundo, lo que es por lo menos 100 veces ms de lo que puede
hacer en un solo turno un empleado de alta calificacin que trabaje con un buen
aritmmetro de teclas1. La esfera del empleo de las computadoras automticas
contina amplindose: las mquinas resuelven complejos sistemas de ecuaciones,
traducen de una lengua a otra, juegan al ajedrez, etc. Las perspectivas del empleo
de las computadoras automticas en la industria son enormes, ellas pueden realizar
el control de todos los procesos tecnolgicos en grandes fbricas. Adems, la
posibilidad de un rpido y seguro tratamiento de la informacin y tambin de un
anlisis de datos experimentales crea la premisa para que aparezcan mtodos
nuevos de investigacin que antes no estaban al alcance en muchas ramas de la
ciencia.
Hoy, ya est completamente reconocido que las computadoras automticas son un
potente instrumento del trabajo intelectual, capaces no slo de aligerar al hombre
de este trabajo, sino de liberarlo por completo de algunas clases de un grande y
tenso trabajo mental.
Al mismo tiempo los xitos conseguidos pueden crear y crean muchas injustificadas
ilusiones y pronsticos puramente fantsticos sobre la omnipotencia de estas
mquinas. Particularmente se debe indicar el alboroto de propaganda que se ha
levantado en parte de la prensa extranjera sobre el cerebro gigante electrnico,
sobre los autmatas capaces de resolver cualquier problema y reemplazar el
trabajo creador del cientfico.
1 Desde el punto de vista de la ejecucin de operaciones de cmputo.
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Adquiere una gran actualidad y agudeza, en relacin con las circunstancias
indicadas, la cuestin sobre las clases del trabajo intelectual que pueden cumplir las
computadoras automticas. Desde un determinado punto de vista esta cuestin se
examina y soluciona en la moderna teora de los algoritmos que es una rama
importante de la lgica matemtica.
Es caracterstico para la lgica matemtica el estudio de la esencia de tales
nociones como proceso de cmputo, demostracin matemtica, algoritmo,
etc. Ya varios aos antes de la creacin de las computadoras automticas
electrnicas modernas en la lgica matemtica fue elaborada un concepto exacto
de algoritmo y un esquema general de una computadora automtica (la mquina
de Turing), tambin se aclar la estrecha relacin que existe entre los algoritmos y
las mquinas.
Eso permiti resolver una serie de importantes teoremas que daban luz a la esencia
de los procesos que se realizan en las computadoras automticas; en particular, fue
rigurosamente demostrada la existencia de tales problemas para los cuales es
imposible su resolucin en mquina. El presente libro est dedicado al estudio de la
relacin entre los algoritmos y las mquinas.
En los 1 al 3 se explica en una serie de ejemplos lo que es algoritmo y se
componen los algoritmos de resolucin de problemas matemticos y lgicos de
varias clases.
En los 4 y 5 se exponen los principios de construccin de las mquinas
computadoras electrnicas y de composicin de programas o sean los algoritmos
adaptados para su realizacin en mquinas.
Los epgrafes 6 al 11 estn dedicados a una serie de importantes casos de la teora
de los algoritmos. En calidad del concepto bsico de la teora ha sido aceptado el
concepto de la mquina de Turing.
Muchas demostraciones son tan voluminosas que no permiten darlas por entero en
un libro tan pequeo. Por eso, aqu hay ciertas divergencias de la rigurosidad y de
la plenitud de la exposicin las que, sin embargo nos parece, no slo no molestan,
sino que, al revs, favorecen a la mejor comprensin de la esencia de la cosa. Para
generalizar el cuadro sobre el tema, en el 6 se renen en un resumen algunas
cuestiones.
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Hagamos una observacin ms. Se llaman electrnicas a las computadoras
modernas de mando automtico, puesto que sus partes principales estn
construidas con elementos electrnicos.
El empleo de la tcnica electrnica asegura un gran ahorro de tiempo necesario
para realizar las operaciones que cumple la mquina. Sin embargo, la particularidad
fundamental de estas mquinas, el control automtico de los procesos que tienen
lugar en ellas, no es precisamente el empleo de la tcnica electrnica. Los
elementos electrnicos, en un principio, podran ser reemplazados incluso por
mecanismos, o sea, podra crearse una mquina computadora mecnica de control
automtico capaz de resolver los mismos problemas que la electrnica (pero, claro,
mucho ms despacio). As que no se puede concebir que la aparicin de las
computadoras de esta nueva clase es el resultado del desarrollo solamente de la
tcnica electrnica. Es ms, la primera descripcin de una mquina computadora
automtica (la mquina de Turing, vase el 7) se dio en la teora de los algoritmos
ya en el ao 1936 y se present como la descripcin de un mecanismo. Las
primeras mquinas construidas (1940) fueron electromecnicas.
En el presente libro al describir la construccin de las computadoras no nos
concentraremos en los detalles tcnicos, fundamentalmente prestaremos la
atencin al estudio de los principios de interaccin de las diferentes partes de la
computadora. Este enfoque corresponde al principal fin del libro que consiste en
revelar las posibilidades matemticas y lgicas de las computadoras y no en
mostrar el aspecto tcnico de la cosa.
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1. Algoritmos numricos
El concepto de algoritmo pertenece a las nociones fundamentales de la matemtica.
Entendemos por algoritmo la prescripcin exacta sobre el cumplimiento de cierto
sistema de operaciones en un orden determinado para la resolucin de todos los
problemas de algn tipo dado.
Se sobrentiende que la frase anterior no
