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Guía números reales calculo 1
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1
Los Números Reales
Introducción
Es claro que para demostrar una proposición , hay que partir de otras proposiciones ya establecidas, es por ello que siempre hemos de tomar unas proposiciones como las primeras, las cuales hay que aceptar sin demostración. Por otra parte, es claro que las proposiciones enuncian propiedades de ciertos objetos, algunos de los cuales podran definirse a partir de otros , pero tambien se hace necesario partir de ciertos objetos y conceptos primitivos, los cuales reconocemos de manera natural ( conjunto proposición, punto, recta ,....). Los conceptos primitivos y las proposiciones primitivas se reúnen en un sistema de Axiomas ( o Postulados ) los cuales definen el sistema deductivo,constituyendo la base sabre la cual se demuestran los Teoremas y se elaboran los conceptos no primitivos de la teoría.
Llamaremos conjunto de los números reales, al conjunto que denotaremospor en el cual se define la relación de igualdad " " la cual satisface‘, œlas siguientes propiedades:
Dados en cualquiera, se cumple que+ß ,ß - ‘
Reflexividad + œ +
es decir :
Ð a+ − Ñ Ð + œ + Ñ‘ Simetría si entonces + œ , , œ +
es decir :
Ð a+ − ÑÐ a, − ÑÐ + œ , Ê , œ + Ñ‘ ‘
2
Transitividad si y entonces + œ , , œ - + œ -
es decir :
Ð a+ − ÑÐ a, − ÑÐ a- − ÑÐ + œ , • , œ - Ê + œ - Ñ‘ ‘ ‘
En dicho conjunto se definen las operaciones suma y producto, las cuales se simbolizan por y , respectivamente de modo que el sistema . satisface los siguientes Axiomas (propiedades), es decir el.Ð ß ß Ñ‘ conjunto debe estar constituido por los elementos necesarios de modo que‘ se cumplan las siguientes propiedades :
Dados en cualquiera, se cumple que :+ß ,ß - ‘
Axioma 1
El conjunto es cerrado respecto a la suma.‘
es un elemento de + , ‘ es decir :
Ð a+ − ÑÐ a, − ÑÐ + , − Ñ‘ ‘ ‘
Axioma 2
La suma en es asociativa.‘
Ð+ ,Ñ - œ + Ð, -Ñ es decir :
Ð a+ − ÑÐ a, − ÑÐ a- − ÑÐ Ð+ ,Ñ - œ + Ð, -Ñ Ñ‘ ‘ ‘
3
Axioma 3
La suma en es conmutativa.‘ + , œ , + es decir :
Ð a+ − ÑÐ a, − Ñ Ð + , œ , + Ñ‘ ‘
Axioma 4
Existe el elemento , llamado cero, que ! − ‘ cumple con : para todo en + ! œ + ß + Þ‘
El número cero es llamado Neutro AditivoÞ es decir :
Ð b! − ÑÐ a+ − Ñ Ð + ! œ + Ñ‘ ‘
Axioma 5
El conjunto es cerrado respecto al producto .‘ es un elemento de .+ , ‘ es decir :
.Ð a+ − ÑÐ a, − Ñ Ð + , − Ñ‘ ‘ ‘
Axioma 6
El producto en es asociativo .‘ . . . .Ð+ , Ñ - œ + Ð, -Ñ es decir :
. . . .Ð a+ − ÑÐ a, − ÑÐ a- − ÑÐ Ð+ , Ñ - œ + Ð, -Ñ Ñ‘ ‘ ‘
4
Axioma 7
Existe un elemento que denotaremos por en , llamado" ‘ elemento uno, que cumple con : para todo en ." + œ +ß Þ+ ‘ El número se llama ." Neutro Multiplicativo es decir :
.Ð b" − ÑÐ a+ − Ñ Ð " + œ + Ñ‘ ‘
Axioma 8
El producto en es conmutativo .‘ . .+ , œ , + es decir :
. .Ð a+ − ÑÐ a, − Ñ Ð + , œ , + Ñ‘ ‘
Axioma 9
El producto es distributivo respecto a la suma.
. . .+ Ð, -Ñ œ + , + - es decir :
. . .Ð a+ − ÑÐ a, − ÑÐ a- − ÑÐ + Ð, -Ñ œ + , + - Ñ‘ ‘ ‘
Axioma 10
" Á ! Þ
5
Consecuencia de los Axiomas
El hecho que el conjunto este formado de modo que sus elementos‘ satisfagan las propiedades anteriores respecto a las operaciones suma y producto trae como consecuencia la satisfacción de otras propiedades importantes ,como :
Teorema El neutro aditivo es único.
Demostración
Supongamos que hay dos , sean dichos neutros!ß !" por lo tanto ,se cumple que : para todo en y tambien + + ! œ + + ! œ +‘ "
pero en si consideramos que + ! œ + + œ !" se tiene : 0" " ! œ ! por otro lado si en consideramos que + ! œ + + œ !"
se tiene : 0! œ !"
pero recuerde que se sabe que la suma es conmutativa ,por lo tanto se tiene que : 0 0 es decir por la transitividad se tiene que! œ ! œ ! œ !" " "
! œ !" es decir ,el neutro aditivo es único
otra forma
Supongamos que hay dos, sean los neutros aditivos!ß ! −" ‘
en particular se tieneÍ + ! œ + • + ! œ + à a+ − à" ‘
Ê ! ! œ ! • ! ! œ !" " "
=Ê ! ! ! œ ! œ ! ! œ !" " " "
Ê ! œ !"
es decir el neutro aditivo es único
6
Teorema El neutro multiplicativo es único.
Demostración
Supongamos que hay dos ,sean dichos neutros; con "ß " "ß " −" " ‘
en particular se tiene. .Í " + œ + • " + œ + à a+ − à" ‘
. .Ê " " œ " • " " œ "" " "
= . .Ê " " " œ " " œ "" " "
Ê " œ ""
es decir el neutro multiplicativo es único
Observación
1.- De lo anterior se tiene que el conjunto esta formado a lo menos‘ por los números ; , ; , , ; dependiendo delÀ !ß " !ß " # !ß " # $ ÞÞÞÞ valor de " " ..." " pudiendo obtener tambien lo que conocemos como los números Naturales,el cual denotamos por
2.- Del trabajo cotidiano ,sabemos que se requiere del uso de otro tipo de números, como son los números negativos, pero las propiedades anteriores no justifican la existencia de dichos números
Sin embargo, si le exigimos al sistema que tambien satisfaga el.Ð ß ß Ñ‘ siguiente axioma (propiedad):
7
Axioma 11
Para todo en existe un elemento en , denotado por ,+ ß +‘ ‘ que cumple con : + Ð +Ñ œ ! El número se llama de . + +Inverso Aditivo
es decir :
Ð a+ − ÑÐ b + − Ñ Ð + Ð +Ñ œ ! Ñ‘ ‘
Notación + Ð ,Ñ œ + ,
Observación
Se tiene como consecuencia importante, la satisfacción de las siguientes propiedades
Teorema
El único elemento de que cumple la propiedad : ‘ + + œ + es el !
Demostración
Sea tal que + − + + œ +‘ por probar que : + œ !
se tiene que : + œ + ! œ + Ð+ +Ñ œ Ð+ +Ñ + œ + + œ ! luego se tiene que : + œ !
Teorema Para todo en , se cumple que .+ ! + œ ! Þ‘
Demostración
se tiene que : luego. . . .+ ! œ + Ð! !Ñ œ + ! + !
y del Teo anterior se tiene que. . .+ ! œ + ! + ! ß .+ ! œ !
8
Observación
1.- Por lo anterior se tiene que en el conjunto están los números ‘ À ,ÞÞÞÞ ß # ß " !ß "ß #ß $ß ÞÞÞÞ es decir lo que conocemos como el conjunto de los números Enteros, el cual denotamos por pues , no puede ser , no puede ser , ™ " " ! " por lo tanto diremos que es y así sucesivamente#
2.- Pero tambien ,del trabajo cotidiano ,sabemos de la existencia de otro tipo de números,como son los números fraccionarios , pero las propiedades anteriores no justifican la existencia de dichos números
Pero si le exigimos al sistema que tambien satisfaga el.Ð ß ß Ñ‘ siguiente axioma :
Axioma 12
Para todo existe que cumple con:+ − ! ß + ß‘ ˜ ™ "
. .+ + œ + + œ "" "
El número real se llama .+" Inverso Multiplicativo es decir :
.Ð a+ − ! ÑÐ b+ − ! Ñ Ð + + œ " Ñ‘ ‘˜ ™ ˜ ™" "
Observación
1.- Por lo anterior se tiene que el conjunto se ha transformado el‘ conjunto formado por los números À ,ÞÞÞÞ ß ß ß # ß " !ß "ß #ß $ß ÞÞÞÞß ß ß" $ % " $ %
# # $ # # $
es decir lo que conocemos como el conjunto de los números Racionales,el cual denotamos por pues, como esta en , se tiene que debe ser otro elemento de # #‘ ‘"
que no puede ser : por lo tanto adquire sentido el!ß "ß "ß #ß # simbolo y así sucesivamente"
# ß
2.- Se tiene que estos nuevos conjuntos tambien satisfacen otras propiedades importantes como:
9
Teorema sólo si ó .+ , œ ! Ð+ œ !Ñ Ð, œ !Ñ
Demostración
Se sabe que : Í ; ´ Ð : Ê ; • ; Ê : Ñ
I.- es claro que À Ê ´ Z .Ð+ œ ! ” , œ !Ñ + , œ !
II.- por demostrar que : + , œ ! Ð+ œ !Ñ ” Ð, œ !Ñ Z. es Ê caso I si , es claro que la proposición es verdadera, œ ! caso II Supongamos que y que , Á ! + , œ !. por lo tanto debemos probar que + œ !
como tal que ., Á ! existe , , , œ "" "
con lo cual:
. . . . . .+ œ + " œ + Ð, , Ñ œ Ð+ ,Ñ , œ ! , œ !" " "
es decir : + œ !
De I y II se tiene que la proposición es verdadera
Teorema Para cada , su inverso aditivo, es único .+ − ‘
Demostración
Dado en ,supongamos que en son inversos+ + ß +‘ ‘ß
luego , se cumple que : y + Ð +Ñ œ ! + + œ !ß
y como : + œ + ! œ + Ð+ Ð +ÑÑ œ + + Ð +Ñß ß ß ß
œ ! Ð +Ñ œ + se tiene que : + œ +ß
es decir, el inverso aditivo es único
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Teorema
Para cada su inverso multiplicativo, es único.+ − ! ß‘ ˜ ™Demostración
Dado en ,supongamos que en son inversos+ ! + ß + !‘ ‘˜ ™ ˜ ™" ß
luego , se cumple que : y . .+ Ð + Ñ œ " + + œ "" ß
y como : . . . . .+ œ + " œ + Ð+ Ð + ÑÑ œ + + Ð+ Ñß ß ß " ß "
.œ " Ð+ Ñ œ +" "
se tiene que : es decir, el inverso multiplicativo es único+ œ +ß "
Teorema Para todo , en , se cumple que :+ , ‘
1.- + œ Ð "Ñ+
2.- Ð +Ñ œ +
3.- Ð+ ,Ñ œ Ð +Ñ Ð ,Ñ
4.- Ð +Ñ, œ Ð+,Ñ œ +Ð ,Ñ
5.- Ð +ÑÐ ,Ñ œ +,
Demostración
1.- considerando que, se sabe que el inverso aditivo es único y que : + Ð "Ñ+ œ "+ Ð "Ñ+ œ Ð" Ð "ÑÑ+ œ !+ œ ! se tiene que + œ Ð "Ñ+
2.- se sabe que y que por ello es el inverso aditivo de À + Ð +Ñ œ ! + + por lo tanto como : + Ð +Ñ œ ! Í Ð +Ñ + œ ! se tendra que el inverso aditivo de es + + pero por notación, el inverso aditivo de es + Ð +Ñ luego : Ð +Ñ œ +
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3.- considerando lo anterior se tiene que
Ð+ ,Ñ œ Ð "ÑÐ+ ,Ñ œ Ð "Ñ+ Ð "Ñ, œ Ð +Ñ Ð ,Ñ
4.- y 5.- Tarea
Notación
Dados + − ß , − !‘ ‘ ˜ ™ se tendra que 1.- , œ" "
,
2.- + † , œ + † œ" " +, ,
Teorema Para todo , en , se cumple que :+ , !‘ ˜ ™ 1.- Ð+ Ñ œ +" "
2.- Ð+ † ,Ñ œ + † ," " "
Demostración
1.- se sabe que y que por ello es el inverso miltiplicativo de À + † + œ " + +" "
por lo tanto como : + † + œ " Í + † + œ "" "
se tendra que el inverso multiplicativo de es + +"
pero por notación, el inverso multiplicativo de es + Ð+ Ñ" " "
luego : Ð+ Ñ œ +" "
2.- se tiene que, el inverso aditivo de es + † , Ð+ † ,Ñ"
y como Ð+ † ,Ñ † Ð+ † , Ñ œ Ð+ † ,Ñ † Ð, † + Ñ" " " "
œ + † Ð, † , Ñ † + œ + † " † +" " "
œ + † + œ ""
se tiene , por unicidad del inverso que : Ð+ † ,Ñ œ + † ," " "
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Teorema Para todo , ,c en ,se cumple que+ , ‘
1.- si entonces + - œ , - + œ ,
2.- si con entonces + † - œ , † - - Á ! + œ ,
3.- si entonces + œ , + - œ , -
4.- si y entonces + œ , - Á ! + † - œ , † -
Demostración
1.- supongamos que : + - œ , - por ver que + œ , se tiene que : + œ + ! œ + Ð- Ð -ÑÑ œ Ð+ -Ñ Ð -Ñ œ Ð, -Ñ Ð -Ñ œ , Ð- Ð -ÑÑ œ , ! œ , es decir ,es cierto que : + œ ,
2.- supongamos que : con + † - œ , † - - Á ! por ver que + œ , se tiene que : + œ + † " œ + † Ð- † Ð- ÑÑ œ Ð+ † -Ñ † Ð- Ñ" "
œ Ð, † -Ñ † Ð- Ñ œ , † Ð- † Ð- ÑÑ" "
œ , † " œ , es decir ,es cierto que : + œ ,
3.- y 4.- Tarea
Observación
1.- Son esas propiedades vistas anteriormente, las propiedades que satisfacen los números que hemos definido,por lo tanto en el uso de los números en relación a las operaciones suma y producto de deben respetar dichas propiedades.
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2.- Dados +ß ,ß - − ‘ se tiene que
i). + œ + † " œ + † " œ" +"
ii). si + œ , Á !+†,,
iii).- + œ œ Ð+ † -Ñ † - , † -, +†- ,- -
" "c
œ Ð+ † - ,Ñ † - œ" +†-,-
iv). + - +†. ,†- +†.,†-, . ,†. ,†. ,†. œ œ
Potencias y Raíces
Definición
Sea , un entero positivo, se define informalmente la+ − 8‘potencia de las cuales denotaremos por como:8 /=37+ + ß +8
... . . . . + œ + + + +8
factoresÐ 8 Ñ
Teorema
Sean , , y Se cumple que 8 7 − + ß , − Þ ‘
1.- + † + œ +8 7 87
2.- = si ++
8
7 + Ð 7 8Ñ87 + Á !ß
3.- + † , œ Ð+ † ,Ñ8 8 8
4.- + +, ,
8
8 œ Ð ÑÐ Ñ8 , Á !
5.- Š ‹+ œ +8 8†77
6.- + œ Ð Ñ8 "+8 + Á !
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Definición Sea , entonces+ − Ö!ב + + Á !! œ " Ð Ñ
Productos Notables
Sean , Entonces tenemos los siguientes productos notables:+ ß , ß B C − Þ‘
1. B Ð+ ,Ñ œ B + B ,† † †
2. B Ð+ ,Ñ œ B Ð+ Ð ,Ñц †
œ B + B Ð ,Ñ œ B + B ,† † † †
3. Ð+ ,Ñ † ÐB CÑ œ + † B + † C , † B , † C
4. ÐB +Ñ ÐB ,Ñ œ B Ð+ ,Ñ B + ,† † †#
5. Ð+ ,Ñ œ Ð+ ,Ñ Ð+ ,Ñ œ + #+ , ,# # #† †
6. Ð+ ,Ñ œ Ð+ ,Ñ Ð+ ,Ñ œ + #+ , ,# # #† †
7. Ð+ ,Ñ œ + $+ , $+ , ,$ $ # # $† †
8. Ð+ ,Ñ œ + $+ , $+ , ,$ $ # # $
† †
9. + , œ Ð+ ,Ñ Ð+ ,Ñ# #†
10. + , œ Ð+ ,Ñ Ð+ + , , Ñ$ $ # #† †
11. + , œ Ð+ ,Ñ Ð+ + , , Ñ$ $ # #† †
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Ejemplo
Simplifique al máximo las siguientes expresiones algebraicas, indicando restricciones.
1.- Š ‹ Œ " " B " " # B+ , +, + , +, + , Ð+ , Bу # # # #
#
Solución
Š ‹ Œ " " B " " # B+ , +, + , +, + , Ð+ , BÑ ƒ # # # #
#
œ Ð+ , BÑ ƒŠ ‹ Œ ,+B , + #+,B+, + ,
# # #
# #
œ Ð+ , BÑ ƒŠ ‹ Œ ,+B+, + ,
Ð+,Ñ B# #
# #
œ ƒŒ Œ Ð,+BÑ Ð+,BÑÐ+,BÑ+, + ,
Ð+,BÑ# #
œ † œ +,Œ Œ Ð,+BÑ+, Ð+,BÑÐ+,BÑ
+ ,Ð+,BÑ # #
V À + Á ! • , Á ! • , + B Á ! • , + B Á !
2.- # B C BC B C
B Ca b# # % %
% %
Solución
# B C BC B C # B C BC B C B CB C B C B C
a b a b a ba ba ba b# # % % # # # # # #
% % # # # #
œ
œ œ œ a ba ba ba bB C #BCB C ÐBCÑB C B C B C B C
#BCB C# # # # #
# # # # # # # #
# #
V À B Á C • B Á C
16
3.- ÐBCÑ ÐB C Ñ
BCÐBCÑ
$ $ $
Solución
ÐBCÑ ÐB C Ñ ÐB $B C$BC C ÑÐB C ÑBCÐBCÑ BCÐBCÑ
$ $ $ $ # # $ $ $
œ
œ œ $$B C$BCBCÐBCÑ BCÐBCÑ
$BCÐBCÑ# #
œ
V À B Á ! • B Á C • C Á !
4.- " , + ""+ , + , "+ ,# # # # # Š ‹"
Solución " , + "
"+ , + , "+ ,# # # # # Š ‹"
œ " , + "
" "+,, +# #
+ ,# #
# #
# Š ‹"
œ " , + "+,+ , , +# # # #
+ ,# #
# #
# Š ‹"
œ + +, ,+ , , + , +
# #
# # # # # # # Š ‹ œ + #+, ,
+ , + , + ,
# #
# # # # # #
œ + #+,,+ , Ð+, ÑÐ+,Ñ
Ð+,Ñ# #
# #
#
œ œ +,+,
V À + Á , • + Á , • + Á ! • , Á !
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5.- G œB C
B BC#B#C
$ $
#
Solución
G œ œ œÐBCÑÐ BCC Ñ ÐBCÑÐ BCC ÑBÐ Ð
BCCB BB CÑ #ÐB CÑ B CÑÐB #Ñ B #
B# # # # # #
V À B Á C • B Á #
6.- I œ Œ "%B C(B C
# %
$ '
#
Solución
I œ œ #BC œŒ Œ Œ "%B C(B C
# # ## "
#BC
$ '
# % # œ "%B C# %
V À B Á ! • C Á !
7.- K œ$ #B C& 'B C#
+
Solución
K œ œ œ$C#B
&C 'B# # #BC
BC#
#
$C#B
&C 'B &C 'BÐ$C#BÑC
BCBC†
V À B Á ! • C Á ! • &C Á 'B#
8.- L œ
BCB C" "
Solución
L œ œ œ œ BCBC BC
ÐBCÑBCBC" "
B CBCBC
V À B Á ! • C Á ! • B Á C
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Definición
Sean + − 8 −‘ ; Caso I Si y es impar, .+ − 8 8 Á "‘ Se dice que el número real es la de si , +raíz -ésima8
, œ +Þ8
Caso II Si y es par.+ − 8‘!
Se dice que el número real es la de si , +raíz -ésima8
y , œ + , − Þ8 ‘!
Observación
1.- En cualesquiera de los dos casos la raiz esima de se8 +
denotará por o È8 "8+ + Þ
2.- El número se llama índice de la raíz y se llama8 + cantidad subradical.
3.- ÐÈ É88+ Ñ œ œ" " "
+ +È 8
œ + œ Ð+ Ñ œ +È8 " "8 8" "
Definición ( Potencia racional )
Sean 8 ß7 − ß + −™ ‘
Si se tendra queŠ ‹ Š ‹+ ß + −"8
"87
7 ‘
Š ‹ Š ‹+ œ + œ + œ"8
"8 7
87
87 È+7
Observación
si È È# #+ Á + + Ð $Ñ œ $ Á $# #− ‘ ya que
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Teorema
Sean , , y , siempre que las siguientes expresiones8 7 − + ß , − ‘estén bien definidas, se cumple que:
1.- + † + œ +8 7 87
2.- = ++
8
7 +87
3.- + † , œ Ð+ † ,Ñ8 8 8
4.- + +, ,
8
8 œ Ð Ñ8
5.- Š ‹+ œ +8 8†77
6.- + œ8 "+8
Ejemplos
Simplifíque al máximo,indicando restricciones si corresponde
1.- % # # "' &%È ÈÈ$ $$
Solución
% # # "' &% œ % # # # $ † #È È ÈÈ È È$ $ $$ $ $% $
œ % # % # $ #È È È$ $ $
œ & #È$
20
2.- # ) $ ") &!$ & #
È È È
Solución
# ) $ ") &!$ & # $ & #
# # $È È È È È È œ
$ $ †# & †## #
œ % #$ & #
* &È È È
# #
œ Ð Ñ% * &$ & # † #È
œ Ð Ñ œ %!&%(& )*$! $!† # † #È È
3.- #ÐB"Ñ BÐB"Ñ
ÐB"Ñ
" "# #
"#
# ‘Solución
#ÐB"Ñ BÐB"Ñ
ÐB"Ñ ÐB"Ñ
#ÐB"Ñ " "# #
" "# #
# #
"# B
ÐB"Ñ"# ‘ ‘œ
œ œ œ
#ÐB"ÑB
ÐB"Ñ"#
$ $# #ÐB"Ñ
#ÐB"ÑB
ÐB"Ñ ÐB"Ñ
B#
V À B " − ‘
4.- É ÈÉ È
# $
# $
Solución
É É ÉÈ È ÈÉ É ÉÈ È È
# $ # $ # $
# $ # $ # $œ †
œ œ # $# $
"
ÈÈ È
21
5.- #† #
& %
ÈÈ È$
$ $
% %È$
Solución
#† #
& %
ÈÈ È$
$ $
% %È$
œ #† # & & % %
& % & & % %
È ÈÈ È È ÈÈ ÈÈÈ È$ $
$ $ $ $
$ $# #$
# #$ $
† †
† % %È$
œ #† # Ð & & % % Ñ"
È ÈÈ ÈÈ$ $$ $# #$ † % %È$ œ # † Ð &! %! $# ÑÈ ÈÈ$ $$ % %È$ œ # † "! Ð & % ÑÈ È È$ $ $
6.- C
BÈ # C B#
Solución
C C
B B B
BÈ È ÈÈ
# # #
#
C B C B C B
C B# # #
#
œ †
œCÐ C BÑ
C
È B# #
#
œÈ B# C B
C
#
V À C Á !
22
7.- B B&
$B B È
Solución
B B B B& &
$ $ $
$
B B B B
B B B B
B B B B È È ÈÈ
œ †# $ #
# #$
ÈÈ
œÐB BÑÐ Ñ& $B B B B
B B
# $ #
$
È È
œBÐB "ÑÐB "ÑÐ Ñ
BÐ
# # $B B B B
B "Ñ
# $ #
#
È È
œ ÐB "Ñ Ð Ñ# B B B B# #È$ È$
V À B Á !
8.- * "'
$# %
$
$ ) %#( *
É ÉSolución
* "'
Ð$ Ñ Ð# Ñ
Ð Ñ Ð Ñ
$# %
$
$ ) %#( *
# %$# %
$
$ # #$ $
$ #É É É Éœ
œ $ #
$ $
# #$ $
œ œ "* &( %%
$
23
LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Considerando función proposicional en la variable sobre :ÐBÑ B ‘ que toma un valor de verdad (verdadero o falso) cada vez que se reemplaza la letra por un elemento de .B ‘ Se llama a : ecuación de primer grado :ÐBÑ À +B , œ -
donde y +ß ,ß - − + Á !‘
Buscar las soluciones para la ecuación anterior es equivalente a determinar el conjunto cuyos elementos son precisamente aquellos elementos de W ‘ para los cuales es verdadera. Es decir,:ÐBÑ
W œ B − Î :ÐBÑš ›‘
A continuación se presentan dos resultados que son necesarios para
determinar el conjunto solución de +B , œ -Þ
Teorema
1.- Œ Œ a +ß ,ß - − Ð, + œ - +Ñ Í Ð, œ -Ñ‘
2.- Œ Œ Œ ˜ ™a + − ! a , ß - − Ð+ † , œ + † -Ñ Í Ð, œ -Ñ‘ ‘
Demostración
1.- Caso I es claro que si entonces , œ - , + œ - +Caso II supongamos que , + œ - +
se tiene que , œ , ! œ , Ð+ +Ñ œ Ð, +Ñ + œ Ð- +Ñ + œ - Ð+ +Ñ œ - ! œ - luego , œ - es decir la proposición 1.- es Z /<.+./<+
2.- Tarea
24
Resolución de la ecuación de primer grado
Al buscar el conjunto solución de la ecuación en el conjunto+B , œ - de los números reales se ha de tener presente las siguientes consideraciones:
Sean y , entonces:ÐBÑ À +B , œ - + Á !
W œ B − Î :ÐBÑ œ B − Î +B , œ -š › š ›‘ ‘
œ B − Î +B œ - ,š ›‘
œ B − Î B œ œš › š ›‘ -, - ,+ +
Ejemplo
Resuelva en la siguiente ecuación‘
1.- B" %B )B " B" B# œ &
Solución
V À B " Á ! • B # Á ! Í B Á " • B Á # es decir V œ ÏÖ #ß "ב
si se tiene que :B − V
B" %B )B " B" B# œ &
Í œ &&B" )B " B#
Í Ð&B "ÑÐB #Ñ )ÐB "Ñ œ &Ð B "ÑÐB #Ñ
Í &B ""B # ) B ) œ &B &B "!# #
Í "%B œ % Í B œ #(
luego W œ Ö ×#(
25
2.- # "! $ÐB &ÑÐB #ÑB # B & œ ‡
Solución
V À B # Á ! • B & Á ! Í B Á # • B Á &
con lo cual : V œ ÏÖ &ß #ב
Si se tiene que :B − V
‡ Í #ÐB &Ñ "! œ $ÐB #Ñ
Í #B œ $B '
Í B œ '
por lo tanto : W œ Ö'× V œ Ö'×
3.- " " " "$ % ' &
" "& %
† † " "$ '
ˆ ‰ ˆ ‰B B
B B
œ ‡
Solución
V À B B " "& %Á ! • Á !
À B BÁ • Á " "& %
es decir : V œ ÏÖ ß ×‘ " "& %
Si B − V se tiene que :
* Í œ" % " " & "$ % ' &
& "&
% "%
† † "#
ˆ ‰ ˆ ‰B B
B B
Í † † œ † † " % " " & " " & " % "$ % ' & # & %
# #ˆ ‰ ˆ ‰B B B B
Í œ ˆ ‰ ˆ ‰% " & "
$†% '†& #†%†&Ð& "ÑÐ% "ÑB B B B
# #
# #
26
Í # † & % " % † & " œ $ † % † &Ð& "ÑÐ% "Ñ # ## #ˆ ‰ ˆ ‰B B B B
Í #& "' )B " ) #& " œ $!Ð#! * "Ñ ˆ ‰ ˆ ‰B B "!B B B# # #
Í %!! #!!B #& #!! ) œ '!! #(! $! B B )!B B B# # #
Í #!!B #(! œ $! #& ) )!B B
Í "! œ $ Í œ B B $"!
por lo tanto : W œ Ö × V œ Ö × Þ $ $"! "!
4.- Una fábrica produce semanalmente unidades de lámparas queB se venden a un precio de $( ¿Cuántas lámparas'!!B (#!!ÑÞ deben venderse para obtener ingresos de $780000?. En tal caso ,cual es el precio de venta de cada lámpara.
Solución
Se debe cumplir que : es decir :'!!B (#!! œ ()!!!!
luego'!!B œ ((#)!!
B œ "#))
por lo tanto hay que vender 1288 lámparas
y el precio de cada una está determinado por ()!!!!"#)) œ '!&ß &*!!'#"
luego cada una se vende a un precio aproximado de $ 605,59
27
5.- Un fabricante tiene para la venta un cierto numero de tubos de barro. Vende primero las tres quintas partes ,y despues se le hace un pedido de las siete octavas partes de los que le quedaban ; pero,antes de servir el pedido ,se le inutilizan 240 tubos ,y puede entregar sólo las cuatro quintas partes de la cantidad pedida. ¿Que numero de tubos se vendieron?
Solución
Sea el numero de tubos de barro dispuestos a la ventaB
si vende las tres quintas partes ,le quedan : tubos#&B
se le piden partes de es decir ( # () & #!B B
como se inutilizan 240 de los , le quedan : # #& &B B #%!
y como puede entregar sólo las partes del pedido,se tiene que :%&
es decir % ( #& #! &Ð BÑ œ B #%! B œ #!!!
por lo tanto el numero de tubos a la venta es de ,#!!!
pero se vendieron tubos"('!
6.- El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres .Este año se quiere hacer el mismo trabajo en sólo 20 días ¿Cuantos hombres se necesitarán?
Solución
Sea el trabajo,se tiene que,en un día ,un hombre realizaX
del trabajo ,por lo tanto en 20 días realiza " #!#)†'! #)†'!X X
del trabajo ,si es el numero de trabajadores ,se debe cumplir queB
es decir #! #)†'!#)†'! #!X † B œ X B œ œ #) † $ œ )%
por lo tanto se requieren hombres para terminar el trabajo)%
28
7. Una familia solicitó un préstamo para cubrir ciertas necesidades. Si se sabe que que el % de éste lo ocupó en pagar deudas, el"& % de éste lo ocupó en comprar artículos para el hogar y del#! à
resto, lo ocupó para compra de ropa, lo ocupó para# $& "!
reparaciones del hogar, dejando $ para imprevistos.))Þ*#! Determine el monto del préstamo?
Solución
Sea el monto del préstamo,se tiene que :B
lo ocupó en deudas , lo ocupó en artículos, por lo tanto le"& #!"!! "!!B B
queda del préstamo es decir ,B B B B"& #! '&
"!! "!! "!!
de los cuales : lo ocupó en ropa ,# '&& "!!† B
lo ocupó en reparaciones y le quedan $ '&"! "!!† B ))Þ*#!
por lo tanto se debe cumplir que :
B B B † B † B œ ))Þ*#!"& #! # '& $ '&"!! "!! & "!! "! "!!
es decir :
Ð † † ÑB œ ))Þ*#!'& # '& $ '&"!! & "!! "! "!!
con lo cual :
Ð † ÑB œ ))Þ*#!"$ "$ $ "$#! &! "! #!
luego :
Ð ÑB œ ')%!!$#!
por lo tanto : B œ %&'!!! ß
es decir el monto del préstamo es de $ %&'!!!
29
LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Considerando función proposicional en la variable sobre :ÐBÑ B ‘ que toma un valor de verdad (verdadero o falso) cada vez que se reemplaza la letra por un elemento de .B ‘ Se llama a: ecuación de segundo grado :ÐBÑ À +B ,B - œ !#
donde y +ß ,ß - − + Á !‘
Buscar las soluciones para la ecuación anterior es equivalente a determinar el conjunto cuyos elementos son precisamente aquellos elementos de W ‘ para los cuales es verdadera. Es decir,:ÐBÑ
W œ B − Î :ÐBÑš ›‘
Ejemplo
Dada la ecuación se tiene que :
%B 'B % œ !#
Í B B " œ !# $#
Í ÐB Ñ " œ !$ *% "'
#
Í ÐB Ñ œ$ #&% "'
#
Í ÐB Ñ œ Ð Ñ$ &% %
# #
Í ÐB Ñ Ð Ñ œ !$ &% %
# #
Í ÐB Ñ ÐB Ñ œ ! ‘ ‘$ & $ &% % % %
Í ÐB Ñ œ ! ” ÐB Ñ œ ! ‘ ‘$ & $ &% % % %
Í B œ ” B œ #"#
luego W œ #ßš ›"#
30
Resolución de la ecuación de segundo grado Observación
Dada la ecuación : con se tiene que+B ,B - œ ! + Á !#
completando cuadradoÍ B B œ !# , -+ +
*Í ÐB Ñ œ ! Í ÐB Ñ œ, , - , , %+-#+ %+ + #+ %+
# ## #
# #
sea se tiene que las soluciones de *˜ œ , %+- ß#
dependen de , por ello se tiene las tres situaciones siguientes:˜
1.- Si ˜ ! ‡ ´ Jß se tiene que
luego W œ g
2.- Si ˜ œ ! ÐB Ñ œ !ß se tiene que ,#+
#
es decir B œ !,#+
luego W œ š ›,#+
3.- Si ˜ ÐB Ñ œ !ß se tiene que , , %+-
#+ %+# #
#
lo cual podemos expresar como :
ÐB Ñ œ Ð Ñ Í ÐB Ñ Ð Ñ œ !, , %+- , , %+-#+ %+ #+ %+
# # # #É É# #
# #
Í ÐB Ñ ÐB Ñ œ ! ‘ ‘É É, , %+- , , %+-#+ %+ #+ %+
# #
# #
con lo cual : considerando el B œ „ „, , %+-#+ %+
É #
#
podemos decir que : por lo tanto B œ „,#+ #+
, %+-È #
W œ ßœ , , %+- , , %+-#+ #+
È È# #
31
Ejemplo Resuelva en la siguiente ecuación‘
1.- *%ÐB#ÑB $ B BÐB$Ñ
$ œ $
Solución
V À B $ Á ! • B Á ! Í B Á $ • B Á !
con lo cual : V œ ÏÖ!ß $ב
Si se tiene que :B − V
* Í %ÐB #ÑB $ÐB $Ñ œ $ Í %B &B ' œ !#
Í B œ œ Í B œ # ” B œ &„ "#") ) %
&„"" $Èpor lo tanto : W œ Ö#ß × V œ Ö#ß ×$ $
% %
2.- *"" "
" "B
œ "B#
Solución
* Í œ Í œ" "" # " # "
B"B
B"B
B# B#
Í œ Í œ " B"# #B" # #B"
B"
B# B#
Í #ÐB "Ñ œ Ð #B "Ñ B #ÑÐ
Í #B # œ # B # Í # $B œ ! B & B# #
Í BÐ# $Ñ œ ! Í B œ ! ” B œ B $#
ademas : V À B " Á ! • #B " Á ! • B Á !
es decir : 1V œ ÏÖ ß ß !ב "#
por lo tanto : W œ Ö!ß × V œ Ö ×$ $# #
32
3.-
B&#
"Ð ÑB#"
"#
"$B
"#B
$œ $
"! *
Solución
* Í Í
#B& #B&# #
" # B#B B
" "# #
"$BB#B
Ð"$BÑBB#
$ $œ œ$ $
"! "!
Í Í
Ð#B&ÑB Ð#B&ÑBÐB#Ñ#ÐB#Ñ # #ÐB#Ñ
"
$ÐB#ÑÐ"$BÑB $ÐB#ÑÐ"$BÑBB# B#
œ œ$ $
"! "!
Í ÍB #B"#
ÐB#Ñ
B "!B'#
B#
#
#œ œ$ $"! "!
B #B"B "!B'
Í "!ÐB #B "Ñ œ $ÐB "!B 'Ñ# #
Í (B "!B ) œ !#
Í B œ œ"!„ $#%"% "%
"!„")È
Í B œ ” B œ #%(
ademas : V À B # Á ! • B "!B ' Á ! • B Á !#
À B Á # • B Á & • B Á !„ "*Èes decir : V œ ÏÖ #ß & "*ß & "*ß !ב È Èpor lo tanto : W œ Ö #ß × V œ Ö ×% %
( (
33
4.- Un grupo de alumnos de Matemáticas I gastó $50400 en un paseo.Si hubiesen ido 2 alumnos menos y c/u hubiese pagado$1050 más,el gasto total habría sido de $52500.¿Cuantos alumnos fueron al paseo y cuanto gastó c/u?Solución Sean el numero de alumnos e el monto que paga cada unoB C por lo tanto se debe cumplir que :
BC œ &!%!! • ÐB #ÑÐC "!&!Ñ œ &#&!! Í
BC œ &!%!! • BC #C "!&!B #"!! œ &#&!! Í
BC œ &!%!! • C œ #"!! &#&B Í
BÐ #"!! &#&BÑ œ &!%!! • C œ #"!! &#&B Í
B %B *' œ ! • C œ #"!! &#&B Í#
B œ "# • C œ %#!! por lo tanto ,se tiene que
alumnos fueron al paseo y gastó c/u $ "# %#!!
5.- Una persona de 6 pies de altura está parada en la playa mirando hacia el mar De repente ,aparece un barco en el horizonte.¿Que tan alejado de la persona se encuentra el barcoSolución Datos: Se sabe que ,el radio de la tierra es de 3960 millas y que 1 milla piesœ &#)! con lo cual ,la altura de la persona es de millas' "
&#)! ))!œ
según el grafico se tiene que : B $*'! œ Ð$*'! Ñ# # #"))!
por lo tanto B $*'! œ $*'! * Ð Ñ# # # #"))!
es decir : B œ $por lo tanto la persona se encuentra aproximadamente a millas del barco$
34
Observación
1.- Al número real se le llama delta y recibe el˜ œ , %+- #
nombre de de la ecuación .discriminante +B ,B - œ !#
2.- Sea , si y ˜ ! B œ B œ" #, ˜ , ˜
#+ #+
È È
son las soluciones de la ecuación cuadrática ,+B ,B - œ !#
entonces se cumple que :
a) B B œ" #,+
b) B † B œ" #-+
c) +B ,B - œ +ÐB B ÑÐB B Ñ#
" #
Ejercicio
1.- Resuelva en la siguiente ecuación‘
#BÐB "Ñ %ÐB $ÑÐB #Ñ %ÐB "Ñ œ "#B $##
2.- Descomponga el número en dos sumandos positivos tales que la$
suma de sus cuadrados sea "$# Þ
3.- Una Empresa produce articulos con un Costo Total deB US$ ( ,los cuales puede vender a un precio)!! "!!B B Ñ#
de US$ ( ) la unidad.&!! B Determinar el numero de articulos que se deben producir y vender para que la Utilidad sea de US$ 19.200. ¿A que precio se vende cada articulo ? U = I C
4.- Resolver en las ecuaciones siguientes,indicando restricciones:‘
i. B "'B %) œ !% #
ii. B #B $ œ !"#
35
Orden en el conjunto de los números reales
Axiomas de orden Llamaremos al subconjunto de los números reales que‘
satisface los Axiomas siguientes:
Axioma 13
Œ ” •a B − ÐB − Ñ ÐB œ !Ñ Ð B − Ñ‘ ‘ ‘ ” ”
Axioma 14
Œ Œ a + ß , − Ð+ ,Ñ −‘ ‘
Axioma 15
Œ Œ a + ß , − Ð+ † ,Ñ − ‘ ‘
Definición ( Relacion de Orden )
Si se dice que:+ß , − ß‘ y se escribe , si + , + , Ð , + Ñ − Þes menor que ‘
o que y se escribe , si , + , + Ð , + Ñ −es mayor que ‘
Es decir : 1.- + , ´ Ð , + Ñ − ‘
2.- , + ´ + ,
Observación
1.- + ! ´ Ð+ !Ñ − ´ + −‘ ‘
con lo cual ‘ ‘ œ B − Î B !š ›
36
2. Diremos que y se escribe ,+ , + Ÿ ,es menor o igual que
para indicar que : + , ” + œ , Þ
es decir : + Ÿ , ´ + , ” + œ , Þ
3. Diremos que y se escribe ,+ , + ,es mayor o igual que
para indicar que : + , ” + œ , Þ
es decir : + , ´ + , ” + œ , Þ
4. analogamente, se tendra que : + Ÿ , ´ , +
5.- De lo anterior, podemos distinguir los siguientes subconjuntos de :‘
‘ ‘ ‘!
œ ! œ B − Î B !˜ ™ š › ‘ ‘ ‘
œ œ B − Î B !š › ‘ ‘ ‘
! œ ! œ B − Î B Ÿ !˜ ™ š ›
Al considerar en las relaciones de orden " " .‘ Ÿ Ð ß ß Ñ Es posible enunciar los siguientes teoremas:
Observación
1.- Al hacer una demostración de una propuesta del tipo : : Ê ; asumiremos que es verdadero, ya que si es falso: : la propuesta es verdadera independiente de : Ê ; ;
2.- Para demostrar una propuesta del tipo : : Í ; consideraremos que : ( ): Í ; ´ : Ê ; • : Ê ;
37
Teorema
Œ ” •Š ‹a + ß , ß - − + , , - Ê Ð+ -Ñ‘ •
Demostración
Sean que cumplan con :+ ß , ß - − ‘
Š ‹+ , , -•
Í Ð, + Ñ − Ð - , Ñ −‘ ‘ •
Ê Ð, + Ñ Ð - , Ñ − ‘
Í Ð- + Ñ − Í + -‘
es decir, la proposición es verdadera
Teorema
Œ ” •a + ß , ß - − Ð+ ,Ñ Ê Ð+ - , -Ñ‘
Demostración
Sean que cumplan con :+ ß , ß - − ‘
+ ,
Í Ð, + Ñ − ‘
Í Ð, + Ñ ! − ‘
Í Ð, + Ñ Ð- -Ñ − ‘
Í Ð, - Ñ Ð+ -Ñ − ‘
Í + - , -
es decir, la proposición es verdadera
38
Teorema
Œ ” •Š ‹ Š ‹a +ß ,ß -ß . − Ð+ ,Ñ • Ð- .Ñ Ê + - , .‘
Demostración
Sean que cumplan con :+ ß , ß - ß . − ‘
Ð+ ,Ñ • Ð- .Ñ
Í Ð, + Ñ − • Ð . - Ñ −‘ ‘
Í Ð, + Ñ Ð . - Ñ − ‘
Í Ð, . Ñ Ð+ -Ñ − ‘
Í + - , .
es decir, la proposición es verdadera Teorema
Œ Œ Œ a + ß , − a - − + , Ê +- ,- ‘ ‘
Demostración
Sean que cumplan con :+ ß , − ß - −‘ ‘
+ , • - − ‘
Í Ð, + Ñ − • - −‘ ‘
Í Ð, + Ñ † - − ‘
Í ,- +- − ‘
Í +- ,-
es decir, la proposición es verdadera
39
Teorema
Œ Œ Œ a + ß , − a - − + , Ê +- ,- ‘ ‘
Demostración
Sean que cumplan con :+ ß , − ß - −‘ ‘
+ , • - − ‘
Í Ð, + Ñ − • - −‘ ‘
Í Ð, + Ñ † Ð -Ñ − ‘
Í ,- +- − ‘
Í ,- +- Í +- ,-
es decir, la proposición es verdadera
Teorema
Œ ” •a +ß ,ß -ß . − Ð+ ,Ñ Ð- .Ñ Ê Ð+- ,.Ñ‘ •
Demostración
Sean que cumplan con :+ ß , ß - ß . − ‘
Ð+ ,Ñ • Ð- .Ñ
Ê Ð+- ,-Ñ • Ð,- ,.Ñ
Ê + - , .
es decir, la proposición es verdadera
40
Teorema
Œ Œ a + − + !‘ #
Demostración
Sea (por casos)+ − ‘
Caso I si se tiene que luego + œ ! À ! œ ! ! !# #
Caso II si + ! Ê + † + ! † + Ê + ! Ê + !# #
Caso III si + ! Ê + − Ê Ð +Ñ † Ð +Ñ −‘ ‘
Ê + − Ê + !# #‘
de casos I,II,III se tiene que la proposición es verdadera
Teorema
" − ‘
Demostración
Por Axioma., se sabe que " Á !
supongamos que : " Â Í " − Ê Ð "ÑÐ "Ñ −‘ ‘ ‘
contradicciónÊ " − ‘
con lo cual por Axioma 11 , " − ‘
es decir la proposición es verdadera
41
Teorema
1.- Œ ” •Š ‹a+ß , − + † , ! Í Ð+ ! • , !Ñ ” Ð+ ! • , !Ñ‘
2.- Œ ” •Š ‹a+ß , − + † , Ÿ ! Í Ð+ ! • , Ÿ !Ñ ” Ð+ Ÿ ! • , !Ñ‘
3.- Œ ” •Š ‹a+ß , − + † , ! Í Ð+ ! • , !Ñ ” Ð+ ! • , !Ñ‘
4.- Œ ” •Š ‹a+ß , − + † , ! Í Ð+ ! • , !Ñ ” Ð+ Ÿ ! • , Ÿ !Ñ‘
Demostración
1.- Sean que cumplan con : , con lo cual +ß , − + † , ! + Á ! • , Á !‘
Caso I si se tiene que y como+ ! + !ß"
+ † , ! Í + † + † , + † ! Í , !" "
Caso II si se tiene que y como+ ! + !ß"
+ † , ! Í + † + † , + † ! Í , !" "
de Casos I,II se tiene que la proposición es verdadera
2.-,3.-,4.- Tarea
Teorema Si y y , entonces, 8 − + ß , − + Ÿ , + Ÿ , Þ ‘
!8 8
1.- Œ Œ Œ ‹a 8 − a + ß , − + Ÿ , Ê + Ÿ , ‘
!8 8
2.- Œ Œ Œ È Èa 8 − a ß , − + Ÿ , Ê + Ÿ , ‘
!8 8
42
INTERVALOS EN ‘
Observación
Se aceptará que el conjunto de los números reales lo podemos representar gráficamente en la llamada recta real, de modo que a cada número real le corresponda una posición en la recta real y que a cada posición en la recta real le ha de correesponder un número real
recta real ‘
con lo cual : 1.- ‘ ‘
!
2.- ‘ ‘
!
Algunos subconjuntos de , llamados , son muy importantes en‘ Intervalos la representación de las soluciones de una ecuación como de una inecuación
43
Definición
Sean , Se definen los siguientes subconjuntos de + ß , − + , Þ‘ ‘
1.- Ò+ß ,Ó œ B − Î + Ÿ B Ÿ ,š ›‘
2.- Ò+ß ,Ò œ B − Î + Ÿ B ,š ›‘
3.- Ó+ß ,Ó œ B − Î + B Ÿ ,š ›‘
4.- Ó+ß ,Ò œ B − Î + B ,š ›‘
5.- Ó _ß +Ó œ B − Î B Ÿ +š ›‘
6.- Ó _ß +Ò œ B − Î B +š ›‘
7.- Ò+ß _Ò œ B − Î B +š ›‘
8.- Ó+ß _Ò œ B − Î B +š ›‘
44
Ejemplo Graficar el conjunto E œ B − Î B " • B Ÿ 'š ›‘
Solución E œ Ó "ß ' Ó œ B − Î " B Ÿ 'š ›‘
Ejemplo Sean , E œ B − Î B $ F œ Ó # ß "!Óš ›‘
Determinar y graficar :
; ; 3Ñ E F 33Ñ E F 333Ñ F EÏ
Solución
3Ñ E F œ Ó$ß _Ò Ó # ß "!Ó œ Ó # ß _Ò
33Ñ E F œ Ó$ß _Ò Ó # ß "!Ó œ Ó$ß "!Ó
333Ñ F E œ Ó # ß "!Ó Ó$ß _Ò œ Ó #ß $Ò Ï Ï
45
Inecuaciones de primer grado
Definición Sean , con .+ ß , ß - − + Á !‘ Llamaremos ,coninecuación de primer grado en la variable real B a toda función proposicional en la variable del tipo :B − V © à B‘
; ; ; +B , - +B , Ÿ - +B , - +B , -
Observación Resolver una inecuación en es determinar los queV © ß B − V ©‘ ‘
satisfacen la función proposicional es decir, el conjunto de soluciones esß W
tal que W œ B − V Î :ÐBÑš ›Ejemplo Resuelva en la siguiente inecuación:‘
1.- ' $ &B
Solución es claro que la inecuación esta bien definida en todo ,‘ por ello sea V œ Þ‘ Si se tiene que :B − V ' $ & Î Ð $Ñ Í ' # Î À Ð 'Ñ Í B B B "
$
por lo tanto : W œ B − V Î ' $ & œ B − Î œ Ó ß _Òš › š ›B B‘ " "
$ $
2.- +B $ Ÿ &B #
Solución es claro que la inecuación esta bien definida en todo ,‘ por ello, sea V œ Þ‘ Si se tiene que :B − V + B $ Ÿ &B # Î Ð #Ñ Í B & Ÿ &B Î B
por lo tanto :Í & Ÿ %B Í B &
+ W œ B − V Î B $ Ÿ &B # œ B − ÎB & œ Ò &ß _Òš › š ›‘
46
3.- B$#B Ÿ #
Solución
es claro que la inecuación tiene restricción : ,# B Á ! Í B Á # por ello, sea V œ ÏÖ#× Þ‘ Si se tiene que :B − V * B$
#B Ÿ # Ð para transformarla en una del tipo anterior,hay que multiplicar )
pero : , considerando se tiene dos casos ya que# B ! Í B Ÿ # V
V œ Ó _ß #Ò Ó#ß _Ò‘‘ Caso I si es decir , se tiene queB − Ó _ß #Ò œ V # B !I
* ( ) Î † # B Í B $ Ÿ #Ð# BÑ Í $B Ÿ ( Í B Ÿ ($
por lo tanto : W œ Ó _ß Ó V œ Ó _ß #ÒI($ M
Caso II si , es decir , se tiene queB − Ó# _ Ò œ V # B !II
* ( ) Î † # B Í B $ #Ð# BÑ Í $B ( Í B ($
por lo tanto : , ,W œ Ò _Ó V œ Ò _ÒII II( ($ $
con lo cual, se tendrá que
,W œ W W œ Ó _ß #Ò Ò _ÒI II($
4.- È ' $ #B
Solución es claro que la inecuación tiene restricción : , ' $ ! Í B ŸB "
#
por ello, sea Si se tiene que :V œ Ó _ß Ó B − V"#
È ' $ # ÎÐÑ Í ' % Í B B $ B# "'
por lo tanto : W œ B − V Î ' $ # œ B − Î œ Ó ß Óš › š ›È B B‘ " " "
' ' #
47
Inecuaciones de segundo grado
Definición
Sean , , , con + , - − + Á !Þ‘ Llamaremos inecuación de segundo grado en la variable real B
con a toda función proposicional en la variable delB − V © à B‘tipo :
:ÐBÑ À +B ,B - ! à +B ,B - Ÿ !# #
+B ,B - ! à +B ,B - !# #
Ejemplo Resuelva en la siguiente inecuación‘
1.- B B "# !#
Solución
es claro que la inecuación esta bien definida en todo ,‘ por ello sea V œ Þ‘
Si se tiene que :B − V
B B "# ! Í ÐB %ÑÐB $Ñ !#
Í ÐB % ! • B $ !Ñ ” ÐB % Ÿ ! • B $ Ÿ !Ñ
Í ÐB % • B $Ñ ” ÐB Ÿ % • B Ÿ $Ñ
por lo tantoÍ ÐB $Ñ ” ÐB Ÿ % Ñ
W œ B − V Î B B "# ! œ B − Î B $ ” B Ÿ %š › š ›# ‘
,œ Ó _ß %Ò Ò $ _Ò
48
2.- $B *B $! Ÿ !#
Solución
es claro que la inecuación esta bien definida en todo ,‘ por ello sea V œ Þ‘
Si se tiene que :B − V
$B *B $! Ÿ ! Í $ÐB &ÑÐB #Ñ Ÿ !#
Í ÐB &ÑÐB #Ñ Ÿ !
Í ÐB & ! • B # Ÿ !Ñ ” ÐB & Ÿ ! • B # !Ñ
Í ÐB & • B Ÿ #Ñ ” ÐB Ÿ & • B #Ñ
por lo tantoÍ ÐB & • B Ÿ #Ñ Í Ð & Ÿ B Ÿ #Ñ
W œ B − V Î $B *B $! Ÿ ! œ B − Î & Ÿ B Ÿ #š › š ›# ‘
,œ Ò & #Ó
Observación (otra forma)
La resolución de la inecuación : ÐB &ÑÐB #Ñ Ÿ ! tiene que ver con los signos de : , ÐB &Ñ ÐB #Ñ por ello considerando que : y B & ! Í B & B # ! Í B # es decir , considerando la recta real se tendrá
B & #B & ! B # !
ÐB &ÑÐB #Ñ ! !
con lo cual : W œ Ò & #Ó ,
49
3. $B
#B
"#"$
! ‡
Solución
; luego V À #B Á ! Í B Á V œ ÏÖ ×" " "$ ' '‘
Si , se tiene que :B − V
* Í ! Í ! Í !
'B
'B
"#"
$
$Ð'B "Ñ#Ð'B "Ñ
B
B
"'"'
pero :
B
B !
B !
! ÞÞÞÞ
" "' '
"'"'
B
B
"'"'
con lo cual : ya fue considerada la restricción)W œ Ó _ß Ó Ó ß _Ò Ð" "
' '
4. "#B $(B #
! ‡
Solución
; luego V À (B # Á ! Í B Á V œ ÏÖ ×# #( (‘
Si , se tiene que :B − V
* Í Ÿ ! Í Ÿ !"#B $(B #
B
B
"%#(
pero :
B
B !
B !
ÞÞÞÞ !
# "( %
#("%
B
B
"%#(
con lo cual : ya fue considerada la restricción)W œ Ó ß Ó Ð# "
( %
50
5. *#B "B$ Ÿ #
Solución
; luego V À B $ Á ! Í B Á $ V œ ÏÖ $ ב
Si , se tiene que :B − V
* Í Í Í#B" (B$ B$ B$
#B"#ÐB$Ñ # Ÿ ! Ÿ ! Ÿ !
Í ÍB $ ! B $
luego, se tiene que : W œ ya fue considerada la restricción)Ó _ ß $Ò Ð
6. *'B#B $
Solución
; luego V À Á ! Í B Á # V œ ÏÖ # ×# B ‘
Si , se tiene que :B − V
* Í Í Í'B
#B $ ! ! !'B $Ð#BÑ#B #B
*B'
Í Í*B'B# B#
B ! !
#$
pero :
B #
!
!
! ÞÞÞ
#$
B
B #
#$
B
B#
#$
con lo cual : ya fue considerada la restricción)W œ Ó _ß Ó Ó #ß _Ò Ð#
$
51
7. *" %B # "! &BŸ
Solución
V À B # Á ! • "! &B Á ! Í B Á # • B Á #
Í B Á # ; luego V œ ÏÖ # ב
Si , se tiene que :B − V
‡ Í Í Í " # " # "B # # B B # B# B#Ÿ Ÿ Ÿ!
Í Í B # ! B # con lo cual : ya fue considerada la restricción)W œ Ó #ß _Ò Ð
8. & #! #$B" $B"*B "
Ÿ# *
Solución
V À $B " Á ! • $B " Á ! • Á ! *B "#
Í B Á • B Á • Ð Á ! " "$ $ $B "ÑÐ$B "Ñ
Í B Á • B Á " "$ $
luego V œ ÏÖ ß ×‘ " "$ $
Si , se tiene que :B − V
‡ Í & #$B" $B" Ÿ#!
Ð$B"ÑÐ$B"Ñ
Í & #$B" $B" Ÿ !#!
Ð$B"ÑÐ$B"Ñ
Í Í &Ð$B"Ñ#!#Ð$B"ÑÐ$B"ÑÐ$B"Ñ Ð$B"ÑÐ$B"Ñ
*B#(Ÿ ! Ÿ !
Í *ÐB$ÑÐ$B"ÑÐ$B"Ñ Ÿ !
pero :
B $
! ! !
" "$ $
$B "$B "B $
*ÐB$ÑÐ$B"ÑÐ$B"Ñ ÞÞÞÞÞ ÞÞÞÞ !
con lo cual ya fue considerada la restricción)W œ Ó _ß Ò Ó ß $Ó Ð" "$ $
52
8.- É #$BB$ " Ÿ #
SoluciónV À B Á $ • ! À B œ ß B œ $ ; puntos críticos#$B #
B$ $
_ $ _
# $B ! B $ !
ÞÞÞÞ !
#$
#$BB$
luego: , si V œ $ ß B − V‘ ‘#$
É #$B #$BB$ B$
#Ÿ " Î Ð Ñ Í Ÿ "
Í " Ÿ ! Í Ÿ ! Í !#$B %B"B$ B$ B$
#$BÐB$Ñ
puntos criticos À B œ $ ß B œ "%
_ $ _
%B " B $ ! !
ÞÞÞÞÞ !
"%
%B"B$
solución parcial de la inecuacion À
W œ _ ß $ Ò Ò ß _Ò‘ "%
solucion final de la inecuación À
W œ W V œ ßJ" #% $
‘
53
Criterio para resolver inecuaciones según discriminante .
Observación
Al resolver una inecuación de segundo orden,debemos considerar laecuación de segundo orden asociada :
+B ,B - œ !#
y en ella estudiar su discriminante : ˜ œ , %+-#
y se tendra que:
Caso I si entonces existen À ˜ ! < ß <" # − ‘ tal que
+B ,B - œ +ÐB < ÑÐB < Ñ#" #
por lo tanto la solución de la inecuación dependera de los signos delos factores
Caso II si entonces existen À ˜ œ ! < − ‘ tal que
+B ,B - œ +ÐB <Ñ# #
por lo tanto la solución de la inecuación dependera de los signos de +
Caso III si entonces la siguiente proposición es verdadera:À ˜ !
Si , - ! a B − +B ,B - !Œ Œ ‘ #
Si , - ! a B − +B ,B - !Œ Œ ‘ #
54
Ejemplo
1.- BÐB*Ñ ÐB #&Ñ
#B B B
# #
$ # Ÿ ! *
Solución
V À #B B B Á ! Í BÐ#B B "Ñ Á !$ # #
Í B Á ! • #B B " Á !#
(( pero , en se tiene que y#B B " œ ! ˜ œ ( - œ "#
luego siempre #B B " !# ))
Í B Á ! luego V œ ÏÖ !ב
Si , se tiene que :B − V
‡ Í Ÿ ! Í ÐB *Ñ ÐB #&Ñ Ÿ ! BÐB*Ñ ÐB #&Ñ# #
BÐ#B B"Ñ# #
#
Í ÐB *Ñ ÐB &ÑÐB &Ñ Ÿ ! #
pero : B * & &
ÐB *Ñ ! B & ! B & !
ÐB *Ñ ÐB &ÑÐB &Ñ ! ! !
#
#
con lo cual W œ Ò &ß &Ó Ö *× ÏÖ !׌ Ðya fue considerada la restricción)
55
2.- *B "B "
%
$ !
Solución ( 0V À B " Á ! Í B "Ñ ÐB B "Ñ Á$ #
Í B "Ñ Á ! • ÐB B "Ñ Á Í B Á "( 0 ;#
luego V œ ÏÖ " בSi , se tiene que :B − V
‡ ! !Í ÍÐB "ÑÐB "Ñ ÐB "ÑÐB"ÑÐB "ÑÐB " ÐB "
# # #
Ñ ÐB B"Ñ Ñ ÐB B"Ñ# #
Í Í ÍÐB"ÑÐB "Ñ#
ÐB B"Ñ# ! B " ! B "
‘‘ para todo se cumple que : B − V B " ! • B B " !# #
con lo cual ,se tiene : luego : W œ Ò " ß _ Ò V œ Ò " ß _ ÒÏÖ " ×
3.- B B# &B# B#
#
&
Solución se tiene que : V œ #‘ ˜ ™si B − V
B B# &B# B# B#
B B#&ÐB#Ñ&# #
& ! Í !
Í ! Í !B %B$B# B#
ÐB"ÑÐB$Ñ#
Puntos críticos: B œ " à B œ $ à B œ #
_ " # $ _B " ! B $ ! B # !
! !
...ÐB"ÑÐB$ÑÐB#Ñ
luego = , , +W Ò " #Ò Ò $ _Ò
56
4.- (B' B%B# # " ‡
Solución es decir : V À %B # Á ! B Á V œÍ "
# ‘ÏÖ ×"#
‡ Í Í Í(B' B #B %B% B #B#%B# # %B# #B" " ! ! Ÿ !
# #
ÒÒ pero : es tal que y B #B # œ ! ˜ œ % ! - œ # !#
con lo cual siempreB #B # !# ÓÓ
Í Í Í" "#B" #Ÿ ! #B " ! B
por lo tanto : W œ Ó _ß Ò V œ Ó _ß Ò" "# #
5.- B ( 'B % %B ) %B)#
Solución
V À ÍB % Á ! B Á „ # V# , luego œ ÏÖ #ß #ב
Si , se tiene que :B − V
* Í B ( 'ÐB #ÑÐB#Ñ %ÐB #Ñ %ÐB#Ñ !
Í Í %B(ÐB #Ñ'ÐB#Ñ%ÐB #ÑÐB#Ñ ÐB #ÑÐB#Ñ
*B# ! !
Í B
ÐB #ÑÐB#Ñ
#* Ÿ !
pero : B # #
!
!
!
ÞÞÞÞÞ ! ÞÞÞ
#*
#*
B
ÐB #ÑÐB#Ñ
B #
B #
B
#*
con lo cual ya fue considerada la restricción)W œ Ó _ß # Ò Ò ß #Ò Ð#*
57
6.- È B &B % ##
Solución
V À ! Í !B &B % ÐB %ÑÐB "Ñ#
pero : B " %B " ! B % !
ÐB "ÑÐB %Ñ ! !
con lo cual : Si se tiene que :V œ Ó _ß " Ó Ò %ß _Ò Þ B − V ß
* Í Í B &B % % BÐB &Ñ !#
y como :
B ! &B ! B & !
B ÐB &Ñ ! !
luego : W œ Ó!ß &Ò V œ Ó!ß " Ó Ò %ß &Ò
7.- È ÈB B # # B " Ÿ ! ‡# #
Solución
V À B B # ! • B " !# #
Í ÐB "ÑÐB #Ñ ! • ÐB "ÑÐB "Ñ !
pero : en ÐB "ÑÐB #Ñ !
B " #B " ! B # !
ÐB "ÑÐB #Ñ ! !
58
con lo cual : V œ Ó _ß " Ó Ò #ß _Ò"
en ÐB "ÑÐB "Ñ !
B " "B " ! B " !
ÐB "ÑÐB "Ñ ! !
con lo cual :
V œ Ó _ß " Ó Ò "ß _Ò#
por lo tanto : V œ V V œ Ó _ß " Ó Ò #ß _Ò" #
Si se tiene que :B − V ß
* Í B B # Ÿ # B " Í B B # Ÿ %ÐB "ÑÈ È# # # #
Í $B B # ! Í ÐB "ÑÐ$B #Ñ !#
Í ÐB "ÑÐ B Ñ !#$
pero :
B "
B " !
B !
ÐB "ÑÐB Ñ ! !
#$
#$
#$
luego : W œ Ó _ß "Ó Ò ß _Ò VŒ #$
œ Ó _ß " Ó Ò #ß _Ò
59
8. # " B $ #B ( " ‡È ÈSolución
V À ! • ! Í Ÿ " • " B #B ( B B (#
con lo cual : V œ Ò ß " Ó(#
Si se tiene que :B − V ß
* Í Í ÐÐ# " B " $ #B ( ÑÑÈ ÈÍ %Ð" BÑ " *Ð#B (Ñ ' #B (ÈÍ '! ##B ' #B (ÈÍ $! ""B $ #B ( ‡‡È
pero : $! ""B B ! Í Ÿ $!"" es decir :
I IIB
!
$!""
$! ""B
CASO I Si B − Ó ß Ó œ V( $!# "" M
‡‡ Í Ð $! ""B Ñ *Ð#B (Ñ#
Í *!! ''!B "#"B# ")B '$Í "#"B '%#B )$(# !
"#"B '%#B )$( œ ! Í B œ œ# '%#„)% $#"„%#"%# (" con locual
"#"B '%#B )$( œ "#"ÐB ÑÐB Ñ# #(* $'$(" ("
‘‘Í "#"ÐB ÑÐB Ñ#(* $'$
(" (" ! y como :
B
B !
B !
ÐB ÑÐB Ñ ! !
$'$ #(*(" ("
$'$("#(*("
#(* $'$(" ("
luego : W œ Ò ß Ó V œ Ò ß ÓM M$'$ #(* $'$ #(*(" (" (" ("
60
CASO II Si B − Ó ß "Ó œ V$!"" MM
‡‡ Í lo cual es verdadero ,por lo tanto
W œMM Ó ß "Ó$!"" con lo cual :
W œ W W œ Ò ß Ó Ó ß "ÓM MM$'$ #(* $!(" (" ""
9. È #B B $ "
Solución
con lo cual :V À ! Í Ÿ ! #B B
Si se tiene que :V œ Þ B − V ß‘!
* Í ‡‡È #B % B
pero : I II% B ! B %% B
es decir Í B % !
con lo cual ,se tiene que :
CASO I Si B − Ó _ß %Ò œ VM
‡‡ Í lo cual ,es verdadero ,por lo tanto :
W œM Ó _ß %Ò
CASO II Si B − Ò %ß !Ó œ VII
‡‡ Í Í Í #B ÐB %Ñ #B B )B "'# #
Í ÍB "!B "' Ÿ ! ÐB )ÑÐB #Ñ Ÿ !#
con lo cual : W œMM Ò )ß # Ó V œ Ò %ß # Ó MM
es decir : W œ W W œ Ó _ß #ÓM MM
61
10. È B (B ' B %#
Solución
V À ! Í Ÿ ! Í Ÿ ! B (B ' B (B ' ÐB 'ÑÐB "Ñ# #
pero : B " 'B " ! B ' !
ÐB "ÑÐB 'Ñ ! !
con lo cual : Si se tiene que :V œ Ò "ß ' Ó Þ B − V ß
* Í È B (B ' % B#
‘‘pero : I II% B ! B Ÿ %% B
es decir Í B % !
con lo cual ,se tiene que :
CASO I Si B − Ò "ß %Ó œ VM
‡‡ Í Í B (B ' Ð% B Ñ# #
Í B (B ' "' )B B# #
Í # Í #ÐB #ÑÐB ÑB "&B ## ! !# ""#
en donde :
B #
B # !
B !
ÐB #ÑÐB Ñ ! !
""#
""#
""#
con lo cual : SM œ Ó#ß Ò V œ Ó#ß %Ó""
# M
CASO II Si B − Ò %ß ' Ó œ VMM
‡‡ Í W œ Ò %ß ' Ó lo cual es verdedero ,por lo tanto : MM
es decir : W œ W W œ Ó#ß 'ÓM MM
62
Ejemplo
Dados tales queEßF © ß‘
E œ B − "œ š › ‘ \ ;" (B' B# %B# #
F œ B − % ß # ÐB %ÑÐ# BÑ #š › ‘ È Determine: a) b) EF F
G
Solución E À (B' B #B %B% B #B#
%B# # #Ð#B"Ñ #B" " Í Í# #
! Ÿ !
donde en : B #B ## œ ! à ˜ œ % ! ß - œ # !
luego : B #B ## ! aB − ‘ ‘‘ Í #B " Í B ! "
#
con lo cual À E œ Ó _ß Ò"#
F À ÈÐB %ÑÐ# BÑ # Í ÐB %ÑÐ# BÑ %
Í B #B ) % Í B #B % ! # #
donde en : B #B %# œ ! à ˜ œ #! !
luego : B #B # œ ÐB " &ÑÐB " &Ñ# È È ‘‘ Í ÐB Ð " &ÑÑ † ÐB Ð " &ÑÑ !È È con lo cual À
F œ ÐÓ _ß " & Ò Ó " &ß _ÒÑ % ß #È È ‘ œ % ß " & " & ß # ‘È ÈÒ Ó
por lo tanto : a) EF œ % ß " & Ò È b) F œ Ó_ß % Ò Ó " &ß " & Ò Ó #ß _Ò
G È È luego,se tiene que : W œ Ó#ß 'Ó
63
Valor absoluto
Definición
Dado llamaremos valor absoluto de al número real queB − ß Bß‘denotaremos por donde :¸ ¸B ß
¸ ¸ Ú
ÛÜB œB ß =3 B !
B ß =3 B !
Ejemplo
¸ ¸ ¸ ¸$ œ $ à # œ Ð #Ñ œ #
Teorema
Dado , se cumple que :B − ‘
1.- ¸ ¸B !
2.- ¸ ¸B œ ! Í B œ !
3.- ¸ ¸ ¸ ¸B œ B
4.- Œ Œ ¸ ¸a + − B œ + Í ÐB œ + B œ +‘ ”
Demostración
1.- Considerando la definición se tiene que : Caso I si B − à B œ B !‘ ¸ ¸ Caso II si y es decir B − à B œ B B − B !‘ ‘ ¸ ¸ ¸ ¸ Caso III si y B œ ! à ! œ ! ! !¸ ¸ con lo cual ¸ ¸B !
2,3,4 Tarea
64
Ejemplo Resuelva en ‘
1. ¹ ¹B#B& œ $ ‡
Solución
, luego V À B & Á ! V œ ÏÖ &ב
Como se tiene que$ ! ‡ Í œ $ ” œ $B# B#
B& B&
Í B # œ $ÐB &Ñ ” B # œ $ÐB &Ñ
Í B œ ” B œ "$ "(# %
luego, se tiene que : fue considerada la restricción)W œ Ö ß × Ð"$ "(# %
2. ¹ ¹#B"#B % œ # ‡
Solución
, luego V À B % Á ! V œ ÏÖ %ב si , como y se tiene queB V # !− B !¸ ¸ es decir ¹ ¹#B"#
B % œ # ´ J W œ 9
3. ¹ ¹B$#B " ‡
Solución
, luego V À # B Á ! V œ ÏÖ #ב si , como y se tiene queB V " !− B !¸ ¸ es decir ¹ ¹B$
#B " ´ Z W œ ÏÖ #ב
65
4. ¸ ¸ ¸ ¸B & $ #B œ & ‡
Solución
= V ‘ pero : si B & B ! ß $ #B ! & B Ÿ , es decir$
#
I II IIIB &
! B & !
$#
$ #B
‘‘
por lo tanto :
CASO I si B − Ó _ß Ó œ V$# M
‡ Í ÐB &Ñ Ð$ #BÑ œ & Í B œ $
por lo tanto : W œ Ö $× V œM 9
CASO II si B − Ó ß & Ó œ V$# MM
‡ Í ÐB &Ñ Ð$ #BÑ œ & Í B œ "
por lo tanto : W œ Ö "× V œMM 9
CASO III si 5 B − Ó ß _Ò œ VIII
7‡ Í ÐB &Ñ Ð$ #BÑ œ & Í B œ
por lo tanto : 7W œ Ö × V œIII 9
con lo cual : W œ 9
66
5. k k k kk k k kB # B $B # B $œ *
Solución
V œ Þ‘
Si se tiene que :B − V ß
* Í Ð B #ÑÐ B $Ñ œ Ð B $ÑÐ B #Ñk k k k k k k k Í B B ' œ B B '# #k k k k Í # B œ ! Í B œ ! Í B œ !k k k k
luego, se tiene que W œ Ö ! ×
6. ¸ ¸ ¸ ¸$ B # " B & B ‡
Solución
V œ Þ‘ Si se tiene que :B − V ß
pero : si $ B B ! ß " B ! $ B Ÿ " , es decir
I II IIIB $ "$ B ! " B !
‘‘
por lo tanto :
CASO I si B − Ó _ß $Ó œ VM
‡ Í Ð$ BÑ #Ð" BÑ & B Í B &
por lo tanto : W œ Ò& ß _Ò V œM M 9
67
CASO II si B − Ó $ß "Ó œ VMI
‡ Í Ð$ BÑ #Ð" BÑ & B Í B "
por lo tanto : W œ Ò" ß _Ò V œ Ö "×MM MM
CASO III si B − Ó" ß _Ò œ VMMM
lo cual es verdadero‡ Í Ð$ BÑ #Ð" BÑ & B Í & &
por lo tanto : W œ Ó" ß _ÒMMM
con lo cual : W œ Ò" ß _Ò
7. ¸ ¸ ¸ ¸#B ' $ #B œ & #B ‡
Solución
V œ Þ‘
pero : si #B ' B ! ß $ #B ! $ B Ÿ , es decir$#
I II IIIB $
! #ÐB $Ñ !
$#
$ #B
‘‘
por lo tanto :
CASO I si B − Ó _ß Ó œ V$# M
‡ Í Ð#B 'Ñ Ð$ #BÑ œ & #B Í B œ "
por lo tanto : W œ Ö "× V œ Ö "×M M
CASO II si B − Ó ß $Ó œ V$# MI
‡ Í Ð#B 'Ñ Ð$ #BÑ œ & #B Í B œ #$
por lo tanto : W œ Ö × V œMM MM#$ 9
68
CASO III si B − Ó$ ß _Ò œ VMMM
‡ Í Ð#B 'Ñ Ð$ #BÑ œ & #B Í B œ %
por lo tanto : W œ Ö %× V œMMM MMM 9
con lo cual : W œ Ö "×
Teorema
Dados , , se cumple que :B C − ‘
1. È ¸ ¸B œ B#
2. ¸ ¸B œ B# #
3. ¸ ¸B B
4. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B † C œ B † C
5. º ºBC
B
Cœ
¸ ¸¸ ¸ à C Á !
6. (desigualdad triangular)¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B C Ÿ B C
7. ¹ ¹¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B C Ÿ B C
8. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B C Ÿ B C
9. ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B C Ÿ B C
10. ¸ ¸B Ÿ + Í Ð + Ÿ B B Ÿ + Ñ•
11. ¸ ¸B + Í Ð B Ÿ + B + Ñ”
69
Demostración
6.- Asumiendo que son validos los anteriores, los cuales se demuestran por casos se tendrá que : BC Ÿ BC œ B † C¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ es decir BC Ÿ B † C¸ ¸ ¸ ¸ Í # BC Ÿ # B † C¸ ¸ ¸ ¸ Í B C # B C # # # #BC Ÿ # B † C¸ ¸ ¸ ¸ Í ÐB CÑ # # #
Ÿ B C # B † C¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Í ÐB CÑ # #Ÿ Ð B C Ѹ ¸ ¸ ¸ Í ÐB CÑ È # #Ÿ Ð B C ÑÉ ¸ ¸ ¸ ¸ Í ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B C Ÿ B C
9.- ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B œ B C C Ÿ B C C
es decir ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B Ÿ B C C
con lo cual ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸B C Ÿ B C
Ejemplo Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:
1.- Œ Œ ¸ ¸ ¸ ¸a B − B # # Ê B ' "!‘
Solución
Sea tal que B − B # # Ê # B # #‘ ¸ ¸ Ê ' B ' "! Ê "! B ' "!
Ê B # "!¸ ¸ es decir, la proposición es verdadera
70
2.- Œ Œ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸a B − #B $ $ Ê #B & † #B "! #!!‘
Solución
Sea tal que B − #B $ $ Ê $ #B $ $‘ ¸ ¸ Ê ! #B ' Ê & #B & "" ! #B "! "'• "
Ê & #B & "" ! #B "! "'¸ ¸ ¸ ¸• "
Ê #B & "" #B "! "'¸ ¸ ¸ ¸•
Ê #B & #B "! "('¸ ¸¸ ¸ Ê #B & #B "! #!!¸ ¸¸ ¸ es decir, la proposición es verdadera
Ejemplo Resuelva en ‘
1.- ¸ ¸&B " Ÿ * ‡
Solución
es claro que V œ ‘ si B − V ‡ Ÿ &B " Ÿ * Ÿ B Ÿ #Í * Í )
&
por lo tanto : W œ Ò ß #Ó)&
2.- *¸ ¸$ #B #
Solución
es claro que V œ ‘ si B − V ‡ # ” $ #B # ” B Í $ #B Í B&
#"#
por lo tanto : W œ Ó _ß Ò Ó ß _Ò" &# #
71
3. *k k k k k k#B $ % B & B
Solución
es claro que . , si V œ B‘ − V
* +Í #B $ & B % Bk k k k k k + +Í Ð & B % B Ñ #B $ • #B $ & B % Bk k k k k k k k
Í B #B # % B • B #B ) % B k k k k k k k kÍ Ð#B # % B Ñ B • B #B # % Bk k k k
• #B ) % B Ñ B • B #B ) % B Ð k k k kÍ #B # % B B • B #B # % Bk k k k
• #B ) % B B • B #B ) % Bk k k kÍ % B B # • % B B #k k k k $
• % B B ) • % B $B ) ‡‡k k k k
‘‘pero : si I II% B B %% B !
! B Ÿ % es decir
por lo tanto :
CASO I si B − Ó _ß %Ó œ VM
‡‡ Í Ð% BÑ B # • Ð% BÑ B # $ • Ð% BÑ B ) • Ð% BÑ $B )
Í B • B " • % ) • B #"#
Í B " • B #
por lo tanto ,se tiene que : (fue considerada la restricción)W œ Ó"ß #ÒM
CASO II B − Ó%ß _Ò œ VMM
‡‡ Í Ð% BÑ B # • Ð% BÑ B # $
72
• Ð% BÑ B ) • Ð% BÑ $B )
Í B • % # • B ' • B $ $
Í B • B $ $
por lo tanto ,se tiene que : (fue considerada la restricción)W œMM 9
con lo cual ,se tiene que W œ Ó"ß #Ò
% l#B "l $lB %l # &B.
Solución
es claro que . , si V œ B‘ − V
* Í l#B "l # &B $lB %l
Í Ð#B " # &B $lB %l ” #B " # &B $lB %lÑ
Í "$lB %l $ (B ” $lB %l $B
Í lB %l " B ” lB %l B($ "
$
Í Ð " BÑ B % " B ”( ($ $
Ð BÑ B B % " "$ $
Í • B % Ð " BÑ B % " B ”( ($ $
Ð BÑ B B % • B % " "$ $
Í • B • % Ð B $ & Ñ ” Ð #B Ñ"!$
% "" "$ $ $
Í • B Ê BB * "& "&"! % %
con lo cual ,se tiene que : W œ Ó ß _Ò"&%
73
& # Ÿ B " lB $l Ÿ &. #
Solución
es claro que . , si V œ B‘ − V * Í • # Ÿ B " lB $l B " lB $l Ÿ &# #
Í •lB $l B " lB $l Ÿ ' B# #
Í Ð •B $ B " ” B $ Ÿ B " Ñ# # Ð •' B Ñ Ÿ B $ B $ Ÿ ' B# #
Í •Ð B B # ! ” B B % ! Ñ# # B B $ Ÿ ! B B * Ÿ !# #•
Í •Ð Ð B #ÑÐB "Ñ ! ” B B % ! Ñ #
ÐB ÑÐB Ñ Ÿ ! ÐB ÑÐB Ñ Ÿ !" "$ " "$# # # #
" $( " $(È È È È•
pero : en luegoB B % œ ! ˜ œ "& ß - œ %#
siempreB B % !#
con lo cual :
Í • ÐB ÑÐB Ñ Ÿ ! ÐB ÑÐB Ñ Ÿ !" "$ " "$# # # #
" $( " $(È È È È
por lo tanto, la solución es ...... W œ Ò ß Ó" "$# #
" $(È È
6. l#B "l Ÿ B " " ‡ÈSolución
, es decir V À B " ! B " V œÍ Ò " ß _ Ò
Si se tiene que :B − V ß
* Í Í Ðl#B "l " Ÿ B " l#B "l "Ñ Ÿ Ð B "Ñ È È# #
Í l#B "l #l#B "l " Ÿ B "#
Í Ð#B "Ñ #l#B "l " Ÿ B "#
74
Í l%B #l Ÿ Ð%B $B "Ñ# pero en se tiene que 7 1 luego%B $B " œ ! ˜ œ ß - œ#
siempre%B $B " !#
con lo cual :
lo cual es falso ,por lo tanto Í Ÿ W œ 9
7. É"' lB *l B "#
Solución
V À "' lB *l ! lB *l Ÿ "' Ÿ B * Ÿ "'# # #Í Í "'
Í ( Í Í Í &Ÿ B Ÿ #& B Ÿ #& lB l Ÿ & Ÿ B Ÿ &# # , esdecir V œ Ò & ß & Ó
Si se tiene que :B − V ß ÍB " ! B "
por lo tanto :
CASO I Si B − Ò & ß "Ò ß se tiene que :
* Í Ò & ß "Ò W œlo cual es verdadero ,luego M
CASO II ,se tiene queSi B − Ò " ß & Ó
* Í Í Í "' lB *l B " "' lB *l B "+ ( )É # # #
Í "' lB *l B "# ( )#
Í "' • "' Ð B " Ñ B * B * B "( ) ( )# ## #
Í • ! #B ' B B "##
Í • !B $ Ð B %ÑÐB $ÑÍ • !B $ B %Í • %B $ B
es decir ,con lo cual Þ W œ Ò " ß % Ò W œ Ò &ß % ÒMM
75
8.- É ¸ ¸' B % B #B *Solución
V À ' B % ! Í B % Ÿ '¸ ¸ ¸ ¸ Í ' Ÿ B % Ÿ ' Í # Ÿ B Ÿ "! luego : V œ Ò #ß "!Ó
si se tiene que :B − V
* Í ' B % B ìÉ ¸ ¸ en donde :
caso I si B − Ò #ß !Ò
ì Í ´ J luego : W œM 9
casoII si B − Ò!ß "!Ó
ì Í Í ' B % B¸ ¸ #
Í B % ' B¸ ¸ #
Í B % ' B ” B % ' B# #
Í B B "! ! ” B B # !# #
Í ÐB Ò ÓÑÐB Ò ÓÑ ! ”" %" " %"# #
È ÈÐB #ÑÐB "Ñ !
Í ÐB Ò ÓÑÐB Ñ ! ”" %" " %"# #
È ÈÐB #ÑÐB "Ñ !
Í ÐB Ò ÓÑ ! ” ÐB #Ñ !" %"#
È Í B ” B #" %"
#
È Í B #
luego : W œ Ó#ß "!ÓMM
por lo tanto, la solución final es : W œ Ó#ß "!Ó
76
Completitud de los números reales
Definición
Sea bE © à E Á à −‘ 9 ‘ Diremos que :
1.- es cota superior de , E ==3 ÐaB − EÑÐB Ÿ ,Ñ
.- es cota inferior de # , E ==3 ÐaB − EÑÐ, Ÿ BÑ 3.- es acotado superiormente existe cota superior de E ==3 E
4.- es acotado inferiormente existe cota inferior de E ==3 E
5.- es acotado lo es superior e inferiormenteE ==3
Ejemplo
1.- en se tiene que :E œ Ó $ß &Ó
son cotas inferiores de "!ß ß $ E""#
son cotas superioresde &ß ß "# E"&#
por ello es acotadoE
2.- en se tiene que :F œ Ó _ß %Ó
no tiene cota inferiorF son cotas superioresde %ß &ß F"&
#
por ello no es acotado inferiormenteF ß pero si es acotado superiormente por lo tanto, no es acotado
3.- en se tiene que :G œ ‘
no tiene cota inferior y no tiene cota superiorG por ello no es acotado superiormente y no es acotado inferiormente por lo tanto no es acotado
77
Definición
Sea , acotado superiormente .E © E Á à = −‘ 9 ‘
i) Diremos que es el de si y sólo si, se= supremo Ecumplen simultáneamente:
1.- es una cota superior de = EÞ 2.- es la menor de las cotas superiores .= Notación =?:ÐEÑ œ = ii) Diremos que es el de si y sólo si, se= máximo E
cumplen simultáneamente: 1.- =?:ÐEÑ œ =Þ 2.- .= − E Notación 7+BÐEÑ œ = iii) Diremos que cota superior de A es el conjunto deÖ, − Î, ב
las cotas superiores de E
Definición
Sea , acotado inferiormente .E © E Á à = −‘ 9 ‘
i) Diremos que es el de si y sólo si, se= infimo Ecumplen simultáneamente:
1.- es una cota inferior de = EÞ 2.- es la mayor de las cotas inferiores .= Notación 380ÐEÑ œ = ii) Diremos que es el de si y sólo si, se= minimo E
cumplen simultáneamente: 1.- 380ÐEÑ œ =Þ 2.- .= − E Notación 738ÐEÑ œ =
iii) Diremos que cota inferior de A es el conjunto deÖ, − Î, בlas cotas inferiores de E
78
Ejemplo
Dado el conjunto E œ Ò "' ß $# Ò se tiene que :
es el conjunto de las cotas inferiores Ó _ß "'Ó es el conjunto de las cotas superioresÒ$# ß _ Ò
=?:ÐEÑ œ $# à 380ÐEÑ œ "'
no existe ; 7+BÐEÑ 738ÐEÑ œ "'
es acotadoE
Axioma 16 (del Supremo)
Todo subconjunto no vacío de número reales, acotadosuperiormente posee supremo.
Teorema Si es el supremo de entonces, para todo número positivo= Wß
% %, existe tal que B − W B = Þ
Teorema (Propiedad Arquimediana de los números reales)
Dado cualquier número real , existe siempre un númeroBnatural tal que , es decir,8 8 B
Š ‹Š ‹Š ‹aB − b 8 − 8 B‘
79
Ejemplo
Dado el conjunto A œ Ö Î8 − ×#8
8"
Determine : sup(A) , inf(A) , max(A) , min(A) y conjunto de cotas superiores e inferiores de A . ¿Es A acotado?.
Solución A œ œÖ Î8 − × Ö# Î8 − ×#8 #
8" 8"
œ Ö"ß ß ÞÞÞß ×%$ #
1.- es cota inferior de , ya que :" E
" Ÿ # Í Ÿ " Í # Ÿ 8 " Í " Ÿ 8 ´ Z# #8" 8"
" − E ß E © ‘ 2.- luego b 380ÐEÑ œ , P.D. , œ " caso I si contradicción ya que : cota inferior, " " caso II si contradicción ya que : , " " − E por lo tanto : , œ " luego : 380ÐEÑ œ " à 738ÐEÑ œ "
3.- es cota superior de , ya que :# E
# Ÿ # Í Ÿ ! Í ! ´ Z# # #8" 8" 8"
4.- luego b =?:ÐEÑ œ , P.D. , œ # caso I si contradicción ya que : cota superior, # # caso II si contradicción ya que :, # , Ÿ # Í Ÿ # , Í Ÿ 8 "# # #
8" 8" #,
,Í " Ÿ 8 Í Ÿ 8# ,#, #,
luego existe tal que 8 − , Ÿ # #8"
por lo tanto : , œ # luego : no existe =?:ÐEÑ œ # à 7+BÐEÑ œ
5.- como es acotado superior e inferiormente, se tiene queE es acotado E
80
Ejemplo
Sea E œ Î8 −˜ ™'8" (Justificando)
Determinar : si existen; sup( ), inf( ), max( min( ) ,E E EÑß E cotas superiores,cotas inferiores¿Es acotado?E
Solución
E œ Î8 − œ $ Î8 −˜ ™ ˜ ™'8& ##8" #8"
1, ....., œ ˜ ™3
1.- ya que E Á "9 − E à E © ‘ por definición
2.- A es acotado inferiormente ya que :
" Ÿ $ Ÿ " Ÿ #8 "# "#8" #8"Í Í "
Í " Ÿ 8 ´ Z
3.- luego, existe 380ÐEÑ œ ,
P.D. , œ "
caso I si contradicción ya que es cota inferior de A, " "
caso II si contradicción ya que A, " " − con lo cual , se tiene que : , œ "
luego : 380ÐEÑ œ " œ 738ÐEÑ
4.-A es acotado superiormente ya que :
$ Ÿ $ Ÿ !# "#8" #8"Í ´ Z
81
5.- luego, existe =?:ÐEÑ œ ,
P.D. , œ $
caso I si contradicción ya que es cota superior de A, $ $
caso II si contradicción ya que , $ À
, $ $ , #8 "# # ##8" #8" $,Í Í
,Í &, &,#Ð$,Ñ #Ð$,Ñ ´ Z8 − pues como ‘
existe tal que 8 − 8 Í &,#Ð$,Ñ
con lo cual , se tiene que : , œ $
luego : y no existe =?:ÐEÑ œ $ 7+BÐEÑ
6.- como es acotado superior e inferiormente ,E se tiene que es acotado
Ejemplo
Sea el conjunto solución de la inecuación :W
*ɸ ¸B # $ #
Determine si es : acotado superiormente, acotado inferiormente,W acotado; y encuentre de ser posible : , ,=?:ÐWÑ 380ÐWÑ 7+BÐWÑ conjuntos de cotas superiores e inferiores738ÐWÑà
Solución
V À B # $ ! Í B # $ ¸ ¸ ¸ ¸Í B # $ ” B # Ÿ $
82
Í B & ” B Ÿ "
con lo cual : V œ _ß " & ß _‘ ‘ si B − V
* Í B # $ % Í B # (¸ ¸ ¸ ¸ Í ( B # ( Í & B *
con lo cual À W œ & ß *‘ luego W œ W V œ & ß " & ß *J ‘ ‘
+Ñ W "!es acotado superiormente ya que es cota superior
,Ñ W &es acotado inferiormente ya que es cota inferior
-Ñ +Ñ ,Ñ WDe y es acotado
.Ñ W?: W œ *( )
/Ñ M80Ð W œ &
0Ñ Q+BÐW Ñ À 89 >3/8/
1Ñ Q38ÐWÑ À 89 >3/8/
2Ñ œ * ß _Conjunto de cotas superiores 3Ñ œ _ ß &Conjunto de cotas inferiores ‘ ‘
