LT_Calculo Lineas Redes Electricas

7/24/2019 LT_Calculo Lineas Redes Electricas

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AULA POLITCNICA 75

Clculo de lneasy redes elctricas

AULA POLITCNICA / ETEIT

!a"#n $% $u&al !osas

Clculo de lneas

y redes elctricas


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E'ICION UPC

Pri"era edici#n( se)tie"*re de +,,+

'ise-o de la cu*ierta( $anuel Andreu

.

!a"#n $% $u&al +,,+

.

Edicions UPC +,,+ Edicions de la Uni0ersitat Polit1cnica deCatalunya L 2ordi 3irona al4ado 6 ,,8 9arcelona Tel%(:8 ,6; irtuals(???%edicionsu)c%es E@"ail( edicions@u)cu)c%es

ProducciBn(CPET Centre de Pu*licacions del Ca")us NordD La Cu)% 3ran Ca)it s/n,,8 9arcelona


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'e)Bsito le4al( 9@,7;@+,,+ I9N( 8@,6@;,;@,

Fuedan ri4urosa"ente )roGi*idas sin la autoriHaciBn escrita de los titulares del co)yri4Gt *a&o las sanciones esta*lecidas en las leyes la re)roducciBn total o )arcial de estao*ra )or cualuier "edio o )rocedi"iento co")rendidos la re)ro4raJKa y el trata"iento inJor"tico y la distri*uciBn de e&e")lares de ella "ediante aluiler o )rMsta"o)*licos%

Pr#lo4o

La idea de crear un li*ro so*re lneas y redes elctricas sur4i# ante la necesidad de dis)oner en unanica o*ra tanto de los as)ectos te#ricos co"o )rcticos ue ri4en en la actualidad las disci)linas deIn4eniera de e4undo Ciclo ue tratan te"as anes ya ue si *ien e=isten e=celentes li*ros te#ricosso*re el te"a escasean o son )rctica"ente nulos los ue lo Gacen de Jor"a )rctica%

El clculo co")leto de las redes elctricas no s#lo e=i4e conte")lar el r4i"en de Junciona"ientonor"al sino ue resulta i4ual"ente i")ortante considerar el r4i"en transitorio ue conlle0a eJectos tannoci0os co"o los cortocircuitos so*recar4as o deri0aciones a tierra% Por este "oti0o se re"ite al lector ala o*ra Protecci#n de siste"as elctricos de )otencia de la "is"a editorial y autor )ara un "e&or y "sco")leto estudio 4lo*al de los siste"as elctricos%

Esta es una o*ra e"inente"ente )rctica sin "s )retensiones ue las de oJrecer en un s#lo li*ro losas)ectos te#ricos y )rcticos "s i")ortantes ue ri4en tanto la tcnica co"o la se4uridad y la econo"aen el trans)orte actual de la ener4a elctrica%

La o*ra Ga sido estructurada en dos "#dulos con un total de cuatro ca)tulos *ien diJerenciados%

El )ri"er "#dulo Jor"ado )or los ca)tulos )ri"ero y se4undo es te#rico y 0ersa so*re el clculo de lossiste"as de trans"isi#n de ener4a elctrica en r4i"en )er"anente es decir Juncionando de Jor"anor"al% Concreta"ente el )ri"er ca)tulo Clculo de lneas elctricas en r4i"en )er"anenteD nosintroduce en los )ar"etros elctricos "s i")ortantesQ resistencia inductancia ca)acidad yconductancia as co"o los eJectos ue estos )ar"etros )roducenQ eJecto Aislador eJecto Corona oeJecto Pro*le"as )ro)uestos de clculo de lneas detrans"isi#n de ener4a elctricaD se )retende oJrecer una serie de enunciados de )ro*le"as con sus

corres)ondientes soluciones ue )er"itan al lector e&ercitarse en su resoluci#n y co")ro*ar as el ni0el deasi"ilaci#n o*tenido a lo lar4o del estudio de la "ateria del )resente li*ro% Concreta"ente en el ca)tuloIII se resuel0en dieH )ro*le"as corres)ondientes al Junciona"iento nor"al de los siste"as elctricos% Asel clculo de los )ar"etros elctricos cadas de tensi#n )rdidas de )otencia eJecto aislador eJectocorona re4ulaci#n de la tensi#n en los siste"as )otencia o el clculo de la )otencia reacti0a deco")ensaci#n tendrn ca*ida en este ca)tulo% Por su )arte el ca)tulo I> nos )resenta cuarenta y cincoenunciados de )ro*le"as con sus res)ecti0as soluciones lo ue )er"ite co")ro*ar y consolidar losconoci"ientos aduiridos%


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El autor%Terrassa% Enero de +,,+%ndice

IClculo de lneas y re4ulaci#n de la tensi#n en siste"as de )otencia 66

6Clculo de lneas elctricas en r4i"en )er"anente 6

6%6 Introducci#n a los siste"as elctricos 66%+ Par"etros elctricos 66% Introducci#n al clculo de lneas elctricas +6%8 $todos de clculo de lneas elctricas ;6%5 Cuestiones y )ro*le"as 5,

+ !e4ulaci#n de la tensi#n en las lneas elctricas 5

+%6 Introducci#n a la re4ulaci#n de la tensi#n en lneas elctricas 5+%+ Clculo de las condiciones elctricas en lneas de ener4a elctrica 58+% Clculo a)ro=i"ado de la cada de tensi#n en una lnea corta ;6+%8


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reacti0a 688% Pro*le"as del +; al 8% Co")ensaci#n de ener4a reacti0a en circuitos con transJor"adores de dos y

tres de0anados 658%: Pro*le"as 88 y 85% Co")ensaci#n de ener4a reacti0a en redes elctricas co")le&as 6::

Ane=os +,6

I Constantes de "a4nitudes Jsicas terrestres y cunticas +,6 II !esisti0idad YD coeJiciente dete")eratura D )unto de Jusi#n ZCD y densidad [D dedi0ersos "ateriales y aleaciones +,+ III Coecientes de resisti0idad de los aislantes +, I> $a4nitudes

y unidades "a4nticas +,8 > Conductores elctricos +,5 >I Conductancia autoinducci#n y susce)tancia+,; >II $todo de las constantes au=iliares +,7 >III $todo del circuito eui0alente en RTR y en RSR +,: I\


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Clculo de lneas elctricas en r4i"en )er"anente

!esistencia elctrica( Conocer las Junciones y los eJectos de la resistencia elctrica% Inductancia elctrica( Conocer las Junciones y los eJectos de la inductancia y de los ca")os

"a4nticos% Conocer las J#r"ulas a a)licar )ara la o*tenci#n de la inductancia de conductores y lneas

elctricas% Conce)to de radio eui0alente% Circuitos si")les d)le= tr)le= y cudru)le=%

Ca)acidad elctrica( Aduirir los conoci"ientos *sicos so*re condensadores y ca")os elctricos% Conocer las J#r"ulas a a)licar )ara la o*tenci#n de la ca)acidad de conductores y de lneaselctricas%

Conductancia elctrica( a*er las caractersticas "s i")ortantes ue denen la conductancia% Identicar el eJecto aislador y el eJecto Corona% Consideraciones 4enerales% Par"etros ue

inbuyen en los "is"os%


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calcular y analiHar con se4uridad un siste"a de )otencia% Para ue el estudio sea co")leto se Gandi0idido las lneas elctricas en Junci#n de su lon4itud ya ue co"o se e=)licar la "ayor )arte de los)ar"etros elctricos de)ende Junda"ental"ente de esta "a4nitud%

6%+ PA!_$ET!O ELCT!ICO

Cualuier circuito elctrico est Jor"ado )or al4unos de los si4uientes ele"entos( resistenciainductancia ca)acidad y conductancia% Con estos co")onentes se Jor"an la totalidad de los siste"aselctricos actuales desde un si")le circuito Gasta los "s co")le&os siste"as de )otencia%

Es )osi*le realiHar una clasicaci#n de los ele"entos elctricos de)endiendo de la Jor"a en ue stosinbuyen dentro de un siste"a elctrico% As se crean dos 4ru)os diJerenciados( los )ar"etros elctricoslon4itudinales Jor"ados )or la resistencia y la inductanciaQ y los )ar"etros elctricos trans0ersalesJor"ados )or la ca)acidad y la conductancia%

Par"etros lon4itudinales% ! !EITENCIA OG"ios L IN'UCTANCIA enrios Par"etros trans0ersales%

C CAPACI'A'


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"D g ecci#n del ca*le en ""+D

Analice"os cada uno de los Jactores de la e=)resi#n anterior%

6%+%6%6%6 Lon4itud

La lon4itud de un conductor es directa"ente )ro)orcional a la resistencia del "is"o ya ue la

trayectoria ue los electrones de*ern recorrer ser )ro)orcional a la lon4itud de la lnea%En los siste"as de )otencia con 4randes tensiones e intensidades Gacen Jalta conductores de ta"a-os

considera*les )ara ser ca)aces de trans)ortar tales ener4as% Entre los "ateriales "s e")leados se Gallael co*re ue co"o cualuier otro "etal )resenta unas caractersticas de "alea*ilidad% Pero estaada)ta*ilidad con conductores de +,"" o ,"" de di"etro es )rctica"ente ine=istenteco")ortndose los "is"os no co"o conductores be=i*les y ada)ta*les sino "s *ien co"o autenticas0arillas r4idas inutiliHa*les )ara los "enesteres a los ue estn enco"endados%

As cuando un conductor e=cede de un deter"inado di"etro ya no se construye de Jor"a "aciHa sinocon la uni#n de "lti)les Gilos Jor"ando un ca*le% Por tanto un ca*le no es "s ue un conductorco")uesto )or "lti)les Gilos enrollados en GaH )ara "antener su consistencia "ecnica y al "is"otie")o )er"itir aun con di"etros considera*les las be=i*ilidades y torsiones adecuadas a su uso%

i nos centra"os en ca*les su lon4itud no coincide con la lon4itud de los Gilos ue lo Jor"an ya ue elca*le co"o con&unto no tendr en cuenta el eJecto de trenHado al ue s se Gan 0isto so"etidos cadaunos de los Gilos ue lo co")onen% Esta es la raH#n )or la ue e=isten dos lon4itudes( una real la de losGilosD y una te#rica la del ca*leD siendo la lon4itud real "ayor ue la lon4itud te#rica% La lon4itud ue loselectrones real"ente de*ern recorrer la lon4itud real y no la te#rica% La si4uiente 4ura "uestra estos)or"enores%

A)ro=i"ada"ente un +m

LTE^!ICA L!EAL

CON'UCTO! !3I'O

Co*re


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A "ayor secci#n "enor resistencia ya ue los electrones dis)onen de "s es)acio )ara circular )or elconductor% A)arte al4o )arecido a la lon4itud ocurre con la secci#nQ as si considera"os la secci#n delca*le en su con&unto te#ricaD estare"os a-adiendo los es)acios entre Gilos aire )eue-os residuosaceites etc%D ue no estn ocu)ados )or co*re% e tendra ue considerar real"ente s#lo la su)erciereal realD es decir la 0erdadera"ente ocu)ada )or el "aterial conductor el co*re%

A)ro=i"ada"ente un +m

TE^!ICAp !EAL

CON'UCTO! !3I'O +rgq CA9LE

La secci#n real es )or tr"ino "edio un 6m o +m "enor ue la te#rica lo ue re)ercute en el 0alor nalde la resistencia% Ta"*in con este )ar"etro los Ja*ricantes de ca*les consideran )ara el clculo de los0alores ue lee"os en ta*las la secci#n real%

Es decir las ta*las de resistencias )ara los distintos "ateriales ya tienen )resentes estos desa&ustesentre los 0alores reales y te#ricos dados )ara la lon4itud y la secci#n en los conductores ti)o ca*le%

6%+%6%6% !esisti0idad

La resisti0idad es la lti"a "a4nitud a tener )resente en el clculo de la resistencia de un "aterial% e

dene co"o la resistencia es)ecca es decir la o)osici#n ue oJrece un "aterial al )aso de la corrienteelctrica )or unidad de lon4itud y su)ercie nor"al"ente )ara su clculo se utiliHan 0arillas del "ateriala calcular con unas di"ensiones es)eccas de 6" de lon4itud y 6c"+de secci#nD%

La resisti0idad es la )arte "s i")ortante de la resistencia ya ue es la ue real"ente nos identica siun "aterial es *uen conductor o )or el contrario es un aislante% asta el "o"ento y considerandosola"ente la lon4itud y la secci#n tendra la "is"a resistencia una 0arilla de "adera ue una de co*resu)oniendo i4ualdad en las di"ensiones Jsicas% Era )ues necesario otro )ar"etro ue de)endiera del"aterial la resisti0idad%

la resisti0idad de)endiera sola"ente del ti)o de "aterial no Ga*ra co")licaciones ya ueconstruida la ta*la corres)ondiente estaran ta*uladas todas las resisti0idades de los "ateriales "sJrecuente"ente e")leados% Pero la resisti0idad ta"*in de)ende de la te")eratura reuirindoseinnu"era*les ta*las una )ara cada inter0alo de la te")eraturaD )ara su co")leta identicaci#n%

El )ro*le"a se solucion# en )arte con una nica ta*laQ esta ta*la se corres)onde con unate")eratura estndar de +,ZC estando re)resentados en ella los 0alores de la resisti0idad de la "ayor)arte de "ateriales interesantes desde el )unto de 0ista elctrico% i la te")eratura no coincide con los+,ZC a)licando la si4uiente J#r"ula se o*tiene el 0alor de la resisti0idad a cualuier otra te")eratura%

YgY+,Ch Y+,C T @ +,D k6%

'onde(

g CoeJiciente de te")eratura a +,ZC es un 0alor ta*ulado en las ta*lasYo g !esisti0idad a la

te")eratura deseadaY+,ZCg !esisti0idad a +,ZC la de las ta*lasDT g Te")eratura a la ue se deseadeter"inar la resisti0idad en ZCD

a sa*e"os ue la resisti0idad de un "aterial es Junci#n del ti)o de "aterial y de la te")eratura a laue se encuentra el "is"o )ero un au"ento de te")eratura si4nica sie")re un au"ento de laresisti0idad La res)uesta es noQ as "ientras ue )ara un "aterial Jor"ado )or un enlace "etlico


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conductoresD un au"ento de te")eratura re)resenta un au"ento del coeciente de te")eratura y )orconsi4uiente un au"ento de la resisti0idad con "ateriales Jor"ados )or enlaces co0alentesse"iconductoresD los au"entos de te")eratura se traducen en dis"inuciones del coeciente dete")eratura y )or tanto de la resisti0idad%


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aD $etlicas( el "aterial utiliHado tiene 4eneral"ente Jor"a de Gilo o cinta ue en este caso reci*en elno"*re de resistencias *o*inadas% El Gilo o las cintas estn enrolladas so*re un so)orte de "aterialaislante% El Gilo es 4eneral"ente una aleaci#n ue contiene dos o "s ele"entos co"o )ueden ser elco*re el Gierro el nuel el cro"o el cinc o el "an4aneso%

*D No "etlicas( el "aterial utiliHado es el car*#n o el 4rato los cuales tienen una ele0ada resistenciaes)ecca% Por esta raH#n suelen construirse de "enor ta"a-o ue las resistencias *o*inadas%

6%+%6%+ Inductancia L D


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6%+%6%+%6 Introducci#n

El conce)to de inductancia Jue estudiado y descu*ierto )or


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A>

L g @e ind L gN w

qg N wz g

N w N w I L g

N+ k6%7

didt II zw I z

La )ri"era e=)resi#n es la J#r"ula e=acta de la inductancia denindola co"o la relaci#n ca"*iada desi4no entre la tensi#n inducida )or un ca")o "a4ntico en un circuito y la 0elocidad con la ue 0ara laintensidad%

Una se4unda e=)resi#n la ecuaci#n de la derecGa esL unadq a)ro=i"aci#n de la )ri"era aunue

dqgwdi L gN w k6%5

a")lia"ente ace)tada% En ella se o*ser0a ue la inductancia de)ende del n"ero de es)iras o 0ueltas de

N di

las ue dis)on4a un conductor di0idido )or el 0alor de la reluctancia ue co"o 0i"os de)ende del ti)ode "aterial e")leado y de sus di"ensiones%

Entonces( dqL di di Ca*e recordar ue la inductancia se "ide en enriosD y )ara las a)licaciones elctricas es "e&or

eind gN wgN wwgL w k6%;

dt Ndt dt

e")lear jD% El )aso de una unidad a la otra se realiHa "ulti)licando la inductancia )or la )ulsaci#n enradianes )or se4undoD o*tenindose la reactancia inducti0a%

'es)e&ando LD o*tendre"os otra e=)resi#n de la inductancia(

!eactancia inducti0a jD( \L gwL g+wJ wL k6%

En corriente continua 'CD la Jrecuencia es nula ya ue no e=iste 0ariaci#n de la corriente res)ecto eltie")o% Esto i")lica ue la reactancia inducti0a sea ta"*in nula%

AC {J g5,H { \L g+Ww5,wL g, k6%:

En ca"*io en corriente alterna ACD la reactancia inducti0a es diJerente de cero ya ue en este caso sdis)one"os de Jrecuencia de*ido al ca"*io ue e=)eri"enta la corriente con res)ecto al tie")o%

AC {J g5,H { \L g+Ww5,wL |, k6%6,

AnaliHando la e=)resi#n de la i")edancia de un circuito o*tene"os 0alores diJerentes se4n el ti)o decorriente e")leada corriente continua o alternaD%

'C { f g!I h &\ NO Dg !f 'C f AC k6%66

AC { f g!I h &\ I D

En corriente continua no tendre"os reactancia inducti0a \LD )or lo ue la i")edancia ser "enor ueen corriente alterna% En los dos casos tendre"os la "is"a resistencia%

Esta es una conclusi#n i")ortante ya ue nos indica ue e=istir una "ayor o)osici#n al )aso de loselectrones intensidadD en corriente alterna ue en corriente continua%

6%+%6%+%+ Inductancia de una lnea elctrica

La inductancia industrial de una lnea se deter"ina en enrios D utiliHando la si4uiente e=)resi#n(


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L g}~

}+

]

wnh+ wln

'

ree

wl w6,8 wlon4 k k6%6+

'onde

n g N"ero de ca*les )or Jase'eg 'istancia "edia 4eo"trica entre Jases ""D!eg !adio eui0alente""DL g Lon4itud de la lnea "D] g Per"ea*ilidad

La inductancia en las lneas se acostu"*ra a deter"inar en /"D de Jor"a ue la e=)resi#n anteriorueda de la si4uiente Jor"a(

L g~}+

]

wnh+ wln

'

re

w6,8k " k6%6}e

Pasando de lo4arit"os ne)erianos a lo4arit"os deci"ales o*tene"os(

L g~

}}+

]

wnh8; wlo4

'

ree

w6,8k "k6%68

La )er"ea*ilidad de)ende de las caractersticas del "aterial y de las condiciones elctricas a las ueest so"etido(

Per"ea*ilidad( ]g ], ]r ]g 6 Cu Al aleaciones%Per"ea*ilidad a*soluta( ],g 8 W 6,@7 ]g +,,

Acero4al0aniHado

Per"ea*ilidadrelati0a

(]r{Ta*l


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as%%%D

Co"o nor"al"ente se utiliHan conductores de co*re alu"inio o aleaciones de este lti"o y)rctica"ente todos dis)onen del "is"o coeciente de )er"ea*ilidad )ode"os sustituir este 0alor en laJ#r"ula anterior resultando(

L g~

6

h8; wlo4'e

w6,8k k6%65

}+ wn r "

e sta es la J#r"ula en la ue nos *asare"os )ara e=)resar la inductancia de los diJerentes circuitos% Esta

inductancia de)ende del radio eui0alente reD y de la distancia "edia 4eo"trica entre Jases 'eD% Estasdos "a4nitudes son Junci#n de la 4eo"etra del circuito y )or tanto de la dis)osici#n de los ca*les en latorre "etlica%

6%+%6%+% 'is)osiciones "s co"unes de los circuitos elctricos en torres de trans)orte de ener4aelctrica

>a"os a denir el radio eui0alente y la distancia "edia 4eo"trica entre Jases en Junci#n de las

caractersticas de los circuitos de trans)orte de ener4a elctrica "s usuales%

!adio eui0alente( La J#r"ula 4eneral del radio eui0alente se "uestra a continuaci#n(

e

r g!nr

!

wnre gn

r wn

!

w!n gnr wn w!n6

k6%6;

Para cada una de las con4uraciones )osi*les tendre"os(

Para un conductor ng6D(

r6 g6 r w6w!' gr

k6%67 Para + conductores ng+D(

Co"o+! gy! g

+


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+ k6%6

r+ gr w+ w! g+r gr w

+

! + ++ !hg! a u( y gcos;,Zw! g+ + +

!+

+

+ +++

8 h8 g! w8 Entonces( ! hg8!

88

+ g!+ iendo( ! g

r g wr w!+ gwr w

g r w+ k6%6:

dqgL

wdi +L g+N wdq

k6%5+

Co"oN!+ h! gydi +!+ g{! g+

eind8

w D

k6%; k6%+,

grN wgd8q8gr!Ng

L8 8wr

di g

L gw di8 +r dt dt+ dt


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Estas con4uraciones re)resentan a los circuitos elctricos con0encionales% Los "s i")ortantes Gansido esue"atiHados en la si4uiente 4ura% Es i")ortante notar ue sta sera la dis)osici#n de los ca*lesen las torres elctricas%

i")le ')le= Tr)le= Cudru)le=

' !' ' T

''!'' ''T

''' '''''' ! T

''''!''''T

''''

''

''''! T! TT !

''''''''''''! T! T

''''''''''''''''! T ! T ''

''''''''''

''! T

''''''''''''

! T


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6 circuito

+ circuitosk6%+6

Para a)licar la J#r"ula de la inductancia de una lnea LD es necesario )re0ia"ente conocer la distancia"edia 4eo"trica entre Jases 'eD el radio eui0alente reD y el n"ero de ca*les ue e=isten )or Jase nD%

Para 6 circuito(

! T "

'e g d! wdT wd!T kk6%++ 6circuitod! dT

d!T

Para + circuitos(

e d wd k

' g! wd -4T" k6%+ ! T

+circuitos


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d g+ d! wd!T wd! wd!T

! d!!

d +d! wdT wd! wdT

gT

! d

+ dT! wdT wdT! wdTdT g dTT

A)licando las J#r"ulas anteriores )ode"os deter"inar de Jor"a 4enrica la e=)resi#n "ate"tica uede*ere"os a)licar en un circuito con di0ersos n"eros de conductores )or Jase% !ecorda"os ue eln"ero de circuitos es el n"ero de Jases re)etidas y no el n"ero de conductores ue Gay )or Jase%

La si4uiente ta*la resu"e las J#r"ulas a considerar )ara lneas Jor"adas con uno o dos circuitoselctricos% Para 6 circuito(

L6 g}~,5 h8;lo4 w

'e

w6, 8 '

!'

'

Tr

L 8 g~},+5 h8;lo4

' e w6,

8

'' '' '' +wr

L g~},6;; h8;lo4

'e w6,8 ' '' + wr ''''''

L8 g} ,6+5 h8;lo4'e w6,8 '''' ''' ''

'''}8

wr w+

Para + circuitos(


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i")le

k6%+8

')le=

k6%+5

Tr)le=

k6%+;

Cudru)le= k6%+7

Cuando e=istan dos circuitos los clculos del coeJiciente de inducciBn se realiHara)licando las "is"as JBr"ulas anteriores las dadas )ara un circuitoD con sBlo ca"*iarla e=)resiBn de la distancia "edia 4eo"Mtrica )or Jases reJerida aGora a dos circuitos ydi0idiendo el resultado Jinal )or el n"ero de circuitos e=istentes%

Clculo de la reactancia total(

Una 0eH deter"inada la inductancia de uno o dos circuitosD )or " de lnea LDcalculare"os la inductancia total con s#lo "ulti)licar esta inductancia )or la lon4itud de la lnea en "%

kgL }~

k k6%+

L Lon4" "

A continuaci#n la reactancia inducti0a \LD de la lnea ser(

\LL wk k6%+:

g j'onde(

=+ wwJ

J g Jrecuencia en H


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6%+%+%6 Ca)acidad C


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C g

'onde D es la car4a so*re la lnea en coulo"*s y >D es la diJerencia de )otencial entre losconductores en 0oltios%

La ca)acidad de)ende de las condiciones 4eo"tricas e=istentes su)ercie RR y distancia entre )lacasRdRD y del ti)o de "aterial ue Jor"a los conductores )er"iti0idad RR) es )or tanto )ara un circuitodado una constante inde)endiente de las condiciones elctricas o "a4nticas ue )uedan e=istir%

C g k6%

d

Una J#r"ula ue )er"ite el )aso de Jaradios


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circuito )or el n"ero de circuitos n#tese ue en las resistencias e inductancias co"o )ar"etroslon4itudinales ue eran se di0ida )or el n"ero de circuitos )ero la ca)acidad y conductancia son)ar"etros trans0ersales y )or tanto de*en "ulti)licarse )or el n"ero de circuitosD%

Una 0eH se o*tiene la ca)acidad )or " total se )asa a Gallar la susce)tancia 9"D% e "ulti)lica la susce)tancia )or " )or el n"ero de " totales o)tenindose la susce)tancia

total%


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d ! d !T d ! d !T '! gd !!

d ! d T d !d T

' g

d

dT! dT dT dT!

T !

'T gdTT

iendo la ca)acidad )ara dos circuitos la ca)acidad de un circuito "ulti)licada )or el n"ero decircuitos(

C TOTAL g C 6ZCI!CUITO nZ circuitos% k6%8+

Una 0eH o*tenida la ca)acidad en Jaradios se )asa a sie"ens

"ulti)licando esta ca)acidad )or la )ulsaci#n ?D o*tenindose la

usce)tancia 9D( 9 g?C TOTAL Con ? g+WJ k6%8

O*tenindose la susce)tancia total al "ulti)licarse 9D )or la lon4itud

de la lnea( 9 g9 Lon4itud"D k6%88


26/252

Ad"itancia trans0ersal de un siste"a elctrico%

Una J#r"ula t)ica de re)resentar la conductancia es la si4uiente(P

P g> I co"o I g>

!entonces 3 g

!

6g

>6

g>

Ig

>> g

>

P+

k6%8;

I

e=)resa"os la J#r"ula anterior en " de recorrido y en 0alores de Jase o*tene"os(

3

gPJase" D

6,

%sie"ens / " Jase

con >Jase gU Lnea k6%87

++

> Jase > D

Esta ser la J#r"ula a a)licar )ara Gallar la conductancia industrial%

La conductancia tiene en cuenta las corrientes de Ju4a tanto de los aisladores ue sostienen a las lneasareas co"o las )rdidas ocasionadas )or los electrones al saltar a tra0s del aire% La conductanciade)ende de nu"erosos Jactores entre ellos los cli"ticos y los "edioa"*ientales Jactores diJciles de)redecir y ue no se "antienen constantes a lo lar4o de toda la lnea%

Los clculos de la conductancia suelen )resentar 0alores )eue-os en co")araci#n con los eJectosresisti0os inducti0os o ca)aciti0os 0istos anterior"ente% Es una suerte ue la conductancia re)resentes#lo una )eue-a )artici)aci#n en el total de los eJectos elctricos de un circuito ya ue resulta del todoi")osi*le su clculo e=acto des)recindose en la "ayora de las ocasiones%

La conductancia se di0ide en dos eJectos "ayoritarios( el eJecto Aislador y el eJecto Corona% >ea"oscada uno de ellos )or se)arado(

6%+%+%+%+ EJecto Aislador

Los centros de consu"o suelen estar ale&ados de los centros de )roducci#n de ener4a elctricai")onindose un trans)orte ue a "enudo re)resenta 4randes distancias% Estas distancias de*en sercu*iertas sin ue en nin4n "o"ento se )roduHca contacto entre los conductores y otra )arte acti0acercana a la lnea ya ue si esto ocurriera la ener4a )asara a tra0s de esta )arte acti0a ue no tiene)or ue ser un conductor "etlico )uede ser incluso un r*ol una )ared etc%D i")idiendo su lle4ada al

centro rece)tor o de consu"o%Para ue esto no ocurra y teniendo )resente ue los )ostes o torres elctricas actuales son

Jrecuente"ente "etlicas es necesario incor)orar a las "is"as aisladores ue las aslen de losconductores ue trans)ortan la ener4a elctrica% El ta"a-o de estos aisladores de)ender del 0alor de latensi#n de la lnea recordar ue en condiciones nor"ales )or cada 6,%,,,> los electrones son ca)aces desaltar a tra0s del aire una distancia a)ro=i"ada de 6c"DQ as cuanto "ayor sea el )otencial de la lnea"ayor ser el ta"a-o de sus aisladores%

Los aisladores se Ja*rican de "ateriales alta"ente aislantes )ero aun as con condiciones at"osJricasad0ersas llu0ia nie0e o GeladasD o "edioa"*ientales a"*ientes conta"inados de Honas industrialesDal4unos electrones son ca)aces de des)laHarse )or la su)ercie del aislante Gasta alcanHar la torre"etlica desde la cual lle4arn a tierra% Incluso al4unos electrones lle4an a )asar a tra0s del aislante y

)or tanto i")ortndoles )oco las condiciones "edioa"*ientales%


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En la 4ura anterior se a)recia el )aso de los electrones )or la su)ercie y a tra0s del )ro)io aislador%'e*ido a este eJecto sie")re e=istirn )rdidas )or "ucGo ue se "e&oren los "ateriales constructi0oslas Jor"as o las dis)osiciones ue ado)ten los aisladores ya ue no e=iste un "aterial )erJecta"enteconductor as co"o ta")oco e=iste un aislante )erJecto%

%

AILA'O! )latos o discosD CA'ENA


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3D% Este roHa"iento )ro0ocar un au"ento dela te")eratura en los electrones lle0ndolos al estado incandescente%

La uni#n de "illones electrones incandescentes Jor"ar un Galo lu"inoso alrededor del conductor%Este Galo se4uir la Jor"a del conductor ya ue as lo Garn las lneas de tensi#n a l asociadas 4radientede tensi#nD )ero co"o nor"al"ente los conductores tienen Jor"a cilndrica el Galo lu"inoso ta"*intendr esta Jor"a )areciendo ue el conductor lle0e un Galo o Corona lu"inosa% Incluso en in4ls seconser0a el no"*re es)a-ol de eJecto Corona )ara desi4narlo%

Conductor

6, ,,, > )or c" 4radiente de tensiones en el aireD%

La intensidad de este eJecto )uede deter"inarse a tra0s del color del Galo lu"inoso% i el color del Galoes ro&iHo el eJecto no es "uy i")ortante "enor te")eraturaD en ca"*io cuando el Galo )resentatonalidades *lancas o aHuladas si4nica ue el eJecto se )roduce con "ayor intensidad "ayor


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te")eraturaD%

Uno de los in4enieros )ioneros en el estudio del eJecto Corona Jue el nortea"ericano Pee ue yadesde )rinci)ios de si4lo dedu&o de Jor"a e=)eri"ental unas J#r"ulas ue )er"itan su clculo%

e denieron tres tensiones )ara su estudio(

Tensi#n crtica disru)ti0a( es la tensi#n o resistencia del aire ue los electrones de*en 0encer )arainiciar su )aso a tra0s de l a*andonando el "aterial conductor% Es la tensi#n "s i")ortante% Tensi#n crtica 0isual( es la tensi#n o resistencia del aire ue de*en 0encer los electrones )ara ue

el eJecto sea 0isi*le y )or tanto ue el a)orte de electrones Gacia el aire sea ya i")ortante% Es"ayor ue la tensi#n crtica disru)ti0a )ero no es de tanta i")ortancia en el clculo del eJecto yaue lo ue real"ente interesa es el "o"ento en ue se )roduce y no cuando ste es 0isi*le%

Tensi#n "s ele0ada( es la tensi#n ue )uede aduirir una lnea en condiciones nor"ales deJunciona"iento )or la 0aria*ilidad de las car4as a ella conectadas% e o*tiene "ediante ta*lasaunue su 0alor suele estar co")rendido entre un 6,m y un +,m su)erior al no"inal siendo "uyJrecuente ado)tar un 65m su)erior a la tensi#n no"inal%

EJecto

'es)us de estas deniciones esta"os en condiciones de entender el "todo ue a)lic#Pee%

e calcula la tensi#n ue )uede a4uantar el aire tanto en a"*ientes secos co"o G"edos tensi#ncrtica disru)ti0aD%

e calcula la "=i"a tensi#n ue )uede alcanHar la lnea en condiciones nor"ales tensi#n "s

ele0adaD% e co")aran las dos tensiones( si la tensi#n crtica disru)ti0a la ue a4uanta el aireD es "ayor ue

la tensi#n "s ele0ada tensi#n de los electronesD los electrones no tendrn suciente ener4a)ara saltar al aire y no se )roducir eJecto corona% i )or el contrario la tensi#n crtica disru)ti0a es"enor ue la tensi#n "s ele0ada se )roducir el eJecto corona y de*ere"os calcular sus)rdidas%

$ediante unas J#r"ulas e")ricas se calcular las )rdidas )or eJecto corona%

Es necesario )ues Gallar la e=)resi#n de la tensi#n crtica disru)ti0a y asi"is"o la de las )rdidas )oreJecto corona% Pero 0aya"os )or )artes y )roceda"os con la )ri"era( la tensi#n crtica disru)ti0a%

e

U g8" " r[lo4' > D k6%56

c ct

re'onde(


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8 g es una constante ue dene el )aso de las tensiones de un 0alor "=i"o a uno ecaH% Estaconstante tiene )ues unidades ue son >/c"D6 "cg coeciente del conductor e")leado% !ecordar ue cuanto "s )lano sea un "aterial

"s diJcil es ue de l )uedan des)renderse electrones% En ca"*io con "ateriales circulares+ o con )ertu*erancias stas actan de tra")oln )ara los electrones de Jor"a ue a i4ualdad

de tensi#n saltan del "aterial "s Jcil"ente% As( "cg 6 )ara conductores nue0os

"cg ,%: a ,%: )ara conductores 0ie&os con )ertu*eranciasD "cg ,% a ,%7 )ara ca*les Jor"ados )or GilosD "tg coeciente "edioa"*iental% El aire ser "s conductor si est G"edo o

conta"inado% As( "tg 6 cuando el aire es seco "tg ,% cuando el aire est G"edo o conta"inado

reg radio del conductor en c"D% Es "uy i")ortante colocar correcta"ente las unidades )ara uela J#r"ula nal ten4a coGerencia

'eg distancia "edia 4eo"trica entre Jases% e e=)lic# co"o calcularla en la secci#n de lainductancia o ca)acidad% Las unidades tienen ue ser i4uales ue las del radio del conductor )araue el resultado del lo4art"o sea l#4ico%

g densidad relati0a del aire% No tiene unidades y de)ende de las condiciones

"edioa"*ientales y de la altura to)o4rca%

+5 h+7DZ G c"4 D %:+6G[g

7;c"4D +7 hDZ Dg

+7 h k6%5+

As si en sta J#r"ula se entra con( la altura de )resi#n relati0a GD en c" de "ercurio y late")eratura D en ZC la densidad relati0a no tendr unidades%

Nos Jalta Gallar la altura ue alcanHar la colu"na de "ercurio )resi#n relati0a del aire en c" de4D a cualuier altura to)o4rca )ara ello se e")lear la si4uiente J#r"ula o*tenida )or alley(

lo4 G glo47; y k6%5

6;

'onde( y g altura to)o4rca en "etros del tra"o de lnea a considerar%

Con todas estas J#r"ulas y datos el clculo de la tensi#n crtica disru)ti0a del aire no oJrece nin4unadicultad%

Nos Jalta aGora y "ediante ta*las Gallar la tensi#n "s ele0ada de la lnea% i no se dis)onen de estasta*las en la "ayora de los casos es suciente con a)licar la si4uiente ecuaci#n%

U"e

g6%65ULnea

>D k6%58

Una 0eH calculadas las dos tensiones se )rocede a su co")araci#n(

Uck> gp tensi#n crtica U"ek> gp tensi#n"s ele0ada

i Ucp U"e gp No Gay eJecto coronai Uc U"e gp Gay eJecto corona

i no se )roduce el eJecto corona ya no de*e )rose4uirse con los clculos concluyndose ue noe=istirn )rdidas )or este conce)to%

i se )roduce el eJecto corona se Gan de deter"inar sus )rdidas%

Es decir Gasta aGora s#lo se Ga deter"inado si se )roduce o no el eJecto corona )ero en casoar"ati0o de*en calcularse las )rdidas ue este eJecto re)resenta% Para ello nos *asare"os en otraJ#r"ula e=)eri"ental ta"*in dise-ada )or el in4eniero Pee% Prdidas )or eJecto Corona


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+86 re ~U"e Uc + 5

Potencia%)rdida%)or% Jase%y%)or%" g[

J h+5D'

6,k6%55e

'onde todos los tr"inos son conocidos y e=)licados en los a)artados )recedentes% iendo la )otencia total en e=)resada la lon4itud en "D%

Potencia total gPotencia%)rdida%)or% Jase%y%)or%" nZ Jases lon4 k6%5;

Es interesante ta"*in calcular las )rdidas de*idas a la conductancia )or " y Jase(

3 gPJase" D6,%k6%57

sie"ens / "


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aun con los )ro4resos en el ca")o de la inJor"tica sie")re sern necesarias estas ecuaciones ya uenos )ro)orcionan una co")rensi#n 4lo*al de lo ue ocurre en el siste"a re)ercutiendo en un "e&ora)ro0ecGa"iento de los recursos y co"*usti*les naturales cada 0eH "s li"itados%

No se estudiar en este ca)tulo el r4i"en transitorio cortocircuitos ar"#nicos etc%D tratndose noo*stante en )roJundidad el r4i"en )er"anente es decir cuando las lneas Juncionan *a&o condicionesnor"ales y no estn so"etidas a 0ariaciones *ruscas de ener4a de*idas a deJectos ue )uedan

aJectarlas%6%%6 Conce)tos )re0ios

Pri"era"ente 0a"os a recordar al4unos conce)tos estudiados en ca)tulos anteriores ue nosJacilitarn la co")rensi#n de las J#r"ulas y a)artados e=)uestos en el )resente ca)tulo%

La ener4a elctrica se )uede 4enerar de dos Jor"as distintas en continua o *ien en alterna% En suJor"a de continua solo e=iste un 0alor )ara desi4nar una "a4nitud deter"inada este 0alor es ade"sinaltera*le con el tie")o y ser el e")leado )ara realiHar los clculos los n"eros y o)eraciones sern)ues al4e*raicosD% En su Jor"a alterna )or el contrario necesita"os denir tanto el 0alor de la "a4nitudco"o su Jrecuencia% El 0alor de la "a4nitud )eri#dica asi"is"o )uede e=)resarse de Jor"as diJerentes)ero sie")re co"o 0ector lo ue co")licar los clculos% Lle4ados a este )unto es i")ortante ele4ir de

entre todos estos )osi*les 0alores cul ser el utiliHado )ara realiHar los clculos Para res)onder a esta )re4unta )ri"era"ente 0a"os a re)resentar una "a4nitud alterna cualuiera

AD en Junci#n del tie")o% El )roceso ocurre co"o si un 0ector Juera rotando en un crculo Gasta cu*rir los;,Z re)resentndose sus )royecciones so*re un )lano% La Jor"a ue ir to"ando la "a4nitud ser unasenoide )eri#dica la cual tendr unos "=i"os )ositi0os o ne4ati0os y unos )untos )aso )or ceroD enlos cuales su 0alor ser nulo%


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A)) g 0alor "=i"o )ositi0o @ 0alor "=i"o ne4ati0oD

A

A g))

k6%5:"a=

+

Ai gA"a= sent k6%;,

A

A g "a=

k6%;6 +

Otro as)ecto i")ortante es el desJase ue introducen ele"entos co"o *o*inas o condensadores% ede*e tener )resente ue una reactancia inducti0a *o*inaD re)resenta una resistencia desJasada :,Z"ientras ue una reactancia ca)aciti0a condensadorD re)resenta una resistencia )ero con n4ulo dedesJase de :,Z% As las corrientes )ueden re)resentarse res)ecto a la tensi#n de las si4uientes Jor"as

de)endiendo de si el rece)tor o car4a es #G"ico inducti0o o ca)aciti0o( Car4a #G"ica(

I gU

!,

ZgI k6%;+ La corriente est en Jase con la tensi#n%

6 Car4a inducti0a(

I gU

gI:,Z k6%; La corriente est atrasada :,Z con res)ecto a la tensi#n%

\L:,Z Car4a ca)aciti0a(

I g\

U

:,ZgI h:,Z k6%;8 La corriente est adelantada :,Z con res)ecto a la tensi#n%

c

En cuanto a las tensiones el )roceso se in0ierte(

Car4a #G"ica( U! g I! gI!,Z gU k6%;5 La cada de tensi#n esta en Jase con laintensidad

Car4a inducti0a(U \Lg I\ \ :,Z gU h:,Z k6%;; La cada de tensi#n est adelantada :,Z con res)ecto ala

L L

intensidad

Car4a ca)aciti0a(

U \cg I\ gI \ :,Z gU :,Z k6%;7 La cada de tensi#n est retrasada :,Z con res)ecto acc

la intensidad%

6%%+ 'ia4ra"as

>ea"os un resu"en de los conce)tos 0istos en el a)artado anterior e=)resados "ediante dia4ra"asde tensiones e intensidades con los desJases )roducidos con el e")leo de las di0ersas car4as%


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Una lnea con0encional con una car4a conectada en su e=tre"o nal )uede re)resentarse co"o unaresistencia y una inductancia de la Jor"a ue indica la 4ura(

!L \L$otor de car4a

>6 >+

6 p >+I+ > u!gI!

+


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N#tese ue en este caso la tensi#n al nal de lnea >+D es aun "enor ue en el caso resisti0o anteriorres)ecto a la tensi#n ori4en >6D es decir la cada de tensi#n es "ayor "antenindose el si4no )ositi0ode la "is"a%

6%%+% Car4a ca)aciti0a resisti0a ti)o condensadores "s resistenciaD

Este es un caso "ucGo "enos Jrecuente ya ue no e=isten "otores Jor"ados )or condensadores% Estasituaci#n suele )resentarse cuando se realiHa una co")ensaci#n de )otencia o *ien cuando la lnea esten 0aco )ero en o)eraci#n eJecto +D ser "ayor ue la tensi#n en el inicio de lnea >6D dndoseuna cada de tensi#n ne4ati0a eJecto


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0anos estarn "s cerca del suelo "ientras ue en los a)oyos la altura ser "s considera*leD% Los )ar"etros elctricos se "antienen constantes en todo el trayecto de las lneas los a)oyos en

realidad introducen "odicaciones a esta ar"aci#nD% Las condiciones e=ternas a la lnea condiciones "edioa"*ientales )rinci)al"enteD se "antienen

re4ulares en toda la lon4itud de la lnea% ie")re se considerar ue los siste"as estn conectados en estrella si estn conectados en

trin4ulo se )roceder a la con0ersi#n trin4ulo@estrellaD y )or tanto las J#r"ulas en estrella a

e")lear se4uirn siendo 0lidas% Las intensidades en cone=i#n estrella no ca"*ian( I Lnea g I


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Las ecuaciones ue denen el r4i"en de car4a son )ara las tensiones e intensidades(

> 6 g> + h fI + k6%7+

I + gI 6 k6%7

6%8%6%+ Lnea corta de trans"isi#n de ener4a elctrica en 0aco

En 0aco el circuito se si")lica ya ue al no e=istir nin4una car4a conectada al nal de la lnea elcircuito )er"anece a*ierto no circulando corriente a tra0s del "is"o%

! \L

P6 I6I+ P+ 6 +

alores concentrados k6%7;

3g, 9g?C { `L g3 h&9D >alores concentrados k6%77

Co"o en el caso de lneas de lon4itud corta siendo conocidas las "a4nitudes de un )unto de la lneanor"al"ente el nal de la lneaD U+ P+ y + *uscare"os los 0alores de las inc#4nitas U6 P6 6 en otro)unto de la "is"a nor"al"ente al )rinci)io de la lneaD% Asi"is"o se se4uirn considerando los dosre4"enes de Junciona"iento el de )lena car4a y el de 0acoD%

E=isten al "enos dos Jor"as de a4ru)ar los )ar"etros elctricos ue inbuyen en una lnea elctricade lon4itud "edia no aJectando su elecci#n a la calidad de los resultados nales%

$todo del circuito eui0alente en VTX $todo del circuito eui0alente en VWX


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6%8%+%6 $todo del circuito eui0alente en VTX

Con este "todo se a4ru)an los )ar"etros trans0ersales conductancia y ca)acidadD en la )artecentral de la lnea de&ndose los )ar"etros lon4itudinales resistencia e inductanciaD di0ididos en dos4ru)os i4uales "itad de los totales colocados en los e=tre"os de la lnea% Con esta distri*uci#n elcon&unto de la lnea se ase"e&a a la letra TD de donde deri0a su no"*re%

Con la inclusi#n de uno de los )ar"etros trans0ersales la ca)acidad se trunca la idea de intensidadnica ya ue aGora e=istirn tres intensidades( una nal una inicial y una trans0ersal ue es la diJerenciaentre las dos anterioresD ue circular )or la ad"itancia en )aralelo%

6%8%+%6%6 !4i"en en car4a

La a)arici#n de estas intensidades co")lica el estudio del )ro*le"a ue a*ordare"os en )ri"er lu4arconsiderando ue e=iste una car4a conectada en el e=tre"o nal de la lnea%

Co"o en el caso de la lnea corta se su)onen conocidos los datos del e=tre"o nal de la lnea es decirconocida la car4aD )lantendose el )ro*le"a con el o*&eti0o de Gallar los 0alores de las "a4nitudeselctricas en el ori4en de la "is"a%

Con estas condiciones el circuito resultante aduiere el si4uiente as)ecto caracteriHado )or su si"ilitudcon la letra TD% !ecordar ue aunue en la 4ura a)arece el )ar"etro conductancia 3D su 0alor seconsidera nulo%

!/+ \/+ \/+ !/>c +

>6

Conocido el 0alor de la car4a )otencia y n4uloD y el 0alor de la tensi#n al nal de la lnea se )asan acalcular las restantes "a4nitudes en este e=tre"o rece)tor de la "is"a "ediante las si4uientese=)resiones(

P+ g+cos+ siendo P+ gU +I + cos+ k6%7

F+ g+sen + siendo F+ gU +I + sen+ k6%7:

+ gP+ siendo + gU +I + gP+ h &F+ D k6%,cos+

Otra J#r"ula i")ortante es la ue nos deter"ina el n4ulo al nal de la lnea(

+g0+@I+ k6%6 Con estas J#r"ulas y conocidas las condiciones P+ U+ y + la

intensidad nal de lnea ser(gP+ k6%+

0++

La tensi#n en el centro de la lnea estar denida )or(


39/252

>C g> + hf Linea

I + k6%

+

Con esta tensi#n ya es )osi*le o*tener la intensidad

ue se deri0ar )or el condensador(

IC g9>c k6%8 La intensidad total al )rinci)io de

lnea ser(I 6 gIc h I + k6%5 iendo la tensi#n al

)rinci)io de lnea(

> 6 g>c hf Lnea

I 6 k6%;

+

` recordando ue( I 6L gI 6 6


40/252

` el rendi"iento del siste"a 0endr deJinido )or( gP+ 6,, k6%:+

P6

6%8%+%6%+ !4i"en en 0aco

En ese caso los clculos se si")lican ya ue no es necesario conectar la car4a y )or tanto laintensidad de nal de lnea es nula%

Considerando los "is"os su)uestos anteriores es decir conocidas las )rinci)ales "a4nitudes al nalde la lnea P+ U+y +D *uscare"os las condiciones al )rinci)io de la "is"a%

>6 !/+ \/+>c \/+ !/+


41/252

gP+ g, k6%:8

0++

La tensi#n en el centro de la lnea estar denida )or(

f Linea

>C g> + h I + g > + k6%:5

+ Con esta tensi#n ya es

)osi*le o*tener la intensidad ue se deri0ara )or el condensador( IC

g9>c g 9> + k6%:; La intensidad total al )rinci)io de lnea

ser( I 6g IC h I + g IC k6%:7iendo la tensi#n al )rinci)io de lnea(

> 6 g>c hf Lnea

I 6 g> + hf

IC k6%:++

Con una intensidad de lnea( I 6L gI 6 6


42/252

` el rendi"iento del siste"a ser nulo al no e=istir )otencia( gP+ 6,, g , k6%6,8

P6

6%8%+%+ $todo del circuito eui0alente en SA diJerencia del "todo anterior este "todo di0ide a la lnea )or sus )ar"etros trans0ersales

"anteniendo unidos los )ar"etros lon4itudinales es decir en el tra"o central se situarn la resistenciay la reactancia inducti0a en Jor"a concentrada "ientras ue la conductancia y la susce)tancia ocu)arnlas )osiciones e=tre"as estando sus 0alores di0ididos )or la "itad 3/+ y 9/+D tal co"o se re)resenta enla 4ura(

I6 >6 ! \

>+ I+

Con la inclusi#n de los )ar"etros trans0ersales se trunca la idea de intensidad nica ya ue aGora

e=istirn cinco intensidades( una nal una inicial una inter"edia ue )asa )or los )ar"etroslon4itudinalesD y dos trans0ersales ue circularn )or las ad"itancias en )aralelo%

6%8%+%+%6 !4i"en en car4a

La a)arici#n de estas intensidades co")lica el estudio del )ro*le"a ue a*ordare"os en )ri"er lu4arconsiderando ue e=iste una car4a conectada en el e=tre"o nal de la lnea% Con estas condiciones elcircuito resultante aduiere el as)ecto "ostrado en la 4ura 6%+6%

Co"o en el caso de la lnea corta se su)onen conocidos los datos en el e=tre"o nal de la lnea esdecir conocida la car4aD )lantendose el )ro*le"a con el o*&eti0o de Gallar los 0alores de las "a4nitudeselctricas en el ori4en de la "is"a%

Co"o en caso del circuito eui0alente en VTX conocido el 0alor de la car4a )otencia y n4uloD y la

tensi#n al nal de la lnea se )rocede al clculo de las restantes "a4nitudes elctricas en este e=tre"o dela lnea "ediante las si4uientes e=)resiones(

+ k6%6,5

+ k6%6,;gP+ h &F+ D k6%6,7+

Otra J#r"ula i")ortante es la ue nos deter"ina el n4ulo Jinal( + g 0+ @I+

k6%6, Con estas J#r"ulas y conocidas las condiciones P+ U+ y + la intensidad

al nal de lnea 0aldr(gP+ k6%6,:

0++


43/252

La intensidad ue se deri0a )or la se4unda ad"itancia trans0ersal ser(

9

IC + g> + k6%66,

+ La intensidad ue )asar )orla resistencia y la reactancia de la lnea estar denida )or( I gIC + hI +

k6%666 Con el 0alor de esta intensidad es )osi*le Gallar la tensi#n en el

e=tre"o inicial de la lnea( > 6 g> + h!L h &\ L DI k6%66+ Conocido el

0alor de la tensi#n en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se

deri0a )or la )ri"era ad"itancia trans0ersal(

9

IC 6

g>6

k6%66

+

Conocidas Ic6D e ID )ode"os Gallar la

intensidad en el ori4en(I 6g IC 6 hI k6%668

iendo el 0alor de la intensidad( I 6L gI 6 6


44/252

La )rdida de )otencia 0aldr( P g

P6 P+6,, Este 0alor no e=ceder del m )or cada 6,,"%P6

` el rendi"iento del siste"a estar deJinido )or( gP+ 6,, k6%6+,

P6

6%8%+%+%+ !4i"en de 0aco

En ese caso los clculos se si")lican ya ue no es necesario conectar la car4a y )or tanto la

intensidad del nal de lnea es nula(


45/252

Considerando los "is"os su)uestos anteriores es decir conocidas

las )rinci)ales "a4nitudes al nal de la lnea P+ U+y +D *uscare"oslas condiciones iniciales de la "is"a% i no e=iste car4a todas las

)otencias al nal de lnea tendrn 0alor nulo( P+ g F+ g + g ,% Las

restantes e=)resiones uedarn co"o si4ue( _n4ulo al nal de la

lnea( +g0+@I+ g , k6%6+6 La intensidad al nal de lnea

ser( gP+ 0+ + g, k6%6++

La intensidad ue se deri0a )or la se4unda ad"itancia trans0ersal es(

9

IC + g> + k6%6+

+

La intensidad ue )asar )or la resistencia y la reactancia de la lnea ser(

I gIC + hI + g IC + k6%6+8 a ue la intensidad al nal de lnea es cero% Con el 0alor de esta intensidad central es )osi*le Gallar

la tensi#n en el e=tre"o inicial de la lnea sta 0endr dada )or(

> 6 g> + h!L h &\ L DI k6%6+5

Conocido el 0alor de la tensi#n en el ori4en )ode"os Gallar la intensidad ue se deri0a )or la )ri"eraad"itancia trans0ersal(

9

IC6 g> 6 k6%6+;

+

Conocidas Ic6D e ID )ode"os Gallar la intensidad en el ori4en(I 6gIC6 hI k6%6+7


46/252

iendo el 0alor de la intensidad( I 6L gI 6 6alores distri*uidos k6%68

3g, 9g?C { ` g3 h&9D >alores distri*uidos k6%65

Co"o sie")re )arti"os de la idea de ue siendo conocidas las "a4nitudes de un )unto de la lneanor"al"ente el nal de la lneaD U+ P+ y + )retende"os Gallar los 0alores de las inc#4nitas U6 P6 6 enotro )unto de la "is"a nor"al"ente el )rinci)io de la lneaD considerando co"o en el a)artado anteriordos re4"enes de Junciona"iento el de )lena car4a y el de 0acoD%

Para realiHar el clculo de las citadas "a4nitudes elctricas es necesario a)licar las J#r"ulassi4uientes(

> 6 g> +A h I +9

k6%6;I 6 g > +C h I +'

i el siste"a esta en 0aco se si")lican las J#r"ulas anteriores uedando co"o si4ue(

> 6 g> +Ak6%67

I 6 g > +C


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a ue I + g ,%

Los 0alores de las tensiones son de Jase si")lesD )or lo ue tra*a&ando con un siste"a en estrellade*ere"os "odicar la tensi#n y recordar ue la intensidad no 0ariar(

I Lnea gI + g > 6ec> 6 g > + ehc k6%688


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Es un n4ulo co")le&o siendo sus unidades radianes/se4undo%

j radianes

c gc h&c D g f LNEA ` LNEA gjie"ensD gD g k6%685

j se4undo

Es decir es un n4ulo en el cual la relaci#n >/ID se "antiene constante en cualuier )unto dela lon4itud de la lnea elctrica%

Es i")ortante recordar ue con cosGD y senGD cosenos y senos Gi)er*#licosD es necesario o)erar con0alores de radianes/se4undoD )or tanto los Gallados con la J#r"ula anterior% En ca"*io )ara los senos ycosenos nor"ales sus unidades de*ern ser 4rados resultando necesaria su con0ersi#n "ediante laJ#r"ula(

;,Z ;,Z

c3!A'O gc h&c D g f LNEA ` LNEA g4rados k6%68; +W +W

Potencia caracterstica

+

Pc gU LNEA iendo el 0alor de la tensi#n s#lo en "#dulo( U LNEA g>


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Cg ch &cD g `L }6 hhhhh%%%%%% k6%656

}5 7 :

iendo fL y`Lla i")edancia y ad"itancia de la lnea res)ecti0a"ente%

Pero cuntos tr"inos es necesario to"ar de las e=)resiones anteriores Aunue no e=iste una re4laconcreta se acostu"*ra a se4uir la si4uiente reco"endaci#n%

Un solo tr"ino si la lnea es "enor de ," 'os tr"inos si la lnea esta co")rendida entre los ," y los 6;," Tres tr"inos si la lnea dis)one de una lon4itud entre los 6;," y los +8," ` as sucesi0a"ente

6%8%% Co")ro*aci#n de resultados

Es )osi*le co")ro*ar los resultados o*tenidos )or cualuiera de los dos "todos e=)licados "ediantelas si4uientes i4ualdades(

+

A 9C g6 h&,Da + a +D *c D h*c D g6 k6%65++a a D *c D

*c D g ,

iendo( A ga h&aD 9 g* h &*D y C gc h &c D k6%65

Para )oder considerar 0alidos los resultados es necesario ue se cu")lan las tres condiciones a la 0eH%

6%8% %8 6 g> +A h I +9

+ k6%658 I 6 g > +C h I +'

!4i"en de 0aco> 6 g> +A

k6%655

I 6 g > +C

i conoce"os las condiciones elctricas al inicio de la lnea y desea"os Gallarlas al nal de la"is"a a)licare"os(6 !4i"en de car4a

> + g> 6' I 69

+ k6%65; I + g I 6A > 6C !4i"en de 0aco

> + g> 6'


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k6%657

I + g> 6C

!ecordando ue )ara )asar de 0alores de Jase a 0alores de lnea es necesario a)licar(

I Lnea gI 6>ACIO

g>

gD> 6 g > +A > +>ACIO > k6%6;,

I 6 g > +CI 6>ACIO A

C gggsie"ensD> +>ACIO >

i esta"os en cortocircuito las J#r"ulas iniciales uedan al ser nula la tensi#n de salidaD(

9 g> 6CO!TO

g>

gjD> 6 g I +9 I

+CO!TO A k6%6;6

I 6CO!TO A

I 6 g I +'' gggDI +CO!TO A

Las constantes AD y 'D son adi"ensionales "ientras ue la constante 9D tiene unidades dei")edancia y la constante CD tiene unidades de ad"itancia%

Es decir )ode"os denir estas constantes de la si4uiente Jor"a(

A g tensi#n a a)licar al )rinci)io de lnea )ara ue estando en 0aco el nal de la "is"a seo*ten4a la tensi#n nal no"inal >+no"inalD%

9 g tensi#n a a)licar al )rinci)io de lnea )ara ue estando en cortocircuito el nal de la "is"a seo*ten4a la intensidad nal no"inal I+no"inalD%

C g intensidad a inyectar al )rinci)io de lnea )ara ue estando en 0aco el nal de la "is"a seo*ten4a la tensi#n nal no"inal >+no"inalD%

' g intensidad a inyectar al )rinci)io de lnea )ara ue estando en cortocircuito el nal de la"is"a se o*ten4a la intensidad nal no"inal I+no"inalD%

i realiHa"os la co")araci#n de estas J#r"ulas a)licadas a circuitos cortos o*tendre"os )ara elr4i"en de 0aco los resultados ue si4uen(


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!L \L

Ig,>+>ACIO >6>ACIO

6>ACIO

g6 ya ue > 6>ACIO g> +>ACIO k6%6;+ > +>ACIO

I 6>ACIO

Cgg , ya ue I 6>ACIOg, k6%6;> +>ACIO

` )ara el r4i"en de cortocircuito las e=)resiones 4enerales uedan de la si4uiente Jor"a(!L \L

9 g> 6CO!TO

gf LNEA ya ue > 6CO!TO gf LNEA I + NO$INAL k6%6;8 I + NO$INAL

I 6CO!TO

'gg6 ya ue I 6CO!TO gI +NO$INAL k6%6;5I + NO$INAL

Por tanto si considera"os los 0alores o*tenidos )ara lneas

cortas tendre"os(

A gah&aD g6 g' gdh&dD k6%6;;9

g*h &*D g f LINEA g!LINEA h &\ LNEA D

k6%6;7Cg ch &cD g ` LNEA g3LNEA

h

&9LNEA

D g, k6%6; Fue a)licado a las

J#r"ulas 4enerales )ara lneas lar4as

resulta(> 6 g> +A h I +9 g > + h I +f LNEA

k6%6;:I 6 g > +C h I +' g I +

Lo ue se corres)onde con las ecuaciones dadas )ara lneas cortas%

El "todo de las constantes au=iliares re)resenta un "todo e=acto )ara el clculo de cualuier lneaelctrica sea cual sea su lon4itud aunue )ara lneas cortas es "s aconse&a*le a)licar las J#r"ulasdadas )ara ellas ya ue si")lican enor"e"ente la co")le&idad y el tie")o de clculo%


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6%5 CUETIONE ` P!O9LE$A CUETIONE

6 Cules son los )ar"etros elctricos ue denen cualuier circuito C#"o estn di0ididosInduense unidades y "a4nitudes%

+ Anotar las J#r"ulas y unidades de las si4uientes "a4nitudes( resistencia reactancia inducti0ai")edancia conductancia susce)tancia y ad"itancia%

Fu es la resistencia de un conductor elctrico Por u entre una *arra de "adera y una deco*re su)oniendo i4ualdad de di"ensiones se )resentan 0alores de resistencia diJerentesCoincide la resistencia real con la te#rica de un conductor "aciHo ` coinciden estas resistenciassi se trata de un ca*le Jor"ado )or Gilos

8 La resisti0idad de)ende de la te")eratura y del ti)o de "aterial e")leado% Puede ar"arse uecon au"entos de te")eratura la resisti0idad sie")re au"enta% !aHonar la res)uesta%

5 Por u no )udo utiliHarse el alu"inio )ara la construcci#n de lneas de trans)orte de ener4aelctrica Los ca*les de aleaci#n alu"inio@acero constituyen una *uena alternati0a al co*re )ero(cules son las caractersticas )rinci)ales ue diJerencian estos dos ti)os de ca*les

; La resistencia de un conductor con un "aterial deter"inado se o*tiene en ta*las )or " delneaD% i una lnea de trans"isi#n de ener4a dis)one de dos circuitos tr)le= c#"o se 0eraJectado el 0alor de la resistencia Gallado en ta*las )ara el conductor calculado

7 En una *o*ina( u es la inductancia Cules son las leyes )rinci)ales )or las ue se ri4e En

ue Jor"a se al"acena la ener4a en la "is"a Indicar ue J#r"ulas se a)lican )ara Gallar la inductancia )or " de una lnea elctrica Jor"ada)or dos circuito tr)le=%

: Es cierta la si4uiente ar"aci#n Cuando e=iste "s de un circuito en una lnea de trans"isi#n deener4a la reactancia total )or Jase de un circuito de*e "ulti)licarse )or el n"ero total decircuitos e=istentes% !aHonar la res)uesta%

6, El clculo de la distancia "edia 4eo"trica entre Jases( es diJerente si se trata de un circuitod)le=

o de un circuito cuadr)le= ` si el clculo es entre una lnea con un circuito si")le # con doscircuitos si")les !aHonar las res)uestas dando las J#r"ulas necesarias%6 El radio eui0alente se dene co"o el radio ue a*arcara a todos los conductores ue Jor"an una

Jase de una lnea elctrica% 'edHcase "ate"tica"ente el radio eui0alente )ara un circuitotr)le=%

+ La inductancia )or " Gallada con las J#r"ulas dadas en el ca)tulo se "ide en enrios% Para elclculo de lneas areas interesa ue sta 0en4a e=)resada en jD% C#"o se eJecta la transici#nde unidades Fu "a4nitud se o*tiene

Fu es la ca)acidad 'e u de)ende Fu ley sir0e de anlisis )ara deter"inar la ca)acidaddar J#r"ulaD

8 E=)licar el eJecto


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68 C#"o se e=)resa nu"rica"ente una "a4nitud elctrica en continua 'e cuntas Jor"as )uedee=)resase una "a4nitud elctrica en alterna

65 Fu 0alor de entre todos los )osi*les es el "s utiliHado )ara desi4nar los 0alores de las"a4nitudes elctricas en alterna Por u Fu si4nicado Jsico re)resenta este 0alor

6; E=)resar los 0alores de la intensidad su)oniendo un n4ulo )ara la tensi#nD )ara una car4a#G"ica inducti0a y ca)aciti0a de una lnea corta% E=)resar aGora su)oniendo un n4ulo )ara laintensidadD los 0alores de la tensi#n )ara tres car4as distintas anteriores #G"ica inducti0a y

ca)aciti0aD%67 'i*u&ar los tres dia4ra"as elctricos ue denen una lnea corta conectada so*re una car4a#G"ica inducti0a y ca)aciti0a%

6 Cules son las si")licaciones ace)tadas )ara el clculo de lneas elctricas Fu )uedear"arse considerando las si")licaciones e=)uestasD si se conocen todos los )ar"etroselctricos en un )unto de una lnea

6: Cundo )uede considerarse una lnea elctrica co"o corta Por u se ado)ta )recisa"ente esalon4itud Fu si")licaciones en los )ar"etros elctricos son )osi*les considerar en una lneade lon4itud corta Fu diJerencias se )roducen en la Jor"ulaci#n entre lneas cortas en 0aco y encar4a

+, Cundo )uede considerarse una lnea elctrica co"o "edia Por u se ado)ta )recisa"enteesta lon4itud Fu si")licaciones en los )ar"etros elctricos son )osi*les considerar en unalnea de lon4itud "edia Fu "todos )ueden a)licarse )ara calcular una lnea de lon4itud

"edia+6 Fu caractersticas deJinen el "todo del circuito eui0alente en RWR% 'i*u&ar el circuitoeui0alente con sus )ar"etros "s i")ortantes%

++ !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el clculo en 0aco del circuito eui0alente en RWR%+ !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el clculo en car4a del circuito eui0alente en RWR%+8 Fucaractersticas denen el "todo del circuito eui0alente en RTR 'i*u&ar el circuito

eui0alente con sus )ar"etros "s i")ortantes%+5 !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el clculo en 0aco del circuito eui0alente en RTR%+; !ealiHar la Jor"ulaci#n )ara el clculo en car4a del circuito eui0alente en RTR%+7 Cundo se considera ue una lnea es de lon4itud lar4a C#"o uedan e=)resados los

)ar"etros elctricos )ara el clculo de lneas lar4as Cules son los "todos de clculoe")leados )ara estas lneas

+ Fu si4nica la i")edancia caracterstica de una lnea elctrica Puede darse en la realidad )or

u+: Fu es)ecicaciones son co"unes a la i")edancia caracterstica Fu J#r"ula )er"ite su

clculo, Fu si4nica el n4ulo caracterstico de una lnea elctrica En u unidades 0iene dado este

n4ulo% Puede darse en la realidad )or u6 Fu es)ecicaciones son co"unes al n4ulo caracterstico Fu J#r"ula )er"ite su clculo+ Fu si4nica la )otencia caracterstica de una lnea elctrica Puede darse en la realidad )or

u Fu es)ecicaciones son co"unes a la )otencia caracterstica Fu J#r"ula )er"ite su clculo8 de esta o*ra% Es)reJeri*le e")eHar con )ro*le"as sencillos ue )er"itan aanHar los conoci"ientos y 4anar conanHa ensu resoluci#n )ara )osterior"ente aco"eter el clculo de )ro*le"as "s co")le&os%

CAPTULO II% !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA ELCT!ICA

+%6 INT!O'UCCI^N A LA !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA


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Las lneas areas )ara el trans)orte de ener4a elctrica de*en cu")lir unos reuisitos de se4uridadcalidad y econo"a% La se4uridad sie")re se cu")lir aun en las condiciones econ#"icas "sdesJa0ora*les% En cuanto a la calidad e=isten una serie de li"itaciones tcnicas ue condicionarncualuier instalaci#nQ as los aislantes s#lo )ueden so)ortar unas tensiones deter"inadasQ asi"is"o laintensidad ue circula )or las lneas no de*e so*re)asar unos 0alores )reesta*lecidos )or el di"etro elbu&o de )otencias no e=ceder de lo )er"itido )or la ley )ara cada inJraestructura etc% alor a*soluto k+%6

u gU6U+ w6,, >alor relati0o k+%+

U

P gP6 P+ >alor a*soluto% k+%

P gP6 P+ w6,, >alor relati0o k+%8

P'onde(

U6 P6g >alores de la tensi#n y la )otencia al )rinci)io de lnea U+ P+g >alores de la tensi#n y la )otenciaal nal de lnea U P g >alores de la tensi#n y la )otencia to"ados co"o reJerencia estos 0alores )uedenser los no"inales de la lneaD+%+ C_LCULO 'E LA CON'ICIONE ELCT!ICA EN UNA LNEA 'E ENE!3A ELCT!ICA

in i")ortar la o)ci#n esco4ida )ara re)resentar la cada de tensi#n y la )rdida de )otencia las

"a4nitudes a calcular sie")re sern las "is"as las tensiones y las )otencias al )rinci)io y al nal delneaD% Pero su clculo se realiHar de Jor"a diJerente de)endiendo de cules son los condicionantes deo)eraci#n conocidosQ 4eneral"ente se su)one conocida la tensi#n en uno de sus e=tre"os y la de"andade )otencia en el e=tre"os rece)tor )ero no es el nico caso% As )ues e=istirn co"o "ni"o tres casoscuyo clculo se e=)lica a continuaci#n no sin antes recordar ue(


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El "todo e")leado )ara el clculo ser el de las constantes au=iliares ya ue )er"ite el estudiode lneas elctricas sin i")ortar su lon4itud%

ie")re su)ondre"os siste"as conectados en estrella o con0ertidos de trin4ulo a estrella% Portanto de*e recordarse ue las intensidades de lnea son i4uales a las de Jase )ero ue lastensiones de lnea UD son 0eces "ayores ue las de Jase entre Jase y neutroD >D%

Las condiciones al )rinci)io de lnea se si"*oliHan con el su*ndice 6D "ientras ue las del nal delnea lo Gacen con el su*ndice +D%

+%+%6 Caso nZ 6( conocidas las condiciones de Junciona"iento en el nal de lnea P+ U+ +A 9 C 'D

i conoce"os los 0alores de las "a4nitudes al nal de lnea el clculo es in"ediato a )artir decualuiera de los "todos estudiados en ca)tulos anteriores aunue au se a)licar el "todo de lasconstantes au=iliares ue nos )er"ite calcular cualuier lnea inde)endiente"ente de su lon4itud% `a uea)lica"os el "todo de las constantes au=iliares las letras A 9 C 'D si4nicarn los 0ectores ue lasdenen%

Conocidas las "a4nitudes anteriores la Jor"a de o)erar )ara Gallar las condiciones al )rinci)io de lneaser la si4uiente(

Conocidos P+ U+ y +D es Jcil calcular las otras tres "a4nitudes ue nos Jaltan )ara tenerco")leta"ente denido un )unto de la lnea )ara ello recorde"os al4unas relaciones entre )otencias y elresto de "a4nitudes(

Potencia a)arente D >ADPotencia reacti0a FD >A!D

'esJase o Jactor de )otencia

cos

Potencia acti0a PD D


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Una 0eH resu"idas estas e=)resiones esta"os ya en condiciones de )roceder al clculo de las"a4nitudes elctricas al )rinci)io de lnea% Para ello se4uire"os los )asos detallados a continuaci#n(

3racias a la P+D y a +D Galla"os el resto de )otencias es decir + y F+D% El "#dulo de la tensi#n al nal de lnea es en "ucGas ocasiones conocido )ero no su n4ulo% No

Gay )ro*le"a ya ue )uede asi4nrsele un 0alor de ,Z% La lti"a "a4nitud ue nos ueda I+D se o*tiene Jcil"ente a)licando la e=)resi#n(

+

gP

U

++ D k+%

6 A)licando nal"ente las ecuaciones del "todo de las constantes au=iliares conocidos los0alores al nal de lnea Gallare"os la tensi#n y la intensidad al )rinci)io de la "is"a%

+>6g>+ wA hI+ w9 U + k+%:

!ecordar ue( > + gI6 g>+ wC hI+ w'

Conocidas la tensi#n e intensidad al )rinci)io de lnea )ara Gallar las restantes "a4nitudes en elinicio se )roceder de la si4uiente Jor"a(

I 6LINEA gI 6 6


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U 6

P+

F+ P > g> wA hI w9 I 6

U ++

+ {I+ g wU

++wcos

+ U

++ {

I66

g>++

wC hI++

w'{

P66 k+%6+

F6 6

A!D 'esJase o Jactor de )otencia


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Potencia acti0a PD D


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Conocidas la tensi#n e intensidad al nal de lnea )ara Gallar las restantes "a4nitudes se )rocederde la si4uiente Jor"a(

I +LINEA gI + +

I

++

g

g>

I

66

w

w

A

'

>

I66w

w

9

C

{

P++ k+%+

U 6 F

+

+


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9 C 'D

El clculo de las "a4nitudes elctricas es en este caso "s co")le&o ya ue Gasta aGora conoca"oso co"o "ni"o dis)ona"osD de los )ar"etros necesarios )ara denir co")leta"ente un )unto de lalnea era )osi*le deter"inar las seis "a4nitudes elctricasD% in e"*ar4o aGora conoce"os al4unas"a4nitudes del )rinci)io de lnea y al4unas del nal de la "is"a resultando ino)erantes las J#r"ulasutiliHadas Gasta el "o"ento%

>a"os a desarrollar una J#r"ula ue )er"ita realiHar este clculo de Jor"a r)ida y directa )artiendoinicial"ente de una lnea corta lon4itud "enor a ,"D% Posterior"ente se e=tender su clculo a lneasde cualuier lon4itud%

e Ga 0isto ue la ecuaci#n de la tensi#n en una lnea corta es la corres)ondiente a un circuito Jor"ado)or la i")edancia serie total de la lnea(

> + g> 6 f LINEA I LINEA k+%+7

La i")edancia de la lnea esta Jor"ada )or una resistencia y una reactancia inducti0a(

ft g!t h& w\t k+%+

To"ando la tensi#n de Jase al nal de lnea co"o 0alor de reJerencia(

>+ g>+ ,k+%+: Co")ro*a"os ue se cu")le la si4uiente i4ualdad(

wU+ wI w> w wI

+

+ + + gDI k+%,

I gggI g+

w>+

w>+

w>+

++

` nal"ente la )otencia a)arente con&u4ada si4no del asteriscoD )uede e=)resarse ta"*in co"o(

+ gP+ & wF+ k+%6

Esta"os ya en condiciones de e")eHar a calcular la e=)resi#n *uscada% La tensi#n al )rinci)io de lneaestar denida )or(

>6 g>+ hft wI+ g> + h!L h&\L D

>++ g

>6g> + h!L h&\ L DP+ h&F+ g> + h!L h&\ L D

P+ &F+ k+%+> + > +

El ca"*io de si4no de las )otencias es de*ido a ue esta*an con&u4adas si4no del asteriscoD%

No"*rare"os a )artir de aGora a la resistencia y a la reactancia inducti0a de la lnea si")le"ente !D y\D% i se se)aran las )artes reales y las i"a4inarias de la ecuaci#n anterior se o*tiene(

>6 g>+ h

! wP+ h\ wF+ h& w\ wP+ ! wF+

k+% w>+

w>+

Con0irtiendo las tensiones de Jase en tensiones de lnea y di0idiendo todos los tr"inos )or resulta


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la si4uiente ecuaci#n(

U6 g U + h ! wP+ h\ wF+ w h& w\

wP+ ! wF+ w k+%8

w w wU + wU +

i")licando o*tene"os la ecuaci#n ue nos )er"itir deducir tanto la cada de tensi#n a)ro=i"ada deuna lnea co"o la J#r"ula )ara o*tener dadas las condiciones consideradas la tensi#n al nal de la"is"a%

U6

gU

+ h ! wP+ h\ wF+ h& w\ wP+ ! wF+ k+%5

U + U +

i se "ulti)lican a"*os lados de esta ecuaci#n )or su con&u4ado co")le&o y considerando ue latensi#n en el e=tre"o nal de lnea es un 0ector sin n4ulo de desJase con ,ZD siendo )osi*le asi"ilarlo aun escalar tendre"os(

+ +++

U 6 wU 6 gkA h& w9DwA & w9DgkA & wA w9 h& wA w9 h9 gA h9 k+%;Fue en nuestro caso re)resenta(

+

+ ! wP h\ wF + ! wP h\ wF D

U6 g}U + h

++

h+ wU +w

++

h}U + U +

k+%7w\ DF w! D+ wP w\ wF w!

P++ h +++ +}+ }U

+ O)erando y eli"inando los tr"inos co"unes(

}U

+h

D\ wF Dh++ w! wP w\ wFh+ w! wP

+h\ wF

+

Dh ~+ ! wP+

+h +

+ ++ D

+ U +

U6 g ++ k+%

}hP w\ Dw!D+ wP w\ wF w

hF!

++ ++ +

U +

A4ru)ando tr"inos o*tene"os(! wP + \ + h\ + h!F +

++ ++++


62/252

U6 gU + h+ w! wP+ h\ wF+ Dh D hwF D

+

wP D w Dk+%:U +

` recordando ue(

+ + +++++ +++ +

Dgwf

w

f gP hF Dw! h\ DgDDDDP! hP\ hF! hF\ k+%8,

Nos uedar la si4uiente e=)resi#n(

++ +

U6 gU + hf w

+

D+ h+ w! wP+ h\ wF+ D k+%86U +

iendo fD y +D los "#dulos res)ecti0os de la i")edancia de lnea y de la )otencia a)arente delnal de lnea%

'e donde se o*tiene la si4uiente ecuaci#n )ara lneas cortas(

8 +++

wh\ wF DU U hDg,

U+ h+ wk!P+ +6 w + f w+ k+%8+

En esta ecuaci#n todos los tr"inos son conocidos e=ce)to la tensi#n al nal de lnea U+D )or lo uesta )uede o*tenerse Jcil"ente% Las unidades e")leadas son(

Tensiones en > Potencias en $ $>A! o $>A !esistencias reactancias o i")edancias en j

Co"o se Ga )odido se4uir en la de"ostraci#n de la J#r"ula en ella s#lo se o)era con los "#dulos de

los 0ectores% Por tanto el 0alor de la tensi#n al nal de lnea o*tenido ta"*in ser un "#dulo noconocere"os el n4uloD aunue )uede asi4nrsele al ser la tensi#n al nal de lneaD un n4ulo de ,Z conlo ue el 0ector estar )erJecta"ente denido%

La 4eneraliHaci#n de esta ecuaci#n )ara cualuier ti)o de lnea es in"ediata% A )artir de la ecuaci#nde la tensi#n al )rinci)io de lnea )ara lneas cortas tene"os(

>6 g>+ hf wI + k+%8

i la co")ara"os con la "is"a ecuaci#n )erodada )ara lneas lar4as "todo de las constantesau=iliaresD( >6 gA w>+ h9 wI+ k+%88

e o*tiene(

>6 g>+ h9

wI+ k+%85

AA


63/252

Fue no es "s ue la e=)resi#n de la ecuaci#n de la tensi#n en el circuito eui0alente de TGe0enin de lalnea 0isto desde el e=tre"o rece)tor la cual )ode"os anotar de la si4uiente Jor"a(

Potencias en $ $>A! o $>A !esistencias reactancias o i")edancias en j

Ta"*in en este caso el 0alor de la tensi#n al nal de lnea o*tenida ser un "#dulo no conocere"osel n4uloD aunue )uede asi4nrsele al ser la tensi#n al nal de lneaD un n4ulo de ,Z con lo ue el0ector estar )erJecta"ente denido%

Con estos reuisitos el )ro*le"a se con0ierte en el resuelto )ara el caso nZ 6% `a ue aGora conoce"os(U 6U + P++ D% Es decir y a "odo de resu"en(

U 6

P+ F+ >6 g >+ w A h I+ w 9 I 66

+ k+%8:

U+

g U+

, + I6 g >+ wC h I+ w ' FP6

6

6

` con estos )ar"etros es )osi*le Gallar la cada de tensi#n la )rdida de )otencia y el rendi"iento(

U6 U +


64/252

0 gw6,, U

6P g

P6 P+ w6,, k+%5,

P6

g

P+ w6,,

P6!ecordar ta"*in en este caso ue no de*e so*re)asarse el 6,m en la cada de tensi#n en toda la

lon4itud de la lnea ni el m de la )rdida de )otencia )or cada 6,, " de lnea y ue el rendi"iento alde)ender de esta )otencia suele ser "uy ele0ado%

i en lu4ar de los )ar"etros del circuito eui0alente de TGe0enin se desea o*tener la tensi#n nal delnea utiliHando la tensi#n real en el ori4en de lnea y las constantes au=iliares de trans"isi#n la ecuaci#na resol0er o*edecer a la si4uiente e=)resi#n(

8 9

U+ h+ w !e }w + A

U 6A

+

+

9

+

wU + h

w ++ g , k+%56

A

Una 0eH Gallada la tensi#n al nal de lnea se )roceder de i4ual Jor"a al se4uido en el caso anteriordel eui0alente de TGe0enin%

+% C_LCULO AP!O\I$A'O 'E LA CA'A 'E TENI^N EN UNA LNEA CO!TA

En el a)artado anterior se Ga 0isto ue utiliHando las si4uientes notaciones(

Tensi#n al nal de lnea( > g> w6 h, w&Dk+%5+ I")edancia serie total )or Jase( ft g!t h & w \t D k+%5 'e"anda de )otencia a)arente de lnea( + gP+ h & w F+ D% k+%58

++

` sustituyendo la e=)resi#n de la intensidad de corriente )or Jase(

I g

w>++

g

P+

w>

& w+

F+ k+%55

+

En la ecuaci#n de la lnea corta(

> 6 g> + h fL IL k+%5; !esulta*a la si4uiente e=)resi#n )ara la tensi#n inicial(


65/252

>6 g

> + h!t w

P+ h\t wF+ h& w

\t wP+

!t wF+ k+%57w> + w> +

Pasando las tensiones de Jase si")lesD a tensiones de lnea y di0idiendo cada tr"ino )or se

o*tiene la e=)resi#n ya conocida del a)artado anterior(

U6 g

U+ h ! w P+ h\ wF+ h& w

\ w P+ ! wF+ k+%5 U + U +

El "#dulo de la tensi#n de lnea en el ori4en se )uede o*tener a )artir de la si4uiente e=)resi#n(

k+%5:

Considerando ue U + gU + ,gU + y ue la a)ortaci#n de la )arte i"a4inaria cuando las condiciones deo)eraci#n son nor"ales suele ser "uy )eue-a o des)recia*le el "#dulo de la tensi#n en el ori4en delnea )uede o*tenerse de Jor"a a)ro=i"ada "ediante la e=)resi#n anterior%i se dene la cada de tensi#n de Jor"a relati0a o en tanto )or ciento co"o la diJerencia de tensionesco")uesta entre el ori4en y el nal de la lnea reJeridas a la tensi#n al nal de la lnea tendre"os(

U6 U +

0gw6,, k+%;,U +

Este 0alor )uede a)ro=i"arse "ediante las J#r"ulas o*tenidas a la si4uiente e=)resi#n(

U + h! w P+ h\ wF+ U +

0gU + w6,, g

! w P+ h+

\ wF+ w6,, k+%;6 U + U +

Esta e=)resi#n resulta "uy til ya ue no s#lo )er"ite o*tener de Jor"a r)ida la cada de tensi#n sino

ue ta"*in nos ser0ir )ara introducir los distintos "todos de re4ulaci#n de la tensi#n%e co")rue*a ue el si4no de la cada de tensi#n de)ende del si4no ue ten4a el tr"ino del

nu"erador ya ue el deno"inador esta al cuadradoD% i analiHa"os esta e=)resi#n )odre"os e=traeral4unas conclusiones i")ortantes(

La cada de tensi#n en una lnea corta ser )ositi0a sie")re ue el Jactor de )otencia de lade"anda de )otencia sea inducti0o es decir ue el tr"ino F+p ,D%

Una cada de tensi#n ne4ati0a o nula s#lo )uede o*tenerse si la )otencia reacti0a al nal de lneaes de si4no ne4ati0o es decir ca)aciti0a F+,D%

Incluso con una car4a ca)aciti0a la cada de tensi#n )uede ser )ositi0aQ *astar con ue se cu")lala si4uiente desi4ualdad(

!t P+ p

\t wF+k+%;+


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+%8 6 gA w>+ h 9 w I+ {I + g>6 A w>+ k+%;8

9$ientras ue de la se4unda e=)resi#n se o*tiene(

I gC w> h' wI gC w> h' w>6

' wA w>+ g > w'

> w ' w A

C k+%;5

6+++6+

99 9

!ecordando ue una de las tres co")ro*aciones )ara conocer la *ondad de los resultados del "todo

de las constantes au=iliares era(

' wA 9 w ' g6 h&,D k+%;; Nos )er"itir resol0er(

' wA 9 w ' 6

g k+%;7

99

Fuedando la e=)resi#n k+%;5 de la si4uiente Jor"a(

I6 gC w>+ h' w >6

9

A w>+

g

'

9w>6

9

6w>+ k+%;

+%8%6 6 w

>

9

6w

'

>69

w>

+

g k+%;: w

>6+w '

9


67/252

' >6 w>+ 9 h[6

99

Para realiHar el lti"o )aso se Ga considerado ue( >+ g >+ ,y >6 g >66 k+%7,

Pasando las tensiones de Jase a tensiones de lnea o*tene"os(

6LINEA g w 6

+ 9

w>

6

>+ w>9 + w A

g

k+%78> w>>+

w A

w6+ 9 [6 + 9 A

99

Para realiHar el lti"o )aso se Ga considerando ue( >+ g >+ ,y >6 g >66 k+%75

i en lu4ar de e=)resar la )otencia en Junci#n de las tensiones de Jase se e")lean las tensionesco")uestas o de lnea tendre"os(

U wUU + w A

+LINEA g w +


68/252

Los resultados as o*tenidos son de a)licaci#n 4eneral y )or tanto 0lidos )ara cualuier lnea elctricainde)endiente"ente de su lon4itud ya ue Gan sido o*tenidos a )artir del "todo e=acto de lasconstantes au=iliares%

+%8% Conclusiones a las J#r"ulas del bu&o de )otencia en Junci#n de las tensiones ter"inales

Las J#r"ulas Galladas en el a)artado anterior nos )er"iten con s#lo conocer las tensiones ter"inales y

las constantes au=iliares de la lnea o*tener sus bu&os de )otencia tanto al )rinci)io co"o al nal de lalnea%

Pero estas ecuaciones ta"*in )er"iten o*tener unas conclusiones interesantes ue nos ayudarn aco")render "e&or el Junciona"iento de las lneas de trans)orte de ener4a elctrica(

i se "antienen constantes los 0alores de las tensiones en los dos e=tre"os de una lnea la "=i"a)otencia acti0a ue )uede atenderse en su e=tre"o rece)tor ser auella )ara la ue se cu")la(

[6 g 9 Por tanto cos 9[6D gcos,Z g6 k+%7:

'e*e recordarse ue [6 es el n4ulo Jor"ado )or las dos tensiones la inicial de la lnea y la del nal

de la "is"aD% Este n4ulo es el nico )ar"etro 0aria*le ya ue el resto de )ar"etros corres)onden alos n4ulos de las constantes au=iliares ue son &os a "enos ue "odiue"os la lnea%

AGora la e=)resi#n de esta )otencia "=i"a 0endr dada )or la ecuaci#n(

P+$A\ g U+ wU6

AwU ++ wcos

9

A D k+%,

99

Esta ser la "=i"a )otencia e=acta ue )odr ser reci*ida al nal de la lnea%

i considera"os ue el siste"a se co")orta co"o una lnea corta a)ro=i"aci#n del caso anteriorD y

se des)recia el eJecto de la ad"itancia trans0ersal de la lnea su)oniendo ue sta tiene unco")orta"iento ideal no disi)a )otenciaD entonces las constantes au=iliares 0aldrn(

A g 6 h &,D 9 fL g!L h &\ L D \L C g , ' g6h&,D k+%6La J#r"ula de la )otencia ser(

P+ gU6 wU + cos

9[6 D

U ++wA

cos9

A Dg

99

gU6 wU + cos:,Z[D

U ++w6

cos:,Z,ZD gU6 wU + sen[ k+%+

\L 6 \L \L 6

Esta )otencia ser "=i"a cuando del n4ulo [6 g :,Z entonces el sen:,Z g6 es decir(

6+ 6+

P gU wU

wsenDU wU

[g k+%

+$A\ 6\L \L

e4n estos resultados la condici#n necesaria y suciente )ara ue el bu&o de )otencia acti0a 0aya enun deter"inado sentido au se Ga considerado del e=tre"o Rori4enR al e=tre"o RnalRD es ue sen [6Dsea )ositi0o o dicGo de otra Jor"a ue la tensi#n en el e=tre"o e"isor 0aya adelantada con res)ecto a latensi#n en el e=tre"o rece)tor% O*sr0ese ue no es necesario ue el "#dulo de U6D sea "s 4rande ueel "#dulo de U+D%


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[6 gU 6 U + D k+%8

U6


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eli"inarn la reactancia de la *o*inaD ue el deno"inador Juera cero y ue )or tanto la )otencia acti0aresultara innita% Esto no es )osi*le ya ue no se de*e ol0idarse ue la ecuaci#n anterior es unaa)ro=i"aci#n de la real% En auella J#r"ula +%,D no se des)recia*a el eJecto #G"ico y )or tanto eldeno"inador inclua una resistencia ue nunca sera nula%

9atera de condensadores \cD3enerador

in la *atera de condensadores( f g!L h&\ L D k+%;

Con la *atera de condensadores( f g!L h&\ L \cD k+%7

En 4eneral se cu")lir( f pf k+%

+%5 !E3ULACI^N 'E LA TENI^N EN LNEA ELCT!ICA

asta aGora Ge"os 0isto co"o calcular y cuanticar la cada de tensi#n% e Gan introducido ecuacionesue nos )er"iten su clculo de Jor"as "uy di0ersas y en distintos re4"enes de Junciona"iento )ero)oco se Ga Ga*lado de los "todos e=istentes )ara eli"inar su eJecto o co"o "ni"o reducirlo a 0aloresdes)recia*les "antenindola sie")re dentro de los "r4enes esta*lecidos )or la ley%

Nor"al"ente la cada de tensi#n suele si4nicar una )rdida de )otencial en los rece)tores aunue nosie")re es as% Por ello es )osi*le encontrarnos al "enos dos casos de)endiendo del si4no aduirido )orla cada de tensi#n(

Una cada de tensi#n "uy ele0ada y )ositi0a es 4eneral"ente de*ida a un e=ceso en la de"andade )otenciaQ en tal caso es necesario to"ar al4una "edida ue e0ite una tensi#n "uy *a&a ya ueesto )uede )ro0ocar )ro*le"as en los rece)tores% As )or e&e")lo el )ar de arranue de un "otores )ro)orcional al cuadrado de la tensi#n de ali"entaci#nQ si sta es "uy *a&a en deter"inadascondiciones el "otor )uede no arrancar%

En lneas "uy lar4as en las ue el eJecto de su ca)acidad es i")ortante eJecto


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Co")ensaci#n de la )otencia reacti0a% 'is)oniendo en )aralelo con la car4a de un *anco decondensadores ue contrarreste el eJecto de las *o*inas dis"inuir el tr"ino de la )otenciareacti0a total en el nal de lnea F+D dis"inuyendo ta"*in la cada de tensi#n%6 Co")ensaci#n de la reactancia de la lnea "ediante un *anco de condensadores en serie% i

dis"inui"os el tr"ino \LD dis"inuir la cada de tensi#n%+ Nunca se re4ula la cada de tensi#n actuando so*re la resistencia o la )otencia acti0a total%

o*re la resistencia no se acta ya ue s#lo es )osi*le "odicarla ca"*iando los ca*les ue

trans)ortan el buido elctrico o dis"inuyendo su te")eratura% Co"o cualuiera de estos "todosresulta e=tre"ada"ente caro no suele )onerse en )rctica su uso%6 La )otencia ta")oco suele "odicarse ya ue sta es )recisa"ente una "a4nitud ue

de*e"os "antener constante )ara cu*rir en cada "o"ento las necesidades de los rece)toreses uno de los Jactores de calidadD%

+ i la cada de tensi#n es ne4ati0a caso "uy )oco Jrecuente con e=ce)ci#n de lneas lar4asJuncionando en 0acoD los "todos a a)licar sern los si4uientes(

Ele0ando el ni0el de tensi#n en la lnea% i sta atiende o est )re0isto ue atienda una de"andade )otencia "uy 4rande )uede ser con0eniente ele0ar su tensi#n no"inal con lo ue se ele0ar eldeno"inador de la e=)resi#n anterior reducindose la cada de tensi#n% Con0iene aclarar ue estolti"o es 0lido si la lnea es corta y el eJecto de su ca)acidad trans0ersal des)recia*le%

Co")ensando la )otencia reacti0a% e de*er realiHar la co")ensaci#n "ediante reactanciasinducti0as en lu4ar de condensadores ya ue una cada de tensi#n ne4ati0a s#lo )uede ori4inarse

con una car4a ca)aciti0a% Por tanto se dis)ondr en )aralelo con la car4a de un *anco de *o*inasue contrarreste el eJecto de los condensadores dis"inuyendo el tr"ino de la )otencia reacti0atotal en el nal de lnea F+D%

Ade"s de los "todos "encionados e=isten otros siste"as ue au"entan sustancial"ente el n"erode o)ciones% La clasicaci#n de los distintos "todos as co"o al4unas de sus 0enta&as e incon0enientessern co"entados en los a)artados si4uientes%

+%5%6 $todos )ara la re4ulaci#n de la tensi#n de una lnea elctrica

Los "todos de re4ulaci#n de tensi#n "encionados en el a)artado anterior )ueden clasicarse en dos4randes 4ru)os de)endiendo de si la re4ulaci#n de la tensi#n se realiHa sin co")ensar de car4a o )or elcontrario si esta re4ulaci#n se realiHa actuando so*re la car4a%

+%5%6%6 $todos )ara la re4ulaci#n de la tensi#n sin co")ensar la car4a

i no actua"os so*re la car4a e=isten al "enos tres "todos )ara re4ular la tensi#n%

+%5%6%6%6 Control del ni0el de tensi#n

La tensi#n en el e=tre"o rece)tor de una lnea area )uede re4ularse "ediante el control de la tensi#nen ori4en% Un e&e")lo de este ti)o de re4ulaci#n sera una central de la ue )arte una lnea en antena elcontrol de la tensi#n en *ornes del 4enerador )er"itira re4ular la tensi#n en el e=tre"o rece)tor de lalnea% Este "todo es )oco ecaH ya ue no e=iste )ro)orcionalidad entre la 0ariaci#n de tensi#n enori4en y la 0ariaci#n de tensi#n en el nal del siste"a% A)arte resulta i")rescindi*le dis)oner de lneas enantena no )udindose a)licar en instalaciones con lneas en "alla ya ue en estas lti"as una ele0aci#nde la tensi#n en el ori4en re)resentara una ele0aci#n de la tensi#n en todos los rece)tores cone=ionadoen "allaD tanto de los ue necesitan esta ele0aci#n co"o de los se encontra*an *ien ali"entados%

aD *D cD


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instalaci#n de una Juente 4eneradora adicional o de la inJraestructura de una lnea adicional )araali"entar al rece)tor a)arte del siste"a de control auto"tico de )otencia%

+%5%6%6%+ E")leo de transJor"adores y autotransJor"adores con re4ulaci#n de la relaci#n detransJor"aci#n

O)ci#n Jrecuente"ente e")leada ya ue )er"ite ade"s de re4ular el ni0el de tensi#n controlar

los bu&os de )otencia acti0a reacti0a a)arente y la intensidad ue circula )or la lnea% En realidad a"*os)ar"etros ni0el de tensi#n y bu&o de )otencia acti0a 0an estrecGa"ente unidos en el Junciona"iento deuna red de )otencia%

+%5%6%6% Co")ensaci#n "ediante condensadores colocados en serie con la lnea

Las lneas areas introducen eJectos inducti0os i")ortantes ue )ro0ocan un au"ento de la i")edanciade las lneas con la consi4uiente cada de tensi#n% La inclusi#n de una o 0arias *ateras de condensadoresen serie con la lnea area reduce la reactancia inducti0a total y )er"ite reducir la cada de tensi#n% Estao)ci#n ade"s dis)one de una a)licaci#n adicional co"o ya se 0io en la secci#n anterior la de au"entarel bu&o de )otencia acti0a al "=i"o%

U +

P+$A\ g k+%:,\L \C D

i coloca"os una *atera de condensadores con una \CD ue Ga4a dis"inuir la \LD e=istente eldeno"inador de la J#r"ula anterior se Gace "enor au"entando el 0alor de la )otencia%

9atera de condensadores \cD

$otor

3enerador


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ti)o de car4a ue lle0e acu"ulada inducti0a o ca)aciti0aD% Los "todos "s e")leados se *asan en laco")ensaci#n )aralelo de la de"anda de )otencia reacti0a en los co")ensadores sncronos y en losco")ensadores estticos%

Es i")ortante recordar ue las )otencias se su"an tanto si estas colocadas en serie co"o en )aralelo%Por tanto y )ara no )ertur*ar la car4a se acostu"*ra a colocar las *ateras de co")ensaci#n en )aralelocon la car4a no aJectando este GecGo a la ecacia de la co")ensaci#n%

+%5%6%+%6 Co")ensaci#n )aralelo "ediante *atera de condensadores

En 4eneral las instalaciones elctricas dis)onen de Jactores de )otencia inducti0os los "otores4eneradores transJor"adores lneas etc% estn Jor"ados )or *o*inasD )or lo ue la )otencia reacti0a deco")ensaci#n de*e ser ca)aciti0a% E=isten 0arias Jor"as de o*tener esta )otencia reacti0a deco")ensaci#n una *atera de condensadores es uno de los "todos "s utiliHados )ero no el nico% Enal4unos casos las co")a-as elctricas utiliHan la ca)acidad )ro)ia de las lneas areas )ara cu")lir coneste co"etidoQ si se dis)one de al4una lnea Juera de o)eraci#n sta )uede ser utiliHada )ara co")ensar)otencia reacti0a desde la su*estaci#n a la ue est conectada "antenindola si")le"ente *a&o tensi#neJecto


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'es)us de la co")ensaci#n la )otencia reacti0a ser( FTOTAL g FL FC Cu")lindose ue( FTOTAL p FTOTAL e"os dis"inuido la F+ y )or tanto el tr"ino de la cada de tensi#n%

A)arte de co")ensar la lnea y dis"inuir la cada de tensi#n lo i")ortante de esta co")ensaci#n radicaen dis"inuir el eJecto


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+%5%6%+%8 Co")ensadores estticos de )otencia reacti0a

La electr#nica de )otencia ta"*in est )resente en la re4ulaci#n de la ener4a reacti0a% Uno de los

"todos "s e")leados consiste en el co")ensador esttico% Este es un dis)osit

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