M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION

1

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION

MMETODY ETODY

SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION

Jaroslav [email protected]

Pavel [email protected]

Katedra Řídicí technikyElektrotechnická fakulta

České vysoké učení technické v Praze

2

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONúvod do problematikyúvod do problematiky

• Metoda identifikace stavového modelu systému.

• Explicitní numerický algoritmus pro získání odhadů posloupnosti stavů a systémových matic ze vstupně/výstupních dat.

• Slovo „subspace“ vyjadřuje skutečnost, že posloupnost stavů systému může být přímo získánaz řádkových a sloupových prostorů určitých matic vytvořených pouze ze vstupně výstupních dat.

• Jakmile jsou tyto stavy jednou známy je určení systémových matic A, B, C, D jednoduchým problémem řešitelným metodou nejmenších čtverců.

Úvod

Matematickénástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

3

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONccílíl

Z naměřených vstupně/výstupních dat:

Určit řád systému a získat matice A, B, C, D stavového LTI modelu:

kde

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

4

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpoužívané zkratkypoužívané zkratky

4SID, S4IDSubspace State Space System IDentification

N4SIDNumerical 4SID

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

5

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti (1)vlastnosti (1)

Výhody:

• Minimální počet parametrů zadávaných uživatelem – zadáván pouze řád identifikovaného systému. K jeho určení navíc poskytuje dobrý odhad.

• Identifikuje přímo model s redukovaným řádem. Není tedy nutné nejprve identifikovat systém s vysokým řádem a následně použít metody redukce řádu.

• 4SID nejsou metodami iterativními, tudíž nemají potíže s konvergencí.

• Praktické realizace používají numericky robustní SVD a QR dekompozice s dobře známými vlastnostmi.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

6

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti (2)vlastnosti (2)

Nevýhody:

• 4SID nejsou určeny pro malé soubory dat. Jsou tedy špatně použitelné například v ekonometrii.

• Abstraktní metoda, jejíž kroky jsou obtížně fyzikálně interpretovatelné.

• Náročná rekurzivní implementace.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

7


Hiroshi Oku

University of Twente,Netherlands

Peter van Overschee

Katholieke Universiteit Leuven, Belgium

Bart De Moor

Katholieke Universiteit Leuven, Belgium

osobnosti 4SIDosobnosti 4SID

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

8


Vstupně-výstupnídata {uk , yk}

Posloupnost stavůKalmanova filtru

Matice systému

Matice systému

Posloupnost stavůKalmanova filtru

SubspaceIdentification

Klasickýpřístup

Kalmanůvfiltr

Nejmenšíčtverce

subspace vs. klasický přístupsubspace vs. klasický přístup

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

9

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONnástroje pro subspace metodynástroje pro subspace metody

Subspace metody používají matematické nástroje z následujících oblastí:

Geometrické nástroje:• Ortogonální projekce• Kosá (nepřímá, šikmá) projekce (Oblique Projection)• Principiální směry a úhly

Matematické nástroje:• Řádkové prostory matic• Rozklad na singulární čísla (SVD dekompozice)• QR dekompozice• Statistika

Teorie systémů

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

10

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONřádkový prostor matice (řádkový prostor matice (Matrix Row SpaceMatrix Row Space))

Řádkový prostor

matice A o rozměrech (m,n), označovaný jako row(A) je prostor tvořený všemi lineárními kombinacemi (lineárním obalem) vektorů řádků matice A.

Pro matici A o rozměrech (m,n) reprezentuje row(A) podprostor prostoru Rn ,který má dimenzi rank(A)=m.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

A = m x n

n-dimenzionální prostor

jeho m-dimen-zionální

podprostor

Pro matici A s plnou řádkovou hodností:

11

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONhankelovy maticehankelovy matice

Matice se stejnými prvky na vedlejších diagonálách.

Konstruovány z posloupností . Hodnota prvku v Hankelově matici H na pozici (i,j) závisí pouze na součtu i+j:

Například pro posloupnost dostaneme:

Naměřená vstupně/výstupní data jsou pro použití algoritmů Subspace Identification naplněna do Hankelových matic.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

12

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONhhankelovyankelovy matice - tvary matic pro 4SID (1) matice - tvary matic pro 4SID (1)

i … počet blokových řádků, musí být větší než řád odha- dovaného systému (postačuje větší než index pozorovatelnosti) j … počet sloupců je typicky roven s-2i+1, kde s je počet vzorkůIndexy U0|2i-1 označují první a poslední prvek v prvním sloupci Hankelovy matice.

j

i “past”

“future”i

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

13


20 40 60 80 100 120 140 160 180

2

4

6

8

10

20 40 60 80 100 120 140 160 180

2

4

6

8

10

Uf

Příklad vytvoření Hankelovy matice dat z posloupnosti vstupů:

naměřeno 200 vzorků Up

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Tyto matice pak reprezentují řádkový podprostor ve 180-ti rozměrném prostoru.

14


Matice Up (minulé vstupy) a Uf (budoucí vstupy) jsou

definovány rozdělením matice U0|2i-1 na dvě stejné části.

Matice Up+ a Uf- vzniknou posunutím hranice mezi minulými a budoucími daty o jednu blokovou řádku dolů.

Hankelova matice výstupů Y0|2i-1 je definována podobně.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

15

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONposloupnost stavůposloupnost stavů

Posloupnost stavů Xi je definována:

kde index i označuje index prvního prvku v posloupnosti stavů.

Xi je matice o rozměrech (n, j) kde:• v řádcích jsou časové posloupnosti jednoho stavu (ty tvoří vektory, se kterými 4SID metody pracují)• ve sloupcích pak jsou hodnoty všech stavů pro daný časový okamžik.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

16

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONrozšířená matice pozorovatelnosti a řiditelnostirozšířená matice pozorovatelnosti a řiditelnosti

Rozšířená matice pozorovatelnosti i je definována:

Předpokládáme, že pár {A,C} je pozorovatelný, což znamená, že hodnost i je rovna n.

Předpokládáme, že pár {A,B} je řiditelný, což znamená, že hodnost i je rovna n.

Reverzovaná rozšířená matice řiditelnosti i je definována:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

17

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONtoeplitzova matice impulzní odezvy systémutoeplitzova matice impulzní odezvy systému

Toeplitzova matice impulzní odezvy systému:Toeplitzova matice impulzní odezvy systému:Úvod

Matematické

nástroje

Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

18

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstavový modelstavový model

Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n):

Pro deterministickou identifikaci budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu wk=0 a vk=0

Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z naměřených vstupně/výstupních dat:

řád systému, posloupnost stavů a následně matice stavového modelu A, B, C, D.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

19


Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru.

Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T.

Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely.

Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný.

stavový model - nejednoznačnoststavový model - nejednoznačnost

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

20

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstavový model - nejednoznačnoststavový model - nejednoznačnost

Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů Xi:

jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice Xi a Zi stejné.

4SID algoritmy tak nehledají konkrétní stavové posloupnosti Xi, ale právě prostor generovaný řádky

matice Xi , jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost (lze nalézt pomocí SVD).

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

21

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstavový model stavový model -- maticový tvar (1) maticový tvar (1)

Stavový model lze přepsat do maticového tvaru:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím – spojují tak v sobě obvyklou rovnici aktualizace stavů a výstupní rovnici.

22


Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

v prvním sloupci

jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x0 a posloupnost vstupů:

v druhém sloupci

jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x1 a posloupnost vstupů:

atd…

23


Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

24

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstavový model stavový model -- maticový tvar maticový tvar (4) (4)

Geometrická interpretace

Na násobení maticemi i, Hi, Ai, i zleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak např. každý řádek matice Yf vzniká

jako lineární kombinace řádků matic Xf a Uf.

i . Xf

Hi . UfYf

Xf

Uf

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

25

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONalgoritmy deterministické identifikacealgoritmy deterministické identifikace

Algoritmy 4SID identifikace využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic Up, Uf, Yp,

Yf, Xp a Xf popsaných maticovými rovnicemi systému.

Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektorem vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Geometrické nástroje:

• Ortogonální projekce

• Kosá (nepřímá, šikmá) projekce (Oblique Projection)

• Principiální směry a úhly

26

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONortogonální projekce (1)ortogonální projekce (1)

Ortogonální projekce řádkového prostoru do řádkového prostoru matice označovanou jako lze zapsat:

kde značí Moore-Penrosovu pseudoinverzi.

Výsledek projekce leží v řádkovém prostoru matice B a má stejný počet řádkových vektorů jako matice A.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

27

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONortogonální projekce (2)ortogonální projekce (2)

Řádkový podprostor generovaný maticí lze ortogonální projekcí rozložit na dva vzájemně kolmé podprostory:

kde

Projekci lze dobře numericky realizovat pomocí LQ dekompozice.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

28

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONkosá (oblique) projekce (1)kosá (oblique) projekce (1)

Matice A může být také dekomponována jako lineární kombinace dvou neortogonálních matic B a C a jejich ortogonálního doplňku.

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

29

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONkosá (oblique) projekce (2)kosá (oblique) projekce (2)

Kosá projekce řádkového prostoru matice podél řádkového prostoru matice do řádkového prostoru matice je definována:

pouze prvních r řádků

Základní vlastnosti:

Pokud B=0 nebo řádkový prostor matice B je ortogonální k řádkovému prostoru matice C, pak platí:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

30

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprincipiprincipiální úhly a směry (1)ální úhly a směry (1)

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

Principiální úhly mezi dvěma řádkovými prostory jsou zobecněním úhlu mezi dvěma vektory.

A

B

a2

b2

2a1=b1

1=0

31

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprincipiprincipiální úhly a směry (2)ální úhly a směry (2)

Principiální úhly mezi dvěma řádkovými prostory matic a a odpovídající principální směry a jsou rekurzivně definovány jako:

s podmínkami:

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

32

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprincipiprincipiální úhly a směryální úhly a směry – souvislost s SVD – souvislost s SVD

Principiální úhly a směry lze počítat pomocí SVD:

Jsou dány dvě matice a a jejich SVD dekompozice:

pak platí:1. principiální směry mezi řádkovými podprostory matic

A a B jsou rovny řádkům matic U a VT.2. Kosiny principiálních úhlů mezi řádkovými podprostory

matic A a B jsou rovny singulárním číslům matice (diagonála matice ).

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

33

MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONzávěrzávěr

Úvod


Deterministická

identifikace

Simulace

Závěr

V tomto semináři jsme:

• ukázali matematické nástroje používané metodami Subspace Identification

V dalším semináři:

• ukážeme samotné algoritmy deterministické Subspace Identification

• jejich použití na jednoduchých příkladech a reálných datech

Documents

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION