M202 : Eléments de calcul différentiel

8/8/2019 M202 : Elments de calcul diffrentiel

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Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

M202 : Elments de calcul differentiel

Cours dispens par Pierre Debes

Notes de cours par Clment Boulonne

L2 Mathmatiques 2007-2008


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Table des matires

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Chapitre 1

Fonctions plusieurs variables

1.1 Gnralits

Dfinition 1.1.1. On appelle fonction de n variables, n N, toute application f dun domaineU de

Rn

dansR

.f :

U Rn R(x1,...,xn) f(x1,...,xn)

Exemple 1.1.1.

f :R2 R

(x, y) xy

Exemple 1.1.2. Soit T = temprature et U = pice de R3 (en trois dimensions).Alors T est une fonction de 3 variables (qui sont les coordonnes dun point de U) :

T : U R(x,y,z) T(x,y,z)

Exemple 1.1.3. De mme la pression P dfinit une fonction de 3 variables.

P : U R

Exemple 1.1.4. Soit h = hauteur, l = largeur et P = profondeur. La mesure associe unebote :

(h,l,P) R+ R+ R+ = (R+)3

Soit V = volume de la bote correspondante. Alors V est une fonction de 3 variables.

V :(R+)3 R

(h,l,P) V(h,l,P) = hlP

Exemple 1.1.5. Le volume dune pyramide peut tre vu comme une fonction de deux variables.

Pyramide de ct de base a et de hauteur h

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4 Chapitre 1. Fonctions plusieurs variables

V :(R+)2 R

(a, h) 13

a2h

Remarque. Une fonction f : U Rn R est appele en physique un champ scalaire.Exemple 1.1.6. Soit le champ scalaire donnant laltitude en un point M = (x, y) R2 :

h(x, y) = 2y2 + y + 2x2 x

Altitude au point (2, 2) = h(2, 2) = 20

1.1.1 Domaine de dfinition

Dfinition 1.1.2. Soit f : U Rn R une fonction de n variables. On note Df le domainede dfinition de f.

Df = {antcdent de f}=

{x

Rn

y

R, y = f(x)

}Exemple 1.1.7. Soit f(x, y) = x

y

Df = {(x, y), y = 0} = RR

Exemple 1.1.8. Soit f(x, y) = 1x2+y2

Df = {(x, y) |

x2 + y2 = 0}= {(x, y) | x2 + y2 = 0}= {(x, y) | x = 0 ou y = 0} = R2\{0, 0}

Exemple 1.1.9. Dterminer et reprsenter dans R2 le domaine de dfinition de :

g(x, y) =

1 x2 +

1 y2

Dg = {(x, y) R2 |

1 x2 > 0 et 1 y2 > 0}= {(x, y) R2 | x2 1, y2 1}= {(x, y) R2 | 1 x 1, 1 y 1}

1.1.2 Oprations sur les champs de scalaires

Dfinition 1.1.3. On peut multiplier f : U Rn R par un scalaire R, on obtient unnouveau champ scalaire :

f :U

R

x (f(x))


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Chapitre 1. Fonctions plusieurs variables 5

Dfinition 1.1.4. On peut galement additionner et multiplier deux champs scalaires.Soit : f : U R2 R et g : V Rn R

f + g :U V R

x f(x) + g(x)

f g :U V R

x f(x)g(x)

1.2 Graphe et reprsentation graphique

Dfinition 1.2.1. En gnral, si f : X Y alos le graphe de f est :Gf = {(x, y) | y = f(x)}

= {(x, f(x)) X Y}, Gf X YDans notre cas :

f : Df

R

n

R

On dfinit :Gf = {(x1,...,xn, y) Df R} avec y = f(x1,...,xn)

= {(x1,...,xn, f(x1,...,xn)) Df R} Rn+1

Exemple 1.2.1. Si f : Df R2 R alors Gf Df R R3.Exemple 1.2.2. Reprsentation graphique (ou tracer le graphe) de la fonction :

f(x, y) = 6 3x + 2yRappel. Un plan dans R3 a pour quation :

ax + by + c = z

Gf = {(x,y,z) R3 | z = 6 3x + 2y}= {(x,y,z) R3 | 3x 2y + z = 6}

le graphe de z = 6 3x + 2y est le plan orthogonale 32

1

et passant par le point (0, 0, 6).

Exemple 1.2.3. Tracer le graphe de f(x, y) = x2 :

Gf = {(x,y,z) | z = x2}


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Graphe indpendament de y Cela siginifie que nimporte quel plan vertical dquationy = k coupe le graphe selon une courbe dquation z = x2 (parabole).

Dans la Fig 1.5., la courbe en vert correspondant lintersection de Cf avec le plan y = k. Ondit que cest une section (ou trace). En noir, la trace obtenue en coupant Gf par le plan x = k.En bleu, la section par les plans z = k sont soit :

2 droites parralles une droite (axe des y)

Graphe de z = x2 (goutire)

Exemple 1.2.4. Dterminer lallure du graphe f(x, y) = x2 + y2 en utilisant les sections :

Gf R3= {(x,y,z) | z = x2 + y2}

Les sections avec le plan z = k sont :

Ck = {(x,y,z), k = x2 + y2}

=

, k < 0(0, 0), k = 0

Cercle de rayon klorsque projet dans le plan (x, y)

On peut avoir a priori les courbes dfinies :

Le plan x = 0 laisse sur Gf une trce dqaution z = y2 (parabole). Donc notre grapheressemble :

Dfinition 1.2.2. Soit f une fonction dfinie sur U Rn

. On appelle courbe de niveau de fassoice au rel k, lensemble des points de U vrifiant f(x, y) = k.


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Remarque. (i) En cartographie, f = altitude et la courbe est une courbe daltitude constante.Si f est une temprature, alors une courbe de niveau est appele courbe isothermale ouisotherme.

(ii) La courbe de niveau f(x, y) = k est obtenue par la section avec le plan horizontal z = k

sur le plan (x, y).

Exemple 1.2.5. Tracer la courbe de niveau f(x, y) = x2 + y2.

Ck = courbe de niveau k

= {(x, y) U| f(x, y) = k}= {(x, y) R2 | x2 + y2

Exemple 1.2.6. Mme chose pour h(x, y) = x2

y2. On a :

Dh = R

Ch = courbe de niveau k= {(x, y) | k = y2 x2}


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Courbe de niveau k de f(x, y) = x2 y2

Graphe de f(x, y) = x2 y2

1.2.1 Graphes de rvolution

Dfinition 1.2.3. Considrons f(x) =

1 x2 y2

Df = {(x, y) | 1 x2 y2 0}= {(x, y) | x2 + y2 1}

Cest une boule ferme de rayon 1.

Graphe de f(x, y) = x2 y2


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Les courbes de niveaux :

On peut alors vrifier que Gf est une demie sphre suprieure de rayon r.

Le graphe peut tre obtenue en faisant tourner la courbe {y = 0, z = 1 x2, 0 x 1}autout de laxe de z.

On dit que Gf est un graphe de rvolution.Gnralement, soit U R2 R. On peut exprimer les points de U en coordones polaires

(r, ).

On exprime les points de U de coordones polaires (r, ), r2 = x2 + y2 0.Si lexpression de f(r, ) est un graphe de rvolution quon obtient en faisant tourner la

courbe z = f(r, 0) avec = 0 autour de laxe des z.

Exemple 1.2.7.

f(x, y) = x2 + y2 ou f(r, ) = r2


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Graphe de rvolution de f(x, y) = x2 + y2 avec en rouge la courbe = 0, z = f(r, 0)

1.3 Fonctions partielles

Dfinition 1.3.1. Soit f : R2 R. Choissons (x0, y0) R2. Alors on notre par f(x0, .) : lafaction dune variable :

f(x0, .) :R R

y

f(x0, y)

De mme, on notera :

f(., y0) =R R

x f(x, y0)f(x0, .) et f(., y0) sont appels fonctions partielles.

Exemple 1.3.1. f(x, y) = 2x y2. Soit (x0, y0) = (2, 2) :

f(2, .) =R R

y

4

y2

f(., 2) =R R

x 2x 4

1.4 Champs de vecteurs

Dfinition 1.4.1. Soit f1,...,fn les champs scalaires :

fi : U

R

n

R i =

{1,...,n

}Alors on peut construire une fonction :

f = (f1,...,fn) :U Rn Rm

(x1,...,xn) (f1(x1,...,xn),...,fn(x1,...,xn))

Les fi sont appelles les fonctions coordonnes de f.

Exemple 1.4.1. T = temprature, P = pression, U = amphithtre R3 alors :

f :U

R2

(x,y,z) (T(x,y,z), P(x,y,z)) est un champ de vecteurs


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1.5 Limites et continuits

1.5.1 Prliminaires topologiques

Dfinition 1.5.1. Soit Rn et deux vecteurs x =

x1...

xn

et y =

y1...

yn

. On a :

x.y = x1y1 + ... + xnyn

x.x =

x21 + ... + x2n = x

On dit que d(A, B) = AB avec d une distance, cest--dire : d(A, B) 0 d(A, B) = 0 si A = B d(A, B) = d(B, A) d(A, C) d(A, B) + d(B, C)

Dmonstration. Pour le quatrime point, on se sert de lIngalit de Cauchy-Schwarz.

u + v u + v

Dfinition 1.5.2. Boule ouverte de centre A Rn et de rayon r R note B(A, r) :B(A, r) = {M Rn | d(M, A) < r}

Boule ferme de centre A Rn et de rayon r R note B(A, r) :B(A, r) = {M Rn | d(M, A) r}

Exemple 1.5.1.

Pour n = 2, D = (A, r) avec D un disque


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Pour n = 1, B(A, r) =]A r, A + r[

Dfinition 1.5.3. Un sous-ensemble V de Rn est appele voisinage dun point a Rn silexiste r > 0 tel que B(a, r) V.

V est un voisinage du point a

Dfinition 1.5.4. Lintrieur dun ensemble V est lensemble des a V tel que V est unvoisinage de a. On le note

V

Remarque.

V= V

Exemple 1.5.2. Soit V = [0, 1]

V=]0, 1[. On a mis en rouge les intervalles ] r, r[ pour le point 0.

r, ] r, r[ [0, 1], ]1 r, 1 + r[ [0, 1]

En rouge, lintervalle ]a r, a + r[, a

[0, 1] car ]a r, a + r[ [0, 1]Dfinition 1.5.5. Un point a Rn est dit adhrent un sous-ensenble si on peut trouver unlment x A aussi proche que lon veut de x, cest--dire :

r > 0, B(x, r)

A

=

On note A lensemble des points adhrets de A


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a est non adhrent V. En vert, ladhrence de A.

Remarque.A A A

Exemple 1.5.3. Si A = [0, 1[ alorsA=]0, 1[ et A = [0, 1]

Exemple 1.5.4. B(a, r) = B(a, r)

Dfinition 1.5.6. Le bord de A est lensemble A\ A.

Dfinition 1.5.7. Un sous-ensemble A Rn est dit ouvert si A = A, cest--dire A est voisinagede chacun de ses points, cest--dire A ne continent aucun point de son bord.

Exemple 1.5.5. Pour n = 1, ]0, 1[ est ouvert. Pour n = 2, B(a, r) est un ouvert.

Dfinition 1.5.8. A est dit ferm si A = A, si A contient son bord.

Exemple 1.5.6. B(a, r) est un ferm.

Dfinition 1.5.9. Un point x Rn est appel point daccumulation dun ensemble A Rn, pour tout r > 0. B(x, r) A contient un autre point que x.Exemple 1.5.7. A = Z

] r, r[Z = {0} pour r < 12

0 Z, 0 nest pas un point daccumulation.Notation. On note A lensemble des points daccumulation.

Pour lExemple 1.5.7., Z = Z et Z = .Dfinition 1.5.10. On dit quun point a A est isol de A si ce nest pas un point daccumu-lation, cest--dire il existe r > 0 tel que B(x, r) A = {x}.

Proposition 1.5.1. Soit A Rn

, si A est ouvert si A

C

(complmentaire de A dansRn

:Rn\A) est ferm, si A est ferm alors AC est ouvert.


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Proposition 1.5.2. AC =

A

Cet

AC= (A)C.

Dmonstration.x AC r > 0, B(x, r) AC = 0

r > 0, B(x, r) A

(

r > 0, B(x, r)

A)

x A

Dmonstration de la Proposition 1.5.1. Si A est ouvert AC =

A

C= AC donc AC est

ferm.AC= (A)C = AC donc AC est ouvert.

1.5.2 Limites dune fonction

Dfinition 1.5.11. On dit quune fonction f(x1,...,xn) a pour toute limite L R qia,d m =(x1,...,xn) tend vers un point ferme m0 = (a1,...,an) (Df) si :

> 0, > 0 | m Df,

|x1 a1| < ...

|xn an| < m = m0

|f(x1,...,xn) L| < ()

ou

> 0,

> 0

| m

Df,

d(m, m0) <

m = m0 |f(x1,...,xn)

L

|<

. On crit :lim

mm0,m=m0f = L

Dfinition 1.5.12 (Variante de la Dfinition 1.5.11.). On peut prendre un des ai gale + et .

Si ai = +, on remplace |xi ai| < par xi > 1 .Si ai = , on remplace |xi ai| < par x1 < 1 .

On peut aussi parler de limite L = + et L = .L = + : on remplace |f(x1,...,xn) L| < par f(x1,...,xn) >

1 .L = : on remplace [f(x1,...,xn) L| < par f(x1,...,xn) < 1 .


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Proposition 1.5.3. Si f a une limite en m0, elle est unique.

Dmonstration. Supposons que () soit vraie pour L = L1 et L = L2 avec L1 = L2.

On choisit = |L1L2|2

alors () pour L1 :1 > 0 tel que d(m, m0) < 1 |f(m) L1| <

() pour L2 :2 > 0 tel que d(m, m0) < 2 |f(m) L2| <

Soit m tel que d(m, m0) < min(1, 2), on a alors :

|L1 L2| |L1 f(m)| + |f(m) L2| 2 = |L1 L2|Donc : L1 = L2.

Proposition 1.5.4. Si f est une fonction et que limmm0

f = L et si F

Df tel que m0

F

alors limmm0

f|F = L.Dmonstration.

> 0, > 0, m Df,d(m, m0) < m = m0 |f(m) L| < Logiquement plus fort car F Df

> 0, > 0, m F, d(m, m0) <

m = m0 |f(x) L| <

Critre de non existence de limites Pour montrer que f na pas de limites quand m m0,il suffit de trouver deux sous-ensemble F1, F2 du domaine Df tel que :

m0 (F1) limmm0

f|F1 = L1

m0 (F2) limmm0

f|F2 = L2

et L1 = L2.Exemple 1.5.8. f(x, y) = y

x, m0 = (0, 0)

F1 = {(x, x) | x = 0}, m0 F1F2 = {(x, x) | x = 0}, m0 F2

lim(x,y)(0,0)

f|F1 = limx0

x

x= 1

lim(x,y)

(0,0)

f

|F2 = lim

x

0

x

x

=

1

Donc pas de limite pour f.


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1.5.3 Calcul des limites

Dfinition 1.5.13. Si limm0

f = L et limm0

g = M alors :

limm0

f + g = L + M

limm0 f g = LM

limm0

f

g=

L

Msi M = 0

Les rgles stendent aux limites infinies sous les conventions habituelles.

1

0+= et 1 = 0

Proposition 1.5.5. Soit f(m) (m = (x1,...,xn)) une fonction de n variables et g(x) unefonction dune variable. On suppose que :

limmm0,m=0

f(m) = a et limxa g(x) = L

Alors on a :lim

mm0g f(m) = L

si lune des deux hypothses suivantes est vraie :

a) a Dgb) g(a) = L

Exemple 1.5.9.

lim(x,y)(0,0),(x,y)=(0,0) E(x2

y2

) = 0E(0202) = 1

Exemple 1.5.10.

lim(x,y)(0,0)

sin(x2 + y2)

x2 + y2= 1

pr 0 DgProposition 1.5.6. Soit f(m), g(m), h(m) trois fonctins n variables tel que :

f(m) g(m) h(m), m D Rn

Si f(m) mm0 L R, h(m) mm0 L R alors : g(m) m=m0 L R


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1.6 Continuit dune fonction plusieurs variables

1.6.1 Continuit en un point

Dfinition 1.6.1. Une fonction f(m) est dite continue en un point m0 Df si :

limm

m0

f(m) = f(m0)

Proposition 1.6.1. Si f(m) et g(m) sont continues en un point m0 Df Dg alors f + g,f g, f

gsi g(m0) = 0 sont continues en m0.

Dmonstration.(f + g)(m)

?mm0

(f + g)(m0)

f(m) + g(m) f(m0) + g(m0)

Proposition 1.6.2. Si f(m) est continue en m0 et g(x) continue en f(m0) alors g f(m) estcontinue en m0.

Dmonstration.g f(m) ?

mm0g f(m0)

g(f(m)) g(f(m0))mm0

f(m0)

b est satisfaire car g(f(m0)) = lim

uf(m0)g(u)

Continuit et suites

Theorme 1.6.3. Soit f(m) une fonction de n variables et m0 Df. Alors f est continue enm0 si et seulement si pour toute suite (m, k)k>0 de R

n tendant vers m0, on a :

limk+

f(mk) = f(m0)

Dfinition 1.6.2. On doit pralablement tendre la notion de limites et de continuit auxchamps. Si :

f = (f1,...,fp) =Df Rn Rp

(x1,...,xn) (f1(x1,...,xn),...,fp(x1,...,xn))

est un champ, on dit que limmm0

f(m) = L (L = (L1,...,Lp) Rp) cest--dire :

f1(m) mm0

L1...

...

fp(m) mm0 Lp


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Proposition 1.6.4. Il est quivalent de dire que :

limmm0

d(f(m), L) = 0

Dmonstration. a) 0 |fi(m) L| d(f(m), L)b) d(f(m), L) = (f1(m) L1)

2 + (f2(m)

L2)2 + ... + (fp(m)

Lp)2

Retour au Thorme 1.4.3. Une suite (mk)k0 de Rn peut tre vue comme un champ :

N Rnk mk

Dire que (mk)k0 n+ m0 signifie que cest vrai pour ce champ, cest--dire :

> 0, N0 > 0, k > N0, d(mk, m0) < Dmonstration. () On suppose lim

mm0f(m) = f(m0). Soit (mk)k0 une suite tendant vers

m0, cest--dire lim mk = m0. On a alors :

limk+

f(mk) = f(m0)

(Lhypothse (b) du thorme du champ est satisfaire)() On veut montrer que lim

mm0f(m) = f(m0). Supposons que cest faux :

> 0, > 0, Df tel que d(m, m0) < et [f(m) f(m0)| On prend = 1

2k. On obtient mk Df tel que :

d(mk, m0) (2)

La suite (mk)k>0 satsfait :

(1) mk k

m0

(2) f(mk) ne tend pas vers f(m0)

Ce qui contredit lhypothse.

1.6.2 Continuit sur un ensemble

Dfinition 1.6.3. On dit que f est continue sur E Rn si elle est continue en tout point deE.

On dit que f est continue si elle est continue sur son domaine de dfinition Df.

Exemple 1.6.1. 1x

continue.

E(x2 y2) pas continue puisque elle est dfinie en (0, 0) et pas continue en (0, 0).


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Exemples de fonctions continues polynmes = P(x1,...,xn) fractions rationnelles P(x1,...,xn)

Q(x1,...,xn) exp, ln, sin, cos... Toutes fonctions construites partir des prcdentes en appliquant laddition, la multi-

plication, le quotient ou la composition.

Theorme 1.6.5. SI f : Df Rn Rp est continue, sous-ensemble A Rn ferm et bornalors f(A) est un sous-ensemble de Rp ferm et born.

Dfinition 1.6.4. On dit quun sous-ensemble A Rn est ferm et borne sil est inclu dansune boule B(a, r).


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Chapitre 2Diffrenciation

2.1 Diffrentielle et drives partielles

2.1.1 Motivation

Problme. Approximation locale (au voisinge) des fonctions.

Cas de fonctions une variable

(4, 04)2 16, (4, 04)2 16, 32

(4, 04)2 = (4 + 0, 04)2 = 42 + 2

4

0, 04 + 0, 0, 042

(4, 04) 2,

4, 04 2 + 001

f(x0 + h) = f(x0) + (h) avec (h) 0

si f est continue en x0.

Si f est drivable :

f(x0 + h) + f(x0)

h= f(x0) + (h)

o (h) 0, cest--dire :

f(x0 + h) = f(x0) + f(x0)h

terme correctif linaire

+ h(h) erreur

Or : 4, 04 =

4 +

1

2

40, 04 =

4 + 0, 01

4, 02 2, 005, 4, 01 2, 0025

20


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Chapitre 2. Diffrenciation 21

Cas de fonctions deux variables

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + (h, k)

si f est continue donc (h, k) h0,k0

0.

() f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah + bk + m0m(h)

(h, k) h0,k0

0.

Dfinition 2.1.1. Si () est vraie 1, on dit que f est diffrentielle en m0 et on appelle diffe-rentielle au point m0 pour laccroissement h, k le nombre ah + bk.

Notation. On note le terme correctif :

dfn0(h, k) (terme correctif depnd linairement de h, k)

On note dfn0 lapplication linaire :

(h, k) ah + bk

2.1.2 Diffrenciabilit

Dfinition 2.1.2. Soit f : U Rn R une fonction de n variables. Soit m0(x01,...,x0n) U.On dit que f est diffrentiable en m0 sil existe une forme linaire L L(Rn,R) pour m U =(x1,...,xn) :

f(m) = f(m0) + L(m0m) + m0m(m) ()

o (m) m0

0 et :

L :L Rn

(h1,...,hn) a1h1 + ... + anhnavec

hi = xi

x0i pour i

{1,...,n

}1pour deux nombres a et b


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22 Chapitre 2. Diffrenciation

Exemple 2.1.1. f(x, y) = xy

f(x0 + h, y0 + k) = (x0 + h)(y0 + k) = x0y0 + x0k + y0h + hk = f(x0, y0) + x0k + y0h + hk

On a :hk

h2 + k2(h,k)(0,0

0

car : hkh2 + k2 |h||k|k2 = |h|

Donc : f est diffrentiable en m0.

Proposition 2.1.1. SI f est diffrentiable en m0 alors f continue en m0 et la forme linaireL de la Dfinition 2.1.2. not L = dfm0 sappelle la diffrentielle de f au point m0.

Dmonstration. On suppose () :lim

m

m0

f(m) = f(m0) + L(0) + 0.0 = f(m0)

Donc f est continue en m0. Supposons :

f(m) = f(m0) + L(m0m) + m0m.(m) ()

avec L L(Rn,R), (m) mm0

0. Faisons m = 2 alors () () devient :

(L L)(m0m) = ((m) (m)m0m ()On a m0m = (h, k), m0 = (a, b), m = (a + h, b + k) et m0m =

h2 + k2 alors :

(L L)m0m de la forme(ah+bk)

= (m) (m) m0mde la forme (h,k)=h2+k2(h,k)(0,0 0On a alors :

ah + bk = (h, k)

h2 + k2

On lapplique par (h, k) = (u, v) avec u, v fix et 0, > 0.au + bv = (u, v)

u2 + v2

au + bv = (u, v)

u2 + v2

0

au + bv = 0,

u, vR

(a, b) = (0, 0)cest--dire : L L = 0.Exemple 2.1.2 (Suite de lExemple 2.1.1.). On a f(x, y) = xy. On a montr que f estdiffrentiable en m0 alors :

dfm0(h, k) = y0h + x0k

alors :dfm0 = (h, k) y0h + x0kdfm0 = y0((h, k) h

dx) + x0(h, k) k

dy)

dfm0 = y0dx + x0dy


23/53


Gnralisation. (h1,...,hn) hi se note dxi. La forme linaire (h1,...,hn) a1h1 + ...+anhnse note (h1,...,hn) a1dx1 + ...andxn.

Remarque. 1) La condition () de diffrentiabilit se recrit :

f(m)

f(m0) = dfm0(m0m) +

mm0

(m)

avec

(m) m0

0

2) Pour n = 1, si f(x) est drivable en x0 :

f(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + (x x0)(x)

avec

(x) xx0 0alors f est diffrentiable et dfm0 = f(x0)dx.

Proposition 2.1.2. Soitf, g diffrentiables enm0 et, R. Alors f+ g est diffrentiableet :

d(f + g)m0 = dfm0 + dgm0

Application diffrentielle

Dfinition 2.1.3. Soit f : U Rn R. f est dite differentiable sur U si f est diffrentiableen tout point de U. Dans ce cas, on obtient une application :

df :U Rn L(Rn,R)

m dfmavec :

dfm :R

n R(h0, hn) a1(m)h1 + ... + an(m)hn(a1(m)dx1 + ... + an(m)dxn)

On a df F(u, L(Rn,R), dfm L(Rn,R) et dfm(h1,...,hm) R.

Remarque. On peut voir df comme une application :

df :

U Rn Rnm (a1(m),...,an(m))

()

(*) 2 df est prsent ici comme un champ : le champ des differentiables.

2composantes de dfm dans la base {dx1,...,dxn} cest--dire dfm = a1(m)df1 + ...+ an(m)dfn


24/53


2.1.3 Gnralisation aux champs

Dfinition 2.1.4. Un champ :

f :U Rn Rp

m(x1,...,xn) (f1(m),...,fp(m))

est dit diffrentiable en m0 U si il existe L L(Rn

,Rp

) tel que pour tout m U :f(m) = f(m0) + L(m0m) + m0m(m)

olim

mm0(m) = (0,..., 0)

avec L(m0m) est de la forme (L1(m0m),...,Lp(m0m)) o L1,...,Lp sont des formes linaires surRn.

La dfinition est quivalente dire que chacune des fonctions coordonnes f1,...,fp estdiffrentiable en m0 et :

dfm0 = d (f1)m0 ,...,d (fp)m0Exemple 2.1.3. f(x,y,z) = (xy,x + y + 2z), f : R3 R2

((x0+h)(y0+k), (x0+h)+(y0+k)+2(z0+l)) = (x0y0, x0+y0+lz0)+(x0h+y0k, h+k+2l)+(hk, 0)

= f(x0, y0, z0) + df(x0,y0,z0)(h,k,l) + erreur

f diffrentiable en tout m0(x0, y0, z0) R3 et :

dfm0(h,k,l) = (y0h + x0k, h + k + 2l) =

y0 x0 01 1 2

()

hkl

() 3

Dfinition 2.1.5. On appelle la matrice reprsentative de dfm0

dans les bases canoniques de

R3 et R2, la matrice jacobienne de f en m0 et on la note Jac(f)m0

2.1.4 Derives partielles

Dfinition 2.1.6 (Derives partielles). Soit :

f :U Rn R

m0(x01,...,x0n) UOn appelle derive partielle de f xi par rapport xi au point m0, la derive quand elle existede la fonction :

xi = f(x01,...,x0i1 fixs

, xi, x0i+1,...,xn fixs

)

or : xi = x0i

3matrice reprsentative de dfm

dans les bases canoniques de R3 et R2


25/53


Notation. On note la drive partielle de f par rapport xi au point m0 :fxi

(m0).

Exemple 2.1.4. f(x, y) = x2y5

f

x

(x0, y0) = 2xy

5

x = x0y = y0

= 2x0y50

f

x

(x0, y0) = 5x

2y4

x = x0y = y0 = 5x20y

60

Theorme 2.1.3. Si f : U Rn est diffrentiable en m0 alors f admet des derives partiellesen m0. De plus :

dfm0 =

f

xi

(m0)dx1 + .... +

f

xn(m0)

dxn

Exemple 2.1.5. f(x, y) = xy

dfm0 = y0dx + x0dy avec

y0 =

fx

(m0)

x0 =

fy

(m0)

f = (f1,...,fp)

Jac(f)m0 =

...

fixj

(m0)...

Dmonstration. Pour le cas n = 2, on suppose :

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah + bk +

h2 + k2(h, k)

On fait k = 0 :f(x0 + h, y0) = f(x0, y0) + ah + |h|(h, 0)

cest--dire la fonction f(x, y0) est drivable en x = x0 et a est sa derive cest--dire :

a =

f

x

(m0)

De mme :

b =

f

y

(m0)

On en dduit :

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0 + y0) + dfm0(h, k) +

h2 + k2(h, k)

Do :

dfm0(h, k) =

f

x

(m0)h +

f

y

(m0)k


26/53


Dfinition 2.1.7. On appelle le gradient de f en m0, le vecteur

fx1

(m0), ...,fxn

(m0)

de Rn

et on notegrad f(m0)

Remarque. SiH = (h1,...,hn)

dfm0(h1,...,hn) =grad f(m0).

H

Theorme 2.1.4. Soit f : U Rn R une fonction et m0(a1, ...an) U. On suppose que lesdrives partielles f

xi(x1,...,xn) existent sur U et sont continues en m0. Alors la fonction est

diffrentiable en m0 (et ()).

dfm0(h1,...,hn) =f

x1(m0)h1 + ... +

f

xn(m0)hm ()

Dmonstration dans la cas o n = 2. On veut montrer :

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) +f

x

(m0)h +f

y

(m0)k + (h, k)

h2 + k2

On note :

A(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) + f(x0, y0) + fx

(m0)h +f

y(m0)k

On veut alors montrer que :A(h, k)h2 + k2

(h,k)(0,0)

0

f(x0+h, y0+k)f(x0, y0) = f(x0 + h, y0 + k) f(x0 + h, y0)

accroissement de yf(x0+h,y) entre y0 et y0+k

+ f(x0 + h, y0) f(x0, y0)

accroissement de xf(x0+h,y) entre x0 et x0+k

Ces deux fonctions sont drivables. Daprs le thorme des accroissements en une variable.

f(x0 + h, y0 + k) f(x0 + h, y0) = k fy

(x0 + h, y0 + k)

pour 0 < < 1.

f(x0 + h, y0) f(x0, y0) = hfx

(x0 + h, y0 + k)

avec ]0, 1[

A(h, k) = h fx (x0 + h, y0)

f

x(x0, y0) + k fy (x0 + h, y0 + k)

f

y(x0, y0)

On en dduit :

|A(h, k)|h2 + k2

|h|h2 + k2

fx (x0 + h, y0) fx (x0, y0)

(h,k)(0,0)0

+|k|

h2 + k2

fy (x0 + h, y0 + k) fy (x0, y0)

(h,k)(0,0)0

car fx

et fy

sont continues.

Dfinition 2.1.8. Un champ f : U Rn

R

est dit de classe C1

sur U si f est differentiablesur U et si le champ des diffrentielles est continue sur U.


27/53


Exemple 2.1.6. f = (f1,...,fp), m Udf

m= (d(f1)m,...,d(fp)m)

dfm

(h1,...,hm) H

= (d(f1)m(H),...,d(fp)m(

H))

= f1x1 (m)h1 + ... +

f1xm (m)hn,...,

fpx1 (m)h1 + ... +

fpxn (m)hn

=

f1x1

(m)h1 + ... +f1xn

(m)hn

...fpx1

(m)h1 + ... +fpxn

(m)hn

=

f1x1

(m) f1xn

(m)

......

fp

x1 (m) fp

xn (m)

h1...

hm

On note :

Jac(f)(m) =

f1x1

(m) f1xn

(m)

......

fpx1

(m) fpxn

(m)

Remarque. Les lignes de la matrice jacobienne est constitu des composantes du gradient de lafonction un point donn.

Dfinition 2.1.9. Un champ de diffrentielle est :U Rn L(Rn,Rp)

m dfm

ou ce qui est quivalent au champ :

U Rn Rnpm Jac(f)m

cest--dire le champ des n p drives partielles de f est continue.Remarque. Un champ f : U Rn Rp est de classe C1 si les drives partielles des fonctionscoordonnes de f existent et sont continues.Exemple 2.1.7.

f :R3 R2

(x,y,z) (xyz,exy)f est diffrentiable car f1, f2 admettent des derives partielles de nimporte quelle ordre.

Jac(f)(x,y,z) =

zy xz xy

yexy xexy 0

dfm0(x0,y0,z0)

(h,k,l) = zy xz xyyexy xeyx 0 hkl = y0z0h + x0z0k + x0y0ly0ex0y0h + x0ex0y0k


28/53


Exemple 2.1.8. Champs constants :

f :Rn Rp

m c = (c1,...,cp)df

m= 0

(par le calcul des derives partielles et :

f(m) f(m0) = 0do le rsultat).

Exemple 2.1.9. f L(Rn,Rp)df

m= f

car :f(m) f(m0) = f(m0m)

Exemple 2.1.10.

f :R

2 R(x, y)

xy

f est diffrentiable (de classe C1) sur R2.dfm = ydx + xdy

Le champ des diffrentielles est :Rn L(R2,R)

m dfmOr de faon quivalente :

dfm :R2 R2

(x, y) (y, x)

d(dfm) = d

2

fm = dfmProposition 2.1.5 (Diffrentielle dun champ de diffrentielle). Soit une fonction f : U Rn R suppose C1 pour tout m U :

dfm =f

x1(m)dx1 + ... +

f

xn(m)dxm

Le champ des diffrentielles :

dfm :U RN L(Rn,R)

m dfmou de faon quivalente, le champ :

U Rn

Rn

m

fx1

(m), ..., fxn

(m)

Si fx1

,..., fxn

sont des derives partielles continues sur U alors le champ df est C sur U etpour tout m U.

Jac(df)m =

x1

f

x1(m)

x1

f

xn(m)

......

xn

f

x1(m)

xn

f

xn(m)

Ce qui donne :

d(dfm)(h1,...,hm) = Jac(df)m.H


29/53


2.1.5 Espaces tangents

Graphe dune fonction et son plan tangent en vert

x est une droite dquation :

z = f(x0, y0) = fx (x0, y0)(x x0)

y est une droite dquation :

z = f(x0, y0) =f

y(x0, y0)(y y0)

Le plan P engendr par x et y est appele plan tangent au graphe f au point m0(x0, y0).Un vecteur directeur de x est :

u =

f

x(m0), 0, 1

Un vecteur directeur de y est :

v =

0,f

y(m0), 1

Un vecteur directeru de P est :

n = u .v =

f

x(m0),

f

y(m0), 1

Do lquation de P est :

z f(x0, y0) = fx

(m0)(x x0) + fy

(y y0)

Rpresentation graphique des diffrentielles

n = 1, f(x), m0 Df. Tangente de Gf en (x0, f(x0)) est la droite dquation :y f(x0) = f(x0)(x x0)

n = 2, f(x, y), m0(x0, y0) Df. Plan tangent en ((x0, y0), f(x0, y0)) : plan dquation :

z f(x0, y0) = fx (x0, y0)(x x0) fy (x0, y0)(y y0)


30/53


Remarque. Pour n = 1, m((x0 + h), f(x0 + h))

d(m, m0) = |f(x0 + h)

f(x0)

f(x0)h

|1 + f(x0)2 = h((h)) ngligeable devant h

Pour n = 2, M(x0 + h, y0 + k, f(x0 + h, y0 + k))

d(M, m0) =

f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) fx (x0, y0)h fy (x0, y0)k1 + f

x(x0, y0)2 +

fy

(x0, y0)2=

h2 + k2(h, k)

ngligeable devant

h2+k2

2.2 Proprits de calcul

2.2.1 Champs compossTheorme 2.2.1. Soient f : U Rn Rm et g : V Rm Rp, deux chmps diffrentiablessurU etV telle ques f(U) V. Alors le champ compos : gf : U Rn Rp est diffrentiablesur U et pour tout m U :

d(g f)m L(Rn,Rp)

= dgf(m)

L(Rm,Rp)

dfm

L(Rn,Rm)

()

Ce qui scrit matriciellement :

Jac(g f)m = Jac(g)f(m) Jac(f)mRemarque. () pour une variable :

(g f)(x) = g(f(x)) f(x)

Dmonstration. Soit m0, m U. On a :

f(m) f(m0) = dfm0(m0m) + m0m(m)

avec (m)

m

m0

0.

g(n) g(n0) = dgfn0

(n0n) + n0n(n)


31/53


Pour n = f(m) et n0 = f(m0), on obtient :

g(f(m)) g(f(m0)) = dgf(m0) (f(m) f(m0)) f(m0)f(m)

+f(m) f(m0)(m0)

= dgf(m0)

(dfm0

(m0m) + m0m(m)) +

dfm0

(m0m) + m0m(m)

f(

= dgf(m0)(dfm0(m0m) + m0mdgf(m0)((m)) + dfm0(m0m)m0m + (m) =B(m)

Pour montrer que d(g f)m0 = dgf(m0) dfm0, il reste montrer que :

B(m) =

dgf(m0)

((m)) +

dfm0(m0m)m0m + (m)

A(m)

(f(m))

tend vers 0 quand m m0.dg

f(m0)((m))

mm00

(f(m)) mm0

0

A(m)

dfm0

(m0m)m0m

+ (m) mm0

0

On peut conclure que B(m) mm0

0 si on montre que dfm0

(m0m) Cm0m pour C R

indpendant de m. dfm0(m0m) m-uplet de la forme : n

j=1

a1jhj, ...,n

j=1

amjhj

avec m0m = (h1,...,hm) et :m0m =

h21 + ... + h2n

Alors :

dfm0(mm0) =

n

j=1 a1jhj2

, ...,n

j=1 amjhj2

a n

j=1

hj

2 ,...,

n

j=1

hj

2

avec a = max1im,1jn

|aij|.

() am n

j=1

hj

2 am

nj=1

|hj|2 + 2

1i,jn,i=j2|hi||hj| ()

On utilise ensuite : 2|hi||hj | |hi|2 + |hj|2


32/53


() am n

j=1

|hj |2(1 + m 1) a

mnm0m

Donc C = a

mn et m reprsente la dimension de lespace darrive de f et non le pointconsidr.

2.2.2 Produit de deux fonctions diffrentielles

Theorme 2.2.2. Si f : U Rn R et g : U Rn R sont diffrentiables en m0 U alorsf g est diffrentiable en m0 et :

d(f g)m0 = g(m0)dfm0 + f(m0)dgm0Dmonstration. Soient :

:U Rn

m

(f(m), g(m)), p :

R2 R(x, y)

xy

On a : (f g)(m) = p (m). De plus : p est diffrentiable sur R2 et dp(x,y) = ydx + xdy et est diffrentiable (car f, g le sont) et dm = (dfm, dgm).

Daprs le Thorme 2.2.1., f g = p est diffrentiable.

d(f g)m0 = dp(m0) dm0

d(f g)m0(H) = dp(m)(d(m)(

H)

= dp(m0)(dfm0(H), dgm0(

H))

= g(m0)dfm0(H) + f(m0)dgm0(H)On obtient :

d(f g)m0 = g(m0)dfm0 + f(m0)dgm0

2.2.3 Rcapitulatif

Loprateur d qui une fonction f : U Rn Rm associe df vrifie :(1) si f = f(x1,...,xn), df = fx1 dx1 + ... + fxn dxn et inversement si df = a1dx1 + ...andxnalors :

ai =

f

xi

, i = {1,...,n}

Cas spcial pour n = 1, df = f(x)dx.

(2) d(f + g) = df + dg (, R)(3) d(f g) = gdf + f dg(4) Si x1,...,xn sont fonctions dautres variables u1,...,un alors le Thorme 2.2.1. permet

de reporter la dcomposition des dxi en fonction des duj dans la dcomposition de df en

fonction des dxi pour obtenir la dcompotions de df en fonction des duj . Voir Exemple2.2.1.


33/53


Exemple 2.2.1. Soit z = z(x, y) R avec :x = x(u, v)y = y(u, v)

(u, v)

(x(u, v), y(u, v))

z(x(u, v), y(u, v)) z en fonction de u,v

On cherche zu

, zv

, diffrentielle du champ compos z en fonction de u, v.

Premire mthode : par les matrices jacobiennes

zx

zy

Jac(z)(x,y)

xu

xv

yu

yv

Jac(f)=

z

x

x

u+

z

y

y

u zu

z

x

x

y+

z

y

y

z zv

Deuxime mthode : par les rgles de calculs (1) (4)

dz =z

xdx +

z

ydy

Or : x = x(u, v), y = y(u, v) donc : dx = xu

du + xv

dv, dy = yu

du + yv

dv. Donc :

dz =z

x

x

udu +

x

vdv

+

z

y

y

udu +

y

vdv

dz =

z

x

partialx

u+

z

yyv

du +

z

x

x

v+

z

y

y

v

dv

Do :z

u=

z

x

x

u+

z

y

y

u

z

v=

z

x

x

v+

z

y

y

v

Exemple 2.2.2. f : U

R

2

R de classe

C1, m0(x0, y0)

u, u = (a, b)

R

2. Soit g dfinie

de la manire suivante :

g :I R2

t (x0 + ta,y0 + tb)g est diffrentiable et dgt = (adt, bdt) et f est de classe C1. Considrons maintenant la fonction :

:I R R

t f(x0 + ta,y0 + tb)On a alors = f g et diffrentiable sur I cest--dire est drivable sur I.

dt = dfg(t) dgt =f

x (g(t))adt +

f

y (g(t))bdt=

fx

(x0 + ta,y0 + tb)a +fy

(x0 + ta,y0 + tb)b

dt = (t)dt


34/53


do

(t) =

f

x

(x0 + ta,y0 + tb)a +

f

y(x0 + ta,y0 + tb)b

(0) =

f

x

(m0)a +

f

y(m0)b

(0) sapelle la drive directionelle.de f dans la direction de u au point m0. On peut noter(0) =

grad f(m0)

v . Pour : u = i , (0) = f

x(m0)

u = j , (0) = fy

(m0)

2.3 Premires applications

2.3.1 Approximations numriques - Calcul dincertitudes

A = (1, 9992)2 3, 0012 12= f(x0 + h, y0 + k)

avec f(x, y) = x2y,

x0 = 2

y0 = 3,

h = 0, 008

k = 0, 0012. Si on nglige le terme derreur dans la diff-

rentielle de df(x0,y0), on a :

f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) + df(x0,y0)(h, k) = 12 + 2x0y0h + x20k= 12 + (0, 0096) + 0, 0048 = 11, 9952

Soit calculer la valeur de f(x1, y1) dune fonction f pour des valeurs x1, y1 connues avec uneincertitude.

x1 = x0 + x

y1 = y0 + yavec

|x| Ix|y| Iy et x0, x1 valeurs mesures

f(x1, y1) f(x0, y0). Lerreur comise f lors de cette approximation peut tre remplace par :

df(x0,y0)(x, y)

On crit :

|f| = |df(x0,y0)(x, y)|=

fx

(x0, y0)x +fy

(x0, y0)y

f

x(x0, y0)x

+

f

y(x0, y0)y

incertitude du rsultatf(x1,y1)[f(x0,y0If,f(x0,y0)+If]


35/53


Rayon de lumire traversant un dioptre plan.

Exemple 2.3.1 (Changement de milieux (optique gomtrique)). La loi de Descartes : n1 sin i1 =n2 sin i2. Prenons alors n1 = 1 qui est lindice de rfraction de lair. On veut calculer lindice derefraction du verre. Lexprience donne i1 = 30

, i2 = 20. I1 = I2 = 3/. On dduit que :

n2 =n1 sin i1

sin i2=

0, 5

0, 342= 1, 46

Lincertitude In sur n2 = 1, 46 se calcule de faon suivante :

In sin 30sin 20

|2|2180

+sin30 cos20sin 202

|2|2180

0, 23

Conclusion lindice de verre n2 est :

1, 46 0, 23 n2 1, 46 + 0, 23

2.3.2 Utilisation gomtrique du gradient

Soit f : U R2 R diffrentielle sur U, m0(x0, y0) U.

df(x0,y0)(h, k) =

f

x

(m0)h +

f

y

(m0)k =

grad f(m0).

H

oH = (h, k). Daprs lingalit de Cauchy-Schwartz, on a :

|grad f(m0).H| grad f(m0).H

avec galit si et seulement sigrad f(m0)//

H

Si grad f(m0) et H sont parallles et de mme sens alors :grad f(m0).

H = grad f(m0).H

Si grad f(m0) et H sont parallles et de sens opposs alors :

grad f(m0).H = grad f(m0).H


36/53


Si on fait lapproximation :

f = f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) df(x0,y0)(h, k)

on obtient que f est maximale pour :H(h, k) parrallle et de mme sens que

grad f(x0, y0).

Exemple dutilisation gomtrique du gradient avec f(x, y) = 1 x2 y2

Exemple 2.3.2. f(x, y) = 1 x2 y2, grad f(x0, y0) = (2x0, 2y0). Le vecteur grad f(x0, y0)indique partir de m0(x0, y0) la direction o la pente correspondante sur le graphe est la plus

grande au point M0(x0, y0, f(x0, y0)). En consquence,grad f(m0) est un vecteur nomal la

tangente de la ligne de niveau passant par m0.

2.4 Proprits fondamentales

2.4.1 Thorme des accroissements finies

Rappel (1 variable). f : [a, b] R continue et drivable sur ]a, b[ alors :f(a) f(b) = (b a)f(c)

pour c ]a, b[.Theorme 2.4.1 (Thorme des accroissements finies pour une fonction de n variables). Soit

f : U Rn R diffrentiable sur U. Soient a, b U tel que [a, b] U avec a = (a1,...,an) etb = (b1,...,bn). Alors il existe ]0, 1[ tel que :

f(b) f(a) = fx1

(a + (b a))(b1 a1) + ... + fxn

(a + (b a))(bn an)

Dmonstration. On considre la fonction :

:R f(U) Rn

t f(a + t(b a))La fonction (t) est drivable car cest la compose de deux fonctions diffrentiables et :

dt = dfg(t) dgt


37/53


ce qui donne :

(t) =

f

x1

(a + t(b a))(b1 a1) + ... +

f

xn

(a + t(b a))(bn an)

Daprs le thorme des accroissements finies en une variable entre 0 et 1, il existe ]0, 1[ telque :

(1) (0) = (1 0)(0)et donc :

f(b) f(a) =

f

x1

(a + (b a))(b1 a1) + ... +

f

xn

(a + (b a))(bn an)

Theorme 2.4.2 (Thorme des accroissements finis pour un champ). En appliquant le tho-rme des accroissements finies chaque fi, on obtient :

fi(a) fi(b) = fi

x1

(a + (b a))(b1 a1) + ... +

fixn

(a + (b a))(bn an)

On dduit :

|fi(b) fi(a)| sup1ip,1jn,m[a,b]

fixj (m)

ni=1

|bi ai|

Remarque. On a :

n

i=1|bi ai| =

n

i=1|bi ai

2

n

i=1

|bi ai| +

1in,1jn2|bi ai||bj aj|

n

i=1

|bi ai|2(1 + n 1)

nabConclusion : On obtient pour le champ f :

|fi(b)

fi(a)

| sup

1in,1jp,m[a,b] fi

xj

n

ab

Application 2.4.1. Si f a toutes ses drives partielles nulles sur U convexe, f est constante.

Dmonstration. Soient a, b U|fi(b) fi(a)| = 0 fi(a) = fi(b)

Theorme 2.4.3. Soit f : U Rn Rp diffrentielle en un point a U. On suppose :a) f : U

f(U) bective, continue ainsi que sa rciproque f1.

b) dfa

: Rn Rp est bectif (ce qui oblige que n = p).


38/53


Alors lapplication f1 : f(U) U est diffrentiable en b = f(a) et :

d(f1)b = (dfa)1 ()

Remarque. (a) Pour voir que dfa est bective, on vrifie que det(Jac(f)a) = 0(b) () gnralise la formule pour n = 1

(f1)(b) =1

f(f1(b))

(c) () rsulte de :f1 f = Id

qui se diffrentie par :df1

f(a) df

a= d Ida = Id

Dfinition 2.4.1. On appelle C1-diffomorphisme, tout champ f : U Rn Rn tel que :

(a) f : U f(U) est continue bective ainsi que sa rciproque.(b) f est de classe C1 sur U.(c) f1 : f(U) U C1 sur f(U).

Critre pratique Il suffit de vrifier :

(a) Math 101, 102

(b) que les drives partielles de f existent et sont continues.

(c) det(Jac(f)a) = 0 pour tout a U.

Theorme 2.4.4 (Thorme dinversion locale). Soitf : U Rn

Rn

un champ diffrentiablesur U et a U tel que les drivs partielles de f sont continues en a. On suppose que dfa

est

bectif. Alors il existe deux ouverts V et W tel que a V et f(a) W et f|WV (f : V W etun C1-diffomorphisme.Exemple 2.4.1. n = 1, f : I R R non injectif.


39/53


Dfinition 2.4.2 (Coordonnes polaires).

p =

OM

= (i ,

OM)

, coordonnes polaires.

On a :OM = cos

i + sin

j do :

x = cos

y = sin

Le changement de coordonnes correspond au champ :

:R2 R2

(, ) ( cos , sin )Mais nest pas injective car (, ) et (, + 2) est le mme point.

det(Jac()(,)) =

cos sin sin cos =

Conclusion : en tout (, ) = (0, 0), est un diffomorphisme local.

Dfinition 2.4.3 (Coordonnes cylindriques).

:R3 R3

(,,z) ( cos , sin , z)

det(Jac()(,,z)) =

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

=

Conclusion : tout point tel que = 0, est un diffomorphisme local.


40/53


Dfinition 2.4.4 (Coordonnes sphriques).

r = OM = (

i ,

OM)

= (Om,

OM)

Om = r cos (cos

i + sin

j )

OM = r cos Om

Om + r sin k

OM = r cos cos

i x + r cos sin

j y + r sin

k z

Le changement de coordonnes correspond au champ :

:R

3 R3(r,,) = r cos cos , r cos sin , r sin )

det(Jac()(r,,)) = cos cos r cos sin r sin cos cos sin r cos cos

r sin sin

sin 0 r cos = sin (r2 sin cos ) + r cos (r cos2 )= r2 cos (sin2 + cos2 )= r2 cos

Conclusion : est un diffomorphisme local en tout point hors de laxe Oz.

2.4.2 Thorme des fonctions implicites

Motivation


41/53


nest pas le graphe dune fonction f(x) car elle ne satisfait pas le test des droitesverticales.F(x, y) = 0 y = f(x)

Pour (x, y) U, F(x, y) = 0 y = f(x).Theorme 2.4.5 (Fonctions implicites). Soient F : UR2 R une fonction diffrentiableet m0(x0, y0) un point tel que F(x0, y0) = 0. On suppose que

fx

et Fy

sont continues en

m0 et queFy

(m0) = 0. Alors il existe r > 0, un voisinage V ouvert de m0 et une fonction :]x0 r, x0 + r[ R tel que :

F(x, y) = 0(x, y) V y = (x)

x ]x0 r, x0 + r[De plus, (x) est drivable et :

(x) = Fx

(m0)Fy

(m0)

Remarque. (a) (x0) = y0

(b) F(x, (x)) = 0 pour tout x ]x0 r, x0 + r[. On a : F(x, (x)) = 0 car :z = F(x, y) avec y = (x)

dz =

F

x dx +

F

y dydo :

dz = Fx

dx + Fy

(x)dx

=

Fx

+ Fy

(x)

dx

= z(x)dx

do :

z(x) =F

x(x, (x)) +

F

y(x, (x))(x)

. z(x) = 0 donne :

(x) = Fx

(x, (x))Fy

(x, (x))


42/53


(c) On peut changer les rles de x et y.


43/53

Chapitre 3Optimisation

3.1 Extrema libres

On sintresse ici aux extrema relatifs dune fonction, cest--dire, aux points m0 du domaineo f prend une valeur qui soit extrmale, cest--dire, maximale ou minimale, au voisinage dem0.

3.1.1 Dfinitions

Exemple 3.1.1. Soit f la fonction dont le graphe est represent ci dessous :

La fonction f a un minimum relatif en 1 et 3 qui vaut 4. La valeur 4 est aussi leminimum absolu de f.

La fonction f a troix maxim relatifs : +1 atteint en 2, +3 atteint en 2 et 5 atteint en5. Le maximum absolu de f est +5.

Exemple 3.1.2. La fonction f a deux maxima relatifs.

43


44/53

44 Chapitre 3. Optimisation

Dfinition 3.1.1. Une fonction f : U Rn R a un minimum (resp. maximum) absolu enun point m0 U si f(m0) f(m) (resp. f(m0) f(m)) pour tout m U.Dfinition 3.1.2. On dit que f a un maximum relatif en m0 sil existe r > 0 tel que f|B(m0,r)a un maximum absolu.

3.1.2 Conditions du premier ordre

Theorme 3.1.1. Si f(x1,...,xn) a un extremum relatif en un point reflatif m0 intrieur dudomaine Df et que f a de drives partiels en m0 alors :

f

xi

(m0) = 0, i {1,...,n} ()

cest--dire : grad f(m0) =

0 ()

Dmonstration pour le cas o (n = 2). La fonction f(x0, y0) a un extremum relatif en x = x0do f(x0, y0) = 0.

() sappelle la condition du premier ordre, ncessaire pour lexistence dun extremum relatif

en x0. Ce nest pas une condition suffisante. (Exemple : f(x) = x

3

).Condition () le plan tangent dquation z = f(x0, y0) est horizontale. Pour lexistencedun extremum, il faut en plus que Gf reste (localement) du mme ct du plan tangent.

Dfinition 3.1.3. Un point stationnaire est un point m0 Df tel que grad f(m0) = 0 .

3.1.3 Exemples de points stationnaires

Exemple 3.1.3. f(x, y) = x2 + y2, Df R2.

fx

= 2xfy

= 2y 1 point stationnaire : O(0, 0)


45/53

Chapitre 3. Optimisation 45

Exemple 3.1.4. f(x, y) = x2 y2 a un maximum relatif en O(0, 0)

Exemple 3.1.5. f(x, y) = (x2 + y2) a un point stationnaire en (0, 0). Il ny a, en O(0, 0), nimaximum, ni minimum. On dit quil y a un col (ou un point selle) en un point m0 sil existedeux sections verticales du graphe prsentant, lun un minimum et lautre un maximum.

3.1.4 Formule de Taylor-Young lordre 2 (pour n = 2)

2fx2

(x, y)

fx

2fxy

(x, y)

f(x, y) 2fyx

(x, y)

fy

2fy2

(x, y)

Theorme 3.1.2 (Thorme de Schwartz). Si 2f

xyet

2fyx

existent et sont continues en m0alors :

2f

xy (m0) =

f

y yx


46/53


Theorme 3.1.3 (Taylor-Young lordre 2). Sous les hypothses du thorme de Schwartz :

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) +

f

x(x0, y0) +

f

y(x0, y0)

dfm0 (h,k)

+1

2 2f

x2(x0, y0)h

2 + 22f

xy(x0, y0)hk +

2f

2fy2(x0, y0)k

2 + (h2 + k2)(h, k)Supposons que m0(x0, y0) soit un point stationnaire, cest--dire :

f

x(m0) =

f

y(m0) = 0

Posons r = 2f

x2(m0), s =

2fxy

, t = 2f

y2. La formule de Taylor-Young se rduit :

f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) +1

2(rh2 + 2shk + tk2) + (h2 + k2)(h, k)

avec (h, k) (h,k)(0,0)

0.

Theorme 3.1.4 (Condition du deuxime ordre). Sous les hypothses du thorme de Schartz.Soit m0(x0, y0) un point stationnaire. On charche s

2 rt. si s2 rt < 0, il y a un extremum relatif en m0

si r > 0 : cest un minimum. si r < 0 : cest un maximum.

si s2 rt > 0, il y a ni un maximum relatif, ni minimum relatif, il y a un col. si s2 rt < 0, la mthode ne permet pas de conclure.

Dmonstration. On cherche connatre le signe de f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) = H pour h etk assez petits. On a : H = 1

2(rh2 + 2shk + tk2) + (h2 + k2)(h, k).

rh2 + 2shk + th2 = r(h2 + 2sr

hk + tr

k2)

= r((h + sr

l)2 s2r2

k2 + tr

k2)

= r((h + sr

k)2 s2rtr2

k2)

1er cas : s2 rt > 0 et r > 0 On chosit un nombre > 0 assez petit pour que les nombrer = r et t = t soient de mme signe que r et t vrifiant s2 rt < 0 (grce lacontinuit de s2

rt). Daprs le calcul prcdent, rh2 +2shk +tk2 est de signe de r cest--dire

> 0. On obitnet :rh2 + 2shk + tk2 (h2 + k2)

Conclusion, on obtient :

H 2

(h2 + k2) + (h2 + k2)(h, k) (h2 + k2)

2+ (h, k)

0 pour (h,k) suffisament petit

On a trouv que H 0 pour (h, k) suffisament petit. Il y a donc un minimum relatif en m0.Les deux autres cas sont similaires.

Exemple 3.1.6. f(x, y) = x2y x22

y2. Extrema de f? Df = R2


47/53


Etape 1 : Recherche de points stationnaires :

fx

= 2xy x = 0fy

= x2 2y = 0

On rsout : 2xy x = 0x2 2y = 0

x(2y 1) = 0x2 2y = 0

x = 0x2 = 2y ou

y =

12

x2 = 2y

Les points stationnaires sont : O(0, 0), A(1, 12

), B(1, 12

). Etape 2 : Conditions du deuxime ordre :

2

fx2 = 2y 1 2

fxy = 2x

2

fy2 = 2

en O(0, 0),

r = 1s = 0

t = 2.

s2 rt = 0 (1)(2) = 2, r < 0

O est un point maximum (relatif car f(x)

quand x

).

en A(1, 12

),

r = 0

s = 2

t = 2s2 rt = 22 2 0 = 4

A est un col.

en B(1, 12

),

r = 0

s = 2t = 2

s2 rt = 4B est un col.

Exemple 3.1.7. f(x, y) = x4 + y4. Point stationnaire : O(0, 0).

2fx2

)12x2

2fxy

= 02fy2

= 12y2,

r = 0

s = 0

t = 0

, s2 rt = 0

f(0, 0) = 0 x4 + y4 = f(x, y) donc maximum absolu.


48/53


3.2 Extrema lis et mthode de Lagrange

Problme. Trouver les etrema relatifs dune fonction f(x, y) vrifie une contrainte g(x, y) = 0.

Exemple 3.2.1.

f(x, y) = xyg(x, y) = x + y 8 pour (x,y)=(4,4) f(x, y) = 16

g(x, y) = 0

Theorme 3.2.1. Soit m0(x0, y0) un point. On suppose que les drives partielles de f et g

existent et sont continues en m0. On suppose quegrad g(m0) = 0. Si f a un extremum en m0

sous la contrainte g(m0) = 0. Alors :

grad f(m0) grad g(m0) ()

() () il existe R tel que :

f

x(m

0) = g

x(m

0)

fy

(m0) = gy

(m0)

() ( ) :fx

(m0)gx

(m0)fy

[m0)gy

(m0)

= 0. Les points satisfaisants (), (), ( ) sont appels lespoints stationnaires de f sous contraite g = 0.

m0 solution du problme m0 stationnaire. Mais la rciproque est fausse.Exemple 3.2.2.

f(x, y) = xy

g(x, y) = x + y

8

1) Recherche des points stationnaires, on rsout :

x + y = 8y 1

x 1

= 0 = y xOn obtient un point stationnaire A(4, 4).

2) Etude des points stationnaires. En notant que g(x, y) = 0 y = 8x, on a que le problmerevient tudier les extrema de H(x) := x(8

x).

h(x) = 8 2xx 4 +

h(x) + 0

h(x)

Conclusion : il y a un maximum absolu en x = 4.

Exemple 3.2.3. f(x, y) = y g(x, y) = y3 + y + x2


49/53


1)

y3 + y + x2 = 00 2x

1 3y2 + 1

0 = 2x

y(y

2 + 1) = 0

x = 0. Un point stationnaire : O(0, 0).

2) Etude du point stationnaire O(0, 0).

g

y (0, 0) = 0 g

y (0, 0) = 3y

2

|x=0,y=0 = 1 = 0Donc daprs le Thorme 2.4.5. (Fonctions implicites), il existe r > 0, V un voisinage deO(0, 0) et une fonction drivable :

y :] r, r[ Rtel que :

g(x, y) = 0

(x, y) V

y = (x)

x ] r, r[

Dcider sil y a un extremum local de f sous contrainte g = 0 quivaut dc ider si x = 0est un extemum relatif de f(x, (x)) = (x). On tudier la variation de localement auvoisinage de x = 0.

(x) =2x

3(x)2 + 1

x 0(x) + 0

(x)

Conclusion : il y a un maximum relatif pour en x = 0 cest--dire un maximum relatifpour f sous contrainte g = 0 en O(0, 0).

Remarque. Lquation y3+y+x2 = 0 a une unique racine relle (x), x R, en effet y y3+yest strictement croissante donc atteint la valeur x2 en un unique y = (x) R. est ainsidfinie dans R :

(x) =2x

3(x)2 + 1

x 0 +(x) + 0

(x)

Exemple 3.2.4. f(x, y) = x

2 + 8y

g(x, y) = x2 + y2 251) Points stationnaire : on rsout :

x2 + y2 = 25

2x 2x8 2y = 0 x2 + y2 = 25

4xy 16x = 0


50/53


On obtient :

1x = 0x2 + y2 = 25 Points stationnaires : A(0, 5), B(0, 5)

2

y = 4

x2 + y2 = 25 Points stationnaires : C(3, 4), D(3, 4)

2) Etude des points stationnaires : le problme revient tudier les extrema de f sur le cercleC(0, 5).Rappel. Soit f : U R2 R une fonction continue et K U un ensemble ferm et born.Alors f(K) est un sous-ensemble ferm de R.

En consquence f a un minimum asolu et un maximum absolu sur K = C(0, 5) born etferm. Les extrema absolus peuvent tre des points stationnaires :

f(A) = 40, f(B) = 40, f(C) = 41, f(D) = 41

Conclusion : le maximum absolue en C et en D et le miminum absolu en B. Mais que sepasse-il en A ? On rsout localement en y lquation g(x, y) = 0 grce au thorme desfonctions implicites.

g

x(A) = 2y|y=5 = 10 = 0

donc il existe r > 0, un voisinage ouvert V de A et une fonction :] r, r[ R :

g(x, y) = 0

(x, y) V

y = (x)

x ] r, r[

Le problme se ramne ltude de f(x, (x)) = x2 + 8(x) localement au voisnage dex = 0. Si h(x) = x2 + 8(x) alors h(x) = 2x + 8(x).

h(x) = 2x 8gx

(x, (x))gy

(x, (x))= 2x 8 16x

2(x)

On calcule h(0) :

h(x) = 2

16 2(x) 2(x)16x4(x)2

h(x) = 2 32

5

0

4 52 = 2 8

5 =

2

5localement

x 0(x) + 2

5+

(x) 0 +

(x)

Conclusion : il y a un minimum relatif en A.

Gnralisation (Lagrangien gnralis).


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Problme. Extrema relatif de f(x1,...,xn) sous contrainte g(x1, ...xn)

Dfinition 3.2.1. L(x1,...,xn, ) = f(x1,...,xn) + g(x1,...,xn). L sappelle le lagrangien duproblme. Le systme rsoudre pour touver les points stationnaires :

() : grad f = grad g pour un R

est quivaut crire :

Lxi

= 0L

= 0i = 1,..,n

Problme plus gnral extrema de f(x1,...,xn) sous les contraintes :

g1(x1,...,xn) = 0...

gp(x1,...,xn) = 0

Le lagrangien est :

L(x1,...,xn, 1,...,p) = f(x1,...,xn) p

i=1

igi(x1,...,xn)

Lxi

= 0Lj

= 0i = 1,..,n et j = 1,...,p

Exemple 3.2.5.

f(x) = xyz

g1(x) = x + y + z 2g2(x) = xy + yz + zx 1

Les points soltuions sont chercher parmi les points stationnaires du problme, lesquels sontles solutions du systme.


52/53

Annexe A

Preuve du thorme de Lagrange

On suppose que m0(x0, y0) est un extremum relatif de f(x, y) sous contrainte g(x, y) avec

f, g de classe C1 et grad g(x0, y0) = 0 . Supposons par exemple que gy (x0, y0) = 0.Daprs le thorme des fonctions implicites, il existe un voisinage V de m0, il existe r > 0

et une fonction :

y :]x0 r, x0 + r[ Rdrivable tel que :

g(x, y) = 0(x, y) V y = y(x)x ]x0 r, x0 + r[

Remarque. g(x, y(x)) = 0

Lhypothse de dpart signifie que x = x0 est un extremum local de f(x, y(x)). Donc :f(x, y(x))|x=x0 = 0.

Drive de f(x, y(x)) ? On pose z = f(x, y(x)) = f(x, w) avec w = y(x).

dz =

f

x

dx +

f

w

dw

dw = y(x)dx

do :

dz =

f

x

dx +

f

w

y(x)dx

=

f

x

+

f

w

y(x)

dx

do :

z(x) =

f

x

(x, y(x)) +

f

y

(x, y(x))y(x)

On sait que z(x0) = 0 et y(x0) = gx

(x0, y0)gy

(x0, y0). Do :

f

x

(x0, y0)

f

y

(x0, y0)

gx

(x0, y0)gy

(x0, y0)

gy

(x0, y0) fx

(x0, y0) fy

(x0, y0) gx

(x0, y0) = 0

52


53/53

Annexe A. Preuve du thorme de Lagrange 53

fx

(x0, y0)gx

(x0, y0)fy

(x0, y0)gy

(x0, y0)

= 0Ce qui dmontre le thorme.

Documents

M202 : Eléments de calcul différentiel