M203 : Compléments en calcul intégral

8/8/2019 M203 : Complments en calcul intgral

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Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

M203 : Complments en calcul intgral

Notes de cours par Clment Boulonne

L2 Mathmatiques 2007 - 2008


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Table des matires

1 Sries 31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sries (premire partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Sries gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Sries tlscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Manipulation sur les sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Notion de Landau - Diffrenciabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Sries (partie 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Limites de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Sries termes possitifs, sries absolument convergente . . . . . . . . . . 121.5.3 Produit de sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Intgrales gnraliss 24

2.1 Rappel sur lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Intgrales gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Intgrales multiples 323.1 Esquisse de construction de lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Calcul de volumes (Intgrales doubles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Intgrales en coordonnes curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Intgrales de Riemann en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Pav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.3 Intgrale au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.4 Exemples de fonctions intgrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . 45

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Chapitre 1

Sries

1.1 Introduction

Les sries et les suites sont complments diffrents en mathmatiques contrairement dans

la vie courante (sries tlvises).

Dfinition 1.1.1. Une suite est une application de N ou dun segment final de Z (cest--dire[a, +[Z) dans un ensemble.

Notation. (un)

Dfinition 1.1.2. Lindice n est dit le rang du terme un.

Dfinition 1.1.3. On dfinit une suite numrique soit par une formule soit par une reccurence.

Exemple 1.1.1. un = 1n , n 1 ou un = 1ln(n) , n 2.Dfinition 1.1.4. Une suite (un) converge vers L si pour tout > 0, N = N() N tel quen N, |un L| < .

1.2 Sries (premire partie)

1.2.1 Dfinitions

Dfinition 1.2.1. Soit (un) une suite de nombres rels ou complexes. On pose :

S0 = u0S1 = u0 + u1S2 = u0 + u1 + u2...

...Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un =

nk=0 uk

La srie de terme gnral un est la suite forme par les sommes Sn. La somme Sn est ditepartielle dordre n de la srie.

Notation. La srie de terme gnrale un est note (

un).

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4 Chapitre 1. Sries

Dfinition 1.2.2. On dit quune suite converge si la limite des sommes partielles de la srieexiste et est finie.

Dans ce cas l, cette limite est dite la somme de l srie et est not :

i=0

ui

Exemple 1.2.1. Si un = n, n 0, alors :

S0 = 0S1 = 0 + 1S2 = 0 + 1 + 2...

...

Sn = 0 + 1 + 2 + .... + n =n(n+1)

2

Dfinition 1.2.3. On dira quune suite diverge si elle ne converge pas.

1.2.2 Sries gomtriques

Rappel. un = azn suite gomtrique de premier terme a et de raison z.

Dfinition 1.2.4. La srie gomtrique (de premier terme a et de raison z est une srie determe gnral azn. On aura :

S0 = aS1 = a + azS2 = a + az + az

2

... ...Sn = a + az + az

2 + ... + azn = a(1 + z + z2 + ... + zn)

Proprit 1.2.1.

(1 z)(1 + z + z2 + ... + zn+1) = 1 zn+1

Si z = 1 alors :1 + z + ... + zn =

1 zn+11 z

Si z = 1 alors :

Sn = (n + 1)a

et donc la srie

azn diverge dans ce cas.Si z = 1

Sn = a1 zn+1

1 zOn distingue deux cas :

si |z| < 1 alors lim Sn = a1z si |z| 1 alors (Sn) ne converge pas

Proposition 1.2.2. La srie gomtrique de premier terme a et de raisonz, converge si|z|

< 1(dans ce cas lim sn = a1z ) et diverge si |z| 1.


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Chapitre 1. Sries 5

1.2.3 Sries tlscopiques

Exemple 1.2.2. Considrons :

Sn = 1

n(n + 1)

On peut crire cette suitt comme :

1n(n + 1) = 1n 1n + 1On aura :

S1 =1

12 = 1 12S2 =

1 1

2

+12 1

3

= 1 1

3

S3 =

1 12

+12 1

3

+13 1

4

= 1 1

4...

...

Sn =

1 12

+12

+ 13

+ ... +

1n

1n+1

= 1 1

n+1

La somme de la srie vaut 1 donc la srie converge.

n=1

1

n(n + 1)= 1

Dfinition 1.2.5. Une suite de type de lExemple 1.2.2. est dite tlescopique associ lasuite (un). Cette srie est la srie de terme gnral un = vn vn+1.

Elle converge ou diverge selon que la suite (vn) converge ou diverge car la somme partielledordre n :

Sn =n

j=0

uj = v0 vn+1

Si limn

vn = L alors :

j=0

uj = v0 L

Exemple 1.2.3. log

1 +

1

n

alors :

log

1 +1

n

= log

n + 1

n

= log(n + 1) log(n)

On pose vn = log(n), (vn) diverge :

log1 + 1n diverge

1.2.4 Manipulation sur les sries

Echange de premier terme

Dfinition 1.2.6. Considrons :

Sn = u0, u1, u2

u3, u4, u5

Sn = v0, v1, vn


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6 Chapitre 1. Sries

S5 = u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5S5 = v0 + v1 + v2 + u3 + u4 + u5

Les suites Sn et Sn sont de mme nature. La nature dune suite ne dpend pas des suites de

termes gnraux.

Acclration de la convergence

Dfinition 1.2.7. Considrons :

u0, u1 ; u2, u3 ; ... ; un,... et Ni une suite dcroissante dentiers :

vi =Ni+11j=Ni

uj

La srie de terme gnral (vi) est obtenue par la srie un par regroupement des termes.Exemple 1.2.4. Considrons :

Sn = (1)n+1

n= 1 1

2 +1

3 1

4 +1

5 1

6 +...On a plus gnralement :

Sn =

un un =(1)n+1

n, n 1

On pose : Ni = 2i + 1 avec i {0, 1, 2,...}v1 = 1 12v2 =

13 1

41n

1n+1

= 1n(n+1)

avec n = 2j 1v3 =

15 1

6

j=1

1

2j(2j 1)Theorme 1.2.3. Si une srie est obtenue dune srie convergente par regroupement destermes, elle converge et a la mme somme de la srie un avec la srie convegente

un.

Si

un et

vn convergent alors (un + vn) converge , C.

En plus : n=0

(un + vn) =

n=0

un +

n=0

vn

Proposition 1.2.4 (Condition ncessaire pour la convergence dune srie). Si la srie

unconverge alors lim un = 0. Mais la rciproque est fausse. On peut montrer avec cette propositionque la srie diverge en prouvant que lim un = 0. On dit alors que la srie diverge grossirement.Exemple 1.2.5. n

n + 1diverge (grossirement)

(1)n diverge

ln n diverge


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Chapitre 1. Sries 7

Dmonstration. Supposons que

un converge et soit Sn la somme partielle dordre n si lim Sn =s o s est la somem de la srie :

un = Sn Sn1alors :

lim un = lim(Sn Sn1) = lim Sn lim Sn1 = s s = 0

1.3 Notion de Landau - Diffrenciabilit

Dfinition 1.3.1. f(x) et g(x) dfinie sur [a, +[ sur R.(1) f(x) = O(g(x)) si c > 0, L0 [a, +[ tel que :

|f(x)| C|g(x)|, x L0

(2) f(x) = o(g(x)) si :

limxx0

f(x)

g(x)= 0

(3) f(x) g(x) si :limxx0

f(x)

g(x)= L = 0

Exemple 1.3.1. (1) si f(x) = O(1), c, L0x L0 |f(x)| < C

(2) si f(x) = o(1) :limx f(x) = 0

(3) si f(x) L :limx f(x) = L

Exemple 1.3.2.

f(x) =amx

m + am1xm1 + ... + a0anxn + an1xn1 + ... + a0

avec an= 0 et am

= 0

f(x) aman

xmn

Exemple 1.3.3. ln(x) = o(x) quand x 0

limx0

ln x

x= 0

ln(x) = o(x), > 0Exemple 1.3.4. sin x x quand x 0 :

limx0

sin xx

= 1


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8 Chapitre 1. Sries

1 cos x = o(x) quand x 0limx0

1 cos xx

= 0

limx0

1 cos xx2

=1

2

1

cos x

1

2

x quand x

0.

Dfinition 1.3.2. f(x) = h(x) + o(g(x)) quand x x0 :

limxx0

f(x) h(x)g(x)

= 0

Dfinition 1.3.3. f(x) existe l R :f(x) = f(x0) + l(x x0) + o((x x0))

quand x x0limxx0

f(x)

f(x0)

l(x

x0)

xx0 = 0limxx0

f(x)f(x0)xx0 = l

Exemple 1.3.5. 1 x = 1 1

2x + o(x), x 0

0, 95 1 1

2(0, 05) = 0, 975

Dfinition 1.3.4. Si f est n fois differenciable en x0 alors :

f(x) = f(x0)

0!+ f

(x0)1!

(x x0) + f(x0)2!

(x x0)2 + ... + f(n)n!

(x x0)n + o((x x0)n)

Exemple 1.3.6.

sin x = x x3

3!+

x5

5! x

7

7!+ ... +

x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2)

sin(0, 1) = 0, 1 (0, 1)3

6

1.4 Suites de Cauchy

1.4.1 Espaces mtriques

Dfinition 1.4.1. Soit X un ensemble, d est une distance :

d : X X Rsi :

1) d(x, y) 0 et d(x, y) = 0 x = y2) d(x, y) = d(y, x)

3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)


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Chapitre 1. Sries 9

Dfinition 1.4.2. Un espace mtrique est un couple (X, d) o x est un ensemble et d unedistance sur cet ensemble.

Exemple 1.4.1. 1) X ensemble et :

d(x, y) =

1 si x = y0 si x = y

(distance discrte)

2) X = R ou une partie de R (Q, N, Z) :

d(x, y) = |x y| (distance usuelle sur R )

3) X = N :

d(m, n) = 1n 1m

4) X = Q, p premier et on note :

ab p = pm sia

b =a

bpm

et PGCD(a, p) = 1, PGCD(b, p) = 1

alors :

d

a1b1

,a2b2

=a1b1

a2b2

p

Dfinition 1.4.3. Soit (X1, d1) et (X2, d2) espaces mtriques. On dit que : X1 X2 est uneisomtrie si est une application bective qui prserve les distances, cest--dire :

d2((x1), (x2)) = d1(x1, x2),

x1, x2

X1

Dfinition 1.4.4. (X, d) espace mtrique et (xn)nN suite dans X. On dit que :

y = lim xn

si > 0, N N, n > N, d(xn, y) <

1.4.2 Suites de Cauchy

Dfinition 1.4.5. (X, d) espace mtrique. Une suite (xn) de points de X est dite une suite de

Cauchy si pour tout > 0, il existe un rang N N tel que pour tout couple dentiers m et navec m > N et n > N, on a :

d(xm, xn) <

Theorme 1.4.1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

Dmonstration. Soit (xn) une suite convergente et y sa limite :

> 0, N N, n > N, d(xn, y) si m > N et n > N :

d(xn, xm)

d(xn, y) + d(y, xm) < 2


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10 Chapitre 1. Sries

Exemple 1.4.2. Reprenons lExemple 1.4.1. 3). Soit > 0 et N = 2

, n,m > N = 2

.

1n 1m < 1n + 1m < 2 + 2 <

Dfinition 1.4.6. Un espace mtrique est complet et toute suite de Cauchy dans cet espaceest convergente.

Exemple 1.4.3. (Q, d) avec d distance usuelle, cet espace nest pas complet.

Dfinition 1.4.7. (X, d) espace mtrique et Y X. On dit que X est dense dans X si toutlment de x de X, (yn), yn Y tel que :

x = lim yn

(R, d) est complet et Q est dense dans R.

Theorme 1.4.2. Soit (X, d) un espace mtrique. Il existe un espace mtrique (X, d) tel que :

1) (X, d) est complet2) X X et x, y X, d(x, y) = d(x, y).3) X est dense dans X.

Notation.X = {(xn) | (xn) suite de Cauchy de X}

(xn) (yn) si d(xn, yn) n 0

X = X/ d((xn), (yn)) = lim d(xn, yn)Theorme 1.4.3. Les proprits suivantes de R sont quivalentes :

1) Existance de la borne suprieure : A R, A majore sup A existe.2) Principe des intervalles embots : In = [an, bn], In+1 In

n0

In = 0 (si en plus

bn an > 0 alorsn

In = {c} et c = lim bn = lim an.3) Proprit de Bolzano-Weirestrass : De toute suite on peut extraire une suite convergente.

4) R avec la distance usuelle est complet.

5) Toute suite monotone et borne possde une limite.

Dmonstration. an an+1 et bn+1 bn et a1 ... an bn ... b1. Soit inf{an} = cet inf{bn} = d.an c et d bn

[c, d] In = [an, bn] (c, d)

n0In

On a :lim

n+ bn an = 0 0 d c bn anDonc par le thorme des gendarmes :

lim d c = 0


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Chapitre 1. Sries 11

Voir la figure suivante :

Lemme 1.4.4. Une suite de Cauchy est borne

Lemme 1.4.5. Si (xn) est une suite de Cauchy et (xni) est une extraite convergente alors (xn)est convergente :

> 0, d(xn, xm) < si n N et m > Nd(xn+1, xn) n > N

et si l = lim(xn) :

> 0, N N, i > N ni N, d(l, xni) < d(l, xn) d(xm, xn) + d(xm, l) 2

1.5 Sries (partie 2)

1.5.1 Limites de sries

Dfinition 1.5.1. Soit (un) une suite et ( un) la srie de terme gnral un :S0 = u0S1 = u0 + u1S2 = u0 + u1 + u2...Sn =

ni=0 ui

La srie (

un) converge (par dfinition si lim Sn existe) la suite (Sn) est une suite de Cauchy :

> 0, N N, m > Non a si :

|Sn Sm| < |et si m n :

Sn Sm =n

i=m+1

ui

Critre de Cauchy : La srie (

un) converge si et seulement si pour tout > 0, N Ntel que m > N et p > 0 :

|xm+1 + xm+2 + ... + xm+p| <


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Exemple 1.5.1. Montrons que la srie 1

ndiverge :

1 +1

2+

1

3+ ... +

1

n+ ...

1

n + 1+

1

n + 2+ ... +

1

2n n + 1

2n

Si on prend < 12

on ne pourra pas trouver N Critre de Cauchy nest pas vrifi 1n

diverge.

1.5.2 Sries termes possitifs, sries absolument convergente

Dfinition 1.5.2. (un) une suite de nombres rels possitifs : un 0. La somme partielle de lasrie de terme gnral un forment une srie croissante :

S0 = u0S1 = u0 + u1

...Sn = u0 + ... + un1 + unSn = un + Sn1 Sn1

Soit les sommes partielles sont bornes (C R tel que Sn < C, n N)

lim Sn = sup Sn

donc la srie

Sn converge.

n=0un = sup sn

Soit les sommes partielles ne sont pas bornes, dans ce cas la srie un diverge et onpose alors :

n=0

un = +

Theorme 1.5.1 (Critre de lintgrale ou critre de MacLaurin). Soit f : [0, +[ R, unefonction possitive dcroissante et telle que lim

t+ f(t) = 0. Si la limite :

limV

+

V

0f(t)dt est finie

alors la srie

n=0

f(n) converge. Dans ce cas :

0

f(t)dt

n=0

f(n) f(0) +0

f(t)dt

Si0 f(t)dt = + alors la srie

un diverge.

Exemple 1.5.2. Considrons la srie :

11 + n2


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f(t) =1

1 + t2

L0

1

1 + t2= arctan(t) + c

limL+

arctan(L) = +

2

2

n=0

1

n2 + 1

2+ 1

Dmonstration. n+10

f(t)dt Sn f(0) +n0

f(t)dt

Exemple 1.5.3 (Exemple fondamental).

1ns

avec s rel

si s 0, la srie diverge grossirement.si s 0, on considre la fonction :

f(x) =1

xsx 1

Cette fonction est dcroissate et possitive :

1xs dx

s=1

ln x + c

s=1 x1s1 s + c


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L1

1

x

s

dx

s=1 ln L, limL+

ln L = +

s=1

L1s 11 s

s1lim

L+L1s 1

1

s

= + limL+

L1s 11

s

=1

s

1

La srie 1

nsconverge si et seulement si s > 1.

Dfinition 1.5.3.

un une srie termes complexes alors |un| est la srie des modules

(dlments dans R).

Theorme 1.5.2. Si |un| converge alors un converge aussi.

Dmonstration.

Rappel (Critre de Cauchy). Une srie

un converge si et seulement si :

> 0, N N | m N, p > 0|um+1 + um+2 + ... + um+p| <

|um+1 + um+2 + ... + um+p| < |um+1| + |um+2| + ... + |um+p| |un| converge > 0, N N, m N, p 0|um+1| + |um+2| + |um+3| + ... + |um+p| < |um+1 + um+2 + ... + um+p| <

Dfinition 1.5.4. On dit quune srie

un est absolument convergente si la srie |un|

converge.Une srie qui converge mais qui nest pas absolument convergente est dite semi-convergente.

Exemple 1.5.4. La srie en1 + n2 converge absolument R.


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Exemple 1.5.5. 1ns

s C

1ns

= ns = e(s lnn) = e((+) lnn)

= e( lnn)e(lnn)

= ne(ln s)

Or : 1ns = |n| |e(lnn)|

1

= n

1ns = 1n(Res) absolument convergente si Re s > 1

(s) =

n=1

1

ns

Theorme 1.5.3 (Comparaison des sries termes possitifs). Soient

un et

vn deux sries termes possitifs. Si partir dun certain rang, on a :

un < Cvn avec C constante > 0

un = O(vn) (Notation de Landau)

Alors :

(i) la convergence de la srie

vn implique la convergence de la srie

un.

(ii) la divergence de la srie

un implique la divergence de la srie

vn.

Dmonstration. Supposons un < Cvn, n 0.u0 + u1 + ... + un C(v0 + v1 + ...vn)

Corollaire. Si un vn alors la srie un et vn ont la mme limite.limn+

un

vn = L = 0


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Exemple 1.5.6. Soit la srie : n3 + 3n + 1n5 + 3n2 + 2n 1

Elle converge car elle se comporte comme 1

n2

Exemple 1.5.7.

ln1 + 1nest comparable

1n

car ln(1 + n) = n + o(n). Or 1

ndiverge alors

ln

1 + 1n

diverge.

Rappel. Une srie gomtrique de raison z C est convergent si et seulement |r| < 1 etdivergente si |r| 1.Theorme 1.5.4 (Critre de la racine). Soit un une srie. Si partir dun certain

rang on a :|un| 1n < r < 1 (r : raison de la suite gomtrique)

Alors la srie un est absolument convergente. Sil existe une sous suite (uni) tel que partir dun certain rang, on a :|un| 1n > r > 1

alors |un| diverge grossirement.

Dmonstration. N0 N, n N, on a :|un| 1n r < 1

n N0, |un| rn, r < 1. Puisque la srie

rn (r 1) converge, la srie

|un|converge ou bien un absolument convergente. Si il existe une suite (uni) tel que :

|uni|1n 1 > r, i > i0

|uni| rn lim rn = +En particulier :

limn+uni = 0

|un| et un diverge.

Theorme 1.5.5 (Critre de la racine (version simplifie)). Si la limite :

limn+ |un|

1n = existe

alors :

1) < 1 :

un converge absolument.

2) > 1 :

un diverge grossirement.

Dmonstration. 1) lim |un| 1n = < 1 :

0 < < 1

,

N0,

n

N0,

1 :

0 < < 1, N0, n N0, 1 < < |un| 1n < +

un diverge grossirement.

Exemple 1.5.8.

(ln n)n

(| ln n|n)n = (ln n)1 = 1ln n

n 0 < 1

Exemple 1.5.9. n

n+1

n2

n

n + 1

n 1n

=

n

n + 1

n()

On compose avec la fonction ln :

ln

n

n + 1

n= n ln

1 1

n + 1

n

n + 1 1

Donc :

() n e

1 < 1

Exemple 1.5.10. Soit :

un = 2

3n

n pair12

nn impair

|un| 1n =

23

si n pair12

si n impair

lim |un| 1n nexiste pas car n, on a :

|un| 1n = 23

< 1

Donc : |un| converge.Theorme 1.5.6 (Critre de dAlembert ou du rapport). Si (un)nN est une suite termestrictement possitifs et la limite :

lim|un+1||un = existe

alors :

1) < 1

|un

|converge.

2) > 1 |un| diverge grossirement.


18/50


Dmonstration. si :

lim|un+1|

un= < 1

On fixe 0 < < 1 , N0, n > N0, on a :|un+1|

|un

|< = r < 1

uN0+m =uN0+m

uN0+m1uN0+m1

=uN0+m

uN0+m1

uN0+m1

uN0+m2uN0+m2

= ...=

uN0+muN0+m1

uN0+m1

uN0+m2...

uN0+1

uN0uN0

rrr...ruN0 = rmuN0Alors :

(uN0+m)1

N0+m = rm

N0+muN01

N0 + m

n N0 : |un| 1n rmN0m u

1m

N0= r (rN0uN0)

1n

1Puisque :

limn(r

N0u1n

N0= 1

on a quil existe :

r

< 1

N0 Ntel que :

|un|

1n < r < 1,

n > N

0

Exemple 1.5.11. n!

nn

un+1un

=(n + 1)!

(n + 1)n+1 n!

nn= (n 1) n

n

(n + 1)n+1

=

nn

nn+1

n

n + 1

1n

n e1 < 1

Theorme 1.5.7. Soit un une srie absolument convergente et : N N une permutationde N. Soit vn = u(n). La srie

vn de terme gnral (vn) converge absolument et :

n=0

un =

n=0

vn

On dit que cette srie est commutativement convergente.

Dmonstration. Supposons

un absolument convergente vers l et soit une bection de N N. Soit > 0, il existe N tel que :

n N n

k=0

uk l


19/50


et pour p N et q N :p+qk=p

|uk| (daprs le critre de Cauchy)

Soit N = max 1([0, N]). Pour n > N, on a donc : (n) N.Pour p max(N, N) + 1 et q entier quelconque, on aura donc :

p+qk=p

|u(k)|

Par consquent, la srie

u(k) est absolument convergente.Dautre part, on aura :

pk=0

u(k) l

pk=0

u(k) p

k=0

uk

+

pk=0

uk l

()

Comme 1([0, N]) [0, p], on a : [0, N] ([0, p]) et donc :

pk=0

u(k) p

k=0

uk

=kF

uk

o F est une partie finie de N dont les lments sont suprieurs N, do :

pk=0

u(k) p

k=0

uk

et finalement :() 2 pour p max(N, N) + 1

Donc :

u(k) converge vers l.Dmontrer que :

n=0

un =

n=0

vn

est trivial car p (un) p (vn).

1.5.3 Produit de sries

Problme. Est-ce quon peut avoir : m=0

um

n=0

vn

=

n=0

(...)

(u0 + u1 + ...)(v0 + v1 + ...) = u0v0 + (u0v1 + u1v0) + (u0v2 + u1v1 + u2v0) + ...

Dfinition 1.5.5. Le produit la Cauchy (de Cauchy) de deux sries

un et

vn est la sriede terme gnral :

un vn =

k=1,j=nk ukvj


20/50


Theorme 1.5.8. Si

un et

vn sont absolument convergentes de somme S et T respecti-vement, la srie

wn, produit de Cauchy des sries

un et

wm, converge absolument et sa

somme est gale ST.

Dmonstration. On suppose tout dabord les sries termes postifis. En notant Un, Vn etWn les sommes partielles des sries de termes gnraux un, vn, wn, on constate facilement

que : wn unvn wn(on peut voir a facilement en cochant sur le plan quadrill les coordonoes (a, b) telles queuavb intervienne dans les diffrentes zones ci-dessis, on obtient un carr et deux trianglesimbriques les uns dans les autres)

Le cas gnral est plus complexe. On reprend les mms notations que prcdment et onajoute les notations |U|n, |V|n et |W|n. La convergence absolue du produit de convolutiondcoule trivialement du cas positifs. La convergence de wn vers lim un lim vn vient du faitque :

|unvn wn| |U|n|V|n |W|n

Exemple 1.5.12.

n=1

(1)n+1n

= ln 2

Or : (1)n+1

n

= 1n 1

ndiverge

Dfinition 1.5.6. Une srie

un est alterne si pour tout n, les termes un et un1 sont designe opposs (unun1 0). Quitte changer de signe tous les termes de la srie alterne, onpeut supposer que un = (1)n|un|.

Theorme 1.5.9 (Rgle de Leibniz). Si

un est une srie alterne et :

1)|un

|est une suite dcroissante

2) lim un = 0


21/50


alors |un| converge. Si S =

n=0

un et Sn =n

i=0

ui alors :

0 |S Sn| |un+1|On a :

Sn S Sn+1 si un+1 0Sn+1 S Sn si un+1 0

Dmonstration. S2n forment une suite dcroissante. S2n+1 forment une srie croissante. Lesintervalles [S2n+1, S2n] sont embots et de longueur gale |u2n+1|

n+ 0.

lim S2n+1 = lim S2n = c {c} =

n=0

[S2n+1, S2n]

Exemple 1.5.13. Srie harmonique alterne :

(1)nn

alterne

(1)nn = 1n lim (1)n

n= 0

Exemple 1.5.14.

1 13

+1

5 1

7+

1

9... =

4

Exemple 1.5.15.

n=1

(1)n+1n

= ln 2

2N

n=1

(

1)n+1

n = 1 1

2 +

1

3 1

4 ... ()12N

= 2( 12

+1

4+ ... +

1

2N

() =2

n=1

N1

n

Nn=1

1

n=

2Nn=N+1

1

n=

1

N + 1+

1

N + 2+ ... +

1

2N2NN+1

1

xdx Tn

2NN

1

xdx

ln2N + 1

N + 1 Tn ln 2

Tn n+ ln 2


22/50


Proposition 1.5.10 (Critre de Dirichlet). Soit b = (bn)nN une suite alors :

b = (bn+1 bn) (b)n = bn+1 bn

Alors :nn=0 an(b)n = a0(b1 b0) + a1(b2 b1) + a2(b3 b2) + ... + aN(bN1 BN

= a0b0 + b1(a0 a1) + b2(a1 a2) + ... + bN(aN1 aN) + aNbN+1= a0b0 + aNbN+1

Ni=1

bi(ai ai1)

Donc :n

n=0

An(Bn+1 Bn) = BN+1AN B0A0 +N

n=1

Bi(Ai1 Ai)

Soit(an) une suite possitive dcroissante vers 0. Soit(bn) une suite telle que la suite des sommesTn =

ni=0

bi est borne. Alors

anbn converge.

Exemple 1.5.16. cosn

n. On a :

cos n = Reein

Nn=0

cos n = ReN

n=0

ein

Si ei = 1 alors :N

n=0= N 1

et si ei = 1 :Re

1 ei(N+1)

1 ei

11 ei

Si on pose bn = cos n et an =1n

alors le critre de Dirichlet nous dit que la srie converge :

Bn =n

i=1

1bi Bn1 Bn = bn

An = an


23/50


On a alors :N

n=0

An(Bn+1 Bn) = BN+1AN n+

0

B0A0 constante

+N

n=1

Bi(Ai1 Ai) ()

Or :

|Bi(Ai

iAi)

| |Bi

|(Ai+1

Ai)

Donc () convergente.Exemple 1.5.17.

n=0

ein

n2 sin + n + 7

si sin = 0 alors : ein

n2 sin + n + 7

1n2et la srie converge absoluement.

Si = k avec k Z, on a deux cas : Soit k pair alors : eiknn + 7

1n + 7

diverge

Soit k impair alors : eikn

n + 7 (1)n

n + 7semi convergente


24/50

Chapitre 2

Intgrales gnraliss

2.1 Rappel sur lintgrale de Riemann

Rappel. f : [a, b]R

x0 = a < x1 < x2 < ... < xn1 < xn = bn

i=1

(xi xi1) inf y[xi1,xi]

f(y) = S(f, {x0, x1,...,xn})

n

i=1

(xi xi1) supy[xi1,xi]

f(y) = S+(f, {x0, x1,...,xn})

Dfinition 2.1.1. On dit que f est Riemann-intgrable si > 0, il existe une subdivision{x0, x1,...,xn} avec x0 < ... < xn de lintervalle [a, b] tel que :

S(f,{

x0,...,xn

})

S+(f,{

x0,...,xn

}) <

Dans ce cas il existe un S tel que :

S(f, {x0,...,xn}) < S < S+(f, {x0,...,xn})pour toute sudivision de {x0,...,xn} de [a, b]. S est appele lintgrale de Riemann.

2.2 Intgrales gnraliss

Exemple 2.2.1. Si on considre : 1

1x

dx, > 0

24


25/50

Chapitre 2. Intgrales gnraliss 25

alors

2

x1

= 2 + 2

0

2. Cette fonction est intgrable gnralement (intgrale gnrali-

se).

Exemple 2.2.2. L0

exdx =

exL0

= 1 eL L+

1

Dfinition 2.2.1. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ]a, b[ (a, b R {+, }).1. f nest pas Riemann-intgrable sur [a, b]

2. f est Riemann-intgrable sur tout sous intervalle compact [c, d] ]a, b[3. La limite :

limca,db

dc

f(t)dt = I

converge. Dans ce cas, on dira que lintgrale gnralise de f sur ]a, b[ converge et vautI.

Rappel.

Quelques formules dintgration connatre


26/50

26 Chapitre 2. Intgrales gnraliss

xndx =

xn+1

n + 1+ c

1x

dx = ln x + c

exdx =1

ex + c

11 + x2

dx = arctan(x) + c

dx

x2 + a2=

1

aarctan

x

a

+ c

dx1 x2 = arcsin(x) + c dx

1 + x2= arg sinh(x) + c = ln(x +

1 + x2 + c

dxx2 1 = arg cosh(x) + c = ln(x +

x2 1) + c

sin x = cos x + ccos x = sin x + c

dxcos2 x

= tan x + c

tan(x) = ln | cos x| + c

sinh(x)dx = cosh(x) + ccosh(x)dx = sinh(x) + c

Exemple 2.2.3. 1

1

xdx converge si et seulement si > 1 alors :

1

dx =

x+1 si = 1ln x si = 1

10

1

xdx converge si et seulement si < 1.

dx

x(ln x)=

ln(x)

+1 si = 1ln(ln x) si = 1

2

dx

x(ln x)converge si et seulement si > 1. lim

T+(ln x)+1

> 1 0 = 1

< 1

limT+ ln(ln x) = +


27/50


1

2

0ln xdx = lim

0

12

ln xdx =

x(ln x 1)

12

= lim0

((ln 1) + 12

ln

1

2

1

)

Or limt0

t ln t = 0. Donc :

12

ln xdx = 1

2 (ln(2) + 1) b

a

dt(t a)(b t)

= limca,db

dc

dt(t a)(b t)

On pose t = a+b2

+ ba2

u 1 t au 1 t b

1

1

ba2

du

ba2 + ba2 u ba2 ba2 ulim

c1,d1

11

du1 u2 = limc1,d1

arcsin t

t=dt=c

=

Dfinition 2.2.2. Lintgrale gnraliseba

f(t)dt est absolument convergente si lintgrale

gnraliseba

|f(t)|dt converge.

Theorme 2.2.1. Si lintgrale gnraliseba

f(t)dt est absolument convergente alors elle est

convergente.

Theorme 2.2.2 (Critre de Cauchy pour les intgrales gnralises). Lintgrale gnraliseba

f(t)dt = limdb

ba

f(t)dt converge si et seulement si > 0, D [a, b] tel que d1, d2 > Davec d1 < d2, on a :

d2d1

f(t)dt

<


28/50


Lemme 2.2.3. Soit U Rn ouvert, y0 U et F : U C alors limxy0

F(x) = L pour toutesuite (xn) de points de U convergerait vers y0, on a : lim F(xn) = L

ba

f(t)dt

ba

|f(t)|dt Ingalit de Minkosky

est aussi valable pour les intgrales gnralises.

Theorme 2.2.4 (Critre de convergence pour les fonctions possitifs). Comparaison desintgrales : si f et g sont deux fonctions dfinies sur [a, b] R+ et f g (cest--diref(x) g(x), x ]a, b[) alors si :

ba

g(t)dt converge ba

f(t)dt converge

ba f(t)dt diverge

b

a g(t)dt diverge

Comparaison avec les sries : si on considre un =n+1n

f(t)dt alors1

f(t)dt converge

un converge ( condition que f > 0) ;Corollaire. Dans les mmes hypothses que le Thorme 2.2.4., supposons que lim

taf(t)

g(t)=

L1 converge et limtbf(t)g(t)

= L2 converge. Alors les intgrales :

ba

f(t)dt etba

g(t)dt

ont la mme limite.

Application 2.2.1. f fraction rationnelle, f(x) = P(x)Q(x)

, P, Q polynme. Supposons que Q ne

sannule pas sur un intervalle [a, +[ alorsba

f converge deg Q deg P + 2.Si Q possde un zro en x0 R alors on a : (x x0)lR(x) avec R(x0) = 0. Alors :

x0+x0

P(x)Q(x)

dx =x0+x0

1(x x0)l

P(x)Q(x)

dx

0

1

tlP(t + x0)

Q(t + x0)0

1

tldiverge

Exemple 2.2.4.

2

2

tan xdx diverge or :

limd2 ,c2dc tan xdx = lim0

2

2+ tan xdx = 0


29/50


Theorme 2.2.5 (Intgration par parties).

dc

f(t)g(t)dt = f(t)dtt=dt=c

dc

f(t)g(t)dt

Si :

limca,db

f(t)g(t)

t=dt=c

= L1 et limba

f(t)g(t)dt = L2

convergent alors : ba

f(t)g(t)dt converge vers L1 L2Exemple 2.2.5.

In =

0tnetdt

Or : et = eu1eu2 alors :tnet = (tneu1)eu2

limt+ t

neu1 = 0

T0 tel que tnet e t2 , t T0.

In+1 =0

tn+1etdt =0

tn+1d(et)

tn+1d(

et) = d(

tn+1et) + etd(tn+1)L0

tn+1d(et) = tn+1et

Lt=0

+L0

et(n + 1)tndt

In+1 = 0 + (n + 1)In

On a aussi :I0 =

0

et = 1

Dfinition 2.2.3. On dit que

b

af est semi-convergente si et seulement si

b

af converge et

ba

|f| converge.


30/50


Theorme 2.2.6 (Critre dAbel pour les intgrales gnralises). 1) f : [a, +[ Ra) f est positive

b) f est dcroissante

c) limt+ f(t) = 0

2) g : [a, +[ R ayant une primitive borne sur [a, +[.Alors, si on a 1) et 2) :

af(t)g(t) converge

Exemple 2.2.6. Montrons que0

sin x

xest semi convergente. On peut utiliser le critre dAbel

si on pose f := 1x

et g(x) = sin x. Or regardons :

(k+1)k

| sin x|x

dx 1(k + 1)

(k+1)k

| sin x|dx = 2(k + 1)

Or :

k0 |

sin x

|x dx n

k=1

2

k =

2

ln k

Remarque. La condition suffisante quon a vu au Chapitre 1 pour la convergence dune srienest pas applicable pour les intgrales.

Exemple 2.2.7. (A)

0sin t2dt converge mais sin t2 ne tend pas vers 0.

On fait le changement de variables t2 = u, t = u dt = 12udu0

sin t2dt 0

sin u

2

u

ne converge pas par le critre dAbel.

(B)0

t sin t3dt converge mais t sin t3 ne tend pas vers 0.

t3 = u, t = 3

u = u13 dt = 1

3u

23

0

t sin t3dt =

0

u13 sin u.

1

3

u23 du =

1

3

0

u13 sin u

converge.


31/50



32/50

Chapitre 3

Intgrales multiples

3.1 Esquisse de construction de lintgrale de Riemann

Volume dun parrallpipde : a b c

Volume dun cylindre rectangle : r2h

Volume dun cne rectangle : 13

r2h Volume de sphre : 4

3r3 (Archimde)

Mais comment on peut arriver de tels formules ?

Principe de Cavaleri (mthode des indivisibles) S1 et S2 deux solides dans lespace.Supposons que chaque plan dhauteur donne coupe les solides S1 et S2 en deux rgions plansde mme aire. Alors le volume de S1 est gal au volume de S2.

Exemple 3.1.1. Voir la figure suivante :

Lintgrale b

af(x)dxest interprt quand f > 0 comme lune de lhypographe de la fonction

f sur lintervalle [a, b].

32


33/50

Chapitre 3. Intgrales multiples 33

Dfinition 3.1.1. Hypographe de f sur [a, b] : f(x, y) R2, a x b, 0 y f(x).

Dfinition 3.1.2. Soit f une fonction dfinie sur [a, b] et = {I1, I2,...,In} une subdivisionde lintervalle [a, b]. Ii = [xi, xi+1].a = x0 x1 x2 ... xn1 xn = b

La somme de Darboux infrieure de f relative la subdivision est le nombre :

ni=1

|Ii| inff(Ii) = S(f, )

avec |Ii| la longueur de lintervalle I.La somme de Darboux suprieure de f relative la subdivision est le nombre :

S+(f, ) =n

i=1

|Ii| sup f(Ii)

Dfinition 3.1.3. Une fonction f dfinie [a, b] R est Riemann-intgrable si > 0, il existeune subdivision de lintervalle [a, b] tel que :

0 S+(f, ) S(f, ) Proposition 3.1.1. Si f est Riemann-intgrale sur lintervalle [a, b] alors il existe un seul

nombre quon noteba

f tel que pour toute subdivision de [a, b] on ait :

S(f, ) b

af S+(f, )

Ce nombre est dit lintgrale de Riemann de f sur [a, b].


34/50

34 Chapitre 3. Intgrales multiples

A laide de lintgrale de Riemann on peut calculer laire de certaines rgions planes.

Exemple 3.1.2. Calcul de laire entre la courbe f(x) = x2 et g(x) =

x.

D = {(x, y) | 0 x 1, x2 y x}

A(D) = 1

0 (g f)(x)dxLa quantit g(x) f(x) est la longueur du segment D lx o lx est la droite dabscisses.

Exemple 3.1.3 (Aire dune ellipse). Equation dune ellipse :

x2

a2 +y2

b2 = 1

Aire : aa

2b

1 x

2

a2dx

3.2 Calcul de volumes (Intgrales doubles)

Vol(S) = b

aA(X)dx

o lintgrale sur un intervalle [a, b] tel que S est contenue dans [a, b] RR.


35/50


Exemple 3.2.1 (Solide de rvolution). f : x [a, b] f(x).

S = {(x,y,z) | a x b, y2 + z2 f(x)}

Soit x le plan dabcisse gale x. S est le disque des x.

x S = {(x,y,z) | y2 + z2 f2(x)}

A(x S) = (f(x))2

Exemple 3.2.2 (Volume dun hypographe).

f : [a, b] [c, d] R+

S = {(x,y,z) R3 | a x b, c y d, 0 z f(x, y)}(x,y,f(x, y)) point de graphe de f. On fixe la valeur de la variable x. Lintersection de S avecle plan dabcisse x0 est lhypographe de la fonction fx0 : y [c, d] f(x0, y) dont laire estgale

dc f(x0, y)dy. Le volume de S est dfinie par :

ba A(x S)dx =

b

ad

c f(x, y)dy dx


36/50


Exemple 3.2.3. Soit :

D = {(x, y) | a x b, h1(x) y h2(x)}o h1 et h2 deux fonctions (a, b) R avec h1 h2. On dfinit une fonction f : D R+. SoitS lhypographe de f :

S = {(x,y,z) R3 | a x b, h1(x) y h2(x), 0 z f(x, y)}x le plan dabcisse x0

S x0 = {(x,y,z) | x = x0, h1(x0) y h2(x0), 0 z f(x, y)}A(S

x0) : laire de lhypographe de la fonction fx0 : y

[h1(x0), h2(x0)]

f(x0)

A(S x0) =h2(x0)h1(x0

f(x0, y)dy

V(S) =ba

A(S P ix0)dx =ba

h2(x0)h1(x0)

f(x0, y)dydx

Remarque. D = {(x, y) R2 | 0 x 1, x2 y x}


37/50


f : (x, y) D xLhypographe de f est :

S = {(x,y,z) | 0 x 1, x2 y x, 0 z x}

V(S) = 1

0

x

x2

dy dx = 1

0 xy

x

x2

dx = 0

1

(x32

x3)dx

=

2

5x

52 1

4x410=

2

5 1

4=

3

20

3.3 Intgrales en coordonnes curvilignes

On va tudier les intgrales en passant par les coordonnes polaires dans R3, les coordonnescylindriques dans R3, coordonnes sphriques dans R3.

Exemple 3.3.1.

A = (x, y) R2 | x 12 , x2 + y2 = 1A

x2 + y2dxdy =

1x= 1

2

1x2y=1x2

x2 + y2dy

dx ()

Dfinition 3.3.1 (Coordonnes polaires). x = r cos y = r sin , r = x2 + y2, 0 < [2].


38/50


= {(r, ) | r1 r r2, 1 2}A() =

r22r212

(1 2) = (r22 r21) aire de la couronne

2 12

Portion de la couronne dangle (12)

=(r22r21)(21)

2= (r2

r1)

r2+r12

(1

2)

= r 12(r1 + r2)avec r = (r2 r1) et = (2 1). Finalement :

A() = rr1 + o(r)

On a ces deux ingalits :

x 12

x2 + y2 = 1

Cela se traduit en coordonnes polaires :

r cos

1

2

(r2

1

r

1)

A =

(r, ) R+ R | r 1, r cos 12

A =

(r, ) R+ R,

3

3et

1

2cos r 1

() devient :() =

Ar2ddr = 3

=31

r= 12 cos

r2dr d


39/50


=

3

=3

1

3r31

12 cos

=

3

=3

1

3 1

2 cos3

d

On rsoud cette intgrale grce la formule :

cos =1 tan2

2

1 + tan2 2

Exemple 3.3.2 (Barycentre).

CG() =

xdxdy dxdy

,

ydxdy dxdy

C = {(r, ) | r1 r r2, 0 0}

C

xdxdy =

C(r cos )rdrd =

0=0

cos dr2

r1

r2dr

= 2 sin 0 13

(r32 r31)

Crdrd = 0(r22 r21)

CG() = 23

sin 00

r2

2 + r1r2 + r2

1r1 + r2

, 0Exemple 3.3.3 (Coordonnes cylindriques).

(x,y,z) (r,,z)

x = r cos

y = r sin

z = z

dxdydz rdrddz


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Exemple 3.3.4.(x,y,z) (r,,)

r cos cos

y = r sin cos

z = r sin

dxdydz r2 cos drddOn appelle la latitude et la longitude.

Exemple 3.3.5. Centre de gravit :

A = {(x,y,z) R3 | x2 + y2 + z2 = 1 , x 12}

A

xdxdydz =

A(r cos cos )r2 cos drdd =

A

r3 cos cos drdd

A = {(r,,) | r 1, r cos cos 12}

A =

(r,,)

1

2cos cos r 1

On voit que (comme lExemple 3.3.1. varie entre

3 et

3 . Si on a :1

2cos cos 1 cos 1

2cos

Donc A devient :

A =

{(r,,) |

3

3, 0 0, 1

2cos cos r 1

avec 0 = arccos1

2coset lintgrale calculer est :

3=3 cos

2

arccos 12 cos

= arccos 12 cos cos 1

12 cos

r3

dr d d


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Dfinition 3.3.2. Des coordonnes curvilignes sont determines en dimension trois par troisfamilles de surfaces un paramtres. Les coordonnes sphriques et cylindriques sont des co-ordonnes curvilignes.

Exemple 3.3.6.

A = {(x, y) (R+)2 | a xy b, cy x dy}avec a, b > 0, a < b, c, d > 0, c < d.

On pose : u = xyv = x

y

(x, y) (R+)2

(u, v) (R+)2 bective ?u = xyv = x

y

y

2 = uv

x = vy

y =

uv

x =

uv

= 1

(u, v) (R+

)

2

x = uv, y = u

v (R+)2


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avec

X =

xu =

x

u,

y

u

u

Y =

yv =

x

v,

y

v

v

Aire = x

u uy

u uxv

v yv

v = |Jac|vu

dxdy |Jac|dudvA

xy2dxdy =

A

uv

u

v|Jac|dudv ()

Jac =

v

2

u1

2

u

vu

2

v1

23

v

u

|Jac

|=

1

4

(v1v1) =

1

2

v1

() =bu=a

dv=c

u32 v

12

1

2v

dudv

3.4 Intgrales de Riemann en dimension 1 En dimension 1, on considre des intervalles [a, b]. En dimension 2, on considre des rectangles de longueur |b a| et de hauteur |c d| (un

rectangle [a, b] [c, d]). En dimension 3, paralllpipde rectangle ([a, b] [c, d] [e, f]).Toutes ses figures reprsentent des pavs en dimension 1, 2 ou 3.

3.4.1 Pav

Dfinition 3.4.1. Un pav en dimension d est le produit de d intervalles :

R = [a1, b1] [a2, b2] ... [ad, bd]

Dfinition 3.4.2. La mesure dun pav R : |R| est le produit des longueurs des intervalles deR :

|R| = (b1 a1)(b2 a2)...(bd ad) =d

i=1(ai bi)

Dfinition 3.4.3. Soit f une fonction numrique dfinie sur un pav R, f : R R. Unesubdivision dun pav R est une famille de pavs :

P: (P1, P2,...,Pk) telle quek

i=1

Pi = R

et telle que :

Pi

Pj= si i = j

Rappel. P est lintrieur de P (topologiquement).


43/50


Exemple 3.4.1 (Pav). Voir figure ci-dessous

3.4.2 Sommes de Darboux

Dfinition 3.4.4. La sommek

i=1|Pi| inff(Pi) = s(f, P)

est dite la somme de Darboux infrieure de f relative la subdivision P: (P1,...,Pk) de R.Dfinition 3.4.5. La somme

ki=1

|Pi| sup f(Pi) = S(f, P)

est dite la somme de Darboux suprieure de f relative la subdivision P: (P1,...,Pk) de R.Remarque. s(f,

P)

S(f,

P)

Dfinition 3.4.6.

s(f, P) S(f, P) =k

i=1

|Pi| (sup f(Pi) inff(Pi) osc(f,Pi)

osc(f, Pi) est la diffrence entre le sup et linf de (f, Pi), dite loscillation de f dans la pav Pi.

Dfinition 3.4.7. Une subdivision Q : (Q1,...,Ql) est plus fine dune subdivision P: (P1,...,Pk)si pour tout Qi de Q il existe un pav Pi de P

Qj

Pi

(chaque pav Pi de Pest une runion de pav de Q)

Pi = QjPi Qj


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Dfinition 3.4.8. Soient P: (P1,...,Pk) et Q : (Q1,...,Ql) deux subdivision dun pav R. Onpose :

P Q = (Pi Qj)la subdivision de R donne par P Q est dite le raffinement commun de Pet Q (ou le jointde Pet Q).

Notation. P Q (Q est plus fine de P).Proprit 3.4.1. inf(Pi) inf(Qij), Qij Pi.

s(f, P) = Pii

QijPi|Qij|

inf(Pi)

i

QijPi

|Qij| inf(Qij) = s(f, Q)

Lemme 3.4.2. Soit f une fonction numrique dfinie sur un pav R et soient P et Q deuxsubdivisions de R. Si Q est plus fine de P, on a :

s(f,P

)

s(f,Q

)

S(f, P) S(f, Q)Dmonstration. Chaque intervalle de Pest une runion dintervalles de Q. Si Qj Pi alors :

inff(Pi) inff(Qj) sup f(Qj) sup f(Pi)

Or, la longueur de Pi est la somme des longueurs des sous-intervalles Qj doit il est la runion :|Pi| =

QjPi

|Qj |, on obtient :

|Pi| inff(Pi) = QjPi

|Qj| inff(Pi) QjPi

|Qj| inff(Qj)

do

s(f, P) = i

|Pi| inff(Pi) i

QjPi

|QJ| inff(Qj) =j

|Qj| inff(Qj) = s(f, J)

ce qui dmontre la premire affirmation. La deuxime se dmontre de faon analogue en obser-vant que :

QjPi|Qj| sup f(Qj)

QjPi|Qj| sup f(Pi) = |Pi| sup f(Pi)


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Corollaire. Soit f une fonction numrique dfinie sur un pav R. Pour tout couple (P, Q) desubdivisions de R, on a :

s(f, P) S(f, Q)

Dmonstration.

s(f, P) s(f, P Q) S(f, P Q S(f, Q)

3.4.3 Intgrale au sens de Riemann

Dfinition 3.4.9. Soit f une fonction numrique dfinie sur un pav R Rd, on dira que fest intgrable au sens de Riemann (ou Riemann-intgrable ou R-intgrable) si

sup{s(f, P) | Psubdivision de R} inf{S(f, P) | Psubdivision de R}

Lintgrale de Riemann de f sur R est gale c et il est not :

c =R

f

Lemme 3.4.3. Une fonction est intgrable au sens de Riemann si et seulement si > 0, ilexiste une subdivision Pde R tel que :

|Pi|osc(f, Pi) < Dmonstration. On observe que pour tout subdivision P: (P1,...,Pl) de R a :

S(f, P) s(f, P) =l

i=1

|Pi|(sup f(Pi) inff(Pi)) =l

i=1

|Pi|osc(f, Pi)

Si pour une subdivision P: (P1,...,Pl), on a que :l

i=1

|Pi|osc(f, Pi) <

on a aussi S(f, P) s(f, P< . Lexistence pour tout > 0 dune telle subdivision impliquealors que f est intgrable au sens de Riemann sur I.Par contre si f est intgrable au sens de Riemann sur I pour tout > 0, il existe deuxsubdivisions P: (P1,...,Pl) et Q : (Q1,...,Qm) telles que :

S(f, P) s(f, Q) <

La subdivision P Q satisfait S(f, P Q s(f, P Q) S(f, P s(f, Q) .

3.4.4 Exemples de fonctions intgrables au sens de Riemann

Theorme 3.4.4. Toute fonction continue sur un pav R borne, ferm est intgrable au sensde Riemann sur R.


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Dmonstration. Une fonction continue sur un pav ferm et born est uniformement continuesur R (cest--dire > 0, > 0, x R, y R, x y < |f(x) f(y)| .

Soit P: (P1,...,Ps) une subdivision de R tel que :

diam(Pi) < , i = 1,...,p

x, y

Pi :

f(x) f(y) sup f(Pi) f(y) sup f(Pi) inff(Pi)

On a :s

i=1

|Pi|osc(f(Pi)) s

i=1

|Pi| s

i=1

|Pi| = |R|

Theorme 3.4.5. Une fonction numrique est dfinie sur un pav borne et ferme de R estintgrable au sens de Riemann si et seulement si

1) elle est borne

2) lensemble {x R | f nest pas continue en x} est ngligeable au sens de Lesbegue.Dfinition 3.4.10. Un ensemble N Rd est ngligeable au sens de Lesbegue si > 0, ilexiste une famille dnombrable (Pi)iN de pavs :

1) N i=1

Pi

2)i=1

|Pi| <

Theorme 3.4.6. Une fonction f continue sur un ensemble ferm et borne D est uniform-ment continue sur D.

Theorme 3.4.7. De toute suite appartenant un ensemble ferm et borne de F, on peutextraire une suite vers un point de F.

Dmonstration. Supposons que f nest pas uniformment continue : > 0 tel que n N,(xn, yn) tel que :

xn yn 1n

et |f(xn) f(yn)| <

On peut supposer (en passant par une sous-suite extraite) que xn x R lim yn = lim xn + (yn xn) = x R

Donc : , z R, |z x| < , on a : |f(x) f(z)| < 2

. Puisque : x lim xn = lim yn, N,n N :

xn x < et yn x < et donc :

|f(x) f(xn)| < 2

et |f(x) f(y)| < 2

|f(xn) f(yn)| 2

+

2


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Proposition 3.4.8. Si (Ni)i=0 est une collection dnombrable densembles ngligeables, la

runioni=0

Ni est un ensemble ngligeable.

Dmonstration. Posons i =

2i+1pour i = 0, 1,..., il existe une collection dnombrable P0,i,

i = 0, 1,... tel que :i=0 P0,i N0 et

i=0 |P0,i| 0

(P1,i)i=0 tel que : i=0

P1,i N1 eti=0

|P1,i| < 1

... j {0, 1,...}, il existe une collection dnombrable de pavs Pj,i, i = {0, 1,...} tel que :

i = 0Pj,i Nj eti=0

|Pj,i| j

Donc :

j=0

i=0

Pi,j j=0

Nj = N

et j=0

i=0

|Pj,i|

j=0

j =

Proposition 3.4.9. Soitf une fonction continue sur un pavR Rd. Son graphe {(x, f(x)) Rd+1 | x R} est un sous-ensemble ngligeable de Rd+1.

Dmonstration. Puisque R est ferme et f continue, la fonction f est uniformment continuesur R : > 0, > 0 tel que :x y < |f(x) f(y)| <

On considre une subdivision de R en pav de (Pi)i={1,...,N} de diamtre . Pour x, y Pi,on a :

|f(x) f(y)| < On choisit dans chaque pav Pi un point x et on pose :

Qi = Pi [f(xi) , f(xi) + ]


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1) Graphe f

|Pi est continue dans Qi.

2) |Qi| = 2|Pi|. Si y Pi, on a :

|f(y) f(x)| < f(y) ]f(xi) , f(xi) + [ (y, f(y)) Qi

On a :

G(f) =Ni=1

G(f(Pi)) Ni=1

Qi

On a montr que :

Ni=1

|Qi| 2n

i=1

|Qi| = 2|R|

Application 3.4.1. Soient f et g deux fonctions continues sur un pav ferm R Rd. Suppo-sons que f < g. Soit :

S = {x, t) Rd+1 | x R, f(x) t g(x)}

Soit F une fonction continue sur S et pour M = max f et m inff et G : R [m, M] Rdfinie par :

G(x, t) =

F(x, t) si f(x, t) S0 sinon

alors G est R-intgrable.


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La figure prcdente nous montre que

1) Si t > g(x) et t < f(x) alors G(x, t) = 0 et il existe un voisinage V de (x, t) tel que :

(x, t) V, (x, t) S

2) Si f(x) < t < g(x) alors il existe un voisinage V de (x, t) tel que :

(x, t) V, (x, t) S

Donc G nest pas continue en (x, t). Soit :

t = f(x), (x, t) G(f) t = g(x), (x, t) G(g)

{(x, t) R [m, M] | G nest pas continue en (x, t)} G(f) G(g)

Theorme 3.4.10. Soit f une fonction dfinie sur le pav [a, b] [c, d]. Pour tout x [a, b],on pose :

fx : y [c, d] f(x, y)Supposons que :

1) f R-intgrable sur [a, b] [c, d]2) x [a, b], fx est Riemann-Intgrable sur [c, d] Alors la fonction :

F : x [a, b] dc

fx(y)dy

est Riemann-Intgrable. De plus :

ba

F(x)dx =

[a,b][c,d]f(x, y)dxdy

Autrement dit :

f(x, y)dxdy = b

ad

c f(x, y)dy dx


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Remarque. I [a, b], J [c, d]

inff(I J) inf{inf{fx(I) | x I}}

Dmonstration. Si P: (P1, ...Pm) est une subdivision de [a, b], Q : (Q1,...,Qn) une subdivisionde [c, d]. R = (Pi Qj)i=1,...,m ;j=1,...,n est une subdivision en pav de [a, b] [c, d].

s(f, R) = mi=1

nj=1

|Pi Qj | inff(Pi Qj) = mi=1

nj=1

|Pi||Qj| inf{inffx(Qj) | x Pi}

n

j=1

ni=1

|Pi| inf{|Qi| inffx(Qj) | x Pi}} mi=1

|Pi| inf

mj=1

|Qj| inffx(Qj) | x Pi

mi=1

|Pi| inf{s(fx, Q) | x Pi} mi=1

|Pi| infd

cfx | x Pi

mi=1

|Pi| inf{F(x) |x Pi} = s(f, P) = S(f, P) S(f, R)

Documents

M203 : Compléments en calcul intégral