Estadística

Probabilidad total y el teorema de Bayes

LOGRO DE LA SESIÓN:

Al finalizar la sesión el estudiante será capaz de:

Calcular la probabilidad de un evento particular utilizando el teorema de probabilidad total y teorema de Bayes.

Calcular probabilidades de eventos independientes, y aplicaciones en sistemas en serie y paralelo.

TEMARIO DE LA CLASE:

Probabilidad total.Teorema de Bayes.Eventos independientes.

...

¿Cuál es la Probabilidad que al seleccionar un disco

duro, éste sea defectuoso?Proveedor A

Proveedor B

Proveedor C

...

...

Proveedor A

Proveedor B

Proveedor C

El disco duro es defectuoso

¿Cuál es la probabilidad que el disco duro provenga del proveedor B, dado que es defectuoso?

PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL

E Ei j

1

Ek

ii

Los eventos E1, E2, ... , Ek definidos en Ω forman una partición del espacio muestral si son:

Mutuamente excluyentes:

Colectivamente exhaustivos:

PROBABILIDAD TOTAL

Si los eventos A1, A2, ... , Ak constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento E de Ω:

A1 AkA2…

E

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ......... ( ) ( / )k kP E P A P E A P A P E A P A P E A

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos A1, A2, ... , Ak constituyen una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento E de Ω:

1 1 2 2

P( )P( )P( | )

P( )P( ) P( )P( ) ... P( ) P( )i i

ik k

A E AA E

A E A A E A A E A

Ejercicio de la página 45

Una empresa se encuentra estudiando la posibilidad de importar para el próximo año un nuevo modelo de celular de última generación. Al estudiar la situación económica del próximo año se contemplan tres posibilidades: inflación, estabilidad o crecimiento, estimando dichas alternativas con las siguientes probabilidades: 0.55, 0.35 y 0.10 respectivamente. La probabilidad de importar el nuevo modelo de celular es 0.25 si existiera inflación, 0.40 si existiera estabilidad y 0.65 si existiera crecimiento.

a) ¿Cuál es la probabilidad de importar el nuevo modelo de celular para el próximo año?

b) Asumiendo que la empresa decidió importar el nuevo modelo de celular, ¿cuál es la probabilidad que existiera inflación en la economía?

Ejercicio propuesto, página 46

Consideremos que tres máquinas Alpha, Beta y Gamma producen respectivamente el 50%, el 30% y el 20% del número total de artículos de una fábrica. Si la proporción de artículos defectuosos que produce cada una de estas máquinas es 0,03, 0,04 y 0,05 respectivamente y se selecciona un articulo aleatoriamente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

b) Calcular la probabilidad de que el artículo seleccionado al azar haya sido producido por la máquina Alpha o la máquina Beta, si se sabe que este es defectuoso.

c) Si se seleccionan cinco artículos, ¿Cuál es la probabilidad que sólo dos sean defectuosos?

)()( BPABP )()( APBAP

)()()( BPAPBAP

)()...()()...( 2121 kk EPEPEPEEEP

Eventos Independientes

Se dice que dos eventos A y B son independientes si:

Generalizando para k eventos independientes

Si los eventos A y B son independientes entonces:

kEEE ,..., 21

APLICACIÓN DE EVENTOS INDEPENDIENTES

Un sistema es un producto conformado por más de un componenteEl acoplamiento de las componentes del sistema puede ser: en serie o en paralelo.

Sistema en serie: Un sistema de componentes acopladas en serie funciona si todos sus componentes funcionan .Sea = La componente A funciona; = La componente B funciona

Sistema en paralelo: Un sistema de componentes acoplada en paralelo funciona , si al menos una de sus componentes funciona

A B

A

B

P() = P(∩ ) = P() P(

P() = P( ) = P() + P(

Para que el sistema funcione , ambos deben funcionar.

Para que el sistema funcione , al menos uno debe de funcionar.

P() = P( ) = P() + P(

P() = 1 -

Ejemplo de la página 44

Un sistema contiene dos componentes, A y B, conectados en serie como se muestra en el siguiente diagrama: a) El sistema funcionará sólo si ambos componentes funcionan. El componente A funciona con una probabilidad de 0.98 y el componente B funciona con una probabilidad de 0.95. Suponga que A y B funcionan de manera independiente. Determine la probabilidad que el sistema funcione.

b) Un sistema contiene dos componentes, C y D, conectados en paralelo como se muestra en el siguiente diagrama:

El sistema funcionará si alguno, C o D funcionan. Los componentes C y D funcionan con una probabilidad de 0,90 y 0,85 respectivamente. Suponga que C y D funcionan de manera independiente. Determine la probabilidad de que el sistema funcione.

¿Qué aprendimos hoy?