17

Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

  • Upload
    lelien

  • View
    216

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Oddelek za �ziko

Seminar - 4. letnik

Magnetni monopoli

Avtor: Luka Leskovec

Mentor: doc. dr. Borut Bajc

Ljubljana, februar 2010

Povzetek

V seminarju si pogledamo, kako je Dirac uvedel magnetni monopol iz ºelje po boljsimetri£nih Maxwellovih ena£bah, ter kako iz njegove prisotnosti sledi kvantizacija elek-tri£nega naboja za vse delce. Nato pokaºemo monopol 't Hootfa in Polyakova in pripadajo£emagnetno polje. Povemo tudi v kak²nem primeru poenotenja so monopoli mogo£i. Za konecomenimo ²e eksperimente, ki so iskali magnetne monopole.

Page 2: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Kazalo

1 Uvod 3

2 Diracov monopol 4

3 Polja, globalne in lokalne simetrije 7

4 SO(3) → SO(2) 9

5 Monopol 't Hoofta in Polyakova 9

6 Podobnost monopola 't Hoofta in Polyakova ter Diracovega monopola 12

7 Posplo²itev na druge simetrije 13

8 Nekaj malega o Standardnem Modelu 13

9 Poenotenje 13

10 Eksperimenti 14

11 Spinski led 16

12 Zaklju£ek 16

Literatura 17

2

Page 3: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

1 Uvod

Splo²ne Maxwellove ena£be [1] ne odraºajo simetrije. Njihova oblika je slede£a:

divB⃗ = 0 divE⃗ = ρe (1)

rotB⃗ = j⃗e +∂E⃗

∂trotE⃗ = −∂B⃗

∂t(2)

ρe je gostota naboja, j⃗e = ρev⃗, v⃗ je hitrost delcev z nabojem e, B⃗ je gostota magnetnega poljain E⃗ je jakost elektri£nega polja. Hkrati pa smo postavili ~ = c = 1. To je le izbira enot in nevpliva na ni£ drugega, kot na izgled ena£b.

�e pogledamo te ena£be v praznem prostoru, ρe = 0 in j⃗e = 0, so le te simetri£ne na za-menjavo E⃗ in B⃗, pravzaprav na E⃗ → −B⃗ in B⃗ → E⃗. Motivacijo, da bi Maxwellove ena£beohranjale simetrijo praznega prostora tudi v nepraznem, ρe ̸= 0 in j⃗e ̸= 0, najdemo v besedahPaula Adriena Maurica Diraca, iz leta 1981 :

"...From the theoretical point of view one would think that monopoles should existbecause of the prettiness of the mathemathics..."

Maxwellove ena£be bi potem izgledale nekako tako:

divB⃗ = ρm divE⃗ = ρe (3)

rotB⃗ = j⃗e +∂E⃗

∂trotE⃗ = −∂B⃗

∂t− j⃗m (4)

ρm = 4πgδ3(r⃗) za to£kast monopol z magnetnim nabojem g, in j⃗m = ρmv⃗, kjer je v⃗ hitrost delcaz magnetnim nabojem.

V tako zapisanih Maxwellovih ena£bah imamo tako elektri£ni naboj, katerega ºe poznamo,kot tudi magnetni naboj, ki je nam ²e precej tuj. Tako spremenjene ena£be tudi kaºejo popolnosimetrijo med magnetnim in elektri£nim nabojem.

Namesto, da pi²emo ena£be dvakrat za E⃗ in B⃗, jih lahko zapi²emo kot:

∂µFµν = jνe ∂µF̃

µν = jνm (5)

kjer je Fµν tenzor elektromagnetnega polja, F̃µν = 12ε

µνλρFλρ dualni tenzor elektromagnetnegapolja, jνe £etverec toka elektri£nih nabojev in jνm £etverec toka magnetnih nabojev. (5) imajoslede£o obliko:

Fµν =

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −Bz By

Ey Bz 0 −Bx

Ez −By Bx 0

F̃µν =

0 Bx By Bz

−Bx 0 Ez −Ey

−By −Ez 0 Ex

−Bz Ey −Ex 0

(6)

jνe =[ρe, j⃗e

]Tjνm =

[ρm, j⃗m

]T(7)

3

Page 4: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Tenzor Fµν se zapi²e tudi kot:

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (8)

kjer je Aµ =[ϕ, A⃗

]. ϕ in A⃗ sta elektri£ni in magnetni potencial, prek katerih se zapi²eta polji

E⃗ = −gradϕ− ∂A⃗∂t in B⃗ = rotA⃗. Iz tega zdaj sledijo vse ²tiri Maxwellove ena£be kot v (3) in (4).

2 Diracov monopol

Poglejmo, kako je monopol uvedel Dirac [2], [3]. Vzeli bomo gibalne ena£be za dualni tenzorelektromagnetnega polja, kot v (5):

∂µF̃µν = jνm (9)

kjer je jνm de�niran s (7). �tudirali bomo stati£en primer, ko je j⃗m = 0 in ρm = 4πgδ3(r⃗). Iztega sledijo Maxwellove ena£be za magnetni naboj, ki so simetri£ne tistim za elektri£ni naboj.Ena£ba:

divB⃗ = 4πgδ3(r⃗) (10)

da slede£e magnetno polje:

B⃗ =g

r3r⃗ (11)

Magnetni pretok, ki ga tako polje da za sfero okrog naboja je:

Φg =

∫S

B⃗ dS⃗ =

∫V

divB⃗ dV = 4πg (12)

Poglejmo si valovno funkcijo nekega delca z nabojem e, recimo elektrona. V koordinatni reprezentacijiima za prost delec obliko ψ =| ψ | ei(p⃗r⃗−Et). Ta valovna funkcija se spremeni v prisotnosti elek-tromagnetnega potenciala, oziroma tudi le vektorskega potenciala A⃗, ki izvira iz ena£be (10).Kajti, kot smo ºe pri analiti£ni mehaniki pokazali, gre p⃗ → p⃗ − eA⃗ v prisotnosti vektorskegapotenciala, se to zgodi tudi tukaj. Tako postane:

ψ → ψg = ψe−ieA⃗r⃗ (13)

v primeru, da je A⃗ konstanta. Sicer je pa:

ψ → ψg = ψe−ie∫A⃗ dr⃗ (14)

4

Page 5: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Slika 1: Zaklju£ena pot C

�e je valovna funkcija, ki opisuje delec, zvezna po zaklju£eni poti C, potem je spremembafaze valovne funkcije:

∆ϕ = e

∮C

A⃗ dr⃗ = e

∫S

rotA⃗ dS⃗ (15)

kar pa je, ob upo²tevanju B⃗ = rotA⃗, enako magnetnemu pretoku eΦC . Torej:

ψ = ψge−ieΦC (16)

ΦC je magnetni pretok skozi zanko C.

Vzemimo zdaj sfero z radijem r okrog monopola in ozna£imo s Φ(r, ϑ) magnetni pretok skozidel sfere, ki zaobjema magnetni monopol (Slika 2).

�e pogledamo Φ(r, ϑ = 0), je o£itno, da je magnetni pretok ni£, saj ne pokrijemo nobenepovr²ine, in je zanka in�nitezimalno majhna. Celo ve£, vse in�nitezimalne zanke, ki ne objemajosingularnosti, dajo pretok 0; jasno, saj imajo povr²ino 0. Zdaj pa ve£amo ϑ do π in pridemodo celotnega pretoka 4πg, saj smo pokrili celotno kroglo. Po drugi strani lahko gledamo, da jeϑ = π zanka spet ini�nitezimalno majhna, in torej pretok Φ = 0. Ker pa vemo, da ni, mora bitipri ϑ = π vektorski potencial A⃗ singularen. Tako je za vsak izbran sistem mogo£e izbrati takeosi, da je A⃗ singularen za ϑ = π oziroma za os -z. Tej singularnosti re£emo Diracova struna.Singularnost je navidezna za ne�zikalne koli£ine. V �zikalnih koli£inah odpade. Diracove struneni opaziti v gostoti magnetnega polja B⃗, ki je �zikalno merljiva koli£ina, kajti tu je B⃗ regularenpo celi sferi.

Slika 2: Del sfere, ki jo zanka objame [3]

Veljati mora, da je sprememba faze valovne funkcije pri n-kratni obkroºitvi strune enaka 2πn,kjer je n naravno ²tevilo. Ta pogoj pride iz potrebe, da ima ψ v eni to£ki le eno vrednost. Z

5

Page 6: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

drugimi besedami, ψ je enoli£na funkcija. Tako dobimo pogoj, da je:

2πn = 4πeg (17)

kjer je g vrednost naboja monopola. Torej je vrednost e = n2g , kar pomeni, da je elektri£ni

naboj kvantiziran. Vsi delci v naravi imajo tako elektri£ni naboj, ki je cel ve£kratnik najmanj²eganaboja.

Poglejmo kak²en je magnetni potencial. A⃗ =[g −yr(r+z) , g x

r(r+z) , 0]. Tak potencial dobimo,

£e damo magnetni monopol na konec Diracove strune, v r = 0. Ker pa le ta ni �zikalna real-nost/singularnost, se jo sku²ajmo znebiti in zato zapi²emo potencial brez Diracove strune tako,da razdelimo sfero na dve coni, a in b.Pa zapi²imo potencial na coni a, ki ima singularnost v coni b:

A⃗(a) =[0, 0, g

r1−cosϑsinϑ

]je regularen pri ϑ→ 0, saj ima singularnost v ϑ = π (18)

Za drugo cono pa:

A⃗(b) =[0, 0, −g

r1+cosϑsinϑ

], ki je regularen za ϑ→ π, saj ima singularnost v ϑ = 0 (19)

(Slika 3). Opomba: Vektorja potenciala za a in b sta v bazi sferi£nih koordinat[e⃗r, e⃗ϑ, e⃗ϕ

].

Tako izbrani potenciali nam dovolijo, da se znebimo Diracove strune in edina singularnost, kinam ostane, je to£kasta singularnost v izhodi²£u, ki pa je �zikalna, saj je tam monopol. Omenitije ²e treba, da se potenciala prekrivata in je zato na obmo£ju, kjer se prekrivata, treba upo²tevatiumeritveno transformacijo, zato da imata enako vrednost oziroma, da data enako magnetno polje.Pa si poglejmo umeritveno transformacijo.

Slika 3: Dvojna parametrizacije magnetnega potenciala [3]

Aµ ni �zikalna in je de�nirana do umeritvene transformacije natan£no. Ker mi ne opisujemosistema s �zikalnimi polji, ampak s potenciali, moramo upo²tevati, da so potenciali nedolo£enido poljubne funkcije α:

A′µ = Aµ +

1

e∂µα (20)

B⃗ = rotA⃗ = B⃗′ (21)

E⃗ = −gradϕ− ∂A⃗

∂t= E⃗′ (22)

6

Page 7: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Mi izberemo slede£o umeritev:

α = −2geϕ (23)

A⃗(b) = A⃗(a) − 2g

re⃗ϕ (24)

Ab0 = Aa

0 = 0 (25)

Za umeritev imamo ²e pogoj α(ϕ+ 2π) = α(ϕ)− 2nπ. Pogoj periodi£nosti pride iz potrebe,da ima valovna funkcija nabitega delca ψ′ = eiαψ v eni to£ki le eno vrednost, to je, da je enoli£na.

�e zra£unamo magnetni pretok za magnetni monopol brez Diracove strune, dobimo spet istipretok, kar je razvidno iz:

Φ =

∮S

rotA⃗ dS⃗ = (

∮a

A⃗(a) d⃗la +

∮b

A⃗(b) d⃗lb)|ϑ=π2

(26)

= (

2π∫0

g

r

1− cos π2

sin π2

r dϕ−2π∫0

−gr

1 + cos π2

sin π2

r dϕ) (27)

= 4πg (28)

l⃗a gre v nasprotno smer kot l⃗b. Tako spet pridemo na isto kvantizacijo naboja kot z Diracovostruno, le da zdaj nimamo ne�zikalne singularnosti.

Zdaj, ko vemo, kako zgleda potencial, pa lahko dolo£imo ²e vrednost za g: poznamo konstanto�ne strukture, ki nam v naravnem sistemu enot dolo£i vrednost e, α = e2

4π = 1137 → e = 0.30 =

1.6 10−19As, za elektri£ni naboj elektrona. Takemu elektri£nemu naboju po zgornjih pravilih, zan = 1, pripada magnetni naboj g = 1.65.

Razmislimo, kako pridemo na SI enote. Najprej zapi²emo enoto za magnetno polje, T =V sm2 = kg

As2. Vemo, da je masa protona, mp ∼ 1GeV = 1.6 10−27kg. Tako dobimo, da je 1kg =

5.6 1026GeV. Ponovimo postopek za enoto £asa: 1s = 3 108ms 1s = 3 108m ∼ 1.5 1024GeV−1,kjer smo uporabili dobro znano zvezo: 0.197GeVfm = ~c = 1. Iz konstante �ne strukture inpoznavanja vrednosti naboja elektrona v SI enotah pridemo do zveze: 1As = 1.9 1019. Takopotem izrazimo enoto Tesla po de�niciji iz enot, kamor vstavimo zdaj izra£unane vrednosti.Dobimo 1T = 2 10−17GeV2. �e nas zdaj zanima magnetno polje, recimo na oddaljenosti1m ∼ 5.1 1015GeV−1, dobimo vrednost B ∼ 6 10−32GeV−2 ∼ 3 10−15T . Oziroma magnetninaboj da na razdalji ∼ 60nm magnetno gostoto 1T. Kot opombmo omenjam ²e vrednost g v SIenotah: g = 3.3 10−15V s.

3 Polja, globalne in lokalne simetrije

Zgoraj smo pokazali, kako je magnetni monopol uvedel Dirac, da je zraven dobil singularnost, zakatero smo pokazali, kako se jo odpravi.Preden si pogledamo monopole 't Hoofta in Polyakova, si oglejmo nekaj osnov o poljih, lokalnihsimetrijah in umeritvenih transformacijah.

7

Page 8: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Akcijo S za skalarno polje Φ, ki opisuje delec s spinom 0, lahko zapi²emo preko Lagrangevegostote L, na kratko Lagrangiana:

S =

∫L(Φ, ∂µΦ) d4x (29)

kjer je Φ = Φ(xµ).

Obravnavajmo primer kompleksnega polja:

L = (∂µΦ)∗∂µΦ− V (|Φ|) (30)

kjer je ∂µ =[∂∂t , ∇

]. Tak Lagrangian je invarianten na transformacijo:

Φ → eiαΦ (31)

To je simetrija faze kompleksnega polja. V (30) je to globalna simetrija, saj je α = const.

Lagrangian (30) ni invarianten na lokalne simetrije, α = α(x), saj:

L′ = (∂µeiαΦ)∗(∂µeiαΦ)− V (|Φ|) (32)

= ΦΦ∗∂µα∂µα+ iΦ∂µα∂µΦ

∗ − iΦ∗∂µα∂µΦ+ L (33)

Da Lagrangian postane invarianten, je treba uvesti kovariantni odvod, ki je v primeru transfor-macije faze de�niran kot:

Dµ = ∂µ − ieAµ (34)

kjer imenujemo Aµ umeritveno polje. To polje ºe poznamo kot elektromagnetno polje. Tako seLagrangian spremeni:

L = (DµΦ)∗DµΦ− V (|Φ|)− 1

4FµνF

µν (35)

kjer je Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, kot ºe v (8). V Lagrangianu smo dodali £len z Fµν , tako da postaneAµ dinami£no umeritveno polje. Lagrangian (35) je invarianten na:

Φ → Φ′ = eiα(x)Φ (36)

Aµ → A′µ = Aµ +

1

e∂µα (37)

To sledi iz de�nicije kovariantnega odvoda, ki se transformira kot:

(DµΦ)′ = eiα(x)DµΦ (38)

in invariance Fµν :

F ′µν = ∂µA

′ν − ∂νA

′µ = ∂µAν − ∂νAµ + ∂µ∂να− ∂ν∂µα = Fµν (39)

Za potencial V (|Φ|) pa je o£itno, da je invarianten na transformacijo.

Ponovimo: zgornji Lagrangian (30) je invarianten na globalno transformacijo faze, Lagrangian(35) pa na lokalno transformacijo faze.

8

Page 9: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

4 SO(3) → SO(2)

Povejmo ²e nekaj o simetrijah:

SO(3) simetrija je rotacijska simetrija v nekem 3-dimenzionalnem notranjem prostoru. Znotranjim prostorom opisujemo dodatne prostostne stopnje delcev. SO(2) simetrija je simetrijavrtenj v ravnini, spet v notranjem prostoru.

V prej²njem poglavju smo obravnavali simetrijo faze kompleksnega polja. Ta simetrija seimenuje U(1) simetrija in je ista kot SO(2) simetrija.

Iz simetrije SO(3) pridemo na SO(2) tako, da polje dobi pri£akovano vrednost, ki ima mini-mum za Φ2 = F 2.To je lepo razvidno iz primera feromagneta. Pri visoki temperaturi ( T > TC ) feromagnet nimamagnetizacije in tako tudi ne nobene preferen£ne smeri. Pri£akovana vrednost magnetizacijeje 0 in simetrija sistema je SO(3). Pod Curiejevo temperatruo (T < TC) pa se v feromagnetupojavijo domene, ki imajo dolo£eno vrednost magnetizacije. Tako tudi pri£akovana vrednostmagnetizacije ni ve£ 0 in domena nima ve£ SO(3) simetrije, ampak le ²e SO(2) simetrijo. Topomeni, da ne opazimo razlike pri rotaciji okrog osi, ki jo de�nira pri£akovana vrednost magne-tizacije. Opomba: simetrija pri feromagnetu je globalna, medtem, ko bo v primeru, ki ga bomoobravnavali, simetrije lokalna.

Podobno se zgodi pri polju, ko ima notranji prostor skalarnega delca SO(3) simetrijo. Pod kri-ti£no temperaturo, recimo kar T=0, ima polje pri£akovano vrednost Φ⃗ =

[0, 0, v

]in A⃗µ = 0.

To pa ni monopol.Je pa ²e en primer, kjer sta pri£akovani vrednosti Φ⃗ in A⃗µ (druga£ni) re²itvi ena£b gibanja danegaLagrangiana. To pa je monopol. In 't Hooft in Polyakov sta pokazala, da take monopolne re²itvelahko obstajajo.

5 Monopol 't Hoofta in Polyakova

Pa zapi²imo Langrangian, kjer je Φ⃗ skalarno polje v prostor�£asu in vektor v notranjem prostoru:

L =1

2(DµΦ⃗)(D

µΦ⃗)− 1

4F⃗µνF⃗

µν − λ

4(Φ⃗2 − F 2)2 (40)

Aµ = A⃗µT⃗ Fµν = F⃗µν T⃗ (41)

T⃗ =[T1 T2 T3

](42)

T1 =

0 0 00 0 −i0 i 0

T2 =

0 0 i0 0 0−i 0 0

T3 =

0 −i 0i 0 00 0 0

(43)

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ + ie[Aµ, Aν ] (44)

DµΦ⃗ = ∂µΦ⃗ + ieAµΦ⃗ (45)

9

Page 10: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

(40) je invarianten na simetrijo SO(3):

Φ⃗ → OΦ⃗ (46)

A′µ = (A⃗µT⃗ )

′ = OAµOT − i

eO∂µO

T (47)

O = eiα⃗T⃗ (48)

't Hooft in Polyakov sta v primeru Lagrangiana (40) na²la re²itve Euler-Lagrangevih ena£b[4], [5], [6]:

DµDµΦ⃗ = −λΦ⃗(Φ⃗2 − F 2) (49)

∂µF⃗µν = 0 (50)

Za re²itev teh ena£b uporabimo nastavek:

Φ⃗ = Ff(r)

xryrzr

(51)

A⃗µ =

A10 A1

1 A12 A1

3

A20 A2

1 A22 A2

3

A30 A3

1 A32 A3

3

= g(r)

0 0 zer2

−yer2

0 −zer2

0 xer2

0 yer2

−xer2

0

(52)

Nastavek smo izbrali tako, da so koordinate notranjega prostora, izoprostora, in prostora sklo-pljene: 1. komponenta v izoprostoru odvisna od x smeri v prostoru, 2. komponenta odvisna ody smeri in 3. komponenta odvisna od z smeri. Zanimajo nas torej stacionarne re²itve, ki bodokazale radialno ven.

Slika 4: Leva slika kaºe re²itev ena£b gibanja za (40), ki je konstantna in ni monopol; desna slikakaºe re²itev ena£b gibanja, ki je monopol.

Robne pogoje dolo£imo z zahtevo po kon£ni energiji magnetnega monopola. To izra£unamoprek Hamiltoniana:

H = DiΦ⃗DiΦ⃗ +

λ

4(Φ⃗Φ⃗− F 2)2 + F⃗ijF⃗

ij (53)

E =

∫V

H d3x (54)

10

Page 11: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

i,j = 1,2,3. Robni pogoji so tako:v neskon£nosti, r → ∞, naj bo:f(r)|r→∞ = 1 in hkratif ′(r)|r→∞ = 0, in podobnog(r)|r→∞ = 1 ing′(r)|r→∞ = 0.Velja pa ²e f(0) = 0

Tenzor elektromagnetnega polja dobimo, £e vzamemo slede£o relacijo:

Fµν =F⃗µνΦ⃗

| Φ⃗ |− 1

e(Φ⃗, Dµ

Φ⃗

|Φ⃗|, Dν

Φ⃗

|Φ⃗|) (55)

Izberemo ga tako, da £e je Φ⃗ vektor le v eni smeri v izoprostoru, potem dobimo nazaj obi£ajentenzor elektromagnetnega polja.

Φ⃗ =[0 0 v

](56)

Fµν = ∂µA3ν − ∂νA

3µ (57)

Tako je A3µ potencial elektromagnetnega polja. Pa si oglejmo, kako zgleda:

Fµν =

0 0 0 0

0 0 zer3

−yer3

0 −zer3

0 xer3

0 yer3

−xer3

0

(58)

Tukaj se vidi, da je magnetno polje B⃗ Lagrangiana (40) radialno. Polyakov re£e taki re²itvire²itev v obliki jeºa.

Poveºimo zdaj poglavje SO(3) → SO(2) z monopoli 't Hoofta in Polyakova. Lagrangian,ki sta ga vzela je imel simetrijo SO(3), medtem ko je re²itev za magnetne monopole imela lesimetrijo SO(2). Povezava med njima pa je analog primeru feromagneta.

Slika 5: Polyakova re²itev v obliki jeºa

11

Page 12: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Iz takega magnetnega polja, re²itve v obliki jeºa, dobimo magnetni pretok, kot smo ºe videliv drugem poglavju, ki je Φg = 4π

e = 4πg. In tako sledi, da je eg=1 oziroma eg=n, £e bi bilo vizhodi²£u ve£ monopolov.

Magnetni monopol za razliko od elektrona ni to£kast delec, ampak je re²itev ena£b gibanjaza dani Lagrangian. V tem smislu pa se elektri£ni in magnetni naboj zelo razlikujeta.

�e nekaj podatov o monopolu. 't Hooft je pokazal, da je re²itev Φ⃗ in A⃗µ za magnetnimonopol povsod nesingularna. Posledica tega je, da je energija magnetnega monopola kon£na.Maso monopola izra£unamo tako, da vstavimo re²itev (49) in (50) v ena£bo za energijo (54).Izkaºe se tudi, da so magnetni monopoli stabilni na perturbacije.

6 Podobnost monopola 't Hoofta in Polyakova ter Diracovegamonopola

't Hooftov in Diracov monopol ne zgledata ravno podobna [3]. En je to£kast delec, ki imasingularnost v sredini, drugi pa sploh ni �klasi£en� delec, ampak je porazdelitev polja, ki pani nikjer singularna. Njuna edina skupna stvar je to, da imata magnetni naboj. Kljub njunimrazlikam pa se da pokazati, da sta si tudi precej podobna. To se stori tako, da se postavi prej²nipotencial za Diracov monopol v sferi£nih koordinatah le v tretji smeri v izoprostoru, kjer so�smerni vektorji� matrike T1, T2 in T3, ki so de�nirane v (43). Skupaj s tem potencialom pavpeljemo ²e polje Φ, ki bo prav tako le v tretji smeri v izoprostoru.

Aµ = T3[gr

−yr+z

gr

xr+z 0

](59)

To je v sferi£ni bazi seveda. Pa transformiramo potencial Aµ z SO(3) umeritveno transformacijoS, ki jo parametriziramo z Eulerjevimi koti α β γ.

O = eiαT3eiβT2eiγT3 (60)

�e vstavimo γ = −α = ϕ in β = −ϑ, dobimo slede£o transformacijsko matriko:

O =

cos2 ϕ cosϑ+ sin2 ϕ cosϕ sinϕ(cosϑ− 1) − cosϕ sinϑcosϕ sinϕ(cosϑ− 1) cos2 ϕ+ cosϑ sin2 ϕ − sinϕ sinϑ

cosϕ sinϑ sinϕ sinϑ cosϑ

(61)

A′µ je transformirani potencial in ima splo²no obliko:

A′µ = OAµO

T − i

eO∂µO

T (62)

Tako dobimo cel A′µ, ki ga lahko zapi²emo:

A′x = − 1

er2(T3y − T2z) (63)

A′y =

1

er2(T3x− T1z) (64)

A′z =

1

er2(T1y − T2x) (65)

(66)

12

Page 13: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

kar je isto kot A⃗µT⃗ iz (51), potencial za monopol 't Hoofta in Polyakova. Oba potenciala dataenako obliko magnetnega polja B⃗, ki ima obliko jeºa. Torej si Diracov in 't Hooftov monopol lenista tako razli£na, kot je sprva zgledalo. Razlika je ta, da je pri Diracovem monopolu razlogza obstoj monopola singularnost v Diracovi struni (ki se jo da sicer reducirati na singularnost vto£ki), medtem ko je pri 't Hooftovem monopolu razlog za obstoj monopola v netrivialnih robnihpogojih polja. Poleg tega pa je g′t Hooft = 2gDirac.

7 Posplo²itev na druge simetrije

Zgornji model, kjer smo upo²tevali SO(3) simetrijo, ºal ni �zikalen model. V StandardnemModelu so namre£ odkrili, da bozon Z prena²a interakcijo. Tega zgornji model ni dopu²£al.Vendar kljub temu lahko iz tega nekaj razberemo. V na²em modelu je bila pri visokih energijahsimetrija SO(3), ki se je nato spontano zlomila v U(1) simetrijo. U(1) simetrija so rotacije vkompleksni ravnini, prav tako pa je U(1) umeritvena grupa za elektromagnetizem. To lahkoposplo²imo: £e je nezlomljena simetrija oblike, ki ne vsebuje simetrije grupe U(1), in se zlomi vsimetrijo, ki vsebuje U(1), potem re²itev za magnetni monopol obstaja. Oziroma, £e nezlomljenasimetrija ºe vsebuje simetrijo U(1), in £e zlomljena simetrija vsebuje grupo U(1), ali pa simetrijeni, potem monopoli ne obstajajo.S tem, ko re£em, da vsebuje, mislim slede£o relacijo: A vsebuje B, potem je A = nekaj×B.

8 Nekaj malega o Standardnem Modelu

Standardni Model dobro opisuje osnovne delce in interakcije med njimi. Sestavljen je iz fermionov,delcev z pol²tevil£nim spinom, in iz bozonov s celo²tevil£nim spinom. Fermioni se nato delijo na3 druºine leptonov in 3 druºine kvarkov. Leptoni £utijo ²ibko in, v primeru, da imajo elektri£ninaboj, tudi elektromagnetno silo, medtem ko imajo kvarki ²e dodatno kvantno ²tevilo barve. Insicer so 3 moºne barve kvarkov. Bozoni so delci ki prena²ajo interakcijo med delci. Poznamofoton, ki prena²a elektromagnetno silo; W± in Z vektorske bozone, ki prena²ajo ²ibko silo; in ²e 8gluonov, ki prena²ajo mo£no silo med kvarki. Z vidika kvantne teorije polja je Standardni Modelteorija, ki temelji na umeritveni simetriji, ki jo opi²emo z grupo SU(3)C × SU(2)W × U(1)Y ,kjer je SU(3)C simetrija med barvnimi naboji kvarkov, SU(2)W je simetrija ²ibke sile in U(1)Yje simetrija hipernaboja Y. SU(2)W × U(1)Y je elektro²ibka interakcija, ki ºe vsebuje grupoU(1)em. Tako vidimo, da v Standardnem Modelu, kot ga poznamo, ne more biti magnetnegamonopola, saj simetrija elektro²ibke ineterakcije ºe vsebuje simetrijo U(1). Zato ne zado²£azgornjemu pogoju.

9 Poenotenje

�e pa se lahko na neki dovolj visoki energijski skali poenoti ²ibka interakcija in hipernaboj, to jeda ni ve£ razlike med med ²ibko silo in elektromagnetno silo, potem pa lahko obstajajo magnetnimonopoli. Njihov obstoj je sicer odvisen od simetrije, ki bi veljala za poenoteno interakcijo. Pon-avadi sicer obravnavamo teorije, v katerih se vse tri umeritvene simetrije Standardnega Modelapoenotijo v eno samo skupno simetrijo. Skala na kateri pride do poenotenja, se imenuje skalavelikega poenotenja (Grand Uni�cation) in monopolne re²itve, ki jih dobimo ob zlomitvi tesimetrije, imenujemo monopoli teorije velikega poenotenja (GUT monopoli). Njihova masa jereda velikost 1016GeV. Nekateri kandidati za teorije poenotenja so SU(5) simetrija in SO(10)

13

Page 14: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

simetrija. V obeh primerih monopolne re²itve seveda obstajajo.

Drugo vpra²anje pa je, ali so monopoli v vesolju. V trkalnikih jih ne bomo opazili, saj sonjihove mase veliko ve£je, kot energije, ki jih dana²nji trkalniki dosegajo. LHC bo dosegal 14TeV, medtem ko Fermilab dosega 2TeV. Kar pomeni, da so monopoli lahko le kozmolo²kegaizvora, torej so odvisni od zgodovine vesolja.

10 Eksperimenti

Omenil bom dva eksperimenta, pri katerih so sku²ali pomeriti magnetne monopole.

Slika 6: Detektor MACRO [8]

Prvi eksperiment je MACRO [7], Monpole Astrophysics and Cosmic Ray Observatory. Ta seje delujo£ od 1988 do 2000, nahajal v Gran Sassu v Italiji. Bil je podzemeljski eksperiment zadetekcijo redkih dogodkov, delujo£ na principih 3 detektorjev in sicer: scintilatorjev, v katerihnastaja svetloba, ko gre skoznje ionizirajo£ delec; plinastih detektorjev lokacije in ionizacije, terdetektorjev sledi. S tem so merili monopole, s hitrostjo vi²jo od 4 10−4c. Kar pomeni, da somerili tako relativisti£ne kot nerelativisti£ne monopole.

Slika 7: Meritve na detektorju MACRO skupaj ²e z drugimi eksperimenti [7]

14

Page 15: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Eskperiment MACRO ni zaznal nobenega magnetnega monopola. So pa podali zgornjo limitotoka teºkih magnetnih monopolov v na²i galaksiji in sicer nekajkrat 10−16cm−2s−1sr−1.

Drugi eksperiment [9] je opravil Blas Cabrera in sicer je imel 4 superprevodne obro£e, ki sobili od okolice ustrezno izolirani. Obrnjeni so bili navzgor in na njih je meril pretok magnetnegapolja. �e bi skozi letel magnetni monopol, bi magnetni pretok skozi obro£ posko£il in v super-prevodnem obro£u bi za£el te£i tok. To£no to se je zgodilo in sicer na Valentinovo leta 1982.Meritev monopola ni bila posledica mehanskega udarca, ali pa dotakanja teko£ega du²ika

Slika 8: Meritve skupine B. Cabrere

potrebnega za delovanje eksperimenta. Kljub temu pa le ena meritev ne dokazuje veliko in nipreve£ uporabna.

Lahko pa ²e kaj povemo o predlaganih eksperimentih.

Najprej bi omenil predlog Chaudhari, Search for Magnetic Monopoles at the RelativisticHeavy Ion Collider [11]. Na tem pospe²evalniku trkajo atome zlata z energijo 100 GeV. Monopole,ki bi nastali pri trkih, bodo merili z superprevodnimi obro£i v dolo£eni postavitvi. Ne upo²tevajonobene predvidene mase monopola.

Kot drugo bi pa omenil predlog Pinfold, MoEDAL (Monopole and Exotics Detector at theLHC) [12]. Tukaj bodo poleg drugih eksoti£nih delcev iskali tudi monopole. Sicer ne istihmonopolov, kot tistih o katerih smo govorili mi, ampak druge, katerih masa je napovedana vobmo£ju energij, ki jih bo LHC dosegal. Merili jih bodo z detektorji sledi.Kot opomba: ne prvi ne drugi predlagani eksperiment ne bo meril monopolov o katerih smogovorili v seminarju in so precej teºji od teh, ki jih bodo posku²ali izmeriti.

Kot tretje bi pa omenil eksperiment IceCube [13], ki (delno ºe) je pravzaprav detektor nevtri-nov na Antarktiki. Sestavljen je iz opti£nih senzorjev, ki so potopljeni v led. Ko nevtrini tr£ijoob led nastane muon, ki pa nato v ledu seva modro. To sevanje zaznava detektor. Lahko pa setako tudi detektira magnetne monopole, ki bi pri²li iz vesolja.

15

Page 16: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

11 Spinski led

Za konec velja omeniti, da so v kristalu Dy2Ti2O7, pri zelo nizkih T, opazili magnetno polje, kibi ustrezalo magnetnemu monopolu [10]. Gre za to, da se spin v osnovni celici kristala obrne vdveh kotih noter, v dveh pa ven. To formira takoimenovane strune, pravzaprav tokovne linije.Ko sistem zmotimo, to je, ko en spin obrnemo iz tako urejene strukture se tokovna linija prekinein na enem koncu imamo juºni magnetni monopol, na drugem pa severnega. Ta dva monopolase da premakniti poljubno narazen.

Slika 9: Spinski led [10]

12 Zaklju£ek

V seminarju smo najprej pokazali, kako je Dirac uvedel magnetni monopol, nato smo se znebiliDiracove strune, ki je bila ne�zikalna singularnost. Pokazali smo tudi, kako je elektri£ni nabojkvantiziran v odvisnosti od magnetnega naboja.

Povedali smo tudi nekaj o simetrijah notranjih prostorov in nato pokazali, kak²en je magnetnimonopol 't Hoofta in Polyakova in kako le-ta da magnetno polje, ki ustreza polju magnetnegamonopola.

Povedali smo ²e, kako je v splo²nem lahko elektri£ni naboj kvantiziran.

Omenili smo tudi dva eksperimenta, od katerih je eden pomeril en monopol, ki pa prav zato,ker je edini detektiran, ni zanesljiv. Podali smo ²e dva eksperimenta, ki te£eta v sedanjosti.

16

Page 17: Magnetni monopoli - mafija.fmf.uni-lj.simafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/magnetnimonopoli.pdf · Oddelek za ziko Seminar - 4. letnik Magnetni monopoli vtor:A Luka Leskovec

Literatura

[1] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, (Wiley, New York, 1999)

[2] P. A. M. Dirac, Physics Review 74, 817 (1948)

[3] L. H. Ryder, Quantum Field Theory, (Cambridge University Press, Cambridge, 1996)

[4] G. 't Hooft, Nuclear Physics B 79, 2 (1974)

[5] A. M. Polyakov, JETP. Letters 20, 6 (1974)

[6] S. Weinberg, Quantum Theory of Fields, Vol. II Modern Applications, (Cambridge University Press,New York, 1996)

[7] G. Giacomelli in A. Margiotta, (arXiv 0707.1691, 2007)

[8] http://hep.bu.edu/ macro/about.html (december 2009)

[9] B. Cabrera, Superconductive Monopole detectors (Govor), (Proceedings, Physics at Very High Ener-gies, Stanford 1982) � web link: www.slac.stanford.edu/cgi-wrap/getdoc/ssi82-025.pdf (december2009)

[10] Morris, Tennant, Grigera, Klemke, Castelnovo, Moesnner, Czternasty, Meissner, Rile, Ho�man,Kiefer, Genshcer, Slobinsky and Perry, Dirac Strings and Magnetic Monopoles in Spin IceDy2Ti2O7,Science, 2009

[11] Chaudhari, Dzordzhadze, Radeka, Rehak, Rehak, Rescia, Semertzidis, Sondericker, Thieberger,Search for Magnetic Monopoles at the Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC), (2006)

[12] J.L. Pinfold, MoEDAL, (2009) � web link: http://cdsweb.cern.ch/record/1181486/�les/ (januar2010)

[13] http://icecube.wisc.edu (januar 2010)

17