MAKALAH

STRUKTUR

ALJABAR

“GRUPOIDA”

4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR Pengertian Operasi BinerSifat-sifat Operasi BinerTable CayleyPengertian GrupoidaSifat-sifat GrupoidaDAFTAR PUSTAKA

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

GRUPOIDA

dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika

dengan a *b

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap

pasangan berurutan anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S

Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut :

Contoh I

Misalnya S = himpunan semua bilangan asliOperasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan padabilangan, artinya a * b = a – b. operasi pengurangan adalah operasibiner yang tidak tertutup.

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Contoh 2S = Himpunan semua bilangan asli.Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan padabilangan, artinya a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasibiner yang tertutup.

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Definis 4.2

SIFAT-SIFAT OPERASI BINER

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

ContohA = {1, 2, 3… }

a. Operasi pengruangan pada himpunan A :

Tidak tertutup,

Tidak komulatif, 7 – 3 ≠3 – 7

Tidak asosiatif (7-3) – 1 ≠ 7 – 93 – 1) .

b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Tabel Cayley

Tabel cayley merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasibiner pada himpunan, khusunya himpunan berhingga

Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikandengan tabel 1.

* a b c

a b c b

b a c b

c c b a

Anggota yang dioperasikan dicantumkan padabari pertama (paling atas) dan pada kolompertama (paling kiri).

Hasil kali anggota S dinyatakan dalam bujursangkar yang didalam, mulai baris kedua dankolom kedua.

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :

Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca padakolom paling kiri

Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca padabaris paling atas. Perhatikan hasil oprasi pada daerah yang diarsir, c*b= b

Pembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut :

a * b = a

a * b = c

a * c = b

b * a = a

b * a = b

b * c = b

c * a = c

c * b = c

c * c = a

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagaiberikut :

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

PENGERTIAN GRUPOIDA

Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satuatau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan Sdilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur Aljabartersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapidengan dua operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebutdinyatakan dengan (S,*,0) atau (S,0,*). Struktur aljabar yang palingsederhana adalah grupoida

Definisi 4.3

Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangandinyatakan dengan + dan x A = {1,2,3 … }B = { ….. 2,-1, 0,1 ,2 .. ) Q = { x | x bilangan rasional } R = { x | x bilangan real }

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Struktur Aljabar berikut adalah grupoida :

(A, +) dan ( A, x) (B, +) dan (B, x) (Q, +) dan (Q, x) (R, +) dan (R, x)

Contoh 12

M1 adalah himpunan matriks ordo m x nM2 adalah himpunan matriks ordo n x nPerhatikan contoh 3 dan 4(M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

SIFAT-SIFAT GRUPOIDA

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Contoh

(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah : Tidak memenuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈A memenuhi0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + a Asosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)

Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengansuatu tabel Cayley.

1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan

anggotanya sama dengan garis paling atas maka anggota pada

kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Contoh(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah :Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈Amemenuhi 0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + aAsosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)

Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengansuatu tabel Cayley.

1. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan

urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama

dengan kolom paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu

elemen identitas.

2. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal

utama maka grupoida adalah komulatif

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannyasama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yangurutan anggotanya sama dengan kolom paling kirikeduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas.

4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garisdiagonal utama maka grupoida adalah komulatif

CONTOHS = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

* a b c

a a b c

b a b c

c c b a

a * a = a a * b = a a * c = cA elemen identitas kiri dari S

b * a = ab * b = b b * c = c b elemen identitas kiri S 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitaskiri a dan b

S = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

* a b c

a a a a

b b b b

c c c c

a * a = ab * a = b c * a = c a elemen identitas kanan dari S Demikian pula untuk b dan c

Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemenidentitas kanan a,b, dan cContoh

S = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 4

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

* a b c d

a b a d c

b a b c a

c d c b c

d c d a b

b * a = ab * b = b b * c = c b * d = d b elemen identitas kiri dari S

a * b = a b * b = b c * b = c d * b = d B elemen identitas kanan dari S

Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan,maka b merupakan elemen identitas dari S.

Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut :

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Contoh

A = { 1, 2, 3, … }

B = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …} dan B* = B – {0}

Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q – {0}

R = {x | x bilangan real} dan R* = R – {0}

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabelCayley maka

a. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap bari

dalam tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiap

kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainan

c. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalam

tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

d. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris

dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

Jadi dapat disimpulkan

1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka

(G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan

2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya

berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan

kiri

Contoh{G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabel

* p q r

p p q r

q p q r

r p q r

a. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang

semuanya berlainan. Jadi (G,*) memenuhi hukum

pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan

b. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang

semuanya sama. Jadi (G,*) tidak memenuhi hukum

pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum

persamaan kiri.4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

DAFTAR PUSTAKA

Materi Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh Suherti Soebagio-A, Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka.

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN