Makalah struktur aljabar grupoida

  • View
    5.896

  • Download
    15

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Makalah struktur aljabar grupoidadianto irawan sungai penuh jambi

Text of Makalah struktur aljabar grupoida

  • 1. MAKALAHSTRUKTUR ALJABAR GRUPOIDAOLEH DIANTO IRAWAN4/20/2012

2. DAFTAR ISI KATA PENGANTAR Pengertian Operasi Biner Sifat-sifat Operasi Biner Table Cayley Pengertian Grupoida Sifat-sifat Grupoida DAFTAR PUSTAKA4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 3. GRUPOIDA dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika dengan a *b4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 4. b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap pasangan berurutan anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut : Contoh I Misalnya S = himpunan semua bilangan asli Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan pada bilangan, artinya a * b = a b. operasi pengurangan adalah operasi biner yang tidak tertutup.4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 5. 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 6. Contoh 2S = Himpunan semua bilangan asli.Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan padabilangan, artinya a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasibiner yang tertutup.4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 7. SIFAT-SIFAT OPERASI BINERDefinis 4.2 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 8. Contoh A = {1, 2, 3 } a. Operasi pengruangan pada himpunan A : Tidak tertutup, Tidak komulatif, 7 3 3 7 Tidak asosiatif (7-3) 1 7 93 1) . b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 9. Tabel Cayley Tabel cayley merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasi biner pada himpunan, khusunya himpunan berhingga Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikan dengan tabel 1.*aabbccbAnggota yang dioperasikan dicantumkan padabari pertama (paling atas) dan pada kolomb a c bpertama (paling kiri).c c b aHasil kali anggota S dinyatakan dalam bujursangkar yang didalam, mulai baris kedua dankolom kedua.4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 10. Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca padakolom paling kiriAnggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca padabaris paling atas. Perhatikan hasil oprasi pada daerah yang diarsir, c*b=bPembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut : a*b=a b*a=a c*a=c a*b=c b*a=b c*b=c a*c=b b*c=b c*c=a4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 11. Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagaiberikut :4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 12. PENGERTIAN GRUPOIDA Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur Aljabar tersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,0) atau (S,0,*). Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoida Definisi 4.3 Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan dengan + dan x A = {1,2,3 } B = { .. 2,-1, 0,1 ,2 .. ) Q = { x | x bilangan rasional } R = { x | x bilangan real }4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 13. Struktur Aljabar berikut adalah grupoida :(A, +) dan ( A, x)(B, +) dan (B, x)(Q, +) dan (Q, x)(R, +) dan (R, x) Contoh 12 M1 adalah himpunan matriks ordo m x n M2 adalah himpunan matriks ordo n x n Perhatikan contoh 3 dan 4 (M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 14. SIFAT-SIFAT GRUPOIDA 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 15. Contoh(A, +) dengan A = {1, 2, 3 . } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah :Tidak memenuhi delemen identitas penjumlahan sebab aA memenuhi0 + a = a + 0 = a dan 0 A memenuhi a + b = b + aAsosiatif, a,b,c A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c) Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel Cayley. 1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan anggotanya sama dengan garis paling atas maka anggota pada kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 16. Contoh(A, +) dengan A = {1, 2, 3 . } adalah grupoidaSifat-sifatnya adalah :Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab aAmemenuhi 0 + a = a + 0 = a dan 0 A memenuhi a + b = b + aAsosiatif, a,b,c A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c) Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel Cayley. 1. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama denganurutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya samadengan kolom paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaituelemen identitas. 2. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonalutama maka grupoida adalah komulatif4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 17. 3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannyasama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yangurutan anggotanya sama dengan kolom paling kirikeduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas. 4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garisdiagonal utama maka grupoida adalah komulatifCONTOH S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel * a bca*a=a a*b=a a a bc a*c=c b a bcA elemen identitas kiri dari Sc c b ab*a=ab*b=bb*c=c4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWANb elemen identitas kiri S 18. Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kiri a dan bS = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel* a b c a*a=a b*a=ba a a a c*a=c a elemen identitas kanan dari S b b b bc c c c Demikian pula untuk b dan c Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kanan a,b, dan c ContohS = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 44/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 19. * a b c d b*a=ab*b=ba b a d cb*c=cb a b c a b*d=dc d c b cb elemen identitas kiri dari Sd c d a b a*b=ab*b=bc*b=cd*b=dB elemen identitas kanan dari SKarena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan,maka b merupakan elemen identitas dari S.Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 20. Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut :4/20/2012OLEH DIANTO IRAWAN 21. Contoh A = { 1, 2, 3, } B = { ., -2, -1, 0, 1, 2, } dan B* = B {0} Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q {0} R = {x | x bilangan real} dan R* = R {0} 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 22. Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley makaa. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap baridalam tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiapkolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainanc. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalamtabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainand. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap barisdalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN 23. Jadi dapat disimpulkan 1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan 2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan kiriContoh {G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabela. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang *p q r semuanya berlainan. Jadi (G,*) memenuhi hukum pp q r pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan qp q rb. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang rp q r semuanya sama. Jadi (G,*) tidak memenuhi hukum pelenyapankanan dan tidak memenuhihukum4/20/2012persamaan kiri. IRAWAN OLEH DIANTO 24. DAFTAR PUSTAKAMateri Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh SuhertiSoebagio-A, Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka. 4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN