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Managemententscheidungsunterstützungssyst eme (Ausgewählte Methoden und Fallstudien) (Die Thesen zur Vorlesung 3) Thema der Vorlesung Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren Teil 1 Prof. Dr. Michal Fendek Institut für Operations Research und Ökonometrie Wirtschaftsuniversität Bratislava Dolnozemská 1 852 35 Bratislava, Slowakei Institut für Operations Research und Ökonometrie, WU Bratislava

Managemententscheidungsunterstützungssysteme (Ausgewählte Methoden und Fallstudien) ( Die Thesen zur Vorlesung 3) Thema der Vorlesung Lösung der linearen

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Managemententscheidungsunterstützungssysteme

(Ausgewählte Methoden und Fallstudien)

(Die Thesen zur Vorlesung 3)

Thema der VorlesungLösung der linearen Programmierungsprobleme:

Das Simplexverfahren

Teil 1

Prof. Dr. Michal Fendek

Institut für Operations Research und Ökonometrie

Wirtschaftsuniversität Bratislava

Dolnozemská 1

852 35 Bratislava, Slowakei

Institut für Operations Research und Ökonometrie, WU Bratislava

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:2

Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

max10080),( 21211 xxxxf

Unter den Nebenbedingungen (LOP1)

0,

200

150053

120023

21

2

21

21

xx

x

xx

xx

Rekapitulation der Erkenntnissen aus der Vorlesung N.2 Beispiel aus der Vorlesung 2:

Model (LOP1): Maximierung des Gesamterlös

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Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems

Der erste Schritt ist die so genannte Menge der zulässigen Lösungen zu konstruieren. Abgekürzte Schreibweise

)(,,;,,)(max LOPRRRwobeif mnnmT bxcA0xbAxxcx

Definition1 Für das lineare Optimierungsproblem (LOP) ist die Menge

0xbAxx ,D die Menge der zulässigen Lösungen

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

MOPO

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

-100 0 100 200 300 400 500

Produkt 1

Pro

du

kt

2 f1

NB1

NB2

NB3

Maschinenkapazität

Marketingbeschränkung

Rohstoffbeschränkung

D

x1=(333,3;100)f1(x1)=36664=f1*f2(x1)=58330

Isoerlöslinie f1=0

f1

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Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems

D e r z w e i t e S c h r i t t d e s V e r f a h r e n s i s t a u s d e r M e n g e d e r z u l ä s s i g e n L ö s u n g e n D s o g e n a n n t e O p t i m a l l ö s u n g z u i d e n t i f i z i e r e n . D e f i n i t i o n 2 D i e z u l ä s s i g e L ö s u n g x * D i s t d i e O p t i m a l l ö s u n g d e s l i n e a r e n O p t i m i e r u n g s p r o b l e m s

mnnmT RRRwobeif bxcA0xbAxxcx ,,,,,)(max w e n n

** ,)()(~ xxxxx ffD

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Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems

D wird als Durchschnitt von endlich vielen Halbebenen ein konvexes Polyeder, d.h. eine von endlich vielen Geradestücken begrenzte konvexe Menge der Ebene. Konvex bedeutet, daß die Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Punkten von D an keiner Stelle D verlässt. Diese Eigenschaft ist für viele Rechenverfahren zur Bestimmung einer optimalen Lösung wichtig Also, die Menge der zulässigen Lösungen wird mit dem konvexen Polyeder D gebildet. Dann auch jede zulässige Lösung unserer Aufgabe befindet sich in einem Punkt des konvexen Polyeder D.

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Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems

J e d e f e s t e W e r t q d e r Z i e l f u n k t i o n

n

jjj qxcf

1

)( x

w i r d a l s I s o z i e l f u n k t i o n l i n i e b e z e i c h n e t , d a j e d e a u f d i e s e r G e r a d e n l i e g e n d e K o m b i n a t i o n d e r V a r i a b l e n x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) d e n g l e i c h e n W e r t d e r Z i e l f u n k t i o n e r b r i n g t . J e d e I s o z i e l f u n k t i o n l i n i e qf xcx T)( i s t s e n k r e c h t z u d e n G r a d i e n t e n v e k t o r )( xf d e r Z i e l f u n k t i o n )( xf . D i e R i c h t u n g d e s r a s a n t e s t e n A n s t i e g s d e r F u n k t i o n f ( x 1 , x 2 , … , x n ) i m P u n k t

x 0 w i r d d u r c h d e n G r a d i e n t )( 0xf d e r F u n k t i o n i m P u n k t x 0 a n g e z e i g t . G r a d i e n t )( xf d e r F u n k t i o n )( xf i m P u n k t x 0 i s t g e g e b e n d u r c h d e n V e k t o r d e r e r s t e n p a r t i e l l e n A b l e i t u n g e n i m P u n k t x 0 u n d g i l t

0xx

xxxx

nx

f

x

f

x

ff

)(,,

)(,

)()(

21

0

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Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems

A n w e n d e n w i r j e t z t d i e a u f g e f ü h r t e n E i g e n s c h a f t e n d e r I s o z i e l f u n k t i o n l i n i e f ü r d i e L ö s u n g u n s e r e s n u m e r i s c h e n B e i s p i e l s d e r O p t i m i e r u n g d e r P r o d u k t i o n s s t r a t e g i e d e r F i r m a .

W e n n w i r w e r d e n d i e I s o e r l ö s l i n i e p a r a l l e l i n R i c h t u n g d e s O r t h o g o n a l e n v e k t o r s , ( O r t h o g o n a l v e k t o r i s t s e n k r e c h t z u d e r I s o e r l ö s l i n i e ) b z w . d e s G r a d i e n t e n d e r Z i e l f u n k t i o n f ü r d e n G e s a m t e r l ö s

100,80),(

,),(

),(2

211

1

211

211

x

xxf

x

xxfxxf

v e r s c h i e b e n , w i r k ö n n e n s e h e n , d a ß p a r t i e l l e o p t i m a l e L ö s u n g f ü r d i e Z i e l f u n k t i o n „ G e s a m t e r l ö s “ i n d e r E c k e x 1 b e f i n d e t s i c h .

I n d i e s e m P u n k t d e s k o n v e x e n P o l y e d e r g i l t x 1 = ( 3 3 3 , 3 ; 1 0 0 ) u n d d e r W e r t d e r Z i e l f u n k t i o n G e s a m t e r l ö s i s t f 1 ( x 1 ) = 3 6 6 6 4 G E = f 1

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

E r in n e r n w ir d ie e le m e n ta r e F o r m u lie r u n g d e s l in e a r e n O p tim ie r u n g sp r o b le m s B e m e r k u n g : a ) a lle N e b e n b e d in g u n g e n s in d in d e r F o r m ‚k le in e r o d e r g le ic h ‘ = < b ) a lle V a r ia b le n s in d n ic h tn e g a tiv

min xc = f(x) jj

n

j=1

u n te r d e n B e d in g u n g e n

n,1,=j x

m, ,=i b xa

j

ijij

n

j=1

0

w o m – Z a h l d e r N e b e n b e d in g u n g e n d e s P r o b le m s , n – Z a h l d e r V a r ia b le n d e s P r o b le m s , c j – K o e f f iz ie n te n d e r Z ie lfu n k tio n , j= 1 ,. . . ,n , b i – K o e f f iz ie n te n d e r r e c h te n S e ite , i= 1 , . . . ,m , a i j – K o e f f iz ie n te n d e r M a tr ix d e s S y s te m s d e r N e b e n b e d in g u n g e n , i= 1 , . . . ,m , j= 1 ,. . . ,n , x j - E n ts c h e id u n g s v a r ia b le n , j= 1 ,. . . ,n ,

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

Standardform des linearen Optimierungsproblems - Transformation des linearen Optimierungsproblems aus der Form des linearen Ungleichungssystems in der Form des linearen Gleichungssystems Bemerkung: a) alle Nebenbedingungen sind in der Form ‚ gleich‘ = formuliert b) Transformation der Ungleichungen ist mit der Hilfe so genannten Schlupfvariablen si realisiert c) alle Schlupfvariablen sind auch nichtnegativ Aufgabe LOP_SF

min xc = f(x) jj

n

1=j

unter den Bedingungen

m, ,=is

n,1,=j x

m, ,=i bs xa

i

j

iijij

n

j=1

0

0

wo cj – Koeffizienten der Zielfunktion, j=1,...,n, bi – Koeffizienten der rechten Seite, i=1,...,m, aij – Koeffizienten der Matrix des Systems der Nebenbedingungen, i=1,...,m, j=1,...,n, xj - Entscheidungsvariablen, j=1,...,n, si - Schlupfvariablen, i=1,...,m,

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

max10080),( 2121 xxxxf

Unter den Nebenbedingungen (LOP)

0,,,,

200

150053

120023

32121

32

221

121

sssxx

sx

sxx

sxx

S ta n d a r d fo r m d e s l in e a r e n O p tim ie r u n g sp r o b le m s in d e r M a tr ix fo r m S F _ L O P

mnmmnmT RRRRf sbxcEA0sxbEsAxxcx ,,,;,;,,)(max B ei d e r V o ra u sse tzu n g m n ; ra n g ( A , E ) = m

ji

jiee ijmmij 0

1,E

Model (LOP): Maximierung des Gesamterlöses

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

Erste Frage: Wie werden wir dieses linearen Optimierungsproblem in der Form des linearen Gleichungssystems lösen?

m

f T

Erang!!!

,

max)(

0sx

bEsAx

xcx

bx

xBN

x

xccx

B

N

B

NBN

,

max,)(f

0!!!

;

;

N

NB

x

xxsx

BENA

bx

BN

xccx

B

BBN

0,

0,)(f

bBx

xcx

B

BB

Tf )(

bBEx

bBBxB

BbBx

1B

1B

1

1LB

/

!!!! bBcx

bBx1

B

1B

Tf

0 *

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

Nächste Frage: Welcherart wir können diese Basische Lösung des Optimierungsproblems finden Definition 5: Geben ist eine Aufgabe in der Form LOP_ST mit m <= n. Eine Basislösung des Problems ist eine Lösung (Vektor), in der höchstens m Variablen von Null verschiedene Werte annehmen. Die mindestens n-m restlichen Variablen nehmen en Wert Null an. Die zur Basislösung gehörigen Variablen heißen Basisvariablen. Bemerkung: Eine Basislösung mit den nichtnegativen Variablen heißt Basische zulässige Lösung des Problems

0 bBx 1B

Die Lösung des Systems der linearen Nebenbedingungen in der Form:

ist Basische Lösung des Problems

bBx 1B

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

Zum Beispiel folgende drei Vektoren sind die zulässige Basislösungen in userer Optimierungsaufgabe

0,,,,

200

150053

120023

32121

32

221

121

sssxx

sx

sxx

sxx

In dem System der Nebenbedingungen in unserem Optimierungsproblem wir haben m = 3 Nebenbedingungen und n = 5 Variablen Rang der Matrix des Systems der Nebenbedingungen ist r(A) = 3. Also Vektor der zulässigen Basislösung muß höchstens 3 positive Elemente umfassen und aller übrigen Elemente des Vektors der zulässigen Basislösung müssen Nullwerte annehmen.

0,500,800,200,00,,,,0,,,,

200,300,0,0,400,,0,0,,,,,

200,1500,1200,0,0,,,0,0,,,,

212321213

321321212

32132121

ssxsssxx

ssxsssxx

ssssssxx

x

x

x1

100,0,600,300,0,0,,,0,,,, 312321214 ssxsssxxx

und zum Beispiel Vektor ist die nicht zulässige Basislösung der Optimierungsaufgabe

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

E s i s t k l a r , d a ß w i r t h e o r e t i s c h a l l e B a s i s l ö s u n g e n d e s O p t i m i e r u n g s p r o b l e m s b e r e c h n e n k ö n n e n . ? ? ? W i e v i e l d i e s e r L ö s u n g e n w i r m ü s s e n a l s o b e r e c h n e n , w e n n d a s O p t i m i e r u n g s p r o b l e m m N e b e n b e d i n g u n g e n u n d n V a r i a b l e n h a t u n d R a n g d e r M a t r i x d e s S y s t e m s d e r N e b e n b e d i n g u n g e n i s t r ( A ) = m .

m

nBLp

I n u n s e r e m B e i s p i e l f ü r d i e Z a h l d e r B a s i s l ö s u n g e n ( B i n o m i a l k o e f f i z i e n t ) d a n n g i l t

103

5

m

nBLp

A b e r s c h o n i m F a l l , w e n n m = 3 u n d n = 1 0 0 i s t

16170023/1819203

20

m

nBLp

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

Nächste Frage: Können wir diese aktuelle Basische zulässige Lösung des Problems verbessern? Oder Ist diese aktuelle Basische zulässige Lösung des Problems schon die Optimallösung? Definition 6: Die zulässige Lösung x* der Optimierungsaufgabe in der Form LOP_ST ist die Optimallösung der Aufgabe, wenn keine andere zulässige Lösung x mit dem besseren Wert der Zielfunktion existiert .

bBcx

bBx1

B

1B

Tf

0

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:17

Lösung der linearen Programmierungsprobleme:Das Simplexverfahren

Nächste Frage: Müssen wir wirklich bei der Suche der optimale Lösung so viel Basislösungen untersuchen? Die Antwort gab G B. Dantzig in seinem Simplexverfahren Ideenschema des Simplexverfahrens Algorithmus schrittweise untersucht nicht die unendliche Anzahl der allen zulässigen Lösungen, aber nur die endliche Anzahl der Basislösungen

iterativer Prozess

*21 xxxx k

0bBxxx 1. kB

kk DI Ist xk optimal? A) ja Stop B) nein II.

kkkk ffII xxxx 11 :.

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:18

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Elementar Algorithmus des Simplexverfahrens Gegeben ist das Optimierungsproblem

I. Etappe Initialisierung: Festlegung der zulässigen Ausgangsbasislösung (ZABL)

- Iterationsnummer p - Voraussetzungen:

0x

bAx

xcx

max)( Tf

0x

bAx

xcx

max)( Tf

0sx

bEsAx

xcx

,

max)( Tf

m

nn

mnm

R

RR

mR

b

,;

,rang;,~

sxc

EAEAA

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:19

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Stellen wir der Iterationsnummer p = 0 Wir bekommen die zulässige Ausgangsbasislösung Führen wir nächste Substitutionen ein: II

0,,

max,)(

pp

p

p

p

p

BN

B

f

Nxbx

xBN

x

xccx

B

N

N

ZABL,,,

0

0

000

10

10

0

b0s0xxx

b0bBcx

bEbbBxs

BN

B

B

TTf

xxsx

BENA

NB

pp

p

;

;

;;b;

~;

~~;,,1,

~;

~

100

11

mmnm

m

iijj

mn

jjjj

RR

anj

XXBX

AAAABXABX

1

11

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

II. Etappe: Die Feststellung der optimalen Lösung des linearen Optimierungsmodells - OL 10 Optimalitätstest der aktuellen Basislösung (Bestimmung der eintretenden Variable) Berechnung des Vektors der reduzierten Bewertungen der Variablen a) Wenn

b) Wenn 1.1 wenn ist OL des LOP; STOP

1.2 wenn dann

Der Spaltenvektor Ak tritt in der Basis ein Die entsprechende Variable ist eintretende

( Der k-te Spaltenvektor der Simplextabelle ist s. g. Pivotspalte )

gehe zu dem Schritt 20

mnjcxccr

r

jTB

m

ijijBijj

mn

jj

TB

Tp

TB

TT

,,1,X

XA

1

1

1

c

r

ccBccr

jmnj

k rrf

,..,1

maxmax:)(x

*0 xx pkr

0kr

jmnj

k rrf

,..,1

minmin:)(x

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:21

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

20 Bestimmung der eintretenden Variable 2.1 Wenn der Wert der Zielfunktion ist unbegrenzt

STOP 2.2 Wenn wir berechnen dann

Die eintretende Variable den Wert t haben wird

Der l-te Basisspaltenvektor tritt aus der Basis aus

Die l-te Basisvariable wird austretende

Der l-te Zeilenvektor der Simplextabelle ist s.g. Pivotzeile Das Tabelleelement xlk, das im Abschnitt von Pivotspalte und Pivotzeile steht, heißt Pivotelement

gehe zu dem Schritt 30

m,ifür xik ,1,0

0,...,1

ikmi

x

lk

l

m

iik

i

x x

x

x

xmint

ik

0

1

0

0

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:22

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

30 Die elementare Basisänderung mit dem Pivotlement xlk ALLE Elemente der Simplextabelle wir werden aus der Matrix

auf die Matrix nach der folgenden Formel transformieren

mnjli für

x

xxx

li fürx

x

xx

lk

ikljij

lk

lj

ijmj

miij

,,1,0~~~ ,,1,0

,,1

X

Dann stellen wir a) b) Iterationsnummer p = p + 1

gehe zurück zu dem Schritt 10

mnj

miijx

,,1,0

,,1

~~

X

mnj

miijx

,,1,0

,,1

X

mj

miijmj

miij xx

,,1,0

,,1

,,1,0

,,1,

~

�XX

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Beispiel N. 1 Wir werden ein Unternehmen untersuchen. Das Unternehmen hat in seinem Produktionsprogramm zwei Produkte P1, P2. Für die Erzeugung diese zwei Produkte die Firma benutzt 2 Produktionsfaktoren. Disposition des Modells: a) Wir haben zur Verfügung: die Angaben über die Verbrauchsnormen der Produktionsfaktoren für die einzelne Produkte des Produktionsprogramms aij, i = 1, 2 ; j = 1, 2 die Angaben über die verfügbare Menge der einzelnen Produktionsfaktoren bi, i = 1, 2 die Angaben über die Preise pj der einzelnen Produkte des Produktionsprogramms, j = 1, 2 Diese Angaben über das Produktionsprogramm des Unternehmens sind in Tabelle 1 präsentiert.

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Tabelle 1.

Produktionsfaktor Verbrauchsnormen der

Produktionsfaktoren

verfügbare Menge der

Produktions-faktoren

P1 P2

F1 2 1 7

F2 3 2 11

Preis 8 5 -

0,

1123

712

..

18),(

21

21

21

2111

xx

xx

xx

BU

maxxxxxf

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:25

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Graphische Darstellung der Lösung

0,

1123

712

..

58),(

21

21

21

2111

xx

xx

xx

BU

maxxxxxf

x2

x1

7

11/2

7/2 11/3

D

f(x) x*=(3,1)

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11.04.2023 Prof. Dr. Michal Fendek Folie Nr.:26

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Lösung Tab.1

f (x1, x2) 8 5 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

s1 0 2 1 1 0 7 s2 0 3 2 0 1 11

rj 8 5 0 0 0

Zulässige Ausgangsbasislösung nach der ersten Iteration:

0~0058

0,

11700,B

max

21

212143

jr

xxf

ssxxxAA

581023

0112

Tc

11

7bA

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

2. Iteration Tab.2

f (x1, x2) 8 5 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

x1 8 1 1/2 1/2 0 7/2

s2 0 0 1/2 -3/2 1 1/2

rj 0 1 -8 0 28

Zulässige Basislösung nach der zweiten Iteration:

00810

28,

2/1002/7,B

max

21

212141

jr

xxf

ssxxxAA

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

3. Iteration Tab.3

f (x1, x2) 8 5 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

x1 8 1 0 2 -1 3 x2 5 0 1 -3 2 1

rj 0 0 -1 -2 29

Optimale Basislösung nach der dritten Iteration:

29**,

0013*,B

21

212121

xxf

ssxxxAA

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Beispiel 2 Graphische Darstellung der Lösung

0,

122

412

..

23),(

21

2

21

2111

xx

x

xx

BU

maxxxxxf

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

x2

x1

4

-2

D

f(x)

6

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Lösung Tab.1

f (x1, x2) 2 3 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

s1 0 -2 1 1 0 4 s2 0 0 2 0 1 12

rj 2 3 0 0 0

Zulässige Ausgangsbasislösung nach der ersten Iteration:

0~0032

0,

12400,B

max

21

212143

jr

xxf

ssxxxAA

322

4

1020

0112

Tc

1bA

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Tab.2

f (x1, x2) 2 3 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

x2 3 -2 1 1 0 4

s2 0 4 0 -2 1 4

rj 8 0 -3 0 12

Zulässige Ausgangsbasislösung nach der zweiten Iteration:

0~0308

12,

4040,B

21

212142

jr

xxf

ssxxxAA

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Tab.3 f (x1, x2) 2 3 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

x2 3 0 1 0 1/2 6 x1 2 1 0 -1/2 1/4 1

rj 0 0 1 -2 20

Zulässige Ausgangsbasislösung nach der ersten Iteration: Wert der Zielfunktion ist unbegrenzt!!!

tttftt UBUB ;2063

2

112;06

2

11 xx

0~2100

20,

0061,B

max

21

212112

jr

xxf

ssxxxAA

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Beispiel 3 Graphische Darstellung der Lösung

0,

82

40410

..

25),(

21

21

21

2111

xx

xx

xx

BU

maxxxxxf

Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

x2

x1

4

x*1=(2,5)

D

f(x)

10

4

x*2=(4,0)

f(x*1)= f(x*2)=20

f(x)=0

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Lösung Tab.1

f (x1, x2) 5 2 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

s1 0 10 4 1 0 40 s2 0 -1 2 0 1 8

rj 5 2 0 0 0

Zulässige Ausgangsbasislösung nach der ersten Iteration:

0~0025

0,

12400,B

max

21

212143

jr

xxf

ssxxxAA

258

40

1021

01410

TcbA

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Tab.2

f (x1, x2) 5 2 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

x1 5 1 2/5 1/10 0 4 s2 0 0 8/5 1/10 1 12

rj 0 0 -1/2 0 20

Erste alternative Basislösung nach der zweiten Iteration:

OLx

xAA

Bx

002/100

20,

12004,B

2

21

212141

xjr

xxf

ssxx

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Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren

Tab.2

f (x1, x2) 5 2 0 0

xB cB x1 x2 s1 s2 b

x1 5 1 0 1/12 -1/6 2 x2 2 0 1 1/24 5/12 5

rj 0 0 -1/2 0 20

Zweite alternative Basislösung nach der dritten Iteration: Alle alternative Optimallösungen

OLx

xAA

Bx

002/100

20,

0052,B

2

21

212121

sjr

xxf

ssxx

25,

522521041*

21

*2*1

xxf

xxx