Mantik 2 (d.pierce)

nermeler mant

David Pierce

Kasm , saat :

Matematik BlmMimar Sinan Gzel Sanatlar niversitesi

stanbul

[email protected]

http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

Bu notlarCreative Commons AttributionGayriticariShare-Alike

. Unported Lisans ile lisansldr.Lisansn bir kopyasn grebilmek iin,

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.tr

adresini ziyaret edin.

CC BY: David Austin Pierce $\

C

Bu yaznn ana kaynaklar, Churchun [], Shoeneldin [], Burrisin [],ve Nesinin [] kitaplar ve Foundations of Mathematical Practice (Eyll) adl notlarmdr. Baz terimler, [, ] kaynaklarndan alnmtr.

indekiler

nermeler

Bileke nermeler

nerme formlleri

Denklik

Gerektirme

Biimsel kant

klidin nermeleri

Tkzlk

Biimsel dizgeler

Kaynaka

nermeler

nerme, belli bir durumda doru veya yanl denebilen cmledir. Mate-matikte, durum ounlukla bir yapdr. rnein, Her saynn tersi varcmlesi, bir nermedir, ve bu nerme,

) (N,+) yapsnda yanl,) (Z,+) yapsnda doru,) (N, ) yapsnda yanl,) (Q+, ) yapsnda dorudur. (Burada Q+ = {x : x Q x > 0}.)

Doru ve yanl, doruluk deerleridir. Doru doruluk deerini 1olarak yazalm; yanl doruluk deerini de 0 olarak. Belli bir durumda,bir nerme doru ise, o nermenin o durumdaki doruluk deeri 1dir;yanl ise, nermenin durumdaki doruluk deeri 0dr.

Her durum, bir doruluk gndermesi belirtir. Bu gnderme, her ner-meyi o durumdaki doruluk deerine gnderir. Mesela, d1 doruluk gn-dermesi, (N,+) yapsndan tarafndan belirtilsin. O zaman

d1(Her saynn tersi var) = 0.

Ancak, d2 doruluk gndermesi, (Z,+) yapsndan tarafndan belirtilirse,o zaman

d2(Her saynn tersi var) = 1.

1 ve 0 yerine, D ve Y , ya da ve , iaretleri kullanlabilir.

Bileke nermeler

Verilmi nermelerden, balalarla, bileke nermeler yaplabilir, veonlarn deerleri, verilmi nermelerin deerlerinden bulunabilir. Mesela,iki nermemiz olsun, ve onlara, P ve Q diyelim. O zaman P ve Qnermesini oluturabiliriz. Her durumda, bu yeni nerme dorudur ancakve ancak P dorudur ve Q de dorudur.

P ve Q nermesini P Q olarak yazalm, ve d, bir doruluk gndermesiolsun. O zaman

d(P Q) = 1 ancak ve ancak d(P ) = 1 ve d(Q) = 1.

Genellikle (d(P ), d(Q)) sral ikilisi iin, drt tane seenek vardr. Herseenekteki P Q nermesinin deeri, aadaki gibi bir doruluk tab-losunda gsterilir.

P Q P Q0 0 01 0 00 1 01 1 1

Birok nemli matematiksel nerme, P iseQ biimindedir. Bu nermeyi,P Q olarak yazarz. Her d doruluk gndermesi iin,

d(P Q) = 1 ancak ve ancak d(P ) = 0 veya d(Q) = 1.

P Q nermesinin doruluk tablosu aadaki gibidir:

P Q P Q0 0 11 0 00 1 11 1 1

Q harfi, k veya ky gibi telauz edilebilir.

rnein, klidin I. numaral nermesine bakalm:

Eer bir genin birbirine eit iki as varsa,eit alarn grd kenarlar eittir.

imdi

P , B kesindeki a, C kesindeki aya eittir nermesi olsun,ve

Q, AC kenar AB kenarna eittir nermesi olsun.

Bir ABC genini bir yap olarak dnrz, ve bu yap iin, bir d do-ruluk gndermesi vardr. O zaman klidin I. numaral nermesine gre,d(P Q) = 1, yani,

ya d(P ) = 0, ya da d(Q) = 1.

Altrma . Yukardaki P ve Q iin, yle bir yap bulun ki, bu yapdad(P Q) = 0 olsun.

Szcklerde ve simgelerde kullanacamz tm bileke nermeler, bu e-kildedir:

P ve Q

P veya Q

P ise Q

P ancak ve ancak Q

P deil

P Q

P Q

P Q

P Q

P

Onlarn tm olas doruluk deerleri, . numaral ekildeki doruluktablolarnda gsterilmitir. , , , , ve iaretlerine balayc de-riz.

klidin I. numaral nermesi, P Q biimindedir. O nerme aadakigibidir:

Baz kitaplarda P Q yerine P & Q, P Q yerine P Q veya P Q, P Qyerine P Q, ve P yerine P veya P kullanlr.

Hatrlamak iin: Latince VEL szcu, veya demektir, onun iin veya, olarakyazlr. ngilizce AND szcu, ve demektir, ve iareti, A gibidir.

P Q P Q P Q P Q P Q0 0 0 0 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1

P P0 11 0

ekil .: Basit formllerin doruluk tablolar

Eer bir doru, konulursa bir dorunun zerine,yapt alar, ya iki dik

ya da iki dik aya eit olacak.

ABC, bir doru olsun, ve BD, baka bir doru. Bu durum iin, bir ddoruluk gndermesi var. O zaman

P , ABD ve CBD alar, diktir nermesi olsun, ve Q, ABD ve CBD alar, iki dik aya eittir nermesi olsun.

I. numaral nermeye gre,

ya d(P ) = 1, ya da d(Q) = 1.

Bir nermede, birden fazla balayc bulunabilir. Aslnda, klidin I.numaral nermesi byle dnlebilir. imdi ABC ve ABD, bitiik alarolsun, ve d, bu durum iin doruluk gndermesi olsun.

P ve Q, yukardaki gibi olsun, F , P Q nermesi olsun, ve R, AB ve BC dorular, bir dorudadr nermesi olsun.

O zaman I. numaral nermeye gre, d(R F ) = 1. stelik, I.numaral nermeye gre, d(Q R) = 1; ve d(P R) = 1, dik ann ta-nmndan ve drdnc postulattan. Bu ekilde d(F R) = 1. Sonunda,tm bunlara gre, d(R F ) = 1.

Baka bir rnek iin, klidin I. numaral nermesine bakalm:

Eer iki genin iki kenar iki kenara eit olursa, her biri birine,ve a aya eit olursa, yani eit dorular tarafndan ierilen,

Bileke nermeler

hem taban tabana eit olacak,hem gen gene eit olacak,

hem de geriye kalan alar geriye kalan alara eit olacak, her biri birine,yani eit kenarlar grenler.

Bu nerme, F G biimdedir, ama F ve G nermelerin kendisi, bile-kedir. Aslnda,

P1, AB kenar, DE kenarna eittir nermesi olsun, P2, AC kenar, DF kenarna eittir nermesi olsun, P3, BAC as, EDF asna eittir nermesi olsun, F , P1 P2 P3 nermesi olsun, P4, BC kenar, EF kenarna eittir nermesi olsun, P5, ABC geni, DEF genine eittir nermesi olsun, P6, ABC as, DEF asna eittir nermesi olsun, P7, ACB as, DFE asna eittir nermesi olsun, ve G, P4 P5 P6 P7 nermesi olsun.

ABC ve DEF genleri iin, bir d doruluk gndermesi vardr, ve I.numaral nermeye gre, d(F G) = 1 olur, yani d(F ) = 0 veya d(G) =1. stelik, d(F ) = 1 ancak ve ancak

d(P1) = d(P2) = d(P3) = 1;

ve d(G) = 1 ancak ve ancak

d(P4) = d(P5) = d(P6) = d(P7) = 1.

Bileke bir nermenin balayclarndan sadece biri, nermenin ana ba-laycsdr. Tekrar I. ve I. numaral nermeler rneine bakalm.Orada, R F nermesinin ana balaycs, balaycsdr. O ner-mede balaycs bulunur, ama bu, nermenin ana balaycs deil, Fnermesinin ana balaycsdr.

R F nermesi, imdi R P Q olarak yazlamaz, nk bu ifade,nermenin ana balaycsn gstermez. R (P Q) gibi bir ifade yaz-

labilir veya bir aa izilebilir:

PPPP

PPPP

PPPP

PP

R

P Q

P1 P2 P3 nermesinin ana balaycs, balaycsdr, ama hangi ?Bu nermede, balaycsnn iki geii var. Hangisinin ana balaycolduu fark etmez. (Neden?) Kesinlik iin, son gei olsun diyelim. Ozaman P1 P2 P3 demek, P1 (P2 P3) demektir. Ayn ekilde, P4 P5 P6 P7 demek P4 (P5 (P6 P7)).

Ancak P Q R nermesindeki balaycsnn hangi geiinin ner-menin ana balaycs olduu nemlidir. (Neden?) Tekrar son gei olsundiyelim: P Q R demek P (Q R) demek olsun.

Gei terimini [] kitabndan aldm; ngilizcesi, occurrence.

Bileke nermeler

nerme formlleri

Bundan sonra, daha biimsel olacaz. P , Q, ve R gibi Latin harfleri, veP1 ve P2 gibi bileke simgeler, nerme deil, nerme deikenleridir.Onlardan nerme formlleri olutururuz, bu tanma gre:

. Her nerme deikeni, bir nerme formldr.

. F ve G, nerme formlleriyse, (F G), (F G), (F G), ve(F G) ifadeleri de nerme formlleridir.

. F , nerme formlyse, F ifadesi de bir nerme formldr.

. 1 ve 0 simgeleri, nerme formlleridir.

rnein, P , (PQ), (R1), ((PQ) (R1)), ve ((PQ) (R1)),nerme formlleridir.

Teorem . F , G, H, ve K, nerme formlleri olsun, ve ile , simgelerolsun. Eer

(F G) ile (H K)

ayn formldr, o zaman F ve H, birbiriyle ayndr, ve olarak yazlansimge, , , , ve simgelerinden biridir.

Bu teoremi ispatlamyoruz.

Bundan sonra, F , G, H, ve K gibi Latin harfleri her zaman nermeformllerini gsterecek. Bu durumda, (F G) bir nerme formlyse, ozaman olarak yazlan simge, (F G) formlnn ana balaycsdr.

F formlnn ana balaycs, simgesidir. Ayrca, 0 veya 1, ken-disinin ana balaycs olarak kabul edilir. Ancak bir deikenin anabalaycs yoktur.

Her deiken olmayan formln sadece bir tane ana balaycs vardr.Ayrca, bir formlde, her deiken veya ayra olmayan simge, bir ve sadece

bir alt formln ana balaycsdr. Bir formln nerme deikenleride altformller olur. rnein, ((P Q) R) formlnn alt formlleri,aadaki tabloda sralanmtr.

altforml ana balaycs((P Q) (R 1))

P

(P Q) Q

((P Q) (R 1)) R

(R 1) 1 1

Bundan sonra, doruluk gndermesi, tm nerme formlleri kmesin-den {0, 1} kmesine . numaral ekildeki gibi aadaki kurallara gretanmlanm bir fonksiyon anlamna gelecektir.

d(F ) d(G) d((F G)) d((F G)) d((F G)) d((F G))0 0 0 0 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 01 1 1 1 1 1

,

d(F ) d(F )0 11 0

, d(1) = 1, d(0) = 0.

Genellikle, F bir nerme formlyse, ve d bir doruluk gndermesiyse,d(F ) deerini hesaplamak iin, F formlnn her G alt forml iin d(G)deerini hesaplamalyz. Bu d(G) deeri, F formlnn doruluk tablo-sunda,

) eer G bir deikense, G altnda,) eer G deiken deilse, G formlnn ana balaycs altnda,

gsterilebilir. Mesela ((P Q) (R 1)) formlnn doruluk tab-losunu . numaral ekildeki gibi olutururuz. Sonu olarak, formln

nerme formlleri

( ( P Q ) ( R 1 ) )0 0 0 11 0 0 10 1 0 11 1 0 10 0 1 11 0 1 10 1 1 11 1 1 10 0 0 0 0 11 0 0 0 0 10 0 1 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 1 1 1 11 1 1 1 1 10 0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 0 10 0 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0 10 0 0 1 1 1 11 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 0 10 0 0 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1

ekil .: Doruluk tablosu hesaplanmas

doruluk tablosu aadaki gibidir.

P Q R ((P Q) (R 1)0 0 0 01 0 0 00 1 0 01 1 0 10 0 1 01 0 1 00 1 1 01 1 1 0

.

nerme formllerinde, baz ayralar gerekmez ve kullanlmayabilir. Ozaman doruluk deerleri u srada hesaplanr:

) 0 ve 1;) ;) ve ;) ve ;) bir balaycnn iki geii varsa, sadaki.

rnein:

a) F G demek (F G);b) F G ve (F G) farkldr;c) F G H demek F (G H);d) F G H belirsiz (onun iin yazlmaz);e) F G H demek F (G H);f) F G H demek F (G H);g) F G H K demek F ((G H) K).

, , , balayclarna iki konumlu denir; balaycsna, bir ko-numlu denir; 0 ve 1, sfr konumlu balayclar olarak dnlr.

Altrma . Aadaki deikensiz formlleri hesaplayn.

a) 1 1 1;b) 1 0 1;c) (0 1) 1;d) (0 1) (0 1);

nerme formlleri

e) 0;f) (1 0) 0;g) 1 (0 0).

Altrma . Aadaki formllerin doruluk tablolarn yapn:

a) P Q P ;b) P Q R;c) (P (Q R));d) (P Q R) P Q;e) (P Q R) (Q P R) P R;f) (R P (R Q)).

Denklik

ki nermenin doruluk deeri her durumda aynysa, o nermeler, man-tksal olarak birbirine edeer veya denktir.

ki nerme formlnn doruluk tablolar aynysa, o formller de birbi-rine edeer veya denktir. Yukardaki klidin I. ve I. numaralnermeleri rneinde zaten iki denklik kullandk. Mesela, P Q Rnermesi, (P R) (Q R) nermesine denktir (P Q R ifadesi-nin (P Q) R demek olduunu hatrlayn). Bu nermelerin doruluktablolarn hesaplayalm:

P Q R0 0 0 1 01 1 0 0 00 1 1 0 01 1 1 0 00 0 0 1 11 1 0 1 10 1 1 1 11 1 1 1 1

( P R ) ( Q R )0 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 00 1 0 0 1 0 01 0 0 0 1 0 00 1 1 1 0 1 11 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

Bylece . numaral ekildeki tablolar elde ederiz. Bu tablolar, birbiriyleayndr; onun iin

P Q R denktir (P R) (Q R)

deriz.

F ve G nerme formlleri edeer ise,

F G

ifadesini yazabiliriz. rnein,

P Q R (P R) (Q R).

P Q R P Q R0 0 0 11 0 0 00 1 0 01 1 0 00 0 1 11 0 1 10 1 1 11 1 1 1

P Q R (P R) (Q R)0 0 0 11 0 0 00 1 0 01 1 0 00 0 1 11 0 1 10 1 1 11 1 1 1

ekil .: ki formln doruluk tablolar

Ancak, dikkatli olunmal: F G ifadesi, nerme forml deil; sadece Fve G formlleri, birbirine denktir, yani

F denktir G

cmlesi iin bir ksaltmadr.

Teorem . Aadaki edeerliklerimiz vardr.

. (Her nerme, sadece ve ile yazlabilir:)

P Q denktir (P Q),

P Q denktir P Q,

P Q denktir (P Q) (Q P ).

. (Her nerme, sadece ve ile yazlabilir:)

P Q denktir (P Q).

. (ifte deilleme kaldrlabilir:)

P denktir P.

. (De Morgan kurallar:)

(P Q) denktir P Q,

(P Q) denktir P Q.

Augustus De Morgan, , Byk Britanyal matematiki ve mantk [, ].

. ( ve balayclarnn deime ve birleme zellikleri:)

P Q denktir Q P, (P Q) R denktir P (Q R),

P Q denktir Q P, (P Q) R denktir P (Q R).

. ( ve balayclar birbiri zerine dalr:)

P (Q R) denktir (P Q) (P R),

P (Q R) denktir (P Q) (P R).

. (Fazlalklar:)

P P denktir P,

P P denktir 0,

P 1 denktir P,

P 0 denktir 0,

P P denktir P,

P P denktir 1,

P 0 denktir P,

P 1 denktir 1.

. (Yeni deiken:)

P denktir (P Q) (P Q),

P denktir (P Q) (P Q).

. (Yutma:)

P (P Q) denktir P,

P (P Q) denktir P.

Kant. Altrma .

Bu teoremden, aadaki teoremi kullanarak, sonsuz tane denklik eldeedebiliriz. rnein, P Q forml P Q formnne denk olduun-dan

P Q R denktir (P Q) R

ifadesini elde ederiz.

Denklik

Teorem . F ve G, birbirine denk formller olsun; H, bir nerme de-ikeni olsun; ve H , bir nerme forml olsun. Eer F formlnde Hdeikeninin getii her yere H konulursa, F forml elde edilsin; benzerekilde, G formlnden G elde edilsin. O zaman

F denktir G.

Bu teoremi, ispatlamyoruz.

stelik, (P Q) forml P Q formlne denk olduundan, sonrakiteorem sayesinde,

(P Q) R denktir (P Q) R

ifadesini elde ederiz.

Teorem . F forml, bir G formlnn bir alt forml olsun, ve F , birF formlne denk olsun. Eer, G formlnde, F alt formlnn yerineF konulursa, G forml elde edilsin. O zaman

G denktir G.

Bu teoremi de ispatlamyoruz. Ancak, imdi aadaki teorem ispatlana-bilir:

Teorem . (P Q)(RS) denktir (P R)(QR)(P S)(QS).

Kant. Aadaki denkliklerimiz vardr.

(P Q) (R S)

((P Q) R) ((P Q) S) [dalma]

(R (P Q)) (S (P Q)) [deime]

((R P ) (R Q)) ((S P ) (S Q)) [dalma]

(R P ) (R Q) (S P ) (S Q) [birleme]

(P R) (Q R) (P S) (Q S) [deime]

Bu ispatn her admnda, numaral ve numaral Teoremleri kullandk.

Benzer ekilde:

Teorem .

P (P Q) denktir P Q, P (P Q) denktir P Q,

P (P Q) denktir P Q, P (P Q) denktir P Q.

Kant. Aadaki denkliklerimiz vardr.

P (P Q)

(P P ) (P Q) [dalma]

1 (P Q) [fazlalk]

P Q [fazlalk]

Dier denklikler, Altrma .

Denklik

Gerektirme

Eer, her d doruluk gndermesi iin, d(F ) = d(G) ise, o zaman F ve G,birbirine denktir. Yani, F denktir G, eer, her d iin,

) d(F ) = 1 ise d(G) = 1,) d(G) = 1 ise d(F ) = 1.

imdi, her d iin, sadece d(F ) = 1 ise d(G) = 1 olduunu varsayalm. Ozaman F forml, G formln gerektirir deriz. Mesela,

P Q R gerektirir P R,

aadaki doruluk tablosundan:

P Q R P Q R P R0 0 0 1 11 0 0 0 00 1 0 0 11 1 0 0 00 0 1 1 11 0 1 1 10 1 1 1 11 1 1 1 1

Buradaki her satrda, ya P Q R formlnn deeri 0, ya da P Rformlnn deeri 1. Tabii ki ikisi de olabilir.

Teorem .

Basitletirme:

P Q gerektirir P, P Q gerektirir Q.

Ekleme:

P gerektirir P Q, Q gerektirir P Q.

Kant. Altrma .

ki forml de bir forml gerektirebilir. F ve G formlleri, H formlngerektirir, ancak ve ancak, her d doruluk gndermesi iin, ya d(F ) = 0,ya d(G) = 0, ya da d(H) = 1. Mesela,

P Q ile Q R gerektirir P R,

aadaki tablodan:

P Q R P Q Q R P R0 0 0 1 1 11 0 0 0 1 00 1 0 1 0 11 1 0 1 0 00 0 1 1 1 11 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

Aslnda, sadece ., ., ., ve . satrda, hem P Q ve Q R doru,ve o satrda, P R de dorudur. Ancak, P R ve P Q, Q Rformln gerektirmez.

Teorem . Aadaki gerektirmelerimiz vardr.

Balama:

P ile Q gerektirir P Q.

Ayrma:

P ile P Q gerektirir Q, P Q ile P gerektirir Q,

Q ile P Q gerektirir P, P Q ile Q gerektirir P.

Hipotetik tasm:

P Q ile Q R gerektirir P R.

Kant. Altrma . (Hipotetik tasm gerektirmesini zaten ispatladk.)

Gerektirme

kiden fazla forml, bir forml gerektirebilir. (Gamma), bir nerme for-ml kmesi olsun, ve F , bir nerme forml olsun. Eer her d dorulukgndermesi iin,

) ya kmesindeki bir G iin, d(G) = 0,) ya da d(F ) = 1

salanyorsa, o zaman , F formln gerektirir. Yani, , F form-ln gerektirir, ancak ve ancak, {F} kmesindeki btn formllerindoruluk tablosunun her satrnda,

) ya kmesindeki bir forml yanltr,) ya da F forml dorudur.

Teorem .

Olumlu dilemma:

P Q, R S ve P R gerektirir Q S.

Kant. Gerektirme, . numaral ekildeki doruluk tablosundan gr-nebilir. Aslnda, sadece ., ., ., ., ve . satrlarda, hem P Q,hem R S, hem de P R doru, ve o satrlarda, Q S de doru.

Altrma . P Q R, P Q, ve Q R gerektirir R olduunugsterin.

Bir nerme forml, bo kme tarafndan gerektirilebilir. Bu durumda,o formle dorusal geerli forml, veya mantksal doru forml,veya totoloji denir. O zaman F bir totoloji, ancak ve ancak, her ddoruluk gndermesi iin, d(F ) = 1. Mesela,

P P, 1

formlleri, totolojidirler. Aadaki teoremden dolay yukardaki teorem-leri kullanarak yeni totolojiler elde edebiliriz.

Teorem .Ali Nesin [], yle formllere hepdoru adn verir.

P Q R S P Q R S P R Q S0 0 0 0 1 1 0 01 0 0 0 0 1 1 00 1 0 0 1 1 0 11 1 0 0 1 1 1 10 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 0 0 1 00 1 1 0 1 0 1 11 1 1 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 11 0 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 0 11 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

ekil .: Teorem iin doruluk tablosu

. F ve G formlleri birbirine denktir, ancak ve ancak

F G

forml bir totolojidir.. F forml, G formln gerektirir, ancak ve ancak

F G

forml bir totolojidir.. F ile G formlleri, H formln gerektir, ancak ve ancak

F G H

forml bir totolojidir.. F , G, ve H formlleri, K formln gerektir, ancak ve ancak

F G H K

forml bir totolojidir.

Gerektirme

Kant. F denktir G, ancak ve ancak, her d doruluk gndermesi iin,d(F ) = d(G), yani d(F G) = 1. Dier blmler, Altrma .

Sonraki teoremi grmek yararl olabilir.

Teorem . , (Delta) kmesinin her elemann iersin.

gerektirir F ise, o zaman gerektirir F .

Kant. Gerektirme tanmndan gelir.

Bu teorem, sonraki teoremin zel durumudur.

Teorem . , kmesindeki her forml gerektirsin.

gerektirir F ise, o zaman gerektirir F .

Kant. Gerektirme tanmndan gelir.

. sayfadaki Teorem gibi bir teoremimiz var:

Teorem . F forml, G formln gerektirsin; H, bir nerme de-ikeni olsun; ve H , bir nerme forml olsun. Eer F formlnde Hdeikeninin getii her yere H konulursa, F forml elde edilsin; eerG formlnde H deikeninin getii her yere H konulursa, G formlelde edilsin. O zaman

F gerektirir G.

Tekrar bu teoremi, ispatlamyoruz. Bu teorem dolaysyla

P Q R ile P gerektirir Q R, [Ayrma (Teorem )]

Q gerektirir Q, [ifte deilleme (Teorem )]

Q R ile Q gerektirir R. [Ayrma]

O zaman numaral Teoremlerden dolay

P Q R, P ve Q gerektirir Q R ve Q,

ve numaral teoremlerden dolay

P Q R, P ve Q gerektirir R.

Bu gerektirmeyi, doruluk tablolar kullanmadan ispatladk. Kantlamakiin, sadece

P Q R, P, Q R, Q, Q, R (.)

formlleri yazdk. Bu formller listesi, biimsel bir kanttr.

Gerektirme

Biimsel kant

imdi ,

{(S T ), (R Q) (T Q), P (S T ),

T (Q (S R)),R T}

kmesi olsun. O zaman

gerektirir P Q R S T ; (.)

ama bunu doruluk tablosu yntemiyle gstermek skc olurdu. Biimselkant yntemi, bu durumda hem daha ksa, hem daha ilgintir.

Biimsel kant, bir formller listesidir.

F1, . . . , Fn,

biimsel bir kant olsun. Bu biimsel kantn sonucu, Fn formldr.1 6 k 6 n varsaylsn. Eer {F1, . . . , Fk1} kmesi, Fk formln gerek-tirmezse, o zaman Fk, biimsel kantn hipotezlerinden biridir. (Eerk = 1 ise, o zaman {F1, . . . , Fk1} kmesi botur.) Bu tanma gre, bi-imsel kantn sonucu, bir hipotez de olabilir.

Tekrar (.) listesine bakalm. Bu biimsel kantn hipotezleri, P Q R, P , ve Q formlleridir. Q R, hipotez deildir, nk onu, ncekiformller gerektirir; ayn nedenle, R de hipotez deildir.

Teorem . , bir nerme formlleri kmesi olsun. Eer F1, . . . , Fnbiimsel kantn hipotezleri kmesinden geliyorsa, o zaman

gerektirir Fn.

Kant. nk

gerektirir F1,

{F1} gerektirir F2,

{F1, F2} gerektirir F3,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

{F1, . . . , Fn1} gerektirir Fn,

numaral teorem dolaysyla gerektirir Fn.

Bu teoremde, biimsel kant, kmesinden Fn formln kantlar; vebiimsel kant, Fn formlnn kmesinden biimsel bir kantdr.

Sonlu bir kmesi iin, teoremin tersi de kolaydr. = {F1, . . . , Fn1}ise, ve gerektirir Fn ise, o zaman F1, . . . , Fn listesi, Fn formlnn kmesinden bir biimsel kantdr. Ama kmesinin Fn formln ge-rektirdiini birine gstermek istersek, sadece F1, . . . , Fn listesini yazmakyeterli olmayabilir; daha fazla formller yazmamz gerekebilir.

rnein, numaral Altrmay yaptysak, aadaki listenin, R form-lnn P Q R, P Q, Q R hipotezlerinden bir biimsel kantolduunu biliyoruz:

P Q R, P Q, Q R, R.

Ancak, o altrmay yapmadysak, daha fazla adm gerekir, . numaralekildeki gibi. Admlarn nedenlerini ekleyebiliriz, . numaral ekildekigibi.

Altrma . Yukardaki (.) gerektirmesinin, . numaral ekildebiimsel kant vardr. Her satrn nedenini verin.

Altrma . Aadaki totolojiler ve gerektirmeler iin biimsel kant-lar yazn.

. P P P bir totolojidir.

. P Q P bir totolojidir.

. P (P Q) bir totolojidir.

Biimsel kant

P Q

P Q

P Q R

Q R

Q R

(P Q R) (Q R)

((P Q) Q)) R

(P Q) R

(P Q) R

P Q R

((P Q) R) (P Q R)

((P Q) P Q) R

1 R

R

ekil .: Biimsel bir kant

. (P Q) Q bir totolojidir.

. P Q R gerektirir P Q.

. P P gerektirir Q.

. P (Q R) gerektirir P (Q P ).

. P Q ile P Q gerektirir P .

. P R ile Q R gerektirir P Q R.

. P R ile Q S gerektirir P Q R S.

. P Q hipotez

. P Q . satrdan

P Q P Q ile

. P Q R . satrdan eklemeyle

. Q R hipotez

. Q R . satrdan

P Q P Q ile

. (P Q R) (Q R) . ve . satrdan balamayla

. ((P Q) Q)) R . satrdan dalmayla

. (P Q) R . satrdan

P (P Q) P Q ile

. (P Q) R . satrdan De Morgan kuralyla

. P Q R hipotez

. ((P Q) R) (P Q R) . ve . satrdan balamayla

. ((P Q) P Q) R . satrdan dalmayla

. 1 R . satrdan fazlalkla

. R . satrdan fazlalkla

ekil .: Aklamal bir kant

Biimsel kant

(R Q) (T Q)

(R T ) Q

Q

R T

R T

(R T ) (R T )

(R R) T

1 T

T

(S T )

S T

T

SS T

P (S T )

S T

(S T )

P

T (Q (S R))

Q (S R)

S R

R

R S T

Q R S T

P Q R S T

ekil .: Biimsel bir kant

klidin nermeleri

klidin nermelerinin gsterileri, daha biimsel olarak yazlabilir. r-nein, onun I. numaral nermesine bakalm. Likyal Proklusa gre [,sayfa ], klidin her nermesinin tane paras var: () ilan, () ak-lama, () belirtme, () hazrlama, () gsteri, ve () bitirme. Aklamadahipotezler bulunur; belirtmede sonular bulunur. ounlukla bir ner-menin bir sonucu vardr; ama I. numaral nermenin iki sonucu vardr.Hazrlama ve gsteri, sonularn hipotezlerinden biimsel kant olarak ya-zlabilir. Gsterinin hipotezleri, hazrlamadan da gelebilir.

lan: Bir ikizkenar genin tabanndaki alar birbirine eittir,ve, eit dorular uzatldnda,tabann altnda kalan alar birbirine eit olacaklardr.

Aklama: geninde = ., noktasna uzatlm., noktasna uzatlm.

Belirtme:

. = ve

. = .

Hazrlama:

. noktas, dorusundadr.

. noktas, dorusundadr, ve = . [I.]

Gsteri:

. = [hazrlamadaki . satrdan]

. = [hipotez]

. = [. ve . satrdan I. ile]




. = [. ve . satrdan genel kavram ile]

. = [., ., ve . satrdan I. ile]



. = [. ve . satrdan genel kavram ile]

Bitirme: Bir ikizkenar genin tabanndaki alar birbirine eittir,ve, eit dorular uzatldnda,tabann altnda kalan alar birbirine eit olacaklar.Gsterilmesi gereken tam buydu.

Burada, belirtmedeki . sonu, gsterinin . satrdr, ve . sonu, gs-terinin . satrdr; = ve = eitliklerini tan-mamz gerekir. klid, gsterinin . ve . satrn verir, ama kullanmaz.

Altrma . Biimsel olarak klidin her nermesini yazn.

Tkzlk

nceden dediimiz gibi, her sonlu nermeler kmesi iin, eer , birF formln gerektiriyorsa, o zaman F formlnn kmesinden birbiimsel kant vardr. Sonluluk koulu kaldrlabilir: bu geree tkzlkdenir.

d, bir doruluk gndermesiyse, ve , bir formller kmesiyse, ve k-mesindeki her G iin, d(G) = 1 ise, o zaman d gndermesine kmesininbir modeli denir.

Teorem . gerektirir F ancak ve ancak {F} kmesinin modeliyok.

Kant. Altrma .

Teorem (Tkzlk). , F formln gerektirirse, o zaman F form-lnn kmesinden bir biimsel kant vardr.

Kant. Kart tersini ispatlayacaz. F formlnn kmesinden hi bi-imsel kant olmadn varsayalm. {F} kmesinin bir modelinibulacaz.

kmesinin her sonlu {G1, . . . , Gn} altkmesi iin, o altkme, F for-mln gerektirmez. (Bildiimiz gibi {G1, . . . , Gn}, F formln gerek-tirirse, o zaman G1, . . . , Gn, F listesi, F formln kmesinden biimselbir kantdr.) Dolaysyla {G1, . . . , Gn,F} kmesinin modeli vardr.

Tm nerme deikenlerinin, {P1, P2, P3, . . . } kmesini oluturduunuvarsayabiliriz. Her n iin, n, kmesinde olan ve deikenleri sadece{P1, . . . , Pn} kmesinden olan formller kmesi olsun. n sonsuz olabilir;ama n kmesindeki formllerin doruluk tablolarnn kmesi, sonludur.Onun iin n {F} kmesinin modeli vardr. Mn, o kmenin tm mo-dellerinin kmesi olsun. n 6 p ise, o zaman Mn, Mp kmesini kapsar. Bir

d doruluk gndermesi iin, her n iin, d gndermesinin Mn kmesininbir eleman olduunu gstereceiz.

Eer bir n iin, Mn kmesindeki her d iin, d(P1) = 0 ise, o zamand(P1) = 0 olsun. teki durumda, her n iin, Mn kmesindeki bir d iin,d(P1) = 1 olur; bu durumda, d(P1) = 1 olsun. Her durumda, her n iin,Mn kmesinin d(P1) = d(P1) olduu d eleman vardr.

Eer bir n iin, Mn kmesindeki d(P1) = d(P1) eitliini salayan herd iin, d(P2) = 0 ise, o zaman d(P2) = 0 olsun. teki durumda, hern iin, Mn kmesindeki bir d iin, d(P1) = d(P1) ve d(P2) = 1 olur;bu durumda, d(P2) = 1 olsun. Her durumda, her n iin, Mn kmesinind(P1) = d

(P1) ve d(P2) = d(P2) eitliini salayan d eleman vardr.

Ayn ekilde devam ediyoruz. Bir k iin, d(P1), . . . , d(Pk) deerlerinisetiimizi varsayalm, ve her n iin, Mn kmesinin

d(P1) = d(P1), . . . , d(Pk) = d

(Pk)

eitliklerini salayan d elemannn olduunu varsayalm. Eer bir n iin,Mn kmesindeki d(P1) = d(P1), . . . , d(Pk) = d(Pk) eitliklerini sa-layan her d iin, d(Pk+1) = 0 ise, o zaman d(Pk+1) = 0 olsun. tekidurumda, her n iin, Mn kmesindeki bir d iin, d(P1) = d(P1), . . . ,d(Pk+1) = 1 olur; bu durumda, d(Pk+1) = 1 olsun. Her durumda, her niin, Mn kmesinin d(P1) = d(P1), . . . , d(Pk+1) = d(Pk+1) eitliklerinisalayan d eleman vardr.

imdi her n iin d, n {F} kmesinin bir modelidir; o zaman d, {F} kmesinin modelidir. Bu ekilde , F formln gerektirmez.

Biimsel dizgeler

Tanma gre, biimsel bir kantta, her satr,

) ya bir totoloji,) ya nceki satrlar tarafndan gerektirilen bir forml,) ya da bir hipotezdir.

Bir forml, totoloji ise, bunu doruluk tablosuyla gsterebiliriz. Bir for-ml, baka formller tarafndan gerektiriliyorsa, bunu da doruluk tablo-laryla gsterebiliriz. Ancak, doruluk tablolarn kullanmadan, biimselbir kantn hipotezlerini ve hipotez olmayan satrlarn ayrt edebilmekisteriz. Bunu yapmak iin biimsel bir ynteme, biimsel dizge denir. Ke-sinlik iin, biimsel dizge,

) baz bilinen totolojilerden ve) baz bilinen gerektirmelerden

oluur. Bu bilinen totolojilere dizgenin aksiyomu denir; bu bilinen ge-rektirmelere dizgenin karm kural denir.

D, biimsel bir dizge; , bir formller kmesi; ve K, biimsel bir kantolsun. Eer K kantn her satr,

) ya D dizgesinin bir aksiyomu,) ya D dizgesinin bir karm kuralna gre nceki satrlar tarafndan

gerektirilen bir forml,) ya da kmesinin bir eleman ise,

o zaman , K kantn sonucunu gerektirir, ve ayrca, bu gerektirme, Ddizgesinin (biimsel) bir teoremdir. Her gerektirme, D dizgesinin birteoremi ise, bu dizgeye tam denir.

. Biimsel D1 dizgesi

imdiD1 adl biimsel dizgesini tanmlayacaz. Aksiyomlar, iki ekilde:

1 forml,

her F F forml.

karm kurallar, ekilde:

Ekleme: Tm F ve G formlleri iin, F formlnden G F kar.

Balama: F ile G formllerinden F G kar.

Yerine Koyma: F G, numaral Teoremden bir denklik olsun. Budenklikten, numaral Teoreme gre, F G denklii salansn.Eer bir K formln F alt forml var, ve bu alt formln yerineG koyarak K forml, ( numaral Teoremdeki gibi) elde edili-yorsa, o zaman K formnnden K kar.

D1 dizgesinin tam olduunu gstereceiz. Bunu yapmak iin, ilk olarak,her formln tikel-evetlemeli normal biimi olduunu gzlemleyeceiz.

Tikel-evetlemeli normal biim, en iyi rneklerden anlanlalr. P Q Rve (P R)(Q R) formllerinin doruluk tablolar, birbiriyle ayndr,ve bu ortak tablo, yukardaki . numaral ekildedir. Dolaysyla bu for-mllerin tikel-evetlemeli normal biimleri birbiriyle ayndr ve aadakigibi yazlr:

(P Q R) (P Q R) (P Q R)

(P Q R) (P Q R).

Bu nermeyi anlamak iin, . numaral ekle bakn.

Genellikle, F , bir nerme forml olsun, ve onun nerme deikenleri, P1,. . . , Pn olsun. d, bir doruluk gndermesi olsun. O zaman

(d(P1), . . . , d(Pn))

listesi iin, 2n tane seenek var. Bir m iin, m ve sadece m tane seenekiin, d(F ) = 1. O seenekler,

(e11, . . . , e1n), . . . , (e

m1 , . . . , e

mn )


P 0 1 0 1 0 1 0 1Q 0 0 1 1 0 0 1 1R 0 0 0 0 1 1 1 1

P Q R 1 0 0 0 1 1 1 1P Q R 1 0 0 0 0 0 0 0P Q R 0 0 0 0 1 0 0 0P Q R 0 0 0 0 0 1 0 0P Q R 0 0 0 0 0 0 1 0P Q R 0 0 0 0 0 0 0 1

ekil .: P Q R formlnn tikel-evetlemeli normal biimi iindoruluk tablolar

olsun. (rnein, P1 P2 P3 iin, seenekler, (0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1),(0, 1, 1), (1, 1, 1) listeleridir.) 1 6 j 6 n ve 1 6 i 6 m varsayalm.

eij = 0 ise Pij , Pj forml olsun;

eij = 1 ise Pij , Pj forml olsun.

Ondan sonra F i,P i1 P

in

tmel-evetlemesi olsun. O zaman

F 1 Fm

tikel-evetlemesi, F formlnn tikel-evetlemeli normal biimidir.Yani, F formlnn tikel-evetlemeli normal biimi,

(P 11 P1n) (P

m1 P

mn )

formldr. Bu formln F formlne denk olduu grnebilir.

Burada m = 0 olabilir. Bu durumda, F formlnn tikel-evetlemeli nor-mal biimi, 0 formldr.

Bir de n = 0 olabilir. Bu durumda, ya F denktir 0 ya da F denktir 1.Srasyla F formlnn tikel-evetlemeli normal biimi, ya 0 ya da 1dir.

imdi aadaki altrma kolaylkla zlebilir.

Biimsel dizgeler

Altrma . Rastgele bir doruluk tablosu iin, doruluk tablosu oolan bir forml yazn.

Teorem . Bir {F1, . . . , Fn} formller kmesi, bir G formln gerek-tirir, ancak ve ancak G (F1 Fn), G formlne denktir.

Kant. Altrma .

Teorem . Biimsel D1 dizgesi tamdr.

Kant. lk olarak F , bir totoloji olsun. Sadece Yerine Koyma kural kul-lanarak, F formln, tikel-evetlemeli normal F biimine getirebiliriz.Tm admlar, tersine evrilebilir; bu ekilde, F formlnn F form-ln gerektirdii, D1 dizgesinin bir teoremidir. Ayrca, F formlnntotoloji olduu, D1 dizgesinin bir teoremidir. O zaman F formlnntotoloji olduu, D1 dizgesinin bir teoremidir.

imdi kmesi, F formln gerektirsin. numaral Tkzlk Teoreminegre, kmesinin bir {G1, . . . , Gn} altkmesi de F formln gerektirir.Balama ve Ekleme kurallar sayesinde, bu kmenin F (G1 Gn) formln gerektirdii, D1 dizgesinin bir teoremdir. nceki teoremegre, F ve F (G1 Gn) formlleri, birbirine denktir; dolaysyla,bu formllerin ayn tikel-evetlemeli normal F biimi vardr. F (G1 Gn) formlnn F formln gerektirdii, ve F formlnn Fformln gerektirdii, D1 dizgesinin teoremidir. O zaman kmesininF formln gerektirdii, D1 dizgesinin teoremidir.


Bu aamada yeni simgeler yararl olacak. Eer , F formln gerekti-rirse,

|= F

ifadesini yazacaz. Bu |= simgesine turnike denir. Tkzlk Teoreminegre, |= F ise, o zaman kmesinin sonlu bir 0 altkmesi iin 0 |= Folur. Eer bir |= F gerektirmesi, biimselD dizgesinin bir teoremiyse,

D F


ifadesini yazacaz. Bu simgesi de, bir turnikedir. stersek, |= simgesineyorumsal turnike diyebiliriz; simgesine dizimsel turnike diyebiliriz.Ancak adlar nemli deil. numaral Teoreme gre

her ve F iin, D F ise |= F .

Ayrca D dizgesi tamdr ancak ve ancak

her ve F iin, |= F ise D F .

Tam biimsel bir dizge, D1 dizgesinden daha basit olabilir. lk olarak, birformln tikel-evetlemeli normal biimi, sadece , , , 0, ve 1 balay-clarn kullanr. Ayrca

0 1, 1 P1 P1, F G (F G).

yleyse her forml, sadece ile balayclarnn kullanld bir formledenktir. D2 adl biimsel dizge, sadece bu balayclar kullanacak. D2F yerine,

2 F

yazalm. D2 dizgesinin her aksiyomu, F F biimindedir:

2 F F.

D2 dizgesinin karm kurallar, aadaki ekillerdedir.

Ekleme: Tm F ve G formlleri iin, F formlnden G F kar:

F 2 G F.

Daralma: F F formlnden F kar:

F F 2 F.

Birleme: F (G H) formlnden (F G) H kar:

F (G H) 2 (F G) H.

Bu dizgeyi Shoeneldden [] aldm, ama ilk kayna, Russell ile Whiteheaddir [].

Biimsel dizgeler

Kesme: F G ve F H formllerinden G H kar:

F G, F H 2 G H.

Teorem (Deime). 2 F G ise 2 G F .

Kant. Eer 2 FG ise, o zaman 2 FF sayesinde Kesme kuralyla 2 G F .

F G H demek F (G H) olduunu hatrlayn, onun iin

F1 Fn demek F1 (F2 (Fn1 Fn) ).

Teorem (Genelletirilmi Ekleme, Daralma, ve Deime). Bir n sa-ys iin, F1, . . . , Fn, formller olsun. Bir m iin, her i iin, 1 6 i 6 mise 1 6 ki 6 n salayan ki says seilsin. O zaman

2 Fk1 Fkm ise 2 F1 Fn.

Kant. m = 1 durumu. 1 6 k 6 m ve 2 Fk varsayyoruz. O zaman

2 (Fk+1 Fn) Fk, [Ekleme]

2 Fk Fk+1 Fn, [Deime]

2 Fk1 Fk Fk+1 Fn, [Ekleme]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 F1 Fk Fk+1 Fn, [Ekleme]

yani 2 F1 Fn.

m = 2 durumu. 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n ve

2 Fi Fj

varsayyoruz. Eer i = j ise, o zaman Daralmayla 2 Fi, ve m = 1durumundan 2 F1 Fn. Eer j < i ise, o zaman Deimeyle 2 Fj Fi. Dolaysyla i < j varsayabiliriz. O zaman n > 2. n = 2ise, ispatlanacak hibir ey yoktur. k > 2 olsun, ve n = k durumunda(ve m = 2 durumunda) teoremin ispatlandn varsayalm. n = k + 1durumunda ispatlayacaz.


Eer i = 1 ve j = 2 ise, o zaman

2 (F3 Fk+1) F1 F2, [Ekleme]

2 ((F3 Fk+1) F1) F2, [Birleme]

2 F2 (F3 Fk+1) F1, [Deime]

2 (F2 F3 Fk+1) F1, [Birleme]

2 F1 Fk+1. [Deime]

Eer i = 1 ve j > 2 ise, o zaman

2 F1 F3 Fk+1, [n = k durumu]

2 (F3 Fk+1) F1, [Deime]

2 F2 (F3 Fk+1) F1, [Ekleme]

2 ((F3 Fk+1) F1) F2, [Deime]

2 (F3 Fk+1) F1 F2, [Birleme]

2 F1 Fk+1. [Deime]

Eer i > 1 ise, o zaman

2 F2 Fk+1, [n = k durumu]

2 F1 Fk+1. [Ekleme]

m > 2 durumu. > 2 olsun, ve m = durumunda teoremin ispatlan-dn varsayalm. m = + 1 durumunda ispatlayacaz. O zaman

2 Fk1 Fk+1

Biimsel dizgeler

varsayyoruz. Bu durumda,

2 (Fk1 Fk2) Fk+1 , [Birleme]

2 (Fk1 Fk2) F1 Fn, [m = durumu]

2 (F1 Fn) Fk1 Fk2 , [Deime]

2 ((F1 Fn) Fk1) Fk2 , [Birleme]

2 ((F1 Fn) Fk1) F1 Fn, [m = 2 durumu]

2 (F1 Fn) (F1 Fn) Fk1 , [Deime]

2 ((F1 Fn) F1 Fn) Fk1 , [Birleme]

2 ((F1 Fn) F1 Fn)

(F1 Fn) F1 Fn, [m = 2 durumu]

2 (F1 Fn) F1 Fn, [Daralma]

2 F1 Fn. [Daralma]

P , herhangi bir nerme deikeni olsun. P ve P formllerine harfi de-nir.

Teorem . n, bir say olsun, ve her k iin, 1 6 k 6 n ise, Fk bir harfiolsun. Eer

|= F1 Fn

ise, o zaman 1 6 i 6 n ile 1 6 j 6 n koullarn salayan bir i ve j iinFi forml, Fj formldr.

Kant. Altrma .

Teorem . Her n says iin, n > 2 ise, ve |= F1 Fn ise, o zaman

2 F1 Fn.

Kant. n > 2 ve |= F1 Fn varsayyoruz. En basit durumda, her Fkbir harfidir. Bu durumda, numaral Teoreme gre, bir i ve j iin, Fi,Fj formldr. O zaman

2 Fi Fj , [aksiyom]

2 F1 Fn. [Teorem ]


imdi, bir k iin, Fk forml harfi olmasn. numaral Teorem sayesinde,k = 1 varsayabiliriz. tane durum var. Her bir durumda, daha basitdurumlarn ispatlandn varsayabiliriz.

F1, bir G formlyse, |= G F2 Fn, dolaysyla

2 G F2 Fn, [daha basit durum]

2 F1 G, [aksiyom]

2 G F1, [Deime]

2 (F2 Fn) F1, [Kesme]

2 F1 Fn. [Deime]

F1, bir (GH) formlyse, |= GF2 Fn ve |= H F2 Fn, dolaysyla

2 G F2 Fn, [daha basit durum]

2 F1 G H, [aksiyom]

2 G H F1, [Teorem ]

2 (H F1) F2 Fn, [Kesme]

2 (F2 Fn) H F1, [Deime]

2 H (F2 Fn) F1, [Teorem ]

2 H F2 Fn, [daha basit durum]

2 ((F2 Fn) F1) F2 Fn, [Kesme]

2 (F2 Fn) (F2 Fn) F1, [Deime]

2 F1 Fn. [Teorem ]

F1, bir GH formldyse, |= G H F2 Fn, dolaysyla

2 G H F2 Fn, [daha basit durum]

2 F2 Fn F1, [Teorem ]

2 F1 Fn. [Teorem ]

Teorem (Totoloji). |= F ise 2 F .

Biimsel dizgeler

Kant. |= F ise, o zaman|= F F,

dolaysyla

2 F F, [Teorem ]

2 F. [Daralma]

Teorem (Ayrma). 2 F ile 2 F G ise 2 G.

Kant. 2 F ile 2 F G varsayalm. O zaman

2 G F, [Ekleme]

2 F G, [Deime]

2 G G, [Kesme]

2 G. [Daralma]

Teorem (D2 dizgesinin taml). |= F ise 2 F .

Kant. |= F varsayalm. Tkzlk Teoremi sayesinde kmesinin bir{G1 . . . , Gn} alt kmesi iin {G1 . . . , Gn} |= F . O zaman

|= G1 Gn F,

dolaysyla

2 G1 Gn F, [Totoloji Teoremi]

2 G1 Gn F,

2 G1,

2 G2 Gn F, [Ayrma]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

2 F.


Kaynaka

[] Stanley N. Burris, Logic for mathematics and computer science,Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, .

[] Alonzo Church, Introduction to mathematical logic. Vol. I, PrincetonUniversity Press, Princeton, N. J., . MR ,a

[] Abdurrahman Demirta, Matematik szl, Bilim Teknik KltrYaynlar, Ankara, .

[] Teo Grnberg and Adnan Onart, Mantk terimleri szl, Trk DilKurumu Yaynlar, Ankara, .

[] Ali Nesin, nermeler mant, Bilgi niversitesi Yaynlar, Ekim.

[] Proclus, A commentary on the rst book of Euclids Elements, Prin-ceton Paperbacks, Princeton University Press, Princeton, NJ, ,Translated from the Greek and with an introduction and notes byGlenn R. Morrow, Reprint of the edition, With a foreword byIan Mueller. MR MR (k:)

[] Joseph R. Shoeneld, Mathematical logic, Association for SymbolicLogic, Urbana, IL, , reprint of the second printing. MRMR (h:)

[] Dirk Struik, Ksa matematik tarihi, Sarmal Yaynevi, stanbul, ,Trkesi: Yldz Silier.

[] Dirk J. Struik, A concise history of modern mathematics, fourthrevised ed., Dover, New York, .

[] Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia mathema-tica, vol. I, University Press, Cambridge, .

Documents

Mantik 2 (d.pierce)