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Máquinas eléctricas y técnicas modernas de control PEDRO PONCE CRUZ • JAVIER SAMPÉ LÓPEZ
Alfaomega
Materiales adic ionales
en la
Contenido
Prefacio ix
Material complementario xi
Circuitos magnéticos 1
1.1 Introducción 2 1.2 Definiciones básicas , 3 1.3 Circuitos magnéticos 6 1.4 Inductancia magnética : 10 1.5 Excitación senoidal en circuitos magnéticos 13 1.6 Aplicaciones de los circuitos magnéticos 16 1.7 Problemas 17
II. Máquinas de corriente directa 33
2.1 Introducción 34 2.2 Partes principales de las máquinas de c.d 34 2.3 Clasificación de las máquinas de c.d 35 2.4 Motor serie 36 2.5 Motor paralelo 38 2.6 Motor compuesto 39 2.7 Generador serie 41 2.8 Generador paralelo 42 2.9 Generador compuesto 44
2.10 Problemas 46
III. Máquinas síncronas 51
3.1 Introducción 52 3.2 Clasificación y construcción física 53 3.3 Circuito equivalente de la máquina síncrona 54 3.4 Problemas 60
V Í CONTENIDO
IV. Motor de inducción polifásico d í\ 6 7 4.1 Introducción 68 4.2 Principios básicos del motor de inducción trifásico 69 4.3 Principio de funcionamiento del campo magnético rotatorio trifásico 72 4.4 Circuito equivalente para el motor de inducción 73 4.5 Circuito equivalente aproximado 77 4.6 Diagrama de potencias 78 4.7 Ecuación del par electromagnético empleando el circuito aproximado 80 4.8 Ecuación del par electromagnético empleando el circuito equivalente 81 4.9 Análisis del comportamiento dinámico de un motor de inducción 84
4.10 Nemas y tipos de arranque 85 4.11 Arranque estrella-delta 86 4.12 Motores de inducción con diferentes características en el rotor 89 4.13 Problemas 90
V. Accionamientos eléctricos de velocidad variable 105
5.1 Introducción 106 5.2 Características mecánicas de los accionamientos eléctricos 109 5.3 Accionamiento eléctrico de velocidad variable para motores
de corriente directa 112 5.4 Función de transferencia experimental 122 5.5 Control en cascada en motores de corriente directa 126 5.6 Elementos básicos de electrónica de potencia que conforman
el convertidor 127 5.7 Diagrama de bloques simplificado de control de posición de un motor 131 5.8 Observador lineal en motores de corriente directa 136 5.9 Retroalimentación de estados 139
5.10 Pasos básicos para la retroalimentación de estado 145 5.11 Accionamiento eléctrico de velocidad variable para motores de inducción... 148 5.12 Control por variación de la resistencia del rotor 149 5.13 Control del voltaje de línea 150 5.14 Operación a frecuencia de deslizamiento constante 153 5.15 Esquema de control general 158 5.16 Operación voltaje/frecuencia en diferentes zonas de operación 160 5.17 Métodos de control del inversor 161 5.18 Inversor P W M senoidal 165 5.19 Medición de la distorsión armónica 168
CONTENIDO V Ü
5.20 Formas de comente, voltaje y velocidad para un esquema v/f 172 5.21 Control en lazo cerrado de velocidad para un motor de inducción
utilizando el control de voltaje-frecuencia 175
VI. Control vectorial de los motores de inducción 183 6.1 Introducción 182 6.2 Principios de control vectorial con orientación del flujo del rotor 185 6.3 Localización del vector de flujo del rotor J£g
§-.4 Iffl]3l8mSntacíon del control vectorial 193 6.5 Método directo de campo orientado 194 6.6 Método indirecto de campo orientado 197 6.7 Cálculo de la corriente de magnetización modificada 'mr 199 6.8 Principios básicos para el desarrollo del control vectorial 203 6.9 Análisis del desempeño del PWM banda de histéresis 208
6.10 Estimación del flujo del rotor 211 6.11 Estimación de la resistencia del rotor 212 6.12 Estimación de la constante de tiempo del rotor mediante
un modelo de flujo adaptable del sistema 215 6.13 C ontrol de fluj o y velocidad 219 6.14 Respuesta global del control vectorial 224 6.15 Eliminación de sensores de velocidad en accionamientos
de motores de inducción 226 6.16 Redes neuronales artificiales (RNA) para la estimación de la velocidad 239
VII. Control directo del par 245 7.1 Introducción 246 7.2 Principios básicos del control directo del par 52 7.3 Esquema convencional del control directo del par 255 7.4 Inversor fuente de voltaje (VSI) empleado en el DTC 257 7.5 Resultados del desempeño dinámico del control directo del par 260 7.6 Problema de la distorsión del flujo del estator cuando ocurre un cambio
de sector durante la rotación del flujo magnético del estator en el DTC 263 7.7 Sectores variables en el control directo del par 2§4
7.$ L¡2ZG CéYfSdó de velocidad en el control directo del par 270
índice analítico 275
CAPÍTULO
l
Circuitos magnéticos
Definiciones básicas ueiiiiiüiunes Dasicas
1.3 Circuitos magnéticos 1.4 Inductancia magnética 1.5 Excitación senoidal en circuitos magnéticos 1.6 Aplicaciones de los circuitos magnéticos 1.7 Problemas
2 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
1.1 Introducción
Se puede decir que el planteamiento de los principios de conversión de la energía comenzó con los descubrimientos de Ampére y Faraday que relacionan la electricidad y el magnetismo.
Usando los descubrimientos de Oersted relacionados con el hecho de que una corriente produce un campo magnético alrededor del conductor que la conduce, tanto Ampére como Arago lograron magnetizar agujas de hierro en forma similar a como un imán permanente magnetiza a los materiales ferromagnéticos en su proximidad. También bajo este principio el inglés William Sturgeon construyó el primer imán accionado por electricidad (electroimán), el cual pudo levantar 20 veces SU propio pGSO, y el estado^ unidense Joseph Henry construyó una versión mejorada aumentando el número de vueltas y alimentando la bobina con una corriente controlada.
André-Marie Ampére (1775-1836)
itemático y físico francés, es uno de los fundadores del electromagnetismo. En 1809 fue nombrado profesor de la Escuela Politécnica de París, en 1814 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia y en 1819 fue profesor de Filosofía en la Facultad de Letras de París. En 1822 concluyó que la fuerza electromotriz es producto de la tensión eléctrica y de la corriente y en 1827 publicó Teoria matemática de los fenómenos electrodinámicos, donde expuso su famosa Ley de Ampére que afirma que "en un campo magnético, la circu-
- elación del vector de densidad de flujo magnético B a lo largo de una curva cenada C es igual a /Jo veces la intensidad de la corriente que corta el área de dicha curva":
$ fí»dl=Voi
En su honor, a la unidad de medida de la intensidad de corriente eléctrica se le dio el nombre de ampere.
El descubrimiento de Ampére sentó las bases para la invención del primer motor eléctrico que convierte la energía eléctrica a mecánica, aprovechando las propiedades magnéticas mencionadas. En la figura 1.1 se muestra un esquema de este proceso de conversión de energía. A l producir electricidad a partir del movimiento mecánico, Faraday inventó el generador eléctrico (convertir la energía mecánica a eléctrica) pero tuvieron que transcurrir 50 años para que se construyeran generadores eficientes y para que se acelerara aún más la revolución industrial; también fue necesario que pasaran varios años para que se aceptaran las líneas de campo, luego de que James Clerk Maxwell entró a escena y publicó su trabajo sobre las líneas de fuerzas de Faraday.
MOTOR
Energía Campo Energía eléctrica magnético mecánica
GENERADOR
Figura 1.1 Conversión de energía eléctrica a mecánica y viceversa.
Durante la década de 1880 se protagonizó una batalla entre los fundadores de la industria eléctrica con respecto al empleo de las fuentes de corriente alterna (c.a.) y corriente directa (c.d.). Dos factores importantes favorecieron la ventaja de la c.a. con respecto a la c.d.: la simpiicidad de ¡os generadores y motores de c.a. y la disponibilidad de transformadores (conversión de la energía eléctrica a eléctrica) para ajustar las amplitudes de voltaje y corriente para mejorar la eficiencia en la transferencia de potencia.
1.2 DEFINICIONES BÁSICAS 3
Principio de conservación de la energía. Este principio describe una transformación en la cual la energía de entrada es igual a la suma de la energía perdida, la energía almacenada y la energía útil. En la figura 1.2 se muestra un esquema de este planteamiento.
Energía eléctrica
de entrada
Energía eléctrica +
de pérdidas
Energía o campo almacenado en
el sistema eléctrico
+ Energía eléctrica
a mecánica
Figura 1.2 Principio de conversión de la energía.
La conservación de la energía se expresa como
= ^pérdidas + ^campo + ^mecánica
No toda la energía mecánica se aprovecha, ya que también se tienen pérdidas mecánicas por fricción y pérdidas por energía cinética o potencial.
1.2 Definiciones básicas
Imán permanente. Los imanes naturales presentan en sus extremos dos puntos de máxima fuerza llamados polos norte y sur, mientras que en el centro se tiene una fuerza nula. En la figura 1.3 se pueden observar las líneas de fuerza asociadas a un imán. Por otro lado, cuando se acercan dos polos opuestos" Sé" atraen, cuándo se acercan dos polos iguales se rechazan, y si se coloca un material no magnético en la trayectoria de las líneas de flujo éstas no sufren un cambio perceptible.
4 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
En este esquema de un electroimán I señala la corriente, N el polo norte y S el polo sur.
Electroimán
/ / ( / / / / / s N
/ > 0
—<3 ) /
James Clerk Maxwell (1831-1879)
] \ / [a temát ico y físico teórico escocés, planteó las ecuaciones que llevan su nom-
I bre y que expresan las leyes básicas
^ J ^ ^ B de la electricidad v^m^^^B y el magnetismo e
hizo contribuciones $HflHyT^ t fundamentales en
^ ^ • H i I a teoría cinética de ^ ^ H ^ los gases.
i^^^t M Maxwell es con-^^^HH^ siderado uno de
los físicos más brillantes, y en relación con su trabajo Albert Einstein afirmó que es "el más profundo y provechoso que la física ha experimentado desde los tiempos de Newton".
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son
V E = P-
V x E = -
V B = 0
3B
dt
V x B = A / 0 J + £ÒJ"() dE
dì
Aquí E es la intensidad de campo eléctrico y B es ¡a densidad de flujo magnético
Electroimán. Es un imán artificial creado mediante una bobina enrollada sobre un núcleo ferromagnètico. La principal ventaja de este imán con respecto al natural es el control de la intensidad del campo mediante la variación de la corriente o la cantidad de vueltas de la bobina (figura 1.4).
Figura 1.4 Electroimán.
Campo magnético. Es la zona de influencia que rodea a un imán permanente o electroimán y es representada mediante líneas de flujo; véase la figura 1.3 El campo magnético se genera alrededor de un conductor que porta una corriente, y para aumentar el campo magnético se puede bobinar el conductor como se muestra en la figura 1.4.
Líneas de fuerza. Es la representación del campo magnético mediante7 líneas que no tienen origen ni final, como en un campo eléctrico. Las líneas de fuerza magnética salen del polo norte y entran en el polo sur, y mediante la colocación de un material ferromagnético en su trayectoria. §§ pueden desviar y de esta forma aislar alguna región cercana del campo magnético.
Materiales ferromagnéticos. Esta propiedad se encuentra en ciertos materiales como el hierro, cobalto, wolframio, níquel, acero y aleaciones entre estos metales. A dichas formas y a las aleaciones se les da el nombre de materiales ferromagnéticos debido a su alta permeabilidad y a su fácil imantación. A l emplear dichas sustancias como núcleo de máquinas y dispositivos eléctricos se obtiene una inducción magnética muy alta en relación a la obtenida en una bobina con núcleo de aire o al empleo de materiales no magnéticos como el cobre, aluminio, madera, vidrio. En el caso del material ferromagnético de un transformador, la permeabilidad relativa puede estar entre los rangos de 2000 y 4000.
Los materiales no magnéticos se clasifican en paramagnéticos para los cuales la permeabilidad relativa (/JR) es ligeramente superior a 1.0, o diamagnéticos en los cuales la fdR es ligeramente menor que 1.0. Sin embargo, para propósitos prácticos la ¡lR es igual a 1.0 para estos dos tipos de materiales.
1.2 DEFINICIONES BÁSICAS 5
Permeabilidad del material. Si el material en un circuito magnético permite establecer fácilmente las l íneas de flujo se dice que és te tiene alta permeabilidad, en caso contrario tiene baja permeabilidad. El término permeabilidad es similar al de conductividad de un circuito eléctrico.
La permeabilidad de un material está dada en función de su permeabilidad relativa, como se expresa a continuación JIJ^ » p e v f H e a b ' l i & a i
O - A A jH* (1.1)
en donde jUq=47Tx 10~7 H/m es la permeabilidad del espacio (aire). En el Sistema Internacional (SI) las unidades de ¡Uq son henry/metro (H/m).
Ley de Faraday e inducción magnética. Si se mueve un conductor a una cierta velocidad v a través de un campo magnético de densidad B, se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) en el conductor cuyo valor está dado por la ley de Faraday con la ecuación e = Bvl en donde / es la longitud del conductor; este es el principio del generador eléctrico, mostrado en la figura 1.5.
p ir - v f t U c i p A O
a
Michael Faraday (1791-1867)
uímico y físico inglés, realizo estudios fundamentales en electromagnetismo y electroquímica y demostró que los fenómenos magnéticos y eléctricos están relacionados, estableciendo así el fundamento de los transformadores, motores y generadores.
En 1821, luego de conocer los resultados publicados por el químico danés Oersted, Faraday construyó dos aparatos para producir lo que llamó rotación electromagnética, lo que en realidad fue el primer motor eléctrico. En 1831 comenzó sus mas famosos experimentos con los que descubrió la inducción electromagnética, la cual es la base de la moderna tecnología electromagnética.
Trabajando con la electricidad estática demostró que la carga eléctrica se acumula en la superficie exterior del conductor eléctrico cargado, independientemente del interior de éste. Este efecto es el que se emplea en el dispositivo conocido como jaula de Faraday.
En reconocimiento a sus contribucic nes fundamentales al electromagnetis-v
mo, la unidad de capacidad eléctrica se denomina farad.
En el área de la química, un estudio sobre el cloro le llevó al descubrimiento de dos nuevos cloruros de carbono, descubrió el benceno, investigó nuevas variedades
vidria óptico y llevó a cabo con éxito una serie de experimentos de licuefacción de
gases comunes. Faraday ingreso
en la Real Sociedad de Londres en 1824, al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Institución real y en 1833 sucedió a Davy como profesor de química en esta Institución.
Figura 1.5 Principio del generador eléctrico.
Si en un conductor fijo colocado en el interior de un campo magnético se hace circular una corriente, el conductor experimenta una fuerza inducida sobre él cuya ecuación es F = HB en donde i es la corriente que circula en el conductor; este es el principio del motor eléctrico. Este efecto se genera de forma contraria a lo mostrado en la figura 1.5.
/ Hans Christian Oersted (1777-1851)
F í s i c o y químico danés, en 1820 descubrió la relación existente entre la electricidad y el magnetismo a partir de la observación de que un hilo conductor de corriente podía mover la aguja imantada de una brújula. Publicó el resultado de sus experimentos en un pequeño artículo en latín titulado Experimenta circa eífectum conflictus electrici in acum magneticam.
Su trabajo se tradujo y tuvo una difusión en el seno de la comunidad científi
ca europea. Ampére conoció los experimentos de Oersted en septiembre de 1820, y el conocimiento de estos resultados le sirvió para desarrollar la teoría que seria el punto de partida del electromagnetismo. I
Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865)
F í s i c o nacido en Tartu, hoy Estonia, es conocido por haber formulado en 1833 la llamada Ley de Lenz que afirma que "la corriente inducida se opone a la variación del flujo magnético que la produce".
A partir de 1826 Lenz trabajó en la Universidad de San Petersburgo, donde pos-
iteriormente sirvió como ^ » * i > - * ^ ^ Decano de Matemática y
Física desde 1840 a 1863. l p » ^j: • K En 1831 comenzó a estu
diar electromagnetismo. Además de la ley que
^[ lleva su nombre, en 1842 descubrió independientemente la Ley de Joule.
I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Si en un conductor circula una corriente variante en el tiempo (c.a.) entonces se crea un campo magnético también variante en el tiempo alrededor del conductor, y si se coloca un conductor en el área de influencia del campo magnético entonces se inducirá una f.e.m. en el conductor (principio del transformador, mostrado en la figura 1.6) cuyo valor está dado por
y = -*t di
(1.2)
en donde 0 es el flujo por espira. Si 0 = N(p es el flujo por bobina, siendo N el número de vueltas por bobina, entonces el voltaje inducido en una bobina está dado por r VI A J c '
v = -Cl0
"di
El signo negativo de la ecuación es debido a la ley de Lenz, que afirma que todo voltaje inducido se opone a la causa que lo produce.
Nucleo ferromagnètico
Bobina primaria
Bobina secundaria
Figura 1.6 Principio del transformador.
1.3 Circuitos magnéticos
Los generadores, los motores, los transformadores, los interruptores de circuitos, los aparatos de televisión, los receptores de radio, las cintas magnéticas y los teléfonos utilizan los efectos magnéticos producidos por el electromagnetismo. Muchas computadoras emplean cintas o discos magnéticos para mejorar el número de bits de datos.
El análisis de los circuitos magnéticos es relativamente sencillo debido a la similitud que presenta con respecto a los circuitos eléctricos. Esto se puede comprobar con la aplicación de las leyes de Ohm y de Kirkhoff, aplicadas en ambos circuitos.
1.3 CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Ley de Ohm para circuitos magnéticos. La aplicación de esta ley a los circuitos magnéticos es similar a lo que se hace con los circuitos eléctricos, como se puede ver en la ecuación 1.4. c <\
La ley de Ohm para circuitos magnéticos establece que ec^<* , \ O F f4\ - T/iJ ir> t^¿2(J ñ C7 "<~ O netismo y la óptica
/ / i I / \ / / » - *P ~ * { U J ° r 3* ¿a\ Considerado "el i / X - LOCVC^L^VJ w (1.4) ticas" — —
Johann Carl Friedrich GaUSS (1777-1855)
atemático, astrónomo y físico alemán de una deslumbrante genialidad, realizó contribuciones fundamentales en la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el mag-
principe de las matema-y "el matemático más grande desde
la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido a través de la historia.
Figura 1.7 Representación eléctrica de un circuito mag
en donde (j) es el flujo magnético, con unidades de weber (Wb) en el SI, análogo a la corriente de un circuito eléctrico, F es la fuerza magnetomotriz (f.m.m.), con unidades de amperes-vuelta (A-v) en el SI, análoga al voltaje, y ÍH es la reluctancia, con unidades de vuelta por henry en el SI, análoga a la resistencia. ^
La diferencia principal entre la corriente eléctrica con respecto al flujo magnético es que la primera no circula si se abre el circuito mientras que el flujo magnético puede circular en el aire (entrehierro), siendo la reluc-1 tancia del aire muy grande con respecto a un material ferromagnético; en/ la figura 1.8 se puede observar este efectoflla resistencia.de un circuito eléctrico depende de la longitud / / l a conductividad p y el área A
Joseph Henry (1797-1878)
F í s i c o estadounidense conocido por su trabajo en electromagnetismo, descubrió
la inducción electromagnética independientemente de Faraday.
J. Henry se interesó por el experimento de Oersted y en 1830 descubrió el principio de la inducción electromagnética, sin embargo
como tardó mucho tiempo en publicar su trabajo el descubrimiento se le concedió a Faraday.
En 1831 Henry inventó el telégrafo y en 1835 perfeccionó su invento para que se pudiese usar a muy largas distancias. Fue profesor de Princeton y director del Smithsonian Institution, y en su honor a la unidad de inductancia se le llamó henry.
As
mientras que laj^luctaacia-depende de la longitud /, 1 y el área A
/ ) : / ^ e q ? "
9U ¡JA
También se tiene que la resistencia tiene su inversa que es la conductancia G en siemens, mientras que la inversa de la reluctancia es la permeancia o con
8 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
unidades de henry en el SI. Por otro lado, para resolver o reducir las reluctancias se aplica la misma regla empleada en resistencias conectadas en serie o en paralelo.
Núcleo de hierro
l l l l l l l l l l l l l l Entrehierro
l l l l l l l l l l l l l l Núcleo de
hierro
Flujo de dispersión por efecto borde
Figura 1.8 Flujo magnético en el entrehierro.
El flujo magnético se puede calcular mediante la integral de la densidad de flujo B por unidad de área, en donde la densidad de flujo es el número de líneas que atraviesa el material ferromagnético:
0 = f B . r f A <p r t . - p i O d - s )
Si la densidad de flujo es constante en magnitud y perpendicular en cualquier punto del área, la ecuación 1.5 se reduce a O i ¿ \ ?A *v ¿ o ^ r
De la ecuación 1.6 se puede obtener la densidad de flujo si se conoce el flujo magnético „
Wb Wb en donde la densidad de flujo B en el SI está dada en —— o en Teslas (T), 1 T = 1 —~
m 2 m
La densidad de flujo se puede obtener de la permeabilidad y la intensidad de campo con la siguiente ecuación . 1
en donde // = ///?/Jo- f-f Z ¡f^-fí^S 1 V^X? t>c
Los materiales se clasifican en magnéticos y no magnéticos, dependiendo de su magnetización o su curva B-H. Los materiales no magnéticos tienen una curva B-H lineal, mientras que los materiales ferromagnéticos muestran una característica B — H no lineal.
Figura 1.9 Curva de magnetización de un material ferromagnètico.
En esta curva de magnetización se puede observar otra diferencia importante entre los circuitos magnéticos y los eléctricos, debido a que en un circuito eléctrico la resistencia es normalmente independiente de la corriente mientras que en un circuito magnético la reluctancia depende de la densidad de flujo. La curva de la figura 1.9 se divide en dos regiones: la región lineal y la región de saturación, y la transición entre ambas se conoce como codo o rodilla.
Ley circuital de Ampére. La integral alrededor de una trayectoria cerrada de la intensidad de campo magnético H es igual a la comente / que circula en la trayectoria mencionada. Cuando la trayectoria cerrada está formada por bobinas con N vueltas y es atravesada por las corrientes mostradas en la figura 1.10, la ecuación 1.9 se transforma en la ecuación 1.10:
Núcleo de hierro
i
Mite* N 2 :
ñ.n.o.fí.o.n Longitud
Figura 1.10 Direcciones de flujo en un material ferromagnètico.
10 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
(J )H»Í /1 =N,II-N2I2 + N3I3 (1.10)
Flujo magnético en una bobina
Para determinar la dirección del flujo magnético <5en una bobina, se modifica un poco ia regla de la mano derecha. Para este caso los cuatro dedos de la mano derecha indican el sentido de la corriente / y el dedo pulgar indicará el sentido del flujo magnético.
nn .
•1 t.
en donde H está dado en amperes/metro, (A/m). En esta ecuación se puede ver que en la bobina 2 se establece un flujo en sentido contrario al formado por las bobinas 1 y 3, y esta dirección se puede observar con la aplicación de la regla de la mano derecha.
Regla de la mano derecha. Si el dedo pulgar señala el sentido de la corriente y los demás dedos rodean el conductor, éstos indicarán el sentido del flujo magnético.
Figura 1.11 Regla de la mano derecha.
En la figura 1.7 se puede observar que si en una bobina de N vueltas se hace circular una corriente de intensidad /, se crea una f.m.m. F con lo que la ecuación 1.10 se puede reescribir como
Wcl\=NI=F = o:H ; i . i i )
1 -4 Inductancia magnética
La inductancia o autoinductancia es la capacidad de una bobina de oponerse a cualquier cambio en la corriente. El circuito de la figura 1.10 es frecuentemente utilizado en un circuito eléctrico en donde las bobinas son representadas por las inductancias, un parámetro muy importante para el cálculo de la corriente o el voltaje.
En el caso de una bobina aislada magnéticamente, el flujo magnético (¡) y el flujo de enlace 0 dependen solamente de la corriente i (ignorando el efecto residual) y mediante la regla de diferenciación de una función compuesta resulta que
ci0 = (10 di y d<p = d0(ü ( 1
dt di dt dt di dt
1.4 INDUCTANCIA MAGNÉTICA 11
Usando (1.12), las ecuaciones 1.2 y 1.3 se pueden expresar como
dO di XIdódi V = = N — —
di dt dt dt (1.13)
Si se plantea la definición
di dt (1.14)
y se sustituye la ecuación 1.14 en la ecuación 1.13 se tiene que
dt (1.15)
Aquí el parámetro L es conocido como inductancia de la bobina. Si L j= 0, la invertancia fde la bobina se define como la inversa de la inductancia:
Para un sistema de bobinas acopladas las ecuaciones 1.12 a la 1.14 se modifican como suma algebraica de las bobinas acopladas, de forma que la ecuación 1.15 queda como
l=\ d t
(1.16)
en donde L¿/ es llamado inductancia mutua entre las bobinas k y /, y cuando k = l se le conoce como autoinductancia (o simplemente inductancia) de la bobina k; en la práctica, L¿¿ es simplemente denotado por L¿. Cuando L¿ = 0 para todas las k i= l se dice que la bobina está aislada magnéticamente de otras bobinas.
i Si las bobinas se encuentran en un medio en donde la permeabilidad es constante, se puede asegurar que L\a son todas constantes, esto es, que Lu - Llk-
A partir de la ecuación 1.14 se puede calcular la inductancia propia de una bobina y la inductancia mutua entre dos bobinas con la ecuación de la inductancia propia de una bobina
Lkk -lk
(1.17)
Flujo de una bobina
En estas figuras se tiene que el flujo propio de la bobina es
<t>kk = t + tk
el flujo mutuo de la bobina es
H
y el flujo total de la bobina es
j-n
H
12 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS ^ V e í / ^ A j
y la ecuación de la inductancia mutua de una bobina - y ; . ^ & f /< ^
^ T ^ a ^ c * Hst<Í l ^ ^ Y 1 1 ^ . v t e ) ( 1 1 8 )
en donde /V¿ es el número de vueltas de la bobina k, 0¿ es el flujo magnético de la bobina k y K es el factor de acoplamiento que representa el porcentaje de flujo que se aprovecha entre la bobina k y la bobina /. El valor del factor de acoplamiento varía entre 0 y 1.
Otras formas de calcular la inductancia propia de una bobina es manipulando las ecuaciones 1.3, 1.4, 1.6 y 1.8 de forma que
L_N±_ NBA _ NyHA _ NflHA = N2 _ i ~ i i Hl IN ~ 11 ¡xA~ 91
Consideraciones que hay que tomar en cuenta para el diseño de bobinas. Un inductor o bobina es una determinada cantidad de vueltas de alambre magneto bobinadas sobre un núcleo de aire o un material ferromagnético. Aunque dichas bobinas son muy importantes en diversas aplicaciones domésticas e industriales, no están disponibles comercialmente en amplios rangos de propiedades, pero son diseñados y construidos para aplicaciones particulares.
Los núcleos de máquinas eléctricas con aleaciones de hierro son generalmente usados en bajas frecuencias (2 kHz o menos para transformadores) debido a que las corrientes de Eddy provocan pérdidas altas por calentamiento. Las aleaciones de hierro deben ser laminados para disminuir las pérdidas por corrientes de Eddy, y los núcleos magnéticos son construidos también de hierro en polvo y aleaciones de hierro en polvo. Los núcleos de hierro en polvo consisten de partículas de material eléctrico, están aislados unos de otros y presentan una resistividad eléctrica más alta que el material laminado, empleándose para frecuencias altas por la reducción de las corrientes de Eddy en el núcleo.
Otra clasificación de los núcleos de máquinas son los núcleos de ferrita que es una mezcla de óxidos de hierro y otros materiales magnéticos, tienen una gran resistividad eléctrica pero se saturan rápidamente. Las ferritas presentan prácticamente pérdidas por histéresis, las pérdidas por corrientes de Eddy ocurren por la resistividad eléctrica del material y no son de consideración por lo que este tipo de material se puede emplear en circuitos de alta frecuencia.
Los conductores empleados para los devanados de bobinas para las máquinas eléctricas son de cobre por su alta conductividad y facilidad para devanarlos alrededor del núcleo, lo que permite reducir el volumen de conductores debido a la forma del núcleo así como se propicia la reducción de las pérdidas por calentamiento en el conductor. El incremento de la temperatura en los devanados y el núcleo ferromagnético reduce la eficiencia de las máquinas. La resistividad del conductor se incrementa con el aumento de la temperatura y el material del núcleo magnético incrementa sus pérdidas para una temperatura ligeramente superior a 100° centígrados.
1.5 EXCITACIÓN SENOIDAL EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS 13
Formas de núcleos ferromagnéticos. Se encuentran disponibles en gran variedad de formas y tamaños según el tipo de aplicación. Particularmente para los núcleos de ferrita se tienen los tipos dona o toroidal, núcleos en formas de U, E e I con entrehierro. Los materiales laminados están disponibles en toroides bobinados y núcleos en forma de C, núcleo en forma de doble E e I.
Como las leyes de los circuitos eléctricos se pueden aplicar de forma similar a los circuitos magnéticos, para calcular los parámetros en los núcleos de las máquinas eléctricas se requiere únicamente conocer la forma del material ferromagnético, y entre las más comunes se tienen el tipo columna y el tipo acorazado quase muestran en la figura 1.12. Estos tipos de núcleos se emplean según la aplicación particular de cada proyecto, ya que cada uno de ellos tiene sus ventajas y desventajas. En un núcleo tipo columna los conductores rodean al material ferromagnético mientras que en el tipo acorazado el material ferromagnético rodea a los conductores.
Nùcleo ferromagnét ico
En la figura se muestra un nùcleo ferromagnético laminado tipo doble E e I.
¿ 2 .
¿
Conductoress
/ ri úcleo ferromac jnéticc Núcleo ferromagnético
Conductores
aìCtlurt^Q b)
Figura 1.12 Tipos de núcleos ferromagnéticos: a) tipo columna, b)\\po acorazado.
Corriente alterna y corriente directa
La corriente alterna es aquella cuya intensidad cambia de sentido periódicamente con el tiempo, mientras que la corriente directa es una corriente de magnitud constante.
1.5 Excitación senoidal en circuitos magnéticos
Los sistemap ftipfit.rir.nfi rip pntopcia.-gnn.rift forma senoidal, por lo tanto las máquinas eléctricas y los transformadores funcionan con este tipo de señal en la mayoría de los casos. £ s t a i u e n t e de excitación tiene asociadas algunas pérdidas en condiciones de estado estable en los circuitos magnéticos, una parte de esta energía se disipa en forma de c a r c o m o resultado del calentamiento del núcleo, mientras que el resto es unajjoj^n^ia. reactiva asociada^con la eneigía almacenada en el campo magnético, la cual no es disipada sino que es absorbida por la fuente de excitación.
Los dos tipos de pérdidas asociadas con la excitación varianteen el tiempo tipo senoidal en los materiales ferromagnéticos son: lajpérdida por calentamiento / ^ d e b i d o a la variación en el tiempo del flujo en la trayectoria
14 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS 2 del material magnético, lojmal-iesulta de que se induce.un voüaie en dicna trayectoria que a su vez provoca la circulación de una corriente llamada corriente de Eddy en la resisten
c i a intrínseca del material magnético causando el calentamientoipa perdida que se debe a la curva de nisteresis que sejgeriera. cou la orientación de los dominios del material La suma de estas dos pérdidas conforman las pérdidas totales del material magnético de una máquina.
En una fuente de excitación senoidal, el voltaje y el flujo magnético son variantes en el tiempo. Considerando que el flujo magnético 0 = (t) del núcleo de la figura 1.13 es de forma senoidal
(f>(t) =(/)max^cot (1.20)
-i iL±—I 1 1 1 i-— 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) b) Figura 1.13
a) Excitación senoidal en un núcleo ferromagnètico y b) formas del voltaje inducido con respecto al flujo magnético.
El voltaje inducido en las N vueltas de la bobina es
dt
= N(j)maxco eos cot (1-21)
= 2nfN(¡)max eos cor
y la raíz cuadrática media (rms) del voltaje inducido es
V(t) = ^Nf<pm3X = 4.44Af/0max (1.22)
1.5 EXCITACIÓN SENOIDAL EN CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Figura 1.14 Curva de histéresis.
Curva de histéresis. La curva de histéresis de un material ferromag-nético es muy importante, debido a que muestra el comportamiento del material a medida que se modifica la corriente que alimenta a una bobina con núcleo ferromagnético. Si el núcleo no presenta magnetismo residual, y la corriente que alimenta a la bobina es cero, entonces la posición correspondiente está en el origen de la curva de histéresis de la figura 1.14. A medida que la corriente aumenta, también aumenta la intensidad de campo magnético H así como la densidad de campo B hasta llegar a la saturación del material {punto a), y en este punto aunque la corriente siga aumentando la B práct icamente se mantiene constante y la H incrementa rápidamente. Si la corriente disminuye, / = 0, H = 0, el material retiene una densidad de flujo B en el punto b llamado fíujo residual. Si la corriente incrementa en sentido contrario hasta que B = 0, el núcleo retiene una intensidad H en el punto c llamado fuerza coercitiva, si la corriente sigue aumentando se llega nuevamente al estado de saturación en el punto d, si se disminuye la corriente hasta cero se llega al punto e que es el punto opuesto al punto b en donde la H = 0, este sería el punto inicial de la curva de histéresis nuevamente (/ = 0, H= 0, B = 0), pero como se observa en la curva el núcleo ya tiene un flujo residual que impide que la curva empiece nuevamente en el origen.
E l área dentro de la curva de histéresis representa el trabajo realizado por el material cuando se le aplica un flujo magnético. El trabajo (energía) es disipado en el material en forma de calor. Las pérdidas por histéresis en el núcleo del material ferromagnético incrementan cuando incrementa la frecuencia de conmutación sobre el flujo magnético 0 y la densidad del flujo B.
15
Dominio en un material ferromagnét ico
El dominio en un material ferromagnético son las pequeñas áreas que tienen cierta dirección, de acuerdo con el último campo magnético aplicado al material, como se explicó en la curva de histéresis. Cuando estas áreas quedan permanentemente orientadas en una dirección, entonces se convierten en pequeños imanes permanentes.
t -4-
t 1 V
t * t t
S — • N
16 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
En la figura 1.6 se puede ver un caso clásico de la aplicación de un circuito magnético en un transformador, y en este ejemplo la bobina primaria del dispositivo es alimentado por una fuente de c.a. generando un flujo magnético que circula en el material cortando los conductores de la bobina secundaria induciendo un voltaje en dicha bobina. El transformador cambia los niveles de tensión y corriente ayudando a reducir las pérdidas en los sistemas eléctricos.
Un generador eléctrico aprovecha la inducción magnética para convertir la energía mecánica a eléctrica, tiene una parte fija llamada estator en la que se colocan los devanados fijos de la máquina (monofásico o trifásico) y una parte móvil en la que se coloca el devanado alimentado por una fuente de corriente directa, también el rotor del generador es movido por un primo motor o turbina a partir de la cual el generador recibe su nombre dependiendo del tipo de energía que lo mueve (hidroeléctrica, termoeléctrica, eoloeléctrica, núcleoeléctrica, etc.). Un motor eléctrico convierte energía eléctrica a energía mecánica y es el proceso contrario al generador.
Un interruptor magnético se puede emplear para el control automático de accesos o salidas. Este circuito magnético está formado de dos partes principales: la primera puede ser un imán permanente que se coloca en la parte móvil de la puerta y la segunda un interruptor en la parte fija, y este interruptor se conecta a otra parte del circuito que dependa de que la puerta esté cerrada o abierta. Para este mismo sistema en lugar de emplear un imán permanente se puede ocupar un electroimán para tener un control a distancia de la apertura o cierre de dicha puerta.
E l campo magnético actualmente se aprovecha en la medicina para captar imágenes del cuerpo para el diagnóstico y tratamiento de enfermedades, y estas imágenes son conocidas como imágenes por resonancia magnética.
El campo magnético también se puede ocupar para el diseño de sensores inductivos, como los sensores de reluctancia variable. A estos sensores se les da el nombre según la forma en que desarrollan su función, por ejemplo se puede desplazar una perilla alrededor de una bobina modificando la tensión de un circuito de control, se pueden hacer desplazamientos del núcleo ferromagnético, desplazamiento del entrehierro, modificación de la inductancia mutua entre un devanado primario y un secundario. Para este tipo de sensores no hay que olvidar que el tipo de núcleo es muy importante ya que si se emplea un sensor con núcleo de aire la variación de la inductancia es pequeña con la ventaja de que la alimentación puede ser con altas frecuencias, si el tipo de núcleo es ferromagnético hay una variación mayor de la inductancia pero frecuencias bajas para no provocar
1.7 PROBLEMAS 17
-pérdidas excesivas debido a alimentación con altas frecuencias. Los sensores de corrientes de Foucault aprovechan los efectos magnéticos para medir el espesor de un material no magnético, los transformadores síncronos trifásicos (sincros) y los resolvers son otros tipos de sensores inductivos que se emplean para medir la posición y velocidad angular. Los sensores de efecto Hall se pueden emplear para mediTe! flujo magnético.
Relevador
El relevador, inventado por Joseph Henry en 1835, es un dispositivo electromecánico que funciona como un interruptor controlado por un circuito eléctrico en
• .el que, por medio de un electroimán, se acciona un juego de uno o varios contactos que permiten abrir o cerrar otros circuitos eléctricos independientes.
Conceptos de fuerzas magnéticas así como ejemplos de éstas se presentan en el archivo:
circuitos jnagneticos.swf
1.7 Problemas
En la figura 1.15 se tiene un núcleo ferromagnético cuya permeabilidad relativa es 2000 y cuyas dimensiones son las indicadas. Debido a los efectos marginales, el área efectiva de los entrehierros se incrementa en un 6% respecto a l á r e a física. Si las bobinas tienen las vueltas mostradas en el diagrama y por ellas circulan las corrientes /1 = 2 A e i2 = 1.5 A, determinar el flujo en la columna central y la densidad de flujo en los entrehierros.
4 Pnototama 1
El espesor del núcleo es de 10 cm
Figura 1.15 Circuito magnético.
I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Como se sabe las reluctancias se pueden calcular mediante la siguiente expresión
<R = /
El circuito equivalente de la figura 1.15 se puede observar en la figura 1.16.
:)t4
1 4 0 ^
¡3'
9*5
C R l = C R 6 = C R 5 = C R 7 = C R
Figura 1.16 (Circuito equivalente a reluctancias.
l2 = 19.955 cm zO*Y*V < R 2 = 9 Í 4 ( \ i 4 V / 3 = 0 . 0 9 c m p\k / 9 = 19.96cm
» 9 =»11 ^ r / . o = 0 . 0 8 c m ^ X 0 ^ O ^ P
frflf** tfjM,=(0.l)(0.l) = 0.01 m2 N fi.000® .1^4
< ^ ^ ^ 0 . 0 O 0 4 (T ,0 W Ai =(0.01) + 6% = 0.0106 m 2 ^ ¿
O1
o *
Au 1.7 PROBLEMAS 19
0.4 = 15915.4943
At
Wb
I
L ^ ^ ; ( ^ 1 0 - 7 ) ( 2 0 0 0 ) ^ 0 l ) " i ; _ . A ^ , ( Ä O
Jj »-'was ^ 7939.8422 — 4JT1(T 7 (2000)(0.0l) . Q Wb
9 t 3 = . a 0 0 ° 9 = 67565.7773 A t
m 9 =
« i o : =
4/rl0~ 7)(0.0106)
0.1996
4/rl0~ 7 )(2000)(0.0l) ' \
0.0008
Wb
= 7941.8316 At
Wb
4 / r l O - 7 0.0106) = 60058.469
At
Wb
F = N1
V
( 0 2 - 0 , ) 9 î 6 + 0 2 9 î s = F 2
SB , = :)i , + : t i : + SB 3 + SB 4 + SB 5 = 115276.4503
ÍR H = M 7 + 9Î 8 + SR o + 9t,n + SH ,, = 107773.1208
At
Wb
At 10 Wb
- í .
20 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS \ \ ^ f\ /i r>
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtienen los siguientes resultados: > é 1
0, = 0 ^ 2 8 Wb
02 = 0.00509 Wb
El flujo total en la rama central del núcleo ferromagnético se calcula de la siguiente forma:
0 c e m r a / = 0 / - 0 2 = O.OO619Wb
La densidad de flujo B en los entrehierros es igual a
A = 0.01128 Wb = | Q 6 4 | W b / m 2
AeX 0.0106 m 2
„ 0 2 0.00509 Wb fVÚ\C\ Be2=^p- = - = 0.480
Ae2 0.0106 m 2
Prototema 2 En la figura 1.17 se muestra un núcleo ferromagnético en forma de dona, con sus respectivas medidas. La intensidad del campo magnético en el
/ ^ S f c X material ferromagnético es H = 750 (A - v)/m, determinar:
a) E l número de vueltas N que se requiere para establecer un flujo (¡> = 12 x 10 - 4 Wb en el circuito magnético.
b) La permeabilidad del material.
Figura 1.17 Circuito magnético.
1.7 PROBLEMAS i j ° c?C 21
Datos:
0 = 1 2 x l O - 4 W b A = 0.0012 m 2 (p=BA
Por lo tanto se puede despejar la densidad del flujo:
B = i = 1 2 x l 0 l W b = | w b / m 2
A 0.0012 in
corno H = 750 (A - v)/m, la permeabilidad del material es igual a:
^ e \ a C ^ ^ = ^ = ¿ = 1.333 x l 0 - 3 H / m ^
))i = -^- = -, 54 = 125000 V
M (l.333 x 10" 3)(0.0012) w b
Por la ley circuital de Ampere ^ F = 0
2N+(30)(l) = (12x 10-4)(125000) r - i l Z - — — " c£)W * j o t o - ¿ f ~ ^
Calculando la N de la ecuación anterior se obtiene que: N = 60 vueltas.
Determinar el flujo total 0 en el circuito magnético que se muestra en la figura 1.18, cuando la permeabilidad relativa del núcleo es 2500 constante.
0.05 m
1-2 A
0.01 m
N = 150
0.01 m 0.0008 m 0.01 m /ab = 'ef=0-025 m
'bc=/de
I 0.005 m
Figura 1.18 Circuito magnético.
Problema 3
2 2 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
El circuito equivalente puede dibujarse como se muestra en la siguiente figura:
V A
:)i ef
ffíbc ®cd ^ d e
^ v V v W v V v V
Según las medidas mostradas en la figura se pueden establecer las siguientes igualdades:
lab=lef =0.025 m
=0.0146 m *bc=*de
Las áreas son:
Aah = Aef = Ahc = Ade = Acd = (0.02)0.01 = 0.0002 m 2
Aaf = (0.02)0.005 = 0.0001 m 2
La fuerza magnetomotriz debido a la fuente es:
F = NI = (150)2 = 3 0 0 A - v
Las reluctancias que se tienen en el circuito equivalente son:
Mbc =
0.0275
4^10" 7)(2500)(0.0002)
0.0146
(4^10 _ 7 )(2500)(0.0002)
O04
(4/rl0" 7 )(2500)(0.000l)
0.0008
= 43767.609
= 23236.621
= 127323.954
At
Wb
At
Wb
At
4/r l0" 7 )( l)(0.0002) = 3183098.862
Wb
At Wb
1.7 PROBLEMAS 23
La reluctancia equivalente del circuito serie se puede calcular de la forma:
At Meg = M a h + M b c + Mcd + Mde + M e f + M a f = 3444^31.276
Wb
Finalmente el flujo total del circuito serie es:
F l 300 <í>ea = = 8.709x10~ 5 Wb
<¡neq 3444431.276
En la figura 1.19 se muestra un núcleo ideal cuya permeabilidad es infinita (/J¡ —> °°). Calcular la densidad de flujo en el entrehierro del circuito magnético.
Buje (material no magnético)
30 mm
Figura 1.19 Circuito magnético.
rLM2ULI¿Llla s.
ü f •
\n,reM„r„ =(0.05)0.03 = 0.0015 ITT
Abuje = (0.03)0.03 = 0.0009 m 2
;i¡
0.005 entrehierro
4/rl0" 7 )( l)(0.0015)
0.003
= 2652582.385 At
Wb
buje (4/r l0" 7 )( l)(0.0009)
= 2652582.385 At
W b
2 4 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
F = _ 4 0 0 ( 5 ) _ x i r l w b
e q % e q 3978873.578
fe? 5.026 x 1Q- 4
2
Bentrehierro = ~A ~ = 7^77 = 0 3 3 5 W b / m
Kntrehierro 0 0 0 , 5
Problema 5 Un transformador ideal con una razón del número de vueltas de 4:1 tier.f un devanado secundario de 100 vueltas. Si la tensión de entrada es Zz 339.4Iscncot a GO IIz, determinar el valor pico del flujo a través del bobinado primario.
La relación de vueltas de un transformador ideal es
en donde respectivamente AL y Ns son el número de vueltas del devanado primario y secundario, Vp y Vs son los voltajes primario y secundario, Ip e Is
son las corrientes primario y secundario.
Np = aNs = 4(100) = 400 vueltas
co = 2nf = 377 rad/seg
1.7 PROBLEMAS 2 5
El voltaje en el devanado primario es Vp=RpIp(t)-\-ein(¡, pero como es un transformador ideal la primera parte de esta ecuación es cero y el voltaje inducido por la ley de Faraday es
eind = Np —
Despejando el flujo de esta ecuación se tiene que
6 = — f 339.41seno>r</r = 3 3 9 ' 4 1 (-eos o») = 0.00225 (-eos cot) 4 0 0 J 400(co) v '
$ p i c o = 0.00225 W b
Indicar las marcas de polaridad en las terminales de los circuitos magnéticos mostrados en las figuras 1.20 y 1.21, de forma que el flujo total del •atei ial ferromagnético resulte de la suma de los flujos individuales crea-ios por cada bobina.
Problema 6
o o o o r\ /-\ Q Q
J-J-J
Figura 1.20 Circuito magnético.
Figura 1.21 Circuito magnético.
2 6 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Para el núcleo de la figura 1.20 se hacen circular las corrientes en las bobinas de tal forma que al aplicar la regla de la mano derecha los flujos individuales se suman.
F1 F2
n o o n f~\ /*"N />"•» /•">,
U I i
Para la figura 1.21 se repite el procedimiento del problema anterior resultando lo siguiente:
PiHiEilema 7 Determinar la expresión de los voltajes Va y Vn aplicados al circuito acoplado mostrado en la figura 1.22.
r la
Va
R1
r^vW
L - W v R2
Figura 1.22 Circuito magnético.
1.7 PROBLEMAS 2 7
\Ya] \R\ + R2 Vb 0
0 R3
L1 + L 2 - 2 L 1 2 L 1 3 - L 2 3
L 1 3 - L 2 3 l l [ 7 a " L 3 \][lb_
El circuito magnético que se muestra en la figura 1.23 está hecho con un material cuya permeabilidad magnética relativa es jur = 3000. Calcular la corriente / de c.d. que se requiere para que la densidad de flujo magnético B en la pierna izquierda del circuito tenga una magnitud de 0.4 Teslas. Utilizar d = h= y = 20 cm, N = 300 vueltas, x = 8 cm y L - l mm.
Profundidad y
Figura 1.23 Circuito magnético.
R( : Reluctancia del núcleo.
Rg : Reluctancia del entrehierro.
SOIUQ
Rb+g '• Reluctancia de la barra y la correspondiente de los pequeños entrehierros.
=2(80 - 2 0 ) + 2(70 - 2 0 ) - 2 0 - 0 . 2 = 199.8 cm « 2 m
lg = 1 mm = 1 x 10 m
A. = 0.04 m'
R. = 4 / r x l O -7 (3000)(0.04)
= 1.326x10" At
W b
R = — ^ — = 9 . 9 5 x l 0 6 — * /i r//o.rv' Wb
2 8 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Rb+g ~
2/* flrfló(d-x)y 4 / r x l O -7 (0.12)(0.2)
0.002 + 0.2
3000 = 6.85x10
iJÁ At
Wb
Como Rg » /?/, puede ignorarse sin problemas el entrehierro y queda la reluctancia neta:
Rfotal ~ Rb + Rb+g - 8 . 1 8 x 1 0 " At
Wb
Ahora bien, B=0A Teslas en la pierna izquierda implica 0= BAc, entonces 0= 0.016 Wb, usando F=R0.
Por tanto
F = (8 .18xl0 4 ) (0 .016)=1309 At
Pero F=NI, así que:
F I = — = 4.4 A
Problema 9 m
El núcleo toroidal con sección transversal redonda de la figura 1.24 izquierda está hecho de material magnético cuya curva de magnetización está formada por dos segmentos rectilíneos como se muestra en el lado derecho de la figura 1.24.
a) Calcular la corriente requerida de la bobina para obtener una densidad de flujo de 0.9 Teslas en el toroide.
b) Calcular la autoinductancia de la bobina bajo estas condiciones.
20 40 60 80 100 120 140 160 180
Figura 1.24 Circuito magnético.
1.7 PROBLEMAS 2 9
El área transversal del toroide es:
A = 7rr2
= 2.827 x l O " 3 m 2
De la gráfica se ve que B = 0.9 Teslas corresponden a H = 140 At/m. Por ley de ampere:
H! = NI
donde /= 2nR= 2/r(0.21 m) = 1.319 m . Despejando / queda:
Hl / = — = 0.9236 A
N
N B A (200)(0 .9)(2 .827xl0- 3
L = = = 0.551 H 0.9236 A
Un núcleo magnético de área transversal cuadrada tiene una longitud media de 55 cm y 15 cm 2 de área transversal. Hay una bobina de 200 vueltas devanada alrededor de una de las columnas. El núcleo está hecho de un material cuya magnetización se muestra en la figura 1.25. ¿Cuánta a) energía y b) corriente se necesitan en la bobina para producir 0.012 Wb de flujo en el núcleo? c) ¿Cuál es la permeabilidad del núcleo con ese valor de corriente? d) ¿Cuál es la reluctancia del núcleo bajo estas condiciones? e) ¿A cuánto se reduciría la densidad de flujo magnético del núcleo si se introduce un entrehierro de aire de 0.5 mm de largo, contadas las demás medidas permaneciendo igual? Despreciar la dispersión y pérdidas de flujo en el entrehierro.
Problema 10
f
Figura 1.25 Circuito magnético.
3 0 I. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
a> E = Vc\fHdB
Para O / = 0.012 Wb, se tiene que
Bf = — = 0.8 T S A
Jo
B/ HdB = -(0.8)(120) = 48 y 3
Entonces
= 8 . 2 5 x l 0 ~ 3 m 3
£ = ( 8 . 2 5 x l 0 " 3 m 3 ) (48 ^ / 3 ) = 0.396 J
W =0.012 Wb - > B c = 0 . 8 T , de la gráfica Hl = 120 A t / W b , Por ley de ampere:
M = Hclc
H¿. ( 1 2 0 ) ( 0 . 5 5 ) _ 0 ? , A
/V 200
c; ¿ T Í I M ' l ' 6 . 6 7 x 1 0 ^ % M H 120
Ur= — = 5300 J"0
dj F = NI = (200)(0.33) = 66 At
Rr= — = 5500 H " 1
c O
1.7 PROBLEMAS 3 1
e) R J^= ^ x l O ^ - T = 2 . 6 5 x l 0 4 II « faAg ^ T r x l O ^ j p O x l O " " 4
O = — - — = — - = 0.00206 Wb = 2.06 mWb Rc + Rf, 3 . 2 x l 0 4 H " '
