KŠC “Don Bosco“

Tehničko-obrtnička škola

Žepče, Ulica Stjepana Radića bb

Završni rad

Bodeovi dijagrami

Mentor: Učenik:

Anita Radoš Mario Tomas

Žepče, travanj, 2013

Sadržaj:

Uvod……………………………………………..…………………………………………..3

1. Svojstva sustava automatskog upravljanja……………………………………….…….....4

2. Linearni i nelinearni sustavi…………………………...…………………………………...5

2.1. Stabilnost linearnih kontinuiranih sustava upravljanja……………………...……....6

2.2. Stabilna vladanja sustava………………………………………………………….......7

2.3. Uvjeti stabilnosti…………………………………………………………....................8

3. Polovi i nule prijenosne funkcije……………..………………………………………......10

4. Kriterij stabilnosti…………………………..………………………………………….…..12

4.1. Algebarski kriterij stablnosti……………………………………………...................12

4.2. Hurwitzov kriterij stabilnosti……………………………………………...................13

4.3. Grafički kriterij stabilnosti………………………………………………....................16

4.4. Stabilnosti pomoću Bodeovih diagrama……………………………………………...16

4.5. Načini određivanja stabilnosti susta………………………………...........................18

5. Frekvencijske karakteristike jedinica…………..…………………………………………21

5.1. Amplitudno frekvencijski Bodeov dijagram……………………………………......22

5.2. Fazno frekvencijski Bodeov dijagram…………………………………………........24

Zaključak…………………………………………..………………………………………….26

Prilog…………………………………………….……………………………………............27

Kratak sadržaj……………………………...………………………………………………....28

Literatura…………………………….……………………………………………….............29

2

Uvod:

Projektiranje ili sinteza sustava upravljanja jedna je od najvažnih zadaća koja se

postavlja pred projektanta sustava upravljanja. Pod tom zadaćom se podrazumijeva

kompletno projektiranje svih elemenata uključujući i elemente zaštite, signalizacije i

dijagnostike.

Upravljanje je podešavanje parametara procesa preko upravljačkih veličina kako bi se

na izlazu dobila odgovarajuća veličina.

Regulacija je upravljanje u zatvorenom krugu.

Upravljački sustavi nam služe za promatranje, nadziranje i vođenje proizvodnih

procesa.

Poremećaji ili smetnje su vanjski ili unutarnji negativni utjecaji koji remete normalno

djelovanje proizvodnih procesa.

Proizvodni proces je svaka cjelina u kojoj se materija ili energija iz osnovnih ili

sekundarni oblika pretvara u poluproizvode ili gotove proizvode.

Sustav je stabilan ako za ograničenu pobudu (ulazni signal) ima ograničen odziv.

Nestabilni sustav je onaj sustav koji za ograničenu pobudu ima beskonačan odziv.

Stabilnost nekog sustava može se proučavati pomoću Bodeovih dijagram,

Hurwitz-ovog kriterija stabilnosti, Lyapunov-ih teorema, Nyquist-ovi dijagrama.

Bodeovi dijagrami su korisni zbog toga što je na njima jednostavno uočiti značajna

ponašanja sustava u frekvencijskom području.

3

1. Svojstva sustava automatskog upravljanja

o Sustavi se mogu opisati matematičkim modelima. Matematički modeli služe za

analizu i sintezu sustava upravljanja i simulaciju rada na računalu. Matematički

modeli sustava mogu se opisati običnim linearnim diferencijalnim jednadžbama ili

parcijalnim lineranim diferencijalnim jednadžbama.

o Fizikalni zakoni su polazište pri postavljanju matematički modela procesa. Za

električne sustave od posebene važnosti su Kirhofovi i Ohmovi zakoni, zakon

indukcije itd.

o Za mehaničke senzore od velike važnosti su Newtonovi zakoni, ravnoteža sila i

momenata, zakon održavanja inpulsa gibanja. Za termodinamčke sustave od posebne

važnosti su: zakon očuvanja unutarnje energije ili entalpije, zakon vođenja i prijenosa

topline.

4

2. Linearni i nelinearni sustavi

o Većina sustava u prirodi su nelinearni sustavi, te da bi se mogli lakše analizirati potrebno ih je

linealizirati. To se radi tako što se linearizira nelinearne diferencijalna jednadžba kojom je

sustav opisan. Onda je moguće takv sustav analizirati, sintetizirati, simulirati pronaći

prijenosnu funkciju G(s) itd.

o Linearni sustavi se opisuju linearnim diferencijalnim jednažbama npr:

a2d2

dt 2 +a1dydt

+a 0 y=bu

o Nelinearni sustavi se opisuju nelinearnim diferencijalnim jednadžbama npr:

a2d2 ydt2

+a1(dydt

)2+a0 y3=bu

Postoji više načina za prikazivanje vladanja sustava:

o Pomoću matematičkog opisa (npr.diferencijalne jednadžbe)

o Pomoću prijelazne funkcije (odziv na jedinični skok)

o Pomoću prijenosne funkcije

Statički sustav se opisuje algebarskim jednadžbama, a dinamički diferencijalnim

jednadžbama.

5

2.1. Stabilnost linearnih kontinuiranih sustava upravljanja

o Željene osobine linearnih sustava su:

1. Regulacijski krug mora biti stabilan.

2. Poremećajne veličine trebaju što manje utjecati na reguliranu veličinu.

3. Regulirana veličina treba što brže i točnije slijediti vremenski promjenjivu vodeću

vrijednost.

4. Regulacijski krug mora biti što je manje moguće osjetljiv na promjene parametara.

o Nakon što regulatorom djelujemo na neki sustav njegova će regulirana veličina

poprimiti određenu konačnu vrijednost.Vrijeme koje prođe dok regulirana veličina ne

poprimi željenu vrijednost naziva se vrijeme smirivanja regulaciskog odstupanja (Ts).

6

2.2. Stabilna vladanja sustava su :

a) Sa aperiodnom karakteristikom

b) Karakteristika sa istitravanjem

Nestabilna vladanja sustava su:

a) Sa rastućom amplitudom

b) Karakteristika sa stalnim titranjem

7

2.3. Uvjeti stabilnosti

Promatramo li prijenosnu funkciju G(s) nekog sustava može se reći sustav je stabilan ako

njegovi polovi imaju negativne realne dijelove.

Za ispitivanje stabilnosti sustava dovoljno je odrediti polove prijenosne funkcije tj. riješiti

kvadratnu jednadžbu u nazivniku.

o Pri tome se može utvrditi:

1) Asimptotska stabilnost

-Svi realni dijelovi polova su negativni

2) Nestabilnost

-Jedan od polova se nalazi sa desne strane kompleksne ravnine tj. njegov realni dio je

pozitivan

8

3) Granična stabilnost

-Nema polova na desnoj strani ravnine ali se jedan nalazi na imaginarnoj osi yi

9

3. Polovi i nule prijenosne funkcije

Polovi i nule mogu biti realni i konjugirano kompleksni.

Za različita istraživanja sustava prikladno je funkciju G(s) faktorizirati odnosno zapisati u

obliku.

G( s )(s−sn 1 )(s−sn 2 ). ..( s−snm )( s−s p 1)( s−s p 2 ). ..( s−s pn)

Gdje su sn nule od G(s) , a sp polovi od G(s).

Npr: Zadana je funkcija G( s )=3 s2+2 s−36

2 s2+4 s−70 . Funkciju treba faktorizirati i ponaći nule i

polove funkcije.

Funkcija kaže da se kvadratna jednadžba oblika X2+Ax+C može zapisati faktorizacijom u

obliku ( X+ X1)( X+X2 ) gdje su X1 i X 2rješena kvadratne jednadžbe ali suprotnog

predznaka.

Prvo ćemo faktorizirati gornji izraz.

3 s2+3 s−36

a=3 b=3 c=-36

S1,2=−b±√b2−4 ac2a

S1,2=−3±√32+4326

S1,2=−3±√4416

S1,2=−3±216

S1=3S2=−4

Izraz u brojniku možemo zapisati kao (s-3)(s+4)

10

Faktorizirat ćemo i nazivnik

2 s2+4 s−70

S1,2=−b±√b2−4 ac2 a

S1,2=−4±244

S1=5S2=−7

Izraz u nazivniku se može zapisati kao (s-5)(s+7)

Cijela funkcija G(s) onda glasi G( s )=

(s−3 )(s+4 )( s−5)( s+7 )

Polovi prijenosne funkcije su:

Sp1=5Sp2=−7

Nule prijenosne funkcije su:

SN 1=3SN 2=4

Sustav je nestabilan jer je jedan pol pozitivan.

11

4.Kriterij stabilnosti mogu biti:

a) algebarski

b) grafički

4.1. Algebarski kriterij stablinosti

Da bi odredili dali je sustav stabilan ili nestabilan, nije neophodno naći polove. Dovoljno je

samo odrediti dali se svi polovi nalaze na lijevoj poluravnini. Pomoću algebarskih kriterija

stabilnosti možemo odrediti dali su svi polovi na lijevoj strani, ali se nemože odrediti njihova

vrijednost.

Algebarski kriterij stabilnosi polaze od karakteristične jednadžbe analiziranog sustava npr:

a0s+a1 s+ .. .+an sn. Pri tome se prestavljaju uvjeti na koficijente karakteristične jednadžbe.

U upotrebi su najčešće dva kriterija stabilnosti:

- Hurwitz-ov

- Routh-ov

12

4.2. Hurwitzov kriterij stabilnosti

o Polinom P( s )=a0s+a1 s+. . .+an sn naziva se Horwitzovim polinomom ako svi korjeni

imaju negaivan realni dio.

o Linearni sustav je stabilan ako je njegov polinom Horwitzovog polinom.

o Horwitzov kriterij stabilnost može se izraziti pomoću nekoliko uvjeta koji se postavljaju

na koeficijente Hurwitzovog polinoma:

1. Svi koeficijenti polinoma su različiti od 0.

2. Svi koeficijent imaju pozitivan predznak.

3. Slijedeći n determinanti su pozitivne.

D1=an−1 >0

D2=|a1

a3

a0

a 2|>0

D3=|a1

a3

a5

a0

a2

a1

0a1

a3

|

>0

Sljedeća struktura može poslužiti za postavljanje Hurwitz-ovi determinanti.

13

o Hurwitzov kriterij prikladan je kako za ispitivanje stabilnosti tako i za određivanje

područja vrijednosti podesivih parametara za koje je sustav stabilan.

Npr: Sustav je zadan sljedećom slikom. Potrebno je provjeriti stabilnost Hurwitzovim

kriterijem.

G(0 )=1−ss (s+1)

∗1( s+3 )

Gz( s)=Go( s)

1+Go( s)

Gz( s)=

1−ss( s+1 )(s+3)

1+1−ss( s+1 )(s+3)

Gz( s)=

1−ss( s+1 )(s3 )s( s+1 )(s+3)+(1−s )s( s+1 )(s+3)

Gz( s)=1−s

( s2+s )( s+3)(1−s )

Gz( s)=1−s

s3+3 s2+s2+3 s+1−s

Gz( s)=1−s

s3+4 s2+2 s+1

14

ai>0+aiD1=a1>0

Sustav je stabilan !

15

4.3. Grafički kriterij stabilnosti:

Iz fekvencijske karakteristike otvorenog kruga G0 ( jω)zaključuje se o stabilnosti zatvorenog

regulacijskog kruga.

4.4. Stabilnosti pomoću Bodeovih dijagrama

Da bi iz Bodeovih dijagrama mogli odrediti stabilnost sustava potrebno je definrati sljedeće

parametre:

1. Presječna frekvencija ωk je točka na frekvenciskoj osi gdje amplitudna karakteristika siječe

fekvencijsku os.

2. Frekvencija ωπ je frekvencija na kojoj fazna karakteristika siječe vodoravnu crtu povučenu

sa -180˚.

16

3. Amplitudna rezerva-Ar-definira se za frekvenciju ωπ, preslikavši tu frekvenciju sa fazno

frekvencijskog dijagrama na amplitudno frekvencijski, možemo odrediti amplitudnu rezervu

kao vrijednost amplitude na toj frekvenciji.

4. Fazna rezerva γ-definira se za frekvenciju ωc, ako tu frekvenciju preslikamo sa amplitudno

frekvencijskog dijagrama na fazno frekvencijski možemo odrediti faznu rezervu kao

vrijednost faze između vodoravno povučene crte sa -180˚ i fazne karakteristike na toj

frekvenciji ωc.

17

4.5. Načini određivanja stabilnosti sustava

1. Pomoću amplitudne rezerve-ako je amplitudna rezerva Ar pozitivna sustav je nestabilan a

ako je negativna sustav je stabilan. Ako je Ar=0dB sustav je na granici stabilnosti.

2. Pomoću fazne rezerve-ako je fazna rezerva (γ) 0˚ sustav je na granici stabilnosti. Ako se

fazna rezerva nalazi iznad vodoravne crte sa -180 stupnjeva sustav je stabilan. Ako je ispod

nestabilan je.

3. Pomoću nagiba amplitudne karakteristike.

a) Ako amplitudna karakteristika siječe frekvencijsku os pod nagibom -20db/dek sustav

je stabilan

b) Ako ampltudna karakteristika siječe frekvencijsku os pod nagibom -60dB/dek sustav je

nestabilan.

18

c) Ako ampltudna karakteristika siječe frekvencijsku os pod nagibom -40dB/dek potrebno je

napraviti daljna istraživanja

19

Zadatak: Zadan je Bodeov dijagram. Potrebno je odediti ωc, ωπ, Ar, γ te zaključiti dali je

sustav stabilan ili nestabilan.

ωc=10rad

s

ωπ=8rad

s

Ar=10 dB

γ=200

Ovaj sustav je nestabilan jer je ωc veća od ωπ, također fazna rezerva je ispod -180 pa je

i iz tog razloga nestabilan.

20

5. Frekvencijske karakteristike jedinica

Frekvencijske karakteristike pokazuju vrijednosti amplituda i faza izlaznih veličina u

ovisnosti o promjenama frekvencija ulaznih signala. Ispitni signali za snimanje karakteristika

su najčešće sinusni signali.

Osnovne vrste ovih karakteristika su:

Amplitudno frekvencijska karakteristika pokazuje ovisnos amplitude o frekvencij ulaznog

signala. Amplituda izlaznog signala se smanjuje sa povećanjem frekvencije.

Fazno frekvencijska karakteristika pokazuje ovisnost faze o frekvenciji. Sa povećanjem

frekvencije ulaznog signala i fazni pomak raste.

21

5.1. Amplitudno frekvencijski Bodeov dijagram

Prije crtanja treba funkciju prebaciti iz kompleksne u frekvencijsku domenu.

To se radi zamjenom operatora S sa jω. Frekvencija se nanosi na apcisu u logaritamskom

omjeru.

Na ordinatu se nanose vrijednosti ampitude u decibelima dB pomoću izraza 20log(jω).

o Amplitudno frekvencijski dijagram se crta u koracima.

1.Prijenosna funkcija je dana u obliku razlomka. Ako je moguće razlomak treba podijeliti na

manje osnovne razlomke i napraviti pretvorbu s u jω.

Npr:

G( s )=20s (s+2)( s+5 )

G( s )=20∗1s∗

1s+2

∗1s+5

G( s )=20∗1jω

∗1jω+2

∗1s+5

Svaki dio razlomka se crta pojedinačno, a na kraju se zbrajaju.

2.Prvo se crta konstanta koja se inače naziva pojačanje. U primjeru to je broj 20. Na ordinatu

se nanese vrijednost 20log k, u ovom slučaju 20log20=26dB

22

3. Nakon što smo ucrtali pojačanje prelazimo na pojedinačne razlomke. U našem primjeru

prvi razlomak na redu je

1s tj.

1jω .Vrijednost s ili jω se crta tako da se krene od -20 i raste za

20 dB/dek. Razlomak

1s i s su primjeri karakteristika koje se nikad ne mijenjaju.

Razlomak

1s+1 tj

1jω+2 se crta tko što se prvo odredi prijelazna frekvencija ωp.

Ta frekvencija se računa pomoću izraza ωp= 1

T , gdje je T boj koji se nalazi uz s tj. jω. U

ovom slučaju ωp=1 rad/s, do te frekvencije će karakteristika biti 0, od te frekvencije će rasti

ili padati za 20dB/dek ili 40 dB/dek ovisno kojeg stupnja je izraz.

Ako je izraz prvog stupnja (npr. jω+2) i u nalazi se u nazivniku padat će za 20dB/dek, ali

ako je izraz u brojniku rasti će za 20dB/dek.

Ako je izraz drugog stupnja (npr.( jω+2 )2) rasti će ili padati za 40dB/dek ovisno dali se

nalazi u brojniku ili nazivniku.

4. Kada ucrtamo sve dijelove razlomka na dijagram, zbrajamo ih i to je kompletan amplitudno

frekvencijski dijagram.

23

5.2. Fazno frekvencijski Bodeov dijagram

Na apcisu se nanosi vrijednost u rad/s, a na ordinatu se nanosi faza u stupnjevima.

Fazno frekavencijski diagram crtamo kao i amplituno frekvenciski.

Prvo razlomak razdijelimo na manje dijelove ako je to moguće. Nakon toga se crtaju pojedini

dijelovi tj. razlomci a na kraju se i oni zbroje. Pojedini razlomak crtamo tako što pronađemo

njegov realni i imaginarni dio, a zatim izračunamo fazu prema formuli ϕ=arctg

ImRe .

Imaginarni dio je onaj dio što stoji uz j (jot)

Ako je izraz u brojniku faza će biti jednakaϕ=arctg

ImRe , a ako je u nazivniku

ϕ=−arctgImRe .

Zadatak: Nacrtati amplitudno frekvencijski i fazno frekvencijski diagram za funkciju .

G( s )=2∗1s∗ 1

0,5 s+1∗ 1

0,2 s+1

G( s )=2∗ 1jω

∗ 10,5 jω+1

∗ 10,2 jω+1

Amplitudna rezerva je negativna, a fazna rezerva je iznad crte povučene sa -180˚, iz toga

zaključujemo da je ovaj sustav stabilan.

24

Bodeove dijagrame možemo nacrtati pomoću računala. Program koji nam koristi za

crtanje Bodeovi dijagram je Matlab. Način crtanja dijagram u Matlabu je opisan u

prilogu.

Zaključak:

Pod zadaćom projektiranja ili sinteze sustava upravljanja se podrazumijeva kompletno

projektiranje svih elemenata uključujući i elemente zaštite, signalizacije i dijagnostike. Sustav

može biti linearan ili nelinaran. S obzirom da je većina sustava u prirodi nelinearna najprije ih

se linearizira kako bi se mogli analizirati i pronaći prijenosna funkcija. Linearni sustavi se

opisuju linearnim diferencijalnim jednažbama, a nelinearni nelinearnim diferencijalnim

jednadžbama. Opisivanje sustava jednadžbama nije jednostavno stoga su potrebna znanja iz

različitih područja znanosti. Da bi se neki proces pustio u samostalan rad potrebno je da taj

proces stabilan, tj. da može vršiti radnje za koje je namjenjen. Da bi sustav bio stabilan

potrebno je da se ispune uvjeti kao što su fazna rezerva, amplitudna rezerva i položaj polova.

Vrste stabilnosti su asimptotska stabilnost, nestabilnost i granična stabilnost. Bodeov kriterij

stabilnosti je dobar iz razloga što je jednostavan za rukovanje, daje mogućnost lakog očitanja

vrijednosti s tim da nisu potrebna velika znanja za rad u Matlabu. Uz pomoć Bodeovih

dijagrama je jednostavno uočiti značajna ponašanja sustava u frekvencijskom području.

Frekvencijske karakteristike pokazuju vrijednosti amplituda i faza izlaznih veličina u

ovisnosti o promjenama frekvencija ulaznih signala. Osnovne vrste ovih karakteristika su

amplitudno frekvencijska karakteristika koja pokazuje ovisnost amplitude o frekvenciji

ulaznog signala gdje se amplituda izlaznog signala smanjuje sa povećanjem frekvencije i

fazno frekvencijska karakteristika koja pokazuje ovisnost faze o frekvenciji gdje s

povećanjem frekvencije ulaznog signala raste fazni pomak.

25

Prilog:

Crtanje Bodeovih dijagram u Matlabu.

Za crtanje Bodeovi dijagram koristio sam Matlab 7.8.0 (R2009a).

Crtanje Bodeovih dijagrama ću pokazati na prijenosnoj funkciji od zadatka.

1) Zadana je funkcija: G( s )=2∗1

s∗ 1

0,5 s+1∗ 1

0,2 s+1 . Da bi nacrtali dijagram potrebno

je zadanu funkciju prevesti u oblik koji razumije Matlab.

2) Potrebno je razlomke funkcije međusobno izmnožiti.

G (s )=(2∗1s )∗( 1

0.5 s+1∗1

0.2 s+1 )G (s )=

2s∗1

0.1 s2+0.7 s+1

G (s )= 2

0.1 s3+0.7 s2+s

3)Kada smo funkciju izmnožili potrebno ju je upisati u Matlab.Postupak upisivanja je

sljedeći:

Važno: kod upisivanja brojnika i nazivnika zagrade su uglate jer ako nisu Matlab ih nemože

prepoznati pa će pokazati grešku.

3.1. Upisivanje brojnika

brojnik=[2]

3.2.Upisivanje nazivnika

nazivnik=[0.1 0.7 1 0]

Važno: ako nema slobodnog člana kao u ovom promjeru potrebno je upisati nula na zadnje

mjesto kako bi Matlab znao da nema slobodnog člana.

Važno: kod svih siljedećih koraka zagrade su obične.

3.3. Potrebno je da se pojavi cijela napisana funkcija

tf(brojnik,nazivnik)

26

3.4. Naredba za crtanje amplitudno i fazno fekvencijskog dijagrama

bode(brojnik,nazivnik)

3.5.) Naredba za označavanje amplitudne i fazne rezerve:

margin(brojnik,nazivnik)

Kratak sadržaj:

Upravljanje je podešavanje parametara procesa preko upravljačkih veličina kako bi se na

izlazu dobila odgovarajuća veličina. Sustav je stabilan ako za ograničenu pobudu (ulazni

signal) ima ograničen odziv.

Nestabilni sustav je onaj sustav koji za ograničenu pobudu ima beskonačan odziv.

Stabilnost nekog sustava može se proučavati pomoću Bodeovih dijagram, Hurwitz-ovog

kriterija stabilnosti, Lyapunov-ih teorema, Nyquist-ovi dijagrama. U ovom radu se pročuvala

stabilnost sustava uz pomoć Bodeovih dijagrama jer je pomoću njih jednostavno uočiti

značajna ponašanja sustava u frekvencijskom području. Sustav može biti linearan ili

nelinaran. Linearni sustavi se opisuju linearnim diferencijalnim jednažbama, a nelinearni

nelinearnim diferencijalnim jednadžbama. Željene osobine linearnih sustava su te da

regulacijski krug mora biti stabilan, poremećajne veličine trebaju što manje utjecati na

reguliranu veličinu, regulirana veličina treba što brže i točnije slijediti vremenski promjenjivu

vodeću vrijednost i regulacijski krug mora biti što je manje moguće osjetljiv na promjene

parametara.

27

Literatura:

Automatsko upravljanje-prof.dr.sc. Nedjeljko Perić

Automatsko upravljanje-Naser M. Prljača

Frekvencijska analiza Bode-ovi dijagrama-Tamara Šupuk

Osnove regulacijske tehnike-prof. dr.sc. Dario Matika, mr.sc. Dalibor Brnobić

Lekcije iz upravljanja i regulacija-prof.Anita Radoš

Sistemi automatskog upravljanja-nepoznat autor

Internet:

http://act.rasip.fer.hr/materijali/17/CCS_SKRIPTA_AU.pdf-20.04.2013

28

Datum predavanja rada:

Datum obrane rada:

Komentar:

29

Ocjena:

30