Maschinen Dy Namik

Einführung in die Maschinendynamik

Prof. Dr.-Ing. Peter Heinze

Hochschule Wismar

MVU

2011

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamische Kennwerte starrer Maschinen 4

1.1 Bestimmung der Masse und des Schwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Bestimmung der Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Bestimmung des Schwerpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Bestimmung der Federkonstanten bei einfachen Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Federkonstante einer Biegefeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Federkonstante einer Torsionsfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Federkonstante eines gespannten Drahtseils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Luftfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.5 Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6 Schraubenfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Bestimmung des Massenträgheitsmomentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Pendelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Torsionsschwingungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Bestimmung der Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Bestimmung der Dämpfung aus den Amplituden zweier aufeinander folgender Schwingungen 201.4.2 Bestimmung der Dämpfung mit der Methode der Halbwertsbreite . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Umwandlung einer Erregungsfunktion in eine harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Grundlagen der Schwingungslehre 27

2.1 Erregte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1 Ungedämpfte Schwingung mit harmonischer Krafterregung mit konstanter Amplitude . . . 272.1.2 Gedämpfte Schwingung mit harmonischer Krafterregung mit konstanter Amplitude . . . . . 312.1.3 Gedämpfte Schwingung mit Unwuchterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.4 Gedämpfte Schwingung mit Wegerregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Schwingungen mit mehr als einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Freie Schwingung eines Systems mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2 Erregte Schwingung eines Systems mit zwei Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.3 Schwingungstilger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.4 Wegerregte gedämpfte Schwingung eines Systems mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . 482.2.5 Freie Schwingung eines Systems mit mehr als zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Aufstellung der starren Maschine 55

3.0.6 Vereinfachende Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.0.7 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.0.8 Einführung von Massen- und Steigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.0.9 Berücksichtigung des elastischen Verhaltens des Baugrunds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

INHALTSVERZEICHNIS 2

4 Torsionsschwingungen von Antriebssystemen 61

4.1 Grundmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Torsionsschwingungen des glatten Wellenstrangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Reduktion einer Welle mit Übersetzung auf einen glatten Wellenstrang . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Biegeschwingungen von Wellen 68

5.1 Die einfach besetzte Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.1 Mittige Anordnung der Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.2 Nicht mittige Anordnung der Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Mehrfach besetzte Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.1 Bestimmung der α-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.2 Aussermittige Anordnung der Scheibe, Betrachtung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.3 Aussermittige Anordnung der Scheibe, Betrachtung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.4 Berücksichtigung von Kreiselmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.5 Interpretation der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Einführung

Maschinendynamik gibt eine Einführung in die Behandlung dynamischer Probleme von Maschinen. Sie ist dieAnwendung und Erweiterung der Methoden aus den letzten Semestern des Grundkurses Technische Mechanik.Historisch gesehen waren Torsionsschwinungen an Kolbenmaschinen die ersten maschinendynamischen Problem-stellungen, dem folgten Biegeschwingungen besonders bei schnell laufenden Turbinen 1. Als elastische masse-behaftete Systeme führen Maschinen neben der gewollten Kinematik, die die Funktion der Maschine erfüllen,eigene Schwingungen durch, die unter Umständen die Maschine zerstören (Resonanz) oder die Arbeitsgenauigkeit(Werkzeugmaschne) beeinträchtigen.Neben den kinematischen Dimensionen Ort und Zeit werden folgende Gröÿen benutzt:

• Masse, Massenträgheitsmoment

• Feder

• Dämpfer

• Erreger

Dieses Skript kann die Maschinendynnamik nicht in ihrer ganzen Breite darstellen. Es muss sich auf einige wich-tige Bereiche beschränken. Der späteren Ingenieur muss sich gegebenenfalls weiteres Wissen mit Hilfe der hierdargestellten Grundlagen erarbeiten.

1Dieses Skript geht auf die Vorlesung von Prof. Kissing zurück, ich danke ihm für die Überlassung seines Skiptums.

3

Kapitel 1

Dynamische Kennwerte starrer Maschinen

Maschinen können als elastisches Kontinuum oder als federnd gelagerter starrer Körper aufgefasst werden.In diesem Kapitel soll die Maschine oder das Maschinenteil als starrer Körper untersucht werden, der federnd oderfest gelagert ist. Hierzu wird die Masse, der Schwerpunkt, die Massenträgheitsmomente, die Feder- und Dämp-fungskennwerte benötigt. Zur vollständigen Beschreibung des dynamischen Verhaltens kommen noch Erregerkräftebzw. Erregungsgröÿen hinzu.Diese Gröÿen sind auch im Hinblick auf die Energiebilanz von Bedeutung:

Masse kinetische Energie translatorisch m2 v2

kinetische Energie rotatorisch Θ2 ω2

Lage potentielle Energie g m hFedern potentielle Energie translatorisch c

2c x2

potentielle Energie rotatorisch ct2 ϕ

2

Dämpfer Energiewandler Umwandlung mechanische Energie in WärmeErreger Zuführen von Energie

1.1 Bestimmung der Masse und des Schwerpunkts

1.1.1 Bestimmung der Masse

Die Bestimmung der Masse kann in vielen Fällen analytisch durch

m =

∫V

ρdv

geschehen.Ist da nicht möglich kann die Masse durch Wägung

F = m g

als Ganzes oder in Teilen bestimmt werden.

1.1.2 Bestimmung des Schwerpunkts

Auch der Schwerpunkt kann durch Wägung bestimmt werden.

4

KAPITEL 1. DYNAMISCHE KENNWERTE STARRER MASCHINEN 5

6F1

n.

...................................

.

.........................

........................

.......................

..............

..........

........................

.........................

..........................

...........................

............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

.

........

...................

........

.......

........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B

?

FG

-l

- l1

rS ?

6

hs

Abbildung 1.1: Horizontaler Schwerpunkt eines Fahrzeugs

Zur Bestimmung der horizontalen Schwerpunktlage fährt man den Körper, hier ein Fahrzeug, in die in Abbildung1.1 gezeigte Lage. Das Fahrzeug hat das Gesamtgewichts FG, das bereits durch eine Wägung bestimmt wurde. DieVorderachse ist auf einer Waage, die das Gewicht F1 anzeigt. Das Momentengleichgewicht um den Aufstandspunktder hinteren Achse (B) liefert: ∑

M (B) = FG l1 − F1 l = 0

l1 =F1

FGl

l1 ist der Abstand des Schwerpunktes vom hinteren Achse.Zur Bestimmung der Höhe des Schwerpunktes ist die gekippte Lage des Fahrzeugs zu untersuchen: Die Neigung

6F2

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................

........................

.......................

........................

....................................

.............

..........................

...........................

............................

.

..

..

..

..

.

..

..

..

..

.......

..................

.........

........

.......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B

-

l

δx--

l1

?

FGrS?6h

6

-l2

Abbildung 1.2: Vertikaler Schwerpunkt eines Fahrzeugs

des Fahrzeugs beträgt: α = arcsin(hl ) Das Momentengleichgewicht um den Auagerpunkt der Hinterachse beträgt:∑MB = −F2l cosα+ l2 FG = 0

Der Hebelarm von F2 ist l cosα, da, bei gleichem Durchmesser des Rades, beide Auagerpunkte gegenüberAbbildung 1.1 um den Betrag

δx =d

2sinα

horizontal nach links verschoben sind.Damit ergibt sich:

l2 =F2

FGl cosα


r ..................

...................

..................

..................

..................

..................

...................

....................................

...................

..................

..................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..................

..................

...................

.................. ..................

...................

..................

..................

..................

..................

...................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

6

r ..................

...................

..................

..................

..................

..................

...................

....................................

...................

..................

..................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..................

..................

...................

.................. ..................

...................

..................

..................

..................

..................

...................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

6

AAA d

2 sinαrrFgAAAAAAAAAAr

hs

rhs

tanα

`1

`

`2d2 sinα

Abbildung 1.3: Vertikaler Schwerpunkt

Aus der Skizze 1.3 kann man ablesen:

`2 + d2 sinα

cosα= hs tanα+ `1

Die vertikale Lage des Schwerpunkts hs ergibt somit :

hs =`2

sinα+d

2− `1

tanα


1.2 Bestimmung der Federkonstanten bei einfachen Konstruktionen

Oft ist die Federkonstante nicht bekannt, man muss sie erst ermitteln. Bei einfachen Konstruktionen ist diessehr leicht möglich. Bei komplexeren Konstruktion ist es besser, eine Schwingungsrechung mit der Methode derFiniten Elemente zu machen. Bei dem hier vorgestellten Vorgehen muss man wissen, an welcher tiefesten Frequenzwelcher Schwingungsform man interessiert ist. Dies kann die erste Biegeform, die erste Torsionsform oder die ersteLongitudinalform sein. Die Masse der Konstruktion selbst wird bei diesem Vorgehen nicht berücksichtigt, daherkann es nur eine Näherung sein.

1.2.1 Federkonstante einer Biegefeder

In dem skizzierten einfachen System sei die Frequenz erste Biegeform gesucht. Man bringt eine Kraft der Gröÿe1 an der Stelle an der die Masse wirkt und ich Richtung der Verschiebung auf. Man bestimmt die Verschiebung.Die Federsteigigkeit ist der Kehrwert der Verschiebung. Wichtig: die Federkonstante sollte die Einheit N/m oderNm/radiant haben, damit verhindert man Einheitenfehler.

~Masse m

?

F = 1

?. ............................................................ ............................................................. .............................................................. ...............................................................δ

F = 1

Abbildung 1.4: Bestimmung der Federkonstanten bei statischen Systemen

Die Verschiebung δ ergibt:

δ =1 l3

3EJ

dann ist die Federkonstante

c =1

δ=

3EJ

1 l3

1.2.2 Federkonstante einer Torsionsfeder

Wenn die gesuchte Eigenfrequenz zu einer rotatorischen Eigenform gehört, muss die Drehfederkonstante bekanntsein. Man geht analog zur Federkonstanten vor:Die Drehfederkonstante des dargestellten Drahtes mit kreisförmigen Vollquerschnitt mit dem Durchmesser d undder Länge l ist zu bestimmen. Der Gleitmodul G ist bekannt. Der Draht ist am Ende A eingespannt, am Ende Bgreift ein Moment der Gröÿe M (B) = 1 an.

q

rA

B66M (B) = 1

Abbildung 1.5: Ermittlung der Konstanten einer Drehfeder


Die Verdrehung infolge des Moments M (B) = 1 beträgt

ϕ =1 l

G JT

Beim Kreisquerschnitt ist

JT = Jp = πd4

32

Die Konstante der Drehfeder ist:

cT =1

ϕ=G JTl

(1.1)

1.2.3 Federkonstante eines gespannten Drahtseils

Hier wird die Federkonstante eine gespannten Seils behandelt. Auch in der verformten Konguration ist es grad-linig, Seile dieser Art ndet man beispielsweise in Fahrstühlen. Die Federkonststante beträgt:

cs =E A

`(1.2)

In Gleichung (1.2) ist A der metallische Querschnitt, für den Elastizitätsmodul E wird bei Holzweiÿig/Dresigangegeben:

E = 1 1011 · · · 1.6 1011 N/m2

1.2.4 Luftfeder

Luftfedern1 nden in LKW und Omnibussen sowohl zur Federung des Fahrzeuges als auch des Fahrersitz Ver-wendung. Durch Veränderung des Luftdrucks im Inneren(Aufpumpen) kann bei unterschiedlichen Belastungszu-ständen die gleiche Bodenfreiheit bzw. Sitzhöhe eingestellt werden.

. ...................................................................................................................... ......................... ...................... ................... ................ .............. ........... ........ .......

.......

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

.......

....................................................................................................................................................................................................................................................

..

..

..

.

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

....... ........ ........... .............. ................ ................... ...................... ......................... ......................................................................................................................

. ............................................................................................................. .......................... ....................... ................... ................ ............ ......... ........

.......

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

.......

..................................................................................................................................................................................................................................

..

..

..

.

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

........ ......... ............ ................ ................... ....................... .......................... .............................................................................................................

m

?z, w

Balg

Abbildung 1.6: Luftfeder

1Knaebel, Jäger, Mastel: Techn. Schwingungslehre S. 67


Die Luftfeder besteht aus einem Balg in Form eines Zylinders mit dem Innendurchmesser d. Die im Balg ein-geschlossene Luft mit dem Volumen V0 steht unter dem absoluten Druck p0 und bietet der Auast infolge desGewichtes der Masse m das Gleichgewicht. Der Balg wird in der folgenden Betrachtung als dehnsteif angesehen.Infolge des Einfederns um w verändert sich das Volumen um

∆V =πd2

4w

Der Luftdruck erhöht sich dabei um ∆pDie zusätzlich Rückstellkraft FR wird durch

FR = −∆pπd2

4

bestimmt.Da die Schwingungen sehr schnell ablaufen, ndet kein Energieaustausch mit der Umgebung ab, es kann eineadiabatische Zustandsänderung angenommen werden, damit gilt:

p V κ = const

mit dem Isentropen-Exponent κ. Für Luft beträgt er κ = 1, 405.2

Es gilt damit:

(p0 + ∆p)(V0 −∆V )κ = p0Vκ0 = const

Der Term (V0 + ∆V )κ wird in eine Taylorreihe, die nach dem ersten Glied abgebrochen wird, entwickelt.Für die Taylorreihe gilt:

f(a+ h) = f(a) +h

1!f ′(a) +

h2

2!f ′′(a) + . . .

Für die erste Ableitung erhält man:d

V(V κ) = κ V κ−1

Damit gilt für den Term

(V0 + ∆V )κ ≈ V κ0︸︷︷︸f(a)

+−∆V

1︸︷︷︸h1!

κ V κ−10︸︷︷︸

f ′(a)

und(p0 + ∆p)(V κ0 + κV κ−1

0 (−∆V )) = p0Vκ0 = const

Die Multiplikation des Klammerausdrucks liefert:

p0 Vκ0 − p0 ∆V κ V κ−1

0 + ∆pV κ0 −∆p∆V κ V κ−10 = p0 V

κ0

Vernachlässigt man die Glieder, die von höherer Ordnung klein sind, so erhält man:

p0 Vκ0 − p0 ∆V κ V κ−1

0 + ∆pV κ0 = p0 Vκ0

und daraus:

∆p = p0 κ V−10 ∆V = p0 κ

1

V0

πd2

4w (1.3)

damit gilt für die Rückstellkraft:

2Schlichting/Truckenbrodt


FR = − p0 κV−10

πd2

4

πd2

4︸︷︷︸cL

w

Die Federkonstante für eine Luftfeder ist entsprechend:

cL =κ p0

V0

(πd2

4

)2

(1.4)

1.2.5 Gummifedern

Gummifedern werden z.B. zur elastischen Lagerung von Motoren in Kraftfahrzeugen oder allgemein von Maschineneingesetzt. Gegenüber von metallischen Federn sind Gummifedern gleichzeitig Dämpfer. Gummiferden besteheni.A. aus Metallteilen, die durch Vulkanisierung (Hitze und Druck) mit dem Gummi verbunden sind. Sie werden u.a.als Druckfedern, Zugfedern, Torsionsfedern oder Scheibengummifedern mit Parallelschub (Schubfeder) eingesetzt.

.

...............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

...............

.

...............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

...............

6

?

Druckfeder

.

.........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................

.

.........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................

?

6

Zugfeder

@@@@@@@@@

QQQ

QQQ?

Schubfeder

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

...............

..............

..............

..............

..............

...............

...............

..............

............................

..............

...............

...............

..............

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..............

...............

...............

..............

.............. ..............

..............

...............

...............

..............

..............

..............

..............

...............

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............

..............

.............

.............

.............

.............

..............

..............

.............

..........................

.............

..............

..............

.............

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

.

.............

..............

..............

.............

............. .............

.............

..............

..............

.............

.............

.............

.............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........

........

........

........

........

........

................

........

........

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

........

........

........ ........

........

........

........

........

........

........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

......

......

......

......

...................

.......

......

......

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

......

......

............. .............

......

......

......

......

.......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

M.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

Torsionsfeder

Gummi hat eine Querdehnzahl von 0.5, das heisst, dass bei einer Zugbelastung der Volumenzunahme durch dieDehnung in Kraftrichtung eine gleich groÿe Volumenabnahme durch die Schrumpfung in Querdehnung gegen-übersteht. Man spricht von Volumenkonstanz. Bei Druckfedern wird der wirkliche Querschnitt gröÿer, damitdie Normalspannung und damit die Längenänderung kleiner, Druckfedern haben daher eine leicht progressiveFederkennlinie, bei Zugfedern tritt der umgekehrte Eekt ein.

6

-

b

.

...................................

......................................

.........................................

.............................................

................................................

...................................................

a

.

.................................

................................

..............................

.............................

............................

........................... c

Federweg

Federkraft

Abbildung 1.7: Progressive (a), lineare (b), degressive Federkennlinie (c)

Der Schubmodul von Gummi ist eine Werkstokonstante, die von der Shore-Härte abhängig ist. Der Zusamenhangist nichtlinear. Bei einer Shore Härte von 50 ergibt sich ein G-Modul von 0.6 MN/m2, bei einer Shore Härte von75 eine G-Modul von 1.1 MN/m2 und bei einer Shore Härte von 80 eine G-Modul von 1.8 MN/m2.


Abbildung 1.8: Werkstomodule und Dynamikfaktor als Funktion der Shore-Härte und Formfaktor(aus Holzwei-ÿig/Dresig)

Der E-Modul ist ebenfalls von der Shore-Härte und von einem Formfaktor kE abhängig. Der Formfaktor ist derQuotient aus einer belasteten Fläche und der gesamten freien Oberäche.

kE =eine belastete Fläche

gesamte freie Oberäche

Für die oben dargestellte zylindrische Druckfeder mit dem Durchmesser d und der Höhe h ergibt sich somit derFormfaktor zu

kE =14d

2 π

d π h=

d

4 h

Druck- und Zugfeder

Der zylindrische Gummikörper habe die Querschnittsäche A und die Höhe h. Der Elastizitäsmodul kann aus derShore-Härte und dem Formfaktor dem Bild 1.8 entnommen werden. Damit ergibt sich die statische Federkonstante:

cst =A E

h(1.5)

cdyn = cst kdyn

Scheibengummifeder

Die Scheibengummifeder für Parallelschub hat die Querschnittsäche A der Abstand der Metallplatten betrage s.Die Schubspannung im Querschnitt A ergibt sich zu:

τ =F

A

Mit dem Hooke'schen Gesetz für Schubτ = γ G

und der Vereinfachung für kleine Winkeln γ:


γ =w

s

erhält man sich für die Verschiebung w infolge der Kraft F :

w =F s

A G

und damit als (statische) Federkonstante

cst =A G

s(1.6)

cdyn = cst kdyn

Hülsengummifeder für Torsionsbelastung

Wie in der Skizze angedeutet, besteht die Torsionsgummifeder aus zwei ineinander liegenden Rohren aus Metall,deren Zwischenraum mit Gummi ausgefüllt ist. Über die Rohre wird das Torsionsmoment eingeleitet.Der Gummikörper hat den Innenradius ri, den Auÿenradius ra und die Länge `.Die Torsionsfederkonstante wird ermittelt, indem man ein Torsionmoment der Gröÿe 1 Nm aufbringt und diezugehörige Verdrehung ermittelt. Das äuÿere TorsionsmomentMT muÿ von den Schubspannungen τr,ϕ mit demHebelarm r aufgenommen werden, es gilt daher die Beziehung:

MT =

∫Oberäche

r︸︷︷︸Hebelarm

τrϕ r dϕ dz

Die Auswertung des Integrals liefert:

MT = r2 τrϕ ` 2 π

Die Umstellung ergibt:

τrϕ =MT

2 r2 ` π(1.7)

Wie man aus der Gleichung erkennen kann, steigt die Schubspannung von auÿen nach innen an. Das Hooke'scheGesetz für Schub lautet:

τ = γ G ; γ =τ

G

Die Schubverzerrung γ ist

γ = rdϕ

dr

man erhält also:τrϕG

= rdϕ

dr

Setzt man Gleichung (1.7) ein, so erhält man:

MT

2 r2 ` π

1

G= r

dϕ

dr

Diese Dierentialgleichung lässt durch der Trennung der Variablen lösen:

dϕ =MT

2 r2 ` π

1

Gdr


durch Integration gewinnt man:

ϕ =MT

2 ` π

1

G

∫ ra

ri

1

r2dr =

MT

2 ` π

1

G

−1

2

[1

r2a

− 1

r2i

]ϕ =

MT

4 ` π

1

G

[1

r2i

− 1

r2a

]Die statische Federkonstante gewinnt man wieder durch den Kehrwert der Verdrehung infolge eines Torsionsmo-ments der Gröÿe 1:

cst =4 π ` G1r2i− 1

r2a

(1.8)

Die dynamische Federkonstante liegt höher als die statische. Die dynamische Federkonstante erhält man durchMultiplikation mit einem Dynamikfaktor kdyn, der von der Shore-Härte abhänig ist3:

cdyn = cst kdyn (1.9)

1.2.6 Schraubenfeder

Schraubenfedern werden als Zug- oder Druckfedern eingesetzt. Sie bestehen aus einen schraubenförmig gewen-deltem Federdraht (Abb.(1.9). Durch diese Anordnung wird der Federdraht durch auf ganzer Länge durch einTorsionsmoment

MT = FDm

2

beansprucht. F ist die Federkraft und Dm ist der mittlere Durchmesser und i die Anzahl der wirksamen derWindungen. d ist der Durchmesser des Federdrahts.

Abbildung 1.9: Schraubenfeder(aus Hubert Hinzen, Maschinenelemente 1)

Um die Federkonstante zu ermitteln wird wieder eine Kraft F der Gröÿe 1 aufgebracht und die dadurch ausge-löste Verschiebung ermittelt. Die Federkonstante ist der Kehrwert der Verschiebung infolge der Federkraft 1. DieErmittlung erfolgt mit dem Arbeitssatz: Das Torsionsmoment infolge von F beträgt MT = F Dm

2 . Das Momentinfolge der virtuellen Kraft 1 beträgt: MT = 1 Dm

2 . Die Verschiebung f ergibt sich zu:

f =i

G JT

∫MT MT dx =

i

G JTFDm

21Dm

2π Dm︸︷︷︸

Länge einer Windung

3Holzweiÿig/Dresig S.45


f =i

G JTFD3m

4π

Mit Torsionsträgheitsmoment eines Kreisquerschnitts, es ist das polare Fächemträgheitsmoment:

JT = Jp = πd4

32

erhält man

f =i

G π d4

32

FD3m

4π = i

8 D3m

G d4F

Die Federkonstante ist der Kehrwert mit F = 1:

c =G d4

8 i D3m

(1.10)

Querfederkonstante einer Schraubenfeder


Θ =L

2

√F

B

(1 +

F

S

)B =

1 + ν

2 (1 + ν)D2 c L (Biegesteigkeit)

S = 2 (1 + nu) c L (Schubsteigkeit)

Querfederkonstante cq:1

cq=L

F

[(1 +

F

S

)tan Θ

Θ− 1

]


1.3 Bestimmung des Massenträgheitsmomentes

Das Massenträgheitsmoment ist immer auf eine Richtung und auf einen Ort bezogen. Allgemein gilt:

Θ(A)x =

∫V

r2dm (1.11)

wobei r der Radius von der Bezugsachse ist. Ist die durch den Ursprung gehende y-Achse die Bezugsachse giltbeispielsweise

Θ0y =

∫V

(x2 + z2)︸︷︷︸r2

dm

Ist das auf den Schwerpunkt bezogene Trägheitsmoment ΘS bekannt, können sie mit dem Satz von Steiner aufandere Bezugspunkte transformiert werden:

ΘA = ΘS +m a2 (1.12)

wobei a der Abstand des Punktes A vom Schwerpunkt ist.In Anlehnung an die Flächenmomente gibt es auch Massendeviationsmomente:

Θ0xy = −

∫V

xy dm

Massenträgheitsmomente und Massendeviationsmomente können zum Trägheitstensor zusammengefasst werden:

Θ0 =

Θ0x Θ0

xy Θ0xz

Θ0yx Θ0

y Θ0yz

Θ0zx Θ0

zy Θ0z

(1.13)

Der Trägheitstensor ist symmetrisch, d.h. es gilt Θij = Θji.Der Trägheitstensor kann oft von CAD Programmen abgefragt werden.

1.3.1 Pendelverfahren

Ist eine analytische Bestimmung des Massenträgheitsmoments nicht oder nur mit unverhältnismäÿig hohen Auf-wand möglich, kann es auf experimentellen Wege gefunden werden.Das Bauteil wird als Physikalisches Pendel betrachtet. Die Masse sowie der Schwerpunkt ist aus den vorherigenBetrachtungen bekannt.

.

......................

...................

................

.............

..........

........

...... ....

.

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

............

.............

............................

..............

..............

...............

..................

.....................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................

..................

................

..................

................... rArS.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ls

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........

......

.....

......

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.............

..............

............................

..............

...............

..................

.....................

..........................

.........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................

...................

ϕ

rArS

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ls

Abbildung 1.10: Physikalisches Pendel

Das Pendel ist in einem Punkt drehbar aufgehängt. Die Entfernung vom Drehpunkt zum Schwerpunkt beträgt ls.Der Ausschlag des Pendels beträgt ϕ.


Mit dem Prinzip des d'Alembert lässt sich die Dierentialgleichung angeben:

Θ(A) ϕ−M = 0

Das antreibende Moment M ist:

M = m g ls ∗ sin(ϕ) bei kleinen Ausschlägen gilt M = m g ls ϕ

damit lauter die Dierentialgleichung:

Θ(A) ϕ−m g ls ϕ = 0

oder

ϕ− m g lsΘ(A)

ϕ = 0

Die Kreisfrequenz eines Physikalischen Pendels beträgt:

ω2 =m g ls

ΘA

Daraus lässt sich die Frequenz

f =ω

2 π=

√m g ls

ΘA

1

2π

ermitteln.Die Periode T ist 1

f

T =

√ΘA

m g ls2π

Setzt man das Pendel nun in Schwingungen mit kleinen Ausschlägen und misst die Zeit von mehreren Perioden,so kann man das Massenträgheitsmoment bestimmen:

ΘA =T 2

4π2m g ls (1.14)

Mit dem Satz von Steiner kann man das Massenträgheitsmoment auf den Schwerpunkt beziehen:

ΘS = ΘA −m l2s (1.15)

1.3.2 Torsionsschwingungsverfahren

Das Torsionsschwingverfahren ist besonders für die Bestimmung des Massenträgheitsmoments vonWellen geeignet.Das Bauteil wird an einem Draht mit bekannter Torsionsfedersteigkeit cT gehängt und in Torsionsschwingungenversetzt.Der Draht habe das Torsionsträgheitmoment Jp, dem Schubmodul G und der Länge l.Die Torsionsfederkonstante beträgt:

cT =Jp G

l(1.16)

Die Torsionskreisfrequenz beträgt:

ω =

√cTΘs

Damit bestimmt man die Periode T :


q.

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.........

............

...............

..............

...

....................

....................... ..........................

.......................

.....................

...................

..................

................

...............

.

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

.........

............

...............

..............

...

....................

....................... ..........................

.......................

.....................

...................

..................

................

...............

.

...............

................

..................

...................

.....................

.......................

......................... . .....................................

......

..............

...

...............

............

.........

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

.. ΘS

rA

Abbildung 1.11: Torsionsstabverfahren

T = 2π

√Θs

cT

Das Massenträgheitsmoment ergibt sich damit zu:

Θs =T 2

4π2cT (1.17)


1.4 Bestimmung der Dämpfung

Aus dem Grundkurs ist die Dierentialgleichung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems mit einem Freiheitsgradohne Erregung bekannt:

i im

-x

CCCCCCCC

c d

Abbildung 1.12: Gedämpfte freie Schwingung

mx+ dx+ c x = 0 (1.18)

darin sind:

m: Masse [kg]

d: Dämpfungskonstante [N/(m/s)]

c: Federkonstante [N/m]

x: Verschiebung [m]

Gleichung 1.18 beschreibt Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung, es gibt noch weitere Dämpfungsansätze, diejedoch hier nicht verfolgt werden sollen. Die Konstante

δ =d

2m

wird Abklingkonstante genannt. (TM Grundkurs) Die Kreisfrequenz des ungedämpften System ist:

ω =

√c

m

und das Lehrsche Dämpfungsmaÿ ist:

D =δ

ω=

d

2mω

Die Kreisfrequenz des gedämpften Systems ist:

ωd =√ω2 − δ2 = ω

√1−D2

Die Lösung der Dierentialgleichung kann durch den eλt Ansatz gefunden werden. Bei schwacher Dämpfung (D< 1) erhält man:

x(t) = e−δt[C1 sin(

√ω2 − δ2 t) + C2 cos(

√ω2 − δ2 t)

]


Abbildung 1.13: Schwache Dämpfung, Ausschlag über der Zeit

1.4.1 Bestimmung der Dämpfung aus den Amplituden zweier aufeinander folgender

Schwingungen

Vorgehensweise: Das System wird erregt, bis die Resonanzfrequenz gefunden ist, dann wird die Erregung abge-schaltet und die Auslenkungen aufgezeichnet.Die Amplituden zweier aufeinander folgender Schwingungen betragen:

An+1 = An e−δ Td

Td ist die Periode des gedämpften Systems.Daraus lässt sich das Amplitudenverhältnis ermitteln:

An+1

An= e−δ Td

Das logarithmische Dämpfungsdekrement Λ ist:

ln

(An+1

An

)= −δ Td = −Λ

mit

2π = ωd Td → Td =2π

ωd

ist das logarithmische Dämpfungsdekremt ist auch

Λ = 2πδ

ωd= 2π

δ︷︸︸︷D ω

ω√

1−D2︸︷︷︸ωd

Λ = 2πD√

1−D2

Λ2 (1−D2) = 4 π2 D2

Λ2 −D2 Λ2 = 4 π2 D2

Λ2 = D2 Λ2 + 4 π2 D2 = D2(Λ2 + 4π2)


und damit kann das Lehrsche Dämpfungsmaÿ bestimmt werden:

D =Λ√

4π2 + Λ2(1.19)

Führt man diese Bestimmung nicht nur bei der ersten und zweiten Amplitude sondern auch bei nachfolgendenaus, wird man eventuell unterschiedliche Ergebnisse bekommen. Dies ist ein Hinweis darauf, dass die Dämpfungnicht rein proportional der Geschwindigkeit ist, sondern auch andere Anteile enthält, beispielsweise dem Ausschlagproportionale.

1.4.2 Bestimmung der Dämpfung mit der Methode der Halbwertsbreite

Die Methode der Halbwertsbreite ist anwendbar bei schwacher und kleiner (D < 0.1) Dämpfung, und hier dar-gestellt für Erregung durch konstante Kraftamplitude und konstante Unwuchtkraft. Bei der Methode der Halb-wertsbreite4 wird das Schwingungssystem in Resonanz (Ω = ωd) gebracht und die Amplitude A bestimmt. Dannwird die Erregerfrequenz Ω so lange nach oben (Ω2) und nach unten (Ω1) verändert bis die Amplitude die GröÿeA/√

2 erreicht.Aus der Dierenz (Ω2 − Ω1) lässt sich die Dämpfungskonstante d bestimmen:

d = m(Ω2 − Ω1) (1.20)

Das Lehrsche Dämpfungsmaÿ erhält man mit:

D =d

2 m ω

Abbildung 1.14: Verfahren der Halbwertsbreite

4Holzweisig, Dresig S.71


1.5 Umwandlung einer Erregungsfunktion in eine harmonische Reihe

Im Grundkurs Mechanik wurden Schwingungssysteme mit einer Masse unter verschiedenen Erregungsarten un-tersucht, die Erregungsfunktion war immer eine Sinusfunktion. Dies ist in der Praxis nicht immer der Fall. Glück-licherweise lässt sich jedoch jede mindestens stückweise stetige periodische Funktion durch eine Reihe aus Sinus-und Kosinus-Gliedern annähern.Diese Reihe heiÿt Fourierreihe und lautet:

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

[ak cos(kω0 x) + bk sin(kω0 x)] (1.21)

Die ak und bk nennt man Fourierkoezienten, T0 ist Periode der periodischen Funktion die approximiert werdensoll, die Kreisfrequenz des ersten Gliedes ist:

ω0 =2π

T0

Ist die Erregungsfunktion f(x) analytisch bekannt , bestimmt man die Fourierkoezienten wie folgt:

ak =2

T0

∫ T=

0

f(x) cos(k ω0 x)dx k = 0, . . . , n (1.22)

bk =2

T0

∫ T0

0

f(x) sin(k ω0 x)dx k = 1, . . . , n (1.23)

Beispiel einer Kurve mit einem Verlauf in Form eines Dreiecks

- t

6F

.

.................................................................................................................

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.................................................................................................................

10 s

30 N

Die Funktion ist periodisch mit der Periode T0 = 10 s, sie ist stetig aber, wegen der Knicke bei t = 2.5 s nichtstetig ableitbar. Die einzelnen Abschnitte lauten:

0 ≤ t < 2.5 : F = 3/2.5 t

2.5 ≤ t < 7.5 : F = 6− 3/2.5 t

7.5 ≤ t ≤ 10 : F = −12 + 3/2.5 t

Die Fourierkoezienten ak berechnet man damit:

ak =2

10

∫ 2.5

0

3

2.5t cos(k ω0t)dt

+2

10

∫ 7.5

2.5

(6− 3

2.5t

)cos(k ω0t)dt

+2

10

∫ 10

7.5

(12 +

3

2.5t

)cos(k ω0t)


Mit c = k ω0 liefert die Auswertung des bestimmten Integrals:

ak =2

10

3

2.5

[cos(2.5 c)

c2+

2.5 sin(2.5 c)

c− 1

c2

]+

2

10

6

c[sin(7.5 c)− sin(2.5 c)]

− 2

10

3

2.5

[cos(7.5 c)

c2+

7.5 sin(7.5 c)

c− cos(2.5 c)

c2− 2.5 sin(2.5 c)

c

]− 2

10

12

c[sin(10 c)− sin(7.5 c)]

+2

10

3

2.5

[cos(10 c)

c2+

sin(10 c)

c− cos(7.5 c)

c2+

sin(7.5 c)

c

]Die Integration für bk wird entsprechend ausgeführt.Die Durchführung wird mit einem MatLab Skript gezeigt:

close all

clear all

x=[0:0.1:10]

nx=length(x)

% Funktion: Dreieckkurve T0=10, maxF=3

% 1. Abschnitt:0:2.5 F=3/2.5*x

% 2. Abschnitt:2.5:7.5 F=6-3/2.5*x

% 3. Abschnitt:7.5:10 F=12+3/2.5*x

%

nk = 12 % Anzahl der Reihenglieder

T0=10 omega=2*pi/T0 a0=0

% Bestimmung der Fourierkoeffizienten:

for k=1:nk

c=omega*k

a(k)=2/T0* (...

3/2.5*(cos(c*2.5)/c^2+2.5*sin(c*2.5)/c-1/c^2)...

+6/c*(sin(c*7.5)-sin(c*2.5))...

-3/2.5*(cos(7.5*c)/c^2+7.5*sin(c*7.5)/c...

-cos(c*2.5)/c^2-2.5*sin(2.5*c)/c)...

-12/c*(sin(c*10)-sin(c*7.5))...

+3/2.5*(cos(c*10)/c^2+10*sin(c*10)/c...

-cos(c*7.5)/c^2-7.5*sin(c*7.5)/c)...

);

b(k)=2/T0* (...

3/2.5*(sin(c*2.5)/c^2-2.5*cos(c*2.5)/c)...

+6/c*(-cos(c*7.5)+cos(c*2.5))...

-3/2.5*(sin(7.5*c)/c^2-7.5*cos(c*7.5)/c...

-sin(c*2.5)/c^2+2.5*cos(2.5*c)/c)...


-12/c*(-cos(c*10)+cos(c*7.5))...

+3/2.5*(sin(c*10)/c^2-10*cos(c*10)/c...

-sin(c*7.5)/c^2+7.5*cos(c*7.5)/c)...

)

end

% Funktionswerte mit Hilfe der Fourierreihe bestimmen

for ix=1:nx

y(ix)=a0/2;

for k=1:nk

y(ix)=y(ix)+a(k)*cos(k*omega*x(ix))...

+b(k)*sin(k*omega*x(ix));

end

end

% Plot:

figure

plot(x,y)

Abbildung 1.15: Fourierapproximation einer Funktion

Erregung nur an äquidistanten Stellen bekannt Oft ist die Erregungsfunktion nicht in analytischer Formsondern nur an m äquidistanten Stellen ti beispielsweise aus einem Messschrieb bekannt. Auch dann kann eineFourierapproximation durchgeführt werden: Die Periode ist wieder T0,Die gröÿte Kreisfrequenz ist ω0 = 2 ∗ π/T0

a0 =2

m

m∑i=1

fi (1.24)

ak =2

m

m∑i=1

fi cos(k ω0 ti)


mit

ω0 ti = i2π

m

bk =2

m

m−1∑i=0

fi sin(k ω0 ti)

Beispiel 2 einer Kurve mit einem Verlauf in Form eines Dreiecks

Auch dieser Fall soll an der gleichen Funktion wie oben dargestellt werden, Die Funktionswerte müsse jedochzunächst berechnet werden:

close all clear all x=[0:0.1:10] nx=length(x)

% Funktion: Dreieckkurve T0=10, maxF=3

% 1. Abschnitt:0:2.5 F=3/2.5*x

% 2. Abschnitt:2.5:7.5 F=6-3/2.5*x

% 3. Abschnitt:7.5:10 F=12+3/2.5*x

% aber in diskreten Funtionswerten gegeben

% Bestimmung der Funktionswerte:

for i1=1:nx

xx=x(i1)

if xx < 2.5 yy(i1)=3/2.5*xx; end

if xx >= 2.5 yy(i1)= 6-3/2.5*xx; end

if xx >= 7.5 yy(i1)= -12+3/2.5*xx; end

end

m=length(x)

%

nk = 12 % Anzahl der Reihenglieder

T0=10 omega=2*pi/T0

a0=0 for ix=1:m

a0=a0+yy(ix);

end

a0=a0*2/m

for k=1:nk

c=omega*k

a(k)=0;

b(k)=0;

for ix=1:m

a(k)=a(k)+yy(ix)*cos(c*x(ix));

b(k)=b(k)+yy(ix)*sin(c*x(ix));

end

a(k)=a(k)*2/m

b(k)=b(k)*2/m

end

for ix=1:nx


y(ix)=a0/2;

for k=1:nk

y(ix)=y(ix)+a(k)*cos(k*omega*x(ix))...

+b(k)*sin(k*omega*x(ix));

end

end

figure

plot(x,y)

Abbildung 1.16: Fourierapproximation einer Reihe von äquidistanten Stützstellen

Beide Approximationen sind mit 12 Reihengliedern durchgeführt worden. Die Güte der Approximationen unter-scheiden sich nicht oder nur geringfügig.

Kapitel 2

Erweiterte Grundlagen der

Schwingungslehre

2.1 Erregte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad

Im letzten Kapitel wurden nur solche Schwingungen untersucht, die einmal ausgelenkt und sich dann selbst über-lassen wurden. Diese Schwingungssysteme konnten dabei ungedämpft oder gedämpft sein. Von den verschiedenenDämpfungsmodellen wurde exemplarisch die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung untersucht, bei der dieDämpfungskraft linear von der Geschwindigkeit abhängt. Ölgefüllte Stoÿdämpfer verhalten sich näherungswei-se in diesem Sinne linear. Im Gegensatz zum letzten Kapitel wirkt bei erregten Schwingungen immer eine dieSchwingung auslösende Gröÿe.

2.1.1 Ungedämpfte Schwingung mit harmonischer Krafterregung mit konstanter

Amplitude

Ein Wagen mit der masse m rollt reibungsfrei und ungedämpft auf einem Gleis. An der linken Seite ist er durch eineFeder mit der Konstante c horizontal gelagert, auf der anderen Seite wirkt eine horizontale Kraft F = F0 sin(Ωt).

i im

-x

CCCCCCCC

c

- F = F0 sin(Ωt)

Abbildung 2.1: Erregte Schwingung mit harmonischer Krafterregung

Die Feder sei bei x = 0 entspannt. Nun wird die Masse freigeschnitten und alle Kräfte angetragen. Das sind: dieFederkraft Fc = c x, die d'Alembertsche Trägheitskraft FH = m x in negative Bewegungsrichtung (x-Richtung)und die Erregerkraft F = F= ∗ sin Ωt. Das Gleichgewicht in vertikaler Richtung wird nicht untersucht.Das Gleichgewicht in x−Richtung liefert:

−m x− c x+ F0 sin Ωt = 0

die Division durch m und Umordnung liefert:

x+c

mx =

F0

msin Ωt

27

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER SCHWINGUNGSLEHRE 28

Fc = c x FH = m x

?m g

6FN

-F = F0 sin Ωt

Abbildung 2.2: Freischnitt der Masse bei erregter Schwingung

Wie bereits bekannt wirdω2 =

c

m(2.1)

und

f0 =F0

m

eingeführt, man erhält:x+ ω2 x = f0 sin Ωt (2.2)

Gleichung 2.2 stellt eine inhomogene Dierentialgleichung zweiter Ordnung dar. Die allgemeine Lösung (für x)ergibt sich als die Summe der homogenen Lösung xh und einer Lösung der inhomogenen Dierentialgleichung xp.

x = xh + xp (2.3)

Die homogene Lösung (für schwache Dämpfung) ist bekannt:

xh = C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt)

mit der Eigenkreisfrequenz klein ω.Für xp wird ein Ansatz vom Typ der rechten Seite gemacht:

xp = k sin(Ωt)

mit der Erregerkreisfrequenz groÿ Ω.k ist ein dimensionsloser Faktor, der im Folgenden bestimmt werden soll.

xp = k sin(Ωt)

xp = kΩ cos(Ωt)

xp = −kΩ2 sin(Ωt) (2.4)

Die Terme von Gleichung 2.4 werden in die inhomogene Dierentialgleichung eingesetzt:

−Ω2 k sin(Ωt) + ω2 k sin(Ωt) = f0 sin(Ωt)

Man fasst zusammen:

(ω2 − Ω2)k sin(Ωt) = f0 sin(Ωt)

Division durch sin(Ωt) liefert:

(ω2 − Ω2)k = f0

und damit ergibt sich für k:


k =f0

ω2 − Ω2

Man erkennt, dass der Nenner des Ausdrucks verschwindet, falls die Eigenkreisfrequenz ω gleich der Erregerkreis-frequenz Ω wird. Damit ginge k gegen unendlich, die Amplituden würden über alle Grenzen wachsen. Dann wirdvon Resonanz gesprochen. Wegen der besonderen Bedeutung des Verhältnisses von Eigenfrequenz und Erreger-frequenz führt man das Abstimmungsverhältnis

η =Ω

ω(2.5)

ein. Mit dem Abstimmungsverhältnis η wird k:

k =f0

ω2

1

1− Ω2

ω2

=f0

ω2

1

1− η2

und mit Gleichung (2.8)

ω2 =c

m(2.6)

und

f0 =F0

merhält man für k:

k =F0

c

1

1− η2

Für die vollständige Lösung erhält man:

x = C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt)︸︷︷︸freie Schwingung

+F0

c

1

1− η2sin(Ωt)︸︷︷︸

erregte Schwingung

(2.7)

Durch geringe Dämpfung, die praktisch immer vorhanden ist, wird der Anteil aus der homogenen Lösung immergeringer, bis er schlieÿlich ganz verschwindet, übrig bleibt der Anteil der inhomogenen Lösung

xdyn =F0

c

1

1− η2sin(Ωt)

F0/c stellt dabei die statische Auslenkung xstat infolge der Kraftamplitude F0 dar.

xstat =F0

c

Die Amplitude der dynamischen Auslenkung xdyn beträgt damit:

xdyn = xstat1

1− η2︸︷︷︸V1

Das Verhältnis xdyn zu xstat nennt man die Vergröÿerungsfunktion V1.Das Verhältnis der eingeprägten Kraftamplitude F0 zur dynamischen Kraft Fdyn, die durch die Feder auf dieAuagerkonstruktion wirkt, wird mit V2 bezeichnet. Es gilt:

V2 =Fdyn

F0

=1

1− η2= V1

Entwirft man eine System, so muss man tunlichst eine Resonanz mit η = 1 vermeiden. Ist η < 1 so spricht manvon hoher Abstimmung, bei η > 1 von tiefer Abstimmung.


Abbildung 2.3: V1 bzw. −V2 über dem Abstimmungsverhältnis η


2.1.2 Gedämpfte Schwingung mit harmonischer Krafterregung mit konstanter Am-

plitude

Die Systemskizze von Abb. 2.1 ist um einen Dämpfer erweitert. Die Dämpferkraft FD soll proportional derGeschwindigkeit sein:

FD = d x

i im

-x

CCCCCCCC

c- F = F0 sin(Ωt)

@@@@@

FD = d x

Abbildung 2.4: Erregte Schwingung mit harmonischer Krafterregung

Die Feder sei bei x = 0 entspannt.Nun wird die Masse freigeschnitten und alle Kräfte angetragen. Das sind: die Federkraft Fc = c x, die d'AlembertscheTrägheitskraft FH = m x in negative Bewegungsrichtung (x-Richtung), die Erregerkraft F = F0 sin Ωt und dieDämpferkraft FD = d x.Das Gleichgewicht in vertikaler Richtung wird nicht untersucht.

Fc = c x FH = m x

?m g

6FN

-F = F0 sin Ωt FD = d x

Abbildung 2.5: Freischnitt der Masse bei krafterregter Schwingung mit Dämpfung

Das Gleichgewicht in x−Richtung liefert:

−m x− d x− c x+ F0 sin Ωt = 0


x+c

mx =

F0

msin Ωt


c

m(2.8)

und

f0 =F0

m

und

2δ =d

m

eingeführt, man erhält:x+ 2δx+ ω2 x = f0 sin Ωt (2.9)



x = xh + xp (2.10)

Die homogene Lösung ist bekannt, es soll hier nur der Fall mit schwacher Dämpfung verfolgt werden.

xh = e−δt[C1 sin(

√(ω2 − δ2)t) + C2 cos

√(ω2 − δ2)t

]mit der Eigenkreisfrequenz klein ω.Für xp wird ein Ansatz vom Typ der rechten Seite gemacht, diesmal mit zwei freien Parametern a und b:

xp = a cos(Ωt) + b sin(Ωt)

mit der Erregerkreisfrequenz groÿ Ω.a und b sind ein dimensionsloser Parameter, der im Folgenden bestimmt werden sollen.


xp = −Ω a sin(Ωt) + Ω b cos(Ωt)

xp = −Ω2 a cos(Ωt)− Ω2 b sin(Ωt) (2.11)


− Ω2a cos(Ωt)− Ω2b sin(Ωt)

+ 2δ [Ωa sin(Ωt) + Ωb cos(Ωt)]

+ ω2 [a cos(Ωt) + b cos(Ωt)] = f0 sin(Ωt)

Nun werden die Glieder cos(Ωt) und sin(Ωt) ausgeklammert:

cos(Ωt)

0︷︸︸︷[−Ω2a+ 2δΩb+ ω2a

]+ sin(Ωt)

[−Ω2b− 2δΩa+ ω2b

]︸︷︷︸f0

= f0 sin(Ωt) (2.12)

Durch Koezientenvergleich in Gleichung 2.12 erkennt man, dass die mit Kosinus behafteten Glieder auf derlinken Seite verschwinden müssen, da auf rechten Seite keine mit Kosinus behafteten Terme auftauchen. Die mitSinus behafteten Glieder müssen in der Summe f0 ergeben, damit Äquivalenz mit der rechten Seite entsteht.Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem der Ordnung 2. Unbekannte sind die Parameter a und b.In Form einer Matrix angeschrieben erhält man:[

ω2 − Ω2 2δΩ−2δΩ ω2 − Ω2

] [ab

]=

[0f0

](2.13)

Mit der Cramerschen Regel erhält man:

a =−f0 2δΩ

(ω2 − Ω2)2 + 4δ2Ω2

b =f0 (ω2 − Ω2)

(ω2 − Ω2)2 + 4δ2Ω2(2.14)

Setzt man nun für


f0 = F0

m

δ = D ω ein.

Mit dem Abstimmungsverhältnis η = Ωω

Ω = η ω

(ω2 − Ω2) = ω2(1− η2)

so erhält man:

a =F0

m 2 D ω η ω

ω4 (1− η2)2 + 4 D2 ω2 η2 ω2

a =F0

m ω2 2 D η

ω4 [(1− η2)2 + 4 D2 η2]

a =F0

m

m

c︸︷︷︸1

ω2

2 D η

(1− η2)2 + 4 D2 η2

a = −F0

c

2D η

(1− η2)2 + 4D2 η2

für b erhält man entsprechend

b =F0

c

1− η2

(1− η2)2 + 4D2 η2(2.15)

Damit erhält man als vollständige Lösung:

x =

Freie Schwingung︷︸︸︷e−Dω t

[C1 sin(

√(ω2 − δ2)t) + C2 cos(

√(ω2 − δ2)t)

]+

F0

c [(1− η2)2 + 4D2η2][−2Dη cos(Ωt) + (1− η2) sin(Ωt)]︸︷︷︸

erregte Schwingung

(2.16)

Im Gegensatz zur ungedämpften Schwingung verschwindet der Nenner nicht, ein Wachsen der Schwingungsam-plituden über alle Grenzen tritt (theoretisch) nicht auf. Man sollte den Resonazfall aber trotzdem unbedingtvermeiden, denn bei geringer Dämpfung können die Amplituden Werte annehmen, die technisch zur Unbrauch-barkeit des Systems führen.Das Amplitudenverhältnis von dynamischer Auslenkung xdyn zu statische Auslenkung F0/c ist

V1 =xdyn

F0/c=

1√(1− η2)2 + 4D2 η2

Für die Vergröÿerungsfunktion V2 der Kraftamplitude ist sowohl die Federkraft als auch die Dämpferkraft zuberücksichtigen:

V2 =Fdyn

F0

=

√1 + 4D2 η2

(1− η2)2 + 4D2 η2

Mit den Vergröÿerungsfunktionen V1 und V2 ist es möglich bei bei Kenntnis des Systemparameter die Auslenkungs-und die Kraftamplitude bei bekanntem Abstimmungsverhältnis η zu errechnen.


Abbildung 2.6: Vergröÿerungsfunktion V1 (Wegamplitude) und V2 (Kraftamplitude) mit Dämpfung


2.1.3 Gedämpfte Schwingung mit Unwuchterregung

Auf dem Wagen bende sich eine Maschine mit rotierenden Scheiben mit dem Radius r und der Kreisfrequenz Ω.Sie haben eine Unwucht der Masse m1. Die Unwuchtmasse der Gröÿe m1 sei in der Gesamtmasse m enthalten.Die Dämpferkraft sei wieder FD und soll proportional der Geschwindigkeit sein:

FD = d x

Die Erregerkraft aus der Unwucht betrage

FuH = m1r Ω2 sin(Ωt)

Die Feder sei bei x = 0 entspannt.

i im

-x

CCCCCCCC

c

@@@@@

FD = d xnrm1

Abbildung 2.7: Erregte Schwingung mit Unwuchterregung

Die Masse wird freigeschnitten und alle Kräfte angetragen. Das sind: die Federkraft Fc = c x, die d'AlembertscheTrägheitskraft FH = m x in negative Bewegungsrichtung (x-Richtung), die Erregerkraft FuH = m1RΩ2 sin(Ωt)und die Dämpferkraft FD = d x.Das Gleichgewicht in vertikaler Richtung wird nicht untersucht.

Fc = c x FH = m x

?m g

6FN

-FuH = m1rΩ2 sin(Ωt)

FD = d x

Abbildung 2.8: Freischnitt der Masse bei erregte Schwingung durch Unwucht mit Dämpfung

Das Gleichgewicht in x−Richtung liefert:

−m x− d x− c x+m1rΩ2 sin Ωt = 0


x+d

m+

c

mx =

m1r

mΩ2 sin Ωt


c

m(2.17)

undru =

m1 r

m(2.18)

sowie

2δ =d

m(2.19)


eingeführt, man erhält:x+ 2δx+ ω2 x = ruΩ2 sin Ωt (2.20)


x = xh + xp (2.21)

Die homogene Lösung ist bekannt, es soll hier nur der Fall mit schwacher Dämpfung verfolgt werden.

xh = e−δt[C1 sin(

√(ω2 − δ2)t) + C2 cos

√(ω2 − δ2)t

]mit der Eigenkreisfrequenz klein ω.Für xp wird ein Ansatz vom Typ der rechten Seite gemacht, diesmal mit zwei freien Parametern a und b:


mit der Erregerkreisfrequenz groÿ Ω.a und b sind ein dimensionsloser Parameter, der im Folgenden bestimmt werden sollen.


xp = −Ω a sin(Ωt) + Ω b cos(Ωt)

xp = −Ω2 a cos(Ωt)− Ω2 b sin(Ωt) (2.22)


− Ω2a cos(Ωt)− Ω2b sin(Ωt)

+ 2δ [−Ωa sin(Ωt) + Ωb cos(Ωt)]

+ ω2 [a cos(Ωt) + b sin(Ωt)] = ruΩ2 sin(Ωt)

Nun werden die Glieder cos(Ωt) und sin(Ωt) ausgeklammert:

cos(Ωt)

0︷︸︸︷[−Ω2a+ 2δΩb+ ω2a

]+ sin(Ωt)

[−Ω2b− 2δΩa+ ω2b

]︸︷︷︸ru

= ruΩ2 sin(Ωt) (2.23)

Durch Koezientenvergleich in Gleichung 2.23 erkennt man, dass die mit Kosinus behafteten Glieder auf derlinken Seite verschwinden müssen, da auf rechten Seite keine Kosinusglieder auftauchen, die mit Sinus behaftetenGlieder müssen in der Summe ru Ω2 ergeben, damit Äquivalenz mit der rechten Seite entsteht.Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem der Ordnung 2. Unbekannte sind die Parameter a und b.In Form einer Matrix angeschrieben erhält man:[

ω2 − Ω2 2δΩ−2δΩ ω2 − Ω2

] [ab

]=

[0

ru Ω2

](2.24)

Mit der Cramerschen Regel erhält man:


a =ruΩ2 2δΩ

(ω2 − Ω2)2 + 4δ2Ω2

b =ruΩ2 (ω2 − Ω2)

(ω2 − Ω2)2 + 4δ2Ω2(2.25)

Im Gegensatz zur ungedämpften Schwingung verschwindet der Nenner nicht, ein Wachsen der Schwingungsam-plituden über alle Grenzen tritt (theoretisch) nicht auf. Man sollte den Resonazfall aber trotzdem unbedingtvermeiden, denn bei geringer Dämpfung können die Amplituden Werte annehmen, die technisch zur Unbrauch-barkeit des Systems führen.Führt man nun:das Abstimmungsverhältnis η = Ω

ω y (ω2 − Ω2)2 = ω4(1− η2)2

das Lehrsche Dämpfungsmass D = δω y δ = D ω

ein, so erhält man:

a = − ru 2 D ω Ω3

ω4(1− η2)2 + 4D2ω2Ω2

mit der Ersetzung von Ω3 = η3ω3 im Zähler und Ω2 = η2ω2 im Nenner erhält man:

a = − ru2 Dω η3 ω3

ω4(1− η2)2 + 4D2ω2ω2η2

Ausklammern von ω4 im Nenner und kürzen von ω liefert:

a = − 2ru Dη3

(1− η2)2 + 4D2η2

Mit b verfährt man entsprechend. Man erhält:

b =(1− η2)ruη

2

(1− η2)2 + 4D2η2

Damit ist die partikuläre Lösung:

xp = xdyn =ru

(1− η2)2 + 4D2η2

[−2Dη3 cos(Ωt) + (1− η2)η2 sin(Ωt)

]Damit erhält man als vollständige Lösung:

x =


[C1 sin(

√(ω2 − δ2)t) + C2 cos(

√(ω2 − δ2)t)

]+

ru(1− η2)2 + 4D2η2

[−2Dη3 cos(Ωt) + (1− η2)η2 sin(Ωt)

]︸︷︷︸

erregte Schwingung

(2.26)

Bei vorhandener Dämpfung verschwinden nach einigen Perioden die Anteile aus der freien Schwingung, zurückbleiben die der Partikulärlösung, die sich aus einer Sinus- und einer Kosinusschwingung gleicher Kreisfrequenzzusammensetzt. Die Amplitude xp bestimmt man mit:

xp =ru

(1− η2)2 + 4D2 η2

√4D2η6 + (1− η2)2η4


Abbildung 2.9: Phasenverschiebung ϕ mit Dämpfung

Abbildung 2.10: Vergröÿerungsfunktion V3 (Wegamplitude) mit Dämpfung

xp = ru

√(1− η2)2 + 4D2η2 η2

(1− η2)2 + 4D2 η2=

ru η2√

(1− η2)2 + 4D2η2

Die Vergröÿerungsfunktion V3 mit xp

ru= V3 ergibt sich zu:

V3 =η2√

(1− η2)2 + 4D2η2

Es kommt zu einer Phasenverzögerung von

tanϕ =−2Dη

1− η2

Interessant ist ist besonders die Kraft, die von Feder (Federkonstante c) und Dämpfer (Dämpferkonstante d) aufdie tragende Konstruktion ausgeübt wird, sie beträgt:

Fdyn = c xdyn + dxdyn

mit


Abbildung 2.11: Vergröÿerungsfunktion V4 (Kraftamplitude) mit Dämpfung

xdyn =ru η

2

(1− η2)2 + 4D2η2

[−2Dη cos(Ωt) + (1− η2) sin(Ωt)

]und

xdyn =ru η

2

(1− η2)2 + 4D2η2

[2D η Ω sin(Ωt) + (1− η2) Ω cos(Ωt)

]Somit wird

Fdyn =ru η

2

(1− η2)2 + 4D2η2

[(d (1− η2) Ω− c 2Dη) cos(Ωt) + (d 2D η Ω + c (1− η2)) sin(Ωt)

]Durch Umordnung gewinnt man:

Fdyn =ru η

2 c

(1− η2)2 + 4D2η2

[(2D η3) cos(Ωt) + (4 D2 η2 + (1− η2)) sin(Ωt)

]Die Amplitude der Kraft ergibt sich zu:

Fdyn =ru η

2 c

(1− η2)2 + 4D2η2

√[(2D η3)2 + (4 D2 η2 + (1− η2))2]

Die Vergröÿerungsfunktion für die Kraft V4 ergibt sich zu:

V4 =Fdynru c

=η2

(1− η2)2 + 4D2η2

√[(2D η3)2 + (4 D2 η2 + (1− η2))2]

Oder eleganter:

V4 = η2

√1 + 4 D2 η2

(1− η2)2 + 4D2η2

Auallend an der Vergröÿerungsfunktion ist, dass die gröÿten Reaktionskräfte nur bei verschwindender Dämpfungbeim Frequenzverhältnis 1 auftreten, bei allen anderen Dämpfungen ist eine mit dem Frequenzverhältnis steigendeReaktionskraft festzustellen.


2.1.4 Gedämpfte Schwingung mit Wegerregung

Im Unterschied zum vorherigen Abschnitt wird die Konstruktion, die die Reaktionskräfte aufnimmt erregt. Alspraktische Anwendung kann man an einen Wagen denken, der über eine unebene Straÿe fährt.

Abbildung 2.12: Wegerregung mit Dämpfung

- X

m x

c (x− x1)

d (x− x1)

In horizontaler Richtung wird Gleichgewicht untersucht:∑FH = 0 = −m x− c (x− x1)− d(x− x1)

mitx1 = x sin(Ωt

undx1 = Ωx cos(Ωt

wird daraus: ∑FH = 0 = −m x− c (x− x sin(Ωt)− d(x− Ωx cos(Ωt)

Umurdnung und Division durch m liefert die Dierentialgleichung:

x+d

mx+

c

mx =

d

mxΩ cos(Ωt) +

c

mx sin(Ωt)

Mit cm = ω2 und d

m = 2δ wird daraus:

x+ 2δx+ ω2x = 2δxΩ cos(Ωt) + ω2x sin(Ωt)

Es liegt wieder eine inhomogene Dierentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koezienten vor. Ihrevollständige Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und einer Partikulärlösung.Die homogene Lösung ist bekannt:


xh = e−δ t[C1 sin(

√(ω2 − δ2)t) + C2 cos(

√(ω2 − δ2)t)

]Für die Partikulärlösung wird ein Ansatz mit zwei Freiwerten gemacht:


damit wird

xp = −Ωa sin(Ωt) + Ωb cos(Ωt)

undxp = −Ω2a cos(Ωt)− Ω2b sin(Ωt) = −Ω2(a cos(Ωt) + b sin(Ωt)

der Ansatz wird in die Dierentialgleichung eingesetzt:

− Ω2(a cos(Ωt) + b sin(Ωt))

+ 2δΩ(−a sin(Ωt) + b cos(ωt))

+ ω2(a cos(Ωt) + b sin(Ωt))

= 2δxΩ cos(Ωt) + ω2x sin(Ωt)

Es sind zwei Unbekannte a und b zu bestimmen, es liegt aber nur eine Gleichung vor. Zwei Gleichungen kann mansich durch einen Koezientenvergleich schaen. Hierzu werden cos(Ωt) und sin(Ωt) ausgeklammert:

(−aΩ2 + 2δΩb+ ω2a) cos(Ωt)

+ (−Ω2b− a2δΩ + ω2b) sin(Ωt)

= ω2x sin(Ωt) + 2δx cos(Ωt)

und durch den Koezientenvergleich man erhält die folgenden zwei Gleichungen:

(−aΩ2 + 2δΩb+ ω2a) = 2δx

(−Ω2b− a2δΩ + ω2b) = ω2x)

Durch Umordnung in ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a und b erhält man:[ω2 − Ω2 2δΩ−2δΩ ω2 − Ω2

] [ab

]=[

2δxω2x]

Die Lösung wird mit Hilfe der Cramerschen Regel angegeben:Nennerdeterminante:

N = (ω2 − Ω2)2 + 4δ2 Ω2

ZählerdeterminantenZ1 = 2δx(ω2 − Ω2)− ω2x 2 δΩ

Z2 = (ω2 − Ω2) ω2 x− 2δ Ω 2δx

mit

a =Z1

N


und

b =Z2

N

erhält man:

x =


[C1 sin(

√(ω2 − δ2)t) + C2 cos(

√(ω2 − δ2)t)

]+ x

√1 + 4D2 η2

(1− η2)2 sin(Ωt)− 2Dη cos(Ωt)

(1− η2)2 + 4D2 eta2︸︷︷︸erregte Schwingung

(2.27)

Die Vergröÿerungsfunktion V4 für Kraftamplitude entspricht der Vergröÿerungsfunktion der Unwuchterregungund wird nicht dargestellt.Die Vergröÿerung für die Wegamplitude ergibt sich zu:

V2 =xdynx

=

√1 + 4D2 η2

(1− η2)2 + 4D2η2



2.2 Schwingungen mit mehr als einem Freiheitsgrad

2.2.1 Freie Schwingung eines Systems mit zwei Freiheitsgraden

Nun sollen die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren eines Systems mit zwei Freiheitsgraden bestimmt werden.

i im1

-x1

CCCCCCCC

c1

i im2

-x2

CCCCCCCC

c2

Abbildung 2.14: Freie Schwingung

Die Skizze zeigt zwei Massen m1 und m2, die sich reibungsfrei auf Schienen bewegen können. Der Ort der Massenwird durch die raumfesten Koordinaten x1 und x2 beschrieben.Die Massen werden freigeschnitten und das Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung aufgestellt:

m1x1 c1x1m1

-c2 (x2 − x1)

Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:∑FH = 0 = −m1 x1 − c1 x1 + C2 (x2 − x1)

Division durch m1 und Umordnung liefert:

x1 +c1 + c2m1

x1 −c2m1

x2 = 0 (2.28)

m2x2 c2(x

2−x

1)

m2

Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:∑FH = 0 = −m2 x2 − c2 (x2 − x1) (2.29)

Division durch m2 und Umordnung liefert:

x2 + (− c2m2

)x1 +c2m2

x2 = 0 (2.30)

Gleichung 2.28 und 2.30 werden in Matrizenform zusammengefasst:[x1

x2

]+

[ c1+c2m1

− c2m1

− c2m2

c2m2

] [x1

x2

]=

[00

](2.31)


Nun wird ein harmonischer Ansatz gemacht, der die Dierentialgleichung 2.31 erfüllt:

x1 = x1 sin(ωt) x2 = x2 sin(ωt)x1 = −x1ω

2 sin(ωt) x2 = −x2ω2 sin(ωt)

(2.32)

Gleichung 2.32 wird in Gleichung 2.31 eingeführt und durch sin(ωt) geteilt:[−x1ω

2

−x2ω2

]+

[ c1+c2m1

− c2m1

− c2m2

c2m2

] [x1

x2

]=

[00

](2.33)

Der erste und der zweite Term werden zusammengefasst:[ c1+c2m1− ω2 − c2

m1

− c2m2

c2m2− ω2

] [x1

x2

]=

[00

](2.34)

Gleichung 2.34 ist ein homogenes lineares Gleichungssystem, das neben der trivialen Lösung nur Lösungen enthält,wenn die Determinate durch Verfügung über ω2 verschwindet. Gleichung 2.34 ist ein Matrizeneigenwertproblemmit dem Eigenwert ω2. Die Bedingung∣∣∣∣ c1+c2

m1− ω2 − c2

m1

− c2m2

c2m2− ω2

∣∣∣∣ = 0 ω1, ω2

liefert die Eigenwerte ω21 und ω2

2

Für ein zwei mal zwei Problem liefert die Determinante folgende Gleichung:

(c1 + c2m1

− ω2) (c2m2− ω2)− (− c2

m1) (− c2

m2) = 0

mit deren Hilfe die Eigenwerte bestimmt werden können.Wie werden nun die Eigenvektoren bestimmt? Die Koezientenmatrix des Gleichungssystems 2.34 ist denitions-gemäÿ singulär, eine Lösung als Gleichungssystem ist daher nicht möglich.Um das Problem zu lösen, wird folgender Weg beschritten:Eine Unbekannte, z. B. x1 wird auf 1 gesetzt. Dann lautet die erste Zeile des Systems 2.34:

(c1 + c2m1

− ω2) x1 + (− c2m1

) x2 = 0

Daraus folgt:

( c1+c2m1− ω2) x1

c2m1

= x2

Das erste mal wird für ω = ω1 eingesetzt, das zweite mal ω = ω2.Man bekommt zwei Lösungen, jede Lösung ist der zum eingesetzten Eigenwert gehörende Eigenvektor.Eigenvektoren sind eine charakteristische Eigenschaft von Schwingungssystemen. Sie zeigen die Form, nicht dieGröÿe der Amplituden, in denen ein System schwingt. Da das erste Element des Eigenvektors willkürlich ange-nommen worden ist, kann das erste oder ein anderes Element des Vektors mit jedem anderen Wert vorbelegtwerden. Tatsächlich ist jeder Vektor, der aus einer Multiplikation eines Eigenvektors hervorgeht, wieder ein Ei-genvektor (in Gleichung 2.34 zur Probe einsetzen). Der Eigenvektor zeigt die Form, nicht die Amplitude an, manspricht auch von Eigenformen. Eine zweite wichtige Eigenschaft der Eigenvektoren ist, das Eigenvektoren linearunabhängig sind. Das heiÿt kein Eigenvektor lässt sich durch Linearkombination aus den anderen Eigenvektorenerzeugen. Eigenvektoren spannen einen Raum auf, der sich als Basis bei der Tarnsformation eines Problems ingeneralisierte Koordinaten nutzen lässt.


2.2.2 Erregte Schwingung eines Systems mit zwei Massen

Nun soll das System des letzten Abschnitts durch eine Erregerkraft erweitert werden. Die Eigenfrequenzen undEigenformen können mit der Methode des letzten Abschnitts bestimmt werden. Im Folgenden soll die Schwingungs-amplitude im stationären Schwingungszustand untersucht werden, wenn das System im der ErregerkreisfrequenzΩ schwingt.

i im1

-x1

CCCCCCCC

c1

- F = F0 sin(Ω t)i im2

-x2

CCCCCCCC

c2

Abbildung 2.15: Erregte Schwingung

Die Skizze zeigt zwei Massen m1 und m2, die sich reibungsfrei auf Schienen bewegen können. Der Ort der Massenwird durch die raumfesten Koordinaten x1 und x2 beschrieben.Die Massen werden freigeschnitten und das Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung aufgestellt:

m1x1 c1x1m1

-c2 (x2 − x1)

Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:∑FH = 0 = −m1 x1 − c1 x1 + C2 (x2 − x1)

Die Umordnung liefert:

m1 x1 + (c1 + c2 = x1 − c2 x2 = 0 (2.35)

m2x2

c 2(x

2−x

1)

m2- F0 sin(Ω t)

Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:∑FH = 0 = −m2 x2 − c2 (x2 − x1) + F0 sin(Ω t)

Die Umordnung liefert:

m2 x2 +−c2 x1 + c2 x2 =F0

m2sin(Ω t) (2.36)

Für xi und xi wird eingeführt:

x1 = x1 sin(Ωt) x2 = x2 sin(Ωt)x1 = −x1Ω2 sin(ωt) x2 = −x2Ω2 sin(Ωt)

(2.37)

und in Matrizenform zusammengefasst:


−[m1 00 m2

] [x1

x2

]Ω2 sin(Ω t) +

[c1 + c2 −c2−c2 c2

] [x1

x2

]sin(Ω t) =

[0

F0 sin(Ω t)

](2.38)

Division durch den Term sin(Ω t) und Zusammenfassen liefert:−[m1 00 m2

]Ω2 +

[c1 + c2 −c2−c2 c2

]︸︷︷︸

Koezientenmatrix

[x1

x2

]=

[0F0

](2.39)

Gleichung (2.39) ist ein lineares Gleichungssystem. Die Koezientenmatrix ist regulär, wenn die Erregerfrequenzungleich einer Eigenfrequen7z des Systems ist. Der Amplitudenvektor (x1, x2)T ist der Unbekanntenvektor, dersich durch Lösung des Gleichungssystems bestimmen lässt.Beispiel 1:

m1 = 100 kg m2 = 120 kgc1 = 500 N/m c2 = 800 N/mΩ = 3 rad/s F0 = 500N

Die Eigenkreisfrequenzen und Eigenvektoren ergeben sich zu:

ω1 = 1.3687 rads ω2 = 4.218 rads

Φ1 Φ2

0.58377 0.857380.81192 −0.51397

der Amplitudenvektor der Verschiebung infolge der Anregung mit F0 sin(Ω t) ergibt:

X =

[0.53191 m0.26596 m

]Beispiel 2:Gegenüber Beispiel 1 ist die Steigkeit der Feder 2 auf 8000 N/m heraufgesetzt worden, alle anderen Parametersind unverändert:

m1 = 100 kg m2 = 120 kgc1 = 500 N/m c2 = 8000 N/mΩ = 3 rad/s F0 = 500N

Die Eigenkreisfrequenzen und Eigenvektoren ergeben sich zu:

ω1 = 1.4935 rads ω2 = 12.224 rads

Φ1 Φ2

0.694981 0.778790.71908 −62728

der Amplitudenvektor der Verschiebung infolge der Anregung mit F0 sin(Ω t) ergibt:

X =

[0.35063 m0.3331 m

]Im zweiten Beispiel hat sich die zweite Eigenkreisfrequenz von 4.218 rad/s auf 12.224 rad/s erhöht, was auf die er-höhte Federsteigkeit zurückzuführen ist, besonders interessant ist jedoch, dass der Amplituden der Verschiebungder Masse m1 von 0.53 m auf 0.35 m zurückgegangen ist. Es ist also möglich, durch Veränderungen der Federstei-gkeit c2 Einuss auf die Verschiebungsamplitude der Masse m1 zu nehmen. Diese Überlegung ist Grundlage fürden Schwingungstilger.


2.2.3 Schwingungstilger

Gegeben sei ein durch Unwucht erregter Einmassenschwinger, dessen Schwingungsamplituden bei der Betriebs-drehzahl gesenkt werden sollen. In Anlehnung an den letzten Abschnitt wird der Einmassenschwinger um einekleine Tilgungsmasse mT und eine Tilgungsfeder mit der Federkonstanten cT wie in der Skizze dargestellt zueinem Zweimassenschwinger erweitert.

QPPP

PPPR

QPPP

PPPR

c2

c2

% %

.

.

.

.

.

.

.

.

........

........

........

........

........

........

................

........

........

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

........

........

........ ........

........

........

........

........

........

........

.

.

.

.

.

.

.

.

rmmur

QPPPPPPR

cTymT

In Analogie zum letzten Abschnitt (Gleichung 2.39erhält man das Gleichungssystem, Da die Erregung nun an derHauptmasse angreift, ist in der Rechten Seite das erste Element besetzt.

−[m 00 mT

]Ω2 +

[c+ cT −cT−cT cT

]︸︷︷︸

Koezientenmatrix

[x1

x2

]=

[mu ru Ω2

0

](2.40)

Als Tilgermasse wird ein Bruchteil (1/50 bis 1/200) festgelegt. Dann ist die Frage zu beantworten, wie groÿ dieTilgersteigkeit sein muss, damit die Schwingungsamplitude x1 zu Null wird.Die zweite Zeile aus Gleichung (2.40) ergibt:

(−0 Ω2 − ct) x1 + (−mT Ω2 + cT )x2 = 0 (2.41)

Da x1 verschwinden soll muss gelten

−mT Ω2 + cT = 0 ; ct = Ω2 mT (2.42)


2.2.4 Wegerregte gedämpfte Schwingung eines Systems mit zwei Freiheitsgraden

-

d......................................................................................................................................... ....... ...... ...... ....... .....................................t

%

dXXXX. ............. ............

........... ........... ............ .............

xe = x0 sin(Ω t)

i im1

-x1

CCCCCCCC

c1

i im2

-x2

CCCCCCCC

c2

d

Abbildung 2.16: Wegerregte gedämpfte Schwingung

Die Skizze zeigt zwei durch Federn verbundene Massen m1 und m2, die sich reibungsfrei auf Schienen bewegenkönnen. Der Ort der Massen wird durch die raumfesten Koordinaten x1 und x2 beschrieben. Zwischen den Massenm1 und m2 ist ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer angeordnet. Das Widerlager der Feder 1 verschiebtsich nach dem Gesetz xe = x0 sin(Ω t).Im Folgenden sollen die Amplituden der Auslenkung infolge der Erregung am Widerlager bestimmt werden,darauf aufbauend die Auslenkungen über der Zeit dargestellt werden. schlieÿlich soll die Kraft in den Federn undim Dämpfer bestimmt werden.Als weiteres werden die Eigenfrequenzen des ungedämpften und des gedämpften Systems bestimmt.Zunächst zum erregten System: die Massen werden freigeschnitten und das Kräftegleichgewicht in horizontalerRichtung aufgestellt:

m1x1 c1(x

1−xe)

m1-

c2 (x2 − x1)

-d(x2 − x1)

Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:∑FH = 0 = −m1 x1 − c1(x1 − xe) + c2 (x2 − x1) + d (x2 − x1)

Umordnung nach xe, x1 und x2 liefert:

m1 x1 + d x1 − d x2 + (c1 + c2)x1 − c2 x2 = c1 xe (2.43)

m2x2

c2(x2 − x1)

d (x2 − x1)

m2

Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:∑FH = 0 = −m2 x2 − d (x2 − x1)− c2 (x2 − x1)

Eine Umordnung liefert:

m2 x2 − d x1 + d x2 − c2 x1 + c2 x2 = 0 (2.44)


Gleichung 2.28 und 2.30 werden in Matrizenform zusammengefasst:[m1

m2

]︸︷︷︸

M

[x1

x2

]+

[d −d−d d

]︸︷︷︸

D

[x1

x2

]+

[c1 + c2 −c2−c2 c2

]︸︷︷︸

K

[x1

x2

]=

[c1 x0 sin(Ω)

0

](2.45)

Im Gegensatz zum ungedämpften System ist wegen der durch die Dämpfung hervorgerufene Phasenverschiebungein zweigliedriger harmonischer Ansatz notwendig, der die Dierentialgleichung 2.45 erfüllt:

x =

[a1 sin(Ω t) + b1 cos(Ω t)a2 sin(Ω t) + b2 cos(Ω t)

]=

[a1

a2

]sin(Ω t) +

[b1b2

]cos(Ω t)

x = Ω

[a1 cos(Ω t)− b1 sin(Ω t)a2 cos(Ω t)− b2 sin(Ω t)

]= Ω

[a1

a2

]cos(Ω t)− Ω

[b1b2

]sin(Ω t)

x = −Ω2

[a1 sin(Ω t) + b1 cos(Ω t)a2 sin(Ω t) + b2 cos(Ω t)

]= −Ω2

[a1

a2

]sin(Ω t)− Ω2

[b1b2

]cos(Ω t) (2.46)

Gleichung (2.46) wird in Gleichung (2.45) eingesetzt und nach Sinus und Kosinus Gliedern sortiert. In der erstenGleichung stehen die mit Sinus behafteten Glieder:(−Ω2 M +K)

[a1

a2

]︸︷︷︸

a

−ΩD

[b1b2

]︸︷︷︸

b

sin(Ω t) =

[c1 r0 sin(Ω t)

0

](2.47)

Und in der nächsten die mit Kosinus:Ω D

[a1

a2

](−Ω2 M +K)

[b1b2

]+

sin(Ω t) =

[00

](2.48)

Die Gleichungen (2.47) und (2.48) werden zu einer Hypermatrix zusammengefasst1:

[K − Ω2 M −Ω DΩ D K − Ω2 A

] a1

a2

b1b2

=

c1 r0

000

(2.49)

Gleichung (2.49) stellt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem dar, dass eindeutig lösbar ist, vorausgesetzt,die Koezientenmatrix ist regulär.

Bestimmung von x, x und x:

Nachdem der Amplitudenvektor x bekannt ist, können die Verschiebungen x, die Geschwindigkeiten x und dieBeschleunigungen mit Hilfe der Gleichungen (2.46) bestimmt werden.

Bestimmung der Federkräfte

Die Federkräfte bestimmt man aus den Verschiebungen xi und den Federkonstanten ci mit dem Federgesetz:

Fi = (xi+1 − xi) ci (2.50)

1Fischer/Stephan, Mechanische Schwingungen


Die Dämpferkräfte

Die Dämpferkräfte bestimmt man mit dem Gesetz für geschwindigkeitsproportionale Dämpfer:

Fd = d (x2 − x1) (2.51)

Eigenwerte des gedämpften Systems

Bei der Eigenwertaufgabe des gedämfpten Systems, fragt man nach den Eigenfrequenzen und Eigenformen, indenen das System schwingt, wenn man es aus seiner Gleichgewichtslage kurzzeitig auslenkt. Man untersucht denZustand nach der Störung, wenn also keine eingeprägten Kräfte mehr wirken, daher ist die Rechtes Seite Null.Dieser Zustand wird durch Gleichung (2.45) beschrieben, in der jedoch die Rechte Seite zu Null wird.[

m1

m2

]︸︷︷︸

M

[x1

x2

]+

[d −d−d d

]︸︷︷︸

D

[x1

x2

]+

[c1 + c2 −c2−c2 c2

]︸︷︷︸

K

[x1

x2

]=

[00

](2.52)

Zur Bestimmung der Eigenwerte des gedämpften Systems wird folgender Lösungsansatz gewählt:

[x1

x2

]=

[x1

x2

]eλ t [

x1

x2

]= λ

[x1

x2

]eλ t [

x1

x2

]= λ2

[x1

x2

]eλ t (2.53)

Setzt man den Ansatz nach Gleichung (2.53) in Gleichung (2.52) ein, so erhält manλ2

[m1

m2

]︸︷︷︸

M

+ λ

[d −d−d d

]︸︷︷︸

D

+

[c1 + c2 −c2−c2 c2

]︸︷︷︸

K

[x1

x2

]︸︷︷︸

Φ

=

[00

](2.54)

Gleichung (2.54) ist ein Matrizeneingenwertproblem der Ordnung 2. Eigenwert ist λ, der Eigenvektor ist Φ. ImGegensatz zur Gleichung (3.11) kommt der Eigenwert nicht nur quadratisch sondern auch in linearer Form vor.Sowohl λ als auch der Eigenvektor Φ sind im Allgemeinen komplex. Obendrein wird sich zeigen, dass nicht zweisondern vier Eigenwerte vorhanden sind, die allerdings (auÿer bei starker Dämpfung) paarweise konjugiert komplexsind.Damit können die üblichen MEWP-Löser wie eig in Matlab nicht direkt eingesetzt werden, das sie das Problem(K−ω2 M) Φ = 0 lösen. Um diese Standard-Eigenwertlöser dennoch benutzen zu können kann folgender Kunstgriangewendet werden2:Dss Gleichungssytem (2.54) wird um die die (identische) Gleichung:

λ M Φ−M λ Φ = 0

erweitert. Dadurch wird die Ordnung des Problems verdoppelt, man erhält folgende Hypermatrix:λ

[M

M D

]+

[−M

K

]λ ΦΦ

=

00

(2.55)

Gleichung (2.55) kann wieder mit den gewohnten Eigenwertlösern behandelt werden. (Matlab bietet für diesen Falldie spezielle Funktion Polyeig ([Lam,Phi]=polyeig(K,D,M)) an, man kann damit auf den Kunstgri verzichten.

2Fischer/Stephan: Mechanische Schwinungen S. 236. oder Zurmühl/Falk: Matrizen und ihre Anwendungen Band II S.180


Interpretation der Eigenwerte λi und der Eigenvektoren Φi

Bei einem Problem des Typs der Gleichung (2.55) der Ordnung n erhält man 2 n Eigenwerte und Eigenvektoren.Systeme ohne Dämpfung können nach den in den vorigen Abschnitten behandelten Methoden gelöst werden undsollen hier nicht wiederholt werden.Bei schwacher Dämpfung treten (wie schon erwähnt) die Eigenwerte als konjugiert komplexe Paare auf, d.h. ihreRealteile sind gleich, die Imaginärteile haben unterschiedliche Vorzeichen. Es ist üblich, aber nicht zwingend,für die physikalische Interpretation das Eigenpaar (Eigenwert und Eigenvektor) mit dem positiven Imaginärteilheranzuziehen. Der Eigenvektor ist ebenfalls komplex. Sein Realteil befriedigt die Dierentialgleichung (2.52) Beistark gedämpften Systemen sind die Eigenwerte rein reell. Bei kritisch gedämpften Moden tritt ein doppelterEigenwert auf. Bei starker Dämpfung sind die Eigenwerte verschieden aber rein reell.Zur weiteren Betrachtung des Eigenwerts ist der Ansatz von Gleichung (2.53) hinzuzuziehen:[

x1

x2

]=

[x1

x2

]eλ t =

[x1

x2

]e(Real(λ)+i Imag(λ))t

Setzt man fürReal(λ) = δ

undImag(λ) = ωD

so erhält man

[x1

x2

]=

[x1

x2

]e(δ+i ωD)t =

[x1

x2

]eδ t ei ωD t

=

[x1

x2

]eδ t︸︷︷︸

Abklingfunktion

(cos(ωD t) + i sin(ωD t)) (2.56)

An Gleichung (2.56) erkennt man, dass δ die Abklingkonstante und ωD die Kreisfrequenz des gedämpften Systemsist. Bei starker und bei bei kritischer Dämpfung verschwindet der Imaginärteil ganz, die Kreisfrequenz ωD wirdzu Null. Es bildet sich keine Schwingung mehr aus. Bei kritischer Dämpfung bekommt man einen rein reellendoppelten Eigenwert, der die Abklingkonstante δ angibt. Bei starker Dämpfung erhält man pro stark gedämpftenMode ein Paar mit zwei verschiedenen Eigenwerten.

Welcher Eigenwert ist bei starker Dämpfung unter physikalischem Gesichtspunkt maÿgeblich?

Nun beginnt die Spekulation:

Bei einem System mit nur einem Freiheitsgrad ergibt sich die Lösung der Charakteristischen Gleichung zu:

λ1,2 = δ ±√δ2 − ω2 (2.57)

λ1 = δ +√δ2 − ω2 (2.58)

undλ1 = δ −

√δ2 − ω2 (2.59)

Die dabei auftretenden Konstanten müssen mit Hilfe der Anfangsbedingungen bestimmt werden.Die vollständige Lösung ist eine Linearkombination der Teillösungen:

x(t) = C1 eδ+√δ2−ω2 t + C2 e

δ−√δ2−ω2 t (2.60)


Ist der eindimensionale Fall auf einen mehrdimensionalen zu verallgemeinern?Erste Möglichkeit: Für den zweite Mode mit der Frequenz 0 gibt es nur einen Abklingkoezienten δ, dann könnteer wie folgt bestimmt werden:Bei starker Dämfpung ist die Diskriminante Dis > 0 und die Lösung rein reell, die Eigenwerte ergeben sich zu:

λi = δ +√Dis (2.61)

undλj = δ −

√Dis ;

√Dis = δ − λj (2.62)

Gleichung (2.62) wird in Gleichung (2.61) eingeführt und man erhält:

λi = δ + δ − λj (2.63)

und daraus:

δ =λi + λj

2(2.64)


2.2.5 Freie Schwingung eines Systems mit mehr als zwei Freiheitsgraden

Das Vorgehen ist eine Verallgemeinerung des Vorgehens bei Systems mit zwei Freiheitsgraden.

i im1

-x1

CCCCCCCC

c1

i im2

-x2

CCCCCCCC

c2

· · · · · · i imn

-xn

CCCCCCCC

cn

Abbildung 2.17: Freie Schwingung eines Mehrfreiheitsgrad-Systems

Die den Ort der Massen beschreibenden Koordinaten x1 bis xn werden in einem Vektor

q = [x1, x2, x3, · · · , xn]′

zusammengefasst. Die Massen werden freigeschnitten und für jede Masse bis zu sechs Gleichgewichtsbedingungenermittelt und in Matrizenform dargestellt:

q +A q = 0 (2.65)

Hier ist unter q der Koordinaten, q seine zweite Zeitableitung beide im Format (n,1) und A die Koezientenmatrixdes Formats (n,n). Unter 0 ist der Nullvektor zu verstehen.Für q wird ein harmonischer Ansatz gemacht:

q = sin(ωt) q = sin(ωt)

x1

x2

x3

...xn

(2.66)

Für q ist dann:

q = −ω2 sin(ωt) q = −ω2 sin(ωt)

x1

x2

x3

...xn

(2.67)

Setzt man die Gleichungen 2.66 und 2.67 in Gleichung 2.65 ein, so erhält man:

−ω2q sinωt+Aq sinωt = 0 (2.68)

Dividiert man durch den Term sinωt so erhält man

[A− Iω2]︸︷︷︸Frequenzdeterminante

q = o (2.69)

I ist die Einheitsmatrix, so dassq = Iq gilt.Gleichung 2.69 stellt ein Matrizeneigenwertproblem mit dem Eigenwert ω2 dar. (Lösung mit MatLab: [X,Lam]=eig(a);)Der Term [A− Iω2] wird Frequenzdeterminante genannt. Die Lösung hat n Eigenwerte

ω1, ω2, · · · , ωn


und n Eigenvektoren qi für die n Eigenwerte.Eigenwerte können mehrfach vorkommen (Symmetrien), die zugehörigen Eigenvektoren sind trotzdem bis aufAusnahmefälle verschieden (und natürlich linear unabhängig).

Kapitel 3

Aufstellung der starren Maschine

Maschinen regen in vielen Fällen Schwingungen an. Um ihre Auswirkung auf die Umgebung der Maschine zuanalysieren, muss das dynamische Verhalten der Aufstellung, in der Regel ihre Fundierung untersucht werden,um Resonanzen im Bereich der Drehzahlen im Betrieb zu vermeiden.

3.0.6 Vereinfachende Annahmen

Die Maschine selbst wird als starr vorausgesetzt. Sie besitzt einem zwangsläugen Antriebmechanismus mit demFreiheitsgrad 1.Die Verformungen der Einzelkörper werden vernachlässigt. Es wird davon ausgegangen, dass ihre elastischenEigenfrequenzen deutlich über den Eigenfrequenzen der Fundierung liegen ( Starrkörperfrequenzen).Das Spiel in Gelenken und Führungen wird vernachlässigt.Im weiteren soll die Aufstellung einer starren Maschine untersucht werden. Es wird davon ausgegangen, dass die(starre) Maschine auf einem starren Körper, dem Blockfundament ruht. Masse und Massenträgheitsmomente desBlockfundament repräsentieren die ganze Maschine einschlieÿlich des Blockfundaments selbst. Das Blockfunda-ment ist elastisch durch Einzelfedern gelagert.Der Ursprung des x, y, z Koordinatensystems liegt im Schwerpunkt des Blockfundaments, x, y, z sind Haupt-trägheitsachsen, damit ist Θxy = Θxz = Θzy = 0.Die Erregerkräfte wirken in, bzw. um die Trägheitsachsen, Die Gewichstskräfte sind in der Nullage der Federnausgeglichen, Dämpfungen werden vernachlässigt.

3.0.7 Vorgehensweise

In Bild 3.1 liegt der Ursprung des x, y, z-Koordinatensystems im Schwerpunkt, die Koordinatenachsen sindHauptträgheitsachsen. Von den die elastische Lagerung im Boden repräsentierenden Federn ist nur die in derPositiven Ecke des Blocks dargestellt. Die Federn wirken an den Punkten, die durch seine Koordinaten x1, y1, z1

bis xn, yn, zn bezeichnet werden. Die Verschiebungen in den Koordinatenrichtungen des ganzen Blockfundamentswerden mit u, v und w bezeichnet, die Verdrehungen mit ϕx, ϕy und ϕz.Es wird das Kräfte- und Momentengleichgewicht in den drei Koordinatenrichtungen unter Berücksichtigung derd'Alembertschen Trägheitskräfte und -momente angeschrieben. Man erhält sechs Gleichungen:

55

KAPITEL 3. AUFSTELLUNG DER STARREN MASCHINE 56

-Y6Z

X

@

@

@

@

Czi

@ @ @ @

Cyi

@

@

@

@

Cxi

m u

Θy ϕy

?m w

??

Θz ϕz

m u

Θx ϕx

Abbildung 3.1: Blockfundament

∑Fx = 0 = −m u − u

∑Cxi− ϕy

∑Cxi

zi + ϕz∑

Cxiyi∑

Fy = 0 = −m v − v∑

Cyi + ϕx∑

Cyi zi − ϕz∑

Cyi xi∑Fz = 0 = −m w − w

∑Czi + ϕy

∑Czi xi − ϕx

∑Czi yi

(3.1)∑M0x = 0 = −Θxϕx + v

∑Cyi zi − w

∑Czi yi

− ϕx∑

Cyi zi zi − ϕx∑

Czi yi yi

+ ϕz∑

Cyi xi zi + ϕy∑

Czi xi yi∑M0y = 0 = −Θyϕy + w

∑Czi xi − u

∑Cxi

zi

− ϕy∑

Czi xi xi − ϕy∑

Cxi zi zi

+ ϕz∑

Cxiyi zi + ϕx

∑Czi yi xi∑

M0z = 0 = −Θzϕz + u

∑Cxi

yi − v∑

Cyi xi

− ϕz∑

Cxi yi yi − ϕz∑

Cyi xi xi

+ ϕx∑

Cyi zi xi + ϕy∑

Cxizi xi (3.2)

3.0.8 Einführung von Massen- und Steigkeitsmatrix

Nun sollen die Gleichungen 3.1 und 3.2 in Matrizenform überführt werden.


dpY

X6Z

t6Cz ϕy xi-Cx ϕy zi

dpZ-Y?X

t?Cx ϕz yi

Cy ϕz xi

dpX- Y6Z

t-Cy ϕx zi

?Cz ϕx yi

Abbildung 3.2: Dreiseitenansicht, Federkräfte infolge Drehung

Zunächst wird die Massenmatrix M deniert:

M =

m

mm

Θx

Θy

Θz

(3.3)

Wegen der gemachten Einschränkungen (Hauptträgheitsachsen und KOS-Ursprung im Schwerpunkt angeordnet)ist nur die Hauptdiagonale besetzt. Entsprechend der Anzahl der kinematischen Freiheitsgrade, hat sie die Ordnung6.Mit

~u =

uvwϕxϕyϕz

(3.4)

lässt sich der d'Alembertsche Trägheitsterm mit −M ~u beschreiben.Als nächstes soll die Steigkeitsmatrix K deniert werden. Auch sie ist quadratisch und hat hat die Ordnung 6,ist aber (fast) voll besetzt.

K =

∑Cxi

∑Cxi

zi −∑Cxiyi∑

Cyi −∑Cyizi

∑Cyixi∑

Czi∑Cziyi −

∑Czixi

−∑Cyizi

∑Cziyi

∑(Cyiz

2i + Cziy

2i ) −

∑Czixiyi −

∑Cyixizi∑

Cxizi −

∑Czixi −

∑Cziyixi

∑(Cxi

z2i + Czix

2i ) −

∑Cxi

yizi−∑Cxi

yi∑Cyixi −

∑Cyizixi −

∑(Cxi

ziyi∑

(Cxiy2i ) + Cyix

2i

(3.5)

Mit


~u =

uvwϕxϕyϕz

(3.6)

lassen sich die Gleichungen 3.1 und 3.2 zusammenfassen:

−M ~u−K~u = ~0 (3.7)

Für ~u wird der harmonischer Ansatz eingeführt:

~u = sin(ωt)u (3.8)

mit dem Amplitudenvektor

u =

uvwϕxϕyϕz

(3.9)

Der Beschleunigungsvektor ~u wird dann:

~u = −ω2 sin(ωt)u (3.10)

und damit lässt sich Gleichung 3.7 in

[−ω2 sin(ωt)M + sin(ωt)K)u = ~0

oder[−ω2M +K)u = ~0 (3.11)

Gleichung 3.11 stell ein lineares Matrizeneigenwert - Problem dar. Eigenwert ist ω2

Die Determinante |−ω2M+K| wird Frequenzdeterminante genannt. Bedingung für die Bestimmung der Eigenwer-te ist, dass die Frequenzdeterminante verschwindet. Das System hat soviel Eigenwerte, wie nicht verschwindendeTerme auf der Hauptdiagonalen der Massenmatrix M vorhanden sind.In den meisten Fällen werden diese so genannten Starrkörperfrequenzen unter den elastischen Frequenzen liegen.Liegen beide, Starrkörperfrequenzen und elastische Eigenfrequenzen unter den Erregerfrequenzen liegt tiefe Ab-stimmung vor. Von hoher Abstimmung spricht man, wenn die Erregerfrequenz unter der kleinsten Eigenfrequenzdes Blockfundaments liegt.Bei gemischter Abstimmung liegt die Erregerfrequenz mit einem ausreichendem Abstand zwischen den Eigenfre-quenzen.Beim Vorliegen von Symmetrien entkoppelt sich das Eigenwertproblem.


3.0.9 Berücksichtigung des elastischen Verhaltens des Baugrunds

Schwingungsanfällige Maschinen sind üblicherweise mit Schraubenfedern oder Gummifedern mit dem Fundamentverbunden. Das Fundament ruht seinerseits auf dem Baugrund, der auch elastisch/plastisch verformbar ist. BeimBaugrund spricht man vom nicht vom Elastizitätsmodul sondern vom Steifemodul Es mit der Dimension [Kraft /Fläche]. Diesen Steifemodul muss man einem Bodengutachten entnehmen, das auch die Bettungszier enthaltensollte.In den (nicht mehr aktuellen) Empfehlungen des Ausschusses Ufereinfassungen von 1980 (EAU 80) wird als groberAnhaltswert für den Steifemodul angegeben:

Nichtbindige Böden MN/m2

Sand, locker 20-50Naturschotter, scharfkantig 150-300Bindige Böden

Ton, Halbfest 5-10Schlu 3-10

Tabelle 3.1: Steifemodule, Auszug aus der EAU 80

Die hier angegebenen Steifemodule sind nur Anhaltswerte, sie werden von verschiedenen Parametern wie demSättigungsgrad mit Wasser oder der Vorbelastung beeinusst, so dass man für belastbare Berechnungen auf jedenFall ein Gutachten benötigt.Die Federkonstante des Bodens ermittelt man aus der Bettungszier, die wiederum aus dem Steifemodul ermitteltwerden kann:Die Bettungszier Cz ist der Quotient der Normalspannung σz des Bodens in der Fundamentsohle [N/m2] undder dadurch erfolgten Verschiebung [m]. Die Dimension der Bettungszier ist [Kraft pro Länge3], z. B. [N/m3].Da die Spannung im Boden infolge einer Auast wegen der sich vergröÿernden Einwirkungsäche schnell abklingt,bleibt die Verschiebung endlich. Sie ist natürlich von der Schichtung des Bodens und den Steifemodulen aber auchvon den Seitenverhältnissen und der Gröÿe der Fundamentplatte abhängig. Hirschfeld1 gibt für die Bettungszieran:

Cz =κ Es

1−ν2√A

(3.12)

Cz (groÿ C) ist in Richtung der Schwerkraft zu verstehen, A die Grundäche der Gründungsplatte und κ ein vomSeitenverhältnis der Gründungsplatte α = a/b abhängiger Beiwert:

α 2 3 5 10 100κ 1.09 1.13 1.22 1.41 1.71

Die Bettungsziern Cx und Cy , die die Bettung in horizontaler Richtung beschreiben werden aus Cz abgeleitet,Dresig/Holzweiÿig2 gibt an:

Cx = Cy = 0.7 Cz

Für die Verdrehung um die horizontalen Achsen gilt:

1Baustatik, Theorie und Beispiele, S. 8472Lehrbuch der Maschinendynamik,Spriner, Berlin, 9. Auage, S. 195


Cϕx = Cϕy = 2 Cz

Die Bettungszier für die Verdrehung um die Hochachse lautet:

Bϕz = 1.05Cz

Die Bettungsziern sind aus der Theorie des elastischen Halbraumes abgeleitet. In die Weitere Rechnungen gehenFederkonstanten ein, sie werden hier für den Sonderfall eines quaderförmigen Fundaments angegeben, bei dem derSchwerpunkt und der Koordinatenursprung in der im Schwerpunkt der Sohläche liegen. Das Fundament habedie Abmessungen 2 `x, 2 `y und 2 `z Die Koordinate z zeigt der Schwerkraft entgegen.Die Einzelfederkonstanten cij (klein c), die in die weitere Betrachtung eingehen, werden in einer Matrix zusam-mengefasst:

C =

c11 c15

c22 c24

c33

c42 c44

c51 c55

c66

mit:

c33 = A Cz, c11 = c22 = 0.7 A Cz (3.13)

und als Torsionsfederkonstanten gegen Verdrehung erhält man:Verdrehung um die x-Achse:

c44 = Cz(2 Jx + 0.7 A l2z)

Verdrehung um die y-Achse:c55 = Cz(2 Jy + 0.7 A l2z)

Verdrehung um die Hochachse:c66 = 1.05 Cz Jz

die Koppelglieder c15 = c51(x/ϕy) und c24 = c42(y/ϕx) ergeben:

c15 = c51 = −0.7 Cz A `z

undc24 = c42 = 0.7 Cz A `z

Jx und Jy sind die Flächenträgheitsmomente der Sohläche um die x bzw. umd d ie y- Achse und Jz = Jx + Jyist das polare Trägheitsmoment.

Kapitel 4

Torsionsschwingungen von

Antriebssystemen

Bei Kolbenmotoren, bei Schisantrieben bei Kraftfahrzeugen und anderen Maschinen werden Torsionsmomentedurch Wellen übertragen. Zum sicheren Betrieb ist die dynamische Untersuchung, besonders die Kenntnis der na-türlichen Eigenfrequenzen der Welle von Bedeutung. Diese sollen im Folgenden untersucht werden. Die Zahnräderwerden als starre Scheiben angesehen, sie gehen durch ihr Massenträgheitsmoment um die Rotationsachse (Θ) inRechnung ein, die Wellen zwischen den Rädern werden als Torsionsfedern durch die Torsionsfederkonstante cTbzw. c1, c2, · · · , cn dargestellt.Die Wellensysteme können folgende Grundmodelle eingeteilt werden.

4.1 Grundmodelle

Glatter Wellenstrang (Turbinen, Reihenmotoren)

Wellenstrang mit Übersetzung (Getriebe)

Verzweigter Antrieb, Schisantrieb mit mehreren Wellen

Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung soll der glatte Wellenstrang untersucht werden. Der Wellengang mit Über-setzung kann auf einen glatten Wellenstrang reduziert werden.

61

KAPITEL 4. TORSIONSSCHWINGUNGEN VON ANTRIEBSSYSTEMEN 62

4.2 Torsionsschwingungen des glatten Wellenstrangs

Mit einem glatten Wellenstrang soll ist eine Welle mit Scheiben gemeint, deren Achse gradlinig verläuft und diekeine Übersetzung hat.Die Welle kann gefesselt sein:

@@@@@

Abbildung 4.1: Gefesselte Welle

oder eine freie Welle sein, die einen Rotationsfreiheitsgrad besitzt:

Abbildung 4.2: Freie Welle

Θ1

c1

Θ2

c2

Θ3

c3

Θ4

c4

Θ5

--ϕ

Abbildung 4.3: freie Welle mit fünf Rädern

In Abb. 4.3 ist eine freie Welle mit fünf Rädern mit den Massenträgheitsmomenten Θ1 bis Θ5 dargestellt, dieTorstionsfederkontanten sind c1 bis c4. Die positive Drehrichtung ist durch den Doppelvektorpfeil ϕ angedeutet.In Abb.4.3 sind die Räder 1, i und n freigeschnitten:Das Momentengleichgewicht für jedes Rad liefert (siehe Abb.:4.4):

Rad 1 :∑

Mx = 0 = −Θ1ϕ1 + c1 (ϕ2 − ϕ1)

Rad i :∑

Mx = 0 = −Θiϕi − ci−1 (ϕi − ϕi−1) + ci (ϕi+1 − ϕi)

Rad n :∑

Mx = 0 = −Θnϕn − cn−1 (ϕn − ϕn−1) (4.1)

Man erhält n Gleichungen mit den Unbekannten ϕi und ϕi. Nun wird ein harmonischer Ansatz der Form:


Θ1ϕ1 --

c 1(ϕ

2−ϕ

1)

Θiϕi

c i−

1(ϕi−ϕi−

1)

--

c i(ϕi−ϕi−

1)

Θiϕn

c n−

1(ϕn−ϕn−

1)

Abbildung 4.4: Freischnitt

ϕi = ϕi sinωt (4.2)

eingeführt.ϕi gewinnt man durch elementares Ableiten von Gleichung 4.2:

ϕi = −ω2ϕi sinωt (4.3)

Gleichung 4.2 und 4.3 werden in Gleichung 4.1 eingesetzt und durch (− sinω t) dividiert, man erhält:

Rad 1 :∑

Mx = 0 = Θ1(−ω2ϕ1)− c1 (ϕ2 − ϕ1)

Rad i :∑

Mx = 0 = Θi(−ω2ϕi) + ci−1 (ϕi − ϕi−1)− ci (ϕi+1 − ϕi)

Rad n :∑

Mx = 0 = Θn(−ω2ϕn) + cn−1 (ϕn − ϕn−1) (4.4)

Nun wird Gleichung 4.4 in Matrixform umgeformt:

−Θ1 ω2 + c1 −c1...

−ci−1 −Θi ω2 + ci−1 + ci −ci

...−cn−1 −Θn ω

2 + cn−1

ϕ1

ϕ2

...ϕi−1

ϕiϕi+1

...ϕn−1

ϕn

=

00...000...00

(4.5)

Gleichung 4.5 ist ein homogenes lineares Gleichungssystem, es hat als Lösungen:

für det 6= 0: die triviale Lösung d.h. alle Winkel ϕi = 0

für det = 0 unendlich viele Lösungen

Da die triviale Lösung keinen Aufschluss über das dynamische Verhalten der Welle liefert, ist der zweite Fall zuuntersuchen. Die Determinante der Koezientenmatrix muss durch Verfügung über ω2 verschwinden. Ein solchesProblem nennt man ein Matrizeneigenwertproblem. Es ist mit Hilfe der MatLab function [Phi, Lam]=eig(K,M)zu


lösen. Die Funktion eig löst das Problem (K − λ M) Φ = 0 Die Funktion gibt die Eigenwerter als Hauptdiago-nalglieder in der quadratischen Matrix Lam zurück, die Eigenvektoren, ndet man in der quadratischen MatrixPhi.Gleichung 4.5 wird in die vom MatLab erwartete Form umgeformt:

c1 −c1...

−ci−1 +ci−1 + ci −ci...

−cn−1 +cn−1

︸︷︷︸

K

−ω2

Θ1

...Θi

...Θn

︸︷︷︸

M

ϕ1

ϕ2

...ϕi−1

ϕiϕi+1

...ϕn−1

ϕn

=

00...000...00

(4.6)


4.3 Reduktion einer Welle mit Übersetzung auf einen glatten Wellen-strang

Mit dem hier gezeigten Überlegungen soll ein Wellenstrang mit einer Übersetzung auf einen glatten Wellenstrangreduziert werden. Grundüberlegung ist, dass bei der Reduktion die kinetsche Energie der Räder ( 1

2Θϕ2) und diein den Torsionsfedern gespeicherte potentielle Energie (1

2cTϕ2)erhalten werden muss.

Θ1, ϕ1c1

r1

Θ21, ϕ21

r2

Θ22, ϕ22

c2

Θ3, ϕ3

Θ1r, ϕ1r

c1r

Θ2r, ϕ2r

c2r

Θ3r, ϕ3r

Abbildung 4.5: Ausgangswelle und reduzierte Welle

Zunächst wird festgelegt, in Bezug auf welche Welle die Reduktion durchzuführen ist. Im Beispiel ist die Welle 1gewählt worden.Die Verdrehungen, die Massenträgheitsmomente und die Torsionsfedersteigkeiten erhalten im reduzierten Systemden Index r.Aus der Geometrie kann man ablesen:

ϕ1r = ϕ1 (4.7)

undϕ2r = ϕ21 (4.8)

Für die Verdrehungen ϕ22 und ϕ21 gilt:

ϕ22 r2 = −ϕ21 r1 ; ϕ22 = −ϕ21r1

r2(4.9)

und wegen (4.8) gilt:

ϕ2r = −r2

r1ϕ22 (4.10)

ϕ3 wird wie ϕ22 auf Welle 1 reduziert:

ϕ3r = −r2

r1ϕ3 (4.11)

Die Reduktion der Massenträgheitsmomente geschieht mit der Vorgabe, dass die kinetische Energie erhalten bleibt:

1

2Θ1 ϕ

21 =

1

2Θ1r ϕ

21r

wegen Gleichung (4.11) (ϕ1r = ϕ1) giltΘ1r = Θ1 (4.12)

Die kinetische Energie des reduzierten Massenträgheitsmoment Θ2r setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:


• der kinitischen Energie des Rades mit Θ21: 12 Θ21 ϕ

221

und

• der kinitischen Energie des Rades mit Θ22: 12 Θ22 ϕ

222

• die Summe der kinetischen Energien muss die kinetische Energie des reduzierten Rades entsprechen: 12 Θ2r ϕ

22r

1

2Θ21 ϕ

221 +

1

2Θ22 ϕ

222 =

1

2Θ2r ϕ

22r

Mit Gleichung (4.8) und (4.9) erhält man:

1

2Θ21 ϕ

221 +

1

2Θ22

(r1

r2

)2

ϕ221︸︷︷︸

ϕ222

=1

2Θ2r ϕ2

21︸︷︷︸ϕ2

2r

(4.13)

Damit erhält man aus Gleichung (4.13)

Θ2r = Θ21 +

(r1

r2

)2

Θ22 (4.14)

Für die kinetische Energie des Rades Θ3r ergibt sich entsprechend:

1

2Θ3rϕ

23r =

1

2Θ3 ϕ

23 (4.15)

mit Gleichung (4.11) ergibt sich:

1

2Θ3r

(r2

r1

)2

ϕ23 =

1

2Θ3 ϕ

23 (4.16)

Damit wird Θ3r:

Θ3r = Θ3

(r1

r2

)2

(4.17)

Für die Reduktion der Torsionsteigkeiten gilt, dass die in der Feder gespeicherte potentielle Energie erhaltenbleiben soll:Für die in der Welle 1 gespeicherte potentielle Energie gilt:

1

2c1(ϕ21 − ϕ1)2 =

1

2c1r(ϕ2r − ϕ1r)

2 (4.18)

mit den Gleichungen (4.7) und (4.8) wir daraus:

1

2c1(ϕ21 − ϕ1)2 =

1

2c1r(ϕ22 − ϕ1)2

und damit

c2r = c1 (4.19)

.Für die in der Welle 2 gespeicherte potentielle Energie gilt:


1

2c2(ϕ3 − ϕ22)2 =

1

2cr(ϕ3r − ϕ2r)

2 (4.20)

mit Gleichung (4.10) und (4.11) erhält man:

1

2c2(ϕ3 − ϕ22)2 =

1

2c2r

[(−r2

r1

)ϕ3 −

(−r2

r1

)ϕ22

]2

durch Ausklammern von r2r1

erhält man:

1

2c2(ϕ3 − ϕ22)2 =

1

2c2r

(−r2

r1

)2

(ϕ3 − ϕ22)2

und daraus folgt:

c2r = c2

(r1

r2

)2

(4.21)

Mit den reduzierten Gröÿen können die Torsionseigenwerte der Welle mit Übersetzung wie eines glatten Wel-lenstrangs bestimmt werden. Für die Bestimmung der Eigenvektoren ist dü Rücktransformation mit Hilfe derGleichungen (4.7) bis (4.11) notwendig.

Kapitel 5

Biegeschwingungen von Wellen

Umlaufende Wellen, die mit Einzelscheiben besetzt sind, zeigen bei bestimmten Drehzahlen unruhigen Lauf undneigen zu gröÿer werdenden Ausbiegungen.Ursache sind die bei den Einzelscheiben unvermeidlichen Unwuchten,durch die die Welle mit Fliehkräften belastet wird.Die kritischen Drehzahlen entsprechen den Eigenfrequenzen eines Schwingungssystems, dass, im Gegensatz zuTorsions- Biegeschwingungen ausführt.

5.1 Die einfach besetzte Welle

5.1.1 Mittige Anordnung der Scheibe

An einer Welle mit konstantem Durchmesser ist eine Scheibe der Masse m mittig angeordnet. Der Schwerpunktist um das Maÿ e von der Wellenachse versetzt.

r- e

l2

l2

.

...............................

..............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................

...............................

r- e

- y l

2

l2

Die Welle dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit Ω. Durch die Drehung entsteht eine Fliehkraft der Gröÿe,

FF = m(y + e)Ω2

die die Welle umlaufend ausbiegt. Es besteht Gleichgewicht zwischen der Fliehkraft und der Rückstellkraft derWelle, die durch die Federkraft

Fc = c y

mit der Federkonstanten

c =48E J

l3

dargestellt werden soll.

68

KAPITEL 5. BIEGESCHWINGUNGEN VON WELLEN 69

m(y + e)Ω2︸︷︷︸FF

= c y︸︷︷︸Fc

(5.1)

durch Ausklammern von y erreicht man:

y(m Ω2 − c) +m e Ω2 = 0

y(mΩ2 − c) = −m e Ω2

y =m e Ω2

c−mΩ2=

e Ω2

cm − Ω2

Mit der Eigenkreisfrequenz eines Biegeschwingers

ω2 =c

m

erhält man:

y = eΩ2

ω2 − Ω2

Nun wird das Abstimmungsverhältnis η = Ωω eingeführt:

y = eη2

1− η2= e V3 (5.2)

mit der bekannten Vergröÿerungsfunktion

V3 =η2

1− η2


Ohne Dämpfung wächst die Amplitude y bei η = 1 ins unendliche.Man spricht bei η < 1 von hoher Abstimmung, bei η > 1 von tiefer Abstimmung. Die kritische Kreisfrequenz istsomit Ωkrit = ω. Der Fall bei dem die Betriebsdrehzahl der Welle entspricht muss vermieden werden. Dies giltum so mehr, da auch bei fehlender Unwucht (e = 0) bei kleinsten Störungen die Amplitude y 6= 0 auftreten kann.


5.1.2 Nicht mittige Anordnung der Scheibe

Oft ist die Scheibe nicht mittig angeordnet oder die Welle hat keinen konstanten Querschnitt, dann müsste nebender Auslenkung der Scheibe noch die Neigung (y') berücksichtigt werden.Bei der Rotation der Welle treten dann neben der Fliehkräften noch gyroskopische (Kreisel) Kräfte auf. DieKreiselkräfte lassen das System härter erscheinen und steigern die kritische Drehzahl. Sie sollen im Rahmendieser LV unberücksichtigt bleiben.

5.2 Mehrfach besetzte Welle

Ist eine Welle durch mehrere Scheiben besetzt, so können die Unwuchten in verschiedene Richtungen zeigen. Dieausgebogende Welle würde eine Raumkurve beschreiben. Da das Interesse sich aber auf die kritischen Drehzahlenkonzentriert und diese auch bei e = 0 kritisch sind, kann man das System als eben betrachten.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Die Neigungen der Scheiben und damit die gyroskopisch Eekte werden vernachlässigt, die Scheiben machen eineAuslenkung yi. Es wird davon ausgegangen, dass das System mit einer Eigenkreisfrequenz ω rotiert. Dementspre-chend wirken auf die Welle Fliehkräfte Fi. Die Ausbiegungen yi an der der Stelle i setzt sich aus Beiträgen derFliekräften an allen Stellen i multipliziert mit einer Einuÿzahl αij zusammen:

F1 = m1 y1 ω2 und y1 = α11F1 + α12F2 + · · ·+ α1iFi + · · ·+ α1nFn

F2 = m2 y2 ω2 y2 = α21F1 + α22F2 + · · ·+ α2iFi + · · ·+ α2nFn

F3 = m3 y3 ω2 y3 = α31F1 + α32F2 + · · ·+ α3iFi + · · ·+ α3nFn

· · ·Fi = mi yi ω

2 yi = αi1F1 + αi2F2 + · · ·+ αiiFi + · · ·+ αinFn

· · ·Fn = mn yn ω

2 yn = αn1F1 + αn2F2 + · · ·+ αniFi + · · ·+ αnnFn

Die Ausbiegungen yi an den Besetzungsstellen werden mit den Einusszahlen αik ausgedrückt. αik ist die Ver-schiebung an der Stelle i infolge einer Einheitslast an der Stelle k. Es gilt αik = αki. Die Einusszahlen werdenmit dem Arbeitssatz bestimmt.


Nun werden die Fliehkräfte F1 bis Fn in die Ausbiegungsgleichungen y1 bis yn eingesetzt:

y1 = α11 m1 y1 ω2 + α12m2 y2 ω

2 + · · ·+ α1imi yi ω2 + · · ·+ α1nmn yn ω

2

y2 = α21 m1 y1 ω2 + α22m2 y2 ω

2 + · · ·+ α2imi yi ω2 + · · ·+ α2nmn yn ω

2

· · ·yi = αi1 m1 y1 ω

2 + αi2m2 y2 ω2 + · · ·+ αiimi yi ω

2 + · · ·+ αinmn yn ω2

· · ·yn = αn1 m1 y1 ω

2 + αn2m2 y2 ω2 + · · ·+ αnimi yi ω

2 + · · ·+ αnnmn yn ω2

Dieser Zusammenhang kann auch in Matrizendarstellung angegeben werden. Die darin enthaltene Einheitsmatrixwird nur benötigt, um im nächsten Schritt den Übergang zum Standardeigenwertproblem durchführen zu können.Eine Umordnung liefert::

α11 m1 α12m2 · · · α1imi · · · α1nmn

α21 m1 α22m2 · · · α2imi · · · α2nmn

· · ·αi1 m1 αi2m2 · · · αiimi · · · αinmn

· · ·αn1 m1 αn2m2 · · · αnimi · · · αnnmn

ω2 −

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

y1

y2

· · ·yi· · ·yn

=

000000

Die ist wieder ein homogenes Gleichungssystem, das neben der trivialen Lösung nur dann weiter Lösungen hat,wenn die Determinante verschwindet. Um ein Standardeigenwertproblem zu erhalten, wird durch ω2 geteilt undλ = 1

ω2 gesetzt.

α11 m1 α12m2 · · · α1imi · · · α1nmn

α21 m1 α22m2 · · · α2imi · · · α2nmn

· · ·αi1 m1 αi2m2 · · · αiimi · · · αinmn

· · ·αn1 m1 αn2m2 · · · αnimi · · · αnnmn

−

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

λ

y1

y2

· · ·yi· · ·yn

=

000000

(5.3)

5.2.1 Bestimmung der α-Zahlen

Die α-Zahlen werden mit dem Arbeitssatz bestimmt. Sie stellen die Verschiebungen an der Stelle i infolge einerLast (virtuellen) Last 1 an der Stelle k dar.

@ @ ?

1

i

.

......................................................................................................................

.

............................................................................................................................................................................................................................................

Mi

@ @ ?

1

k

.

............................................................................................................................................................................................................................................

.

......................................................................................................................

Mk

Das gröÿte Moment bestimmt man mit: M = 1a bl

Es gilt die bekannte Beziehung:

αik = αki =

∫ l

0

MiMkdx


die mit Hilfe der Integraltafeln (MM − Tafeln) bestimmt werden kann. Hinweis: Alle Kraft in Newton, alleMassen in kg, alle Längen in m eingeben!


5.2.2 Aussermittige Anordnung der Scheibe, Betrachtung in der Ebene

In diesem Abschnitt soll auch die durch das Massenträgheitsmoment der Rades Berücksichtigung nden. Die Welle

- y6

x

r-

e

a

b

.

...............................

..............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................

...............................

CC

∠ ϕz

- v

- v6x

dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ω, die der Eigenfrequenz entspricht. Durch die Drehung entsteht eineFliehkraft der Gröÿe,

FF = m v ω2 (5.4)

Da die Räder aussermittig angeordnet sind, neigen sie sich mit den Ausbiegung. Dieser Neigung entgegen wirktdas d'Alembertsche Trägheitsmoment:

Mz = Θz ϕz ω2 (5.5)

Θz ist das Massenträgheitsmomente bei Drehung um eine Halbachse. Beim Zylinder mit dem Radius R und derDicke t gilt:

Θz = Θy =1

4m(R2 +

1

3t2)

Die Verschiebung v (in y-Richtung ergibt sich aus Anteilen der Kraft FF und dem Moment Mz:

v = α11 FF + α12Mz (5.6)

entsprechend gilt für die Verdrehung ϕz:

ϕz = α21 FF + α22 Mz (5.7)

Nun werden die Gleichungen (5.12) und (5.14) in die Gleichungen(5.8) und (5.18) eingesetzt:

v = α11 m y ω2 + α12Θy ϕz ω2 (5.8)

ϕz = α21 m y ω2 + α22 Θy ϕz ω2 (5.9)

Die Beiwerte α11, α12, α21 und α22 sind wieder die Verschiebungen bzw. Verdrehungen infolge einer Kraftgröÿe1. Sie werden zweckmäÿig mit Hilfe des Arbeitssatzes ermittelt.In Matrizenformulierung ergibt dies:[

α11m α12Θz

α21m α22Θz

] [yϕz

]ω2 =

[vϕz

]Um zu einem üblichen Matrizeneigenwertproblem zu gelangen wird umformuliert:

[α11 α12

α21 α22

]︸︷︷︸

K−1

[m 00 Θz

]︸︷︷︸

M

ω2−

[

vϕz

]︸︷︷︸

Φ

=

[00

](5.10)


Darin ist K−1 die Inverse der Steigkeitsmatrix und M die Massenmatrix.Die Steigkeitsmatrix ergibt sich damit zu:

K =

[α11 α12

α21 α22

]−1

Gleichung 5.10 lässt sich damit auch schreiben:

K−1 M ω2Φ = Φ

K K−1 M ω2Φ = K Φ

[K − ω2M ]Φ = 0 (5.11)

Es liegt wieder ein Eigenwertproblem mit dem Eigenwert ω2 und dem Eigenvektor Φ.


5.2.3 Aussermittige Anordnung der Scheibe, Betrachtung im Raum

- y6

x

r-

e

a

b

.

...............................

..............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................

...............................

CC

∠ − ϕz

- v

- y6x

'ϕz .

...............................

..............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................

...............................

CC

∠ ϕy

- w

- z6x

&ϕy

Die Welle dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ω, die der Eigenfrequenz entspricht. Durch die Drehungentsteht eine Fliehkraft der Gröÿe,

FF = Fy = m v ω2 (5.12)

FF = Fz = m w ω2 (5.13)

Da die Räder aussermittig angeordnet sind, neigen sie sich mit den Ausbiegung. Dieser Neigung entgegen wirktdas d'Alembertsche Trägheitsmomente:

Mz = Θy ϕy ω2 (5.14)

My = Θz ϕz ω2 (5.15)

oder: FyFzMy

Mz

= ω2

m

mΘy

Θz

vwϕyϕz

Die Verschiebungen v und w ergeben sich aus Anteilen der Kraft FF und dem Momenten Mz bzw. My:

v = α11 Fy + α14Mz (5.16)

w = α22 Fz + α23My (5.17)

entsprechend gilt für die Verdrehungen ϕy und ϕz:

ϕy = α32 Fz + α33 My (5.18)

ϕz = α41 Fy + α44 Mz (5.19)

α11 α41

α22 α32

α32 α33

α41 α44

FyFzMy

Mz

=

vwϕyϕz

Nun werden die Gleichungen (5.12) und (5.14) in die Gleichungen(5.8) und (5.18) eingesetzt:


α11 α41

α22 α32

α32 α33

α41 α44

︸︷︷︸

K−1

ω2

m

mΘy

Θz

︸︷︷︸

M

vwϕyϕz

=

vwϕyϕz

︸︷︷︸

Φ

Die Beiwerte αij , sind wieder die Verschiebungen bzw. Verdrehungen infolge einer Kraftgröÿe 1. Sie werdenzweckmäÿig mit Hilfe des Arbeitssatzes ermittelt.Darin ist K−1 die Inverse der Steigkeitsmatrix und M die Massenmatrix.Gleichung 5.10 lässt sich damit auch schreiben:

K−1 M ω2Φ = Φ

K K−1 M ω2Φ = K Φ

[K − ω2M ]Φ = 0 (5.20)

Es liegt wieder ein Eigenwertproblem mit dem Eigenwert ω2 und dem Eigenvektor Φ.


5.2.4 Berücksichtigung von Kreiselmomenten

Rotiert eine Welle mit Rädern mit höheren Drehzahlen, so unterscheidet sich ihr dynamisches Verhalten deutlichvon der nicht rotierenden Welle. Dieses Phänomen ist auf die sogenannten Kreisel- oder gyroskopischen Momentezurückzuführen.Um diese Eekte erfassen zu können, wird vom Drall ausgegangen:

d ~B =

∫~r × ~vdm

Der Drall ist ein Vektor, der in Richtung der Drehachse zeigt. In den folgenden Betrachtungen ist die x-Achse dieDrehachse, so dass auf den Vektorpfeil verzichtet werden kann. Führt man das Intergral aus, so erhält man:

B = Ωx Θx = Ωx Θp

Für Kreisquerschnitten bei Rotation um die Achse gilt:

Θp =1

2mR2

Nach dem Drallsatz ist die zeitliche Änderung des Dralls gleich dem einwirkenden Moment:

d ~B

dt= ~M

der Zuwachs des Dralls ist somit

d ~B = ~M dt

und zeigt in die Richtung des Moments.Der resultierende Drallvektor ergibt sich zu:

~B + d ~B

Wie aus der Skizze (5.2.4) ersichtlich, ändert sich die Richtung des Drallvektors, wenn das einwirkende Momentund der Drallvektor nicht in die gleiche Richtung zeigen.Zeigt der Momentenvektor in y- Richtung, so ergibt sich der Winkel

ϕz =d ~B

~B=My dt

Ωx Θp

Aufgelöst nach My ergibt sich:

My =dϕzdt︸︷︷︸ϕz

Θp Ωx

My = ϕz Θp Ωx

Zeigt der Momentenvektor in z- Richtung, so ergibt sich der Winkel (siehe Skizze 5.2.4) zu

ϕy = −d~B

~B= −Mz dt

Ωx Θp

Aufgelöst nach Mz ergibt sich:


- x

y6

z

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................

..............................

...............................

................................

..................................

.

.....................

..................

................

.............

...........

.........

........

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..................

................

.............

...........

.........

........

........

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

,-,-~B = Θp Ω

,-,-d~B

=Mydt

,-,- d~B-~B + d~B

Mz = − dϕydt︸︷︷︸ϕy

Θp Ωx

Mz = −ϕy Θp Ωx

- x

y6

z

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................

..............................

...............................

................................

..................................

.

.....................

..................

................

.............

...........

.........

........

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

..................

................

.............

...........

.........

........

........

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

,-,-~B = Θp Ω

,6,6

d~ B

=Mzdt

,6,6

d~ B

-~B + d~B

In Matrizenform geschrieben ergibt sich der Zusammenhang zwischen den Gyroskopischen Momenten MGy und

MGz zu: [

MGy

MGz

]= Ωx

[0 ΘP

−ΘP 0

]︸︷︷︸

G

[ϕyϕz

]

Die gyroskopische Matrix G ist nicht symmetrisch, die Hauptdiagonale ist nicht besetzt!Mit dem gyroskopischen Term wird die Dierentialgleichung zu:

M x+ ΩG x+Kx = 0 (5.21)

Der bisher gewählte Ansatz wird wegen des mit x behafteten Terms nicht zur Lösung führen. Es wird stattdessender Ansatz gewählt, der auch bei den gedämpften System erfolgreich war:

x = xeiωt (5.22)


Nach den Euleridentitäten ist:

eiωt = cosωt+ i sinωt

Es wir also auch ein harmonischer Ansatz gewählt.Mit 5.22 ergibt sich für die Zeitableitungen:

x = i ω xeiωt (5.23)

undx = − ω2 xeiωt (5.24)

Setzt man Gleichung ?? bis ?? in ??, so erhält man:

[−ω2 M + i Ω ω G+K]xeiωt = 0

Die Division durch den zeitabhängigen Term liefert:

[−ω2 M + i Ω ω G+K]x = 0 (5.25)

Gleichung 5.25 beschreibt wieder ein homogenes Gleichungssystem, das als Eigenwertproblem gelöst werden kann.Wegen des Vorkommens von ω und ω2 muss erst eine Umwandlung vorgenommen werden, um die Standarteigen-wertlöser benutzen zu können.Zu diesem Zweck wird der Term

[Mω −Mω]x

als zusätzliche Gleichung der Gleichung 5.25 zugefügt:Man erhält:

[−ω2 M + i Ω ω G+K]x = 0 (5.26)

und in Form einer Matrizengleichung formuliert:[M

K

]+ ω

[−M

−M i Ω G

][ω xx

]=

[00

](5.27)

Durch Ausmultiplizieren kann man sich überzeugen, dass Gleichung 5.26 der Matrzengleichung 5.27 entspricht.


5.2.5 Interpretation der Ergebnisse

Bei den hier gewählten Parametern trennen sich die bei der Drehzahl n=0 auftretenden doppelten Eigenwerte mitsteigender Drehzahl. dabei strebt f1 gegen Null, f2 und f3 streben einander zu, der Grenzwert ist

f∞ =

√α44

m (α11 α44 − α213)

. Die höchste Frequenz strebt gegen

ω =Θp

ΘyΩ

Bei dieser Konguration, bei der das Massenträgheitsmoment um die x-Achse gröÿer ist als um die y-Achsekommt es für die höchste Frequenz der Resonanzfall ausgeschlossen, da die Eigenfrequenz schneller steigt als dieErregerfrequenz.Liegen die Verhältnisse umgekehrt, ist also Thetay gröÿer als Thetap, so kann auch in der höchsten Frequenz derResonanzfall auftreten.


Besonders kritische wird, wenn Θp = Θy wird. Denn dann nähert sich die Eigenfrequenz der Erregerfrequenzbei höheren Drehzahlen, sodass ein Durchfahren der Eigenfrequenz unmöglich werden kann. (Milchzentrifugen,Wäscheschleudern)Gegenlauf: Die Welle dreht sich gegenläug zur Rotation der Welle. Durch die Biegung wird die Welle beansprucht,aber auch Dämpfung geweckt.Gleichlauf: die Welle dreht sich im gleichen Sinn wie die Rotation Ω. Hier wird die Welle nicht gebogen, eineMaterialdämpfung wird also nicht aktiviert.Schlieÿlich muss beachtet werden, dass auch andere Erreger als die Rotation auftreten können.

Documents

Maschinen Dy Namik