Master 203Industrie de la Gestion d’Actifs

Philippe Zaouati

Séance 3 – La théorie moderne du portefeuille

LA THEORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE

• La théorie moderne du portefeuille (TMP) expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d'un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Cette théorie fait appel aux concepts de frontière efficiente, modèle d’évaluation des actifs financiers, bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres.

• Dans ce modèle, le rendement d'un actif est une variable aléatoire et un portefeuille est une combinaison linéaire pondérée d'actifs. Par conséquent, le rendement d'un portefeuille est également une variable aléatoire et possède une espérance et une variance.

IDEE DE DEPART

• L'idée de Markowitz dans sa gestion de portefeuille est simplement de panacher celui-ci d'une façon telle qu'on n'y fait pas de choix incohérents, conduisant par exemple à panacher des actions A et des actions B pour obtenir un couple revenu/risque moins bon à coût égal que ce qu'auraient procuré par exemple des actions C.

• Sur le plan technique, il s'agit d'un problème d'optimisation quadratique assez banal. Son originalité est essentiellement l'application de ce modèle d'ingénieur au monde de la finance.

HYPOTHESES

• les marchés d'actifs financiers sont efficients. C'est l'hypothèse d’efficience du marché selon laquelle les prix et rendements des actifs sont censés refléter, de façon objective, toutes les informations disponibles concernant ces actifs.

• les investisseurs sont averses au risque : ils ne seront prêts à prendre plus de risques qu'en échange d'un rendement attendu supérieur. À l'inverse, un investisseur qui souhaite améliorer la rentabilité de son portefeuille doit accepter de prendre plus de risques. L'équilibre risque/rendement jugé optimal dépend de chaque investisseur : on accepte plus volontiers de risquer quelques millions quand on dispose de quelques milliards que quand ce n'est pas le cas.

EQUILIBRE ET EFFICIENCE DES MARCHES

• Équilibre compétitif = Marché suffisamment liquide où l’offre est égale à la demande à tout moment, l’équilibre se faisant par l’ajustement du prix. Aucun agent n’est trop gros pour « dominer » le marché (compétitif).

• Absence d’opportunité d’arbitrage : Impossibilité de l’existence d’opportunité d’arbitrage dans un marché en équilibre.

• Anticipations rationnelles :– Efficience faible

– Efficience semi-forte

– Efficience forte

LE CRITERE ESPERANCE - VARIANCE

• On suppose généralement que la préférence de l'investisseur pour un couple risque / rendement peut être décrite par une fonction d’utilité quadratique.

• De plus, les évolutions du marché sont supposés suivre une distribution symétrique (loi Normale). Par conséquent, seuls le rendement attendu (l'espérance de gain) et la volatilité (écart-type) sont les paramètres examinés par l'investisseur. Ce dernier ne tient pas compte des autres caractéristiques de la distribution des gains, comme son asymétrie ou même le niveau de fortune investi.

LE CRITERE ESPERANCE - VARIANCE

• Rendement attendu (espérance) :

• Variance du portefeuille : • La variance du portefeuille est la somme des produits des

poids wi de chaque couple d'actifs par leur covariance

DIVERSIFICATION

• Un investisseur peut réduire le risque de son portefeuille simplement en détenant des actifs qui ne soient pas ou peu positivement corrélés, donc en diversifiant ses placements. Cela permet d'obtenir la même espérance de rendement en diminuant la volatilité du portefeuille.

LA FRONTIERE EFFICIENTE

• Chaque couple possible d'actifs peut être représenté dans un graphique risque/rendement. Pour chaque rendement, il existe un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pour chaque niveau de risque, on peut trouver un portefeuille maximisant le rendement attendu. L'ensemble de ces portefeuilles est appelé frontière efficiente ou frontière de Markowitz.

• Cette frontière est convexe par construction : le risque n'augmente pas linéairement en fonction des poids des actifs dans le portefeuille.

• La région au-dessus de la frontière ne peut être atteinte en détenant seulement des actifs risqués. Un tel portefeuille est impossible à construire. Les points sous la frontière sont dits sous-optimaux, et n'intéresseront pas un investisseur rationnel.

LA FRONTIERE EFFICIENTE

risque

rendement

PORTEFEUILLE OPTIMAL

risque

rendementCourbes d’iso-utilité des investisseurs

L’ACTIF SANS RISQUE

• L'actif sans risque est un actif théorique qui rapporte le taux d’intérêt sans risque. Il est en général associé aux emprunts d’Etat à court terme. Cet actif possède une variance nulle, son rendement est donc connu à l'avance. Il n'est pas corrélé avec les autres actifs. Par conséquent, associé à un autre actif, il modifie linéairement l'espérance de rendement et la variance.

LA FRONTIERE EFFICIENTE

risque

rendement

R0

LE PORTEFEUILLE DE MARCHE

• On comprend, d'après ce qui précède, que l'investisseur averti, cherchera la plus grande diversification possible jusqu'à atteindre cette limite appelée frontière efficiente. Elle se présente sous la forme d'une partie de parabole.

• Sachant maintenant que tous les investisseurs n'ont pas la même aversion au risque, certains choisiront de limiter leur risque en combinant par exemple une part d'actifs risqués complétée par l'actif hors risque. Pour déterminer ces types de portefeuilles "hybrides", on trace la courbe passant par l'actif hors-risque et tangente à la frontière efficiente. Ce dernier point de contact constitue le portefeuille du marché. Les combinaisons de portefeuille sur le segment entre l'actif hors-risque et le portefeuille du marché, dominent tous les autres portefeuilles.

PORTEFEUILLE OPTIMAL

risque

rendement

Courbes d’iso-utilité des investisseurs

LE MEDAF

• Le Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF), traduction approximative de l'anglais Capital Asset Pricing Model (CAPM), fournit une estimation de valeur théorique d'un actif financier. Cette théorie prend en compte l'aversion naturelle des investisseurs pour le risque (plus précisément, ils cherchent à maximiser leur profit pour un risque donné, ou à profit donné veulent minimiser le risque pris).

LES HYPOTHESES DU MEDAF

• Evaluation des portefeuilles par les investisseurs à l’aide du critère espérance-variance

• Existence d’un actif sans risque• Marchés de capitaux « parfaits » (pas de coût de transaction, …)• Anticipations homogènes pour tous les investisseurs

La Frontière efficiente est la même pour tous les investisseurs.

Tous les investisseurs détiennent une proportion d’actif sans risque et une proportion du portefeuille de marché.

LE MEDAF

• La formule est une fonction :• de la mesure du risque systématique de l'actif, c'est-à-dire au risque

non diversifiable (l'investisseur diversifiera son portefeuille directement sur le marché), noté :

• de la rentabilité espérée sur le marché, notée :

• du taux d’intérêt sans risque noté :

où représente la prime de risque du marché, c'est-à-dire le surplus de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marché, plutôt que dans un actif sans risque.

LE BETA

• Le est la volatilité de la rentabilité de l'actif considérée rapportée à celle du marché. Mathématiquement parlant, elle correspond au rapport entre la covariance de la rentabilité de l'actif et de la rentabilité du marché et la variance du risque du marché.

• Dans le modèle MEDAF (ou CAPM), on peut montrer que ce coefficient correspond à l’élasticité financière du risque du marché par rapport au risque de l'actif.

• Problématique de l’instabilité des bêtas dans le temps

LA DROITE DE MARCHE

bêta

rendement

E(RM)

10

R0

Prime de risque

LE MODELE D’EVALUATION PAR ARBITRAGE

• Arbitrage Pricing Theory (S. Ross – 1976)

• Equivalent multi-bêtas du MEDAF

• Répond aux critiques suivantes du MEDAF :– Pas de nécessité d’avoir des fonctions d’utilité quadratiques

– Pas d’hypothèse sur la distribution des rentabilités

– Pas de notion de portefeuille de marché (problème de non observabilité du portefeuille de marché)

– Plusieurs facteurs de risque

LE MODELE D’EVALUATION PAR ARBITRAGE

• Esperance de rendement de l’actif = Taux sans risque + Rémunération des facteurs de risque

• A chaque facteur de risque est associé une prime de risque

• La rémunération du facteur de risque k est égale au produit de la prime de risque associée par le bêta de l’actif par rapport au risque correspondant

APT : LES LIMITES

• Question du nombre de facteurs

• Modèle d’arbitrage et non modèle d’équilibre

• Problèmes liés à l’estimation économétrique des bêtas relatifs aux facteurs

CONCLUSION

• L’essentiel à retenir est que la relation linéaire entre rentabilité espérée et risque est très robuste – qu’il y ait une ou plusieurs sources de risques) …

• Et que le risque spécifique n’est pas rémunéré et doit donc être diversidfié

REFERENCES

• Markowitz, Harry M. (1952). Portfolio Selection, Journal of Finance, 7 (1), 77-91.

• Sharpe, William F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk, Journal of Finance, 19(3), 425-442.

• Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economics and Statistics, 47

• Tobin, James (1958). Liquidity preference as behavior towards risk, The Review of Economic Studies, 25, 65-86.

DOCUMENT :

EXPERTISE INDICIELLE