Master in Neuropsicologia ClinicaElementi di Statistica I 19 aprile 20081 / 17 Repetita iuvant Rappresentazioni grafiche var. qualitative (barre, torta)

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Master in Neuropsicologia Clinica Elementi di Statistica I

Repetita iuvant

• Rappresentazioni grafiche var. qualitative (barre, torta)• Sintesi di variabili quantitative:

– Min, max– Media, proprietà:

• Internalità• Baricentro• Linearità• Minimizzazione somma quadrati scarti

i (xi – )2 i (xi – )2 per qualsiasi

– Media ponderata

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Variabilità per variabili quantitative

1. campo di variazione: max(Xi) – min(Xi)

2. scarto interquartile:

a) quartili:

mediana → 2 parti ugualiquartili → 4 parti uguali

Q1 → valore associato all’unità ordinata cheviene dopo il primo 25%

Q2 → valore associato all’unità ordinata cheviene dopo il primo 50% (Mediana!!!)

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Q3 → valore associato all’unità ordinata cheviene dopo il primo 75%

Q4 → valore associato all’unità ordinata cheviene dopo il primo 100% (Max!!!)

in pratica:I. si ordinano le unitàII. si individuano le unità portatrici di Q1 e Q3:

i. Q1 = x((n+1)/4)

ii. Q3 = x((n+1)3/4)

N.b. il quartile, come la mediana, non è la posizione

bensì la modalità associata alla posizione!

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III. se le posizioni non sono un numero intero?

i. si considera la parte intera separata da quella decimale:

Es.: n = 29 → (n + 1)/4 = 30/4 = 7,5

parte intera c1 = [(n + 1)/4] → 7

parte decimale d1 = (n + 1)/4 – [(n + 1)/4] → 0,5

Q1 = x(c1) + d1(x(c1+1) – x(c1)) =

= x(7) + 0,5(x(8) – x(7)) = 18 Età ni fi Ni Fi

18 10 0,345 10 0,345

19 3 0,104 13 0,449

20 7 0,241 20 0,690

21 9 0,310 29 1,000

Totale 29 1,000

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→ (n + 1)3/4 = 90/4 = 22,5

parte intera c3 → 22

parte decimale d3 → 0,5

Q3 = x(c3) + d3(x(c3+1) – x(c3)) =

= x(22) + 0,5(x(23) – x(22)) = 21

Età ni fi Ni Fi

18 10 0,345 10 0,345

19 3 0,104 13 0,449

20 7 0,241 20 0,690

21 9 0,310 29 1,000

Totale 29 1,000

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b) scarto interquartile: Q = Q3 – Q1

osservazioni:– lo scarto interquartile individua il range del 50% della distribuzione centrata sulla mediana (il secondo quartile…)

u.s. 2 3 4 … … 4 8 14 … … 26 27 29

modalità 18 18 18 … … 20 20 20 … … 21 21 21

(posizione) (1) (2) (3) … …(14) (15) (16)… … (27) (28) (29)

Q1 Q2 Q3

18 20 21

25% 25% 25% 25%

50%

– maggiore è Q, maggiore sarà la dispersione

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3. scarto quadratico medio σ:

scarto: (xi – μ)

medio:

1

n

ii

x

n

2

1

2 2 2 219 19,5 18 19,5 18 19,5 ... 21 19,5

1,2529

n

ii

x x

n

quadratico: 2

1

n

ii

x

n

i (xi – )2 i (xi – )2 per qualsiasi

2

1

n

ii

x

n

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2

__2 21

n

ii

xx

n

__2 2 382,482 380,913 1,25x

osservazioni:− è nella stessa unità di misura dei dati (dipende dall’ordine di grandezza)

circa il 70% dei valori osservati dovrebbe cadere nell’intervallo μ ± σ σ ≥ 0 σ = 0 → omogeneità

− se si hanno le distribuzioni di frequenze lo sqm diventa:

2

21

1

n

i i ni

i ii

x x nx x f

n

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4. varianza σ2:quadrato dello sqm…

2

2 1

n

ii

x x

n

osservazioni: non è nella stessa unità di misura dei dati bensì il suo quadrato

(dipende dall’ordine di grandezza)

σ2 ≥ 0 σ2 = 0 omogeneità

__2 2 2x

poco informativa nell’analisi monovariata se si hanno le distribuzioni di frequenze :

2

22 1

1

n

i i ni

i ii

x x nx x f

n

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2

2 1

2 2 2 219 19,5 18 19,5 18 19,5 ... 21 19,5

1,5629

n

ii

x x

n

sigarette/h ni Età ni

1 6 18 10

2 15 19 3

3 5 20 7

4 3 21 9

totale 29 Totale 29

qual è la variabile che presenta maggiore variabilità?

σetà = 1,249 σsig =

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__2 2x x

1

m

i ii

x nx

n

2__

2 1

m

i ii

x nx

n

sigarette/h ni

1 6

2 15

3 5

4 3

Tot 29

xini

6

30

15

12

63

Media 2,172

xi2

1

4

9

16

xi2ni

6

60

45

48

159

5,483

σ 0,875

σetà = 1,249 σsig = 0,875

ordini di grandezza differenti, unità di misura diverse, appartenenza a gruppi di numerosità differente…

→ confronto?

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coefficiente di variazione (CV):

XXCV

→ numero puro!

sig/h Età

σ 0,875 1,249

Media 2,172 19,517

CV 0,403 0,064

18 180

18 180

20 200

21 210

22 220

17 170

15 150

σ 2,429972 24,29972

σ25,904764 590,4764

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Raggruppamento in classi

Esigenze di sintesi rendono oneroso e di poca rilevanza elencare tutte le modalità con rispettive frequenze

modalità → intervalli di valori → classi

Es.:

• u.s.: paziente• variabile: età• unità di misura: anni• numerosità gruppo: 1738

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età ni

15 1

17 7

18 18

19 18

… …

97 1

99 1

Totale 1738

0

10

20

30

40

50

60

70

15

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

89

91

92

94

95

96

97

99

Età

ni

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classe: intervallo di valori entro il quale si distribuiscono le osservazioni

• procedura (semplificata):– si determina il range: r = max – min– si sceglie il numero di classi = k– si divide il range (r* un po’ più ampio

di quello calcolato) per il numero di classi → si ottiene l’ampiezza di ogni classe d

– 1° classe: inf < min sup = est. inf. + d

2° classe: inf. = sup.1° + 1

sup. = est. inf. + d

ecc...

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• min=15• max=99• r=84• k=4• r*=88• d=r*/k=22• 1° classe : inf = 14 → sup = 14+22=36• 2° classe : inf = 36+1=37 → sup = 37+22=59

Classi di Età

inf sup

14 36

37 59

60 82

83 105

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→ distribuzione di frequenze per le classi...

Classi di età

ni fi Ni Fi

14-36 571 0,328 571 0,328

37-59 821 0,472 1392 0,800

60-82 333 0,192 1725 0,992

83-105 13 0,008 1738 1,000

Totale 1738 1,000

osservazioni:• è più conveniente considerare ampiezze costanti

• da tale distribuzione non è possibile identificare la reale distribuzione originaria…

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