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Mat a Recorrente

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Mat a Recorrente

Text of Mat a Recorrente

  • MINISTRIO DA EDUCAO

    DIRECO-GERAL DE INOVAO E DE DESENVOLVIMENTO CURRICULAR

    ENSINO RECORRENTE DE NVEL SECUNDRIO

    MATEMTICA A

    10, 11 e 12 anos

    Cursos Cientfico-humansticos: Curso de Cincias e Tecnologias

    Curso de Cincias Socioeconmicas

    Autores Arslio Almeida Martins

    Cristina Maria Cruchinho da Fonseca Ilda Maria Couto Lopes

    Jaime Carvalho e Silva (Coordenador) Maria Graziela Fonseca

    Homologao

    25/08/2005

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    Matemtica A

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    INDCE

    PARTE1 .................................................................................................................................................................... 3 INTRODUO. ........................................................................................................................................................ 3

    PARTE 2 ................................................................................................................................................................... 4 APRESENTAO DO PROGRAMA........................................................................................................................... 4 ORIENTAES GERAIS .......................................................................................................................................... 5 AVALIAO. ........................................................................................................................................................... 7 ORGANIZAO POR MDULOS CAPITALIZVEIS .................................................................................................... 7 QUADRO RESUMO ................................................................................................................................................. 8

    PARTE 3 ................................................................................................................................................................... 9 MDULO 1 ............................................................................................................................................................. 9 MDULO 2 ...........................................................................................................................................................11 MDULO 3 ...........................................................................................................................................................14 MDULO 4 ...........................................................................................................................................................17 MDULO 5 ...........................................................................................................................................................21 MDULO 6 ...........................................................................................................................................................25 MDULO 7 ...........................................................................................................................................................29 MDULO 8 ...........................................................................................................................................................32 MDULO 9 ...........................................................................................................................................................36 BIBLIOGRAFIA E OUTROS RECURSOS ..................................................................................................................39

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    PARTE1

    Introduo. Pelos princpios e mtodos de trabalho praticados, a Matemtica uma componente essencial da formao para o exerccio da cidadania em sociedades democrticas e tecnologicamente avanadas, as quais tm por base a autonomia e a solidariedade. O conhecimento cientfico em geral, e o matemtico em particular, uma ferramenta essencial da independncia empreendedora de cada cidado que tem de ser responsvel e consciente pelo ambiente em que vive e pelas relaes em que est envolvido.

    Genericamente, a Matemtica parte imprescindvel da cultura humanstica e cientfica que permite ao cidado ganhar flexibilidade para se adaptar a mudanas tecnolgicas ou outras e para se sentir motivado a continuar a sua formao ao longo da vida. A Matemtica contribui para a construo da lngua com a qual se relaciona, facilitando a seleco, avaliao e integrao das mensagens necessrias e teis, ao mesmo tempo que fornece acesso a fontes de conhecimento cientfico a ser mobilizado sempre que necessrio.

    Finalmente, a Matemtica uma das bases tericas essenciais e necessrias de todos os grandes sistemas de interpretao da realidade que garantem a interveno social com responsabilidade e do sentido condio humana.

    So finalidades desta disciplina: Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim como a

    memria, o rigor, o esprito crtico e a criatividade; Promover o aprofundamento de uma cultura cientfica, tcnica e humanstica que constitua

    suporte cognitivo e metodolgico tanto para o prosseguimento de estudos como para a melhoria da interveno nos vrios aspectos da vida activa;

    Desenvolver a capacidade de usar a Matemtica como instrumento de interpretao e interveno no real;

    Contribuir para uma atitude positiva face cincia; Promover a realizao pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e

    solidariedade; Contribuir para o desenvolvimento da existncia de uma conscincia crtica e interventiva em

    reas como o ambiente, a sade e a economia entre outras, formando para uma cidadania activa e participativa.

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    PARTE 2 Apresentao do Programa A Matemtica A aparece, para os Cursos Cientfico-humansticos, como uma disciplina trienal da componente de formao especfica a que atribuda uma carga horria semanal de 4h 30m dividida em unidades lectivas de 90 minutos ao longo de 33 semanas.

    A componente de formao especfica destina-se a proporcionar uma formao cientfica consistente no domnio do respectivo curso, em que a Matemtica considerada uma das disciplinas essenciais.

    A Matemtica uma disciplina muito rica que, num mundo em mudana, abrange ideias to dspares como as que so utilizadas na vida de todos os dias, na generalidade das profisses, em inmeras reas cientficas e tecnolgicas mais matematizadas e, ao mesmo tempo, uma disciplina que tem gerado contribuies significativas para o conhecimento humano ao longo da histria.

    O programa de Matemtica organizado por grandes temas. Por um lado, os temas matemticos tm de ser escolhidos de tal modo que competncias fundamentais que a aprendizagem matemtica pode favorecer sejam contempladas. Por outro, eles tm de estar ligados a necessidades reais e fornecer instrumentos de compreenso do real com utilidade compreensvel imediata. Devem ainda poder ser motor de compreenso da Matemtica como um todo, em que cada tema se relaciona com outros e em que a aprendizagem de cada assunto beneficia a aprendizagem de outros. Cada assunto, embora desenvolvido mais detalhadamente dentro da leccionao de um tema, deve ser assunto interessante e til na abordagem dos diversos temas.

    Ao longo dos trs anos do ensino recorrente de nvel secundrio, os estudantes abordaro os seguintes temas: nmeros e geometria, incluindo vectores e trigonometria; funes reais e anlise infinitesimal; estatstica e probabilidades.

    A abordagem da Geometria inclui assuntos de geometria sinttica e mtrica, geometria analtica e vectorial e trigonometria com as competncias de clculo numrico a elas associadas. A abordagem das funes reais considerar sempre estudos dos diferentes pontos de vista - grfico, numrico e algbrico - sobre tipos simples de funes, desde as algbricas inteiras (que so as tratadas no 10 ano), passando pelas fraccionrias e acabando nas transcendentes - exponenciais e logartmicas ou trigonomtricas. Neste grande tema, ser realizada uma abordagem ao clculo de variaes e de limites, bem como ao estudo da continuidade, sem recurso inicial s definies simblicas rigorosas. A abordagem da Estatstica e das Probabilidades completar as aprendizagens bsicas, com algumas novas noes e ferramentas que no foram consideradas no ensino bsico.

    Cada contedo do ensino secundrio de Matemtica no est mais do que esboado no desenvolvimento dos temas; para efeitos deste programa, as indicaes metodolgicas no so simples indicaes e concorrem at para a definio dos contedos de ensino. De acordo com o desenvolvimento de cada tema e o grau de profundidade a atribuir abordagem de cada contedo, faz-se corresponder um determinado nmero de horas leccionao de cada tema. Embora isso no constitua uma instruo rgida, uma referncia para a planificao sugerindo tempos para a abordagem de cada tema, de modo a que, mesmo com prejuzo do aprofundamento deste ou daquele contedo especfico, todos os temas sejam abordados com todos os estudantes. As indicaes metodolgicas, ao sugerir actividades e preocupaes a ter, acabam tambm por sugerir diversificao de tipos de instrumentos e de oportunidades de avaliao das aprendizagens.

    Neste programa, assumem importncia significativa os temas transversais Comunicao Matemtica, Aplicaes e Modelao Matemtica, Histria da Matemtica, Lgica e Raciocnio, Heursticas na resoluo de problemas conceitos, tcnicas, mtodos e estratgias de que os estudantes se devem apropriar progressivamente ao longo de todo o ensino secundrio.

    A aprendizagem matemtica dos estudantes passa por fases intuitivas e informais, mas, desde muito cedo, mesmo estas no podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de demonstraes correctas, bem como no podem passar sem um mnimo de linguagem simblica. Na aprendizagem da matemtica elementar dos ensinos bsico e secundrio so absolutamente necessrias as

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    demonstraes matemticas, mas estas no podem confundir-se com demonstraes formalizadas (no sentido de dedues formais em teorias formais). Neste captulo, chama-se a ateno para alguns assuntos que, no constituindo em si mesmos contedos do programa, so alguma da essncia de muitos passos da aprendizagem de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender demonstraes e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. Como se pode ver pelo corpo do programa, no se pretende que a matemtica ou matemticas sejam introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes fiquem com a ideia de que as teorias matemticas so estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos fundamentais e as suas propriedades bsicas sejam motivados intuitivamente, mas defende-se que os alunos possam trabalh-los at chegarem a formulaes matemticas precisas, sem que, em algum momento, se confunda o grau de preciso de um conceito matemtico com qualquer grau de "simbolizao". Um conceito matemtico pode estar completa e rigorosamente compreendido expresso em lngua natural ou em linguagem matemtica ordinria que uma mistura de linguagem natural, simbologia lgica e matemtica. A escrita simblica das proposies matemticas h-de aparecer, se possvel naturalmente, para efeitos de preciso, condensao, economia e clareza de exposio.

    O trabalho com aspectos da Histria da Matemtica fundamental e deve ser realizado com os mais diversos pretextos. Ao longo do programa do-se algumas pistas para esse trabalho, que amplia a compreenso dos assuntos matemticos com os dados da sua gnese e evoluo ao longo do tempo.

    Outro trabalho que assume um papel fundamental para o ensino e aprendizagem todo aquele que esclarea conexes (aplicaes, modelao) com outros ramos da cincia.

    A utilizao da tecnologia no ensino da Matemtica obriga a que, medida que for sendo necessrio e se justifique, se v esclarecendo o funcionamento das calculadoras e computadores e as caractersticas de cada aplicao informtica til matemtica, ao mesmo tempo que se devem revelar e explicar as limitaes da tecnologia disponvel.

    O ensino de todos estes temas tem de ser suportado em actividades propostas a cada estudante e a grupos de estudantes que contemplem a modelao matemtica, o trabalho experimental e o estudo de situaes realistas sobre as quais se coloquem questes significativas e se fomente a resoluo de problemas no rotineiros.

    As questes de lgica e de teoria de conjuntos so referidas entre os temas transversais, com um determinado desenvolvimento. Procura-se, deste modo, influenciar os professores no sentido de no abordar estas questes como contedo em si, mas de as utilizar quotidianamente em apoio do trabalho de reflexo cientfica que os actos de ensino e de aprendizagem sempre comportam, e s na medida em que elas vm esclarecer e apoiar uma apreenso verdadeira dos conceitos. Como temas transversais consideram-se as formas de organizar o pensamento e as actividades de resoluo de problemas, as aplicaes e a modelao matemtica, aspectos da histria da matemtica, da comunicao matemtica e da utilizao da tecnologia. No podem nem devem ser localizadas temporalmente na leccionao e muito menos num determinado ano de escolaridade, antes devem ser abordadas medida que forem sendo necessrias e medida que for aumentando a compreenso sobre os assuntos em si, considerando sempre o sentido de oportunidade, as vantagens e as limitaes.

    Orientaes gerais As finalidades e objectivos enunciados determinam que o professor, ao aplicar este programa, equilibradamente contemple o desenvolvimento de atitudes e capacidades, a aquisio de conhecimentos e tcnicas para a sua mobilizao.

    Tendo como pressuposto ser o estudante agente da sua prpria aprendizagem, prope-se uma metodologia em que os conceitos sejam construdos a partir da experincia de cada um e de situaes concretas, com abordagens sob diferentes pontos de vista e progressivos nveis de rigor e formalizao, em que seja estabelecida uma ligao da Matemtica com a vida real, com a tecnologia e com as questes abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento numa perspectiva histrico-cultural.

    Neste contexto, destaca-se a importncia das actividades a seleccionar, as quais devero contribuir

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    para o desenvolvimento do pensamento cientfico, levando o estudante a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforo das atitudes de autonomia e de cooperao. Cabe ao professor, de acordo com a realidade da turma, encontrar o equilbrio entre o nmero de trabalhos individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de projecto e actividades investigativas, a realizar dentro e fora da aula, assim como o espao para a sua prpria interveno: dinamizando, questionando, fazendo snteses, facultando informao ...

    O programa pretende dar continuidade, sem mudana brusca de nvel, s aprendizagens realizadas em anterior ciclo de estudos, ajustando-se ao nvel de desenvolvimento e de cultura dos estudantes. Parte-se, quando possvel, de problemas e situaes experimentais para que, com o apoio na intuio, o estudante aceda gradualmente formalizao dos conceitos. So identificadas situaes para estabelecer conexes entre os diversos temas de forma a proporcionar uma oportunidade de relacionar os vrios conceitos, promovendo uma viso integrada da Matemtica. Deu-se prioridade criao de condies para uma grande diversidade de tipos de trabalho em Matemtica, tanto de carcter geral como especficos de cada tema, em detrimento de um aprofundamento que na maioria das vezes ilusrio se no for cimentado na compreenso dos processos elementares. A utilizao obrigatria da tecnologia que, alm de ferramenta, fonte de actividade, de investigao e de aprendizagem, pretende tambm preparar os estudantes para uma sociedade em que os meios informticos tero um papel considervel na resoluo de problemas de ndole cientfica.

    No possvel atingir os objectivos e competncias gerais deste programa sem recorrer dimenso grfica, e essa dimenso s plenamente atingida quando os estudantes trabalham com uma grande quantidade e variedade de grficos com apoio de tecnologia adequada (calculadoras grficas e computadores). O trabalho de modelao matemtica s ser plenamente atingido se for possvel trabalhar na sala de aula as diversas fases do processo de modelao matemtica, embora no seja exigvel que sejam todas tratadas simultaneamente em todas as ocasies; em particular, recomenda-se a utilizao de sensores de recolha de dados acoplados a calculadoras grficas ou computadores para, nalgumas situaes, os estudantes tentarem identificar modelos matemticos que permitam a sua interpretao. No se trata aqui de substituir o clculo de papel e lpis pelo clculo com apoio da tecnologia. As calculadoras grficas (que so tambm calculadoras cientficas completssimas) devem ser entendidas no s como instrumentos de clculo mas tambm como meios incentivadores do esprito de pesquisa e o seu uso obrigatrio neste programa. H vantagens em que se explorem com a calculadora grfica os seguintes tipos de actividade matemtica: abordagem numrica de problemas, uso de manipulaes algbricas para resolver equaes e inequaes e posterior confirmao usando mtodos grficos, uso de mtodos grficos para resolver equaes e inequaes e posterior confirmao usando mtodos algbricos, modelao, simulao e resoluo de situaes problemticas, uso de cenrios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matemticos, uso de mtodos visuais para resolver equaes e inequaes que no podem ser resolvidas, ou cuja resoluo impraticvel com mtodos algbricos, conduo de experincias matemticas, elaborao e anlise de conjecturas, estudo e classificao do comportamento de diferentes classes de funes, anteviso de conceitos do clculo diferencial, investigao e explorao de vrias ligaes entre diferentes representaes para uma situao problemtica.

    Os estudantes devem ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta no seu cran pode ser uma viso distorcida da realidade; alm do mais, o trabalho feito com a mquina deve ser sempre confrontado com conhecimentos tericos, assim como o trabalho terico deve ser finalizado com uma verificao com a mquina. importante que os estudantes descrevam os raciocnios utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que no se limitem a copiar o que vem. A calculadora vai permitir que se trabalhe com um muito maior nmero de funes em que diversas caractersticas, como os zeros e os extremos, no se podem determinar de forma exacta; estas funes so importantes pois aparecem no contexto da resoluo de problemas aplicados. muito importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte se pode determinar de forma exacta; importante ir sempre chamando a ateno dos estudantes para a confrontao dos resultados obtidos com os conhecimentos tericos; sem estes aspectos no se pode desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplicaes da matemtica e a capacidade de analisar modelos matemticos. Com os cuidados referidos, e como experincias em Portugal e noutros pases mostram, a calculadora grfica dar uma contribuio positiva para a melhoria do ensino da Matemtica.

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    O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos domnios da Geometria Dinmica, da representao grfica de funes e da simulao, permite actividades no s de explorao e pesquisa como de recuperao e desenvolvimento, pelo que constitui um valioso apoio a estudantes e professores, devendo a sua utilizao considerar-se obrigatria neste programa. Vrios tipos de programas de computador so muito teis e enquadram-se no esprito do programa. Os programas de Geometria Dinmica, de Clculo Numrico e Estatstico, de Grficos e Simulaes e de lgebra Computacional fornecem diferentes tipos de perspectivas tanto a professores como a estudantes. O nmero de programas disponveis no mercado portugus aumenta constantemente.

    Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores, tanto em salas onde os estudantes podero ir realizar trabalhos prticos, como em salas com condies para se dar uma aula em ambiente computacional (nomeadamente nos Laboratrios de Matemtica), alm do partido que o professor pode tirar como ferramenta de demonstrao na sala de aula usando um data-show com retroprojector ou projector de vdeo. Os estudantes devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a frequncia possvel de acordo com o material disponvel. Nesse sentido as escolas so incentivadas a equipar-se com o material necessrio para que tal tipo de trabalhos se possa realizar com a regularidade que o professor julgar aconselhvel.

    Estando todas as Escolas Secundrias ligadas Internet, o professor no deve deixar de tirar todo o partido deste meio de comunicao. Na bibliografia final so indicados alguns stios recomendados que contm ligaes a outros de interesse. Para o trabalho com os estudantes apresentam-se como bons exemplos os de projectos do tipo "Pergunta Agora" em que os estudantes podem colocar dvidas (este pode ser acedido a partir da pgina da APM-Associao de Professores de Matemtica). Como exemplo de um projecto de interesse geral e para a divulgao da Matemtica aponta-se o "Atractor-Matemtica Interactiva" que pode ser visto em: http://www.atractor.pt.

    Deve ser explorada a utilizao da Internet como forma de criao de uma boa imagem da Matemtica.

    Estes recursos so tanto para utilizar no Laboratrio de Matemtica, como em salas de aulas indiferenciadas. considerado indispensvel o uso de calculadoras grficas (para trabalho regular na sala de aula ou para demonstraes com todos os estudantes, usando uma calculadora com view-screen), uma sala de computadores com software adequado para trabalho to regular quanto possvel, um computador ligado a um data-show ou projector de vdeo (para demonstraes, simulaes ou trabalho na sala de aula com todos os estudantes ao mesmo tempo).

    Avaliao. Na modalidade de frequncia presencial e para a avaliao sumativa, os professores devem recorrer a uma variedade de instrumentos de avaliao adequados diversidade de aprendizagens e aos contextos em que ocorrem, dentro de cada mdulo. No podem, por isso, ser reduzidos a um teste tradicional no fim de cada mdulo ou perodo. Dito de outro modo, a avaliao formativa e sumativa deve servir para dar informao ao aluno e ao professor sobre o desenvolvimento e a qualidade do processo educativo, permitindo o estabelecimento de metas intermdias.

    Organizao por mdulos capitalizveis Para o ensino recorrente de nvel secundrio, os temas de estudo so distribudos por mdulos capita-lizveis, mas concebidos de tal modo que precedncias necessrias (ao nvel da articulao de conhe-cimentos e tcnicas) sejam garantidas na sequncia da leccionao em ambiente de turma. Para alm dos temas - Geometria, lgebra e Anlise, Estatstica e Probabilidades e Nmeros - que contm o es-sencial dos diversos mdulos, em cada um destes vo sinalizados os assuntos dos temas transversais que nele podem ser desenvolvidos. Esto ainda assinalados com (*) itens que podero ou no ser lec-cionados para a generalidade dos estudantes, mas constituem assuntos motivadores para os mais interessados.

    Esta organizao por mdulos obriga os professores leccionao de determinados temas por perodos lectivos e avaliao sumativa dos alunos da modalidade de frequncia presencial de cada mdulo no final do perodo respectivo. Ao mesmo tempo, indica aos alunos da modalidade de frequncia no presencial os temas de estudo de cada mdulo (ou mdulos) a capitalizar, bem como a

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    sequncia modular que obrigatria para a capitalizao.

    Considera-se importante que no incio do ensino secundrio - primeiro mdulo - as primeiras trs semanas sejam para resolver problemas significativos que mobilizem conceitos prvios considerados verdadeiramente essenciais e estruturantes. Quadro Resumo

    Distribuio dos temas por mdulos capitalizveis 10 ano 11 ano 12 ano

    Mdulo 1 - Geometria no Plano e no Espao I Resoluo de problemas de Geometria no plano e no espao. Geometria Analtica. O mtodo cartesiano para estudar Geometria no plano e no espao.

    Mdulo 4 - Geometria no Plano e no Espao II Problemas envolvendo tringulos. Crculo trigonomtrico e funes seno, co-seno e tangente. Produto escalar de dois vectores e aplicaes. Interseco, paralelismo e perpendicularidade de rectas e planos. Programao linear (breve introduo).

    Mdulo 7 - Probabilidades e Combinatria Introduo ao clculo de probabilidades. Distribuio de frequncias e distribuio de probabilidades. Anlise combinatria.

    Mdulo 2 - Funes e Grficos. Funes polinomiais. Funo mdulo. Funo, grfico e representao grfica. Estudo intuitivo de propriedades da: funo quadrtica; funo mdulo. Funes polinomiais (graus 3 e 4). Decomposio de polinmios em factores.

    Mdulo 5 - Funes racionais e com radicais. Taxa de variao e derivada. Problemas envolvendo funes ou taxa de variao. Propriedades das funes do tipo f(x)=a+b/(cx+d). Aproximao experimental da noo de limite. Taxa de variao e derivadas em casos simples. Operaes com funes. Composio e inverso de funes.

    Mdulo 8 - Funes exponenciais e logartmicas. Teoria de limites. Clculo diferencial Limites e Continuidade. Conceito de Derivada e Aplicaes. Teoria de limites. Clculo diferencial. Problemas de optimizao.

    Mdulo 3 - Estatstica Estatstica - Generalidades Organizao e interpretao de caracteres estatsticos (qualitativos e quantitativos). Referncia a distribuies bidimensionais (abordagem grfica e intuitiva).

    Mdulo 6 - Sucesses reais. Definio e propriedades. Exemplos (o caso das progresses). Sucesso (1+1/n)n e primeira definio de e. Limites: infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Limites reais e convergncia.

    Mdulo 9 - Trigonometria e nmeros complexos. Funes seno, co-seno ; clculo de derivadas. Introduo histrica dos nmeros complexos. Complexos na forma algbrica e na forma trigonomtrica; operaes e interpretao geomtrica.

    T e m a s T r a n s v e r s a i s Comunicao Matemtica Aplicaes e Modelao Matemtica Histria da Matemtica Lgica e Raciocnio Matemtico Resoluo de Problemas e Actividades Investigativas Tecnologia e Matemtica

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    PARTE 3

    Mdulo 1 Geometria no Plano e no Espao I 12 semanas - 36 unidades lectivas de 90 minutos

    Competncias a desenvolver

    Neste mdulo de Geometria no Plano e no Espao I, a competncia matemtica inclui os seguintes aspectos:

    a capacidade para apreciar a geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilizao de ideias geomtricas em diversas situaes e na comunicao;

    a aptido para utilizar a visualizao, a representao e o raciocnio espacial na anlise de situaes problemticas realistas e na resoluo de problemas;

    a aptido para formular argumentos vlidos recorrendo visualizao e ao raciocnio espacial, explicitando-os em linguagem corrente;

    a aptido para reconhecer e analisar propriedades de figuras geomtricas, nomeadamente recorrendo a materiais manipulveis e tecnologia;

    a aptido para descrever a realidade, enfrentar situaes e resolver problemas utilizando diversos sistemas matemticos (relaes entre elementos do espao e propriedades, coordenadas e vectores.)

    Objectivos de aprendizagem

    Neste mdulo de Geometria, os objectivos de aprendizagem so os seguintes:

    problemas que envolvam propores, semelhanas, reas, volumes, nmeros, operaes, transformaes geomtricas, expresses algbricas,

    construir modelos (maquetes e desenhos) teis e adequados resoluo de problemas, com recurso a medies e escalas;

    resolver problemas usando modelos fsicos e geomtricos (de incidncia, paralelismo e perpendicularidade; seces, reas e volumes);

    comunicar, oralmente e por escrito, aspectos dos processos de trabalho e crtica dos resultados;

    identificar as vantagens do uso de um referencial; instalar um referencial numa figura (ou uma figura num referencial) de forma a obter as

    melhores coordenadas";

    escrever condies definidoras de conjuntos de pontos e lugares geomtricos; utilizar vectores e operaes em referencial ortonormado; resolver problemas de geometria no plano e no espao, por vrios processos e perspectivas de

    abordagem (sinttica, analtica e vectorial).

    Temas/contedos

    Resoluo de problemas de Geometria no plano e no espao

    (esta resoluo de problemas tem por objectivo fazer a ponte entre o bsico e o secundrio e promover o aprofundamento da Geometria partindo da compreenso do plano, do espao e

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    dos slidos geomtricos)

    Alguns tpicos que podero ser estudados na resoluo de problemas ou em investigaes:

    - estudo das seces determinadas num cubo por um plano;

    - poliedros obtidos por truncatura de um cubo;

    - composio e decomposio de figuras tridimensionais;

    - um problema histrico e sua ligao com a Histria da Geometria.

    Geometria Analtica

    O mtodo cartesiano para estudar geometria no plano e no espao

    Referenciais cartesianos ortogonais e monomtricos no plano e no espao. Correspondncia entre o plano e IR 2 , entre o espao e IR 3.

    Conjuntos de pontos e condies.

    Lugares geomtricos: circunferncia, crculo e mediatriz; superfcie esfrica, esfera e plano mediador.

    (*) Referncia elipse como deformao da circunferncia.

    Vectores livres no plano e no espao:

    componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado; vector como diferena de dois pontos.

    Colinearidade de dois vectores.

    Equao vectorial da recta no plano e no espao.

    Equao reduzida da recta no plano e equao x=x0.

    Recursos

    Na leccionao da geometria, o professor deve ter em ateno a observao de aspectos geomtricos da realidade construda. E deve utilizar modelos geomtricos pr-construdos e sempre que possvel modelos construdos pelos estudantes, bem como deve recorrer a programas de geometria dinmica ou vdeos.

    O ensino e a aprendizagem da Geometria precisa de:

    material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (rgua, esquadro, compasso, transferidor, ...);

    material para o estudo da Geometria no espao (slidos geomtricos, construdos em diversos materiais: placas, arames, palhinhas, acetatos, acrlico, plstico, polydron, slidos de enchimento,...);

    quadro quadriculado e papel milimtrico; meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); livros para consulta e manuais; computadores e software de geometria dinmica.

    Sugestes metodolgicas

    Para resolver eventuais dificuldades na transio de ciclo ou no recomeo da escolaridade, aps inter-rupo mais ou menos prolongada, neste mdulo devem ser integradas algumas actividades para con-

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    solidar e fazer uso de conhecimentos essenciais e bsicos j adquiridos. Pretende-se que se detectem e corrijam falhas de conhecimentos em questes bsicas, ao mesmo tempo que se estabelece uma articulao com o novo ciclo de vida escolar. Os problemas, que envolvam propores, semelhanas, reas, volumes, nmeros, operaes, transformaes geomtricas, expresses algbricas, contemplam conexes, procuram desenvolver capacidade de visualizao, estando sempre que possvel ligados manipulao de modelos geomtricos.

    Os professores devem apresentar aos estudantes um conjunto de problemas motivadores que podem e devem ser adequados ao nvel e s caractersticas de cada turma e curso.

    Para alm da manipulao de modelos geomtricos, o professor deve insistir para que o estudante exprima correctamente os seus raciocnios, oralmente e por escrito, atravs de pequenas composies. A linguagem matemtica utilizada deve ser rigorosa embora seja de excluir a linguagem formal.

    Os problemas a propor aos estudantes no devem ser numerosos. Devem ser ricos e no se reduzir a propostas fragmentadas. mais importante um problema bem explorado do que muitos tratados apressadamente.

    Aconselha-se que o professor privilegie, se possvel atravs de pequenas investigaes, o estudo do cubo (incluindo as seces nele determinadas por planos que o intersectem) assim como o estudo de alguns poliedros cujas arestas ou vrtices esto assentes nas suas faces.

    conveniente que o estudante fique a saber desenhar representaes planas dos slidos com que trabalha, a descrever a interseco do cubo com um plano dado, a saber construir e a desenhar uma representao da interseco obtida, utilizando as regras da perspectiva cavaleira (o estudante deve comear por modelar a situao, por exemplo, com slidos de arestas, com slidos transparentes ou de qualquer outro modo sugestivo).

    Compondo e decompondo figuras planas (ou tridimensionais) o estudante deve saber calcular ou relacionar reas (ou volumes).

    Os problemas devem ser escolhidos de tal modo que possam sugerir outros e permitir abordagens segundo diferentes perspectivas (por exemplo, recorrendo primeiro s coordenadas e depois aos vectores).

    O professor deve propor ao estudante actividades que o levem a sentir a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano quer no espao.

    O professor pode fornecer figuras e/ou um referencial numa grelha e pedir a colocao da figura ou do referencial para obter as melhores coordenadas experimentando com vrias figuras no plano e no espao.

    Ser vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou o tema, recorrendo aos modelos j utilizados para fazer aparecer as novas noes} (referencial, coordenadas, vectores, ... ) levando o estudante a justificar determinadas proposies por mais de um processo. S mais tarde deve recorrer a desenhos em perspectiva.

    No plano, o estudante deve descobrir as relaes entre as coordenadas de pontos simtricos relativamente aos eixos coordenados e s bissectrizes dos quadrantes pares e mpares. No espao, o estudante pode tambm descobrir algumas relaes entre pontos simtricos relativamente aos planos coordenados, aos eixos coordenados e aos planos bissectores dos diversos octantes.

    A circunferncia e a superfcie esfrica devem ser tratadas essencialmente como lugares geomtricos sem a preocupao de fazer mltiplos exerccios que envolvam apenas as suas equaes (a definio de distncia entre dois pontos no espao aparecer, naturalmente, ligada determinao do comprimento da diagonal espacial de um paraleleppedo).

    O mesmo para a mediatriz/plano mediador (neste contexto s se deve trabalhar com equaes de rectas/planos paralelos a eixos/planos coordenados ou que sejam bissectrizes/planos bissectores de quadrantes/octantes).

    A equao da elipse deve aparecer a partir da circunferncia por meio de uma mudana afim de uma das coordenadas.

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    A soma de vectores, a soma de um ponto com um vector e o produto de um escalar por um vector devem ser abordadas em contexto de resoluo de problemas.

    Pretende-se que o estudante deduza propriedades de figuras geomtricas (tringulos e quadrilteros) usando vectores e explore a ligao do clculo vectorial com outras reas.

    A equao vectorial da recta surge naturalmente associada ao produto de um escalar por um vector e colinearidade de dois vectores. Pretende-se que os estudantes saibam escrever a equao vectorial de uma recta e assim identifiquem pelas suas coordenadas os pontos que lhe pertenam.

    O conhecimento da equao reduzida da recta dever permitir que o estudante saiba escrever a equao de qualquer recta cujo grfico lhe seja apresentado, sem para isso ser necessrio fazer exerccios repetitivos.

    Sugestes de Avaliao

    Na modalidade de frequncia presencial, a avaliao contnua, estando os alunos integrados em turmas com sujeio ao dever de assiduidade.

    Para a avaliao sumativa destes estudantes, os professores devem recorrer a vrios instrumentos de avaliao (testes, trabalhos e relatrios, estudos e composies, etc) adequados diversidade de aprendizagem e aos contextos em que ocorrem, no ocupando mais de 4 unidades lectivas de 90 minutos. Actividades como construo de modelos necessrios para a compreenso e representao de situaes em estudo e relatrios respectivos podem e devem ser apreciadas como provas de avaliao.

    A forma de transformao dos dados recolhidos em classificaes da estrita competncia do departamento curricular, sendo que esta classificao obtida decisiva para a capitalizao do mdulo, ao fim das 12 primeiras semanas (ou do 1 perodo). Recomendamos vivamente que o peso dos testes escritos no ultrapasse metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliao.

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    Mdulo 2 Funes e Grficos. Funes Polinomiais. Funo Mdulo. 11 semanas - 33 unidades lectivas de 90 minutos

    Competncias a desenvolver:

    Neste mdulo de funes, a competncia matemtica inclui os seguintes aspectos:

    a aptido para fazer e investigar matemtica recorrendo modelao com uso das tecnologias; a aptido para elaborar, analisar e descrever modelos para fenmenos reais utilizando diversos

    tipos de funes;

    a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situaes problemticas e os seus resultados;

    a capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com aspecto grfico cuidado os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatrios, monografias,

    a capacidade de usar uma heurstica para a resoluo de problemas; a capacidade para resolver algbrica e graficamente equaes e inequaes envolvendo

    trabalho com polinmios.

    Objectivos de aprendizagem

    Neste mdulo de funes, os objectivos de aprendizagem so os seguintes:

    elaborar modelos para situaes da realidade e de outras cincias, utilizando diversos tipos de funes;

    usar modelos de regresso (com recurso calculadora) na resoluo de problemas; fazer o estudo de funes (domnio, extremos se existirem, zeros, intervalos de monotonia)

    descrevendo e interpretando no contexto da situao;

    reconhecer que o mesmo tipo de funo pode ser um modelo de diferentes situaes realistas; traduzir representaes descritas por tabelas ou grficos; analisar os efeitos das mudanas de parmetros nos grficos de funes; usar cenrios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matemticos; utilizar a calculadora para realizar simulaes e experincias matemtcas com elaborao e

    anlise de conjecturas;

    uso de manipulaes algbricas para resolver equaes e inequaes; usar mtodos grficos para resolver condies cuja resoluo com mtodos algbricos no

    esteja ao alcance dos estudantes;

    utilizar linguagem matemtica adequada na elaborao, anlise e justificao de conjecturas ou na comunicao de concluses.

    Temas e contedos

    Funes e grficos. Resoluo de problemas envolvendo funes polinomiais

    Funo, grfico (grfico cartesiano de uma funo em referencial ortogonal) e representao grfica.

    Estudo intuitivo de propriedades das funes e dos seus grficos, tanto a partir de um grfico particular como usando calculadora grfica, para as seguintes classes de funes:

    i) funes quadrticas;

    ii) funo mdulo;

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    e recorrendo a:

    a) anlise dos efeitos das mudanas de parmetros nos grficos das famlias de funes dessas classes (considerando apenas a variao de um parmetro de cada vez);

    b) transformaes simples de funes: dada a funo, esboar o grfico das funes definidas por y = f(x)+a, y = f(x+a), y = af(x), y = f(ax), y = |f(x)|, com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso linguagem das transformaes geomtricas.

    (*) Referncia breve parbola, a algumas das suas principais propriedades e sua importncia histrica.

    Resoluo de problemas envolvendo funes polinomiais (com particular incidncia nos graus 2, 3 e 4).

    Possibilidade da decomposio de um polinmio em factores (informao).

    Decomposio de um polinmio em factores em casos simples, por diviso dos polinmios e recorrendo regra de Ruffini. Justificao desta regra.

    (*) Estudo elementar de polinmios interpoladores

    Recursos

    O ensino e a aprendizagem das funes reais de varivel real pressupe a possibilidade de uso de materiais e equipamentos diversificados:

    material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (rgua, esquadro, compasso, transferidor,...);

    quadro quadriculado e papel milimtrico; meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); livros para consulta e manuais; calculadoras grficas com possibilidade de utilizao de programas e viewscreen; computadores e projectores de video, datashow; software de geometria dinmica analtica e

    produo de grficos;

    sensores de recolha de dados quer para as calculadoras grficas quer para os computadores. Prev-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados, incluindo CD-ROM e Internet.

    Sugestes metodolgicas

    Para todos os tipos de funes devem ser dados exemplos a partir de questes concretas (tanto de outras disciplinas que os estudantes frequentem Fsica, Qumica, Economia, etc. como de situaes reais por exemplo de recortes de jornais). Particular importncia dever ser dada a situaes problemticas, situaes de modelao matemtica e a exemplos de Geometria, devendo retomar-se alguns exemplos estudados no tema anterior.

    As propriedades das funes e grficos sugeridas so: domnio, contradomnio, pontos notveis (interseco com os eixos coordenados), monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relao ao eixo dos YY e origem, limites nos ramos infinitos. Os estudantes devem determinar pontos notveis e extremos tanto de forma exacta como de forma aproximada (com uma aproximao definida a priori) a partir do grfico traado na calculadora grfica ou computador.

    No estudo das famlias de funes os estudantes podem realizar pequenas investigaes.

    O estudo das transformaes simples de funes deve ser feito tanto usando papel e lpis como calculadora grfica ou computador; a funo a transformar tanto pode ser dada a partir de um grfico como a partir de uma expresso analtica.

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    A referncia parbola no pressupe nenhuma propriedade em particular mas antes que os estudantes fiquem com uma viso culturalmente mais completa do assunto.

    Na resoluo de problemas deve ser dada nfase especial Modelao Matemtica (por exemplo, usando dados concretos recolhidos por calculadoras grficas ou computadores acoplados a sensores adequados). Deve ser dada nfase especial resoluo de problemas usando mtodos numricos e grficos, nomeadamente quando forem usadas inequaes. A resoluo numrica ou grfica deve ser sempre confrontada com conhecimentos tericos. Deve ser usada a resoluo analtica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polinmio em factores. O estudo analtico dos polinmios deve ser suscitado pela resoluo de problemas e a integrado. A resoluo analtica de problemas deve ser sempre acompanhada da verificao numrica ou grfica.

    Sugestes de Avaliao

    Na modalidade de frequncia presencial, a avaliao contnua, estando os alunos integrados em turmas com sujeio ao dever de assiduidade.

    Para a avaliao sumativa destes estudantes, os professores devem recorrer a vrios instrumentos de avaliao (testes, trabalhos e relatrios, estudos e composies, etc) adequados diversidade de aprendizagem e aos contextos em que ocorrem, no ocupando mais de 4 unidades lectivas de 90 minutos. Actividades como construo de modelos necessrios para a compreenso e representao de situaes em estudo e relatrios respectivos podem e devem ser apreciadas como provas de avaliao.

    A forma de transformao dos dados recolhidos em classificaes da estrita competncia do departamento curricular, sendo que esta classificao obtida decisiva para a capitalizao do mdulo, ao fim das 11 semanas lectivas (ou do 2 perodo). Recomendamos vivamente que o peso dos testes escritos no ultrapasse metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliao.

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    Mdulo 3 Estatstica 10 semanas - 30 unidades lectivas de 90 minutos Competncias a desenvolver:

    Neste mdulo de Estatstica, a competncia matemtica incluiu os aspectos seguintes:

    a capacidade para usar da matemtica, em combinao com outros saberes, na compreenso de situaes da realidade, bem como o sentido crtico relativamente utilizao de procedimentos e resultados matemticos;

    a capacidade para recolher e organizar dados relativos a uma situao ou a um fenmeno e de os representar de modo adequado, nomeadamente atravs de tabelas e grficos e utilizando as novas tecnologias;

    a aptido para ler e interpretar tabelas e grficos luz de situaes a que dizem respeito e para comunicar os resultados das interpretaes feitas;

    a capacidade para dar resposta a problemas com base na anlise de dados recolhidos e de experincias planeadas para o efeito;

    a aptido para realizar investigaes que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e anlise de dados e elaborao de concluses;

    o sentido crtico face ao modo como a informao apresentada.

    Objectivos de aprendizagem

    Neste mdulo de Estatstica, os objectivos de aprendizagem so os seguintes:

    definir o problema a estudar; realizar recolhas de dados; organizar e tratar os dados atravs do clculo das medidas estatsticas (de centralidade e

    disperso), sua interpretao e representao grfica;

    seleccionar as formas de representao grfica mais adequadas estatstica a trabalhar e interpret-las criticamente;

    desenvolver o sentido crtico face ao modo como a informao apresentada; comunicar raciocnios e/ou argumentos matemticos quer na forma oral e/ou escrita.

    Realizar um trabalho de projecto, partindo de uma situao problemtica da vida real relacionada com percursos profissionais, com necessidades industriais ou comerciais (controle de qualidade da cadeia de produo), com rentabilizao de recursos (negociado com os estudantes), garante a concretizao dos objectivos que se pretendem. Por isso, recomenda-se que se desenvolva a aprendizagem usando metodologias de trabalho de projecto.

    Temas e contedos

    Estatstica-Generalidades

    Objecto da Estatstica e breve nota histrica sobre a evoluo desta Cincia; utilidade na vida moderna.

    Clarificao de quais os fenmenos que podem ser objecto de estudo estatstico; exemplificao de tais fenmenos com situaes da vida real, salientando o papel relevante da Estatstica na sua descrio.

    Recenseamento e sondagem. As noes de populao e amostra. Compreenso do conceito de amostragem e reconhecimento do seu papel nas concluses estatsticas; distino entre os estudos e concluses sobre a amostra e a

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    correspondente anlise sobre a populao. Noes intuitivas sobre as escolhas de amostras, sobre a necessidade de serem aleatrias, representativas e livres de vcios de concepo.

    Estatstica Descritiva e Estatstica Indutiva.

    Organizao e interpretao de caracteres estatsticos (qualitativos e quantitativos)

    Anlise grfica de atributos qualitativos (grficos circulares, diagramas de barras, pictogramas); determinao da moda;

    Anlise de atributos quantitativos: varivel discreta e varivel contnua. Dados agrupados em classes.

    Varivel discreta; funo cumulativa. Varivel contnua: tabelas de frequncias (absolutas, relativas e relativas acumuladas); grficos

    (histograma, polgono de frequncias); funo cumulativa.

    Medidas de disperso de uma amostra: amplitude; varincia; desvio padro; amplitude interquartis.

    Medidas de localizao de uma amostra: moda ou classe modal; mdia; mediana; quartis. Discusso das limitaes destas estatsticas. Diagramas de extremos e quartis

    Referncia a distribuies bidimensionais (abordagem grfica e intuitiva)

    Diagrama de disperso; dependncia estatstica; ideia intuitiva de correlao; exem\-plos grficos de correlao positiva, negativa ou nula.

    Coeficiente de correlao e sua variao em [ -1, 1 ]. Definio de centro de gravidade de um conjunto finito de pontos; sua interpretao fsica. Ideia intuitiva de recta de regresso; sua interpretao e limitaes.

    Recursos

    O ensino e a aprendizagem da Estatstica pressupe a possibilidade de uso de materiais e equipamentos diversificados:

    quadro quadriculado e papel milimtrico; meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); livros para consulta, manuais e dossiers do projecto ALEA/INE; outros materiais escritos (folhas com dados estatsticos, fichas de trabalho, fichas de avaliao,

    ...);

    calculadoras grficas com possibilidade de utilizao de programas; computadores, projectores de video, datashow, software estatstico especfico e folhas de

    clculo;

    sensores de recolha de dados quer para as calculadoras grficas quer para os computadores. Prev-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados estatsticos (autarquias, clubes, hospitais, empresas, institutos, cooperativas,...) incluindo CD-ROM e Internet - http://www.ine.pt http://alea-estp.ine.pt/

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    Sugestes metodolgicas

    Deve-se chamar a ateno para o papel relevante desempenhado pela Estatstica em todos os campos do conhecimento. Sendo a Estatstica a Cincia que trata dos "dados", num procedimento estatstico esto envolvidas, de um modo geral, duas fases: uma fase de organizao dos dados recolhidos, em que se procura reduzir, de forma adequada, a informao neles contida - Estatstica Descritiva, e uma segunda fase, em que se procura tirar concluses e tomar decises para um conjunto mais vasto, de onde se recolheram os dados - Inferncia Estatstica. Existe, no entanto, uma fase pioneira, que diz respeito aquisio dos prprios "dados". Deve realar-se a importncia de, ao iniciar qualquer estudo estatstico, proceder cuidadosamente ao planeamento da experincia que conduz recolha dos "dados" que sero objecto de tratamento estatstico.

    Deve chamar-se a ateno para o facto de que a organizao dos dados, consiste em resumir a informao neles contida atravs de tabelas, grficos e algumas medidas, a que damos o nome de "estatsticas". Nesta fase, em que se substitui todo o conjunto dos dados, por um sumrio desses dados, devem-se tomar as devidas precaues, pois nem todos os instrumentos de reduo de dados se aplicam a todos os tipos de dados. Assim, de entre esses processos deve-se ter presente quais os mais adequados e em que situaes ou no convenientes aplic-los. A ttulo de exemplo referimos o facto de no ter qualquer sentido calcular a mdia para dados de tipo qualitativo, mesmo que as diferentes categorias assumidas pela varivel em estudo estejam representadas por nmeros.

    Generalizando o estudo de uma nica varivel, faz-se uma introduo ao estudo dos dados bivariados, insistindo na representao grfica sob a forma do diagrama de disperso ou diagrama de pontos. Quando, a partir desta representao, se verificar uma tendncia para a existncia de uma associao linear entre as duas variveis em estudo, identifica-se uma medida que quantifica o grau de associao - o coeficiente de correlao, assim como se apresenta um modelo matemtico que permitir, conhecido o valor de uma das variveis, obter uma estimativa para o valor da outra

    Sugestes de Avaliao

    Na modalidade de frequncia presencial, a avaliao contnua, estando os alunos integrados em turmas com sujeio ao dever de assiduidade.

    Para a avaliao sumativa destes estudantes, os professores devem recorrer a vrios instrumentos de avaliao (testes, trabalhos e relatrios, estudos e composies, etc) adequados diversidade de aprendizagem e aos contextos em que ocorrem, no ocupando mais de 4 unidades lectivas de 90 minutos. Actividades como construo de modelos necessrios para a compreenso e representao de situaes em estudo e relatrios respectivos podem e devem ser apreciadas como provas de avaliao.

    A forma de transformao dos dados recolhidos em classificaes da estrita competncia do departamento curricular, sendo que esta classificao obtida decisiva para a capitalizao do mdulo, ao fim das 10 semanas lectivas (ou do 3 perodo). Recomendamos vivamente que o peso dos testes escritos no ultrapasse metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliao.

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    Mdulo 4 Geometria no Plano e no Espao II 12 semanas - 36 unidades lectivas de 90 minutos

    Competncias a desenvolver:

    Neste mdulo de Geometria no Plano e no Espao, a competncia matemtica inclui os seguintes aspectos:

    a aptido para elaborar, analisar e descrever modelos para fenmenos reais utilizando trigonometria bsica e conceitos trigonomtricos generalizados;

    a capacidade de apreciar a geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilizao de ideias geomtricas em diversas situaes e na comunicao;

    a aptido para utilizar a visualizao, a representao e o raciocnio espacial na anlise de situaes problemticas realistas e na resoluo de problemas;

    a aptido para formular argumentos vlidos recorrendo visualizao e ao raciocnio espacial, explicitando-os em linguagem corrente;

    a aptido para reconhecer e analisar propriedades de figuras geomtricas e relacion-las com condies que as podem definir em referenciais o.n. ;

    a aptido para descrever a realidade, enfrentar situaes e resolver problemas utilizando diversos sistemas matemticos (relaes entre elementos do espao e propriedades, coordenadas e vectores.)

    a aptido para fazer e investigar matemtica recorrendo modelao com uso das tecnologias; a aptido para elaborar modelos geomtricos e grficos para situaes de planeamento de

    produo ou outras que exijam a procura de valores ptimos e apoio s tomadas de deciso;

    a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situaes problemticas e os seus resultados;

    a capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com aspecto grfico cuidado os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatrios, monografias,

    a capacidade de usar uma heurstica para a resoluo de problemas.

    Objectivos de aprendizagem

    Neste mdulo de Geometria no Plano e no Espao, os objectivos de aprendizagem so os seguintes:

    apropriar alguns conceitos e tcnicas associadas para serem utilizados como ferramentas na resoluo de problemas que envolvam razes trigonomtricas do ngulo agudo, compreenso e interveno sobre fenmenos peridicos e seu desenvolvimento;

    construir modelos (e maquetes) apropriadas, teis resoluo dos problemas e generalizao das noes de ngulo e arco, bem como de conceitos como o de radiano, por exemplo, e as definies de seno, co-seno e tangente de um nmero real;

    identificar as vantagens do uso de referenciais e crculo trigonomtrico; resolver problemas dentro de situaes que exijam a resoluo de equaes trigonomtricas

    simples, a compreenso das caractersticas das funes circulares (simetria, paridade e periodicidade);

    escrever condies definidoras de conjuntos de pontos e lugares geomtricos, agora com o apoio acrescido da definio e propriedades do produto escalar de dois vectores;

    resolver problemas de geometria no plano e no espao, por vrios processos e perspectivas de abordagem (sinttica, analtica e vectorial).

    determinar equaes e inequaes que representem rectas, planos e domnios;

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    resolver problemas de programao linear; comunicar, oralmente e por escrito, aspectos dos processos de trabalho e crtica dos

    resultados.

    Temas e contedos

    Resoluo de problemas que envolvam tringulos. ngulo e arco generalizados:

    radiano;

    expresso geral das amplitudes dos ngulos com os mesmos lados, em graus e radianos.

    Funes seno, co-seno e tangente: definio; variao (estudo no crculo trigonomtrico);

    comparao de senos e co-senos de dois nmeros reais.

    Expresso geral das amplitudes dos ngulos com o mesmo seno, co-seno ou tangente. Equaes trigonomtricas elementares. Produto escalar de dois vectores no plano e no espao:

    definio e propriedades;

    expresso do produto escalar nas coordenadas dos vectores em referencial ortonormado.

    Perpendicularidade de vectores e de rectas; equao cartesiana do plano definido por um ponto e o vector normal.

    Interseco de planos e interpretao geomtrica: resoluo de sistemas;

    equaes cartesianas da recta no espao.

    Paralelismo e perpendicularidade de rectas e planos (interpretao vectorial). Programao linear - breve introduo. Domnios planos - interpretao geomtrica de condies

    Recursos

    O ensino e a aprendizagem da Geometria precisa de

    material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (rgua, esquadro, compasso,transferidor,...);

    material para o estudo da Geometria no espao (slidos geomtricos, construdos em diversos materiais: placas, arames, palhinhas, acetatos, acrlico, plstico, polydron, slidos de enchimento,...);

    quadro quadriculado e papel milimtrico; meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); livros para consulta e manuais; calculadoras grficas com possibilidade de utilizao de programas e viewscreen; computadores e projectores de video, datashow; software de geometria dinmica analtica e

    produo de grficos;

    sensores de recolha de dados quer para as calculadoras grficas quer para os computadores.

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    Prev-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados, incluindo CD-ROM e Internet.

    Sugestes metodolgicas

    No ensino bsico, os estudantes tiveram contacto com a semelhana de tringulos e com a trigonometria, logo o professor deve propor, agora, problemas variados, ligados a situaes concretas, que permitam recordar e aplicar mtodos trigonomtricos (problemas ligados a slidos, a moldes, navegao, topografia, histricos,...) bem como aperceberem-se da importncia da Trigonometria para as vrias Cincias. Os estudantes devem ser solicitados a deduzir as razes trigonomtricas em /6, /4 e /3 radianos por se considerar que importante que se conheam alguns valores exactos das funes trigonomtricas, nomeadamente para que mais tarde possam confirmar pontos do traado de grficos de funes trigonomtricas. Isto no significa que se trabalhe preferencialmente com estes valores, at porque se usa a calculadora.

    A compreenso do crculo trigonomtrico fundamental. A generalizao das noes intuda e sistematizada a partir de actividades que considerem movimentos circulares pretendendo-se, agora, que, ao resolver problemas, os estudantes recordem os conceitos bsicos de trigonometria do ngulo agudo e se enfrentem situaes novas em que a generalizao das noes de ngulo e arco, bem como das razes trigonomtricas, apaream como necessrias e intuveis.

    Pretende-se que os estudantes aprendam os conceitos de funo peridica e de funes trigonomtricas como modelos matemticos adequados a responder a problemas. necessrio que se apercebam da diferena em trabalhar por exemplo com sen(1) em graus e radianos de modo a ter sempre bem presente em que modo est a calculadora e interpretar convenientemente os resultados. Recorrendo ao crculo trigonomtrico as relaes entre as funes circulares de ngulos suplementares

    e complementares , 2

    , 2

    + , , + e aparecem naturalmente aos estudantes mobilizando unicamente a compreenso dos conceitos j adquiridos. No tem pois sentido que lhes sejam propostos exerccios rotineiros em que estas relaes intervenham. No vale a pena sequer privilegiar estes valores. Podem propor-se bons problemas que lhes permitam desenvolver a aptido para reconhecer ou analisar propriedades de figures geomtricas. importante verificar que se mantm

    as relaes: sen2x + cos2 x =1, tgx = senxcos x

    e 1+ tg2x = 1cos2 x

    que devem ser usadas na

    determinao de uma funo trigonomtrica, conhecida outra.

    Recorrendo compreenso, sempre ligada interpretao do crculo trigonomtrico, os estudantes desenvolvem a aptido para mobilizar os conceitos j aprendidos com vista resoluo de condies simples. Assim as tcnicas de resoluo de equaes no passam por listas exaustivas de frmulas. Os estudantes desenvolvem a sua capacidade de transferir conhecimentos para novas situaes (sempre ligadas compreenso do crculo trigonomtrico). Pode ser feita uma breve referncia aos grficos das funes trigonomtricas

    podendo utilizar-se uma actividade de movimento circular que permita, por exemplo, passar do crculo trigonomtrico para os pontos (x,senx) do plano cartesiano. Podem propor-se algumas situaes do mbito da Fsica como forma de recordar e ampliar alguns aspectos do clculo vectorial, designadamente, o trabalho de uma fora. Como actividades de aplicao do conceito estudado, aparecem a determinao do ngulo de duas rectas e do declive de uma recta como tangente da inclinao no caso da equao reduzida da recta no plano. Tambm, como aplicao importante deste novo conceito, os estudantes encontraro a condio de perpendicularidade de vectores bem como novas formas de definir conjuntos seus conhecidos (no plano: mediatriz, circunferncia ou recta tangente a uma circunferncia num ponto dado; no espao: plano mediador e superfcie esfrica). Poder aparecer, ainda, como aplicao do conceito de produto escalar de dois vectores a deduo da frmula do desenvolvimento de cos(x y) . O estudante encontra a equao cartesiana de um plano como outra aplicao do mesmo conceito.

    As equaes cartesianas da recta decorrem do estudo da interseco de planos, embora tambm os

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    estudantes as possam encontrar a partir da equao vectorial da recta estudada no 10 ano.

    Os estudantes recorrem aos conhecimentos de clculo vectorial j adquiridos para estabelecer, partindo sempre da visualizao, as condies de paralelismo e perpendicularidade no espao.

    A programao linear vai permitir ao estudante aplicar na resoluo de problemas de extrema simplicidade e utilidade (e que se apresentam hoje no domnio da Economia) conceitos aprendidos no 10 e ampliados no 11 ano.

    Recorda-se novamente que se d a maior nfase anlise e interpretao de figuras quer planas quer tridimensionais pois, o estudante, para resolver problemas da vida corrente ou relacionados com reas da engenharia, arquitectura,... precisa de usar intuio e raciocnios geomtricos. Ao professor compete assegurar que, neste estudo da Geometria, o estudante no se limita "manipulao" de condies desligadas de situaes concretas, sem qualquer esforo de interpretao. A aprendizagem dos novos conceitos aparece ligada resoluo de problemas como prolongamento da geometria estudada no ano anterior (agora o estudante poder justificar propriedades das figuras usando as suas representaes em coordenadas)

    Sugestes de Avaliao

    Na modalidade de frequncia presencial, a avaliao contnua, estando os alunos integrados em turmas com sujeio ao dever de assiduidade.

    Para a avaliao sumativa destes estudantes, os professores devem recorrer a vrios instrumentos de avaliao (testes, trabalhos e relatrios, estudos e composies, etc) adequados diversidade de aprendizagem e aos contextos em que ocorrem, no ocupando mais de 4 unidades lectivas de 90 minutos. Actividades como construo de modelos necessrios para a compreenso e representao de situaes em estudo e relatrios respectivos podem e devem ser apreciadas como provas de avaliao.

    A forma de transformao dos dados recolhidos em classificaes da estrita competncia do departamento curricular, sendo que esta classificao obtida decisiva para a capitalizao do mdulo, ao fim das 12 primeiras semanas (ou do 1 perodo). Recomendamos vivamente que o peso dos testes escritos no ultrapasse metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliao.

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    Mdulo 5 Funes racionais e com radicais. Taxa de variao e derivada.

    11 semanas - 33 unidades lectivas de 90 minutos

    Competncias a desenvolver:

    Neste mdulo de Funes e Taxa de Variao, a competncia matemtica inclui os seguintes aspectos:

    a aptido para fazer e investigar matemtica recorrendo modelao com uso das tecnologias; a aptido para elaborar, analisar e descrever modelos para fenmenos reais utilizando funes

    racionais e com radicais;

    a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situaes problemticas e os seus resultados;

    a capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com aspecto grfico cuidado os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatrios, monografias,

    a capacidade de usar uma heurstica para a resoluo de problemas; a capacidade para resolver algbrica e graficamente equaes e inequaes envolvendo

    trabalho com polinmios e com expresses racionais e com radicais;

    a capacidade de utilizar o conceito de taxa mdia de variao e de taxa de variao/derivada para tirar concluses sobre crescimento e rapidez de crescimento de funes na resoluo de problemas em contexto de Matemtica, Fsica, Economia e de outras cincias.

    Objectivos de aprendizagem

    Neste mdulo de funes, os objectivos de aprendizagem so os seguintes:

    elaborar modelos para situaes da realidade e de outras cincias, utilizando diversos tipos de funes;

    usar modelos de regresso (com recurso calculadora) na resoluao de problemas; fazer o estudo de funes (domnio, extremos se existirem, zeros, intervalos de monotonia,

    assimptotas) descrevendo e interpretando no contexto da situao;

    reconhecer que o mesmo tipo de funo pode ser um modelo de diferentes situaes realistas; traduzir representaes descritas por tabelas ou grficos; analisar os efeitos das mudanas de parmetros nos grficos de funes; usar cenrios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matemticos; utilizar a calculadora para realizar simulaes e experincias matemtcas com elaborao e

    anlise de conjecturas;

    abordar, de forma experimental, o conceito de limite (a formalizar no 12 ano) e utiliz-lo de forma intuitiva para interpretar situaes.

    usar manipulaes algbricas para resolver equaes e inequaes, envolvendo polinmios, expresses racionais e irracionais;

    usar mtodos grficos para resolver condies cuja resoluo com mtodos algbricos no esteja ao alcance dos estudantes;

    compreender e utilizar a soma,diferena, produto, quociente e composio de funes no contexto do estudo de funes racionais;

    compreender e utilizar o conceito de funo inversa; utilizar linguagem matemtica adequada na elaborao, anlise e justificao de conjecturas ou

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    na comunicao de concluses.

    Temas e contedos

    Resoluo de problemas envolvendo funes ou taxa de variao. Estudo intuitivo das propriedades das funes e dos seus grficos, tanto a partir de um grfico

    particular como usando calculadora grfica, para a seguinte classe de funes: f (x) = a + bcx + d

    . Neste estudo enfatiza-se a anlise dos efeitos das mudanas dos parmetros nos grficos das funes de uma mesma classe.

    Conceito intuitivo de limite, de + e de . Noo de taxa mdia de variao; clculo da taxa mdia de variao. Noo de taxa de variao; obteno da taxa de variao (valor para que tende a t.m.v. quando

    a amplitude do intervalo tende para zero) em casos simples.

    Interpretao geomtrica da taxa de variao; definio de derivada (recorrendo noo intuitiva de limite).

    Determinao da derivada em casos simples: funo afim, funes polinomiais do 2 e 3 grau, funo racional do 1 grau, funo mdulo.

    Constatao, por argumentos geomtricos, de que:

    i. se a derivada positiva num intervalo aberto a funo crescente nesse intervalo e, se a derivada negativa num intervalo aberto a funo decrescente nesse intervalo;

    ii. se a funo derivvel num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto desse intervalo ento a derivada nula nesse ponto.

    (*) Referncia hiprbole; informao das suas principais propriedades e da sua importncia histrica.

    Funes definidas por dois ou mais ramos (cujo domnio um intervalo ou unio de intervalos). Soma, diferena, produto, quociente e composio de funes no contexto do estudo de

    funes racionais, envolvendo polinmios do 2 e 3 grau.

    Inversa de uma funo. Funes com radicais quadrticos ou cbicos. Operaes com radicais quadrticos e cbicos e com potncias de expoente fraccionrio. Simplificaes de expresses com radicais (no incluindo a racionalizao).

    Recursos

    O ensino e a aprendizagem das funes reais de varivel real pressupe a possibilidade de uso de materiais e equipamentos diversificados:

    material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (rgua, esquadro, compasso, transferidor,...);

    quadro quadriculado e papel milimtrico; meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); livros para consulta e manuais; calculadoras grficas com possibilidade de utilizao de programas e viewscreen; computadores e projectores de video, datashow; software de geometria dinmica analtica e

    produo de grficos;

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    sensores de recolha de dados quer para as calculadoras grficas quer para os computadores. Prev-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados e informaes, incluindo CD-ROM e Internet.

    Sugestes metodolgicas

    A resoluo de problemas prolonga-se por todo este tema abrangendo progressivamente as novas classes de funes. Pretende-se que os estudantes recordem propriedades das funes e apreendam intuitivamente o conceito de taxa de variao de preferncia num contexto de modelao matemtica. Como exemplo sugerem-se as actividades O Jogador de Tnis ou A bola no plano inclinado ver Brochura de Funes 11 ano (pp 99 e 100).

    Ao resolverem problemas como O volume constante, O comprimento de um vinco, Tringulo inscrito ou Intensidade da luz e CBL ver Brochura de Funes 11 ano (pp 90, 117, 118 e 139), os estudantes deparam-se com representantes de novas famlias de funes, que aparecem como boas oportunidades para discutir as noes de domnio de funes nos contextos das situaes por elas modeladas.

    Valem aqui indicaes metodolgicas semelhantes s dadas para o Mdulo 2 Funes e Grficos, pelo que no sero repetidas.

    Sugerem-se as seguintes propriedades:

    domnio, contradomnio, pontos notveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relao ao eixo dos YY e origem, assimptotas, limites nos ramos infinitos.

    Afigura-se necessrio propor problemas envolvendo as funes anteriores e as estudadas no Mdulo 2, tanto sob os aspectos analticos como numricos e grficos. A resoluo de equaes e inequaes fraccionrias aparecem num contexto de resoluo de problemas.

    O conceito de limite, a ser formalizado mais tarde, deve ser utilizado de forma intuitiva (incluindo o de limite lateral esquerdo e direito). Neste contexto devem ser introduzidos os smbolos + e , devendo chamar-se a ateno para o facto de no serem nmeros reais, mas apenas smbolos com um significado preciso. Este conceito deve ser abordado de uma forma experimental.

    Retomando os conhecimentos de polinmios, o estudante dever ser capaz de transformar expresses

    como x2 + 2x +1 em x 1+

    3x +1 ou

    x + 3x +1 em 1+

    2x +1 e observar que, do ponto de vista computacional,

    normalmente se ganha em preciso, pois se efectua um nmero mais reduzido de operaes. Por outro lado esta simplificao permite que se estude o comportamento no infinito sem necessidade de recorrer ao grfico. Contudo, os estudantes devem efectuar este tipo de transformaes e simultaneamente confirmarem pelo grfico da funo, antes de conclurem sobre o limite no infinito de uma funo racional.

    Para calcular derivadas de funes simples, no necessrio invocar questes especiais sobre limites, basta recorrer noo intuitiva. Poderemos pensar no intervalo x0, x[ ] ou x, x0[ ] e na funo f (x) = mx + b e mx + b mx0 + b( )

    x x0 =m x x0( )

    x x0 que, para x x0 , vale m (qualquer que seja a distncia x x0 ). Do mesmo modo, se pode pensar para a derivada de outras funes. Por exemplo, para a

    funo f (x) = kx

    , a taxa mdia de variao no intervalo a,a + h[ ] dada por ( )h+

    =...=h

    -h+

    que

    tende a ser ka 2

    , quando h tende a ser 0. A esta abordagem, est sempre associada a interpretao

    geomtrica para a taxa mdia de variao e para a derivada (declives de secantes e tangentes s curvas das funes).

    Podem ser propostos alguns problemas simples que envolvam derivadas num contexto de aplicaes.

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    Constate-se que quando as tangentes curva de uma funo em todos os pontos de abcissas de um intervalo aberto do seu domnio tm declives positivos (correspondente derivada da funo ser positiva em todos os pontos do intervalo aberto) a funo crescente nesse intervalo. De modo anlogo para os restantes casos. Lembre-se que se opta por considerar que uma funo derivvel num ponto a do seu domnio quando o valor da derivada real: f '(a) IR . No se pretende que os argumentos geomtricos sejam apresentados como prova. Alguns resultados viro a ser demonstrados mais tarde.

    Os casos x3 e x so bons e simples (contra-)exemplos para que os estudantes compreendam que h funes que tm derivada nula num ponto sem que nele haja extremo e que h funes com extremo que no tm derivada real no ponto em que tal acontece.

    No caso da funo inversa os estudantes precisam de analisar os casos em que ser possvel inverter uma funo (poder ser introduzida a noo de injectividade, apenas como noo auxiliar) e devem constatar a relao entre os grficos de uma funo e da sua inversa. Ser necessrio introduzir a noo de raiz ndice n. Tal dever ser feito de forma algbrica. S depois se falar na funo inversa da funo potncia. Grau de dificuldade a no ultrapassar: x + 3 , x + 43 A aplicao das operaes com radicais a abordar pode ser a obteno da equao de uma elipse a partir da sua propriedade focal (dados os focos).

    Sugestes de Avaliao

    Na modalidade de frequncia presencial, a avaliao contnua, estando os alunos integrados em turmas com sujeio ao dever de assiduidade.

    Para a avaliao sumativa destes estudantes, os professores devem recorrer a vrios instrumentos de avaliao (testes, trabalhos e relatrios, estudos e composies, etc) adequados diversidade de aprendizagem e aos contextos em que ocorrem, no ocupando mais de 4 unidades lectivas de 90 minutos. A modelao de funes aqui considerada como tendo um papel importante para a compreenso e representao de situaes em estudo; os relatrios respectivos podem e devem ser apreciadas como provas de avaliao.

    A forma de transformao dos dados recolhidos em classificaes da estrita competncia do departamento curricular, sendo que esta classificao obtida decisiva para a capitalizao do mdulo, ao fim das 11 semanas lectivas (ou do 2 perodo). Recomendamos vivamente que o peso dos testes escritos no ultrapasse metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliao.

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    Mdulo 6 Sucesses Reais. 10 semanas - 30 unidades lectivas de 90 minutos Competncias a desenvolver:

    Neste mdulo de Sucesses Reais, a competncia matemtica inclui os seguintes aspectos:

    a aptido para representar relaes funcionais de vrios modos e passar de uns tipos de representao para outros, usando regras verbais, tabelas, grficos e expresses algbricas e recorrendo, nomeadamente, tecnologia grfica;

    a aptido para elaborar, analisar e descrever modelos para fenmenos reais utilizando modelos discretos;

    a capacidade de identificar padres e regularidades, em contextos numricos e geomtricos, e para formular generalizaes em situaes diversas;

    a capacidade para procurar exemplos e contra exemplos esclarecedores dos conceitos a abordar, incentivando o gosto para investigar propriedades;

    a capacidade para passar da escrita em linguagem corrente para linguagem simblica dos diversos conceitos que devem ser aplicados em exerccios simples;

    a capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com aspecto grfico cuidado os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatrios, monografias,

    a capacidade de usar uma heurstica para a resoluo de problemas.

    Objectivos de aprendizagem

    Neste mdulo de Sucesses Reais, os objectivos de aprendizagem so os seguintes:

    reconhecer e dar exemplos de situaes em que os modelos de sucesses sejam adequados; utilizar, sempre que possvel, os conhecimentos j adquiridos de funes reais de varivel real; usar a calculadora grfica, ou computadores, (folha de clculo) para trabalhar numrica e

    graficamente com sucesses;

    reconhecer e dar exemplos de situaes em que os modelos de progresses aritmticas ou geomtricas sejam adequados;

    distinguir crescimento linear de crescimento exponencial; investigar propriedades de progresses aritmticas e geomtricas, numrica, grfica e

    analiticamente;

    compreender e utilizar as noes de sucesso montona e de sucesso limitada; compreender e utilizar as noes de infinitamente grande, infinitamente pequeno e de limite de

    uma sucesso;

    resolver problemas usando propriedades de progresses aritmticas e de progresses geomtricas;

    validar conjecturas; fazer raciocnios demonstrativos usando mtodos adequados (mtodo de reduo ao absurdo, mtodo dedutivo - em particular o mtodo de induo matemtica -, utilizao de contra exemplos);

    usar noes de lgica indispensveis clarificao dos conceitos.

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    Temas e contedos

    Sucesses

    Definio e diferentes formas de representao. Estudo de propriedades: monotonia e limitao. Progresses aritmticas e geomtricas: termo geral e soma de n termos consecutivos.

    Estudo intuitivo da sucesso de termo geral 1+ 1n

    nnum contexto de modelao matemtica;

    primeira definio do nmero e.

    Limites

    Infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Limites de sucesses e convergncia. Noo de limite real.

    Ilustrao de alguns resultados que justifiquem a unicidade do limite seguida da demonstrao desse teorema.

    A convergncia das sucesses montonas e limitadas . Exemplos de sucesses montonas no convergentes.

    Exemplos de sucesses limitadas no convergentes.

    Critrio de majorao e teorema das sucesses enquadradas.

    Problemas de limites com progresses . (*) Estudo de casos simples de caos usando sucesses definidas por recorrncia.

    Recursos

    O ensino e a aprendizagem das Sucesses Reais pressupe a possibilidade de uso de materiais e equipamentos diversificados:

    material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (rgua, esquadro, compasso, transferidor,...);

    quadro quadriculado e papel milimtrico; meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); livros para consulta e manuais; calculadoras grficas com possibilidade de utilizao de programas e viewscreen; computadores e projectores de video, datashow; software de geometria dinmica analtica e

    produo de grficos;

    sensores de recolha de dados quer para as calculadoras grficas quer para os computadores. Prev-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados e informaes, incluindo CD-ROM e Internet.

    Sugestes metodolgicas

    As sucesses aparecem como uma forma de organizar possveis resolues para situaes

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    problemticas que so apresentadas, com base em aspectos da realidade (social) e em aspectos do estudo das diversas cincias (Matemtica includa). O estudo das sucesses pode e deve servir para evidenciar conexes entre a matemtica e as outras disciplinas: a introduo do conceito de sucesso e das suas propriedades pode ser feita propondo vrios problemas. Exemplos sugestivos podem versar assuntos diversos: da geometria por exemplo, comprimento da espiral construda a partir de quartos de circunferncias; da economia por exemplo, problemas com emprstimos ou depsitos bancrios com juros sobre um capital constante (ou varivel); da biologia por exemplo, clculo do nmero de elementos de uma populao considerado um determinado modo de reproduo de cada elemento,...

    O estudo das sucesses como funes de varivel natural deve ser feito s depois de terem sido construdos vrios exemplos/modelos. Mas a escrita de expresses para os termos gerais das sucesses deve ser procurada como forma de representar as situaes que se vo descrevendo. Do mesmo modo se podem introduzir as noes de termo, de ordem, ou at de razo, etc. O estudo da monotonia, minorantes, majorantes, etc pode ser feito medida que vo aparecendo como aspectos a considerar durante a resoluo dos diferentes problemas. Do mesmo modo, podem ser abordadas as propriedades de certas sucesses (progresses). Estes problemas podem ainda servir para introduzir a definio por recorrncia, para casos simples.

    Os estudantes podem utilizar livremente a calculadora para procurar responder aos problemas que lhes so propostos e devem procurar formas prprias de organizao e expresso para a modelao das situaes. O professor deve explorar o uso da calculadora e ajudar a construir tabelas, a desenhar e a interpretar grficos. S depois de serem experimentadas variadas redaces, so introduzidas as redaces simblicas consagradas. As redaces simblicas sero testadas com exerccios rpidos.

    Depois de se terem introduzido as noes de sucesso como funo de varivel natural, de ordem, de termo geral, etc. podem apresentar-se exemplos de sucesses definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora grfica, atravs de clculos e representaes grficas de sequncias de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno e de limite de uma sucesso. Cada definio deve ser suportada por exemplos e contra-exemplos que esclaream as ideias imediatas e corrijam eventuais concepes alternativas e erradas.

    bom que os estudantes utilizem conhecimentos j adquiridos sobre algumas funes reais de varivel real e os transfiram com as devidas cautelas para as sucesses. importante que se aproveitem momentos como este para obrigar os estudantes a reflectir (pedindo-lhes contra-exemplos em que os recprocos nem sempre so vlidos.). Deste modo, os estudantes ganham confiana nos seus prprios saberes e compreendem as novas aquisies como complementares e facilitadoras, aprofundamentos das suas competncias para dar respostas a situaes cada vez mais complexas.

    As definies so estabelecidas em linguagem corrente seguindo as concluses a tirar de cada exemplo e contra-exemplo. Aps cada redaco em linguagem corrente deve ser estabelecida uma redaco em simbologia matemtica e devem ento ser aplicados exerccios rpidos em que as definies simblicas sejam testadas.

    O estudante poder ser solicitado a estudar, por exemplo, a curva de Von Koch ou o poliedro fractal. Os estudantes encontraro assim uma interessante caracterstica das figuras fractais enquanto utilizam propriedades das progresses. Descobriro que tm comprimento (ou superfcie) infinito e uma superfcie (ou volume) finita (quer a tratem no plano ou no espao)

    Sugestes de Avaliao

    Na modalidade de frequncia presencial, a avaliao contnua, estando os alunos integrados em turmas com sujeio ao dever de assiduidade.

    Para a avaliao sumativa destes estudantes, os professores devem recorrer a vrios instrumentos de avaliao (testes, trabalhos e relatrios, estudos e composies, etc.) adequados diversidade de aprendizagem e aos contextos em que ocorrem, no ocupando mais de 4 unidades lectivas de 90 minutos. Actividades como construo de modelos necessrios para a compreenso e representao de situaes em estudo e relatrios respectivos podem e devem ser apreciadas como provas de avaliao.

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    A forma de transformao dos dados recolhidos em classificaes da estrita competncia do departamento curricular, sendo que esta classificao obtida decisiva para a capitalizao do mdulo, ao fim das 10 semanas lectivas (ou do 3 perodo). Recomendamos vivamente que o peso dos testes escritos no ultrapasse metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliao.

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    Mdulo 7 Probabilidades e Combinatria. 12 semanas - 36 unidades lectivas de 90 minutos

    Competncias a desenvolver:

    Neste mdulo de Probabilidades e Combinatria, a competncia matemtica inclui os seguintes aspectos:

    a aptido para compreender a diferena entre fenmeno determinstico e fenmeno aleatrio; a capacidade para construir modelos de probabilidade para situaes simples em que se

    admita como razovel a equiprobabilidade dos aco