MATEMÁTICA FINANCIAMENTOS FINANCEIRA · FINANCEIRA Financiamentos Exercícios Prof. Walter Sousa (CESPE)SeumadívidadeR$8.000,00forpagapelosistemade amortização constante (SAC),

MATEMÁTICA FINANCEIRA

FINANCIAMENTOS

Prof. Walter Sousa

Um fluxo de caixa (PMT) representa o movimento de entradas(recebimentos) e saídas (desembolsos) de capitais ao longo de umuniverso temporal.

Os empréstimos e financiamentos de diferentes tiposenvolvem uma sequência de desembolsos/recebimentos deprestações.

O que é Fluxo de Caixa ?

Os empréstimos e financiamentos de diferentes tiposenvolvem uma sequência de desembolsos/recebimentos deprestações.

Os financiamentos são feitos geralmente com uma entrada (E)e a parte restante a financiar (F), que corresponde à diferença entreo preço a vista e o valor da entrada.

Financiamentos

•Postecipados: Indica que os fluxos de pagamentos ourecebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo detempo.•Antecipados: Indica que a serie de valores começa a ocorrer antesdo final do primeiro período.

•Diferido (Carência): O início do fluxo de pagamentos ourecebimentos ocorre após o final do primeiro período, constituindo oque, em matemática financeira, chamamos carência.

Fluxo de Caixa - Período de Ocorrência

•Periódicos: É quando os intervalos entre os termos do fluxo são constantes, idênticos entre si.

•Não periódicos: O intervalo entre os fluxos é variável.

Periodicidade

• Limitados: É finito o número de termos, de modo que o prazo total do fluxo é conhecido.• Indeterminados: O prazo não é conhecido previamente, gerando

uma série de pagamentos infinita.

Duração

•Constantes: Os valores componentes do fluxo de caixa são iguaisentre si.

•Variáveis: Os valores componentes do fluxo de caixa são variáveis.

Valores - Parcelas

F = Valor financiadoP = Valor da parcelan = Prazo do financiamento! = Taxa de juros efetiva do financiamentoA = Cota de amortizaçãoSd(n) = Saldo devedor no período n

Financiamentos - termos

Ø Sistema de Amortização Constante (SAC)Trata-se de um sistema em que a cota de amortização (A) é fixa,

constante, a cada período, o que implica prestações maiores no iníciodo fluxo de pagamentos, reduzindo-se aos poucos.Termosa) Valor financiado (F): Diferença entre o valor à vista e o valor daentrada no financiamento.b) Amortização (A): Valor que reduz o saldo devedor, no processo deextinção da dívida. No SAC, é constante.c) Parcela (P): Valor pago a cada período. No SAC, é variável.d) Juros (J): O valor dos juros pagos em cada parcela.

Relação principal: P = A + J

Financiamentos

Ø Cálculo da Amortização (A) Constante! = #

$

Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é ovalor da cota de amortização?

Sistema de Amortização Constante - SAC

Ø Cálculo do Saldo devedor• O saldo devedor após o pagamento da parcela k é igual ao número de

parcelas em aberto (n – k) vezes a cota de amortização (A).

• Sd(k) = (" − $) & '

Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4

parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é o

valor do saldo devedor após o pagamento da 3ª prestação?


Ø Cálculo dos juros inclusos na parcela k• O valor dos juros inclusos na parcela índice k corresponde à taxa dejuros (i) do financiamento sobre o saldo devedor anterior aopagamento da parcela, !"#$%.

• '# = ) * !"#$%

Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é ovalor do componente dos juros inclusos na 3ª prestação?


Ø Cálculo dos juros totais• O valor total dos juros pagos no financiamento é igual ao somatório dos

juros pagos em cada parcela, podendo ser calculado pela relação:

!" = 1% & ' + 2% & ' + 3% & ' + ⋯ .+-% & '!" = (1 + 2 + 3 +⋯+ -) & ' & %!" = 0&(012)

3 & ' & %

Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4 parcelasmensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é o valor dos jurostotais pagos?


(CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após oempréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, peloSistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, daquarta prestação será

(A)50,00(B) 52,00(C) 54,00(D) 56,00(E) 58,00

Exemplo - SAC

Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeiradelas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor,pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestaçãoserá

Planilha do Financiamento

Mês Juros Amortização Parcela Saldo devedor

0 - - - 300123456

Ø Sistema de Amortização Francês (SAF) - PRICESegue o modelo do fluxo de caixa padrão, com parcelas constantes nofinanciamento. Também chamado Sistema Francês ou Sistema Price. Ovalor atual (valor financiado) do fluxo é representado pela soma dosvalores atuais de todas as parcelas, conforme abaixo.

! = #(1 + ')) +

#(1 + ')* +

#(1 + ')+ + ⋯+ #

(1 + ')-

Financiamentos

Ø Fator de valor atual -!",$% = '

()*+)- +'

()*+)/ +'

()*+)0 + ⋯+ '()*+)2

% = 3 4 [ )()*+)- +

)()*+)/ +

)()*+)0 + ⋯+ )

()*+)2]

67,+ = ()*+)28)()*+)24+

67,+ = )8 )*+ 92+

% = 3 4 67,+

Sistema Francês - Price

Ø Fator de valor atual -!",$O fator de valor atual pode ser tabelado.

Exemplo: Um veículo, no valor de R$ 20.000,00, é financiado, sementrada, no sistema francês, a uma taxa de 2% ao mês, em 12 parcelasmensais e postecipadas. Qual é o valor da prestação? Dado 1,02789 =0,7885


Sistema de Amortização Francês (SAF) – PRICE

ØParcelas (P) constantes. ! = # $ %&,(ØAmortização crescente (PG)ØJuros decrescentes

p

1 2 n

(CESPE) Determinado produto, cujo preço à vista é igual a R$12.000,00, pode ser comprado em 6 prestações postecipadas (aprimeira é paga um mês após a compra), mensais e iguais, à taxa dejuros de 8% ao mês. Nesse caso, considerando-se 0,80 como valoraproximado para 1,08-3, é correto afirmar que o valor de cadaprestação será

A) inferior a R$ 2.400,00.B) superior a R$ 2.400,00 e inferior a R$ 2.500,00.C) superior a R$ 2.500,00 e inferior a R$ 2.600,00.D) superior a R$ 2.600,00 e inferior a R$ 2.700,00.E) superior a R$ 2.700,00.

Exemplo – SAF(PRICE)

Ø Fator de recuperação de capitalÉ o inverso do valor fator de valor atual: !

"#,%

&',( = (!+()#-!(!+()#.(

&',( = !- !+( /#(

0 = 1 . &',( ⇒ 1 = 3"#,%

⇒ 1 = 0 . !"#,%


(CESPE) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver umempréstimo no valor de R$ 15.000,00 em 10 prestações mensais eiguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominalde 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado oSistema Frances de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa dejuros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação deCapital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos jurosincluídos no pagamento da segunda prestação é

a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00d) R$ 266,70 e) R$ 256,60

Exemplo

F = R$ 15.000,00

n = 10 prestações mensais e iguais.

taxa: 24% ao ano, com capitalização mensal.

o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos e 2%) é igual a 0,111. O respectivo valor dosjuros incluídos no pagamento da segunda prestação é

Exemplo

(CESPE) Um empréstimo de R$ 38.000,00 deve ser quitado pelosistema francês de amortização em 5 parcelas mensais . Aprimeira parcela vence 1 mês após a data em que o compromissofoi assumido. A taxa de juros compostos cobrada pelo credor é de10% ao mês. Supondo que 1,1#$ = 0,62, calcule o valor daprestação e faça a planilha do financiamento.

Exemplo - SAF

A planilha do financiamento. P = R$ 10.000,00Exemplo - SAF

Ø Valor futuro de uma série de pagamentos iguaisÉ o montante total obtido a partir de uma série de

pagamentos ou depósitos de mesmo valor e capitalizados a umamesma taxa de juros compostos.

Queremos um processo de formação de capital, com oobjetivo de se obter determinado montante de valores no futuro.

Mt

Rendas Uniformes – Acumulação de capital

Ø Fator de acumulação de Capital para uma série de pagamentos iguais – !",$

%& = ( + ((1 + ,).+⋯+ ((1 + ,)01.

%& = ( 2 [1 + 1 + , . +⋯+ 1 + , 01.]

%& = ( 2 56, ,56, , = (.78)91.

8O fator de acumulação pode ser tabelado!

Rendas Uniformes – Acumulação de capital

(FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco queremunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentesaos depósitos realizados é igual a

a) R$ 52.800,00b) R$ 52.246,00c) R$ 55.692,00d) R$ 61.261,20e) R$ 63.888,00

Gab. C)

Exemplo

(FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa dejuros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montanteigual ao gerado por uma aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxade juros compostos de 25% ao ano, durante doze meses. Desprezando-se oscentavos, o valor da aplicação de valor único é de

a) R$ 217.272,00b) R$ 231.816,00c) R$ 254.998,00d) R$ 271.590,00e) R$ 289.770,00

Gab.: C

Exemplo


FinanciamentosExercícios

Prof. Walter Sousa

(CESPE) Se uma dívida de R$ 8.000,00 for paga pelo sistema deamortização constante (SAC), em cinco prestações mensais,consecutivas, com a primeira prestação vencendo um mês após adívida ter sido contraída, e a taxa mensal de juros for de 5%, então, ovalor da quarta prestação, em reais, será

A) inferior a 1.800.B) superior a 1.800 e inferior a 1.850.C) superior a 1.850 e inferior a 1.900.D) superior a 1.900.

Gab.: A)

Questão 1

(FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelasmensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de AmortizaçãoConstante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 diasda data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento daquarta prestação, era dea) R$ 2.260,00b) R$ 1.350,00c) R$ 1.500,00d) R$ 1.750,00e) R$ 1.800,00Gab.: E)

Questão 2

(FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante(SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décimaprestação deverá sera) R$ 2 950,00b) R$ 3 000,00c) R$ 3 050,00d) R$ 3 100,00e) R$ 3 150,00Gab.: C)

Questão 3

(FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado paraser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo aprimeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo.Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa dejuros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor dapenúltima prestação em(A) R$ 3.625,00.(B) R$ 3.687,50.(C) R$ 3.750,00.(D) R$ 3.812,50.(E) R$ 3.875,00.Gab.: A)

Questão 4

(CESPE) Para a reforma de sua casa, uma pessoa obteve umfinanciamento de R$ 12.000,00, pelo Sistema de AmortizaçãoConstante (SAC), à taxa nominal de juros de 8% ao ano, compagamentos semestrais e postecipados e com prazo deamortização de 2 anos. A planilha do financiamento é apresentadaparcialmente na figura abaixo.

Questão 5

Questão 5

Considerando a situação acima, julgue os itens.

1) O valor dos juros pagos no final do primeiro semestre é igual a R$960,00.

2) O saldo devedor ao final do primeiro semestre é igual a R$ 8.520,003) A amortização ao final do segundo semestre é inferior a R$ 2.300,004) O total de juros pagos corresponde a 10% do valor financiado.5) O valor da última prestação corresponde à soma da amortização

acrescida de 1% do valor financiado.Gabarito: E E E C C

Questão 5

(Cesgranrio/BB) Arthur contraiu um financiamento para a compra de umapartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema deAmortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com umprazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará umaentrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. Asprestações começam um mês após a assinatura do contrato e sãocompostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior,seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano edespesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. A partir dessasinformações, o valor, em reais, da segunda prestação prevista na planilha deamortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo dereajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, éigual a

Questão 6

valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), taxa de jurosde 1% ao mês prazo de 20 anos. Entrada no valor de 50 mil reais.prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas deamortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25reais.o valor, em reais, da segunda prestação é(A) 2.087,25(B) 2.218,75(C) 2.175,25(D) 2.125,00(E) 2.225,00Gabarito:b)

Questão 6

Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestaçõesmensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta diasapós a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito peloSistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de jurosde 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldodevedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitavaprestação é de

(A) 4.000 (B) 4.080 (C) 4.800(D) 4.880 (E) 5.000

Questão 7

RacunhoQuestão 7

(CESPE) Considere que um empréstimo de R$ 42.000,00 deva ser pagoem 16 prestações anuais e sucessivas, com a primeira vencendo 1 anoapós a tomada do empréstimo. Sabendo-se que a taxa de juroscompostos cobrada é de 12% ao ano e tomando-se 0,16 como valoraproximado para 1,12$%& , julgue os itens que se seguem.(1) Se for usado o sistema de amortização constante para quitar odébito, então a primeira prestação será superior a R$ 7.500,00.(2) Se o sistema de amortização francês for adotado na quitação doempréstimo, então a primeira prestação será superior a R$ 7.000,00.(3) O total de juros pago na primeira prestação, caso o sistema deamortização francês seja o adotado, será igual a R$ 5.040,00.

Questão 8

RacunhoQuestão 8

(CESPE/BB) Julgue os itens a seguir, relacionados a empréstimos efinanciamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que oregime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, etomando 1,3 como valor aproximado para 1,02%&.(1) Caso o saldo devedor de um empréstimo seja hoje de R$ 30.000,00, se nenhum

pagamento for efetuado, esse valor será superior a R$ 38.500,00, ao final do períodode um ano.

(2) Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$26.000,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor aser pago será superior a R$ 19.800,00.

Gabarito: C C

Questão 9

(3) Se o pagamento de um financiamento tiver de ser feito em 24prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 1.200,00, nessecaso, o montante dessa série de pagamentos, por ocasião dopagamento da última prestação, será superior a R$ 42.000,00.

Gabarito: E

Questão 9

(4) Se determinado valor, que foi tomado como empréstimo, será pago em 12prestações postecipadas mensais, consecutivas e iguais a R$ 1.300,00, então essevalor é superior a R$ 13.000,00.

(5) A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 25% ao ano.Gabarito: C E

Questão 9

(6) Se um financiamento for quitado com o pagamento de 12 prestaçõespostecipadas iguais, mensais e consecutivas, e, durante esse período, ainflação for de 1,2% ao mês, então a taxa de juros real cobrada nofinanciamento será superior a 3,2% ao mês.

Gabarito: E

Questão 9

(7) Caso um imóvel no valor de R$ 120.000,00 seja financiado em 12prestações mensais e consecutivas, tendo como base o Sistema Francês deAmortização, nesse caso, para a composição da primeira prestação, o valorde amortização será superior a R$ 7.800,00.

Gabarito: C

Questão 9

(8) Em um financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), ovalor das prestações, mensais e consecutivas, é sempre constante; o quevaria é o valor dos juros pagos a cada mês.

Gabarito: E

Questão 9

(Cespe/BB) Em cada um dos itens subseqüentes, é apresentada uma situação a respeitode matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada.

(1) Um veículo popular cujo valor à vista é de R$ 24.000,00 pode ser comprado, sementrada, em 36 prestações mensais e iguais, sendo que a primeira prestação serápaga em 1 mês após a compra, à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Nessasituação, tomando 0,17 como valor aproximado de 1,05%&', conclui-se que o valorda prestação será superior a R$ 1.400,00.

(2) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% aomês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, nofinal do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valoraproximado de 1,06&, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$11.000,00.

Gabarito: C C

Questão 10

(1) Um veículo popular cujo valor à vista é de R$ 24.000,00 pode sercomprado, sem entrada, em 36 prestações mensais e iguais, sendo quea primeira prestação será paga em 1 mês após a compra, à taxa de juroscompostos de 5% ao mês. Nessa situação, tomando 0,17 como valoraproximado de 1,05%&', conclui-se que o valor da prestação serásuperior a R$ 1.400,00.

Questão 10

2. Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juroscompostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, odevedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou adívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de1,06% , conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$11.000,00.

Questão 10

(Cespe/CEF) Uma dívida no valor de R$ 10.000,00, contraída pelo sistemafrancês de amortização (tabela Price), com juros de 1,29% ao mês, será pagaem 4 prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valoraproximado de 1,0129-4 , cada prestação será igual a

a) R$ 2.620,00.b) R$ 2.610,00.c) R$ 2.600,00.d) R$ 2.590,00.e) R$ 2.580,00.Gabarito: E

Questão 11

(Cespe/CEF) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para 1,07-8, se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a

a) R$ 2.050,00.b) R$ 2.060,00.c) R$ 2.070,00.d) R$ 2.080,00.e) R$ 2.090,00.Gabarito: E

Questão 12

(Cespe/CEF) Determinado produto, cujo preço à vista é igual a R$ 12.000,00, pode sercomprado em 6 prestações postecipadas (a primeira é paga um mês após a compra),mensais e iguais, à taxa de juros de 8% ao mês. Nesse caso, considerando-se 0,80 comovalor aproximado para 1,08-3, é correto afirmar que o valor de cada prestação será

a) inferior a R$ 2.400,00.b) superior a R$ 2.400,00 e inferior a R$ 2.500,00.c) superior a R$ 2.500,00 e inferior a R$ 2.600,00.d) superior a R$ 2.600,00 e inferior a R$ 2.700,00.e) superior a R$ 2.700,00.

Gabarito: D

Questão 13

(Cespe/CEF) Um empréstimo de R$ 54.000,00 foi pago pelo sistema deamortização constante (SAC) em 6 meses, com juros de 12% ao mês. Natabela a seguir, em que apenas alguns valores estão explícitos e quecorresponde à planilha de amortização do referido empréstimo, krepresenta o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada doempréstimo; Pk é a prestação paga no mês k; Ak é o valor da amortização nomês k; Jk é o valor dos juros pagos no mês k; e Dk é a situação da dívida nomês k.

Questão 14

Com relação a essa situação, é correto afirmar que o total das prestações pagas e o total dos juros pagos foram iguais, respectivamente, aa) R$ 74.680,00 e R$ 20.680,00.b) R$ 75.680,00 e R$ 21.680,00.c) R$ 76.680,00 e R$ 22.680,00.d) R$ 77.680,00 e R$ 23.680,00.e) R$ 78.680,00 e R$ 24.680,00.

Gabarito: C

Questão 14

(Cespe/CEF) Um empréstimo de R$ 65.000,00 foi pago pelo sistema francêsde amortização (tabela Price) em 4 meses, com juros de 5% ao mês. Natabela a seguir, em que apenas alguns valores estão explícitos e quecorresponde à planilha de amortização do referido empréstimo, krepresenta o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada doempréstimo; Pk é a prestação paga no mês k; Ak é o valor da amortização nomês k; Jk é o valor dos juros pagos no mês k; e Dk é a situação da dívida nomês k.

Questão 15

Questão 15 Acerca dessa situação, é correto afirmar que, no mês k = 2, a parcelaamortizada foiA) inferior a R$ 15.300,00.B) superior a R$ 15.300,00 e inferior a R$ 15.400,00.C) superior a R$ 15.400,00 e inferior a R$ 15.500,00.D) superior a R$ 15.500,00 e inferior a R$ 15.600,00.E) superior a R$ 15.600,00.

Gabarito:E


Boa Prova!

Prof. Walter Sousa

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