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Matemática finaciera
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Matemáticas Financieras
Guía de estudio
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La revisión y edición de este documento fue realizada con el apoyo de la SESIC a través del ProgramaIntegral de Fortalecimiento Institucional (PIFI) 3.3. Implementación del nuevo modelo educativo centra-do en el aprendizaje.
Universidad Autónoma de Chihuahua
C.P. RAÚL CHÁVEZ ESPINOZA
RectorING. HERIBERTO ALTÉS MEDINA
Secretario generalLIC. ALONSO GONZÁLEZ NÚÑEZ
Director de extensión y difusión culturalDR. ALFREDO DE LA TORRE ARANDA
Director académicoDR. ARMANDO SEGOVIA LERMA
Director de investigación y posgradoM.A. MANUEL MENDOZA GARCÍA
Director de planeación y desarrollo institucionalC.P. ROBERTO ZUECK SANTOS
Director administrativo
Facultad de Contaduría y Administración
C.P. RAMIRO VALLES MARTÍNEZ
DirectorM.A. ARMANDO CABRERA ZAPATA
Secretario académicoC.P. Y M.M. RAMIRO ALVÍDREZ DÍAZ
Secretario de investigación y posgradoM.A. Y M.F. ARMANDO GONZÁLEZ TERRAZAS
Secretario de planeaciónC.P. NORMA GONZÁLEZ MARTÍNEZ
Secretaria administrativaC.P. OMAR ALMELA SINECIO
Secretario de extensión y difusión
Extensión Delicias
M.A.R.H. MARÍA ELVIRA GONZÁLEZ ANCHONDO
Coordinadora generalLIC. SANDRA ÉLIDA QUINTANA SÁENZ
Coordinadora académicaLIC. M.A.R.H. ADRIANA ISELA VALLES ALARCÓN
Coordinadora de posgradoM.A. OCTAVIO TORRES LÓPEZ
Coordinador de servicio socialM.A.R.H. GRACIELA DEL CARMEN SANDOVAL LUJÁN
Coordinadora de extensiónL.S.C.A. EDUARDO DOMÍNGUEZ ARRIETA
Jefe de laboratorio de informáticaM.A.R.H. JOSÉ GUADALUPE VALENZUELA GUZMÁN
Coordinador deportivo
Extensión Camargo
L.S.C.A. JULIA ELENA DE ÁVILA ÁVILA
Coordinadora académicaLIC. ROSA EMMA FIERRO DAVID
Coordinadora administrativa
Extensión Parral
L.A.E. ARELY QUINTANA FLORES
Coordinadora general
Matemáticas Financieras
Guía de estudio
Autores: ROSALÍA ARRIAGA CÁZAREZ
CRISTINA LILIANA RAMOS RASCÓN HORTENSIA RUBIO ACOSTA
ADRIANA TERRAZAS MONGE RUBÉN TORRES MEDINA
FRANCISCO VÉLAZQUEZ PÉREZ
Coordinación académica: CLAUDIA PÉREZ HÉIRAS
ALEJANDRA CARRILLO GARCÍA ARMANDO CABRERA ZAPATA
ARMANDO TERRAZAS GONZÁLEZ
Contenido
REPARTO PROPORCIONAL ............................................................................. 11 DETERMINACIÓN DE PRECIOS ....................................................................... 18 INTERÉS ORIGINAL E INTERÉS SIMPLE ........................................................... 32 INTERÉS SIMPLE SOBRE SALDOS INSOLUTOS................................................ 45 INTERÉS COMPUESTO ................................................................................... 56 INTRODUCCIÓN A LAS ANUALIDADES ............................................................ 75 ANUALIDADES VENCIDAS .............................................................................. 78 ANUALIDADES ANTICIPADAS ......................................................................... 91 ANUALIDADES DIFERIDAS ............................................................................. 103 FONDO DE AMORTIZACIÓN ............................................................................ 111 AMORTIZACIÓN ............................................................................................. 118 DEPRECIACIÓN ............................................................................................. 126
Presentación
l espíritu de nuestro tiempo está caracterizado por una sucesión interminable de grandes y pequeños cambios, desde la sustitución de paradigmas científicos y en consecuencia cambios en la práctica tecnológica, la renovación en la concepción del mundo y en las
ideologías que la acompañan, por lo tanto en todos los valores que integran esta compleja trama.
Vivir en un mundo así entraña determinados compromisos en nuestro obrar, uno de ellos es el de adaptarnos a este flujo incesante de cambios. La educación ha sido un elemento clave para lograr la adaptabilidad que cada nueva circunstancia nos plantea. Cada época, cada determinado periodo histórico ha construido sus propios modelos educativos en busca de dar respuesta a las nuevas necesidades y retos. El modelo educativo que se propone busca formar universitarios más autónomos en donde el estudiante aprenda a aprender, que sea más reflexivo e investigador, un constructor de su propio conocimiento que lo convertirá en un profesional más capaz en su respectiva especialidad. La intención es estructurar un modelo flexible y adaptable a las diferencias de los alumnos y del contexto de la cátedra, de tal suerte que en la convivencia del maestro y el alumno se dé la reflexión y el aprendizaje de manera recíproca. El objetivo fundamental es ofrecer educación de calidad, garante de la formación de los profesionales que demanda nuestra entidad, nuestro país y nuestro mundo. El modelo educativo de la UACh se sustenta en tres ejes: la educación basada en competencias, la flexibilidad curricular y los procesos educativos centrados en el aprendizaje. Sin limitar el concepto de competencias estrictamente a lo cognitivo, esto significaría aislarlo de sus relaciones sociales, pues es necesario incorporar en este proceso formativo los elementos procedimentales y actitudinales como: la interdisciplinaridad, el trabajo grupal, aplicar el conocimiento a realidades específicas, el rol del docente como facilitador del aprendizaje y la participación activa del estudiante en su propio proceso de formación. Al buscar la universidad su vinculación con la sociedad mediante el trabajo por competencias, proporciona al conocimiento una dimensión histórica y social de mayor relevancia, con la idea de que toda acción de transformación influye en el proceso de creación y producción.
Incorporar la idea de las áreas de formación que incluye los principios básicos y profesionales de las carreras que el estudiante cursa es una respuesta curricular para la formación de profesionales bajo una nueva forma de construir conocimientos. Consiste en construir situaciones de aprendizaje en las cuales los estudiantes logren estructurar sus conocimientos de manera integral y no solamente acumulativa. Las áreas de formación básica consisten en el desarrollo de competencias, esto es conocimientos, habilidades, actitudes y valores, más que sólo trasmitir los contenidos de las diferentes asignaturas.
Los problemas que habrá de enfrentar el profesional contemporáneo se dan en el contexto de una sociedad cada vez más globalizada. Los problemas de nuestra región y de otras regiones del mundo, como la pobreza, epidemias, descomposición del tejido social, contaminación ambiental, deterioro del medio ambiente, disminución de los recursos no renovables, requieren soluciones creativas, mejores alternativas a las planteadas hasta ahora. Para que esta propuesta pedagógica llegue a buen término es importante que tanto maestros como estudiantes se conciban a sí mismos en consonancia con este nuevo modelo, el maestro debe dejar tras sí las reminiscencias del modelo tradicional, cuya función radicaba en depositar en la memoria del estudiante toda la información depositada en su propio acervo
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intelectual, que a su vez hacía del estudiante un receptáculo pasivo, incapaz de procurarse su propio conocimiento en razón de sus propias circunstancias. El conferir al estudiante un rol activo y de mayor compromiso social trae consigo la obligación del maestro en facilitar los elementos necesarios para dar cabal cumplimiento a esta misión. Cuando esto ocurra nuestra universidad se hallará totalmente involucrada en los problemas de su entorno, seremos aptos para ofrecer soluciones pertinentes ya se trate de problemas regionales o globales. Seremos capaces, sin lugar a dudas, de regionalizar la globalización.
Reparto proporcional
Objetivos
Comprender los elementos involucrados en el reparto proporcional. Analizar el procedimiento de cálculo de los elementos de reparto proporcional. Resolver problemas de cualquier tipo de reparto proporcional
Introducción Este capítulo aborda el concepto de reparto proporcional y se identifican los elementos que intervienen en todo tipo de reparto.
Se realiza una clasificación del reparto proporcional y por medio de ejemplos se analiza y se determina cociente de reparto, factor o índice de reparto y cantidad a repartir que son los elementos de todo tipo de reparto proporcional. Después del análisis y la explicación de este tema se presentan problemas propuestos, con la finalidad de que el alumno llegue a dominarlo con propiedad y seguridad. Al final se darán las respuestas de ellos, para que el estudiante adquiera confianza en sus conocimientos y capacidades.
Concepto Reparto proporcional. Es una operación cuya finalidad es repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números llamados índices de reparto. Los elementos que se encuentran siempre presente en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos dividir en partes iguales, sin embargo, no siempre es así, sino que se toman en cuenta números indicadores de la forma que se va a realizar el reparto. Ejemplo 1 Suponga que se va a repartir $10,000.00 entre 2 personas en partes iguales, en cuyo caso únicamente hay que dividir los $10,000.00 entre 2, obteniendo $5,000.00 para cada una. Pero si se reparten los $10,000.00 entre 2 personas en proporción a las edades de las mismas. La primera tiene 43 años y la segunda 13 años.
La cantidad no se va a repartir o dividir en partes iguales entre las dos personas, sino proporcionalmente a las edades de cada una.
Entonces los factores que determinan el reparto son las edades. Estos factores reciben el nombre de índices de reparto. En este ejemplo son 43 y 13 que sumados dan 56. La operación puede resolverse por “reducción de unidad” dividiendo $10,000.00 cantidad a repartir entre 56, con lo que se obtiene lo que corresponde a la unidad. El resultado de la operación anterior recibe el nombre de “factor constante” el que a su vez se multiplica por los índices y de esta manera se determina el cociente de reparto o cantidad que reciben cada uno de los beneficiarios. Factor constante= Cantidad a repartir/ Suma de índices de reparto Simplificando la fórmula:
F.c. = C / S.i Sustituyendo por números del ejemplo por las literales.
F.c = 10,000.00 / 56 = 178.5714286 Multiplicando el factor constante por los índices de reparto tenemos:
Primera 43 X 178.5714286 = $ 7,678.57 Segunda 13 X 178.5714286= $ 2,321.43 $10,000.00
El problema anterior se va a resolver por método de “proporciones”. Así se conoce directamente lo que corresponde a cada uno. Se suman los índices:
43 + 13 = 56 La proporción que nos sirve es: Cantidad a repartir es a suma de índices: como cantidad que corresponde a cada quien, es a su índice respectivo.
Primera 10,000 : 56 : : X : 43 Segunda 10,000 : 56 : : X” : 13
Primera (10,000 X 43) / 56 = $ 7,678.57 Segunda (10,000 X 13) / 56 = $ 2,321.43 $10,000.00 Clasificación del reparto proporcional
1. Reparto proporcional directo simple. 2. Reparto proporcional directo compuesto. 3. Reparto proporcional inverso simple. 4. Reparto proporcional inverso compuesto. 5. Reparto proporcional mixto.
Reparto proporcional directo simple. El reparto es directo, cuando a mayor sea el número de unidades que tenga el índice de reparto más le corresponde al beneficiario y es simple cuando el índice de reparto esta formado por un solo factor. Determinar cociente de reparto. Se va a repartir $35,900.00 entre 4 empleados en proporción directa a tiempo laborando en la empresa. Roberto tiene 2 años, Jesús tiene 3.75 años, Macario tiene 4 años y Teresa tiene 1.5 años. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Método de reducción a la unidad. Este método consiste en realizar 3 pasos fundamentales:
1. Sumar los índices. Si = 2+3.75+4+1.5 = 11.25
2. Determinar un factor constante Fc= $35,900.00/11.25 = 3,191.111111 Este método se llama reducción a la unidad por que los $35,900.00 se repartieron entre 11.25 años, que es la suma de índices. Es decir, a cada año le corresponden $3,191.111111
3. Multiplicar factor constante por cada uno de los índices y el resultado es el cociente de reparto la cantidad que corresponde a cada uno.
Roberto 2 X 3,191.111111 = $ 6,382.22 Jesús 3.75 X 3,191.111111 = $11,966.67 Macario 4 X 3,191.111111 = $12,764.44 Teresa 1.5 X 3,191.111111 = $ 4,786.67
Método de proporciones. Este método consiste en fórmular proporciones de acuerdo a los siguientes pasos:
1. sumar los índices Si = 2+3.75+4+1.5 = 11.25
2. fórmular proporciones para cada uno de los índices. La cantidad a repartir es a la
sumatoria de índices, como la incógnita es a cada índice.
Roberto $35,900.00 = X X = (35,900)(2) X = $ 6,382.22 11.25 2 11.25
Jesús
$35,900.00 = X X = (35,900)(3.75) X = $ 11,966.67 11.25 3.75 11.25
Macario
$35,900.00 = X X = (35,900)(4) X = $ 12,764.44 11.25 4 11.25
Teresa
$35,900.00 = X X = (35,900)(1.5) X = $ 4,786.67 11.25 1.5 11.25
Determinar el índice de reparto. Una empresa repartió $35,900.00 entre 4 empleados el reparto se hizo en proporción directa a la antigüedad en su empleo. ¿Cuántos años tenían laborando Roberto, Jesús y Teresa si recibieron $6,382.22, $11,966.67 y $4,786.67 respectivamente. Si a Macario con 4 años le correspondió 12,764.44.
La resolución conveniente es por medio de proporciones.
Roberto. $12,764.44 = $6,382.22 X = (6382.22)(4) X= 2 4 X 12,764.44
Jesús
$12,764.44 = $11,966.67 X = (11966.67)(4) X= 3.75 4 X 12,764.44
Teresa
$12,764.44 = $4,786.67 X = (4,786.67)(4) X= 1.5 4 X 12,764.44
Determinar cantidad a repartir. Una empresa repartió cierta cantidad entre 4 empleados el reparto se hizo en proporción directa a los años de servicio. Roberto tenia 2 años, Jesús 3.75 años, Macario 4 años. Si a teresa con 1.5 años le correspondió 4,786.67. ¿Cuál fue la cantidad repartida? Se suman los índices Si = 2+3.75+4+1.5 = 11.25 Se fórmula una proporción relacionando el índice de Teresa con su gratificación y la sumatoria de índices con la incógnita que es la cantidad total.
$4,786.67 = X X = (4786.67)(11.25) X= $35,900.00 1.5 11.25 1.5
Reparto proporcional directo compuesto. El reparto es directo, cuando a mayor sea el número de unidades que tenga el índice de reparto más le corresponde al beneficiario y es compuesto cuando el índice de reparto esta formado por dos o más factores. Determinar el cociente de reparto. En una institución educativa se va a repartir $15,000.00 entre los tres mejores estudiantes, la distribución del premio se hará en proporción directa al promedio y materias acreditadas. Gerardo Martínez tiene un promedio de 97.5 y 22 materias acreditadas, Patricia Salas tiene promedio de 98.6 y 19 materias acreditadas y Ricardo Torres tiene promedio de 90.3 y 31 materias acreditadas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Primero hay que obtener los índices de reparto mediante la multiplicación de los factores. Determinados los índices de reparto se procede como el reparto proporcional directo simple. Gerardo 97.5 X 22 = 2,145 Patricia 98.6 X 19 = 1,873.4 Ricardo 90.3 X 31 = 2799.3 Si = 2,145 + 1,873.4 + 2799.3 = 6,817.7 F.c. = $15,000.00 F.c = 2.200155478 6,817.7 Gerardo = 2,145 X 2.200155478= $4,719.33 Patricia = 1,873.4 X 2.200155478= $4,121.77 Ricardo = 2799.3 X 2.200155478= $6,158.90 Determinar uno de los factores del índice. Una institución educativa repartió cierta cantidad entre tres alumnos en proporción directa a promedio y materias acreditadas. Gerardo recibió $4,719.33 por un promedio de 97.5 y por 22 materias acreditadas. ¿Qué promedio tendrá Patricia que con 19 materias acreditadas recibió $4,121.77 y cuantas materias acreditadas tiene Ricardo que recibió $6,158.90 y un promedio de 90.3? Gerardo 97.5 22 $4,719.33 Patricia X 19 $4,121.77 Ricardo 90.3 X $6,158.90 Lo primero por hacer es, determinar los índices de cada uno, multiplicado los factores.
Gerardo 97.5 X 22 = 2,145 Patricia 98.6 X 19 = 1,873.4 Ricardo 90.3 X 31 = 2799.3
La resolución conveniente es por medio de proporciones Promedio de Patricia 19 X = 2145 $4,121.77 $4,719.33 ($4,719.33) (19 X) = ($4,121.77) (2145) X = ($4,121.77) (2145) X = 98.6 ($4,719.33) (19) Materias acreditadas de Ricardo 90.3X = 2145 $6,158.90 $4,719.33 ($4,719.33) (90.3 X) = ($6,158.90) (2145) X = ($6,158.90) (2145) X = 31 ($4,719.33) (90.3) Determinar la cantidad a repartir. Se repartió una cantidad entre tres alumnos, en proporción directa a promedio y a las materias acreditadas. A Gerardo le correspondió $4,719.33 por un promedio de 97.5 y 22 materias acreditadas, patricia tiene un promedio de 98.6 y 19 materias acreditadas y Ricardo tiene un promedio de 90.3 y 31 materias acreditadas. ¿Cuál fue la cantidad repartida? Primero se multiplican los factores para obtener el índice de cada uno y estos se suman:
Gerardo 97.5 X 22 = 2,145 Patricia 98.6 X 19 = 1,873.4 Ricardo 90.3 X 31 = 2799.3
Si = 2,145 + 1,873.4 + 2799.3 = 6,817.7 Se fórmula una proporción relacionando el índice de Gerardo con su gratificación y la sumatoria de índices con la incógnita que es la cantidad total. 2,145 = 6,817.7 X = ($4719.33)(6,817.7) X= $15,000.00 $4,719.33 X 2,145
Reparto proporcional inverso simple. El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es más grande el índice de reparto, menos recibe el beneficiario y viceversa, y es simple cuando el índice de reparto está formado por un solo número o factor. Determinar el cociente de reparto. Un padre va a repartir $60,000.00 entre sus 4 hijos en proporción inversa al capital que poseen. Adrián tiene $20,800.00, Carla cuenta con $7,450.00, José posee $50,090.00 y Mario $22,765.00 ¿Qué cantidad les corresponde a cada uno? Primero se invierten los índices. Esto se puede realizar dividiendo 1 entre el índice o utilizando la función de inverso en la calculadora. Cuando ya se han invertido los índices de reparto se procede como el reparto proporcional directo simple.
Adrián 1/ 20,800 = .000048076 Carla 1/ 7,450 =.000134228 José 1/50,090 =.000019964 Mario 1/ 22,765 =.000043927
Sumar los índices 000048076 +.000134228 + .000019964 + .000043927 = .000246195 Determinar factor constante F.C = $60,000.00/.000246195 = 243, 709,254.9 Multiplicar factor constante por cada uno de los índices y el resultado es el cociente de reparto la cantidad que corresponde a cada uno.
Adrián .000048076 X 243, 709,254.9 = $11,716.56 Carla .000134228 X 243, 709,254.9 = $32,712.61 José .000019964 X 243, 709,254.9 = $ 4,865.41 Mario .000043927 X 243, 709,254.9 = $10,705.42
Determinar índice de reparto. Un padre repartió $60,000.00 entres sus 4 hijos en forma inversa a dinero que poseen. A Adrián que tenía $20,800.00 le correspondió $11,716.56. ¿Cuánto dinero tenían Carla, José y Mario si les toco $32,712.61, $ 4,865.41 y $10,705.42 respectivamente? La resolución conveniente es por medio de proporciones; pero antes, debemos invertir los índices. Carla 1/X 1/20,800 $32,712.61 $11,716.56 1 1 (X) ($32,712.61) (20,800) ($11,716.56) ($32,712.61 X) (1) = (20,800) ($11,716.56) (1)
X = 20,800 X 11,716.56 = $7,449.86 32,712.61 José 1/X 1/20,800 $ 4,865.41 $11,716.56 1 1 (X) ($ 4,865.41) (20,800) ($11,716.56) ($4,865.41X) (1) = (20,800) ($11,716.56) (1) X = 20,800 X 11,716.56 = $50,089.19 4,865.41 Mario 1/X 1/20,800 $ 10,705.42 $11,716.56 1 1 (X) ($10,705.42) (20,800) ($11,716.56) ($10,705.42X) (1) = (20,800) ($11,716.56) (1) X = 20,800 X 11,716.56 = $22,764.59 10,705.42 Determinar la cantidad repartida ¿Cuál fue la cantidad que repartió un padre entre sus 4 hijos, si el reparto se hizo en proporción inversa a dinero que poseen? A Mario le correspondió $ 10,705.42 por $22,765.00 que tenía, Adrián tenía $20,800.00, Carla contaba con $7,450.00 y José con $50,090.00 Primero hay que invertir los índices. Adrián 1/ 20,800 = .000048076 Carla 1/ 7,450 =.000134228 José 1/50,090 =.000019964 Mario 1/ 22,765 =.000043927 Sumar los índices 000048076 +.000134228 + .000019964 + .000043927 = .000246195 Se fórmula una proporción relacionando el índice inverso de Mario con su gratificación y la sumatoria de índices inversos con la incógnita que es la cantidad total .000043927 = .000246195 = ($10,705.42) (.000246195) X= $60,000.02 $10,705.42 X .000043927
Reparto proporcional inverso compuesto. El reparto proporcional es inverso, cuando a mayor número de unidades que tengan los índices de reparto, menor cantidad le corresponde al beneficiario y viceversa, y es compuesto, si los índices de reparto están formados por dos o más factores. Determinar cociente de reparto. Se repartió un premio de $18,750.00 entre tres operadoras de una empresa, en proporción inversa a errores y retardos que tuvieron. Perla tuvo 12 errores y 4 retardos, Ana 9 errores y 2 retardos y Carmen 2 errores y 10 retardos. ¿Cuánto le correspondió a cada uno? Primero hay que multiplicar los factores para obtener un índice ya que es un reparto compuesto Y después Invertir por ser también inverso.
Perla 12 X 4= 48 1/48 = .0208333333 Ana 9 X 2 = 18 1/18= .055555555 Carmen 2 X 10= 20 1/20= .05
Determinados los índices de reparto se procede como el reparto proporcional directo simple Sumar índices .0208333333 + .055555555 + .05 = .126388889 Determinar un factor constante F.c. = $18,750.00 / .126388889 =148,351.6482 Perla .0208333333 X 148,351.6482 = $3,090.66 Ana .055555555 X 148,351.6482 = $8,241.76 Carmen .05 X 148,351.6482 = $7,217.58 Determinar uno de los factores de los índices de reparto. Un reparto se hizo en proporción inversa a los errores y retardos que tuvieron 3 operadoras. Perla tuvo 12 errores y 4 retardos y le correspondieron $3,090.66. Si a Carmen con 2 errores y x faltas le toco $7,217.58 y a Ana con X errores y 2 retardos le entregaron $8,241.76 ¿Cuántas faltas tuvo carmen y cuantos errores cometió Ana? Carmen 1/2X 1/(12) (4) $7,217.58 $3,090.66 1 1 (2X) ($7,217.58) (48) ($3,090.66) ($7,217.58)(2X) (1) = (48) ($3,090.66) (1) X = (48) (3,090.66) = 10 (7,217.58)(2)
Ana 1/2X 1/(12) (4) $8,241.76 $3,090.66 1 1 (2X)($8,241.76) (48) ($3,090.66) ($8,241.76) (2X) (1) = (48) ($3,090.66) (1) X = (48) (3,090.66) = 9 ($8,241.76)(2) Determinar la cantidad repartida. ¿Cuál fue la cantidad que se repartió entre 3 operadoras, si el reparto se hizo en proporción inversa a errores y faltas? Si a Perla que tuvo 12 errores y 4 retardos le correspondieron $3,090.66. Ana con 9 errores y 2 retardos y Carmen con 10 errores y 2 retardos. Determinar el índice:
Perla 12 X 4 = 48 1/48 = .0208333333 Ana 9 X 2 = 18 1/18= .055555555 Carmen 2 X 10 = 20 1/20= .05
Sumar índices .0208333333 + .055555555 + .05 = .126388889 Se fórmula una proporción relacionando el índice inverso de Perla con su gratificación y la sumatoria de índices inversos con la incógnita que es la cantidad total .0208333333 = .126388889 = ($3,090.66) (.126388889 ) X= $18,750.00 $3,090.66 X .0208333333
Reparto proporcional mixto. El reparto proporcional es mixto, cuando una cantidad se reparte en forma directamente proporcional a uno o más factores e inversamente proporcional a otro u otros factores. Determinar cociente de reparto. Repartir $ 22,500.00 entre 4 personas directamente proporcional a unidades producidas y reconocimientos e inversamente proporcional a unidades perdidas. Nombre Unidades producidas Reconocimientos Unidades perdidas Salvador 833 1 55 Fernando 988 4 33 Vanesa 799 3 12 Ernesto 1054 4 29 Se invierte el índice inverso y se multiplica por los directos. El producto así obtenido se llama índice de reparto. Después se procede, como en el reparto proporcional directo simple Salvador 833 X 1 X 1/55 = 15.14545455 Fernando 988 X 4 X 1/33 = 119.7575758 Vanesa 799 X 3 X 1/12 = 199.75 Ernesto 1054 X 4 X 1/29 = 145.3793103 480.0323407 F.c. = $ 22,500.00 / 480.0323407 = 46.87184194 Salvador 15.14545455 X 46.87184194 = $ 709.90 Fernando 119.7575758 X 46.87184194 = $5,613.26 Vanesa 199.75 X 46.87184194 = $9,362.65 Ernesto 145.3793103 X 46.87184194 = $6,814.20 Determinar uno de los factores del índice. Se repartió $ 22,500.00 entre 4 personas directamente proporcional a unidades producidas y reconocimientos e inversamente proporcional a unidades perdidas. ¿Cuántas unidades producidas realizo Salvador, cuantos reconocimientos obtuvo Fernando y cuantas unidades perdidas tuvo Vanesa tomando en cuenta los siguientes datos? Nombre Unidades
producidas Reconocimientos Unidades
perdidas Cantidad recibida
Salvador X 1 55 $ 709.90 Fernando 988 X 33 $5,613.26 Vanesa 799 3 X $9,362.65 Ernesto 1054 4 29 $6,814.20 Salvador Factor directo (1/55)(1)(X) 1/29(4) (1054) $709.90 $6,814.20 .018181818 X 145.3793103 $709.90 ($6,814.20)
($6,814.20) (.018181818 X) = (145.3793103) ($709.90) X = (145.3793103) ($709.90) = 833 ($6,814.20) (.018181818) Fernando Factor directo (1/33)(988)(X) 1/29(4) (1054) $5,613.26 $6,814.20 29.93939394 X 145.3793103 $5,613.26 ($6,814.20) ($6,814.20) (29.93939394 X) = (145.3793103) ($5,613.26) X = (145.3793103) ($5,613.26) = 4 ($6,814.20) (29.93939394) Vanesa Factor inverso 1/X (799) (3) 1/29(4) (1054) $9,362.65 $6,814.20 1/X (2397) (145.3793103) $9,362.65 $6,814.20 (1/X) (2397) ($6,814.20) = ($9,362.65) (145.3793103) 1/X = ($9,362.65) (145.3793103) =1/ .083333281 = 12 (2397) ($6,814.20) Determinar cantidad total. ¿Qué cantidad se repartió entre las siguientes 4 personas? si el reparto se hizo en proporción directa a unidades producidas y reconocimientos e inversamente proporcional a unidades perdidas. Nombre Unidades
producidas Reconocimientos Unidades
perdidas Cantidad recibida
Salvador 833 1 55 $ 709.90 Fernando 988 4 33 Vanesa 799 3 12 Ernesto 1054 4 29 Se invierte el índice inverso y se multiplica por los directos. El producto así obtenido se llama índice de reparto. Después se procede, como en el reparto proporcional directo simple:
Salvador 833 X 1 X 1/55 = 15.14545455 Fernando 988 X 4 X 1/33 = 119.7575758 Vanesa 799 X 3 X 1/12 = 199.75 Ernesto 1054 X 4 X 1/29 = 145.3793103 480.0323407
Se fórmula una proporción relacionando el índice mixto de Salvador con su gratificación y la sumatoria de índices mixtos con la incógnita que es la cantidad total. 15.14545455 = 480.0323407 ($709.90) (480.0323407) X= $22,500.00 $ 709.90 X 15.14545455
Problemas propuestos. 1. Repartir $66,900.00 entre 3 empleados, en proporción directa al tiempo que tienen laborando en la empresa. Manuel tiene 3.5 años, Jesús 33 meses y Ramón 5.25 años. ¿Qué cantidad recibieron cada uno? 2. Se distribuyo cierta cantidad entre dos hermanos en proporción directa a sus promedios obtenidos en el Colegio, Blanca tiene un promedio de 89.5 y obtuvo $7,240.00 ¿Qué promedio tendrá Ricardo para que haya obtenido $6,253.09? 3. Que cantidad se repartió entre cuatro personas si el reparto se hizo en proporción directa a las edades de los mismos, si a Pedro con 44 años le correspondió $20,890.00 Teresa tiene 38 años, Soledad tiene 47 años y Rita tiene 22 años. 4. Se va a repartir $1, 400,233.00 en proporción directa a capital aportado y tiempo que duro invertido el capital. Federico aporto $605,900.00 durante 22.5 meses, Gabriel $245,750.00 durante 1.75 años y Carlos $445,000.00 durante 6.5meses ¿Qué cantidad le correspondió a cada uno? 5. En la clase de Matemáticas Financieras 1 se va a repartir $10,000.00 entre las siguientes alumnas en proporción directa a promedio y asistencias a clase. Nombre Promedio Asistencias Cantidad recibida Susana X 22 $2,318.93 Sonia 98.7 28 $4,029.04 Saira 83.5 X $3,652.03 ¿Qué promedio tiene Susana y cuantas asistencias tiene Saira? 6. Se va a repartir $17,000.00 a las siguientes personas en proporción inversa al siguiente índice: Sara 2/3 Maria 4/5, Carmen 6/9, Daniel 8/9, Rene 5/7 y Fernando 6/12. ¿Que cantidad le corresponderá a cada uno? 7. Se repartió cierta cantidad entre cuatro empleados en proporción inversa a sus faltas. ¿Cuántas faltas cometido el primero, segundo y tercero si les correspondió $3,061.38, $5,102.30 y $6,122.76 respectivamente? Si el cuarto que falto 7 veces recibió $4,373.40. 8. ¿A cuánto ascenderá la herencia de una persona que la repartirá entre sus hijos en proporción inversa a las edades de los mismos? El primer hijo tiene 56 años, el segundo 49, el tercero 46, el cuarto 40, y el quinto 33. Lo que recibirá el mayor es $ 366,850.00. 9. ¿Cuanto recibieron cada uno de los participantes de un concurso en el que el premio se repartió en proporción inversa al tiempo que duraron en el examen y al número de errores? Si la cantidad repartida fue $ 28,000.00 Rosa duró 56 minutos y 5 errores, Manuel duró 63 minutos y 3 errores, Jesús duró 48 minutos y 6 errores, Efraín duró 1 hora y 5 minutos y 11 errores y Carlos duro 44 minutos y 2 errores. 10. Se va a repartir $147,500.00 entre cuatro empleados en proporción inversa a vacaciones concedidas y faltas. El primero ha tenido 35 días de vacaciones y 11 faltas; el segundo x días de vacaciones y 10 faltas; el tercero 22 días de vacaciones y x faltas y el cuarto x días de vacaciones y 3 faltas. Al
primero le correspondieron $17,687.91 al segundo $17,461.14 al tercero $61,907.67 y al cuarto $50,443.27. ¿Cuantos días de vacaciones tuvo el segundo y el cuarto y cuantas faltas el tercero? 11. ¿Qué cantidad se repartió entre tres obreras de una fábrica si el reparto se hizo en proporción inversa a los errores de fabricación, a los atrasos y a las faltas? La primera tuvo 9 errores, 2 atrasos y 3 faltas, la segunda 11 errores 5 atrasos y 7 faltas y la tercera 2 errores 2 atrasos y 1 falta. A la segunda le correspondió $3,354.50.
12. Se reparte entre tres hijos una herencia en proporción directa a bienes que poseen e indirecta a años de vida. Juan posee x cantidad y tiene 66 años, Jesús posee $997.000.00 y tiene 63 años y Alberto posee $2, 835,000.00 y tiene x años de vida. A Juan le correspondió $713,991.72 a Jesús $467,260.22 y a Alberto $1, 418,745.00. ¿Que cantidad tiene Juan, cuantos años tiene Alberto y cual fue el total de la herencia?
13. Repartir $ 29,850.00 entre 5 personas en proporción a los siguientes factores:
Nombre Directa Inversa Inversa Cantidad recibida Juan 12900 3/9 48 Maria 10750 7/8 44 Jaime 6990 5/7 39 Rosa 7854 6/3 51 Ramón 14789 14/16 50
14. ¿Qué cantidad se entrego entre las siguientes escuelas, si el reparto se hizo en proporción directa al No. de alumnos, No. de aulas y No. de maestros con que cuenta cada plantel? Escuela No alumnos No aulas No maestros Cantidad recibida Morelos X 21 72 $335,593.55 Juárez 1136 X 69 $505,499.16 N. Héroes 1230 26 85 X V. Guerrero 964 22 101 X Porvenir 798 18 71 $274,040.98 V. Carranza 1050 20 X $428,859.13
Determinar tan bien el factor de las escuelas Morelos, Juárez y Carranza.
15. Se entregó $600,000.00 entre 3 empleados en proporción inversa a los siguientes factores: Empleado F. Inverso F. Inverso F. Inverso Cantidad
recibida A 19 15 X $51,266.03 B 18 16 ¾ $101,464.02 C 14 X 4/8 $447,269.97
Determinar el factor del empleado A y del C.
16. Gobierno Federal apoyará con cierta cantidad a 5 Ejidos, para que adquieran semillas y herramientas, el reparto se hará en proporción directa a hectáreas que poseen, número de ejidatarios en cada ejido y tiempo que tienen en posesión de la tierra. Ejido Hectáreas No. de
Ejidatarios Tiempo Índice Cantidad
recibida El Socorro X 12 15.25 años $167,721.69 El Molino 985 22 8 años $119,463.55 La Pradera 4110 30 33.25 años X El Triunfo 110 6 5 años 1
mes X
El Chaparral 509 18 X $67,871.16 Determinar cantidad total que se reparte a los Ejidatarios, número de hectáreas con que cuenta El Socorro, años que tiene el Chaparral en posesión y cantidad que recibieron La Pradera y el Triunfo. 17. Repartir $34,900.00 entre tres concursantes de un taller de costura en proporción inversa a errores, tiempo y pérdidas. Concursante Errores Tiempo Perdidas Cantidad Recibida A 7 1 hora 13 min. 5.5 metros B 2 55 min. 3metros 15 cm. C 4 1 hora 6 min. 89 cm. D 3 4 2 min. 2 metros 22 cm.
18. Una Compañía va a repartir un premio de $73,000.00 que obtuvo por una investigación entre el personal (3) de ese departamento, en proporción directa a horas dedicadas e ideas aportadas e inversa a inasistencias a reuniones. Personal Tiempo Ideas Inasistencias Cantidad
recibida José 333 horas 12 X $21916.45 Beatriz 255 10 X $27,971.45 Mario 301 7 2 X
Determinar inasistencias de José y Beatriz.
Solución de los problemas propuestos.
1. Manuel $20,360.87, Jesús $15,997.82, y Ramón $30,541.30. 2. Ricardo 77.3. 3. Cantidad total $71,690.68. 4. Federico $880,246.54, Gabriel $333,222.01 y Carlos $186,764.45. 5. Susana 72.3 de promedio y Saira 30 asistencias. 6. Sara $2,905.98 Maria $2,421.65, Carmen $2,905.98, Daniel $2,179.49, Rene $2,712.25
y Fernando $3,874.64. 7. Primero 10, segundo 6 y tercero 5. 8. Herencia total $2, 368,723.38. 9. Rosa $3,984.56, Manuel $5,903.05, Jesús $3,873.87, Efraín $1,560.39 y Carlos
$12,678.13. 10. El segundo 39 días de vacaciones, el tercero 5 faltas y el cuarto 45 días de vacaciones. 11. Cantidad total $350,141.47. 12. Juan tiene $1, 596,000.00, Alberto tiene 59 años y total de la herencia $2, 599,996.94. 13. Juan $13,741.11, María $4,758.83, Jaime $4,276.54, Rosa $1,312.33 y Ramón
$5,761.20. 14. Cantidad total $2, 850,000.00 Morelos tiene 826 alumnos, Juárez 24 aulas, Niños Héroes
recibió $730,430.92 y Vicente Guerrero 76 maestros. 15. Empleado A 1.5 y empleado C 7. 16. El Socorro 1330 hectáreas, la Pradera $2, 825,148.26, el Triunfo $2,311.95 y el
Chaparral 10.75 años. Cantidad total $3, 182,516.25. 17. Concursante A $1,714.58, concursante B $13,907.16, concursante C $2,050.92 y
concursante D $17,227.34. 18. José 4 inasistencias y Beatriz 2 inasistencias.
Determinación de precios
Objetivo Comprender como se determinan los precios en el comercio. Calcular los diversos precios de bienes y servicios.
Introducción Este capítulo inicia con el concepto de precio. Esto nos permitirá comprender las distintas fases que van surgiendo en la formación de precios. Después se analiza por medio de ejemplos, la construcción de precios, tanto en línea ascendente como descendente, presentando varios métodos. Por último se proponen algunos problemas para que al resolverlos adquiera práctica y se presenta la solución. Concepto Todos, en algún momento hemos adquirido productos o servicios por los cuales pagamos una cantidad de dinero preestablecida, a cambio de recibirlos. Esa cantidad de dinero es el precio que debemos pagar por ellos. Precio. Es “el valor de una mercancía expresado en dinero”. Los precios que rigen en el mercado son cuatro. Precio de adquisición. Es el precio de factura. Precio de costo. Es el resultado de sumar al precio de adquisición los gastos compra o adquisición. Precio d venta. Se obtiene de sumar la utilidad al precio de costo. Precio de catálogo. Es el resultado de sumar al precio de venta el descuento. Esto se puede representar a través de la siguiente pirámide.
Determinación de precios en línea ascendente.
. Determinación del precio de costo. Del fabricante o productor hasta llegar a manos del consumidor, los productos pasan por una serie de etapas que van modificando el precio.
Para entender fácilmente ese camino tenemos que asumir el papel de comerciante, que cumple la función de intermediario entre el productor y el consumidor.
El comerciante adquiere la mercancía del fabricante o proveedor para ofrecerla a sus clientes y por esa compra le extienden una factura. El valor monetario de esa factura representa para el comerciante su precio de adquisición.
Para poder tener la mercancía a disposición de los clientes, el comerciante incurre en una serie de gastos tales como; fletes, acarreos, maniobras, empaques, seguros, permisos, viáticos, etc. Que representan los gastos de adquisición, estos gastos se suman al precio de adquisición, obteniendo de esta manera el precio de costo.
Para entender lo antes expuesto se presentaran varios métodos para que el alumno decida utilizar el que considere más accesible. Determinar precio de costo, a partir de precio de adquisición Se desarrolla el siguiente un ejemplo: Un comerciante adquiere una mercancía con un precio de factura de $13,200.00. Efectúa los siguientes gastos: fletes $790.00, maniobras $185.00, empaque $130.00, seguro 3.5% y comisión 5%. ¿Cuál es su precio de costo? Primer método. (Directo) Convertir los todos los gastos en dinero y sumarlos al precio de adquisición.
- +
+
+-
-
Precio de adquisiciónGastos en $ y/o %
Precio de costo
Descuento sobre Catálogo
Precio de venta % utilidad
s/c ó s/v
Precio de catálogo
Precio de adquisición $13,200.00
Gastos Fletes
$ 790.00
Maniobras
$ 185.00
Empaque $ 130.00 Seguro (13,200.00*.035) $ 462.00 Comisión (13,200.00*.05) $ 660.00 Precio de costo $15,427.00
Segundo método (proporciones) Para resolver un problema por este método tiene que tomar en cuenta lo siguiente: El precio de adquisición siempre representará el 100% El precio de costo representará el 100% del precio de adquisición más el % de gastos. En una proporción intervienen cuatro cantidades y cada una tiene su correspondiente relativa. Precio de adquisición % = 100% Precio de adquisición $ = $13,200.00 Precio de costo % = 100 +3.5 +5 =108.5% Precio de costo $ = X Se resuelve por medio de proporción 100 $13,200.00 108.5 X X= $13,200.00*108.5 100 Al resultado anterior hay que sumar los gastos en dinero para obtener el precio de costo. $14,322.00 + $790.00 + $185.00 + $130.00 = $15,427.00 Tercer método (Fórmula) Si partimos del concepto de precio de costo podemos establecer que: PC= PA + Gastos de adquisición Fórmulando la ecuación: PC = PA + %PA Factorizando para obtener la fórmula: PC= PA (1+%) Sustituyendo PC= $13,200.00 (1+ 0.085) = $14,322.00 Al resultado anterior hay que sumar los gastos en dinero para obtener el precio de costo. $14,322.00 + $790.00 + $185.00 + $130.00 = $15,427.00
= $14,322.00
Determinación de precio de venta. El comerciante requiere de obtener un beneficio económico para realizar su actividad, que llamamos utilidad, la cual al sumarse al precio de costo da como resultado el precio de venta.
Pero la utilidad se pude obtener: aplicando el porcentaje deseado al precio de costo o al precio de venta. Determinar precio de venta a partir de precio de costo, cuando el porcentaje de utilidad es sobre el precio de costo. El comerciante pretende obtener una utilidad del 64.5% sobre $15,427.00 que es el precio costo ¿Cuál será el precio venta? Primer método. (Directo) Precio de costo $15,427.00 Utilidad ($15,427.00 *0.645) $ 9,950.42 Precio de venta $25,377.42
Segundo método (proporciones) Cuando el porcentaje de utilidad es sobre el precio de costo, el precio de costo representará el 100% y el precio de venta representará el 100% del precio de costo más % de utilidad. Precio de venta % = 100% + 64.5% =164.5% Precio de venta $ = X Precio de costo % = 100% Precio de costo $ = $15,427.00 164.5% X 100% $15,427.00 Utilidad = $25,377.42 - $15,427.00 = $ 9,950.42 Tercer método (fórmula) El precio de venta se forma de la siguiente manera: PV = PC+ % PC Factorizando para obtener la fórmula. PV = PC (1+ %) Sustituyendo PV = $15,427.00 (1+ 0.645) = $25,377.42
= $25,377.42
Determinar precio de venta a partir de precio de costo, cuando el porcentaje de utilidad es sobre el precio de venta. El comerciante pretende obtener una utilidad del 64.5% sobre el precio venta de una mercancía que tiene un precio de costo de $15,427.00 ¿Cuál será el precio venta? Primer método (Directo) Este método no procede, ya que la base a la cual se va a aplicar el porcentaje de utilidad, se desconoce. Segundo método (Proporciones) Cuando el porcentaje de utilidad es sobre el precio de venta, el precio de venta representará el 100% y el precio de costo representará el 100% del precio de venta menos % de utilidad. Precio de venta % = 100% Precio de venta $ = X Precio de costo % = 100% - 64.5 = 35.5% Precio de costo $ = $15,427.00 100% X 35.5% $15,427.00 Utilidad = $43,456.34 - $15,427.00 = $ 28,029.34 Tercer método (fórmula) El precio de venta se forma de la siguiente manera: PV = PC+ % PV Factorizando para obtener la fórmula. PV - % PV= PC PV (1-%) =PC
PC (1-%)
Sustituyendo $15,427.00 (1- 0.645)
= $43,456.34
PV =
PV = = $43,456.34
Determinación de precio de catálogo. Para que el comerciante pueda hacer frente a la competencia, incrementar sus ventas, conservar y adquirir nuevos clientes, deberá promocionar sus productos por medio de descuentos.
Si el comerciante no quiere sacrificar la utilidad esperada al vender la mercancía, deberá sumar el descuento al precio de venta, para marcar su mercancía a un nuevo precio, al que se le llama precio de catalogo. De tal manera que al efectuar el descuento ofrecido sobre el precio marcado, no afecte la utilidad establecida. Determinar precio de catalogo, a partir de precio de venta Analicemos el siguiente ejemplo. El comerciante anterior desea saber en cuanto tiene que marcar su mercancía que tiene un precio de venta de $43,456.34, si pretende ofrecer un descuento del 5% sobre el precio marcado o de catálogo. Primer método (Directo) No se puede utilizar, ya que el porcentaje de descuento se debe aplicar al precio de catálogo y éste lo desconocemos. Segundo método (Proporciones) Como el porcentaje de descuento es sobre precio de catálogo, el precio de catálogo siempre representará el 100% y el precio de venta representará el 100% del precio de catálogo menos % de descuento Precio de venta % = 100% - 5% = 95% Precio de venta $ = $43,456.34 Precio de catálogo % = 100% Precio de catálogo $ = X 100% X 95 % $43,456.34 Tercer método (Fórmula) El precio de catálogo se forma de la siguiente manera: P Cat. = PV+ % P Cat. Factorizando para obtener la fórmula. P Cat. - % P Cat. = PV PCat. (1-%) = PV
PV (1-%)
= $45,743.52
PCat. =
Sustituyendo
$43,456.34 = (1- 0.05%)
Algunos negocios no solo hacen un descuento al precio marcado ó de catálogo sino una serie de descuentos sucesivos.
Por medio de un ejemplo se explicará como convertir una serie de descuentos sucesivos en un solo descuento que sea equivalente a la serie. Una tienda departamental realiza una venta especial de fin de temporada, ofreciendo los siguientes descuentos sucesivos sobre el precio de lista ó catálogo 30% y 15%. ¿Cuál es el precio (venta) que pagará un cliente por un vestido que esta marcado en $985.00? El primer descuento se aplica al precio de catálogo $985.00*.30= $295.50 primer descuento $985.00 - $295.00 = $690.00 primer remanente El segundo descuento se aplica al remanente $690.00*.15 = $103.50 $690.00-$103.50 = $586.50 segundo remanente El primer remanente se pudo haber obtenido de la siguiente manera: $985.00 *0.70 =$690.00 El segundo remanente se pudo haber obtenido de la siguiente manera: $690.00 * 0.85 = $586.50 $586.50 $690.00 La suma de los dos descuentos es: $295.00 + $103.50 = $398.50 Donde: $985.00 -$586.5 = $398.50 $985.00 es el precio de catálogo y $398.50 el total de los descuentos Si el precio de catálogo se representa en 100% obtendremos: 100%* 0.70 * 0.85 = 59.5% este porcentaje es el de precio de venta Si al porcentaje de precio de catálogo 100% se resta porcentaje de precio de venta 59.5% se obtendrá el porcentaje del descuento único equivalente =40.5%
PCat. = $45,743.52
$985.00* 0.70 * 0.85
Los descuentos sucesivos 30% y 15% son equivalentes al descuento único equivalente del 40.5% Verificando: Precio de catalogo $985.00 Menos primer descuento $295.00 Total $690.00 Menos segundo descuento $103.50 Precio de venta $586.50
Precio de catalogo $985.00 Menos D.U.E. $398.50 ($985.00 * .405) Precio de venta $586.50
El comerciante anterior desea saber en cuanto tiene que marcar su mercancía que tiene un precio de venta de $43,456.34, si pretende ofrecer descuentos sucesivos del 5% y 2.5% sobre el precio marcado o de catálogo. Primer método (Directo) No se puede utilizar, ya que el porcentaje de descuento se debe aplicar al precio de catálogo y éste lo desconocemos. Segundo método (Proporciones) Como el porcentaje de descuento es sobre precio de catálogo, el precio de catálogo siempre representará el 100% y el precio de venta representará el 100% del precio de catálogo menos % de descuento Precio de venta % = 100% * 0.95 *0.975 =92.625 Precio de venta $ = $43,456.34 Precio de catálogo % = 100% Precio de catálogo $ = X 100% X = 92.625 % $43,456.34 Tercer método (Fórmula) Precio de catálogo en % = 100 Menos precio de venta en % = 92.625 Porcentaje de descuento = 7.375%
PV (1-%)
Sustituyendo
$43,456.34 = (1-0.07375)
$46,916.43
PCat. =
PCat. = $46,916.43
Determinación de precios en línea descendente.
Ahora partiremos del precio más alto (catálogo), para determinar los precios de venta, costo y adquisición. Determinar precio de venta a partir de precio de catálogo. El comerciante desea saber cual es el precio de venta de una mercancía, si esta marcada en $46,916.43 y la política de la compañía es poder otorgar descuentos sucesivos del 5% y 2.5% sobre precio de catálogo. Primer método (Directo) Precio de catálogo $46,916.43 Menos primer descuento ($46,916.43*0.05) $ 2,345.82 Total $44,570.61 Menos segundo descuento ( $44,570.61*0.025) $ 1,114.27 Precio de venta $43,456.34
Segundo método (Proporciones) Como el porcentaje de descuento es sobre precio de catálogo, el precio de catálogo siempre representará el 100% y el precio de venta representará el 100% del precio de catálogo menos % de descuento ó descuento único equivalente Precio de venta % = 100 *0.95 *0.975 = 92.625% Precio de venta $ = X Precio de catálogo % = 100% Precio de catálogo $ = $46,916.43 100% $46,916.43 92.625% X Tercer método (Fórmula) Despejamos la fórmula de precio de catalogo, para obtener la de precio de venta. PV
(1-%) PV= P.Cat. (1-%) % de D.U.E = 100 - 92.625 =7.375% PV= $46,916.43 (1- 0.07375) = $43,456.34 Determinar precio de costo, cuando el porcentaje de utilidad se aplicó al precio de venta. El comerciante desea saber cual es el precio de costo de una mercancía, si aplico un 64.5% de utilidad sobre $43,456.34 que es el precio de venta
= $43,456.34
P.Cat. =
Primer método (Directo) Precio de venta $43,456.34 Menos utilidad($43,456.34 *0.645) $28,029.34 Precio de costo $15,427.00
Segundo método (Proporciones) Cuando el porcentaje de utilidad es sobre el precio de venta, el precio de venta representará el 100% y el precio de costo representará el 100% del precio de venta menos % de utilidad. Precio de venta % = 100% Precio de venta $ = $43,456.34 Precio de costo % = 100% - 64.5 = 35.5% Precio de costo $ = X 100% $43,456.34 35.5% X Tercer método (Fórmula) Despejamos la fórmula de precio de venta, para obtener la de precio de costo.
PC
(1-%) PC= PV (1-%) Sustituyendo PC= $43,456.34 (1-.645) = $15,427.00 Determinar precio de costo, cuando el porcentaje de utilidad se aplicó al precio de costo. El comerciante desea saber cual es el precio de costo de una mercancía, si aplico un 64.5% de utilidad sobre $25,377.42 que es el precio de costo. Primer método (Directo) Este método no procede, ya que la base a la cual se va a aplicar el porcentaje de utilidad se desconoce. Segundo método (Proporciones) Cuando el porcentaje de utilidad es sobre el precio de costo, el precio de costo representará el 100% y el precio de venta representará el 100% del precio de costo más % de utilidad.
$15,427.00
PV =
Precio de venta % = 100% + 64.5% Precio de venta $ = $25,377.42 Precio de costo % = 100% Precio de costo $ = X 164.5% $25,377.42 100% X Tercer método (Fórmula) Despejamos la fórmula de precio de venta, para obtener la de precio de costo PV= PC (1+%) PV (1+ %) $43,456.34 (1+ 0.645) Determinar precio de adquisición a partir del precio de costo El comerciante desea saber cual es el precio de adquisición de una mercancía, si su precio de costo es $15,427.00 y realizó los siguientes gastos sobre precio de compra: fletes $790.00, maniobras $185.00, empaque $130.00, seguro 3.5% y comisión 5%. Primer método (Directo) Este método no procede, ya que la base a la cual se va a aplicar el porcentaje de gastos se desconoce. Se puede utilizar únicamente cuando todos los gastos se expresan en dinero. Segundo método (Proporciones) El precio de adquisición siempre representará el 100% y el precio de costo representará el 100% del precio de adquisición más el % de gastos. Antes de aplicar este método, debemos restar al precio de costo los gastos expresados en dinero, de no hacerlo, es como si los porcentajes de gastos se hubieran aplicando al resultado de sumar precio de adquisición más los gastos en dinero.
PC = $15,427.00
= 15,427.00
PC =
$15,427.00 - $790.00- $185.00 - $130.00 = $14,322.00 Precio de adquisición % = 100% Precio de adquisición $ = X Precio de costo % = 100 +3.5 +5 =108.5% Precio de costo $ = $14,322.00 108.5% $14,322.00 100% X Tercer método (Fórmula) Despejamos la fórmula de precio de costo, para obtener la de precio de adquisición. PC= PA (1+%)
PC
(1+%) Al igual que el segundo método, antes de aplicar la fórmula, deberá restar al precio de costo los gastos en dinero. $15,427.00 - $790.00- $185.00 - $130.00 = $14,322.00
$14,322.00
(1+0.085)
= $13,200.00
PA = $13,200.00
PA =
Problemas propuestos.
1. El precio de adquisición de un artículo es de $960.00, se pago por fletes $154.50, acarreo por $37.25 y comisión del 2.5% sobre precio de adquisición. ¿Cuál es el precio de costo?
2. El precio de costo de un automóvil es de $99,900.00, se pretende obtener una utilidad del
82% sobre el precio de costo. ¿Cuál es el precio de venta?
3. El mismo problema anterior, pero aplicando el porcentaje de utilidad al precio de venta.
4. El precio de venta de un libro es de $79.50. la política de la librería es otorgar los siguientes descuentos sucesivos sobre el precio marcado: 5.5%. 2% y 1.5% ¿Cuál es el precio de catálogo?
5. Se adquirieron 250 artículos a $36.25 cada uno. Se pago por fletes $80.00 y al agente de
ventas se le cubre una comisión del 1.75% sobre precio de compra. Se pretende obtener un 35.5% de utilidad sobre precio de venta y estar en condiciones de poder ofrecer el 3.5% y 1.5% de descuentos sucesivos sobre precio lista ó catálogo. ¿Cuál es el precio marcado por artículo?
6. Un artículo esta marcado en $296.90, si la empresa puede otorgar los siguientes
descuentos sucesivos sobre precio de catálogo 13% y 4.25% ¿Cuál es el precio de venta?
7. El precio de venta de un auto es de $197,670.00 en este precio está incluida una utilidad del 66% sobre precio de costo. ¿Cuál es el precio de costo?
8. El mismo problema anterior, suponiendo que en el precio de venta está incluido el mismo
porcentaje de utilidad, pero sobre el precio de venta.
9. Una mercancía esta marcada en $13,679.00 la política de la compañía es poder otorgar hasta $1,275.00 de descuento. En el precio de venta está incluida una utilidad del 78% sobre precio de costo. Se realizaron los siguientes gastos sobre precio de compra: fletes 3.25%, comisión $288.00, carga y descarga $156.00 y seguro 1.5%. Determinar: precio de adquisición, porcentaje de descuento y gastos totales en dinero.
10. Un escritorio se adquirió en $910.00 se pagó por fletes $51.00 carga y descarga $15.00 se
pretende obtener una utilidad de $657.00 y estar en condiciones de poder otorgar $105.00 de descuento. Determinar: precio de catálogo, porcentaje de gastos sobre precio de adquisición, porcentaje de utilidad sobre precio de costo y sobre precio de venta y porcentaje de descuento sobre precio de lista.
Solución de los problemas propuestos.
1. $1,175.75 2. $181,818.00
3. $555,000.00
4. $87.36
5. $60.68
6. $247.34
7. $119,078.31 8. $67,207.80 9. Precio de adquisición $6,228.73, porcentaje de descuento 9.32% y gastos totales
$739.87. 10. precio de catálogo $1,738.00, porcentaje de gastos 7.25%, porcentaje de utilidad sobre
costo 67.31%, sobre venta 40.23% y porcentaje de descuento 6.04%
Interés en general e interés simple
Objetivo Distinguir los elementos involucrados en el concepto de interés, así como los diversos tipos de interés.
Comprender el proceso de obtención de las fórmulas del interés simple y sus elementos. Aplicar las fórmulas obtenidas para resolver cualquier problema que implique el cálculo
del interés simple o de cualquiera de sus elementos.
Introducción Hoy en día, de alguna manera u otra, nos damos cuenta que en la realidad muchas de las operaciones comerciales y financieras, si no es que todas, manejan el concepto de interés, pero ¿qué es el interés?
Este capítulo comienza con el estudio de las matemáticas financieras, el cual constituye la parte de la matemática aplicada que proporciona los elementos y la metodología para trasladar en el tiempo y de manera simbólica los capitales que intervienen en cualquier operación de carácter financiero y comercial, quitando o agregando intereses.
Concepto El interés es el valor que se le agrega al dinero a través del tiempo. Todas las cosas tienen un precio y se tiene que pagar cierta cantidad de dinero por tales cosas. Así también se tiene que pagar el precio por del uso del dinero ajeno. A ese precio se le llama interés.
• Se produce interés al invertirlo y al otorgarlo en préstamo. • Se paga interés por la adquisición de bienes y servicios en operaciones de crédito.
Clasificación Interés simple. Es simple cuando sólo el capital gana intereses Interés compuesto. El interés es compuesto si se agrega al capital el interés generado al final de un período, de manera que el interés calculado para el siguiente período se basa en esa nueva cantidad (capital anterior más intereses). Elementos del interés Capital. Cantidad total de dinero que se presta o invierte a determinada tasa, en un tiempo específico para producir un interés Tiempo. El número de períodos que dura el préstamo o inversión del capital. Tasa. Es la cantidad cargada por el uso que se hace del capital, durante un tiempo dado. Generalmente se expresa en por ciento. Ejemplo 10% anual. Interés. Es la cantidad de dinero que se paga por el uso del dinero ajeno.
Simbología
Capital = P Tiempo = n Interés = I Tasa = i
Es oportuno señalar las tasas de interés reales que utilizan los bancos y otras instituciones financieras y comerciales de México, se determinan sumando puntos porcentuales a: a) La tasa líder. Tasa de rendimiento que ofrecen los Certificados de la Tesorería de la
Federación (CETES) a 28 días en su colocación primaria b) El C.P.P. Costo Porcentual Promedio de captación en monedad nacional. El Banco de
México estima esta tasa de acuerdo con los saldos de captación bancaria en un período mensual, para ser aplicada al siguiente mes
c) La T.I.I.E. O tasa de interés interbancaria de Equilibrio, se determina de acuerdo con las cotizaciones de los fondos que los bancos presentan al Banco Central a través del Banco de México.
Se sugiere investigar el valor actual de las tasas anteriormente señaladas como conocimiento general. Generalidades y obtención de fórmulas En este espacio se va a tratar exclusivamente el interés simple se obtendrán las fórmulas correspondientes para cada uno de sus elementos involucrados como son: Capital, Tasa Y Tiempo. Fórmula para interés simple Para deducir la fórmula se partirá de un ejemplo: Ejemplo Se solicita un préstamo por la cantidad de $10,000.00 que se pagará al final de 3 años con un interés del 12% anual.¿Cuánto se pagará de intereses al finalizar los 3 años? El 1er. Año se pagará: $10,000.00 x 12% interés anual = 10,000 x 0.12 =1,200 interés El 2do. Año se pagará: $10,000.00 x 12% interés anual = 10,000 x 0.12 = 1,200 interés El 3er. Año se pagará: $10,000.00 x 12% interés anual = 10,000 x 0.12 = 1,200 interés Sumando el total de interés de cada año será: 1,200 +1,200+1,200 = $3,600.00 intereses Como se repite la operación de multiplicar $10,000.00 x 0.12 tres veces es lo mismo que expresar:
$10,000. x 0.12 x 3 = $3,600.00 Es decir Capital x tasa x tiempo = interés Expresándolo con símbolos:
I = P.i.n
Es importante recalcar que en la expresión anterior existe concordancia entre la tasa y el tiempo, es decir que la tasa y el tiempo están expresados en el mismo período (en el caso anterior el tiempo en años y tasa anual).
En caso de no existir concordancia por ejemplo tasa anual, tiempo en meses, se hará la operación necesaria para que concuerden dichos elementos.
Ejemplo Para la adquisición de una motocicleta se solicita un préstamo por la cantidad de $25.000.00 con una tasa de interés del 19% anual, el cuál se pagará en 8 meses. Calcula el interés que se cobró al finalizar el período Se puede resolver de las siguientes maneras: 1.- Haciendo la conversión respectiva antes de resolver el problema, es decir: P= $25,000.00 i = 19% anual / 12 = 0.015833333mensual n= 8 meses Así la tasa y el tiempo coinciden en el período es decir, los dos elementos están en meses Ahora si pasamos a sustituir los datos en la fórmula I=P.i.n. I= (25,000 x 0.015833333 x 8) I= 1,187.49 2.- la siguiente forma es aplicando la proporción en la misma operación: I= (25,000 x (0.19/12) x 8 ) I= 1,187.49 Entonces tenemos que según el caso, se hará la conversión correspondiente, es decir, la tasa se convertirá de acuerdo a como lo establece el tiempo (n) Tasa anual tiempo en días 20% anual n=60 días 0.20/360
Tasa mensual tiempo en años 10% mensual n= 2.5 años 0.10 x 12
Tasa mensual tiempo en días 30% mensual n= 45 días 0.30/30
Y así debemos establecer la concordancia entre la tasa y el tiempo en cualquier proporción de tiempo que se pueda presentar como tasa anual, tiempo en bimestres, tasa semestral tiempo en años, etc.
12% anual n = 4 bimestres 0.12/6 = 0.02 ó 2% bimestral 15% semestral n= 1 año 0.15 x 2 = 0.30 ó 30% anual.
Capital, Tasa y Tiempo. En la determinación de la fórmula anterior del Interés, también podemos encontrar los valores del capital, la tasa y el tiempo cuando éstos sean una de las incógnitas a resolver. Es decir si conozco el interés, la tasa y el tiempo pero desconozco el capital sobre el cual se calcularon dichos intereses, puedo conocerlo a través del siguiente despeje:
I= P.i.n despejando sería P= I / i.n.
Y si lo que se desconoce es la tasa, el despeje sería así:
I= P.i.n. Despejando quedaría, .i = I / P.n.
Y por último para despejar el tiempo, quedaría
I= P.i.n despejando quedaría n= I/ P.i
Para comprender todo lo anterior, se pasará a el análisis de los ejemplos de las situaciones antes mencionadas.
Ejemplo 1.
¿Qué interés produce un capital de $71,500.00 que se debe pagar en 18 meses a una tasa del 14.10% anual?
P=$ 71,500 I=? n=18meses i=14.10% anual
I= (71,500 x (0.1410/12)x 18) =15,122.25
Se pagarán $15,122.25 de intereses en 18 meses
Ejemplo 2.
Un capital de $600,000.00 se invirtió a una tasa de interés del 8.5% simple anual durante 3 trimestres. Calcular el interés que se generó durante ese período.
P=$600,000.
I=?
n=3 trimestres
i=8.5% anual
Sustituyendo en la fórmula:
I=(600,000.x(0.085/4) x 3 = 38,250.00 se pagarán $38,250.00 de intereses al finalizar 3 trimestres.
Ejemplo 3
¿Qué capital tenemos que invertir para que al 9.07% anual produzca $ 10,728 en 185 días?
P=?
I=10,728
n=185 días
i= 9.07% anual
Sustituyendo
P= 10,728/ (0.0907/360) (185) =230,166.5723
Ejemplo 4
¿Cuál será la tasa mensual a que se impusieron $ 29,750.00 durante 275 días y se produjeron $687.00?
P= $29,750.00 sustituyendo:
n= 275 días i= I / P.n. i= 687 / (29,750.) (275)=.00008397249809
I= 687.00 .00008397249809 siendo una tasa diaria la multiplicamos x 30
i= ? Para obtener una mensual= .00219174943
Ejemplo 5
Encontrar el tiempo en días en que un capital de $560,890.00, produjo un interés de $15,800 si se impuso al 10% anual.
P=560,890.00
I=15,800
N=?
i=10% anual
Sustituyendo:
n= I / P.i
Sustituyendo: n= 15,800 / (560,890) (0.10/360)= 101.4102 días Monto El monto es cuando al capital se le agregan los intereses generados.
Cuando calculamos un interés a determinada tasa y tiempo, siempre lo hacemos tomando una determinada base y esa base es el capital. Si al capital que tomamos como base, se le suma el interés calculado, tenemos lo que llamamos MONTO entonces:
M= P+I
Y si sabemos que I=P.i.n
Podremos sustituir así: M=P +P.i.n
Factorizando se obtiene: M=P (1+(in))
Apliquemos la fórmula en un ejemplo
¿Cuánto se entregará por el capital e intereses juntos, si se prestan $60,000.00 al 18% anual durante 2 años?
Datos:
P=60,000.00
i=18% anual
n= 2 años Fórmula de monto:
M= P (1+(in))
Sustituyendo: M= 60,000.00 (1+ (.18 x 2) = 81,600.00
M= 81,600.00 (conformados por el capital + intereses)
Capital, tasa y tiempo en función del monto
Capital
Si partimos de la fórmula M= P+ (1+(in)) despejaremos el capital, o sea:
P= M / (1+(in))
Ejemplo:
¿Qué capital se tuvo que haber invertido si se obtuvo un monto de $556,900.00 después de 189 días a la tasa del 13.9% anual?
Datos:
P=?
M=556,900.00
n=189 días
i= 13.9% anual
Sustituyendo:
P= M/ (1+ (in)) P=556,900.00 / (1+(0.139/360)(189) = $519,024.21
Tasa y tiempo
De la fórmula M= P+P.i.n podremos despejar tasa y tiempo
Veamos:
Tasa
i= M-P/ P.n como M- P es igual al Interés, podremos expresar: i= I /P.n
Tiempo
n= M-P/ P.i como M-P = I, entonces también sería: n= I / P.i
Recuerda que en todo momento la tasa y el tiempo deben coincidir por lo que al obtener los resultados, si la tasa es anual, el tiempo se obtendrá en años, y si lo que se está buscando es la tasa, si el tiempo es mensual, el resultado que nos arroje será mensual, por lo que se tendrá que hacer su conversión respectiva dependiendo de lo que nos solicite el problema.
Ejemplos de tasa y tiempo
Tiempo
¿Durante cuántos años quedaron invertidos $10,000.00 que formaron un monto de $24,899.00 si se invirtieron al 8.75% anual?
P=10,000.00
M=$24,899
n=?
i=8.75% anual
Sustituyendo en la fórmula n= M-P/P.i n= 24,899.00 – 10,000.00 / (10,000.00 x .0875)
n=17.02742857 años
Tasa:
¿A qué tasa anual debemos invertir $50,000.00 para que al cabo de 2 ½ años nos dé un monto de
$73,000.00?
P=50,000.00
n= 2.5 años
M=73,000.00
i= x
Sustituyendo en la fórmula i= M-P / P.n i= 73,000.00 –50,000.00 / (50,000.00 x 2.5)
i= 18.4% anual
Antes de realizar problemas de monto vamos a analizar el siguiente ejemplo:
¿Cuánto habrá de invertirse al 28.1% simple anual el 15 de febrero, para disponer de $7,000.00 el 9 de mayo, $5,500.00 del 20 de junio y de $10,000.00 el 23 de diciembre?
_______________________________________________________________
Feb. 15 mayo 9 jun.20 dic. 23
83 días 42 días 186 días
_______________________________________________________________
Para determinar los días se hará lo siguiente:
De feb 15 a mayo 9
Feb 28-15 = 13
Mzo. 31
Abr 30
Myo __9
Total 83 días
De mayo 9 a jun 20
Myo 31-9 = 22
Jun 20
Total 42 días
De jun 20 a dic 23
Jun 30-20 = 10
Jul 31
Ago 31
Sep 30
Oct 31
Nov. 30
Dic. 23
Total 186
Lo que estamos buscando es el capital que se tuvo que haber invertido el 15 de febrero para poder disponer de las cantidades mencionadas en cada uno de los meses, por lo que como partimos de la misma fecha, los días se irán acumulando, veamos
La primera cantidad que se dispuso el 9 de mayo fue de $ 7,000.00
P= 7,000.00 / (1+ (.281/360)(83) = 6,574.09
La segunda cantidad que se dispuso el 20 de junio fue de $5,500.00
P= 5,500.00 / (1+ (.281/360)(83+42)= 5,011.07
La tercera cantidad que se dispuso el 23 de diciembre fue de $10,000.00
P= 10,000/ (1+ (.281/ 360)(83+42+186)= 8,046.65
Sumando todos los capitales tendremos la cantidad que se tuvo que haber invertido en febrero 15
6,574.09+ 5,011.07+8,046.65=19,631.81
Analicemos otro ejemplo:
¿Cuál es el precio de un centro de entretenimiento que se paga con un anticipo del 30% y un documento a 3 meses con valor nominal de $3,600.00? Suponga que la tasa de interés es igual a la TIIE (tasa de interés interbancaria de equilibrio) que vale al día de la compra 19.8% mas 4 puntos.
M=$3,600.00
i= 19.8% anual + 4 puntos =23.8%
P=x
n=3 meses
Fórmula: M=P (1+ (in)) despejando: P= M/ (1+ (in))
Sustituyendo:
P= 3,600.00/ (1+ (.238/12)(3) P=$3,397.83 siendo este resultado el 70% pues se
anticipó el 30%
Entonces: 70% = 3,397.83
100% = x 3,397.83/ .70 = 4,854.04
Problemas propuestos.
(Interés)
1. Un capital de 37,000.00 ¿Qué interés produjo en 3 años a una tasa del 11% anual?
2. Se solicitó un préstamo por $71,600.00 a una tasa del 14.6% anual. Calcular los intereses que se pagarán al cabo de 7 meses.
3. Un capital de $513,000.00 quedó invertido durante 8meses 15 días al 7.05% anual. Calcular los intereses generados.
4. ¿Qué capital tuvo que invertirse para obtener intereses de $36,900.00 a una tasa del 5.5% semestral por un período de 3 trimestres?
5. ¿Qué cantidad se solicitó prestada, si se pagaron intereses de $4,785.00 después de 45 días a una tasa del 3% mensual?
6. ¿Cuál fue la tasa mensual que se pagó por un préstamo de $3,000,450. 00 durante 28 días si se pagaron intereses de $29,800.00?
7. ¿A qué tasa anual se pactaría una deuda solicitada por $108,700.00 durante 3 bimestres, si se pagarán 18,350.00 de intereses?
8. Encontrar el tiempo en días en que un capital de $75,850.00 produjo un interés de $11,739.00 si se impuso a una tasa del 15% anual.
9. ¿En cuanto tiempo un capital de $12,487.00 produjo un interés de $394.00 si se pactó una tasa del 1% mensual?
10. ¿En cuánto tiempo un capital de $789,335.00 produjo un interés de $46,900.00 a una tasa del 9.6% simple anual?
Problemas propuestos
(Monto, Tiempo y Tasa)
1. ¿Qué capital produce $3,500.00 por concepto de a intereses en 18 meses al 27.5% anual?
2. ¿En cuántos días un capital de $654,000.00 produce intereses de $73,000 si se invierte al 28.25% simple anual?
3. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual si un capital de $39,600.00 genera $1,260.00 de interés en 65 días?
4. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital que se invierte con un tipo de interés del 21.8% anual?
5. ¿Con cuánto se cancelan a los 9 meses un préstamo por $68,250.00 si se cargan intereses del 37.5% anual?
6. ¿Qué produce más intereses: invertir al 24.76% simple anual o al 6.19% trimestral?
7. El 21 de junio se depositan $4,500.00 en un banco que abona el 11.09% simple anual ¿Cuánto se acumula el 3 de noviembre siguiente?
8. ¿Cuál es el valor nominal de un documento que ampara un préstamo por $538,998.00 con intereses del 35% simple anual y 6 meses de plazo?
9.¿En qué fecha se recibió un préstamo por US $7,200 si el pagaré correspondiente tiene un valor nominal de US $8,100 que vence el 5 de marzo y los intereses se calculan con la tasa LIDER de 21.3% + 5 puntos?
10. La Sra. Cristina Aguilera adquiere diversos artículos de belleza en una tienda departamental por la cantidad de US $25,550. Liquida su compra con un enganche del 30% y dos abonos iguales a 30 y 60 días. ¿De cuánto es cada uno de los 3 pagos si se tienen cargos del 25.8% simple anual?
Solución a los problemas propuestos
(Interés)
1. $12,210.00
2. $6,097.03
3. $24,563.08
4. $447,272.72
5. $45,571.42
6. 1.064126% mensual
7. 33.76% anual
8. 371.43 días
9. 3.1552 meses
10. 7.4271 meses
Solución a los problemas propuestos
(Monto, Tasa y Tiempo)
1. $ 8,485.09
2. 146.12 días
3. 17.62% anual
4. 4 años 7 meses 1 día
5. $87,445.31
6. son equivalentes
7. $4,687.14
8. $633,322.65
9. 15 de septiembre
10. $9,230.89
Interés simple sobre saldos insolutos
Objetivos
Comprender el concepto de interés sobre saldos insolutos.
Obtener y aplicar las fórmulas para el cálculo de intereses sobre saldos insolutos parciales o totales.
Aplicar el concepto de intereses parciales, para resolver problemas de liquidación.
Introducción En este tema presentaremos el concepto de interés sobre saldos insolutos, definiendo primeramente el concepto de saldo insoluto.
Se analizará también por medio de un ejemplo el interés total sobre saldos insolutos, determinado la fórmula a través de la similitud del área de una figura geométrica. Y se aclarara con ejemplos para su comprensión total, presentaremos problemas resueltos para reafirmar los conocimientos adquiridos y se presentara una serie de problemas propuestos para su aplicación
Presentaremos el concepto de interés parcial sobre saldos insolutos, determinaremos la fórmula y aplicaremos problemas resueltos y propuestos para ejercite los conocimientos adquiridos
Por ultimo definiremos el concepto de liquidación y lo aclararemos con ejemplos de aplicación y propondremos una serie de problemas para su solución Conceptos Insoluto. El significado de insoluto es no pagado o no satisfecho. Saldo insoluto. Es el saldo no pagado o el saldo pendiente de pago también llamado capital insoluto. Interés sobre saldos insolutos. Son los intereses que se generan de los saldos pendientes de pago. Intereses totales sobre saldos insolutos. Son los intereses generados en todo el periodo calculado sobre saldos insolutos que van quedando después de efectuar pagos parciales a capital. Ejemplo: Supongamos que una persona le presta $5,000.00 a pagar en 5 meses con abonos mensuales y con una tasa del 10% mensual sobre saldos insolutos.
Al abono mensual a capital se calcula dividiendo el capital entre el Número de pagos, es decir: Abono a capital (A) = capital / numero de pagos 5,000 / 5 = 1,000
El abono a capital (A) = 1,000.00 pesos cada mes durante 5 meses, si usted paga $1,000.00 cada mes durante 5 meses al final habrá pagado el total de lo que le prestaron, solo estará debiendo los interese sobre saldos insolutos Para calcular los intereses sobre saldos insolutos lo haremos por medio de una sencilla tabla de interés Tiempo (meses)
Capital Abono Saldo Insoluto
Interés sobre Saldo insoluto
0 $5,000.00 $5,000.00 1 $1,000.00 $4,000.00 5,000 x 0.10 = $500.00 2 $1,000.00 $3,000.00 4,000 x .10 = $400.00 3 $1,000.00 $2,000.00 3,000 x .10 = $300.00 4 $1,000.00 $1,000.00 2,000 x .10 = $200.00 5 $1,000.00 0 1,000 x .10 = $100.00 suma $5,000.00 $1,500.00
Al finalizar el quinto mes usted pago $5,000.00 pesos de capital y los interés sobre saldo insolutos que se generan ascienden ala cantidad de $1,500.00 que se conocen como intereses totales sobre saldos insolutos, si calculamos los interés sobre saldos insolutos de la forma anterior y tuviéramos muchos periodos de pago se convertiría en un método tedioso, lago y cansado por lo que nos damos a la tarea de determinar una fórmula para el calculo de estos intereses
interes simple sobre saldos insolutos
0
100
200
300
400
500
600
Tienpo en meses
Inte
res
Serie1 1 2 3 4 5
Serie2 500 400 300 200 100
1 2 3 4 5
Tenemos una figura geométrica que se delimita por los intereses sobre saldos insolutos, el área de esa figura geométrica queda determinada por la fórmula siguiente: Área = (Altura Mayor + Altura Menor) x (base) 2 A= (a1 + a2) x n 2
Altura mayor = a1 = 500 Altura menor = a2 =100 Área = (500 + 100) x 5 = 1,500 Base = n = 5 2 Notemos que los intereses sobre saldos insolutos son iguales al área de la figura geométrica por lo que podemos concluir que la fórmula de Intereses totales sobre saldos insolutos será: Interés sobre Saldos Insolutos ( Is ) = (a1 + an) x n donde: 2 I s= Interés total sobre saldos insolutos. a1= Interés sobre saldo insoluto del primer periodo = Capital por interés. an= Interés sobre saldo insoluto del ultimo periodo = Abono por interés. n = numero total de periodos. Ejemplo 1 Tobías quiere comprar un carro con valor de $400,000; se tienen que pagar 40 mensualidades iguales, con un 24% de interés anual. ¿Que tanto de intereses pagaría Tobías?
P= $400,000 n= 40 mensualidades i= 24% Anual = 2% mensual
a1 = 400,000 (.02 ) = 8,000.00 an = 10,000 (.02 ) = 200.00 Aplicando la fórmula de intereses totales sobre saldos insolutos: Is= ( a1 + an ) x n = (8,000.00+200.00) x 40 = 164,000.00 2 2 Ejemplo 2 Se compró una maquinaria con valor de $750,000 pagando el 25% de anticipo. El resto se va a pagar en 4 años en abonos bimestrales iguales. Los intereses serán calculados al 18% anual sobre saldos insolutos. Calcular los intereses totales Datos:
Capital = valor – anticipo = 750,000-18,750 = 562,500 Tiempo = 4 años = 24 bimestres Tasa = 18% anual = 3% bimestral Abono a capital = capital/numero de pagos = 562,500/24 = 23,437.50
Calcularemos: a1 = p x i = 552,500 x .03 = 16,875 an = A x i = 23,437.50 x .03 = 703.12 Aplicando la fórmula de intereses totales sobre saldos insolutos:
Is= (a1 + an ) x n = (16,875+703.12) x 24 = 210,937.5 2 2 Los intereses que se tienen que pagar serán de $ 210,937.5 Ejemplo 3 Una empresa adquirió maquinaria para mejorar su producción, la compra ha sido por un total de $950,000 los cuales deben pagarse en 7 años en pagos cuatrimestrales iguales con una tasa del 5.5% anual. Los intereses se van a pagar sobre saldos insolutos, calcular: Los intereses totales
P=950,000 n= 7 anos x 3 = 21 cuatrimestres i= 5.5% anual = 1.83333% cuatrimestral
a1= 950,000 x 0.01833= 17,416.63 an= 45,238.09 x 0.01833= 829.36 Is= (a1+an) x (n) 2 Is= (17,416.63+829.36) x (21) 2 Is= $ 191,582.89
Intereses parciales sobre saldos insolutos Los intereses parciales son aquellos que se calculan en un periodo determinado del tiempo antes de que venza el plazo completo, es decir, cuando ya se efectuaron un número determinado de pagos. Por ejemplo, un préstamo que se debe pagar en 24 mensualidades iguales seria importante calcular cuanto se debe pagar hasta décimo segundo meses, hasta el décimo quinto mes, del octavo mes únicamente etc. Revisando el ejemplo inicial: Supongamos que una persona le presta $5,000.00 a pagar en 5 meses con abonos mensuales y con una tasa del 10% mensual sobre saldos insolutos. Y queremos conocer cuanto se ha pagado hasta el tercer mes Tiempo (meses)
Capital Abono Saldo Insoluto
Interés sobre Saldo insoluto
0 $5,000.00 $5,000.00 1 $1,000.00 $4,000.00 5,000 x 0.10 = $500.00 2 $1,000.00 $3,000.00 4,000 x .10 = $400.00 3 $1,000.00 $2,000.00 3,000 x .10 = $300.00 suma $3,000.00 $1,200.00
El interés parcial sobre saldos insolutos hasta el tercer año es la suma del primero hasta el tercer periodo es decir $ 1,200.00, pero también se puede calcular con la fórmula de intereses totales: cambiando el interés del último periodo por el interés del periodo en cuestión que se quiere calcular los intereses parciales ( 500 + 300 ) x ( 3 ) = 1,200
2 In = ( a1 + an ) x n
2 Donde: I n= Interés parcial sobre saldos insolutos al periodo n a1= Interés sobre saldo insoluto del primer periodo = Capital por interés ao9
n = numero total de periodos El interés sobre saldo insoluto del periodo al cual se quiere calcular el interés parcial se calcula de la siguiente manera: an = ( capital – pagos anteriores ) x interés an = (( capital – ( abono ) ( numero de periodos menos uno )) x interés an = ((P – (A)(n-1)) x i Del ejemplo anterior: a1 = P x i = 5,000 x .10 = 500 an = ((P- A x (n-1)) x i ) = ( 5,000 – 1,000x( 3-1)) x .10 = ( 5,000-2,000 ) x .10 an = 300 In = (a1 + an ) x n
2 In = ( 500 + 300 ) x 3 = $ 1,200.00
2 Ejemplo 1 Tobías quiere comprar un carro con valor de $400,000; se tienen que pagar 40 mensualidades iguales, con un 24% de interés anual cuanto habrá pagado de intereses hasta el mes 20 P= $400,000 n= 40 mensualidades i= 24% Anual = 2% mensual A= 400000/40 = 10,000 a1 = 400,000 (.02 ) = 8,000.00 an = (400,000- (10,000 x (20-1) ) x (.02 ) = 4,200.00 Aplicando la fórmula de intereses parciales sobre saldos insolutos: In= ( a1 + an ) x n = ( 8,000+4,200) x 20 = 122,000
2 2
Ejemplo 2 Se compró una maquinaria con valor de $750,000 pagando el 25% de anticipo. El resto se va a pagar en 4 años en abonos bimestrales iguales. Los intereses serán calculados al 18% anual sobre saldos insolutos calcular:
a) los intereses al finalizar el segundo año
Datos: Capital = valor – anticipo = 750,000-18,750 = 562,500 Tiempo para interés parcial = 2 años = 12 bimestres Tasa = 18% anual = 3% bimestral Abono a capital = capital/numero de pagos = 562,500/24 = 23,437.50
Calcularemos:
A1 = P x i = 562,500 x .03 = 16,875 An = (P - A x (n-1)) x i =(562,500–( 23,437.50x(12-1))x .03= 9,140.62
Aplicando la fórmula de intereses parciales sobre saldos insolutos: Is= ( a1 + an ) x n = ( 16,875+9,140.62) x 12 = 156,093.72
2 2 Ejemplo 3 Una empresa adquirió maquinaria para mejorar su producción, la compra ha sido por un total de $950,000 los cuales deben pagarse en 7 años en pagos cuatrimestrales iguales con una tasa del 5.5% anual. Los intereses se van a pagar sobre saldos insolutos, calcular: Los intereses generados hasta el 18vo. Cuatrimestre a1= 950,000 x 0.01833= 17,416.63 an= (950,000- (17) x 45,238.09 ) x 0.01833= 3,317.45 Is= (a1+an) (n) 2 Is= (17,416.63+3,317.45) x (18) 2 Is= $ 186,606.72 Liquidación El propósito de una liquidación es pagar antes de que venza el plazo establecido para un adeudo y el fin es de evitar pagar mas intereses Para determinar una liquidación el procedimiento es el siguiente: 1. Calcule la deuda total=Capital + Intereses al periodo de liquidación. 2. Calcule los pagos realizados antes de la liquidación. 3. Réstele a la deuda los pagos realizados. Liquidación = Deuda – Pagos realizados
Ejemplo 1 Tobías quiere comprar un carro con valor de $400,000; se tienen que pagar 40 mensualidades iguales, con un 24% de interés anual. A la mitad del tiempo pude liquidar su adeudo, cuanto tendría que pagar, prepare una liquidación si ha pagado puntualmente sus abonos a capital y los intereses se han prorrateado en el numero de pagos. Aplicando la fórmula de intereses totales sobre saldos insolutos: Is= (a1 + an ) x n = ( 8,000+200.00) x 40 = 164,000.00
2 2 Los intereses prorrateados son 164,000 = 4,100 40 El pago mensual = pago a capital + pago a intereses = 14,100 10,000 + 4,100 Los intereses para el mes numero 20 son: a1 = 400,000 (.02) = 8,000.00 an = (400,000- (10,000 x (20-1) ) x (.02 ) = 4,200.00 Aplicando la fórmula de intereses parciales sobre saldos insolutos: In= ( a1 + an ) x n = ( 8,000+4,200) x 20 ) = 122,000 2 2 Liquidación: 1.- Deuda a) capital………………………………………….. $ 400,000.00 b) Intereses para la mensualidad No 20……….……. $ 122,000.00 $ 522,000.00 2.- Pagos a) a capital = abono x No de pagos antes de la liquidación A x ( n-1)= 10,000 x ( 20-1)……...$ 190,000.00 b) a intereses= intereses prorrateados x No de pagos 4,100 x 19…………………..……$ 77,900.00 $267,900.00 3.- Liquidación = $522,000.00- $267,900.00= $ 254,100.00 Ejemplo 2 Se compró una maquinaria con valor de $750,000 pagando el 25% de anticipo. El resto se va a pagar en 4 años en abonos bimestrales iguales. Los intereses serán calculados al 18% anual sobre saldos insolutos y se pagaran prorrateados en cada pago y al final de los 2 años se quiere liquidar el adeudo con el fin de ahorrarse los intereses de los dos últimos años, prepare una liquidación. Calcularemos: a1 = p x i = 562,500 x .03 = 16,875 an = A x i = 23,437.50 x .03 = 703.12
Aplicando la fórmula de intereses totales sobre saldos insolutos: Is= ((a1 + an ) / 2) x n = (( 16,875+703.12)/2) x 24 ) = 210,937.5 El pago a intereses prorrateado será 210,937.50 / 24 = 8,728.06 El pago total bimestral será de 23,437.5 + 8,728.06 = 32,165.56 Calcularemos los intereses al segundo año: a1 = P x i = 562,500 x .03 = 16,875 an = (P - A x (n-1)) x i =(562,500–( 23,437.50x(12-1))x .03= 9,140.62 Aplicando la fórmula de intereses parciales sobre saldos insolutos: Is= ( a1 + an ) x n = ( 16,875+9,140.62) x 12 = 156,093.72
2 2 Liquidación: 1.- Deuda a) capital………………………………………….. $ 562,500.00 b) Intereses para el segundo año……..………. ……...$ 156,093.72 $ 718,593.72 2.- Pagos: a) a capital = abono x No de pagos antes de la liquidación A x ( n-1)= 23,437.5 x ( 12-1)……$ 257,812.50 b) a intereses= intereses prorrateados x No de pagos 8,728.06 x 11…………………….$ 96,008.66 $ 353,821.16 3.- Liquidación = $718,593.72- $353,821.16 = $ 364,772.56 Ejemplo integrador: Se pidió un préstamo de $100,000. Se acordó pagar en 2 años en abonos cuatrimestrales iguales. Los intereses serán del 30% anual sobre saldos insolutos. Calcular: a).-Los intereses totales b).-Los intereses al final del cuatrimestre 4 c).-Al finalizar el 2° año se quiere liquidar el adeudo, prepare una liquidación suponiendo que los intereses se prorratearon en el numero de pagos y se han pagado puntualmente P= $100,000 n= 2 años (cuatrimestral) 6 abonos i= 30% anual 10% cuatrimestral a) Is= 6(10,000+1,666.66) =$35,000.00 2
b) an= [100,000-(16,666.66 (3))] (.10) = 5,000 n=4 In= 10,000+5,000 (4) =$30,000 2 c) In= 6 a1= 10,000 a6= [100,000-(5)(16,666.66)] (.10)= 1,666.67 In= [(10,000+1,666.67) ] (6) = 35,000 2 1.- Deuda a) capital………………………………………….. $ 100,000.00 b) Intereses para el segundo año……..………. ……...$ 35,000.00 $ 135,000.00 2.- Pagos: a) a capital = abono x No de pagos antes de la liquidación A x ( n-1)= 16,666.66 x ( 6-1)… …$ 83,333.33 b) a intereses= intereses prorrateados x No de pagos 5,833.33 x 5…………………….$ 29,166.66 $ 112,500.00 3.- Liquidación = $135,000- $112,500 = $ 22,500.00 Note usted que la liquidación corresponde al último pago de capital mas intereses prorrateados.
Problemas propuestos
1. En el restaurante de comida francesa Le’Monyks adquirieron un equipo de cocina en $965,425.00. El proveedor ha establecido en el contrato que se tendrá que pagar un anticipo del 18% del total y el resto se pagará en 6 años en pagos bimestrales iguales con una tasa del 39% anual sobre saldos insolutos. Determinar: a) Los intereses totales sobre saldos insolutos. b) Los intereses sobre saldos insolutos del 10 bimestre. c) Los intereses sobre saldos insolutos del 24 bimestre d) Los intereses sobre saldos insolutos en el 32 bimestre. e) En el contrato el proveedor estableció que al concluir el segundo año se deben pagar los
intereses hasta ese momento ¿Cuánto se pagará por los intereses y el abono? f) En el contrato el proveedor también estableció que al concluir el cuarto se deben pagar los
intereses generados pero a partir del tercer año ¿Cuánto se pagará por los intereses y el abono?
g) En el contrato se establece que al finalizar el sexto año pagar el resto de los intereses generados ¿Cuánto se pagará por los intereses y el abono?
h) Calcular cada pago incluyendo los intereses si éstos han sido divididos en el número de pagos.
i) Suponga que al concluir 3 años se puede liquidar el adeudo y los pagos se han realizado puntualmente según el inciso h, prepare una liquidación.
2. Una empresa adquirió maquinaria para mejorar su producción, la compra ha sido por un total de $950,000 los cuales deben pagarse en 7 años en pagos cuatrimestrales iguales con una tasa del 5.5% anual sobre saldos insolutos. Determinar: a) Los intereses totales sobre saldos insolutos. b) Los intereses generados hasta el cuatrimestre No. 18 c) Suponga que el contrato establece que al concluir dos años, se deben pagar los intereses
generados hasta el momento. ¿Cuánto debe pagar por los intereses pagados y el abono? d) Si se quiere liquidar el adeudo al final del cuatrimestre No. 13. ¿Cuánto tendrá que pagar?
Prepare una liquidación si se han pagado puntualmente los intereses y el abono prorrateado.
Solución de los problemas propuestos
Problema 1
a) $951,957.18 b) $450,250.00 c) $840,467.68 d) $937,663.82 e) $545,137.95 f) $317,319.95 g) $133,479.73 h) $ 48,433.48 i) $675,816.23 Problema 2
a) $174,958.29 b) $172,357.12 c) $132,547.6 d) $458,601.35
Interés compuesto
Objetivo
Distinguir la diferencia entre interés simple e interés compuesto. Plantear y resolver problemas de cálculo de valor futuro, valor presente, tasa de interés y
tiempo en un interés compuesto.
Introducción Este tema inicia con un ejemplo de interés compuesto, del cual se obtendrá la fórmula para calcular dicho interés más el capital inicial, en donde éste último total se llamará Valor Futuro. Se presentará la simbología para valor futuro, capital, tiempo, tasa efectiva y tasa nominal.
Se desarrollan los despejes para calcular valor presente, tasa y tiempo, con ejemplos para cada uno.
Se presentarán fórmulas para cambiar tasas de interés de efectivas a nominal o viceversa. Al final del tema se presentan ejemplos para que el alumno practique la aplicación de
fórmulas.
Diferencia entre Interés Simple e Interés Compuesto En el interés simple el capital que genera el interés permanece sin cambio todo el tiempo que dura el préstamo.
En el interés compuesto el interés que se genera en un período determinado se convierte en capital para el siguiente período. Así, el interés generado al final del primer periodo se suma al capital original, formándose un nuevo capital. Con este nuevo capital se calcula un nuevo interés en el segundo periodo, y el interés se suma al capital, así se continúa para cada periodo.
Capitalización Capitalización es el intervalo de tiempo al final del cual se suma al capital anterior los intereses generados en ese periodo, esto es, se capitalizan los intereses.
La tasa de interés de un problema de interés compuesto deberá de especificar enseguida la capitalización del mismo.
Por ejemplo: 23% anual capitalizable mensualmente. 12% trimestral capitalizable semanalmente.
Tasa Efectiva: tiene las mismas unidades de tiempo en el porcentaje y en la capitalización, se representa con i. Ejemplos:
i = 13% anual capitalizable anualmente. i = 4% mensual capitalizable mensualmente. i = 5% semestral capitalizable semestralmente. i = 9% trimestral capitalizable trimestralmente
Tasa nominal: el porcentaje de esta tasa es anual y la capitalización es No anual. Se representa con j. Ejemplos:
j = 14% anual capitalizable mensualmente. j = 10% anual capitalizable quincenalmente. j = 8% anual capitalizable semestralmente. j = 16% anual capitalizable semanalmente.
La capitalización se representa por m, siendo m el número de veces que el interés se
capitaliza en un año. El interés puede capitalizarse anualmente, semestralmente, mensualmente, semanalmente,
etc. Si la capitalización es anual, entonces m = 1, si la capitalización es mensual, m = 12, etc.
La siguiente tabla muestra las capitalizaciones más comunes:
Capitalización m Anual 1 Semestral 2 Cuatrimestral 3 Trimestral 4 Bimestral 6 Mensual 12 Quincenal 24 Semanal 52 Diaria 365
Para convertir una tasa nominal en una tasa efectiva se divide la tasa nominal entre el número de capitalizaciones de esa tasa, así:
i = j/m Ejemplo: Convertir 24% anual capitalizable mensual, en una tasa efectiva mensual: i = 24/12 % = 2% mensual capitalizable mensual Valor Futuro El valor futuro es la suma del capital más el interés compuesto generado, también se le llama Monto.
El siguiente ejemplo se utilizará como base para definir la fórmula del Valor Futuro: si se invierten $4,000 en un banco que genera el 10% de interés anual capitalizable anualmente, ¿cuánto dinero se habrá acumulado después de 4 años?
La siguiente tabla muestra el capital en cada año (capital del año más interés del año anterior), el interés (capital de ese año por 0.1) y el total en el banco en ese año (capital más interés):
Año Capital Interés Total 1 $4,000 $400 $4,400 2 4,400 440 4,840 3 4,800 484 5,324 4 5,324 532.4 5,856.4
Si el capital se representa ahora como P, el tiempo como n y la tasa de interés con i, entonces la tabla anterior sería:
Año Capital Interés Total 1 P Pi P + Pi = P(1 + i) 2 P(1 + i) P(1 + i) i P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i)2
3 P(1 + i)2 P(1 + i)2 i P(1 + i)2 + P(1 + i)2 i = P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)3
4 P(1 + i)3 P(1 + i)3 i P(1 + i)3 + P(1 + i)3 I = P(1 + i)3(1 + i) = P(1 + i)4
Analizando los resultados de la tabla anterior encontramos que el total en el banco al final del los 4 años es: P(1 + i)4, en donde n = 4. Si ese total se representa con F (Valor futuro o monto), entonces la fórmula para calcular la suma de capital más interés total generado capitalizable cada período es:
F = P(1 + i)n
En donde:
F = Valor Futuro o Monto P = Capital, Valor Presente o Valor Actual i = Tasa de interés efectiva
n = tiempo
Para calcular la cantidad de interés que se generó, simplemente se restará al valor futuro el capital o valor presente, esto es: I = F - P
La fórmula anterior se podrá utilizar siempre y cuando exista concordancia entre las unidades de tiempo. Esto es, que la tasa de interés y el tiempo tengan las mismas unidades.
Para el ejemplo anterior se calculará ahora el valor futuro usando la fórmula: Datos:
P = $4,000 i = 0.1 anual capitalizable anual n = 4 años
Sustitución: F = 4,000(1 + 0.1)4 = $5,856.40
El interés compuesto es mayor que el interés simple, porque en el interés compuesto se ganan intereses sobre los intereses generados, y en el interés simple no.
A mayor número periodos de capitalización al año, mayor será el interés que se obtenga; así un capital que se invierta con una tasa anual capitalizable mensualmente tendrá mayor interés que con una tasa anual capitalizable semestralmente.
Un ejemplo aclarará lo anterior: Si una persona deposita $ 3,000 en un banco que paga una tasa de interés de 11% anual. ¿Cuánto recibirá en total al cabo de 5 años si la capitalización es: a) anual, b) semestral, c) trimestral, d) bimestral, e) mensual?
La siguiente tabla muestra los resultados del Valor Futuro o Monto y del interés generado, en donde cada tasa de interés nominal ( j ) se cambiará a efectiva ( i ) dividiendo entre el número de capitalizaciones correspondiente, y el tiempo se cambiará a las unidades de la capitalización multiplicando por el número de capitalizaciones requeridas:
Capitalización Valor Futuro Interés Anual F = 3,000(1 + 0.11)5 = $5,055.17 $2,055.17 Semestral F = 3,000(1+ 0.11/2)10 = $ 5,124.43 2,124.43 Trimestral F = 3,000(1 + 0.11/4)20 = $5,161.29 2,161.29 Bimestral F = 3,000(1 + 0.11/6)30 = $5,173.92 2,173.92 Mensual F = 3,000(1 + 0.11/12)60 = $5,186.75 2,186.75
En la tabla anterior se observa que al incrementarse los periodos de capitalización al año, el interés que se obtiene es mayor.
Enseguida se presentan ejemplos aplicando la fórmula de Valor Futuro. Ejemplo 1: En una institución bancaria la tasa de interés en cuentas de ahorro es 9.5% capitalizable mensualmente. Si se abre una cuanta de ahorros depositando $15,000. Hallar la cantidad total acumulada dentro de 6 años y el interés generado.
Solución: Datos:
j = .095 anual capitalizable mensualmente P = $15,000 n = 6 años
Cambio de unidades:
i = j/m = .095/12 = 0.0079 mensual capitalizable mensualmente n = 6 años = 6x12 = 72 meses
Fórmula: F = P(1 + i)n
F = 15,000(1 + .0079)72 = $26,464.54
Interés = $26,464.54 – 15,000 = $11,464.54
Ejemplo 2: Se invirtieron $10,000 en un banco. Al momento del depósito la tasa era del 8.5% anual capitalizable semestralmente, Dos años y medio después, la tasa cambia al 9.25% anual capitalizable trimestralmente. Calcular la cantidad total en el banco por esa inversión a los 7 años después del depósito. Solución: Datos:
P = $10,000 Primera tasa: j = 0.085 anual capitalizable semestralmente Primer periodo: n = 2.5 años
Segunda tasa: j = .0925 anual capitalizable trimestralmente Segundo periodo: 7 – 2.5 = 4.5 años Primero se calcula un valor futuro para los 2.5 años:
P = $10,000
j = 0.085 anual capitalizable semestralmente = 0.0425 semestral capitalizable semestralmente n = 2.5 años = 5 semestres F = 10,000(1 + .0425)5 = $12,313.47
Ahora se calcula el valor futuro de los últimos 4.5 años: j = .0925 anual capitalizable trimestralmente = 0.023125 trimestral capitalizable trimestralmente n = 4.5 años = 18 trimestres F = 12,313.47 (1 + 0.023125)18 = $18,582.19 Valor Presente El valor presente o valor actual es el capital que invertido ahora, a una tasa de interés capitalizable y a un tiempo dado, alcanzará un valor futuro determinado. Para calcular el valor presente se despeja P de la fórmula de valor futuro F = P (1 + i)n
Ejemplo 3: ¿Cuánto debe depositarse hoy en el banco si se desea acumular un total de $20,000 dentro de 4 años, siendo la tasa de interés del 9.5% anual capitalizable mensualmente? Solución: Datos:
P = ? F = $20,000 n = 4 años = 48 meses i = 0.095/12 = 0.007917 mensual capitalizable mensualmente
Ejemplo 4: El Sr. López posee un pagaré de $45,000 de valor nominal que vence dentro de 3 años, con un interés del 27% anual capitalizable mensualmente. Si vende ese pagaré dos años después de su inicio, y la tasa del mercado es de 10.2% capitalizable semestralmente, ¿qué precio debe ofrecer? Solución: en éste problema primero se debe calcular el valor del pagaré en la fecha de vencimiento, esto es, el valor futuro de $45,000 a la tasa del pagaré en el tiempo del pagaré: Datos de pagaré:
P = $45,000 n = 3 años = 36 meses i = 0.27 / 12 = 0.0225 mensual capitalizable mensualmente
F (1 + i)n P =
F (1 + i)n P = 20,000
(1 + 0.007917)48 = = $13,697.71
Valor Futuro del pagaré al vencimiento: F = 45,000(1.0225)36 = $100,251.74 Ahora se debe calcular el precio de venta del pagaré a 2 años de su inicio, como se muestra en el siguiente diagrama:
Datos para el precio de venta del pagaré:
F = $100,251.74 n = 1 año = 2 semestres (tiempo que falta por transcurrir) i = 0.102 anual cap semestral / 2 = 0.051 semestral cap semestral
El precio de venta justo, tanto para el comprador como para el vendedor es de $90,758.33.
$45,000
3 años
P
2 años
$100,251.74
1 año
F (1 + i)n P =
100,251.74 (1 + 0.051)2 = = $90,758.33
Tasa de interés Para calcular la tasa de interés cuando se conoce el Valor Presente, El Valor Futuro, y el tiempo, se pude hacer un despeje de la tasa i en la función de valor futuro:
F = P(1 + i)n
También ésta fórmula se puede escribir como sigue:
Ejemplo 5: El Sr. López depositó $14,500 en una cuenta de banco hace 4 años y medio. Hoy tiene $25,487.61 en esa misma cuenta. ¿Cuál fue la tasa de interés que ganó si se capitalizó mensualmente? Solución: Datos:
P = $14,500 F = $25,487.61 n = 4.5 años = 54 meses
Sustituyendo: La tasa nominal será: 12.6 % anual capitalizable mensualmente.
FP = (1 + i)n
= (1 + i)n FP
n n
= (1 + i) FP
n
i = - 1FP
n
i = - 1 F P
1/n
i = - 1 F P
1/n = - 1 = 0.0105 mensual cap. mensual 25,487.61
14,500
1/54
Tiempo: El tiempo se puede calcular con un despeje de n en la fórmula de valor futuro. Sólo que para esto se requiere utilizar una propiedad de los logaritmos que es: log Ax = x log A. Así, el despeje es:
F = P (1 + i)n
niPF )1( +=
Entonces se aplican los logaritmos, antes y después del igual:
log )1log( iPF
+= n
La ecuación para calcular el tiempo dado un valor futuro, un valor presente y la tasa de interés, es:
N = )1log(
log
iPF
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ejemplo 6: Luis deposita hoy $18,000 en el banco, aprovechando una tasa de interés fija del 10.5% anual capitalizable mensualmente. El objetivo de Luis es acumular un total de $35,000 por su inversión y los intereses generados. ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis para lograr su objetivo? Solución: Datos:
P = $18,000 i = 0.105/12 = 0.00875 mensual capitalizable mensual F = $35,000
Sustitución: Este tiempo también se puede expresar en años, meses y días:
n = 6 años, 4 meses y 10 días.
n = log
F P
log (1 + i) = = 76.33 meses
log 35,000 18,000
log (1.00875)
Tasas equivalentes
Dos o más tasas se consideraran equivalentes entre si, si a igual capital, producen el mismo monto compuesto al cabo de un mismo tiempo. El siguiente ejemplo demostrará lo anterior y permitirá también deducir las fórmulas para convertir cualquier tasa a otra equivalente: Ejemplo1: Si se depositan $500 en un banco que paga el 9% capitalizable mensualmente, ¿cuánto se habrá acumulado después de un año? Datos:
P = $500 j = 0.09 anual capitalizable mensualmente n = 1 año
Forma 1: considerando la tasa efectiva i = 0.09/12 = 0.0075 mensual capitalizable mensual, y el tiempo n = 12 meses: F = 500(1 + 0.0075)12 = $546.90 Forma 2: considerando la tasa nominal j = .09 anual capitalizable mensualmente, el tiempo n = 12 meses, número de capitalizaciones m = 12; y recordando que i = j/m: F = 500(1 + .09/12)12 = $546.90 Ahora, si se considera que la tasa efectiva es anual y el tiempo es un año, el valor futuro será: F = P(1+ i)n
Para cualquier tasa nominal (anual capitalizable No anual), el valor futuro será: F = P(1+ j/m)nm
Si las tasas son equivalentes, los valores futuros anteriores son iguales, así:
P(1+ i)n = P(1+ j/m)nm
Considerando que el tiempo es un año, se tiene:
P(1+ i) = P(1+ j/m)m
Si se divide la ecuación anterior entre P, se obtiene: 1+ i = (1+ j/m)m (1) De la ecuación anterior se puede despejar la tasa efectiva anual i, y también se puede despejar la tasa nominal j, dependiendo de cuál tasa se requiera. Despejando la tasa efectiva i, de la ecuación (1), se tiene: i = (1+ j/m)m - 1 i = % Anual Capitalizable Anualmente j = % Anual Capitalizable NO anual
Despejando la tasa nominal j, de la ecuación (1), los pasos son: m 1+ i = m (1+ j/m)m
m 1+ i = 1+ j/m
j/m = m 1 + i - 1 j = m 1 + i - 1 m j = % anual capitalizable NO anual i = % Anual Capitalizable Anual La fórmula anterior también se puede escribir como sigue: j = (1 + i)1/m – 1 m Con las dos fórmulas anteriores de i y j se puede hacer cualquier cambio de tasas de interés compuesto a su equivalente correspondiente. La tasa de interés efectiva NO anual se representará de ahora en adelante como im
Para el ejemplo 1, resuelto anteriormente, también se puede cambiar la tasa de interés a efectiva anual, como sigue: Datos:
P = $500 j = 0.09 anual capitalizable mensualmente n = 1 año m = 12
La tasa efectiva anual será: i = (1+ 0.09/12)12 -1 = 0.093807 efectiva anual Entonces el valor futuro será: F = 500(1 + 0.093807)1 = $546.90 En los siguientes ejemplos se explica la aplicación de las fórmulas de tasas equivalentes: Ejemplo 2. ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente al 15% capitalizable cuatrimestralmente? Datos:
j = 0.15 capitalizable cuatrimestralmente m = 3 i = ? anual capitalizable anual
Fórmula: i = (1+ j/m)m - 1 i = (1+ 0.15/3)3 -1 = 0.157625 = 15.7625 % efectiva anual
Ejemplo 3. Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente a 23% efectiva anual.
Datos: j = ? anual capitalizable trimestralmente m = 4 i = 0.23 anual capitalizable anualmente Fórmula: j = (1 + i)1/m – 1 m
j = (1 + 0.23)1/4 – 1 4 = 21.2465 % anual capitalizable trimestralmente
Ejemplo 4: ¿Cuál es la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente al 23% capitalizable semestralmente?
Datos:
j = ? anual capitalizable mensualmente j = 23% anual capitalizable semestralmente, m = 2
Primero se tendrá que convertir la tasa nominal j a una tasa efectiva anual i: Fórmula: i = (1+ j/m)m - 1
i = (1+ 0.23/2)2 -1 = 0.243225 = 24.3225 % efectiva anual
Ahora se calcula la tasa nominal que se pide, donde los datos son: j = ? anual capitalizable mensualmente, m = 12 i = 24.3225 % anual capitalizable anualmente Fórmula: j = (1 + i)1/m – 1 m j = (1 + 0.243225)1/12 – 1 12 = 21.969569 % anual cap. mensualmente
Ejemplo 5: Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente al 12% efectiva semestral. Datos:
im = ? efectiva trimestral = ? trimestral capitalizable trimestralmente im = 12% efectiva semestral = 12% semestral cap semestralmente
Primero se convertirá la tasa efectiva semestral a nominal semestral:
j = 12% (2) = 24% anual capitalizable semestralmente
Enseguida se calcula la tasa efectiva anual: Fórmula: i = (1+ j/m)m - 1
i = (1+ 0.24/2)2 -1 = 0.2544 = 25.44 % efectiva anual
Ahora se calculará una tasa nominal trimestral, para cambiar la capitalización de anual a trimestral: Fórmula: j = (1 + i)1/m – 1 m
j = (1 + 0.2544)1/4 – 1 4 = 23.320210 % anual cap trimestralmente
Finalmente esta última tasa se convierte en efectiva trimestral: im = 23.320210 % / 4 im = 5.830052 % trimestral capitalizable trimestralmente
Ejemplo 6: Convertir el 1.7% efectivo mensual a nominal capitalizable bimestralmente. Datos: im = 1.7% mensual capitalizable mensualmente j = ? anual capitalizable bimestralmente Primero hay que convertir la tasa efectiva mensual en nominal mensual: j = 1.7%(12) = 20.40 % anual capitalizable mensualmente Ahora se cambia a efectiva anual: Fórmula: i = (1+ j/m)m - 1
i = (1+ 0.2040/12)12 -1 = 0.224197 = 22.419735 % efectiva anual
Enseguida hay que cambiar la capitalización a bimestral: Fórmula: j = (1 + i)1/m – 1 m
j = (1 + 0.224197)1/6 – 1 6 = 20.5734 % anual cap bimestralmente
Ejemplo 7: Convertir el 12.5% efectivo semestral a efectivo trimestral. Datos:
im = 12.5% efectivo semestral = 12.5% semestral capitalizable semestral im = ? efectivo trimestral = ? trimestral capitalizable trimestral
Primero hay que convertir la tasa efectiva semestral en nominal semestral: j = 12.5%(2) = 25 % anual capitalizable semestralmente
Ahora se cambia a efectiva anual: Fórmula: i = (1+ j/m)m - 1
i = (1+ 0.25/2)2 -1 = 0.265625 = 26.5625 % efectiva anual
Enseguida hay que cambiar la capitalización a trimestral:
Fórmula: j = (1 + i)1/m – 1 m
j = (1 + 0.265625)1/4 – 1 4 = 24.264069 % anual cap. trimestralmente
Para terminar, hay que cambiar a efectiva trimestral: im = 24.264069/4 = 6.066017 % trimestral cap. trimestralmente
También se pueden utilizar fórmulas directas para hacer cambios de tasa nominal a otra nominal o de una tasa efectiva a otra efectiva. Enseguida se presentan otras alternativas para cambios de tasas:
Convertir una tasa nominal j1, con capitalización m1, a una tasa nominal j2 con capitalización m2:
Para encontrar la fórmula que haga directamente ese cambio, nos basaremos en : i = (1+
j/m)m – 1 Con tasa nominal j1: i = (1+ j1/m1)m1 – 1 Con tasa nominal j2: i = (1+ j2/m2)m2 – 1 Si las dos tasas efectivas i son equivalentes entonces: (1+ j1/m1)m1 – 1 = (1+ j2/m2)m2 – 1 Ahora se despejará j2: primero se elimina (-1): (1+ j1/m1)m1 = (1+ j2/m2)m2
Se obtiene raíz a la m2:
m2 (1+ j1/m1)m1 = m2 (1+ j2/m2)m2
m2 (1+ j1/m1)m1 = 1+ j2/m2
Despejando j2:
j2 = m2 (1+ j1/m1)m1 - 1 m2
Considerando el ejemplo 4 anterior: ¿Cuál es la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente al 23% capitalizable semestralmente? Datos:
j2= ? anual capitalizable mensualmente, m2 = 12 j1 = 23% anual capitalizable semestralmente, m1 = 2
Fórmula:
m2
j2 = (1+ j1/m1)m1 - 1 m2
Sustitución: 12
j2 = (1+ 0.23/2)2 - 1 12 = 21.969569 % anual cap mensualmente
Convertir una tasa efectiva No Anual a otra efectiva No Anual
Basándonos en la fórmula: j = (1 + i)1/m – 1 m Al dividir entre m, se tendrá una tasa efectiva No anual (im):
im = j /m = (1 + i)1/m – 1 m /m
im = (1 + i)1/m – 1 donde im = tasa efectiva No Anual, i = Tasa efectiva Anual
Despejando la tasa efectiva anual i, de la fórmula anterior: im = (1 + i)1/m – 1 1 + im = (1 + i)1/m (1 + im )m = ( (1 + i)1/m )m (1 + im )m = 1 + i i = (1 + im )m - 1
Con la fórmula anterior se puede convertir una tasa efectiva No anual en una tasa efectiva anual.
Ahora, si se consideran dos tasas efectivas No anuales, una im1 con capitalización m1 y otra im2 con capitalización m2, siendo estas equivalentes:
i = (1 + im1 )m1 - 1 i = (1 + im2 )m2 - 1 Igualando ecuaciones se tiene: (1 + im1 )m1 - 1 = (1 + im2 )m2 - 1
(1 + im1 )m1 = (1 + im2 )m2
m2 m2
(1 + im1 )m1 = (1 + im2 )m2 m2
(1 + im1 )m1 = 1 + im2 m2
im2 = (1 + im1 )m1 - 1
Esta última fórmula convierte una tasa efectiva im1 No Anual, a otra tasa efectiva im2 No Anual.
Considerando el ejemplo 5 anterior: Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente al 12% efectiva semestral.
Datos:
im2 = ? efectiva trimestral, m2 = 4 im1 = 12% efectiva semestral, m1 = 2
Fórmula: m2
im2 = (1 + im1 )m1 - 1
Sustitución: 4
im2 = (1 + 0.12 )2 - 1
im2 = 5.830052 % trimestral capitalizable trimestralmente
Para el ejemplo 7 anterior: Convertir el 12.5% efectivo semestral a efectivo trimestral. Datos:
im1= 12.5% efectivo semestral, m1 = 2 im2 = ? efectivo trimestral, m2 = 4
Fórmula: m2
im2 = (1 + im1 )m1 - 1
Sustitución: 4
im2 = (1 + 0.125 )2 - 1
im2 = 6.066017 % trimestral capitalizable trimestralmente
Ejercicios de tasas equivalentes
Para cada uno de los siguientes ejercicios calcular la tasa pedida expresada en % y sus unidades de tiempo en cada caso. Convertir: Resultado 1 1.75% Capitalizable trimestralmente a % Efectiva anual: 1.7615% 2 1.62% Efectiva mensual a % Efectiva trimestral: 4.9392% 3 9.94% Efectiva anual a % Efectiva semanal: 0.1824% 4 18.20% Convertible semestralmente a % Efectiva mensual: 1.4622% 5 2.25% Efectiva quincenal a % Capitalizable mensualmente: 54.6075% 6 0.50% Efectiva diario a % Efectiva semanal 3.5629% 7 4.00% Capitalizable bimestral a % Efectiva Tetramestral 1.3378% 8 1.25% Efectiva mensual a % Efectiva anual 16.0755% 9 0.09% Efectiva Semanal a % Efectiva mensual 0.3906% 10 6.00% Capitalizable trimestral a % nominal convertible semestralmente 6.0450% 11 8.07% Anual capitalizable quincenalmente a % efectiva mensual 0.6736% 12 0.01% Efectiva quincenal a % efectiva anual 0.2403% 13 0.60% Efectiva trimestral a % nominal capitalizable semestralmente 2.4072% 14 2.00% Efectiva mensual a % Capitalizable mensualmente 24.0000% 15 12.00% Capitalizable Trimestralmente a % Efectiva trimestral 3.0000% 16 0.30% Efectiva bimestral a % Capitalizable bimestralmente 1.8000% 17 0.05% De capitalizable semestralmente a % Efectiva semestral 0.0250% 18 0.02% Efectiva Diaria a % Capitalizable quincenalmente 7.3104% 19 5.00% Convertible semanalmente a % Capitalizable mensual 5.0080% 20 0.07% Efectiva quincenal a % capitalizable diariamente 1.6795% 21 0.07% Efectiva quincenal a % Efectiva diaria 0.0046% 22 8.00% Convertible tetramestral a % Convertible trimestral 7.9736% 23 7.50% Convertible semestralmente a % capitalizable anualmente 7.6406% 24 5.00% Anual capitalizable anualmente a % efectiva trimestral 1.2272%
Problemas propuestos.
1. Se hizo un depósito de $14,500 en una cuenta bancaria hace 2 años. Durante los primeros 9 meses la tasa fue del 7.4% anual capitalizable trimestralmente. Después de esos 9 meses la tasa cambia a 8.75% capitalizable semestralmente. ¿Cuánto se tendrá en la cuenta en éste momento?
2. Elia depositó en el banco $7,850. El banco genera el 9.75% capitalizable cuatrimestralmente. Después de año y medio deposita $5,720. ¿Cuál será el saldo en la cuenta de Elia después de 4 años de su primer depósito?
3. ¿Cuál es el precio de contado de una sala que se paga con un anticipo del 20% y dos abonos de $5,000 y $8,000 a 2 y 3 meses de la compra respectivamente, si el interés es del 34% anual capitalizable mensualmente?
4. ¿Con qué tasa de interés anual capitalizable semestralmente se triplica un capital en 7 años? 5. En una cuenta bancaria se han realzado los siguientes movimientos durante el año: Fecha Movimiento Cantidad 1 Enero Depósito $6,700 1 Marzo Retiro $2,800 1 Junio Depósito $9,500 1 Agosto Depósito $5,400 1 Diciembre Retiro $10,600
La cuenta bancaria genera el 10.12% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado al 1 de diciembre, después de su último retiro?
6. Eduardo ha decidido vender su auto y ha recibido las siguientes tres ofertas: Primera: $45,000 de contado. Segunda: $10,000 hoy y $39,000 dentro de un año Tercera: $16,000 hoy y $32,000 dentro de 8 meses Si la tasa de interés en el mercado es de 11.5% capitalizable mensualmente, ¿cuál es la oferta más conveniente para Eduardo?
7. Roberto desea acumular $20,000 para gastos imprevistos y empieza depositando $13,000 en un banco que genera el 8.3% de interés capitalizable mensualmente. Tres años después de su depósito la tasa cambia al 9.8% capitalizable semestralmente, ¿cuánto tiempo más tiene que esperar Roberto, después de que cambia la tasa de interés, para que su cuenta bancaria acumule un total de $20,000?
8. Un banco paga el 7.8% capitalizable trimestralmente. Se realiza un primer depósito de $12,500; ocho meses después otro depósito de $18,700 y un tercer depósito de $23,200 seis meses después del anterior. Determinar el saldo a dos años después de su primer depósito.
9. La Sra. Pérez tiene que liquidar una deuda de $23,500 en 5 años. Si el valor del dinero es 9.3% capitalizable mensualmente: a) ¿Con qué cantidad podría liquidar la deuda ahora? b) ¿Qué cantidad de intereses están incluidos en la deuda de $23,500?
10. Un comedor tiene un valor de contado de $28,700. Se adquiere a crédito con un enganche del 20% del valor de contado y un pago de $26,420 dentro de 6 meses. Hallar la tasa capitalizable mensualmente que se cobra por el crédito.
11. Juan deposita $50,000 en un banco que paga el 8.5% capitalizable anualmente. Dentro de dos años retira la mitad del total acumulado; tres años más tarde hace un depósito igual a la tercera parte del saldo existente en ese momento y un año después retira el total de dinero existente en esa cuenta. ¿Cuál es el valor de este último retiro?
12. Un pagaré de $53,000 de valor nominal con intereses del 18% capitalizable cuatrimestralmente con vencimiento a 3 años, se ofrece a la venta 2 años antes de su
vencimiento, ¿cuál es el precio de venta del pagaré en ese momento si el valor del dinero es del 10.8% capitalizable mensualmente?
13. Un prestamista acepta que se le pague al contado el 80% de dos pagarés de uno de sus clientes. Uno es de $32,000 ya incluidos los intereses y está vencido desde hace 7 meses y el otro es de $21,000 con interés incluido, y vence dentro de 5 meses. Si el prestamista cobra un interés del 36% capitalizable mensualmente, calcular la suma que pide el prestamista.
14. Un niño de 6 años heredará $85,000 cundo cumpla 18 años. Si el valor del dinero es del 8.5% capitalizable semestralmente, calcular: a) El valor actual de su herencia. b) Si no retira el dinero a los 18 años y la tasa de interés no cambia, ¿cuánto dinero tendrá cuando cumpla 23 años?
15. ¿En cuánto tiempo se triplica una inversión si la tasa de interés es del 9.8% capitalizable trimestralmente?
16. El Sr. Rojas tiene un pagaré de $43,000 de valor nominal, con interés simple del 4.3% mensual y que vence en 2 años 4 meses. Después de 9 meses decide venderlo. ¿Cuál es el valor del pagaré si la tasa de interés en el mercado es del 11.2% capitalizable mensualmente?
17. Una inversión duplica su valor en 1 año con 10 meses. ¿En cuánto tiempo lo triplicará? 18. Saúl tiene planeado acumular $60,000 para comprar de contado un auto usado. Hace un
depósito de $56,000. Después de 6 meses hace un retiro de $4,000 por gastos imprevistos. ¿Cuánto tiempo que esperar, después de ese retiro, para acumular los $60,000, si el banco genera el 10.58% capitalizable trimestralmente?
19. Se obtiene un préstamo bancario de $48,000 a pagar a 9 meses con interés del 32.4% capitalizable cuatrimestralmente. a) ¿Cuál es el monto que debe pagarse a los 9 meses? b) Si se decide liquidar el préstamo en forma anticipada, ¿cuánto debe pagarse a los 5 meses de que se obtiene el préstamo?
20. Alma contrae una deuda que debe liquidar mediante dos pagos: uno de $6,500 dentro de 10 meses y otro de $ 8,700 en 1 año 7 meses. Si la tasa de interés es del 15% capitalizable mensual, ¿Qué cantidad debería de pagar para liquidar la deuda en un solo pago? a) en éste momento b) en un año c) en dos años
Solución de los problemas propuestos. 1. $17,050.70 2. $10,557.38 3. $15,106.32 4. 16.33% anual capitalizable semestralmente 5. $9,304.02 6. Conviene más la tercer oferta 7. 1.90897 años = 1 año, 10 meses y 27 días 8. $60,059.78 9. a) $14,787.66 b) $712.34 10. 28.4045 % anual capitalizable mensualmente 11. $54,382.25 12. $72,217.20 13. $45,976.60 14. a) $31,303.54 b) $128,878.23 15. 11.3471 años = 11 años, 4 meses y 5 días 16. $79,436.91 17. 2.9058 años = 2 años, 10 meses y 26 días 18. 3.33 trimestres = 9.9956 meses 19. a) $60,458.27
b) $54,565.22 20. a) $12,611.58 b) $14,638.94 c) $16,992.22
Introducción a las anualidades
Objetivos Distinguir los elementos que intervienen en el concepto de anualidad. Reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades.
Introducción Este capítulo comienza con la definición de anualidad y con algunos ejemplos de anualidades. Continúa con un ejemplo que ilustra dicho concepto, se cuestiona sobre el valor de las anualidades, se captan los elementos que intervienen y se da a conocer la simbología que se va a utilizar.
Y concluye con la clasificación y distinción de las anualidades más usual como son vencidas u ordinarias, anticipadas y diferidas.
Concepto Anualidad. Es una sucesión de pagos generalmente de la misma cantidad y en períodos iguales. En finanzas se utiliza la palabra anualidad para los pagos periódicos iguales, pero no necesariamente los que se realizan cada año, sino que su período puede ser: semestral, cuatrimestral, trimestral, mensual, quincenal ó semanal. Algunos ejemplos de anualidades son: • Dividendos sobre acciones. • Los pagos a plazos. • El cobro del sueldo. • Los pagos de primas de póliza de seguro de vida. • Los pagos de rentas. • Cobro de intereses por inversiones a plazo fijo. Con un ejemplo analizaremos el concepto de anualidad, así como los elementos que intervienen en ella. Ejemplo 1 Un deposito de $3,000.00 pagaderos cada final de trimestre durante 3 años a cierta tasa de interés. Del ejemplo anterior, tenemos lo siguiente • Situación de inversión (pagos) • Pagos iguales de $ 3,000.00 • Períodos iguales de tiempo, a fines de cada trimestre.
Podemos plantearnos las siguientes preguntas, derivadas del análisis del ejemplo. 1. Cuál será el importe que se tendrá al término del plazo señalado. 2. Cuál es el valor presente en su fecha inicial. Lo anteriormente señalado nos lleva a integrar los elementos que se involucran en el concepto de anualidad. Elementos Anualidad ó renta. Es el pago uniforme y periódico. Tasa. El tipo de interés fijado y puede ser nominal o efectiva. Tiempo. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del último. Valor futuro. Es el valor de la anualidad al final del plazo. Valor presente. Es el valor equivalente a las anualidades al inicio del plazo. Simbología
A = Pago periódico de una anualidad o renta i = Tasa efectiva por periodo de capitalización j = Tasa nominal anual n = Número de períodos de pago p = Número de pagos periódicos de la anualidad m = Número de capitalizaciones de la tasa en el año F = Valor futuro P = Valor presente
Clasificación de las anualidades El pago de una anualidad puede hacerse al inicio de cada período al final del período o puede hacerse después de haber transcurrido varios períodos. Existen varios tipos de anualidades, en este capítulo se analizarán los siguientes: Según los pagos • Anualidades vencidas u ordinarias • Anualidades anticipadas
Según el pago de la primera renta • Anualidades diferidas Anualidad vencida. Es aquella en que los pagos periódicos iguales se realizan al final de cada período. Un ejemplo es la amortización de un crédito automotriz, donde el primer pago mensual se hace al término del primer periodo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ANUALIDADES
Anualidad anticipada. Es aquella en que los pagos periódicos se hacen al inicio de cada período y el interés continúa por un período más después de la última renta. Un ejemplo es el pago de arrendamientos donde el primer pago se realiza al inicio del primer período. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ANUALIDADES Anualidad diferida. Es aquella en la que se estipula que el primer pago periódico debe realizarse después de haber transcurrido cierto número de períodos. Un ejemplo son las ventas a crédito del tipo “compre ahora y empiece a pagar después”. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ANUALIDADES Las anualidades vencidas ó anticipadas pueden ser simples ó generales Anualidades simples se definen como aquellas cuyo período de pago coincide con el período de capitalización de la tasa de interés. Anualidades generales son aquellas cuyo período de pago no coincide con el período de capitalización de la tasa de interés.
Anualidades vencidas
Objetivo Identificar los factores que intervienen en las anualidades vencidas. Comprenderá el desarrollo de las fórmulas así como métodos matemáticos para calcular: Valor Futuro, Valor Presente, Anualidades, Tasas y Número de periodos.
Introducción Con un ejemplo y un esquema sencillo se define la fórmula a utilizar para Anualidades Vencidas, tanto para un valor futuro como para un valor presente. Una vez obtenida la fórmula se despeja cada uno de los elementos que forman cada una de las fórmulas ejemplificando como se aplica cada despeje por medio de algunos problemas resueltos. Al final se presentan una serie de problemas variados a resolver con el fin de comprender este tema y ayudar al alumno a hacer decisiones futuras más convenientes acerca de compras e inversiones.
Concepto
Una Anualidad Vencida, es aquella en la que los pagos periódicos o rentas se llevan acabo al final de cada periodo de pago.
Valor futuro de una anualidad vencida. Con el siguiente diagrama de una anualidad vencida, y a través de un ejemplo se determinará la fórmula para obtener el monto ó valor futuro de una anualidad vencida.
1 2 3 4 A = $200 i = 12% n = 4años 200 200 200 200 F = P (1 + i)n
Primer anualidad F = 200(1 + .12)3 = 280.99 Segunda anualidad F = 200(1 + .12)2 = 250.88 Tercer anualidad F = 200(1 + .12)1 = 224.00 Cuarta anualidad F = 200(1 + .12)0 = 200.00 F = $955.87 F = 200(1+0.12)3 + 200(1 + 0.12)2 + 200(1 + 0.12)1 + 200
1 S = a r3 + a r2 + a r1 + a Donde: S = F a = A n = 4 r = (1 + i)
• se multiplica por r toda la sumatoria
2 Sr = a r4 + a r3 + a r2 + a r
• Se restan 1 y 2 Sr = a r4 + a r3 + a r2 + a r S = - a r3 - a r2 - a r1 - a Sr-S = a r4 - a S(r - 1) = a (r4 - 1) S= a (r4 - 1) = (1 + i)n - 1 (1.12)4 - 1
(r - 1) i .12 F = $955.87 Valor futuro de una anualidad vencida. El monto o valor futuro de una anualidad vencida se determina de la siguiente forma: (1 + i)n - 1 i
Ejemplo 1 ¿Cuánto tendré ahorrado dentro de 6 meses si puedo ahorrar $5,000 semanales a una tasa de interés del 3% efectiva mensual? Datos
n = 6 meses A = $ 5,000 cada semana i = 3% efectiva mensual F = ?
F = A
F = A F = 200
i = 3% efectiva mensual X 12 j = 36 % anual capitalizable mensual i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .36/12)12/52 – 1 = 0. 00684458
(1.00684458)26 - 1 .00684458
Anualidad vencida en función de un valor futuro. Si despejamos la variable A, obtenemos la fórmula para calcular el importe de cada pago. i (1+i)n - 1 Ejemplo 2 Con el fin de reunir $ 150,000 dentro de 24 meses, con la tasa de interés efectiva anual del 8%, calcular ¿cuánto debo ahorrar al final de cada mes?. Datos
F = $ 150,000 n = 24 meses i = 8% anual capitalizable anual A = ? al final de cada mes
i j = (1 + i )1/m – 1 i j = (1 + .08)1/12 – 1 = . 00643403 0 .00643403 = $5,799.91 (1.00643403)24 - 1
F = 5,000 = $ 141, 756.18
A = F
A = 150,000
Tiempo en función de un valor futuro. Fórmula para calcular el tiempo ó el número de pagos vencidos que se tienen que realizar. (1 + i)n - 1 i (1 + i)n - 1 i F i log A n = log ( 1 + i) Ejemplo 3 Si depositan al final de cada tres meses $5,000, ¿cuánto tiempo transcurrirá para lograr reunir los $90,000 si el banco paga el 30% y la capitalización es trimestral? Datos
F = $ 90,000 A = $ 5,000 al final de cada trimestre i = 30% anual capitalizable trimestral n = ? i = (1 + j/m) m/m1 – 1
i = (1 + .30/4)4/4 – 1 = 0. 075
F = A
F = A
F A
= (1+ i)n - 1 i
Fi A = (1+ i)n - 1
F i A = (1+ i)n
F i A
+ 1
+ 1 log = n log(1+ i) log xn = n log x
+ 1
(90,000)(0.075) log 5,000 n = log (1.075) n = 11.81 depósitos trimestrales Tasa en función de un valor futuro En las fórmulas de Anualidades la variable i que corresponde a la tasa de interés no se puede despejar, así que por medio de tanteo y el método de interpolación se obtiene la tasa de interés de una anualidad vencida en función del valor futuro. Ejemplo 4 Una persona tiene una deuda de $ 180,000 que vence dentro de 3 años. Para poder liquidar la deuda crea un fondo de amortización con depósitos al final de cada mes de $ 3,505 ¿A qué tasa de interés se debe invertir para poder liquidar la deuda? Datos
n = 3 años A = $ 3505 al final de cada mes F = $ 180,000 i = ? efectiva mensual
(1 + i)n - 1 i
(1 + i)36 - 1 i
(1 + i)36 - 1 i
1% --------------- 43.07687836 13.07687836 X i --------------- 30 1% 8.917488827 2% --------------- 51.99436719
F A
180,000 3505
51.3552 =
+ 1
=
=
X = 1% = 1.466430585% + 1% = 2. 466430585% mensual 13.07687836 8.917488827 capitalizable mensual
Anualidades vencidas.
1 2 3 4 A = $200 i = 12% n = 4años 200 200 200 200 P = F (1 + i)n
Primer anualidad P = 200 / (1 + .12)1 = 178.57 Segunda anualidad P = 200 / (1 + .12)2 = 159.44 Tercer anualidad P = 200 / (1 + .12)3 = 142.36 Cuarta anualidad P = 200 / (1 + .12)4 = 127.10 P = $607.47 P = 200(1.12)-1 + 200(1 + .12)-2 + 200(1 + .12)-3 + 200(1.12)-4
1 S = a r-1 + a r-2 + a r-3 + ar-4
donde: S = P a = A n = 4 r = (1 + i)
• se multiplica por r toda la sumatoria
2 Sr = a + ar-1 + ar-2 + ar-3
• Se restan 1 y 2 Sr = a + ar-1 + ar-2 + ar-3
S = - a r-1 - a r-2 - a r-3 - ar-4
Sr-S = a - a r-4
S(r - 1) = a(1 - r-4 )
S= a (1 - r4) = 1 - (1 + i)-n (r - 1) i
P = A + 1
Sustituyendo:
1 - (1 .12)-4
.12 Valor presente de una anualidad vencida. El valor presente de una anualidad vencida se determina de la siguiente forma: 1 - (1 + i)-n
i Ejemplo 1 ¿Cuánto dinero puedo pedir prestado si cuento con un sueldo $ 7,000 mensuales. Cobrando una tasa de interés capitalizable mensualmente del 40% y el crédito debe pagarse en 36 mensualidades iguales? Datos
A = $ 7,000 mensuales n = 36 mensualidades j = 40% anual capitalizable mensual P = ?
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .40/12)12/12 – 1 = 0.033333333
1 - (1. 033333333)-36
0.033333333 Anualidad vencida en función de un valor presente. Si despejamos la variable A, obtenemos la fórmula para calcular el importe de cada pago.
i 1 - (1+i)-n
Ejemplo 2 Encontrar el importe de cada pago quincenal, si el préstamo otorgado fue por $ 250,000 a pagar durante 4 años, tomando en consideración que todos los pagos son por el mismo importe y la tasa de interés es de 25% nominal capitalizable semestralmente.
P = 7,000 (1.033333333) = $ 150,349.42
P = A
A = P
P = 200 = $ 607.47
Datos: P = $ 250,000 n = 4 años j = 25% nominal capitalizable semestral A = ? quincenal
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .25/2) 2/24 – 1 = 0. 009863581
0. 009863581 1 - (1. 009863581)-96
Tiempo en función de un valor presente. Fórmula para calcular el tiempo ó el número de pagos vencidos que se tienen que realizar. 1 - (1 + i)-n
i
1 - (1 + i)-n i
A = 250,000 = $ 4,040.76
P = A
P A
= 1 - (1 + i)-n i
P i A = 1 - (1 + i)-n
P i A
= - (1+ i)-n
P i A
- 1
1 - log = - n log (1+ i) log xn = n log x
P i A
1 - - (1+ i)-n
=
P = A
P i log A n = - log ( 1 + i)
P i log A n = - log ( 1 + i) P i log A n = - log ( 1 + i) Ejemplo 3 Calcular el número de semestres que requiere para pagar un crédito de $ 50,000 con pagos de $ 6,700 al final de cada semestre a una tasa de interés de 15% capitalizable mensual. Datos
A = $6,700 al final de cada semestre P = $ 50,000 j = 15% anual capitalizable trimestral n = ?
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .15/4) 4/2 – 1 = 0. 07640625 (50,000)(0.07640625) log 6700 n = - log (1.07640625) n = 11.47 pagos semestrales Tasa en función de un valor presente. En las fórmulas de Anualidades la variable ‘ i ‘ que corresponde a la tasa de interés no se puede despejar, así que por medio de tanteo y el método de interpolación se obtiene la tasa de interés de una anualidad vencida en función del valor presente.
1 -
1 -
1 -
1 -
Ejemplo 4 Si un crédito por $35,000 se paga en 3 años con pagos quincenales de $ 6,200, ¿a qué tasa nominal capitalizable semestralmente está otorgado el crédito? Datos
A = $ 6,200 vencidos quincenales P = $ 35,000 n = 3 años j = ? nominal capitalizable semestral
1 - (1 + i)-n
i
1 - (1 + i)-72
i
1 - (1 + i)-72
i 17% --------------- 5.882280469 X i ------------------- 5.64516129 0.237119179 1% 0.326762001 18% ------------------ 5.555518468 X = 1% = 0.72566326% + 17% = 17. 72566326% quincenal 0.237119179 0.326762001 capitalizable quincenal i = 17. 72566326 quincenal capitalizable quincenal j = 35.45132652 anual capitalizable quincenal i = 42.1795403 anual capitalizable anual i = 19.2390625 anual capitalizable semestral
P = A
35,000 6,200 =
5.64516129 =
Problemas propuestos
1. Para un crédito de $80,000 a pagar en 18 mensualidades iguales a una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente de 35%. Calcular el importe de cada pago. 2. Con el fin de reunir $250,000 en 2 años, a una tasa de interés efectiva del 8% capitalizable anual, calcular ¿cuánto debe ahorrar trimestralmente? 3. Con una inversión inicial de $50,000 y 12 depósitos mensuales iguales posteriores, se logra tener un monto de $ 100,000 calcular cuánto ahorra cada mes. La tasa es de 9% efectiva trimestral. 4. Si tengo disponibles $6,000 mensuales para poder pagar un crédito y la tasa de interés capitalizable mensualmente está al 32% y el crédito debe pagarse en 36 mensualidades iguales. ¿Cuánto dinero puedo pedir prestado? 5. Calcular el número de meses que se requieren para pagar un crédito de $ 380,000 si pago $9,700 mensuales a una tasa de interés de 30% capitalizable semanal.
6. Si un crédito por $600, 000 se paga en 36 meses con pagos quincenales de $ 9,600, ¿a qué tasa nominal capitalizable semestralmente está otorgado el crédito?
7. Un automóvil cuyo precio de contado es de $ 270,000, se paga bajo una tasa efectiva anual de 40% con mensualidades iguales de $9,000 durante 36 meses. Encontrar el importe del enganche. 8. Una deuda de $360,000.00 se amortizo de la siguiente manera: a) El 30 % de la deuda los primeros dos años con pagos mensuales, más los intereses que generó el saldo pendiente de pago, a una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Qué cantidad pago mensualmente? b) El 25% de la deuda e los siguientes tres cuatrimestres con abonos quincenales de $4,226.11. ¿Qué tasa anual capitalizable quincenalmente le cobraron en este periodo? c) El resto a pagar con abonos trimestrales de $38,144.91 a una tasa del 28.5 %anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuántos pagos trimestrales realizo para saldar la deuda? 9. Un inversionista depositó en una Institución de Crédito $12,890.00 hace 3.5 años y depósitos bimensuales de $2,000.00 durante el primer semestre, $6,730.00 los siguientes 10 bimestres y $10,000.00 el resto del tiempo. La tasa de interés que le pagaron es del 11% anual capitalizable bimensualmente. A) ¿Cuánto había acumulado al final del segundo año? ¿Qué cantidad semestral puede recibir durante 6 años más, si en este momento decide reinvertir lo acumulado y su saldo se agotará al recibir la ultima renta. La tasa de interés que le ofrecen es del 14% anual capitalizable semestralmente para este periodo.
Solución de los problemas propuestos
1. $ 5,775.79 2. $ 29,186.52 3. $ 2, 083.18 4. $ 137, 758.75 5. 180.34 meses 6. 9.75% anual capitalizable semestral 7. $ 66,156.47 8. a) $9,171.80 b) Tasa entre el 20% y 30% anual c) 7 pagos trimestrales 9. a) $88,626.99 b) $22,489.43 renta semestral
Anualidades anticipadas
Objetivo Identificar los factores que intervienen en las anualidades anticipadas. Comprenderá el desarrollo de las fórmulas así como métodos matemáticos para calcular: Valor Futuro, Valor Presente, Anualidades, Tasas y Número de periodos.
Introducción
Con un ejemplo y un esquema sencillo se define la fórmula a utilizar para Anualidades Anticipadas, tanto para un valor futuro como para un valor presente. Una vez obtenida la fórmula se despeja cada uno de los elementos que forman cada una de las fórmulas ejemplificando como se aplica cada despeje por medio de algunos problemas resueltos. Al final se presentan una serie de problemas variados a resolver con el fin de comprender este tema y ayudar al alumno a hacer decisiones futuras más convenientes acerca de compras e inversiones.
Concepto
Una Anualidad Anticipada, es aquella en la que los pagos periódicos o rentas se llevan acabo al comienzo de cada periodo de pago. Es frecuente que en la práctica algunas operaciones se estipulen de esta forma. Por ejemplo: La renta de terrenos, edificios, casas y oficinas, primas de seguro de vida, algunos planes de crédito.
Valor futuro de una anualidad anticipada Con el siguiente diagrama de una anualidad anticipada, y a través de un ejemplo se determinará la fórmula para obtener el monto ó valor futuro de una anualidad anticipada.
1 2 3 4 A = $200 i = 12% n = 4años 200 200 200 200 F = P (1 + i)n
Primer anualidad F = 200(1 + .12)4 = 314.70 Segunda anualidad F = 200(1 + .12)3 = 280.99 Tercer anualidad F = 200(1 + .12)2 = 250.88
Cuarta anualidad F = 200(1 + .12)1 = 224.00 $1,070.57 F = 200(1.12)4 + 200(1 + .12)3 + 200(1 + .12)2 + 200(1 + .12) 1 1 F = ar4 + a r3 + a r2 + a r1
Donde:
a = A n = 4 r = (1 + i)
• se multiplica por r toda la sumatoria 2 Fr = a r5 + a r4 + a r3 + a r2
• Se restan 1 y 2
Fr = a r5 + a r4 + a r3 + a r2
F = - ar4 - a r3 - a r2 - a r1
Fr - F = a r5 - ar1
F(r - 1) = ar(r4 -1) a r (r4 - 1) (1 + i)n - 1 (r - 1) i Donde:
F = Monto de una anualidad A = Pago hecho al inicio de cada periodo n = Número de pagos i = Tasa de interés efectiva
Sustituyendo:
(1 + i)n - 1 i
(1.12)4 - 1 0.12
F = F = A (1+ i)
F = A (1+ i)
F = 200 (1.12) = $ 1,070.57
Problemas resueltos de anualidades anticipadas Valor futuro de una anualidad anticipada. El monto o valor futuro de una anualidad anticipada se determina de la siguiente forma:
(1 + i)n - 1 i
Ejemplo 1 Obtenga el monto acumulado en 3 años, si se depositan $1,200 al inicio de cada mes en un banco que abona el 22% anual capitalizable mensualmente. Datos
n = 3 años A = $ 1,200 inicio de cada mes j = 22% anual capitalizable mensual F = ?
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .22/12)12/12 – 1 = . 01833333
(1.01833333)36 - 1 01833333
Anualidad anticipada en función del valor futuro. Si despejamos la variable A, obtenemos la fórmula para calcular el importe de cada pago. F i (1 + i) (1+i)n - 1 Ejemplo 2 ¿Cuánto debe invertir al inicio de cada quincena en una cuenta, para poder disponer de $ 300,000 en un plazo de 10 meses, si le ofrece un interés del 30% anual capitalizable anual?. Datos
F = $ 300,000 n = 10 meses i = 30% anual capitalizable anual A = ? al inicio de cada quincena
F = A (1+i)
F = 1,200 (1.01833333) = $ 61,539.64
A =
i j = (1 + i )1/m – 1 i j = (1 + .30)1/24 – 1 = .010991815 300,000 0 .010991815 (1.010991815) (1.010991815)240 - 1 Tiempo en función de un valor futuro. Fórmula para calcular el tiempo ó el número de pagos anticipados que se tienen que realizar. (1 + i)n - 1 i (1 + i)n - 1 i 1 F i log A(1+i) n = log ( 1 + i)
A =
F = A (1+i)
F = (1+i) A
F A (1+i)
= (1+ i)n - 1 i
F A(1+i) = (1+ i)n - 1
F i A(1+i) = (1+ i)n
F i A(1+i)
+ 1
+ 1 log = n log(1+ i) log xn = n log x
= $ 255.10
+ 1
Ejemplo 3 Para acumular $25,000. ¿Cuántos depósitos de $1,300 al comienzo de cada semestre serán necesarios efectuar con un interés del 21.5% anual capitalizable anual? Datos
F = $ 25,000 A = $ 1,300 al comienzo de cada semestre i = 21.5% anual capitalizable anual n = ?
i j = (1 + i )1/m – 1 i j = (1 + .215)1/2 – 1 = .102270384 (25,000)(0.102270384) log 1,300(1.102270384) n = log (1.102270384) n = 10.52 depósitos semestrales Tasa en función de un valor futuro. En las fórmulas de Anualidades la variable ‘ i ‘ que corresponde a la tasa de interés no se puede despejar, así que por medio de tanteo y el método de interpolación se obtiene la tasa de interés de una anualidad anticipada en función del valor futuro. Ejemplo 4 Con qué tasa de interés efectiva mensual, 20 depósitos mensuales anticipados de $300 se acumulan para llegar a un monto de $ 9000.00 Datos
n = 20 depósitos A = $300 mensuales anticipados F = $9,000.00 i = ? Efectiva mensual
F = (1+ i ) (1 + i)n - 1 A i 9,000 = (1+ i ) (1 + i)20 - 1 300 i 30 = (1+ i ) (1 + i)20 - 1 i
+ 1
3% --------------- 27.67648572 2.32351428 X i --------------- 30 1% 3.292715999 4% --------------- 30.96920172 X = 1% = 0.705652805% + 3% = 3. 705652805% mensual 2.32351428 3.292715999 capitalizable mensual
Valor presente de una anualidad anticipada Con el siguiente diagrama de una anualidad anticipada, y a través de un ejemplo se determinará la fórmula para obtener el valor presente de una anualidad anticipada.
1 2 3 4 A = $200 i = 12% n = 4años 200 200 200 200 F (1 + i)n
Primer anualidad P = 200 / (1 + .12)0 = 200.00 Segunda anualidad P = 200 / (1 + .12)1 = 178.57 Tercer anualidad P = 200 / (1 + .12)2 = 159.44 Cuarta anualidad P = 200 / (1 + .12)3 = 142.36 P = $ 680.37 P = 200(1.12)0 + 200(1.12)-1 + 200(1.12)-2 + 200(1.12)-3
1 P = a + a r -1 + a r -2 + a r -3
Donde:
a = A n = 4 r = (1 + i)
• se multiplica por r toda la sumatoria
P =
2 Pr = ar + a + ar-1 + ar-2
Se restan 1 y 2 Pr = ar + a + ar-1 + ar-2
P = - a - a r-1 - a r-2 - a r-3
Pr-P = ar - a r-3
P(r - 1) = ar(1 - r-4 )
a r (1 - r4) 1 - (1 + i)-n (r - 1) i
Donde: P = Valor presente A = Pago hecho al inicio de cada periodo n = Número de pagos i = Tasa de interés efectiva
Sustituyendo:
1 - (1 + i)-n i
1 - (1.12)-4 .12
P = P = A (1 + i)
P = A (1 + i)
P = 200 (1.12)
P = $ 680.37
Problemas resueltos de anualidades anticipadas.
Valor presente de una anualidad anticipada. El valor presente de una anualidad anticipada se determina de la siguiente forma: 1 - (1 + i)-n
i Ejemplo 1 Por la renta de un departamento se cobran $ 12,000 bimestrales anticipados en un año, con un interés del 8% anual capitalizable bimestral. Si se desea hacer un solo depósito hoy de ¿cuánto será? Datos
A = $ 12,000 bimestrales anticipados n = 1 año j = 8% anual capitalizable bimestral P = ?
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .08/6)6/6 – 1 =. 013333333 1 - (1.013333333)-6
0.013333333 Anualidad anticipada en función de un valor presente. Si despejamos la variable A, obtenemos la fórmula para calcular el importe de cada pago. P i (1 + i) 1 - (1+i)-n
Ejemplo 2 Si desea reunir $180,000 en 3 años haciendo depósitos al inicio de cada mes. De ¿cuánto es el importe de cada depósito, si el banco paga una tasa de interés del 30% capitalizable mensualmente? Datos
P = $ 180,000 n = 3 años j = 30% anual capitalizable mensual A = ? inicio de cada mes
P = 12,000 (1. 013333333) = $ 69, 672.72
P = A (1+i)
A =
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .30/12)12/12 – 1 = 0.025 180,000 0.025 (1.025) 1 - (1.025)-36 Tiempo en función de un valor presente. Fórmula para calcular el tiempo ó el número de pagos anticipados que se tienen que realizar. 1 - (1 + i)-n i 1 - (1 + i)-n i 1 P i log A(1+i) n = - log ( 1 + i)
A = = $ 7,454.91
P = A (1+i)
P = (1+i) A
P A (1+i)
= 1 - (1 + i)-n i
P A(1+i) = 1 - (1 + i)-n
P i A(1+i) = - (1+ i)-n
P i A(1+i)
- 1
1 - log = - n log (1+ i) log xn = n log x
1 -
P i A(1+i)
1 - - (1+ i)-n =
P i log A(1+i) n = - log ( 1 + i) Ejemplo 3 Cuántos pagos semanales anticipados de $450 cada uno se deben hacer para amortizar una deuda de $25,000, si se paga un interés del 10% anual capitalizable trimestral? Datos
A = $450 anticipado por semana P = $ 25,000 j = 10% anual capitalizable trimestral n = ?
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .10/4)4/52 – 1 = 0. 001901237 (25,000)(0.001901237) log 450(1.001901237) n = - log (1.001901237) n = 58.65 pagos semanales Tasa en función de un valor presente. En las fórmulas de Anualidades la variable ‘ i ‘ que corresponde a la tasa de interés no se puede despejar, así que por medio de tanteo y el método de interpolación se obtiene la tasa de interés de una anualidad anticipada en función del valor presente. Ejemplo 4 ¿A qué tasa de interés efectiva cuatrimestral, 21 depósitos cuatrimestrales anticipados de $15,500 equivalen a un Valor Presente de $130,000? Datos
A = $ 15,500 anticipado por cuatrimestre P = $ 130,000 n = 21 i = cuatrimestral capitalizable cuatrimestral
1 - (1 + i)-n
i
1 -
1 -
P = A (1+i)
130,000 = (1+ i ) 1 - (1 + i)-21
15,500 i 1 - (1 + i)-21
i 12% --------------- 8.469443624 X i --------------- 8.387096774 0.08234685 1% 0.444692046 13% --------------- 8.024751578 X = 1% = 0.18517725% + 12% = 12.18517725% cuatrimestral 0.08234685 0.444692046 capitalizable cuatrimestral
8.387096774 = (1+ i )
Problemas propuestos de anualidades anticipadas
1. Si se depositan $1,000 en una cuenta de ahorros y $200 se depositan al inicio de cada semestre durante los siguientes cuatro años. Si el interés es de 6% anual capitalizable semestral, ¿cuánto habrá en la cuenta al final de cuatro años? 2. Al invertir $500,000 al 18% anual capitalizable quincenalmente. ¿Cuántos retiros al comienzo de cada mes de $13,100 se pueden realizar?. 3. La póliza de seguro de vida estipula que se entregue al beneficiario de éste un pago de $5,000 al comienzo de cada quincena durante 10 años. ¿Cuál es el valor presente de esta anualidad, si la tasa de interés es del 2.5% capitalizable mensual? 4. Al depositar $3, 550 al comienzo de cada mes durante 3 años en un fondo que produce el 12% capitalizable anual. ¿Cuánto habrá en el fondo al finalizar los 3 años? 5. Una persona pide prestados $10,000 en una institución bancaria y conviene en pagar por medio de pagos mensuales iguales anticipados durante 3 años. Si el interés es del 13% anual capitalizable mensual. A ¿cuánto ascenderá cada pago? 6. ¿A qué tasa efectiva semestral 30 depósitos al inicio de cada mes de $500, darán un monto de $30,000? 7. Una máquina se compra en $4,000 al contado, y pagos de $350 al comienzo de cada semestre durante seis años. Si el interés es del 8.5% anual capitalizable semestralmente, encuentre el valor total de contado de la máquina. 8. Con el fin de reunir 100,000 dentro de 1 año y medio. ¿Qué cantidad deberá depositar al inicio de cada quincena para acumular el monto deseado, si el interés es del 1.53% capitalizable mensual? 9. ¿Cuántos depósitos al comienzo de cada semestre de $1,552.60 cada uno se deben efectuar para acumular un monto de $50,000, la tasa de interés es de 23.17% capitalizable anual? 10. Una televisión con un valor de contado de $8,000 puede adquirirse con 24 pagos mensuales anticipados de $500 cada uno. Hallar la tasa de interés que se carga.
Solución de los problemas propuestos 1. $62,405.38 2. 55.88 retiros mensuales. 3. $1, 062, 441.14 4. $152, 931.41 5. $333.33 6. 14.62% mensual capitalizable mensual. 7. $7, 375.24 8. $2,745.17 9. 13.74 depósitos semestrales. 10. 90.98% mensual capitalizable mensual.
Anualidades diferidas
Objetivos Identificar las anualidades diferidas.
Resolver problemas calculando el valor futuro, valor presente, tasa de interés, tiempo y rentas de las anualidades diferidas.
Introducción Una vez que ya han sido analizadas las anualidades, tanto vencidas, como anticipadas, se explica como resolver las diferentes variables de las anualidades vencidas. Es conveniente antes, dejar claro el significado de diferir.
Diferir se refiere a retardar, aplazar, posponer la ejecución de una cosa o una acción. Por lo tanto se puede concluir que, una anualidad es diferida cuando la serie de rentas o anualidades que la componen se realizan unos periodos de tiempo después del momento en que se calculan sus valores.
Lo anterior se puede ilustrar con un diagrama 1 2 3 4 P0 Donde n’ representa el tiempo diferido y n el numero de periodos de la anualidad.
Tanto las anualidades vencidas, como las anualidades anticipadas se pueden diferir. En síntesis, se puede establecer que en realidad solo hay anualidades vencidas o anticipadas y que ambas adquieren la categoría de diferidas si las rentas que las integran se aplazan. Inicio y término de una anualidad Es conveniente precisar que; el valor futuro de cualquier anualidades se ubica al final de la anualidad, o sea, si la anualidad es vencida, el monto se ubica en la última renta o anualidad, mientras que si la anualidad es anticipada, el monto se ubica un periodo después de la última renta.
El valor presente de cualquier anualidad se ubica al comienzo de la anualidad, por lo tanto, si la anualidad es vencida, el valor presente se ubica un periodo antes de la primera renta, mientras que, si la anualidad es anticipada, dicho valor se ubica justo en la primera renta. F 1 2 3 4 P0
F 1 2 3 4 P Valor futuro de una anualidad diferida Para calcular el valor futuro de una anualidad diferida, ya sea vencida, o anticipada, bastará con aplicar la fórmula correspondiente de valor futuro sin modificarla. Esto se puede apreciar mediante el siguiente ejemplo: Una persona desea reunir cierta cantidad de dinero y para tal propósito decide depositar $700 al final de cada mes durante diez meses, pero el primer depósito lo hará dentro de cuatro meses. Si le ofrecen una tasa de 18% anual con capitalización mensual, ¿qué monto logrará reunir? Se aplica la fórmula de valor futuro de la anualidad vencida.
F = A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+i
i n 1)1( F = 700
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −015.
1015.1 10
F = $ 7,491.90 Si los depósitos en el problema anterior fueran al inicio de cada mes entonces se aplica la fórmula de valor futuro de la anualidad anticipada.
F = A ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+ii n 11
(1+i) F = 700 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −015.
1015.1 10
(1.015)
F = $ 7,604.27 NOTA; Para resolver, tasa, tiempo y renta de una anualidad diferida con valor futuro. Se aplican las mismas fórmulas y procedimientos que se usan para resolver una anualidad vencida o anticipada, según sea el caso. Valor presente de una anualidad diferida Para calcular el valor presente de una anualidad diferida, ya sea vencida, o anticipada, se aplica la fórmula correspondiente de valor presente de la anualidad y el resultado obtenido se divide entre uno mas la tasa, elevados al número de periodos de tiempo diferido.
P = A ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+ii n 11
/ (1+i)n’
Donde; n = número de periodos de la anualidad n’ = número de periodos diferidos
Resolución de problemas Valor presente Una tienda comercial ofrece en venta una televisión a crédito, sin enganche, mediante el pago de doce mensualidades de $ 435 c/u y el primer abono se paga tres meses después de la compra. Calcular el precio de contado, considerando una tasa de interés de 2.5 % efectiva mensual.
Este problema se puede resolver como anualidad vencida o como anualidad anticipada, veamos: P0 = valor que se desea calcular el día de hoy P1 = valor presente de la anualidad vencida P2 = valor presente de la anualidad anticipada Primero se calculará como anualidad vencida diferida
P1 = 435 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −12
12
)025.1(025.1025.1
P1 = 4,462.13
P0 = 2)025.1(13.462,4
= 4,247.12
P0 = $ 4,247.12 Ahora se calculará como anualidad anticipada:
P2 = 435 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −12
12
)025.1(025.1025.1
( 1.025 )
P2 = 4,573.68 El valor obtenido lo dividimos entre el tiempo diferido:
P0 = 3)025.1(68.573,4
P0 = $4,247.12 Anualidad o renta con valor presente En este caso como el capital conocido no representa el valor presente de la anualidad, se tiene que ajustar llevándolo a futuro por el periodo diferido.
P (1+i)n’ = A ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+n
n
iii
)1(11
Resolver la siguiente actividad Una persona deposita $50,000 en una cuenta que paga una tasa mensual de 1.25% capitalizable mensualmente. ¿Qué cantidad podrá después retirar durante 36 meses, considerando que el primer retiro lo hace dentro de cuatro meses, Se puede resolver como anualidad vencida Los $50,000, no representan el valor presente de la anualidad, por lo tanto encontramos el valor presente de la anualidad llevado el capital a valor futuro por el tiempo diferido.
50,000 ( 1 +.0125)3 = ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −36
36
)0125.1(0125.10125.1
51,898.54 = A ( 28.8473)
A = 8473.28
54.898,51
A = $ 1,799.08 O, se puede resolver como anualidad anticipada:
50,000 ( 1 +.0125)4 = A ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −36
36
)0125.1(0125.10125.1
( 1.0125 )
52, 547.27 = A ( 29.2073 )
A = 2073.29
27.547,52
A = $ 1,799.08
Como se puede apreciar, en los dos casos el resultado es el mismo. Número de períodos o rentas en función del valor presente Para calcular el número de rentas o periodos de una anualidad diferida, se tiene que ubicar el valor presente de la anualidad mediante una ecuación
P (1+i)n’ = A ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+n
n
iii
)1(11
Ejemplo: si una persona tiene hoy un depósito de $ 75,000 en una cuenta que paga una tasa efectiva de 1.5% mensual. ¿Cuántos retiros de $ 6160 podrá hacer, considerando que el primer retiro lo hará dentro de cuatro meses? Se puede resolver como anualidad vencida, sustituyendo los valores de n en la ecuación para encontrar el resultado por tanteo.
75,000 (1.015)2 = 6160 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −n
n
)015.1(015.1015.1
77,266.88 = 6160 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −n
n
)015.1(015.1015.1
Resolviendo con logaritmos
n = )1log(
))(1log(
iAiP
+
− n =
)015.1log(
)6160
)015(.88.266,771log( −
n = 14 También se puede resolver como anualidad anticipada:
75,000 (1.015)3 = 6160 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −n
n
)015.1(015.1015.1
(1.015)
78,425.88 = ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −n
n
)015.1(015.1015.1
(1.015)
Se sustituyen valores de n en la ecuación para buscar el resultado por tanteo o, se pueden utilizar logaritmos
n = )1log(
))1(
)(1log(
iiA
iP
++
− n =
)015.1log(
))015.1(6160
)015(.88.425,781log( −
n = 14 En ambos casos se obtiene el mismo resultado Tasa en función del valor presente Una persona tiene hoy un depósito de $75,000 en una cuenta de ahorro, con los cuales desea hacer catorce retiros mensuales de $6,160 c/u, el primer retiro dentro de tres meses. Calcular la tasa efectiva anual que le deben pagar para lograr su objetivo.
Como el capital no representa el valor presente de la anualidad, se tiene que ubicar mediante una ecuación.
P (1+i)n’ = A ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−+n
n
iii
)1(11
Y se puede resolver como anualidad vencida, sustituyendo valores en la ecuación
75,000 (1+i)2 = 6160 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+14
14
)1(11
iii
Como no existe despeje para encontrar la tasa, el resultado se tiene que encontrar por medio de tanteo.
Se iguala la ecuación con .015, o sea, la tasa encontrada es 1.5% mensual y se convierte a efectiva anual dando como resultado una tasa de 19.57%
También se puede resolver como anualidad anticipada, la ecuación quedaría así:
75,000 (1+i)3 = 6160 ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+14
14
)1(11
iii
(1+i)
Se le dan valores al tanteo a i hasta igualar la ecuación y constatamos que el resultado es el mismo i = 19.57% anual
Problemas propuestos 1. Si desea reunir $ 25,000 para irse de vacaciones dentro de dos años y una caja de ahorros le ofrece una tasa efectiva anual de 7.83% y considerando que su primer depósito lo puede hacer hasta dentro de cinco meses, ¿ que cantidad mensual tendrá que depositar ? 2. La mueblería Ektrala ofrece una televisión, que tiene un precio de contado de $3,999, a crédito con un 10% de enganche y el resto en 18 abonos mensuales, el primer pago tres meses después de la compra. Si la tasa de financiamiento que se carga por el crédito es el 26.08% efectiva anual, ¿de que cantidad será cada abono? 3. Un microondas tiene un precio de contado de $1,899 y se puede adquirir a crédito, sin enganche, mediante 24 abonos mensuales de $111.55 c/u, el primer abono dentro de tres meses. ¿Qué tasa anual se carga por el crédito? 4. En una tienda departamental hay una promoción de venta de celulares. Y se puede adquirir el modelo Konia 1108, con solo un anticipo de $100 y 12 pagos mensuales de $199 c/u. El primer pago tres meses después de la compra. Si la tasa de financiamiento es de 9.38% anual, ¿cuál será el precio de contado del celu.? 5. Un DVD marca shotiba, multirregión, tiene un precio de contado de $2,299 y se puede adquirir a crédito con un 5% de enganche y el resto en mensualidades de $182.07 c/u, la primer mensualidad dentro de cuatro meses. Si la tasa de interés cargada en el crédito representa el 19.57% efectiva anual, ¿cuántos pagos se tienen que hacer para liquidar la deuda? 6. Una persona quiere reunir $9,764.43 y tiene la intención de ahorrar $525 cada mes, pero empezará a depositar en una cuenta de ahorro dentro de cinco meses, si la tasa de interés que espera ganar es el 36% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos depósitos tendrá que hacer? 7. Si usted comienza a ahorrar dentro de tres meses $500 al inicio de cada mes durante dos años y logra reunir $ 12,971.67, ¿ que tasa efectiva anual le pagan por su ahorro?. 8. El señor Loera quiere ir de vacaciones a España dentro de 18 meses y para entonces necesitará $55,500, si empieza a ahorrar dentro de cuatro meses al final de cada mes en un banco que le pague el 6% anual capitalizable semestralmente. ¿Qué cantidad mensual tendrá que depositar?
Resultados de los problemas propuestos 1. A = $ 1,244.32 2. A = $ 248.43 3. i = 34.49% 4. P = $ 2,241.80 5. n = 14 6. n = 15 7. i = 8.31% 8. A = $ 3,573.78
Fondo de amortización
Objetivo
Explicar qué es fondo de amortización. Aplicar las anualidades vencidas y anticipadas en operaciones de fondo de amortización
para determinar el valor de los depósitos, la tasa de interés, el tiempo o el saldo acumulado en cualquier periodo.
Construir tabla de fondo de amortización completa o parcial.
Introducción
En este tema el alumno aplicará lo aprendido en anualidades vencidas y anticipadas de rentas fijas. Como los temas de anualidades ya se cubrieron anteriormente, en este capítulo se explicará la manera de elaborar tablas de fondo de amortización completas o parciales utilizando las herramientas adquiridas. Concepto El fondo de amortización es una cantidad de dinero que se va acumulando con depósitos periódicos (vencidos o anticipados) que generan intereses, principalmente para lograr un monto. Un fondo de amortización se puede crear con la finalidad de: • Pagar una deuda a su vencimiento. • Sustituir maquinaria y equipo. • Proveer capital para jubilación. • Contar con fondos de ahorro para el retiro ( AFORES ). • Cubrir cualquier compromiso en el futuro. Los fondos de amortización pueden ser de rentas fijas, de variación aritmética, geométrica, por grupos. etc.
En este tema, se estudiará únicamente los fondos de amortización de rentas fijas, por lo tanto se utilizan las fórmulas de anualidades vencidas o anticipadas
En los ejemplos siguientes se explica el procedimiento para hacer la tabla, cuando todos los depósitos y la frecuencia con que se realizan son iguales. Tabla de fondo de amortización, cuando las anualidades o rentas se realizan al final del período (vencidas). Ejemplo 1 La Cía. Maquinaria de Delicias, S.A. CV, desea crear un fondo de amortización en cuatro años con depósitos semestrales vencidos, en una institución bancaria que otorga un interés del 20 % anual capitalizable semestralmente, con la finalidad de sustituir parte de su maquinaria, que según presupuestos, tendrá un valor de $15, 000,000.00.
Se pide: • Determine el importe semestral vencido que se debe depositar en el fondo. • Elabore tabla de amortización. • Verifique la cantidad en el fondo al final del segundo año. Datos
F= $ 15, 000,000.00 n = 4 años x 2 = 8 semestres. j = 20 % capitalizable semestralmente A =X al final de cada semestre m = 2 p = 2
i (1+i)n - 1 .10 (1+.10)8 - 1 = $1, 311,660.26 Tabla de fondo de amortización La tabla a construir tendrá cinco columnas con los siguientes títulos sugeridos. 1. Período 2. Deposito periódico 3. Interés 4. Total acumulado 5. Total en el fondo.
PERIODO DEPOSITO PERIODICO
INTERES 10 %
TOTAL ACUMULADO
TOTAL EN EL FONDO
1 $ 1,311,660.26 -------------- 1,311,660.26 1,311,660.262 $ 1,311,660.26 131,166.03 1,442,826.29 2,754,486.553 $ 1,311,660.26 275,448.66 1,587,108.91 4,341,595.464 $ 1,311,660.26 434,159.55 1,745,819.81 6,087,415.275 $ 1,311,660.26 608,741.53 1,920,401.79 8,007,817.066 $ 1,311,660.26 800,781.71 2,112,441.97 10,120,259.037 $ 1,311,660.26 1,012,025.90 2,323,686.16 12,443,945.198 $ 1,311,660.26 1,244,394.52 2,556,054.78 15,000,000.00
Forma para elaborar tabla de fondo de amortización, cuando las rentas son vencidas.
1. Primera columna (periodo), se anota los números de los periodos, iniciando en el primero si únicamente hay anualidades o rentas, en caso de que hubiera un depósito inicial adicional a las rentas se anota en el cero.
A = F
A = 15, 000,000.00
2. Segunda columna (deposito), se anota la cantidad que se obtuvo de aplicar la fórmula anualidad ó renta vencida de un valor futuro.
3. Tercera columna (interés), el interés se determina aplicando la tasa del periodo al total en el fondo del periodo anterior.
4. Cuarta columna (total acumulado), es el resultado de sumar el deposito más el interés del período.
5. Quinta columna (total en el fondo), resulta de sumar total en el fondo del período anterior más total acumulado.
Verificar la cantidad en el fondo al final del segundo año Al observar la tabla veremos que el total en el fondo al final del segundo año, es de $6,087,415.27 y si desea comprobar esta cantidad, deberá calcular a valor futuro de la renta en el año 2.
El beneficio de esta verificación, es la corrección oportuna de posibles errores en la elaboración de la tabla. (1+i)n -1 i (1+.10)4 -1 .10 = $6, 087,415.27 Tabla de fondo de amortización, cuando las anualidades o rentas se realizan al inicio del período (anticipadas). Ejemplo 2 La Cía. Maquinaria de Delicias, S.A. CV, desea crear un fondo de amortización en cuatro años con depósitos semestrales anticipados, en una institución bancaria que otorga un interés del 20% anual capitalizable semestralmente, con la finalidad de sustituir parte de su maquinaria, que según presupuestos, tendrá un valor de $15,000,000.00. Se pide: • Determine el importe semestral vencido que se debe depositar en el fondo. • Elabore tabla de amortización. • Verifique la cantidad en el fondo al final del segundo año. F i (1 + i) (1+i) n - 1 15,000,000 .10 (1 + .10) (1+.10) 8 - 1 =$1,192,48.42
F = A
F = 1, 311,660.26
A=
A=
PERIODO PAGO PERIODICO
INTERES 10 %
TOTAL ACUMULADO
TOTAL EN EL FONDO
1 $1,192,418.42 $119,241.84 1,311,660.26 1,311,660.26 2 $1,192,418.42 250,407.86 1,442,826.29 2,754,486.55 3 $1,192,418.42 394,690.50 1,587,108.92 4,341,595.47 4 $1,192,418.42 553,401.39 1,745,819.81 6,087,415.28 5 $1,192,418.42 727,983.37 1,920,401.79 8,007,817.07 6 $1,192,418.42 920,023.55 2,112,441.97 10,120,259.04 7 $1,192,418.42 1,131,267.75 2,323,686.17 12,443,945.18 8 $1,192,418.42 1,363,636.36 2,556,054.78 14,999,999.96
Forma para elaborar tabla de fondo de amortización, cuando las rentas son anticipadas.
1. Primera columna (periodo), se anota los números de los periodos, iniciando en el primero si únicamente hay anualidades o rentas, en caso de que hubiera un depósito inicial adicional a las rentas se anota en el cero.
2. Segunda columna (deposito) se anota la cantidad que se obtuvo de aplicar la fórmula anualidad ó renta anticipada de un valor futuro.
3. Tercera columna (interés) el interés se determina aplicando la tasa del periodo al resultado de sumar el total en el fondo anterior más el depósito.
4. Cuarta columna (total acumulado) es el resultado de sumar el deposito más el interés del período.
5. Quinta columna (total en el fondo), resulta de sumar total en el fondo del período anterior más total acumulado.
En las tablas de fondo de amortización anticipadas los depósitos se realizan al inicio del periodo y los intereses se calculan al final.
Verificar la cantidad en el fondo al final del segundo año Al observar la tabla veremos que el total en el fondo al final del segundo año, es de $6,087,415.28 y si queremos comprobar esta cantidad, debemos calcular a valor futuro de la renta en el año 2.
El beneficio de esta verificación, es la corrección oportuna de posibles errores en la elaboración de la tabla. (1+i)n -1 i 1+.10)4 -1 .10 = $6, 087,415.28
F = A (1+i)
F = 1, 192,418.42 (1+.10)
Ejemplo3 Carlos Serrano adquiere una maquinaria en $300,000.00, conviene con su acreedor en pagarlo dentro de 3 años, para lograr su objetivo, crea un fondo de amortización en una institución bancaria, que otorga el 9.75% anual capitalizable cuatrimestralmente. Sus depósitos iguales serán al inicio de quincena. • Determine el importe de sus pagos periódicos. • Elabore la tabla de fondo de amortización con los tres primeros períodos y los últimos
tres. Datos
A = X quincenales anticipadas j = 9.75% nominal capitalizable cuatrimestralmente n = 3 años x 24 = 72 quincenas. F = $300,000.00
Recuerde que primero se debe cambiar la tasa de nominal capitalizable cuatrimestralmente a efectiva quincenal. i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .0975/3)3/24 – 1 = .004005882 F i (1 + i) (1+i) n - 1 300,000.00 .004005882 (1 +.004005882) (1+.004005882) 72 – 1 =$3,588.54
PERIODO DEPOSITO INTERES .004005882
TOTAL ACUMULADO
TOTAL EN EL FONDO
1
$ 3,588.54 $14.38 $3,602.92 $3,602.92
2 $ 3,588.54 $28.81 $3,617.35 $7,220.273 $ 3,588.54 $43.30 $3,631.84 $10,852.11
69 $285,700.9770 $ 3,588.54 $1,158.86 $4,747.40 $290,448.3771 $ 3,588.54 $1,177.88 $4,766.38 $295,214.7572 $ 3,588.54 $1,196.97 $4,785.51 $300,000.26
A=
A=
Para completar la tabla de amortización con los tres últimos períodos, debemos calcular el total en el fondo (Valor futuro) al final de la quincena No. 69 y se continúa de la misma manera que en los primeros períodos. (1 + i)n - 1 i
(1 +.004005882)69 - 1 .004005882 = $285,700.96
F = A (1+i)
F = 3,588.54 (1+.004005882)
Problemas propuestos. 1. Una empresa planea ampliar sus instalaciones en un año, lo cual le ocasionará una erogación de $4,295,700.00, y para disponer de ese monto, constituye un fondo de amortización, con aportaciones quincenales vencidas, en una institución de de crédito que le otorga el 11.25% de interés nominal capitalizable semestralmente. ¿De cuánto es cada una de las aportaciones? construya la tabla del primer período y los últimos dos. 2. Un estudiante, terminará su licenciatura en tres años y desea que al concluir sus estudios poder realizar un viaje al extranjero, por lo que constituye un fondo de amortización para reunir $99,000.00 mediante depósitos semanales iguales anticipados. Si la tasa de interés que le ofrecen es del 13.5 % anual capitalizable anualmente. ¿De cuánto deberá realizar cada deposito para lograr lo que se propone? Elabore la tabla con los primeros dos periodos y los últimos tres. 3. Una persona deposita $13,755.00 al inicio de cada semestre durante dos años ¿Qué cantidad acumulará 3.5 años después de haber iniciado la inversión? Si la tasa de interés que le pagan es del 2.25% efectiva capitalizable trimestralmente. Haga la tabla completa. 4. Un empleado está ahorrando $455.66 al final de cada quincena para poder acumular $16,000.00. Si la tasa de interés que le ofrecen es del 9.25% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos depósitos deberá realizar? Elaborar tabla de los primeros tres períodos y el último. 5. Si deposita $1,800.00 al inicio de cada mes durante 3.75 años en una institución de crédito, le garantizan entregarle $109,196.35 ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente le pagan? Haga la tabla de los primeros dos períodos y los últimos tres. 6. Juan López necesita acumular $250,000.00 dentro de dos años ya que desea adquirir de contado un automóvil. Para disponer de esa cantidad, debe hacer depósitos al inicio de cada semana en una institución de crédito que le reditúa el 15.5% anual capitalizable mensualmente ¿De cuanto deberá ser su deposito? Elabore tabla de los primeros tres períodos y los últimos dos. 7. Para pagar el 25% de enganche de la compra de su casa habitación que tiene un precio total de $450,000.00, y que le entregarán en 6 meses, María acude a una institución bancaria y constituye un fondo mediante depósitos iguales al inicio de cada mes, el interés que gana es del 1.6% efectivo capitalizable mensualmente. ¿De cuanto es cada uno? Construya la tabla completa.
Amortización
Objetivo Explicar qué es amortización.
Aplicar las anualidades vencidas y anticipadas en operaciones de amortización para determinar el valor de los pagos, la tasa de interés, el tiempo o el saldo en cualquier periodo.
Construir tabla de amortización completa o parcial.
Introducción Las operaciones de anualidades se resuelven utilizando las fórmulas de anualidades vencidas y anticipadas. Como los temas de anualidades ya se cubrieron anteriormente, en este capítulo se explicará la manera de elaborar tablas de amortización completas o parciales utilizando las herramientas adquiridas.
Concepto Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio de una serie de pagos que, generalmente son iguales y que se realizan en períodos iguales.
Una amortización se puede crear con la finalidad de: • Pagar una deuda
La amortización puede ser de rentas fijas, de variación aritmética, geométrica, por grupos. etc.
En este tema, se estudiará únicamente las amortizaciones de rentas fijas, por lo tanto se utilizan las fórmulas de anualidades vencidas o anticipadas
En los ejemplos siguientes se explica el procedimiento para hacer la tabla, cuando todos los depósitos y la frecuencia con que se realizan son iguales. Diferencias entre Fondo de Amortización y la Amortización Tanto el fondo de amortización como la amortización son dos maneras de pagar una deuda por medio de pagos periódicos, pero existen diferencias que a continuación se enunciaran. Fondo de Amortización Amortización La deuda que se va a amortizar se plantea a futuro.
La deuda que se va a amortizar se plantea a presente
Los pagos que devengan intereses, sirven para construir una reserva que permita pagar la deuda al vencimiento.
Los pagos sirven para pagar los intereses sobre saldos insolutos y parte del capital.
Tabla de amortización, cuando las anualidades o rentas se realizan al final del período (vencidas). Ejemplo 1 Una deuda de $47,850.00 debe pagarse en 2 años, con abonos cuatrimestrales vencidos y con tasa del 26.5% anual capitalizable mensualmente • Determine el importe cuatrimestral vencido que debe pagar para liquidar la deuda. • Elabore tabla de amortización. • Verifique el saldo al final de primer año. Datos
P= $47,850.00 N= 2 años x 3 = 6 cuatrimestres j= 26.5% capitalizable mensualmente. A= X al final de cada cuatrimestre m= 12 p= 3
Recuerde que primero se debe cambiar la tasa de nominal capitalizable mensual a efectiva cuatrimestral. i = (1 + j/m) m/m1 – 1 J = (1 + .265/12)12/3– 1 = .09130269 ____i____ 1 - (1+i)-n
.09130269 1- (1+09130269)-6 = $10,708.17 Tabla de amortización La tabla a construir tendrá cinco columnas con los siguientes títulos sugeridos.
1 = Período 2 = Pago 3 = Interés 4 = Amortización 5 = Saldo
PERIODO PAGO
PERIODICO INTERES
.09130269 AMORTIZACIÓN
SALDO
0 $47,850.00
1 $10,708.17 $4368.83 $6,339.34 $41,510.662 $10,708.17 $3790.03 $6,918.14 $34,592.523 $10,708.17 $3,158.39 $7,549.78 $27,042.744 $10,708.17 $2,469.07 $8,239.09 $18,803.645 $10,708.17 $1,716.82 $8,991.35 $9,812.296 $10,708.17 $895.89 $9,812.23 $.06
A = P
A = 47,850.00
Forma para elaborar tabla de amortización, cuando las rentas son vencidas. 1. Primera columna (periodo) se anota los números de los periodos, iniciando en el periodo
cero, con la cantidad de la inversión o de la deuda que se va a amortizar. 2. Segunda columna (pago) se anota la cantidad que se obtuvo de aplicar la fórmula
anualidad ó renta vencida de un valor presente. 3. Tercera columna (interés) el interés se determina aplicando la tasa del periodo al saldo
anterior. 4. Cuarta columna (amortización) es el resultado de restar el pago menos el interés del
período. 5. Quinta columna (saldo), resulta de restar saldo del período anterior menos la amortización.
El pago.
Verificar la cantidad del saldo al final del primer año Al observar la tabla vemos que el saldo al final del primer año, es de $27,042.74. Y si desea comprobar esta cantidad, ésta la obtendrá restando el valor futuro del presente ($47,850.00) menos al valor futuro de de la renta vencida ($10,708.17) en un año.
El beneficio de esta verificación, es la corrección oportuna de posibles errores en la elaboración de la tabla. F = P (1+i)n
F= 47,850.00 (1+.09130269)3 =$62,189.58 (1 + i)n - 1 i (1+.09130269)3 -1 .09130269 = $35,146.83 Saldo al final del primer año = $27,042.74 Tabla de amortización, cuando las anualidades o rentas se realizan al inicio del período (anticipadas). Ejemplo 2 Una deuda de $47,850.00 debe pagarse en 2 años, con abonos cuatrimestrales anticipado y con tasa del 26.5% anual capitalizable mensualmente • Determine el importe cuatrimestral anticipado que debe pagar para liquidar la deuda. • Elabore tabla de amortización. • Verifique el saldo al final de primer año. Recuerde que primero se debe cambiar la tasa de nominal capitalizable mensual a efectiva cuatrimestral.
F = A
F =10,708.17
i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = (1 + .265/12)12/3– 1 = .09130269 P i (1 + i) 1 - (1+i)-n
47,850.00 .09130269 (1+.09130269) 1-(1+.09130269)-6 = $9,812.29
PERIODO PAGO PERIODICO
INTERES .09130269
AMORTIZACIÓN
SALDO
0 $47,850.00
1 $9,812.29 $3,472.95 $6,339.34 $41,510.662 $9,812.29 $2,894.15 $6,918.14 $34,592.523 $9,812.29 $2,266.50 $7,549.79 $27,042.734 $9,812.29 $1,573.19 $8,239.10 $18,803.635 $9,812.29 $820.93 $8,991.36 $8,912.276 $9,812.29 0 $9,812.29 0
Forma para elaborar tabla de amortización, cuando las rentas son anticipadas 1. Primera columna (periodo) se anota los números de los periodos, iniciando en el periodo
cero, con la cantidad de la inversión o de la deuda que se va a amortizar. 2. Segunda columna (pago) se anota la cantidad que se obtuvo de aplicar la fórmula
anualidad ó renta anticipada de un valor presente. 3. Tercera columna (interés) el interés se determina aplicando la tasa del periodo al resultado
de restar el saldo anterior menos el pago. 4. Cuarta columna (amortización) es el resultado de restar el pago menos el interés del
período. 5. Quinta columna (saldo), resulta de restar saldo del período anterior menos la amortización.
En las tablas de amortización anticipadas los retiros se realizan al inicio del periodo y los intereses se calculan al final.
Verificar la cantidad del saldo al final del segundo año Al observar la tabla vemos que el saldo al final del primer año, es de $27,042.73. Y si desea comprobar esta cantidad, ésta la obtendrá restando el valor futuro del presente ($47,850.00) menos al valor futuro de la renta anticipada ($9,812.29) en un año El beneficio de esta verificación, es la corrección oportuna de posibles errores en la elaboración de la tabla. F= P (1+i) n
F= $47,850.00 (1+.09130269)3 =$62,189.58 (1 + i)n - 1 i
A =
F = A (1+i)
A =
(1 +.09130269)3 - 1 =35,146.85
.09130269 Saldo al final del primer año =$27,042.73 Ejemplo 3 Una maquinaria, cuyo valor es de $66,000.00, se vende en pagos mensuales vencidos a 5 años, a un interés del 8.25% anual capitalizable semestralmente. ¿Qué cantidad pagará por mes? • Elaborar la tabla de los primeros dos periodos y los últimos tres. • Determinar el saldo al final del tercer semestre. Datos
P= $66,000.00 n= 5 años x 12 = 60 meses J= 8.25% capitalizable semestralmente A= X al final de cada mes m= 2 p= 12
Recuerde que primero se debe cambiar la tasa, de nominal capitalizable semestral a efectiva mensual. i = (1 + j/m) m/m1 – 1 i = 1 + .0825/2)2/12 – 1 = .00675973028 i 1 - (1+i)-n
____.00675973028 1-(1+ .00675973028)-60 = $1,341.77
PERIODO PAGO PERIÓDICO
INTERES .00675973028
AMORTIZACIÓN SALDO
0 $66,000.00
1 $1,341.77 446.14 895.63 65,104.372 $1,341.77 440.09 901.68 64,202.69 3971.66
58 26.85 1314.92 2,656.7459 $1,341.77 17.96 1,323.81 1332,9360 $1,341.77 8.77 1,332.99 .06
A = P
F = 9812.29A (1+.09130269)
A = 66,000
Para completar la tabla de amortización con los tres últimos períodos, debemos calcular el saldo (Valor futuro) al final del mes No. 57. Y se continúa de la misma manera que en los primeros períodos. F= P (1+i) n
F= 66,000 (1+.00675973028) 57 =$96,898.39 (1 + i)n - 1 i (1 + .00675973028)57 - 1 .00675973028 =$ 92,926.73 Saldo al final del mes No. 57 =$3,971.66
F = A
F = A
Problemas propuestos.
1. Una deuda de $207,005.00 se va a amortizar con 33 pagos trimestrales, a una tasa de interés del 27% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto es el pago? Elabore la tabla de amortización de los primeros 3 y últimos 4 períodos (Si el pago se realiza al vencido). Elabore la tabla de amortización de los primeros 4 y últimos 2 períodos (Si el pago se realiza al inicio).
2. Se adquiere un artículo que se debe pagar con 12 abonos mensuales de $975.00, si el primer pago se realiza exactamente un cuatrimestre después de la compra y la tasa de interés que le cobran es del 45% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál es el precio de contado de dicho artículo? Elaborar la tabla de amortización de los primeros 2 periodos de diferimiento (en meses) y los 2 últimos. (Si el pago se realiza vencido). Elaborar la tabla de amortización de los primeros 2 periodos de diferimiento (en meses) y los 2 últimos (Si el pago se realiza anticipado).
3. Una institución de crédito concede prestamos con el siguiente plan de amortización: Plazo 4.5 años, pagos semestrales iguales con tasa del 12.25% anual capitalizable quincenalmente. En los primeros dos años se amortiza el 40% de la deuda y en los últimos años el resto. Aplicar a un préstamo de $137,500.00. ¿De cuánto deben ser sus pagos si fueran vencidos y si fueran anticipados? Elabore tabla completa vencida y anticipada.
4. Una deuda de $350,000.00 a pagar en 5 años con pagos semanales a una tasa de interés del 3.3% efectiva capitalizable semestralmente debe amortizarse de la siguiente manera: Los primeros 3 trimestres se pagaran solo los intereses y a partir del cuarto trimestre se efectuaran pagos hasta liquidar la deuda. ¿De cuánto debe ser su pago si fueran vencidos? Elaborar tabla de amortización del primer período y del último.
Depreciación
Objetivo Comprender el proceso de la depreciación de un activo. Distinguir los diversos métodos de depreciación. Determinar la depreciación anual, la acumulada y valor en libros de cada método. Elaborar tablas de depreciación.
Introducción Casi todos los activos que adquiere una empresa empiezan a perder valor con el transcurso del tiempo ya sea por el uso o por obsolescencia. Esta perdida se conoce como depreciación.
En este capítulo se estudiará la depreciación, los elementos que intervienen en el concepto de depreciación así como los diferentes métodos más usuales que se emplean para calcularla.
En cada uno de los métodos de depreciación que aquí se estudian se determina cargo anual de depreciación, depreciación acumulada, valor en libros y la elaboración de tabla de depreciación completa o parcial.
Conceptos Depreciación. Es la pérdida del valor de un activo fijo tangible por el uso, obsolescencia o transcurso del tiempo. Vida útil. Es el tiempo que hay entre la adquisición y el retiro del activo. Valor de rescate, de desecho ó salvamento. Es el valor estimado al final de la vida útil del activo. Costo original del activo ó valor de adquisición. Es el valor de arranque para la depreciación. Valor en libros. Es el valor que tiene el activo al final de cada año, luego de depreciarse. Base de la depreciación o Valor de uso. Es el valor de adquisición del activo menos el valor de rescate. Depreciación anual. Es la cantidad por año que va a disminuir el activo. Depreciación acumulada. Es la suma de un año cualquiera con los anteriores. Simbología
C = Costo original ó valor de adquisición. S = Valor de rescate, salvamento o desecho. n = Vida útil del activo. B = Base de la depreciación o valor de uso. D = Depreciación anual. A = Depreciación acumulada. VL = Valor en libros. r = Coeficiente de depreciación. k = Cualquier año. Dk = Depreciación Anual en el año k.
Ak = Depreciación Acumulada en el año k. VLk = Valor en Libros en el año
Métodos de depreciación
1. Método de línea recta. 2. Método de porcentaje fijo. 3. Método de suma de dígitos. 4. Método de fondo de amortización. 5. Método de unidades de producción ó de horas de servicio.
Método de línea recta Este método es el más simple y el más utilizado. El valor de adquisición disminuye cada año en una cantidad constante. Ejemplo1 Una empresa compró una maquinaria en $1,225,900.00, el proveedor estima una vida útil de 6 años y $100,000.00 como valor de desecho. Determinar el cargo anual de depreciación y elabore la tabla completa. El cargo por depreciación anual se determina dividiendo la base de la depreciación (costo original del activo – valor de desecho) entre en el número de vida útil del bien que se va a depreciar. D = (C – S)/n D = (1, 225,900.00 – 100,000)/6 = $187,650.00 Periodo (años) Depreciación anual Depreciación acumulada Valor en libros 0 --------------- ---------------- $1,225,900.001 $187,650.00 $187,650.00 $1,038,250.002 $187,650.00 $375,300.00 $850,600.003 $187,650.00 $562,950.00 $662,950.004 $187,650.00 $750,600.00 $475,300.005 $187,650.00 $938,250.00 $287,650.006 $187,650.00 $1,125,900.00 $100,000.00
Forma de elaborar tabla. Primera columna. (Periodos) Se anota periodos anuales ya que la depreciación se determina por año. Segunda columna. (Depreciación anual) Se anota el resultado de la depreciación anual y como esta es constante, todos los periodos será la misma cantidad. Tercera columna. (Depreciación acumulada) se anota la suma de la depreciación del año con las anteriores. Cuarta columna. (Valor en libros) se anota el costo original del activo en la primera fila (periodo 0) y las siguientes se determinan restando el costo original del activo a la depreciación acumulada. Al final de la vida útil, la depreciación acumulada siempre será la base de la depreciación y el valor en libros el valor de desecho.
Para determinar la depreciación acumulada de cualquier año, se multiplica la depreciación anual por el número de años que se pretende calcular, ya que ésta crece cada año en una cantidad fija. Depreciación acumulada del año No. 4
A = $187,650.00 X 4 = $750,600.00 Para determinar el valor en libros de cualquier año, se obtiene restando el costo original del activo, lo acumulado del año que se pretende calcular. Determinar el valor en libros del año No. 4
V= $1, 225,900.00 – ($187,650.00 X 4) = $475,300.00
Método de porcentaje fijo. Este método consiste en aplicar una fórmula que dará como resultado un coeficiente de depreciación y que al aplicarlo al valor decreciente en libros le dará el cargo por depreciación anual.
En este método la depreciación es mayor en los primeros años de uso y menor en los últimos, ya que el valor en libros disminuye cada año.
Este método requiere que haya valor de desecho en caso de no tenerlo se le asignará el valor de 1 para poder aplicar la fórmula.
La siguiente tabla muestra las operaciones que se realizan para obtener la depreciación por el método de porcentaje fijo, representadas por literales, de donde se obtendrán las fórmulas de depreciación:
Fin del año
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
Valor en Libros
0 - - C 1 C r C r C – Cr = C (1 – r) 2 C(1-r) r Cr + Cr(1-r) C(1-r)-Cr(1-r) = C(1-r)(1-r) = C(1-r)2
3 C(1-r)2 r Cr + Cr(1-r) + C(1-r)2 r
C(1-r)2 - C(1-r)2 r = C(1-r)2(1-r) = C(1-r)3
: : : : : : : : k C(1-r)k-1 r C(1-r)k
n C(1-r)n
En el último año el valor en libros es igual al valor de salvamento.
En la tabla anterior si k = n y el valor de salvamento es S: S = C(1-r)n
De la ecuación anterior se puede despejar la tasa de depreciación d:
S = C(1-r)n
S/C = (1-r)n
n S/C = n (1-r)n
n S/C = 1-r r = 1 - n S/C ó r = 1 – (S/C)1/n
La depreciación anual en el año K es: Dk = C(1-r)k-1 r El Valor en Libros en el año K es: VLk = C(1-r)k
La depreciación acumulada en el año k es: Ak = C - C(1-r)k , ó: Ak = C 1 – (1-r)k
Ejemplo 2 Una empresa compró una maquinaria en $1, 225,900.00, el proveedor estima una vida útil de 6 años y $100,000.00 como valor de desecho. Determinar el cargo anual de depreciación y elaborar la tabla completa. Primero se calcula el coeficiente de depreciación.
r = 1- (S/C)¹/n
r = 1- (100,000/1, 225,900.00)¹/6
0.341446858 x100 34.1446858%
Este coeficiente se va aplicando sucesivamente a valor decreciente en libros y de esta manera se determina la depreciación anual. La depreciación acumulada es la suma de la depreciación del año con las anteriores Periodo (años) Depreciación anual Depreciación acumulada Valor en libros 0 --------------- ---------------- $1,225,900.001 $418,579.70 $418,579.70 $807,320.302 $275,656.98 $694,236.68 $531,663.323 $181,534.77 $875,771.45 $350,128.554 $119,550.29 $995,321.69 $230,578.315 $78,730.24 $1,074,051.93 $151,848.106 $51,848.06 $1,125,899.99 $100,000.01
Para determinar la depreciación acumulada de cualquier año se aplica la siguiente fórmula: A= C [1-(1-r)) k] Determinar depreciación acumulada del año 4. A= 1, 225,900.00 [1-(1-.341446858)4] = $995,321.74
Para determinar el valor en libros de cualquier año, se obtiene restando el costo original del activo, lo acumulado del año que se pretende calcular. Determinar el valor en libros del año 4
A= 1, 225,900.00 [1-(1-.341446858)4] = $995,321.74 V.L = 1, 225,900.00 - 995,321.74 = $230,578.31
O con la fórmula VLk = C(1-r)k
VLk = 1,225,900.00 (1-341446858)4 = $230,578.31 Para determinar la depreciación anual de cualquier año, se calcula el valor en libros del año anterior y a este se le aplica el coeficiente de depreciación. Determinar la depreciación anual del quinto año.
A= 1, 225,900.00 [1-(1-.341446858) 4] = 995,321.74 V.L = 1, 225,900.00 - 995,321.74 = 230,578.31 D= 230,578.31X .341446858 = $78,730.24
O con la fórmula Dk = C (1-r) k-1 r
Dk = 1, 225,900.00 (1-.341446858)5-1 .341446858 = $78,730.24
Método de suma de dígitos. Este método al igual que el anterior es un método acelerado de depreciación ya que es mayor en los primeros años y disminuye en los últimos.
La siguiente tabla muestra las operaciones que se realizan para obtener la depreciación por el método Suma de dígitos, representadas por literales, de donde se obtendrán las fórmulas de depreciación:
Fin del año
Depreciación Anual Depreciación Acumulada Valor en Libros
0 - - C 1 n (C-S)
Suma n (C-S) Suma
C-Ak
2 (n-1) (C-S) Suma
(n + (n-1)) (C-S) Suma
C-Ak
3 (n-2) (C-S) =
Suma
(n-(k-1)) (C-S) Suma
(n + (n-1) + (n-2)) (C-S) = Suma
(n + (n-k+1) + (n-k+1)) (C-S)
Suma
C-Ak
4 (n-(k-1)) (C-S) Suma
k(n + n-k+1) (C-S) 2 Suma
: :
: :
: :
: :
k (n-k+1)) (C-S) Suma
k(2n-k+1) (C-S) 2 Suma
C-Ak
Suma de los dígitos desde 1 hasta n: Suma = n(1+n)/2 Depreciación Anual en el año k:
==
Depreciación Acumulada en el año k:
Valor en Libros en el año k: Ejemplo 3. Una empresa compró una maquinaria en $1, 225,900.00, el proveedor estima una vida útil de 6 años y $100,000.00 como valor de desecho. Determinar el cargo anual de depreciación y elaborar la tabla completa. Para elaborar una tabla completa de depreciación, realice los siguientes pasos:
• Se suman los dígitos de 1 a n años de vida del activo. • Los dígitos de los años de vida se ordenan inversamente y se divide entre la sumatoria de
los dígitos. • El resultado anterior se multiplica por la base de la depreciación, para obtener la
depreciación anual y se procede de la misma manera que en los métodos anteriores.
B = $1, 225,900.00 - $100,000.00 = $1, 125,900.00 Para sumar los dígitos se puede utilizar la fórmula: S= n (a1 an )/ 2 S= 6 (1+ 6)/2 = 21
Dk = (n-k+1) (C-S) Suma
(n-k+1) (C-S) n(1+n)/2
=
Dk = 2(n-k+1) (C-S) n(1+n)
Ak = k(2n-k+1) (C-S) 2 Suma
k(2n-k+1) (C-S) 2 n(1+n)/2
=
Ak = k(2n-k+1) (C-S) n(1+n)
VLk = C - k(2n-k+1) (C-S) n(1+n)
Periodo (años)
Fracción y valor de uso
Depreciación anual
Depreciación acumulada
Valor en libros
0 --------------- ---------------- $1,225,900.001 (6/21)(1,125,900) $321,685.71 $321,685.71 $904,214.292 (5/21)(1,125,900) $268,071.43 $589,757.11 $636,142.993 (4/21)(1,125,900) $214,457.14 $804,214.25 $421,685.854 (3/21)(1,125,900) $160,842.86 $965,057.11 $260,842.995 (2/21)(1,125,900) $107,228.57 $1,072,285.68 $153,614.426 (1/21)(1,125,900) $53,614.29 $1,125,899.97 $100,000.13
Para determinar la depreciación acumulada de cualquier año se aplica la siguiente fórmula Determinar depreciación acumulada del año 4. = = $965,057.14 Para determinar el valor en libros de cualquier año, se obtiene restando el costo original del activo, lo acumulado del año que se pretende calcular Determinar el valor en libros del año 4 Para determinar la depreciación anual de cualquier año se aplica la siguiente fórmula Determinar la depreciación anual del quinto año
k(2n-k+1) (C-S) n(1+n)
Ak =
4(2*6-4+1) (1, 225,900-100,000) 6(1+6)
A4 =
VLk = C - k(2n-k+1) (C-S) n(1+n)
4(2*6-4+1) (1,225,900-100,000) 6(1+6)
VL4 = 1, 225,900 -
2(n-k+1) (C-S) n(1+n)
Dk =
D5 =
=$260,842.99
=$107,228.57 2(6-5+1) (1, 225,900-100,000) 6(1+6)
Método de fondo de amortización. Ete método de depreciación se relaciona con el tema de fondo de amortización, ya que la depreciación anual, se calcula de la anualidad que se debe depositar para acumular la misma cantidad que se va a depreciar, mas los intereses que genera la depreciación acumulada o total acumulado. Ejemplo 4 Una empresa compró una maquinaria en $1, 225,900.00, el proveedor estima una vida útil de 6 años y $100,000.00 como valor de desecho. Tasa del 13.5% anual. Determinar el cargo anual de depreciación y elaborar la tabla completa. Para determinar la depreciación anual se calcula la anualidad vencida de un valor futuro, donde la anualidad será parte de la depreciación anual y el valor futuro es la base de la depreciación del activo (valor de uso). Al resultado anterior se suma los intereses que generan la cantidad acumulada del periodo anterior (depreciación acumulada). i (1+i)n - 1 .135 (1+.135)6 - 1 Periodo (años)
Deposito intereses Depreciación anual
Depreciación acumulada
Valor en libros
0 ------------ --------- --------------- ---------------- $1,225,900.001 $133,583.39 ---------- $133,583.39 $133,583.39 $1,092,316.612 $133,583.39 $18,033.75 $151,617.15 $285,200.54 $940,699.463 $133,583.39 $38,502.07 $172,085.46 $457,286.00 $768,614.004 $133,583.39 $61,733.61 $195,317.00 $652,603.00 $573,297.005 $133,583.39 $88,101.41 $221,684.80 $874,287.80 $351,612.206 $133,583.39 $118,028.85 $251,612.24 $1,125,900.04 $99,999.96
Para determinar la depreciación acumulada de cualquier año, se calcula el valor futuro de un pago periódico D a un plazo k y a una tasa de interés i por periodo: (1 + i)n - 1 i La depreciación acumulada del año No. 4 (1 +.135)4 - 1 .135 Para determinar el valor en libros de cualquier año, se obtiene restando el costo original del activo, lo acumulado del año que se pretende obtener.
D = B
D = 1, 125,900 =$133,583.39
A = D
A = 133,583.39 = $652,603.00
Valor en libros del año No. 4 .135 (1+.135)6 - 1 VL = $1, 225,900.00 - $652,603.00 = $573,297.00
Método de unidades de producción o de horas de servicio. Este método es una variante del método de línea recta, ya que se utiliza la misma fórmula, ((C–S)/n) pero “n” es el número de unidades de producción o de horas de servicio totales del activo que se va a depreciar.
Puede suceder que con este método la depreciación sea diferente para cada uno de los años de su vida útil.
Generalmente la capacidad de producción o de horas de servicio es determinada por el fabricante del activo o con los históricos que se tengan de bienes semejantes. Ejemplo 5 Una empresa compró una maquinaria en $1, 225,900.00, el proveedor estima una vida útil de 6 años y $100,000.00 como valor de desecho. Esta maquinaria produce 250,000 unidades el primer año y disminuye el 10% cada año con respecto al anterior. Determinar el cargo anual de depreciación y elaborar la tabla completa.
D = (C – S)/n D = (1, 225,900.00 – 100,000.00)/1,171,397.50 =.96115964
Al observar la aplicación de la fórmula, nos damos cuenta que el valor D= .96115964, es la depreciación que sufrirá la maquinaria por cada pieza producida. Lo que se debe hacer ahora es multiplicar esa cantidad por el número de unidades producidas de cada año y obtendrá la depreciación anual. Periodo (años)
Producción anual Depreciación anual Depreciación acumulada
Valor en libros
0 --------------- ---------------- $1,225,900.001 $250,000.00 $240,289.91 $240,289.91 $985,610.092 $225,000.00 $216,260.92 $456,550.83 $769,349.173 $202,500.00 $194,634.83 $651,185.66 $574,714.344 $182,250.00 $175,171.34 $826,357.00 $399,543.005 $164,025.00 $157,654.21 $984,011.21 $241,888.796 $147,622.50 $141,888.79 $1,125,900.00 $100,000.00
Para determinar la depreciación acumulada de cualquier año, se suman las unidades de producción u horas de servicio hasta el periodo que se pretende determinar y el resultado se multiplica por D.
A = 133,583.39 = $652,603.00
La depreciación acumulada del año No. 4 250,000 + 225,000 + 202,500 + 182,250 = 859,750 * .96115964 = $826,357.00
Para determinar el valor en libros de cualquier año, se obtiene restando el costo original del activo, lo acumulado del año que se pretende calcular. El valor en libros del año No. 4 250,000 + 225,000 + 202,500 + 182,250 = 859,750 * .96115964 = $826,357.00 $1, 225,900.00 - $826,357.00 = $399,543.00
Problemas propuestos. 1. Un activo con valor de adquisición de $655,000.00 y un valor de rescate de $42,000.00 se
va a depreciar en 25 años. Por el método de línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos y fondo de amortización. Determine:
• La depreciación anual del año 20, la depreciación acumulada del año 13 y el valor en libros del año 7.
Para el método de fondo de amortización considere una tasa del 11% anual. Por el método de horas de servicio los primeros cinco años se estiman en 5800 horas de servicio y aumentarán 300 horas cada 5 años. Determine:
• La depreciación anual del año 20, la depreciación acumulada del año 13 y el valor en libros del año 7.
También elabore tabla de depreciación de los primeros 2 y últimos 2 años por todos los métodos.
2. Una empresa compro una maquinaria en $733,000.00. La vida probable de este activo es de 18 años y sin valor de rescate. Por el método de línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos y fondo de amortización. Determine:
• La depreciación anual del año 6, la depreciación acumulada del año 9 y el valor en libros del año 11.
Para el método de fondo de amortización considere una tasa del 9.75% anual. Por el método de unidades de producción, se estima el primer año en 20,000 y cada año aumenta 500 unidades. Determine:
• La depreciación anual del año 6, la depreciación acumulada del año 9 y el valor en libros del año 11.
También elabore tabla de depreciación de los primeros 3 y últimos 4 años por todos los métodos.
Solución a los problemas propuestos.
Problema 1
Método Depreciación del año 20
Depreciación acumulada del año 13
Valor en libros del año
7 Línea recta $ 24,520.00 $318,760.00 $483,360.00Porcentaje fijo $8,449.66 $498,005.13 $303,531.34Suma de dígitos $11,316.92 $465,880.00 $290,467.69Fondo de amortización $38,915.32 $140,435.92 $602,583.47Horas de servicio $29,997.87 $257,720.85 $532,660.85
Problema 2
Método Depreciación del
año 6 Depreciación
acumulada del año 9Valor en libros
del año 11 Línea recta $40,722.22 $366,500.00 $285,055.58 Porcentaje fijo $9,085.45 $732,143.84 $190.93 Suma de dígitos $55,725.15 $540,105.26 $120,023.39 Fondo de amortización $26,239.84 $221,439.92 $431,708.92 Horas de servicio $37,783.51 $332,494.85 $317,381.44
