Profª Débora Bastos

RecapitulaçãoInterpretação geométrica da derivada: f’(c) =

tg , desde que seja o ângulo da reta tangente à f em x=c.

P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe.

Se f é continua e derivável em [a,b] contendo c, então existe máximo absoluto e mínimo absoluto em [a,b] entre os pontos críticos encontrados e os extremos do intervalo.

Teoremas importantes.Teorema 3 (Teorema do valor médio): Seja f

uma função tal que:(i)Seja contínua num intervalo fechado [a,b];(ii)Seja derivável no intervalo (a,b).Então existirá um número c no intervalo aberto

(a,b) tal que:

Interpretação geométricaP(a,f(a)), Q(b,f(b)) sR(c,f(c)) tExiste c para que a reta t nesse pontoTem a mesma inclinação da reta s.

ab

)a(f)b(f)c('f

ExemploVerifique o TVM para f(x) = x-1 , x [2,3]

f é contínua em lR* contínua em [2,3] f é derivável em lR* contínua em [2,3]f´(x)= x-2

f(2) = ½ f(3) = 1/3

6

1

23

)2(f)3(f

2c

1)c('f

6

112c

6c2

6c

Teorema 4: (Teorema de Rolle) Seja f uma função tal que:

(i)Contínua em [a,b](ii)Derivável em (a,b)(iii)f(a)=f(b)=0Então existe um número c em (a,b), tal que f’(c)

= 0.Caso particular do TVM: Existe c tal que

O TR afirma que f que satisfaz as condições necessárias possui ao menos um ponto extremo entre as raízes da função (x / f(x) = 0).

0ab

00

ab

)a(f)b(f)c('f

O TR garante a existência e não a unicidade.Exemplos:

Importante satisfazer as condições do teorema: O gráfico ao lado não é Contínua e não possui ponto de máximo.

Funções Crescentes e Decrescentes.Definição 6: Dizemos que uma

função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2 I, x1 < x2, temos f(x1) < f(x2)

Definição 7: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2 I, x1 < x2, temos f(x1) > f(x2)

ObservaçãoAssim como os pontos extremos, reconhecer

os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente é fácil, desde que o gráfico esteja bem feito.

Nosso trabalho é através apenas da lei da função descobrir quando isso acontece com fim de esboçar o gráfico dessa função.

Servirá também para diferenciar um ponto de máximo de um ponto de mínimo, ou se não há pontos extremos.

Pontos extremos e crescimento

Não importa a característica do gráfico se um ponto P(c,f(c)) é de máximo local, este um intervalo (a,b) em que f é crescente para a < x < c e f é decrescente para

c < x <b.

De forma análoga, se o ponto P(c,f(c)) é ponto de mínimo local existe intervalo aberto (a,b) em que f é decrescente para a < x < c e é crescente para c < x < b.

Critério para determinar o tipo de crescimento.

* Função crescente #Função Decrescente

*Se f é crescente em (a,b) as retas tangentes à função em (a,b) formam um ângulo agudo com o eixo ox (0 <<900)

#Se f é decrescente em (a,b) as retas tangentes à função em (a,b) formam um ângulo obtuso com o eixo ox (900<<1800)

Para 0 <<900 tem-se tg > 0 (positiva)Para 900<<1800 tem-se tg < 0 (negativa)Pela interpretação geométrica da derivada

temos:

f´(x) > 0 para x (a,b) f´(x) < 0 para x (a,b)

Teorema 5: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] derivável no intervalo (a,b).

(i)Se f’(x) > 0 para todo x (a,b), então f é crescente em [a,b]

(ii)Se f’(x) < 0 para todo x (a,b), então f é decrescente em [a,b]

Obs.: O TVM faz parte da demonstração desse teorema.

Exemplo: Dada f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1, ache os extremos relativos de f, determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente. Com essas informações faça o esboço do gráfico.

ExemploObs.: A derivada primeira de f tanto

determina os pontos críticos quanto influi no estudo do crescimento.

Solução: A função f é polinomial, ou seja, contínua e derivável em todo seu domínio.

f´(x) = 3x2 – 12x + 9 Pontos criticos x = 1 e x =3P(1,5) é de máximo e Q(3,1) é de mínimo

Exemplo: Faça o mesmo para:

f é contínua e derivável em lR

f‘(x) não é derivável em x = 0.f’(x) = 0 x = - 1 Estudo do sinal da derivada P(-1, -3) é de mínimo localQ(0,0) não é extremo

33 x4xx)x(f

31

34

x4x)x(f

32

31

xx)x('f34

34

Concavidade e pontos de Inflexão

Concavidade para baixo: x < 0 ou x > xd

Concavidade para cima: 0 < x < xd

Pontos de inflexão: O (0,0) , D

A

B

C

D

x

y

Definição 8: O gráfico de uma função f será côncavo para cima no ponto (c,f(c)) se f’(c) existir e se houver um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todos os valores de x c em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará acima da reta tangente ao gráfico em (c,f(c)).

Definição 9: O gráfico de uma função f será côncavo para baixo no ponto (c,f(c)) se f’(c) existir e se houver um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todos os valores de x c em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará abaixo da reta tangente ao gráfico em (c,f(c)).

Interpretação Geométricaf’(c) representa o valor da inclinação tg da

reta tangente à f em x = c.f é côncava para cima

ângulo obtuso ângulo agudostg < 0 tg > 0valores crescentes f’(x) é crescente quando o

gráfico é côncavo para cima.

f côncavo para baixo

ângulo obtuso ângulo agudostg > 0 tg < 0valores decrescentes f’(x) é decrescente

quando o gráfico é côncavo para cima.Devemos investigar o sinal de f’(x) onde é

crescente e decrescente, mas isso é feito derivando f’(x), ou seja, o que determinará a concavidade é f’’(x).

Teorema 6: Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c. Então:

(i)Se f’’(c) > 0 , o gráfico de f é côncavo para cima em (c,f(c)).

(ii)Se f’’(c) < 0 , o gráfico de f é côncavo para baixo em (c,f(c)).

Exemplo: Determine os intervalos do domínio em que a função é côncava para cima ou côncava para baixo.

33 x4xx)x(f

Se um ponto (c,f(c)) é de máximo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo para baixo, portanto f’’(c) < 0. Já se um ponto (c,f(c)) é de mínimo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo para cima, portanto f’’(c) > 0. (Chamamos de teste da derivada segunda)

Exemplo: Determine os pontos extremos da função f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1

f ’(x) = 3x2 – 12x + 9 extremos x = 1 ou x = 3f” (x) = 6x – 12 f” (1)<0 x = 1 é ponto de máximo localf” (3)>0 x = 3 é ponto de mínimo local

Definição 10: O ponto (c,f(c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que, se x estiver em I, então:

(i)se o gráfico de f for côncavo para cima para x < c e côncavo para baixo em x > c ou

(ii)se o gráfico de f for côncavo para baixo para x < c e côncavo para cima em x > c.

Exemplo: Para a função

temos dois pontos de inflexão:em x = 0 e em x = 2

33 x4xx)x(f

Teorema 7: Se a função f for derivável em algum intervalo contendo c e se (c,f(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de f, então se f’’(c) existe, f’’(c)=0.

obs.: A recíproca não é verdadeira, ou seja, se f’’(c) = 0, não quer dizer que (c,f(c)) é um ponto de inflexão.

Exemplo: f(x) = x4

f ’(x) = 4x3

f ”(x) = 12x2

f ”(x) = 0 x = 0, masx = 0 é um ponto de mínimo local.