Profª Débora Bastos

Derivada da função ImplícitaO que é uma função implícita?É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.

É o oposto a função explícita:y = 3x2+5x+1 explícitaxy + y6 = x6 – seny implícitaCalculo da função implícita:Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar siga os seguintes passos:1- Derive cada termo como algo independente, considerando y=f(x);2- Separe o que tiver no 1º membro da equação e o que não tiver no 2º membro.3-Coloque em evidência no 1º membro da equação;

4- Isole na equação e teremos a derivada de f.

dx

dyxf =)('

dx

dy

dx

dy

dx

dy

Derivada da função ImplícitaObservação: Provavelmente a derivada também será uma função implícita, ou seja,

Exemplo: Encontre para a equação abaixo:

xy + y6 = x6 – seny

dx

dy

),( yxgdx

dy =

dx

dy

produtou.v

un

xn

senu

dx

dyyx

dx

dyyy

dx

dyx cos661. 55 −=++

yxdx

dyy

dx

dyy

dx

dyx −=++ 55 6cos6

Derivada da função Implícita

Exercícios:Considere y=f(x) derivável em D(f), determine para:

3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y(x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4

xcosy + ycosx = 1

( ) yxyyxdx

dy −=++ 55 6cos6

yxdx

dyy

dx

dyy

dx

dyx −=++ 55 66cos

yyx

yx

dx

dy

cos6

665

55

++−=

dx

dy

Problemas de Taxa de variaçãoInterpretação geométrica de f ’:

Taxa de variação:(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,b] é:

ou )()(

x

y

ab

afbftvm

∆∆=

−−=

)(')()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

ytg

xx=

∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆β

x

xfxxf

x

ytg

∆−∆+=

∆∆= )()(α

β

x

y

x

xfxxftvm

∆∆=

∆−∆+= )()(

Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m). Determine o taxa de variação média do deslocamento em t ∈ [2,5]?

Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado.

v média = 7 m/s

smff

t

f/7

3

21

3

930

25

)2()5( ==−=−−=

∆∆

Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da variação de velocidade em relação ao tempo para t ∈ [1.3].

Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração média no intervalo calculado.

amédia = 3m/s2

(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x se ∆x 0, ou seja, aplicando o limite quando ∆x 0.

2/32

6

2

1723

13

)1()3(sm

vv

t

v ==−=−−=

∆∆

)(')()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

yxx

=∆

−∆+=∆∆

→∆→∆

Problemas de Taxa de variaçãoA taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por :

f ’(x0)

Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (s) é dado por h(t) = − 16t2 + 100. Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a velocidade instantânea do objeto quando t = 1s.

h’(t) = − 32t h’(1) = − 32 pés/s.

Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se deslocando para baixo.

A

Problemas de Taxa de variaçãoAs aplicações das taxas de variação não são exclusividade do campo da física. É possível obter uma taxa de variação instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que determine o que se quer investigar.

Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro, receita e custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas.P é lucro : lucro marginal

R é receita: receita marginal

C é custo: custo marginal

dx

dP

dx

dR

dx

dC

Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.(b)Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades.(c)Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades.

(a)

$11,50 por unidade

10²0006,0 += xdx

dP

( ) 50,1110²500006,0 =+=dx

dP

Problemas de Taxa de variação(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando xaumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).

Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação da oferta:

px – 20p – 3x + 105 = 0Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?

Problemas de Taxa de variação x – fornecimento de caixas (milhares) por dia; p – preço por caixa; t – dias; - variação de caixas fornecidas por dia;

- variação do preço por dia; x= 5 (mil) Se x = 5, então p.5 – 20.5 – 3x + 105 = 0 logo p = 6.Calculando a derivada (implícita) da função oferta:

Substituindo as informações:

4

1

1000

250 −=−=dt

dx

dt

dP

0320 =−−+dt

dx

dt

dP

dt

dxP

dt

dPx

04

1320

4

1.65 =

−−−−+

dt

dP

dt

dP

Problemas de Taxa de variação

Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas.

Exercícios:1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Sua função posição é h = − 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo (s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da pressão neste instante.

20

1

)15(4

33

4

115 −=⇒

−=⇒⋅=−

dt

dP

dt

dP

dt

dP

Problemas de Taxa de variação