Ruth Schaposchnik (coord.)

Nora Legorburu (coord.)

Pierina Lanza

Flavia Guibourg

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Para las chicas y los chicos que tienen

muchas ganas de aprender matemática.

Y se animan a jugar con problemas.

Y les gusta problematizar juegos.

Y se atreven a desafíarse a sí mismos.Porque quieren saber

cuántos nuevos modos de pensar y resolver es posible

descubrir cuando la Matematica se pone en juego.

Problemas, juegos y desafíos

juego Matematica

en

5

Recursos para el docente

Cada libro de esta serie ofrece una amplia variedad de problemas de aritmética y de geometría para que los alumnos utilicen múltiples estra-tegias al resolverlos.

Se espera que, si los resuelven en grupo, intercambien ideas respecto del camino que le parece más adecuado a cada uno para llegar a la res-puesta y que comparen tanto las respuestas que obtienen como los pro-cedimientos que siguen.

Las propuestas que requieren un poco más de tiempo y dedicación se incluyen en la sección desafíos, para que los niños disfruten de la gratifica-ción que acompaña el hallazgo de la solución por sus propios medios.

Los juegos están pensados para aprender más y para profundizar lo que ya aprendieron. Algunos se pueden jugar en forma individual y otros son para jugar en grupo, utilizando los materiales de la sección Recortables.

El presente material tiene por finalidad acompañar a los docentes en el mejor aprovechamiento del libro, orientándolos en una manera posi-ble de planificar sus clases, ofreciéndoles las respuestas de las actividades para que puedan chequear más rápidamente el proceso de aprendizaje y, además, proveyéndolos de material fotocopiable para las carpetas de los alumnos.

Problemas, juegos y desafíos… ¿por qué?

Matematica en juego

5

Proyecto didáctico y Dirección EditorialMaría Ernestina Alonso

Proyecto y coordinación autoral de la serie Matemática en juego.Nora Legorburu y Ruth Schaposchnik

AutoríaFlavia Guibourg, Pierina Lanza, Nora Legorburu y Ruth Schaposchnik

EdiciónNora Legorburu y Ruth Schaposchnik

CorrecciónFernando Planas

Proyecto visual y Dirección de ArteMariana Valladares

Diseño de tapa e interioresMariana Valladares

DiagramaciónMatías Moauro

IlustraciónTapa e inTeriores

Lancman ink

BRESSAN, A. (COORD.) (1995), Contenidos básicos comunes para la EGB - Matemática, Buenos Aires, Ministerio de Cultura y Educación de la Nación Argentina.

BROITMAN, C. e ITZCOVICH, H., “Geometría en los primeros años de la EGB: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza”, en: PANIZZA, M. (2003), Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB.Análisis y propuestas, Buenos Aires, Paidós.

BROUSSEAU, G. (1987), Fundamentos y métodos de la didáctica de la Matemática, Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía y Física, Universidad Nacional de Córdoba.

CHEMELLO, G. (COORD.), HANFLING, M. y MACHIUNAS, V. (2001), El juego como recurso para aprender. Juegos en Matemática EGB 2 (Material para docentes y recortable para alumnos), Buenos Aires, Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (también en Internet).

CHEVALLARD, I., GASCÓN, J. y BOSCH, M. (1997), Estudiar Matemática. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, Barcelona, Ice-Horsori.

FUENLABRADA, I., BLOCK, D., BALBUENA H., CARVAJAL, A. (2000), Juega y aprende Matemática. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, Buenos Aires, Novedades Educativas.

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Documentos curriculares para Nivel Primario en Internet

Matemática 5 serie Cuadernos para el aulaEn http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica5_final.pdf

Matemática. Documento de trabajo Nº 4. Actualización curricular, 1997.Matemática. Documento de trabajo Nº 5. Actualización curricular, 1998.En: http://www.buenosaires.gov.ar/educacion/docentes/planeamiento/primaria.php

Enseñar Geometría en el 1° y 2° Ciclo. Diálogos de la capacitación.En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/cepa/geometria.pdf

Acerca de los números decimales. Una secuencia posible.En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/primaria.php

Propuestas para el aula. Material para docentes. Matemática EGB 2.Juegos en Matemática EGB 2. El juego como recurso para aprender (material para alumnos). Subsecretaría de Educación Básica, Ministerio de Educación.Juegos en Matemática EGB 2. El juego como recurso para aprender (material para docentes). Subsecretaría de Educación Básica, Ministerio de Educación.En http://www.me.gov.ar/curriform/matematica.html

Más recursos

para enriquecer el trabajo en el aula

Los sistemas de numeración Orientaciones para planificar la clase ........................................................................... 4Comentarios sobre las respuestas ...................................................................................5 Con la suma y la restaOrientaciones para planificar la clase ........................................................................... 6Comentarios sobre las respuestas .................................................................................. 7

Ángulos y triángulosOrientaciones para planificar la clase ............................................................................8Comentarios sobre las respuestas ...................................................................................9

A multiplicar y a dividirOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 10Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 11

Llegan las fraccionesOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 12Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 13

Y también los decimalesOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 14Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 15

Los cuadriláterosOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 16Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 17

Divinas proporcionesOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 18Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 19

Los cuerpos geométricosOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 20Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 21

Las medidasOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 22Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 23

Perímetros y áreasOrientaciones para planificar la clase ......................................................................... 24Comentarios sobre las respuestas ................................................................................ 25

Para intercambiar ideas en el aula: 10 preguntas en juego ....................... 26

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2

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Índice

A partir de lo trabajado en años anteriores, especialmente en 4.º, se requiere que los alum-nos amplíen sus habilidades y saberes acerca del sistema de numeración decimal. En 4.º, se avanza en el análisis de nuevas regularidades y de complejidades dadas por el tamaño de los números, de acuerdo con la maduración y los saberes previos con que cuentan los niños.

En 5.º, se incorpora el estudio de otros sis-temas de numeración, además del romano, es-tudiado en 4.º. El propósito no es dominar el funcionamiento de esos sistemas, sino que, a través de la exploración de otros sistemas, los niños puedan reflexionar acerca de cuáles son los elementos y propiedades que definen un sis-tema de numeración, y que, al compararlos, se planteen preguntas que les permitan una ade-cuada comprensión del sistema de numeración decimal; que sean capaces de explicitar las rela-ciones aritméticas subyacentes a un número y avanzar en la comprensión del valor posicional, para lo que es necesario abordar las relaciones multiplicativas implícitas en el sistema.

Las actividades incluidas en el capítulo per-miten avanzar sobre las prácticas matemáticas iniciadas en 4.º, al trabajar:

• descomposición de números basada en la organización decimal del sistema;

• expresión de un número en términos de unidades, decenas, etcétera;

• comparación de números;• lectura y escritura de números.

• relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen en un número;

• recta numérica; • comparación de números;• otros sistemas de numeración (egipcio y

chino) ;• uso de la calculadora.Lo que pretendemos a través del planteo de

desafíos es la búsqueda de estrategias de re-solución diferentes, que escapan a lo conven-cional, que superen aspectos muy mecánicos, a menudo presentes en las prácticas de reso-lución que habitualmente usan los chicos. Por ejemplo, el objetivo del trabajo con las series es que los alumnos encuentren el algoritmo utili-zado, para poder completarlas.

En las primeras páginas de problemas pro-ponemos, generalmente, situaciones en con-texto realista, situaciones extramatemáticas. En cambio, en las páginas de desafíos, la primacía la tienen las situaciones intramatemáticas.

La resolución de las actividades no tiene que seguir, necesariamente, el orden propuesto en el libro. El docente decidirá en qué orden tra-bajarlas. Por ejemplo, con los juegos grupales se intenta que los chicos pongan en acción los conceptos relacionados con la temática o que afiancen lo trabajado a lo largo del capítulo. En el caso de los juegos individuales, la intención, en algunos casos, es que se empiecen a poner en juego estrategias específicas, como, por ejemplo, la identificación de regularidades para comple-tar las series en la actividad “¿Cuál falta?”.

Ori

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sistemas 1 de

Los

numeracion-

Página 6 DEL LIBRO DEL ALUMNOVentas en las librerías

Palabrilandia vendió 213.109 libros.El orden de ventas es: 1.100.000 – 1.003.398 – 990.100 – 909.888 – 213.109.

Billetes y monedas

El mayor y el menor99.100 y 10.099; 75.110 y 10.157; 32.100 y 10.023

PÁgINA 7 DEL LIBRO DEL ALUMNOPreguntas numéricas 111 centenas; 1.110 decenas; 11 unidades de mil.No hay ningún número de cuatro cifras que tenga 5 cen-tenas. Como mínimo debe tener 10 centenas.

¿Cómo se escriben?970.000; 990.003 y 999.000

PÁgINA 8 DEL LIBRO DEL ALUMNOViajes y misiones espaciales Las posiciones aproximadas en la recta numérica son:

Línea de tiempo familiarRepuesta personal.

PÁgINA 9 DEL LIBRO DEL ALUMNOLos números en el antiguo Egipto

4.225 1.001

304

Los números chinos en la Antigüedad

305 2.010

PÁgINA 10 DEL LIBRO DEL ALUMNO¿Cuál es el número?

3.111; 6.428; 1.248 y 373

Adivinanzas con más de un resultado• Con 43 centenas, que termine en 1 y con la cifra de las decenas par mayor que 2, pueden ser: 4.331, 4.341, 4.351, 4.361, 4.371, 4.381, 4.391. Para que la solución sea única, se puede agregar la pista: Tiene 435 decenas. Entonces el número sería: 4351.• Que sea mayor que 2.000, que la cifra de las dece-nas sea 8 y que la suma de la cifra de las centenas más la cifra de las unidades es igual a 9, puede ser: 2.089, 2.188, 2.287, 2.386, 2.485, 2.584, 2.683, 2.782, 2.881 o 2.980. Además, todos los números que tengan las mis-mas cifras para las centenas, decenas y unidades, pero comienzan con 3, con 4, con, 5, con, 6, con 7, con 8 o con 9. Para que la solución sea única, se pueden agre-gar estas pistas: Es menor que 2.500. Es múltiplo de 5. Entonces el número sería: 2.485.• De tres cifras, que la cifra de las unidades sea 3 y la cifra de las centenas sea la suma de la cifra de las de-cenas más la cifra de las unidades, puede ser: 303, 413, 523, 633, 743, 853 o 963. Para que la solución sea única, se puede agregar la siguiente pista: La diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades es 1. Entonces, el resultado sería 743.• Que sea impar mayor que 700, de tres cifras y que una de sus cifras sea 0, puede ser: 701, 703, 705, 707, 709, 801, 803, 805, 807, 809, 901, 903, 905, 907 o 909. Para que la solución sea única, se pueden agregar las siguientes pistas: Es menor que 800. La suma de las ci-fras de las decenas y las unidades es mayor que 7. El número sería: 709.

PÁgINA 11 DEL LIBRO DEL ALUMNODesafíos con la calculadora

Acertijos numéricos 1) 10.453, 10.553, 10.653, 10.753, 10.853, 10.953.2) 20.053, 20.153, 20.253, 20.353, 20.453, 20.553, 20.653, 20.753, 20.853, 20.953, 20.530. 3) 9.000. 4) 2.099.

PÁgINA 12 DEL LIBRO DEL ALUMNO¿Cuál falta?

12, 30 y 14.17, 12, 13 y 19.

Continúa en página 32

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Billetes

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Billetes

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Monedas

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$992 9 9 2

$2.370 23 7 -

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$7.080 70 8 -

$630 6 3 -

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145.326 – 6 145.326 – 40.000145.326 – 5.000

Por ejemplo: 1.672 – 500 – 100 Por ejemplo: 1.672 – 50 – 20

102.307 – 307 102.000 – 2.000100.000 + 2.007

2.439 + 4.0002.439 + 50

Cifras que faltan6.890 > 6.725 > 6.7159.532 > 9.445 > 9.3752.861 > 2.799 > 2.398

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1975 1985 1997

En 5.º grado se continúa trabajando con la suma y la resta, abordando los diferentes signi-ficados, pero la complejidad estará en lo numé-rico, el texto del enunciado y, especialmente, en el uso de las propiedades. A lo largo de la escuela primaria, se debe favorecer el trabajo con el cálculo aproximado, el cálculo estimati-vo y el cálculo algorítmico; y también se enseña a usar la calculadora correctamente (enseñar a decidir cuándo conviene emplear la calculado-ra y cuándo usar lápiz y papel, por ejemplo).

Un aspecto que conviene profundizar en la resolución de problemas es el tratamiento de la información. Por ejemplo: presentar enun-ciados con datos innecesarios, situaciones en las que los niños deban formular las pregun-tas, sugerir la construcción de tablas y cuadros, trabajar con la relación entre las preguntas, las operaciones y sus resultados y las respuestas que contestan las preguntas (no es obvio para los chicos que el resultado de las operaciones no es siempre la respuesta), etcétera.

Otra cuestión interesante para observar es como se comienza a incorporar el uso de de-terminados conceptos, que aún no se formali-zarán, en función de avanzar progresivamente en la complejidad de estos. Nos referimos al uso de las ecuaciones en algunas de las cuentas incompletas de la página 16.

Las actividades que están en el capítulo per-miten avanzar sobre las prácticas matemáticas iniciadas en 4.º, al trabajar:

• suma y resta de números naturales. Dife-rentes significados. Situaciones que involucren

varias operaciones;• situaciones presentadas de diferentes mo-

dos: cuadros de doble entrada, tablas, etcétera;• resolución de problemas: tratamiento de

la información;• algoritmos; • cálculos mentales a partir del análisis de la

escritura decimal de los números;• estimación de resultados;• uso de la calculadora;• selección de la estrategia de cálculo más

pertinente en relación con los números y las operaciones.

Lo que pretendemos, por medio del planteo de desafíos, es el desarrollo de la imaginación, la búsqueda de estrategias heurísticas que fa-ciliten la entrada a los procesos algorítmicos a través de presentaciones diferentes. La vida escolar está impregnada de procesos algorít-micos. La presencia de los desafíos y los juegos posiciona a los niños, frente a la matemática, en un hacer científico genuino: conjeturan, en-sayan posibles soluciones, corroboran afirma-ciones, presentan contraejemplos, etcétera.

A través de los juegos, pretendemos fo-mentar el ingenio y la creatividad del niño, la elaboración de estrategias de actuación que “le permitan ganar”, la habilidad para moti-var estrategias y formas innovadoras de jugar. Cabe señalar la diferencia entre el juego en su uso social y en su uso didáctico: mientras que el niño siempre tiene como propósito ganar, el docente se propone que aprenda los concep-tos involucrados en el juego.O

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Con la

y la resta2 suma

Página 14 DEL LIBRO DEL ALUMNOUn libro de muchas páginas

a) Capítulo 1: 30 páginas; capítulo 2: 34 páginas; capí-tulo 3: 26 páginas; capítulo 4: 38 páginas; capítulo 5: 28 páginas; capítulo 6: 40 páginas; capítulo 7: 46 pá-ginas; capítulo 8: 32 páginas, capítulo 9: 14 páginas y capítulo 10: 8 páginas.

b) El capítulo más largo es el 7. El capítulo más corto es el 10.

c) Leyó 128 páginas.d) El libro costó $66.

PÁgINA 15 DEL LIBRO DEL ALUMNOEspecies de animales vertebrados

a) 51.070.b) 23.870.c) 19.490.d) 5.420.e) 3.460.f) Sí, porque sumando las unidades del mil de las otras

especies se obtiene como resultado 25.000; que es más grande que 24.000 (el resultado aproximado de la suma de la cantidad de peces).

PÁgINA 16 DEL LIBRO DEL ALUMNOAparatos defectuosos

Lunes 12 de abrilCuentas de sumar y restar

a)

Martes 13 de abrilSeguimos con cuentas de sumar y restar

b)

PÁgINA 17 DEL LIBRO DEL ALUMNO¿Todos los números son datos?

a) Hay 388 fotos.b) Tiene 168 libros que no pertenecen a enciclopedias.Tenía 21 tomos.

¿Todos los datos son números?a) Fue fundada en el año 1910.b) Compramos 84 medialunas.

PÁgINA 18 DEL LIBRO DEL ALUMNOSaludo numerado

Sumas equivalentes Siempre suma 100

PÁgINA 19 DEL LIBRO DEL ALUMNOUn rectángulo mágico

Adivinanzas numéricas1) 15 2) 51 3) 11

Un código secreto

PÁgINA 20 DEL LIBRO DEL ALUMNOEl mensaje escondido

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1 1 . 1 1 0– 3 . 3 3 3

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+ = 4

9 9 1 1 18 4 4 3 3

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29.163 6.98929.618 4.533 11.329 37.86129.163

11.329 80.236 29.61837.861 29.163 5.699 62.806 3.45680.236 15.549 5.699

13.256 4.533 5.69929.618 62.80629.163 29.6185.699 37.861

5.699 29.618 39.475 29.1635.699 2.100

A: 2.435 + 3.264 = 5.699C: 15.673 + 23.802 = 39.475E: 43.381 – 14.218 = 29.163I: 28.346 – 12.797 = 15.549L: 27.654 + 1964 = 29.618M: 8.845 – 5.389 = 3.456N: 29.678 – 18.349 = 16.329

O: 25.374 + 12.487 = 37.861Q: 13.531 – 6.542 = 6.989R: 953 + 1.147 = 2.100S: 12.385 + 67.851 = 80.236T: 9.349 + 53.457 = 62.806U: 6.031 – 1.498 = 4.533V: 49.385 – 36.129 = 13.256

E

V

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A C E

L S IO E

L A R

A T M A

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L Q U E N O

En este capítulo se avanza especialmente en el trabajo con construcciones de triángulos y la identificación y el uso de las propiedades de los lados y los ángulos. Además, se presenta una de las actividades fundamentales para el hacer geométrico: la copia de figuras. Cuando el alumno reproduce una figura, tiene en cuen-ta sus elementos, sus medidas, identifica cier-tas relaciones y propiedades… También, para realizar la tarea, debe decidir qué instrumentos utilizará. La actividad no tiene por objetivo el uso de los instrumentos geométricos, sino el estudio y tratamiento de las propiedades de las figuras que permitirán, progresivamente, la definición de los distintos objetos geométricos. Se decide usar determinado instrumento para la mejor representación de la figura.

Otro hacer importante en geometría es el modo de validación de la tarea. Por ejemplo, en la copia de figuras, los alumnos pueden dar cuenta del resultado de la reproducción por superposición. Si la copia no coincide, entre todos revisarán qué aspectos no se tuvieron en cuenta, y este análisis permitirá a los chicos interpretar nuevas relaciones que no fueron identificadas anteriormente.

Otra actividad característica del hacer geo-métrico es la construcción de figuras. El traba-jo alrededor de las construcciones de figuras favorece la puesta en juego de algunas de las relaciones que las caracterizan.

En estas páginas se proponen tareas relacio-nadas con:

• construcción de triángulos con regla, com-

pás y transportador: dados tres lados, dados dos lados y el ángulo comprendido, dados un lado y dos ángulos adyacentes. Propiedad triangular;

• clasificación de los triángulos según sus la-dos y ángulos. Condición necesaria y suficiente para la construcción de triángulos;

• suma de las medidas de los ángulos inte-riores de un triángulo;

• reproducción de triángulos y elaboración de mensajes;

• clasificación de los triángulos según sus la-dos y ángulos;

• estimación y medición de ángulos;• cubrimiento del plano con regiones poligo-

nales.En el caso de los desafíos, aparece una ac-

tividad recreativa con fósforos. Esta actividad permite realizar investigaciones acerca de pro-piedades y transformaciones geométricas, y ayuda a la búsqueda de métodos sistemáticos de resolución de problemas. Los problemas, que se solucionan desplazando o quitando fós-foros en un pretexto para jugar, desarrollan la imaginación espacial, desencadenan procesos de análisis y síntesis, y fomentan la atención y la concentración.

Los desafíos y los juegos propuestos favo-recen, fundamentalmente, la construcción de estrategias de resolución de problemas. En ma-temática resolvemos problemas para la cons-trucción de “este” objeto matemático, pero también debe ser objeto de enseñanza la reso-lución de problemas.

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3 triangulos

Angulos y

Página 26 DEL LIBRO DEL ALUMNOUn triángulo rectángulo

Triángulos con fósforos• Se pueden formar siete triángulos equiláteros con

nueve fósforos, formando los esqueletos de dos te-traedros unidos por una de sus caras.

• Para hacer desaparecer 4 triángulos moviendo solo 4 fósforos, se desplazan los que aparecen resaltados en el esquema 1 a las posiciones resaltadas en el esquema 2.

Moviendo solo 5 fósforos, se desplazan los que apare-cen resaltados en el esquema 3 a las posiciones resalta-das en el esquema 4.

Página 27 DEL LIBRO DEL ALUMNOCalculamos ángulos sin medirlos

El ángulo β mide 110º.Los ángulos interiores miden: 25º, 45º y 110º.

Suma de ángulosLa suma de los ángulos señalados vale 180º.

Ángulo de aberturaEl ángulo de abertura es de 60º.

Página 29 DEL LIBRO DEL ALUMNOJugamos con hexamantes

Los 12 hexamantes son:

Página 22 DEL LIBRO DEL ALUMNOParecidos y diferentes

Un mensaje posible es:Dibujá un triángulo con tres ángulos iguales, cuyos la-dos midan 3,6 cm.

Página 24 DEL LIBRO DEL ALUMNOConstruir triángulos

Los posibles instrumentos son:

Página 25 DEL LIBRO DEL ALUMNOTriángulos posibles e imposibles

…7 cm, 2 cm y 9 cm? no…10 cm, 12 cm y 6 cm? sí …1 cm, 2 cm y 3 cm? no…2 cm, 3 cm y 4 cm? sí

…un ángulo de 85º y otro de 95º? no…un ángulo de 65º y otro de 85º? sí…dos ángulos rectos? no…dos ángulos agudos? sí…dos ángulos obtusos? no

Estimar la medida de los ángulos… ¡y a medirlos!Se espera que los alumnos estimen, primero, los que son agudos, rectos u obtusos y, más ajustadamente, los que son mayores, menores o iguales a 45º y a 135º.Las medidas son: 45º, 60º, 130º, 120º, 90º, 19º y 90º, res-pectivamente.

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9

Borde azulinterior amarillo

Borde verdeinterior violeta

Borde rojointerior amarillo

Borde rojointerior amarillo

Borde rojointerior celeste

Borde verdeinterior celeste

Borde verdeinterior violeta

Regla graduada y compás

Regla graduada y transportador, o regla graduada, transportador y compás.

Regla graduada y transportador, o regla graduada y compás.

Regla graduada y compás.

Regla graduada y transportador, o regla graduada y compás.

Escuadra y regla graduada, o transporta-dor y regla graduada, o regla graduada y compás.

Esquema 1

Esquema 3

Esquema 2

Esquema 4

Un objetivo del segundo ciclo es profundizar el trabajo sobre estrategias de cálculo mental y las relaciones entre la división y la multiplicación.

En 5.º grado se pondrá especial atención en la identificación y el uso de las propiedades. Se trabajará especialmente con el algoritmo de la división, las relaciones entre cociente, dividen-do, divisor y resto.

La división es un concepto muy complejo; no podemos afirmar que el niño sabe dividir sim-plemente porque es capaz de resolver la cuenta. Saber dividir significa distinguir cuáles son las ocasiones en las que el empleo de la división es útil para resolver la situación, diferenciar cuán-do se puede emplear la división para resolver un problema y cuándo no, reconocer en qué cam-po de problemas está inserto este concepto, po-der realizar cálculos mentales reconociendo a la multiplicación como estrategia posible, eficaz y económica para resolver la división planteada, etcétera. Saber dividir significa, asimismo, poder resolver situaciones de reparto y partición, anali-zar qué sucede con el resto (distinguiendo que el resultado de la cuenta no es siempre la respues-ta al problema), estimar el cociente para favo-recer el control de los resultados, hacer cálculos en los que se emplean conocimientos sobre la descomposición de números y la multiplicación por la unidad seguida de ceros.

Las actividades que están en el capítulo per-miten avanzar sobre las prácticas matemáticas iniciadas en 4.º, al trabajar:

• situaciones de proporcionalidad directa; • situaciones de organizaciones rectangulares;• problemas de combinatoria que se resuel-

van con una multiplicación;• división: análisis del resto;• situaciones de varios pasos que combinen

las cuatro operaciones con números naturales;• tratamiento de la información: diferentes

modos de presentar la información (tablas, cuadros de doble entrada, enunciados, listas, etcétera.) ;

• propiedades de la multiplicación;• cálculos mentales. Uso de la calculadora;• utilización de las relaciones c x d + r = D

y r < d para resolver problemas;.• múltiplos y divisores. Situaciones que im-

pliquen el uso de múltiplos y divisores de nú-meros naturales.

Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es la focalización de la mirada en las propiedades de la multiplicación y la división, con la intención de revisar y usar diferentes es-trategias de cálculo y de analizar el algoritmo de la división.

Lo que pretendemos a través de los juegos es, especialmente, el cálculo de determinados productos que permitirán, progresivamente, la memorización de un repertorio multiplicativo, el uso de las propiedades de la multiplicación y la división, la descomposición de un número en factores primos o no.

En general, tanto los desafíos como los jue-gos, servirán para adquirir las “destrezas” nece-sarias en un determinado algoritmo, o para re-significar las propiedades para que no queden reducidas a un nombre que rápidamente se olvida y que no se identifican como necesarias en el hacer matemático.

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10

multiplicar

dividir4A

y a

Página 30 DEL LIBRO DEL ALUMNOLas cuentas por el piso

Hacen falta 270 baldosones.Hace falta comprar 27 cajas.

Contando las guardas Hacen falta 630 cerámicos decorados.Hace falta comprar 32 cajas (sobrarán 10 baldosas).

Página 31 DEL LIBRO DEL ALUMNOOrganizando el jardín

Puede hacer 12 diseños diferentes (3 x 2 x 2).Los plantines de cada clase son: Malvones: 7 x 5 + 2 x 2 = 39Geranios: 5 x 5 + 2 x 3 + 3 x 2 = 37 Margaritas: 2 + 3 x 3 + 5 x 2 + 3 = 24¿Cuántos hay de cada color?

Página 32 DEL LIBRO DEL ALUMNO¡Flor de trabajo!

a) Se completaron 32 hileras. Una hilera quedó incom-pleta, tenía 22 plantines. Faltarían 18 plantines para completarla.

b) Para trasladar los plantines usó 7 cajas, pero una caja solo tenía 18 plantines.

c) Pagó por los maceteros $195.

Página 33 DEL LIBRO DEL ALUMNORegalos abrigados

a) Marta tiene que pagar $216 por las chalinas. Le con-viene comprar la oferta 4 veces. Compra en total 12 chalinas, una suelta, pero paga lo mismo que si com-prara 11 chalinas.

b) La oferta del juego de guantes y bufanda no es bue-na, porque paga más: $3.

Una oferta posible podría ser: $55.c) Cada una paga por las camperas $297.

Página 34 DEL LIBRO DEL ALUMNOEncontrá las divisiones

a) 219 : 5; 262 : 6; 305 : 7; 348 : 8 y 434 : 10 175 : 43; 182 : 43; 187 : 43; 194 : 43 y 200 : 43

b) Es posible encontrar tres cuentas: 128 : 1; 128 : 121 y 128 : 11. Considerando el algoritmo de la división, queda la expresión: 121 = D x C, y los únicos núme-ros naturales divisores de 121 son 1, 11 y 121.

c) No es posible, porque el resto debe ser menor que el divisor.

Múltiplos y divisoresa) 108b) Los números pueden ser: 810, 840, 870 y 180.c) Por ejemplo, 2.034.d) En la caja hay 63 caracoles. Y si la caja tuviera entre

100 y 200 caracoles, habría 123.

Página 35 DEL LIBRO DEL ALUMNODescomponiendo el 48

6 + 12 + 3 + 27 = 486 + 3 = 912 – 3 = 93 x 3 = 927 : 3 = 9

Acertijos numéricosa) Siempre se obtiene por resultado el producto de

uno de los dos números por 10 más el número que no se multiplicó. Esto sucede porque multiplicar por 2 y por 5 es lo mismo que multiplicar por 10; además, uno de los sumandos que se obtiene es 25 y siempre se resta 25, quedando finalmente uno de los núme-ros multiplicado por 10 y el otro, solo.

b) Siempre se obtiene 10. (n + n + 1 + 19) : 2 – n = (2n + 20) : 2 – n = n + 10 – n = 10 c) Siempre se obtiene 1.{[(2n + 10) : 2 – 5] x 2} : 2n = {[n + 5 – 5] x 2} : 2n = 2n : 2n = 1

Página 36 DEL LIBRO DEL ALUMNOMultiplicágonos

Un cuadrado mágico

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11

Malvones rojos

Geranios rosa

Malvones lila

Geranios fucsia

Margaritas blancas

Margaritas amarillas

Malvones violetas

5 x 3

4 x 3 + 2 x 2

2 x 4

5 x 2 + 3 x 2

5 x 3 + 3 x 2

3 x 3 + 2

3 x 3 + 2 x 2

Números consecutivos321 y 322.

18 4 3

1 6 36

12 9 2

5

36 2

5

4

x 3

x 3

: 3: 3

: 3

: 2

x 18

x9:3

x 1

: 6

6x 3x 3

: 9 15

12

15

182

7

7

x 2

x 2x 5

: 4

35 14

287

x5

x1x2

x4x1

: 5

Luego de haber trabajado en 4.º grado con los diferentes significados de las fracciones, en 5.º se presenta el concepto de fracción a partir de si-tuaciones de reparto en las que se puede seguir repartiendo “lo que sobra”. Esta posibilidad de-pende de las magnitudes que intervienen en el problema, tal como sucede con la primera situa-ción problemática de este capítulo. Por ejemplo, en el caso de los chupetines, aunque sobren, no podrán repartirse entre los niños.

Se sugiere definir, desde el primer momen-to, que “una fracción se denomina 1/n, cuando n partes como estas equivalen a un entero”. La intención es que los alumnos identifiquen la fracción como el resultado exacto de la divi-sión entre números naturales.

Las actividades que se incluyen en este capí-tulo permiten avanzar sobre las prácticas ma-temáticas iniciadas en 4.º, al trabajar:

• situaciones que permiten dar significado a los diferentes funcionamientos de las fracciones;

• situaciones de reparto de enteros en par-tes iguales y el análisis de los repartos;

• las fracciones y la división: vinculación en-tre los números que intervienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto;

• el concepto de equivalencia y la compara-ción de fracciones;

• fracción de un entero y fracción de una cantidad;

• fracción en contexto de medida;• fracción de una fracción;• suma y resta de fracciones. Recursos de cálculo

mental y aproximado. Reconstrucción del entero.

Se continúa trabajando con la noción de equivalencia en situaciones de reparto y medi-ción, por ejemplo, en el problema “Hoy cena-mos tarta”.

También es tarea de 5.º el estudio de las rela-ciones entre fracciones. En distintas actividades del capítulo, el objetivo es comparar fracciones apelando a diferentes argumentos. En cuanto a las operaciones con fracciones, se presentan di-ferentes situaciones de suma y resta que permi-ten la elaboración de recursos de cálculo mental, para reconstruir una fracción o un entero usan-do fracciones de una o varias clases dadas.

Los desafíos y las situaciones de juego fa-vorecen la problematización de algunos de los conceptos que aborda el capítulo. A través de los desafíos, se propicia el uso de la fracción en el contexto de la medida. Particularmente, el Tangram, como otros rompecabezas, favore-ce la experiencia en construcción de regiones equivalentes y en transformaciones de figuras planas, y estimula la creatividad al construir nuevas figuras.

A través de los juegos, se trabaja la re-construcción del entero a partir de diferentes fracciones, la comparación entre fracciones, la suma de fracciones y la comparación de di-cha suma con la unidad.

Tanto los desafíos como los juegos permi-ten reelaborar los conceptos de manera recrea-tiva. Los alumnos comparan y operan con las fracciones sin “pensar” en algoritmos conven-cionales. Es un contexto que facilita la relación con los saberes previos de los alumnos.O

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12

fracciones5Llegan

las

Página 38 DEL LIBRO DEL ALUMNOEn partes iguales

Siempre se puede repartir en partes iguales, pero en dos casos queda un resto que no se puede seguir re-partiendo.122 chupetines entre 24 chicos no122 chocolates entre 24 chicos sí, 5 y 52 plantas en 5 maceteros no

¿Verdadero o falso?

Página 39 DEL LIBRO DEL ALUMNOHoy cenamos tarta

Las formas de repartir son equivalentes. 1 y es lo mismo que y , es decir .

La colección del abuelo

PÁgINA 40 DEL LIBRO DEL ALUMNOArmar el entero

y ; y ; y ; y ; y .

Más que un enteroa) Le falta 1 entero.b). Le falta 1 entero y . Le falta 1 entero y . c) Le faltan . d) .

e) .

Las aves migratoriasEn nuestro país hay 250 especies de aves migratorias.

Página 41 DEL LIBRO DEL ALUMNO¡Qué fantástica esta fiesta!

La fracción que les queda para mañana es .

Les quedan disponibles + , es decir .

Se les rompieron de = , para llegar a fal-

tan , y además, si las copas que estaban lavando

representan del total, aún les quedan de copas

disponibles.

La harina que tienen no alcanza.

La tarea de JoaquínLos que están mal son el tercero de la primera colum-na (el resultado correcto es ) y el primero de la se-gunda columna (el resultado correcto es ). El resto están bien.

PÁgINA 42 DEL LIBRO DEL ALUMNODesafíos con el Tangram chino

1) El triángulo “grande”. El triángulo “mediano” más los dos “pequeños”. El triángulo “mediano” y el cuadrado. El triángulo “mediano” y el paralelogramo. El paralelogramo más los dos triángulos “pequeños”. El paralelogramo y el cuadrado. El cuadrado más los dos triángulos pequeños.

2) El triángulo “mediano” representa del triángulo grande. Sucede lo mismo con el paralelogramo y con el cuadrado.

3) a) b) c)

4) Con los dos triángulos “grandes”, el “mediano” y el paralelogramo. Hay más de una respuesta, por ejem-plo: un triángulo “grande”, el “mediano”, el paralelo-gramo, el cuadrado y los dos triángulos “pequeños”.

5) y , respectivamente.

PÁgINA 43 DEL LIBRO DEL ALUMNOOtros Tangrams

a) La fracción que se indica en cada caso siempre es aproximada, porque para determinarla nos estamos basando en la observación.

b) En el 1 y el 3.

PÁgINA 44 DEL LIBRO DEL ALUMNORompecabezas

Los dos cuadrados:

El rectángulo se arma uniendo los dos cuadrados an-teriores.

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13

F V

F V

13 1

2

14

1316

1116

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1110 7

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25

425

210

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45

125

15

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2425

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39

69

410

610

13

43

Jugadores de Boca

Jugadores de River

Jugadores de Racing

Jugadores de Vélez

Jugadores de otros cuadros

10 30 18 15 17

19

13

15

16

Las restantes

116

116

18

18

14

18

14

Los números decimales, al igual que los fraccionarios, suponen una nueva complejidad para los alumnos del segundo ciclo. Todas las certezas ya construidas, y que son válidas en el conjunto de los números naturales, son cues-tionadas. Por ejemplo: cuando se multiplican dos números naturales, siempre el producto es mayor que ambos factores (a menos que algu-no de ellos sea 1 o 0); pero no sucede lo mismo cuando se multiplica un número decimal me-nor que 1 por un número natural, o por otro número decimal cualquiera.

En 5.º grado, los niños comenzarán con las es-crituras decimales a partir de fracciones decimales, utilizarán la notación con coma para representar la posición de décimos, centésimos, milésimos, etcé-tera, en la descomposición de un número.

Específicamente, en este capítulo se traba-jan los siguientes contenidos:

• la relación entre el sistema monetario y los números decimales;

• escritura de expresiones que representan equivalencias entre cantidades. Notación con coma. Análisis del valor posicional en la nota-ción decimal. Números decimales y fracciones decimales: relaciones y comparación. Ubicación en la recta numérica de expresiones decimales;

• suma y resta de números decimales. Algo-ritmo convencional de la resta. Cociente deci-mal de dos números naturales. División de un número decimal por uno natural y de un nú-mero natural por uno decimal. Multiplicación de un decimal por un número natural y de dos números decimales (cálculos sencillos). Recur-sos de cálculo mental.

Los desafíos que se presentan en este capí-tulo propician la representación de expresiones decimales en la recta numérica, el análisis del valor posicional, la composición de expresio-nes decimales a partir de ciertas condiciones dadas, la identificación de regularidades en el sistema de numeración y el uso de diferentes estrategias de cálculo mental y aproximado.

Es importante que se trabaje el concepto de densidad empleando como recurso la recta numérica. Siempre es posible ubicar otros nú-meros entre dos números decimales. Para que este concepto sea atrapado por los alumnos, será necesario un espacio de discusión soste-nido en el tiempo. Además, los alumnos nece-sitan aprender a explicar, justificar y validar sus producciones. La discusión sobre lo producido permite construir saberes sobre la argumenta-ción en matemática.

En el primer juego que se presenta, se propicia el cálculo exacto de adiciones y sustracciones de expresiones decimales mediante procedimientos de cálculo mental y también por medio de algo-ritmos convencionales; se practica la operatoria en forma amena y desafiante y se analiza el valor posicional en la notación decimal. En la “Sopa de cálculos” la intención es que los alumnos advier-tan que los números con coma menores que 1 “achican el número natural”. En el “Dominó de decimales”, se presentan varias escrituras para un número, que permiten relacionar la expresión fraccionaria con la decimal. Luego de jugar, es re-comendable plantear situaciones simuladas para problematizar colectivamente los aspectos rele-vantes de los conceptos abordados.

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6decimales lostambienY -

Página 46 DEL LIBRO DEL ALUMNO¿Me das cambio?

$1 = 10 monedas de 10 centavos$1 = 20 monedas de 5 centavos$1 = 4 monedas de 25 centavos $1 = 2 monedas de 50 centavos

$1,40 = 14 monedas de 10 centavos $0,60 = 6 monedas de 10 centavos $2,30 = 23 monedas de 10 centavos$3 = 30 monedas de 10 centavos

• 73 monedas de 10 centavos.• $7,30.

Página 47 DEL LIBRO DEL ALUMNOCada cual con su pareja

Expresan la misma cantidad: 1,2 y ; 0,25 y ; y 0,1; y 0,01; 0,5 y .

Representan un entero, dos décimos: 1,2 y .

Representan veinticinco centésimos: 0,25 y .

Expresan la misma cantidad y 0,25; , 0,50 y ; y 0,75.

Página 48 DEL LIBRO DEL ALUMNODe vuelta a la librería

Enzo gastó $4,20. No le alcanza para comprar la goma, porque $4,20 + $0,90 = $5,10. Le faltan $0,10.

De comprasLaura gastó $49,60 y le dieron de vuelto $0,40.

Página 49 DEL LIBRO DEL ALUMNOEl negocio de regalos

Gastaron en cada cofrecito $15,50.Laura gastó $32.Le alcanza para comprar las 10 cajitas y le sobran $7.

Los ahorrosAntes del regalo de su tía tenía ahorrados $255,40.

Página 50 DEL LIBRO DEL ALUMNOAdivinar el número decimal

Los números decimales son: 0,307, 2,23 y 55,05.

¿Qué número falta?En la primera columna: 0,7; 0,07; 0,14; 0,05 y 0,2.En la segunda columna: 1; 0,06; 0 y ; 1 y .

¿Cuál es el cálculo?En la primera columna: – 0,03En la segunda columna: + 2,72 y + 29,72En la tercera columna: – 0,2 y 0,72

Página 51 DEL LIBRO DEL ALUMNONúmeros escondidos

En la primera recta numérica: 1,5 y 2,8.En la segunda recta numérica: 0,6 y 2,2.En la tercera recta numérica: 4,5 y 5,3.En la cuarta recta numérica: 6,6 y 8,4.

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25100

110

25100

1210

143

4

24

12

+2

+0,2

+0,3

+3 –3 –0,04

–2,55

+3

+2,5

–0,95

+40,1

0,2

1,1

1,6

7,09

3

0,1

7,1

4,19

0,1

2,9

1

–2,8

2,1

+ 0,1

+ 0,5

+ 0,4

– 0,1

+ 2,7

+ 2,2

– 0,6

+1

– 0,01

+ 2,95

+ 0,31

+ 0,4

0,4

0,7

3,1

0,1

4,1

2,6

1,05

7,05

4,5

+ 7

+ 0,1

+1,29

+ 0,05

– 2

+ 0,9

– 0,2

+ 2

– 1,55

– 1,59

+0,09

– 2,01

– 2,9

–1,5

5,1 9,1

Página 52 DEL LIBRO DEL ALUMNONúmeros escondidos

0,5 x 100 x 0,1 x 0,75 x 10 x

x 1,5 x 8 x 500 x 0,05 x 1.000

0,01 x 1.000 x 0,02 x 500 x 2,1 x

x 7 x 2 x 5 x 2.000 x 0,025

700 x 0,07 x 100 x 2 x 5,001 x

x 2,01 x 5,01 x 0,1 x 0,01 x 100

0,2 x 200 x 2,1 x 5 x 4 x

x 6 x 2,02 x 10 x 0,8 x 8

9 x 1,1 x 9,1 x 10 x 2,5 x

Página 53 DEL LIBRO DEL ALUMNOSopa de cálculos

41.0007

1.000

El hacer geométrico significa momentos de construcción, de discusión, de reflexión indivi-dual, de validación, de conceptualización.

Las construcciones de este capítulo pueden realizarse con regla y compás y tienen como ob-jetivo el uso y sistematización de las propiedades de los cuadriláteros para su adecuada definición.

Además, podemos plantear diferentes pre-guntas a los alumnos para que lleven a cabo una tarea que convoca a la argumentación en el mar-co de la demostración en matemática. Por ejem-plo, cuando se les pide que indiquen si una cons-trucción es única, se avanza en un trabajo sobre los procesos argumentativos geométricos.

En este capítulo se presentan las actividades en los marcos clásicos del aprendizaje de la geo-metría: la reproducción y “adivinanza” de figu-ras, y el juego de los mensajes. En las actividades de reproducción de figuras, se tienen en cuenta los elementos de las figuras, las relaciones entre ellos y también sus medidas. Si no tenemos en cuenta las medidas, construimos figuras seme-jantes, y no siempre congruentes. En la situación de “adivinanza” de figuras “¡A inventar pistas!”, la intención no está puesta en la medida, sino en poder definir la figura a partir de sus elementos y las relaciones entre ellos, y en comenzar a ex-plicitar las propiedades de las figuras.

En la actividad “Y ahora… ¡a escribir instruc-ciones!”, en el marco del juego de mensajes, es importante considerar la medida de los elemen-tos y seguir avanzando en el uso del lenguaje geométrico específico.

Las actividades del capítulo permiten recu-perar y ampliar los saberes que tienen los alum-

nos sobre:• cuadriláteros: elementos, definición y pro-

piedades;• construcción de cuadriláteros usando regla,

compás y transportador; • reproducción de cuadriláteros y elabora-

ción de mensajes; • clasificación de cuadriláteros; • propiedades de las diagonales del cuadrado,

del rectángulo y del rombo, a partir de activida-des de construcción;

• equivalencia de figuras. Cubrimiento del plano;• desarrollos planos del cubo.A través de los desafíos, se profundiza lo rea-

lizado a partir de los problemas, y se presentan actividades de “visualización”. Este tipo de acti-vidades tiene por objetivo el desarrollo de habi-lidades específicas para la resolución de proble-mas: no siempre basta con la primera “mirada” para la resolución de un problema; resulta ne-cesario identificar una estrategia óptima para la resolución de la situación, por ejemplo la identi-ficación de regularidades.

Lo que pretendemos a través de los juegos es, particularmente, el desarrollo de la imaginación es-pacial, el conocimiento de figuras geométricas pla-nas, la identificación de propiedades geométricas y la composición y descomposición de figuras.

En el aula debemos favorecer la discusión grupal y colectiva, pero también la reflexión in-dividual. Luego de un juego, o la resolución gru-pal de un problema, tendríamos que proponer actividades para resolver individualmente que le permitan evaluar al niño su posicionamiento en relación al saber.

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16

7 cuadrilateros

Los

A partir de un triánguloa) Rectángulo.b) Paralelogramo.

Página 58 DEL LIBRO DEL ALUMNOEl cuadrado y el triángulo

α = 15º y β = 45º

Cuadrados, rectángulos y diagonalesTodos los ángulos miden 45º.

Adivinar las figurasEs rombo y rectángulo: cuadradoTiene 4 ángulos rectos y las diagonales no son perpen-diculares: rectángulo.Las diagonales dividen al cuadrilátero en 4 triángulos iguales y no es cuadrado: rombo.Tiene dos pares de lados consecutivos iguales y no es rombo: romboide.

Página 59 DEL LIBRO DEL ALUMNOCuadriláteros escondidos

Hay 15 cuadrados y 12 rectángulos (considerando que los cuadrados también son rectángulos: 27 rectángulos)

Cortes y cuadriláteros

a) b)

Página 60 DEL LIBRO DEL ALUMNOLos tetraminos

a)

b) c)

Desarrollos del cubo

Página 61 DEL LIBRO DEL ALUMNOLos pentaminos

Página 54 DEL LIBRO DEL ALUMNOCuadriláteros cumplidores

1) c, f y g.2) b, c, e y f.3) a, c y e.4) b, c, e y f.5) c y e.6) c y f.7) a y d.8) d.El que cumple más propiedades es el cuadrado (c).El que cumple menos propiedades es el romboide (g).

Página 55 DEL LIBRO DEL ALUMNO¡A inventar pistas!

Para el paralelogramo pueden ser: Tiene dos pares de lados opuestos paralelos y con-

gruentes. Cada diagonal corta a la otra en su punto medio. Las diagonales no son congruentes.Para el trapecio isósceles pueden ser: Sus diagonales son congruentes y no se cortan en su

punto medio. Para el cuadrado pueden ser: Tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados

iguales.

Y ahora… ¡a escribir instrucciones!a) Podrían ser que es un rectángulo y las medidas de

sus lados.b) Podrían ser que es un rombo, la medida de sus lados

y de algún ángulo.

Página 56 DEL LIBRO DEL ALUMNOConstrucciones variadas

Siguiendo instruccionesLa figura que queda dibujada es un rectángulo.

A partir de un segmentoSi considero a los segmentos como lados, se pueden construir un cuadrado y varios rectángulos. Si los con-sidero como diagonales, puedo construir un único cua-drado diferente al anterior y varios rectángulos, tam-bién diferentes a los anteriores.

Página 57 DEL LIBRO DEL ALUMNOA partir de las diagonales

El cuadrilátero que queda dibujado es un romboide. La representación variará en función de la ubicación del punto de intersección de las diagonales.

A partir de un ánguloSe pueden construir infinitos paralelogramos semejantes (varían las medidas de los lados, pero no las angulares).

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17

En 5.º grado, se comienza a trabajar el concepto de proporcionalidad. Recién en este año la proporcionalidad tiene “estatus” de objeto de estudio. Durante los años ante-riores, los niños han abordado situaciones de proporcionalidad como uno de los significa-dos posibles de la multiplicación.

En esta primera aproximación al concep-to, se espera que los alumnos comiencen a hacer uso de distintos procedimientos para la resolución de los problemas.

Los contenidos que se abordan en el capí-tulo son los siguientes:

• situaciones de proporcionalidad. Situa-ciones de proporcionalidad directa;

• variables proporcionales y no proporcio-nales;

• porcentaje;• aumento proporcional: factor de am-

pliación.El trabajo con los desafíos permite abor-

dar los distintos aspectos del concepto de porcentaje: la fracción como porcentaje, la determinación de porcentajes en el contexto de la medida y el aumento proporcional de las dimensiones de una figura.

El concepto de porcentaje se introduce desde el concepto de fracción. La expresión “x %” es una manera de expresar la fracción x/100, pero el concepto de porcentaje pro-viene de la necesidad de comparar dos nú-meros entre sí, de una manera relativa, es de-cir, se desea saber qué fracción o proporción

representa uno respecto del otro, tomándo-se al 100 como referencia para la compara-ción. Al situarlo como denominador de una fracción, su numerador indica qué parte de 100 representa.

En el capítulo también se presentan algu-nas situaciones en las que se debe calcular un porcentaje o el x % de un número, y au-mentar o disminuir un número en el x % de su valor.

Con los juegos, el propósito es continuar con la ampliación de figuras, completar ta-blas identificando la constante de propor-cionalidad y afianzar las diferentes nociones abordadas en el capítulo.

El trabajo con los juegos es una vía para la adquisición de conocimientos matemáti-cos. Para que esto sea posible, los niños de-ben verse enfrentados a una actividad en la que tengan que tomar decisiones sobre qué conocimientos utilizar, para luego poder argumentar sobre ellos. Si no existe un pro-yecto de enseñanza que lo respalde, el juego se limita a la reproducción de indicaciones externas, a un momento de juego y no de aprendizaje de un contenido matemático.

Luego de jugar, el docente, en la gestión de la clase, deberá instalar la reflexión acer-ca de lo que se hizo, permitir la discusión y confrontación sobre los diferentes procedi-mientos que se utilizaron y la validación de lo producido.

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8 proporcionesDivinas

Página 62 DEL LIBRO DEL ALUMNOLos copos de azúcar

a)

b)

c) Aproximadamente, necesitará 7 kilos de azúcar por semana. En un mes, aproximadamente, 28 kilos de azúcar.

d) Compró 4 copos.

PÁgINA 63 DEL LIBRO DEL ALUMNOgatos de campo

a)

b) En piedritas, gasta por mes $21. En alimentos, gasta $140.

c) (102 x 4) : 6 102 x 6 x 4 (102 : 6) x 4 106 : 6 : 4d) En total, Mariana gasta por mes $229 en sus 4 gatos:

$140 en alimento, $21 en piedritas y $68 en vacunas y antipulgas.

e) En un año comen 96 kilos de alimento.

Página 64 DEL LIBRO DEL ALUMNOEl álbum de Mariano

a) No puede estar seguro de que llenará el álbum, por-que muchas veces algunas de las figuritas que vienen en el paquete ya las tiene.

b) En realidad, 30 es la cantidad mínima de paquetes que debió abrir. Seguramente abrió más paquetes porque algunas le habrán salido repetidas.

c) Tendría que comprar 6 paquetes de figuritas, si se cumple su cálculo.

d) Tendría que comprar 9 paquetes.e) Pagó por cada paquete $2.

Porcentajes en las comprasa) Pagará por el televisor $360.b) Después del segundo aumento cuesta $59,4.

Página 65 DEL LIBRO DEL ALUMNOEl bazar de Alba

a) Los carteles deben tener valores inferiores a $36, $44 y $28, respectivamente.

b) Le conviene comprarlas en el negocio que hace la oferta de 4 tazas a $24. Por 8 tazas pagará $48.

c) Hay muchas respuestas posibles; por ejemplo: 6 va-sos a $16 o 4 cazuelas a $20.

Porcentaje de $100El 50% de $100 es $50. El 25% de $100 es $25.El 20% de $100 es $20. El 100% de $100 es $100.

Fracciones y porcentajes representa el 50 %. representa el 25 %.

representa el 75 %.

Figuras y porcentajesa) 40% b) 50% c) 25%

Aumentos y rebajasNo vuelve a su valor inicial en ninguno de los dos casos.

Página 69 DEL LIBRO DEL ALUMNOArmá la figura

Sopa de letras

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Kilos de azúcar

Cantidad de copos

1 50

2 100

3 150

4 200

5 250

6 300

Cantidad de copos

Dinero que recauda

1 $1,5

5 $7,5

10 $15

20 $30

50 $75

100 $150

12

1234

14

gatosCantidad de

alimento (en kg) gasto (en $)

1 2 35

2 4 70

3 6 105

4 8 140Peso (en kg) 1 2 3 4 5

Precio (en $) 30 60 90 120 150

Paquetes 1 2 3 4 5

Peso (en kg) 6 12 18 24 30

Cantidad a 10 20 40 80 5

Cantidad B 500 1.000 2.000 4.000 250

Para hacer 25 copos necesita kilo de azúcar.

E T N A T S N O C D

R J T R I P L I C U

C I A H E L A D M PE N T T R I K M M LN V C M N T E E E IT E E Z O E O M E CA R R X F A C A T AG S I B U H R R O GE A D C I E N T O US D M I L C U A T P

30 150

80

6

60

12

4020

24

120

18

250

Nos parece importante comenzar a recuperar lo hecho en años anteriores en el tratamiento de los cuerpos geométricos, debido a que facilita el trabajo con otros contenidos, como triángulos y cuadriláteros, relación entre cuerpo y figura, po-lígonos regulares y figuras circulares. Además, al ser trabajado en el marco de desafíos y juegos, su abordaje resulta ameno y sencillo.

En este capítulo se trabaja con los siguientes contenidos:

• desarrollo plano de un cuerpo;• cuerpos geométricos: denominación, ele-

mentos, propiedades y construcción.Tanto los desafíos como los juegos apuntan

a identificar los elementos y propiedades que permiten denominar los cuerpos, al uso del lenguaje específico y a establecer la relación entre el cuerpo y su desarrollo plano.

Los juegos de construcción permiten el desarrollo de la motricidad y la coordinación visomanual, contribuyen al desarrollo de la imaginación y el pensamiento espacial y de la intuición geométrica, y estimulan la creativi-dad, incentivando la creación de nuevas for-mas geométricas. Asimismo, favorecen la con-ceptualización de la noción de volumen que será abordada más adelante.

Para construir una pirámide, primero hay que dibujar su desarrollo plano, luego recortar-lo y doblarlo por las aristas convenientemente. Esta tarea permite profundizar la caracteriza-ción de los cuerpos.

En el debate colectivo se puede preguntar por la cantidad y ubicación de las pestañas

necesarias para poder armar un cuerpo, por la cantidad de rectángulos que tiene el desarrollo plano de un prisma de acuerdo con el número de lados del polígono base, por la cantidad de aristas que quedan unidas en el desarrollo pla-no de una determinada pirámide, etcétera.

En el juego “Adivinar el cuerpo geométrico”, el niño identifica los cuerpos a partir de sus propiedades, mediante preguntas que se con-testan por sí o por no.

Los juegos y desafíos son poderosas estrate-gias de aprendizaje porque suponen:

• interpretar instrucciones;• relacionar y comunicar información;• poseer capacidad de concentración y aten-

ción;• emplear la memoria y los diferentes tipos

de razonamiento;• utilizar el vocabulario específico de la ma-

temática;• revisar colectiva o grupalmente las jugadas;• emplear diferentes recursos (esquemas grá-

ficos, dibujos, diagramas, etcétera) como sopor-tes para el razonamiento;

• ser capaces de anticipar un resultado;• etcétera.Todas estas actividades son las que intenta-

mos propiciar para un hacer matemático ge-nuino. El juego lo favorece, entrando espontá-neamente en la tarea matemática. Luego, con la gestión del docente recuperamos e institu-cionalizamos los saberes matemáticos que se pusieron en juego.

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9 geometricos

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cuerposLos

Página 70 DEL LIBRO DEL ALUMNOEsqueletos de cuerpos

Palillos: 12, 12, 8 y 6, respectivamente.Bolitas: 8, 8, 5 y 4, respectivamente.

¿Cuál es cuál?Cubo, prisma de base triangular y pirámide de basecuadrada, respectivamente.

Página 71 DEL LIBRO DEL ALUMNODando pistas

Prisma de base cuadrada: tiene dos caras cuadradas iguales y cuatro caras rectangulares. Pirámide de base triangular: tiene cuatro caras trian-gulares. Una es la base y las otras tres tienen un vértice común.

Cuerpos redondosa) Cilindro, esfera y cono, respectivamente.b) Forma de cilindro: por ejemplo, una lata o un rollo de papel.Forma de esfera: por ejemplo, una pelota o un ovillo de lana.Forma de cono: por ejemplo, un cucurucho o un gorro de cumpleaños.c) Por ejemplo: la mitad de una esfera.d) Respuesta personal.

Página 72 DEL LIBRO DEL ALUMNOPlanos de cuerpos

a)1. El tetraedro: 3 pestañas.

2. La pirámide de base pentagonal: 5 pestañas.

3. El prisma de base cuadrada: 7 pestañas.

4. El prisma de base triangular: 5 pestañas.

b) 11 pestañas y 13 pestañas, respectivamente.

Página 73 DEL LIBRO DEL ALUMNOCuerpos para armar

Página 74 DEL LIBRO DEL ALUMNOSopa y acróstico

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C I L I N D R OC U B O

E S F E R AP I R Á M I D E

P R I S M AC O N O

P A R A L E L A SC R U P R I S M AA I P C I R C U LR Z I A R I S T AA O R D N I L I CR C Á C U A D R AE U M R O M B O EF C I G U O J E OS U D P I R N I BE R E T R I A O UH O Y O L A D O C

El trabajo con medida que se realiza en 5º gra-do recupera lo iniciado en 4º, y se avanza signifi-cativamente en el establecimiento de relaciones entre las diferentes unidades de medida, tanto para las longitudes como para las capacidades y los pesos.

Además, se plantean problemas que demandan cálculos aproximados de longitudes, capacidades y pesos (por ejemplo, en el desafío “¿Cuánto hilo?”).

En 5º grado, los niños están en condiciones de relacionar la medida efectiva con la magnitud de la que se trata, y de analizar el significado de las letras y las palabras que acompañan a los números. Segura-mente, será necesario disponer de un tiempo pro-longado y continuo para la exploración de los con-ceptos de medida, unidad de medida y magnitud, y el uso e identificación de los instrumentos de me-dición convenientes para cada caso. Es importante que se discutan en clase las siguientes cuestiones, que pueden no resultar obvias para los alumnos:

• medir un objeto es elegir una unidad y deter-minar cuántas veces esta entra en el objeto;

• la elección de la unidad de medida depende del objeto que se quiere medir;

• el resultado de la medición depende de la unidad elegida;

• al medir, muchas veces es necesario fraccio-nar la unidad de medida elegida;

• existen diferentes instrumentos de medida para cada magnitud;

• la medición siempre es aproximada, pero hay instrumentos y procedimientos que garantizan una medición más aproximada.

Posteriormente a la elaboración de estas cues-tiones, se podrá abordar el SIMELA exhaustiva-

mente y en toda su complejidad.Las actividades que se incluyen en este capítu-

lo abordan los siguientes contenidos: • medidas de longitud: comparación de longi-

tudes. Uso del km y del mm como unidades que permiten medir longitudes más extensas o más pequeñas. Relaciones entre m, cm, km y mm. Esti-mación. Instrumentos de medición;

• medidas de peso: uso de mg y kg como unida-des mayores y menores que el gramo. Estimación. Instrumentos de medición;

• medidas de capacidad: uso de ml y hl como unidades mayores y menores que el litro. Estima-ción. Instrumentos de medición.

• SIMELA.El trabajo con la estimación (por ejemplo en las

actividades “Unidades de longitud” e “Instrumen-tos y unidades”) permite hacer consideraciones subjetivos sobre diferentes medidas en situaciones cotidianas y, además, desarrollar la capacidad para evaluar la razonabilidad de una medida.

Los desafíos que se presentan en este capítulo propician el trabajo con unidades convencionales de peso, longitud y capacidad.

A través de los juegos se promueve el uso y la comprensión del SIMELA. No es tarea fácil para los niños comprenderlo y adquirir destreza en los cambios de las distintas unidades. Es necesario trabajar bastante tiempo con actividades que los ayuden a dominar la relación entre las diferentes unidades de medida y a familiarizarse con la me-cánica de las transformaciones. La presentación lúdica de estas propuestas permite a los niños tomarlas como pasatiempos y afrontar su resolu-ción de forma amena.

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10medidasLas

Página 76 DEL LIBRO DEL ALUMNOCinta de medir

Dos unidades: tira de 8 cm; media unidad: tira de 2 cm; un cuarto de unidad: tira de 1 cm; 2 y unidades: tira de 10 cm.

Unidades de longitudCuadra: metros, 100 m; cuaderno: centímetros, 16 cm;grano de arroz: milímetros, 5 mm; distancia: kilómetros, 1.387 km.

Página 77 DEL LIBRO DEL ALUMNOPreguntas de longitud

Mide 4 cm.Hay 1.000 mm.

Instrumentos y unidadesa) Metro y centímetro. Un centímetro de costurera.b) Metro y centímetro. Una cinta métrica.

Página 78 DEL LIBRO DEL ALUMNOEn la verdulería

20 bolsas y 40 bolsas, respectivamente.

Unidades de peso y balanzasa) Pañuelitos: gramos; vitamina: miligramo; vaca: kilo-gramos; taza de harina: gramos.b) Gramos y una balanza de joyero.

En la cocinaSe necesitan 6 kilos de arroz.

Preguntas de pesoHay muchas respuestas, se presentan algunos ejemplos.100 g: por ejemplo, una caja de 50 saquitos de té.0,5 kg: por ejemplo, un paquete de yerba.0,25 kg: por ejemplo, un paquete de galletitas.

Página 79 DEL LIBRO DEL ALUMNOEn el súper

Compró 8 y litros.

Preguntas de capacidadHay100 litros.Hay 1.000 ml.

Escrituras equivalentesEscrituras equivalentes a 1/2 litro: 0,5 l; 500 cc; 500 ml. Escrituras equivalentes a 1/4 litro: 0,25 l ; 250 cc; 250 ml.

Medidores de líquidoLitro y un balde.

Página 80 DEL LIBRO DEL ALUMNOEl cumpleaños de Bianca

En una mesa: 3 botellas de 1 litro, 3 de 1/2 litro, 3 de 1/4 litro y 3 botellas de 3/4 litro. En la otra mesa: 3 botellas de 1 litro, 2 de 1/2 litro, 2 de 1/4 litro y 4 de 3/4 litro.

Una hilera de cuadrados Un rollo de papelTendrá una longitud de 40 metros. Tardará 9 minutos.

¿Qué puede ser?a) Pizarrón. b) Puerta. c) Lápiz.

Los pasosBianca da 12 pasos.

Los baldesEchar dos veces 4 litros al balde de 9 litros. Volver a llenar el balde de 4 litros y volcar agua en el otro hasta 9 litros, y así completar 9 litros. En el balde de 4 litros le quedarían 3 litros. Vaciar el balde de 9 litros y echar en él los 3 litros. Llenar nuevamente el balde de 4 litros y agregar su contenido al de 9 litros.

Los pesosSofía 30 kg. Joaquín pesa 110 kg. Luciano pesa 70 kg.

¿Cuánto hilo?Se puede tomar la medida del contorno con una regla. Si no, con un trozo de piolín, se marca el contorno y luego se lo mide, para saber cuánto miden todos los perímetros de las figuras. Luego, a cada uno de los perímetros se lo multi-plica por 5 y se calcula un poco más del doble, que es una medida aproximada de lo que se necesita comprar.

Página 82 DEL LIBRO DEL ALUMNODiagramas de medidas

Continúa en página 32

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Hay 100 cmHay 1.000 m.

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En 5.º grado continuamos avanzando en la conceptualización de la noción de área. Se debe hacer un trabajo progresivo y continuo para conceptualizar adecuadamente la noción de área, la relación entre perímetro y área y la posterior construcción de las diferentes fórmu-las para el cálculo de áreas, que será objetivo de los próximos años.

Las actividades del capítulo permiten avan-zar sobre las prácticas matemáticas relaciona-das con:

• concepto de perímetro; • cálculos de perímetros;• concepto de área;• áreas equivalentes;• relación área y perímetro: variaciones, sin

recurrir a la utilización de unidades convencio-nales, de medida del área;

• relaciones entre el área y el perímetro;• comparación o medición del área de figu-

ras poligonales utilizando diferentes recursos: cuadrículas, superposición, cubrimientos, et-cétera;

• figuras equivalentes en área;• independencia de la medida del área de la

forma.Lo que pretendemos a través del planteo de

desafíos es el trabajo, especialmente, con equi-valencia de áreas. Asimismo, con la actividad “La figura intrusa” hacemos una primera entra-da al cálculo de áreas, utilizando como soporte la cuadrícula. Es posible que con esta actividad los niños empiecen a identificar como “buena”

la transformación de ciertos cuadriláteros en rectángulos, para el cálculo de áreas.

En el juego con los tetraminos se trabaja el concepto de áreas equivalentes y la relación en-tre el área y el perímetro; todos los tetraminos tienen igual área, pero diferente perímetro.

En el rompecabezas con triángulos se abor-dan los mismos contenidos, pero además, con iguales áreas, se debe construir la figura de ma-yor o menor perímetro.

En las situaciones “Con un tangram” y “Ar-mamos figuras” también se trabaja la equiva-lencia de áreas: varía la forma, pero no el área. En el caso de “Adivinando diseños”, abordamos cubrimientos en el plano y equivalencia de áreas.

Los tangrams, que son juegos de cubrimien-to del plano con regiones, son muy importan-tes porque favorecen las experiencias en cons-trucción de regiones de igual área y la práctica en transformaciones de figuras planas. Ade-más, desarrollan la noción de conservación del área, permiten la búsqueda de relaciones entre las figuras del tangram y la comparación de áreas y perímetros de figuras construidas con ese rompecabezas.

Los desafíos y los juegos fomentan la posi-bilidad de probar, experimentar, argumentar, generalizar… todas prácticas propias del hacer matemático genuino, un trabajo científico ma-temático.

11 areas

Perimetrosy

Página 66 DEL LIBRO DEL ALUMNOTerreno cercado

No les alcanzarán 1.000 metros, porque necesitan 1.988 metros.3 m x 4 = 12 m,12 m – 1 m = 11 m. Pero si consideran el alambre de púas que colocaron a todo el terreno, solo serán nece-sarios 5 metros de alambre tejido.6 m + 6 m + 5 m + 5 m = 22 m,22 m – 1 m = 21 mSi consideran que para el gallinero necesitan 11 metros, no les alcanzará y les faltarán 2 metros de alambre. Pero si con-sideran que necesitan 5 metros, les alcanzará el alambre.

Página 85 DEL LIBRO DEL ALUMNORectángulos de distinto tamaño

a) El de 4 cm y 10 cm: 28 cm de perímetro; el de 20 cm y 2 cm: 44 cm; el de 5 cm y 8 cm: 26 cm.b) Cada rectángulo tiene un área de 40 cm2 o 160 cua-draditos (los de las hojas cuadriculadas). Aunque ten-gan igual área, los perímetros no son todos iguales.Los rectángulos de igual perímetro no tienen, necesa-riamente, igual área. Por ejemplo, los rectángulos de lados de 1 cm y 4 cm, y 2 cm y 3 cm, respectivamente, tienen igual perímetro, pero difieren en área.

Letras en cuadrículaL: 9 cm y 12 cuadraditos.I: 8 cm y 8 cuadraditos.T: 11 cm y 14 cuadraditos.E: 13 cm y 16 cuadraditos.

La idea es que los alumnos vayan ensayando las mane-ras de obtener una figura con determinada área y, a partir de allí, que busquen estrategias para mantener el área y modificar el perímetro, o viceversa. Las letras pueden tener cualquier alto y ancho, ya que no se es-pecifica, pero, por ejemplo, las pedidas en los incisos a) y b) pueden ser:

PÁgINA 86 DEL LIBRO DEL ALUMNODesarrollo de un cubo

Todos los desarrollos tienen el mismo perímetro.

Formas equivalentesSe corta un triángulo en un extremo del paralelogramo o del trapecio y se lo agrega en el otro extremo.

Triángulos en los rectángulosEn todos los casos, ambas partes ocupan la misma su-perficie.

PÁgINA 87 DEL LIBRO DEL ALUMNOLa figura intrusa

PÁgINA 88 DEL LIBRO DEL ALUMNORompecabezasCon triángulos

Se pueden hacer 6 paralelogramos diferentes.Mayor perímetro:

Menor perímetro:

Con tetraminosTodos los tetraminos tienen igual área: 4 u2 e igual perí-metro: 10 u, salvo el tetramino que forma un cuadrado que tiene 8 u de perímetro.El cuadrado de menor perímetro es:

El rectángulo de 6 u x 8 u es:

Con un tangramTodas las figuras obtenidas tienen igual área porque se utilizan para cada una la misma cantidad de piezas, y las distintas piezas son equivalentes.

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segm

ento

s cua

lesq

uier

a, ¿s

iem

pre

es p

osib

le c

onst

ruir

un

triá

ngul

o?

5)

Con

tres

áng

ulos

cua

lesq

uier

a, ¿

siem

pre

es p

osib

le c

onst

ruir

un

triá

ngul

o?

6)

Si c

onoc

és la

s m

edid

as d

e lo

s tr

es la

dos

de u

n tr

iáng

ulo,

¿po

dés

cons

trui

r una

úni

ca fi

gura

?

7)

Si c

onoc

és la

s med

idas

de

los t

res á

ngul

os d

e un

triá

ngul

o, ¿p

odés

co

nstr

uir u

na ú

nica

figu

ra?

8)

Si te

pid

en q

ue co

nstr

uyas

un

triá

ngul

o y

te d

an la

s med

idas

de

dos

de s

us á

ngul

os, ¿

qué

otro

dat

o ne

cesit

ás p

ara

que

haya

un

únic

o tr

iáng

ulo

posib

le?

9)

¿Cóm

o se

pue

de co

nstr

uir u

n tr

iáng

ulo

cono

cien

do la

s med

idas

de

los t

res l

ados

?

10)

¿Cóm

o se

pue

de c

onst

ruir

un tr

iáng

ulo

cono

cien

do d

os la

dos y

el

ángu

lo c

ompr

endi

do e

ntre

ello

s?

1)

¿Qué

situ

acio

nes

se p

uede

res

olve

r co

n la

sum

a y

cuál

es c

on la

re

sta?

2)

¿Cuá

nto

hay

que

agre

garle

a 1

.235

par

a lle

gar a

10.

000?

3)

¿Cuá

nto

hay

que

quita

rle a

6.0

28 p

ara

llega

r a 5

.000

?

4)

¿Cóm

o se

pue

de c

ompr

obar

si u

na re

sta

está

bie

n re

suel

ta?

5)

¿Se

pued

e ca

mbi

ar e

l ord

en d

e lo

s núm

eros

que

inte

rvie

nen

en u

na

sum

a?

6)

¿Se

pued

e ca

mbi

ar e

l ord

en d

e lo

s núm

eros

que

inte

rvie

nen

en u

na

rest

a?

7)

¿Cuá

ntas

cifr

as te

ndrá

el r

esul

tado

de

sum

ar d

os n

úmer

os d

e 4

ci-

fras

?

8)

¿Cuá

l de

esta

s cue

ntas

es m

ás fá

cil d

e re

solv

er: 2

38 +

75

o 3.

200

+ 5.

000?

¿Por

qué

?

9)

¿Es c

iert

o qu

e si

se su

man

dos

núm

eros

par

es e

l res

ulta

do si

empr

e se

rá u

n nú

mer

o pa

r?

10)

¿Es c

iert

o qu

e si

se su

man

dos

núm

eros

impa

res e

l res

ulta

do si

em-

pre

será

un

núm

ero

impa

r?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

✃

Con l

a

y l

a r

esta

2su

ma

3

tria

ngu

los

An

gu

los

y

✃

1)

¿Es p

osib

le re

part

ir 24

chu

petin

es e

ntre

5 c

hico

s, en

par

tes i

gual

es,

sin q

ue so

bre

nada

?

2)

¿Es p

osib

le re

part

ir 24

alfa

jore

s ent

re 5

chi

cos,

en p

arte

s igu

ales

, sin

qu

e so

bre

nada

?

3)

¿Cuá

nto

pesa

n, e

n to

tal, 5

bol

sitas

de

kg

de p

an?

4)

Si a

l rep

artir

dos

piz

zeta

s en

part

es ig

uale

s ent

re v

ario

s chi

cos,

cada

un

o co

mió

y n

o so

bró

nada

, ¿cu

ánto

s chi

cos e

ran?

5)

¿Es c

iert

o qu

e el

dob

le d

e

es

igua

l a la

mita

d de

3?

6)

¿Cuá

nto

le fa

lta a

la m

itad

de

p

ara

llega

r a 1

y

?

7)

Si e

n un

gru

po d

e 60

per

sona

s

son

muj

eres

, ¿cu

ánto

s var

ones

ha

y?

8)

¿Cuá

l es l

a m

ayor

ent

re d

os fr

acci

ones

que

tien

en e

l mism

o nu

me-

rado

r?

9)

¿Cuá

nto

hay

que

rest

arle

al d

oble

de

para

obt

ener

un

ente

ro?

10) ¿

Cuán

tas p

erso

nas q

ueda

n si

de u

n gr

upo

de 1

.000

se se

para

la m

i-ta

d, y

lueg

o, la

qui

nta

part

e de

l res

to?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

1)

¿Qué

situ

acio

nes s

e pu

eden

reso

lver

con

la m

ultip

licac

ión?

2)

¿Qué

situ

acio

nes s

e pu

eden

reso

lver

con

la d

ivisi

ón?

3)

¿Cóm

o se

pue

de c

ompr

obar

si u

na d

ivisi

ón e

stá

bien

resu

elta

?

4)

¿Qué

ocu

rre

si se

cam

bia

el o

rden

de

los n

úmer

os q

ue in

terv

iene

n en

una

mul

tiplic

ació

n?

5)

¿Qué

ocu

rre

si se

cam

bia

el o

rden

de

los n

úmer

os q

ue in

terv

iene

n en

una

div

isión

?

6)

¿Cuá

ntas

cifr

as t

endr

á el

res

ulta

do d

e m

ultip

licar

un

núm

ero

de

dos c

ifras

por

un

núm

ero

de tr

es c

ifras

?

7)

¿Cuá

l de

esta

s cue

ntas

es m

ás fá

cil d

e re

solv

er: 3

28 x

57

o

5.30

0 x

2.00

0? ¿P

or q

ué?

8)

¿Cóm

o se

pue

de o

bten

er e

l coc

ient

e y

el re

sto

de 3

77 :

7 co

n un

a ca

lcul

ador

a?

9)

¿Es

cie

rto

que

si se

mul

tiplic

an d

os n

úmer

os p

ares

el r

esul

tado

sie

mpr

e es

par

?

10)

¿Es

cier

to q

ue s

i se

mul

tiplic

an d

os m

últip

los

de 7

el r

esul

tado

es

múl

tiplo

de

7?

mu

ltip

lica

r

div

idir

4A y a

fra

ccio

nes

5Lle

gan

las 1 5

1 22 5

7 5

1 4

3 4

3 4

✃

1)

¿Cuá

ntas

mon

edas

de

25 c

enta

vos s

e ne

cesit

an p

ara

tene

r $3,

50?

2)

¿Cuá

ntas

mon

edas

de

5 ce

ntav

os se

pue

den

cam

biar

por

un

bille

te

de $

2?

3)

¿Qué

núm

ero

es m

ayor

: 1,2

o

?

4)

¿Qué

núm

ero

es m

ayor

: 0,2

5 o

0,5?

5)

¿Alc

anza

n 3

mon

edas

de

$1 p

ara

paga

r un

bole

to d

e $1

,25

y otr

o de

$1

,80?

6)

¿Cuá

nto

hay

que

sum

arle

a 3

,27

para

lleg

ar a

4?

7)

¿Cuá

nto

hay

que

rest

arle

a 2

,99

para

obt

ener

2,9

?

8)

¿Cóm

o ha

rías p

ara

ubic

ar e

l 2,7

6 en

una

rect

a nu

mér

ica?

9)

¿Cuá

l de

esto

s núm

eros

est

á m

ás c

erca

del

2 e

n la

rect

a nu

mér

ica:

1,

7 o

2,5?

10)

¿Por

cuá

nto

hay

que

mul

tiplic

ar a

1,2

par

a ob

tene

r 24?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

1)

¿Cuá

les s

on lo

s cua

drilá

tero

s que

tien

en to

dos s

us á

ngul

os ig

uale

s?

2)

Si u

n cu

adril

áter

o tie

ne d

os á

ngul

os re

ctos

, ¿po

dés

aseg

urar

que

es

un re

ctán

gulo

?

3)

¿Cuá

les s

on lo

s cua

drilá

tero

s que

tien

en la

s dia

gona

les i

gual

es?

4)

¿Cuá

les s

on lo

s cua

drilá

tero

s que

tien

en la

s di

agon

ales

per

pend

icula

res?

5)

Si la

s dia

gona

les d

e un

cua

drilá

tero

son

perp

endi

cula

res y

se c

orta

n en

su p

unto

med

io, ¿

se p

uede

sabe

r qué

cua

drilá

tero

es?

6)

Tien

e do

s par

es d

e la

dos p

aral

elos

y u

n án

gulo

obt

uso.

¿Qué

cua

dri-

láte

ro e

s?

7)

Un

cuad

rilát

ero

tiene

dos

par

es d

e la

dos i

gual

es, p

ero

ning

ún p

ar d

e la

dos p

aral

elos

. ¿Cu

ál e

s?

8)

¿Cuá

ntas

cla

ses d

e cu

adril

áter

os se

pue

den

cons

trui

r que

teng

an u

n pa

r de

ángu

los d

e 60

º y u

n pa

r de

120º

?

9)

Si t

e pi

den

que

cons

truya

s un

cuad

rilát

ero

y te

dan

las m

edid

as d

e lo

s lad

os, ¿

qué o

tros d

atos

nec

esitá

s par

a que

hay

a una

úni

ca fi

gura

pos

ible?

10)

Si te

dan

las m

edid

as d

e la

s dia

gona

les p

ara

que

cons

truy

as u

n cu

adril

á-te

ro, ¿

qué

otro

s dat

os n

eces

itás p

ara

que

haya

una

úni

ca fi

gura

pos

ible

?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

✃

6dec

imale

s

los

tam

bie

nY

-

12 10

7

cuadri

late

ros

Los

✃

1)

¿Cóm

o se

pue

de c

alcu

lar e

l pre

cio

de 7

lápi

ces,

si se

sabe

el p

reci

o de

un

lápi

z?

2)

¿Cóm

o se

pue

de c

alcu

lar e

l pre

cio

de 5

mar

cado

res,

si se

sabe

que

po

r 2 m

arca

dore

s se

paga

ron

$13?

3)

¿Cuá

nto

pued

e co

star

una

ofe

rta

de 6

cua

dern

os, s

i por

uni

dad

se

vend

en a

$3?

4)

¿Cuá

l es e

l por

cent

aje

equi

vale

nte

a la

mita

d? ¿Y

a la

cua

rta

part

e?

5)

¿Qué

par

te d

e un

a ca

ntid

ad e

s el 1

00%

? ¿Y

el 1

0%?

6)

¿Qué

por

cent

aje

de u

n cu

rso

faltó

, si e

stán

pre

sent

es e

l 20%

?

7)

¿Es c

iert

o qu

e si

se su

man

el 1

0% d

e un

a ca

ntid

ad y

el 5

% d

e la

mis-

ma

cant

idad

se o

btie

ne e

l 15%

?

8)

¿Cóm

o se

pue

de h

acer

par

a ob

tene

r un

a co

pia

ampl

iada

de

una

figur

a ge

omét

rica?

9)

¿Cóm

o se

pue

de h

acer

par

a ob

tene

r una

cop

ia re

duci

da d

e un

di-

bujo

?

10)

¿Cóm

o se

cal

cula

el n

uevo

pre

cio

de u

n pr

oduc

to, s

i se

sabe

que

au

men

tó u

n 20

% re

spec

to d

el p

reci

o an

tiguo

?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

1)

¿Cóm

o se

llam

an lo

s cue

rpos

que

tien

en d

os b

ases

y la

s dem

ás c

a-ra

s tod

as re

ctan

gula

res?

2)

¿Cóm

o se

llam

an lo

s cue

rpos

que

tien

en u

na b

ase

y las

dem

ás c

aras

to

das t

riang

ular

es?

3)

¿Cuá

ntas

car

as, v

értic

es y

aris

tas t

iene

un

cubo

?

4)

¿Cuá

ntas

car

as ti

ene

un p

rism

a de

bas

es tr

iang

ular

es?

5)

¿Cuá

ntas

car

as ti

ene

una

pirá

mid

e de

bas

e cu

adra

da?

6)

¿Qué

form

a tie

nen

las

base

s de

un

prism

a qu

e tie

ne 7

car

as e

n to

tal?

7)

¿Qué

form

a tie

ne la

bas

e de

una

pirá

mid

e qu

e tie

ne 4

car

as e

n to

tal?

8)

Si te

dic

en q

ue u

n cu

erpo

tien

e 8

cara

s, ¿p

odés

sabe

r si e

s una

pirá

-m

ide

o un

pris

ma?

9)

¿Pue

de h

aber

un

prism

a co

n un

núm

ero

impa

r de

arist

as?

10)

¿Pue

de h

aber

una

pirá

mid

e co

n un

núm

ero

impa

r de

arist

as?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

8

pro

porc

iones

Div

inas

9

geo

met

rico

s

-

cuerp

os

Los

✃

1)

¿Cuá

ntos

rect

ángu

los d

istin

tos d

e 20

cm d

e pe

rímet

ro p

odés

dib

ujar

?

2)

¿Qué

med

idas

pue

de te

ner u

n re

ctán

gulo

que

teng

a ig

ual p

erím

etro

qu

e un

cuad

rado

que

ocu

pa 9

cuad

radi

tos d

e un

a ho

ja cu

adric

ulad

a?

3)

Un

cuad

rado

ocu

pa 1

6 cu

adra

dito

s de

una

hoj

a. ¿

Qué

med

idas

pu

ede

tene

r un

rect

ángu

lo q

ue se

a eq

uiva

lent

e a

ese

cuad

rado

?

4)

Dos

triá

ngul

os so

n eq

uiva

lent

es, p

ero

la a

ltura

de

uno

de e

llos e

s el

dobl

e de

la a

ltura

del

otr

o. ¿C

ómo

son

las m

edid

as d

e su

s bas

es?

5)

Si se

dup

lica

el la

do d

e un

cua

drad

o, ¿s

e du

plic

a el

per

ímet

ro?

6)

Si se

dup

lica

el la

rgo

de u

n re

ctán

gulo

, per

o se

man

tiene

el a

ncho

, ¿s

e du

plic

a su

per

ímet

ro?

7)

Si se

dup

lica

el la

do d

e un

cua

drad

o, ¿s

e du

plic

a su

áre

a?

8)

Si se

dup

lica

el la

rgo

de u

n re

ctán

gulo

, per

o se

man

tiene

el a

ncho

, ¿c

ómo

se m

odifi

ca su

áre

a?

9)

¿Cóm

o se

pue

de o

bten

er u

n re

ctán

gulo

equ

ival

ente

a u

n pa

rale

lo-

gram

o cu

alqu

iera

?

10)

¿Cóm

o se

pue

de o

bten

er u

n re

ctán

gulo

equ

ival

ente

a u

n tr

apec

io

cual

quie

ra?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

1)

¿Qué

inst

rum

ento

s se

usan

par

a m

edir

long

itude

s?

2)

¿Qué

inst

rum

ento

y q

ué u

nida

d se

rán

los a

decu

ados

par

a m

edir

el

anch

o de

una

pue

rta?

3)

¿Cuá

ntos

milí

met

ros e

ntra

n en

un

kiló

met

ro?

4)

¿Qué

inst

rum

ento

y q

ué u

nida

d se

rán

los a

decu

ados

par

a m

edir

el

peso

de

una

valij

a de

via

je?

5)

¿Qué

inst

rum

ento

y q

ué u

nida

d se

rán

los a

decu

ados

par

a m

edir

la

cant

idad

de

jara

be q

ue d

ebe

tom

ar u

n be

bé?

6)

¿Cuá

ntos

mili

litro

s hay

en

un li

tro

y m

edio

?

7)

¿Cóm

o se

hac

e pa

ra e

xpre

sar e

n ki

los u

na m

edid

a co

noci

da e

n gr

a-m

os?

8)

¿Cóm

o se

hac

e pa

ra e

xpre

sar e

n m

etro

s una

dist

anci

a co

noci

da e

n ki

lóm

etro

s?

9)

¿Cóm

o se

pue

den

sum

ar u

n pe

so e

xpre

sado

en

gram

os c

on o

tro

expr

esad

o en

kilo

gram

os?

10) ¿

Cuál

es l

a ca

paci

dad

del e

nvas

e de

gas

eosa

más

gra

nde

de lo

s que

se

vend

en a

ctua

lmen

te? ¿

Y el

más

peq

ueño

?

Mate

mati

ca e

n j

ueg

o5

✃

10m

edid

as

Las

11are

as

Per

imet

ros

y

Viene de página 23

Página 76 DEL LIBRO DEL ALUMNOCrucigrama de equivalentes

1

52

2

03

1

2

04

1

0

55

5

9

0

3

0

0

0

6

1 5 7

58

3 0 0 0 0

9

1

0

210

5

311

512

8

0

0

513

5

8

0

0

0

0

514

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Viene de página 5

Página 13 DEL LIBRO DEL ALUMNOCrucinúmero

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5

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8 9

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1 3 4 5 1 1 8

5 1 0 0 0

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