MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 1

CLASE 1Ecuaciones de variables separables

1. Hallar la ecuacion de la familia de curvas tales que la pendiente de la recta tangente en un puntocualquiera tome el valor que se indica:

(a) m

(b) x

(c)x

y

(d) y

Representar para diferentes valores de la constante de integracion.

2. En cada uno de los siguientes casos hallar la ecuacion de la curva cuya pendiente en un puntocualquiera es la funcion dada de las coordenadas y pasa por el punto particular asignado:

(a) 4y, (1, 1)

(b) y√

x, (1, 4)

(c) 2xy, (3, 1)

3. Un cuerpo se mueve con velocidad variable v. Su aceleracion es −kv2, siendo k constante. Si v0

es la velocidad cuando t = 0, demostrar que:

1v

=1v0

+ kt.

4. Dentro de ciertas limitaciones de velocidad, la resistencia del aire en un automovil es proporcionala la velocidad. Por lo tanto, si F es la fuerza neta generada por el motor, tenemos

Mdvdt

= F− kv.

Si v = 0 cuando t = 0, demostrar que:

v =Fk

(1− e−(k/M)t).

5. Encontrar la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) (3− x)y′ − (2 + y) = 0

(b) xy dx− (1 + x2) dy = 0

(c) yexy′ − e−y + e2x−y = 0

(d) sec(y)y′ + sin(x− y) = sin(x + y)

(e) (x +√

x)y′ = (y +√

y)

(f)y

ln(x)y′ =

(y + 1x

)2

6. En los problemas siguientes, resolver las ecuaciones diferenciales sujetas a la condicion inicialque se indica.

1

(a) (1− x) dy − y2 dx = 0, (1/2, 1)

(b) (x + 1)y′ = y − 1, y acotada para x →∞(c) x3 sin(y)y′ = 2, y → π/2, x → +∞

7. En los problemas siguientes, hallar una solucion de la ecuacion diferencial que pase por los puntosque se indican.

(a) y′ =y2 − 1x2 − 1

, i) (2, 2), ii) (0, 1), iii) (0,−1)

(b) xy′ = y2 − y, i) (0, 1), ii) (0, 0), iii) (1/2, 1/2)

8. Hallar la ecuacion de la curva que pasa por el punto (1, 0) y cuya pendiente en un punto cualquiera

es igual ay − 1x2 + x

.

2

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 1

CLASE 2Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

1. La ecuaciones del tipo y′ = f(ax + by + c) se reducen a ecuaciones de variables separablesmediante el cambio de variable z = ax + by + c, con a, b y c constantes adecuadas. Resolver:

(a) y′ =x + 2y − 82x + 4y − 1

(b) y′ =1

x− y+ 1

(c) y′ = 2 +√

y − 2x + 3

(d) y′ = 1 + ey−x+5

2. Las ecuaciones de la forma y′ = f

(x

y

)se denominan ecuaciones diferenciales homogeneas de

primer orden. Estas ecuaciones se reducen a ecuaciones de variables separables mediante lasustitucion y = vx. Resolver:

(a) x dy − y dx =√

x2 + y2 dx

(b) y′ =2xy

3x2 − y2

(c) −ydx + (x +√

xy)dy = 0

3. Las ecuaciones de la forma y′ = f

(a1x + b1y + c1

a2x + b2y + c2

)se convierten en ecuaciones homogeneas

trasladando el origen al punto de interseccion de las rectas

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0.

Resolver:

(a) (x + y + 2) + (x− y + 4)y′ = 0

(b) y′ = 2(

y + 2x + y + 1

)2

(c) y′ =(

x + y − 6x− y

)

4. Integrar las siguientes ecuaciones lineales:

(a) y′ − 2y

x + 1= ex(1 + x)2

(b) (1 + x2)y′ + y = tan−1(x)

(c) y′ +x

1− x2y = a, en los casos |x| < 1 y |x| > 1

5. (a) En cada uno de los siguientes problemas hallar la solucion particular indicada:

(b) y′ + yex = 3ex, y → 2, x → −∞

3

(c) y′ − 2x + 1

y = (x + 1)3, (0, 1)

(d) y′ − 2x

y = x2ex, (1, 0)

6. Las ecuaciones diferenciales del tipo

y′ + P (x)y = Q(x)yn

se denominan de Bernoulli en honor del matematico suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Paran 6= 0 y n 6= 1, el cambio de variable z = y1−n reduce la ecuacion de Bernoulli a una ecuacionlineal en z(x).

Resolver:

(a) xy′ + y = y2 ln x

(b) y′ − 4y

x= x

√y

(c) y′x4 − yx3 = y3.

7. La ecuacion de Ricatti es una ecuacion no lineal de la forma

y′ = P (x) + Q(x)y + R(x)y2

llamada ası en honor del matematico y filosofo italiano Jacobo Francesco Ricatti (1676-1754).En muchos casos, dependiendo de lo que sean las funciones P (x), Q(x) y R(x), la solucion deesta ecuacion diferencial no puede ser expresada en terminos de funciones elementales.

Si y1 es una solucion particular conocida de la ecuacion de Ricatti y u es una solucion de laecuacion diferencial

u′ = (Q(x) + 2y1(x)R(x))u + R(x)u2,

demuestre que y1 + u es una familia de soluciones para la ecuacion de Ricatti.

8. Resolver la siguientes ecuaciones

(a) y′ = 2− 2xy + y2, y1 = 2x

(b) y′ = e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex

(c) y′ = 2x2 +1x

y − 2y2, y1 = x

4

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 1

CLASE 3Ecuaciones diferenciales exactas

1. Verificar que son diferenciales exactas y resolver.

(a) (2x− y) dx + (3y2 − x) dy = 0(b) (ey + 1) cosx dx + ey sinx dy = 0

(c)1√

x2 + y2dx +

1y

(1− x√

x2 + y2

)dy = 0

(d) (x2 − y) dx− (x + sin2 y) dy = 0

2. La ecuacion x dy − y dx = 0 no es exacta.

(a) Verificar que admite los siguientes factores integrantes y encontrar la diferencial exactacorrespondiente en la que se transforma.

i.1x2

ii.1

x2 + y2

iii.1y2

iv.1

x2 − y2

(b) Verificar que todas las diferenciales exactas halladas en el inciso anterior conducen a lasolucion general

y

x= cte.

3. Resolver verificando que admiten factores integrantes de una sola variable.

(a)(y − tan y cos2 x

)dx +

(sinx cosx− x

cos2 x

cos2 y

)dy = 0

(b) (2xy + 1)y dx + (y − x) dy = 0(c) sinx− x cosx− 3x2(y − x)2 + 3x2(y − x)2y′ = 0(d) (x3 + y3) dx− xy2 dy = 0

4. Demostrar que una ecuacion lineal de primer orden y′ + p(x)y = q(x) posee el factor integranteI(x) = e

∫p(x) dx. Resolver con el la ecuacion.

5. Demostrar que si P (x, y) dx+Q(x, y) dy es una ecuacion diferencial homogenea, entonces admite

el factor integrante I(x, y) =1

xP (x, y) + yQ(x, y), siempre que este denominador no se anule

identicamente.

6. Aplicando el ejercicio anterior, resolver la ecuacion (x2 + y2 − xy) dx + x2 dy = 0.

7. Si∂P

∂y− ∂Q

∂x= f(x)Q(x, y)− g(y)P (x, y), demostrar que I(x, y) = e

∫f(x) dx+

∫g(y) dy es un fac-

tor integrante de la ecuacion diferencial P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

8. Aplicando el ejercicio anterior, resolver (2x2y + y2) dx + (2x3 − xy) dy = 0.

5

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 1

CLASE 4Teorema de existencia y unicidad - Metodo de Picard

1. En cada uno de los problemas siguientes demuestre que la solucion y(x) del problema de valorinicial existe en el intervalo dado.

(a) y′ = y2 + cos2 x, y(0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1/2

(b) y′ = y2 + e−x2, y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 1 + 4

√e/2

(c) y′ = 1 + y + y2 cosx, y(0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1/3

2. Considere el problema de valores iniciales

y′ + y = 2ex, y(0) = 1.

(a) Hallar la solucion exacta y(x) de este problema.

(b) Aplicar el Metodo de Picard y determinar explıcitamente yn(x).

(c) Demostrar que limn→∞ yn(x) = y(x), ∀x real.

3. Considere el problema de valores iniciales

y′ = 1 + y2, y(0) = 0.

(a) Aplicar el Metodo de Picard y calcular hasta y4(x).

(b) Probar que toda funcion de aproximacion yn(x) esta definida en todo el eje real.

(c) Demostrar que el problema de valores iniciales tiene por lo menos una solucion en cualquierintervalo de la forma (−h, h).

(d) Resolver la ecuacion diferencial separando variables y de ese modo demostrar que existeuna solucion del problema de valores iniciales en el intervalo (−π/2, π/2).

4. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′ = 2y

x

(b) y′ = −y

x

(c) y′ =y

x

(d) y′ = −x

y,

i) hallar sus curvas integrales y representarlas en un mismo grafico para distintos valores dela constante de separacion,

ii) en los tres primeros casos, verificar que la recta x = 0 esta contenida en la solucion general,

iii) podrıa determinar unıvocamente la solucion en el origen?

El origen es un punto singular, es decir, las condiciones del Teorema de existenciay unicidad no se verifican en ese punto. Compruebelo.

6

5. (a) Mostrar que las funciones

y = x, y = x +x3

27son soluciones posibles para el siguiente problema diferencial

{y′ = 3

√(y − x)2 + 1

y(0) = 0.

(b) Mostrar que la funcion f(x, y) = 3

√(y − x)2 + 1 no satisface una condicion de Lipschitz en

la variable y, en un entorno del origen.

(c) Mostrar que todos los puntos que pertenecen a la recta y = x son puntos singulares parala ecuacion diferencial involucrada.

Como la grafica de la curva y = x consta enteramente de puntos singulares, recibeel nombre de solucion singular.

6. Encuentre una solucion al problema de valor inicial y′ = x√

1− y2, y(0) = 1 distinta de y = 1.Contradice esto el Teorema de Picard?. Explique.

7. Determinar si las siguentes ecuaciones poseen soluciones singulares.

(a) y′ = x2 + y2

(b) y′ = 3√

x− 5y + 2

(c) y′ = x√

y

8. La ecuacion de todas las rectas del plano (excepto las paralelas al Eje y) es

y = cx + d.

Si los coeficientes no son arbitrarios, sino que estan ligados por una relacion de la forma

d = β(c),

siendo β una funcion continua del parametro c, obtenemos la familia de rectas

y = cx + β(c),

que es simplemente infinita pues contiene solo una constante. La ecuacion diferencial asociadaa esta familia de rectas se obtiene eliminando c. En este caso, y′ = c, y por lo tanto

y = xy′ + β(y′).(1)

Recıprocamente, toda ecuacion de esta forma tiene por solucion general a las rectas

y = cx + β(c),(2)

puesto que estas la satisfacen. Las ecuaciones del tipo (1) se denominan de Clairaut en honor almatematico frances Alexis-Claude Clairault (1713-1765).

Demostrar que la ecuacion de Cairault tambien tiene una solucion en forma parametrica dadapor {

x = −β′(p)y = β(p)− p β′(p)

(3)

7

Esta solucion es una solucion singular puesto que la propiedad de unicidad no sesatisface en ninguno de sus puntos. Mas aun, se puede verificar que la curva integraldefinida por las ecuaciones (3) es la envolvente de la familia de curvas integralesdefinida por (2).

9. Encontrar todas las soluciones de la siguientes ecuaciones:

(a) y = xy′ +12(y′)2,

(b) y = xy′ + 2√

1 + (y′)2,

(c) y = xy′ + 1− ln y′

8

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 2

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes.

1. Encontrar la solucion general Y(t) de los sistemas:

(a)

{y′1 = −y1

y′2 = y1 + y2

(b)

{y′1 = y1 + 2y2

y′2 = 4y1 + 3y2

(c)

{y′1 = 3y1 − 2y2

y′2 = 2y1 − y2

(d)

{y′1 = y1 − 5y2

y′2 = 2y1 − y2

(e)

y′1 = 2y1 + 5y2 + y3

y′2 = −5y1 − 6y2 + 4y3

y′3 = 2y3

(f)

y′1 = y1 − y2 + 2y3

y′2 = −y1 + y2

y′3 = −y1 + y3

(g)

y′1 = −y1 − y2

y′2 = −y2

y′3 = −2y3

2. Mostrar que si r1 6= r2 son raıces de la ecuacion z2 +a1z +a2 = 0, la matriz

(er1t er2t

r1er1t r2e

r2t

)

es la matriz fundamental del sistema Y′ = AY, donde A =

(0 1−a2 −a1

).

3. Si Φ(t) es una matriz fundamental del sistema, mostrar que el problema de valores iniciales

Y′ = AY, Y(t0) = Y0

tiene la solucion Y(t) = Φ(t)Φ−1(t0)Y0. Usar este resultado para resolver

Y′ =

(4 33 −4

)Y, Y(0) =

(11

).

4. Si Φ(t) es una matriz fundamental para el sistema de ecuaciones Y′ = A(t)Y en un intervaloI y si C es una matriz n× n de constantes no singular, entonces Φ(t)C es tambien una matrizfundamental de dicho sistema. Mas aun, probar que toda matriz fundamental de este sistematiene esta forma.

9

5. Sea A =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

. Mostrar que eAt =

eλ1t 0 00 eλ2t 00 0 eλ3t

.

6. Sea A =

λ 1 00 λ 10 0 λ

. Mostrar que eAt =

1 t 12 t2

0 1 t0 0 1

eλt.

7. Sea T una matriz invertible. Probar que eT−1ATt = T−1eAtT.

8. Supongase que A2 = αA, α ∈ IR. Encontrar eAt.

9. Sea A =

(0 1

−1 0

). Mostrar que eAt =

(cos t sin t

− sin t cos t

).

10. Hallar la solucion Y(t) del sistema Y′ = AY + g que satisface la condicion inicial Y(0) dada.

(a)

A =

(2 10 2

), g(t) =

(0

e2t

), Y(0) =

(1−1

).

(b)

A =

(1 −11 −1

), g(t) =

(1/t1/t

), Y(1) =

(2−1

).

(c)

A =

1 0 02 1 −23 2 1

, g(t) =

00

et cos t

, Y(1) =

011

.

10

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 2

CLASE ADICIONAL

1. Encontrar la solucion Y(t) de los sistemas:

(a)

{y′1 = 2y1 − y2

y′2 = 3y1 − 2y2

(b)

{y′1 = y1 − 2y2

y′2 = y1 + 3y2

(c)

{y′1 = 7y1 − 3y2

y′2 = 4y1 − y2

(d)

{y′1 = y2

y′2 = −4y1que verifica Y(0) =

(20

).

Cual es la matriz fundamental para este sistema?

2. Hallar la solucion general del sistema Y′ = AY en los siguientes casos:

(a) A =

2 5 1−5 −6 4

0 0 2

(b) A =

1 −1 2−1 1 0−1 0 1

(c) A =

−1 −1 0

0 −1 00 0 −2

3. Hallar la solucion Y(t) del sistema Y′ = AY + g que satisface la condicion inicial Y(0) dada.

A =

(2 −13 −2

), g(t) =

(2t0

), Y(0) =

(0−1

).

4. Hallar la solucion general del sistema Y′ = AY + g en el intervalo −∞ < t < ∞.

A =

(−3 1

2 −4

), g(t) =

(3te−t

).

11

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 3

CLASE 1Ecuaciones diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes. Homogeneas.

1. Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

(a) y′′ − 4y = 0(b) y′′ − 4y′ + 5y = 0(c) y′′ + 6y′ + 9y = 0(d) y′′ − 3y′ + 2y = 0(e) y′′ + 6y′ + 10y = 0(f) 4y′′ + y = 0

2. Resolver la ecuacion diferencial dada sujeta a las condiciones iniciales que se indican.

(a) 4y′′ − 4y′ + y = 0, y(0) = −2, y′(0) = −1(b) y′′ − 7y′ + 12y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1(c) 4y′′ − 12y′ + 25y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 2(d) y′′ + 10y = 0, y(0) = π, y′(0) = π2

3. Resolver la ecuacion diferencial dada sujeta a las condiciones de frontera que se indican.

(a) y′′ − 10y′ + 25y = 0, y(0) = 1, y(1) = 0(b) y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0

4. Obtenga una ecuacion diferencial de la forma y′′ + ay′ + by = 0, donde a2 > 4b, para la cual lafuncion dada es una solucion:

(a) ex − e−x

(b) 1 + e−3x

(c) e−x + xe−x

5. Demostrar que la solucion de la ecuacion de segundo order y′′ − 2ay′ + (a2 + b2)y = 0 puedeescribirse de la forma y = c1e

ax cos(bx + c2), siendo c1 y c2 constantes arbitrarias.

6. Se dice que una solucion y(x) de la ecuacion y′′ + ay′ + by = 0, con a y b numeros reales, esacotada positivamente si existe una constante M , positiva, tal que |y(x)| ≤ M,∀x ≥ 0.

(a) Demuestre que todas las soluciones son acotadas positivamente si a ≥ 0 y b ≥ 0, sin quesean cero simultaneamente.

(b) Demuestre que si todas las soluciones son acotadas positivamente, entonces a ≥ 0 y b ≥ 0,sin que sean cero simultaneamente.

7. Considere la ecuacion diferencial con coeficientes constantes: y′′ + ay′ + by = 0. Sea φ1(x)la solucion que satisface las condiciones: {φ1(x0) = 1, φ

′1(x0) = 0}. Sea φ2(x) la solucion

que satisface las condiciones: {φ2(x0) = 0, φ′2(x0) = 1}. Si ξ(x) es una solucion que satisface

{ξ1(x0) = α, ξ′1(x0) = β}, demuestre que ξ(x) = αφ1(x) + βφ2(x). (Esto demuestra que toda

solucion ξ(x) es una combinacion lineal de φ1(x) y φ2(x) y que ξ(x) es una funcion lineal de suscondiciones iniciales).

12

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 3

CLASE 2Ecuaciones diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes. No homogeneas.

1. Sea L(y) = y′′+ay′+by, con a y b constantes. Sea p(r) = r2+ar+b su polinomio caracterıstico.

(a) Si A y α son constantes y p(α) 6= 0, mostrar que existe una solucion de la ecuacion L(y) =Aeαx que tiene la forma yp(x) = Beαx, con B constante.

(b) Ahora, si α es una raız simple de p(r), mostrar que existe una solucion particular de lamisma ecuacion que tiene la forma yp(x) = Bxeαx, con B constante.

(c) Estudie estas posibilidades:

i. Si L(y) = Pn(x)eαx, con Pn(x) polinomio de grado n, una solucion se obtiene en-sayando con• Qn(x)eαx, si p(α) 6= 0• xsQn(x)eαx, si p(α) = 0 y s es la multiplicidad de la raız α,

donde Qn(x) es un polinomio de grado n.ii. Si L(y) = (Pn(x)Cos(βx) + Qm(x)Sen(βx))eαx, con Pn(x) y Qm(x) polinomios de

grado n y m respectivamente, una solucion particular se puede obtener ensayando con• eαx(Rn(x)Cos(βx) + Sm(x)Sen(βx)), si p(α± iβ) 6= 0• xeαx(Rn(x)Cos(βx) + Sm(x)Sen(βx)), si p(α± iβ) = 0,

donde Rn(x) y Sm(x) son polinomios de grado n y m, respectivamente.

(d) Si φ1(x) y φ2(x) son soluciones de L(y) = b1(x) y de L(y) = b2(x), respectivamente, encierto intervalo I, mostrar entonces que la funcion ξ(x) = φ1(x) + φ2(x) es solucion deL(y) = b1(x) + b2(x) en el mismo intervalo I.

2. Hallar una ecuacion diferencial lineal, con coeficientes constantes, cuya solucion general sea

(a) (c1 + c2x)e−3x

(b) c1e−x + c2e

−3x + x + 4

(c) c1 sin 3x + c2 cos 3x + x/3

3. Encontrar las soluciones de las ecuaciones dadas.

(a) y′′ − y = 1, solucion acotada para x →∞(b) y′′ − 4y′ + 4y = e2x, con y(0) = 2, y′(0) = 8

(c) y′′ − 4y′ + 5y = 3e−x + 2x2

(d) y′′ + 4y = Cos(x)

(e) y′′ − 5y′ + 6y = ex(x2 − 3)

(f) y′′ − y = ex + Sen(x)

(g) y′′ − 3y′ = 8e3x + 4Sen(x)

(h) y′′ + y = Sen(x), con y(π/2) = 3, y′(π/2) = −1 + π/4

4. Utilizando el Metodo de variacion de los parametros resolver:

13

(a) y′′ + y =1

Cos(x)

(b) y′′ + a2y = f(x), f(x) funcion continua

(c) y′′ − y =1 + x

x2

14

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 4

Ecuaciones diferenciales de orden superior. Aspectos generales.

1. Considere la ecuacion diferencial y′′′ − y′ = 0.

(a) Muestre que y = C1ex + C2Sh(x) + C3Ch(x) es una solucion de dicha ecuacion pero que

no es una solucion general de la misma.

(b) Muestre que y = C1+C2Sh(x)+C3Ch(x) sı es una solucion general de la ecuacion diferencialdada.

2. Encuentre la ecuacion lineal homogenea correspondiente al siguiente sistema fundamental de

soluciones y1 = x, y2 =1x

.

3. Utilizando la formula de Abel, integre la ecuacion diferencial x3y′′ − xy′ + y = 0, sabiendo quey1 = x es una solucion particular.

4. Sea la ecuacion diferencial y′′+4xy′+Q(x)y = 0 que tiene dos soluciones de la forma y1 = u(x) ey2 = xu(x), siendo u(0) = 1. Usando la formula de Abel, determinar u(x) y Q(x) explıcitamenteen funcion de x.

5. Probar que si y1 es una solucion no trivial de la ecuacion y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 en algunintervalo I entonces, en cualquier subintervalo I en el que y1 6= 0, la funcion

y2(x) = y1(x)∫

e−∫

p(x)dx

(y1(x))2dx

es otra solucion de la ecuacion diferencial linealmente independiente de y1. (Sugerencia: lasolucion buscada tiene la forma y(x) = u(x)y1(x)).

6. Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial x2y′′+xy′+(x2− 1/4)y = 0 sabiendo que

y1 =Sen(x)√

xes una solucion de la misma en el intervalo x > 0.

7. Hallar una solucion general de xy′′ + 2y′ + xy = 0.

(a) haciendo el cambio de variable u = xy

(b) sabiendo que y1 =Cos(x)

xes una solucion en x > 0.

8. Hallar una solucion general de y′′ + y′ + e−2xy = 0.

(a) haciendo el cambio de variable y(u), con u = e−x

(b) sabiendo que y1 = Cos(e−x) es una solucion en −∞ < x < ∞.

9. Probar que el cambio de variable y′ = vy reduce la ecuacion diferencial lineal homogenea desegundo orden

y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0(4)

a la ecuacion de Ricattiv′ + v2 + a1(x)v + a0(x) = 0(5)

15

y deducir de ello que el problema de resolver (4) es equivalente al de resolver el sistema deecuaciones de primer orden

{y′ = vyv′ = −v2 − a1(x)v − a0(x)

.(6)

La ecuacion (5) se conoce como la ecuacion de Ricatti asociada con (4). Que condiciones debenimponerse a (6) para que se correspondan con las condiciones y(0) = y0, y′(0) = y′0 ?

10. Hallar la ecuacion de Ricatti asociada con y′′ − (1 + 2ex)y′ + e2xy = 0. Resolver la ecuacion deRicatti y, partiendo de ella, encontrar una solucion general para la ecuacion original.

11. Si (1+x)2 es una solucion de la ecuacion y′′+p(x)y′+q(x)y = 0 y el wronskiano de cualesquierados soluciones es constante, encontrar la solucion general de y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 1 + x.

12. Hallar una solucion general de la ecuacion diferencial x2y′′ + x3y′ − 2(1 + x2)y = x en elintervalo (0,∞), sabiendo que la ecuacion homogenea tiene una solucion de la forma xm, mnumero natural. (Sugerencia: no intentar resolver las integrales).

13. Demostrar el siguiente teorema conocido como Teorema de separacion de Sturn

- Si y1 e y2 son dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion diferencial

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0

en un intervalo I en el que a2 no se anula, entonces los ceros de y1 e y2 se alternan en I.

14. Demostrar el siguiente teorema conocido como Teorema de comparacion de Sturn

- Sean y1 e y2 soluciones no triviales de las ecuaciones diferenciales

y′′ + p1(x)y = 0 y′′ + p2(x)y = 0,

respectivamente, en un intervalo comun I. Supongamos que p1(x) > p2(x), ∀x ∈ I. En-tonces, entre dos ceros cualesquiera de y2 hay al menos un cero de y1.

15. Toda solucion de la ecuacion y′′ + xy = 0 tiene infinitos ceros en (0,∞). Es esto cierto o falso?

16. Resolver:

(a) y′′′ − 5y′′ + 6y′ = 0

(b) y′′′′ + 5y′′ + 4y = 0

(c) y′′′ − y = 0

(d) y′′′′ + 2y′′ + y = 0

17. Encuentre la solucion general de

(a) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex

(b) yiv − y′′ = 2xex

16

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 5

CLASE 1La transformada de Laplace

Si f(t) es una funcion seccionalmente continua en cada intervalo finito del dominio t > 0 y de ordenexponencial eαt cuando t →∞, entonces, para Re(s) > α, existe y converge absolutamente la integral

L[f(t)] =∫ ∞

0e−stf(t)dt

conocida como transformada de Laplace de f(t).

1. Utilizando la definicion, encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones definidaspara t > 0. En aquellos problemas donde aparecen, α y β denotan constantes.

(a) f(t) =

{−1, 0 < t < 1

1, t ≥ 1

(b) f(t) =

{αt + β, 0 < t < 1

0, t ≥ 1

(c) f(t) = e−αt+β

(d) f(t) = teαt

(e) f(t) = et cos t

(f) f(t) = t sinhαt

2. Utilizando propiedades de linealidad, calcular la transformada de Laplace para las siguientesfunciones:

(a) f(t) = t2 + 6t− 3

(b) f(t) = 1 + e4t

(c) f(t) = 4t3 − 5 sin 3t

(d) f(t) = cos 5t + sin 2t

(e) f(t) = sin t cos 2t

(f) f(t) = cos2 t

3. Evaluar las siguientes integrales:

(a)∫ ∞

0te−2t sin t dt

(b)∫ ∞

0e−3t(1− sin 3t)dt

4. Si F (s) representa a la transformada de Laplace de f(t), demostrar que L[ebtf(t)] = F (s− b).Este resultado se conoce como Teorema de sustitucion.

5. Aplicando el teorema de sustitucion, calcular la transformada de Laplace de las siguientes fun-ciones:

(a) f(t) = t3e−2t

17

(b) f(t) = e−t sin2 t

(c) f(t) = e−t cosh kt

(d) f(t) = te−3t cos 3t

6. Dada una funcion f(t) definida para t ≥ 0, se define la trasladada de f(t) como la funcion dadapor

fb(t) =

{0, 0 ≤ t ≤ b

f(t− b) t > b.

Si F (s) representa a la transformada de Laplace de f(t), demostrar que se tiene L[fb(t)] =e−bsF (s). Este resultado es conocido como Teorema de traslacion.

7. Aplicando el teorema de translacion, calcular la transformada de Laplace de las siguientes fun-ciones:

(a) g(t) =

{0, 0 < t < 2

(t− 2)2, t ≥ 2

(b) g(t) =

{0, 0 < t < 3π/2

sin t, t ≥ 3π/2

(c) g(t) = etu(t− 2)

(d) g(t) = cos 2t u(t− π)

8. Supongase que f(t) es una funcion seccionalmente continua y de orden exponencial α para t ≥ 0.Si F (s) representa a la transformada de Laplace de f(t), demuestre que lim

s→∞F (s) = 0.

18

MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA 5

CLASE 2

La expresion L−1[F (s)] = f(t) indica a la funcion cuya transformada de Laplace es F (s). Es decir, siL[f(t)] = F (s) entonces L−1[F (s))] = f(t). Se dice que f(t) es la transformada inversa de F (s) o suantitransformada.

1. Antitransformar

(a) F (s) =4s

4s2 + 1

(b) F (s) =2s− 6s2 + 9

(c) F (s) =s

s2 + 2s− 3

(d) F (s) =s + 1

(s2 − 4s)(s + 5)

(e) F (s) =s− 1

s2(s2 + 1)

(f) F (s) =e−3s

(s− 1)2

(g) F (s) =e−s

s(s + 1)

(h) F (s) =se−sπ/2

s2 + 4

Si F (s) y G(s) son respectivamente las transformadas de Laplace de f(t) y g(t), ambas funcionesseccionalmente continuas y de orden exponencial α cuando t tiende a infinito, entonces la transformadade Laplace de la convolucion de f(t) y g(t) existe para Re(s) > α y esta dada por L[f(t) ∗ g(t)] =F (s)G(s). este resultado se conoce como Teorema de convolucion.

2. Aplique el teorema de convolucion para calcular la transformada de Laplace de las siguientesfunciones.

(a) f(t) =∫ t

0sinµ cos(t− µ) dµ

(b) f(t) =∫ t

0e−µ cosµdµ

(c) f(t) =∫ t

0µet−µ dµ

(d) f(t) = e2t ∗ sin t

3. Utilice el teorema de convolucion para calcular la antitransformada de:

(a) F (s) =1

s(s + 1)

(b) F (s) =1

s3(s2 + 1)

19

(c) F (s) =e−2s

s2 + 2s− 3)

(d) F (s) =s

(s2 + 4)2

4. Calcular la transformada de Laplace de:

(a) f(t) = te3t

(b) f(t) = t2 sin kt

(c) f(t) = te−t cos t

Sugerencia: L[tnf(t)] = (−1)n dn

dsnL[f(t)].

5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′ + y =

{0, 0 ≤ t < 1

−1, t ≥ 1, y(0) = 0

(b) y′′ + 4y′ + 4y =

{0, 0 ≤ t ≤ 2

e−(t−2), t > 2, y(0) = 1, y′(0) = −1

(c) y′′ − 2y′ = tet sin t, y(0) = 0, y′(0) = 0

(d) y′′ − 5y′ + 6y = u(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 1

(e) yiv − y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = −1, y′′′(0) = 0

(f) y′′ − ty′ + 2y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0

(g) y′′ + 3ty′ − 6y = 1, y(0) = 0, y′(0) = 0

(h) ty′′ − y′ = t2, y(0) = 0

Sugerencia: el Teorema de la transformada de la derivada de orden n de una funcion estableceque L[fn(t)] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − fn−1(0).

6. Resolver

(a) y′(t) + 6y(t) + 9∫ t

0y(µ)dµ = 1 + t, y(0) = 0

(b) t− 2y(t) =∫ t

0(eµ − e−µ)y(t− µ)dµ

(c) y(t) = 1 + t− 83

∫ t

0(µ− t)3y(µ)dµ

(d) y′(t) = cos t +∫ t

0y(µ) cos(t− µ)dµ, y(0) = 1

7. Resolver

(a)

{y′ + z′ = ty′′ − z = e−t , y(0) = 0, y′(0) = 2, z(0) = 0

(b)

{y′ − z′ − 2y = 1−y′ + z = t

, y(0) = 1, z(0) = 1

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Transformada de Laplace de las funciones mas conocidas

f(t) F (s)1 s−1

t s−2

tn−1, n ∈ N (n− 1)! s−n

tr, r ∈ R, r > −1 Γ(r + 1) s−(r+1)

eat (s− a)−1

tn−1eat, n ∈ N (n− 1)! (s− a)−n

Sen(at)a

s2 + a2

Cos(at)s

s2 + a2

ebtSen(at)a

(s− b)2 + a2

ebtCos(at)s− b

(s− b)2 + a2

Sh(at)a

s2 − a2

Ch(at)s

s2 − a2

ebt − eat, a 6= bb− a

(s− a)(s− b)

tSen(at)2ab

(s2 + a2)2

tCos(at)s2 − a2

(s2 + a2)2

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MATEMATICAS ESPECIALES IIPRACTICA ADICIONAL

Sucesiones y series de funciones.

1. Considere la sucesion de funciones reales

ϕn(x) =

{xn, si 0 ≤ x ≤ 11, si x ≥ 1

, n ≥ 1.

(a) Demostrar que converge puntualmente a

ϕ(x) =

{0, si 0 ≤ x < 11, si x ≥ 1

.

(b) Probar que la convergencia es uniforme en el intervalo [0, x0], ∀x0 < 1.

(c) Converge uniformemente en [0, 1]?

2. Considere la sucesion de funciones reales

ϕn(x) =

{−1

4n2x2 + nx, si 0 ≤ x ≤ 4

n0, si 4

n≤ x ≤ 4

, n ≥ 1.

Demuestre que la funcion converge puntualmente a la funcion ϕ(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ 4pero que la convergencia no es uniforme cerca del cero. (Este ejemplo muestra que unasucesion de funciones continuas puede converger a una funcion lımite continua aunque lasucesion no converja uniformemente).

3. Dada la sucesion de funciones reales ϕn(x) =x

1 + nx2, demostrar que converge uni-

formemente a ϕ(x) = 0 en IR pero que limn→∞ϕ′n(x) 6= ϕ′(x).

4. Considere la sucesion ϕn(x) = nx(1− x2)n para 0 ≤ x ≤ 1.

(a) Probar que ϕn → 0 en [0, 1].

(b) Calcular que limn→∞

∫ 1

0ϕn(x)dx y decidir si la convergencia es uniforme.

5. Considere la sucesion ϕn(x) = 1− x2n, n ≥ 1.

(a) Comprobar que converge puntualmente a ϕ(x) = 1 si |x| < 1.

(b) Comprobar que la convergencia es uniforme en el intervalo |x| ≤ a, ∀a < 1.

(c) Comprobar que ϕ′n(x) converge uniformemente a ϕ′(x) en el intervalo |x| ≤ a, ∀a < 1.

6. Considere la serie dada por x(1− x) + x2(1− x) + x3(1− x) + · · ·(a) Demostrar que converge puntualmente para |x| < 1 y encontrar su suma.

(b) Probar que converge uniformemente a su suma en |x| ≤ 1/2. Converge uniformementeen |x| ≤ 1?

(c) Comprobar que su suma es discontinua en x = 1.

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7. Demostrar que las series

(a)∑

n≥1

xn

n√

n + 1

(b)∑

n≥2

1

n2 + x2

son absoluta y uniformemente convergentes en |x| ≤ 1.

8. Demostrar que la serie∑

n≥1

(−1)n

n + |x|2 es uniformemente convergente para todo x pero no

es absolutamente convergente para ningun valor de x.

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